საზოგადოების განვითარებასთან, წარმოების სირთულესთან ერთად განვითარდა მათემატიკაც. მოძრაობა მარტივიდან რთულამდე. შეკრებისა და გამოკლების ჩვეულებრივი აღრიცხვის მეთოდიდან, მათი განმეორებითი გამეორებით, ისინი მივიდნენ გამრავლებისა და გაყოფის ცნებამდე. გამრავლების განმეორებითი მოქმედების შემცირება გახდა ექსპონენტაციის კონცეფცია. რიცხვების დამოკიდებულების პირველი ცხრილები ფუძეზე და გაძლიერების რაოდენობაზე შეადგინა ჯერ კიდევ VIII საუკუნეში ინდოელმა მათემატიკოსმა ვარასენამ. მათგან შეგიძლიათ დაითვალოთ ლოგარითმების გაჩენის დრო.

ისტორიული მონახაზი

მე-16 საუკუნეში ევროპის აღორძინებამ ასევე ხელი შეუწყო მექანიკის განვითარებას. თ მოითხოვდა დიდი რაოდენობის გამოთვლასასოცირდება მრავალნიშნა რიცხვების გამრავლებასთან და გაყოფასთან. ძველმა სუფრებმა დიდი სამსახური გასწიეს. მათ შესაძლებელი გახადეს რთული ოპერაციების ჩანაცვლება უფრო მარტივი - შეკრება და გამოკლება. დიდი წინგადადგმული ნაბიჯი იყო მათემატიკოს მაიკლ შტიფელის ნაშრომი, რომელიც გამოქვეყნდა 1544 წელს, რომელშიც მან გააცნობიერა მრავალი მათემატიკოსის იდეა. ამან შესაძლებელი გახადა ცხრილების გამოყენება არა მხოლოდ გრადუსებისთვის მარტივი რიცხვების სახით, არამედ თვითნებური რაციონალურიც.

1614 წელს შოტლანდიელმა ჯონ ნაპიერმა, ამ იდეების შემუშავებით, პირველად შემოიტანა ახალი ტერმინი „რიცხვის ლოგარითმი“. შედგენილია ახალი რთული ცხრილები სინუსების და კოსინუსების ლოგარითმების, ასევე ტანგენტების გამოსათვლელად. ამან მნიშვნელოვნად შეამცირა ასტრონომების მუშაობა.

დაიწყო ახალი ცხრილების გამოჩენა, რომლებსაც წარმატებით იყენებდნენ მეცნიერები სამი საუკუნის განმავლობაში. ბევრი დრო გავიდა, სანამ ალგებრაში ახალმა ოპერაციამ დასრულებული ფორმა შეიძინა. განისაზღვრა ლოგარითმი და შეისწავლა მისი თვისებები.

მხოლოდ მე-20 საუკუნეში, კალკულატორისა და კომპიუტერის მოსვლასთან ერთად, კაცობრიობამ მიატოვა უძველესი ცხრილები, რომლებიც წარმატებით მოქმედებდნენ მე-13 საუკუნეში.

დღეს b-ის ლოგარითმს ვუწოდებთ a-ს რიცხვს x, რომელიც არის a-ს სიმძლავრე, რომ მივიღოთ b რიცხვი. ეს იწერება ფორმულის სახით: x = log a(b).

მაგალითად, log 3(9) იქნება 2-ის ტოლი. ეს აშკარაა, თუ დაიცავთ განმარტებას. თუ 3-ს ავწევთ 2-ის ხარისხზე, მივიღებთ 9-ს.

ამრიგად, ჩამოყალიბებული განმარტება აყენებს მხოლოდ ერთ შეზღუდვას, რიცხვები a და b უნდა იყოს რეალური.

ლოგარითმების ჯიშები

კლასიკურ განმარტებას ეწოდება რეალური ლოგარითმი და რეალურად არის ამონახსნი a x = b განტოლებისა. ვარიანტი a = 1 არის მოსაზღვრე და არ არის საინტერესო. შენიშვნა: 1 ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ არის 1.

ლოგარითმის რეალური მნიშვნელობაგანისაზღვრება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფუძე და არგუმენტი მეტია 0-ზე და ფუძე არ უნდა იყოს 1-ის ტოლი.

განსაკუთრებული ადგილი მათემატიკის დარგშიითამაშეთ ლოგარითმები, რომლებიც დასახელდება მათი ბაზის მნიშვნელობიდან გამომდინარე:

წესები და შეზღუდვები

ლოგარითმების ფუნდამენტური თვისებაა წესი: ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ლოგარითმული ჯამის. log abp = log a(b) + log a(p).

როგორც ამ განცხადების ვარიანტი, ეს იქნება: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), კოეფიციენტის ფუნქცია უდრის ფუნქციების სხვაობას.

წინა ორი წესიდან ადვილი შესამჩნევია, რომ: log a(b p) = p * log a(b).

სხვა თვისებები მოიცავს:

კომენტარი. არ დაუშვათ საერთო შეცდომა - ჯამის ლოგარითმი არ არის ლოგარითმების ჯამის ტოლი.

მრავალი საუკუნის განმავლობაში, ლოგარითმის პოვნის ოპერაცია საკმაოდ შრომატევადი ამოცანა იყო. მათემატიკოსებმა გამოიყენეს პოლინომად გაფართოების ლოგარითმული თეორიის ცნობილი ფორმულა:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), სადაც n არის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, რომელიც განსაზღვრავს გამოთვლის სიზუსტეს.

სხვა საფუძვლებით ლოგარითმები გამოითვალეს ერთი ფუძიდან მეორეზე გადასვლის თეორემისა და პროდუქტის ლოგარითმის თვისების გამოყენებით.

ვინაიდან ეს მეთოდი ძალიან შრომატევადი და პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრისასრთული განსახორციელებელი, ისინი იყენებდნენ ლოგარითმების წინასწარ შედგენილ ცხრილებს, რამაც მნიშვნელოვნად დააჩქარა მთელი სამუშაო.

ზოგიერთ შემთხვევაში გამოიყენებოდა ლოგარითმების სპეციალურად შედგენილი გრაფიკები, რომლებიც ნაკლებ სიზუსტეს იძლეოდნენ, მაგრამ საგრძნობლად აჩქარებდნენ სასურველი მნიშვნელობის ძიებას. y = log a(x) ფუნქციის მრუდი, რომელიც აგებულია რამდენიმე წერტილზე, საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ჩვეულებრივი მმართველი, იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები ნებისმიერ სხვა წერტილში. დიდი ხნის განმავლობაში ინჟინრები ამ მიზნებისთვის იყენებდნენ ე.წ.

მე-17 საუკუნეში გაჩნდა პირველი დამხმარე ანალოგური გამოთვლითი პირობები, რომლებმაც მე-19 საუკუნისთვის მზა ფორმა შეიძინეს. ყველაზე წარმატებულ მოწყობილობას ეწოდა სლაიდის წესი. მოწყობილობის სიმარტივის მიუხედავად, მისმა გარეგნობამ მნიშვნელოვნად დააჩქარა ყველა საინჟინრო გამოთვლების პროცესი და ამის გადაჭარბება რთულია. ამჟამად, ცოტა ადამიანი იცნობს ამ მოწყობილობას.

კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოჩენამ უაზრო გახადა სხვა მოწყობილობების გამოყენება.

განტოლებები და უტოლობა

შემდეგი ფორმულები გამოიყენება ლოგარითმების გამოყენებით სხვადასხვა განტოლებისა და უტოლობების ამოსახსნელად:

• ერთი ბაზიდან მეორეზე გადასვლა: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• წინა ვერსიის შედეგად: log a(b) = 1 / log b(a).

უტოლობების გადასაჭრელად სასარგებლოა ვიცოდეთ:

• ლოგარითმის მნიშვნელობა მხოლოდ დადებითი იქნება, თუ ბაზაც და არგუმენტიც ერთზე მეტი ან ნაკლებია; თუ ერთი პირობა მაინც დაირღვა, ლოგარითმის მნიშვნელობა უარყოფითი იქნება.
• თუ ლოგარითმის ფუნქცია გამოყენებულია უტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეს, ხოლო ლოგარითმის ფუძე ერთზე მეტია, მაშინ უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია; წინააღმდეგ შემთხვევაში, ის იცვლება.

დავალების მაგალითები

განვიხილოთ ლოგარითმების და მათი თვისებების გამოყენების რამდენიმე ვარიანტი. მაგალითები განტოლებების ამოხსნით:

განვიხილოთ ლოგარითმის ხარისხში განთავსების ვარიანტი:

• დავალება 3. გამოთვალეთ 25^log 5(3). ამოხსნა: პრობლემის პირობებში აღნიშვნა მსგავსია (5^2)^log5(3) ან 5^(2 * log 5(3)). მოდით სხვანაირად ჩავწეროთ: 5^log 5(3*2), ან რიცხვის კვადრატი, როგორც ფუნქციის არგუმენტი, შეიძლება დაიწეროს როგორც თავად ფუნქციის კვადრატი (5^log 5(3))^2. ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით, ეს გამოხატულება არის 3^2. პასუხი: გაანგარიშების შედეგად ვიღებთ 9-ს.

პრაქტიკული გამოყენება

როგორც წმინდა მათემატიკური ინსტრუმენტი, როგორც ჩანს, შორს არის რეალური ცხოვრებისგან, რომ ლოგარითმა მოულოდნელად მოიპოვა დიდი მნიშვნელობა რეალურ სამყაროში ობიექტების აღწერისას. ძნელია იპოვოთ მეცნიერება, სადაც ის არ გამოიყენება. ეს სრულად ეხება არა მხოლოდ ბუნებრივ, არამედ ჰუმანიტარულ ცოდნის სფეროებსაც.

ლოგარითმული დამოკიდებულებები

აქ მოცემულია რიცხვითი დამოკიდებულების რამდენიმე მაგალითი:

მექანიკა და ფიზიკა

ისტორიულად, მექანიკა და ფიზიკა ყოველთვის ვითარდებოდა მათემატიკური კვლევის მეთოდების გამოყენებით და ამავე დროს ემსახურებოდა მათემატიკის, ლოგარითმების ჩათვლით, განვითარების სტიმულს. ფიზიკის კანონების უმეტესობის თეორია დაწერილია მათემატიკის ენაზე. ლოგარითმის გამოყენებით ფიზიკური კანონების აღწერის მხოლოდ ორ მაგალითს ვაძლევთ.

შესაძლებელია ისეთი რთული სიდიდის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრა, როგორიც არის რაკეტის სიჩქარე ციოლკოვსკის ფორმულის გამოყენებით, რომელმაც საფუძველი ჩაუყარა კოსმოსის კვლევის თეორიას:

V = I * ln(M1/M2), სადაც

• V არის თვითმფრინავის საბოლოო სიჩქარე.
• მე ვარ ძრავის სპეციფიკური იმპულსი.
• M 1 არის რაკეტის საწყისი მასა.
• M 2 - საბოლოო მასა.

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მაგალითი- ეს არის გამოყენება სხვა დიდი მეცნიერის, მაქს პლანკის ფორმულაში, რომელიც ემსახურება თერმოდინამიკაში წონასწორობის მდგომარეობის შეფასებას.

S = k * ln (Ω), სადაც

• S არის თერმოდინამიკური თვისება.
• k არის ბოლცმანის მუდმივი.
• Ω არის სხვადასხვა მდგომარეობის სტატისტიკური წონა.

Ქიმია

ნაკლებად აშკარა იქნება ფორმულების გამოყენება ქიმიაში, რომლებიც შეიცავს ლოგარითმების თანაფარდობას. აქ არის მხოლოდ ორი მაგალითი:

• ნერნსტის განტოლება, გარემოს რედოქსული პოტენციალის მდგომარეობა ნივთიერებების აქტივობასთან და წონასწორობის მუდმივთან მიმართებაში.
• ისეთი მუდმივების გამოთვლა, როგორიცაა ავტოპროლიზის ინდექსი და ხსნარის მჟავიანობა, ასევე არ არის სრულყოფილი ჩვენი ფუნქციის გარეშე.

ფსიქოლოგია და ბიოლოგია

და სრულიად გაუგებარია, რა შუაშია ფსიქოლოგია. გამოდის, რომ შეგრძნების სიძლიერე კარგად არის აღწერილი ამ ფუნქციით, როგორც სტიმულის ინტენსივობის მნიშვნელობის შებრუნებული თანაფარდობა ქვედა ინტენსივობის მნიშვნელობასთან.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითების შემდეგ, გასაკვირი აღარ არის, რომ ლოგარითმების თემა ბიოლოგიაშიც ფართოდ გამოიყენება. მთელი ტომები შეიძლება დაიწეროს ლოგარითმული სპირალების შესაბამისი ბიოლოგიური ფორმების შესახებ.

სხვა სფეროები

როგორც ჩანს, სამყაროს არსებობა შეუძლებელია ამ ფუნქციასთან კავშირის გარეშე და ის მართავს ყველა კანონს. განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც ბუნების კანონები დაკავშირებულია გეომეტრიულ პროგრესირებასთან. ღირს MatProfi ვებსაიტის მითითება და ასეთი მაგალითები ბევრია საქმიანობის შემდეგ სფეროებში:

სია შეიძლება იყოს უსასრულო. ამ ფუნქციის ძირითადი კანონების დაუფლების შემდეგ, შეგიძლიათ ჩაძიროთ უსასრულო სიბრძნის სამყაროში.

სიმძლავრე თუ ლოგარითმული დამოკიდებულება?

კორელაციის კოეფიციენტების შედარება

ჯერ კიდევ მე-19 საუკუნეში გერმანელი ფილოსოფოსი, სამეცნიერო ფსიქოლოგიის ერთ-ერთი ფუძემდებელი გ.-ტ. ფეხნერმა წამოაყენა ფსიქოფიზიკური კანონი, რომელიც აღწერს შეგრძნებების დამოკიდებულებას ფიზიკური სტიმულაციის სიდიდეზე. ეს კანონი, რომელსაც ვებერ-ფეხნერის კანონი ეწოდა, ითვალისწინებდა ლოგარითმულ კავშირს გრძნობის ორგანოზე მოქმედი სტიმულის ენერგიასა და გრძნობის სიდიდეს შორის, რომელსაც ეს სტიმული იწვევს. XX საუკუნეში. ამერიკელმა ფსიქოფიზიკოსმა S.S. Stevens-მა გააკრიტიკა ფეხნერის მეთოდოლოგია, რომელიც არ გულისხმობდა შეგრძნების უშუალო შეფასების შესაძლებლობას. ამ კრიტიკის შედეგი იყო S.S. Stevens-ის მიერ მრავალი მეთოდოლოგიური პროცედურის შემუშავება, რომელსაც ე.წ. შეგრძნებების პირდაპირი შეფასების მეთოდები. ექსპერიმენტში მიღებული მონაცემების საფუძველზე შესაძლებელი გახდა სტიმულის სიდიდესა და შეგრძნების სიდიდეს შორის კავშირის შეფასება არა მხოლოდ თეორიულად, არამედ პრაქტიკაშიც. შედეგად, სტივენსმა დაასკვნა, რომ ფსიქოფიზიკური დამოკიდებულება უნდა იყოს აღწერილი მაგრამ ლოგარითმული, ა ძალა ფუნქცია.

ვნახოთ, როგორ იძლევა სტივენსის მეთოდოლოგიას და კორელაციური ანალიზის უმარტივეს პროცედურებს, რომ შევადაროთ მონაცემები მათი შესაბამისობის შესახებ ლოგარითმულ და ძალაუფლების ფსიქოფიზიკურ კანონებთან.

ამისთვის გამოვიყენებთ ერთ ფსიქოფიზიკურ ექსპერიმენტში მიღებულ შედეგებს (ტ. ენგენი). ამ ექსპერიმენტში, მოდულის მნიშვნელობის მეთოდი გამოიყენეს დიეთილის ფტალატში განზავებული ამილაცეტატის (ბანანის) სუნის კონცენტრაციის შესაფასებლად. 12 სუბიექტიდან თითოეულმა ორჯერ შეაფასა შვიდი განსხვავებული სუნის კონცენტრაცია. მოდულად გამოყენებული იყო კონცენტრაცია 12,5%. მოდულის მნიშვნელობა დაყენდა 10-ის ტოლი. 7.10 წარმოადგენს საშუალო მასშტაბის მნიშვნელობებს თითოეული სტიმულისთვის.

ამ შედეგებს წარმოგიდგენთ გაფანტული ნახატის სახით (ნახ. 7.7). ჩანს, რომ სუნიანი ნივთიერების კონცენტრაციის მატებასთან ერთად იზრდება მისი შეგრძნების სუბიექტური შეფასება. ეს დამოკიდებულება მონოტონურია, მაგრამ აშკარად არაწრფივი. თუმცა, ამ ორ მონაცემთა სერიას შორის კორელაციის კოეფიციენტის გამოთვლა იძლევა საკმაოდ მაღალ მნიშვნელობას 0,984. ასეთი კორელაციური კოეფიციენტი ხსნის დამოკიდებული ცვლადის (კრიტერიუმის) ვარიაციის 96,8%-ს, რომელიც პირდაპირ კავშირშია დამოუკიდებელი ცვლადის (პრედიქტორის) მნიშვნელობასთან, თუმცა მას არავითარი თეორიული საფუძველი არ გააჩნია.

ცხრილი 7.10

დიატილ ფტალატში განზავებული ამილაცეტატის სუბიექტური სუნის შკალა (T. Engen )

ბრინჯი. 7.7.

ლოგარითმული ვებერ-ფეხნერის კანონი ვარაუდობს, რომ შეინიშნება წრფივი კავშირი ამილაცეტატის კონცენტრაციის ლოგარითმებსა და შეგრძნების სუბიექტურ ქულას შორის.

ასეთი დამოკიდებულება ძალიან სავარაუდოა, თუ ვიმსჯელებთ ნახ. 7.7. მაშასადამე, ჩვენ გარდაქმნით ექსპერიმენტში გამოყენებულ კონცენტრაციებს მათ ბუნებრივ ლოგარითმებად და კვლავ ავაშენებთ სკატერპლატს. ნახ. 7.8 ასახავს სუბიექტური შეფასების დამოკიდებულებას, ახლა ამილაცეტატის კონცენტრაციის ლოგარითმის მნიშვნელობაზე. მაგრამ ისევ, როგორც ჩანს, ჩვენ არ ვაკვირდებით წრფივ ურთიერთობას. ამჯერად, კორელაციის კოეფიციენტი სუნიანი ნივთიერების კონცენტრაციის ლოგარითმს და მისი სუნის სუბიექტურ შეფასებას შორის უფრო დაბალი აღმოჩნდა, ვიდრე ჩვენ აღვნიშნეთ საწყის მონაცემებზე, თუმცა მაინც საკმაოდ მაღალი - 0,948. ამ შემთხვევაში ტესტის დისპერსიის მხოლოდ 89.8% არის პირდაპირ კავშირში პროგნოზირებულ დისპერსიასთან. ამრიგად, ვებერ-ფეხნერის კანონის პროგნოზები ჩვენს მონაცემებთან მიმართებაში არც თუ ისე დამაჯერებლად გამოიყურება.

ბრინჯი. 7.8.

სტივენსის ძალის ფსიქოფიზიკური კანონი აყალიბებს წრფივ კავშირს სტიმულაციის ლოგარითმებსა და შეგრძნების სიდიდეს შორის. სურათი 7.9 აჩვენებს, რომ ეს პროგნოზი საკმაოდ ზუსტია. Scatterplot-ის ყველა წერტილი მშვენივრად დგას ერთი ხაზის გასწვრივ. ამ მონაცემთა სერიებს შორის კორელაციის კოეფიციენტი არის 0,999. ეს ნიშნავს, რომ ეს რეგრესიული მოდელი აღწერს დამოკიდებული ცვლადის დისპერსიის 99.8%-ს, რომელიც შეიძლება დაკავშირებული იყოს დამოუკიდებელ ცვლადში არსებულ დისპერსიასთან.

ბრინჯი. 7.9.

ამრიგად, ვიზუალური შედარება ნახ. 7.7-7.9, ისევე როგორც გამოთვლილი კორელაციის კოეფიციენტები, როგორც ჩანს, ცალსახად მოწმობს სტივენსის ძალის კანონის სასარგებლოდ. მიუხედავად ამისა, შევეცადოთ შევაფასოთ რამდენად დიდია სტატისტიკური სხვაობა ამ სამ კორელაციის კოეფიციენტს შორის.

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ განვახორციელებთ ჩვენს მიერ გამოთვლილი კორელაციის კოეფიციენტების ლოგარითმულ ტრანსფორმაციას ფიშერის არაწრფივი ტრანსფორმაციის გამოყენებით:

გამოთვლების გასამარტივებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ შესაბამისი ფუნქცია მაიკროსოფტი Excel - FISHER. არგუმენტად ის იღებს შესაბამისი კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობას.

ასეთი გარდაქმნების შედეგები გვაძლევს z"-ის შემდეგ მნიშვნელობებს:

• 1. ამილაცეტატის კონცენტრაციებსა და სუნის შეფასებას შორის კავშირისთვის, z" = 2.41.
• 2. კონცენტრაციების ლოგარითმსა და სუნის შეფასებას შორის კავშირისთვის z" = 1,81.
• 3. კონცენტრაციების ლოგარითმსა და სუბიექტური შეფასებების ლოგარითმის კავშირისთვის z" = 3,89.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია წამოვაყენოთ სამი სტატისტიკური ჰიპოთეზა საერთო პოპულაციაში ამ კორელაციის კოეფიციენტების წყვილი თანასწორობის შესახებ. ამ ჰიპოთეზების სტატისტიკური სანდოობის შესაფასებლად აუცილებელია სამი სტატისტიკის აგება z :

Აქ პ და ტ ემთხვევა ნიმუშის ზომებს. ჩვენს შემთხვევაში, ორივე მნიშვნელობა უდრის შვიდს, რადგან იგივე მონაცემები გამოიყენება.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ამ სტატისტიკას ზ კორელაციის კოეფიციენტის შედარების შემთხვევაში სუნიანი ნივთიერების კონცენტრაციის საწყის მნიშვნელობებსა და სუნის სუბიექტურ შეფასებას შორის, ერთი მხრივ, და კორელაციის კოეფიციენტის სტიმულის მნიშვნელობების ლოგარითმული ტრანსფორმაციის შედეგებს შორის. ხოლო მათი შეგრძნებები კი პირიქით გამოდის 0,85-ის ტოლი, რაც შეესაბამება ვებერ-ფეხნერის კანონს. ამ სტატისტიკის სანდოობა შეიძლება შეფასდეს სტატისტიკური ცხრილების გამოყენებით (იხ. დანართი 1). შეფასება გვიჩვენებს, რომ ასეთი მნიშვნელობა არ არის საიმედოდ განსხვავებული ნულიდან და, შესაბამისად, აუცილებელია შევინარჩუნოთ ნულოვანი ჰიპოთეზა ამ კორელაციის კოეფიციენტების თანასწორობის შესახებ.

კორელაციის კოეფიციენტის შედარება, რომელიც ითვალისწინებს ორივე ცვლადის ლოგარითმული ტრანსფორმაციას - სტივენსის კანონი, კორელაციის კოეფიციენტებთან, რომელიც ვარაუდობს მხოლოდ დამოუკიდებელი ცვლადის - ვებერ-ფეხნერის კანონის ლოგარითმულ გარდაქმნას და საერთოდ არ გულისხმობს ასეთ ტრანსფორმაციას. იძლევა z-სტატისტიკურ მნიშვნელობებს შესაბამისად 2.94 და 2.10. ორივე ეს მნიშვნელობა მიუთითებს საიმედო განსხვავებაზე z სტატისტიკასა და თეორიულად მოსალოდნელ ნულოვან მნიშვნელობას შორის. აქედან გამომდინარე,

აუცილებელია უარვყოთ ნულოვანი ჰიპოთეზა კორელაციის კოეფიციენტების თანასწორობის შესახებ.

(ბერძნული λόγος - "სიტყვა", "კავშირი" და ἀριθμός - "რიცხვი") რიცხვები ბმიზეზით ა(log α ბ) ასეთ რიცხვს უწოდებენ გ, და ბ= გ, ანუ log α ბ=გდა b=aგექვივალენტები არიან. ლოგარითმი აზრი აქვს, თუ a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Სხვა სიტყვებით ლოგარითმინომრები ბმიზეზით აჩამოყალიბებულია მაჩვენებლის სახით, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x= log α ბ, უდრის a x =b განტოლების ამოხსნის.

Მაგალითად:

ჟურნალი 2 8 = 3 რადგან 8=2 3 .

აღვნიშნავთ, რომ ლოგარითმის მითითებული ფორმულირება შესაძლებელს ხდის დაუყოვნებლივ განსაზღვროს ლოგარითმის მნიშვნელობაროდესაც რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის ფუძის გარკვეული სიმძლავრე. მართლაც, ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აუდრის თან. ასევე ნათელია, რომ ლოგარითმის თემა მჭიდროდ არის დაკავშირებული თემასთან რიცხვის ხარისხი.

ლოგარითმის გამოთვლა ე.წ ლოგარითმი. ლოგარითმი არის ლოგარითმის აღების მათემატიკური ოპერაცია. ლოგარითმის აღებისას ფაქტორების ნამრავლები გარდაიქმნება ტერმინთა ჯამებად.

გაძლიერებაარის ლოგარითმის შებრუნებული მათემატიკური ოპერაცია. გაძლიერებისას მოცემული ფუძე ამაღლებულია იმ გამოხატვის ძლიერებამდე, რომელზედაც ხდება გაძლიერება. ამ შემთხვევაში ტერმინების ჯამები გარდაიქმნება ფაქტორების ნამრავლად.

ხშირად გამოიყენება რეალური ლოგარითმები ბაზებით 2 (ორობითი), ეილერის ნომერი e ≈ 2.718 (ბუნებრივი ლოგარითმი) და 10 (ათწილადი).

ამ ეტაპზე გასათვალისწინებელია ლოგარითმების ნიმუშებიჟურნალი 7 2 , ლნ √ 5, lg0.0001.

ხოლო ჩანაწერებს lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 აზრი არ აქვს, რადგან პირველში უარყოფითი რიცხვი მოთავსებულია ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მეორეში - უარყოფითი რიცხვი. ფუძე, ხოლო მესამეში - და უარყოფითი რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და ერთეული ფუძეში.

ლოგარითმის განსაზღვრის პირობები.

ცალკე უნდა განვიხილოთ პირობები a > 0, a ≠ 1, b > 0. ლოგარითმის განმარტება.მოდით განვიხილოთ, რატომ არის მიღებული ეს შეზღუდვები. ეს დაგვეხმარება x = log α ფორმის ტოლობაში ბ, რომელსაც ეწოდება ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს ზემოთ მოცემული ლოგარითმის განმარტებიდან.

მიიღეთ პირობა a≠1. ვინაიდან ერთი უდრის ერთს ნებისმიერ ძალას, მაშინ ტოლობა x=log α ბშეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა b=1, მაგრამ ჟურნალი 1 1 იქნება ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, ჩვენ ვიღებთ a≠1.

დავამტკიცოთ პირობის აუცილებლობა a>0. ზე a=0ლოგარითმის ფორმულირების მიხედვით, შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა b=0. და შემდეგ შესაბამისად ჟურნალი 0 0შეიძლება იყოს ნებისმიერი არანულოვანი რეალური რიცხვი, ვინაიდან ნული ნებისმიერ არანულოვან ხარისხზე არის ნული. ამ გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად პირობა a≠0. Და როცა ა<0 ჩვენ უნდა უარვყოთ ლოგარითმის რაციონალური და ირაციონალური მნიშვნელობების ანალიზი, რადგან რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებლები განისაზღვრება მხოლოდ არაუარყოფითი ბაზებისთვის. ამ მიზეზით არის მდგომარეობა a>0.

და ბოლო პირობა b>0გამომდინარეობს უთანასწორობიდან a>0, ვინაიდან x=log α ბ, და ხარისხის მნიშვნელობა დადებითი ბაზით აყოველთვის პოზიტიური.

ლოგარითმების მახასიათებლები.

ლოგარითმებიხასიათდება გამორჩეული მახასიათებლები, რამაც გამოიწვია მათი ფართო გამოყენება, რათა მნიშვნელოვნად გაადვილებინა მტკივნეული გამოთვლები. „ლოგარითმების სამყაროში“ გადასვლისას გამრავლება გარდაიქმნება ბევრად უფრო იოლად შეკრებად, გაყოფა გამოკლებად, ხოლო სიმძლავრე და ფესვის ამოღება გარდაიქმნება გამრავლებად და გაყოფად მაჩვენებლით, შესაბამისად.

ლოგარითმების ფორმულირება და მათი მნიშვნელობების ცხრილი (ტრიგონომეტრიული ფუნქციებისთვის) პირველად გამოქვეყნდა 1614 წელს შოტლანდიელმა მათემატიკოსმა ჯონ ნაპიერმა. ლოგარითმული ცხრილები, გაფართოებული და დეტალური სხვა მეცნიერების მიერ, ფართოდ გამოიყენებოდა სამეცნიერო და საინჟინრო გამოთვლებში და აქტუალური დარჩა მანამ, სანამ ელექტრონული კალკულატორებისა და კომპიუტერების გამოყენება დაიწყება.

ლოგარითმული დამოკიდებულება- logaritminė priklausomybė statusas T sritis fizika atitikmenys: ინგლ. ლოგარითმული დამოკიდებულება vok. logarithmische Abhängigkeit, f rus. ლოგარითმული დამოკიდებულება, fpranc. დამოკიდებულების ლოგარითმი, ვ … ფიზიკურ ტერმინალში

ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია (იხ. ექსპონენციალური ფუნქცია). ლ.ფ. აღინიშნება y = lnx; (1) მის მნიშვნელობას y, რომელიც შეესაბამება x არგუმენტის მნიშვნელობას, ეწოდება x რიცხვის ბუნებრივი ლოგარითმი. Განმარტებით...

ქაღალდი მოჭრილი სპეციალური გზით; ჩვეულებრივ დაბეჭდილი. იგი აგებულია შემდეგნაირად (ნახ. 1): მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის თითოეულ ღერძზე გამოსახულია u რიცხვების ათობითი ლოგარითმები (x ღერძზე) და ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული ფუნქცია. ლ.ფ. მისი მნიშვნელობა y აღინიშნება, რომელიც შეესაბამება x არგუმენტის მნიშვნელობას, გამოძახებული. x-ის ბუნებრივი ლოგარითმი. განმარტებით, მიმართება (1) არის ეკვივალენტური, ვინაიდან ნებისმიერი რეალური y, მაშინ L. f. ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ორობითი ლოგარითმის გრაფიკი რიცხვის ლოგარითმი ... ვიკიპედია

ვებერ-ფეხნერის კანონი- E შეგრძნების სიძლიერის ლოგარითმული დამოკიდებულება P სტიმულის ფიზიკურ ინტენსივობაზე: E = k log P + c, სადაც k და c არის გარკვეული მუდმივები, რომლებიც განსაზღვრულია ამ სენსორული სისტემის მიერ. დამოკიდებულება გამოიღო გერმანელმა ფსიქოლოგმა და ფიზიოლოგმა G.T. Fechner-მა ...

შეგრძნების ინტენსივობა- შეგრძნების სუბიექტური სიმძიმის ხარისხი, რომელიც დაკავშირებულია გარკვეულ სტიმულთან. კავშირი შეგრძნების ინტენსივობასა და სტიმულის ფიზიკურ ინტენსივობას შორის საკმაოდ რთულია. ამ ურთიერთობის აღწერისთვის შემოთავაზებულია სხვადასხვა მოდელი: მაგალითად, ... ... დიდი ფსიქოლოგიური ენციკლოპედია

ვებერ-ფეხნერის კანონი- შეგრძნების სიძლიერის (E) ლოგარითმული დამოკიდებულება სტიმულის ფიზიკურ ინტენსივობაზე (P): E \u003d k log P + + c, სადაც k და c არის გარკვეული მუდმივები, რომლებიც განსაზღვრულია ამ სენსორული სისტემის მიერ. ეს დამოკიდებულება გამოიღო გერმანელმა ფსიქოლოგმა და ფიზიოლოგმა G.T ... დიდი ფსიქოლოგიური ენციკლოპედია

I. ამოცანა პ.; II. ვებერისა და ფეხნერის კანონები; III. ფსიქოფიზიკური მეთოდები; IV. ექსპერიმენტული შედეგები; V. ფსიქოფიზიკური კანონების მნიშვნელობა; VI. ლიტერატურა. I. დავალება P. სხვადასხვა შეგრძნებების შედარებისას ვამჩნევთ, რომ მათ აქვთ: 1) განსხვავებული თვისებები, 2) ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი

სითხის ან აირის ნაკადი, რომელიც ხასიათდება მისი მოცულობების ქაოტური, არარეგულარული მოძრაობით და მათი ინტენსიური შერევით (იხ. ტურბულენტობა), მაგრამ ზოგადად აქვს გლუვი, რეგულარული ხასიათი. T.t-ის წარმოქმნა დაკავშირებულია არასტაბილურობასთან ... ... ტექნოლოგიის ენციკლოპედია

ძირითადი ფსიქოფიზიკური კანონი- ძირითადი ფსიქო-ფიზიკური კანონი - გრძნობის სიდიდის დამოკიდებულების ფუნქცია სტიმულის სიდიდეზე. ერთი ფორმულა O. p. z. არა, მაგრამ არსებობს მისი ვარიანტები: ლოგარითმული (ფეხნერი), ძალა (სტივენსი), განზოგადებული (ბაირდი, ეკმანი, ზაბროდინი და ა.შ.) ... ეპისტემოლოგიისა და მეცნიერების ფილოსოფიის ენციკლოპედია

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.