\[(\დიდი(\ტექსტი(ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეები)))\]

განმარტებები

ცენტრალური კუთხე არის კუთხე, რომლის წვერო მდებარეობს წრის ცენტრში.

ჩაწერილი კუთხე არის კუთხე, რომლის წვერო დევს წრეზე.

წრის რკალის ხარისხი არის ცენტრალური კუთხის ხარისხი, რომელიც ეყრდნობა მას.

თეორემა

ჩაწერილი კუთხის ზომა არის რკალის ნახევარი, რომელსაც ის კვეთს.

მტკიცებულება

ჩვენ განვახორციელებთ მტკიცებულებას ორ ეტაპად: პირველი, ვამტკიცებთ დებულების მართებულობას იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ჩაწერილი კუთხის ერთ-ერთი მხარე შეიცავს დიამეტრს. წერტილი \(B\) იყოს ჩაწერილი კუთხის წვერო \(ABC\) და \(BC\) იყოს წრის დიამეტრი:

სამკუთხედი \(AOB\) არის ტოლფერდა, \(AO = OB\) , \(\კუთხე AOC\) არის გარე, შემდეგ \(\კუთხე AOC = \კუთხე OAB + \კუთხე ABO = 2\კუთხე ABC\), სად \(\კუთხე ABC = 0.5\cdot\კუთხე AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

ახლა განიხილეთ თვითნებური ჩაწერილი კუთხე \(ABC\) . შემოხაზული კუთხის წვეროდან დახაზეთ წრის დიამეტრი \(BD\). შესაძლებელია ორი შემთხვევა:

1) დიამეტრი ჭრის კუთხეს ორ კუთხად \(\კუთხე ABD, \კუთხე CBD\) (რომელთაგან თითოეულისთვის თეორემა ჭეშმარიტია, როგორც ზემოთ დადასტურდა, მაშასადამე, მართალია თავდაპირველი კუთხისთვისაც, რომელიც არის ამ კუთხების ჯამი. ორი და, შესაბამისად, უდრის რკალების ჯამის ნახევარს, რომელზედაც ისინი ეყრდნობიან, ანუ უდრის რკალის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა). ბრინჯი. ერთი.

2) დიამეტრმა არ გაჭრა კუთხე ორ კუთხედ, მაშინ გვაქვს კიდევ ორი ​​ახალი ჩაწერილი კუთხე \(\კუთხე ABD, \კუთხე CBD\) , რომლის გვერდი შეიცავს დიამეტრს, შესაბამისად, მათთვის თეორემა მართალია, მაშინ ის ასევე მართალია თავდაპირველი კუთხისთვის (რაც უდრის ამ ორი კუთხის სხვაობას, რაც იმას ნიშნავს, რომ უდრის რკალების ნახევრად სხვაობას, რომელზედაც ისინი ეყრდნობიან, ანუ უდრის რკალის ნახევარს, რომელზეც იგი ისვენებს). ბრინჯი. 2.

შედეგები

1. იმავე რკალზე დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხეები ტოლია.

2. ნახევარწრეში დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხე მართი კუთხეა.

3. ჩაწერილი კუთხე უდრის იმავე რკალზე დაფუძნებული ცენტრალური კუთხის ნახევარს.

\[(\დიდი(\ტექსტი(წრის ტანგენტი)))\]

განმარტებები

წრფისა და წრის ურთიერთმოწყობის სამი ტიპი არსებობს:

1) წრფე \(a\) კვეთს წრეს ორ წერტილში. ასეთ ხაზს სეკანტი ეწოდება. ამ შემთხვევაში მანძილი \(d\) წრის ცენტრიდან სწორ ხაზამდე ნაკლებია წრის \(R\) რადიუსზე (ნახ. 3).

2) წრფე \(b\) კვეთს წრეს ერთ წერტილში. ასეთ სწორ ხაზს ტანგენსი ეწოდება, ხოლო მათ საერთო წერტილს \(B\) - ტანგენტს. ამ შემთხვევაში \(d=R\) (ნახ. 4).

თეორემა

1. წრის ტანგენსი პერპენდიკულარულია შეხების წერტილამდე გამოყვანილ რადიუსზე.

2. თუ სწორი ხაზი გადის წრის რადიუსის ბოლოში და პერპენდიკულარულია ამ რადიუსზე, მაშინ ის ტანგენსია წრეზე.

შედეგი

ერთი წერტილიდან წრემდე გამოყვანილი ტანგენტების სეგმენტები ტოლია.

მტკიცებულება

დახაზეთ ორი ტანგენსი \(KA\) და \(KB\) წრეზე \(K\) წერტილიდან:

ასე რომ, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) რადიუსად. მართკუთხა სამკუთხედები \(\სამკუთხედი KAO\) და \(\სამკუთხედი KBO\) ტოლია ფეხისა და ჰიპოტენუზაში, შესაბამისად \(KA=KB\) .

შედეგი

წრის ცენტრი \(O\) დევს კუთხის ბისექტორზე \(AKB\), რომელიც წარმოიქმნება ერთი და იმავე წერტილიდან გამოყვანილი ორი ტანგენტით.

\[(\დიდი(\ტექსტი(კუთხებთან დაკავშირებული თეორემები)))\]

თეორემა სეკანტებს შორის კუთხის შესახებ

ერთი და იმავე წერტილიდან გამოყვანილ ორ სეკანტს შორის კუთხე უდრის მათ მიერ ამოჭრილი უფრო დიდი და პატარა რკალების ხარისხობრივი ზომების ნახევრად განსხვავებას.

მტკიცებულება

დაე, \(M\) იყოს წერტილი, საიდანაც გამოყვანილია ორი სეკანტი, როგორც ნაჩვენებია სურათზე:

მოდით ვაჩვენოთ ეს \(\ კუთხე DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\ Angle DAB\) არის სამკუთხედის გარე კუთხე \(MAD\) , შემდეგ \(\კუთხე DAB = \კუთხე DMB + \კუთხე MDA\), სად \(\კუთხე DMB = \კუთხე DAB - \კუთხე MDA\), მაგრამ კუთხეები \(\კუთხე DAB\) და \(\კუთხე MDA\) ჩაწერილია, მაშინ \(\კუთხე DMB = \კუთხე DAB - \კუთხე MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), რაც დასამტკიცებელი იყო.

კუთხის თეორემა გადამკვეთ აკორდებს შორის

კუთხე ორ გადამკვეთ აკორდს შორის უდრის მათ მიერ მოჭრილი რკალების გრადუსიანი ზომების ჯამის ნახევარს: \[\კუთხე CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

მტკიცებულება

\(\კუთხე BMA = \კუთხე CMD\) ვერტიკალურად.

სამკუთხედიდან \(AMD\) : \(\კუთხე AMD = 180^\circ - \კუთხე BDA - \კუთხე CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

მაგრამ \(\კუთხე AMD = 180^\circ - \კუთხე CMD\), საიდანაც ვასკვნით, რომ \[\კუთხე CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ღიმილი\over(CD)).\]

თეორემა აკორდსა და ტანგენტს შორის კუთხის შესახებ

ტანგენტსა და აკორდს შორის, რომელიც გადის ტანგენს წერტილს შორის, ტოლია აკორდით გამოკლებული რკალის გრადუსიანი ზომის ნახევარს.

მტკიცებულება

დაე, ხაზი \(a\) შეეხოს წრეს \(A\) წერტილში, \(AB\) იყოს ამ წრის აკორდი, \(O\) იყოს მისი ცენტრი. \(OB\) შემცველი წრფე გადაიკვეთოს \(a\) წერტილში \(M\) . ეს დავამტკიცოთ \(\ კუთხე BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

აღნიშნეთ \(\კუთხე OAB = \alpha\) . ვინაიდან \(OA\) და \(OB\) რადიუსია, მაშინ \(OA = OB\) და \(\ კუთხე OBA = \კუთხე OAB = \ალფა\). ამრიგად, \(\buildrel\smile\over(AB) = \კუთხე AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

ვინაიდან \(OA\) არის ტანგენტის წერტილთან დახატული რადიუსი, მაშინ \(OA\perp a\) , ანუ \(\კუთხე OAM = 90^\circ\) , შესაბამისად, \(\ კუთხე BAM = 90^\circ - \კუთხე OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

თეორემა თანაბარი აკორდებით შეკუმშულ რკალებზე

თანაბარი აკორდები ექვემდებარება თანაბარ რკალებს, უფრო მცირე ნახევარწრეებს.

და პირიქით: თანაბარი რკალი იკუმშება თანაბარი აკორდებით.

მტკიცებულება

1) მოდით \(AB=CD\) . დავამტკიცოთ, რომ რკალის პატარა ნახევარწრილები.

სამ მხარეს, შესაბამისად, \(\კუთხე AOB=\კუთხე COD\) . მაგრამ მას შემდეგ \(\კუთხე AOB, \კუთხე COD\) - ცენტრალური კუთხეები დაფუძნებული რკალებზე \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)შესაბამისად, მაშინ \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) თუ \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), მაშინ \(\სამკუთხედი AOB=\სამკუთხედი COD\)ორი გვერდის გასწვრივ \(AO=BO=CO=DO\) და კუთხე მათ შორის \(\კუთხე AOB=\კუთხე COD\) . ამიტომ, \(AB=CD\) .

თეორემა

თუ რადიუსი ორად ყოფს აკორდს, მაშინ ის მის პერპენდიკულარულია.

პირიქითაც მართალია: თუ რადიუსი აკორდის პერპენდიკულარულია, მაშინ გადაკვეთის წერტილი მას ორად ყოფს.

მტკიცებულება

1) მოდით \(AN=NB\) . მოდით დავამტკიცოთ, რომ \(OQ\perp AB\) .

განვიხილოთ \(\სამკუთხედი AOB\) : ის არის ტოლფერდა, რადგან \(OA=OB\) – წრის რადიუსი. იმიტომ რომ \(ON\) არის შუამავალი, რომელიც დახატულია ფუძემდე, შემდეგ ის ასევე არის სიმაღლე, აქედან გამომდინარე, \(ON\perp AB\) .

2) მოდით \(OQ\perp AB\) . მოდით დავამტკიცოთ, რომ \(AN=NB\) .

ანალოგიურად, \(\სამკუთხედი AOB\) არის ტოლფერდა, \(ON\) არის სიმაღლე, ამიტომ \(ON\) არის მედიანა. ამიტომ, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(თეორემები, რომლებიც დაკავშირებულია სეგმენტების სიგრძეებთან)))\]

თეორემა აკორდების სეგმენტების ნამრავლის შესახებ

თუ წრის ორი აკორდი იკვეთება, მაშინ ერთი აკორდის სეგმენტების ნამრავლი უდრის მეორე აკორდის სეგმენტების ნამრავლს.

მტკიცებულება

მოდით, აკორდები \(AB\) და \(CD\) გადაიკვეთონ \(E\) წერტილში.

განვიხილოთ სამკუთხედები \(ADE\) და \(CBE\) . ამ სამკუთხედებში კუთხეები \(1\) და \(2\) ტოლია, რადგან ისინი ჩაწერილია და ეყრდნობა იმავე რკალს \(BD\) , ხოლო კუთხეები \(3\) და \(4\) ტოლია როგორც ვერტიკალური. სამკუთხედები \(ADE\) და \(CBE\) მსგავსია (პირველი სამკუთხედის მსგავსების კრიტერიუმის მიხედვით).

მერე \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), საიდანაც \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

ტანგენსი და სეკანტური თეორემა

ტანგენტის სეგმენტის კვადრატი უდრის სეკანტისა და მისი გარე ნაწილის ნამრავლს.

მტკიცებულება

დაე, ტანგენსმა გაიაროს \(M\) წერტილი და შეეხო წრეს \(A\) წერტილში. დაე, სეკანტი გაიაროს \(M\) წერტილში და გადაკვეთოს წრე \(B\) და \(C\) წერტილებზე ისე, რომ \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

განვიხილოთ სამკუთხედები \(MBA\) და \(MCA\) : \(\კუთხე M\) ზოგადია, \(\ კუთხე BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). ტანგენტსა და სეკანტს შორის კუთხის თეორემის მიხედვით, \(\კუთხე BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \კუთხე BCA\). ამრიგად, სამკუთხედები \(MBA\) და \(MCA\) მსგავსია ორ კუთხით.

სამკუთხედების \(MBA\) და \(MCA\) მსგავსებიდან გვაქვს: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), რომელიც უდრის \(MB\cdot MC = MA^2\) .

შედეგი

\(O\) წერტილიდან დახატული სეკანტის ნამრავლი და მისი გარე ნაწილი არ არის დამოკიდებული \(O\) წერტილიდან გამოყვანილი სეკანტის არჩევანზე.

ყველაზე ხშირად, მათემატიკაში გამოცდისთვის მომზადების პროცესი იწყება ძირითადი განმარტებების, ფორმულებისა და თეორემების განმეორებით, მათ შორის თემით „ცენტრალური და ჩაწერილი წრის კუთხით“. როგორც წესი, პლანიმეტრიის ამ მონაკვეთს უმაღლეს სასწავლებლებში სწავლობენ. გასაკვირი არ არის, რომ ბევრ სტუდენტს აწყდება ძირითადი ცნებებისა და თეორემების გამეორების აუცილებლობა თემაზე „წრის ცენტრალური კუთხე“. ასეთი პრობლემების გადაჭრის ალგორითმის გარკვევით, სკოლის მოსწავლეებს შეეძლებათ ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარების შედეგების საფუძველზე კონკურენტული ქულების დათვლა.

როგორ მარტივად და ეფექტურად მოვემზადოთ სასერტიფიკაციო ტესტისთვის?

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩაბარებამდე სწავლისას ბევრ საშუალო სკოლის მოსწავლეს აწყდება საჭირო ინფორმაციის მოძიების პრობლემა თემაზე „ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეები წრეში“. ყოველთვის არ არის სასკოლო სახელმძღვანელო ხელთ. და ინტერნეტში ფორმულების ძებნას ზოგჯერ დიდი დრო სჭირდება.

ჩვენი საგანმანათლებლო პორტალი დაგეხმარებათ თქვენი უნარ-ჩვევების „დატუმბვაში“ და ცოდნის გაუმჯობესებაში გეომეტრიის ისეთ რთულ მონაკვეთში, როგორიც არის პლანიმეტრია. შკოლკოვო გიმნაზიელებს და მათ მასწავლებლებს იწვევს ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების პროცესი ახლებურად ააწყონ. ყველა ძირითადი მასალა წარმოდგენილია ჩვენი სპეციალისტების მიერ ყველაზე ხელმისაწვდომი ფორმით. განყოფილებაში „თეორიული მითითება“ ინფორმაციის განხილვის შემდეგ მოსწავლეები გაეცნობიან, რა თვისებები აქვს წრის ცენტრალურ კუთხეს, როგორ იპოვონ მისი მნიშვნელობა და ა.შ.

შემდეგ მიღებული ცოდნის გასამყარებლად და უნარ-ჩვევების გასავითარებლად გირჩევთ შეასრულოთ შესაბამისი ვარჯიშები. წრეში ჩაწერილი კუთხის მნიშვნელობის და სხვა პარამეტრების საპოვნელად დავალებების დიდი არჩევანი წარმოდგენილია კატალოგის განყოფილებაში. თითოეული სავარჯიშოსთვის, ჩვენმა ექსპერტებმა ჩაწერეს ამოხსნის დეტალური კურსი და მიუთითეს სწორი პასუხი. საიტზე არსებული ამოცანების ჩამონათვალი მუდმივად ავსებს და განახლდება.

საშუალო სკოლის მოსწავლეებს შეუძლიათ გამოცდისთვის მომზადება სავარჯიშოების პრაქტიკით, მაგალითად, ცენტრალური კუთხის მნიშვნელობის და წრის რკალის სიგრძის პოვნა, ონლაინ, რუსეთის ნებისმიერ რეგიონში ყოფნისას.

საჭიროების შემთხვევაში, დასრულებული დავალება შეიძლება შეინახოს "რჩეულები" განყოფილებაში, რათა მოგვიანებით დაუბრუნდეთ მას და კიდევ ერთხელ გააანალიზოთ მისი გადაწყვეტის პრინციპი.

წრე და წრე. ცილინდრი.

§ 76. ჩაწერილი და ზოგიერთი სხვა კუთხე.

1. ჩაწერილი კუთხე.

კუთხეს, რომლის წვერო წრეზეა და გვერდები აკორდებია, ჩაწერილი კუთხე ეწოდება.

ABC კუთხე არის ჩაწერილი კუთხე. იგი ეყრდნობა მის გვერდებს შორის ჩასმული AC რკალს (სურ. 330).

თეორემა. ჩაწერილი კუთხე იზომება რკალის ნახევარით, რომელსაც ის კვეთს.

ეს ასე უნდა გავიგოთ: ჩაწერილი კუთხე შეიცავს იმდენ კუთხურ გრადუსს, წუთს და წამს, რამდენიც რკალის გრადუსს, წუთები და წამები შეიცავს რკალის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა.

ამ თეორემის დასამტკიცებლად სამი შემთხვევა უნდა განვიხილოთ.

პირველი შემთხვევა. წრის ცენტრი დევს ჩაწერილი კუთხის მხარეს (სურ. 331).

დაე იყოს / ABC არის ჩაწერილი კუთხე და O წრის ცენტრი მდებარეობს BC მხარეს. საჭიროა დაამტკიცოს, რომ იგი იზომება AC რკალის ნახევარით.

დააკავშირეთ A წერტილი წრის ცენტრთან. მიიღეთ ტოლფერდა /\ AOB, რომელშიც
AO = OB, როგორც იმავე წრის რადიუსი. აქედან გამომდინარე, / A = / AT. / AOC გარეა AOB სამკუთხედისთვის, ასე რომ / AOC = / A+ / B (§ 39, პუნქტი 2), და რადგან კუთხეები A და B ტოლია, მაშინ / B არის 1/2 / AOC.

მაგრამ / AOC იზომება AC რკალით, ამიტომ, / B იზომება AC რკალის ნახევარით.

მაგალითად, თუ AC შეიცავს 60° 18", მაშინ / B შეიცავს 30°9"

მეორე შემთხვევა. წრის ცენტრი დევს ჩაწერილი კუთხის გვერდებს შორის (სურ. 332).

დაე იყოს / ABD არის ჩაწერილი კუთხე. O წრის ცენტრი მდებარეობს მის გვერდებს შორის. ამის დამტკიცებაა საჭირო / ABD იზომება AD რკალის ნახევარით.

ამის დასამტკიცებლად დავხატოთ დიამეტრი ძვ.წ. კუთხე ABD იყოფა ორ კუთხედ: / 1 და / 2.

/ 1 იზომება AC რკალის ნახევარით და / 2 იზომება რკალის CD-ის ნახევარით, შესაბამისად, მთლიანი / ABD იზომება 1/2 AC + 1/2 CD, ანუ AD რკალის ნახევარი.
მაგალითად, თუ AD შეიცავს 124°-ს, მაშინ / B შეიცავს 62°.

მესამე შემთხვევა. წრის ცენტრი დევს ჩაწერილი კუთხის გარეთ (სურ. 333).

დაე იყოს / MAd - ჩაწერილი კუთხე. O წრის ცენტრი კუთხის გარეთაა. ამის დამტკიცებაა საჭირო / MAD იზომება MD რკალის ნახევარით.

ამის დასამტკიცებლად დავხატოთ დიამეტრი AB. / MAd = / MAV- / DAB. მაგრამ / MAV იზომება 1/2 MV და / DAB იზომება 1/2 DB-ით. აქედან გამომდინარე, / MAD იზომება
1/2 (MB - DB), ანუ 1/2 MD.
მაგალითად, თუ MD შეიცავს 48° 38"16", მაშინ / MAD შეიცავს 24° 19" 8".

შედეგები. ერთი. ყველა ჩაწერილი კუთხე, რომელიც დაფუძნებულია იმავე რკალზე, ერთმანეთის ტოლია, რადგან ისინი იზომება იმავე რკალის ნახევარით. (ნახაზი 334, ა).

2. დიამეტრზე დაფუძნებული ჩაწერილი კუთხე არის სწორი კუთხე, რადგან ის ეფუძნება წრის ნახევარს. წრის ნახევარი შეიცავს 180 რკალის გრადუსს, რაც ნიშნავს, რომ დიამეტრის მიხედვით დაფუძნებული კუთხე შეიცავს 90 კუთხურ გრადუსს (სურ. 334, ბ).

2. ტანგენტითა და აკორდით წარმოქმნილი კუთხე.

თეორემა.ტანგენტისა და აკორდის მიერ წარმოქმნილი კუთხე იზომება მის გვერდებს შორის ჩასმული რკალის ნახევრით.

დაე იყოს / CAB შედგება აკორდის SA და AB ტანგენტისგან (ნახ. 335). საჭიროა დაამტკიცოს, რომ იგი იზომება SA-ის ნახევარით. გავავლოთ CD ხაზი C || წერტილში AB. ჩაწერილი / ACD იზომება AD რკალის ნახევარით, მაგრამ AD = CA, რადგან ისინი ჩასმულია ტანგენტსა და მის პარალელურ აკორდს შორის. აქედან გამომდინარე, / DCA იზომება CA რკალის ნახევარით. მას შემდეგ / CAB = / DCA, შემდეგ ის ასევე იზომება CA რკალის ნახევარით.

Სავარჯიშოები.

1. 336 ნახატზე იპოვეთ წრეზე ტანგენსი ბლოკები.

2. 337-ე ნახაზის მიხედვით, ა, დაამტკიცეთ, რომ კუთხე ADC იზომება AC და BK რკალების ჯამის ნახევარით.

3. 337 ნახაზის მიხედვით, b, დაამტკიცეთ, რომ AMB კუთხე იზომება AB და CE რკალების ნახევრად სხვაობით.

4. A წერტილის გავლით, რომელიც დევს წრის შიგნით, სახატავი სამკუთხედის დახმარებით გავავლოთ აკორდი ისე, რომ A წერტილში შუაზე გაიყოს.

5. სახატავი სამკუთხედის გამოყენებით გაყავით რკალი 2, 4, 8... თანაბარ ნაწილად.

6. აღწერეთ მოცემული რადიუსით წრე, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში. რამდენი გამოსავალი აქვს პრობლემას?

7. რამდენი წრე შეიძლება გაივლოს მოცემულ წერტილში?

პლანიმეტრია არის გეომეტრიის ფილიალი, რომელიც სწავლობს სიბრტყე ფიგურების თვისებებს. ეს მოიცავს არა მხოლოდ ცნობილ სამკუთხედებს, კვადრატებს, მართკუთხედებს, არამედ სწორ ხაზებსა და კუთხეებს. პლანიმეტრიაში ასევე არის ისეთი ცნებები, როგორიცაა კუთხეები წრეში: ცენტრალური და ჩაწერილი. მაგრამ რას გულისხმობენ ისინი?

რა არის ცენტრალური კუთხე?

იმისათვის, რომ გაიგოთ რა არის ცენტრალური კუთხე, თქვენ უნდა განსაზღვროთ წრე. წრე არის მოცემული წერტილიდან (წრის ცენტრიდან) თანაბარი მანძილის ყველა წერტილის ერთობლიობა.

ძალზე მნიშვნელოვანია მისი წრისგან გარჩევა. უნდა გვახსოვდეს, რომ წრე არის დახურული ხაზი, ხოლო წრე არის მისით შემოსაზღვრული სიბრტყის ნაწილი. წრე შეიძლება ჩაიწეროს მრავალკუთხედით ან კუთხით.

ცენტრალური კუთხე არის კუთხე, რომლის წვერო ემთხვევა წრის ცენტრს და რომლის გვერდები კვეთენ წრეს ორ წერტილში. რკალს, რომელსაც კუთხე საზღვრავს მისი გადაკვეთის წერტილებით, ეწოდება რკალი, რომელსაც ეყრდნობა მოცემული კუთხე.

განვიხილოთ მაგალითი #1.

სურათზე AOB კუთხე ცენტრალურია, რადგან კუთხის წვერო და წრის ცენტრი არის ერთი წერტილი O. ის ეყრდნობა AB რკალს, რომელიც არ შეიცავს C წერტილს.

რით განსხვავდება ჩაწერილი კუთხე ცენტრალური კუთხისგან?

თუმცა ცენტრალურების გარდა არის ჩაწერილი კუთხეებიც. რა განსხვავებაა მათ შორის? ისევე, როგორც ცენტრალური, წრეში ჩაწერილი კუთხე ეყრდნობა გარკვეულ რკალს. მაგრამ მისი წვერო არ ემთხვევა წრის ცენტრს, არამედ დევს მასზე.

ავიღოთ შემდეგი მაგალითი.

კუთხე ACB ეწოდება კუთხეს, რომელიც ჩაწერილია წრეში, რომელიც ცენტრშია O წერტილში. წერტილი C მიეკუთვნება წრეს, ანუ დევს მასზე. კუთხე ეყრდნობა AB რკალს.

იმისათვის, რომ წარმატებით გაუმკლავდეთ დავალებებს გეომეტრიაში, საკმარისი არ არის წარწერიანი და ცენტრალური კუთხის გარჩევა. როგორც წესი, მათი გადასაჭრელად, თქვენ ზუსტად უნდა იცოდეთ როგორ იპოვოთ ცენტრალური კუთხე წრეში და შეძლოთ მისი მნიშვნელობის გამოთვლა გრადუსებში.

ასე რომ, ცენტრალური კუთხე უდრის რკალის ხარისხის ზომას, რომელზეც ის ეყრდნობა.

სურათზე AOB კუთხე ეფუძნება AB რკალს, ტოლია 66 °. ასე რომ, კუთხე AOB ასევე უდრის 66°-ს.

ამრიგად, თანაბარ რკალებზე დაფუძნებული ცენტრალური კუთხეები ტოლია.

ნახატზე რკალი DC უდრის რკალს AB. ასე რომ, კუთხე AOB უდრის კუთხეს DOC.

შეიძლება ჩანდეს, რომ წრეში ჩაწერილი კუთხე ტოლია ცენტრალური კუთხისა, რომელიც ეყრდნობა იმავე რკალს. თუმცა, ეს უხეში შეცდომაა. სინამდვილეში, თუნდაც მხოლოდ ნახატის დათვალიერება და ამ კუთხეების ერთმანეთთან შედარება, ხედავთ, რომ მათი ხარისხის ზომები განსხვავებული მნიშვნელობები იქნება. რა არის წრეში ჩაწერილი კუთხე?

ჩაწერილი კუთხის გრადუსის ზომა უდრის რკალის ნახევარს, რომელზეც ის ეყრდნობა, ან ცენტრალური კუთხის ნახევარს, თუ ისინი ეყრდნობა იმავე რკალს.

განვიხილოთ მაგალითი. კუთხე ACB დაფუძნებულია რკალზე, რომელიც ტოლია 66°.

აქედან გამომდინარე, კუთხე ACB = 66°: 2 = 33°

მოდით განვიხილოთ ამ თეორემის რამდენიმე შედეგი.

• ჩაწერილი კუთხეები, თუ ისინი დაფუძნებულია იმავე რკალზე, აკორდზე ან ტოლ რკალზე, ტოლია.
• თუ ჩაწერილი კუთხეები ეფუძნება ერთსა და იმავე აკორდს, მაგრამ მათი წვეროები დევს მის მოპირდაპირე მხარეს, ასეთი კუთხის გრადუსის ზომების ჯამია 180 °, რადგან ამ შემთხვევაში ორივე კუთხე ემყარება რკალებს, რომელთა გრადუსის ზომაა. არის 360 ° მთლიანობაში (მთელი წრე), 360 °: 2 = 180 °
• თუ ჩაწერილი კუთხე ეფუძნება მოცემული წრის დიამეტრს, მისი გრადუსის ზომაა 90°, ვინაიდან დიამეტრი რკალს უდრის 180°, 180°: 2 = 90°.
• თუ წრეში ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეები დაფუძნებულია იმავე რკალზე ან აკორდზე, მაშინ ჩაწერილი კუთხე უდრის ცენტრალური კუთხის ნახევარს.

სად შეიძლება იყოს ამოცანები ამ თემაზე? მათი ტიპები და გადაწყვეტილებები

ვინაიდან წრე და მისი თვისებები გეომეტრიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მონაკვეთია, კერძოდ, პლანიმეტრია, წრეში ჩაწერილი და ცენტრალური კუთხეები არის თემა, რომელიც ფართოდ და საფუძვლიანად არის შესწავლილი სკოლის კურსში. მათი თვისებებისადმი მიძღვნილი ამოცანები გვხვდება მთავარ სახელმწიფო გამოცდაში (OGE) და ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში (USE). როგორც წესი, ამ პრობლემების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხეები წრეზე გრადუსით.

ერთ რკალზე დაფუძნებული კუთხეები

ამ ტიპის პრობლემა, ალბათ, ერთ-ერთი ყველაზე მარტივია, რადგან მის გადასაჭრელად თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ ორი მარტივი თვისება: თუ ორივე კუთხე ჩაწერილია და ეყრდნობა ერთსა და იმავე აკორდს, ისინი ტოლია, თუ რომელიმე მათგანი ცენტრალურია, მაშინ შესაბამისი. ჩაწერილი კუთხე მისი ნახევარია. თუმცა, მათი გადაჭრისას ძალიან ფრთხილად უნდა იყოთ: ზოგჯერ ძნელია ამ თვისების შემჩნევა და სტუდენტები, ასეთი მარტივი პრობლემების გადაჭრისას, ჩიხში ხვდებიან. განვიხილოთ მაგალითი.

დავალება #1

მოცემულია წრე, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილში. კუთხე AOB არის 54°. იპოვეთ კუთხის ხარისხიანი ზომა DIA.

ეს ამოცანა მოგვარებულია ერთი ნაბიჯით. ერთადერთი, რაც გჭირდებათ იმისთვის, რომ სწრაფად იპოვოთ პასუხი, არის შეამჩნიოთ, რომ რკალი, რომელზეც ორივე კუთხე ეყრდნობა, საერთოა. ამის დანახვისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ უკვე ნაცნობი თვისება. კუთხე ACB არის AOB კუთხის ნახევარი. ნიშნავს,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

პასუხი: 54°.

ერთი და იმავე წრის სხვადასხვა რკალზე დაფუძნებული კუთხეები

ზოგჯერ, პრობლემის პირობებში, რკალის სიდიდე, რომელზეც დაფუძნებულია სასურველი კუთხე, პირდაპირ არ არის დადგენილი. მისი გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გააანალიზოთ ამ კუთხეების სიდიდე და შეადაროთ ისინი წრის ცნობილ თვისებებს.

დავალება 2

O-ზე ორიენტირებულ წრეში AOC კუთხე არის 120°, ხოლო AOB კუთხე 30°. იპოვე კუთხე შენ.

დასაწყისისთვის, ღირს იმის თქმა, რომ ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია ტოლფერდა სამკუთხედების თვისებების გამოყენებით, მაგრამ ამას მეტი მათემატიკური ოპერაციები დასჭირდება. მაშასადამე, აქ ჩვენ გავაანალიზებთ ამონახსნებს წრეში ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეების თვისებების გამოყენებით.

ასე რომ, AOC კუთხე ეყრდნობა AC რკალს და არის ცენტრალური, რაც ნიშნავს, რომ რკალი AC უდრის AOC კუთხეს.

ანალოგიურად, AOB კუთხე ეყრდნობა AB რკალს.

იცის ეს და მთელი წრის ხარისხიანი ზომა (360°), ადვილად შეიძლება ვიპოვოთ რკალის სიდიდე BC.

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

CAB კუთხის წვერო, წერტილი A, დევს წრეზე. აქედან გამომდინარე, კუთხე CAB არის ჩაწერილი და უდრის CB რკალის ნახევარს.

CAB კუთხე = 210°: 2 = 110°

პასუხი: 110°

რკალების შეფარდებაზე დაფუძნებული ამოცანები

ზოგიერთი პრობლემა საერთოდ არ შეიცავს კუთხეების მონაცემებს, ამიტომ საჭიროა მათი მოძიება მხოლოდ ცნობილი თეორემებისა და წრის თვისებების საფუძველზე.

დავალება 1

იპოვეთ წრეში ჩაწერილი კუთხე, რომელსაც მხარს უჭერს მოცემული წრის რადიუსის ტოლი აკორდი.

თუ გონებრივად დახაზავთ ხაზებს, რომლებიც აკავშირებს სეგმენტის ბოლოებს წრის ცენტრთან, მიიღებთ სამკუთხედს. მისი შესწავლის შემდეგ, ხედავთ, რომ ეს ხაზები არის წრის რადიუსი, რაც ნიშნავს, რომ სამკუთხედის ყველა მხარე თანაბარია. ჩვენ ვიცით, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედის ყველა კუთხე არის 60°. მაშასადამე, რკალი AB, რომელიც შეიცავს სამკუთხედის წვეროს, უდრის 60°-ს. აქედან ვპოულობთ რკალს AB, რომელზეც ეყრდნობა საჭირო კუთხე.

AB = 360° - 60° = 300°

კუთხე ABC = 300°: 2 = 150°

პასუხი: 150°

დავალება 2

წრეში, რომელიც ცენტრშია O წერტილში, რკალი დაკავშირებულია 3:7. იპოვეთ ყველაზე პატარა ჩაწერილი კუთხე.

ამოხსნისთვის ერთ ნაწილს აღვნიშნავთ როგორც X, შემდეგ ერთი რკალი არის 3X, ხოლო მეორე, შესაბამისად, 7X. იმის ცოდნა, რომ წრის გრადუსის ზომა არის 360 °, ჩვენ გავაკეთებთ განტოლებას.

3X + 7X = 360°

მდგომარეობის მიხედვით, თქვენ უნდა იპოვოთ უფრო მცირე კუთხე. ცხადია, თუ კუთხის მნიშვნელობა პირდაპირპროპორციულია რკალისა, რომელზეც ის ეყრდნობა, მაშინ სასურველი (პატარა) კუთხე შეესაბამება 3X-ის ტოლ რკალს.

ასე რომ, პატარა კუთხე არის (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54°

პასუხი: 54°

წრეში, რომელიც ცენტრშია O წერტილში, კუთხე AOB არის 60°, ხოლო პატარა რკალის სიგრძე 50. გამოთვალეთ დიდი რკალის სიგრძე.

უფრო დიდი რკალის სიგრძის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გააკეთოთ პროპორცია - როგორ უკავშირდება პატარა რკალი უფრო დიდს. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ ორივე რკალის სიდიდეს გრადუსებში. პატარა რკალი უდრის მასზე დაყრდნობილი კუთხის. მისი ხარისხი არის 60°. ძირითადი რკალი უდრის სხვაობას წრის ხარისხობრივ ზომას შორის (ის უდრის 360°-ს, მიუხედავად სხვა მონაცემებისა) და მცირე რკალს შორის.

ძირითადი რკალი არის 360° - 60° = 300°.

ვინაიდან 300°: 60° = 5, უფრო დიდი რკალი 5-ჯერ უფრო მცირეა.

დიდი რკალი = 50 * 5 = 250

ასე რომ, რა თქმა უნდა, არსებობს სხვა მიდგომები მსგავსი პრობლემების გადასაჭრელად, მაგრამ ყველა მათგანი რატომღაც ეფუძნება ცენტრალური და ჩაწერილი კუთხეების, სამკუთხედების და წრეების თვისებებს. მათი წარმატებით გადაჭრისთვის, თქვენ უნდა ყურადღებით შეისწავლოთ ნახატი და შეადაროთ იგი პრობლემის მონაცემებს, ასევე შეძლოთ თქვენი თეორიული ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენება.

დღეს ჩვენ განვიხილავთ სხვა ტიპის პრობლემებს 6 - ამჯერად წრეში. ბევრ სტუდენტს არ მოსწონს ისინი და უჭირს. და ეს სრულიად უშედეგოა, რადგან ასეთი ამოცანები მოგვარებულია ელემენტარულითუ იცით თეორემები. ან საერთოდ ვერ ბედავენ, თუ არ იცნობენ.

სანამ მთავარ თვისებებზე ვისაუბრებ, ნება მომეცით შეგახსენოთ განმარტება:

ჩაწერილი კუთხე არის ის, რომლის წვერო დევს თავად წრეზე და გვერდები ჭრიან აკორდს ამ წრეზე.

ცენტრალური კუთხე არის ნებისმიერი კუთხე წრის ცენტრში წვეროთი. მისი გვერდებიც კვეთს ამ წრეს და აკორდს კვეთს მასზე.

ასე რომ, ჩაწერილი და ცენტრალური კუთხის ცნებები განუყოფლად არის დაკავშირებული მის შიგნით წრესთან და აკორდებთან. ახლა მთავარი განცხადება:

თეორემა. ცენტრალური კუთხე ყოველთვის ორჯერ აღემატება ჩაწერილ კუთხეს იმავე რკალის საფუძველზე.

განცხადების სიმარტივის მიუხედავად, არსებობს პრობლემების მთელი კლასი 6, რომლებიც მოგვარებულია მისი დახმარებით - და სხვა არაფერი.

დავალება. იპოვეთ მკვეთრი ჩაწერილი კუთხე წრის რადიუსის ტოლი აკორდის საფუძველზე.

მოდით AB იყოს განხილული აკორდი, O წრის ცენტრი. დამატებითი კონსტრუქცია: OA და OB არის წრის რადიუსი. ჩვენ ვიღებთ:

განვიხილოთ სამკუთხედი ABO. მასში AB = OA = OB - ყველა მხარე ტოლია წრის რადიუსის. ამიტომ სამკუთხედი ABO ტოლგვერდაა და მასში ყველა კუთხე არის 60°.

M იყოს ჩაწერილი კუთხის წვერო. ვინაიდან კუთხეები O და M დაფუძნებულია იმავე AB რკალზე, ჩაწერილი კუთხე M 2-ჯერ ნაკლებია ცენტრალურ კუთხეზე O. Ჩვენ გვაქვს:

M=O:2=60:2=30

დავალება. ცენტრალური კუთხე 36°-ით მეტია იმავე წრიულ რკალზე დაფუძნებულ ჩაწერილ კუთხეზე. იპოვეთ ჩაწერილი კუთხე.

შემოვიღოთ აღნიშვნა:

1. AB არის წრის აკორდი;
2. წერტილი O არის წრის ცენტრი, ამიტომ კუთხე AOB ცენტრალურია;
3. წერტილი C არის ჩაწერილი კუთხის ACB წვერო.

ვინაიდან ჩვენ ვეძებთ ჩაწერილ კუთხეს ACB , ავღნიშნოთ ის ACB = x . მაშინ ცენტრალური კუთხე AOB არის x + 36. მეორე მხრივ, ცენტრალური კუთხე ორჯერ აღემატება ჩაწერილ კუთხეს. Ჩვენ გვაქვს:

AOB = 2 ACB;
x + 36 = 2 x;
x=36.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ ჩაწერილი კუთხე AOB - ის უდრის 36 °.

წრე არის 360° კუთხე

ქვესათაურის წაკითხვის შემდეგ, მცოდნე მკითხველი ალბათ ახლა იტყვის: „ფუ!“ მართლაც, მთლად სწორი არ არის წრის შედარება კუთხესთან. იმის გასაგებად, რაზე ვსაუბრობთ, გადახედეთ კლასიკურ ტრიგონომეტრიულ წრეს:

რატომ ეს სურათი? და იმ ფაქტზე, რომ სრული ბრუნვა არის 360 გრადუსიანი კუთხე. და თუ მას გაყოფთ, ვთქვათ, 20 თანაბარ ნაწილად, მაშინ თითოეული მათგანის ზომა იქნება 360: 20 = 18 გრადუსი. ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა B8 პრობლემის გადასაჭრელად.

A, B და C წერტილები დევს წრეზე და დაყავით ის სამ რკალად, რომელთა გრადუსის ზომები დაკავშირებულია 1:3:5. იპოვეთ ABC სამკუთხედის უდიდესი კუთხე.

პირველ რიგში, ვიპოვოთ თითოეული რკალის ხარისხი. მათგან უფრო პატარა იყოს x-ის ტოლი. ამ რკალს ფიგურაში AB აწერია. მაშინ დარჩენილი რკალი - BC და AC - შეიძლება გამოიხატოს AB-ით: რკალი BC = 3x; AC=5x. ეს რკალი ემატება 360 გრადუსს:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.

ახლა განვიხილოთ დიდი რკალი AC, რომელიც არ შეიცავს B წერტილს. ეს რკალი, ისევე როგორც შესაბამისი ცენტრალური კუთხე AOC, არის 5x = 5 40 = 200 გრადუსი.

ABC კუთხე ყველაზე დიდია სამკუთხედის ყველა კუთხიდან. ეს არის ჩაწერილი კუთხე, რომელიც დაფუძნებულია იმავე რკალზე, როგორც ცენტრალური კუთხე AOC. ასე რომ, კუთხე ABC 2-ჯერ მცირეა ვიდრე AOC. Ჩვენ გვაქვს:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

ეს იქნება ABC სამკუთხედის უდიდესი კუთხის ხარისხი.

მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე

ბევრს ავიწყდება ეს თეორემა. მაგრამ უშედეგოდ, რადგან ზოგიერთი B8 ამოცანის გარეშე საერთოდ ვერ მოგვარდება. უფრო ზუსტად, ისინი მოგვარებულია, მაგრამ გათვლების ისეთი მოცულობით, რომ გირჩევნიათ დაიძინოთ, ვიდრე მიაღწიოთ პასუხს.

თეორემა. მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი მდებარეობს ჰიპოტენუზის შუა წერტილში.

რა გამოდის ამ თეორემიდან?

1. ჰიპოტენუზის შუა წერტილი თანაბრად არის დაშორებული სამკუთხედის ყველა წვეროდან. ეს არის თეორემის პირდაპირი შედეგი;
2. ჰიპოტენუზაზე გამოსახული მედიანა თავდაპირველ სამკუთხედს ყოფს ორ ტოლფერდა სამკუთხედად. ეს არის ზუსტად ის, რაც საჭიროა B8 პრობლემის გადასაჭრელად.

მედიანა CD შედგენილია სამკუთხედში ABC. კუთხე C არის 90° და კუთხე B არის 60°. იპოვეთ კუთხე ACD.

ვინაიდან კუთხე C არის 90°, სამკუთხედი ABC არის მართკუთხა სამკუთხედი. გამოდის, რომ CD არის ჰიპოტენუზაზე მიყვანილი მედიანა. ასე რომ, სამკუთხედები ADC და BDC არის ტოლფერდა.

კერძოდ, განვიხილოთ სამკუთხედი ADC. მასში AD = CD. მაგრამ ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია - იხილეთ "პრობლემა B8: სეგმენტები და კუთხეები სამკუთხედებში". ამიტომ, სასურველი კუთხე ACD = A.

ასე რომ, რჩება იმის გარკვევა, თუ რას უდრის A კუთხე. ამისათვის ჩვენ კვლავ მივმართავთ თავდაპირველ სამკუთხედს ABC. აღნიშნეთ კუთხე A = x. ვინაიდან ნებისმიერ სამკუთხედში კუთხეების ჯამი არის 180°, გვაქვს:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.

რა თქმა უნდა, ბოლო პრობლემის გადაჭრა სხვა გზითაც შეიძლება. მაგალითად, ადვილია იმის დამტკიცება, რომ BCD სამკუთხედი არ არის მხოლოდ ტოლგვერდა, არამედ ტოლგვერდა. ასე რომ, კუთხე BCD არის 60 გრადუსი. ამიტომ კუთხე ACD არის 90 − 60 = 30 გრადუსი. როგორც ხედავთ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვადასხვა ტოლფერდა სამკუთხედები, მაგრამ პასუხი ყოველთვის ერთი და იგივე იქნება.