ក្រសួងអប់រំ និងវិទ្យាសាស្ត្រនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី
វិទ្យាស្ថានអប់រំទូទៅរបស់រដ្ឋ
ការអប់រំវិជ្ជាជីវៈកម្រិតខ្ពស់
"វិទ្យាស្ថានគរុកោសល្យរបស់រដ្ឋ USSURIYSK"
មហាវិទ្យាល័យរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា
វគ្គសិក្សាក្នុងការគណនា
ប្រធានបទ៖ "មុខងារបន្តបន្ទាប់គ្នា ប៉ុន្តែមិនអាចបែងចែកបាន"
បញ្ចប់ដោយ Ksenia Plyasheshnik
សិស្សនៃក្រុម 131
ក្បាល៖ Delyukova Ya.V.
Ussuriysk - ឆ្នាំ ២០១១
សេចក្តីផ្តើម ………………………………………. ................................................ ៣
ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ ................................................ ......................... ៤
និយមន័យ និងទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាន ................................................ ....................... ៥
ឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍បន្តដោយគ្មានដេរីវេ ................................... ១០
ដំណោះស្រាយលំហាត់ ................................................ ........................................... ១៣
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ................................................... ................................................ ២១
គន្ថនិទ្ទេស ................................................................ ........................... ២២
សេចក្តីផ្តើម
ការងារវគ្គសិក្សាត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការសិក្សាអំពីទំនាក់ទំនងរវាងការបន្ត និងអត្ថិភាពនៃដេរីវេនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ ដោយផ្អែកលើគោលដៅ ភារកិច្ចខាងក្រោមត្រូវបានកំណត់៖
1. សិក្សាអក្សរសិល្ប៍អប់រំ;
2. សិក្សាឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍បន្តដែលមិនមានដេរីវេនៅចំនុចណាមួយ ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ van der Waerden;
3. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃលំហាត់។
ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ
Bartel Leendert van der Waerden (ហូឡង់។ Bartel Leendert van der Waerden ថ្ងៃទី 2 ខែកុម្ភៈ ឆ្នាំ 1903 ទីក្រុង Amsterdam ប្រទេសហូឡង់ - ថ្ងៃទី 12 ខែមករា ឆ្នាំ 1996 ទីក្រុង Zurich ប្រទេសស្វីស) - គណិតវិទូហូឡង់។
គាត់បានសិក្សានៅសាកលវិទ្យាល័យ Amsterdam បន្ទាប់មកនៅសាកលវិទ្យាល័យ Göttingen ជាកន្លែងដែលគាត់បានទទួលឥទ្ធិពលយ៉ាងខ្លាំងពី Emmy Noether ។
ស្នាដៃសំខាន់ៗរបស់គាត់គឺនៅក្នុងវិស័យពិជគណិត ធរណីមាត្រពិជគណិត ជាកន្លែងដែលគាត់ (រួមជាមួយ André Weil និង O.Zarissky) បានបង្កើនកម្រិតនៃភាពម៉ត់ចត់ និងរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា ជាកន្លែងដែលគាត់បានចូលរួមក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីក្រុមទៅនឹងសំណួរនៃមេកានិចកង់ទិច។ (រួមជាមួយ Hermann Weyl និង J.Wigner) ។ សៀវភៅបុរាណរបស់គាត់ Modern Algebra (1930) បានក្លាយជាគំរូសម្រាប់សៀវភៅសិក្សាក្រោយៗទៀតអំពីពិជគណិតអរូបី ហើយបានឆ្លងកាត់ការបោះពុម្ពឡើងវិញជាច្រើន។
Van der Waerden គឺជាអ្នកឯកទេសដ៏អស្ចារ្យបំផុតម្នាក់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រគណិតវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រក្នុងពិភពបុរាណ។ វិទ្យាសាស្រ្តភ្ញាក់ដឹងខ្លួនរបស់គាត់ (Ontwakende wetenschap 1950, ការបកប្រែជាភាសារុស្សី 1959) ផ្តល់នូវដំណើររឿងលម្អិតនៃប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រនៅក្នុងប្រទេសអេហ្ស៊ីបបុរាណ បាប៊ីឡូន និងក្រិក។ ឧបសម្ព័ន្ធចំពោះការបកប្រែជាភាសារុស្សីនៃសៀវភៅនេះមានអត្ថបទ "គោលលទ្ធិពីធីថាហ្គោរនៃភាពសុខដុមរមនា" (ឆ្នាំ 1943) - ការបង្ហាញជាមូលដ្ឋាននៃទស្សនៈពីថាហ្គោរស្តីពីភាពសុខដុមនៃតន្ត្រី។
និយមន័យ និងទ្រឹស្តីជាមូលដ្ឋាន
ដែនកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។ ដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនិងស្តាំ
និយមន័យ (ដែនកំណត់យោងទៅតាម Cauchy នៅក្នុងភាសា លេខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើ
និយមន័យ (ជាភាសានៃសង្កាត់) លេខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើសម្រាប់ - អ្នកជិតខាងនៃចំនួនមាន - អ្នកជិតខាងនៃចំណុចដូចជាភ្លាមៗ។ 
និយមន័យ (យោងទៅតាម Heine) លេខមួយត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ណាមួយដែលត្រូវគ្នានឹង (ឧ. 
និយមន័យ លេខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ខាងឆ្វេងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើ
និយមន័យ លេខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ខាងស្តាំនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើ
ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់)
ដើម្បីឱ្យដែនកំណត់មុខងារមាននៅចំណុចមួយ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលដែនកំណត់ខាងឆ្វេង និងស្តាំមានស្មើគ្នា។
គំនិតនៃដេរីវេ។ និស្សន្ទវត្ថុតែមួយ។
ពិចារណាមុខងារដែលបានកំណត់នៅលើសំណុំ
1. ចូរយើងយកការបង្កើន។ ចូរបង្កើនចំណុច។ ទទួលបាន។
2. ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ជាចំនុច។ និង
3. .
4. .
លើសពីនេះទៅទៀត ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់អាចមានទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកដែនកំណត់នេះត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៅចំណុច ហើយត្រូវបានតាងដោយ . វាក៏អាចគ្មានទីបញ្ចប់ផងដែរ។
ផ្នែកខាងឆ្វេង (ខាងឆ្វេង) ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុច និងប្រសិនបើ
មានដែនកំណត់កំណត់ 
បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេនៃដៃស្តាំនៃអនុគមន៍នៅចំណុច។
អនុគមន៍មាននៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុខាងឆ្វេង និងស្តាំរបស់វាស្របគ្នានៅចំណុចមួយ៖
( ( .
ពិចារណាមុខងារ 
ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុភាគីម្ខាងនៅចំណុចមួយ។
អាស្រ័យហេតុនេះ ( =-1; ( =1 និង ( ( , នោះគឺនៅចំណុចមួយ មុខងារមិនមានដេរីវេទេ។
និយមន័យផ្សេងៗគ្នានៃការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។
និយមន័យ 1 (មូលដ្ឋាន) អនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។
និយមន័យ 2 (នៅក្នុងភាសា អនុគមន៍ A ត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើ ε, δ> 0 ដូចនេះ .
និយមន័យ 3 (យោងទៅតាម Heine នៅក្នុងភាសានៃលំដាប់មួយ) អនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ណាមួយដែលបង្រួបបង្រួមទៅចំណុចមួយ លំដាប់ដែលត្រូវគ្នានៃតម្លៃអនុគមន៍នឹងទៅ។
និយមន័យ 4 (នៅក្នុងភាសានៃការកើនឡើង) អនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងការបង្កើនមិនកំណត់នៃអនុគមន៍។
គំនិតនៃមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។
និយមន័យ 1 អនុគមន៍ដែលបានកំណត់នៅលើសំណុំមួយ (ត្រូវបានហៅថាខុសគ្នានៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើការបង្កើនរបស់វានៅចំណុចនេះអាចត្រូវបានតំណាងជា (*) ដែល A - const ឯករាជ្យនៃ , - infinitesimal នៅ
និយមន័យ 2 អនុគមន៍ដែលអាចខុសប្លែកគ្នានៅចំណុចណាមួយនៃសំណុំមួយត្រូវបានហៅថាខុសគ្នាលើសំណុំ។
ទំនាក់ទំនងរវាងភាពខុសប្លែកគ្នា និងការបន្ត
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើមុខងារអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ នោះវាបន្តនៅចំណុចមួយ។
ភស្តុតាង។
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ មុខងារគឺខុសគ្នាត្រង់ចំណុច កន្លែងណា
ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើមុខងារបន្ត នោះវាអាចខុសគ្នា។
ទ្រឹស្តីបទសន្ទនាមិនពិតទេ។
B មិនអាចខុសគ្នាបានទេ ទោះបីជាវាបន្ត។
ចំណាត់ថ្នាក់នៃចំណុចបំបែក
និយមន័យ អនុគមន៍ដែលមិនបន្តនៅចំណុចមួយគឺមិនបន្តនៅចំណុចមួយ ហើយចំណុចខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថាចំណុចដាច់។
មានការចាត់ថ្នាក់នៃចំនុចដាច់ពីរគឺៈ ប្រភេទ I និង II ។
និយមន័យ ចំណុចមួយត្រូវបានគេហៅថាចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីមួយ ប្រសិនបើនៅចំណុចនេះមានដែនកំណត់ផ្នែកម្ខាងដែលមិនស្មើគ្នា។
និយមន័យ ចំណុចមួយត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចដែលអាចចោលបាន។ យូវ៉ាប្រសិនបើ ប៉ុន្តែពួកវាមិនស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះទេ។
និយមន័យ ចំណុចមួយត្រូវបានគេហៅថាចំណុចមិនបន្តនៃប្រភេទទីពីរ ប្រសិនបើនៅចំណុចនេះដែនកំណត់ម្ខាងគឺស្មើគ្នា ឬមួយនៃដែនកំណត់ម្ខាងគឺគ្មានកំណត់ ឬគ្មានដែនកំណត់នៅចំណុចនោះ។
· – គ្មានទីបញ្ចប់;
· – គ្មានទីបញ្ចប់ឬ – គ្មានទីបញ្ចប់;
សញ្ញានៃការរួបរួមគ្នានៃស៊េរីមួយ។ក្នុង
សញ្ញា Weierstrass ។
ប្រសិនបើសមាជិកនៃស៊េរីមុខងារ (1) បំពេញវិសមភាពក្នុងតំបន់ 
ដែលជាកន្លែងដែលជាសមាជិកនៃស៊េរីលេខបញ្ចូលគ្នាមួយចំនួន បន្ទាប់មកស៊េរី (1) បញ្ចូលគ្នាទៅជាឯកសណ្ឋាន។
ទ្រឹស្តីបទ 1 អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ 
ត្រូវបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលមួយ និងបន្តនៅចំណុចមួយចំនួនក្នុងចន្លោះពេលនេះ។ ប្រសិនបើស៊េរី (1) ក្នុងចន្លោះពេលបញ្ចូលគ្នាស្មើគ្នា នោះផលបូកនៃស៊េរីនៅចំណុចក៏នឹងបន្ត។
ឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍បន្តដោយគ្មានដេរីវេ
ឧទាហរណ៍ដំបូងនៃប្រភេទនេះត្រូវបានសាងសង់ឡើងដោយ Weierstrass; មុខងាររបស់វាត្រូវបានកំណត់បន្ទាប់៖
កន្លែងណា 0< a <1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab >1+π)។ ស៊េរីនេះត្រូវបានបែងចែកជាចម្បងដោយដំណើរការរួមគ្នា ដូច្នេះ (សញ្ញានៃការរួមបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី) រួមបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាជាមុខងារបន្តនៅគ្រប់ទីកន្លែងនៃ x ។ តាមរយៈការស្រាវជ្រាវយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់ Weierstrass បានគ្រប់គ្រងដើម្បីបង្ហាញថា ទោះជាយ៉ាងណា វាគ្មានចំណុចណាមួយដែលវាមាននិស្សន្ទវត្ថុកំណត់។
នៅទីនេះ យើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយរបស់ van der Waerden ដែលបង្កើតឡើងយ៉ាងសំខាន់លើគំនិតដូចគ្នា មានតែខ្សែកោងយោល y = cosωχ ប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានជំនួសដោយការយោលដែលខូច។
ដូច្នេះ យើងកំណត់ដោយតម្លៃដាច់ខាតនៃភាពខុសគ្នារវាងលេខ χ និងចំនួនគត់ជិតបំផុតទៅវា។ អនុគមន៍នេះនឹងមានលីនេអ៊ែរក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗនៃទម្រង់ ដែល s ជាចំនួនគត់។ វាបន្ត ហើយមានកំឡុងពេល 1។ ក្រាហ្វរបស់វាគឺជាបន្ទាត់ដែលខូច វាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបទី 1; តំណភ្ជាប់បុគ្គលនៃប៉ូលីលីនមានជម្រាល± 1 ។
ចូរយើងសម្រាប់ k=1,2,3,…:
អនុគមន៍នេះនឹងជាលីនេអ៊ែរក្នុងចន្លោះពេលនៃទម្រង់។ វាក៏ជាបន្ត និងមានរយៈពេល។ ក្រាហ្វរបស់នាងក៏ខូចដែរ ប៉ុន្តែមានធ្មេញតូចជាង។ ឧទាហរណ៍ រូប 1(b) បង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។ ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ មេគុណជម្រាលនៃតំណភ្ជាប់បុគ្គលនៃប៉ូលីលីន ហើយនៅទីនេះគឺស្មើនឹង±1។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់សម្រាប់តម្លៃពិតទាំងអស់ x មុខងារ f (x) ដោយសមភាព
ចាប់តាំងពី 0≤ (k = 0,1,2,…) ដូច្នេះស៊េរីត្រូវបានគ្របដណ្ដប់ដោយដំណើរការបញ្ចូលគ្នា បន្ទាប់មក (ដូចនៅក្នុងករណីនៃអនុគមន៍ Weierstrass) ស៊េរីនឹងបង្រួបបង្រួមគ្នា ហើយមុខងារគឺនៅគ្រប់ទីកន្លែង។ បន្ត។
តោះឈប់នៅតម្លៃណាមួយ។ ការគណនាវាដោយភាពត្រឹមត្រូវរហូតដល់ (ដែល n = 0,1,2, ... ) ដោយកង្វះនិងលើសយើងនឹងសន្និដ្ឋានវារវាងលេខនៃទម្រង់:
≤ កន្លែងណាជាចំនួនគត់។
(n=0,1,2,…)
វាច្បាស់ណាស់ថា ចន្លោះពេលបិទ ប្រែជាដាក់ពីមួយទៅមួយទៀត។ នៅក្នុងពួកវានីមួយៗមានចំណុចបែបនេះដែលចម្ងាយរបស់វាពីចំណុចគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃចន្លោះពេល។
វាច្បាស់ណាស់ថានៅពេលដែល n កើនឡើង វ៉ារ្យ៉ង់។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងចងក្រងសមាមាត្រនៃការកើនឡើង
=
ប៉ុន្តែនៅពេលដែល k > n លេខគឺជាចំនួនគត់ពហុគុណនៃរយៈពេលនៃអនុគមន៍ លក្ខខណ្ឌដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរីប្រែទៅជា 0 ហើយអាចត្រូវបានលុបចោល។ ប្រសិនបើ k ≤ n នោះអនុគមន៍ដែលជាលីនេអ៊ែរក្នុងចន្លោះពេលនឹងជាលីនេអ៊ែរក្នុងចន្លោះពេលដែលមាននៅលើវា ហើយ
(k=0,1,…,n) ។
ដូច្នេះហើយ ទីបំផុតយើងមាន 
នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត សមាមាត្រនេះគឺស្មើនឹងចំនួនគត់នៅពេលដែល n ជាសេស និងចំនួនសេសនៅពេលដែល n គឺគូ។ ពីនេះវាច្បាស់ណាស់ថានៅ , សមាមាត្រនៃការកើនឡើងមិនអាចមានទំនោរទៅរកដែនកំណត់កំណត់ណាមួយទេ ដូច្នេះមុខងាររបស់យើងមិនមាននៅដេរីវេទីតទេ។
ដំណោះស្រាយលំហាត់
លំហាត់ទី 1 (, #909)
មុខងារត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម: . ស៊ើបអង្កេតបន្ត និងស្វែងរកអត្ថិភាព
Na គឺបន្តជាពហុនាម;
បើក (0;1) 
គឺបន្តជាពហុនាម;
នៅលើ (1;2) គឺបន្តជាពហុនាម;
បើក (2; គឺបន្តជាមុខងារបឋម។
ចំណុចសង្ស័យសម្រាប់ការបំបែក
ដោយសារដែនកំណត់ខាងឆ្វេងស្មើនឹងដែនកំណត់ខាងស្តាំ ហើយស្មើនឹងតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចនោះ មុខងារបន្តនៅចំណុច
ដោយសារដែនកំណត់ខាងឆ្វេងគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះ មុខងារមិនបន្តនៅចំណុច។
1 វិធី។ មិនមានដេរីវេកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយទេ។ ជាការពិត ឧបមាថាវាផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានដេរីវេកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។ 
គឺបន្តនៅចំណុចមួយ (ដោយទ្រឹស្តីបទទី 1: ប្រសិនបើមុខងារមួយអាចខុសគ្នានៅចំណុចមួយ នោះវាបន្ត។
2 វិធី។ ចូររកដែនកំណត់ម្ខាងនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x = 0 ។
លំហាត់ទី 2 (, №991)
បង្ហាញមុខងារនោះ។ 
មានដេរីវេមិនបន្ត។
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។
ដែនកំណត់មិនមានមិនបន្តនៅចំណុចមួយទេ។
ដោយសារតែជាមុខងារគ្មានដែនកំណត់ វាត្រូវបានកំណត់។
ចូរយើងបញ្ជាក់ថាមុខងារ 
មិនមានដែនកំណត់នៅចំណុចនោះទេ។
ដើម្បីបញ្ជាក់វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថាមានលំដាប់ពីរនៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលបម្លែងទៅជា 0 ដែលមិនត្រូវបានបំប្លែងទៅ
លទ្ធផល៖ មុខងារ 
មិនមានដែនកំណត់នៅចំណុចនោះទេ។
លំហាត់ទី 3 (, #995)
បង្ហាញថាអនុគមន៍ដែលជាអនុគមន៍បន្តនិងមិនមានដេរីវេនៅត្រង់ចំណុច។ តើអ្វីទៅជានិស្សន្ទវត្ថុម្ខាង
ដែនកំណត់ម្ខាងមិនស្មើគ្នា មុខងារមិនមានដេរីវេនៅចំណុច។
លំហាត់ទី 4 (, #996)
បង្កើតឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍បន្តដែលមិនមានដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
ពិចារណាមុខងារមួយនៅចំណុច
ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់ម្ខាង
ដែនកំណត់ម្ខាងមិនស្មើគ្នា មុខងារមិនមានដេរីវេនៅចំណុច។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ មុខងារមិនមានដេរីវេនៅចំនុចផ្សេងទៀតទេ។
លំហាត់ទី 5 (, №125)
បង្ហាញថាអនុគមន៍មិនមានដេរីវេនៅ .
ចូរយើងស្វែងរកការបង្កើនមុខងារនៅចំណុច
ផ្សំសមាមាត្រនៃការកើនឡើងមុខងារនៅចំណុចមួយទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់
តោះទៅដែនកំណត់
លំហាត់ ៦ (, №128)
បង្ហាញមុខងារនោះ។ 
មិនមានដេរីវេនៅចំណុចនោះទេ។
ចូរយើងបង្កើនចំនួន ចូរយើងផ្តល់ការបន្ថែមដល់ចំនុច Get
ស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច និង
ចូរយើងស្វែងរកការបង្កើនមុខងារនៅចំណុច
ផ្សំសមាមាត្រនៃការកើនឡើងមុខងារនៅចំណុចមួយទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់
តោះទៅដែនកំណត់
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ មិនមាននិស្សន្ទវត្ថុកំណត់នៅចំណុចនោះទេ។
លំហាត់ ៧ (, №131)
ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ការបន្ត
- ចំណុចគួរឱ្យសង្ស័យសម្រាប់ការសម្រាក
ដោយសារដែនកំណត់ខាងឆ្វេងគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច មុខងារបន្តនៅចំណុចនោះ មានការដាច់នៃប្រភេទទីមួយ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
ពាក្យក្រដាសបង្ហាញពីសម្ភារៈដែលទាក់ទងនឹងគំនិតនៃ "មុខងារបន្តប៉ុន្តែមិនខុសគ្នា" គោលដៅនៃការងារនេះត្រូវបានសម្រេចភារកិច្ចត្រូវបានដោះស្រាយ។
គន្ថនិទ្ទេស
1. B. P. Demidovich, / ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃមហាវិទ្យាល័យរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យានៃវិទ្យាស្ថានគរុកោសល្យ។ - M. : ការត្រាស់ដឹង, ឆ្នាំ 1990 -624s ។
2. G. N. Berman, / ការប្រមូលបញ្ហាក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ - M. : Nauka, 1977 - 416s ។
3. G. M. Fikhtengolts / វគ្គសិក្សានៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងអាំងតេក្រាល វ៉ុល II ។ - M. , Nauka, 1970 - 800s ។
4. I.A. Vinogradova, / ភារកិច្ច និងលំហាត់ក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា វគ្គ ១។ - M. : Bustard, 2001 - 725s ។
5. ធនធានអ៊ីនធឺណិត \ http://ru.wikipedia.org/wiki ។
6. ធនធានអ៊ីនធឺណិត \http://www.mahelp.spb.ru/ma.htm ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងសាងសង់ឈុតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៅលើយន្តហោះ អេដូចខាងក្រោមៈ ចែក, ការ៉េដោយបន្ទាត់ត្រង់ 
ចូលទៅក្នុងការ៉េស្មើៗគ្នាចំនួន 9 ហើយបោះចោលប្រាំនៃពួកវាបើកចំហ ដោយមិននៅជាប់នឹងចំនុចកំពូលនៃការ៉េដើម។ បន្ទាប់មក យើងក៏បែងចែកការ៉េដែលនៅសេសសល់នីមួយៗជា 9 ផ្នែក ហើយបោះបង់វាចោលចំនួនប្រាំ ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត។ សំណុំដែលនៅសល់បន្ទាប់ពីចំនួនជំហានដែលអាចរាប់បានត្រូវបានបញ្ជាក់ ខនិងហៅ ទីបញ្ចុះសព Sierpinski. គណនាផ្ទៃដីនៃការ៉េដែលបោះបង់ចោល៖
ទីបញ្ចុះសព Sierpinski គឺល្អឥតខ្ចោះ ហើយគ្មានកន្លែងណាក្រាស់នោះទេ។
ចំណាំរចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគនៃសំណុំ។
2.2 សិតសក់របស់ Cantor
តោះហៅ សិតសក់ Cantorមានច្រើន ឃលើផ្ទៃ អុកសុីរួមមានគ្រប់ចំណុច 
ដែលសំរបសំរួលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ 
កន្លែងណា 
- Cantor កំណត់នៅលើអ័ក្ស អូ. សិតសក់ Cantor គឺល្អឥតខ្ចោះដែលមិនមានកន្លែងក្រាស់នៅក្នុងយន្តហោះ។ មានច្រើន ឃរួមមានចំណុចទាំងអស់។ 
ការេឯកតាដើម, abscissas ដែលបំពាន 
ហើយការចាត់តាំងអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគ ternary ដែលមិនមានមួយក្នុងចំណោមសញ្ញា ternary របស់វា។
តើអាចកំណត់បានទេ? ខ(ទីបញ្ចុះសព Sierpinski) និង ឃ(Cantor comb) express in terms of the Cantor set 
ដោយមានជំនួយពីប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមទៅផ្នែកនិងផលិតផល Cartesian? វាច្បាស់ណាស់ថាឈុត ខនិង ឃត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងសាមញ្ញ៖
ខ=
x 
ឃ= x 
3 មុខងារ Cantor
តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើផែនទីបន្តបន្ទាប់គ្នាដែលមិនមានកន្លែងក្រាស់ដែលកំណត់នៅលើផ្នែកមួយទៅលើផ្នែកនេះដោយខ្លួនឯង?
បាទ សូមយក Cantor's nowhere ក្រាស់កំណត់។ នៅជំហានដំបូងនៃការសាងសង់យើងកំណត់តម្លៃនៃមុខងារស្មើនឹង 0.5 នៅចំណុចនៃចន្លោះដែលនៅជាប់គ្នានៃប្រភេទទីមួយ។ នៅជំហានទីពីរ សម្រាប់ចន្លោះដែលនៅជាប់គ្នានៃប្រភេទទីពីរ យើងកំណត់តម្លៃនៃអនុគមន៍ទៅ 0.25 និង 0.75 រៀងគ្នា។ ទាំងនោះ។ យើងបែងចែកផ្នែកនីមួយៗទៅជាអ័ក្ស អូនៅពាក់កណ្តាល ( y ខ្ញុំ) ហើយកំណត់ក្នុងចន្លោះពេលជាប់គ្នាដែលត្រូវគ្នា តម្លៃនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងតម្លៃ យី.
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានមុខងារមិនបន្ថយ (វាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃវគ្គសិក្សា "ជំពូកដែលបានជ្រើសរើសនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា") ដែលបានកំណត់នៅលើផ្នែកមួយ និងថេរនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចនីមួយៗពីសំណុំ \ 
. មុខងារដែលបានសាងសង់ 
បានហៅ មុខងារ Cantor(មុខងារ Cantor) និងក្រាហ្វរបស់វាខាងក្រោម - "ជណ្តើរខូច".
យកចិត្តទុកដាក់លើរចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគនៃមុខងារ៖
មុខងារ 
បំពេញវិសមភាពដូចខាងក្រោមៈ
មុខងារ Cantor គឺបន្តនៅចន្លោះពេល។ វាមិនថយចុះទេ ហើយសំណុំនៃតម្លៃរបស់វាបង្កើតឡើងនូវផ្នែកទាំងមូល។ ដូច្នេះមុខងារ 
មិនមានការលោតទេ។ ហើយចាប់តាំងពី ប្រសិនបើអនុគមន៍ monotone មិនអាចមានចំនុចដាច់ផ្សេងទៀតជាងការលោត (មើលលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការបន្តនៃអនុគមន៍ monotone) នោះវានឹងបន្ត។
ការចង់ដឹងចង់ឃើញគឺជាការសង្កេតដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ Cantor បន្ត 
វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរ "ដោយមិនលើកខ្មៅដៃចេញពីក្រដាស" ។
គ្រប់ទីកន្លែងបន្ត ប៉ុន្តែគ្មានមុខងារខុសគ្នាទេ។
ចូរយើងបង្កើតមុខងារជំនួយ 
នៅលើជំហានដោយជំហាន។ នៅជំហានសូន្យ យើងកំណត់ពីរចំណុច៖
និង 
.
បន្ទាប់មកជួសជុលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ 
. នៅជំហានដំបូង និងបន្តបន្ទាប់ យើងនឹងបញ្ជាក់ចំណុចដោយយោងតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖ សម្រាប់ចំណុចនីមួយៗដែលបានសាងសង់ពីមុនពីរនៅជាប់គ្នាតាមអ័ក្ស abscissa 
និង 
យើងនឹងបង្កើតចំណុចថ្មីពីរ 
និង 
ស៊ីមេទ្រីកណ្តាលអំពីចំណុចកណ្តាលនៃចតុកោណកែងដែលកំណត់ដោយចំនុច 
និង 
ជាមួយមេគុណ k. នោះគឺនៅជំហានដំបូង ចំណុចថ្មីពីរត្រូវបានកំណត់៖
និង 
ល។
នៅលើ (m+1)-ជំហានទី បន្ថែមលើចំណុចដែលបានសាងសង់ពីមុនជាមួយ abscissas
,
ចំណុចពីរត្រូវបានសាងសង់ក្នុងចន្លោះពេលទាំងអស់តាមអ័ក្ស abscissa រវាងចំណុចដែលបានសាងសង់រួចហើយដែលនៅជិតខាង។ ការសាងសង់នេះត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម: ចន្លោះនៅតាមបណ្តោយ abscissa រវាងចំណុចនៅជាប់គ្នា (ចតុកោណជាមួយភាគី កនិង ខ) ត្រូវបានបែងចែកទៅជា 3 ផ្នែកស្មើៗគ្នា។ បន្ទាប់មកចំណុចថ្មីចំនួនពីរត្រូវបានសាងសង់តាមគ្រោងការណ៍មួយក្នុងចំណោមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖
អាស្រ័យលើចំណុចណាដែលនៅជិតខាង 
ឬ 
ខាងលើប្រើគ្រោងការណ៍ខាងឆ្វេងឬស្តាំ។ នៅជំហានដំបូងដូចដែលបានបង្ហាញខាងលើយើងយក a=b=1.
យើងធ្វើការសាងសង់ឡើងវិញនូវចំនួនដងដែលអាចរាប់បានសម្រាប់ m = 1, 2, 3, … ។ ជាលទ្ធផល យើងនឹងទទួលបាន fractal ដែលនឹងស្រដៀងគ្នា រហូតដល់ការផ្លាស់ប្តូរ affine មួយចំនួន (ការពង្រីក ការបង្ហាប់ ការបង្វិល) នៃផ្នែកណាមួយរបស់វាដែលមាននៅក្នុងបន្ទះនីមួយៗ៖
;
ជាលទ្ធផលនៃការបង្កើត fractal យើងទទួលបានមុខងារ 
កំណត់លើសំណុំនៃចំណុច
,
;
(*)
ដែលនៅគ្រប់ទីកន្លែងក្រាស់នៅលើផ្នែក។
តើមុខងារសាងសង់មានលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះ?
នៅចំណុចនីមួយៗនៃទម្រង់ (*) ទាំងអតិបរមាតឹងរឹង ឬអប្បបរមាដ៏តឹងរឹង ពោលគឺឧ។ មុខងារ g(x) មិនមានកន្លែង monotonic ហើយមានសំណុំក្រាស់នៃចំណុចនៃ extrema តឹងរឹងនៅលើផ្នែកនេះ;
មុខងារ g(x) គឺបន្ត ហើយថែមទាំងបន្តស្មើៗគ្នាលើសំណុំចំនុច (*);
អនុគមន៍ដែលបានបង្កើតជាបន្តនៅលើផ្នែកមិនមាននិស្សន្ទវត្ថុសូម្បីតែម្ខាងនៅចំណុចណាមួយនៃផ្នែកដែលបានផ្ដល់ឱ្យ។
លក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃវគ្គសិក្សា "ជំពូកដែលបានជ្រើសរើសនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា" ។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាយើងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ 
. តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនេះ អ្នកអាចទទួលបានក្រុមគ្រួសារនៃមុខងារជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសរបស់ពួកគេផ្ទាល់។
មុខងារ Weierstrass ស្មុគស្មាញមានទម្រង់
តើចំនួនពិតនៅឯណា ហើយត្រូវបានសរសេរជា ឬជា . ផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃនៃមុខងារត្រូវបានគេហៅថា Weierstrass cosine និង sinusoids រៀងគ្នា។
មុខងារគឺបន្ត ប៉ុន្តែគ្មានកន្លែងណាខុសគ្នាទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភាពទូទៅជាផ្លូវការរបស់វាចំពោះករណីនេះគឺមានទាំងបន្ត និងអាចខុសគ្នា។
បន្ថែមពីលើមុខងារខ្លួនវា ផ្នែកនេះពិភាក្សាអំពីជម្រើសមួយចំនួនរបស់វា។ តម្រូវការសម្រាប់ការតំណាងរបស់ពួកគេគឺដោយសារតែអត្ថន័យថ្មីដែលបានផ្តល់ឱ្យមុខងារ Weierstrass ដោយទ្រឹស្តីនៃ fractal ។
វិសាលគមប្រេកង់នៃមុខងារ។ពាក្យ "វិសាលគម" តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំគឺលើសចំណុះ។ វិសាលគមប្រេកង់ត្រូវបានយល់ថាជាសំណុំនៃតម្លៃប្រេកង់ដែលអាចអនុញ្ញាតបាន ដោយមិនគិតពីទំហំនៃសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នា។
វិសាលគមប្រេកង់នៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ គឺជាលំដាប់នៃចំនួនគត់វិជ្ជមាន។ វិសាលគមប្រេកង់នៃអនុគមន៍ Brownian គឺ . វិសាលគមប្រេកង់នៃអនុគមន៍ Weierstrass គឺជាលំដាប់ដាច់ពីគ្នាពីទៅ .
វិសាលគមថាមពលនៃមុខងារ។វិសាលគមថាមពលត្រូវបានគេយល់ថាជាសំណុំនៃតម្លៃប្រេកង់ដែលអាចអនុញ្ញាតបានរួមគ្នាជាមួយនឹងតម្លៃថាមពល (អំព្លីទីតការ៉េ) នៃសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នា។ សម្រាប់តម្លៃប្រេកង់នីមួយៗនៃទម្រង់ក្នុងមុខងារ មានបន្ទាត់ថាមពលនៃទម្រង់ 
. ដូច្នេះតម្លៃសរុបនៃថាមពលនៅប្រេកង់បង្រួបបង្រួមនិងសមាមាត្រទៅនឹង 
.
ការប្រៀបធៀបជាមួយចលនាប្រភាគប្រភាគ។ថាមពលសរុបគឺសមាមាត្រនៅក្នុងករណីជាច្រើនទៀតដែលយើងបានពិចារណាមុននេះ៖ អនុគមន៍ Fourier-Brown-Wiener ចៃដន្យតាមកាលកំណត់ ប្រេកង់ដែលអាចទទួលយកបានដែលមានទម្រង់ និងមេគុណ Fourier ដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើនឹង ; ដំណើរការចៃដន្យជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេប្រជាជនបន្តបន្ទាប់សមាមាត្រទៅនឹង . ដំណើរការចុងក្រោយគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីអនុគមន៍ Brownian ប្រភាគដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងជំពូកទី 27។ ឧទាហរណ៍ នៅ , មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញវិសាលគមប្រមូលផ្តុំនៃមុខងារ Weierstrass នៅក្នុងចលនា Brownian ធម្មតាដែលដង់ស៊ីតេវិសាលគមគឺសមាមាត្រទៅនឹង . ភាពខុសគ្នាសំខាន់គឺថាវិសាលគម Brownian គឺបន្តយ៉ាងពិតប្រាកដ ខណៈពេលដែលវិសាលគមនៃមុខងារ Fourier-Brown-Wiener និង Weierstrass គឺដាច់ពីគ្នា។
ភាពមិនខុសគ្នា។ដើម្បីបញ្ជាក់ថាអនុគមន៍មិនមានដេរីវេកំណត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយទេ Weierstrass ត្រូវផ្សំលក្ខខណ្ឌពីរខាងក្រោម៖ - ចំនួនគត់សេស ដែលជាលទ្ធផលនៃអនុគមន៍គឺជាស៊េរី Fourier និង . លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ (និង) ត្រូវបានយកចេញពីអត្ថបទរបស់ Hardy ។
ការប្រើប្រាស់ថាមពល។ចំពោះរូបវិទូដែលទម្លាប់ធ្វើការកត់សំគាល់ ស្ថានភាពរបស់ Hardy ហាក់ដូចជាជាក់ស្តែង។ ការអនុវត្តច្បាប់មេដៃដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានគណនាដោយគុណមេគុណ Fourier -th របស់វាដោយ អ្នករូបវិទ្យារកឃើញសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលការ៉េនៃទំហំនៃមេគុណ Fourier c គឺ 
. ដោយសារថាមពលសរុបនៅប្រេកង់ធំជាង , គឺគ្មានកំណត់ នោះវាច្បាស់ណាស់ចំពោះអ្នករូបវិទ្យាថា ដេរីវេមិនអាចត្រូវបានកំណត់។
វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថា Riemann ក្នុងការស្វែងរកឧទាហរណ៍នៃភាពមិនខុសគ្នាបានមកដល់មុខងារ 
ដែលថាមពលវិសាលគមនៅប្រេកង់ធំជាង គឺសមាមាត្រទៅនឹង កន្លែងណា . ដូច្នេះ ការអនុវត្តហេតុផលដែលមានលក្ខណៈដូចគ្នា យើងអាចសន្មតថានិស្សន្ទវត្ថុគឺមិនអាចខុសគ្នាបានទេ។ ការសន្និដ្ឋាននេះគឺពិតមួយផ្នែកប៉ុណ្ណោះ ព្រោះសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួនដែលនិស្សន្ទវត្ថុនៅតែមាន (មើល )។
ភាពខុសគ្នានៃអ៊ុលត្រាវីយូឡេ / មហន្តរាយ។ពាក្យ "មហន្តរាយ" បានលេចឡើងនៅក្នុងរូបវិទ្យាក្នុងទសវត្សរ៍ដំបូងនៃសតវត្សទី 20 នៅពេលដែល Rayleigh និង Jeans បានបង្កើតទ្រឹស្តីនៃវិទ្យុសកម្មរាងកាយខ្មៅដោយឯករាជ្យយោងទៅតាមថាមពលនៃជួរប្រេកង់នៃទទឹងនៅក្នុងតំបន់ជុំវិញនៃប្រេកង់គឺសមាមាត្រទៅនឹង . នេះមានន័យថាថាមពលសរុបនៃវិសាលគមនៅប្រេកង់ខ្ពស់គឺគ្មានកំណត់ - ដែលប្រែទៅជាមហន្តរាយសម្រាប់ទ្រឹស្តី។ ដោយសារប្រភពនៃបញ្ហាគឺជាប្រេកង់ដែលស្ថិតនៅហួសពីផ្នែកអ៊ុលត្រាវីយូឡេនៃវិសាលគមនោះ បាតុភូតនេះត្រូវបានគេហៅថាមហន្តរាយអ៊ុលត្រាវីយូឡេ។
មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងថា Planck បានបង្កើតទ្រឹស្តី quantum របស់គាត់នៅលើប្រាសាទដែលទ្រឹស្ដីវិទ្យុសកម្មត្រូវបានប្រែក្លាយយ៉ាងជាក់លាក់ដោយគ្រោះមហន្តរាយ UV ។
ការដកថយជាប្រវត្តិសាស្ត្រ។ចំណាំ (ទោះបីជាខ្ញុំមិនយល់ច្បាស់ថាហេតុអ្វីបានជាគ្មាននរណាម្នាក់បានធ្វើរឿងនេះពីមុនមកក្នុងករណីណាក៏ដោយនៅក្នុងប្រភពដែលមានសម្រាប់ខ្ញុំខ្ញុំមិនបានរកឃើញអ្វីស្រដៀងគ្នាទេ) ដែលមូលហេតុនៃការស្លាប់ទាំងរូបវិទ្យាចាស់និងគណិតវិទ្យាចាស់គឺខុសគ្នាដូចគ្នា។ ដែលធ្វើឱ្យពួកគេមានជំនឿថា មុខងារបន្តគឺត្រូវតែខុសគ្នា។ អ្នករូបវិទ្យាបានប្រតិកម្មដោយគ្រាន់តែផ្លាស់ប្តូរច្បាប់នៃហ្គេម ខណៈពេលដែលគណិតវិទូត្រូវរៀនរស់នៅជាមួយមុខងារដែលមិនអាចបែងចែកបាន និងនិស្សន្ទវត្ថុផ្លូវការរបស់ពួកគេ។ (ក្រោយមកគឺជាឧទាហរណ៍តែមួយគត់នៃមុខងារ Schwartz ទូទៅដែលប្រើជាទូទៅក្នុងរូបវិទ្យា។ )
ក្នុងការស្វែងរកវិសាលគមដាច់ពីគ្នាខ្នាត-អថេរ។ ភាពខុសគ្នានៃអ៊ីនហ្វ្រារ៉េដ។ទោះបីជាវិសាលគមប្រេកង់នៃអនុគមន៍ Brownian គឺបន្ត មាត្រដ្ឋាន-មិនប្រែប្រួល និងមានសម្រាប់ វិសាលគមប្រេកង់នៃអនុគមន៍ Weierstrass ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃដូចគ្នានៃ គឺដាច់ពីគ្នា និងកំណត់នៅខាងក្រោមដោយ . វត្តមាននៃការចងខាងក្រោមគឺដោយសារតែតែការពិតដែលថាលេខ Weierstrass ដើមឡើយជាចំនួនគត់ ហើយមុខងារគឺតាមកាលកំណត់។ ដើម្បីលុបបំបាត់កាលៈទេសៈនេះ វាច្បាស់ណាស់គួរតែត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យយកតម្លៃណាមួយពីទៅ . ហើយដើម្បីឱ្យវិសាលគមថាមពលក្លាយជាខ្នាតមិនប្រែប្រួល វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីភ្ជាប់សមាសធាតុប្រេកង់នីមួយៗជាមួយនឹងទំហំ។
ជាអកុសល ស៊េរីលទ្ធផលខុសគ្នា ហើយសមាសធាតុប្រេកង់ទាបត្រូវស្តីបន្ទោស។ ពិការភាពបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា infrared (IR) divergence (ឬ "មហន្តរាយ") ។ ត្រូវថាតាមដែលអាចធ្វើបាន មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែមានភាពខុសគ្នានេះ ពីព្រោះបើមិនដូច្នេះទេ ព្រំដែនទាបនឹងប៉ះទង្គិចជាមួយនឹងភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងដែលមាននៅក្នុងវិសាលគមថាមពល។
មុខងារ Weierstrass ដែលត្រូវបានកែប្រែ ភាពស្និទ្ធស្នាលដោយខ្លួនឯង ទាក់ទងនឹងពេលវេលាប្រសព្វ។នីតិវិធីសាមញ្ញបំផុតដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពង្រីកវិសាលគមប្រេកង់នៃអនុគមន៍ Weierstrass ទៅជាតម្លៃមួយ និងជៀសវាងផលវិបាកមហន្តរាយនៅក្នុងដំណើរការនេះមានពីរដំណាក់កាល៖ ដំបូងយើងទទួលបានកន្សោម 
ហើយបន្ទាប់មកអនុញ្ញាតឱ្យយើងយកតម្លៃណាមួយពីទៅ . លក្ខខណ្ឌបន្ថែមដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃសម្រាប់ converge ហើយផលបូករបស់ពួកគេគឺបន្ត និងអាចខុសគ្នា។ មុខងារត្រូវបានកែប្រែតាមរបៀបនេះ។
នៅតែបន្ត ប៉ុន្តែមិនអាចខុសគ្នាត្រង់ណាបានទេ។
លើសពីនេះ វាមានមាត្រដ្ឋាន - invariant ក្នុងន័យថា
.
ដូច្នេះមុខងារ 
មិនអាស្រ័យលើ។ វាអាចត្រូវបាននិយាយខុសគ្នា: សម្រាប់មុខងារមួយ។ 
មិនអាស្រ័យលើ។ នោះគឺជាមុខងារ 
ផ្នែកពិត និងស្រមើស្រមៃរបស់វាគឺជាការភ្ជាប់ខ្លួនដោយការគោរពចំពោះតម្លៃនៃទម្រង់ និងពេលវេលាប្រសព្វ។
មុខងារចៃដន្យ Gaussian ជាមួយវិសាលគម Weierstrass ទូទៅ។ជំហានបន្ទាប់ឆ្ពោះទៅរកភាពប្រាកដនិយម និងការអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយគឺការចៃដន្យនៃមុខងារ Weierstrass ទូទៅ។ វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុត និងធម្មជាតិបំផុតគឺត្រូវគុណមេគុណ Fourier របស់វាដោយអថេរចៃដន្យ Gaussian ស្មុគ្រស្មាញដោយឯករាជ្យសូន្យ និងបំរែបំរួលឯកតា។ ផ្នែកពិត និងស្រមើស្រមៃនៃអនុគមន៍លទ្ធផលអាចត្រូវបានគេហៅថាត្រឹមត្រូវ មុខងារ Weierstrass-Gauss (កែប្រែ) ។ ក្នុងន័យខ្លះ មុខងារទាំងនេះអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគប្រហាក់ប្រហែល។ នៅពេលដែលតម្លៃត្រូវគ្នានោះ វិសាលគមរបស់ពួកគេគឺស្រដៀងនឹងការពិតដែលថាមួយនៃវិសាលគមទាំងនេះគឺបន្ត ហើយមួយទៀតអនុញ្ញាត។ លើសពីនេះទៅទៀត លទ្ធផលនៃ Orey និង Marcus (មើលទំ។ 490) អាចអនុវត្តបានចំពោះមុខងារ Weierstrass-Gauss ហើយវិមាត្រប្រភាគនៃកម្រិតរបស់វាស្របគ្នានឹងវិមាត្រប្រភាគនៃសំណុំកម្រិតនៃអនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគ។
ដោយពិចារណាលើគំរូដែលតំណាងដោយចលនាប្រភាគប្រភាគ យើងអាចសន្មត់ថាវិមាត្រនៃសំណុំសូន្យនៃអនុគមន៍ Weierstrass-Rademacher នឹងស្មើនឹង . ការសន្មត់នេះត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុង ប៉ុន្តែសម្រាប់តែចំនួនគត់ប៉ុណ្ណោះ។
Singh លើកឡើងពីមុខងារ Weierstrass ជាច្រើនប្រភេទផ្សេងទៀត។ វិមាត្រសូន្យនៃសំណុំនៃពួកវាខ្លះអាចប៉ាន់ស្មានបានយ៉ាងងាយស្រួល។ ជាទូទៅ ប្រធានបទនេះពិតជាសមនឹងទទួលបានការសិក្សាលម្អិតបន្ថែមទៀត ដោយគិតគូរពីសមិទ្ធិផលនៃការគិតទ្រឹស្តីទំនើប។
ចូរយើងបង្កើតមុខងារជំនួយនៅលើចន្លោះពេលមួយជំហានម្តងៗ។ នៅជំហានសូន្យ យើងកំណត់ពីរចំណុច៖
និង 
.
បន្ទាប់មកជួសជុលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ នៅជំហានដំបូង និងបន្តបន្ទាប់ យើងនឹងបញ្ជាក់ចំណុចដោយអនុលោមតាមវិធានខាងក្រោម៖ សម្រាប់ចំណុចទាំងពីរដែលបានសាងសង់ពីមុន និងនៅជាប់គ្នាតាមអ័ក្ស abscissa យើងនឹងសាងសង់ចំណុចថ្មីពីរ និងស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុចកណ្តាលនៃចតុកោណកែងដែលបានបញ្ជាក់ដោយចំនុច និងជាមួយ មេគុណ k. នោះគឺនៅជំហានដំបូង ចំណុចថ្មីពីរត្រូវបានកំណត់៖
និង 
ល។
នៅលើ (m+1)-ជំហានទី បន្ថែមលើចំណុចដែលបានសាងសង់ពីមុនជាមួយ abscissas
,
ចំណុចពីរត្រូវបានសាងសង់ក្នុងចន្លោះពេលទាំងអស់តាមអ័ក្ស abscissa រវាងចំណុចដែលបានសាងសង់រួចហើយដែលនៅជិតខាង។ ការសាងសង់នេះត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម: ចន្លោះនៅតាមបណ្តោយ abscissa រវាងចំណុចនៅជាប់គ្នា (ចតុកោណជាមួយភាគី កនិង ខ) ត្រូវបានបែងចែកទៅជា 3 ផ្នែកស្មើៗគ្នា។ បន្ទាប់មកចំណុចថ្មីចំនួនពីរត្រូវបានសាងសង់តាមគ្រោងការណ៍មួយក្នុងចំណោមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖
អាស្រ័យលើចំណុចជិតខាងណាមួយ ឬខ្ពស់ជាងនេះ យើងប្រើគ្រោងការណ៍ខាងឆ្វេង ឬស្តាំ។ នៅជំហានដំបូងដូចដែលបានបង្ហាញខាងលើយើងយក a=b=1.
យើងធ្វើការសាងសង់ឡើងវិញនូវចំនួនដងដែលអាចរាប់បានសម្រាប់ m = 1, 2, 3, … ។ ជាលទ្ធផល យើងនឹងទទួលបាន fractal ដែលនឹងស្រដៀងគ្នា រហូតដល់ការផ្លាស់ប្តូរ affine មួយចំនួន (ការពង្រីក ការបង្ហាប់ ការបង្វិល) នៃផ្នែកណាមួយរបស់វាដែលមាននៅក្នុងបន្ទះនីមួយៗ៖
;
ជាលទ្ធផលនៃការបង្កើត fractal យើងទទួលបានអនុគមន៍ដែលបានកំណត់នៅលើសំណុំនៃចំណុចមួយ។
ដែលនៅគ្រប់ទីកន្លែងក្រាស់នៅលើផ្នែក។
តើមុខងារសាងសង់មានលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីខ្លះ?
· នៅចំណុចនីមួយៗនៃទម្រង់បែបបទ (*) មានអតិបរមាតឹងរឹង ឬអប្បបរមាយ៉ាងតឹងរឹង ពោលគឺឧ។ មុខងារ g(x)មិនមានកន្លែង monotonic ហើយមានសំណុំក្រាស់នៃចំណុចនៃ extrema តឹងរឹងនៅលើផ្នែកនេះ;
· មុខងារ g(x) គឺបន្ត ហើយថែមទាំងបន្តស្មើៗគ្នាលើសំណុំចំនុច (*);
· អនុគមន៍ដែលបានបង្កើតជាបន្តនៅលើផ្នែកមិនមាននិស្សន្ទវត្ថុសូម្បីតែម្ខាងនៅចំណុចណាមួយនៃផ្នែកដែលបានផ្ដល់ឱ្យ។
លក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃវគ្គសិក្សា "ជំពូកដែលបានជ្រើសរើសនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា" ។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា យើងបានសន្មត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រនេះ អ្នកអាចទទួលបានក្រុមគ្រួសារនៃមុខងារជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសរបស់ពួកគេផ្ទាល់។
· . មុខងារទាំងនេះមានការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់ និងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ មាននិស្សន្ទវត្ថុសូន្យ និងគ្មានកំណត់ (រៀងៗខ្លួន ចំណុចបញ្ឆេះ) លើសំណុំនៃចំណុចដែលនៅគ្រប់ទីកន្លែងក្រាស់នៅលើផ្នែក។
· . ទទួលបានមុខងារលីនេអ៊ែរ y=x
· . លក្ខណសម្បត្តិនៃគ្រួសារមុខងារគឺដូចគ្នាទៅនឹងតម្លៃនៃ k ពីជួរទីមួយ។
· . យើងបានទទួលមុខងារ Cantor ដែលយើងសិក្សាលម្អិតមុននេះ។
· . មុខងារទាំងនេះគឺបន្ត គ្មានសម្លេងឯកតាទេ មានមីនីម៉ា និងអតិបរមា លេខសូន្យ និងគ្មានកំណត់ (នៃសញ្ញាទាំងពីរ) ដេរីវេពីម្ខាងទៅម្ខាងលើសំណុំនៃចំណុចដែលនៅគ្រប់ទីកន្លែងក្រាស់នៅលើផ្នែក។
· . មុខងារនេះត្រូវបានសិក្សាដោយពួកយើងខាងលើ។
· . អនុគមន៍ពីជួរនេះមានលក្ខណសម្បត្តិដូចគ្នានឹងមុខងារសម្រាប់ .
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។
នៅក្នុងការងាររបស់ខ្ញុំ ខ្ញុំបានអនុវត្តឧទាហរណ៍មួយចំនួនពីវគ្គសិក្សា "ជំពូកដែលបានជ្រើសរើសនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា"។ រូបថតអេក្រង់នៃកម្មវិធីដែលមើលឃើញដោយខ្ញុំត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងការងារនេះ។ តាមការពិត ពួកវាសុទ្ធតែមានអន្តរកម្ម សិស្សអាចមើលឃើញប្រភេទនៃមុខងារនៅជំហានជាក់លាក់មួយ បង្កើតវាម្តងហើយម្តងទៀត និងពង្រីក។ ក្បួនដោះស្រាយសំណង់ ក៏ដូចជាមុខងារបណ្ណាល័យមួយចំនួន គ្រោងឆ្អឹងត្រូវបានជ្រើសរើសជាពិសេស និងកែលម្អសម្រាប់ប្រភេទនៃបញ្ហានេះ (ភាគច្រើនត្រូវបានពិចារណា)។
សម្ភារៈនេះពិតជានឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់គ្រូបង្រៀន និងសិស្សានុសិស្ស និងជាការរួមដំណើរដ៏ល្អក្នុងការបង្រៀននៃវគ្គសិក្សា "ជំពូកដែលបានជ្រើសរើសនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា"។ អន្តរកម្មនៃការមើលឃើញទាំងនេះជួយឱ្យយល់កាន់តែច្បាស់អំពីលក្ខណៈនៃសំណុំដែលបានសាងសង់ និងជួយសម្រួលដល់ដំណើរការនៃការយល់ឃើញនៃសម្ភារៈដោយសិស្ស។
កម្មវិធីដែលបានពិពណ៌នាត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងបណ្ណាល័យនៃម៉ូឌុលដែលមើលឃើញនៃគម្រោង www.visualmath.ru ឧទាហរណ៍ នេះគឺជាមុខងារ Cantor ដែលយើងបានពិចារណារួចហើយ៖
នៅពេលអនាគត វាត្រូវបានគ្រោងនឹងពង្រីកបញ្ជីនៃកិច្ចការដែលមើលឃើញ និងកែលម្អក្បួនដោះស្រាយសំណង់សម្រាប់ប្រតិបត្តិការកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាពនៃកម្មវិធី។ ការធ្វើការនៅក្នុងគម្រោង www.visualmath.ru ពិតជាបាននាំមកនូវអត្ថប្រយោជន៍ និងបទពិសោធន៍ជាច្រើន ជំនាញការងារជាក្រុម សមត្ថភាពក្នុងការវាយតម្លៃ និងបង្ហាញសម្ភារៈអប់រំឱ្យបានច្បាស់លាស់តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។
អក្សរសិល្ប៍។
1. B. Gelbaum, J. Olmstead, Counterexamples ក្នុងការវិភាគ។ M.: Mir.1967 ។
2. B.M. Makarov et al បញ្ហាដែលបានជ្រើសរើសក្នុងការវិភាគពិតប្រាកដ។ គ្រាមភាសា Nevsky ឆ្នាំ ២០០៤។
3. B. Mandelbrot ។ ធរណីមាត្រ Fractal នៃធម្មជាតិ។ វិទ្យាស្ថានស្រាវជ្រាវកុំព្យូទ័រ ឆ្នាំ ២០០២។
4. Yu.S. Ochan, ការប្រមូលបញ្ហា និងទ្រឹស្តីបទស្តីពី TFDP ។ M. : ការត្រាស់ដឹង។ ១៩៦៣។
5. V.M. Shibinsky ឧទាហរណ៍និងឧទាហរណ៍ផ្ទុយនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ៖ វិទ្យាល័យឆ្នាំ ២០០៧។
6. R.M. Kronover, Fractals និងភាពវឹកវរនៅក្នុងប្រព័ន្ធថាមវន្ត, ទីក្រុងម៉ូស្គូ: ផ្សារប្រៃសណីយ៍, ឆ្នាំ 2000 ។
7. A. A. Nikitin, ជំពូកដែលបានជ្រើសរើសនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា // ការប្រមូលអត្ថបទដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រវ័យក្មេងនៃមហាវិទ្យាល័យ CMC MSU, 2011 / ed ។ S.A. Lozhkin ។ M. : នាយកដ្ឋានបោះពុម្ពនៃមហាវិទ្យាល័យនៃសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូ VMK ។ M.V. Lomonosov, 2011. S. 71-73 ។
8. R.M. Kronover, Fractals និងភាពវឹកវរនៅក្នុងប្រព័ន្ធថាមវន្ត, ទីក្រុងម៉ូស្គូ: ប្រៃសណីយ៍ឆ្នាំ 2000 ។
9. Fractal និងការសាងសង់នៃគ្រប់ទីកន្លែងបន្តប៉ុន្តែគ្មានមុខងារមិនខុសគ្នា // XVI International Lomonosov Readings: ការប្រមូលឯកសារវិទ្យាសាស្ត្រ។ - Arkhangelsk: សាកលវិទ្យាល័យ Pomor State, 2004. P.266-273 ។
ការបង្រួបបង្រួមនៃសំណុំបើកចំហរាប់រាប់បាន (ចន្លោះពេលជាប់គ្នា) ត្រូវបានបើក ហើយការបំពេញបន្ថែមទៅនឹងសំណុំបើកចំហត្រូវបានបិទ។
សង្កាត់ណាមួយនៃចំណុចមួយ។ កកំណត់ Cantor យ៉ាងហោចណាស់មានចំណុចមួយនៅក្នុង , ខុសពី ក.
វាត្រូវបានបិទ និងមិនមានចំណុចដាច់ពីគ្នាទេ (ចំណុចនីមួយៗគឺជាចំណុចកំណត់)។
មានសំណុំដែលអាចរាប់បានច្រើនបំផុតនៅគ្រប់ទីកន្លែងដែលក្រាស់នៅក្នុង .
សំណុំ A មិនមានកន្លែងណាក្រាស់នៅក្នុងចន្លោះ R ប្រសិនបើសំណុំបើកចំហណាមួយនៃលំហនេះមានសំណុំបើកចំហផ្សេងទៀតដែលមិនមានពិន្ទុទាំងស្រុងនៅក្នុង A ។
ចំណុចនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយដែលមានសំណុំពិន្ទុដែលមិនអាចរាប់បាននៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
យើងនឹងនិយាយថាសំណុំមួយនៅក្នុងយន្តហោះគឺគ្មានកន្លែងណាក្រាស់នៅក្នុងទំហំម៉ែត្រ R ប្រសិនបើថាសបើកចំហណាមួយនៅក្នុងចន្លោះនេះមានថាសបើកចំហផ្សេងទៀតទាំងស្រុងដោយគ្មានចំណុចនៅក្នុងសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
"តើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ S ពិតឬ?" ប្រហែលជាសំណួរធម្មតាបំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា នៅពេលដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍មានទម្រង់: "ធាតុនីមួយៗនៃថ្នាក់ A ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់ B: A B" ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះគឺពិតមានន័យថាដើម្បីបញ្ជាក់ការរួមបញ្ចូល A B. ដើម្បីបង្ហាញថាវាគឺជាការមិនពិតមានន័យថាដើម្បីស្វែងរកធាតុនៃថ្នាក់ A ដែលមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់ B ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀតដើម្បីផ្តល់ឧទាហរណ៍ផ្ទុយ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ S គឺ៖ "រាល់មុខងារបន្តគឺខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយ" នោះសំណុំ A និង B មានរៀងគ្នានៃមុខងារបន្តទាំងអស់ និងមុខងារទាំងអស់អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ Weierstrass ដ៏ល្បីល្បាញនៃ a បន្ត ប៉ុន្តែគ្មានមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន f គឺជាឧទាហរណ៍ផ្ទុយគ្នាដើម្បីរួមបញ្ចូល A B ចាប់តាំងពី f គឺជាធាតុនៃ A ដែលមិនមែនជារបស់ B ។ ក្នុងហានិភ័យនៃការធ្វើឱ្យសាមញ្ញពេក យើងអាចនិយាយបានថា គណិតវិទ្យា (លើកលែងតែនិយមន័យ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ និងការគណនា) មានពីរ។ ផ្នែក - ភស្តុតាង និងឧទាហរណ៍ផ្ទុយ និងការរកឃើញគណិតវិទ្យាមាននៅក្នុងការស្វែងរកភ័ស្តុតាង និងបង្កើតឧទាហរណ៍ប្រឆាំង។
នេះកំណត់ពីភាពពាក់ព័ន្ធនៃឧទាហរណ៍ផ្ទុយអំឡុងពេលបង្កើត និងអភិវឌ្ឍគណិតវិទ្យា។
សៀវភៅគណិតវិទ្យាភាគច្រើនត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។
និយាយជាទូទៅ មានឧទាហរណ៍ពីរប្រភេទនៅក្នុងគណិតវិទ្យា - ឧទាហរណ៍ឧទាហរណ៍ និងឧទាហរណ៍ផ្ទុយ។ ទីមួយបង្ហាញពីមូលហេតុដែលពាក្យនេះ ឬសេចក្តីថ្លែងការណ៍នោះមានន័យ ហើយទីពីរ - ហេតុអ្វីបានជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះឬនោះគ្មានន័យ។ វាអាចត្រូវបានប្រកែកថាឧទាហរណ៍ណាមួយគឺក្នុងពេលតែមួយជាឧទាហរណ៍ផ្ទុយទៅនឹងការអះអាងមួយចំនួនពោលគឺចំពោះការអះអាងថាឧទាហរណ៍បែបនេះគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ យើងមិនចង់ផ្តល់ពាក្យផ្ទុយពីអត្ថន័យសកលបែបនេះទេ ប៉ុន្តែយើងសន្មតថាអត្ថន័យរបស់វាគឺទូលំទូលាយគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ចូលឧទាហរណ៍ទាំងអស់ដែលតួនាទីរបស់វាមិនកំណត់ចំពោះការបង្ហាញទ្រឹស្ដីពិតទេ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ពហុនាមជាឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍បន្តមិនមែនជាឧទាហរណ៍ផ្ទុយទេ ប៉ុន្តែពហុនាមជាឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍គ្មានដែនកំណត់ ឬមិនមែនតាមកាលកំណត់ គឺជាឧទាហរណ៍ផ្ទុយ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ថ្នាក់នៃអនុគមន៍ monotone ទាំងអស់នៅលើចន្លោះពេលបិទជិតដែលជាថ្នាក់នៃអនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នាមិនមែនជាឧទាហរណ៍ផ្ទុយគ្នាទេ ប៉ុន្តែថ្នាក់ដូចគ្នា ជាឧទាហរណ៍នៃចន្លោះមុខងារ ប៉ុន្តែមិនមែនជាវ៉ិចទ័រ គឺជាឧទាហរណ៍ផ្ទុយ។
គោលបំណងនៃឯកសារនេះគឺដើម្បីពិចារណាលើឧទាហរណ៍ និងលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ monotonicity នៃមុខងារក្នុងការវិភាគ។
ដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅ ភារកិច្ចដូចខាងក្រោមត្រូវបានកំណត់៖
1. ពិចារណាលើឧទាហរណ៍ផ្ទុយក្នុងការវិភាគ
2. កំណត់សញ្ញាណនៃឧទាហរណ៍ផ្ទុយ
3. ពិចារណាអំពីការប្រើប្រាស់ឧទាហរណ៍ផ្ទុយគ្នាក្នុងភាពខុសគ្នា
4. កំណត់គោលគំនិតនៃ monotonicity នៃមុខងារ
5. កំណត់លក្ខណៈលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ monotonicity នៃមុខងារ
6. ពិចារណាលើលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់តំបន់ជ្រុលនិយម
7. ពិចារណាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់តំបន់ជ្រុលនិយម
1. ការប្រឆាំងឧទាហរណ៍ក្នុងការវិភាគ
១.១. គំនិតនៃឧទាហរណ៍ផ្ទុយ
កន្សោមពេញនិយម៖ "រៀនពីឧទាហរណ៍" "អំណាចនៃគំរូ" មិនត្រឹមតែមានអត្ថន័យពិភពលោកប៉ុណ្ណោះទេ។ ពាក្យ "ឧទាហរណ៍" ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយពាក្យ "រង្វាស់" "រង្វាស់" "រង្វាស់" ប៉ុន្តែមិនត្រឹមតែសម្រាប់ហេតុផលនេះទេដែលមានវត្តមាននៅក្នុងគណិតវិទ្យាតាំងពីដើមដំបូងមក។ ឧទាហរណ៍បង្ហាញពីគោលគំនិត ជួយឱ្យយល់អត្ថន័យរបស់វា បញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ក្នុងការបង្ហាញជាក់លាក់របស់វា។ ឧទាហរណ៍ផ្ទុយ ការបដិសេធសេចក្តីថ្លែងការណ៍មិនពិត មានតម្លៃភស្តុតាង។
គំរូផ្ទុយ គឺជាឧទាហរណ៍ដែលបដិសេធការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយចំនួន។
ការសាងសង់គំរូផ្ទុយ គឺជាវិធីសាមញ្ញមួយក្នុងការបដិសេធសម្មតិកម្ម។ ប្រសិនបើមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដូចជា "សម្រាប់ X ណាមួយពីសំណុំ M ទ្រព្យសម្បត្តិ A កាន់កាប់" នោះឧទាហរណ៍ផ្ទុយសម្រាប់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺជាវត្ថុ X 0 ណាមួយពីសំណុំ M ដែលទ្រព្យសម្បត្តិ A មិនកាន់។
ឧទាហរណ៍បុរាណមួយនៅក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃការគណនាគឺជាមុខងារដែលបង្កើតឡើងដោយលោក Bernard Bolzano ដែលបន្តនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល ហើយមិនខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយឡើយ។ មុខងារនេះបានបម្រើជាឧទាហរណ៍ផ្ទុយទៅនឹងសម្មតិកម្មដែលថាភាពខុសគ្នានៃមុខងារគឺជាផលវិបាកធម្មជាតិនៃការបន្តរបស់វា។
២.២. ការប្រើឧទាហរណ៍ផ្ទុយគ្នាក្នុងភាពខុសគ្នា
ផ្នែកនេះត្រូវបានជ្រើសរើសដោយសារតែការពិតដែលថាភាពខុសគ្នាគឺជាធាតុមូលដ្ឋាននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍មួយចំនួននៅក្នុងជំពូកនេះ ពាក្យនិស្សន្ទវត្ថុនឹងអនុវត្តចំពោះដែនកំណត់គ្មានកំណត់ផងដែរ។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ពាក្យ មុខងារផ្សេងគ្នា ត្រូវបានប្រើលុះត្រាតែអនុគមន៍មានដេរីវេទីកំណត់នៅគ្រប់ចំណុចនៃដែនរបស់វា។ មុខងារមួយត្រូវបានគេនិយាយថាមានភាពខុសប្លែកគ្នាគ្មានដែនកំណត់ប្រសិនបើវាមាន (កំណត់) ដេរីវេនៃលំដាប់ណាមួយនៅគ្រប់ចំណុចនៅក្នុងដែនរបស់វា។
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមានមូលដ្ឋាន e នឹងត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ex ឬ exp(x) ។
វាត្រូវបានសន្មត់ថាសំណុំទាំងអស់រួមទាំងដែននៃនិយមន័យនិងសំណុំនៃតម្លៃនៃមុខងារគឺជាសំណុំរងនៃ R. បើមិនដូច្នេះទេការចម្រាញ់ដែលត្រូវគ្នានឹងត្រូវបានធ្វើឡើង។
1. មុខងារដែលមិនមែនជាដេរីវេ
អនុគមន៍ sgnA៖ ហើយជាទូទៅ មុខងារណាមួយដែលមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាក្នុងទម្រង់នៃការលោតមិនមានបុព្វបទទេ ពោលគឺមិនមែនជាដេរីវេនៃមុខងារណាមួយទេ ព្រោះវាមិនមានទ្រព្យសម្បត្តិ Cauchy ដើម្បីយកតម្លៃមធ្យមទាំងអស់ ហើយនេះ អចលនទ្រព្យមានមិនត្រឹមតែនៅក្នុងមុខងារបន្តប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏នៅក្នុងនិស្សន្ទវត្ថុផងដែរ (មើលទំព័រ ៨៤ លំហាត់លេខ ៤០ និងលេខ ១ ទំព័រ ២២៤)។ ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃដេរីវេមិនបន្ត។
2. មុខងារខុសគ្នាជាមួយនឹងដេរីវេមិនបន្ត
ពិចារណាមុខងារ
ដេរីវេរបស់វា។
មិនបន្តនៅចំណុច x = 0 ។
3. មុខងារមិនបន្តដែលមានដេរីវេនៅគ្រប់ទីកន្លែង (មិនចាំបាច់កំណត់)
ដើម្បីធ្វើឱ្យឧទាហរណ៍បែបនេះអាចធ្វើទៅបាន និយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវតែពង្រីកដើម្បីរួមបញ្ចូលតម្លៃ ± . បន្ទាប់មក អនុគមន៍ discontinuous sgn x (ឧទាហរណ៍ 1) មានដេរីវេ
4. មុខងារផ្សេងគ្នាដែលដេរីវេមិនរក្សាទុកសញ្ញានៅក្នុងសង្កាត់ម្ខាងម្ខាងនៃចំណុចខ្លាំង
មានអប្បបរមាដាច់ខាតនៅចំណុច x = 0. និងដេរីវេរបស់វា។
នៅក្នុងសង្កាត់ម្ខាងម្ខាងនៃសូន្យ យកទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ អនុគមន៍ f មិនមែនជាឯកតានៅក្នុងសង្កាត់ម្ខាងនៃចំនុច x = 0 ទេ។
5. មុខងារផ្សេងគ្នាដែលដេរីវេគឺវិជ្ជមាននៅចំណុចមួយចំនួន ប៉ុន្តែមុខងារខ្លួនវាមិនមែនជា monotonic នៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយនៃចំណុចនេះទេ។
មានដេរីវេស្មើនឹង
នៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយនៃសូន្យ ដេរីវេ f/(x) មានទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។
6. អនុគមន៍ដែលដេរីវេមានកំណត់ ប៉ុន្តែមិនកំណត់នៅចន្លោះពេលបិទ
ពិចារណាមុខងារ
ដេរីវេរបស់វា។
មិនកំណត់ចំពោះ [-1, 1] ។
7. អនុគមន៍ដែលដេរីវេមានហើយត្រូវបានកំណត់ ប៉ុន្តែមិនមាន (ដាច់ខាត) ជ្រុលនៅចន្លោះពេលបិទ
មានដេរីវេ
នៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយនៃសូន្យ ដេរីវេនេះមានតម្លៃតាមអំពើចិត្តទៅជិត 24 និង -24 ។ ម៉្យាងទៀតសម្រាប់ 0 ដូច្នេះពីវិសមភាព 0< h
1 следует, что 8. គ្រប់ទីកន្លែងបន្ត ប៉ុន្តែគ្មានមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន។ មុខងារ | x | គឺនៅគ្រប់ទីកន្លែងបន្ត ប៉ុន្តែមិនខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x - 0។ ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរមុខងារនេះ មនុស្សម្នាក់អាចកំណត់មុខងារបន្តគ្រប់ទីកន្លែង ដែលមិនខុសគ្នានៅគ្រប់ចំណុចនៃសំណុំកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមអំពើចិត្ត។ ក្នុងផ្នែករងនេះ យើងនឹងលើកឧទាហរណ៍មួយដោយប្រើសំណុំគ្មានកំណត់នៃការផ្លាស់ប្ដូរនៃអនុគមន៍ | x | ចូរយើងបង្ហាញមុខងារនោះ។ គ្មានកន្លែងណាអាចខុសគ្នាទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យ a ជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត ហើយអនុញ្ញាតឱ្យលេខធម្មជាតិណាមួយ n លេខ h n ស្មើនឹង 4 -n ឬ –4 -n ត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះបន្ទាប់មកតម្លៃមានតម្លៃដូចគ្នា | h n | សម្រាប់ m n ទាំងអស់ ហើយជាសូន្យសម្រាប់ m > n ។ បន្ទាប់មកសមាមាត្រភាពខុសគ្នាគឺជាចំនួនគត់ដែលសូម្បីតែសម្រាប់សូម្បីតែ n និងសេសសម្រាប់សេស n ។ វាធ្វើតាមពីនេះថាដែនកំណត់ មិនមានទេ ដូច្នេះហើយក៏មិនមាន ឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាការកែប្រែនៃឧទាហរណ៍ដែលបង្កើតឡើងដោយ B. L. Van der Waerden ក្នុងឆ្នាំ 1930 (សូមមើលទំព័រ 394) ។ ឧទាហរណ៍ដំបូងបំផុតនៃមុខងារមិនខុសគ្នាបន្តបន្ទាប់គ្នាត្រូវបានសាងសង់ដោយ K. W. T. Weierstrass (គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ ឆ្នាំ 1815-1897)៖ ដែល a ជាចំនួនគត់សេស ហើយ b គឺបែបនោះ។ នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ ឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍បន្តត្រូវបានគេដឹងថាមិនមានសូម្បីតែមួយចំហៀង ឬដេរីវេគ្មានកំណត់នៅចំណុចណាមួយក៏ដោយ។ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះ និងឯកសារយោងបន្ថែមអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុង (ទំព័រ 392-394), (ទំព័រ 61-62, 115, 126) និងផងដែរនៅក្នុង (vol. II, ទំព័រ 401-412)។ មុខងារនៃឧទាហរណ៍នេះមិនមែនជា monotonic នៅចន្លោះពេលណាមួយទេ។ ជាងនេះទៅទៀត មានឧទាហរណ៍នៃមុខងារមួយ ដែលខុសគ្នាគ្រប់ទីកន្លែង និងគ្មានសម្លេងឯកតាទេ (សូមមើល វ៉ុលទី II ទំព័រ 412-421)។ ការសាងសង់នៃឧទាហរណ៍នេះគឺស្មុគស្មាញណាស់ ហើយនាំទៅរកមុខងារដែលខុសគ្នាគ្រប់ទីកន្លែង និងមានសំណុំក្រាស់នៃ Relative maxima និងសំណុំក្រាស់នៃrelative minima។ 9. មុខងារផ្សេងគ្នាដែលទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យមមិនមាន ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងត្រូវបង្ខំម្ដងទៀតឱ្យងាកទៅមុខងារដែលមានតម្លៃស្មុគស្មាញ។ មុខងារ អថេរ x គឺនៅគ្រប់ទីកន្លែងបន្ត និងអាចខុសគ្នា (សូមមើលទំព័រ 509-513)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមានចន្លោះពេលបែបនេះទេ ដែលសម្រាប់អ្នកខ្លះ សមភាព ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាសមភាពនេះអាចទៅរួច នោះយើងទទួលបានសមភាពការ៉េនៃម៉ូឌុល (តម្លៃដាច់ខាត) នៃផ្នែកទាំងពីររបស់វា យើងទទួលបានសមភាព។ ដែលបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមយកទម្រង់ ប៉ុន្តែដោយសារគ្មានលេខវិជ្ជមាន h នោះ អំពើបាប h = h (មើលទំព័រ 78) យើងមានការផ្ទុយគ្នា។ 13. អនុគមន៍ monotonic ខុសគ្នាគ្មានកំណត់ f បែបនោះ។ ប្រសិនបើ monotonicity មិនត្រូវបានទាមទារ នោះឧទាហរណ៍មិនសូវសំខាន់នៃអនុគមន៍បែបនេះនឹងជាឧទាហរណ៍ (sinx 2)/x ។ ចូរយើងបង្កើតឧទាហរណ៍នៃអនុគមន៍ monotonic ជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ យើងកំណត់ f(x) ស្មើនឹង 1 សម្រាប់ និងស្មើនៅចន្លោះពេលបិទសម្រាប់ នៅលើចន្លោះមធ្យមដែលនៅសល់នៃទម្រង់ យើងកំណត់ f(x) ដោយប្រើមុខងារ អនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរផ្ដេក និងបញ្ឈរ និងគុណដោយកត្តាអវិជ្ជមានសមស្រប។ ២.១. ភាពឯកកោនៃមុខងារ អនុគមន៍ f (x) ត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេល D ប្រសិនបើសម្រាប់លេខណាមួយ x 1 និង x 2 ពីចន្លោះពេល D នោះ x 1< x 2 , выполняется неравенство
f (x 1) < f (x 2). អនុគមន៍ f (x) ត្រូវបានគេហៅថាបន្ថយនៅលើចន្លោះពេល D ប្រសិនបើសម្រាប់លេខណាមួយ x 1 និង x 2 ពីចន្លោះពេល D នោះ x 1< x
2 , выполняется неравенство f (x 1) >f(x2) ។ រូបភាពទី 1 ។ នៅក្នុងក្រាហ្វដែលបង្ហាញក្នុងរូប មុខងារ y \u003d f (x) កើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ [ a ; x 1) និង (x 2 ; b ] និងបន្ថយចន្លោះពេល (x 1 ; x 2) ។ ចំណាំថាមុខងារកំពុងកើនឡើងនៅលើចន្លោះនីមួយៗ [ a ; x 1) និង ( x 2 ; b ] ប៉ុន្តែមិនមែន នៅលើចន្លោះប្រហោងនៃសហជីព ប្រសិនបើមុខងារមួយកំពុងកើនឡើង ឬថយចុះនៅលើចន្លោះពេលមួយចំនួន នោះវាត្រូវបានគេហៅថា monotonic នៅលើចន្លោះពេលនេះ។ ចំណាំថាប្រសិនបើ f គឺជាអនុគមន៍ monotonic នៅលើចន្លោះពេល D (f (x)) នោះសមីការ f (x) = const មិនអាចមានឫសច្រើនជាងមួយនៅលើចន្លោះពេលនេះ។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើ x 1< x 2 – корни этого
уравнения на промежутке D (f (x)), то f (x 1) = f (x 2) = 0, что противоречит
условию монотонности. យើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ monotone (យើងសន្មត់ថាមុខងារទាំងអស់ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល D មួយចំនួន)។ ការអះអាងស្រដៀងគ្នាក៏អាចត្រូវបានធ្វើឡើងសម្រាប់មុខងារកាត់បន្ថយផងដែរ។ អង្ករ។ 2. លក្ខណៈសម្បត្តិមុខងារ។ ចំនុច a ត្រូវបានគេហៅថាចំនុចអតិបរមានៃអនុគមន៍ f ប្រសិនបើមាន ε-neighborhood នៃចំនុច a ដែលសម្រាប់ x ណាមួយពីសង្កាត់នេះ វិសមភាព f (a) ≥ f (x) កាន់។ ចំនុច a ត្រូវបានគេហៅថាចំនុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ f ប្រសិនបើមាន ε-neighborhood នៃចំនុច a ដែលសម្រាប់ x ណាមួយពីសង្កាត់នេះ វិសមភាព f (a) ≤ f (x) ត្រូវបានពេញចិត្ត។ ចំណុចដែលឈានដល់អតិបរមា ឬអប្បបរមានៃមុខងារត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំង។ នៅចំណុចខ្លាំង, ធម្មជាតិនៃ monotonicity នៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះនៅខាងឆ្វេងនៃចំណុចខ្លាំងមុខងារអាចកើនឡើងហើយនៅខាងស្តាំវាអាចថយចុះ។ យោងតាមនិយមន័យ ចំណុចខ្លាំងត្រូវតែជាចំណុចខាងក្នុងនៃដែននិយមន័យ។ ប្រសិនបើសម្រាប់ (x ≠ a) វិសមភាព f (x) ≤ f (a) ត្រូវបានពេញចិត្ត នោះចំនុច a ត្រូវបានគេហៅថាចំនុចនៃតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើសំណុំ D: ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ (x ≠ b) វិសមភាព f (x) > f (b) ត្រូវបានពេញចិត្ត នោះចំនុច b ត្រូវបានគេហៅថា ចំនុចនៃតម្លៃតិចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើសំណុំ D ។2. មុខងារ Monotone
