គ្រួសាររបស់ Georg Kantor (1845-1918) បានផ្លាស់ប្តូរពីប្រទេសរុស្ស៊ីទៅប្រទេសអាល្លឺម៉ង់នៅពេលគាត់នៅក្មេង។ វានៅទីនោះដែលគាត់ចាប់ផ្តើមសិក្សាគណិតវិទ្យា។ នៅឆ្នាំ 1868 គាត់បានការពារនិក្ខេបបទរបស់គាត់លើទ្រឹស្តីលេខ ហើយបានទទួលបណ្ឌិតរបស់គាត់ពីសាកលវិទ្យាល័យប៊ែរឡាំង។ នៅអាយុ 27 ឆ្នាំ Kantor បានបោះពុម្ភអត្ថបទមួយដែលមានដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះបញ្ហាគណិតវិទ្យាដ៏ស្មុគស្មាញមួយ ហើយគំនិតដែលក្រោយមកបានរីកចម្រើនទៅជាទ្រឹស្តីដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់ - ទ្រឹស្តីកំណត់។ នៅឆ្នាំ 1878 គាត់បានណែនាំ និងបង្កើតគោលគំនិតថ្មីមួយចំនួនធំ បានផ្តល់និយមន័យនៃសំណុំ និងនិយមន័យដំបូងនៃ បន្តបន្ទាប់ ហើយបានបង្កើតគោលការណ៍នៃការប្រៀបធៀបសំណុំ។ គាត់បានផ្តល់បទបង្ហាញជាប្រព័ន្ធអំពីគោលការណ៍នៃគោលលទ្ធិនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់របស់គាត់នៅឆ្នាំ 1879-1884 ។

ការទទូចរបស់ Cantor លើការពិចារណាអំពីភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ព្រោះថាអ្វីដែលបានផ្តល់ឲ្យពិតប្រាកដ គឺជាព័ត៌មានដ៏ធំមួយសម្រាប់ពេលនោះ។ Kantor បានគិតពីទ្រឹស្ដីរបស់គាត់ថាជាការគណនាថ្មីទាំងស្រុងនៃគណិតវិទ្យា "transfinite" (នោះគឺ "superfinite") គណិតវិទ្យា។ យោងតាមគំនិតរបស់គាត់ ការបង្កើតការគណនាបែបនេះ ត្រូវបានគេសន្មត់ថាធ្វើបដិវត្តន៍មិនត្រឹមតែគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាន metaphysics និងទ្រឹស្ដីផងដែរ ដែលចាប់អារម្មណ៍ Cantor ស្ទើរតែច្រើនជាងការស្រាវជ្រាវវិទ្យាសាស្ត្រទៅទៀត។ គាត់គឺជាគណិតវិទូ និងជាទស្សនវិទូតែមួយគត់ដែលជឿថា ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដមិនត្រឹមតែមានទេ ប៉ុន្តែក៏ត្រូវបានយល់ដោយមនុស្សក្នុងន័យពេញលេញ ហើយការយល់ដឹងនេះនឹងលើកកំពស់គណិតវិទូ ហើយបន្ទាប់ពីពួកគេជាអ្នកទ្រឹស្ដីកាន់តែខ្ពស់ និងកាន់តែជិតស្និទ្ធនឹងព្រះ។ គាត់បានលះបង់ជីវិតរបស់គាត់ដើម្បីកិច្ចការនេះ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជឿជាក់យ៉ាងមុតមាំថាគាត់ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយព្រះដើម្បីធ្វើបដិវត្តន៍ដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ ហើយជំនឿនេះត្រូវបានគាំទ្រដោយការមើលឃើញអាថ៌កំបាំង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការប៉ុនប៉ងទីតានិករបស់ Georg Cantor បានបញ្ចប់ដោយចម្លែក៖ ភាពផ្ទុយគ្នាដែលមិនអាចគ្រប់គ្រងបានត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងទ្រឹស្តី ដែលបង្កឱ្យមានការសង្ស័យលើអត្ថន័យនៃគំនិតដែលចូលចិត្តរបស់ Cantor - "ជណ្តើរនៃ alephs" ដែលជាស៊េរីបន្តបន្ទាប់នៃលេខឆ្លងកាត់។ (លេខទាំងនេះត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងការរចនាដែលគាត់បានអនុម័ត: នៅក្នុងទម្រង់នៃអក្សរ aleph - អក្សរទីមួយនៃអក្ខរក្រមហេប្រ៊ូ។ )

ភាពមិននឹកស្មានដល់ និងភាពដើមនៃទស្សនៈរបស់គាត់ ទោះបីជាមានគុណសម្បត្តិទាំងអស់នៃវិធីសាស្រ្តក៏ដោយ នាំឱ្យមានការបដិសេធយ៉ាងខ្លាំងចំពោះការងាររបស់គាត់ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រភាគច្រើន។ អស់ជាច្រើនទស្សវត្សមកហើយ គាត់បានធ្វើការតស៊ូដោយរឹងរូសជាមួយសហសម័យ ទស្សនវិទូ និងគណិតវិទូស្ទើរតែទាំងអស់របស់គាត់ ដែលបានបដិសេធភាពស្របច្បាប់នៃការកសាងគណិតវិទ្យានៅលើមូលដ្ឋាននៃអថេរពិតប្រាកដ។ នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​បញ្ហា​ប្រឈម​មួយ​ដោយ​អ្នក​ខ្លះ​ចាប់​តាំង​ពី Cantor សន្មត​ថា​មាន​សំណុំ​ឬ​លំដាប់​លេខ​ដែល​មាន​ធាតុ​ជា​ច្រើន​គ្មាន​កំណត់។ គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Poincaré បានហៅទ្រឹស្តីនៃលេខឆ្លងកាត់ថាជា "ជំងឺ" ដែលគណិតវិទ្យាត្រូវតែព្យាបាលនៅថ្ងៃណាមួយ។ L. Kronecker - គ្រូបង្រៀនរបស់ Cantor និងជាគណិតវិទូដ៏គួរឱ្យគោរពបំផុតមួយរូបនៅក្នុងប្រទេសអាឡឺម៉ង់ ថែមទាំងបានវាយប្រហារ Cantor ដោយហៅគាត់ថា "charlatan", "renegade" និង "molester of youth"! មានតែត្រឹមឆ្នាំ 1890 នៅពេលដែលការអនុវត្តទ្រឹស្តីសំណុំទៅនឹងការវិភាគ និងធរណីមាត្រត្រូវបានទទួល ទ្រឹស្តីរបស់ Cantor ត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាជាសាខាឯករាជ្យនៃគណិតវិទ្យា។

វាជាការសំខាន់ក្នុងការកត់សម្គាល់ថា Kantor បានរួមចំណែកដល់ការបង្កើតសមាគមវិជ្ជាជីវៈ - សមាគមគណិតវិទ្យាអាឡឺម៉ង់ដែលបានរួមចំណែកដល់ការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យានៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់។ គាត់ជឿថាអាជីពវិទ្យាសាស្ត្ររបស់គាត់បានទទួលរងនូវការរើសអើងប្រឆាំងនឹងការងាររបស់គាត់ ហើយគាត់សង្ឃឹមថាអង្គការឯករាជ្យមួយនឹងអនុញ្ញាតឱ្យគណិតវិទូវ័យក្មេងធ្វើការវិនិច្ឆ័យដោយឯករាជ្យនូវគំនិតថ្មីៗ និងអភិវឌ្ឍពួកគេ។ គាត់​ក៏​ជា​អ្នក​ផ្ដួចផ្ដើម​នៃ​ការ​កោះ​ប្រជុំ​សមាជ​គណិត​វិទ្យា​អន្តរជាតិ​លើក​ដំបូង​នៅ​ទីក្រុង Zurich។

Kantor មានការលំបាកជាមួយនឹងភាពផ្ទុយគ្នានៃទ្រឹស្តីរបស់គាត់ និងការលំបាកក្នុងការទទួលយកវា។ ចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1884 គាត់បានទទួលរងនូវជំងឺធ្លាក់ទឹកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង ហើយប៉ុន្មានឆ្នាំក្រោយមកគាត់បានចូលនិវត្តន៍ពីសកម្មភាពវិទ្យាសាស្ត្រ។ Kantor បានស្លាប់ដោយសារជំងឺខ្សោយបេះដូងនៅក្នុងមន្ទីរពេទ្យវិកលចរិកក្នុងទីក្រុង Halle ។

Kantor បានបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃឋានានុក្រមនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដែលនីមួយៗគឺ "ធំជាង" ជាងកំណែមុន។ ទ្រឹស្ដីរបស់គាត់អំពីសំណុំ transfinite ដោយបានរួចផុតពីការសង្ស័យ និងការវាយប្រហារជាច្រើនឆ្នាំ ទីបំផុតបានរីកចម្រើនទៅជាកម្លាំងបដិវត្តន៍ដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងគណិតវិទ្យាសតវត្សទី 20 ។ ហើយបានក្លាយជាគ្រឹះរបស់វា។

ការចាប់ផ្តើមនៃសតវត្សទី 19 ត្រូវបានសម្គាល់ដោយការរកឃើញនៃធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean ។ នៅឆ្នាំ 1825 - Nikolai Vasilyevich Lobachevsky បន្តិចក្រោយមកនៅឆ្នាំ 1831 - Janos Bolyai ។ ហើយជោគវាសនានៃការរកឃើញទាំងនេះគឺសោកនាដកម្មខ្លាំងណាស់។ ទាំងការរកឃើញទីពីរ មិនត្រូវបានទទួលស្គាល់ទេ។ រហូតដល់ទស្សវត្សរ៍ឆ្នាំ 1860 មុនពេលការរកឃើញធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean - Riemann និងអ្នកដទៃ។ ហើយអ្នករកឃើញធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean បានស្លាប់ទៅហើយ! ហើយឥឡូវនេះ - ទ្រឹស្តីនៃសំណុំ, ដែលមិនត្រូវបានទទួលស្គាល់ផងដែរ scolded ... អូ, ចម្លែកនេះសតវត្សទី XIX ...

Cantor), Georg (ថ្ងៃទី 3 ខែមីនា ឆ្នាំ 1845 - ថ្ងៃទី 6 ខែមករា ឆ្នាំ 1918) - គណិតវិទូ និងអ្នកគិត អ្នកបង្កើតទ្រឹស្ដីសំណុំ ដែលមានមូលដ្ឋានផ្ទាល់ខ្លួន។ វត្ថុនៃសំណុំគ្មានកំណត់។ ពូជ។ នៅ Petersburg ។ ពីឆ្នាំ 1872 - prof ។ សាកលវិទ្យាល័យនៅ Halle ។ គាត់បានស្លាប់នៅ Halle ក្នុងមន្ទីរពេទ្យវិកលចរិក។ គ្លីនិក។ ដើម្បីបង្កើតទ្រឹស្តីនៃសំណុំ (1870) គាត់ត្រូវបានដឹកនាំដោយការសិក្សាអំពីត្រីកោណមាត្រ។ ជួរ។ រយៈពេលច្នៃប្រឌិតនៅក្នុងជីវិតរបស់ K. ដែលមានរយៈពេលរហូតដល់ឆ្នាំ 1897 (ត្រូវបានរំខានដោយវិបត្តិខាងវិញ្ញាណក្នុងឆ្នាំ 1885) ត្រូវបានសម្គាល់ដោយ Op. "On infinite point linear manifolds" ("?ber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten", 1879–84), "On the justification of theory of transfinite sets" ("Beitr?ge zur Begr?ndung der transfiniten Mengenlehre", ឆ្នាំ 1895–99 ) ។ល។ K. បានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះជាទ្រឹស្តីអរូបីនៃសំណុំ [សិក្សាសំណុំតែពីទស្សនៈ។ "លេខ" របស់ពួកគេ (cardinality នៃសំណុំ) និងទំនាក់ទំនងលំដាប់រវាងធាតុរបស់ពួកគេ (ប្រភេទនៃសំណុំ)] និងទ្រឹស្តីនៃសំណុំចំណុច (ឧទាហរណ៍សំណុំដែលមានចំណុចនៃបន្ទាត់លេខហើយជាទូទៅលេខ n- ទំហំវិមាត្រ) ។ K. គឺជាអ្នកដំបូងគេដែលបង្កើតទ្រឹស្តីនៃចំនួនពិត ដែលនៅតែ (រួមជាមួយនឹងទ្រឹស្ដីរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអាល្លឺម៉ង់ R. Dedekind និង K. Weierstrass) ជាធម្មតាត្រូវបានគេប្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការសាងសង់គណិតវិទ្យា។ ការវិភាគ។ ទ្រឹស្ដីកំណត់របស់ Cantor បានសម្គាល់ជំហានដ៏សំខាន់មួយឆ្ពោះទៅមុខក្នុងការសិក្សាអំពីគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ការ​បង្កើត​របស់​វា​គឺ​ជា​បដិវត្តន៍​ក្នុង​គ្រប់​យ៉ាង​ក្នុង​គណិតវិទ្យា។ ចំណេះដឹង។ ពេល​ចាប់ផ្តើម។ សតវត្សទី 20 គណិតវិទ្យាទាំងអស់ត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញនៅលើមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីសំណុំ; ការអភិវឌ្ឍន៍ និងការជ្រៀតចូលទៅក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យាបាននាំឱ្យមានការលេចឡើងនៃវិទ្យាសាស្ត្រថ្មី។ ឧទាហរណ៍ វិន័យ។ topology ពិជគណិតអរូបី។ល។ ក្រោយមក ភាពចម្លែកត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងទ្រឹស្តីសំណុំ ដែលផ្តល់កម្លាំងចិត្តថ្មីដល់ការសិក្សាអំពីតក្កវិជ្ជា។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា និងនាំទៅរកការលេចឡើងនៃនិន្នាការថ្មីនៅក្នុងទស្សនវិជ្ជារបស់វា។ ការបកស្រាយ (ឧ. វិចារណញាណ) ។ ភាពផ្ទុយគ្នាដំបូងនៃប្រភេទនេះ (ដែលទាក់ទងនឹងគំនិតនៃអំណាចនៃសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់) ត្រូវបានរកឃើញដោយ K. ខ្លួនគាត់ក្នុងឆ្នាំ 1899 ។ គណិតវិទ្យាដោយផ្អែកលើការអនុវត្តដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីកំណត់របស់ K. នាពេលបច្ចុប្បន្ន។ ពេលវេលាត្រូវបានគេហៅថាបុរាណ។ សូមមើលគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្ដីកំណត់ គណិតវិទ្យាគ្មានកំណត់។ ហ្វីឡូស។ ទិដ្ឋភាពនៃគំនិតរបស់ K. មាននៅក្នុងការទទួលស្គាល់នៃភាពស្របច្បាប់ពេញលេញនៃគំនិតនៃការពិតគ្មានដែនកំណត់។ K. បែងចែកគណិតវិទ្យាពីរប្រភេទ។ infinity: ភាពគ្មានដែនកំណត់មិនត្រឹមត្រូវ (សក្តានុពល ឬ syncategorematic, infinite) និង infinite ត្រឹមត្រូវ (ពិតជាគ្មានកំណត់) ដែលយល់ដោយ K. ថាជាអ្វីមួយដែលពេញលេញ ជាចំនួនកំណត់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងសំណួរនៃការពិត, គណិតវិទ្យា គោលគំនិត K. សម្គាល់៖ វត្ថុបញ្ឆិតបញ្ឆិតបញ្ឆិតបញ្ឆិតបញ្ឆិតបញ្ឆិតបញ្ឆៀង ឬភាពពិតជាក់ស្តែង (តក្កវិជ្ជាផ្ទៃក្នុងរបស់ពួកគេ។ ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា) និងការបំប្លែងមុខវិជ្ជា ឬអន្តរកាល ការពិតរបស់ពួកគេ ដែលគាត់បានយល់ពីការឆ្លើយឆ្លងរវាងគណិតវិទ្យា។ គំនិត និងដំណើរការនៃពិភពពិត។ ផ្ទុយ​ទៅ​នឹង Kronecker ដែល​បាន​បដិសេធ​វិធីសាស្ត្រ​ទាំងនោះ​ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​អត្ថិភាព​នៃ​គណិតវិទ្យា។ វត្ថុ, to-rye មិនទាក់ទងនឹងការសាងសង់ឬការគណនារបស់ពួកគេ K. បានដាក់ចេញនូវនិក្ខេបបទថា "ខ្លឹមសារនៃគណិតវិទ្យា - នៅក្នុងសេរីភាពរបស់វា" DOS ។ អត្ថន័យ to-rogo ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការសន្មត់នៃការសាងសង់នៃគណិតវិទ្យាអរូបីដែលស្របគ្នាដោយតក្កវិជ្ជា។ ប្រព័ន្ធ, សំណួរនៃ "ការពិតបណ្តោះអាសន្ន" ទៅ-rykh ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការប្រៀបធៀបពួកគេជាមួយនឹងដំណើរការនៃការពិត។ ផលផ្លែនៃការគិតរបស់ K. ត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាក្នុងសតវត្សទី 20 ដែលនាំមកនូវឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការអនុវត្តគំនិតគណិតវិទ្យាអរូបីដែលទើបនឹងកើត។ និងឡូជីខល។ ទ្រឹស្តីក្នុងរូបវិទ្យា បច្ចេកវិទ្យា ភាសាវិទ្យា និងវិស័យផ្សេងៗទៀត។ ដោយទស្សនវិជ្ជារបស់ពួកគេ។ ទស្សនៈ K. គឺជាឧត្តមគតិដែលមានគោលបំណង។ គាត់បានចាត់ទុកភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដនៅក្នុងគណិតវិទ្យាគឺគ្រាន់តែជាទម្រង់មួយនៃទម្រង់នៃអត្ថិភាពនៃការពិតជាទូទៅ។ ក្រោយមកទៀតទទួលបាន "ភាពពេញលេញខ្ពស់បំផុត" នៅក្នុងអត្ថិភាពឯករាជ្យទាំងស្រុងពីពិភពលោក - នៅក្នុងព្រះ។ ព្រះគឺពិតជាគ្មានកំណត់ឬដាច់ខាត; លើសពីនេះ ភាពមិនចេះរីងស្ងួត យោងទៅតាម K. មានកម្មវត្ថុនៅក្នុងពិភពខាងក្រៅ។ K. បានរិះគន់ Hegel ដោយបដិសេធគ្រាមភាសារបស់គាត់ដោយហេតុផលថាស្នូលរបស់វាមានភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះហើយ ការយកចិត្តទុកដាក់ ជាពិសេសនៅក្នុងរយៈពេលចុងក្រោយនៃជីវិតរបស់គាត់ K. បានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះបញ្ហាខាងទ្រឹស្ដី។ ទស្សនវិជ្ជាសាសនារបស់គាត់។ ទស្សនៈបានកើតឡើងក្រោមឥទិ្ធពលរបស់អារីស្តូត ផ្លាតូ និងបញ្ញវន្ត។ អុប៖ Gesammelte Abhandlungen..., V., 1932. Lit.: Fraenkel?., Georg Cantor, Lpz., 1930 ។ A. Konoplyankin ។ ទីក្រុងម៉ូស្គូ។

និយមន័យដ៏អស្ចារ្យ

និយមន័យមិនពេញលេញ ↓

KANTOR Georg (1845-1918)

គណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ តក្កវិជ្ជា អ្នកទ្រឹស្ដី អ្នកបង្កើតទ្រឹស្ដីនៃសំណុំ transfinite (គ្មានកំណត់) ដែលមានឥទ្ធិពលសម្រេចចិត្តលើការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យានៅវេននៃសតវត្សទី 19 និង 20 ។ បានបញ្ចប់ការសិក្សាពីសាកលវិទ្យាល័យប៊ែរឡាំង (១៨៦៧) សាស្ត្រាចារ្យនៅសាកលវិទ្យាល័យ Halle (១៨៧៩-១៩១៣)។ ការងារចម្បង៖ "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគោលលទ្ធិទូទៅនៃពូជ" (1902) ។ ការស្រាវជ្រាវរបស់ K. ដែលផ្តួចផ្តើមដោយតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាសង្កត់ក្នុងទ្រឹស្តីនៃស៊េរី Fourier ដែលគ្មានកំណត់ បានក្លាយជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវជាមូលដ្ឋានបន្ថែមទៀតក្នុងទិសដៅនៃទ្រឹស្តីនៃសំណុំលេខ ដែលគាត់បានណែនាំ៖ និយមន័យទូទៅនៃសំណុំ, លេខ transfinite, គំនិតទូទៅនៃ "អំណាចនៃសំណុំ" (ជាចំនួននៃធាតុនៃសំណុំ), cardinalities នៃសំណុំ transfinite ជាច្រើន។ នៅក្រោមសំណុំ K. យល់ថា "... ជាទូទៅអ្វីៗជាច្រើនដែលអាចគិតបានថាជាសំណុំនៃធាតុជាក់លាក់ណាមួយដែលអាចភ្ជាប់ជាទាំងមូលដោយមានជំនួយពីច្បាប់មួយចំនួន ... " . មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគោលគំនិតនៃសំណុំមួយ គឺជាទង្វើនៃការរួមបញ្ចូលគ្នារវាងវត្ថុផ្សេងគ្នាចូលទៅក្នុងទាំងមូលតែមួយ ដែលកំណត់ជាសំណុំ។ ធាតុនៃសំណុំអាចជាវត្ថុនៃការពិតជាក់ស្តែង វិចារណញាណរបស់មនុស្ស ឬបញ្ញា។ វត្តមាននៅក្នុងនិយមន័យនៃ K. នៃឃ្លា "... សំណុំនៃធាតុមួយចំនួនដែលអាចភ្ជាប់ជាទាំងមូលដោយមានជំនួយពីច្បាប់មួយចំនួន ... " កំណត់ទាំងស្រុងនូវសំណុំនៃធាតុ ឬច្បាប់របស់វា (លក្ខណៈលក្ខណៈ, លក្ខណៈសម្បត្តិ) យោងទៅតាមសកម្មភាពនៃការបញ្ចូលគ្នានៃវត្ថុផ្សេងៗកើតឡើងជាទាំងមូលតែមួយ - ហ្វូងមនុស្ស។ ដូច្នេះ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្ដីសំណុំ មិនមែនជាគោលគំនិតនៃសំណុំខ្លួនវាទេ ប៉ុន្តែជាទំនាក់ទំនងនៃកម្មសិទ្ធិរបស់វត្ថុទៅនឹងសំណុំ។ ទំនៀមទម្លាប់នៃការបែងចែកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ទៅជាជាក់ស្តែង និងសក្តានុពល ត្រលប់ទៅអារីស្តូតវិញ៖ "ជម្រើសនៅតែមាន យោងទៅតាមភាពគ្មានទីបញ្ចប់មានសក្តានុពល... តាមពិតភាពគ្មានទីបញ្ចប់មិនមានទេ" (អារីស្តូត "រូបវិទ្យា") ។ ប្រពៃណីនេះត្រូវបានបន្តដោយ Descartes ("Infinity is recognizable, but not begnizable") និងសូម្បីតែនៅក្នុងសម័យ K. Gauss ("នៅក្នុងគណិតវិទ្យា តម្លៃគ្មានកំណត់មិនអាចប្រើជាអ្វីមួយចុងក្រោយបានទេ ភាពគ្មានទីបញ្ចប់គឺគ្មានអ្វីក្រៅពី facon de parle / របៀបនៃការបញ្ចេញមតិ - С.С / មានន័យថាដែនកំណត់ដែលបរិមាណខ្លះមានទំនោរនៅពេលដែលអ្នកដទៃថយចុះដោយគ្មានកំណត់") ។ K. ដូចដែល M. Kline បានសរសេរថាបានចាកចេញពីប្រពៃណីដ៏វែងមួយ "រួចទៅហើយដោយការពិតដែលថាគាត់បានចាត់ទុកសំណុំគ្មានកំណត់ថាជាអង្គភាពតែមួយ លើសពីនេះទៅទៀត អង្គភាពអាចចូលទៅដល់ចិត្តមនុស្សបាន"។ ការ​មិន​យល់​ស្រប​យ៉ាង​ខ្លាំង​ជាមួយ​នឹង​មិត្ត​គណិត​វិទូ​របស់​គាត់​ចំពោះ​ទស្សនៈ​របស់​គាត់​អំពី​ភាព​គ្មាន​ដែន​កំណត់​គណិតវិទ្យា K. បានជំរុញឱ្យមានតម្រូវការដើម្បីណែនាំសំណុំគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដដោយការពិតដែលថា "ភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតជាអាស្រ័យទៅលើភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដដែលមានលក្ខណៈឡូជីខលនាំមុខវា" ។ ឧទាហរណ៍បុរាណនៃសំណុំគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដយោងទៅតាម K. គឺជាការពង្រីកទសភាគនៃចំនួនមិនសមហេតុផល ចាប់តាំងពី រាល់ "ផ្នែកកំណត់នៃការរលួយបែបនេះ ផ្តល់តែការប៉ាន់ប្រមាណកំណត់ចំពោះចំនួនមិនសមហេតុផល។" នៅឆ្នាំ 1873 K. បានចាប់ផ្តើមស្រាវជ្រាវលើការចាត់ថ្នាក់នៃសំណុំគ្មានកំណត់។ បន្តិចក្រោយមក K. បានកំណត់សំណុំគ្មានកំណត់ជាសំណុំដែលមានការឆ្លើយឆ្លងពីមួយទៅមួយជាមួយនឹងសំណុំរងរបស់វា (ដែលខុសពីសំណុំទាំងមូល)។ ជាឧទាហរណ៍ ផលវិបាកមួយនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺ លទ្ធភាពនៃការបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយរវាងចំនុចនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងចំនុចនៃ manifold នៃវិមាត្រណាមួយ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់នៃសំណុំគ្មានកំណត់ K. អាចបង្កើតទំនាក់ទំនងនៃសមភាព (អំណាចស្មើគ្នា) សម្រាប់គូនីមួយៗ។ នៅឆ្នាំ 1874 K. បានបង្ហាញភាពមិនអាចរាប់បាននៃសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ ដោយបង្កើតឱ្យមានអត្ថិភាពនៃគូនៃសំណុំគ្មានកំណត់ជាមួយនឹង cardinalities ផ្សេងគ្នា (សំណុំមិនស្មើគ្នា) ។ ជាប្រព័ន្ធ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីរបស់គាត់អំពីភាពមិនចេះរីងស្ងួត K. ដែលបានគូសបញ្ជាក់នៅក្នុងឆ្នាំ 1879-1884 ។ មូលដ្ឋាននៃឋានានុក្រមនៃភាពគ្មានព្រំដែន K. ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងពាក់កណ្តាលដំបូងនៃទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1890 ដោយទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញរបស់ K.-Bernstein ថា "ប្រសិនបើសំណុំពីរ A និង B គឺដូចជាមានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាង សំណុំ A និងសំណុំរងនៃសំណុំ B និងរវាងសំណុំ B និងសំណុំរងនៃសំណុំ A បន្ទាប់មកវាក៏អាចបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយរវាងសំណុំ A និងសំណុំ B” ពោលគឺឧ។ បង្កើតសមមូល (សមមូល) នៃសំណុំ A និង B. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ K. បានកំណត់ថា ប្រសិនបើសំណុំ A អាចត្រូវបានដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់នឹងមួយជាមួយនឹងសំណុំរង B របស់វា ហើយសំណុំ B មិនអាចដាក់នៅក្នុង ការឆ្លើយឆ្លងពីមួយទៅមួយជាមួយនឹងសំណុំរង A របស់វា បន្ទាប់មកសំណុំ B តាមនិយមន័យគឺធំជាងសំណុំ A។ យោងទៅតាម M. Klein និយមន័យបែបនេះជាទូទៅចំពោះករណីនៃសំណុំគ្មានកំណត់នូវអ្វីដែល "ជាក់ស្តែងភ្លាមៗនៅក្នុងករណី នៃ​សំណុំ​កំណត់»។ តាមវិធីសាស្រ្តនេះ K. បានបង្ហាញថាសម្រាប់ "សំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ តែងតែមានសំណុំធំជាងសំណុំដើម" (ឧទាហរណ៍ សំណុំនៃសំណុំរងទាំងអស់នៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺធំជាងសំណុំដើម) ។ ការពិតដែលថារវាងមហាអំណាចទាំងពីរអាចបង្កើតទំនាក់ទំនង "សមភាព" "ច្រើន" និង "តិចជាង" បានផ្តល់ឱ្យ K. មានហេតុផលដើម្បីហៅ "លេខ" និមិត្តសញ្ញាសម្រាប់កំណត់អត្តសញ្ញាណនៃសំណុំគ្មានកំណត់ (សម្រាប់សំណុំកំណត់ និមិត្តសញ្ញាសម្រាប់កំណត់អត្តសញ្ញាណរបស់ពួកគេគឺជាលេខនៃស៊េរីធម្មជាតិដែលកំណត់ចំនួនធាតុនៅក្នុងសំណុំនីមួយៗដែលសមមូល)។ ផ្ទុយទៅនឹងលេខនៃស៊េរីធម្មជាតិ [លេខធម្មតា / ពីគាត់។ Die Ordinalzahl (Ordnungzahl) - លេខធម្មតា - C.C.I, K. ហៅថាលេខខា (ពីអាល្លឺម៉ង់ Die Kardinalzahl - លេខបរិមាណ)] "លេខ" ដែលកំណត់អំណាចនៃសំណុំគ្មានកំណត់។ K. ជឿថាតំបន់នៃតម្លៃជាក់លាក់មិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះតម្លៃកំណត់ទេ tk ។ អំពី "ភាពមិនចេះរីងស្ងួតពិតប្រាកដក៏អាចជាចំណេះដឹងដែលអាចបង្ហាញបានដែរ"។ ប្រសិនបើគោលគំនិតនៃ cardinality គឺជាគំនិតបន្ថែមនៃ "បរិមាណ" សម្រាប់សំណុំគ្មានកំណត់ នោះគំនិតនៃលេខខាបានក្លាយជាការពង្រីកបន្ថែមនៃគំនិតនៃ "ចំនួនទូទៅ" ។ K. ការពង្រីកគំនិតនៃ "ចំនួន" នៅក្នុងអាណាចក្រនៃ Infinite បានសម្គាល់ការផ្លាស់ប្តូរនៃគណិតវិទ្យាទៅកម្រិតថ្មីនៃគុណភាពនៃការគិត។ តាមពិតអំណាចនៃសំណុំយោងទៅតាម K. ឆ្លុះបញ្ចាំងនៅក្នុងគំនិតរបស់អ្នកស្រាវជ្រាវរបស់មនុស្សទំនាក់ទំនងជាក់លាក់នៃសំណុំ i.e. cardinality នៃសំណុំនៅក្នុង K. គឺជាលក្ខណៈទូទៅបំផុតនៃសំណុំគ្មានកំណត់ដែលសមមូល។ Bolzano នៅដើមសតវត្សទី 19 ។ បានមកដល់គំនិតនៃការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងសំណុំ (ហើយជាលទ្ធផលទៅគំនិតនៃ cardinalities នៃសំណុំនិងការបញ្ចេញមតិរបស់ពួកគេដោយលេខខា) ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្រោម "បរិមាណ" រហូតដល់ពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 19 ។ ទំហំត្រូវបានយល់។ ហើយចាប់តាំងពីបរិមាណនីមួយៗអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលេខដោយមធ្យោបាយនៃឯកតារង្វាស់ដែលបានជ្រើសរើស គំនិតនៃបរិមាណត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតនៃចំនួន។ កវី Bolzano ត្រូវបានបង្ខំឱ្យដកថយមុនពេលមានការលំបាកធ្ងន់ធ្ងរដែលកើតឡើងពីគំនិតនៃ "បរិមាណ" ។ គណិតវិទ្យានៅសម័យនោះ ជាទូទៅត្រូវបានគេកំណត់ថាជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាងបរិមាណ និងលេខដែលបង្ហាញពួកគេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូចដែល VA Volkov សរសេរថា "មិនថាប្រភេទបរិមាណ និងទំនាក់ទំនងរវាងពួកវាមានសារៈសំខាន់យ៉ាងណាសម្រាប់ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃគណិតវិទ្យា ពួកគេមិនគ្របដណ្តប់ភាពសម្បូរបែបនៃទំនាក់ទំនងបរិមាណផ្សេងៗ និងទម្រង់លំហនៃពិភពពិតនោះទេ។" K. ក៏បានណែនាំគោលគំនិតនៃ "ចំណុចកំណត់នៃសំណុំដែលបានមកពី" ទៅក្នុងគណិតវិទ្យា បង្កើតឧទាហរណ៍នៃសំណុំល្អឥតខ្ចោះ ("សំណុំ K") និងបង្កើត axioms មួយនៃការបន្ត ("axiom K") ។ ផលវិបាកពីទ្រឹស្ដី K. បានបង្ហាញភាពផ្ទុយគ្នានៅក្នុងផ្នែកដែលបានសិក្សាយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។ អ្នកដឹកនាំគណិតវិទ្យានៅសម័យនោះបានហៅភាពផ្ទុយគ្នាទាំងនេះថា paradoxes (antinomies) សម្រាប់ហេតុផលតែមួយគត់ដែលថា paradox "អាចពន្យល់បាន ហើយគណិតវិទូមិនបានទុកក្តីសង្ឃឹមថាពួកគេនឹងអាចដោះស្រាយការលំបាកទាំងអស់ដែលពួកគេបានជួបប្រទះ" ។ ទ្រឹស្ដីនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់នៃគណិតវិទ្យារបស់ K. មិនដូចគណិតវិទូឈានមុខគេនៅសម័យនោះទេ ត្រូវបានគាំទ្រដោយ Russell និង Hilbert ។ Russell ពិចារណា K. ម្នាក់ក្នុងចំណោមអ្នកគិតដ៏អស្ចារ្យនៃសតវត្សទី 19 បានសរសេរនៅឆ្នាំ 1910 ថាដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា K. "ដែលបានបិទបាំងអាថ៌កំបាំងនៃអថេរគណិតវិទ្យាជាយូរមកហើយគឺប្រហែលជាសមិទ្ធិផលដ៏អស្ចារ្យបំផុតដែលសតវត្សទី / សតវត្សទី 20 របស់យើងគួរតែជា។ មានមោទនភាពចំពោះ - S.S./". Hilbert ក្នុងឆ្នាំ 1926 បានគិតថាទ្រឹស្តីរបស់ K. - គឺជា "ផ្កាដ៏រីករាយបំផុតនៃការគិតគណិតវិទ្យានិងជាសមិទ្ធិផលដ៏អស្ចារ្យបំផុតមួយនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្សនៅក្នុងវិស័យនៃការគិតសុទ្ធ" ។ និង E. Borel និង A. Lebesgue រួចហើយនៅដើមសតវត្សទី 20 ។ បានធ្វើឱ្យគំនិតទូទៅនៃអាំងតេក្រាល និងបានបង្កើតទ្រឹស្តីនៃការវាស់វែង និងការវាស់វែង ដែលផ្អែកលើទ្រឹស្តីរបស់ K. នៅឆ្នាំ 1897 K. ត្រូវបានបង្ខំឱ្យបញ្ឈប់ការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាសកម្មដោយសារតែការតស៊ូយ៉ាងខ្លាំងចំពោះគំនិតរបស់គាត់ (ជាពិសេសពី L. Kronecker ដែលហៅថា K. a charlatan) ដាក់ទៅមុខហៅថា "ច្បាប់នៃការអភិរក្សនៃភាពល្ងង់ខ្លៅ"៖ "វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការបដិសេធការសន្និដ្ឋានខុសណាមួយនៅពេលដែលវាបានមកដល់ហើយវាបានរីករាលដាលគ្រប់គ្រាន់ហើយវាកាន់តែតិច។ ត្រូវ​បាន​គេ​យល់ កាន់​តែ​រឹងរូស​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រកាន់​យក»។ K. តែងតែចែករំលែកគំនិតទស្សនវិជ្ជារបស់ផ្លាតូ ហើយជឿថានៅក្នុងពិភពលោកជុំវិញយើង "គំនិតមានដោយឯករាជ្យរបស់មនុស្ស។ ហើយដើម្បីដឹងពីការពិតនៃគំនិតទាំងនេះ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវគិតអំពីគំនិតទាំងនោះប៉ុណ្ណោះ"។ K. ក្នុងនាមជា Lutheran ខ្នះខ្នែងស្របតាមប្រពៃណីសាសនាដ៏យូរនៃគ្រួសាររបស់គាត់ ជារឿយៗបានប្រើអំណះអំណាងខាងទ្រឹស្ដីនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់គាត់។ នេះជាភស្តុតាងជាពិសេសបន្ទាប់ពីការចាកចេញរបស់គាត់ពីគណិតវិទ្យា។

Georg Cantor (រូបថតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលក្រោយនៅក្នុងអត្ថបទ) គឺជាគណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដែលបង្កើតទ្រឹស្ដីសំណុំនិងណែនាំគំនិតនៃលេខឆ្លងកាត់ដែលមានទំហំធំមិនកំណត់ប៉ុន្តែខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ គាត់ក៏បានកំណត់លេខធម្មតា និងខា និងបង្កើតលេខនព្វន្ធរបស់ពួកគេ។

Georg Kantor: ជីវប្រវត្តិសង្ខេប

កើតនៅ St. Petersburg នៅថ្ងៃទី 03/03/1845 ។ ឪពុករបស់គាត់គឺជាជនជាតិ Dane នៃជំនឿប្រូតេស្តង់ Georg-Valdemar Kantor ដែលបានចូលរួមក្នុងពាណិជ្ជកម្មរួមទាំងនៅផ្សារហ៊ុន។ ម្តាយរបស់គាត់ Maria Bem គឺជាកាតូលិក ហើយមកពីគ្រួសារតន្ត្រីករដ៏ល្បីមួយ។ នៅពេលដែលឪពុករបស់ Georg បានធ្លាក់ខ្លួនឈឺនៅឆ្នាំ 1856 ក្រុមគ្រួសារបានផ្លាស់ប្តូរដំបូងទៅ Wiesbaden ហើយបន្ទាប់មកទៅ Frankfurt ដើម្បីស្វែងរកអាកាសធាតុស្រាលជាងមុន។ ទេពកោសល្យគណិតវិទ្យារបស់ក្មេងប្រុសនេះបានបង្ហាញខ្លួនមុនថ្ងៃខួបកំណើតទី 15 របស់គាត់ខណៈពេលដែលគាត់កំពុងសិក្សានៅសាលាឯកជន និងកន្លែងហាត់ប្រាណនៅ Darmstadt និង Wiesbaden ។ នៅទីបញ្ចប់ Georg Cantor បានបញ្ចុះបញ្ចូលឪពុករបស់គាត់អំពីចេតនាដ៏មុតមាំរបស់គាត់ឱ្យក្លាយជាអ្នកគណិតវិទ្យា មិនមែនវិស្វករទេ។

បន្ទាប់ពីការសិក្សារយៈពេលខ្លីនៅសាកលវិទ្យាល័យ Zurich ក្នុងឆ្នាំ 1863 លោក Kantor បានផ្ទេរទៅសាកលវិទ្យាល័យ Berlin ដើម្បីសិក្សារូបវិទ្យា ទស្សនវិជ្ជា និងគណិតវិទ្យា។ នៅទីនោះគាត់ត្រូវបានបង្រៀន៖

• Karl Theodor Weierstrass ដែលមានជំនាញក្នុងការវិភាគគឺប្រហែលជាឥទ្ធិពលដ៏អស្ចារ្យបំផុតរបស់ Georg ។
• Ernst Eduard Kummer ដែលបង្រៀនលេខនព្វន្ធខ្ពស់;
• Leopold Kroneker អ្នកទ្រឹស្តីលេខដែលក្រោយមកបានប្រឆាំងនឹង Cantor ។

បន្ទាប់ពីចំណាយពេលមួយឆមាសនៅសាកលវិទ្យាល័យ Göttingen ក្នុងឆ្នាំ 1866 នៅឆ្នាំបន្ទាប់ Georg បានសរសេរនិក្ខេបបទថ្នាក់បណ្ឌិតដែលមានចំណងជើងថា "នៅក្នុងគណិតវិទ្យា សិល្បៈនៃការសួរសំណួរមានតម្លៃជាងការដោះស្រាយបញ្ហា" ទាក់ទងនឹងបញ្ហាដែល Carl Friedrich Gauss បានទុកចោលនៅក្នុង Disquisitiones Arithmeticae របស់គាត់។ (១៨០១)។ បន្ទាប់ពីការបង្រៀនខ្លីៗនៅសាលា Berlin School for Girls លោក Kantor បានចាប់ផ្តើមធ្វើការនៅសកលវិទ្យាល័យ Halle ជាកន្លែងដែលគាត់ស្នាក់នៅរហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃជីវិតរបស់គាត់ ជាគ្រូដំបូងពីឆ្នាំ 1872 ជាជំនួយការសាស្រ្តាចារ្យ និងពីឆ្នាំ 1879 ជាសាស្រ្តាចារ្យ។

ស្រាវជ្រាវ

នៅដើមដំបូងនៃឯកសារចំនួន 10 ពីឆ្នាំ 1869 ដល់ឆ្នាំ 1873 លោក Georg Cantor បានចាត់ទុកទ្រឹស្តីលេខ។ ការងារនេះបានឆ្លុះបញ្ចាំងពីចំណង់ចំណូលចិត្តរបស់គាត់ចំពោះប្រធានបទ ការសិក្សារបស់គាត់អំពី Gauss និងឥទ្ធិពលរបស់ Kronecker ។ តាមសំណូមពររបស់ Heinrich Eduard Heine សហសេវិករបស់ Cantor នៅ Halle ដែលទទួលស្គាល់ទេពកោសល្យគណិតវិទ្យារបស់គាត់ គាត់បានងាកទៅរកទ្រឹស្តីនៃស៊េរីត្រីកោណមាត្រ ដែលគាត់បានពង្រីកគំនិតនៃចំនួនពិត។

ដោយផ្អែកលើការងារលើមុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញដោយគណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ Bernhard Riemann ក្នុងឆ្នាំ 1854 ក្នុងឆ្នាំ 1870 Kantor បានបង្ហាញថាមុខងារបែបនេះអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងវិធីតែមួយគត់ - ដោយស៊េរីត្រីកោណមាត្រ។ ការពិចារណាលើសំណុំនៃលេខ (ចំណុច) ដែលមិនផ្ទុយនឹងតំណាងបែបនេះបាននាំឱ្យគាត់ជាដំបូងនៅឆ្នាំ 1872 ដល់និយមន័យក្នុងន័យនៃចំនួនសនិទាន (ប្រភាគនៃចំនួនគត់) ហើយបន្ទាប់មកដល់ការចាប់ផ្តើមនៃការងារលើការងារជីវិតរបស់គាត់ កំណត់ ទ្រឹស្តី និងគោលគំនិតលេខឆ្លងកាត់។

ទ្រឹស្តីកំណត់

Georg Cantor ដែលទ្រឹស្ដីកំណត់របស់វាមានប្រភពចេញពីការឆ្លើយឆ្លងជាមួយ Richard Dedekind ដែលជាគណិតវិទូនៅវិទ្យាស្ថានបច្ចេកទេស Braunschweig ជាមិត្តនឹងគាត់តាំងពីកុមារភាព។ ពួកគេបានឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថា សំណុំមិនថាកំណត់ ឬគ្មានកំណត់ គឺជាបណ្តុំនៃធាតុ (ឧទាហរណ៍ លេខ (0, ±1, ±2...)) ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិជាក់លាក់មួយ ខណៈពេលដែលរក្សាបាននូវលក្ខណៈបុគ្គលរបស់ពួកគេ។ ប៉ុន្តែនៅពេលដែល Georg Cantor បានប្រើការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយ (ឧទាហរណ៍ (A, B, C) ទៅ (1, 2, 3)) ដើម្បីសិក្សាពីលក្ខណៈរបស់ពួកគេ គាត់បានដឹងភ្លាមៗថាពួកគេខុសគ្នានៅក្នុងកម្រិតនៃសមាជិកភាពរបស់ពួកគេ។ ទោះបីជាពួកវាជាសំណុំគ្មានកំណត់ ពោលគឺសំណុំជាផ្នែកមួយ ឬសំណុំរងដែលរួមបញ្ចូលវត្ថុជាច្រើនដូចជាវាផ្ទាល់។ វិធីសាស្រ្តរបស់គាត់មិនយូរប៉ុន្មានបានផ្តល់លទ្ធផលដ៏អស្ចារ្យ។

នៅឆ្នាំ 1873 លោក Georg Cantor (គណិតវិទូ) បានបង្ហាញថា លេខសនិទាន ទោះបីជាគ្មានកំណត់ក៏ដោយ គឺអាចរាប់បាន ព្រោះវាអាចត្រូវបានដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងពីមួយទៅមួយជាមួយនឹងលេខធម្មជាតិ (ឧទាហរណ៍ 1, 2, 3 ។ល។)។ គាត់បានបង្ហាញថា សំណុំនៃចំនួនពិត ដែលរួមមានចំនួនមិនសមហេតុផល និងសនិទានភាព គឺគ្មានកំណត់ និងមិនអាចរាប់បាន។ ផ្ទុយស្រឡះជាងនេះទៅទៀត Cantor បានបង្ហាញថា សំណុំនៃលេខពិជគណិតទាំងអស់មានធាតុជាច្រើនដូចជាសំណុំនៃចំនួនគត់ទាំងអស់ ហើយថាលេខដែលមិនមែនជាពិជគណិតដែលជាសំណុំរងនៃលេខមិនសមហេតុផលគឺមិនអាចរាប់បាន ដូច្នេះហើយមានចំនួនច្រើនជាងចំនួនគត់។ ហើយ​គួរ​ចាត់​ទុក​ថា​គ្មាន​កំណត់។

អ្នកប្រឆាំង និងអ្នកគាំទ្រ

ប៉ុន្តែកាសែតរបស់ Kantor ដែលគាត់បានដាក់ចេញលទ្ធផលដំបូងនេះ មិនត្រូវបានបោះពុម្ពនៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិ Krell ទេ ចាប់តាំងពីអ្នកត្រួតពិនិត្យម្នាក់ឈ្មោះ Kronecker បានប្រឆាំងនឹងវាយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការអន្តរាគមន៍របស់ Dedekind វាត្រូវបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1874 ក្រោមចំណងជើង លើលក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈនៃលេខពិជគណិតពិតប្រាកដទាំងអស់។

វិទ្យាសាស្ត្រ និងជីវិតផ្ទាល់ខ្លួន

ក្នុងឆ្នាំដដែលនោះ ក្នុងអំឡុងពេលក្រេបទឹកឃ្មុំជាមួយភរិយា Valli Gutman លោក Kantor បានជួបជាមួយ Dedekind ដែលបាននិយាយអំពីទ្រឹស្តីថ្មីរបស់គាត់។ ប្រាក់បៀវត្សរ៍របស់លោក George មានតិចតួច ប៉ុន្តែជាមួយនឹងប្រាក់របស់ឪពុករបស់គាត់ដែលបានស្លាប់នៅឆ្នាំ 1863 គាត់បានសាងសង់ផ្ទះមួយសម្រាប់ប្រពន្ធ និងកូនប្រាំនាក់របស់គាត់។ ឯកសាររបស់គាត់ជាច្រើនត្រូវបានបោះពុម្ពនៅប្រទេសស៊ុយអែតនៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិ Acta Mathematica ថ្មីដែលត្រូវបានកែសម្រួល និងបង្កើតឡើងដោយ Gesta Mittag-Leffler ដែលជាអ្នកដំបូងគេដែលទទួលស្គាល់ទេពកោសល្យរបស់គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់។

ទំនាក់ទំនងជាមួយ metaphysics

ទ្រឹស្ដីរបស់ Cantor បានក្លាយជាមុខវិជ្ជាថ្មីទាំងស្រុងនៃការសិក្សាទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យានៃភាពគ្មានកំណត់ (ឧទាហរណ៍ ស៊េរីទី 1, 2, 3 ។ល។ និងសំណុំស្មុគស្មាញជាច្រើនទៀត) ដែលពឹងផ្អែកខ្លាំងលើការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ។ ការអភិវឌ្ឍន៍ដោយ Cantor នៃវិធីសាស្រ្តថ្មីសម្រាប់ការដាក់សំណួរទាក់ទងនឹងការបន្តនិងភាពមិនចេះចប់បានផ្តល់ឱ្យការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់នូវតួអក្សរមិនច្បាស់លាស់។

នៅពេលដែលគាត់បានប្រកែកថាចំនួនគ្មានកំណត់ពិតជាមានមែន គាត់បានងាកទៅរកទស្សនវិជ្ជាបុរាណ និងមជ្ឈិមសម័យ ទាក់ទងនឹងភាពគ្មានព្រំដែនពិតប្រាកដ និងសក្តានុពល ក៏ដូចជាការអប់រំខាងសាសនាដំបូងដែលឪពុកម្តាយរបស់គាត់បានផ្តល់ឱ្យគាត់។ នៅឆ្នាំ 1883 នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្ដីសំណុំទូទៅ លោក Cantor បានរួមបញ្ចូលគ្នានូវគំនិតរបស់គាត់ជាមួយនឹងរូបវិទ្យារបស់ផ្លាតូ។

Kronecker ដែលបានអះអាងថាមានតែចំនួនគត់ "មាន" ("ព្រះបានបង្កើតចំនួនគត់ នៅសល់គឺជាការងាររបស់មនុស្ស") អស់រយៈពេលជាច្រើនឆ្នាំបានបដិសេធការវែកញែករបស់គាត់យ៉ាងខ្ជាប់ខ្ជួន និងរារាំងការតែងតាំងរបស់គាត់នៅសាកលវិទ្យាល័យប៊ែរឡាំង។

លេខឆ្លងកាត់

នៅឆ្នាំ 1895-97 ។ Georg Cantor បានបង្កើតយ៉ាងពេញលេញនូវសញ្ញាណរបស់គាត់អំពីភាពបន្ត និងគ្មានកំណត់ រួមទាំងលេខធម្មតា និងលេខគ្មានកំណត់ នៅក្នុងការងារដ៏ល្បីល្បាញបំផុតរបស់គាត់ ដែលបានបោះពុម្ពជាការចូលរួមចំណែកក្នុងការបង្កើតទ្រឹស្តីនៃលេខឆ្លងកាត់ (1915) ។ អត្ថបទនេះមានគោលគំនិតរបស់គាត់ ដែលគាត់ត្រូវបានដឹកនាំដោយបង្ហាញថា សំណុំគ្មានកំណត់អាចត្រូវបានដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយជាមួយនឹងផ្នែករងរបស់វា។

ដោយលេខខាដែលឆ្លងកាត់តិចបំផុត គាត់មានន័យថាខានៃសំណុំណាមួយដែលអាចដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយជាមួយនឹងលេខធម្មជាតិ។ Cantor បានហៅវាថា aleph-null ។ សំណុំ transfinite ធំត្រូវបានតំណាងឱ្យ។ ដូច្នេះហើយ គាត់បានបង្កើនគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។

ការប្រឆាំងដែលគាត់បានជួបប្រទះ និងពេលវេលាដែលវាត្រូវការសម្រាប់គំនិតរបស់គាត់ក្នុងការទទួលយកបានពេញលេញ ត្រូវបានពន្យល់ដោយការលំបាកក្នុងការវាយតម្លៃឡើងវិញនូវសំណួរបុរាណថា តើលេខមួយណា។ Cantor បានបង្ហាញថាសំណុំនៃចំនុចនៅលើបន្ទាត់មួយមាន cardinality ខ្ពស់ជាង aleph-zero ។ នេះបាននាំឱ្យមានបញ្ហាល្បីនៃសម្មតិកម្មបន្ត - មិនមានលេខសំខាន់រវាង aleph-zero និងអំណាចនៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់។ បញ្ហានេះនៅពាក់កណ្តាលទីមួយ និងទីពីរនៃសតវត្សទី 20 បានធ្វើឱ្យមានការចាប់អារម្មណ៍យ៉ាងខ្លាំង ហើយត្រូវបានសិក្សាដោយគណិតវិទូជាច្រើន រួមទាំង Kurt Gödel និង Paul Cohen ។

ជំងឺធ្លាក់ទឹកចិត្ត

ជីវប្រវត្តិរបស់ Georg Kantor តាំងពីឆ្នាំ 1884 ត្រូវបានគ្របដណ្ដប់ដោយជំងឺផ្លូវចិត្តរបស់គាត់ ប៉ុន្តែគាត់បានបន្តធ្វើការយ៉ាងសកម្ម។ នៅឆ្នាំ 1897 គាត់បានជួយរៀបចំសមាជគណិតវិទ្យាអន្តរជាតិជាលើកដំបូងនៅទីក្រុង Zurich ។ មួយផ្នែកដោយសារតែគាត់ត្រូវបានប្រឆាំងដោយ Kronecker គាត់តែងតែអាណិតអាសូរអ្នកគណិតវិទ្យាវ័យក្មេង ហើយបានស្វែងរកវិធីមួយដើម្បីជួយសង្រ្គោះពួកគេពីការយាយីរបស់គ្រូដែលមានអារម្មណ៍ថាត្រូវបានគំរាមកំហែងដោយគំនិតថ្មីៗ។

ការសារភាព

នៅវេននៃសតវត្សនេះ ការងាររបស់គាត់ត្រូវបានទទួលស្គាល់យ៉ាងពេញលេញថាជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ទ្រឹស្តីមុខងារ ការវិភាគ និងសណ្ឋានដី។ លើសពីនេះ សៀវភៅ Cantor Georg បានបម្រើជាកម្លាំងរុញច្រានសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃសាលាវិចារណញាណ និងសាលាផ្លូវការនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះឡូជីខលនៃគណិតវិទ្យា។ នេះបានផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធបង្រៀនយ៉ាងសំខាន់ ហើយជារឿយៗត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹង "គណិតវិទ្យាថ្មី" ។

នៅឆ្នាំ 1911 Kantor ស្ថិតក្នុងចំណោមអ្នកដែលត្រូវបានអញ្ជើញឱ្យចូលរួមក្នុងការប្រារព្ធខួបលើកទី 500 នៃសាកលវិទ្យាល័យ St. Andrews ក្នុងប្រទេសស្កុតឡែន។ គាត់បានទៅទីនោះដោយសង្ឃឹមថានឹងបានជួបជាមួយអ្នកណា នៅក្នុងការងារបោះពុម្ពផ្សាយថ្មីៗរបស់គាត់ Principia Mathematica គាត់បានសំដៅម្តងហើយម្តងទៀតទៅកាន់គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ ប៉ុន្តែរឿងនេះមិនបានកើតឡើងទេ។ សាកលវិទ្យាល័យបានផ្តល់សញ្ញាបត្រកិត្តិយសដល់ Kantor ប៉ុន្តែដោយសារជំងឺ គាត់មិនអាចទទួលយកពានរង្វាន់ដោយផ្ទាល់បានទេ។

Kantor បានចូលនិវត្តន៍នៅឆ្នាំ 1913 រស់នៅក្នុងភាពក្រីក្រ និងឃ្លានក្នុងអំឡុងពេលសង្គ្រាមលោកលើកទីមួយ។ ការប្រារព្ធពិធីអបអរសាទរខួបលើកទី 70 របស់គាត់នៅឆ្នាំ 1915 ត្រូវបានលុបចោលដោយសារតែសង្រ្គាម ប៉ុន្តែពិធីតូចមួយបានកើតឡើងនៅផ្ទះរបស់គាត់។ គាត់បានស្លាប់នៅថ្ងៃទី 01/06/1918 នៅ Halle ក្នុងមន្ទីរពេទ្យវិកលចរិក ជាកន្លែងដែលគាត់បានចំណាយពេលប៉ុន្មានឆ្នាំចុងក្រោយនៃជីវិតរបស់គាត់។

Georg Kantor: ជីវប្រវត្តិ។ គ្រួសារ

នៅថ្ងៃទី 9 ខែសីហា ឆ្នាំ 1874 គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់បានរៀបការជាមួយ Wally Gutman ។ ប្តី​ប្រពន្ធ​នេះ​មាន​កូនប្រុស​៤​នាក់ និង​កូនស្រី​២​នាក់ ។ កូនចុងក្រោយបានកើតនៅឆ្នាំ 1886 នៅក្នុងផ្ទះថ្មីដែលទិញដោយ Kantor ។ មរតក​របស់​ឪពុក​គាត់​បាន​ជួយ​គាត់​ជួយ​គ្រួសារ​គាត់។ ស្ថានភាពសុខភាពរបស់ Kantor ត្រូវបានរងផលប៉ះពាល់យ៉ាងខ្លាំងដោយការស្លាប់របស់កូនប្រុសពៅរបស់គាត់នៅឆ្នាំ 1899 - ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ជំងឺធ្លាក់ទឹកចិត្តមិនបានចាកចេញពីគាត់ទេ។

Ed ។ , ហ្គេសាមែលតេ Abhandlungen គណិតវិទ្យា und ទស្សនវិជ្ជា ស្រូបចូល, មិត្ត erlä uternden អេនមឺខនហ្គេន សូវី មិត្ត ឧä nzungen អូអេស ដេម សង្ខេប Cantor- Dedekind, ប៊ែរឡាំង, Verlag von Julius Springer, 1932

1. រយៈពេលនៃការអភិវឌ្ឍន៍ (1845-1871)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Kantor អ្នកបង្កើតទ្រឹស្តីកំណត់ ដែលជាបាតុភូតថ្មីដ៏អស្ចារ្យបំផុតមួយនៅក្នុងពិភពវិទ្យាសាស្ត្របានកើតនៅទីក្រុង St. រចនាប័ទ្ម (ថ្ងៃទី 3 ខែមីនា រចនាប័ទ្មថ្មី) 1845 ។ ឪពុករបស់គាត់ Georg Voldemar Kantor មានដើមកំណើតមកពីទីក្រុង Copenhagen បានមកដល់ St. Petersburg ក្នុងវ័យកុមារភាពរបស់គាត់។ គាត់បានរក្សាឈ្មួញកណ្តាលនៅទីនោះក្រោមឈ្មោះរបស់គាត់ ជួនកាលក្រោមឈ្មោះ "Kantor និង K" ។ ជាអ្នកជំនួញដ៏ឧស្សាហ៍ព្យាយាម និងជោគជ័យ គាត់បានទទួលជោគជ័យដ៏អស្ចារ្យ ហើយបានចាកចេញបន្ទាប់ពីការស្លាប់របស់គាត់ (1863) ទ្រព្យសម្បត្តិដ៏សំខាន់មួយ; តាមមើលទៅ គាត់បានទទួលការគោរពខ្ពស់ទាំងនៅសាំងពេទឺប៊ឺគ និងក្រោយមកនៅប្រទេសអាឡឺម៉ង់។ ដោយសារតែជំងឺសួត នៅឆ្នាំ 1856 គាត់បានផ្លាស់ទីលំនៅជាមួយគ្រួសាររបស់គាត់ទៅប្រទេសអាល្លឺម៉ង់។ នៅទីនោះ គាត់បានជ្រើសរើស Frankfurt am Main ជាកន្លែងស្នាក់នៅរបស់គាត់ ជាកន្លែងដែលគាត់រស់នៅក្នុងមុខតំណែងជាអ្នកជួល។ ម្តាយរបស់ Kantor ឈ្មោះ Maria née Boehm មកពីគ្រួសារមួយដែលសមាជិកជាច្រើនបានទទួលអំណោយទានក្នុងវិស័យសិល្បៈផ្សេងៗ។ ឥទ្ធិពលរបស់នាងបានបង្ហាញឱ្យឃើញយ៉ាងច្បាស់ ដោយគ្មានការសង្ស័យ នៅក្នុងការស្រមើលស្រមៃដ៏សម្បូរបែបរបស់កូនប្រុសនាង។ ជីតារបស់គាត់ឈ្មោះ Ludwig Böhm គឺជាមេក្រុម។ ប្អូនប្រុសរបស់ជីតា យ៉ូសែប ដែលរស់នៅក្នុងទីក្រុងវីយែន គឺជាគ្រូរបស់ ចូអាគីម កោសិការ virtuoso ដ៏ល្បីល្បាញ។ បងប្រុសរបស់ Maria Kantor ក៏ជាតន្ត្រីករដែរ ហើយបងស្រីរបស់នាង Annette មានកូនស្រីសិល្បករម្នាក់ ដែលបង្រៀននៅសាលាសិល្បៈសិប្បកម្ម Munich ។ ភាពល្បីល្បាញផ្នែកសិល្បៈក៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ផងដែរនៅក្នុងបងប្រុសរបស់ Georg Kantor គឺ Konstantin ដែលជាអ្នកលេងព្យ៉ាណូដ៏ប៉ិនប្រសប់និងនៅក្នុងប្អូនស្រីរបស់គាត់ឈ្មោះ Sophia ដែលចូលចិត្តគូរជាពិសេស។

ក្មេងប្រុសដែលមានអំណោយទានម្នាក់ដែលបានចូលរៀននៅសាលាបឋមសិក្សានៅ St. Petersburg តាំងពីដើមដំបូងបានបង្ហាញពីបំណងប្រាថ្នាដ៏ងប់ងល់ក្នុងការចាប់ផ្តើមការសិក្សាគណិតវិទ្យា។ ទោះជាយ៉ាងនេះក្តី ឪពុករបស់គាត់មិនយល់ស្របនឹងរឿងនេះទេ ដោយចាត់ទុកអាជីពជាវិស្វករ មានភាពរីកចម្រើនជាង បើនិយាយពីប្រាក់ចំណូល។ កូនប្រុសដំបូងស្តាប់បង្គាប់។ សម្រាប់ពេលខ្លះគាត់បានចូលរួមកន្លែងហាត់ប្រាណនៅ Wiesbaden ក៏ដូចជាសាលាឯកជននៅ Frankfurt am Main ។ បន្ទាប់មកគាត់បានចូលនៅនិទាឃរដូវឆ្នាំ 1859 ដែលជាសាលាខេត្តរបស់ Grand Duchy of Hesse នៅ Darmstadt ជាកន្លែងដែលពួកគេបង្រៀនភាសាឡាតាំងផងដែរ។ ពីទីនោះគាត់បានផ្លាស់ប្តូរនៅឆ្នាំ 1860 ទៅវគ្គសិក្សាទូទៅនៃសាលាសិប្បកម្មជាន់ខ្ពស់ (ក្រោយមកសាលាបច្ចេកទេសជាន់ខ្ពស់) ។ ឪពុករបស់គាត់បានដឹកនាំការអប់រំរបស់គាត់ជាមួយនឹងស្តង់ដារខ្ពស់មិនធម្មតា; គាត់បានភ្ជាប់សារៈសំខាន់ពិសេសចំពោះការអប់រំនៃថាមពល ភាពរឹងមាំនៃចរិតលក្ខណៈ និងសាសនា ជ្រៀតចូលគ្រប់ជីវិត។ ជាពិសេស លោកបានសង្កត់ធ្ងន់លើសារៈសំខាន់នៃជំនាញពេញលេញនៃភាសាទំនើបសំខាន់ៗ។ ឪពុករបស់គាត់បានណែនាំគាត់ (នៅក្នុងលិខិតបញ្ជាក់របស់គាត់នៅឆ្នាំ 1860) ឱ្យឈរយ៉ាងរឹងមាំទោះបីជាមានសត្រូវទាំងអស់ក៏ដោយ ហើយតែងតែដើរតាមផ្លូវរបស់គាត់។ ការហៅនេះត្រូវបានគេចងចាំច្រើនជាងម្តងដោយកូនប្រុសនៅក្នុងម៉ោងនៃការសាកល្បងដ៏លំបាក ហើយប្រហែលជាវាគឺសម្រាប់ការចិញ្ចឹមបីបាច់របស់ឪពុកដែលយើងជំពាក់ការពិតដែលថាស្មារតីច្នៃប្រឌិតរបស់គាត់មិនត្រូវបានខូចមុនពេលកំណត់ ហើយផលផ្លែរបស់វាមិនត្រូវបានបាត់បង់ទៅកូនចៅទេ។

យូរ ៗ ទៅការទាក់ទាញយ៉ាងខ្លាំងរបស់កូនប្រុសចំពោះគណិតវិទ្យាមិនអាចប៉ះពាល់ដល់ឪពុករបស់គាត់ដែលសំបុត្ររបស់គាត់ក៏បញ្ជាក់ពីការគោរពរបស់គាត់ចំពោះវិទ្យាសាស្ត្រផងដែរ។ នៅក្នុងសំបុត្រមួយពី Darmstadt ចុះថ្ងៃទី 25 ខែឧសភា ឆ្នាំ 1862 ដែលតំណាងឱ្យសំបុត្រដែលនៅរស់រានមានជីវិតដំបូងពី Kantor កូនប្រុសអាចអរគុណឪពុករបស់គាត់រួចហើយសម្រាប់ការយល់ព្រមលើផែនការរបស់គាត់៖ “ ប៉ាជាទីគោរព! អ្នកអាចស្រមៃមើលថាតើសំបុត្ររបស់អ្នកបានធ្វើឱ្យខ្ញុំសប្បាយចិត្តប៉ុណ្ណា។ វាកំណត់អនាគតរបស់ខ្ញុំ។ ខ្ញុំបានចំណាយពេលថ្ងៃចុងក្រោយនៅក្នុងការសង្ស័យ និងភាពមិនច្បាស់លាស់។ ហើយ​មិន​អាច​សម្រេច​ចិត្ត​បាន​ទេ។ កាតព្វកិច្ច​និង​ការ​ទាក់ទាញ​បាន​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​សង្គ្រាម​ជានិច្ច។ ឥឡូវ​នេះ ខ្ញុំ​សប្បាយ​ចិត្ត​ដែល​ឃើញ​ថា ខ្ញុំ​នឹង​មិន​សោកស្ដាយ​អ្នក​ដោយ​ការ​ធ្វើ​តាម​ទំនោរ​ចិត្ត​របស់​ខ្ញុំ​ផ្ទាល់​ក្នុង​ជម្រើស​របស់​ខ្ញុំ។ ទូលបង្គំសង្ឃឹមថា ទូលបង្គំនឹងនៅតែអាចនាំសេចក្តីអំណរដល់លោកអ្នកបាន ពីព្រោះព្រលឹងទូលបង្គំ ទាំងអង្គទាំងពួងរស់នៅក្នុងការហៅរបស់ទូលបង្គំ។ មនុស្ស​ម្នាក់​ធ្វើ​អ្វី​ដែល​ខ្លួន​ចង់​បាន និង​អាច​ធ្វើ​បាន ហើយ​អ្វី​ដែល​គេ​មិន​ស្គាល់ និង​សំឡេង​អាថ៌កំបាំង​នាំ​ឱ្យ​គេ​ទៅ!..»

នៅរដូវស្លឹកឈើជ្រុះឆ្នាំ 1862 លោក Kantor បានចាប់ផ្តើមការសិក្សារបស់គាត់នៅក្នុងទីក្រុង Zurich ពីពេលនោះមកគាត់បានចាកចេញបន្ទាប់ពីឆមាសទី 1 ដោយសារតែការស្លាប់របស់ឪពុករបស់គាត់។ ចាប់តាំងពីរដូវស្លឹកឈើជ្រុះឆ្នាំ 1863 គាត់បានសិក្សាគណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា និងទស្សនវិជ្ជានៅទីក្រុងប៊ែកឡាំង ជាកន្លែងដែលជ័យជំនះរបស់ Kummer, Weierstrass និង Kronecker បានទាក់ទាញទេពកោសល្យល្អបំផុត ធ្វើឱ្យចិត្តរបស់អ្នកស្តាប់ (ពេលនោះនៅតែតូចចង្អៀត) ក្នុងទិសដៅចម្រុះបំផុត។ គាត់បានចំណាយពេលត្រឹមតែឆមាសនិទាឃរដូវនៃឆ្នាំ 1866 នៅ Göttingen ។ Weierstrass ប្រាកដជាមានឥទ្ធិពលខ្លាំងបំផុតលើការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្ររបស់គាត់។ វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ និងជាលក្ខណៈនៃភាពទូលំទូលាយនៃទស្សនៈរបស់ Weierstrass សម្រាប់ការវិនិច្ឆ័យដែលមិនមានការរើសអើង និងការយល់ដឹងរបស់គាត់ ជាមួយនឹងការយល់ដឹងដ៏គួរឱ្យអាណិត និងរបៀបដែលគាត់ដឹងគុណចំពោះគំនិតមិនធម្មតារបស់សិស្សរបស់គាត់ ដោយហេតុនេះឆ្លើយតបទៅនឹងការគោរពដ៏ជ្រាលជ្រៅដែលគាត់បានបង្ហាញគាត់មិនទៀងទាត់ពេញមួយជីវិតរបស់គាត់ ទោះបីជាមានការឈ្លោះប្រកែកគ្នាជាបណ្តោះអាសន្នក៏ដោយ។ ក្នុងកំឡុងឆ្នាំទីក្រុងប៊ែរឡាំងរបស់គាត់ Kantor មិនត្រឹមតែជាសមាជិកនៃសមាគមគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជារង្វង់រួមតូចនៃមិត្តរួមការងារវ័យក្មេងដែលបានជួបរៀងរាល់សប្តាហ៍នៅ tavern របស់ Remel ។ រង្វង់នេះរួមបញ្ចូល ក្រៅពីភ្ញៀវម្តងម្កាល Henoch (អ្នកបោះពុម្ពនាពេលអនាគតនៃ Fortschritte (ជោគជ័យ)) Lampe, Mertens, Max Simon, Thoma; ចុងក្រោយនៃពួកគេគឺជិតស្និទ្ធជាពិសេសជាមួយ Kantor ។ លើសពីនេះ G A. Schwartz ដែលមានអាយុពីរឆ្នាំ។ ចាស់ជាង ប៉ុន្តែក្រោយមក គាត់បានជួបនឹងគំនិតរបស់ Cantor ជាមួយនឹងការមិនទុកចិត្តបំផុត ផ្ទុយពីគ្រូរបស់គាត់ Weierstrass ហើយរហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃជីវិតរបស់គាត់ ដូចជា Kroneker គាត់បានព្រមានសិស្សរបស់គាត់ជាពិសេសប្រឆាំងនឹងពួកគេ។ ថ្ងៃទី 14 ខែធ្នូ ឆ្នាំ 1867 - និស្សិតអាយុពីរឆ្នាំបានបញ្ចប់និក្ខេបបទនៅសាកលវិទ្យាល័យប៊ែកឡាំង ដែលកើតចេញពីការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃ Legendre's Disquisitiones arithmeticae (Studies in Arithmetic) និងទ្រឹស្តីលេខរបស់ Legendre ហើយត្រូវបានវាយតម្លៃដោយមហាវិទ្យាល័យថា "dissertatio docta et ingeniosa " (ការ​វែកញែក​ដោយ​ប្រាជ្ញា​និង​ប្រាជ្ញា) * ការងារនេះនៅជាប់នឹងរូបមន្ត Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ Diophantine ពូថៅ 2 + a"x" 2 + a"x" 2 = 0; ទំនាក់ទំនងមួយចំនួនត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងវា ដែលមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់ដោយ Gauss ។ ការពិភាក្សាលម្អិតអំពីការងាររបស់ Cantor មាននៅក្នុងជីវប្រវត្តិលម្អិតដែលខ្ញុំបានសរសេរអំពីគាត់ ដែលបានបោះពុម្ពនៅក្នុង Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereininung លេខ 39 (1930) ទំព័រ 189–266 និងនៅក្នុងសៀវភៅដាច់ដោយឡែកមួយផងដែរ៖ Georg Kantor, Leipzig និង Berlin , ឆ្នាំ 1930; គាត់បានឧទ្ទិសវាដល់អាណាព្យាបាលរបស់គាត់ (ក្នុងពេលតែមួយអាណាព្យាបាលរបស់បងប្រុសនិងបងស្រីរបស់គាត់) ។ នៅក្នុងការប្រឡងផ្ទាល់មាត់គាត់បានទទួល "magna cum laude" ("ជាមួយភាពខុសគ្នាពិសេស") ។ ក្នុងចំណោមចំណុចទាំងបីដែលគាត់បានស្នើឡើងដើម្បីការពារ ទីបីគឺជាលក្ខណៈពិសេស៖ "In re mathematica ars propenendi questionem pluris facienda est quam solvendi" (នៅក្នុងគណិតវិទ្យា សិល្បៈនៃការដាក់សំណួរគឺសំខាន់ជាងសិល្បៈនៃការដោះស្រាយពួកគេ។) ប្រហែលជា សូម្បីតែលទ្ធផលដែលគាត់ទទួលបានក្នុងទ្រឹស្ដីសិតគឺមានតម្លៃទាបជាងបញ្ហាទម្រង់បដិវត្តន៍រហូតមកដល់ពេលនេះឈានដល់ឥទ្ធិពលរបស់វាលើសពីការសរសេររបស់គាត់។

វាហាក់ដូចជាថា Kantor បានបង្រៀនក្នុងរយៈពេលខ្លីមួយនៅក្នុងសាលាក្មេងស្រីនៅទីក្រុងប៊ែកឡាំង។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយនៅឆ្នាំ 1868 ដោយបានឆ្លងកាត់ការប្រឡងរដ្ឋគាត់បានចូលសាលា Schelbach ដ៏ល្បីល្បាញដែលបានបណ្តុះបណ្តាលគ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា។

និក្ខេបបទថ្នាក់បណ្ឌិតដែលបានផ្តល់ឱកាសឱ្យ Kantor ក្លាយជា Privatdozent នៅសាកលវិទ្យាល័យ Halle នៅនិទាឃរដូវឆ្នាំ 1869 ជាកម្មសិទ្ធិរួមជាមួយនឹងកំណត់ចំណាំខ្លីៗមួយចំនួនដែលបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1868-72 ដល់រង្វង់នព្វន្ធដំបូងរបស់គាត់ដែលចាប់អារម្មណ៍ ដែលគាត់កម្រណាស់។ បានត្រឡប់មកវិញនៅពេលក្រោយ។ ទ្រឹស្តីលេខការសិក្សាទាំងនេះក្រោមការដឹកនាំ និងដោយមានការយល់ព្រមពី Kronecker មិនមែនសម្រាប់ Cantor គ្រាន់តែជាវគ្គចៃដន្យនោះទេ។ ផ្ទុយទៅវិញ គាត់បានជួបប្រទះឥទ្ធិពលខាងក្នុងយ៉ាងជ្រៅនៃវិន័យនេះ ជាមួយនឹងភាពបរិសុទ្ធ និងព្រះគុណពិសេសរបស់វា។ នេះត្រូវបានបញ្ជាក់រួមជាមួយនឹងទីមួយ ដោយនិក្ខេបបទទីបីដែលបង្ហាញដោយគាត់សម្រាប់ការការពារ៖ "Numeris integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et relationibus compositum efficere" ("ចំនួនគត់ ដូចជារូបកាយសេឡេស្ទាល គួរតែត្រូវបានបកស្រាយថាជាលេខតែមួយ។ ទាំងមូល ចងដោយច្បាប់ និងទំនាក់ទំនង”)។ ការបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍លេខទ្រឹស្តីផ្សេងៗ និងអនុគមន៍ Riemann zeta (នៅជាប់នឹងការងាររបស់ Riemann លើលេខបឋម) ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពេលវេលាដំបូងផងដែរ ប្រហែលជារយៈពេលនេះរួចទៅហើយ។ ការងារនេះត្រូវបានបោះពុម្ពដោយ Kantor តែនៅក្នុងឆ្នាំ 1880 ក្រោមឥទ្ធិពលនៃកំណត់ត្រារបស់ Lipschitz នៅក្នុង Paris Comptes Rendus ("របាយការណ៍") ។ ចំណាប់អារម្មណ៍ខាងទ្រឹស្តីចំនួនបន្ថែមទៀតរបស់ Cantor គឺបន្ថែមពីលើតារាងលេខរបស់គាត់ក៏បានរក្សាទុករហូតដល់ឆ្នាំ 1884 ប៉ុន្តែមិនត្រូវបានអនុវត្តទេ ផែនការបោះពុម្ពនៅក្នុង Acta Mathematica ដែលជាការងារលើទម្រង់បួនជ្រុង។

E. Heine ដែលជាសាស្ត្រាចារ្យសាមញ្ញម្នាក់នៅ Halle នៅពេល Kantor ការពារនិក្ខេបបទរបស់គាត់នៅទីនោះ បានដឹងភ្លាមៗថានៅក្នុងមិត្តរួមការងារវ័យក្មេងរបស់គាត់ ភាពមុតស្រួចនៃចិត្តត្រូវបានរួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងសប្បាយរីករាយជាមួយនឹងការស្រមើលស្រមៃដ៏សម្បូរបែប។ សារៈសំខាន់ដ៏សំខាន់គឺការពិតដែលថាភ្លាមៗបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ទីលំនៅរបស់ Cantor ទៅ Halle Heine បានជំរុញឱ្យគាត់សិក្សាទ្រឹស្តីនៃស៊េរីត្រីកោណមាត្រ។ ការងារដោយខ្នះខ្នែងលើប្រធានបទនេះមិនត្រឹមតែនាំមកនូវសមិទ្ធិផលសំខាន់ៗមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងបានដឹកនាំ Cantor លើផ្លូវទៅកាន់ទ្រឹស្ដីនៃសំណុំចំណុចនិងលេខលំដាប់ឆ្លងកាត់។ ស្នាដៃ , និងត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការកែលម្អនៃការអះអាងមួយរបស់ Riemann អំពីស៊េរីត្រីកោណមាត្រ (និងភាពចម្រូងចម្រាសដែលអមជាមួយ Appel ដែលក្នុងនោះគោលគំនិតនៃការរួបរួមឯកសណ្ឋានត្រូវបានពិចារណាលម្អិត); នៅក្នុងការងាររបស់គាត់ Kantor បង្ហាញទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពប្លែកនៃតំណាងត្រីកោណមាត្រ * វាគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលណាស់ដែល Kronecker ដែលដំបូងឡើយមានអាកប្បកិរិយាវិជ្ជមានចំពោះទ្រឹស្តីបទនៃភាពឯកកោរបស់ Cantor (cf.) ក្រោយមកមិនអើពើនឹងលទ្ធផលនេះទាំងស្រុង។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុង "Vorlesungen über die Theorie der einfachen und mehrfachen Inegrale" ("ការបង្រៀនអំពីទ្រឹស្តីនៃអាំងតេក្រាលសាមញ្ញ និងច្រើន") (1894) គាត់បង្ហាញសំណួរនៃភាពប្លែកដែលនៅតែបើកចំហ!. គាត់ស្វែងរកការធ្វើឱ្យលទ្ធផលនេះមានលក្ខណៈទូទៅដោយបោះបង់ការសន្មត់ណាមួយអំពីអាកប្បកិរិយានៃស៊េរីនៅលើសំណុំពិសេសមួយចំនួន។ នេះបង្ខំគាត់ឱ្យបង្ហាញនៅក្នុងការងារនូវគំនិតខ្លីៗមួយ “ដែលអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការបញ្ជាក់ទំនាក់ទំនងដែលកើតឡើងក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ នៅពេលដែលបរិមាណលេខត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងចំនួនកំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ នៅទីនេះ សម្រាប់សំណុំចំណុច ចំណុចកំណត់ និងនិស្សន្ទវត្ថុ ( នៃលំដាប់កំណត់) ត្រូវបានណែនាំ។ ដល់ទីបញ្ចប់នេះ Cantor, នៅលើដៃមួយ, អភិវឌ្ឍទ្រឹស្តីរបស់គាត់នៃចំនួនមិនសមហេតុផល * . នៅក្នុងធាតុផ្សំនៃទ្រឹស្ដីមុខងាររបស់ Heine (J. Math., 74, pp. 172-188, 1872) លេខមិនសមហេតុផលត្រូវបានណែនាំក្នុងលក្ខណៈយ៉ាងពិតប្រាកដតាមគំនិតរបស់ Cantor ។ cf. ការណែនាំអំពីអត្ថបទរបស់ Heine ក៏ដូចជាការងាររបស់ Kantor "Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten" ("Toward the Doctrine of the Transfinite")តាមទ្រឹស្តីនៃសំណុំ ធ្វើឱ្យឈ្មោះរបស់គាត់អមតៈ ដែលលេខមិនសមហេតុផលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាស៊េរីមូលដ្ឋាន។ ម៉្យាងទៀតសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាធរណីមាត្រ គាត់ណែនាំអំពី axiom ពិសេសមួយ (Axiom របស់ Cantor) ដែលក្នុងពេលដំណាលគ្នា និងដោយឯករាជ្យបានបង្ហាញខ្លួនក្នុងទម្រង់ខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចនៅក្នុងសៀវភៅ Continuity and Irrational Numbers របស់ Dedekind ។