ჩვენი ცივილიზაციის პირველი ისტორიკოსები - ძველი ბერძნები - ახსენებენ ეგვიპტეს, როგორც გეომეტრიის სამშობლოს. ძნელია არ დაეთანხმო მათ, იცის რა საოცარი სიზუსტით იყო აღმართული ფარაონების გიგანტური სამარხები. პირამიდების სიბრტყეების ურთიერთგანლაგება, მათი პროპორციები, ორიენტაცია კარდინალურ წერტილებზე - წარმოუდგენელი იქნებოდა ასეთი სრულყოფის მიღწევა გეომეტრიის საფუძვლების ცოდნის გარეშე.

თვით სიტყვა "გეომეტრია" შეიძლება ითარგმნოს როგორც "დედამიწის გაზომვა". უფრო მეტიც, სიტყვა "დედამიწა" ჩნდება არა როგორც პლანეტა - მზის სისტემის ნაწილი, არამედ როგორც თვითმფრინავი. სოფლის მეურნეობისთვის ტერიტორიების აღნიშვნა, სავარაუდოდ, არის გეომეტრიული ფორმების, მათი ტიპებისა და თვისებების მეცნიერების ძალიან ორიგინალური საფუძველი.

სამკუთხედი არის პლანიმეტრიის უმარტივესი სივრცითი ფიგურა, რომელიც შეიცავს მხოლოდ სამ წერტილს - წვეროებს (არანაკლებია). საძირკვლის საფუძველი, ალბათ, სწორედ ამიტომ ჩანს მასში რაღაც იდუმალი და უძველესი. სამკუთხედის შიგნით ყოვლისმომცველი თვალი ერთ-ერთი ყველაზე ადრეული ცნობილი ოკულტური ნიშანია და მისი გავრცელების გეოგრაფია და დროის ჩარჩო უბრალოდ გასაოცარია. ძველი ეგვიპტური, შუმერული, აცტეკებისა და სხვა ცივილიზაციებიდან დაწყებული ოკულტის მოყვარულთა უფრო თანამედროვე საზოგადოებებამდე, რომლებიც გაბნეულია მთელს მსოფლიოში.

რა არის სამკუთხედები

ჩვეულებრივი სკალენური სამკუთხედი არის დახურული გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სხვადასხვა სიგრძისა და სამი კუთხის სამი სეგმენტისგან, რომელთაგან არცერთი არ არის სწორი. გარდა ამისა, არსებობს რამდენიმე სპეციალური ტიპი.

მახვილ სამკუთხედს ყველა კუთხე აქვს 90 გრადუსზე ნაკლები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასეთი სამკუთხედის ყველა კუთხე მწვავეა.

მართკუთხა სამკუთხედს, რომელზეც სკოლის მოსწავლეები ყოველთვის ტიროდნენ თეორემების სიმრავლის გამო, აქვს ერთი კუთხე 90 გრადუსიანი მნიშვნელობით, ან, როგორც მას ასევე უწოდებენ, მართი.

ბლაგვი სამკუთხედი გამოირჩევა იმით, რომ მისი ერთ-ერთი კუთხე ბლაგვია, ანუ მისი მნიშვნელობა 90 გრადუსზე მეტია.

ტოლგვერდა სამკუთხედს აქვს ერთი და იგივე სიგრძის სამი გვერდი. ასეთ ფიგურაში ყველა კუთხე ასევე თანაბარია.

და ბოლოს, სამი გვერდის ტოლფერდა სამკუთხედში ორი ერთმანეთის ტოლია.

Გამორჩეული მახასიათებლები

ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები ასევე განაპირობებს მის მთავარ, მთავარ განსხვავებას - ორი გვერდის თანასწორობას. ამ თანაბარ გვერდებს ჩვეულებრივ უწოდებენ თეძოებს (ან, უფრო ხშირად, გვერდებს), მაგრამ მესამე მხარეს ეწოდება "ბაზა".

განხილულ ფიგურაში a = b.

ტოლფერდა სამკუთხედის მეორე ნიშანი მომდინარეობს სინუსების თეორემიდან. ვინაიდან a და b გვერდები ტოლია, მათი საპირისპირო კუთხის სინუსებიც ტოლია:

a/sin γ = b/sin α, საიდანაც გვაქვს: sin γ = sin α.

სინუსების ტოლობიდან გამომდინარეობს კუთხეების ტოლობა: γ = α.

ასე რომ, ტოლფერდა სამკუთხედის მეორე ნიშანი არის ფუძის მიმდებარე ორი კუთხის თანასწორობა.

მესამე ნიშანი. სამკუთხედში გამოიყოფა ისეთი ელემენტები, როგორიცაა სიმაღლე, ბისექტორი და მედიანა.

თუ ამოცანის ამოხსნის პროცესში აღმოჩნდება, რომ განხილულ სამკუთხედში ამ ელემენტებიდან რომელიმე ორი ემთხვევა: სიმაღლე ბისექტორთან; ბისექტორი მედიანით; მედიანა სიმაღლით - ნამდვილად შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სამკუთხედი არის ტოლფერდა.

ფიგურის გეომეტრიული თვისებები

1. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები. ფიგურის ერთ-ერთი გამორჩეული თვისებაა ფუძის მიმდებარე კუთხეების თანასწორობა:

<ВАС = <ВСА.

2. ზემოთ განხილული კიდევ ერთი თვისება: ტოლფერდა სამკუთხედში მედიანა, ბისექტორი და სიმაღლე იგივეა, თუ ისინი აგებულია მისი ზემოდან ფუძემდე.

3. ფუძეზე მდებარე წვეროებიდან გამოყვანილი ბისექტორების ტოლობა:

თუ AE არის BAC კუთხის ბისექტორი და CD არის BCA კუთხის ბისექტორი, მაშინ: AE = DC.

4. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები ასევე ითვალისწინებს სიმაღლეების თანასწორობას, რომლებიც გამოყვანილია ფუძის წვეროებიდან.

თუ სამკუთხედის ABC (სადაც AB = BC) სიმაღლეებს ავაგებთ A და C წვეროებიდან, მაშინ მიღებული სეგმენტები CD და AE ტოლი იქნება.

5. ძირში კუთხეებიდან გამოყვანილი მედიანებიც თანაბარი აღმოჩნდება.

ასე რომ, თუ AE და DC არის მედიანები, ანუ AD = DB და BE = EC, მაშინ AE = DC.

ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე

მათთან გვერდებისა და კუთხეების თანასწორობა გარკვეულ მახასიათებლებს შემოაქვს მოცემული ფიგურის ელემენტების სიგრძის გამოთვლაში.

ტოლფერდა სამკუთხედში სიმაღლე ყოფს ფიგურას 2 სიმეტრიულ მართკუთხა სამკუთხედად, რომელთა ჰიპოტენუსებია გვერდები. სიმაღლე ამ შემთხვევაში განისაზღვრება პითაგორას თეორემის მიხედვით, როგორც ფეხი.

სამკუთხედს შეიძლება ჰქონდეს სამივე გვერდი ტოლი, მაშინ მას ტოლგვერდა ეძახიან. ტოლგვერდა სამკუთხედში სიმაღლე განისაზღვრება ანალოგიურად, მხოლოდ გამოთვლებისთვის საკმარისია მხოლოდ ერთი მნიშვნელობის ცოდნა - ამ სამკუთხედის გვერდის სიგრძე.

თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ სიმაღლე სხვა გზით, მაგალითად, იცოდეთ ბაზა და მის მიმდებარე კუთხე.

ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა

განხილული სამკუთხედის ტიპი, გეომეტრიული მახასიათებლების გამო, წყდება საკმაოდ მარტივად საწყისი მონაცემების მინიმალური ნაკრებით. ვინაიდან ტოლფერდა სამკუთხედში მედიანა უდრის როგორც მის სიმაღლეს, ასევე მის ბისექტორს, მისი განსაზღვრის ალგორითმი არაფრით განსხვავდება ამ ელემენტების გამოთვლის თანმიმდევრობისგან.

მაგალითად, შეგიძლიათ განსაზღვროთ მედიანის სიგრძე ცნობილი გვერდითი გვერდით და კუთხის მნიშვნელობით წვეროზე.

როგორ განვსაზღვროთ პერიმეტრი

ვინაიდან განსახილველ პლანიმეტრულ ფიგურას ორი გვერდი ყოველთვის ტოლია, პერიმეტრის დასადგენად საკმარისია ვიცოდეთ ფუძის სიგრძე და ერთ-ერთი მხარის სიგრძე.

განვიხილოთ მაგალითი, როდესაც საჭიროა სამკუთხედის პერიმეტრის განსაზღვრა ცნობილი ფუძისა და სიმაღლის გათვალისწინებით.

პერიმეტრი უდრის ფუძის ჯამს და გვერდის სიგრძის ორჯერ. გვერდითი მხარე, თავის მხრივ, განისაზღვრება პითაგორას თეორემის გამოყენებით, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა. მისი სიგრძე უდრის სიმაღლის კვადრატისა და ფუძის ნახევარის კვადრატის ჯამის კვადრატულ ფესვს.

ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი

არ იწვევს, როგორც წესი, სირთულეებს და ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობის გამოთვლას. სამკუთხედის ფართობის დადგენის უნივერსალური წესი, როგორც ფუძის ნამრავლის ნახევრად და მისი სიმაღლე, გამოიყენება, რა თქმა უნდა, ჩვენს შემთხვევაში. თუმცა, ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები კვლავ აადვილებს ამოცანას.

დავუშვათ, რომ ვიცით სიმაღლე და ფუძის მიმდებარე კუთხე. თქვენ უნდა განსაზღვროთ ფიგურის ფართობი. თქვენ შეგიძლიათ ამის გაკეთება ამ გზით.

ვინაიდან ნებისმიერი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180°-ია, კუთხის სიდიდის დადგენა რთული არ არის. გარდა ამისა, სინუსების თეორემის მიხედვით შედგენილი პროპორციის გამოყენებით, განისაზღვრება სამკუთხედის ფუძის სიგრძე. ყველაფერი, ბაზა და სიმაღლე - საკმარისი მონაცემები ფართობის დასადგენად - ხელმისაწვდომია.

ტოლფერდა სამკუთხედის სხვა თვისებები

ტოლფერდა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრის პოზიცია დამოკიდებულია წვეროს კუთხეზე. ასე რომ, თუ ტოლფერდა სამკუთხედი მახვილკუთხაა, წრის ცენტრი მდებარეობს ფიგურის შიგნით.

ბლაგვი ტოლფერდა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი მის გარეთ მდებარეობს. და ბოლოს, თუ კუთხის მნიშვნელობა წვეროზე არის 90 °, ცენტრი მდებარეობს ზუსტად ფუძის შუაში, ხოლო წრის დიამეტრი გადის თავად ბაზაზე.

იმისათვის, რომ განვსაზღვროთ წრის რადიუსი, რომელიც შემოხაზულია ტოლფერდა სამკუთხედზე, საკმარისია გვერდითი გვერდის სიგრძე გავყოთ წვეროზე მდებარე კუთხის ნახევრის კოსინუსზე.

ორ თანაბარი გვერდის მქონე სამკუთხედს ტოლფერდა სამკუთხედი ეწოდება. ამ გვერდებს უწოდებენ გვერდებს, ხოლო მესამე მხარეს - ფუძეს. ამ სტატიაში მოგითხრობთ ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებებზე.

თეორემა 1

ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძესთან მდებარე კუთხეები ერთმანეთის ტოლია

თეორემის დადასტურება.

დავუშვათ, გვაქვს ტოლფერდა სამკუთხედი ABC, რომლის ფუძეა AB. მოდით შევხედოთ BAC სამკუთხედს. ეს სამკუთხედები, პირველი ნიშნით, ერთმანეთის ტოლია. ასეც არის, რადგან BC = AC, AC = BC, კუთხე ACB = კუთხე ACB. აქედან გამომდინარეობს, რომ კუთხე BAC = კუთხე ABC, რადგან ეს არის ჩვენი სამკუთხედების შესაბამისი კუთხეები, რომლებიც ერთმანეთის ტოლია. აქ არის ტოლფერდა სამკუთხედის კუთხეების თვისება.

თეორემა 2

მის ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედში მედიანა ასევე არის სიმაღლე და ბისექტორი

თეორემის დადასტურება.

ვთქვათ, გვაქვს ტოლფერდა სამკუთხედი ABC, რომლის ფუძეა AB და CD არის მედიანა, რომელიც ჩვენ დავხატეთ მის ფუძესთან. სამკუთხედებში ACD და BCD, კუთხე CAD = კუთხე CBD, როგორც შესაბამისი კუთხეები ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძეზე (თეორემა 1). ხოლო გვერდი AC = მხარე BC (ტოლფერდა სამკუთხედის განმარტებით). მხარე AD \u003d მხარე BD, ბოლოს და ბოლოს, წერტილი D ყოფს AB სეგმენტს თანაბარ ნაწილებად. აქედან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედი ACD = სამკუთხედი BCD.

ამ სამკუთხედების ტოლობიდან გვაქვს შესაბამისი კუთხეების ტოლობა. ანუ კუთხე ACD = კუთხე BCD და კუთხე ADC = კუთხე BDC. განტოლება 1 გულისხმობს, რომ CD არის ბისექტორი. და კუთხე ADC და კუთხე BDC მიმდებარე კუთხეებია და 2 ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ორივე სწორი კუთხეა. გამოდის, რომ CD არის სამკუთხედის სიმაღლე. ეს არის ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანას თვისება.

ახლა კი ცოტა ტოლფერდა სამკუთხედის ნიშნების შესახებ.

თეორემა 3

თუ სამკუთხედში ორი კუთხე თანაბარია, მაშინ სამკუთხედი ტოლფერდაა.

თეორემის დადასტურება.

ვთქვათ, გვაქვს სამკუთხედი ABC, რომელშიც კუთხე CAB = კუთხე CBA. სამკუთხედი ABC = სამკუთხედი BAC სამკუთხედებს შორის თანასწორობის მეორე კრიტერიუმით. ასეც არის, რადგან AB = BA; კუთხე CBA = კუთხე CAB, კუთხე CAB = კუთხე CBA. სამკუთხედების ასეთი ტოლობიდან გვაქვს სამკუთხედის შესაბამისი გვერდების ტოლობა - AC = BC. შემდეგ გამოდის, რომ სამკუთხედი ABC არის ტოლფერდა.

თეორემა 4

თუ რომელიმე სამკუთხედში მისი მედიანა ასევე არის მისი სიმაღლე, მაშინ ასეთი სამკუთხედი არის ტოლფერდა

თეორემის დადასტურება.

სამკუთხედში ABC ვხატავთ მედიანა CD-ს. სიმაღლეც იქნება. მართკუთხა სამკუთხედი ACD = მართკუთხა სამკუთხედი BCD, რადგან ფეხი CD მათთვის საერთოა, და ფეხი AD = ფეხი BD. აქედან გამომდინარეობს, რომ მათი ჰიპოტენუსები ერთმანეთის ტოლია, როგორც ტოლი სამკუთხედების შესაბამისი ნაწილები. ეს ნიშნავს, რომ AB = BC.

თეორემა 5

თუ სამკუთხედის სამი გვერდი უდრის სხვა სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ ეს სამკუთხედები თანმიმდევრულია

თეორემის დადასტურება.

დავუშვათ, გვაქვს სამკუთხედი ABC და სამკუთხედი A1B1C1, რომ გვერდები იყოს AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. განვიხილოთ ამ თეორემის დამტკიცება წინააღმდეგობით.

დავუშვათ, რომ ეს სამკუთხედები ერთმანეთის ტოლი არ არის. აქედან გამომდინარე გვაქვს, რომ კუთხე BAC არ არის B1A1C1 კუთხის ტოლი, ABC კუთხე არ არის A1B1C1 კუთხის ტოლი, კუთხე ACB არ არის ერთდროულად A1C1B1 კუთხის ტოლი. წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს სამკუთხედები ზემოაღნიშნული კრიტერიუმის მიხედვით ტოლი იქნებოდა.

დავუშვათ, რომ სამკუთხედი A1B1C2 = სამკუთხედი ABC. სამკუთხედის C2 წვერო დევს C1 წვეროსთან A1B1 წრფესთან შედარებით იმავე ნახევარსიბრტყეში. ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ C2 და C1 წვეროები არ ემთხვევა ერთმანეთს. დავუშვათ, რომ D წერტილი არის C1C2 სეგმენტის შუა წერტილი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ტოლფერდა სამკუთხედები B1C1C2 და A1C1C2, რომლებსაც აქვთ საერთო ფუძე C1C2. გამოდის, რომ მათი შუამავლები B1D და A1D ასევე მათი სიმაღლეა. ეს ნიშნავს, რომ წრფე B1D და წრფე A1D პერპენდიკულარულია C1C2 წრფეზე.

B1D და A1D აქვთ სხვადასხვა წერტილები B1 და A1 და ამიტომ ვერ ემთხვევა ერთმანეთს. მაგრამ ბოლოს და ბოლოს, C1C2 სწორი ხაზის D წერტილის მეშვეობით ჩვენ შეგვიძლია დავხატოთ მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი მის პერპენდიკულარულად. ჩვენ გვაქვს წინააღმდეგობა.

ახლა თქვენ იცით, რა თვისებები აქვს ტოლფერდა სამკუთხედს!

რომელშიც ორი გვერდი ტოლია სიგრძით. ტოლ გვერდებს გვერდითი ეწოდება, ხოლო მათ ბოლო უტოლ გვერდს ფუძე. განსაზღვრებით, რეგულარული სამკუთხედი ასევე ტოლფერდაა, მაგრამ საპირისპირო სიმართლე არ არის.

ტერმინოლოგია

თუ სამკუთხედს ორი ტოლი გვერდი აქვს, მაშინ ამ გვერდებს გვერდები ეწოდება, ხოლო მესამე მხარეს – ფუძე. გვერდების მიერ წარმოქმნილ კუთხეს ე.წ წვერის კუთხე, და კუთხეებს, რომელთა ერთ-ერთი მხარე ფუძეა, ეწოდება კუთხეები ბაზაზე.

Თვისებები

• ტოლფერდა სამკუთხედის ტოლი გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები ერთმანეთის ტოლია. ამ კუთხიდან გამოყვანილი ბისექტრები, მედიანა და სიმაღლეები ასევე ტოლია.
• ბისექტორი, მედიანა, სიმაღლე და ფუძესთან პერპენდიკულური ბისექტორი ემთხვევა ერთმანეთს. ჩაწერილი და შემოხაზული წრეების ცენტრები დევს ამ ხაზზე.

დაე იყოს აარის ტოლფერდა სამკუთხედის ორი ტოლი გვერდის სიგრძე, ბ- მესამე მხარის სიგრძე, თ- ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash alpha)$(კოსინუსების თეორემის დასკვნა);
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\backslash beta))$(კოსინუსების თეორემის დასკვნა);
• $b\; =\; 2a\backslash sin\backslash frac\backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\backslash cos\backslash alpha$(პროექციის თეორემა)

ჩაწერილი წრის რადიუსი შეიძლება გამოიხატოს ექვსი გზით, იმის მიხედვით, თუ რომელი პარამეტრია ცნობილი ტოლფერდა სამკუთხედის:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash ოპერატორის\; სახელი(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash მარჯვნივ)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash ოპერატორის\; სახელი(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash მარჯვნივ)$

კუთხეებიშეიძლება გამოიხატოს შემდეგი გზებით:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash ბეტა\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash ალფა;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(სინუსების თეორემა).
• კუთხის გარეშეც შეიძლება მოიძებნოს $(\backslash pi)$და $რ$. სამკუთხედი შუალედით არის გაყოფილი და მიღებულიორი ტოლი მართკუთხა სამკუთხედი, კუთხეები გამოითვლება:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

პერიმეტრიტოლფერდა სამკუთხედი გვხვდება შემდეგი გზით:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$(ა-პრიორიტეტი);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(სინუსების თეორემის დასკვნა).

მოედანისამკუთხედი გვხვდება შემდეგი გზით:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

Იხილეთ ასევე

დაწერეთ მიმოხილვა სტატიაზე "ტოლფერდა სამკუთხედი"

შენიშვნები

ნაწყვეტი, რომელიც ახასიათებს ტოლფერდა სამკუთხედს

მიუხედავად იმისა, რომ მისი ეშინოდათ, პეტერბურგში მარია დმიტრიევნას უყურებდნენ, როგორც კრეკერს და ამიტომ, მის მიერ ნათქვამი სიტყვებიდან, მათ შენიშნეს მხოლოდ უხეში სიტყვა და ჩურჩულით გაიმეორეს ერთმანეთში, ვარაუდობენ, რომ ეს სიტყვა შეიცავს ყველაფერს. ნათქვამის მარილი.
თავადი ვასილი, რომელიც ბოლო დროს განსაკუთრებით ხშირად ივიწყებდა მის ნათქვამს და ასჯერ იმეორებდა იგივეს, ამბობდა ყოველ ჯერზე, როცა შემთხვევით ნახავდა თავის ქალიშვილს.
- ელენე, j "ai un mot a vous dire," უთხრა მან, გვერდით გასწია და ხელი ჩამოიწია. Eh bien, ma chere infant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere infant… ne კონსულტაცია, თუ ვსაუბრობთ. C "est tout ce que je vous dis. [ელენე, რაღაც უნდა გითხრა. გავიგე რაღაცეების შესახებ... იცი. აბა, ჩემო ძვირფასო შვილო, შენ იცი, რომ მამაშენს გული უხარია, რომ შენ... იმდენი გაძელი... მაგრამ ძვირფასო შვილო... ისე მოიქეცი, როგორც გული გეტყვის, ეს ჩემი რჩევაა.] და მუდამ იმავე მღელვარების დამალვით, ლოყას ქალიშვილს ლოყაზე მიადო და წავიდა.
ბილიბინი, რომელსაც არ დაუკარგავს უჭკვიანესი ადამიანის რეპუტაცია და იყო ელენეს უინტერესო მეგობარი, ერთ-ერთი იმ მეგობარიდან, რომელიც ყოველთვის ჰყავთ ბრწყინვალე ქალებს, კაცების მეგობრები, რომლებიც ვერასოდეს გადაიქცევიან საყვარლის როლში, ბილიბინი ერთხელ წვრილმან კომიტში [პატარა ინტიმური წრე] უთხრა მეგობარს ელენეს მთელი საქმის ხედვა.
- ეკუტესი, ბილიბინე (ელენი ყოველთვის გვარებით ეძახდა ბილბინის მსგავს მეგობრებს), - და მის თეთრ რგოლებიან ხელს ფრაკის სახელოზე შეახო. - Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [მისმინე, ბილიბინ: მითხარი, როგორ ეტყოდი შენს დას, რა ვქნა? რომელი ორიდან?]
ბილიბინმა წარბებზე კანი შეკრა და ტუჩებზე ღიმილით დაფიქრდა.
”მითხრა, რომ გაოცებული ვარ”, - თქვა მან. - Comme veritable ami j "ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (ახალგაზრდა კაცი იყო), - თითი მოიქნია, "vous perdez pour toujours la შანსი d" epouser l "autre. et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) mesalliance en vous epousant, [შენ არ გამიკვირდები, იცი. როგორც ნამდვილი მეგობარი, მე დიდი ხანია ვფიქრობ შენს საქმეზე. ხედავ, თუ პრინცზე დაქორწინდები, სამუდამოდ დაკარგავ სხვისი ცოლად ყოფნის შესაძლებლობა და გარდა ამისა, სასამართლოც უკმაყოფილო დარჩება (იცით, აქ ხომ ნათესაობაა.) და თუ ძველ გრაფს დაქორწინდებით, მაშინ მისი ბოლო დღეების ბედნიერებას შეადგენთ და მაშინ... უფლისწულისთვის დამამცირებელი აღარ იქნება დიდგვაროვანის ქვრივზე გათხოვება.] – და ბილიბინმა ტყავი მოიხსნა.
– ვოილა უნამდვილო ამი! თქვა ელენემ გაბრწყინებულმა და კიდევ ერთხელ შეეხო ბილიბიპის სახელოზე ხელით. - Mais c "est que j" aime l "un et l" autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [აქ არის ნამდვილი მეგობარი! მაგრამ მე ორივე მიყვარს და არ მინდა ვინმეს განაწყენება. ორივეს ბედნიერებისთვის მზად ვიქნებოდი ჩემი სიცოცხლე გავწირო.] - თქვა მან.
ბილიბინმა მხრები აიჩეჩა და გამოხატა, რომ მასაც კი აღარ შეეძლო ასეთი მწუხარება.
„Une Maitresse Femme! Voila ce qui s "appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["კარგად გააკეთე ქალო! ასე ჰქვია კითხვის მტკიცედ დასმას. მას სურდა სამივეს ცოლი ერთდროულად ყოფილიყო. დრო.“ ფიქრობდა ბილიბინი.

Ტოლფერდა სამკუთხედიარის სამკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი ტოლია სიგრძით. თანაბარ მხარეებს უწოდებენ გვერდითი, ხოლო ბოლო - ფუძე. განსაზღვრებით, რეგულარული სამკუთხედი ასევე ტოლფერდაა, მაგრამ საპირისპირო სიმართლე არ არის.

Თვისებები

• ტოლფერდა სამკუთხედის ტოლი გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები ერთმანეთის ტოლია. ამ კუთხიდან გამოყვანილი ბისექტრები, მედიანა და სიმაღლეები ასევე ტოლია.
• ბისექტორი, მედიანა, სიმაღლე და ფუძესთან პერპენდიკულური ბისექტორი ემთხვევა ერთმანეთს. ჩაწერილი და შემოხაზული წრეების ცენტრები დევს ამ ხაზზე.
• ტოლი გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები ყოველთვის მკვეთრია (გამოდის მათი თანასწორობიდან).

დაე იყოს აარის ტოლფერდა სამკუთხედის ორი ტოლი გვერდის სიგრძე, ბ- მესამე მხარის სიგრძე, α და β - შესაბამისი კუთხეები, რ- შემოხაზული წრის რადიუსი, რ- წარწერის რადიუსი.

მხარეები შეგიძლიათ ნახოთ შემდეგნაირად:

კუთხეები შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრი შეიძლება გამოითვალოს რომელიმე შემდეგი გზით:

სამკუთხედის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ერთ-ერთი შემდეგი გზით:

(ჰერონის ფორმულა).

ნიშნები

• სამკუთხედის ორი კუთხე ტოლია.
• სიმაღლე იგივეა, რაც მედიანა.
• სიმაღლე ემთხვევა ბისექტორს.
• ბისექტორი იგივეა, რაც მედიანა.
• ორი სიმაღლე თანაბარია.
• ორი მედიანა ტოლია.
• ორი ბისექტორი ტოლია (შტაინერ-ლემუსის თეორემა).

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის "ტოლფერდა სამკუთხედი" სხვა ლექსიკონებში:

ISOSHELES TRIANGLE, სამკუთხედი, რომელსაც აქვს სიგრძეში ტოლი ორი გვერდი; ამ მხარეების კუთხეები ასევე ტოლია ... სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

და (მარტივი) სამკუთხედი, სამკუთხედი, ქმარი. 1. გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი ურთიერთგადამკვეთი სწორი ხაზით, რომლებიც ქმნიან სამ შიდა კუთხეს (მათ.). ბლაგვი სამკუთხედი. მწვავე სამკუთხედი. მართკუთხა სამკუთხედი....... უშაკოვის განმარტებითი ლექსიკონი

ISOSHELES, oy, oy: ტოლფერდა სამკუთხედი ორი თანაბარი გვერდით. | არსებითი სახელი ტოლფერდა და ცოლები. ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი. ს.ი. ოჟეგოვი, ნ.იუ. შვედოვა. 1949 1992... ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი

სამკუთხედი- ▲ სამკუთხედის მქონე მრავალკუთხედი უმარტივესი მრავალკუთხედია; მოცემულია 3 წერტილით, რომლებიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე. სამკუთხა. მწვავე კუთხე. მწვავე-კუთხოვანი. მართკუთხა სამკუთხედი: ფეხი. ჰიპოტენუზა. ტოლფერდა სამკუთხედი. ▼…… რუსული ენის იდეოგრაფიული ლექსიკონი

სამკუთხედი- სამკუთხედი1, რომლის a, m ან დეფ. ობიექტი, რომელსაც აქვს გეომეტრიული ფიგურის ფორმა, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი გადამკვეთი სწორი ხაზით, რომლებიც ქმნიან სამ შიდა კუთხეს. მან დაალაგა ქმრის წერილები, გაყვითლებული წინა ხაზის სამკუთხედები. სამკუთხედი2, a, m ... ... რუსული არსებითი სახელების განმარტებითი ლექსიკონი

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ სამკუთხედი (მნიშვნელობები). სამკუთხედი (ევკლიდეს სივრცეში) არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია სამი ხაზის სეგმენტით, რომლებიც აკავშირებს სამ არაწრფივ წერტილს. სამი წერტილი, ... ... ვიკიპედია

სამკუთხედი (მრავალკუთხედი)- სამკუთხედები: 1 მახვილი, მართკუთხა და ბლაგვი; 2 რეგულარული (ტოლგვერდა) და ტოლგვერდა; 3 ბისექტორი; 4 მედიანა და სიმძიმის ცენტრი; 5 სიმაღლე; 6 ორთოცენტრი; 7 შუა ხაზი. სამკუთხედი, მრავალკუთხედი 3 გვერდით. ხანდახან ქვეშ... ილუსტრირებული ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სამკუთხედი- ა; მ 1) ა) გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი გადამკვეთი სწორი ხაზით, რომლებიც ქმნიან სამ შიდა კუთხეს. მართკუთხა, ტოლფერდა სამკუთხედი/სელი. გამოთვალეთ სამკუთხედის ფართობი. ბ) რესპ. რა ან დეფით. ასეთი ფორმის ფიგურა ან ობიექტი ... ... მრავალი გამოთქმის ლექსიკონი

მაგრამ; მ 1. გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი გადამკვეთი სწორი ხაზით, რომლებიც ქმნიან სამ შიდა კუთხეს. მართკუთხა, ტოლფერდა მ. გამოთვალეთ სამკუთხედის ფართობი. // რა ან დეფ. ასეთი ფორმის ფიგურა ან ობიექტი. თ სახურავი. T.…… ენციკლოპედიური ლექსიკონი

საშინაო დავალების შემოწმება

№ 111.

მოცემული: CD = BD , 1 = 2

დაამტკიცე: ა ბ C - ტოლფერდა

№ 107.

მხარეს ა C AB-ზე 2-ჯერ ნაკლებია

P = 50 სმ,

P = 50 სმ

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

2 X

AC = 10 სმ,

AB = BC = 20 სმ

სამკუთხედებიდან რომელია ტოლფერდა? ტოლფერდა სამკუთხედებს დაასახელეთ ფუძე და გვერდები.

მოცემულია: AD არის ∆ BAC-ის ბისექტორი, BAC = 74 0. იპოვეთ: BA D. (ნახ.1)

მოცემულია: KL - სიმაღლე ∆ KMN. იპოვეთ: KLN. (ნახ.2)

მოცემული: QS - მედიანა ∆ PQR , PS = 5.3სმ. იპოვეთ: PR. (ნახ.3)

• მოცემულია: ∆ ABC ტოლფერდა ფუძით AC, VC ბისექტრი, AC = 46 სმ. იპოვეთ: AK. (ნახ.4)
• მოცემულია: ∆ ABC ტოლფერდა ფუძით AC, VC სიმაღლე, ABC=46 0 . იპოვნეთ: AVC. (ნახ.5)
• მოცემულია: ∆ C BD ტოლფერდა B C ფუძით, DA მედიანა, BDC=120 0 . იპოვეთ: adb. (ნახ.6)

მე-7 კლასი

ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები

სამი გზა მიდის ცოდნამდე:

ასახვის გზა ყველაზე კეთილშობილური გზაა,

მიბაძვის გზა ყველაზე მარტივი გზაა,

გამოცდილების გზა კი ყველაზე მწარე გზაა.

კონფუცი.

ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.

მოცემულია: ABC ტოლფერდა

დაამტკიცე:

მტკიცებულება:

1. დახაზეთ B კუთხის BD ბისექტრი.

2. განვიხილოთ ∆AB D და ∆CBD:

AB = BC (პირობით),

D-ში - საერთო მხარე,

∠ A BD = ∠ C BD

∆ АВD = ∆CBD (სამკუთხედების ტოლობის 1 ნიშნის მიხედვით)

3. ტოლ სამკუთხედებში შესაბამისი კუთხეებია ∠ A= ∠ C.

ტოლკუთხედის სამკუთხედში ფუძესთან მიზიდული ბისექტორი არის მედიანა და სიმაღლე.

მოცემული: ABC ტოლფერდა,

მაგრამ D- ბისექტორი .

დაამტკიცე: მაგრამ დ - სიმაღლე,

მაგრამ დ - მედიანა.

მტკიცებულება:

1) განიხილეთ და:

∆ BAD = ∆CAD (სამკუთხედების ტოლობის 1 კრიტერიუმის მიხედვით).

2) ტოლ სამკუთხედებში შესაბამისი გვერდები და კუთხეები ტოლია

1 = 2 = 90 ° (მიმდებარე კუთხეები).

ამიტომ, AD არის მედიანა და სიმაღლე ∆ ABC.

Პრობლემის გადაჭრა.

სავრასოვა S.M., Yastrebinetsky G.A. "პლანიმეტრიული სავარჯიშოები დასრულებულ ნახატებზე"

110

70

70

Პრობლემის გადაჭრა.

მოცემული: AB \u003d B C, 1 \u003d 130 0.

ლ.ს.ათანასიანი. „გეომეტრია 7-9“ No112.

Პრობლემის გადაჭრა.

იპოვეთ: AB D.

სამკუთხედი

ABC - ტოლფერდა

D არის მედიანა

ასე რომ, B D არის ბისექტორი

40 0

40 0

ᲡᲛ. სავრასოვა, გ.ა. იასტრებინეცკი "სავარჯიშოები დასრულებულ ნახატებზე"

Საშინაო დავალება:

• 19 (გვ. 35 - 36), No109, 112, 118.