სტერეომეტრიაადამიანის პრაქტიკული საქმიანობის პროცესში წარმოშობილი საკითხების დაკვირვებისა და გადაწყვეტის შედეგად შემუშავებული. ეჭვგარეშეა, რომ პრიმიტიული ადამიანიც კი, რომელიც მომთაბარე ცხოვრებიდან დასახლებულ ცხოვრებაზე გადავიდა, სოფლის მეურნეობით დაკავდა, ცდილობდა შეეფასებინა, თუნდაც უხეშად, პურის მასების მიერ მოპოვებული მოსავლის ზომა. დაწყობილია გროვად, შოკში ან დასტაში. ყველაზე უძველესი პრიმიტიული შენობების მშენებელსაც კი როგორმე უნდა გაეთვალისწინებინა ის მასალა, რაც ხელთ ჰქონდა და შეძლებოდა გამოეთვალა რამდენი მასალა დასჭირდებოდა კონკრეტული შენობის ასაშენებლად. ძველ ეგვიპტელებსა და ქალდეველებს შორის ქვის ჭრა მოითხოვდა სულ მცირე უმარტივესი გეომეტრიული სხეულების მეტრულ თვისებებს: კუბი, პარალელეპიპედი, პრიზმა, ცილინდრი და ა.შ. სოფლის მეურნეობის, ნავიგაციის, დროში ორიენტაციის მოთხოვნილებებმა უბიძგა ადამიანებს ასტრონომიული დაკვირვებებისკენ, ეს უკანასკნელი კი სფეროსა და მისი ნაწილების თვისებების და, შესაბამისად, სიბრტყეებისა და ხაზების ფარდობითი პოზიციის კანონების შესწავლისაკენ.

ძველი საბერძნეთისა და მისი კოლონიების ეკონომიკური და კულტურული აყვავების დროს გეომეტრიამ მიაღწია მაღალ თეორიულ განვითარებას. საბერძნეთის გამოჩენილი გეომეტრებიდან სტერეომეტრიით დაინტერესდნენ ანაქსაგორა, დემოკრიტე, ჰიპოკრატე (ძვ. წ. V ს.). ჰიპოკრატე ერთ-ერთი პირველია, ვინც გადაჭრა ანტიკურობის ცნობილი პრობლემა - კუბის გაორმაგების დელის პრობლემა. პლატონის სკოლაში სტერეომეტრიის პრობლემები საგრძნობლად დაწინაურდა. პლატონის სკოლის ერთ-ერთმა წარმომადგენელმა, ტეტეტეტუსმა, განიხილა ოქტაედონი და ოცდამხარი და პირველად წარმოადგინა თეორია ხუთი რეგულარული პოლიედრის ზოგიერთი თვისების შესახებ. პლატონის მოწაფე მენექემე იყო პირველი, ვინც კონუსური მონაკვეთების თეორია მისცა. ევკლიდეს ყველაზე დიდი დამსახურებაა ის, რომ მან შეაგროვა, დაამუშავა და თანმიმდევრულ სისტემაში შემოიტანა მასამდე მოღწეული მასალა. მისი სტერეომეტრიის „საწყისების“ 13 წიგნიდან XI-XIII წიგნებია მინიჭებული. ევკლიდეს მიერ შეგროვებული ინფორმაცია სტერეომეტრიის შესახებ დაემატა, გააღრმავა და გააფართოვა ანტიკურობის უდიდესმა მათემატიკოსმა არქიმედესმა. მან მისცა ცამეტი ნახევრად რეგულარული მყარი, რომელთაგან თითოეული შემოსაზღვრულია რეგულარული მრავალკუთხედებით, მაგრამ არა ერთი და იგივე სახის, და გამოთვალა რევოლუციის მყარი მოცულობები. არქიმედეს მოღვაწეობის წყალობით, სტერეომეტრიამ მიაღწია თავის კულმინაციას და საბოლოოდ ჩამოყალიბდა ელემენტარული გეომეტრია მისი თანამედროვე გაგებით.

საბერძნეთის დაცემის შემდეგ მათემატიკის და კერძოდ სტერეომეტრიის განვითარებაში ხანგრძლივი სტაგნაციაა, რომელიც ათას წელს გაგრძელდა. ბევრი რამ გააკეთა კეპლერმა თანამედროვე დროში სტერეომეტრიის განვითარებისთვის. თავის "ახალ სტერეომეტრიაში" - "ლულების სტერეომეტრია" - მან პირველად გამოიყენა უსასრულო სიდიდე გეომეტრიაში. ნიუტონისა და ლაიბნიცის მიერ ინტეგრალური გამოთვლების აღმოჩენამ საბოლოოდ გადაჭრა კვადრატურის და კუბატურის პრობლემა.

ცილინდრი- სხეული, რომელიც შედგება ორი წრისგან, რომლებიც არ დევს ერთ სიბრტყეში და გაერთიანებულია პარალელური თარგმნით, და ყველა სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ წრეების შესაბამის წერტილებს.

r არის ცილინდრის რადიუსი;
d არის ცილინდრის დიამეტრი;
l არის ცილინდრის გენერაცია;
h არის ცილინდრის სიმაღლე.

Შენიშვნა:მარჯვენა წრიულ ცილინდრში გენერატრიქსის სიგრძე სიმაღლის სიგრძის ტოლია.

წრიული ცილინდრის მოცულობაგამოითვლება ფორმულით:

V = π r 2 სთ, სად

π – მუდმივი მნიშვნელობა (≈3,1415 );
r არის ცილინდრის ფუძის რადიუსი;
h არის ცილინდრის სიმაღლე.

კუბიარის რეგულარული პოლიედონი, რომლის თითოეული სახე არის კვადრატი. კუბის ყველა კიდე ტოლია.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - კუბი;

A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1- კუბის წვეროები;

a - კუბის კიდის სიგრძე.

კუბის მოცულობაგამოითვლება ფორმულით:

V კუბი \u003d a 3, სადაც

a არის კუბის კიდის სიგრძე.

ტეტრაედონიარის რეგულარული პოლიედონი, რომლის სახეები ოთხი სამკუთხედია.

ABCD - ტეტრაედონი;

A, B, C, D - ტეტრაედრული წვეროები;

AD, BD, CD, AB, BC, AC - ტეტრაედრის კიდეები;

ABD, BCD, ACD - ტეტრაედრის სახეები.

ტეტრაედრის მოცულობაგამოითვლება ფორმულით:

აარის ტეტრაედრის ნებისმიერი კიდის სიგრძე.

გაიდლაინები

ამ კატეგორიის ამოცანების წარმატებით შესასრულებლად, თქვენ უნდა:

იცოდეს გეომეტრიული სხეულების განმარტებები და მათი თვისებები;

შეძლოს მოქმედებების შესრულება გეომეტრიული ფიგურებით, კოორდინატებით და ვექტორებით;

შეძლოს გეომეტრიული სიდიდეების (სიგრძეები, კუთხეები, ფართობები, მოცულობები) აღმოჩენის სტერეომეტრიული ამოცანების ამოხსნა;

იცოდეს გეომეტრიული სხეულების ფართობებისა და მოცულობების გამოთვლის ფორმულები.

თდიახ არა. 8 ცილინდრის მოცულობა ვარიანტი 1.

1. იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა 3 სმ სიმაღლისა და ფუძის დიამეტრის 6 სმ ა) 27π სმ 3; ბ) 9π სმ 3; გ) 36π სმ 3; დ) 18π სმ 3; ე) 54π სმ 3.

2. ცილინდრის მოცულობა არის 27π. იპოვეთ ცილინდრის ფუძის დიამეტრი, თუ მისი მთლიანი ზედაპირი ორჯერ უდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობს.

ა) 3; ბ) დადგენა შეუძლებელია 6-ზე; დ) 2; ე) 9.

3. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის დიაგონალი ცილინდრის ფუძის სიბრტყეს ქმნის 60˚ კუთხეს. იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა, თუ ღერძული მონაკვეთის ფართობია 16√3 სმ2.

ა) 16π ​​სმ 3; ბ) 16√3 სმ 3; გ) 32π√3 სმ 3; დ) 8π√3 სმ 3; ე) 16π√3 სმ3.

4. ცილინდრში 1 სმ რადიუსის სფეროა ჩაწერილი იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა.

ა) 4π სმ 3; ბ) 2π სმ 3; გ) 8π სმ 3; დ) π სმ 3; დ) დადგენა შეუძლებელია.

5. ცილინდრის მოცულობა არის 120. იპოვეთ ცილინდრის სიმაღლე 0,01 სიზუსტით, თუ ფუძის რადიუსი მასზე 3-ჯერ მეტია.

ა) 1,62; ბ) 1,63; გ) 1,61; დ) 1,6; ე) 1.60.

6. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობია 21 სმ 2, ფუძის ფართობი 18π სმ 2. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

ა) 9π სმ 3; ბ) 31,5π√2 სმ 3; გ) 21π სმ 3; დ) 63π სმ 3; ე) 31,5π√3 სმ3.

7. აირჩიეთ სწორი განცხადება.

ა) ცილინდრის მოცულობა არის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლის ნახევარი.

ბ) ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V = πS/2, სადაც S არის ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობი;

გ) ტოლგვერდა ცილინდრის მოცულობა არის V = 2πR 3, სადაც R არის ცილინდრის ფუძის რადიუსი;

დ) ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V = Mh/2, სადაც M არის ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, ხოლო h არის მისი სიმაღლე;

8. ცილინდრის ღერძის პარალელური მონაკვეთი ძირს 120˚ რკალს წყვეტს ფუძის გარშემოწერილობისგან. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის R, კუთხე მონაკვეთის დიაგონალსა და ცილინდრის ღერძს შორის არის 30˚. იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა ა) 3πR 2 ; ბ) πR 3 √3; გ) 3πR3; დ) πR 3; ე) 3πR 3 √3.

9. ცილინდრის გენერატრიქსის მეშვეობით ორი სიბრტყეა დახატული. კუთხე მათ შორის არის 120˚. მიღებული მონაკვეთების ფართობებია 1. ცილინდრის ფუძის რადიუსი არის 1. იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა. ა) π√3/3; ბ) 2π; გ) π/2; დ) პი; დ) დადგენა შეუძლებელია.

10. 2 მმ დიამეტრის ალუმინის მავთულს აქვს 3,4 კგ მასა. იპოვეთ მავთულის სიგრძე 1 სმ-მდე, თუ ალუმინის სიმკვრივეა 2,6 გ/სმ3.

ა) 41646; ბ) 43590; გ) 41656; დ) 41635; ე) 41625.

თდიახ არა. 8 ცილინდრის მოცულობა ვარიანტი 2.

1. იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა, რომლის სიმაღლეა 6 სმ და ფუძის დიამეტრი 3 სმ ა) 13,5π სმ 3; ბ) 9π სმ 3; გ) 27π სმ 3; დ) 18π სმ 3; ე) 54π სმ 3.

2. ცილინდრის მოცულობა არის 32π. იპოვეთ ცილინდრის სიმაღლე, თუ მისი მთლიანი ფართობი სამჯერ მეტია გვერდითი ზედაპირის ფართობზე.

ა) 3; ბ) დადგენა შეუძლებელია 4-ზე; დ) 8; D 2.

3. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის დიაგონალი ცილინდრის ფუძის სიბრტყეს ქმნის 60˚ კუთხეს. იპოვეთ ღერძული მონაკვეთის ფართობი, თუ ცილინდრის მოცულობა არის 16 π √3 სმ 2.

ა) 16 სმ 2; ბ) 16√3 სმ 2; გ) 32√3 სმ 2; დ) 8√3 სმ 2; ე) 16π√3 სმ2.

4. ცილინდრის მახლობლად აღწერილია 1 სმ რადიუსის სფერო.იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა.

ა) 4π√2 სმ 3; ბ) 0,5π√2 სმ 3; გ) დადგენა შეუძლებელია დ) π სმ 3; ე) π√2 სმ 3.

5. ცილინდრის მოცულობა არის 120. იპოვეთ ცილინდრის სიმაღლე 0,01 სიზუსტით, თუ ფუძის რადიუსი მასზე 3-ჯერ ნაკლებია.

ა) 2.3; ბ) 2.33; გ) 2,35; დ) 2.335; ე) 2.34.

6. ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობია 30 სმ 2, ფუძის ფართობი 9π სმ 2. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა.

ა) 45π სმ 3; ბ) 22,5π სმ 3; გ) 23π სმ 3; დ) 9π სმ 3; ე) 30π სმ 3.

7. აირჩიეთ არასწორი განცხადება.

ა) ცილინდრის მოცულობა არის ფუძის ფართობისა და სიმაღლის ნამრავლი.

ბ) ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V = 1/2πrS, სადაც S არის ცილინდრის ღერძული მონაკვეთის ფართობი, ხოლო r არის ცილინდრის რადიუსი;

გ) ტოლგვერდა ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V = 1/4πh 3, სადაც h არის ცილინდრის სიმაღლე;

დ) ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V = 1/2Mr, სადაც M არის ცილინდრის გვერდითი ზედაპირის ფართობი, ხოლო r არის მისი რადიუსი;

ე) ტოლგვერდა ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით V = πh 3/2, სადაც h არის ცილინდრის სიმაღლე.

8. ცილინდრის ღერძის პარალელურად მონაკვეთი ძირის გარშემოწერილობისგან წყვეტს რკალს 120 0. ეს მონაკვეთი ამოღებულია ცილინდრის ღერძიდან a-ს ტოლი მანძილით. მონაკვეთის დიაგონალი არის 4a. იპოვნეთ ცილინდრის მოცულობა. ა) 8პა 2; ბ) 4პა 3; გ) 2πa 3; დ) 16პა 3; ე) 8πa 3 .

9. ცილინდრის გენერატრიქსის მეშვეობით ორი სიბრტყეა დახატული. კუთხე მათ შორის არის 120˚. მიღებული მონაკვეთების ფართობებია 1. ცილინდრის სიმაღლეა 1. იპოვეთ ცილინდრის მოცულობა. ა) π/4; ბ) π/2; გ) π; დ) π/3; დ) დადგენა შეუძლებელია.

10. 2მმ დიამეტრის ალუმინის მავთულს აქვს 3,4მ მასა იპოვეთ მავთულის მასა 1გ სიზუსტით თუ ალუმინის სიმკვრივეა 2,6გ/სმ 3.

ა) 278; ბ) 277; გ) 29; დ) 27; ე) 28.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: ცილინდრი

მდგომარეობა

ცილინდრულ ჭურჭელში სითხის დონე 20 სმ-ს აღწევს, რა სიმაღლეზე იქნება სითხის დონე, თუ ჩაასხით მეორე ცილინდრულ ჭურჭელში, რომლის დიამეტრი პირველზე ორჯერ აღემატება დიამეტრს? გამოხატეთ თქვენი პასუხი სანტიმეტრებში.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ვთქვათ R არის პირველი ჭურჭლის ფუძის რადიუსი, შემდეგ 2 R არის მეორე ჭურჭლის ფუძის რადიუსი. პირობით, V სითხის მოცულობა პირველ და მეორე ჭურჭელში ერთნაირია. აღნიშნეთ H-ით - დონე, რომელზედაც ავიდა სითხე მეორე ჭურჭელში. მერე

V=\pi R^2 \cdot 20,და V=\pi (2R)^2H = 4\pi R^2H. აქედან \pi R^2 \cdot 20 = 4\pi R^2H, 20=4სთ H=5

უპასუხე

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: ცილინდრი

მდგომარეობა

ცილინდრულ ჭურჭელში ჩაასხეს 2000 სმ 3 წყალი. სითხის დონე 15 სმ აღმოჩნდა.ნაწილი მთლიანად ჩაეფლო წყალში. ამავდროულად ჭურჭელში სითხის დონემ 9 სმ-ით მოიმატა.რა არის ნაწილის მოცულობა? გამოხატეთ თქვენი პასუხი სმ3-ში.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ვთქვათ R არის ცილინდრის ფუძის რადიუსი, ხოლო h ჭურჭელში ჩასხმული წყლის დონე. მაშინ ჩამოსხმული წყლის მოცულობა უდრის ცილინდრის მოცულობას ბაზის რადიუსით R და სიმაღლე h. V წყალი \u003d S მთავარი. · h = \pi R^2\cdot h. პირობის მიხედვით სრულდება ტოლობა 2000=\pi R^2\cdot15. აქედან, \pi R^2=\frac(2000)(15)=\frac(400)(3).

H იყოს წყლის დონე ჭურჭელში ნივთის მასში ჩაძირვის შემდეგ. მაშინ წყლის მთლიანი მოცულობა და ნაწილი უდრის ცილინდრის მოცულობას ბაზის რადიუსით R და სიმაღლე H. პირობით H=h+9=15+9=24. ასე რომ V წყალი + დეტალები = \pi R^2\cdot H=\frac(400)(3)\cdot24=3200.მაშასადამე, V ნაწილები = V წყალი + ნაწილები − V წყალი = 3200-2000=1200.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: ცილინდრი

მდგომარეობა

იპოვეთ ცილინდრის სიმაღლე, თუ მისი ფუძის რადიუსი არის 8, ხოლო გვერდითი ზედაპირის ფართობი 96\pi.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

S=2\pi rh,

96\pi=2\pi\cdot8h,

h=\frac(96\pi)(16\pi)=6.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2016წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 8
თემა: ცილინდრი

მდგომარეობა

500 კუბური მეტრი ცილინდრულ ჭურჭელში ჩაასხეს. იხილეთ წყალი. განსაზღვრეთ წყალში მთლიანად ჩაძირული ნაწილის მოცულობა, თუ ჩაძირვის შემდეგ სითხის დონე გაიზარდა 1,2-ჯერ. გამოხატეთ თქვენი პასუხი კუბში. სმ.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოდით V 1 მიუთითოს სითხის საწყისი მოცულობა ცილინდრში. ნაწილის ჩაძირვის შემდეგ, სითხის მოცულობა გაიზარდა 1.2-ჯერ, რაც ნიშნავს, რომ სითხის საბოლოო მოცულობა არის V 2 = 1.2 V 1. ნაწილის მოცულობა უდრის სხვაობას მოცულობებს შორის ჩაძირვის წინ და შემდეგ, რაც ნიშნავს V = V_2-V_1=1.2\cdot 500-500=100კუბი სმ.

უპასუხე

როდესაც სითხე ჭარბობს, მისი საწყისი მოცულობა არ იცვლება, ანუ: V 1 \u003d V 2, რაც ნიშნავს, რომ თანასწორობა მართალია: \pi\left(\frac(d_1)(2)\right)^2h_1=\pi\left(\frac(3d_1)(2)\right)^2h_2

შეცვალეთ მნიშვნელობები მდგომარეობიდან, გაამარტივეთ გამოხატულება და იპოვნეთ მეორე ჭურჭლის სითხის სასურველი სიმაღლე h 2:

\pi \enspace\frac(d_1^(2))(4)\enspace 63=\pi \enspace\frac(9d_1^(2))(4)\enspace h_2

\frac(63)(4)=\frac(9)(4)h_2

h_2=\frac(63)(9)=7