შემოსაზღვრული x ღერძი, ინტეგრირებადი ფუნქციის გრაფიკი და ხაზის სეგმენტები x=a\,\!და x=b\,\!, სად ა\,\!და ბ\,\!- ინტეგრაციის ლიმიტები (იხ. სურათი).

რიცხვითი ინტეგრაციის გამოყენების აუცილებლობა ყველაზე ხშირად შეიძლება გამოწვეული იყოს წარმოდგენის არარსებობით და, შესაბამისად, გარკვეული ინტეგრალის მნიშვნელობის ანალიტიკური გამოთვლის შეუძლებლობით. ასევე შესაძლებელია ანტიწარმოებულის ფორმა იმდენად რთული იყოს, რომ ინტეგრალის მნიშვნელობის რიცხობრივად გამოთვლა უფრო სწრაფია.

ერთგანზომილებიანი ქეისი

რიცხვითი ინტეგრაციის მეთოდების უმრავლესობის მთავარი იდეაა ინტეგრანტის ჩანაცვლება უფრო მარტივით, რომლის ინტეგრალი ადვილად შეიძლება გამოითვალოს ანალიტიკურად. ამ შემთხვევაში ინტეგრალის მნიშვნელობის შესაფასებლად ფორმის ფორმულები

მე \დაახლოებით \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

სადაც n\,\!არის პუნქტების რაოდენობა, რომლებზეც გამოითვლება ინტეგრანტის მნიშვნელობა. ქულები x_i\,\!ეწოდება მეთოდური კვანძები, რიცხვები w_i\,\!- კვანძის წონა. როდესაც ინტეგრადი იცვლება ნულოვანი, პირველი და მეორე ხარისხის მრავალწევრით, მიიღება მეთოდები, შესაბამისად, და (Simpson). ხშირად ინტეგრალის მნიშვნელობის შესაფასებლად ფორმულებს კვადრატულ ფორმულებს უწოდებენ.

მართკუთხედის მეთოდი

მართკუთხედის მეთოდიმიიღება ინტეგრანტის მუდმივით ჩანაცვლებით. როგორც მუდმივი, შეგიძლიათ აიღოთ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ნებისმიერ წერტილში \მარცხნივ\,\!. ყველაზე ხშირად გამოყენებული ფუნქციის მნიშვნელობები არის სეგმენტის შუაში და მის ბოლოებში. შესაბამის მოდიფიკაციებს მეთოდებს უწოდებენ საშუალო მართკუთხედები, მარცხენა ოთხკუთხედებიდა მართკუთხა მართკუთხედები. მართკუთხედების მეთოდით განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობის სავარაუდო გამოთვლის ფორმულა არის

I \დაახლოებით f(x) (b-a),

სადაც x=\frac(\მარცხნივ(a+b\მარჯვნივ))(2), ა\,\!ან ბ\,\!, შესაბამისად.

ტრაპეციული მეთოდი

თუ ინტეგრაციის სეგმენტის ბოლოებში გავავლებთ სწორ ხაზს, მივიღებთ ტრაპეციული მეთოდი. გეომეტრიული მოსაზრებებიდან გამომდინარე, მისი მიღება მარტივია

I \დაახლოებით \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

პარაბოლას მეთოდი

ინტეგრაციის სეგმენტის სამი წერტილის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ ინტეგრადი პარაბოლით. ჩვეულებრივ, ასეთ წერტილებად გამოიყენება სეგმენტის ბოლოები და მისი შუა წერტილი. ამ შემთხვევაში ფორმულა ძალიან მარტივია

I \დაახლოებით \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\right)+f(b)\right).

სიზუსტის გაზრდა

ფუნქციის ერთი პოლინომით დაახლოება ინტეგრაციის მთელ ინტერვალზე, როგორც წესი, იწვევს დიდ შეცდომას ინტეგრალის მნიშვნელობის შეფასებაში.

შეცდომის შესამცირებლად, ინტეგრაციის სეგმენტი იყოფა ნაწილებად და გამოიყენება რიცხვითი მეთოდი თითოეულ მათგანზე ინტეგრალის შესაფასებლად.

ვინაიდან დანაყოფების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, ინტეგრალის შეფასება მიისწრაფვის მის ნამდვილ მნიშვნელობამდე ნებისმიერი რიცხვითი მეთოდისთვის.

ზემოაღნიშნული მეთოდები იძლევა საფეხურის განახევრების მარტივ პროცედურას, ხოლო ყოველ საფეხურზე საჭიროა ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლა მხოლოდ ახლად დამატებულ კვანძებზე. გამოთვლების შეცდომის შესაფასებლად გამოიყენება.

გაუსის მეთოდი

ზემოთ აღწერილი მეთოდები იყენებს ფიქსირებული ხაზის სეგმენტის წერტილებს (ბოლოები და შუა წერტილები) და დაბალია (1, 1 და 3, შესაბამისად). თუ შეგვიძლია ავირჩიოთ ის წერტილები, რომლებზეც გამოვთვლით ფუნქციის მნიშვნელობებს f(x)\,\!, მაშინ შესაძლებელია, ინტეგრანტის იგივე რაოდენობის გამოთვლებით, მივიღოთ უფრო მაღალი რიგის სიზუსტის მეთოდები. ასე რომ, ინტეგრანტის მნიშვნელობების ორი (როგორც ტრაპეციის მეთოდით) გამოთვლებისთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ მეთოდი არა 1-ლი, არამედ მე-3 რიგის სიზუსტისა:

I \დაახლოებით \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \მარჯვნივ)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \მარჯვნივ) \მარჯვნივ).

ზოგადად, გამოყენებით n\,\!ქულები, შეგიძლიათ მიიღოთ მეთოდი სიზუსტით 2n-1\,\!. გაუსის მეთოდის კვანძების მნიშვნელობები n\,\!წერტილები არის ლეჟანდრის ხარისხის მრავალწევრის ფესვები n\,\!.

გაუსის მეთოდის კვანძების მნიშვნელობები და მათი წონა მოცემულია სპეციალური ფუნქციების საცნობარო წიგნებში. ყველაზე ცნობილი გაუსის ხუთპუნქტიანი მეთოდია.

გაუს-კრონროდის მეთოდი

გაუსის მეთოდის მინუსი არის ის, რომ მას არ გააჩნია ინტეგრალის მიღებული მნიშვნელობის შეცდომის შეფასების მარტივი (გამოთვლითი თვალსაზრისით) გზა. რუნგის წესის გამოყენება მოითხოვს ინტეგრანტის გამოთვლას დაახლოებით იგივე რაოდენობის პუნქტზე, სიზუსტის პრაქტიკულად რაიმე მატების გარეშე, მარტივი მეთოდებისგან განსხვავებით, სადაც სიზუსტე რამდენჯერმე იზრდება ყოველი ახალი დანაყოფით. კრონროდმა შესთავაზა შემდეგი მეთოდი ინტეგრალის მნიშვნელობის შესაფასებლად

I \დაახლოებით \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

სადაც x_i\,\!- გაუსის მეთოდის კვანძების მიხედვით n\,\!ქულები და 3n+2\,\!პარამეტრები a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\!არჩეულია ისე, რომ მეთოდის სიზუსტის რიგი ტოლი იყოს 3n+1\,\!.

შემდეგ, შეცდომის შესაფასებლად, შეიძლება გამოვიყენოთ ემპირიული ფორმულა

\დელტა = \მარცხენა(200 |I - I_G|\მარჯვნივ)^(1.5),

სადაც I_G\,\!- ინტეგრალის მნიშვნელობა, შეფასებული გაუსის მეთოდის მიხედვით n\,\!ქულები. ბიბლიოთეკები [

რიცხვითი ინტეგრაციის ფორმულის პროგრამირება

შესავალი

1. რიცხვითი ინტეგრაციის მეთოდები

2. კვადრატული ფორმულები

3. ინტეგრაციის საფეხურის ავტომატური შერჩევა

დასკვნა

ბიბლიოგრაფიული სია

შესავალი

რეფერატის მიზანია ფუნქციების რიცხვითი ინტეგრაციის მეთოდების შესწავლა და შედარებითი ანალიზი; ამ მეთოდების დანერგვა მანქანური პროგრამების სახით მაღალი დონის ენაზე და კომპიუტერზე რიცხვითი ინტეგრაციის ამოცანების პრაქტიკული გადაწყვეტა.

საინჟინრო პრობლემების გადაჭრისას ხშირად ხდება საჭირო ფორმის გარკვეული ინტეგრალის მნიშვნელობების გამოთვლა.

. (1)

თუ ფუნქცია უწყვეტია სეგმენტზე [ ა , ბ] და მისი ანტიდერივატი შეიძლება განისაზღვროს ცნობილი ფუნქციით, შემდეგ ასეთი ინტეგრალის გამოთვლა ხდება ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით:

.

საინჟინრო პრობლემებში იშვიათად არის შესაძლებელი ინტეგრალის მნიშვნელობის მიღება ანალიტიკური ფორმით. გარდა ამისა, ფუნქცია ვ (x) შეიძლება იყოს მოცემული, მაგალითად, ექსპერიმენტული მონაცემების ცხრილით. ამიტომ, პრაქტიკაში, გარკვეული ინტეგრალის გამოსათვლელად, გამოიყენება სპეციალური მეთოდები, რომლებიც ეფუძნება ინტერპოლაციის აპარატს.

ამ მეთოდების იდეა შემდეგია. ინტეგრალის გაანგარიშების ნაცვლად (1) ფორმულის გამოყენებით, ჯერ გამოითვლება ფუნქციის მნიშვნელობები. ვ (x i) = y მეზოგიერთ კვანძში x i Î[ ა , ბ]. შემდეგ არჩეულია ინტერპოლაციის მრავალწევრი პ (x) მიღებული წერტილების გავლით ( x i , y მე), რომელიც გამოიყენება ინტეგრალის (1) სავარაუდო მნიშვნელობის გამოსათვლელად:

.

ამ მიდგომის განხორციელებისას, რიცხვითი ინტეგრაციის ფორმულები იღებენ შემდეგ ზოგად ფორმას:

, (2) - ინტერპოლაციის კვანძები, აიარის რაღაც კოეფიციენტები, რ- ფორმულის შეცდომის დამახასიათებელი ნარჩენი ტერმინი. გაითვალისწინეთ, რომ (2) ფორმის ფორმულებს კვადრატული ფორმულები ეწოდება.

რიცხვითი ინტეგრაციის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ფუნქციის გრაფიკით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის ფართობის გამოთვლა. ვ (X), აბსცისის ღერძი და ორი სწორი ხაზი x = aდა x = b.ფართობის სავარაუდო გამოთვლა იწვევს ნარჩენი ტერმინის უარყოფას კვადრატულ ფორმულებში რმეთოდის შეცდომის დამახასიათებელი, რომელსაც დამატებით ემატება გამოთვლითი შეცდომა.

1. რიცხვითი ინტეგრაციის მეთოდები

გამოყენებით კვლევაში ხშირად ხდება საჭირო განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობის გამოთვლა

როგორც მათემატიკის კურსიდანაა ცნობილი, ინტეგრალის ანალიტიკური გამოთვლა ყველა შემთხვევაში არ შეიძლება. და იმ შემთხვევაშიც კი, როდესაც შესაძლებელია ამ ინტეგრალის ანალიტიკური ფორმის პოვნა, გამოთვლის პროცედურა იძლევა სავარაუდო შედეგს, ამიტომ ჩნდება ამ ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობის პრობლემა.

სავარაუდო გამოთვლის არსი შედგება ორი მოქმედებისგან: 1. n-ის ნაცვლად სასრული რიცხვის არჩევისას; 2. წერტილის შერჩევაში

შესაბამის სეგმენტში.

არჩევანის მიხედვით

ჩვენ ვიღებთ სხვადასხვა ფორმულებს ინტეგრალის გამოსათვლელად: ფორმულები მარცხენა და მარჯვენა მართკუთხედებისთვის (5), (6) (5) (6)

ტრაპეციის ფორმულა:

სიმფსონის ფორმულა

b, a - განხილული სეგმენტის ბოლოები.

ზემოაღნიშნული რიცხვითი ინტეგრაციის ფორმულებით გამოთვლის შედეგების შესადარებლად გამოვთვლით შემდეგ ინტეგრალს 3 გზით, სეგმენტს ვყოფთ 6 ტოლ სეგმენტად: h=

მარცხენა მართკუთხედების ფორმულის მიხედვით:

ტრაპეციის ფორმულის მიხედვით:

სიმპსონის ფორმულის მიხედვით:

ხოლო ანალიტიკურად მიღებული შედეგი უდრის

=1

მაშასადამე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სიმპსონის ფორმულის მიხედვით ინტეგრაციის რიცხვითი მეთოდი უფრო ზუსტია, მაგრამ გამოიყენება ზოგად შემთხვევაში, ლუწი რაოდენობის ინტერვალებად დაყოფისას.

2. კვადრატული ფორმულები

მართკუთხედის ფორმულებიარის უმარტივესი კვადრატული ფორმულები. მოდით გავყოთ ინტეგრაციის სეგმენტი [ ა, ბ] ზე პთანაბარი ნაწილების სიგრძე

. გაითვალისწინეთ, რომ ღირებულება თინტეგრაციის საფეხურს უწოდებენ. გაყოფის წერტილებში X 0 = ა ,X 1 = a + სთ , ..., x n = bგაითვალისწინეთ ორდინატები წ 0 ,წ 1 ,…,y nმრუდე ვ (x), ე.ი. გამოთვლა მე = ვ (x i), x i = a+ ih = x i -1 +სთ (მე =). სიგრძის თითოეულ სეგმენტზე თააგეთ მართკუთხედი გვერდებით თდა y მე, სად მე =, ე.ი. სეგმენტების მარცხენა ბოლოებზე გამოთვლილი ორდინატების მნიშვნელობებით. შემდეგ მრუდი ტრაპეციის ფართობი, რომელიც განსაზღვრავს ინტეგრალის (1) მნიშვნელობას, შეიძლება დაახლოებით წარმოდგენილი იყოს მართკუთხედების ფართობების ჯამად (ნახ. 1). აქედან ვიღებთ მართკუთხედების ფორმულას:
. (3)

თუ ინტეგრალური ჯამის გამოთვლისას ვიღებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს ვ (x) სიგრძის სეგმენტების არა მარცხნივ, არამედ მარჯვენა ბოლოებში თ, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. 1 წერტილოვანი ხაზით, შემდეგ მივიღებთ მართკუთხედის ფორმულის მეორე ვერსიას:

. (4)

მართკუთხედების ფორმულის მესამე ვარიანტის მიღება შესაძლებელია ფუნქციის მნიშვნელობების გამოყენებით ვ (x) გამოითვლება სიგრძის თითოეული სეგმენტის შუა წერტილში თ(ნახ. 2):

. (5)

ფორმულებს (3), (4) და (4) უწოდებენ, შესაბამისად, მარცხენა, მარჯვენა და ცენტრალური მართკუთხედების ფორმულებს.

სიმფსონის ფორმულა.ჩვენ ვყოფთ ინტეგრაციის ინტერვალს 2-ად ნთანაბარი ნაწილების სიგრძე

. თითოეულ სეგმენტზე [ x i , x i+2] ინტეგრანტი ვ (X) ჩანაცვლებულია პარაბოლით, რომელიც გადის წერტილებში ( x i , y მე), (x i +1 , y მე +1), (x i +2 , y მე+2). შემდეგ ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა განისაზღვრება სიმპსონის ფორმულით: . (7)

კომპიუტერზე გაანგარიშებისას უფრო მოსახერხებელია შემდეგი ფორმულა:

სიმპსონის მეთოდი არის რიცხვითი ინტეგრაციის ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი და გამოყენებული მეთოდი, იგი იძლევა ინტეგრალის ზუსტ მნიშვნელობებს პოლინომების ინტეგრირებისას მესამე რიგის ჩათვლით.

ნიუტონის ფორმულა.ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა ნიუტონის ფორმულის მიხედვით გამოითვლება შემდეგნაირად:

სადაც დანაყოფის სეგმენტების რაოდენობა არის სამის ჯერადი, ე.ი. არის 3 ნ. კომპიუტერული პროგრამების შემუშავებისას უფრო მოსახერხებელია ექვივალენტური ფორმულის გამოყენება:

ნიუტონის მეთოდი იძლევა ინტეგრალის ზუსტ მნიშვნელობებს მეოთხე რიგის ჩათვლით მრავალწევრების ინტეგრირებისას.

3. ინტეგრაციის საფეხურის ავტომატური შერჩევა

(3) - (8) ფორმულებით გაანგარიშების შედეგად მიიღება ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობა, რომელიც შეიძლება განსხვავდებოდეს ზუსტიდან გარკვეული ოდენობით, რომელსაც ინტეგრაციის შეცდომა ეწოდება. შეცდომა განისაზღვრება დარჩენილი ფორმულით რ, განსხვავებული თითოეული ინტეგრაციის მეთოდისთვის. თუ საჭიროა ინტეგრალის მნიშვნელობის გამოთვლა შეცდომით, რომელიც არ აღემატება e-ს, მაშინ აუცილებელია ასეთი ინტეგრაციის საფეხურის არჩევა. თუთანასწორობის დასაკმაყოფილებლად რ (თ) £ ე. პრაქტიკაში, მნიშვნელობის ავტომატური შერჩევა გამოიყენება თ, რომელიც უზრუნველყოფს მითითებული შეცდომის მიღწევას. ჯერ გამოთვალეთ ინტეგრალის მნიშვნელობა მე (ნ), ინტეგრაციის ინტერვალის დაყოფა პსექციები, შემდეგ სექციების რაოდენობა გაორმაგდება და გამოითვლება ინტეგრალი მე (2ნ). გაანგარიშების პროცესი გრძელდება მანამ, სანამ პირობა არ გახდება ჭეშმარიტი.

რიცხვითი ინტეგრაცია

ლექციაზე განხილული ძირითადი კითხვები:

2. ნიუტონ-კოტესის კვადრატული ფორმულები

3. ოთხკუთხედების ფორმულები

4. ტრაპეციული ფორმულა

5. სიმფსონის ფორმულა

6. გაუსის კვადრატული ფორმულები

7. მონტე კარლოს მეთოდი

1. რიცხვითი ინტეგრაციის პრობლემის ფორმულირება

საჭიროა ფორმის განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა და ფუნქცია შეიძლება მიცემული იყოს როგორც ფორმულის, ასევე ცხრილის სახით.

ნიუტონ-კოტესის კვადრატული ფორმულები

,
სადაც - კოტესის კოეფიციენტები.
ეს ფორმულები იძლევა განსხვავებულ წარმოდგენებს იმავე ინტეგრაციის სეგმენტზე დანაყოფის სეგმენტების განსხვავებული რაოდენობის n-ისთვის.

მართკუთხედის ფორმულები

დაე საჭირო გახდეს ინტეგრალის გამოთვლა.
თუ ინტეგრაციის სეგმენტი საკმარისად დიდია, მაშინ თქვენ უნდა დაყოთ იგი თანაბარი სიგრძის პატარა სეგმენტებად, სადაც n არის სეგმენტების რაოდენობა, ხოლო მრუდი ტრაპეციის ჩანაცვლება მართკუთხედით თითოეულ სეგმენტზე, გამოთვალეთ ამ მართკუთხედების ფართობი. შემდეგ მიღებული უბნები უნდა დაემატოს და ეს თანხა მიიღება სასურველი ინტეგრალის სავარაუდო მნიშვნელობად.
რაც შეეხება მართკუთხედების აგებას, მათი აგება შესაძლებელია სხვადასხვა გზით: შეგიძლიათ დახაზოთ კვეთაზე პერპენდიკულარული f (x) მრუდი თითოეული სეგმენტის მარჯვენა ბოლოდან (ნახ. 1), შეგიძლიათ - მარცხენა ბოლოდან. (ნახ. 2)

ბრინჯი. ერთი

ბრინჯი. 2

აქედან გამომდინარე, გაანგარიშების ფორმულები გარკვეულწილად განსხვავებულია და უწოდებენ მართკუთხედების ფორმულებს მარჯვენა ან მარცხენა ორდინატებით, შესაბამისად:

(სწორი მართკუთხედების ფორმულა)

(მარცხენა მართკუთხედების ფორმულა)
ასევე არსებობს "შუა" მართკუთხედების ფორმულა: , რომლისთვისაც მართკუთხედების აგება ხორციელდება დანაყოფის თითოეული სეგმენტის შუა წერტილების მეშვეობით:

· ტრაპეციული ფორმულა

· სიმფსონის ფორმულა

დანაყოფის თითოეულ სეგმენტზე y = მრუდის ნაწილის ჩანაცვლება f(x)პარაბოლურ მრუდზე, მიღებული ფიგურების ფართობის გამოთვლით და მათი შეჯამებით, მივიღებთ სიმპსონის ფორმულას:

·

· გაუსის კვადრატული ფორმულები

ტრადიციულად, თავდაპირველ ინტეგრალში კვადრატული გაუსის ფორმულების მიღებისას, ხდება ცვლადის შეცვლა, სეგმენტზე ინტეგრალი სეგმენტზე ინტეგრალში სეგმენტზე გადაყვანისას [-1; ერთი]:

.
მაშინ .
ჩვენ გამოვიყენებთ ინტეგრანის წრფივ ინტერპოლაციას.
თუ სეგმენტის ნაცვლად [-1; 1] რომ აიღოთ მოძრავი t1, t2 კვანძები ინტერპოლაციის კვანძებად, მაშინ უნდა აირჩიოთ ეს მნიშვნელობები ისე, რომ ტრაპეციის ფართობი ზემოდან შემოიფარგლოს A1 წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზით (t1, φ(t1) ) და A2 (t2, φ(t2)) ტოლი იყო ნებისმიერი უმაღლესი ხარისხის ნებისმიერი მრავალწევრის ინტეგრალის.
თუ ვივარაუდებთ, რომ ეს არის მესამე ხარისხის პოლინომი, ჩვენ ვიანგარიშებთ t1, t2, რომლებიც ტოლია და , განსხვავდება მხოლოდ მნიშვნელობების ნუმერაციის მიხედვით.
გარდა ამისა, ინტეგრაციის სეგმენტის n ნაწილად დაყოფით, ზემოთ აღწერილი იდეის თითოეულ მათგანზე გამოყენებისას, შეგვიძლია მივიღოთ გაუსის ფორმულა:

რიცხვითი ინტეგრაცია

რიცხვითი ინტეგრაცია(ისტორიული სახელი: (რიცხვითი) კვადრატურა ) - განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობის გამოთვლა (ჩვეულებრივ მიახლოებითი). რიცხვითი ინტეგრაცია გაგებულია, როგორც რიცხვითი მეთოდების ერთობლიობა გარკვეული ინტეგრალის მნიშვნელობის საპოვნელად.

რიცხვითი ინტეგრაცია გამოიყენება, როდესაც:

ამ ორ შემთხვევაში შეუძლებელია ინტეგრალის გამოთვლა ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით. ასევე შესაძლებელია ანტიწარმოებულის ფორმა იმდენად რთული იყოს, რომ ინტეგრალის მნიშვნელობის რიცხობრივად გამოთვლა უფრო სწრაფია.

ერთგანზომილებიანი ქეისი

რიცხვითი ინტეგრაციის მეთოდების უმრავლესობის მთავარი იდეაა ინტეგრანტის ჩანაცვლება უფრო მარტივით, რომლის ინტეგრალი ადვილად შეიძლება გამოითვალოს ანალიტიკურად. ამ შემთხვევაში ინტეგრალის მნიშვნელობის შესაფასებლად ფორმის ფორმულები

სადაც არის პუნქტების რაოდენობა, რომლებშიც გამოითვლება ინტეგრანის მნიშვნელობა. წერტილებს მეთოდის კვანძები ეწოდება, რიცხვები არის კვანძების წონა. როდესაც ინტეგრადი იცვლება ნულოვანი, პირველი და მეორე ხარისხის მრავალწევრებით, მიიღება შესაბამისად მართკუთხედების, ტრაპეციისა და პარაბოლების (სიმპსონი) მეთოდები. ხშირად ინტეგრალის მნიშვნელობის შესაფასებლად ფორმულებს კვადრატულ ფორმულებს უწოდებენ.

განსაკუთრებული შემთხვევაა ერთიანი ბადეებისთვის ინტეგრალური კვადრატული ფორმულების აგების მეთოდი, რომელიც ცნობილია როგორც კოტესის ფორმულები. მეთოდს როჯერ კოუტსის სახელი ეწოდა. მეთოდის მთავარი იდეაა ინტეგრანტის ჩანაცვლება რაიმე სახის ინტერპოლაციის მრავალწევრით. ინტეგრალის აღების შემდეგ შეგვიძლია დავწეროთ

სადაც ნომრებს ეძახიან კოტესის კოეფიციენტებიდა გამოითვლება, როგორც ორიგინალური ინტერპოლაციის პოლინომების შესაბამისი პოლინომების ინტეგრალი ინტეგრანდისთვის ფუნქციის მნიშვნელობით კვანძში ( არის ბადის საფეხური; არის ქსელის კვანძების რაოდენობა და კვანძის ინდექსი არის ). ტერმინი არის მეთოდის შეცდომა, რომელიც შეიძლება სხვადასხვა გზით მოიძებნოს. კენტისთვის, შეცდომა შეიძლება მოიძებნოს ინტეგრადის ინტერპოლაციის პოლინომის შეცდომის ინტეგრირებით.

კოტესის ფორმულების განსაკუთრებული შემთხვევებია: მართკუთხედის ფორმულები (n=0), ტრაპეციის ფორმულები (n=1), სიმპსონის ფორმულა (n=2), ნიუტონის ფორმულა (n=3) და ა.შ.

მართკუთხედის მეთოდი

დაე, საჭირო გახდეს ფუნქციის ინტეგრალის მნიშვნელობის განსაზღვრა ინტერვალზე. ეს სეგმენტი იყოფა წერტილებით სიგრძის ტოლ სეგმენტებად. აღნიშნეთ ფუნქციის მნიშვნელობით წერტილებში შემდეგი, ჩვენ ვადგენთ ჯამებს თითოეული ჯამი არის მთლიანი ჯამი on-ისთვის და, შესაბამისად, დაახლოებით გამოხატავს ინტეგრალს

თუ მოცემული ფუნქცია დადებითია და იზრდება, მაშინ ეს ფორმულა გამოხატავს საფეხურიანი ფიგურის ფართობს, რომელიც შედგება "შემავალი" მართკუთხედებისგან, რომელსაც ასევე უწოდებენ მარცხენა მართკუთხედების ფორმულას და ფორმულას.

გამოხატავს საფეხურიანი ფიგურის ფართობს, რომელიც შედგება "გამავალი" მართკუთხედებისგან, რომელსაც ასევე უწოდებენ მართკუთხა მართკუთხედების ფორმულას. რაც უფრო მოკლეა სეგმენტების სიგრძე, რომლებშიც იყოფა სეგმენტი, მით უფრო ზუსტი იქნება მნიშვნელობა, რომელიც გამოითვლება სასურველი ინტეგრალის ამ ფორმულით.

ცხადია, ღირს უფრო დიდი სიზუსტის დათვლა, თუ სიმაღლის საპოვნელად ავიღებთ წერტილს შუა უფსკრულიდან. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას შუა მართკუთხედებისთვის:

ბოლო ფორმულის აპრიორი უფრო დიდი სიზუსტის გათვალისწინებით, იგივე მოცულობითა და გამოთვლების ბუნებით, მას მართკუთხედების ფორმულა ეწოდება.

ტრაპეციული მეთოდი

თუ თითოეულ ნაწილობრივ სეგმენტზე ფუნქცია მიახლოებულია საბოლოო მნიშვნელობებზე გამავალი სწორი ხაზით, მაშინ ვიღებთ ტრაპეციის მეთოდს.

ტრაპეციის ფართობი თითოეულ სეგმენტზე:

მიახლოების შეცდომა თითოეულ სეგმენტზე:

სადაც

ტრაპეციის სრული ფორმულა მთლიანი ინტეგრაციის ინტერვალის იმავე სიგრძის სეგმენტებად დაყოფის შემთხვევაში:

სადაც

ტრაპეციული ფორმულის შეცდომა:

სადაც

პარაბოლას მეთოდი (სიმპსონის მეთოდი)

ინტეგრაციის სეგმენტის სამი წერტილის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ ინტეგრადი პარაბოლით. ჩვეულებრივ, ასეთ წერტილებად გამოიყენება სეგმენტის ბოლოები და მისი შუა წერტილი. ამ შემთხვევაში ფორმულა ძალიან მარტივია

.

თუ ინტეგრაციის ინტერვალს ტოლ ნაწილებად გავყოფთ, მაშინ გვაქვს

სიზუსტის გაზრდა

ფუნქციის ერთი პოლინომით დაახლოება ინტეგრაციის მთელ ინტერვალზე, როგორც წესი, იწვევს დიდ შეცდომას ინტეგრალის მნიშვნელობის შეფასებაში.

შეცდომის შესამცირებლად, ინტეგრაციის სეგმენტი იყოფა ნაწილებად და გამოიყენება რიცხვითი მეთოდი თითოეულ მათგანზე ინტეგრალის შესაფასებლად.

ვინაიდან დანაყოფების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, ინტეგრალის შეფასება მიისწრაფვის მის ნამდვილ მნიშვნელობამდე ანალიტიკური ფუნქციებისთვის ნებისმიერი რიცხვითი მეთოდისთვის.

ზემოაღნიშნული მეთოდები იძლევა საფეხურის განახევრების მარტივ პროცედურას, ხოლო ყოველ საფეხურზე საჭიროა ფუნქციის მნიშვნელობების გამოთვლა მხოლოდ ახლად დამატებულ კვანძებზე. გაანგარიშების შეცდომის შესაფასებლად გამოიყენება Runge წესი.

გაუსის მეთოდი

ზემოთ აღწერილი მეთოდები იყენებს ფიქსირებულ სეგმენტურ წერტილებს (ბოლოები და შუა) და აქვთ სიზუსტის დაბალი რიგი (1 - მარჯვენა და მარცხენა მართკუთხედის მეთოდები, 2 - შუა ოთხკუთხედის და ტრაპეციის მეთოდები, 3 - პარაბოლის (სიმპსონის) მეთოდი). თუ ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ წერტილები, რომლებზეც გამოვთვალოთ ფუნქციის მნიშვნელობები, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ უფრო მაღალი რიგის სიზუსტის მეთოდები ინტეგრანტის იგივე რაოდენობის გამოთვლებით. ასე რომ, ინტეგრანტის მნიშვნელობების ორი (როგორც ტრაპეციის მეთოდით) გამოთვლებისთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ მეთოდი არა მე-2, არამედ მე-3 რიგის სიზუსტისა:

.

ზოგადად, ქულების გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ მეთოდი სიზუსტით. გაუსის მეთოდის კვანძების მნიშვნელობები წერტილებით არის ლეჟანდრის ხარისხის მრავალწევრის ფესვები.

გაუსის მეთოდის კვანძების მნიშვნელობები და მათი წონა მოცემულია სპეციალური ფუნქციების საცნობარო წიგნებში. ყველაზე ცნობილი გაუსის ხუთპუნქტიანი მეთოდია.

გაუს-კრონროდის მეთოდი

გაუსის მეთოდის მინუსი არის ის, რომ მას არ გააჩნია ინტეგრალის მიღებული მნიშვნელობის შეცდომის შეფასების მარტივი (გამოთვლითი თვალსაზრისით) გზა. რუნგის წესის გამოყენება მოითხოვს ინტეგრანტის გამოთვლას დაახლოებით იმავე რაოდენობის პუნქტებზე, ამასთან, პრაქტიკულად არ იძლევა სიზუსტეს, განსხვავებით მარტივი მეთოდებისგან, სადაც სიზუსტე რამდენჯერმე იზრდება ყოველი ახალი დანაყოფით. კრონროდმა შესთავაზა შემდეგი მეთოდი ინტეგრალის მნიშვნელობის შესაფასებლად

,

სადაც არის გაუსის მეთოდის კვანძები წერტილების მიხედვით და პარამეტრები , , არჩეულია ისე, რომ მეთოდის სიზუსტის რიგი უდრის.

შემდეგ, შეცდომის შესაფასებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ემპირიული ფორმულა:

,

სადაც არის გაუსის მეთოდით მიღებული ინტეგრალის მიახლოებითი მნიშვნელობა წერტილებზე. gsl და SLATEC ბიბლიოთეკები განსაზღვრული ინტეგრალების გამოსათვლელად შეიცავს რუტინებს გაუს-კრონროდის მეთოდის გამოყენებით 15, 21, 31, 41, 51 და 61 ქულებისთვის. ბიბლიოთეკა იყენებს გაუს-კრონროდის მეთოდს 15 ქულით.

ჩებიშევის მეთოდი

ინტეგრაცია უსასრულო საზღვრებში

უსასრულო საზღვრებზე ინტეგრაციისთვის საჭიროა არაერთგვაროვანი ბადის შემოღება, რომლის საფეხურები იზრდება უსასრულობამდე მისასვლელად, ან შეგიძლიათ გააკეთოთ ცვლადების ასეთი ცვლილება ინტეგრალში, რის შემდეგაც ლიმიტები სასრული იქნება. შეიძლება ანალოგიურად გაგრძელდეს, თუ ფუნქცია სინგულარულია ინტეგრაციის ინტერვალის ბოლოებში

მონტე კარლოს მეთოდები

სურათი 3ფუნქციის რიცხვითი ინტეგრაცია მონტე კარლოს მეთოდით

ფუნქციის დიაგრამის ქვეშ არსებული ფართობის დასადგენად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი სტოქასტური ალგორითმი:

ინტეგრირებადი ფუნქციის მცირე რაოდენობის განზომილებისთვის, მონტე კარლოს ინტეგრაციის შესრულება გაცილებით დაბალია, ვიდრე დეტერმინისტული მეთოდების შესრულება. თუმცა, ზოგიერთ შემთხვევაში, როდესაც ფუნქცია ირიბად არის მითითებული, მაგრამ აუცილებელია რთული უტოლობების სახით მითითებული ფართობის დადგენა, სტოქასტური მეთოდი შეიძლება იყოს უფრო სასურველი.

რუნგ-კუტას მეთოდები

spline მეთოდი

მრავალვარიანტული საქმე

მცირე ზომებში, ასევე შეიძლება გამოიყენოს კვადრატული ფორმულები, რომლებიც დაფუძნებულია ინტერპოლაციის მრავალწევრებზე. თუმცა, უფრო მაღალ ზომებში, ეს მეთოდები მიუღებელი ხდება ქსელის წერტილების რაოდენობის და/ან რეგიონის რთული საზღვრის სწრაფი ზრდის გამო. ამ შემთხვევაში გამოიყენება მონტე კარლოს მეთოდი. შემთხვევითი ქულები გენერირებულია ჩვენს ტერიტორიაზე და მათში ფუნქციის მნიშვნელობები საშუალოდ არის გათვლილი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ შერეული მიდგომა - დაყავით ტერიტორია რამდენიმე ნაწილად, რომელთაგან თითოეულში (ან მხოლოდ მათში, სადაც ინტეგრალი რთული საზღვრის გამო ვერ გამოითვლება) გამოიყენეთ მონტე კარლოს მეთოდი.

ლიტერატურა

1. კაჰანერ დ., მოლერ კ., ნეშ ს.რიცხვითი მეთოდები და პროგრამული უზრუნველყოფა (თარგმნილია ინგლისურიდან). M.: Mir, 2001, 575 გვ.