ნელი ლიტვაკი, ანდრეი რაიგოროვსკი
ვის სჭირდება მათემატიკა? გასაგები წიგნი იმის შესახებ, თუ როგორ მუშაობს ციფრული სამყარო
Ყველა უფლება დაცულია. ამ პუბლიკაციის არც ერთი ნაწილის რეპროდუცირება დაუშვებელია რაიმე მიზნით, ნებისმიერი ფორმით ან რაიმე საშუალებით, ელექტრონული ან მექანიკური, მათ შორის ფოტოკოპირების და მაგნიტურ მედიაზე ჩაწერის ჩათვლით, თუ გამომცემლის მიერ წერილობითი ნებართვა არ არის პირდაპირ.
© N. Litvak, A. Raigorodsky, 2016 წ
© გამოცემა, დიზაინი. შპს "მანი, ივანოვი და ფერბერი", 2017 წ
შესავალი
რაზეა ეს წიგნი
ამ წიგნში ვისაუბრებთ მათემატიკის რამდენიმე თანამედროვე გამოყენებაზე. ჩვენ შევარჩიეთ შვიდი თემა, თითო თითოეული თავისთვის:
1) ამოცანების დაგეგმვა და დაგეგმვა (თავი);
2) ციფრული ფორმით შენახვისა და გადაცემის ტექსტების კოდირება (თავი);
3) ინტერნეტში საკომუნიკაციო არხებით სერვერების დამაკავშირებელი სტრუქტურა (თავი);
4) დატვირთვის დაბალანსება ტელეკომუნიკაციებში (თავი);
5) კონფიდენციალური შეტყობინებების დაშიფვრა (თავი);
6) დათვლის ოპერაციები დიდი მონაცემების ანალიზში (თავი);
არავითარ შემთხვევაში არ ვიქნებით პრეტენზია მათემატიკის უთვალავი გამოყენების სრულ გამოკვლევად. ამას დასჭირდება არა ერთი წიგნი, არამედ მთელი ბიბლიოთეკა! მაგალითად, ჩვენ საერთოდ არ ვახსენებთ სამედიცინო აპლიკაციებს, როგორიცაა მოძრავი სამგანზომილებიანი გამოსახულების შექმნა CT სკანირებაზე ან კიბოს უჯრედების გენომებში მუტაციების აღმოჩენა. ჩვენ ასევე არ ვფარავთ აპლიკაციებს მაღალტექნოლოგიურ წარმოებაში, როგორიცაა ინჟინერია და ავიაცია, და ეკონომიკაში აპლიკაციების ფართო სპექტრი.
ჩვენს მიერ არჩეული თემები ერთი იდეაა გაერთიანებული. ყველა მათგანი დაკავშირებულია კომპიუტერთან და ინტერნეტთან. ნათელი და კონკრეტული მაგალითებით გვინდა ვაჩვენოთ, რომ კომპიუტერს, თუნდაც ყველაზე მძლავრს, არ ძალუძს ჩვენთვის უკვე ასე ნაცნობი სასწაულების მოხდენა: აჩვენეთ ტექსტები და ფოტოები, გააკეთეთ რთული გამოთვლები, მოიძიეთ ინფორმაცია და გაგზავნეთ მონაცემები გარშემო. სამყარო. ყველაფრის უკან მათემატიკა დგას; ამის გარეშე კომპიუტერი მხოლოდ უსიცოცხლო და პრაქტიკულად უსარგებლო მოწყობილობად დარჩებოდა.
რა თქმა უნდა, ეს თემაც კი არ შეიძლება მთლიანად ერთ წიგნში გაშუქდეს. ჩვენ შევარჩიეთ მხოლოდ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც ყველაზე ახლოსაა ჩვენივე კვლევის თემასთან. ეს წიგნი სხვა ავტორების მიერ რომ იყოს დაწერილი, მაშინ თემები განსხვავებული იქნებოდა, მაგრამ არანაკლებ შთამბეჭდავი.
ჩვენ ნამდვილად გვინდა გაგიზიაროთ, თუ არა ჩვენი გატაცება, მაშინ მაინც ჩვენი აღტაცება მათემატიკით - ზუსტი და ლამაზი, უძველესი და ყოველთვის თანამედროვე და, რა თქმა უნდა, წარმოუდგენლად სასარგებლო!
ვისთვის არის ეს წიგნი?
ეს წიგნი დაწერილია მკითხველთა ფართო სპექტრისთვის და არ საჭიროებს განსაკუთრებულ მომზადებას. ამასთან, ყველაზე დაინტერესებული და მომზადებული მკითხველისთვის ძირითადი ტექსტის გარდა დავამატეთ დამატებითი განმარტებები და აპლიკაციები.
მთავარი ტექსტი.წიგნის ძირითადი ტექსტი აბსოლუტურად არ საჭიროებს მათემატიკურ ფონს. შევეცადეთ დამეწერა ისე, რომ ყველა მკითხველისთვის საინტერესო და გასაგები ყოფილიყო. გარკვეული გაგებით, ჩვენი ამბავი შეიძლება შევადაროთ პოპულარულ სამეცნიერო სატელევიზიო გადაცემებს.
დამატებითი განმარტებები.ხანდახან დაინტერესებული მკითხველისთვის ძირითად იდეებს ცოტა დაწვრილებით ვუხსნით. ეს ტექსტი ჩართულია ჩანართებში. ძირითადად, ეს არ საჭიროებს მათემატიკურ ფონს. მაგრამ თუ გსურთ, შეგიძლიათ გამოტოვოთ იგი თავის დანარჩენი შინაარსის გაგების გარეშე.
აპლიკაციები. წიგნის ბოლოს ჩვენ მოვათავსეთ თითოეული თავის დანართები, სადაც ვაძლევთ უფრო მკაცრ მათემატიკურ ფორმულირებებს, მათ შორის ფორმულებს, თეორემებსა და მტკიცებულებებს (ან მინიმუმ იდეებს მტკიცებულებებისთვის). მოძებნეთ მათზე მითითებები შესაბამის თავებში. აპლიკაციები განკუთვნილია მათემატიკის მოყვარული საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის.
"კიდევ ვინმეს სჭირდება მათემატიკა?"
ნელი
ხანგრძლივი ფრენის და რიგში საათნახევრის შემდეგ, ბოლოს პასპორტს ვაჩვენებ და საჩვენებელი თითი ატლანტას აეროპორტის პატარა სკანერს დავადე. Ქარწაღებულნი…
- კონფერენციაზე მოვედი.
ნელი ლიტვაკი, ანდრეი რაიგოროვსკი
ვის სჭირდება მათემატიკა? გასაგები წიგნი იმის შესახებ, თუ როგორ მუშაობს ციფრული სამყარო
Ყველა უფლება დაცულია. ამ პუბლიკაციის არც ერთი ნაწილის რეპროდუცირება დაუშვებელია რაიმე მიზნით, ნებისმიერი ფორმით ან რაიმე საშუალებით, ელექტრონული ან მექანიკური, მათ შორის ფოტოკოპირების და მაგნიტურ მედიაზე ჩაწერის ჩათვლით, თუ გამომცემლის მიერ წერილობითი ნებართვა არ არის პირდაპირ.
© N. Litvak, A. Raigorodsky, 2016 წ
© გამოცემა, დიზაინი. შპს "მანი, ივანოვი და ფერბერი", 2017 წ
* * *შესავალი
რაზეა ეს წიგნი
ამ წიგნში ვისაუბრებთ მათემატიკის რამდენიმე თანამედროვე გამოყენებაზე. ჩვენ შევარჩიეთ შვიდი თემა, თითო თითოეული თავისთვის:
1) ამოცანების დაგეგმვა და დაგეგმვა (თავი „მართვა და პოლიედრები“);
2) ციფრული ფორმით შენახვისა და გადაცემის ტექსტების კოდირება (თავი „ნულებისა და ერთების სამყარო“);
3) ინტერნეტში საკომუნიკაციო არხებით სერვერების დამაკავშირებელი სტრუქტურა (თავი „ინტერნეტის საიმედოობა“);
4) დატვირთვის დაბალანსება ტელეკომუნიკაციებში (თავი „ორს შორის არჩევის ძალა“);
5) კონფიდენციალური შეტყობინებების დაშიფვრა (თავი „საიდუმლო ნომრები“);
6) დათვლის ოპერაციები დიდი მონაცემების ანალიზში (თავი „მრიცხველები მოკლე მეხსიერებით“);
არავითარ შემთხვევაში არ ვიქნებით პრეტენზია მათემატიკის უთვალავი გამოყენების სრულ გამოკვლევად. ამას დასჭირდება არა ერთი წიგნი, არამედ მთელი ბიბლიოთეკა! მაგალითად, ჩვენ საერთოდ არ ვახსენებთ სამედიცინო აპლიკაციებს, როგორიცაა მოძრავი სამგანზომილებიანი გამოსახულების შექმნა CT სკანირებაზე ან კიბოს უჯრედების გენომებში მუტაციების აღმოჩენა. ჩვენ ასევე არ ვფარავთ აპლიკაციებს მაღალტექნოლოგიურ წარმოებაში, როგორიცაა ინჟინერია და ავიაცია, და ეკონომიკაში აპლიკაციების ფართო სპექტრი.
ჩვენს მიერ არჩეული თემები ერთი იდეაა გაერთიანებული. ყველა მათგანი დაკავშირებულია კომპიუტერთან და ინტერნეტთან. ნათელი და კონკრეტული მაგალითებით გვინდა ვაჩვენოთ, რომ კომპიუტერს, თუნდაც ყველაზე მძლავრს, არ ძალუძს ჩვენთვის უკვე ასე ნაცნობი სასწაულების მოხდენა: აჩვენეთ ტექსტები და ფოტოები, გააკეთეთ რთული გამოთვლები, მოიძიეთ ინფორმაცია და გაგზავნეთ მონაცემები გარშემო. სამყარო. ყველაფრის უკან მათემატიკა დგას; ამის გარეშე კომპიუტერი მხოლოდ უსიცოცხლო და პრაქტიკულად უსარგებლო მოწყობილობად დარჩებოდა.
რა თქმა უნდა, ეს თემაც კი არ შეიძლება მთლიანად ერთ წიგნში გაშუქდეს. ჩვენ შევარჩიეთ მხოლოდ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც ყველაზე ახლოსაა ჩვენივე კვლევის თემასთან. ეს წიგნი სხვა ავტორების მიერ რომ იყოს დაწერილი, მაშინ თემები განსხვავებული იქნებოდა, მაგრამ არანაკლებ შთამბეჭდავი.
ჩვენ ნამდვილად გვინდა გაგიზიაროთ, თუ არა ჩვენი გატაცება, მაშინ მაინც ჩვენი აღტაცება მათემატიკით - ზუსტი და ლამაზი, უძველესი და ყოველთვის თანამედროვე და, რა თქმა უნდა, წარმოუდგენლად სასარგებლო!
ვისთვის არის ეს წიგნი?
ეს წიგნი დაწერილია მკითხველთა ფართო სპექტრისთვის და არ საჭიროებს განსაკუთრებულ მომზადებას. ამასთან, ყველაზე დაინტერესებული და მომზადებული მკითხველისთვის ძირითადი ტექსტის გარდა დავამატეთ დამატებითი განმარტებები და აპლიკაციები.
მთავარი ტექსტი.წიგნის ძირითადი ტექსტი აბსოლუტურად არ საჭიროებს მათემატიკურ ფონს. შევეცადეთ დამეწერა ისე, რომ ყველა მკითხველისთვის საინტერესო და გასაგები ყოფილიყო. გარკვეული გაგებით, ჩვენი ამბავი შეიძლება შევადაროთ პოპულარულ სამეცნიერო სატელევიზიო გადაცემებს.
დამატებითი განმარტებები.ხანდახან დაინტერესებული მკითხველისთვის ძირითად იდეებს ცოტა დაწვრილებით ვუხსნით. ეს ტექსტი ჩართულია ჩანართებში. ძირითადად, ეს არ საჭიროებს მათემატიკურ ფონს. მაგრამ თუ გსურთ, შეგიძლიათ გამოტოვოთ იგი თავის დანარჩენი შინაარსის გაგების გარეშე.
აპლიკაციები. წიგნის ბოლოს ჩვენ მოვათავსეთ თითოეული თავის დანართები, სადაც ვაძლევთ უფრო მკაცრ მათემატიკურ ფორმულირებებს, მათ შორის ფორმულებს, თეორემებსა და მტკიცებულებებს (ან მინიმუმ იდეებს მტკიცებულებებისთვის). მოძებნეთ მათზე მითითებები შესაბამის თავებში. აპლიკაციები განკუთვნილია მათემატიკის მოყვარული საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის.
"კიდევ ვინმეს სჭირდება მათემატიკა?"
ნელი
ხანგრძლივი ფრენის და რიგში საათნახევრის შემდეგ, ბოლოს პასპორტს ვაჩვენებ და საჩვენებელი თითი ატლანტას აეროპორტის პატარა სკანერს დავადე. Ქარწაღებულნი…
- კონფერენციაზე მოვედი.
- მათემატიკა.
ჩემთან ყველაფერი გასაგებია, მესაზღვრე იღიმება და ბეჭედს იღებს:
- და რა, სხვას უნდა მათემატიკა?
არა, უბრალოდ იფიქრე! ის ზის ატლანტას აეროპორტში, სადაც თვითმფრინავი დაეშვება ფაქტიურად ყოველ ათ წუთში, ასკანირებს ჩემს პასპორტს, კომპიუტერი იპოვის ჩემს თითის ანაბეჭდებს მილიონობით სხვა ანაბეჭდს შორის წამის ნაწილად და ადარებს ჩემს ფაილს ასობით თხელ ხაზს პატარა სკანერზე. როგორ, მაინტერესებს, გადაწყდა რომელ საათზე, სად და რომელი თვითმფრინავი უნდა დაეშვა? როგორ შევინახოთ თითის ანაბეჭდები კომპიუტერში, რომელიც, მიუხედავად იმისა, რომ ეკრანზე აჩვენებს ყველა სახის სურათს, რეალურად ვერაფერს ინახავს ნულების და ერთების გარდა? როგორ სწრაფად მოვძებნოთ სასურველი ჩანაწერი მილიონობით სხვას შორის? და როგორ შეუძლია კომპიუტერმა - პლასტმასის და რკინის თაიგულმა - გადაწყვიტოს ემთხვევა თუ არა ორი სურათი და გაფილტრავს გარდაუვალ ხმაურს და უზუსტობებს?
შეგიძლიათ შემდგომი გათხრა, თვითმფრინავის დიზაინის გაგებით (მაქსიმალური სიძლიერე მინიმალური წონით), ჩაუღრმავდეთ ბილეთების ღირებულების განსაზღვრის იდუმალ სისტემას და ა.შ. და არც ერთი - გაითვალისწინეთ, აბსოლუტურად არაფერი! - მათემატიკის გარეშე არ შეიძლებოდა. თვითმფრინავები, ფასები, ხაზები თითებზე - ეს ყველაფერი აღწერილია ცვლადების, ფუნქციების და განტოლებების გამოყენებით. და ყველა ამ პრობლემისთვის ეფექტური და ზუსტი გადაწყვეტილებები იქნა ნაპოვნი. იმიტომ რომ კომპიუტერს თვალები არ აქვს და ამავდროულად სწრაფად და ზუსტად უნდა ამოიცნოს ჩემი თითის ანაბეჭდი. მათემატიკოსთა მთელ გუნდს შეეძლო მთელი ცხოვრება ემუშავა, მხოლოდ ატლანტას აეროპორტთან დაკავშირებულ პრობლემებთან გამკლავება.
პასპორტს ვიღებ და მესაზღვრეს ვუღიმი:
- რა თქმა უნდა, გჭირდება!
დისკუსიის განვითარება აზრი არ აქვს. და შემდეგ, კითხვის მთელი უაზრობის მიუხედავად, მისი ბრალი არ არის, რომ მათემატიკა წარმოუდგენია, როგორც უსარგებლო სავარჯიშოების უსასრულო სერია რიცხვებითა და ფორმულებით. და რა თქმა უნდა, ის არ არის ერთადერთი.
მე ცოტა ხნის წინ განვიხილეთ ეს სიტუაცია კლასში მათემატიკის სტუდენტებთან. გეკითხებიან: სად სწავლობ? თქვენ პასუხობთ: გამოყენებითი მათემატიკა. გეკითხებიან: რატომ არის ეს საჭირო? აუდიტორიაში არის უხერხული გაგების ღიმილი. ყველას არაერთხელ გაუგია ეს კითხვა.
მე მჯერა, რომ მათემატიკა უნდა იყოს ან ლამაზი ან სასარგებლო. და უკეთესი - როგორც ეს ხშირად ხდება რეალურ მეცნიერებაში - ორივე! ალბათ, სპეციალური მომზადების გარეშე, მათემატიკის სილამაზე საკმაოდ რთული გასაგებია. მაგრამ ჩემთვის გასაკვირია, რომ ციფრულ ეპოქაში ფართო საზოგადოებამ ძალიან ცოტა იცის მათემატიკის წარმოუდგენელი სარგებლობის შესახებ. ამერიკელი მესაზღვრეების სკეპტიციზმი უფრო წესია, ვიდრე გამონაკლისი. ამ წიგნში მინდოდა გარკვევით და საინტერესოდ მეთქვა მათემატიკის სარგებლობის შესახებ. ისე, სილამაზის შესახებ, რა თქმა უნდა, ასევე. ვიმედოვნებთ, რომ მკითხველი შეძლებს მის ნახვას და შეფასებას.
ანდრეი
ჩემს ოჯახში ბევრი მათემატიკასთან იყო დაკავშირებული. მაგალითად, დედა და მამა შეხვდნენ MIIT-ში, სადაც დედა სწავლობდა გამოყენებითი მათემატიკის ფაკულტეტზე, მამა კი სწავლობდა კონტროლის სისტემების ავტომატიზაციას (როგორც მაშინ ეძახდნენ პროგრამირების განყოფილებებს). მამა ერთხელ სწავლობდა ცნობილ მე-2 სკოლაში. და დედაჩემის მამამ, ბაბუამ, ომამდე, დაამთავრა მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მექანიკისა და მათემატიკის ფაკულტეტი და შემდეგ მთელი ცხოვრება მუშაობდა კოსმოსური ხომალდების ტრაექტორიების გამოთვლაზე (ვთქვათ, იგივე პირველი მთვარე როვერები), ჯერ კოროლევთან ერთად. პოდლიპკი, შემდეგ ლავოჩკინთან ხიმკიში. ის, ალბათ, ყველაზე დიდ გავლენას ახდენს ჩემზე. ასევე ვსწავლობდი მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მექანიკა-მათემატიკაში. იქ მათემატიკის პროფესიად არჩევაზე რადიკალური გავლენა იქონია ჩემმა ხელმძღვანელმა, ნიკოლაი გერმანოვიჩ მოშჩევიტინმა.
მეხმათამდე ფრანგული მიკერძოებულ სკოლაში ვსწავლობდი და ბევრი საგანი მიყვარდა. მაინტერესებდა ენები, მათ შორის ლინგვისტიკის თვალსაზრისით. საშუალო სკოლაში მე მქონდა შესაძლებლობა შემეცვალა სკოლა მათემატიკური მიკერძოებით, მაგრამ შეგნებულად ვარჩიე დარჩენა და ფრანგულის დასრულება.
მე არ მჯერა, რომ მათემატიკა არის საბუნებისმეტყველო მეცნიერება, როგორიცაა ფიზიკა, ქიმია ან ბიოლოგია. ეს ერთგვარი ხელოვნებაა. ცნობილმა მათემატიკოსმა ერდოსმა თქვა, რომ ღმერთს აქვს წიგნი, რომელიც შეიცავს სრულყოფილ მათემატიკურ მტკიცებულებებს, „მტკიცებულებებს წიგნიდან“. მე ასევე ვფიქრობ, რომ მათემატიკა ავლენს იდეალურ სამყაროში შემავალ ჭეშმარიტებებს და მხოლოდ იმიტომ, რომ მას აქვს აპლიკაციები, ხედავს "უმაღლეს რეალობას", რომლის პროექციასაც ეს სამყარო ემსახურება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არ არის მათემატიკა, რომელიც გამართლებულია მისი აპლიკაციებით (ის თავისთავად ლამაზია), ისინი წარმოიქმნება იმის გამო, რომ ასე მუშაობს სამყარო და მათემატიკა მხოლოდ ამაზეა, სამყაროს სტრუქტურაზე.
Ყველა უფლება დაცულია. ამ პუბლიკაციის არც ერთი ნაწილის რეპროდუცირება დაუშვებელია რაიმე მიზნით, ნებისმიერი ფორმით ან რაიმე საშუალებით, ელექტრონული ან მექანიკური, მათ შორის ფოტოკოპირების და მაგნიტურ მედიაზე ჩაწერის ჩათვლით, თუ გამომცემლის მიერ წერილობითი ნებართვა არ არის პირდაპირ.
© N. Litvak, A. Raigorodsky, 2016 წ
© გამოცემა, დიზაინი. შპს "მანი, ივანოვი და ფერბერი", 2017 წ
* * *
შესავალი
რაზეა ეს წიგნი
ამ წიგნში ვისაუბრებთ მათემატიკის რამდენიმე თანამედროვე გამოყენებაზე. ჩვენ შევარჩიეთ შვიდი თემა, თითო თითოეული თავისთვის:
1) ამოცანების დაგეგმვა და დაგეგმვა (თავი „მართვა და პოლიედრები“);
2) ციფრული ფორმით შენახვისა და გადაცემის ტექსტების კოდირება (თავი „ნულებისა და ერთების სამყარო“);
3) ინტერნეტში საკომუნიკაციო არხებით სერვერების დამაკავშირებელი სტრუქტურა (თავი „ინტერნეტის საიმედოობა“);
4) დატვირთვის დაბალანსება ტელეკომუნიკაციებში (თავი „ორს შორის არჩევის ძალა“);
5) კონფიდენციალური შეტყობინებების დაშიფვრა (თავი „საიდუმლო ნომრები“);
6) დათვლის ოპერაციები დიდი მონაცემების ანალიზში (თავი „მრიცხველები მოკლე მეხსიერებით“);
არავითარ შემთხვევაში არ ვიქნებით პრეტენზია მათემატიკის უთვალავი გამოყენების სრულ გამოკვლევად. ამას დასჭირდება არა ერთი წიგნი, არამედ მთელი ბიბლიოთეკა! მაგალითად, ჩვენ საერთოდ არ ვახსენებთ სამედიცინო აპლიკაციებს, როგორიცაა მოძრავი სამგანზომილებიანი გამოსახულების შექმნა CT სკანირებაზე ან კიბოს უჯრედების გენომებში მუტაციების აღმოჩენა. ჩვენ ასევე არ ვფარავთ აპლიკაციებს მაღალტექნოლოგიურ წარმოებაში, როგორიცაა ინჟინერია და ავიაცია, და ეკონომიკაში აპლიკაციების ფართო სპექტრი.
ჩვენს მიერ არჩეული თემები ერთი იდეაა გაერთიანებული. ყველა მათგანი დაკავშირებულია კომპიუტერთან და ინტერნეტთან. ნათელი და კონკრეტული მაგალითებით გვინდა ვაჩვენოთ, რომ კომპიუტერს, თუნდაც ყველაზე მძლავრს, არ ძალუძს ჩვენთვის უკვე ასე ნაცნობი სასწაულების მოხდენა: აჩვენეთ ტექსტები და ფოტოები, გააკეთეთ რთული გამოთვლები, მოიძიეთ ინფორმაცია და გაგზავნეთ მონაცემები გარშემო. სამყარო. ყველაფრის უკან მათემატიკა დგას; ამის გარეშე კომპიუტერი მხოლოდ უსიცოცხლო და პრაქტიკულად უსარგებლო მოწყობილობად დარჩებოდა.
რა თქმა უნდა, ეს თემაც კი არ შეიძლება მთლიანად ერთ წიგნში გაშუქდეს. ჩვენ შევარჩიეთ მხოლოდ რამდენიმე მაგალითი, რომლებიც ყველაზე ახლოსაა ჩვენივე კვლევის თემასთან. ეს წიგნი სხვა ავტორების მიერ რომ იყოს დაწერილი, მაშინ თემები განსხვავებული იქნებოდა, მაგრამ არანაკლებ შთამბეჭდავი.
ჩვენ ნამდვილად გვინდა გაგიზიაროთ, თუ არა ჩვენი გატაცება, მაშინ მაინც ჩვენი აღტაცება მათემატიკით - ზუსტი და ლამაზი, უძველესი და ყოველთვის თანამედროვე და, რა თქმა უნდა, წარმოუდგენლად სასარგებლო!
ვისთვის არის ეს წიგნი?
ეს წიგნი დაწერილია მკითხველთა ფართო სპექტრისთვის და არ საჭიროებს განსაკუთრებულ მომზადებას. ამასთან, ყველაზე დაინტერესებული და მომზადებული მკითხველისთვის ძირითადი ტექსტის გარდა დავამატეთ დამატებითი განმარტებები და აპლიკაციები.
მთავარი ტექსტი.წიგნის ძირითადი ტექსტი აბსოლუტურად არ საჭიროებს მათემატიკურ ფონს. შევეცადეთ დამეწერა ისე, რომ ყველა მკითხველისთვის საინტერესო და გასაგები ყოფილიყო. გარკვეული გაგებით, ჩვენი ამბავი შეიძლება შევადაროთ პოპულარულ სამეცნიერო სატელევიზიო გადაცემებს.
დამატებითი განმარტებები.ხანდახან დაინტერესებული მკითხველისთვის ძირითად იდეებს ცოტა დაწვრილებით ვუხსნით. ეს ტექსტი ჩართულია ჩანართებში. ძირითადად, ეს არ საჭიროებს მათემატიკურ ფონს. მაგრამ თუ გსურთ, შეგიძლიათ გამოტოვოთ იგი თავის დანარჩენი შინაარსის გაგების გარეშე.
აპლიკაციები. წიგნის ბოლოს ჩვენ მოვათავსეთ თითოეული თავის დანართები, სადაც ვაძლევთ უფრო მკაცრ მათემატიკურ ფორმულირებებს, მათ შორის ფორმულებს, თეორემებსა და მტკიცებულებებს (ან მინიმუმ იდეებს მტკიცებულებებისთვის). მოძებნეთ მათზე მითითებები შესაბამის თავებში. აპლიკაციები განკუთვნილია მათემატიკის მოყვარული საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის.
Თავი 1
"კიდევ ვინმეს სჭირდება მათემატიკა?"
ნელი
ხანგრძლივი ფრენის და რიგში საათნახევრის შემდეგ, ბოლოს პასპორტს ვაჩვენებ და საჩვენებელი თითი ატლანტას აეროპორტის პატარა სკანერს დავადე. Ქარწაღებულნი…
- კონფერენციაზე მოვედი.
- მათემატიკა.
ჩემთან ყველაფერი გასაგებია, მესაზღვრე იღიმება და ბეჭედს იღებს:
- და რა, სხვას უნდა მათემატიკა?
არა, უბრალოდ იფიქრე! ის ზის ატლანტას აეროპორტში, სადაც თვითმფრინავი დაეშვება ფაქტიურად ყოველ ათ წუთში, ასკანირებს ჩემს პასპორტს, კომპიუტერი იპოვის ჩემს თითის ანაბეჭდებს მილიონობით სხვა ანაბეჭდს შორის წამის ნაწილად და ადარებს ჩემს ფაილს ასობით თხელ ხაზს პატარა სკანერზე. როგორ, მაინტერესებს, გადაწყდა რომელ საათზე, სად და რომელი თვითმფრინავი უნდა დაეშვა? როგორ შევინახოთ თითის ანაბეჭდები კომპიუტერში, რომელიც, მიუხედავად იმისა, რომ ეკრანზე აჩვენებს ყველა სახის სურათს, რეალურად ვერაფერს ინახავს ნულების და ერთების გარდა? როგორ სწრაფად მოვძებნოთ სასურველი ჩანაწერი მილიონობით სხვას შორის? და როგორ შეუძლია კომპიუტერმა - პლასტმასის და რკინის თაიგულმა - გადაწყვიტოს ემთხვევა თუ არა ორი სურათი და გაფილტრავს გარდაუვალ ხმაურს და უზუსტობებს?
შეგიძლიათ შემდგომი გათხრა, თვითმფრინავის დიზაინის გაგებით (მაქსიმალური სიძლიერე მინიმალური წონით), ჩაუღრმავდეთ ბილეთების ღირებულების განსაზღვრის იდუმალ სისტემას და ა.შ. და არც ერთი - გაითვალისწინეთ, აბსოლუტურად არაფერი! - მათემატიკის გარეშე არ შეიძლებოდა. თვითმფრინავები, ფასები, ხაზები თითებზე - ეს ყველაფერი აღწერილია ცვლადების, ფუნქციების და განტოლებების გამოყენებით. და ყველა ამ პრობლემისთვის ეფექტური და ზუსტი გადაწყვეტილებები იქნა ნაპოვნი. იმიტომ რომ კომპიუტერს თვალები არ აქვს და ამავდროულად სწრაფად და ზუსტად უნდა ამოიცნოს ჩემი თითის ანაბეჭდი. მათემატიკოსთა მთელ გუნდს შეეძლო მთელი ცხოვრება ემუშავა, მხოლოდ ატლანტას აეროპორტთან დაკავშირებულ პრობლემებთან გამკლავება.
პასპორტს ვიღებ და მესაზღვრეს ვუღიმი:
- რა თქმა უნდა, გჭირდება!
დისკუსიის განვითარება აზრი არ აქვს. და შემდეგ, კითხვის მთელი უაზრობის მიუხედავად, მისი ბრალი არ არის, რომ მათემატიკა წარმოუდგენია, როგორც უსარგებლო სავარჯიშოების უსასრულო სერია რიცხვებითა და ფორმულებით. და რა თქმა უნდა, ის არ არის ერთადერთი.
მე ცოტა ხნის წინ განვიხილეთ ეს სიტუაცია კლასში მათემატიკის სტუდენტებთან. გეკითხებიან: სად სწავლობ? თქვენ პასუხობთ: გამოყენებითი მათემატიკა. გეკითხებიან: რატომ არის ეს საჭირო? აუდიტორიაში არის უხერხული გაგების ღიმილი. ყველას არაერთხელ გაუგია ეს კითხვა.
მე მჯერა, რომ მათემატიკა უნდა იყოს ან ლამაზი ან სასარგებლო. და უკეთესი - როგორც ეს ხშირად ხდება რეალურ მეცნიერებაში - ორივე! ალბათ, სპეციალური მომზადების გარეშე, მათემატიკის სილამაზე საკმაოდ რთული გასაგებია. მაგრამ ჩემთვის გასაკვირია, რომ ციფრულ ეპოქაში ფართო საზოგადოებამ ძალიან ცოტა იცის მათემატიკის წარმოუდგენელი სარგებლობის შესახებ. ამერიკელი მესაზღვრეების სკეპტიციზმი უფრო წესია, ვიდრე გამონაკლისი. ამ წიგნში მინდოდა გარკვევით და საინტერესოდ მეთქვა მათემატიკის სარგებლობის შესახებ. ისე, სილამაზის შესახებ, რა თქმა უნდა, ასევე. ვიმედოვნებთ, რომ მკითხველი შეძლებს მის ნახვას და შეფასებას.
ანდრეი
ჩემს ოჯახში ბევრი მათემატიკასთან იყო დაკავშირებული. მაგალითად, დედა და მამა შეხვდნენ MIIT-ში, სადაც დედა სწავლობდა გამოყენებითი მათემატიკის ფაკულტეტზე, მამა კი სწავლობდა კონტროლის სისტემების ავტომატიზაციას (როგორც მაშინ ეძახდნენ პროგრამირების განყოფილებებს). მამა ერთხელ სწავლობდა ცნობილ მე-2 სკოლაში. და დედაჩემის მამამ, ბაბუამ, ომამდე, დაამთავრა მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მექანიკისა და მათემატიკის ფაკულტეტი და შემდეგ მთელი ცხოვრება მუშაობდა კოსმოსური ხომალდების ტრაექტორიების გამოთვლაზე (ვთქვათ, იგივე პირველი მთვარე როვერები), ჯერ კოროლევთან ერთად. პოდლიპკი, შემდეგ ლავოჩკინთან ხიმკიში. ის, ალბათ, ყველაზე დიდ გავლენას ახდენს ჩემზე. ასევე ვსწავლობდი მოსკოვის სახელმწიფო უნივერსიტეტის მექანიკა-მათემატიკაში. იქ მათემატიკის პროფესიად არჩევაზე რადიკალური გავლენა იქონია ჩემმა ხელმძღვანელმა, ნიკოლაი გერმანოვიჩ მოშჩევიტინმა.
მეხმათამდე ფრანგული მიკერძოებულ სკოლაში ვსწავლობდი და ბევრი საგანი მიყვარდა. მაინტერესებდა ენები, მათ შორის ლინგვისტიკის თვალსაზრისით. საშუალო სკოლაში მე მქონდა შესაძლებლობა შემეცვალა სკოლა მათემატიკური მიკერძოებით, მაგრამ შეგნებულად ვარჩიე დარჩენა და ფრანგულის დასრულება.
მე არ მჯერა, რომ მათემატიკა არის საბუნებისმეტყველო მეცნიერება, როგორიცაა ფიზიკა, ქიმია ან ბიოლოგია. ეს ერთგვარი ხელოვნებაა. ცნობილმა მათემატიკოსმა ერდოსმა თქვა, რომ ღმერთს აქვს წიგნი, რომელიც შეიცავს სრულყოფილ მათემატიკურ მტკიცებულებებს, „მტკიცებულებებს წიგნიდან“. მე ასევე ვფიქრობ, რომ მათემატიკა ავლენს იდეალურ სამყაროში შემავალ ჭეშმარიტებებს და მხოლოდ იმიტომ, რომ მას აქვს აპლიკაციები, ხედავს "უმაღლეს რეალობას", რომლის პროექციასაც ეს სამყარო ემსახურება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არ არის მათემატიკა, რომელიც გამართლებულია მისი აპლიკაციებით (ის თავისთავად ლამაზია), ისინი წარმოიქმნება იმის გამო, რომ ასე მუშაობს სამყარო და მათემატიკა მხოლოდ ამაზეა, სამყაროს სტრუქტურაზე.
ჩემი მეცნიერება - კომბინატორიკა - აღსანიშნავია იმით, რომ ბევრ ფორმულირებას და დადასტურებულ კომპლექსურ შედეგებს გასაგებს ხდის მათემატიკით დაინტერესებული სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი. ამიტომ ძალიან მაგარია ამაზე საუბარი. თუმცა, ეს მეცნიერება ასევე მდიდარია პრობლემებით, რომლებიც, მიუხედავად მათი ფორმულირების სიმარტივისა, მაინც სრულიად მოუგვარებელია. წიგნში განვიხილავთ ზოგიერთ მათგანს: ისინი კვლავ ღიაა, მიუხედავად მათი აქტუალობისა.
საუკეთესო პასუხი კითხვაზე "ვის სჭირდება მათემატიკა?"
ალბათ პრიზი საუკეთესო პასუხისთვის კითხვაზე "ვის სჭირდება მათემატიკა?" შეიძლება უსაფრთხოდ მიეცეს გამოჩენილ გერმანელ მათემატიკოსს, სახელად მარტინ გროშელს. ჩვენ არ ვიძლევით გარანტიას პრეზენტაციის სიზუსტეზე, მაგრამ ველოსიპედი, რომელიც კონფერენციებზეა ნათქვამი, ასე ჟღერს:
ერთ დღეს გერმანიის მთავრობამ გადაწყვიტა დიდი თანხების გამოყოფა მეცნიერების ყველაზე მოწინავე და აუცილებელი სფეროების განვითარებისთვის. სახელმწიფო კომისიის სხდომაზე მოწვეულნი იყვნენ ფიზიკოსები, ქიმიკოსები, ბიოლოგები - ყველა მეცნიერების წარმომადგენელი. გროშელი წარმოადგენდა მათემატიკას. ყველა მომხსენებელი დიდი ენთუზიაზმით საუბრობდა მათი მეცნიერების არაჩვეულებრივ მიღწევებზე და იმაზე, თუ როგორ დაინგრევა ამის გარეშე მსოფლიო და გერმანია. ბუნებრივია, ყველა გამომსვლელი გასცდა დანიშნულ დროს. გროტშელი ბოლოს ლაპარაკობდა. შეხვედრა უკვე დასასრულს უახლოვდებოდა, ჩინოვნიკები დაღლილი იჯდნენ მათზე მოხვედრილი ინფორმაციის ნაკადისგან. გროტშელი ტრიბუნზე მივიდა და ასეთი რამ თქვა:
- Ქალბატონებო და ბატონებო! გრძელი სიტყვით არ მოგაბეზრებთ, უბრალოდ მაგალითი მოგიყვანთ. ცოტა ხნის წინ მივიღეთ შეკვეთა მსხვილი სადაზღვევო კომპანიისგან, რომელიც გეგმავს თავისი მომხმარებლებისთვის მანქანის სერვისის შექმნას. იდეა ძალიან მარტივია: თუ კლიენტს გზაზე მანქანა გაუფუჭდა, მას შეუძლია ტელეფონზე დარეკვა და სასწრაფო დახმარების სამსახური სასწრაფოდ მოვა. საკითხავია, როგორ სწორად მოაწყოთ ასეთი სერვისი. პრინციპში, ამოცანის გადაჭრა შესაძლებელია საკმაოდ მარტივად - მაგალითად, თითოეულ კლიენტს მიაკუთვნეთ პერსონალური სასწრაფო დახმარების მანქანა მექანიკოსთან ერთად. მაშინ კლიენტი დაუყოვნებლივ მიიღებს დახმარებას ნებისმიერ დროს. მაგრამ ეს ძალიან ძვირია! კიდევ ერთი ვარიანტია საერთოდ არ დაუკავშირდეთ სასწრაფო დახმარების სამსახურს. მომხმარებელს შეუძლია ლოდინი განუსაზღვრელი ვადით, მაგრამ ეს მათ არც ერთი ცენტი არ დაუჯდება. Ისე. თუ ეს გადაწყვეტილებები არ გიხდებათ, მაშინ უნდა გითხრათ, რომ ნებისმიერი სხვა ვარიანტისთვის მათემატიკა იქნება საჭირო! Გმადლობთ ყურადღებისთვის.
ზედმეტია იმის თქმა, რომ მათემატიკამ მიიღო კოლოსალური სახელმწიფო სუბსიდიები. ამ ინვესტიციების შედეგები ყველა სფეროში, ტრანსპორტიდან მედიცინამდე, აბსოლუტურად გასაოცარია!
სხვათა შორის, ნელის მოსწავლეებს შორის საუკეთესო პასუხის პრიზი იყო კლარა, რომელმაც თქვა, რომ მათემატიკის გარეშე მატარებლების დანიშვნა შეუძლებელი იქნებოდა და ისინი ყოველთვის შეეჯახებოდნენ ერთმანეთს. მატარებლის განრიგის შესახებ უფრო მეტს ვისაუბრებთ მე-2 თავში, მაგრამ ახლა მოდით ვისაუბროთ იმაზე, თუ რას აკეთებენ პროფესიონალი მათემატიკოსები, დაწყებული კოლეჯის კურსდამთავრებულებიდან კომპანიებში და დამთავრებული წამყვანი თეორიტიკოსებით დამთავრებული.
მათემატიკა ყოველი დღისთვის
ევროპაში მათემატიკის კურსდამთავრებულებზე დიდი მოთხოვნაა. საშუალო სტუდენტებიც კი ადვილად პოულობენ სამუშაოს. უფრო მეტიც, ისინი ყოველთვის არ ხდებიან პროგრამისტები, მაშინაც კი, თუ მათი კომპანია აწარმოებს პროგრამულ უზრუნველყოფას. ოპტიმალური ლამაზი კოდი პროგრამული უზრუნველყოფის ინჟინრების ამოცანაა. მათემატიკოსთა ამოცანაა პრობლემის გადაჭრის მეთოდების გამომუშავება.
მათემატიკოსთა საქმიანობის სფერო ძალიან ფართოა: ლოგისტიკა, დაგეგმვა, მაღალტექნოლოგიური წარმოება, ბიოსამედიცინო ტექნოლოგიები, ფინანსები.
ყოფილმა კოლეგამ ნელიმ დაიცვა დისერტაცია ფინანსურ მათემატიკაში, შემდეგ კი კომპანიაში სამუშაოდ წავიდა. „ჩვენ ვმართავთ საპენსიო ფონდების აქტივებს ფასიანი ქაღალდების ბაზარზე. ბევრი ფიქრობს, რომ ეს არის ყიდვა-გაყიდვის ტიპის საქმიანობა. მე აქ ვიჯექი და ვხსნი დიფერენციალურ განტოლებებს მთელი დღე. და ის ბიჭები, რომლებიც ვაჭრობენ, სხედან იქ, ჩემგან სამ მეტრში. ახლა დავთვლი და ვეუბნები რა იყიდონ.”
მათემატიკოსებს შორის არიან ისეთებიც, რომლებიც უშუალოდ მუშაობენ აპლიკაციებთან. კარნეგი მელონის უნივერსიტეტის მორ ჰარკოლ-ბალტერი ამბობს, რომ მისი ყველა კვლევა ეფუძნება აპლიკაციებს. მაგალითად, 2011 წელს ის თანამშრომლობდა Facebook-თან. მოჰრის შეფასებით, ფეისბუქის სერვერების მხოლოდ ნახევარი მუშაობდა და დანარჩენ დროს ისინი უმოქმედოდ იყვნენ. გაშვებული და უმოქმედო სერვერი მოიხმარს გაშვებული სერვერის სიმძლავრის დაახლოებით ორ მესამედს. მაგრამ კომპანიებს ეშინიათ სერვერების გამორთვა, რადგან რაც უფრო მეტია, მით უფრო სწრაფად უმკლავდებიან მომხმარებლის მოთხოვნებს. ამასთან სერვერის ჩართვას 4-5 წუთი დასჭირდება, ფეისბუკს კი მოთხოვნის დასრულება უნდა ნახევარ წამში! თუმცა, მორს ეჭვი არ ეპარებოდა, რომ სერვერების უსაფრთხოდ გათიშვა შეიძლებოდა. მათემატიკური თეორიიდან - რიგის თეორია- ცხადი იყო, რომ თუ სერვერები ბევრია (და Facebook-ს ბევრი აქვს!), მაშინ მის ჩართვაზე დახარჯულ დროს არანაირი ეფექტი არ აქვს. მოჰრმა და მისმა სტუდენტებმა შეიმუშავეს მეთოდი, რომლის საშუალებითაც სერვერები ირთვებოდა და ირთვებოდა მომხმარებლებისთვის ზიანის მიყენების გარეშე. Facebook-მა მიჰყვა რეკომენდაციებს და კომპანიის თქმით, ახლა ენერგიის 10-15%-ით დაზოგავს.
ტვენტეს უნივერსიტეტის პროფესორები რიჩარდ ბუჩერი და ერვინ ჰანსი და მათი სტუდენტები ჩართულნი არიან ჯანდაცვის ლოჯისტიკაში. მათი კვლევის შედეგად, ჰოლანდიის საავადმყოფოებში მნიშვნელოვანი ცვლილებები მოხდა. მაგალითად, როტერდამის საავადმყოფოში ყოველთვის იყო სპეციალური საოპერაციო ოთახი, რომელიც მზად იყო სასწრაფო ოპერაციებისთვის. ბ შესახებუმეტეს დროს საოპერაციო ოთახი ცარიელი იყო, ძვირფასი დრო იკარგებოდა. მაგრამ მენეჯმენტი შიშობდა, რომ წინააღმდეგ შემთხვევაში გადაუდებელ პაციენტებს ძალიან დიდი ხნის ლოდინი მოუწევდათ. ამასთან, მათ მაინც მოუწიათ ლოდინი, ვთქვათ, თუ მოულოდნელად მოიყვანეს სასწრაფო დახმარების ორი პაციენტი. მათემატიკურმა გამოთვლებმა აჩვენა, რომ არჩევითი ოპერაციების სწორად დაგეგმილი გრაფიკი (კიდევ ერთი არატრივიალური დავალება!) საშუალებას გაძლევთ სწრაფად მიიღოთ გადაუდებელი დახმარების თითქმის ყველა პაციენტი. შედეგად, სასწრაფო საოპერაციო ოთახი გაუქმდა და გადაეცა გეგმურ ოპერაციებს.
ბევრი მათემატიკოსი მუშაობს აპლიკაციებთან, მაგრამ ყველაფერი ისე ახლოს არ არის, როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითებში. ახალი თეორიების შემუშავება პრაქტიკისთვის არანაკლებ მნიშვნელოვანია, ვიდრე უშუალო პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრა. ამის შესახებ უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ შემდეგ თავებში.
თუ გსურთ იპოვოთ პასუხი კითხვაზე "რატომ მჭირდება მათემატიკა?", ეს წიგნი თქვენთვისაა. ის მოგვითხრობს მათემატიკის თანამედროვე აპლიკაციებზე, რომლის გარეშეც შეუძლებელია ავიაციის, დაზღვევის, რკინიგზის, მედიცინის, ინტერნეტის, ეკონომიკის არსებობა... ჩამონათვალის გაგრძელება კიდევ დიდხანს შეიძლება, მაგრამ უფრო ადვილი იქნება იმის თქმა, რომ არსებობა თანამედროვე სამყაროს, როგორც ჩვენ ვიცით, ეს შეუძლებელია.
ეს წიგნი გამოადგება მკითხველთა ფართო სპექტრს, მაგრამ ყველაზე დაინტერესებული და მომზადებული მკითხველისთვის ავტორებმა დაამატეს დამატებითი ინფორმაცია და გააერთიანეს ისინი სპეციალურ დანართში.
ნამუშევარი 2016 წელს გამოსცა მან, ივანოვმა და ფერბერმა. ჩვენს ვებგვერდზე შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ წიგნი "ვის სჭირდება მათემატიკა? გასაგები წიგნი იმის შესახებ, თუ როგორ მუშაობს ციფრული სამყარო" fb2, rtf, epub, pdf, txt ფორმატში ან წაიკითხოთ ონლაინ. წიგნის რეიტინგი 5-დან 2.2. აქ, წაკითხვამდე, ასევე შეგიძლიათ გაეცნოთ წიგნს უკვე ნაცნობი მკითხველების რეცენზიებს და გაიგოთ მათი აზრი. ჩვენი პარტნიორის ონლაინ მაღაზიაში შეგიძლიათ შეიძინოთ და წაიკითხოთ წიგნი ქაღალდის ფორმით.
