თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო განხილვისას და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო განხილვისას და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზიაში "Integral" მე -10 კლასისთვის 1C-დან
ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული ამოცანები სივრცეში მშენებლობისთვის
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"

რას შევისწავლით:
1. რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ორი ძირითადი მეთოდი.
4. ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
5. მაგალითები.

რა არის ტრიგონომეტრიული განტოლებები?

ბიჭებო, ჩვენ უკვე შევისწავლეთ რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი და არკოტანგენსი. ახლა მოდით შევხედოთ ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს ზოგადად.

ტრიგონომეტრიული განტოლებები - განტოლებები, რომლებშიც ცვლადი შეიცავს ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ.

ვიმეორებთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ფორმას:

1) თუ |а|≤ 1, მაშინ განტოლებას cos(x) = a აქვს ამონახსნი:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) თუ |а|≤ 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a აქვს ამონახსნი:

3) თუ |ა| > 1, მაშინ განტოლებას sin(x) = a და cos(x) = a არ აქვთ ამონახსნები 4) განტოლებას tg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arctg(a)+ πk

5) განტოლებას ctg(x)=a აქვს ამონახსნი: x=arcctg(a)+ πk

ყველა ფორმულისთვის k არის მთელი რიცხვი

უმარტივეს ტრიგონომეტრიულ განტოლებებს აქვს ფორმა: Т(kx+m)=a, T- ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლებები: ა) sin(3x)= √3/2

გადაწყვეტილება:

ა) ავღნიშნოთ 3x=t, შემდეგ გადავწერთ ჩვენს განტოლებას სახით:

ამ განტოლების ამონახსნი იქნება: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

მნიშვნელობების ცხრილიდან ვიღებთ: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენს ცვლადს: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

შემდეგ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

პასუხი: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, სადაც n არის მთელი რიცხვი. (-1)^n - მინუს ერთი n-ის ხარისხზე.

ტრიგონომეტრიული განტოლებების მეტი მაგალითები.

ამოხსენით განტოლებები: ა) cos(x/5)=1 ბ)tg(3x- π/3)= √3

გადაწყვეტილება:

ა) ამჯერად პირდაპირ გადავალთ განტოლების ფესვების გამოთვლაზე:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. მაშინ x/5= πk => x=5πk

პასუხი: x=5πk, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ბ) ვწერთ სახით: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. ჩვენ ვიცით, რომ: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

პასუხი: x=2π/9 + πk/3, სადაც k არის მთელი რიცხვი.

ამოხსენით განტოლებები: cos(4x)= √2/2. და იპოვნეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე.

გადაწყვეტილება:

მოდით გადავწყვიტოთ ჩვენი განტოლება ზოგადი ფორმით: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

ახლა ვნახოთ, რა ფესვები ეცემა ჩვენს სეგმენტს. k-სთვის k=0, x= π/16, ჩვენ მოცემულ სეგმენტში ვართ.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ით ისევ ურტყამდნენ.
k=2-ისთვის x= π/16+ π=17π/16, მაგრამ აქ ჩვენ არ დავარტყით, რაც ნიშნავს, რომ არც დიდ k-ზე დავარტყით.

პასუხი: x= π/16, x= 9π/16

გადაწყვეტის ორი ძირითადი მეთოდი.

ჩვენ განვიხილეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები, მაგრამ არის უფრო რთული. მათ გადასაჭრელად გამოიყენება ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი და ფაქტორილიზაციის მეთოდი. მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

გადაწყვეტილება:
ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად ვიყენებთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდს, რომელიც აღინიშნება: t=tg(x).

ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ: t 2 + 2t -1 = 0

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-1 და t=1/3

შემდეგ tg(x)=-1 და tg(x)=1/3 მივიღეთ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლება, ვიპოვოთ მისი ფესვები.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

პასუხი: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

განტოლების ამოხსნის მაგალითი

ამოხსენით განტოლებები: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

გადაწყვეტილება:

გამოვიყენოთ იდენტობა: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ჩვენი განტოლება ხდება: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

შემოვიღოთ ჩანაცვლება t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნია ფესვები: t=2 და t=-1/2

შემდეგ cos(x)=2 და cos(x)=-1/2.

იმიტომ რომ კოსინუსს არ შეუძლია მიიღოს ერთზე მეტი მნიშვნელობები, მაშინ cos(x)=2-ს ფესვები არ აქვს.

cos(x)=-1/2-ისთვის: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

პასუხი: x= ±2π/3 + 2πk

ჰომოგენური ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

განმარტება: a sin(x)+b cos(x) ფორმის განტოლებას ეწოდება პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ფორმის განტოლებები

მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოსახსნელად მას ვყოფთ cos(x-ზე): შეუძლებელია კოსინუსზე გაყოფა, თუ ის ნულის ტოლია, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ეს ასე არ არის:
მოდით cos(x)=0, შემდეგ asin(x)+0=0 => sin(x)=0, მაგრამ სინუსი და კოსინუსი ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, მივიღეთ წინააღმდეგობა, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავყოთ ნულით.

ამოხსენით განტოლება:
მაგალითი: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

გადაწყვეტილება:

ამოიღეთ საერთო ფაქტორი: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

მაშინ ორი განტოლება უნდა ამოხსნათ:

cos(x)=0 და cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk;

განვიხილოთ განტოლება cos(x)+sin(x)=0 ჩვენი განტოლება გავყოთ cos(x-ზე):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

პასუხი: x= π/2 + πk და x= -π/4+πk

როგორ ამოვიცნოთ მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლებები?
ბიჭებო, ყოველთვის დაიცავით ეს წესები!

1. ნახეთ, რის ტოლია a კოეფიციენტი, თუ a \u003d 0, მაშინ ჩვენი განტოლება მიიღებს cos (x) ფორმას (bsin (x) + ccos (x)), რომლის ამოხსნის მაგალითი არის წინა სლაიდი

2. თუ a≠0, მაშინ განტოლების ორივე ნაწილი უნდა გავყოთ კვადრატულ კოსინუსზე, მივიღებთ:

ვაკეთებთ t=tg(x) ცვლადის ცვლილებას, ვიღებთ განტოლებას:

ამოხსენით მაგალითი #:3

ამოხსენით განტოლება:
გადაწყვეტილება:

გაყავით განტოლების ორივე მხარე კოსინუსების კვადრატზე:

ვაკეთებთ t=tg(x) ცვლადის ცვლილებას: t 2 + 2 t - 3 = 0

იპოვეთ კვადრატული განტოლების ფესვები: t=-3 და t=1

მაშინ: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

პასუხი: x=-arctg(3) + πk და x= π/4+ πk

ამოხსენით მაგალითი #:4

ამოხსენით განტოლება:

გადაწყვეტილება:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ ასეთი განტოლებები: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

პასუხი: x= - π/4 + 2πk და x=5π/4 + 2πk

ამოხსენით მაგალითი #:5

ამოხსენით განტოლება:

გადაწყვეტილება:
მოდით შევცვალოთ ჩვენი გამოხატულება:

ჩვენ წარმოგიდგენთ ჩანაცვლებას tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

ჩვენი კვადრატული განტოლების ამონახსნი იქნება ფესვები: t=-2 და t=1/2

შემდეგ მივიღებთ: tg(2x)=-2 და tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

პასუხი: x=-arctg(2)/2 + πk/2 და x=arctg(1/2)/2+ πk/2

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

1) ამოხსენით განტოლება

ა) sin(7x)= 1/2 ბ) cos(3x)= √3/2 გ) cos(-x) = -1 დ) tg(4x) = √3 ე) ctg(0.5x) = -1.7

2) ამოხსენით განტოლებები: sin(3x)= √3/2. და იპოვეთ ყველა ფესვი სეგმენტზე [π/2; π].

3) ამოხსენით განტოლება: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) ამოხსენით განტოლება: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) ამოხსენით განტოლება: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) ამოხსენით განტოლება: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

ვიდეოკურსი „Get an A“ მოიცავს ყველა იმ თემას, რომელიც აუცილებელია მათემატიკაში გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის 60-65 ქულით. სრულად ყველა დავალება 1-13 პროფილის გამოყენება მათემატიკაში. ასევე შესაფერისია მათემატიკაში საბაზისო გამოყენებისთვის. თუ გსურთ გამოცდა 90-100 ქულით ჩააბაროთ, 1 ნაწილი უნდა ამოხსნათ 30 წუთში და უშეცდომოდ!

გამოცდისთვის მოსამზადებელი კურსი 10-11 კლასებისთვის, ასევე მასწავლებლებისთვის. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ მათემატიკაში გამოცდის 1 ნაწილის გადასაჭრელად (პირველი 12 ამოცანა) და ამოცანა 13 (ტრიგონომეტრია). და ეს არის 70 ქულაზე მეტი ერთიანი სახელმწიფო გამოცდაზე და არც ასქულიანი სტუდენტი და არც ჰუმანისტი მათ გარეშე არ შეუძლია.

ყველა საჭირო თეორია. სწრაფი გადაწყვეტილებები, ხაფანგები და გამოცდის საიდუმლოებები. გაანალიზებულია FIPI ბანკის ამოცანების პირველი ნაწილის ყველა შესაბამისი დავალება. კურსი სრულად შეესაბამება USE-2018-ის მოთხოვნებს.

კურსი შეიცავს 5 დიდ თემას, თითო 2,5 საათი. თითოეული თემა მოცემულია ნულიდან, მარტივად და ნათლად.

ასობით საგამოცდო დავალება. ტექსტის პრობლემები და ალბათობის თეორია. მარტივი და ადვილად დასამახსოვრებელი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმები. გეომეტრია. თეორია, საცნობარო მასალა, ყველა სახის USE ამოცანების ანალიზი. სტერეომეტრია. მზაკვრული ხრიკები ამოხსნისთვის, სასარგებლო თაღლითური ფურცლები, სივრცითი წარმოსახვის განვითარება. ტრიგონომეტრია ნულიდან - დავალებამდე 13. გააზრება ჩაკეტვის ნაცვლად. რთული ცნებების ვიზუალური ახსნა. Ალგებრა. ფესვები, სიმძლავრეები და ლოგარითმები, ფუნქცია და წარმოებული. გამოცდის მე-2 ნაწილის რთული ამოცანების გადაჭრის ბაზა.

ერთხელ მე შევესწარი საუბარს ორ განმცხადებელს შორის:

– როდის გჭირდებათ 2πn-ის დამატება და როდის - πn? არ მახსოვს!

- და მეც იგივე პრობლემა მაქვს.

მინდოდა მეთქვა მათთვის: "აუცილებელია არა დამახსოვრება, არამედ გაგება!"

ეს სტატია ძირითადად მიმართულია საშუალო სკოლის მოსწავლეებს და, იმედი მაქვს, დაეხმარება მათ „გააზრებაში“ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნაში:

რიცხვის წრე

რიცხვითი წრფის კონცეფციასთან ერთად არის რიცხვითი წრის ცნებაც. Როგორც ვიცით, მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრეს, რომელსაც აქვს ცენტრი (0; 0) წერტილში და რადიუსი 1-ია, ეწოდება ერთეული წრე.წარმოიდგინეთ რიცხვითი ხაზი წვრილი ძაფით და შემოახვიეთ იგი ამ წრის გარშემო: საცნობარო წერტილი (წერტილი 0), მიამაგრეთ იგი ერთეული წრის „მარჯვნივ“ წერტილზე, შემოახვიეთ დადებითი ნახევარღერძი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ და უარყოფითი ნახევარღერძი. მიმართულებით (სურ. 1). ასეთ ერთეულ წრეს რიცხვითი წრე ეწოდება.

რიცხვების წრის თვისებები

• ყველა რეალური რიცხვი არის რიცხვითი წრის ერთ წერტილში.
• რიცხვითი წრის თითოეულ წერტილზე უსასრულოდ ბევრი რეალური რიცხვია. ვინაიდან ერთეული წრის სიგრძეა 2π, წრის ერთ წერტილში ნებისმიერ ორ რიცხვს შორის სხვაობა ±2π რიცხვებიდან ერთ-ერთის ტოლია; ±4π; ±6π; …

მოდით დავასკვნათ: ვიცით A წერტილის ერთ-ერთი რიცხვი, შეგვიძლია ვიპოვოთ A წერტილის ყველა რიცხვი.

დავხატოთ AC დიამეტრი (ნახ. 2). ვინაიდან x_0 არის A წერტილის ერთ-ერთი რიცხვი, მაშინ რიცხვები x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... და მხოლოდ ისინი იქნებიან C წერტილის რიცხვები. მოდით ავირჩიოთ ამ რიცხვებიდან ერთი, ვთქვათ, x_0+π, და გამოვიყენოთ C წერტილის ყველა რიცხვის ჩასაწერად: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ზ. გაითვალისწინეთ, რომ A და C წერტილების რიცხვები შეიძლება გაერთიანდეს ერთ ფორმულაში: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... მივიღებთ რიცხვებს წერტილი A, ხოლო k = ±1, ±3, ±5, … არის C წერტილის რიცხვები).

მოდით დავასკვნათ: ვიცოდეთ AC დიამეტრის A ან C წერტილების ერთ-ერთი რიცხვი, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ყველა რიცხვი ამ წერტილებზე.

• ორი საპირისპირო რიცხვი განლაგებულია წრის წერტილებზე, რომლებიც სიმეტრიულია აბსცისის ღერძის მიმართ.

დავხატოთ ვერტიკალური აკორდი AB (სურ. 2). ვინაიდან A და B წერტილები სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ, რიცხვი -x_0 მდებარეობს B წერტილში და, შესაბამისად, B წერტილის ყველა რიცხვი მოცემულია ფორმულით: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. A და B წერტილებში რიცხვებს ვწერთ ერთი ფორმულით: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. მოდით დავასკვნათ: AB ვერტიკალური აკორდის A ან B წერტილების ერთ-ერთი რიცხვის ცოდნით, შეგვიძლია ვიპოვოთ ყველა რიცხვი ამ წერტილებში. განვიხილოთ ჰორიზონტალური აკორდი AD და იპოვეთ D წერტილის რიცხვები (ნახ. 2). ვინაიდან BD არის დიამეტრი და რიცხვი -x_0 ეკუთვნის B წერტილს, მაშინ -x_0 + π არის D წერტილის ერთ-ერთი რიცხვი და, შესაბამისად, ამ წერტილის ყველა რიცხვი მოცემულია ფორმულით x_D=-x_0+π+2πk. ,k∈Z. A და D წერტილებში რიცხვები შეიძლება დაიწეროს ერთი ფორმულით: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; ... ვიღებთ A წერტილის რიცხვებს, ხოლო k = ±1; ±3; ±5; ... - D წერტილის რიცხვებს).

მოდით დავასკვნათ: ვიცოდეთ ერთ-ერთი რიცხვი AD ჰორიზონტალური აკორდის ერთ-ერთ A ან D წერტილში, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ყველა რიცხვი ამ წერტილებში.

რიცხვითი წრის თექვსმეტი მთავარი წერტილი

პრაქტიკაში უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებების უმრავლესობის ამოხსნა ასოცირდება წრის თექვსმეტ წერტილთან (ნახ. 3). რა არის ეს წერტილები? წითელი, ლურჯი და მწვანე წერტილები წრეს ყოფს 12 თანაბარ ნაწილად. ვინაიდან ნახევარწრის სიგრძე არის π, A1A2 რკალის სიგრძეა π/2, A1B1 რკალის სიგრძე π/6 და A1C1 რკალის სიგრძე π/3.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივუთითოთ ერთი რიცხვი წერტილებზე:

π/3 С1-ზე და

ნარინჯისფერი კვადრატის წვეროები ყოველი მეოთხედის რკალების შუა წერტილებია, ამიტომ A1D1 რკალის სიგრძე უდრის π/4 და, შესაბამისად, π/4 არის D1 წერტილის ერთ-ერთი რიცხვი. რიცხვითი წრის თვისებების გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია ჩავწეროთ ყველა რიცხვი ჩვენი წრის ყველა მონიშნულ წერტილში ფორმულების გამოყენებით. ნახატზე ასევე ნაჩვენებია ამ წერტილების კოორდინატები (გამოვტოვებთ მათი შეძენის აღწერას).

ზემოაღნიშნულის შესწავლის შემდეგ, ჩვენ გვაქვს საკმარისი მომზადება სპეციალური შემთხვევების გადასაჭრელად (რიცხვის ცხრა მნიშვნელობისთვის ა)უმარტივესი განტოლებები.

განტოლებების ამოხსნა

1)sinx=1⁄(2).

– რა არის საჭირო ჩვენგან?

– იპოვეთ ყველა ის რიცხვი x რომლის სინუსი არის 1/2.

გავიხსენოთ სინუსის განმარტება: sinx - რიცხვითი წრის წერტილის ორდინატი, რომელზედაც მდებარეობს რიცხვი x. წრეზე გვაქვს ორი წერტილი, რომელთა ორდინატი უდრის 1/2-ს. ეს არის ჰორიზონტალური აკორდის B1B2 ბოლოები. ეს ნიშნავს, რომ მოთხოვნა „გადაწყვიტე განტოლება sinx=1⁄2“ ექვივალენტურია მოთხოვნის „იპოვე ყველა რიცხვი B1 წერტილში და ყველა რიცხვი B2 წერტილში“.

2)sinx=-√3⁄2 .

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველა რიცხვი C4 და C3 წერტილებში.

3) sinx=1. წრეზე გვაქვს მხოლოდ ერთი წერტილი ორდინატით 1 - წერტილი A2 და, შესაბამისად, უნდა ვიპოვოთ მხოლოდ ამ წერტილის ყველა რიცხვი.

პასუხი: x=π/2+2πk , k∈Z .

4)sinx=-1 .

მხოლოდ A_4 წერტილს აქვს ორდინატი -1. ამ წერტილის ყველა რიცხვი იქნება განტოლების ცხენები.

პასუხი: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

წრეზე გვაქვს ორი წერტილი ორდინატით 0 - წერტილები A1 და A3. თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ ნომრები თითოეულ წერტილზე ცალ-ცალკე, მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ეს წერტილები დიამეტრალურად საპირისპიროა, უმჯობესია მათი გაერთიანება ერთ ფორმულაში: x=πk ,k∈Z .

პასუხი: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

გავიხსენოთ კოსინუსის განმარტება: cosx - რიცხვითი წრის წერტილის აბსციზა, რომელზეც მდებარეობს რიცხვი x.წრეზე გვაქვს ორი წერტილი აბსცისით √2⁄2 - ჰორიზონტალური აკორდის D1D4 ბოლოები. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველა რიცხვი ამ წერტილებში. ჩვენ ვწერთ მათ ერთ ფორმულაში გაერთიანებით.

პასუხი: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ რიცხვები C_2 და C_3 წერტილებში.

პასუხი: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

მხოლოდ A2 და A4 წერტილებს აქვთ აბსციზა 0, რაც ნიშნავს, რომ ყველა რიცხვი თითოეულ ამ წერტილში იქნება განტოლების ამონახსნები.
.

სისტემის განტოლების ამონახსნები არის რიცხვები B_3 და B_4 წერტილებში უტოლობა cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
პასუხი: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

გაითვალისწინეთ, რომ x-ის ნებისმიერი დასაშვები მნიშვნელობისთვის მეორე ფაქტორი დადებითია და, შესაბამისად, განტოლება სისტემის ექვივალენტურია.

სისტემის განტოლების ამონახსნებია D_2 და D_3 წერტილების რაოდენობა. D_2 წერტილის რიცხვები არ აკმაყოფილებს sinx≤0,5 უტოლობას, მაგრამ D_3 წერტილის რიცხვები აკმაყოფილებს.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.