ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მეცნიერება, რომლის გამოყენებაც ჩანს ისეთ დისციპლინებში, როგორიცაა ქიმია, ფიზიკა და ბიოლოგიაც კი, არის მათემატიკა. ამ მეცნიერების შესწავლა საშუალებას გაძლევთ განავითაროთ გარკვეული გონებრივი თვისებები, გააუმჯობესოთ კონცენტრაციის უნარი. ერთ-ერთი თემა, რომელიც განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს კურსში „მათემატიკა“ არის წილადების შეკრება და გამოკლება. ბევრ სტუდენტს უჭირს სწავლა. ალბათ ჩვენი სტატია დაგეხმარებათ ამ თემის უკეთ გაგებაში.

როგორ გამოვაკლოთ წილადები, რომელთა მნიშვნელები ერთნაირია

წილადები არის იგივე რიცხვები, რომლითაც შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა მოქმედებები. მათი განსხვავება მთელი რიცხვებისგან მდგომარეობს მნიშვნელის არსებობაში. სწორედ ამიტომ, წილადებთან მოქმედებების შესრულებისას საჭიროა მათი ზოგიერთი მახასიათებლისა და წესის შესწავლა. უმარტივესი შემთხვევაა ჩვეულებრივი წილადების გამოკლება, რომელთა მნიშვნელები წარმოდგენილია როგორც ერთი და იგივე რიცხვი. ამ მოქმედების შესრულება რთული არ იქნება, თუ იცით მარტივი წესი:

• მეორე წილადს რომ გამოვაკლოთ, საჭიროა გამოკლებული წილადის მრიცხველი გამოვაკლოთ შემცირებული წილადის მრიცხველს. ჩვენ ვწერთ ამ რიცხვს განსხვავების მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელს ვტოვებთ იგივე: k / m - b / m = (k-b) / m.

წილადების გამოკლების მაგალითები, რომელთა მნიშვნელები ერთნაირია

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

შემცირებული წილადის "7"-ის მრიცხველს გამოვაკლოთ გამოკლებული წილადის მრიცხველი "3", მივიღებთ "4". ამ რიცხვს ვწერთ პასუხის მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში ვსვამთ იმავე რიცხვს, რომელიც იყო პირველი და მეორე წილადების მნიშვნელებში - „19“.

ქვემოთ მოყვანილი სურათი გვიჩვენებს კიდევ რამდენიმე ასეთ მაგალითს.

განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი, სადაც ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადები გამოკლებულია:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

შემცირებული წილადის "29"-ის მრიცხველიდან რიგრიგობით გამოკლებით ყველა მომდევნო წილადის მრიცხველები - "3", "8", "2", "7". შედეგად მივიღებთ შედეგს „9“, რომელსაც ვწერთ პასუხის მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში ვწერთ რიცხვს, რომელიც არის ყველა ამ წილადის მნიშვნელებში – „47“.

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების შეკრება

იგივე პრინციპით ხდება ჩვეულებრივი წილადების შეკრება და გამოკლება.

• იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მრიცხველები. მიღებული რიცხვი არის ჯამის მრიცხველი, ხოლო მნიშვნელი იგივე რჩება: k/m + b/m = (k + b)/m.

ვნახოთ, როგორ გამოიყურება მაგალითში:

1/4 + 2/4 = 3/4.

წილადის პირველი წევრის მრიცხველს - "1" - ვუმატებთ წილადის მეორე წევრის მრიცხველს - "2". შედეგი - "3" - იწერება თანხის მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელი რჩება იგივე, რაც იყო წილადებში - "4".

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადები და მათი გამოკლება

ჩვენ უკვე განვიხილეთ მოქმედება წილადებით, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელი. როგორც ხედავთ, მარტივი წესების ცოდნა, ასეთი მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია. მაგრამ რა მოხდება, თუ თქვენ გჭირდებათ მოქმედების შესრულება წილადებით, რომლებსაც აქვთ სხვადასხვა მნიშვნელი? ბევრი საშუალო სკოლის მოსწავლე დაბნეულია ასეთი მაგალითებით. მაგრამ აქაც თუ იცით ამოხსნის პრინციპი, მაგალითები აღარ გაგიჭირდებათ. აქაც არის წესი, რომლის გარეშეც ასეთი წილადების ამოხსნა უბრალოდ შეუძლებელია.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის, ისინი უნდა დაიკლოთ ერთსა და იმავე უმცირეს მნიშვნელამდე.



ჩვენ უფრო დეტალურად ვისაუბრებთ იმაზე, თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს.

წილადის თვისება

იმისთვის, რომ რამდენიმე წილადი ერთსა და იმავე მნიშვნელზე შევიყვანოთ, გამოსავალში უნდა გამოიყენოთ წილადის ძირითადი თვისება: მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთსა და იმავე რიცხვზე გაყოფის ან გამრავლების შემდეგ მიიღებთ მოცემულის ტოლ წილადს.

ასე, მაგალითად, წილადს 2/3 შეიძლება ჰქონდეს მნიშვნელები, როგორიცაა "6", "9", "12" და ა.შ., ანუ შეიძლება გამოიყურებოდეს ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც არის "3"-ის ნამრავლი. მას შემდეგ რაც გავამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს "2-ზე", მივიღებთ წილადს 4/6. მას შემდეგ რაც გავამრავლებთ საწყისი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს „3“-ზე, მივიღებთ 6/9-ს, ხოლო თუ მსგავს მოქმედებას შევასრულებთ რიცხვით „4“ მივიღებთ 8/12-ს. ერთ განტოლებაში ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

როგორ მივიყვანოთ რამდენიმე წილადი ერთსა და იმავე მნიშვნელთან

განვიხილოთ, როგორ შევამციროთ რამდენიმე წილადი ერთსა და იმავე მნიშვნელზე. მაგალითად, აიღეთ ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენები წილადები. ჯერ უნდა დაადგინოთ რა რიცხვი შეიძლება გახდეს ყველა მათგანის მნიშვნელი. ამის გასაადვილებლად, მოდით დავშალოთ არსებული მნიშვნელები ფაქტორებად.

წილადის 1/2-ისა და წილადის 2/3-ის მნიშვნელის გაანგარიშება შეუძლებელია. 7/9-ის მნიშვნელს აქვს ორი ფაქტორი 7/9 = 7/(3 x 3), წილადის მნიშვნელი 5/6 = 5/(2 x 3). ახლა თქვენ უნდა დაადგინოთ რომელი ფაქტორები იქნება ყველაზე პატარა ამ ოთხივე წილადისთვის. ვინაიდან პირველ წილადს მნიშვნელში აქვს რიცხვი „2“, ეს ნიშნავს, რომ ის უნდა იყოს ყველა მნიშვნელში, 7/9 წილადში არის ორი სამეული, რაც ნიშნავს, რომ ისინიც უნდა იყოს მნიშვნელში. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, ვადგენთ, რომ მნიშვნელი შედგება სამი ფაქტორისაგან: 3, 2, 3 და უდრის 3 x 2 x 3 = 18.



განვიხილოთ პირველი წილადი - 1/2. მისი მნიშვნელი შეიცავს "2", მაგრამ არ არის ერთი "3", მაგრამ უნდა იყოს ორი. ამისათვის ვამრავლებთ მნიშვნელს ორ სამჯერ, მაგრამ, წილადის თვისების მიხედვით, მრიცხველი უნდა გავამრავლოთ ორ სამჯერ:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

ანალოგიურად, ჩვენ ვასრულებთ მოქმედებებს დარჩენილი წილადებით.

• 2/3 - ერთი სამი და ერთი ორი აკლია მნიშვნელში:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ან 7/(3 x 3) - მნიშვნელს აკლია ორი:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ან 5/(2 x 3) - მნიშვნელს აკლია სამმაგი:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

ყველა ერთად ასე გამოიყურება:



როგორ გამოვაკლოთ და დავამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით

როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად ან გამოკლების მიზნით, ისინი უნდა შემცირდეს ერთსა და იმავე მნიშვნელზე და შემდეგ გამოიყენონ იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლების წესები, რომლებიც უკვე აღწერილია.

განვიხილოთ ეს მაგალითით: 4/18 - 3/15.

18-ისა და 15-ის ჯერადების პოვნა:

• რიცხვი 18 შედგება 3 x 2 x 3.
• რიცხვი 15 შედგება 5 x 3-ისგან.
• საერთო ჯერადი შედგება შემდეგი ფაქტორებისგან 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

მნიშვნელის აღმოჩენის შემდეგ აუცილებელია გამოვთვალოთ კოეფიციენტი, რომელიც განსხვავებული იქნება თითოეული წილადისთვის, ანუ რიცხვი, რომლითაც საჭირო იქნება არა მხოლოდ მნიშვნელის, არამედ მრიცხველის გამრავლებაც. ამისათვის ჩვენ ვყოფთ რიცხვს, რომელიც აღმოვაჩინეთ (საერთო ჯერადი) იმ წილადის მნიშვნელზე, რომლისთვისაც საჭიროა დამატებითი ფაქტორების დადგენა.

• 90 გაყოფილი 15-ზე. შედეგად მიღებული რიცხვი "6" იქნება მამრავლი 3/15-ისთვის.
• 90 გაყოფილი 18-ზე. შედეგად მიღებული რიცხვი "5" იქნება მამრავლი 4/18-ისთვის.

ჩვენი ამოხსნის შემდეგი ნაბიჯი არის თითოეული წილადის მიყვანა მნიშვნელამდე "90".

ჩვენ უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ კეთდება ეს. ვნახოთ, როგორ წერია ეს მაგალითში:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

თუ წილადები მცირე რიცხვებით, მაშინ შეგიძლიათ განსაზღვროთ საერთო მნიშვნელი, როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენები მაგალითში.



ანალოგიურად წარმოებული და განსხვავებული მნიშვნელის მქონე.

გამოკლება და მთელი ნაწილების მქონე

წილადების გამოკლება და მათი შეკრება უკვე დეტალურად გავაანალიზეთ. მაგრამ როგორ გამოვაკლოთ თუ წილადს აქვს მთელი რიცხვი? კიდევ ერთხელ გამოვიყენოთ რამდენიმე წესი:

• გადააქციე ყველა წილადი, რომელსაც აქვს მთელი რიცხვი არასწორად. მარტივი სიტყვებით, ამოიღეთ მთელი ნაწილი. ამისათვის მთელი რიცხვის ნაწილის რიცხვი მრავლდება წილადის მნიშვნელზე, შედეგად მიღებული ნამრავლი ემატება მრიცხველს. რიცხვი, რომელიც მიიღება ამ მოქმედებების შემდეგ, არის არასწორი წილადის მრიცხველი. მნიშვნელი უცვლელი რჩება.
• თუ წილადებს განსხვავებული მნიშვნელები აქვთ, ისინი უნდა შემცირდეს იმავეზე.
• შეასრულეთ შეკრება ან გამოკლება იგივე მნიშვნელებით.
• არასწორი წილადის მიღებისას აირჩიეთ მთელი ნაწილი.



არსებობს კიდევ ერთი გზა, რომლითაც შეგიძლიათ დაამატოთ და გამოკლოთ წილადები მთელი რიცხვებით. ამისთვის მოქმედებები ცალ-ცალკე სრულდება მთელი რიცხვებით და ცალ-ცალკე წილადებით და შედეგები ერთად ჩაიწერება.



ზემოთ მოყვანილი მაგალითი შედგება წილადებისგან, რომლებსაც აქვთ იგივე მნიშვნელი. იმ შემთხვევაში, როდესაც მნიშვნელები განსხვავებულია, ისინი უნდა შემცირდეს ერთსა და იმავეზე და შემდეგ მიჰყვეთ მაგალითში ნაჩვენები ნაბიჯებს.

წილადების გამოკლება მთელი რიცხვიდან

წილადებთან მოქმედებების კიდევ ერთი სახეობაა ის შემთხვევა, როდესაც წილადს უნდა გამოვაკლოთ ერთი შეხედვით, ასეთი მაგალითი ძნელად ამოსახსნელი ჩანს. თუმცა, აქ ყველაფერი საკმაოდ მარტივია. მის ამოსახსნელად საჭიროა მთელი რიცხვის გადაყვანა წილადად და ისეთი მნიშვნელით, რომელიც გამოკლებულ წილადშია. შემდეგი, ჩვენ ვასრულებთ გამოკლების მსგავს გამოკლებას იგივე მნიშვნელებით. მაგალითად, ასე გამოიყურება:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

ამ სტატიაში მოცემული წილადების გამოკლება (მე-6 კლასი) არის უფრო რთული მაგალითების ამოხსნის საფუძველი, რომლებიც განიხილება შემდგომ კლასებში. ამ თემის ცოდნა შემდგომში გამოიყენება ფუნქციების, წარმოებულების და ა.შ. აქედან გამომდინარე, ძალზე მნიშვნელოვანია ზემოთ განხილული წილადების მოქმედებების გაგება და გაგება.

წილადები ჩვეულებრივი რიცხვებია, მათი დამატება და გამოკლებაც შესაძლებელია. მაგრამ იმის გამო, რომ მათ აქვთ მნიშვნელი, აქ უფრო რთული წესებია საჭირო, ვიდრე მთელი რიცხვებისთვის.

განვიხილოთ უმარტივესი შემთხვევა, როდესაც არის ორი წილადი ერთი და იგივე მნიშვნელით. შემდეგ:

იმავე მნიშვნელის მქონე წილადების დასამატებლად, დაამატეთ მათი მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელი უცვლელი.

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლებისთვის აუცილებელია პირველი წილადის მრიცხველს გამოვაკლოთ მეორის მრიცხველი და ისევ დატოვოთ მნიშვნელი უცვლელი.

თითოეული გამოხატვის შიგნით, წილადების მნიშვნელები ტოლია. წილადების შეკრებისა და გამოკლების განმარტებით ვიღებთ:

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული: უბრალოდ დაამატეთ ან გამოაკლეთ მრიცხველები - და ეს არის ის.

მაგრამ ასეთ მარტივ ქმედებებშიც კი ადამიანები ახერხებენ შეცდომებს. ყველაზე ხშირად მათ ავიწყდებათ, რომ მნიშვნელი არ იცვლება. მაგალითად, მათი დამატებისას ისინი ასევე იწყებენ შეკრებას და ეს ფუნდამენტურად არასწორია.

მნიშვნელების დამატების მავნე ჩვევისგან თავის დაღწევა საკმაოდ მარტივია. შეეცადეთ იგივე გააკეთოთ გამოკლებისას. შედეგად, მნიშვნელი იქნება ნული, ხოლო წილადი (მოულოდნელად!) დაკარგავს მნიშვნელობას.

ამიტომ ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: შეკრება-გამოკლებისას მნიშვნელი არ იცვლება!

ასევე, ბევრი ადამიანი უშვებს შეცდომებს რამდენიმე უარყოფითი წილადის დამატებისას. დაბნეულობაა ნიშნებთან: სად დავაყენოთ მინუსი და სად - პლუსი.

ეს პრობლემა ასევე ძალიან მარტივად მოსაგვარებელია. საკმარისია გვახსოვდეს, რომ მინუსი წილადის ნიშანამდე ყოველთვის შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე - და პირიქით. და რა თქმა უნდა, არ დაგავიწყდეთ ორი მარტივი წესი:

1. პლუს ჯერ მინუსი იძლევა მინუსს;
2. ორი უარყოფითი ადასტურებს დადებითს.

გავაანალიზოთ ეს ყველაფერი კონკრეტული მაგალითებით:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

პირველ შემთხვევაში ყველაფერი მარტივია, მეორეში კი წილადების მრიცხველებს მინუსებს დავამატებთ:

რა მოხდება, თუ მნიშვნელები განსხვავებულია

თქვენ არ შეგიძლიათ პირდაპირ დაამატოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით. ყოველ შემთხვევაში, ეს მეთოდი ჩემთვის უცნობია. თუმცა, ორიგინალური წილადები ყოველთვის შეიძლება გადაიწეროს ისე, რომ მნიშვნელები გახდეს იგივე.

წილადების გადაქცევის მრავალი გზა არსებობს. სამი მათგანი განიხილება გაკვეთილზე " წილადების მიყვანა საერთო მნიშვნელთან", ამიტომ მათზე აქ არ ვისაუბრებთ. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

პირველ შემთხვევაში წილადებს მივყავართ საერთო მნიშვნელთან „ჯვარედინი“ მეთოდით. მეორეში ჩვენ ვეძებთ LCM-ს. გაითვალისწინეთ, რომ 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. ბოლო ფაქტორები ამ გაფართოებებში ტოლია, ხოლო პირველი - თანაპირობა. ამიტომ, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

რა მოხდება, თუ წილადს აქვს მთელი რიცხვი

შემიძლია გაგახარო: წილადების სხვადასხვა მნიშვნელი არ არის უდიდესი ბოროტება. გაცილებით მეტი შეცდომა ჩნდება, როდესაც მთელი ნაწილი მონიშნულია წილადებით.

რა თქმა უნდა, ასეთი წილადებისთვის არსებობს საკუთარი შეკრების და გამოკლების ალგორითმები, მაგრამ ისინი საკმაოდ რთულია და მოითხოვს ხანგრძლივ შესწავლას. უმჯობესია გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული მარტივი დიაგრამა:

1. გადააქციეთ ყველა წილადი, რომელიც შეიცავს მთელ რიცხვს არასწორად. ვიღებთ ნორმალურ ტერმინებს (თუნდაც სხვადასხვა მნიშვნელით), რომლებიც გამოითვლება ზემოთ განხილული წესების მიხედვით;
2. სინამდვილეში, გამოთვალეთ მიღებული წილადების ჯამი ან განსხვავება. შედეგად, ჩვენ პრაქტიკულად ვიპოვით პასუხს;
3. თუ ეს არის ყველაფერი, რაც საჭირო იყო ამოცანაში, ჩვენ ვასრულებთ შებრუნებულ ტრანსფორმაციას, ე.ი. ჩვენ ვაშორებთ არასწორ წილადს, ხაზს ვუსვამთ მასში მთელ ნაწილს.

არასწორ წილადებზე გადასვლისა და მთელი ნაწილის გამოკვეთის წესები დეტალურად არის აღწერილი გაკვეთილზე „რა არის რიცხვითი წილადი“. თუ არ გახსოვთ, აუცილებლად გაიმეორეთ. მაგალითები:

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

აქ ყველაფერი მარტივია. თითოეული გამოხატვის შიგნით მნიშვნელები ტოლია, ამიტომ რჩება ყველა წილადის არასწორად გადაქცევა და დათვლა. Ჩვენ გვაქვს:

გამოთვლების გასამარტივებლად, მე გამოვტოვე რამდენიმე აშკარა ნაბიჯი ბოლო მაგალითებში.

მცირე შენიშვნა ბოლო ორ მაგალითზე, სადაც გამოკლებულია წილადები მონიშნული მთელი ნაწილით. მინუსი მეორე წილადის წინ ნიშნავს, რომ აკლდება მთელი წილადი და არა მხოლოდ მისი მთელი ნაწილი.

კიდევ ერთხელ გადაიკითხე ეს წინადადება, გადახედე მაგალითებს და დაფიქრდი. აქ დამწყები უამრავ შეცდომას უშვებენ. მათ მოსწონთ ასეთი დავალებების მიცემა საკონტროლო სამუშაოზე. მათ ასევე არაერთხელ შეხვდებით ამ გაკვეთილის ტესტებში, რომელიც მალე გამოქვეყნდება.

რეზიუმე: გამოთვლის ზოგადი სქემა

დასასრულს, მე მივცემ ზოგად ალგორითმს, რომელიც დაგეხმარებათ იპოვოთ ორი ან მეტი წილადის ჯამი ან განსხვავება:

1. თუ მთელი რიცხვი მონიშნულია ერთ ან რამდენიმე წილადში, გადააკეთეთ ეს წილადები არასწორად;
2. მიიტანეთ ყველა წილადი საერთო მნიშვნელამდე თქვენთვის მოსახერხებელ გზაზე (თუ, რა თქმა უნდა, პრობლემების შემდგენელებმა ეს არ გააკეთეს);
3. მიღებული რიცხვების შეკრება ან გამოკლება ერთი და იგივე მნიშვნელების მქონე წილადების შეკრებისა და გამოკლების წესების მიხედვით;
4. შეძლებისდაგვარად შეამცირეთ შედეგი. თუ წილადი არასწორი აღმოჩნდა, აირჩიეთ მთელი ნაწილი.

დაიმახსოვრეთ, რომ სჯობს მთელი ნაწილი გამოყოთ ამოცანის ბოლოს, პასუხის დაწერამდე.

ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მეხუთე საუკუნეში ძველმა ბერძენმა ფილოსოფოსმა ზენო ელელმა ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია „აქილევსი და კუს“. აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება. იმ დროის განმავლობაში, როცა აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრულ გაჩერებამდე იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით მიიწევს იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძიოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ისვენებს სივრცის სხვადასხვა წერტილში, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი წერტილი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ) . კონკრეტულად მინდა აღვნიშნო, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის ორი განსხვავებული რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ სხვადასხვა შესაძლებლობებს კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

ძალიან კარგად არის განსხვავებები კომპლექტსა და მრავალნაკრებს შორის აღწერილი ვიკიპედიაში. ჩვენ ვუყურებთ.

როგორც ხედავთ, „კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ორი იდენტური ელემენტი“, მაგრამ თუ ნაკრებში იდენტური ელემენტებია, ასეთ კომპლექტს „მულტისეტი“ ეწოდება. გონივრული არსებები ვერასოდეს გაიგებენ აბსურდის ასეთ ლოგიკას. ეს არის მოლაპარაკე თუთიყუშების და გაწვრთნილი მაიმუნების დონე, რომელშიც გონება აკლია სიტყვას „მთლიანად“. მათემატიკოსები მოქმედებენ როგორც რიგითი ტრენერები და ქადაგებენ თავიანთ აბსურდულ იდეებს.

ოდესღაც ინჟინრები, რომლებმაც ხიდი ააშენეს, ხიდის გამოცდების დროს ნავით იმყოფებოდნენ ხიდის ქვეშ. თუ ხიდი ჩამოინგრა, უღიმღამო ინჟინერი მისი შემოქმედების ნანგრევების ქვეშ გარდაიცვალა. თუ ხიდი დატვირთვას გაუძლებდა, ნიჭიერმა ინჟინერმა სხვა ხიდები ააგო.

რაც არ უნდა იმალებოდნენ მათემატიკოსები ფრაზის მიღმა, „იგონე, მე სახლში ვარ“, უფრო სწორად, „მათემატიკა სწავლობს აბსტრაქტულ ცნებებს“, არის ერთი ჭიპლარი, რომელიც განუყოფლად აკავშირებს მათ რეალობასთან. ეს ჭიპლარი ფულია. მოდით გამოვიყენოთ მათემატიკური სიმრავლეების თეორია თავად მათემატიკოსებზე.

მათემატიკა ძალიან კარგად ვისწავლეთ და ახლა სალაროსთან ვსხედვართ და ხელფასს ვიხდით. აქ მათემატიკოსი მოდის ჩვენთან თავისი ფულისთვის. ჩვენ მას მთელ თანხას ვითვლით და ჩვენს მაგიდაზე ვდებთ სხვადასხვა გროვად, რომელშიც ერთი და იმავე ნომინალის კუპიურებს ვდებთ. შემდეგ ყოველი წყობიდან ვიღებთ თითო კუპიურას და ვაძლევთ მათემატიკოსს მის „მათემატიკურ სახელფასო კომპლექტს“. ჩვენ ავხსნით მათემატიკას, რომ ის მიიღებს დანარჩენ ქვითრებს მხოლოდ მაშინ, როდესაც დაამტკიცებს, რომ ნაკრები იდენტური ელემენტების გარეშე არ არის ტოლი სიმრავლის იდენტური ელემენტებით. სწორედ აქ იწყება გართობა.

უპირველეს ყოვლისა, იმუშავებს დეპუტატების ლოგიკა: „შეგიძლიათ სხვებს მიმართოთ, ჩემზე კი არა! გარდა ამისა, დაიწყება გარანტიები, რომ ერთი და იმავე ნომინალის ბანკნოტებზე არის სხვადასხვა ბანკნოტების ნომრები, რაც ნიშნავს, რომ ისინი არ შეიძლება ჩაითვალოს იდენტურ ელემენტებად. აბა, ხელფასს მონეტებში ვითვლით - მონეტებზე ნომრები არ არის. აქ მათემატიკოსი სასტიკად გაიხსენებს ფიზიკას: სხვადასხვა მონეტებს აქვთ სხვადასხვა რაოდენობის ჭუჭყიანი, კრისტალური სტრუქტურა და ატომების განლაგება თითოეული მონეტისთვის უნიკალურია ...

და ახლა მე მაქვს ყველაზე საინტერესო კითხვა: სად არის საზღვარი, რომლის მიღმაც მულტისიმრავლის ელემენტები გადაიქცევა სიმრავლის ელემენტებად და პირიქით? ასეთი ხაზი არ არსებობს - ყველაფერს შამანები წყვეტენ, მეცნიერება აქაც არ არის ახლოს.

ნახე აქ. ჩვენ ვირჩევთ საფეხბურთო სტადიონებს იმავე მოედანზე. ველების ფართობი იგივეა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაქვს მულტიკომპლექტი. მაგრამ ერთი და იგივე სტადიონების სახელებს თუ გავითვალისწინებთ, ბევრს მივიღებთ, რადგან სახელები განსხვავებულია. როგორც ხედავთ, ელემენტების ერთიდაიგივე კომპლექტი ერთდროულად არის კომპლექტიც და მულტიკომპლექტიც. რამდენად სწორად? აქ კი მათემატიკოსი-შამან-შულერი ამოიღებს ყდიდან კოზირის ტუზს და იწყებს ჩვენთვის მოყოლას ან კომპლექტზე ან მულტისეტზე. ყოველ შემთხვევაში, ის დაგვარწმუნებს, რომ მართალია.

იმის გასაგებად, თუ როგორ მოქმედებენ თანამედროვე შამანები სიმრავლეების თეორიასთან, აკავშირებენ მას რეალობასთან, საკმარისია ვუპასუხოთ ერთ კითხვას: რით განსხვავდება ერთი ნაკრების ელემენტები მეორე ნაკრების ელემენტებისაგან? მე გაჩვენებთ, ყოველგვარი „წარმოდგენელი, როგორც არა ერთი მთლიანი“ ან „არა წარმოდგენა, როგორც ერთი მთლიანობა“.

კვირა, 18 მარტი, 2018 წ

რიცხვის ციფრების ჯამი არის შამანების ცეკვა ტამბურთან, რომელსაც არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან. დიახ, მათემატიკის გაკვეთილებზე გვასწავლიან რიცხვის ციფრების ჯამის პოვნას და მის გამოყენებას, მაგრამ ისინი ამისთვის შამანები არიან, რათა შთამომავლებს ასწავლონ თავიანთი უნარები და სიბრძნე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები უბრალოდ დაიღუპებიან.

გჭირდებათ მტკიცებულება? გახსენით ვიკიპედია და სცადეთ იპოვოთ გვერდი "რიცხვის ციფრთა ჯამი". ის არ არსებობს. მათემატიკაში არ არსებობს ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ იპოვოთ ნებისმიერი რიცხვის ციფრების ჯამი. რიცხვები ხომ გრაფიკული სიმბოლოებია, რომლებითაც ციფრებს ვწერთ და მათემატიკის ენაზე დავალება ასე ჟღერს: „იპოვე ნებისმიერი რიცხვის გამოსახული გრაფიკული სიმბოლოების ჯამი“. მათემატიკოსებს არ შეუძლიათ ამ პრობლემის გადაჭრა, მაგრამ შამანებს ეს ელემენტარულად შეუძლიათ.

მოდით გავარკვიოთ რას და როგორ ვაკეთებთ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამი. ასე რომ, ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 12345. რა უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ რიცხვის ციფრების ჯამი? განვიხილოთ ყველა ნაბიჯი თანმიმდევრობით.

1. ჩაწერეთ რიცხვი ფურცელზე. რა გავაკეთეთ? რიცხვი გადავაქციეთ რიცხვის გრაფიკულ სიმბოლოდ. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

2. ერთი მიღებული სურათი დავჭრათ რამდენიმე ნახატად, რომლებიც შეიცავს ცალკეულ ნომრებს. სურათის ამოჭრა არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

3. ინდივიდუალური გრაფიკული სიმბოლოების რიცხვებად გადაქცევა. ეს არ არის მათემატიკური ოპერაცია.

4. შეკრიბეთ მიღებული რიცხვები. ახლა ეს მათემატიკაა.

12345 რიცხვის ციფრების ჯამი არის 15. ეს არის შამანების მიერ გამოყენებული მათემატიკოსების მიერ გამოყენებული "ჭრის და კერვის კურსები". მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის.

მათემატიკის თვალსაზრისით არ აქვს მნიშვნელობა რომელ რიცხვთა სისტემაში დავწერთ რიცხვს. ასე რომ, სხვადასხვა რიცხვების სისტემაში, ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებული იქნება. მათემატიკაში რიცხვითი სისტემა მითითებულია როგორც ქვემოწერა ნომრის მარჯვნივ. დიდი რაოდენობით 12345, არ მინდა მოვიტყუო ჩემი თავი, განიხილეთ ნომერი 26 სტატიიდან. ჩავწეროთ ეს რიცხვი ორობით, რვადიან, ათობითი და თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემებში. ჩვენ არ განვიხილავთ თითოეულ ნაბიჯს მიკროსკოპის ქვეშ, ეს უკვე გავაკეთეთ. მოდით შევხედოთ შედეგს.

როგორც ხედავთ, სხვადასხვა რიცხვთა სისტემაში ერთი და იგივე რიცხვის ციფრების ჯამი განსხვავებულია. ამ შედეგს საერთო არაფერი აქვს მათემატიკასთან. ეს იგივეა, თუ მართკუთხედის ფართობის პოვნა მეტრებში და სანტიმეტრებში მოგცემთ სრულიად განსხვავებულ შედეგებს.

ნული ყველა რიცხვთა სისტემაში ერთნაირად გამოიყურება და არ აქვს ციფრების ჯამი. ეს არის კიდევ ერთი არგუმენტი იმისა, რომ . კითხვა მათემატიკოსებს: როგორ აღინიშნება მათემატიკაში ის, რაც არ არის რიცხვი? რა, მათემატიკოსებისთვის, რიცხვების გარდა არაფერი არსებობს? შამანებისთვის მე შემიძლია ამის დაშვება, მაგრამ მეცნიერებისთვის არა. რეალობა არ არის მხოლოდ რიცხვები.

მიღებული შედეგი უნდა ჩაითვალოს მტკიცებულებად იმისა, რომ რიცხვითი სისტემები არის რიცხვების საზომი ერთეული. ჩვენ ხომ ვერ შევადარებთ რიცხვებს სხვადასხვა საზომ ერთეულებს. თუ ერთი და იგივე მოქმედებები ერთი და იგივე რაოდენობის საზომი სხვადასხვა ერთეულებით იწვევს განსხვავებულ შედეგებს მათი შედარების შემდეგ, მაშინ ამას არაფერი აქვს საერთო მათემატიკასთან.

რა არის ნამდვილი მათემატიკა? ეს არის მაშინ, როდესაც მათემატიკური მოქმედების შედეგი არ არის დამოკიდებული რიცხვის მნიშვნელობაზე, გამოყენებული ზომის ერთეულზე და იმაზე, თუ ვინ ასრულებს ამ მოქმედებას.

მოაწერე კარზე კარს აღებს და ამბობს:

ოჰ! ეს ქალის საპირფარეშო არ არის?
- Ახალგაზრდა ქალი! ეს არის ზეცაში ამაღლებისას სულების განუსაზღვრელი სიწმინდის შესწავლის ლაბორატორია! ნიმბუსი თავზე და ისარი ზევით. სხვა რა ტუალეტი?

ქალი... ზევით ჰალო და ქვემოთ ისარი მამრობითია.

თუ თქვენ გაქვთ ასეთი დიზაინის ნამუშევარი თქვენს თვალწინ დღეში რამდენჯერმე ციმციმებს,

მაშინ გასაკვირი არ არის, რომ მოულოდნელად თქვენს მანქანაში აღმოაჩენთ უცნაურ ხატს:

პირადად მე საკუთარ თავზე ვცდილობ დავინახო მინუს ოთხი გრადუსი მოღუშულ ადამიანში (ერთი სურათი) (რამდენიმე სურათის შემადგენლობა: მინუს ნიშანი, ნომერი ოთხი, გრადუსის აღნიშვნა). და მე არ ვთვლი ამ გოგოს სულელად, რომელმაც ფიზიკა არ იცის. მას უბრალოდ აქვს გრაფიკული სურათების აღქმის რკალის სტერეოტიპი. და მათემატიკოსები ამას ყოველთვის გვასწავლიან. აი მაგალითი.

1A არ არის "მინუს ოთხი გრადუსი" ან "ერთი ა". ეს არის "გაფუჭებული კაცი" ან რიცხვი "ოცდაექვსი" თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში. ის ადამიანები, რომლებიც მუდმივად მუშაობენ ამ რიცხვების სისტემაში, ავტომატურად აღიქვამენ რიცხვს და ასოს, როგორც ერთ გრაფიკულ სიმბოლოს.

მოქმედებები წილადებთან.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

მაშ, რა არის წილადები, წილადების ტიპები, გარდაქმნები - გავიხსენეთ. მოდი, შევეხოთ მთავარ კითხვას.

რა შეგიძლიათ გააკეთოთ წილადებთან?დიახ, ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივ ნომრებში. დამატება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა.

ყველა ეს ქმედება თან ათობითიწილადებთან ოპერაციები არაფრით განსხვავდება მთელი რიცხვებით ოპერაციებისგან. სინამდვილეში, ეს არის ის, რისთვისაც ისინი კარგია, ათობითი. ერთადერთი ის არის, რომ თქვენ უნდა დააყენოთ მძიმით სწორად.

შერეული რიცხვები, როგორც ვთქვი, ნაკლებად გამოსადეგია ქმედებების უმეტესობისთვის. მათ ჯერ კიდევ სჭირდებათ გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად.

და აქ არის ქმედებები ჩვეულებრივი წილადებიუფრო ჭკვიანი იქნება. და ბევრად უფრო მნიშვნელოვანია! ნება მომეცით შეგახსენოთ: ყველა მოქმედება წილადური გამონათქვამებით ასოებით, სინუსებით, უცნობიებით და ა.შ. და ა.შ. არ განსხვავდება ჩვეულებრივი წილადების მოქმედებებისგან! ჩვეულებრივი წილადებით მოქმედებები ყველა ალგებრის საფუძველია. სწორედ ამ მიზეზით, ჩვენ აქ დეტალურად გავაანალიზებთ მთელ ამ არითმეტიკას.

წილადების შეკრება და გამოკლება.

ყველას შეუძლია ერთნაირი მნიშვნელის მქონე წილადების დამატება (გამოკლება) (ნამდვილად იმედი მაქვს!). ისე, შეგახსენებთ, რომ სრულიად დამვიწყები ვარ: შეკრებისას (გამოკლებისას) მნიშვნელი არ იცვლება. მრიცხველები ემატება (აკლდება) შედეგის მრიცხველის მისაცემად. ტიპი:

მოკლედ, ზოგადად:

რა მოხდება, თუ მნიშვნელები განსხვავებულია? შემდეგ, წილადის ძირითადი თვისების გამოყენებით (აი, ისევ გამოგადგებათ!), მნიშვნელებს იგივე ვაკეთებთ! Მაგალითად:

აქ უნდა გაგვეკეთებინა წილადი 4/10 წილადიდან 2/5. მხოლოდ იმ მიზნით, რომ მნიშვნელები იგივე გახდეს. მე აღვნიშნავ, ყოველი შემთხვევისთვის, რომ 2/5 და 4/10 არის იგივე წილადი! ჩვენთვის მხოლოდ 2/5 არის უხერხული, 4/10 კი არაფერია.

სხვათა შორის, ეს არის მათემატიკაში ნებისმიერი ამოცანის ამოხსნის არსი. როცა გარეთ ვართ არასასიამოვნოგამონათქვამები აკეთებენ იგივე, მაგრამ უფრო მოსახერხებელი მოსაგვარებლად.

Სხვა მაგალითი:

ანალოგიური სიტუაციაა. აქ ვაკეთებთ 48-ს 16-დან. მარტივი გამრავლებით 3-ზე. ეს ყველაფერი გასაგებია. მაგრამ აქ ვხვდებით ასეთ რაღაცას:

Როგორ უნდა იყოს?! შვიდიდან ცხრა ძნელია! მაგრამ ჩვენ ჭკვიანები ვართ, წესები ვიცით! მოდით გარდავქმნათ ყოველიწილადი ისე, რომ მნიშვნელები ერთნაირი იყოს. ამას ჰქვია "შემცირება საერთო მნიშვნელამდე":

Როგორ! საიდან ვიცოდი 63-ის შესახებ? Ძალიან მარტივი! 63 არის რიცხვი, რომელიც თანაბრად იყოფა 7-ზე და 9-ზე ერთდროულად. ასეთი რიცხვი ყოველთვის შეიძლება მივიღოთ მნიშვნელების გამრავლებით. მაგალითად, თუ რომელიმე რიცხვს გავამრავლებთ 7-ზე, შედეგი აუცილებლად გაიყოფა 7-ზე!

თუ რამდენიმე წილადის დამატება (გამოკლება) გჭირდებათ, ამის გაკეთება წყვილებში, ეტაპობრივად, საჭირო არ არის. თქვენ უბრალოდ უნდა იპოვოთ მნიშვნელი, რომელიც საერთოა ყველა წილადისთვის და მიიტანოთ თითოეული წილადი იმავე მნიშვნელთან. Მაგალითად:

და რა იქნება საერთო მნიშვნელი? თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გაამრავლოთ 2, 4, 8 და 16. მივიღებთ 1024. კოშმარი. უფრო ადვილია იმის დადგენა, რომ რიცხვი 16 სრულყოფილად იყოფა 2-ზე, 4-ზე და 8-ზე, ამიტომ ამ რიცხვებიდან ადვილია 16-ის მიღება. ეს რიცხვი იქნება საერთო მნიშვნელი. გადავაქციოთ 1/2 8/16-ად, 3/4 12/16-ად და ა.შ.

სხვათა შორის, თუ საერთო მნიშვნელად ავიღებთ 1024-ს, ყველაფერიც გამოვა, ბოლოს ყველაფერი შემცირდება. მხოლოდ ყველა ვერ მიაღწევს ამ მიზანს, გათვლების გამო ...

თავად მოაგვარეთ მაგალითი. ლოგარითმი კი არა... 29/16 უნდა იყოს.

ასე რომ, წილადების მიმატებით (გამოკლებით) გასაგებია, იმედი მაქვს? რა თქმა უნდა, უფრო ადვილია მუშაობა შემცირებულ ვერსიაში, დამატებითი მამრავლებით. მაგრამ ეს სიამოვნება ხელმისაწვდომია მათთვის, ვინც პატიოსნად მუშაობდა დაბალ კლასებში ... და არ დაივიწყა არაფერი.

და ახლა ჩვენ გავაკეთებთ იგივე მოქმედებებს, მაგრამ არა წილადებით, არამედ წილადური გამონათქვამები. აქ მოიძებნება ახალი რაფები, დიახ...

ასე რომ, ჩვენ უნდა დავამატოთ ორი წილადური გამონათქვამი:

ჩვენ უნდა გავხადოთ მნიშვნელები იგივე. და მხოლოდ დახმარებით გამრავლება! ასე რომ, წილადის მთავარი თვისება ამბობს. მაშასადამე, მნიშვნელში პირველ წილადს x-ს ვერ მივამატებ. (მაგრამ ეს კარგი იქნებოდა!). მაგრამ თუ მნიშვნელებს გაამრავლებ, ხედავ, ყველაფერი ერთად გაიზრდება! ასე რომ, ჩვენ ვწერთ წილადის ხაზს, ვტოვებთ ცარიელ ადგილს თავზე, შემდეგ ვამატებთ და ვწერთ მნიშვნელების ნამრავლს ქვემოთ, რომ არ დავივიწყოთ:

და, რა თქმა უნდა, მარჯვენა მხარეს არაფერს ვამრავლებთ, ფრჩხილებს არ ვხსნით! ახლა კი, მარჯვენა მხარის საერთო მნიშვნელს რომ გადავხედოთ, ვფიქრობთ: იმისათვის, რომ მივიღოთ მნიშვნელი x (x + 1) პირველ წილადში, უნდა გავამრავლოთ ამ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი (x + 1)-ზე. . ხოლო მეორე წილადში - x. თქვენ მიიღებთ ამას:

Შენიშვნა! ფრჩხილები აქ არის! ეს არის საკომისიო, რომელსაც ბევრი აბიჯებს. არა ფრჩხილები, რა თქმა უნდა, არამედ მათი არარსებობა. ფრჩხილები იმიტომ ჩნდება, რომ ჩვენ ვმრავლდებით მთელიმრიცხველი და მთელიმნიშვნელი! და არა მათი ცალკეული ნაწილები...

მარჯვენა მხარის მრიცხველში ვწერთ მრიცხველთა ჯამს, ყველაფერი ისეა როგორც რიცხვით წილადებში, შემდეგ ვხსნით ფრჩხილებს მარჯვენა მხარის მრიცხველში, ე.ი. გაამრავლე ყველაფერი და მიეცი like. არ არის საჭირო მნიშვნელებში ფრჩხილების გახსნა, არც რაღაცის გამრავლება! ზოგადად, მნიშვნელებში (ნებისმიერ) პროდუქტი ყოველთვის უფრო სასიამოვნოა! ჩვენ ვიღებთ:

აქ მივიღეთ პასუხი. პროცესი გრძელი და რთული ჩანს, მაგრამ ეს დამოკიდებულია პრაქტიკაზე. ამოხსენით მაგალითები, შეეგუეთ, ყველაფერი მარტივი გახდება. ვინც დათქმულ დროში აითვისა წილადები, ყველა ამ ოპერაციას აკეთებს ერთი ხელით, მანქანაზე!

და კიდევ ერთი შენიშვნა. ბევრი ცნობილი საქმე აქვს წილადებს, მაგრამ დაკიდება მაგალითებს მთლიანინომრები. ტიპი: 2 + 1/2 + 3/4= ? სად დავამაგროთ ლულა? არ არის საჭირო სადმე დამაგრება, ფრაქციების გაკეთება გჭირდებათ. ეს არ არის ადვილი, ეს ძალიან მარტივია! 2=2/1. Ამგვარად. ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს წილადად. მრიცხველი არის თავად რიცხვი, მნიშვნელი არის ერთი. 7 არის 7/1, 3 არის 3/1 და ასე შემდეგ. იგივეა ასოებით. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 და ა.შ. შემდეგ კი ამ წილადებთან ვმუშაობთ ყველა წესის მიხედვით.

ისე, შეკრებაზე - წილადების გამოკლებაზე, ცოდნა განახლდა. წილადების გარდაქმნები ერთი ტიპიდან მეორეზე - მეორდება. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ცოტა მოვაგვაროთ?)

გამოთვალეთ:

პასუხები (არეულად):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

წილადების გამრავლება/გაყოფა - მომდევნო გაკვეთილზე. ასევე არის დავალებები წილადებით ყველა მოქმედებისთვის.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

Შენიშვნა!სანამ საბოლოო პასუხს დაწერთ, ნახეთ, შეგიძლიათ თუ არა თქვენი მიღებული წილადის შემცირება.

ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება მაგალითები:

,

,

სათანადო წილადის გამოკლება ერთს.

თუ საჭიროა ერთეულს გამოვაკლოთ სწორი წილადი, ერთეული გარდაიქმნება არასწორი წილადის სახით, მისი მნიშვნელი უდრის გამოკლებული წილადის მნიშვნელს.

სწორი წილადის ერთიდან გამოკლების მაგალითი:

გამოკლებული წილადის მნიშვნელი = 7 , ანუ ერთეულს წარმოვადგენთ არასწორ წილადად 7/7 და ვაკლებთ ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლების წესის მიხედვით.

სწორი წილადის გამოკლება მთელ რიცხვს.

წილადების გამოკლების წესები -სწორია მთელი რიცხვიდან (ბუნებრივი ნომერი):

• მოცემულ წილადებს, რომლებიც შეიცავს მთელ ნაწილს, ვთარგმნით არასწორად. ვიღებთ ნორმალურ ტერმინებს (არ აქვს მნიშვნელობა მათ აქვთ განსხვავებული მნიშვნელი), რომლებსაც განვიხილავთ ზემოთ მოცემული წესების მიხედვით;
• შემდეგი, ჩვენ ვიანგარიშებთ იმ წილადების სხვაობას, რომლებიც მივიღეთ. შედეგად, ჩვენ თითქმის ვიპოვით პასუხს;
• ვასრულებთ შებრუნებულ ტრანსფორმაციას, ანუ ვაშორებთ არასწორ წილადს - ვირჩევთ წილადის მთელ ნაწილს.

გამოვაკლოთ სათანადო წილადი მთელ რიცხვს: ნატურალურ რიცხვს წარმოვადგენთ შერეულ რიცხვად. იმათ. ვიღებთ ერთეულს ნატურალურ რიცხვში და ვთარგმნით არასწორი წილადის სახით, მნიშვნელი იგივეა, რაც გამოკლებული წილადისა.

წილადის გამოკლების მაგალითი:

მაგალითში ერთეული შევცვალეთ არასწორი წილადით 7/7 და 3-ის ნაცვლად ჩავწერეთ შერეული რიცხვი და გამოვაკლეთ წილადი წილადი.

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლება.

ან, სხვაგვარად რომ ვთქვათ, სხვადასხვა წილადების გამოკლება.

განსხვავებული მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლების წესი.იმისათვის, რომ გამოვაკლოთ წილადები სხვადასხვა მნიშვნელებით, საჭიროა, ჯერ ეს წილადები მივიყვანოთ უმცირეს საერთო მნიშვნელამდე (LCD) და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოვაკლოთ, როგორც ერთი და იგივე მნიშვნელის მქონე წილადებს.

რამდენიმე წილადის საერთო მნიშვნელია LCM (უმცირესი საერთო ჯერადი)ნატურალური რიცხვები, რომლებიც მოცემული წილადების მნიშვნელებია.

ყურადღება!თუ საბოლოო წილადში მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ საერთო ფაქტორები, მაშინ წილადი უნდა შემცირდეს. არასწორი წილადი საუკეთესოდ არის წარმოდგენილი როგორც შერეული წილადი. გამოკლების შედეგის დატოვება წილადის შემცირების გარეშე, სადაც ეს შესაძლებელია, მაგალითის დაუმთავრებელი ამოხსნაა!

სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლების პროცედურა.

• იპოვეთ LCM ყველა მნიშვნელისთვის;
• დააყენეთ დამატებითი მამრავლები ყველა წილადისთვის;
• გავამრავლოთ ყველა მრიცხველი დამატებით კოეფიციენტზე;
• მიღებულ პროდუქტებს ვწერთ მრიცხველში, ვაწერთ საერთო მნიშვნელს ყველა წილადის ქვეშ;
• გამოვაკლოთ წილადების მრიცხველები, ხელი მოაწეროთ საერთო მნიშვნელს სხვაობის ქვეშ.

ანალოგიურად, წილადების შეკრება და გამოკლება ხორციელდება მრიცხველში ასოების თანდასწრებით.

წილადების გამოკლება, მაგალითები:

შერეული წილადების გამოკლება.

ზე შერეული წილადების გამოკლება (რიცხვები)ცალ-ცალკე აკლდება მთელი რიცხვი ნაწილს, ხოლო წილადი - წილადი.

პირველი ვარიანტი არის შერეული წილადების გამოკლება.

თუ წილადი ნაწილები იგივემინუენდის წილადი ნაწილის მნიშვნელები და მრიცხველი (გამოვაკლებთ მას) ≥ წილადი ნაწილის მრიცხველი (გამოვაკლებთ მას).

Მაგალითად:

მეორე ვარიანტი არის შერეული წილადების გამოკლება.

როცა წილადი ნაწილები სხვადასხვამნიშვნელები. დასაწყისისთვის, წილადის ნაწილებს ვამცირებთ საერთო მნიშვნელამდე და ამის შემდეგ ვაკლებთ მთელ რიცხვს მთელ რიცხვს, ხოლო წილადს წილადს.

Მაგალითად:

მესამე ვარიანტი არის შერეული წილადების გამოკლება.

მინუენდის წილადი ნაწილი ქვეტრაჰენდის წილადზე ნაკლებია.

მაგალითი:

იმიტომ რომ წილადის ნაწილებს აქვთ სხვადასხვა მნიშვნელი, რაც ნიშნავს, როგორც მეორე ვარიანტში, ჩვენ ჯერ ჩვეულებრივი წილადები მივყავართ საერთო მნიშვნელამდე.

მინუენდის წილადი ნაწილის მრიცხველი ნაკლებია ქვეტრაენდის წილადი ნაწილის მრიცხველზე.3 < 14. ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ ერთეულს მთელი რიცხვიდან და ვამცირებთ ამ ერთეულს არასწორ წილადის ფორმამდე, რომელსაც აქვს იგივე მნიშვნელი და მრიცხველი. = 18.

მარჯვენა მხრიდან მრიცხველში ვწერთ მრიცხველთა ჯამს, შემდეგ ვხსნით მრიცხველში ფრჩხილებს მარჯვენა მხრიდან, ანუ ვამრავლებთ ყველაფერს და ვაძლევთ მსგავსებს. მნიშვნელში ფრჩხილებს არ ვხსნით. მიღებულია პროდუქტის მნიშვნელებში დატოვება. ჩვენ ვიღებთ: