វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហារូបវន្ត ឬឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យាដោយមិនមានចំណេះដឹងអំពីដេរីវេ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាវា។ និស្សន្ទវត្ថុគឺជាគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ យើងបានសម្រេចចិត្តលះបង់អត្ថបទថ្ងៃនេះចំពោះប្រធានបទជាមូលដ្ឋាននេះ។ តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ តើអ្វីជាអត្ថន័យរូបវន្ត និងធរណីមាត្ររបស់វា របៀបគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍? សំណួរទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាទៅជាមួយ: តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីដេរីវេ?

ធរណីមាត្រ និងអត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ

សូមឱ្យមានមុខងារមួយ។ f(x) ផ្តល់ឱ្យក្នុងចន្លោះពេលមួយចំនួន (a, ខ) . ចំនុច x និង x0 ជារបស់ចន្លោះនេះ។ នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរមុខងារខ្លួនវាផ្លាស់ប្តូរ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាគុយម៉ង់ - ភាពខុសគ្នានៃតម្លៃរបស់វា។ x-x0 . ភាពខុសគ្នានេះត្រូវបានសរសេរជា ដីសណ្ត x ហើយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់។ ការផ្លាស់ប្តូរឬការកើនឡើងនៃអនុគមន៍គឺជាភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចពីរ។ និយមន័យដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់នៅពេលក្រោយមានទំនោរទៅសូន្យ។

បើមិនដូច្នោះទេវាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ:

តើអ្វីជាចំណុចក្នុងការស្វែងរកដែនកំណត់បែបនេះ? ប៉ុន្តែមួយណា៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំរវាងអ័ក្ស OX និងតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃពេលវេលានៃផ្លូវគឺស្មើនឹងល្បឿននៃចលនា rectilinear ។

ពិតហើយ តាំងពីនៅរៀនមក គ្រប់គ្នាដឹងថាល្បឿនគឺជាផ្លូវឯកជន។ x=f(t) និងពេលវេលា t . ល្បឿនជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់មួយ៖

ដើម្បីដឹងពីល្បឿននៃចលនាក្នុងពេលតែមួយ t0 អ្នកត្រូវគណនាដែនកំណត់៖

ច្បាប់ទីមួយ៖ ដកចំនួនថេរចេញ

ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ លើសពីនេះទៅទៀតវាត្រូវតែធ្វើ។ នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ក្នុងគណិតវិទ្យា ចូរយកជាក្បួន ប្រសិនបើអ្នកអាចសម្រួលការបញ្ចេញមតិ ត្រូវប្រាកដថាធ្វើឱ្យសាមញ្ញ .

ឧទាហរណ៍។ តោះគណនាដេរីវេ៖

វិធានពីរ៖ ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍

ដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ។

យើងនឹងមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទនេះទេ ប៉ុន្តែសូមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

វិធានទីបី៖ ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារ

ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ការសម្រេចចិត្ត៖

នៅទីនេះវាមានសារៈសំខាន់ក្នុងការនិយាយអំពីការគណនានៃដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ។

ក្នុង​ឧទាហរណ៍​ខាង​លើ យើង​ជួប​នឹង​កន្សោម៖

ក្នុងករណីនេះ អាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ 8x ដល់ថាមពលទីប្រាំ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃកន្សោមបែបនេះ ជាដំបូងយើងពិចារណាពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយខ្លួនវាទាក់ទងទៅនឹងអថេរឯករាជ្យ។

វិធានទីបួន៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរ៖

យើងបានព្យាយាមនិយាយអំពីនិស្សន្ទវត្ថុសម្រាប់អត់ចេះសោះពីដំបូង។ ប្រធានបទនេះមិនសាមញ្ញដូចដែលវាហាក់បីដូចជាទេ ដូច្នេះត្រូវព្រមាន៖ ជារឿយៗមានកំហុសក្នុងឧទាហរណ៍ ដូច្នេះត្រូវប្រយ័ត្នពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

ជាមួយនឹងសំណួរណាមួយអំពីបញ្ហានេះ និងប្រធានបទផ្សេងទៀត អ្នកអាចទាក់ទងសេវាកម្មសិស្ស។ ក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លី យើងនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយការគ្រប់គ្រងដ៏លំបាកបំផុត និងដោះស្រាយកិច្ចការនានា ទោះបីជាអ្នកមិនធ្លាប់ដោះស្រាយជាមួយនឹងការគណនានៃនិស្សន្ទវត្ថុពីមុនមកក៏ដោយ។

ការស្រាវជ្រាវមុខងារ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងនិយាយអំពីភារកិច្ចដែលមុខងារត្រូវបានពិចារណាហើយក្នុងលក្ខខណ្ឌមានសំណួរទាក់ទងនឹងការសិក្សារបស់ពួកគេ។ ពិចារណាលើទ្រឹស្តីសំខាន់ៗដែលអ្នកត្រូវដឹង និងយល់ដើម្បីដោះស្រាយពួកគេ។

នេះគឺជាក្រុមទាំងមូលនៃកិច្ចការដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការប្រឡងក្នុងគណិតវិទ្យា។ សំណួរជាធម្មតាត្រូវបានលើកឡើងអំពីការស្វែងរកចំណុចអតិបរមា (អប្បបរមា) ឬកំណត់តម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃមុខងារមួយនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ពិចារណា៖

- ថាមពល និងមុខងារមិនសមហេតុផល។

- មុខងារសមហេតុផល។

- សិក្សាការងារ និងឯកជន។

- មុខងារលោការីត។

- អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ប្រសិនបើអ្នកយល់ពីទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់ គំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដេរីវេសម្រាប់សិក្សាក្រាហ្វនៃមុខងារ និងរបស់វា នោះបញ្ហាបែបនេះនឹងមិនធ្វើឱ្យអ្នកពិបាកទេ ហើយអ្នកនឹងដោះស្រាយវាដោយភាពងាយស្រួល។

ព័ត៌មានខាងក្រោមគឺជាចំណុចទ្រឹស្តី ការយល់ដឹងដែលនឹងធ្វើឱ្យវាអាចដឹងពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ។ ខ្ញុំ​នឹង​ព្យាយាម​ប្រាប់​ពួកគេ​ក្នុង​របៀប​មួយ​ដែល​សូម្បីតែ​អ្នក​ដែល​ខកខាន​ប្រធានបទ​នេះ​ឬ​សិក្សា​វា​មិន​ល្អ​ក៏​អាច​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ទាំងនោះ​បាន​ដោយ​មិន​ពិបាក​ច្រើន​ដែរ។

នៅក្នុងបញ្ហានៃក្រុមនេះ ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ វាត្រូវបានទាមទារឱ្យស្វែងរកចំណុចអប្បបរមា (អតិបរមា) នៃអនុគមន៍ ឬតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃមុខងារនៅចន្លោះពេល។

ពិន្ទុអប្បបរមា និងអតិបរមា។លក្ខណៈសម្បត្តិដេរីវេ។

ពិចារណាក្រាហ្វនៃមុខងារ៖

ចំណុច A គឺជាចំណុចអតិបរមា នៅចន្លោះពេលពី O ដល់ A មុខងារកើនឡើង នៅចន្លោះពេលពី A ទៅ B វាថយចុះ។

ចំណុច B គឺជាចំណុចអប្បបរមា នៅចន្លោះពេលពី A ដល់ B មុខងារថយចុះ នៅចន្លោះពេលពី B ទៅ C វាកើនឡើង។

នៅចំណុចទាំងនេះ (A និង B) ដេរីវេបាត់ (ស្មើនឹងសូន្យ)។

តង់សង់នៅចំណុចទាំងនេះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស គោ.

ខ្ញុំនឹងបន្ថែមថាចំនុចដែលមុខងារផ្លាស់ប្តូរឥរិយាបទរបស់វាពីការកើនឡើងទៅការថយចុះ (និងច្រាសមកវិញពីការថយចុះទៅការកើនឡើង) ត្រូវបានគេហៅថា extrema ។

ចំណុចសំខាន់៖

1. ដេរីវេនៅលើចន្លោះពេលកើនឡើងមានសញ្ញាវិជ្ជមាន (nនៅពេលជំនួសតម្លៃពីចន្លោះពេលទៅជាដេរីវេ លេខវិជ្ជមានត្រូវបានទទួល)។

នេះមានន័យថាប្រសិនបើដេរីវេនៅចំណុចជាក់លាក់មួយពីចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយមានតម្លៃវិជ្ជមាន នោះក្រាហ្វនៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេលនេះកើនឡើង។

2. នៅលើចន្លោះពេលនៃការថយចុះ និស្សន្ទវត្ថុមានសញ្ញាអវិជ្ជមាន (នៅពេលជំនួសតម្លៃពីចន្លោះពេលចូលទៅក្នុងកន្សោមដេរីវេ លេខអវិជ្ជមានត្រូវបានទទួល)។

ដូច្នេះប្រសិនបើដេរីវេនៅចំណុចជាក់លាក់មួយពីចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយមានតម្លៃអវិជ្ជមាន នោះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេលនេះថយចុះ។

នេះត្រូវតែបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់!

ដូច្នេះ ដោយ​គណនា​និស្សន្ទវត្ថុ និង​សមីការ​វា​ទៅ​សូន្យ អ្នក​អាច​រក​ឃើញ​ចំណុច​ដែល​បែងចែក​អ័ក្ស​ពិត​ជា​ចន្លោះ​ពេល។នៅចន្លោះពេលនីមួយៗទាំងនេះ អ្នកអាចកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយបន្ទាប់មកធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីការកើនឡើង ឬថយចុះរបស់វា។

* ដោយឡែក​គួរ​និយាយ​អំពី​ចំណុច​ដែល​និស្សន្ទវត្ថុ​មិន​មាន។ ឧទាហរណ៍ យើងអាចទទួលបានដេរីវេដែលភាគបែងបាត់នៅ x ជាក់លាក់។ វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ x បែបនេះ ដេរីវេមិនមានទេ។ ដូច្នេះចំណុចនេះក៏ត្រូវយកមកពិចារណាផងដែរនៅពេលកំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង (បន្ថយ)។

អនុគមន៍​នៅ​ចំណុច​ដែល​និស្សន្ទវត្ថុ​ស្មើ​នឹង​សូន្យ មិន​តែង​តែ​ផ្លាស់​ប្តូរ​សញ្ញា​របស់​វា​ទេ។ នេះនឹងជាអត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយ។ នឹងមិនមានកិច្ចការបែបនេះនៅ USE ខ្លួនឯងទេ។

លក្ខណៈសម្បត្តិខាងលើគឺចាំបាច់ដើម្បីសិក្សាពីឥរិយាបថនៃមុខងារមួយក្នុងការបង្កើន និងបន្ថយ។

តើមានអ្វីទៀតដែលអ្នកត្រូវដឹងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានបញ្ជាក់៖ តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ គ្មានអ្វីដោយគ្មាននេះទេ។ នេះគឺជាចំណេះដឹងជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងប្រធានបទនៃដេរីវេ។ អ្នកគួរតែដឹងពីដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមឱ្យបានច្បាស់។

ការគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញf(g(x)), ស្រមៃមើលមុខងារg(x) គឺជាអថេរ ហើយបន្ទាប់មកគណនាដេរីវេf’(g(x)) ដោយរូបមន្តតារាងជាដេរីវេធម្មតានៃអថេរ។ បន្ទាប់មកគុណលទ្ធផលដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍g(x) .

មើលវីដេអូបង្រៀនដោយ Maxim Semenikhin អំពីមុខងារស្មុគស្មាញ៖

បញ្ហាសម្រាប់ការស្វែងរកពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមា

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកចំណុចអតិបរមា (អប្បបរមា) នៃមុខងារ៖

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ f’(x).

2. រកលេខសូន្យនៃដេរីវេ (ដោយសមីការដេរីវេទីវទៅសូន្យ f’(x)=0 និងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល) ។ យើងក៏រកឃើញចំណុចដែលដេរីវេមិនមាន(ជាពិសេស វាទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ប្រភាគ-សនិទានកម្ម)។

3. យើងសម្គាល់តម្លៃដែលទទួលបាននៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅលើចន្លោះពេលទាំងនេះដោយជំនួសតម្លៃពីចន្លោះពេលចូលទៅក្នុងកន្សោមដេរីវេ។

លទ្ធផលនឹងមានមួយក្នុងចំណោមពីរ៖

1. ចំណុចអតិបរមាគឺជាចំណុចនៅក្នុងនោះ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីវិជ្ជមានទៅអវិជ្ជមាន។

2. ចំណុចអប្បបរមាគឺជាចំណុចនៅក្នុងនោះ និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពីអវិជ្ជមានទៅវិជ្ជមាន។

បញ្ហាសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុត។

មុខងារនៅលើចន្លោះពេល។

នៅក្នុងប្រភេទនៃបញ្ហាមួយផ្សេងទៀត វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃមុខងារធំបំផុត (តូចបំផុត)៖

1. កំណត់ថាតើមានពិន្ទុអតិបរមា (អប្បបរមា) ដែរឬទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេ f’(x) បន្ទាប់មកដោះស្រាយ f’(x)=0 (ចំណុច 1 និង 2 ពីក្បួនដោះស្រាយមុន) ។

2. យើងកំណត់ថាតើពិន្ទុដែលទទួលបានជារបស់ចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យឬអត់ ហើយសរសេរចុះអ្នកដែលកុហកនៅក្នុងនោះ។

3. យើងជំនួសមុខងារដើម (មិនចូលទៅក្នុងដេរីវេទេ ប៉ុន្តែចូលទៅក្នុងធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌ) ព្រំដែននៃចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងចំណុច (អតិបរមា-អប្បបរមា) ដែលស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពេល (ធាតុទី 2)។

4. យើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍។

5. យើងជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) ពីតម្លៃដែលទទួលបាន អាស្រ័យលើសំណួរអ្វីដែលត្រូវបានសួរនៅក្នុងកិច្ចការ ហើយបន្ទាប់មកសរសេរចម្លើយ។

សំណួរ៖ ហេតុអ្វីបានជាក្នុងកិច្ចការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃមុខងារ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកពិន្ទុអតិបរមា (អប្បបរមា)?

ចម្លើយ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​យ៉ាង​ល្អ​បំផុត សូម​មើល​ការ​បង្ហាញ​គំនូស​តាង​នៃ​ក្រាហ្វ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​មុខងារ៖

ក្នុងករណីទី 1 និងទី 2 វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីជំនួសព្រំដែននៃចន្លោះពេលដើម្បីកំណត់តម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍។ ក្នុងករណីទី 3 និងទី 4 វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកសូន្យនៃអនុគមន៍ (ពិន្ទុអតិបរមា - អប្បបរមា) ។ ប្រសិនបើយើងជំនួសព្រំដែននៃចន្លោះពេល (ដោយមិនស្វែងរកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍) យើងនឹងទទួលបានចម្លើយខុស នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីក្រាហ្វ។

ហើយរឿងនោះគឺថាយើងមិនអាចមើលពីរបៀបដែលគំនូសតាងមើលទៅលើចន្លោះពេល (ថាតើវាមានអតិបរមាឬអប្បបរមាក្នុងចន្លោះពេល) ដោយប្រើមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ​ហើយ​រក​ឃើញ​មុខងារ​សូន្យ​មិន​ខាន!!!

ប្រសិនបើសមីការ f'(x)=0 នឹងមិនមានដំណោះស្រាយ នេះមានន័យថាមិនមានចំណុចអតិបរមា-អប្បរមា (រូបភាព 1.2) ហើយដើម្បីស្វែងរកភារកិច្ចដែលបានកំណត់ មានតែព្រំដែននៃចន្លោះពេលប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងមុខងារនេះ។

ចំណុចសំខាន់មួយទៀត។ សូមចងចាំថាចម្លើយត្រូវតែជាចំនួនគត់ ឬទសភាគចុងក្រោយ។ នៅពេលគណនាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ អ្នកនឹងទទួលបានកន្សោមដែលមានលេខ e និង pi ក៏ដូចជាកន្សោមដែលមានឫស។ សូមចងចាំថាអ្នកមិនចាំបាច់គណនាពួកវាដល់ទីបញ្ចប់នោះទេ ហើយវាច្បាស់ណាស់ថាលទ្ធផលនៃការបញ្ចេញមតិបែបនេះនឹងមិនមែនជាចម្លើយនោះទេ។ ប្រសិនបើ​មាន​បំណង​ចង់​គណនា​តម្លៃ​បែប​នេះ សូម​ធ្វើ​វា (លេខ៖ e ≈ 2.71 Pi ≈ 3.14) ។

ខ្ញុំ​សរសេរ​ច្រើន​ប្រហែល​ជា​ច្រលំ? តាមរយៈឧទាហរណ៍ជាក់លាក់អ្នកនឹងឃើញថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ។

បន្ទាប់ខ្ញុំចង់ប្រាប់អ្នកពីអាថ៌កំបាំងបន្តិច។ ការពិតគឺថាកិច្ចការជាច្រើនអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយមិនដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងសូម្បីតែដោយគ្មានច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ ខ្ញុំពិតជានឹងប្រាប់អ្នកអំពី nuances ទាំងនេះ ហើយបង្ហាញអ្នកពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើ? កុំខកខាន!

ប៉ុន្តែ​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​ខ្ញុំ​បញ្ជាក់​ទ្រឹស្តី​ទាំង​អស់ ហើយ​ក៏​បាន​និយាយ​ថា ត្រូវ​តែ​ដឹង​មិន​ចេះ​ចប់។ នោះជាការត្រឹមត្រូវ - អ្នកត្រូវដឹង។ ប្រសិនបើអ្នកយល់វា នោះគ្មានកិច្ចការណាមួយក្នុងប្រធានបទនេះ នឹងធ្វើឱ្យអ្នកយល់ច្រឡំឡើយ។

"ល្បិច" ទាំងនោះដែលអ្នកនឹងរៀននឹងជួយអ្នកក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់ (មួយចំនួន) គំរូ។ ទៅជាឧបករណ៍បន្ថែម បច្ចេកទេសទាំងនេះពិតជាងាយស្រួលប្រើ។ បញ្ហា​អាច​ដោះស្រាយ​បាន​លឿន​ជាង​មុន 2-3 ដង និង​ចំណេញ​ពេល​សម្រាប់​ការ​ដោះស្រាយ​ផ្នែក C ។

គ្រប់យ៉ាង​គឺ​ល្អ​ប្រ​សើ!

ដោយក្តីគោរព Alexander Krutitskikh ។

P.S: ខ្ញុំនឹងដឹងគុណប្រសិនបើអ្នកប្រាប់ខ្ញុំអំពីគេហទំព័រនៅលើបណ្តាញសង្គម។

ដេរីវេនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។

សេចក្តីផ្តើម។

ការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តទាំងនេះត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់និស្សិតនៃមហាវិទ្យាល័យវិស្វកម្មឧស្សាហកម្ម និងសំណង់ស៊ីវិល។ ពួកគេត្រូវបានចងក្រងទាក់ទងទៅនឹងកម្មវិធីនៃវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យានៅក្នុងផ្នែក "ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរមួយ" ។

ការវិវឌ្ឍន៍គឺជាមគ្គុទ្ទេសក៍វិធីសាស្រ្តតែមួយ ដែលរួមមានៈ ព័ត៌មានទ្រឹស្តីខ្លីៗ។ ភារកិច្ច និងលំហាត់ "ធម្មតា" ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត និងការពន្យល់សម្រាប់ដំណោះស្រាយទាំងនេះ។ ជម្រើសត្រួតពិនិត្យ។

លំហាត់បន្ថែមនៅចុងបញ្ចប់នៃកថាខណ្ឌនីមួយៗ។ រចនាសម្ព័ននៃការអភិវឌ្ឍន៍បែបនេះធ្វើឱ្យពួកគេស័ក្តិសមសម្រាប់ជំនាញឯករាជ្យនៃផ្នែក ដោយមានជំនួយតិចតួចបំផុតពីគ្រូ។

§មួយ។ និយមន័យនៃដេរីវេ។

អត្ថន័យមេកានិក និងធរណីមាត្រ

ដេរីវេ។

គោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុ គឺជាគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ វាបានកើតឡើងនៅដើមសតវត្សទី 17 ។ ការបង្កើតគោលគំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាប្រវត្តិសាស្ត្រជាមួយនឹងបញ្ហាពីរ៖ បញ្ហានៃល្បឿននៃចលនាអថេរ និងបញ្ហានៃតង់ហ្សង់ទៅខ្សែកោង។

កិច្ចការទាំងនេះ ទោះបីជាមានខ្លឹមសារខុសគ្នាក៏ដោយ ក៏នាំទៅរកប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាដូចគ្នា ដែលត្រូវតែអនុវត្តលើមុខងារមួយ។ ប្រតិបត្តិការនេះបានទទួលឈ្មោះពិសេសក្នុងគណិតវិទ្យា។ វាត្រូវបានគេហៅថាប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារមួយ។ លទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេ។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=f(x) នៅចំណុច x0 គឺជាដែនកំណត់ (ប្រសិនបើវាមាន) នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់។
នៅ
.

និស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានបញ្ជាក់ជាធម្មតាដូចខាងក្រោមៈ
.

ដូច្នេះតាមនិយមន័យ

និមិត្ត​សញ្ញា​ក៏​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​ដេរីវេ
.

អត្ថន័យមេកានិចនៃដេរីវេ។

ប្រសិនបើ s = s (t) គឺជាច្បាប់នៃចលនា rectilinear នៃចំណុចសម្ភារៈ នោះ
គឺជាល្បឿននៃចំណុចនេះនៅពេល t ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y=f(x) មានដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ បន្ទាប់មកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច
ស្មើ
.

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នៅចំណុច =2:

1) ចូរយើងផ្តល់ចំណុចមួយ។ = 2 បង្កើន
. សម្គាល់​ឃើញ​ថា។

2) ស្វែងរកការបង្កើនមុខងារនៅចំណុច =2:

3) ផ្សំសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់:

អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញដែនកំណត់នៃទំនាក់ទំនងនៅ
:

.

ដូច្នេះ
.

§ 2. ដេរីវេនៃមួយចំនួន

មុខងារសាមញ្ញបំផុត។

សិស្សត្រូវរៀនពីរបៀបគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ជាក់លាក់៖ y=x,y= ហើយជាទូទៅ y = .

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=x ។

ទាំងនោះ។ (x)′=1.

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍

ដេរីវេ

អនុញ្ញាតឱ្យមាន
បន្ទាប់មក

វាងាយស្រួលក្នុងការកត់សម្គាល់គំរូមួយនៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល
នៅ n=1,2,3។

អាស្រ័យហេតុនេះ

. (1)

រូបមន្តនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ n ពិតប្រាកដណាមួយ។

ជាពិសេសដោយប្រើរូបមន្ត (១) យើងមាន៖

;

.

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

.

.

មុខងារនេះគឺជាករណីពិសេសនៃមុខងារនៃទម្រង់

នៅ
.

ដោយប្រើរូបមន្ត (1) យើងមាន

.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = sin x និង y = cos x ។

អនុញ្ញាតឱ្យ y = sinx ។

ចែកដោយ ∆x យើងទទួលបាន

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ជា ∆x → 0 យើងមាន

អនុញ្ញាតឱ្យ y=cosx ។

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ជា ∆x → 0 យើងទទួលបាន

;
. (2)

§៣. ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នា។

ពិចារណាច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ1 . ប្រសិនបើអនុគមន៍ u=u(x) និង v=v(x) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះផលបូករបស់ពួកគេក៏អាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុចនេះ ហើយដេរីវេនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃពាក្យដែលបានមកពី៖ (u+v)"=u"+v"(3)

ភស្តុតាង៖ ពិចារណាមុខងារ y=f(x)=u(x)+v(x)។

ការកើនឡើង ∆x នៃអាគុយម៉ង់ x ត្រូវគ្នាទៅនឹងការបង្កើន ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) នៃអនុគមន៍ u និង v ។ បន្ទាប់មកមុខងារ y នឹងត្រូវបានបង្កើន

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

អាស្រ័យហេតុនេះ

ដូច្នេះ (u+v)"=u"+v"។

ទ្រឹស្តីបទ2. ប្រសិនបើមុខងារ u=u(x) និង v=v(x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x នោះផលិតផលរបស់ពួកគេក៏អាចខុសគ្នានៅចំណុចដូចគ្នាដែរ។ ក្នុងករណីនេះ ដេរីវេនៃផលិតផលត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តខាងក្រោម។ : (uv) "=u" v + uv "។ (4)

ភ័ស្តុតាង៖ អនុញ្ញាតឱ្យ y = uv ដែល u និង v គឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៃ x ។ អនុញ្ញាតឱ្យ x ត្រូវបានបង្កើនដោយ ∆x បន្ទាប់មកអ្នកនឹងត្រូវបានបង្កើនដោយ ∆u, v នឹងត្រូវបានបង្កើនដោយ ∆v ហើយ y នឹងត្រូវបានបន្ថែមដោយ ∆y ។

យើងមាន y+∆y=(u+∆u)(v+∆v) ឬ

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v។

ដូច្នេះ ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v ។

ពី​ទីនេះ

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ជា ∆x → 0 ហើយពិចារណាថា u និង v មិនអាស្រ័យលើ ∆x យើងមាន

ទ្រឹស្តីបទ ៣. ដេរីវេនៃប្រភាគនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងប្រភាគ ភាគបែងស្មើនឹងការេនៃផ្នែកចែក ហើយភាគយកគឺជាភាពខុសគ្នារវាងផលគុណនៃដេរីវេនៃភាគលាភដោយអ្នកចែក និងផលនៃ ភាគលាភដោយដេរីវេនៃការបែងចែក, i.e.

ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មក
(5)

ទ្រឹស្តីបទ ៤.ដេរីវេនៃថេរគឺសូន្យ, i.e. ប្រសិនបើ y = C ដែល С = const បន្ទាប់មក y" = 0 ។

ទ្រឹស្តីបទ ៥.កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ, i.e. ប្រសិនបើ y=Cu(x) ដែល С=const បន្ទាប់មក y"=Cu"(x)។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

.

មុខងារនេះមានទម្រង់
ដែលជាកន្លែងដែល u = x, v = cosx ។ ការអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា (4) យើងរកឃើញ

.

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

.

យើងអនុវត្តរូបមន្ត (5) ។

នៅទីនេះ
;
.

ភារកិច្ច។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រោម៖

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

ផ្សំសមាមាត្រ និងគណនាដែនកំណត់.

កន្លែងណា​ដែល តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់ភាពខុសគ្នា? សូមអរគុណដល់ដែនកំណត់តែមួយ។ វាហាក់បីដូចជាវេទមន្ត ប៉ុន្តែការពិត - បន្តិចនៃដៃ និងគ្មានការក្លែងបន្លំ។ នៅលើមេរៀន តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ?ខ្ញុំចាប់ផ្តើមពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ ដែលដោយប្រើនិយមន័យ ខ្ញុំបានរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។ សម្រាប់គោលបំណងនៃការឡើងកំដៅនៃការយល់ដឹង យើងនឹងបន្តរំខាន តារាងដេរីវេដោយគោរពក្បួនដោះស្រាយ និងដំណោះស្រាយបច្ចេកទេស៖

ឧទាហរណ៍ ១

តាមពិត វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ករណីពិសេសនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល ដែលជាធម្មតាលេចឡើងក្នុងតារាង៖ .

ការសម្រេចចិត្តបច្ចេកទេសជាផ្លូវការតាមពីរវិធី។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តដំបូងដែលធ្លាប់ស្គាល់រួចហើយ៖ ជណ្ដើរចាប់ផ្តើមដោយបន្ទះក្តារ ហើយមុខងារដេរីវេចាប់ផ្តើមដោយដេរីវេនៅចំនុចមួយ។

ពិចារណា ខ្លះ(ជាក់លាក់) ចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិ ដែនមុខងារដែលមានដេរីវេ។ កំណត់ការកើនឡើងនៅចំណុចនេះ។ (ជាការពិតណាស់, មិនលើសo/o -ខ្ញុំ)និងបង្កើតការបង្កើនមុខងារដែលត្រូវគ្នា៖

តោះគណនាដែនកំណត់៖

ភាពមិនប្រាកដប្រជា 0:0 ត្រូវបានលុបចោលដោយបច្ចេកទេសស្ដង់ដារមួយដែលត្រូវបានចាត់ទុកថានៅឆ្ងាយដូចសតវត្សទី 1 មុនគ។ គុណភាគយក និងភាគបែងដោយកន្សោមជាប់ :

បច្ចេកទេសសម្រាប់ដោះស្រាយដែនកំណត់បែបនេះត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតនៅក្នុងមេរៀនណែនាំ។ អំពីដែនកំណត់នៃមុខងារ.

ចាប់តាំងពីចំណុចណាមួយនៃចន្លោះពេលអាចត្រូវបានជ្រើសរើសជាបន្ទាប់មកដោយការជំនួស យើងទទួលបាន៖

ចម្លើយ

ជាថ្មីម្តងទៀត សូមរីករាយជាមួយលោការីត៖

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ

ការសម្រេចចិត្ត៖ សូម​យើង​ពិចារណា​អំពី​វិធី​សាស្ត្រ​ផ្សេង​គ្នា​ក្នុង​ការ​លើក​កម្ពស់​កិច្ចការ​ដូច​គ្នា។ វាគឺដូចគ្នាបេះបិទ ប៉ុន្តែវាសមហេតុផលជាងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការរចនា។ គំនិតគឺដើម្បីកម្ចាត់ subscript នៅដើមនៃដំណោះស្រាយ ហើយប្រើអក្សរជំនួសឱ្យអក្សរ។

ពិចារណា បំពានចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិ ដែនមុខងារ (ចន្លោះពេល) ហើយកំណត់ការបន្ថែមនៅក្នុងវា។ ហើយនៅទីនេះ ដោយវិធីនេះ ដូចក្នុងករណីភាគច្រើន អ្នកអាចធ្វើបានដោយគ្មានការកក់ទុក ចាប់តាំងពីអនុគមន៍លោការីតគឺអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យ។

បន្ទាប់មកការបង្កើនមុខងារដែលត្រូវគ្នាគឺ៖

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ៖

ភាពងាយស្រួលនៃការរចនាគឺមានតុល្យភាពដោយការភ័ន្តច្រឡំដែលអ្នកចាប់ផ្តើមដំបូង (និងមិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះ) អាចជួបប្រទះ។ យ៉ាងណាមិញ យើងធ្លាប់ដឹងពីការពិតដែលថាអក្សរ “X” ផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងដែនកំណត់! ប៉ុន្តែនៅទីនេះអ្វីៗគឺខុសគ្នា៖ - រូបសំណាកបុរាណមួយ និង - អ្នកទស្សនានៅរស់ ដើរយ៉ាងលឿនតាមច្រករបៀងនៃសារមន្ទីរ។ នោះគឺ "x" គឺ "ដូចជាថេរ" ។

ខ្ញុំនឹងធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើការលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ជាជំហានៗ៖

(1) ប្រើទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត .

(2) ក្នុងតង្កៀប យើងបែងចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ។

(3) ក្នុង​ភាគបែង យើង​គុណ​និង​ចែក​ដោយ "x" ដោយ​សិប្បនិមិត្ត ដើម្បី​ទាញយក​ប្រយោជន៍ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ ខណៈពេលដែលជា គ្មានដែនកំណត់ឈរចេញ។

ចម្លើយ៖ តាមនិយមន័យនៃដេរីវេ៖

ឬនិយាយឱ្យខ្លី៖

ខ្ញុំស្នើឱ្យបង្កើតរូបមន្តតារាងពីរបន្ថែមទៀតដោយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ក្នុងករណីនេះ ការកើនឡើងដែលបានចងក្រងមានភាពងាយស្រួលភ្លាមៗដើម្បីកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងរួម។ គំរូប្រហាក់ប្រហែលនៃកិច្ចការនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន (វិធីសាស្ត្រទីមួយ)។

ឧទាហរណ៍ 3៖ការសម្រេចចិត្ត ៖ ពិចារណាចំណុចខ្លះ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់វិសាលភាពនៃមុខងារ . កំណត់ការកើនឡើងនៅចំណុចនេះ។ និងបង្កើតការបង្កើនមុខងារដែលត្រូវគ្នា៖

ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនៅចំណុចមួយ។ :


ចាប់តាំងពី អ្នកអាចជ្រើសរើសចំណុចណាមួយ។ វិសាលភាពមុខងារ បន្ទាប់មក និង
ចម្លើយ : តាមនិយមន័យនៃដេរីវេ

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេតាមនិយមន័យ

ហើយនៅទីនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវតែត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ. ដំណោះស្រាយត្រូវបានរៀបចំតាមវិធីទីពីរ។

ដូចគ្នានេះដែរចំនួនផ្សេងទៀត។ ដេរីវេនៃតារាង. បញ្ជីពេញលេញអាចរកបាននៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់សាលា ឬឧទាហរណ៍ ភាគទី 1 នៃ Fichtenholtz ។ ខ្ញុំមិនឃើញចំណុចច្រើនក្នុងការសរសេរឡើងវិញពីសៀវភៅ និងភស្តុតាងនៃច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានោះទេ - ពួកគេក៏ត្រូវបានបង្កើតដោយរូបមន្តផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ 4៖ការសម្រេចចិត្ត , ជាកម្មសិទ្ធិ ហើយកំណត់ការបង្កើននៅក្នុងវា។

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ៖

ការប្រើប្រាស់ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យ

ចម្លើយ : a-priory

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ ដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ

ការសម្រេចចិត្ត៖ ប្រើរចនាប័ទ្មដែលមើលឃើញដំបូង។ ចូរយើងពិចារណាចំណុចមួយចំនួនដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ ចូរយើងកំណត់ការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់នៅក្នុងវា។ បន្ទាប់មកការបង្កើនមុខងារដែលត្រូវគ្នាគឺ៖

ប្រហែលជាអ្នកអានមួយចំនួនមិនទាន់បានយល់ច្បាស់ពីគោលការណ៍ដែលការបង្កើនគួរតែត្រូវបានធ្វើឡើងនោះទេ។ យើងយកចំណុចមួយ (លេខ) ហើយរកតម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវា៖ នោះគឺចូលទៅក្នុងមុខងារ ជំនួស​អោយ"x" គួរតែត្រូវបានជំនួស។ ឥឡូវនេះ យើងក៏យកលេខជាក់លាក់មួយ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងមុខងារ ជំនួស​អោយ"x": . យើងសរសេរភាពខុសគ្នាខណៈពេលដែលវាចាំបាច់ វង់ក្រចកទាំងស្រុង.

ការបង្កើនមុខងារផ្សំ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការធ្វើឱ្យសាមញ្ញភ្លាមៗ. ដើម្បី​អ្វី? សម្របសម្រួលនិងកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃដែនកំណត់បន្ថែមទៀត។

យើងប្រើរូបមន្ត តង្កៀបបើក និងកាត់បន្ថយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអាចកាត់បន្ថយបាន៖

ទួរគី​ត្រូវ​ខ្ទេច​គ្មាន​បញ្ហា​ជាមួយ​នឹង​សាច់​អាំង​ទេ៖

នៅទីបំផុត៖

ដោយសារចំនួនពិតប្រាកដណាមួយអាចត្រូវបានជ្រើសរើសជាគុណភាព យើងធ្វើការជំនួស និងទទួលបាន .

ចម្លើយ: a-priory ។

សម្រាប់គោលបំណងផ្ទៀងផ្ទាត់ យើងរកឃើញដេរីវេដោយប្រើ តារាងនិងច្បាប់នៃការបែងចែក:

វាតែងតែមានប្រយោជន៍ និងរីករាយក្នុងការដឹងពីចំលើយត្រឹមត្រូវជាមុន ដូច្នេះវាជាការប្រសើរក្នុងចិត្ត ឬលើសេចក្តីព្រាង ផ្លាស់ប្តូរមុខងារដែលបានស្នើឡើងតាមរបៀប "រហ័ស" នៅដើមដំបូងនៃដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដោយនិយមន័យនៃដេរីវេ

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ លទ្ធផលគឺនៅលើផ្ទៃ៖

ឧទាហរណ៍ ៦៖ការសម្រេចចិត្ត ៖ ពិចារណាចំណុចខ្លះ , ជាកម្មសិទ្ធិ ហើយកំណត់ការបន្ថែមនៃអាគុយម៉ង់នៅក្នុងវា។ . បន្ទាប់មកការបង្កើនមុខងារដែលត្រូវគ្នាគឺ៖


តោះគណនាដេរីវេ៖


ដូចនេះ៖
ដោយសារតែដូច លេខពិតណាមួយអាចត្រូវបានជ្រើសរើស និង
ចម្លើយ : a-priory ។

តោះត្រឡប់ទៅរចនាប័ទ្មលេខ 2៖

ឧទាហរណ៍ ៧

ចូរយើងស្វែងយល់ភ្លាមៗនូវអ្វីដែលគួរកើតឡើង។ ដោយ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ:

ការសម្រេចចិត្ត៖ ពិចារណាចំណុចបំពានដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ កំណត់ការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់នៅក្នុងវា និងបង្កើតការបង្កើនមុខងារ៖

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ៖


(1) ប្រើ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ .

(2) នៅក្រោមស៊ីនុស យើងបើកតង្កៀប នៅក្រោមកូស៊ីនុស យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា។

(3) នៅក្រោមស៊ីនុស យើងកាត់បន្ថយពាក្យ នៅក្រោមកូស៊ីនុស យើងបែងចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ។

(4) ដោយសារតែភាពចម្លែកនៃស៊ីនុស យើងដក "ដក" ចេញ។ នៅក្រោមកូស៊ីនុស យើងបង្ហាញថាពាក្យ .

(5) យើង​គុណ​ដោយ​សិប្បនិម្មិត​ដើម្បី​ប្រើ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង. ដូច្នេះ ភាពមិនប្រាកដប្រជាត្រូវបានលុបចោល យើងសិតលទ្ធផល។

ចម្លើយ៖ a-priory

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញការលំបាកចម្បងនៃបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណាគឺស្ថិតនៅលើភាពស្មុគស្មាញនៃដែនកំណត់របស់វា + ភាពដើមបន្តិចបន្តួចនៃការវេចខ្ចប់។ នៅក្នុងការអនុវត្ត វិធីសាស្រ្តទាំងពីរនៃការរចនាត្រូវបានជួបប្រទះ ដូច្នេះខ្ញុំរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តទាំងពីរនេះឱ្យបានលម្អិតតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ពួកវាគឺសមមូល ប៉ុន្តែនៅតែក្នុងចំណាប់អារម្មណ៏ជាប្រធានបទរបស់ខ្ញុំ វាជាការសមរម្យជាងសម្រាប់អត់ចេះសោះក្នុងការប្រកាន់ភ្ជាប់ជម្រើសទី 1 ជាមួយ "X សូន្យ" ។

ឧទាហរណ៍ ៨

ដោយប្រើនិយមន័យ ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍

ឧទាហរណ៍ ៨៖ការសម្រេចចិត្ត ៖ ពិចារណាចំណុចដែលបំពាន , ជាកម្មសិទ្ធិ ចូរកំណត់ការបង្កើននៅក្នុងវា។ និងបង្កើនមុខងារ៖

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ៖

យើងប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង:

ចម្លើយ : a-priory

ចូរយើងវិភាគកំណែដ៏កម្រនៃបញ្ហា៖

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយដោយប្រើនិយមន័យនៃដេរីវេ។

ទីមួយ តើអ្វីគួរជាចំណុចសំខាន់? ចំនួន

ចូរយើងគណនាចម្លើយតាមវិធីស្តង់ដារ៖

ការសម្រេចចិត្ត៖ តាមទស្សនៈនៃភាពច្បាស់លាស់ កិច្ចការនេះគឺសាមញ្ញជាង ដោយសាររូបមន្តពិចារណាតម្លៃជាក់លាក់ជំនួសវិញ។

យើងកំណត់ការបន្ថែមនៅចំណុច និងបង្កើតការបង្កើនដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារ៖

គណនាដេរីវេនៅចំណុចមួយ៖

យើងប្រើរូបមន្តដ៏កម្រមួយសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃតង់សង់ ហើយម្តងទៀតកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយទៅ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យដំបូង:

ចម្លើយ៖ តាមនិយមន័យនៃដេរីវេនៅចំណុចមួយ។

ភារកិច្ចមិនពិបាកដោះស្រាយទេហើយ "ក្នុងន័យទូទៅ" - វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីជំនួសឬសាមញ្ញអាស្រ័យលើវិធីសាស្ត្ររចនា។ ក្នុងករណីនេះ ជាការពិត អ្នកមិនទទួលបានលេខទេ ប៉ុន្តែជាអនុគមន៍ដេរីវេ។

ឧទាហរណ៍ 10

ដោយប្រើនិយមន័យ ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ នៅចំណុចមួយ (មួយក្នុងចំណោមនោះអាចនឹងក្លាយទៅជាគ្មានកំណត់) ដែលខ្ញុំបាននិយាយរួចហើយនៅក្នុងពាក្យទូទៅ មេរៀនទ្រឹស្តីអំពីដេរីវេ.

មុខងារដែលបានកំណត់ដោយផ្នែកខ្លះក៏អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុច "ប្រសព្វ" នៃក្រាហ្វ ឧទាហរណ៍ catdog មានដេរីវេទូទៅ និងតង់សង់ទូទៅ (abscissa) នៅចំណុច។ ខ្សែកោង, បាទខុសគ្នាដោយ ! អ្នក​ដែល​ចង់​អាច​ផ្ទៀងផ្ទាត់​នេះ​សម្រាប់​ខ្លួន​គេ​លើ​គំរូ​នៃ​ឧទាហរណ៍​ដែល​ទើប​តែ​ដោះស្រាយ។

© 2015-2019 គេហទំព័រ
សិទ្ធិទាំងអស់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ្នកនិពន្ធរបស់ពួកគេ។ គេហទំព័រនេះមិនទាមទារសិទ្ធិជាអ្នកនិពន្ធទេ ប៉ុន្តែផ្តល់ការប្រើប្រាស់ដោយឥតគិតថ្លៃ។
កាលបរិច្ឆេទបង្កើតទំព័រ៖ 2017-06-11

ប្រភេទការងារ៖ ៧

លក្ខខណ្ឌ

បន្ទាត់ y=3x+2 គឺតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=-12x^2+bx-10។ រក b ដែលផ្តល់ឱ្យថា abscissa នៃចំណុចប៉ះគឺតិចជាងសូន្យ។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ការសម្រេចចិត្ត

អនុញ្ញាតឱ្យ x_0 ជា abscissa នៃចំណុចនៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=-12x^2+bx-10 ដែលតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនេះឆ្លងកាត់។

តម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុច x_0 គឺស្មើនឹងជម្រាលនៃតង់សង់ ពោលគឺ y"(x_0)=-24x_0+b=3។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំនុចតង់សង់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ និង តង់សង់ ឧ. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2។ \end(ករណី)

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងទទួលបាន x_0^2=1 ដែលមានន័យថា x_0=-1 ឬ x_0=1 ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃ abscissa ចំណុចប៉ះគឺតិចជាងសូន្យ ដូច្នេះ x_0=-1 បន្ទាប់មក b=3+24x_0=-21 ។

ចម្លើយ

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ តង់សង់ទៅក្រាហ្វមុខងារ

លក្ខខណ្ឌ

បន្ទាត់ y=-3x+4 គឺស្របទៅនឹងតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=-x^2+5x-7 ។ ស្វែងរក abscissa នៃចំណុចទំនាក់ទំនង។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ការសម្រេចចិត្ត

ចំណោទ​នៃ​បន្ទាត់​ទៅ​ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍ y=-x^2+5x-7 នៅ​ចំណុច​បំពាន x_0 គឺ y"(x_0)។ ប៉ុន្តែ y"=-2x+5 ដូច្នេះ y"(x_0)=- 2x_0+5. មេគុណមុំនៃបន្ទាត់ y=-3x+4 ដែលបានបញ្ជាក់ក្នុងលក្ខខណ្ឌគឺ -3. បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមានមេគុណជម្រាលដូចគ្នា។ ដូច្នេះហើយ យើងរកឃើញតម្លៃបែបនេះ x_0 ដែល =-2x_0 +5=-3 ។

យើងទទួលបាន: x_0 = 4 ។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ត្រៀមប្រឡង-២០១៧។ កម្រិតទម្រង់។ អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova ។

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ តង់សង់ទៅក្រាហ្វមុខងារ

លក្ខខណ្ឌ

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ការសម្រេចចិត្ត

តាមរូប យើងកំណត់ថាតង់សង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A(-6; 2) និង B(-1; 1) ។ សម្គាល់ដោយ C(-6; 1) ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ x=-6 និង y=1 និងដោយ \alpha មុំ ABC (វាអាចមើលឃើញក្នុងរូបភាពថាវាច្បាស់)។ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ AB បង្កើតជាមុំ obtuse \pi -\alpha ជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុក។

ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថា tg(\pi -\alpha) នឹងជាតម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x_0។ សម្គាល់​ឃើញ​ថា tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15។ពីទីនេះ តាមរូបមន្តកាត់បន្ថយ យើងទទួលបាន៖ tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2 ។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ត្រៀមប្រឡង-២០១៧។ កម្រិតទម្រង់។ អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova ។

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ តង់សង់ទៅក្រាហ្វមុខងារ

លក្ខខណ្ឌ

បន្ទាត់ y=-2x-4 គឺតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=16x^2+bx+12។ រក b ដែលផ្តល់ឱ្យថា abscissa នៃចំណុចប៉ះគឺធំជាងសូន្យ។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ការសម្រេចចិត្ត

អនុញ្ញាតឱ្យ x_0 ជា abscissa នៃចំណុចនៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=16x^2+bx+12 តាមរយៈនោះ

គឺតង់សង់ទៅនឹងក្រាហ្វនេះ។

តម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុច x_0 គឺស្មើនឹងជម្រាលនៃតង់សង់ ពោលគឺ y "(x_0)=32x_0+b=-2។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំនុចតង់សង់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ និង តង់សង់ ឧ. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4។ \end(ករណី)

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន x_0^2=1 ដែលមានន័យថា x_0=-1 ឬ x_0=1 ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃ abscissa ចំណុចប៉ះគឺធំជាងសូន្យ ដូច្នេះ x_0=1 បន្ទាប់មក b=-2-32x_0=-34 ។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ត្រៀមប្រឡង-២០១៧។ កម្រិតទម្រង់។ អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova ។

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ តង់សង់ទៅក្រាហ្វមុខងារ

លក្ខខណ្ឌ

រូបបង្ហាញពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (-2; 8)។ កំណត់ចំនួនចំនុចដែលតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y=6 ។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ការសម្រេចចិត្ត

បន្ទាត់ y=6 គឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។ ដូច្នេះហើយ យើងរកឃើញចំណុចបែបនេះ ដែលតង់សង់ទៅនឹងក្រាហ្វមុខងារគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។ នៅលើគំនូសតាងនេះ ពិន្ទុបែបនេះគឺជាចំណុចខ្លាំងបំផុត (ពិន្ទុអតិបរមា ឬអប្បបរមា)។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមាន 4 ចំណុចខ្លាំង។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ត្រៀមប្រឡង-២០១៧។ កម្រិតទម្រង់។ អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova ។

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ តង់សង់ទៅក្រាហ្វមុខងារ

លក្ខខណ្ឌ

បន្ទាត់ y=4x-6 គឺស្របទៅនឹងតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x^2-4x+9 ។ ស្វែងរក abscissa នៃចំណុចទំនាក់ទំនង។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ការសម្រេចចិត្ត

ជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d x ^ 2-4x + 9 នៅចំណុចបំពាន x_0 គឺ y "(x_0) ។ ប៉ុន្តែ y" \u003d 2x-4 ដែលមានន័យថា y "(x_0) \ u003d 2x_0-4 ។ ជម្រាលនៃតង់សង់ y \u003d 4x-7 ដែលបានបញ្ជាក់ក្នុងលក្ខខណ្ឌគឺស្មើនឹង 4 ។ បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមានជម្រាលដូចគ្នា។ ដូច្នេះហើយ យើងរកឃើញតម្លៃបែបនេះ x_0 ដែល 2x_0-4 \u003d 4. យើងទទួលបាន ៖ x_0 \u003d ៤.

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ត្រៀមប្រឡង-២០១៧។ កម្រិតទម្រង់។ អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova ។

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។ តង់សង់ទៅក្រាហ្វមុខងារ

លក្ខខណ្ឌ

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x) និងតង់សង់ទៅវានៅចំណុចជាមួយ abscissa x_0 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x_0។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ការសម្រេចចិត្ត

តាមរូបភាព យើងកំណត់ថាតង់សង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A(1; 1) និង B(5; 4)។ សម្គាល់ដោយ C(5; 1) ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ x=5 និង y=1 និងដោយ \alpha មុំ BAC (វាអាចមើលឃើញក្នុងរូបភាពថាវាស្រួច)។ បន្ទាប់មក បន្ទាត់ AB បង្កើតជាមុំ \ អាល់ហ្វា ជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុក។