ამ ვიდეო გაკვეთილის თემა იქნება მოძრაობის თვისებები, ასევე პარალელური თარგმნა. გაკვეთილის დასაწყისში კიდევ ერთხელ გავიმეორებთ მოძრაობის კონცეფციას, მის ძირითად ტიპებს - ღერძულ და ცენტრალურ სიმეტრიას. ამის შემდეგ განვიხილავთ მოძრაობის ყველა თვისებას. გავაანალიზოთ „პარალელური გადაცემის“ ცნება, რისთვის გამოიყენება, დავასახელოთ მისი თვისებები.

თემა: მოძრაობა

გაკვეთილი: მოძრაობა. მოძრაობის თვისებები

დავამტკიცოთ თეორემა: გადაადგილებისას სეგმენტი გადადის სეგმენტში.

მოდით გავშიფროთ თეორემის ფორმულირება ნახ. 1. თუ მოძრაობის დროს გარკვეული სეგმენტის MN ბოლოები ნაჩვენებია M 1 და N 1 ზოგიერთ წერტილში, მაშინ MN სეგმენტის ნებისმიერი P წერტილი აუცილებლად გადავა M 1 N 1 სეგმენტის რაღაც P 1 წერტილში. და პირიქით, M 1 N 1 სეგმენტის ყოველ Q 1 წერტილზე გამოჩნდება MN სეგმენტის Q პუნქტი.

მტკიცებულება.

როგორც ნახატიდან ჩანს, MN = MP + PN.

მოდით წერტილი P გადავიდეს "სიბრტყის" P 1 წერტილამდე. მოძრაობის განსაზღვრა გულისხმობს სეგმენტების სიგრძის ტოლობას MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1. "N 1. ამ ტოლობებიდან გამომდინარეობს, რომ M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, ანუ წერტილი Р 1" ეკუთვნის სეგმენტი M 1 N 1 და ემთხვევა P 1 წერტილს, თორემ ზემოაღნიშნული ტოლობის ნაცვლად მართალი იქნებოდა სამკუთხედის M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1 უტოლობა.ანუ დავამტკიცეთ. რომ გადაადგილებისას ნებისმიერი წერტილი, MN მონაკვეთის ნებისმიერი P წერტილი აუცილებლად წავა M 1 N 1 სეგმენტის P 1 რაღაც წერტილში. თეორემის მეორე ნაწილი (Q 1 წერტილის შესახებ) ზუსტად ასეა დამტკიცებული. .

დადასტურებული თეორემა მოქმედებს ნებისმიერი მოძრაობისთვის!

თეორემა: მოძრაობისას კუთხე გადადის თანაბარ კუთხეში.

მოდით, RAOB იყოს მოცემული (ნახ. 2). და მიეცით გარკვეული მოძრაობა, რომელშიც RO წვერო მიდის О 1 წერტილამდე, ხოლო A და B წერტილები - შესაბამისად А 1 და В 1 წერტილებამდე.

განვიხილოთ სამკუთხედები AOB და A 1 O 1 B 1 . თეორემის პირობის მიხედვით A, O და B წერტილები A 1, O 1 და B 1 წერტილებზე გადასვლისას მოძრაობენ. ამრიგად, არსებობს AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 და AB \u003d A 1 B 1 სიგრძის თანასწორობა. ამრიგად, AOB \u003d A 1 O 1 B 1 სამი მხრიდან. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს შესაბამისი კუთხეების O და O 1 ტოლობა.

ასე რომ, ნებისმიერი მოძრაობა ინარჩუნებს კუთხეებს.

მოძრაობის ძირითადი თვისებებიდან გამომდინარეობს მრავალი შედეგი, კერძოდ, ის, რომ მოძრაობის დროს ნებისმიერი ფიგურა გამოსახულია მის ტოლ ფიგურაზე.

განვიხილოთ სხვა ტიპის მოძრაობა - პარალელური გადაცემა.

პარალელური გადაცემარომელიმე მოცემულ ვექტორზე ეწოდება სიბრტყის ისეთ გამოსახულებას საკუთარ თავზე, რომელშიც სიბრტყის თითოეული წერტილი მიდის იმავე სიბრტყის ისეთ M 1 წერტილში, რომელიც (ნახ. 3).

ეს დავამტკიცოთ პარალელური თარგმანი მოძრაობაა.

მტკიცებულება.

განვიხილოთ თვითნებური სეგმენტი MN (ნახ. 4). პარალელური გადატანისას M წერტილი გადავიდეს M 1 წერტილში, ხოლო N წერტილი - N 1 წერტილამდე. ამ შემთხვევაში სრულდება პარალელური გადაცემის პირობები: და . განვიხილოთ ოთხკუთხედი

MM 1 N 1 N. მისი ორი მოპირდაპირე მხარე (MM 1 და NN 1) თანაბარი და პარალელურია, როგორც ამას პარალელური თარგმნის პირობები კარნახობს. მაშასადამე, ეს ოთხკუთხედი არის პარალელოგრამი ამ უკანასკნელის ერთ-ერთი ნიშნის მიხედვით. ეს გულისხმობს, რომ პარალელოგრამის დანარჩენ ორ მხარეს (MN და M 1 N 1) აქვს ტოლი სიგრძე, რაც დასამტკიცებელი იყო.

ამრიგად, პარალელური გადაცემა მართლაც მოძრაობაა.

შევაჯამოთ. ჩვენ უკვე ვიცით მოძრაობის სამი ტიპი: ღერძული სიმეტრია, ცენტრალური სიმეტრია და პარალელური ტრანსლაცია. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ გადაადგილებისას სეგმენტი გადადის სეგმენტში, ხოლო კუთხე თანაბარ კუთხეში. გარდა ამისა, შეიძლება აჩვენოს, რომ გადაადგილებისას სწორი ხაზი გადადის სწორ ხაზში, ხოლო წრე იმავე რადიუსის წრეში.

1. Atanasyan L. S. და სხვები გეომეტრია 7-9 კლასები. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის. - მ.: განათლება, 2010 წ.

2. Farkov A. V. გეომეტრიის ტესტები: მე-9 კლასი. ლ.ს. ატანასიანისა და სხვების სახელმძღვანელოსთვის - მ .: გამოცდა, 2010 წ.

3. ა.ვ.პოგორელოვი, გეომეტრია, ანგარიში. 7-11 უჯრედისთვის. გენერალი ინსტ. - მ.: განმანათლებლობა, 1995 წ.

1. რუსული საგანმანათლებლო პორტალი ().

2. პედაგოგიური იდეების ფესტივალი „ღია გაკვეთილი“ ().

1. ატანასიანი (იხ. მითითებები), გვ. 293, § 1, პუნქტი 114.

თვისება 1. დავუშვათ f სიბრტყის წერტილების მოძრაობა, A", B" და C" არის A, B და C წერტილების გამოსახულებები f-ის მოძრაობის დროს. შემდეგ წერტილები A, B" და C. დაწექი ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, როცა A, B და C წერტილები წრფივია.

თვისება 4. მოძრაობისას ის გარდაიქმნება მის ტოლ სეგმენტად თვისება 5. გადაადგილებისას სხივი გარდაიქმნება სხივად.

თვისება 7. მივცეთ r რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილში, შემდეგ გადაადგილებისას ის გარდაიქმნება იმავე რადიუსის წრედ, ცენტრით O ცენტრის გამოსახულებას ემთხვევა წერტილში.

აფინური სიბრტყის ჩარჩოში ვგულისხმობთ არასწორხაზოვანი წერტილების მოწესრიგებულ სამეულს. თვისება 7. გადაადგილებისას ჩარჩო გარდაიქმნება ჩარჩოდ, ხოლო ორთონორმალური ჩარჩო – ორთონორმალურ ჩარჩოდ.

თეორემა (მოძრაობების ძირითადი თეორემა). დაე, ორთონორმალური ჩარჩოები u იყოს მოცემული სიბრტყეში. შემდეგ არის უნიკალური გადაადგილება g, რომელიც ატარებს ჩარჩოს R-ს R-მდე: .

შედეგი. თუ f არის სიბრტყის მოძრაობა: ორთონორმალური ჩარჩოს R გადაყვანა ორთონორმალურ ჩარჩოში R”, მაშინ სიბრტყის ყოველი წერტილი M კოორდინატებით x და y R-თან მიმართებაში შეესაბამება M"= f(M) წერტილს იგივესთან. კოორდინატები x და y R-თან შედარებით.

„თვითმფრინავის მოძრაობისა და მათი ზოგიერთი თვისების გამოკვლევა“. გვერდი 21 21-დან

თვითმფრინავის მოძრაობების გამოკვლევა

და მათი ზოგიერთი თვისება

შინაარსი

მოძრაობათა თეორიის განვითარების ისტორიიდან.

მოძრაობის განმარტება და თვისებები.

ფიგურების თანხვედრა.

მოძრაობების სახეები.

4.1. პარალელური გადაცემა.

4.2. Მობრუნება.

4.3. სიმეტრია სწორი ხაზის მიმართ.

4.4. მოცურების სიმეტრია.

5. ღერძული სიმეტრიის განსაკუთრებული თვისებების შესწავლა.

6. სხვა სახის გადაადგილების არსებობის შესაძლებლობის გამოკვლევა.

7. მობილობის თეორემა. ორი სახის მოძრაობა.

8. მოძრაობების კლასიფიკაცია. ჩალის თეორემა.

მოძრაობები, როგორც გეომეტრიული გარდაქმნების ჯგუფი.

მოძრაობების გამოყენება პრობლემის გადაჭრაში.

ლიტერატურა.

მოძრაობათა თეორიის განვითარების ისტორია.

პირველი, ვინც დაიწყო გარკვეული გეომეტრიული დებულებების დამტკიცება, ითვლება ძველი ბერძენი მათემატიკოსი თალესი მილეტელი(ძვ.წ. 625-547 წ.წ.). სწორედ თალესის წყალობით დაიწყო გეომეტრია პრაქტიკული წესების ნაკრებიდან ნამდვილ მეცნიერებად გადაქცევა. თალესამდე მტკიცებულება უბრალოდ არ არსებობდა!

როგორ ჩაატარა თალესმა თავისი მტკიცებულებები? ამ მიზნით მან გამოიყენა მოძრაობები.

მოძრაობა - ეს არის ფიგურების ტრანსფორმაცია, რომელშიც შენარჩუნებულია პუნქტებს შორის მანძილი. თუ ორი ფიგურა ერთმანეთთან ზუსტად არის შერწყმული მოძრაობის საშუალებით, მაშინ ეს ფიგურები იგივეა, ტოლია.

სწორედ ამ გზით დაამტკიცა თალესმა გეომეტრიის პირველი თეორემა. თუ თვითმფრინავი ბრუნავს როგორც ხისტი მთლიანი რაღაც წერტილის გარშემო ო 180 o, სხივი OA გადავა მის გაგრძელებაზე OA ’ . ასეთებთან ერთად შემობრუნება (ასევე ე.წ ცენტრალური სიმეტრია ორიენტირებული ო ) თითოეული წერტილი მაგრამ წერტილისკენ გადადის მაგრამ ’ , რა ო არის სეგმენტის შუა წერტილი აა ’ (ნახ. 1).

სურ.1 ნახ.2

დაე იყოს ო - ვერტიკალური კუთხეების საერთო წვერო AOB და მაგრამ ’ OV ’ . მაგრამ მაშინ ცხადია, რომ 180°-ით შემობრუნებისას, ორი ვერტიკალური კუთხიდან ერთის მხარე უბრალოდ გადავა მეორის გვერდებზე, ე.ი. ეს ორი კუთხე გასწორებულია. ეს ნიშნავს, რომ ვერტიკალური კუთხეები ტოლია (ნახ. 2).

ტოლსი სამკუთხედის ფუძეზე კუთხეების ტოლობის დადასტურება, თალესმა გამოიყენა ღერძული სიმეტრია : მან გააერთიანა ტოლკუთხედის სამკუთხედის ორი ნახევარი ნახატის მწვერვალზე კუთხის ბისექტრის გასწვრივ (ნახ. 3). ანალოგიურად, თალესმა დაამტკიცა, რომ დიამეტრი ორად ყოფს წრეს.

სურ.3 ნახ.4

გამოყენებითი თალესი და სხვა მოძრაობა - პარალელური გადაცემა , რომლის დროსაც ფიგურის ყველა წერტილი გადაადგილებულია გარკვეული მიმართულებით ერთი და იგივე მანძილით. მისი დახმარებით მან დაამტკიცა თეორემა, რომელიც ახლა მის სახელს ატარებს:

თუ თანაბარი სეგმენტები განზე იქნება კუთხის ერთ მხარეს და პარალელური ხაზები გაივლება ამ მონაკვეთების ბოლოებში, სანამ ისინი არ გადაიკვეთება კუთხის მეორე მხარეს, მაშინ თანაბარი სეგმენტები მიიღება კუთხის მეორე მხარესაც.(ნახ. 4).

ძველ დროში მოძრაობის იდეას იყენებდნენ ცნობილი ადამიანებიც ევკლიდე, ავტორი "საწყისები" - წიგნი, რომელიც შემორჩა ორ ათასწლეულზე მეტს. ევკლიდე იყო პტოლემე I-ის თანამედროვე, რომელიც მეფობდა ეგვიპტეში, სირიასა და მაკედონიაში ძვ.წ. 305-283 წლებში.

მოძრაობები იმპლიციტურად იყო წარმოდგენილი, მაგალითად, ევკლიდეს მსჯელობაში სამკუთხედების ტოლობის ნიშნების დამტკიცებისას: „მოდით, ერთი სამკუთხედი დავაწესოთ მეორეს ასე და ამგვარად“. ევკლიდეს მიხედვით ორ ფიგურას ტოლი ეწოდება, თუ მათი ყველა წერტილით შეიძლება „გაერთიანდეს“, ე.ი. ერთი ფიგურის, როგორც მყარი მთლიანობის გადაადგილებით, შეიძლება ზუსტად დააწებოთ ის მეორე ფიგურაზე. ევკლიდესთვის მოძრაობა ჯერ კიდევ არ იყო მათემატიკური კონცეფცია. მის მიერ „პრინციპებში“ პირველად ჩამოყალიბებული აქსიომების სისტემა საფუძვლად დაედო გეომეტრიულ თეორიას ე.წ. ევკლიდეს გეომეტრია.

თანამედროვე დროში მათემატიკური დისციპლინების განვითარება გრძელდება. ანალიტიკური გეომეტრია შეიქმნა XI საუკუნეში. ბოლონიის უნივერსიტეტის მათემატიკის პროფესორი ბონავენტურა კავალერი(1598-1647) აქვეყნებს ნარკვევს „გეომეტრია, ახლებურად ნათქვამი განუყოფელი უწყვეტის დახმარებით“. კავალიერის აზრით, ნებისმიერი ბრტყელი ფიგურა შეიძლება ჩაითვალოს პარალელური ხაზების ან „კვალის“ ერთობლიობად, რომელსაც ხაზი ტოვებს თავის პარალელურად მოძრაობისას. ანალოგიურად, მოცემულია იდეა სხეულების შესახებ: ისინი წარმოიქმნება თვითმფრინავების მოძრაობის დროს.

მოძრაობის თეორიის შემდგომი განვითარება დაკავშირებულია ფრანგი მათემატიკოსისა და მეცნიერების ისტორიკოსის სახელთან მიშელ ჩალი(1793-1880 წწ.). 1837 წელს გამოსცა ნაშრომი „გეომეტრიული მეთოდების წარმოშობისა და განვითარების ისტორიული მიმოხილვა“. საკუთარი გეომეტრიული კვლევის პროცესში შალი ამტკიცებს ყველაზე მნიშვნელოვან თეორემას:

სიბრტყის ყველა ორიენტაციის შენარჩუნების მოძრაობა არის ან

პარალელური თარგმნა ან ბრუნვა,

სიბრტყის ნებისმიერი ორიენტაციის შემცვლელი მოძრაობა ან ღერძულია

სიმეტრია ან მოცურების სიმეტრია.

ჩალის თეორემის დადასტურება სრულად არის განხორციელებული ამ აბსტრაქტის მე-8 პუნქტში.

მნიშვნელოვანი გამდიდრება, რომელიც გეომეტრიას მე-19 საუკუნეს ევალება, არის გეომეტრიული გარდაქმნების თეორიის შექმნა, კერძოდ, მოძრაობათა (გადაადგილების) მათემატიკური თეორია. ამ დროისთვის საჭირო იყო ყველა არსებული გეომეტრიული სისტემის კლასიფიკაციის მიცემა. ეს პრობლემა გერმანელმა მათემატიკოსმა გადაჭრა კრისტიან ფელიქს კლეინი(1849-1925).

1872 წელს, ერლანგენის უნივერსიტეტის პროფესორის თანამდებობაზე დაკავებისას, კლეინმა წაიკითხა ლექცია თემაზე "უახლესი გეომეტრიული კვლევების შედარებითი მიმოხილვა". მის მიერ წამოყენებული იდეა მთელი გეომეტრიის გადახედვის შესახებ მოძრაობის თეორიის საფუძველზე ე.წ. "ერლანგენის პროგრამა".

კლაინის მიხედვით, კონკრეტული გეომეტრიის ასაგებად, თქვენ უნდა მიუთითოთ ელემენტების ნაკრები და გარდაქმნების ჯგუფი. გეომეტრიის ამოცანაა შეისწავლოს ის მიმართებები ელემენტებს შორის, რომლებიც უცვლელი რჩება მოცემული ჯგუფის ყველა გარდაქმნისას. მაგალითად, ევკლიდეს გეომეტრია სწავლობს ფიგურების იმ თვისებებს, რომლებიც უცვლელი რჩება მოძრაობის დროს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ ერთი ფიგურა მიიღება მეორისგან მოძრაობით (ასეთ ფიგურებს უწოდებენ კონგრუენტებს), მაშინ ამ ფიგურებს აქვთ იგივე გეომეტრიული თვისებები.

ამ გაგებით, მოძრაობა ქმნის გეომეტრიის საფუძველს და ხუთს კონგრუენტობის აქსიომებიგამოყოფენ დამოუკიდებელი ჯგუფის მიერ თანამედროვე გეომეტრიის აქსიომების სისტემაში. აქსიომების ეს სრული და საკმაოდ მკაცრი სისტემა, რომელიც აჯამებს ყველა წინა კვლევას, შემოთავაზებული იყო გერმანელი მათემატიკოსის მიერ. დევიდ გილბერტი(1862-1943 წწ.). მისი ოცი აქსიომისგან შემდგარი სისტემა, დაყოფილია ხუთ ჯგუფად, პირველად გამოიცა 1899 წელს წიგნში. "გეომეტრიის საფუძვლები".

1909 წელს გერმანელი მათემატიკოსი ფრიდრიხ შური(1856-1932), თალესის და კლაინის იდეების შემდეგ, შეიმუშავა გეომეტრიის აქსიომების კიდევ ერთი სისტემა - მოძრაობათა განხილვის საფუძველზე. მის სისტემაში, კერძოდ, ჰილბერტის ჯგუფის კონგრუენციის აქსიომების ნაცვლად, სამი ჯგუფი. მოძრაობის აქსიომები.

მოძრაობების ტიპები და ზოგიერთი მნიშვნელოვანი თვისება დეტალურად არის განხილული ამ ნარკვევში, მაგრამ ისინი შეიძლება მოკლედ გამოითქვას შემდეგნაირად: მოძრაობები ქმნიან ჯგუფს, რომელიც განსაზღვრავს და განსაზღვრავს ევკლიდეს გეომეტრიას.

მოძრაობის განმარტება და თვისებები.

ამ ფიგურის თითოეული წერტილის რაიმე ფორმით გადაადგილებით, ახალი ფიგურა მიიღება. ამბობენ, რომ ეს მაჩვენებელი მიღებულია ტრანსფორმაცია ამ ერთიდან. ერთი ფიგურის მეორეში გადაქცევას მოძრაობა ეწოდება, თუ ის ინარჩუნებს მანძილებს წერტილებს შორის, ე.ი. თარგმნის ნებისმიერ ორ წერტილს X და ი ერთი ფორმა თითო წერტილზე X ’ და ი ’ სხვა ფიგურა ასე რომ XY = X ’ი ’.

განმარტება. ფორმის ტრანსფორმაცია, რომელიც ინარჩუნებს მანძილს

წერტილებს შორის ამ ფიგურის მოძრაობას უწოდებენ.

! კომენტარი:გეომეტრიაში მოძრაობის კონცეფცია დაკავშირებულია გადაადგილების ჩვეულებრივ იდეასთან. მაგრამ თუ გადაადგილებაზე საუბრისას წარმოვიდგენთ უწყვეტ პროცესს, მაშინ გეომეტრიაში ჩვენთვის მნიშვნელობა ექნება მხოლოდ ფიგურის საწყისი და საბოლოო (გამოსახულების) პოზიციებს. ეს გეომეტრიული მიდგომა განსხვავდება ფიზიკურისგან.

გადაადგილებისას სხვადასხვა წერტილები შეესაბამება სხვადასხვა სურათს და თითოეულ წერტილს X ერთი ფიგურა მოთავსებულია ერთადერთთან შესაბამისობაში წერტილი X ’ სხვა ფიგურა. ამ ტიპის ტრანსფორმაციას ე.წ ერთი-ერთზე ან ბიექტური.

მოძრაობებთან დაკავშირებით, ფიგურების ტერმინის „თანასწორობის“ ნაცვლად (სწორი ხაზები, სეგმენტები, სიბრტყეები და ა.შ.) გამოიყენება ტერმინი. "თანხვედრა"და სიმბოლო გამოიყენება  . სიმბოლო є გამოიყენება კუთვნილების აღსანიშნავად. ამის გათვალისწინებით შეგვიძლია მივცეთ მოძრაობის უფრო სწორი განმარტება:

მოძრაობა არის π სიბრტყის ორბიექტური ტრანსფორმაცია φ, რომლის ქვეშაც ნებისმიერი

სხვადასხვა წერტილები X, Y є π ურთიერთობა XY  φ (X ) φ (ი ).

ორი მოძრაობის თანმიმდევრული შესრულების შედეგს ე.წ შემადგენლობა. თუ გადაადგილება პირველია φ , რასაც მოჰყვა მოძრაობა ψ , მაშინ ამ მოძრაობების შემადგენლობა აღინიშნება ψ ◦ φ .

მოძრაობის უმარტივესი მაგალითია პირადობის ჩვენება (ჩვეულებრივია აღვნიშნოთ - ε ), რომელშიც თითოეული წერტილი X , თვითმფრინავის კუთვნილება, თავად ეს წერტილი შედარებულია, ე.ი. ε (X ) = X .

განვიხილოთ მოძრაობის რამდენიმე მნიშვნელოვანი თვისება.

C ქონება 1.

ლემა 2. 1. კომპოზიციაφ ◦ ψ ორი მოძრაობაψ , φ არის მოძრაობა.

მტკიცებულება.

მოდით ფიგურა ფ თარგმნილია მოძრაობით ψ ფიგურად ფ “ და ფიგურა ფ “ ითარგმნება მოძრაობით φ ფიგურად ფ ''. დაუშვით წერტილი X ფიგურები ფ საქმეზე მიდის X "ფორმებს ფ და მეორე მოძრაობის დროს წერტილი X "ფორმებს ფ ' მიდის წერტილზე X '' ფორმები ფ ''. შემდეგ ფიგურის ტრანსფორმაცია ფ ფიგურად ფ '', სადაც თვითნებური წერტილი X ფიგურები ფ საქმეზე მიდის X '' ფორმები ფ '', ინარჩუნებს მანძილს წერტილებს შორის და, შესაბამისად, არის მოძრაობაც.

გაითვალისწინეთ, რომ კომპოზიციის ჩაწერა ყოველთვის იწყება ბოლო მოძრაობიდან, რადგან კომპოზიციის შედეგი არის საბოლოო გამოსახულება - იგი შეესაბამება ორიგინალს:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C ქონება 2.

ლემა 2.2 . Თუφ - მოძრაობა, შემდეგ ტრანსფორმაციაφ -1 ასევე მოძრაობაა.

მტკიცებულება.

დაე, ფორმა გარდაიქმნას ფ ფიგურად ფ თარგმნის ფიგურის სხვადასხვა წერტილს ფ ფიგურის სხვადასხვა წერტილში ფ '. დაე, თვითნებური წერტილი X ფიგურები ფ ამ ტრანსფორმაციის პირობებში მიდის წერტილამდე X "ფორმებს ფ ’.

ფორმის ტრანსფორმაცია ფ ფიგურაში ფ , რა დროსაც წერტილი X ' მიდის წერტილზე X , ეწოდება ტრანსფორმაცია მოცემულის საპირისპიროდ.ყოველი ნაბიჯისთვის φ შესაძლებელია განისაზღვროს საპირისპირო მოძრაობა, რომელიც აღინიშნება φ -1 .

თვისების 1-ის მტკიცებულების ანალოგიურად კამათით, შეგვიძლია დავადასტუროთ, რომ მოძრაობაში შებრუნებული გარდაქმნა ასევე მოძრაობაა.

აშკარაა, რომ ტრანსფორმაცია φ -1 აკმაყოფილებს თანასწორობებს:

ვ ◦ ვ -1 = ვ -1 ◦ ვ = ε , სად ε არის იდენტური ჩვენება.

საკუთრება 3 (კომპოზიციების ასოციაციურობა).

ლემა 2.3. მოდით φ 1 , φ 2 , φ 3 - ნებაყოფლობითი მოძრაობები. შემდეგ φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

ის ფაქტი, რომ მოძრაობათა შემადგენლობას აქვს ასოციაციურობის თვისება, საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ ხარისხი φ ბუნებრივი მაჩვენებლით ნ .

დავსვათ φ 1 = φ და φ n+1 = φ ნ ◦ φ , თუ ნ ≥ 1 . ამრიგად მოძრაობა φ ნ მიერ მიღებული ნ - მოძრაობის მრავალჯერადი თანმიმდევრული გამოყენება φ .

C ქონება 4 (სისწორის შენარჩუნება).

თეორემა 2. 1. იმავე სწორ ხაზზე მდებარე წერტილები გადაადგილებისას გადადის წერტილებად,

მოძრაობასხეულები გრავიტაციის გავლენის ქვეშ

კურსი >> ფიზიკა

ტრაექტორიების ტიპი მათ მოძრაობებიადასტურებს გაზრდილი ... აერო- და ჰიდროდინამიკა არის სწავლა მოძრაობებიმყარი გაზში და ... ხახუნის) არის ქონებანამდვილი სითხეები უძლებს... ლულა და თვითმფრინავიშედგენილი ჰორიზონტის მკლავები ზოგიერთიინექცია,...

Სწავლაელექტრული გამტარობის განაწილება ზედმეტად შეკუმშული დეტონაციის ტალღებში შედედებულ ასაფეთქებელ ნივთიერებებში

სადიპლომო სამუშაო >> ქიმია

... კვლევაელექტროფიზიკური თვისებები... შედეგები და მათანალიზი 2.1 ... დეტონაციის პროდუქტების თვითმფრინავი Chapman-Jouguet... დათვლის საშუალებას გაძლევთ მოძრაობაელექტრონი ნახევარკლასიკური. ... კარტაშოვი A. M., Svih V. G. O ზოგიერთისისტემატური შეცდომები გამტარობის გაზომვაში ...

Თვისებებისაინჟინრო მასალები (2)

პრაქტიკული სამუშაო >> მრეწველობა, წარმოება

ნაწილი I კონსტრუქციული ფოლადები და შენადნობები კონსტრუქციული ფოლადი არის ის, რომელიც განკუთვნილია მანქანების ნაწილების (მანქანების სამშენებლო ფოლადები), კონსტრუქციებისა და კონსტრუქციების (სამშენებლო ფოლადების) დასამზადებლად. ნახშირბადის სტრუქტურული ფოლადები ნახშირბადის სტრუქტურული...

შესავალი.

გეომეტრიული გარდაქმნები მათემატიკის საკმაოდ გვიანი დარგია. პირველი გეომეტრიული გარდაქმნების განხილვა დაიწყო მე-17 საუკუნეში, პროექციული გარდაქმნები კი მხოლოდ მე-19 საუკუნის დასაწყისში გამოჩნდა.

ალგებრაში განიხილება სხვადასხვა ფუნქცია. ფუნქცია f ფუნქციის დომენიდან თითოეულ x რიცხვს ანიჭებს გარკვეულ რიცხვს f(x) - f ფუნქციის მნიშვნელობა x წერტილში. გეომეტრიაში განიხილება ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ განმარტების სხვა დომენები და მნიშვნელობების სიმრავლე. ისინი თითოეულ წერტილს ანიჭებენ წერტილს. ამ ფუნქციებს გეომეტრიული გარდაქმნები ეწოდება.

გეომეტრიულ გარდაქმნებს დიდი მნიშვნელობა აქვს გეომეტრიაში. გეომეტრიული გარდაქმნების დახმარებით განისაზღვრება ისეთი მნიშვნელოვანი გეომეტრიული ცნებები, როგორიცაა ფიგურების თანასწორობა და მსგავსება. გეომეტრიული გარდაქმნების წყალობით, გეომეტრიის მრავალი განსხვავებული ფაქტი ჯდება თანმიმდევრულ თეორიაში.

აბსტრაქტულად, ძირითადად, ვისაუბრებთ სივრცის გარდაქმნებზე. განხილული იქნება სივრცის ყველა მოძრაობა, მსგავსება, წრიული და აფინური ტრანსფორმაცია, აგრეთვე სიბრტყის აფინური და პროექციული ტრანსფორმაცია. თითოეული ტრანსფორმაციისთვის განიხილება მისი თვისებები და გამოყენების მაგალითები გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნაში.

პირველ რიგში, მოდით გადავხედოთ რამდენიმე ძირითად კონცეფციას, რომლებიც დაგვჭირდება ტრანსფორმაციებთან მუშაობისთვის. მოდით ვისაუბროთ ორ ტერმინზე: მანძილი და ტრანსფორმაცია. მაშ, რას ვგულისხმობთ ამ სიტყვებში:

განმარტება. მანძილიორ წერტილს შორის ჩვენ დავარქმევთ სეგმენტის სიგრძეს ამ წერტილებში ბოლოებით.

განმარტება. ტრანსფორმაციაკომპლექტს ჰქვია ამ ნაკრების ერთ-ერთზე საკუთარ თავზე გამოსახვა.

ახლა მოდით გადავიდეთ გეომეტრიული გარდაქმნების გარკვეული ტიპების განხილვაზე.

ნაწილი I. სივრცის მოძრაობები.

მოძრაობის ზოგადი თვისებები.

განმარტება.სივრცის ტრანსფორმაცია ე.წ მოძრაობათუ ის ინარჩუნებს მანძილებს წერტილებს შორის.

მოძრაობის თვისებები.

1. მოძრაობაში შებრუნებული ტრანსფორმაცია არის მოძრაობა.
2. მოძრაობების შემადგენლობა მოძრაობაა.
3. მოძრაობისას სწორი ხაზი გადაიქცევა სწორ ხაზად, სხივი სხივად, სეგმენტი სეგმენტად, სიბრტყე სიბრტყეში, ნახევრად სიბრტყე ნახევრად სიბრტყეში.
4. სიბრტყის კუთხის გამოსახულება მოძრაობაში არის იგივე სიდიდის სიბრტყის კუთხე.
5. მოძრაობა ინარჩუნებს კუთხეს სწორ ხაზებს შორის, სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის, სიბრტყეებს შორის.
6. მოძრაობა ინარჩუნებს სწორი ხაზების, სწორი ხაზის და სიბრტყის, სიბრტყეების პარალელიზმს.

საკუთრების მტკიცებულებები.

1 და 2. დაიცავით მოძრაობის განმარტება.

1. მოდით, წერტილები A, X და B იყოს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, ხოლო X წერტილი მდებარეობს A-სა და B-ს შორის. შემდეგ AX + XB = AB. А', Х', В' წერტილები იყოს А, Х, В წერტილების გამოსახულებები მოძრაობისას. შემდეგ А´Х´+Х´В´=А´В´ (მოძრაობის განმარტებიდან). და აქედან გამომდინარეობს, რომ წერტილები A´, X´, B´ დევს ერთ სწორ ხაზზე და X´ მდებარეობს A´-სა და B´-ს შორის.
   დადასტურებული დებულებიდან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ მოძრაობისას სწორი ხაზი იქცევა სწორ ხაზად, სხივი სხივად, სეგმენტი სეგმენტად.

თვითმფრინავისთვის, მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს შემდეგნაირად. მოდით a, b იყოს ჩვენი სიბრტყის α, a´, b´ ორი გადამკვეთი ხაზი მათი გამოსახულება. ცხადია, a' და b' იკვეთება. ვთქვათ α' იყოს a', b' წრფეების შემცველი სიბრტყე. დავამტკიცოთ, რომ α´ არის α სიბრტყის გამოსახულება. ვთქვათ М არის სიბრტყის თვითნებური წერტილი α, რომელიც არ დევს a და b წრფეებზე. დავხაზოთ c წრფე M-ის გავლით, რომელიც კვეთს a და b წრფეებს სხვადასხვა წერტილში. ამ წრფის გამოსახულება არის c' წრფე, რომელიც კვეთს a', b' წრფეებს სხვადასხვა წერტილში. ეს ნიშნავს, რომ M', M წერტილის გამოსახულება, ასევე მდებარეობს α' სიბრტყეში. ამრიგად, α სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის გამოსახულება დევს α' სიბრტყეში. ანალოგიურად დადასტურდა, რომ α' სიბრტყის ნებისმიერი წერტილის წინასწარი გამოსახულება დევს α სიბრტყეში. აქედან გამომდინარე α' არის სიბრტყის α გამოსახულება.

ახლა არ არის რთული მტკიცების დამტკიცება ნახევრად თვითმფრინავისთვისაც. საჭიროა მხოლოდ ნახევრად სიბრტყის დასრულება სიბრტყემდე, განიხილოს a ხაზი, რომელიც ესაზღვრება ნახევრად სიბრტყეს, და მისი გამოსახულება a´, შემდეგ კი წინააღმდეგობით დავამტკიცოთ, რომ ნახევრად სიბრტყის ნებისმიერი ორი წერტილის გამოსახულება დევს. ა-ის იგივე მხარე.

1. გამომდინარეობს ქონებიდან 3.
2. ეს გამომდინარეობს თვისება 4-დან და სივრცეში ხაზებს შორის კუთხის განსაზღვრებიდან (წრფე და სიბრტყე, ორი სიბრტყე).
3. დავუშვათ პირიქით, ე.ი. დაე, ჩვენი პარალელური წრფეების გამოსახულებები (წრფე და სიბრტყე, სიბრტყეები) იკვეთოს (პარალელური წრფეების შემთხვევაში, მაინც აუცილებელია იმის ჩვენება, რომ მათი გამოსახულებები არ შეიძლება იყოს დახრილი ხაზები, მაგრამ ეს მაშინვე გამომდინარეობს იქიდან, რომ სიბრტყე შეიცავს ეს ხაზები გადავა სიბრტყეში). შემდეგ განიხილეთ მათი საერთო წერტილი. მას ექნება ორი პროტოტიპი, რაც შეუძლებელია ტრანსფორმაციის განმარტებით.

განმარტება.ფიგურა F ეწოდება თანაბარიფიგურა Ф´, თუ არის მოძრაობა, რომელიც ფ-ად გარდაქმნის.

მოძრაობების სახეები.

3.1. იდენტობის ტრანსფორმაცია.

განმარტება. იდენტობის ტრანსფორმაცია E სივრცეს უწოდებენ ტრანსფორმაციას, რომლის დროსაც სივრცის თითოეული წერტილი გადადის საკუთარ თავში.

ცხადია, იდენტური ტრანსფორმაცია მოძრაობაა.

3.2. პარალელური გადაცემა.

განმარტება.მოდით ვექტორი მოცემული იყოს სივრცეში. პარალელური გადაცემასივრცე ვექტორზე ეწოდება ტრანსფორმაციას, რომელშიც ყოველი წერტილი M აისახება M' წერტილში ისე, რომ .

თეორემა 3.2.პარალელური გადაცემა - მოძრაობა.

მტკიცებულება.მოდით А´, В´ იყოს А, В წერტილების გამოსახულებები ვექტორზე პარალელურად გადატანისას. საკმარისია იმის ჩვენება, რომ AB=A´B´, რომელიც გამომდინარეობს ტოლობიდან:

ქონების გადაცემა.პარალელური თარგმანი თარგმნის წრფეს (სიბრტყეს) თავისთავად ან მის პარალელურ ხაზად (სიბრტყე).

მტკიცებულება.თეორემა 3.2-ის დადასტურებისას ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ვექტორები შენარჩუნებულია პარალელური ტრანსლაციის პირობებში. ეს ნიშნავს, რომ შენარჩუნებულია ხაზების მიმართულების ვექტორები და სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები. აქედან გამომდინარეობს ჩვენი მტკიცება.

ცენტრალური სიმეტრია.

განმარტება. Სიმეტრია O წერტილის მიმართ ( ცენტრალური სიმეტრია) სივრცე არის სივრცის ტრანსფორმაცია, რომელიც ასახავს O წერტილს თავის თავზე და ასახავს ნებისმიერ სხვა M წერტილს M' წერტილზე ისე, რომ O წერტილი არის MM' სეგმენტის შუა წერტილი. წერტილი O ეწოდება სიმეტრიის ცენტრი.

თეორემა 3.4.ცენტრალური სიმეტრია - მოძრაობა.

მტკიცებულება.

მოდით A, B იყოს ორი თვითნებური წერტილი, A´, B´ მათი გამოსახულებები, О სიმეტრიის ცენტრი. მაშინ .

ცენტრალური სიმეტრიის თვისება.ცენტრალური სიმეტრია იღებს წრფეს (სიბრტყეს) საკუთარ თავში ან მის პარალელურ ხაზში (სიბრტყე).

მტკიცებულება.თეორემა 3.4-ის დამტკიცებისას ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ ვექტორები შებრუნებულია პარალელური ტრანსლაციის დროს. ეს ნიშნავს, რომ ხაზების მიმართული ვექტორები და ცენტრალური სიმეტრიის მქონე სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები მხოლოდ მიმართულებებს ცვლიან. აქედან გამომდინარეობს ჩვენი მტკიცება.

თეორემა მოძრაობის დავალების შესახებ.

თეორემა 5.1. (თეორემა მოძრაობის სპეციფიკაციის შესახებ)მოცემულია ორი ტეტრაედა ABCD და A'B´C´D, შესაბამისად თანაბარი კიდეებით, მაშინ არის სივრცის ერთი და მხოლოდ ერთი მოძრაობა, რომელიც ასახავს A, B, C, D წერტილებს შესაბამისად A´, B´, C´ წერტილებს, დ'.

მტკიცებულება.

ᲛᲔ. Არსებობა.თუ A ემთხვევა A'-ს, B ემთხვევა B'-ს, C ემთხვევა C'-ს, D ემთხვევა D'-ს, მაშინ უბრალოდ მოცემულია იდენტობის ტრანსფორმაცია. თუ არა, მაშინ ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ A არ ემთხვევა A'-ს. განვიხილოთ A და A' წერტილების სიმეტრიის α სიბრტყე. მოდით, სიმეტრიამ S α მიიღოს ტეტრაედონი ABCD ტეტრაედრონში A´B 1 C 1 D 1 .

ახლა, თუ В 1 დაემთხვა В´-ს, С 1 - С´-ს, D 1 - D´-ს, მაშინ მტკიცებულება სრულია. თუ არა, მაშინ ზოგადიობის დაკარგვის გარეშე შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ პუნქტები В´ და В 1 ერთმანეთს არ ემთხვეოდნენ. განვიხილოთ B 1 და B´ წერტილების სიმეტრიის β სიბრტყე. A' წერტილი თანაბარი მანძილით არის დაშორებული B1 და B' წერტილებისგან, ამიტომ დევს β სიბრტყეზე. სიმეტრიამ S β მიიღოს ტეტრაედონი A´B 1 C 1 D 1 ტეტრაედრონში A´B´C 2 D 2.

ახლა, თუ С 2 ემთხვევა С´-ს, ხოლო D 2 ემთხვევა D´-ს, მაშინ მტკიცებულება სრულია. თუ არა, მაშინ ზოგადის დაკარგვის გარეშე შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ С´ და С 2 წერტილები ერთმანეთს არ დაემთხვა. განვიხილოთ С 2 და С´ წერტილების სიმეტრიის γ სიბრტყე. А´, В´ წერტილები თანაბარი მანძილითაა დაშორებული С 2 და С´ წერტილებისგან, ამიტომ ისინი მდებარეობენ γ სიბრტყეში. მოდით, სიმეტრიამ S γ მიიღოს ტეტრაედონი A´B´C 2 D 2 ტეტრაედრონში A´B´C´D 3.

ახლა, თუ D 3 ემთხვევა D'-ს, მაშინ მტკიცებულება სრულია. თუ არა, მაშინ განიხილეთ D 3 და D' წერტილების სიმეტრიის δ სიბრტყე. А´, В´, С´ წერტილები თანაბარი მანძილით არის დაშორებული D 3 და D´ წერტილებისგან, ამიტომ ისინი დევს δ სიბრტყეში. აქედან გამომდინარე, სიმეტრია S δ იღებს ტეტრაედრონს A´B´C´D 3 ტეტრაედრონში A´B´C´D´.

ამრიგად, შემცირებული სარკის სიმეტრიის საჭირო რაოდენობის შემადგენლობა გარდაქმნის ტეტრაედრონს ABCD ტეტრაედრონად A'B´C´D'. და ეს ტრანსფორმაცია არის მოძრაობა (მოძრაობების თვისება 2).

II. უნიკალურობა.მოდით იყოს 2 მოძრაობა f და g, რომლებიც აიღებს A-მდე A´-მდე, B-მდე B´-მდე, C-მდე C´-მდე, D-მდე D´-მდე. მაშინ მოძრაობა არის იდენტური ტრანსფორმაცია, ვინაიდან ტოვებს წერტილებს A, B, C, D დაფიქსირებული. ასე რომ, f=g.

თეორემა 5.1-ის (არსებობის) დადასტურებაში, ფაქტობრივად,

თეორემა 5.2.სივრცის ნებისმიერი მოძრაობა არის არაუმეტეს ოთხი სარკის სიმეტრიის კომპოზიცია.

სივრცის ერთგვაროვნება.

ჯერ განვიხილოთ მსგავსების მნიშვნელოვანი კონკრეტული შემთხვევა, ჰომოთეტურობა.

განმარტება. ერთგვაროვნებაცენტრით O და კოეფიციენტი არის სივრცის ტრანსფორმაცია, რომელშიც თითოეული X წერტილის გამოსახულება არის წერტილი X' ისეთი, რომ .

ჰომოთეტურობის თვისებები.

საკუთრების მტკიცებულებები.

1 და 2. დაიცავით ჰომოთეტურობის განმარტება.

3. დადასტურებულია სიბრტყეზე შესაბამისი თეორემის მსგავსად. მართლაც, თუ გავითვალისწინებთ სივრცის თვითნებურ X წერტილს, ჩვენთვის საკმარისი იქნება სიბრტყისთვის ჩვენი თეორემა (AXB) დავამტკიცოთ.

4. დადასტურებული წინააღმდეგობით.

1. გამომდინარეობს ქონების 1-დან.

მსგავსების თვისებები.

თეორემა 2.1.სივრცის მსგავსება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ჰომოთეტურობისა და მოძრაობის შემადგენლობით f:

მტკიცებულება.მოდით გავაკეთოთ ჰომოთეტიკა, რომელიც ორიენტირებულია თვითნებურ წერტილზე. განვიხილოთ ტრანსფორმაცია f ისეთი, რომ (ასეთი გარდაქმნის არსებობა გამომდინარეობს ტრანსფორმაციის განმარტებიდან). ტრანსფორმაცია f იქნება მოძრაობა მოძრაობის განმარტებით.

გაითვალისწინეთ, რომ f მოძრაობის არჩევით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ ჩვენი მსგავსების წარმოდგენა ამ ფორმითაც.

მსგავსების თვისებები.

საკუთრების მტკიცებულებები.

1 და 2. დასკვნა თეორემიდან 2.1.

3. მსგავსების განმარტებიდან გამომდინარეობს.

4. კუბისთვის თეორემა აშკარად ჭეშმარიტია. კუბურებისგან შემდგარი სხეულისთვის, რა თქმა უნდა, ასევე.

თვითნებური პოლიედონი M შეიძლება დაწესდეს კუბურ გისოსზე. ჩვენ დავფქვავთ ამ გისოსს. როდესაც ჩვენი გისოსის ერთი კუბის მხარე ნულისკენ მიისწრაფვის, ორი სხეულის მოცულობა: I სხეული, რომელიც შედგება კუბებისგან, რომლებიც მთლიანად დევს M-ში, და სხეული S, რომელიც შედგება კუბებისგან, რომლებსაც აქვთ საერთო წერტილები M-თან, მიდრეკილია მოცულობისკენ. პოლიედრონის M (ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ჩვენი პოლიედრონის M თითოეული სახისთვის, კუბების მოცულობა, რომლებიც გადაკვეთენ ამ სახეს, ნულისკენ მიისწრაფვის). ამავდროულად, M პოლიედრონის M გამოსახულებაზე ჩვენი მსგავსებით, სხეულების I', S' (სხეულების I, S გამოსახულებები) მოცულობები მრავლდება M'-ის მოცულობისკენ. I და S სხეულებისთვის ჩვენი თეორემა ჭეშმარიტია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ის ასევე მართალია M პოლიედრონისთვის.

თვითნებური სხეულის მოცულობა განისაზღვრება შესაბამისი პოლიედრების მოცულობებით, ამიტომ თეორემა ასევე მართალია თვითნებური სხეულისთვის.

თეორემა 2.2. (სივრცის მსგავსების დაყენების შესახებ)თუ ორი ტეტრაჰედრა ABCD და A'B´C´D მოცემულია ისეთი, რომ , მაშინ არის სივრცის ზუსტად ერთი მსგავსება, რომლისთვისაც A→A´, B→B´, С→С´, D→D´.

მტკიცებულება.რომ ასეთი მსგავსება არსებობს, გამომდინარეობს თეორემა 2.1-დან და სივრცის მოძრაობის დაზუსტების თეორემადან (ნაწილი I, თეორემა 5.1). იყოს ორი ასეთი გარდაქმნა: P და Р´. მაშინ ტრანსფორმაცია არის მოძრაობა, რომელსაც აქვს ფიქსირებული წერტილები A, B, C, D, ე.ი. f არის იდენტობის ტრანსფორმაცია. აქედან გამომდინარე P=P´.

დავალება 1.

M, N, P წერტილები განლაგებულია ABC სამკუთხედის AB, BC, AC გვერდებზე. წერტილები M´, N´, P´ სიმეტრიულია M, N, P წერტილების მიმართ AB, BC, AC გვერდების მიმართ. დაამტკიცეთ, რომ MNP და M´N´P სამკუთხედების ფართობები ტოლია.

გადაწყვეტილება.

რეგულარული სამკუთხედისთვის, მტკიცება აშკარაა.

ანალოგიურად, ნებისმიერი ტრაპეცია შეიძლება გარდაიქმნას ტოლფერად ერთ აფინურ ტრანსფორმაციაში, ე.ი. ეს საკმარისია ტოლფერდა ტრაპეციის რაიმე აფინური მტკიცების დასამტკიცებლად.

დავალება 2.

ABCD ტრაპეციაში AD და BC ფუძეებით, B წერტილის გავლით, პარალელურად არის CD გვერდის და AC დიაგონალის გადამკვეთი P წერტილში, ხოლო C წერტილის გავლით, AB გვერდის პარალელურად და კვეთა დიაგონალზე BD Q წერტილში. დაამტკიცეთ. რომ ხაზი PQ პარალელურია ფუძეების ტრაპეციისა.

გადაწყვეტილება.

ტოლფერდა ტრაპეციისთვის, მტკიცება აშკარაა.

შეკუმშვა სწორ ხაზზე.

განმარტება. შეკუმშვა სწორ ხაზზეℓ k () კოეფიციენტით არის ტრანსფორმაცია, რომელიც მიიყვანს თვითნებურ M წერტილს M' წერტილამდე, რომ და, სადაც .

თეორემა 2.1.სწორი ხაზის შეკუმშვა არის აფინური ტრანსფორმაცია.

მტკიცებულება.პირდაპირი შემოწმებით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ სწორი ხაზი გადადის სწორ ხაზზე. თქვენ კი შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ სწორ ხაზზე შეკუმშვა არის პარალელური პროექციის განსაკუთრებული შემთხვევა (როდესაც პროექციის მიმართულება სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზზე პერპენდიკულარულია).

თეორემა 2.2.ნებისმიერი აფინური ტრანსფორმაციისთვის არის კვადრატული გისოსი, რომელიც ამ გარდაქმნისას გარდაიქმნება მართკუთხა გისოსად.

მტკიცებულება.ავიღოთ თვითნებური კვადრატული გისოსი და განვიხილოთ მისი ერთ-ერთი კვადრატი OABS. ჩვენი გარდაქმნით ის გადაიქცევა პარალელოგრამად О´А´В´С´. თუ O'A'B'C' არის მართკუთხედი, მაშინ ჩვენი მტკიცებულება სრულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ კუთხე А´О´В´ არის მახვილი. ჩვენ მოვატრიალებთ OABS კვადრატს და მთელ ჩვენს გისოსს O წერტილის გარშემო. როდესაც კვადრატი OABS ჩაირთვება (ასე რომ წერტილი A გადავიდა B წერტილში), A' წერტილი გადავა B' წერტილში, ხოლო B' წერტილის წვეროზე. პარალელოგრამი O'A' W'S'-ის მიმდებარედ. იმათ. კუთხე A´O´B´ ხდება ბლაგვი. უწყვეტობის პრინციპის მიხედვით, რაღაც მომენტში ის იყო სწორი. ამ მომენტში კვადრატი OABS გადაიქცა ოთხკუთხედად, ხოლო ჩვენი გისოსი მართკუთხა გისოსად და ა.შ.

თეორემა 2.3.აფინური ტრანსფორმაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შეკუმშვის შემადგენლობით სწორ ხაზზე და მსგავსებით.

მტკიცებულება.გამომდინარეობს თეორემა 2.2-დან.

თეორემა 2.4.აფინური ტრანსფორმაცია, რომელიც გარკვეულ წრეს წრედ გარდაქმნის, არის მსგავსება.

მტკიცებულება.ჩვენ აღვწერთ კვადრატს ჩვენს წრის მახლობლად და ვატრიალებთ მას ისე, რომ ჩვენი გარდაქმნის დროს გადაიქცევა ოთხკუთხედად (თეორემა 2.2.). ჩვენი წრე წავა წრეში, რომელიც ჩაწერილია ამ მართკუთხედში, ასე რომ, ეს მართკუთხედი არის კვადრატი. ახლა ჩვენ შეგვიძლია მივუთითოთ კვადრატული ბადე, რომ ჩვენი ტრანსფორმაცია გარდაიქმნება კვადრატულ ბადეში. ცხადია, ჩვენი ტრანსფორმაცია მსგავსებაა.

3. სივრცის აფინური გარდაქმნები.

განმარტება. აფინისივრცის ტრანსფორმაცია არის სივრცის ტრანსფორმაცია, რომელიც გარდაქმნის თითოეულ სიბრტყეს თვითმფრინავად.

Თვისებები.

1. აფინური ტრანსფორმაციის პირობებში, სწორი ხაზები სწორ ხაზებად იქცევა.
2. სივრცის აფინური ტრანსფორმაცია იწვევს თითოეული სიბრტყის აფინურ რუქას მის გამოსახულებაზე.
3. აფინური ტრანსფორმაციის პირობებში, პარალელური სიბრტყეები (სწორი ხაზები) გადადიან პარალელურ სიბრტყეებში (სწორი ხაზები).

საკუთრების მტკიცებულებები.

1. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ სწორი ხაზი არის ორი სიბრტყის გადაკვეთა და აფინური ტრანსფორმაციის განსაზღვრებიდან.
2. ეს გამომდინარეობს აფინური ტრანსფორმაციისა და თვისების განმარტებიდან 1.
3. სიბრტყეებისთვის ეს დასტურდება წინააღმდეგობით, სწორი ხაზებისთვის - თვისებით 2 და სიბრტყის აფინური გარდაქმნის თვისებით.

თეორემა 3.1. (აფინური სივრცის ტრანსფორმაციის მითითებისას)ნებისმიერი მოცემული ტეტრაედრისთვის ABCD და A'B'C´D' არის უნიკალური აფინური ტრანსფორმაცია, რომელიც იღებს A-ს A'-მდე, B-მდე B'-მდე, C-მდე C'-მდე, D-მდე D'-მდე.

მტკიცებულება.მტკიცებულება თეორემა 1.1-ის მსგავსია. (აშენებულია პარალელეპიპედების გისოსები).

თეორემა 3.1-ის მტკიცებულებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ჩვენ გვაქვს რაღაც ირიბი კოორდინატთა სისტემა W, ხოლო W' არის მისი გამოსახულება აფინური ტრანსფორმაციის ქვეშ, მაშინ W კოორდინატთა სისტემაში სივრცეში თვითნებური წერტილის კოორდინატები უდრის მისი კოორდინატებს. სურათი W' კოორდინატულ სისტემაში.

აქედან დაუყოვნებლივ მოჰყვება კიდევ რამდენიმე თვისებებიაფინური ტრანსფორმაცია.

1. აფინური ტრანსფორმაცია არის აფინი.
2. აფინური გარდაქმნები ინარჩუნებენ პარალელური სეგმენტების სიგრძის შეფარდებას.

ახლა მოდით, კოორდინატთა სისტემა (O, , , ) იყოს მოცემული სივრცეში და აფინური ტრანსფორმაცია f იღებს O-მდე O'-ს, ხოლო საფუძვლების ვექტორებს ვექტორებზე, შესაბამისად. ვიპოვოთ M(x,y,z) წერტილის M'(x',y',z') გამოსახულების x´, y´, z´ კოორდინატები f გარდაქმნის ქვეშ.

გამოვალთ იქიდან, რომ M წერტილს კოორდინატთა სისტემაში (О, , , ) აქვს იგივე კოორდინატები, რაც კოორდინატთა სისტემაში М' წერტილს (О´, , , ). აქედან

მაშასადამე, ჩვენ გვაქვს ტოლობები (*):

აღსანიშნავია ისიც , იმიტომ ვექტორები , , წრფივად დამოუკიდებელია.

ამ დეტერმინანტს ე.წ აფინური ტრანსფორმაციის განმსაზღვრელი.

თეორემა 3.2.ტრანსფორმაცია, რომელიც მოცემულია ტოლობებით (*) at არის აფინური.

მტკიცებულება.საკმარისია შევამოწმოთ, რომ ტრანსფორმაციის (*) შებრუნებული ტრანსფორმაცია აფინურია (თვისება 4). ავიღოთ თვითნებური სიბრტყე Аx´+Вy´+Сz´+D=0, სადაც А, В, С ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის. ჩანაცვლების შესრულებით (*), ვიღებთ მისი პრეიმიჯის განტოლებას:

რჩება მხოლოდ იმის შემოწმება, რომ კოეფიციენტები x, y, z მიღებულ განტოლებაში ერთდროულად არ იყოს ნულის ტოლი. ეს მართალია, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში სისტემა

არანულოვანი განმსაზღვრელი ექნება მხოლოდ ნულოვანი ამონახსნი: A=B=C=0, რაც არ არის ჭეშმარიტი.

თეორემა 3.3.სხეულების V და V' ტომებისთვის, რომლებიც შეესაბამება აფინურ ტრანსფორმაციას, არსებობს დამოკიდებულება.

მტკიცებულება.მოდით, არათანაბლანარული ვექტორები , ქმნიან სივრცის ვექტორულ საფუძველს და ვექტორებს , და . ამ ვექტორების შერეული პროდუქტის გამოთვლით მივიღებთ:

.

გამოვიყენოთ ის ფაქტი, რომ ორიენტირებული პარალელეპიპედის მოცულობა, რომელიც აგებულია ვექტორებზე, ისევე როგორც კიდეებზე, უდრის ამ ვექტორების შერეულ ნამრავლს:

,

სადაც V 0 არის ბაზის ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობა.

აფინური ტრანსფორმაცია არ ცვლის შესაბამისი ვექტორების კოორდინატებს შესაბამის ფუძეებში. ამრიგად, V მოცულობის პარალელეპიპედის გამოსახულების V' მოცულობისთვის გვაქვს:

,

სად არის ვექტორებზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობა, როგორც კიდეებზე.

აქედან ვიღებთ: . Უფრო ასე რომ, არაორიენტირებული ტომებისთვის გვაქვს . ეს თანასწორობა შეიძლება გავრცელდეს ყველა სხეულზე მსგავსების 4 თვისების მტკიცებულების ანალოგიურად (ნაწილი II, §2).

დავალება.

პარალელეპიპედის წვერო დაკავშირებულია სამი სახის ცენტრთან, რომლებიც მას არ შეიცავს. იპოვეთ მიღებული ტეტრაედონის მოცულობის თანაფარდობა მოცემულ პარალელეპიპედის მოცულობასთან.

გადაწყვეტილება.

მოდით გამოვთვალოთ ეს თანაფარდობა კუბისთვის და აფინური ტრანსფორმაციის შედეგად კუბი პარალელეპიპედად გარდაქმნის შემდეგ გამოვიყენებთ იმ ფაქტს, რომ აფინური ტრანსფორმაცია ინარჩუნებს მოცულობების თანაფარდობას. კუბისთვის, თანაფარდობა ადვილი გამოსათვლელია. უდრის 1:12.

პასუხი: 1:12.

სივრცის ურთიერთობა.

განმარტება.სივრცის აფინური ტრანსფორმაცია, რომელსაც აქვს ფიქსირებული წერტილების სიბრტყე, ეწოდება დაკავშირებული ტრანსფორმაცია ρ (ნათესაობა), და მისი ფიქსირებული წერტილების სიბრტყე ეწოდება ნათესაური თვითმფრინავი. ელემენტები, რომლებიც დაკავშირებულია ე.წ დაკავშირებული.

განმარტება.დაკავშირებული წერტილების დამაკავშირებელი ხაზების მიმართულებას ეწოდება ნათესაობის მიმართულება.

ნათესაური თვისებები.

1. დაკავშირებული ხაზები (სიბრტყეები) იკვეთება ნათესაობის სიბრტყეზე ან არიან მის პარალელურად.
2. (ნათესაობის მიმართულების განსაზღვრის სისწორე)ხაზები, რომელთაგან თითოეული აკავშირებს ორ დაკავშირებულ წერტილს, პარალელურია.
3. თუ ურთიერთობის მიმართულება არ არის ამ ურთიერთობის სიბრტყის პარალელურად, მაშინ ორი დაკავშირებული წერტილის დამაკავშირებელი თითოეული სეგმენტი იყოფა ურთიერთობის სიბრტყით იმავე თანაფარდობით.
4. ნათესაობის მიმართულების პარალელურად ნებისმიერი სიბრტყე უმოძრაოა ამ ნათესაობაში. მასში ინდუცირებულია სიბრტყის კავშირი (აფინური ტრანსფორმაცია, რომელსაც აქვს ფიქსირებული წერტილების ხაზი, რომელსაც ეწოდება ურთიერთობის ღერძი), რომლის ღერძი არის მისი გადაკვეთის ხაზი მოცემულ სივრცის მიმართულების სიბრტყესთან.

საკუთრების მტკიცებულებები.

1. მტკიცებულება მსგავსია სარკის სიმეტრიის თვისების მტკიცებულების (ნაწილი I, §3.5).

2. იყოს A, B ორი განსხვავებული წერტილი; A', B' არის მათი გამოსახულებები მიმართებაში, α არის ურთიერთობის სიბრტყე. იყოს . მაშინ (აფინური ტრანსფორმაციის თვისება), ე.ი. AA´||BB´ და ა.შ.

3 და 4. დაიცავით საკუთრების დამადასტურებელი 2.

განმარტება.განტოლებით წარმოდგენილი ზედაპირი , ეწოდება ელიფსოიდი. ელიფსოიდის განსაკუთრებული შემთხვევაა სფერო.

ხდება შემდეგი ფაქტი, რომელსაც ჩვენ არ დავამტკიცებთ, თუმცა, შემდეგი თეორემების დადასტურებისას დაგვჭირდება:

თეორემა 4.1.აფინური ტრანსფორმაცია გარდაქმნის ელიფსოიდს ელიფსოიდად.

თეორემა 4.2.სივრცის თვითნებური აფინური ტრანსფორმაცია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მსგავსებისა და ურთიერთობის კომპოზიციით.

მტკიცებულება.მოდით, აფინური ტრანსფორმაცია f ასახავს სფერო σ ელიფსოიდზე σ´. თეორემა 3.1-დან გამომდინარეობს, რომ f შეიძლება მოცემული იყოს ამ ფიგურებით. განვიხილოთ α' სიბრტყე, რომელიც შეიცავს ელიფსოიდის ცენტრს და კვეთს მას ω' წრის გასწვრივ (ასეთი სიბრტყის არსებობა ადვილად შეიძლება დადასტურდეს უწყვეტობის მოსაზრებებიდან). მოდით α იყოს α'-ს წინა გამოსახულება, იყოს ω'-ის წინა გამოსახულება და β იყოს სფერო, რომელსაც აქვს წრე ω´ დიამეტრულ წრედ. არსებობს ρ მიმართება, რომელიც ასახავს β-ს σ´-ს და არის მსგავსება P-ს ასახავს β-ს. შემდეგ არის საჭირო წარმომადგენლობა.

თეორემა 4.3 დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს წინა თეორემის მტკიცებულებიდან:

თეორემა 4.3.აფინური ტრანსფორმაცია, რომელიც ინარჩუნებს სფეროს, არის მსგავსება.

ნაწილი IV. პროექციული გარდაქმნები.

1. სიბრტყის პროექციული გარდაქმნები.

განმარტება. პროექციული თვითმფრინავი– ჩვეულებრივი (ევკლიდური) სიბრტყე, რომელიც სრულდება წერტილებით უსასრულობაში და სწორი ხაზით უსასრულობაში, ასევე ე.წ. არასათანადო ელემენტები. ამ შემთხვევაში, თითოეულ სწორ ხაზს ავსებს ერთი არასწორი წერტილი, მთელ სიბრტყეს - ერთი არასწორი სწორი ხაზი; პარალელურ ხაზებს ავსებს საერთო არასათანადო წერტილი, არაპარალელური - სხვადასხვა; არასწორი წერტილები, რომლებიც ავსებენ სიბრტყის ყველა შესაძლო ხაზს, ეკუთვნის არასწორ ხაზს.

განმარტება.პროექციული სიბრტყის ტრანსფორმაცია, რომელიც ნებისმიერ ხაზს იღებს წრფემდე, ეწოდება პროექციული.

შედეგი.პროექციული ტრანსფორმაცია, რომელიც ინარჩუნებს ხაზს უსასრულობაში, არის აფინი; ნებისმიერი აფინური ტრანსფორმაცია არის პროექციული, ინარჩუნებს ხაზს უსასრულობაში.

განმარტება. ცენტრალური დიზაინიβ სიბრტყეზე β სიბრტყეზე, რომელიც ორიენტირებულია O წერტილზე, რომელიც არ დევს ამ სიბრტყეებზე, ეწოდება რუკა, რომელიც აკავშირებს α სიბრტყის ნებისმიერ A წერტილს OA წრფის β სიბრტყესთან გადაკვეთის A' წერტილთან.

უფრო მეტიც, თუ α და β სიბრტყეები არ არიან პარალელური, მაშინ α სიბრტყეში არის ℓ ისეთი წრფე, რომ სიბრტყე, რომელიც გადის O წერტილში და წრფე ℓ არის β სიბრტყის პარალელურად. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ჩვენი პროექციის დროს ℓ მიდის β სიბრტყის უსასრულობის ხაზამდე (ამ შემთხვევაში, ℓ წრფის თითოეული B წერტილი მიდის წრფის იმ წერტილამდე უსასრულობაში, რომელიც ავსებს OB-ის პარალელურ სწორ ხაზებს). β სიბრტყეში არის წრფე ℓ´ ისეთი, რომ სიბრტყე, რომელიც გადის O წერტილზე და წრფე ℓ´ არის პარალელურად α სიბრტყის. ჩვენ განვიხილავთ ℓ´ სწორ ხაზს α უსასრულობაში. ℓ და ℓ´ ხაზებს დაერქმევა თავდადებული.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მოცემულია პროექციული სიბრტყის მარტივი ტრანსფორმაცია (თუ გავაერთიანებთ α და β სიბრტყეებს).

ეს დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს განმარტებიდან ცენტრალური პროექციის თვისებები:

1. ცენტრალური დიზაინი არის პროექციული ტრანსფორმაცია.
2. ცენტრალური დიზაინის ინვერსიული ტრანსფორმაცია არის ცენტრალური დიზაინი იმავე ცენტრით.
3. არჩეული ხაზების პარალელურად ხდება პარალელურად.

განმარტება.მოდით, წერტილები A, B, C, D იყოს იმავე წრფეზე. ორმაგი დამოკიდებულება(AB; CD) ამ წერტილებს მნიშვნელობა ეწოდება. თუ ერთ-ერთი წერტილი უსასრულობაშია, მაშინ სეგმენტების სიგრძე, რომლის ბოლოც ეს წერტილია, შეიძლება შემცირდეს.

თეორემა 1.1.ცენტრალური პროექცია ინარჩუნებს ორმაგ ურთიერთობას.

მტკიცებულება.მოდით, О იყოს პროექციის ცენტრი, А, В, С, D – ოთხი წერტილი, რომლებიც მდებარეობს ერთ სწორ ხაზზე, A´, B´, C´, D´ - მათი გამოსახულებები.

ანალოგიურად .

ერთი განტოლების მეორეზე გაყოფით მივიღებთ .

ანალოგიურად, C წერტილის ნაცვლად, D წერტილის გათვალისწინებით, მივიღებთ .

აქედან , ე.ი. .

იმისათვის, რომ დადასტურება სრული იყოს, უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა სეგმენტი, არე და კუთხე შეიძლება ჩაითვალოს ორიენტირებულად.

თეორემა 1.2.მოდით, π სიბრტყის ოთხი წერტილი A, B, C, D არ დევს ერთ წრფეზე და ოთხი წერტილი M, N, P, Q სიბრტყის π´ არ დევს ერთ წრფეზე. შემდეგ არის ცენტრალური (პარალელური) პროექციისა და მსგავსების კომპოზიცია, რომელიც ასახავს A-ს M-ს, B-ს N-ს, C-ს P-ს, D-ს Q-ს.

მტკიცებულება.

მოხერხებულობისთვის ვიტყვით, რომ ABCD და MNPQ არის ოთხკუთხედები, თუმცა სინამდვილეში ეს არ არის აუცილებელი (მაგალითად, AB და CD სეგმენტები შეიძლება იკვეთებოდეს). მტკიცებულებიდან ჩანს, რომ ჩვენ არსად ვიყენებთ, რომ A, B, C, D და M, N, P, Q წერტილები ქმნიან ოთხკუთხედებს ამ თანმიმდევრობით.

.

მოდით გავავლოთ ხაზები AK, BL, CF, DG A, B, C, D წერტილების გავლით X 1 X 2-ის პარალელურად (K, L დევს DC-ზე; G, F დევს AB-ზე), ხოლო N, M წერტილების გავლით - ხაზები NT , MS პარალელურად Y 1 Y 2 (T, S დევს PQ-ზე). ცენტრალური (პარალელური) პროექციის გამოყენებით f, ვაქცევთ ABLK ტრაპეციას π' სიბრტყის ტრაპეცია A'B´L´K', რომელიც მსგავსია MNTS-ის ტრაპეციაში (ეს შესაძლებელია ჩვენი მტკიცებულების I ნაწილის მიხედვით) . უფრო მეტიც, X 1, X 2 წერტილების არჩევიდან გამომდინარეობს, რომ X 1 X 2 წრფე π´ სიბრტყის გამორჩეული ხაზია. მოდით მოვნიშნოთ წერტილები С´, D´ L´K´ წრფეზე ისე, რომ ABCD ტრაპეცია A´B´C´D´ ტრაპეციის მსგავსი იყოს. დახაზეთ წრფეები C´F´, D´G´ B´L´ წრფის პარალელურად (F´, G´ დევს А´В´-ზე) და მონიშნეთ Y 1 ´ წერტილი A´B´ წრფეზე ისე, რომ , . C'D' ხაზზე მონიშნეთ Y 2 ´ წერტილი ისე, რომ Y 1 ´Y 2 ´||A´K (იხ. ნახაზი). Y 1 ´ და Y 2 ´ წერტილების არჩევიდან გამომდინარეობს, რომ წრფე Y 1 ´Y 2 ´ არის π სიბრტყის გამორჩეული ხაზი. F ტრანსფორმაციის დროს E წერტილი მიდის A'B' და L'K' წრფეების გადაკვეთის E' წერტილში. С წერტილი მიდის С´D´ სწორი ხაზის რაღაც წერტილში С 0 ´.

დავამტკიცოთ, რომ С 0 ემთხვევა С´-ს. იქიდან გამომდინარე, რომ X 2 ტრანსფორმაციის დროს f გადადის C´D' წრფის უსასრულობის წერტილამდე, ხოლო Y 2 ´ არის წერტილის გამოსახულება CD წრფის უსასრულობაში და ცენტრალური პროექცია ინარჩუნებს ორმაგ მიმართებებს, ეს გამომდინარეობს. რომ , სად . ახლა განიხილეთ ტრანსფორმაცია g, ცენტრალური პროექციისა და მსგავსების შემადგენლობა, რომელიც მიიყვანს ტრაპეცია CDGF ტრაპეცია C´D´G´F´-მდე. g ტრანსფორმაციისთვის შეიძლება ამის ჩვენება . აქედან გამომდინარეობს, რომ С 0 და С´ წერტილები ერთმანეთს ემთხვევა. ანალოგიურად, შეიძლება ვაჩვენოთ, რომ D 0 - D წერტილის გამოსახულება f ტრანსფორმაციის ქვეშ - ემთხვევა D´-ს. ამრიგად, f ტრანსფორმაცია გარდაქმნის ოთხკუთხედ ABCD-ს ოთხკუთხედ A´B´C´D'-ის მსგავს ოთხკუთხედ MNPQ-ს, საჭიროებისამებრ.

თეორემა 1.3.მივცეთ ოთხი წერტილი, რომელთაგან სამი არ არის ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე: A, B, C, D და A´, B´, C´, D´. შემდეგ არის უნიკალური პროექციული ტრანსფორმაცია, რომელიც იღებს A-ს A'-ზე, B-ზე B'-ზე, C-ზე C'-ზე, D-ზე D'-ზე.

Არსებობაასეთი ტრანსფორმაცია გამომდინარეობს თეორემა 1.1-დან.

უნიკალურობაშეიძლება დადასტურდეს ისევე, როგორც აფინური ტრანსფორმაციის უნიკალურობა (თეორემა 1.1, ნაწილი III): განიხილეთ კვადრატული გისოსი, შექმენით მისი გამოსახულება და შემდეგ დახვეწეთ. თავიდან აიცილეთ ის სირთულეები, რომლებიც ჩვენ შევხვდით

თეორემა მასის ცენტრის მოძრაობის შესახებ.

ზოგიერთ შემთხვევაში, სისტემის (განსაკუთრებით ხისტი სხეულის) მოძრაობის ბუნების დასადგენად, საკმარისია ვიცოდეთ მისი მასის ცენტრის მოძრაობის კანონი. მაგალითად, თუ ქვას ესვრით სამიზნეს, საერთოდ არ გჭირდებათ იმის ცოდნა, თუ როგორ დაეცლება ის ფრენის დროს, მნიშვნელოვანია დაადგინოთ, მოხვდება თუ არა მიზანში. ამისათვის საკმარისია გავითვალისწინოთ ამ სხეულის რომელიმე წერტილის მოძრაობა.

ამ კანონის საპოვნელად მივმართავთ სისტემის მოძრაობის განტოლებებს და ვამატებთ მათ მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს ტერმინების მიხედვით. შემდეგ მივიღებთ:

გადავცვალოთ ტოლობის მარცხენა მხარე. მასის ცენტრის რადიუსის ვექტორის ფორმულიდან გვაქვს:

ამ ტოლობის ორივე ნაწილიდან ავიღებთ მეორე ჯერზე წარმოებულს და შევნიშნავთ, რომ ჯამის წარმოებული ტოლია წარმოებულების ჯამს, ვპოულობთ:

სად არის სისტემის მასის ცენტრის აჩქარება. ვინაიდან სისტემის შინაგანი ძალების თვისების მიხედვით , შემდეგ, ყველა ნაპოვნი მნიშვნელობის ჩანაცვლებით, საბოლოოდ მივიღებთ:

განტოლება და გამოხატავს თეორემას სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის შესახებ: სისტემის მასისა და მისი მასის ცენტრის აჩქარების ნამრავლი უდრის სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალების გეომეტრიულ ჯამს.მატერიალური წერტილის მოძრაობის განტოლებასთან შედარებით, ვიღებთ თეორემის კიდევ ერთ გამოხატულებას: სისტემის მასის ცენტრი მოძრაობს როგორც მატერიალური წერტილი, რომლის მასა უდრის მთელი სისტემის მასას და რომელზედაც მოქმედებს სისტემაზე მოქმედი ყველა გარე ძალა.

თანასწორობის ორივე მხარის კოორდინატთა ღერძებზე დაპროექტებით, მივიღებთ:

ეს განტოლებები არის მასის ცენტრის მოძრაობის დიფერენციალური განტოლებებიდეკარტის კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე პროექციებში.

დადასტურებული თეორემის მნიშვნელობა ასეთია.

1) თეორემა იძლევა წერტილის დინამიკის მეთოდების დასაბუთებას. განტოლებიდან ჩანს, რომ ამონახსნები, რომლებსაც ვიღებთ მოცემული სხეულის მატერიალურ წერტილად განხილვით, განსაზღვრავს ამ სხეულის მასის ცენტრის მოძრაობის კანონს,იმათ. აქვს ძალიან კონკრეტული მნიშვნელობა.

კერძოდ, თუ სხეული წინ მიიწევს, მაშინ მისი მოძრაობა მთლიანად განისაზღვრება მასის ცენტრის მოძრაობით. ამრიგად, თანდათანობით მოძრავი სხეული ყოველთვის შეიძლება ჩაითვალოს მატერიალურ წერტილად, სხეულის მასის ტოლი მასით. სხვა შემთხვევაში, სხეული შეიძლება ჩაითვალოს მატერიალურ წერტილად მხოლოდ მაშინ, როდესაც პრაქტიკაში სხეულის პოზიციის დასადგენად საკმარისია ვიცოდეთ მისი მასის ცენტრის პოზიცია.

2) თეორემა საშუალებას იძლევა, ნებისმიერი სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის კანონის განსაზღვრისას, განიხილოს ყველა მანამდე უცნობი შინაგანი ძალა. ეს არის მისი პრაქტიკული ღირებულება.

ასე რომ, მანქანის მოძრაობა ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე შეიძლება მოხდეს მხოლოდ გარე ძალების გავლენის ქვეშ, გზის მხრიდან ბორბლებზე მოქმედი ხახუნის ძალები. და მანქანის დამუხრუჭებაც შესაძლებელია მხოლოდ ამ ძალებით და არა სამუხრუჭე ხუნდებსა და სამუხრუჭე ბარაბანს შორის ხახუნით. თუ გზა გლუვია, ბორბლები რამდენიც არ უნდა დამუხრუჭონ, სრიალებს და მანქანას არ გააჩერებენ.

ან მფრინავი ჭურვის აფეთქების შემდეგ (შინაგანი ძალების გავლენით), მისი ფრაგმენტები ისე გაიფანტება, რომ მათი მასის ცენტრი იმავე ტრაექტორიაზე გადაადგილდება.

მექანიკური სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობის თეორემა უნდა იქნას გამოყენებული მექანიკაში ამოცანების გადასაჭრელად, რომლებიც მოითხოვს:

მექანიკურ სისტემაზე (ყველაზე ხშირად მყარ სხეულზე) მიმართული ძალების მიხედვით განსაზღვრეთ მასის ცენტრის მოძრაობის კანონი;

მექანიკურ სისტემაში შემავალი სხეულების მოძრაობის მოცემული კანონის მიხედვით იპოვეთ გარე შეზღუდვების რეაქციები;

მექანიკურ სისტემაში შემავალი სხეულების მოცემული ურთიერთმოძრაობიდან გამომდინარე, განსაზღვრეთ ამ სხეულების მოძრაობის კანონი რომელიმე ფიქსირებულ ათვლის სისტემასთან მიმართებაში.

ამ თეორემის გამოყენებით შეიძლება შედგეს მექანიკური სისტემის მოძრაობის ერთ-ერთი განტოლება თავისუფლების რამდენიმე ხარისხით.

პრობლემების გადაჭრისას ხშირად გამოიყენება თეორემის შედეგები მექანიკური სისტემის მასის ცენტრის მოძრაობაზე.

დასკვნა 1. თუ მექანიკურ სისტემაზე მიმართული გარე ძალების ძირითადი ვექტორი ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის მასის ცენტრი ისვენებს ან მოძრაობს ერთნაირად და სწორხაზოვნად. ვინაიდან მასის ცენტრის აჩქარება არის ნული, .

დასკვნა 2. თუ გარე ძალების მთავარი ვექტორის პროექცია რომელიმე ღერძზე ნულის ტოლია, მაშინ სისტემის მასის ცენტრი ან არ ცვლის თავის პოზიციას ამ ღერძთან მიმართებაში, ან მოძრაობს მის მიმართ ერთნაირად.

მაგალითად, თუ ორი ძალა იწყებს სხეულზე მოქმედებას, რომელიც ქმნის ძალების წყვილს (სურ. 38), მაშინ მასის ცენტრი თანის იმავე ტრაექტორიაზე იმოძრავებს. და სხეული თავად ბრუნავს მასის ცენტრის გარშემო. და არ აქვს მნიშვნელობა, სად გამოიყენება რამდენიმე ძალა.

სხვათა შორის, სტატიკაში დავამტკიცეთ, რომ წყვილის მოქმედება სხეულზე არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ სად გამოიყენება. აქ ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ სხეულის ბრუნვა იქნება ცენტრალური ღერძის გარშემო თან.

სურ.38

თეორემა კინეტიკური მომენტის ცვლილების შესახებ.

მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი ფიქსირებულ ცენტრთან მიმართებაში ოარის ამ ცენტრის გარშემო სისტემის მოძრაობის საზომი. ამოცანების ამოხსნისას, როგორც წესი, გამოიყენება არა თავად ვექტორი, არამედ მისი პროგნოზები ფიქსირებული კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე, რომლებსაც ღერძის გარშემო კინეტიკური მომენტები ეწოდება. მაგალითად, - სისტემის კინეტიკური მომენტი ფიქსირებულ ღერძთან მიმართებაში ოზი .

მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი არის ამ სისტემაში შემავალი წერტილებისა და სხეულების კინეტიკური მომენტების ჯამი. განვიხილოთ მატერიალური წერტილისა და ხისტი სხეულის კუთხური იმპულსის განსაზღვრის მეთოდები მათი მოძრაობის სხვადასხვა შემთხვევებში.

მატერიალური წერტილისთვის მასის მქონე სიჩქარით, კუთხური იმპულსი ზოგიერთი ღერძის გარშემო ოზიგანისაზღვრება, როგორც ამ წერტილის იმპულსის ვექტორის მომენტი არჩეულ ღერძზე:

წერტილის კუთხური იმპულსი დადებითად ითვლება, თუ ღერძის დადებითი მიმართულების მხრიდან წერტილის მოძრაობა ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.

თუ წერტილი ასრულებს რთულ მოძრაობას, მისი კუთხური იმპულსის დასადგენად, იმპულსის ვექტორი უნდა ჩაითვალოს ფარდობითი და პორტატული მოძრაობების რაოდენობების ჯამად (ნახ. 41).

მაგრამ სად არის მანძილი წერტილიდან ბრუნვის ღერძამდე და

ბრინჯი. 41

კუთხოვანი იმპულსის ვექტორის მეორე კომპონენტი შეიძლება განისაზღვროს ისევე, როგორც ღერძის გარშემო ძალის მომენტი. რაც შეეხება ძალის მომენტს, მნიშვნელობა არის ნულოვანი, თუ ფარდობითი სიჩქარის ვექტორი დევს იმავე სიბრტყეში, სადაც მთარგმნელობითი ბრუნვის ღერძი.

ხისტი სხეულის იმპულსი ფიქსირებულ ცენტრთან მიმართებაში შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ორი კომპონენტის ჯამი: პირველი მათგანი ახასიათებს სხეულის მოძრაობის მთარგმნელ ნაწილს მასის ცენტრთან ერთად, მეორე ახასიათებს სისტემის მოძრაობას. მასის ცენტრის გარშემო:

თუ სხეული ასრულებს მთარგმნელობით მოძრაობას, მაშინ მეორე კომპონენტი ნულის ტოლია

ხისტი სხეულის კინეტიკური მომენტი ყველაზე მარტივად გამოითვლება, როდესაც ის ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

სადაც არის სხეულის ინერციის მომენტი ბრუნვის ღერძის მიმართ.

მექანიკური სისტემის კუთხური იმპულსის ცვლილების შესახებ თეორემა, როდესაც ის მოძრაობს ფიქსირებული ცენტრის გარშემო, ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: მექანიკური სისტემის კუთხური იმპულსის ვექტორის მთლიანი დროის წარმოებული ზოგიერთი ფიქსირებული ცენტრის მიმართ. ოსიდიდითა და მიმართულებით უდრის მექანიკურ სისტემაზე მიმართული გარე ძალების ძირითად მომენტს, რომელიც განისაზღვრება იმავე ცენტრის მიმართ.

სადაც - ცენტრის შესახებ ყველა გარეგანი ძალის მთავარი მომენტი ო.

ამოცანების გადაჭრისას, რომლებშიც სხეულები განიხილება ფიქსირებული ღერძის გარშემო ბრუნვად, ისინი იყენებენ თეორემას ფიქსირებულ ღერძთან მიმართებაში კუთხოვანი იმპულსის ცვლილების შესახებ.

რაც შეეხება მასის ცენტრის მოძრაობის თეორემას, კუთხური იმპულსის ცვლილების თეორემას აქვს შედეგები.

დასკვნა 1. თუ ყველა გარე ძალების ძირითადი მომენტი რომელიმე ფიქსირებულ ცენტრთან მიმართებაში ნულის ტოლია, მაშინ მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი ამ ცენტრთან მიმართებაში უცვლელი რჩება.

დასკვნა 2. თუ ყველა გარე ძალების ძირითადი მომენტი რომელიმე ფიქსირებულ ღერძზე ნულის ტოლია, მაშინ მექანიკური სისტემის კინეტიკური მომენტი ამ ღერძის მიმართ უცვლელი რჩება.

იმპულსის ცვლილების თეორემა გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად, რომლებშიც განიხილება მექანიკური სისტემის მოძრაობა, რომელიც შედგება ცენტრალური სხეულისგან, რომელიც ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის ირგვლივ და ერთი ან მეტი სხეული, რომლის მოძრაობა დაკავშირებულია ცენტრალურთან. განხორციელდეს ძაფების გამოყენებით, სხეულები შეიძლება გადაადგილდნენ ცენტრალური სხეულის ზედაპირზე ან მის არხებში შიდა ძალების გამო. ამ თეორემის გამოყენებით შეიძლება განისაზღვროს ცენტრალური სხეულის ბრუნვის კანონის დამოკიდებულება დარჩენილი სხეულების პოზიციაზე ან მოძრაობაზე.