អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលគ្មានកំណត់

ជួនកាល អាំងតេក្រាលមិនសមរម្យបែបនេះក៏ត្រូវបានគេហៅថាជាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយ..gif" width="49" height="19 src="> ។

មិនសូវសាមញ្ញ គឺជាអាំងតេក្រាលដែលមានដែនកំណត់ទាបគ្មានកំណត់ ឬមានដែនកំណត់គ្មានកំណត់ពីរ៖ .

យើងនឹងពិចារណាករណីពេញនិយមបំផុត https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? ទេមិនមែនជានិច្ចទេ។ អាំងតេក្រាល។https://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

ចូរពណ៌នាក្រាហ្វនៃអាំងតេក្រាលក្នុងគំនូរ។ ក្រាហ្វធម្មតា និងរាងចតុកោណកែងសម្រាប់ករណីនេះមើលទៅដូចនេះ៖

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">" ម្យ៉ាងវិញទៀត តំបន់នេះក៏គ្មានដែនកំណត់ដែរ។ ដូច្នេះវាប្រហែលជា។ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយថាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ខុសគ្នា.

2) ប៉ុន្តែ. ដូច​ជា paradoxical ដូច​ដែល​វា​អាច​នឹង​ស្តាប់​ទៅ​តំបន់​នៃ​តួ​លេខ​ដែល​គ្មាន​ដែន​កំណត់​អាច​ស្មើ​នឹង ... ចំនួន​កំណត់! ឧទាហរណ៍៖ .. ក្នុងករណីទីពីរ អាំងតេក្រាលមិនសមរម្យ បញ្ចូលគ្នា.

តើ​នឹង​មាន​អ្វី​កើត​ឡើង​ប្រសិន​បើ​អន្ទាក់​កោង​គ្មាន​កំណត់​ស្ថិត​នៅ​ខាងក្រោម​អ័ក្ស?.gif" width="217" height="51 src="> ។

: .

ឧទាហរណ៍ ១

អាំងតេក្រាល https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">ដែលមានន័យថាអ្វីៗទាំងអស់គឺល្អ ហើយអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើ " វិធីសាស្រ្ត "ទៀងទាត់។

ការអនុវត្តរូបមន្តរបស់យើង https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

នោះគឺការបង្វែរអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ហើយផ្ទៃនៃរាងចតុកោណកែងដែលមានស្រមោលគឺស្មើនឹងភាពគ្មានកំណត់។

នៅពេលដោះស្រាយអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការដឹងពីរបៀបដែលក្រាហ្វនៃមុខងារបឋមសំខាន់ៗមើលទៅដូច!

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ឬបង្កើតភាពខុសគ្នារបស់វា។

តោះធ្វើគំនូរ៖

ដំបូង​យើង​សម្គាល់​ឃើញ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ អាំងតេក្រាល​គឺ​បន្ត​នៅ​ចន្លោះ​ពាក់កណ្តាល។ ល្អ..gif" width="327" height="53">

(1) យើងយកអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុតនៃមុខងារថាមពល (ករណីពិសេសនេះមាននៅក្នុងតារាងជាច្រើន)។ វាជាការប្រសើរក្នុងការរំកិលដកភ្លាមៗឱ្យលើសពីសញ្ញាកំណត់ ដើម្បីកុំឱ្យវាស្ថិតនៅក្រោមបាតជើងក្នុងការគណនាបន្ថែមទៀត។

(2) យើងជំនួសដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមដោយយោងតាមរូបមន្ត Newton-Leibniz ។

(3) យើងបង្ហាញថា https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (សុភាពបុរស នេះត្រូវបានគេយល់ជាយូរមកហើយ) និងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ចម្លើយ។

ត្រង់នេះ ផ្ទៃនៃរាងចតុកោណកែងគ្មានកំណត់ ស្មើនឹងចំនួនកំណត់! មិនគួរឱ្យជឿប៉ុន្តែវាជាការពិត។

ឧទាហរណ៍ ៣

គណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ឬបង្កើតភាពខុសគ្នារបស់វា។

អាំងតេក្រាលកំពុងបន្ត។

ជាដំបូង ចូរយើងព្យាយាមស្វែងរកមុខងារ antiderivative (អាំងតេក្រាលមិនកំណត់)។

តើអាំងតេក្រាលតារាងមួយណាមើលទៅដូច? វារំឭកខ្ញុំអំពីតង់សង់ធ្នូ៖ . ពីការពិចារណាទាំងនេះ គំនិតបង្ហាញខ្លួនឯងថា វាជាការល្អក្នុងការទទួលបានការ៉េនៅក្នុងភាគបែង។ នេះត្រូវបានធ្វើដោយការជំនួស។

តោះជំនួស៖

វាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យ ពោលគឺដើម្បីបែងចែកលទ្ធផលដែលទទួលបាន៖

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ៖

(1) យើងសរសេរដំណោះស្រាយស្របតាមរូបមន្ត . វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីផ្លាស់ទីថេរភ្លាមៗលើសពីសញ្ញាកំណត់ដើម្បីកុំឱ្យរំខានដល់ការគណនាបន្ថែមទៀត។

(2) យើងជំនួសដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមដោយអនុលោមតាមរូបមន្ត Newton-Leibniz..gif" width="56" height="19 src=">?

(3) យើងទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ។ ការពិតដែលថាវាមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងដោយបេះដូង។

សិស្សកម្រិតខ្ពស់អាចមិនស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដាច់ដោយឡែកពីគ្នា និងមិនប្រើវិធីសាស្ត្រជំនួស ប៉ុន្តែប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបូកសរុបមុខងារក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយដោះស្រាយអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ "ភ្លាមៗ"។ ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយគួរតែមើលទៅដូចនេះ:

“

អាំងតេក្រាលគឺបន្តនៅ https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">
“

ឧទាហរណ៍ 4

គណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ឬបង្កើតភាពខុសគ្នារបស់វា។

! នេះគឺជាឧទាហរណ៍ធម្មតា ហើយអាំងតេក្រាលស្រដៀងគ្នាគឺជារឿងធម្មតាណាស់។ ធ្វើវាឱ្យបានល្អ! មុខងារ antiderivative ត្រូវបានរកឃើញនៅទីនេះដោយវិធីសាស្ត្រជ្រើសរើសការ៉េពេញលេញ។

ឧទាហរណ៍ ៥

គណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ឬបង្កើតភាពខុសគ្នារបស់វា។

អាំងតេក្រាលនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងលម្អិត នោះគឺជាដំបូងស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។ ហើយអ្នកអាចដោះស្រាយវាបាន "ភ្លាមៗ" - ដោយសង្ខេបមុខងារនៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល ..

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃមុខងារគ្មានដែនកំណត់

ជួនកាលអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីពីរ។ អាំងតេក្រាល​មិន​ត្រឹមត្រូវ​នៃ​ប្រភេទ​ទី​ពីរ​គឺ​មាន​ល្បិចកល "អ៊ិនគ្រីប" ក្រោម​អាំងតេក្រាល​កំណត់​ធម្មតា ហើយ​មើល​ទៅ​ដូច​គ្នា៖ ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) ឬ​នៅ​ចំណុច , 3) ​​​​ឬនៅចំណុចទាំងពីរក្នុងពេលតែមួយ 4) ឬសូម្បីតែនៅចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូល។ យើងនឹងពិចារណាករណីពីរដំបូង សម្រាប់ករណី 3-4 នៅចុងបញ្ចប់នៃអត្ថបទ មានតំណភ្ជាប់ទៅកាន់មេរៀនបន្ថែម។

គ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍ដើម្បីបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់៖ https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41"> បន្ទាប់មកភាគបែងរបស់យើងប្រែទៅជាសូន្យ។ នោះគឺ អាំងតេក្រាលមិនមាននៅត្រង់ចំណុចនេះទេ!

ជាទូទៅនៅពេលវិភាគអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ វាតែងតែចាំបាច់ដើម្បីជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលទាំងពីរទៅក្នុងអាំងតេក្រាល។..jpg" alt="(!LANG:អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ចំណុចឈប់ដំណើរការនៅក្នុងដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូល" width="323" height="380">!}

នៅទីនេះស្ទើរតែទាំងអស់គឺដូចគ្នាទៅនឹងអាំងតេក្រាលនៃប្រភេទទីមួយ។
អាំងតេក្រាលរបស់យើងជាលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃរាងចតុកោណកែងរាងពងក្រពើដែលមិនមានព្រំប្រទល់ពីខាងលើ។ ក្នុងករណីនេះ វាអាចមានជម្រើសពីរ៖ ការបង្វែរអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ (ផ្ទៃគឺគ្មានកំណត់) ឬអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវគឺស្មើនឹងចំនួនកំណត់ (នោះគឺតំបន់នៃតួរលេខគ្មានកំណត់!)។

វានៅសល់តែដើម្បីកែប្រែរូបមន្ត Newton-Leibniz ប៉ុណ្ណោះ។ វាក៏ត្រូវបានកែប្រែផងដែរ ដោយមានជំនួយពីដែនកំណត់ ប៉ុន្តែដែនកំណត់លែងមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ទៀតហើយ ប៉ុន្តែ ទៅ​នឹង​តម្លៃhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> នៅខាងស្ដាំ.

ឧទាហរណ៍ ៦

គណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ឬបង្កើតភាពខុសគ្នារបស់វា។

អាំងតេក្រាលទទួលរងនូវការបំបែកគ្មានកំណត់នៅចំណុចមួយ (កុំភ្លេចពិនិត្យដោយពាក្យសំដី ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង ប្រសិនបើអ្វីៗដំណើរការល្អជាមួយដែនកំណត់ខាងលើ!)

ដំបូងយើងគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

ការជំនួស៖

យើងគណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ៖

(1) តើមានអ្វីថ្មីនៅទីនេះ? ជាក់ស្តែងគ្មានអ្វីទាក់ទងនឹងបច្ចេកទេសទេ។ រឿងតែមួយគត់ដែលបានផ្លាស់ប្តូរគឺធាតុនៅក្រោមរូបតំណាងដែនកំណត់: . ការបន្ថែមមានន័យថាយើងមានបំណងតម្លៃនៅខាងស្តាំ (ដែលជាឡូជីខល - មើលក្រាហ្វ) ។ ដែនកំណត់បែបនេះនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ម្ខាង។ ក្នុងករណីនេះយើងមានដែនកំណត់ខាងស្តាំ។

(2) យើងជំនួសដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមដោយយោងតាមរូបមន្ត Newton-Leibniz ។

(3) ការយល់ដឹង https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. របៀបកំណត់កន្លែងដែលកន្សោមគួរទៅ? នៅក្នុងអ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសតម្លៃសម្រាប់វា ជំនួសបីភាគបួន ហើយបង្ហាញថា... យើងសិតចម្លើយ។

ក្នុងករណីនេះអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវគឺស្មើនឹងចំនួនអវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍ ៧

គណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ឬបង្កើតភាពខុសគ្នារបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ៨

គណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ឬបង្កើតភាពខុសគ្នារបស់វា។

ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមិនមាននៅចំណុច

រាងចតុកោណកែងគ្មានកំណត់សម្រាប់អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ មើលទៅដូចនេះ៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នានៅទីនេះ លើកលែងតែដែនកំណត់មានទំនោរទៅ ទៅ​នឹង​តម្លៃhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> យើងត្រូវតែចូលទៅជិតចំណុចបំបែក ឆ្វេង.

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយ៖ផ្នែកបន្ថែមនៃគំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ទៅនឹងករណីនៃអាំងតេក្រាលដែលមានដែនកំណត់ខាងលើ ឬខាងក្រោមនៃការរួមបញ្ចូលគ្មានដែនកំណត់ ឬដែនកំណត់ទាំងពីរនៃការរួមបញ្ចូលគឺគ្មានកំណត់។

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីពីរ៖ផ្នែកបន្ថែមនៃគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ទៅនឹងករណីនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍គ្មានដែនកំណត់ អាំងតេក្រាលមិនមាននៅចំនួនកំណត់នៃចំណុចនៃចន្លោះពេលកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល ងាកទៅរកភាពគ្មានកំណត់។

សម្រាប់ការប្រៀបធៀប។នៅពេលណែនាំគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់វាត្រូវបានសន្មតថាមុខងារ f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] ហើយចន្លោះពេលនៃការធ្វើសមាហរណកម្មមានកំណត់ ពោលគឺវាត្រូវបានកំណត់ដោយលេខ និងមិនមែនដោយភាពគ្មានកំណត់នោះទេ។ កិច្ចការមួយចំនួននាំឱ្យមានតម្រូវការក្នុងការបោះបង់ចោលការរឹតបន្តឹងទាំងនេះ។ នេះជារបៀបដែលអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវលេចឡើង។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវប្រែទៅជាសាមញ្ញណាស់។ នៅពេលដែលក្រាហ្វនៃមុខងារ y = f(x) គឺនៅពីលើអ័ក្ស គោអាំងតេក្រាល។ y = f(x) , abscissa និង ordinates x = ក , x = ខ. នៅក្នុងវេន អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវបង្ហាញពីតំបន់នៃអន្ទាក់កោង (គ្មានដែនកំណត់) ដែលរុំព័ទ្ធរវាងបន្ទាត់ y = f(x) (រូបភាពខាងក្រោមពណ៌ក្រហម) x = កនិងអ័ក្ស abscissa ។

អាំងតេក្រាល​មិន​ត្រឹមត្រូវ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ​សម្រាប់​ចន្លោះ​ពេល​គ្មាន​កំណត់​ផ្សេង​ទៀត៖

តំបន់នៃរាងចតុកោណកែងគ្មានកំណត់អាចជាចំនួនកំណត់ ដែលក្នុងករណីដែលអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេហៅថា convergent ។ តំបន់ក៏អាចជាភាពគ្មានកំណត់ ដែលក្នុងករណីនេះអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេហៅថា divergent ។

ការប្រើដែនកំណត់នៃអាំងតេក្រាលមួយជំនួសឱ្យអាំងតេក្រាលដែលមិនត្រឹមត្រូវ។ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ អ្នកត្រូវប្រើដែនកំណត់នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមាន ហើយមានកំណត់ (មិនស្មើភាពគ្មានកំណត់) នោះអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេហៅថា convergent បើមិនដូច្នេះទេ វាខុសគ្នា។ អ្វីដែលអថេរនៅក្រោមសញ្ញាកំណត់មាននិន្នាការអាស្រ័យលើថាតើយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយ ឬប្រភេទទីពីរ។ ចូរយើងស្វែងយល់អំពីវាឥឡូវនេះ។

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយ - ជាមួយនឹងដែនកំណត់គ្មានកំណត់ និងការបញ្ចូលគ្នារបស់ពួកគេ។

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវដែលមានដែនកំណត់ខាងលើគ្មានកំណត់

ដូច្នេះ កំណត់ត្រានៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ខុសពីអាំងតេក្រាលកំណត់ធម្មតា ដែលដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូលគឺគ្មានកំណត់។

និយមន័យ។ អាំងតេក្រាល​មិន​ត្រឹមត្រូវ​ជាមួយ​ដែន​កំណត់​ខាង​លើ​គ្មាន​កំណត់​នៃ​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​ពី​អនុគមន៍​បន្ត f(x) រវាង ក ពីមុន ∞ ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍នេះជាមួយនឹងដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល ខ និងដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូល ក បានផ្តល់ថាដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូលកើនឡើងដោយគ្មានកំណត់, i.e.

.

ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមាន ហើយស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួន ហើយមិនមែនរហូតដល់គ្មានដែនកំណត់ទេនោះ អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេហៅថា convergentហើយចំនួនដែលស្មើនឹងដែនកំណត់ត្រូវបានយកជាតម្លៃរបស់វា។ បើមិនដូច្នេះទេ។ អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេហៅថា divergentហើយ​គ្មាន​តម្លៃ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ចំពោះ​វា​ទេ។

ឧទាហរណ៍ 1. គណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ(ប្រសិនបើវាបញ្ចូលគ្នា) ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវយើងរកឃើញ

ដោយសារដែនកំណត់មាន ហើយស្មើនឹង 1 នោះបានផ្តល់ អាំងតេក្រាល​មិន​ត្រឹមត្រូវ​ចូល​រួមនិងស្មើនឹង 1 ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម អាំងតេក្រាលគឺស្ទើរតែដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ទី 1 ដែរ មានតែដឺក្រេនៃ x មិនមែនជាពីរទេ ប៉ុន្តែជាអក្សរ alpha ហើយភារកិច្ចគឺដើម្បីសិក្សាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា។ នោះហើយជាសំណួរនៅតែត្រូវឆ្លើយ៖ តើតម្លៃអាល់ហ្វាណាដែលអាំងតេក្រាលមិនសមរម្យនេះបញ្ចូលគ្នា ហើយតើតម្លៃអ្វីដែលវាខុសគ្នា?

ឧទាហរណ៍ 2. ស៊ើបអង្កេតការបញ្ចូលគ្នានៃអាំងតេក្រាលដែលមិនត្រឹមត្រូវ។(ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលទាបគឺធំជាងសូន្យ)។

ដំណោះស្រាយ។ ឧបមាថាដំបូងនោះបន្ទាប់មក

នៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល យើងឆ្លងទៅដែនកំណត់នៅ៖

វាងាយស្រួលមើលថាដែនកំណត់នៅខាងស្តាំមាន ហើយស្មើនឹងសូន្យនៅពេលដែល , i.e. , និងមិនមាននៅពេលដែល , i.e.

ក្នុងករណីដំបូង នោះគឺពេលណា។ បើអញ្ចឹង ហើយមិនមានទេ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាននៃការសិក្សារបស់យើងមានដូចខាងក្រោម៖ អាំងតេក្រាល​មិន​ត្រឹមត្រូវ​ចូល​រួមនៅ និង ខុសគ្នានៅ។

ការ​អនុវត្ត​ទៅ​នឹង​ប្រភេទ​ដែល​បាន​សិក្សា​នៃ​អាំងតេក្រាល​មិន​ត្រឹមត្រូវ រូបមន្ត Newton-Leibniz យើងអាចទាញយករូបមន្តស្រដៀងគ្នាខាងក្រោម៖

.

នេះគឺជារូបមន្តទូទៅ ញូតុន-លីបនីស។

ឧទាហរណ៍ 3. គណនាអាំងតេក្រាលមិនសមរម្យ(ប្រសិនបើវាបញ្ចូលគ្នា) ។

ដែនកំណត់នៃអាំងតេក្រាលនេះមាន៖

អាំងតេក្រាលទីពីរ ដែលជាផលបូកបង្ហាញពីអាំងតេក្រាលដើម៖

ដែនកំណត់នៃអាំងតេក្រាលនេះក៏មានផងដែរ៖

.

យើងរកឃើញផលបូកនៃអាំងតេក្រាលពីរ ដែលជាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវដើមដែលមានដែនកំណត់គ្មានកំណត់ពីរ៖

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីពីរ - ពីមុខងារគ្មានដែនកំណត់និងការបញ្ចូលគ្នារបស់វា។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x) កំណត់នៅលើផ្នែកពី ក ពីមុន ខ និងគ្មានដែនកំណត់លើវា។ ឧបមាថាអនុគមន៍ទៅគ្មានដែនកំណត់នៅចំណុច ខ ខណៈពេលដែលនៅចំណុចផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃផ្នែកវាបន្ត។

និយមន័យ។ អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃមុខងារ f(x) នៅលើផ្នែកពី ក ពីមុន ខ ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍នេះជាមួយនឹងដែនកំណត់ខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល គ ប្រសិនបើនៅពេលដែលខិតខំ គ ទៅ ខ មុខងារកើនឡើងឥតកំណត់ ហើយនៅចំណុច x = ខ មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់, i.e.

.

ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នេះ នោះអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីពីរត្រូវបានគេហៅថា convergent បើមិនដូច្នេះទេ divergent ។

ដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz យើងទទួលបាន។

អាំងតេក្រាលជាក់លាក់នៅលើអ៊ីនធឺណិតទៅកាន់គេហទំព័រ ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលគ្របដណ្តប់ដោយសិស្ស និងសិស្សសាលា។ ហើយអនុវត្តជំនាញជាក់ស្តែងរបស់អ្នក។ ដំណោះស្រាយ​ពេញលេញ​នៃ​អាំងតេក្រាល​ជាក់លាក់​លើ​អ៊ីនធឺណិត​សម្រាប់​អ្នក​ក្នុង​ពេល​មួយ​នឹង​ជួយ​អ្នក​កំណត់​ដំណាក់កាល​ទាំងអស់​នៃ​ដំណើរការ។ អាំងតេក្រាលតាមអ៊ីនធឺណិតជាក់លាក់នៅលើគេហទំព័រសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមពេញលេញនៃសម្ភារៈដែលគ្របដណ្តប់ដោយសិស្ស និងសិស្សសាលា និងការបណ្តុះបណ្តាលជំនាញជាក់ស្តែងរបស់ពួកគេ។ ដំណោះស្រាយ​ពេញលេញ​នៃ​អាំងតេក្រាល​ជាក់លាក់​លើ​អ៊ីនធឺណិត​សម្រាប់​អ្នក​ក្នុង​ពេល​មួយ​នឹង​ជួយ​អ្នក​កំណត់​ដំណាក់កាល​ទាំងអស់​នៃ​ដំណើរការ។ សម្រាប់ពួកយើង ការទទួលយកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់តាមអ៊ីនធឺណិត ហាក់ដូចជាមិនមែនជារឿងធម្មជាតិទេ ដោយបានសិក្សាប្រធានបទនេះពីសៀវភៅដោយអ្នកនិពន្ធល្បីៗ។ សូមថ្លែងអំណរគុណយ៉ាងជ្រាលជ្រៅចំពោះពួកគេ ហើយយើងបង្ហាញពីការគោរពចំពោះបុគ្គលទាំងនេះ។ វានឹងជួយកំណត់ជាក់លាក់នៃសេវាកម្មអនឡាញអាំងតេក្រាលសម្រាប់ការគណនាបញ្ហាបែបនេះនៅក្នុង jiffy មួយ។ គ្រាន់តែបញ្ចូលទិន្នន័យត្រឹមត្រូវ នោះអ្វីៗនឹងល្អ! អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ណាមួយជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានឹងបង្កើនអក្ខរកម្មរបស់សិស្ស។ នេះ​ជា​សុបិន​របស់​មនុស្ស​ស្លូត​បូត​គ្រប់​រូប ហើយ​យើង​ក៏​មិន​លើកលែង​ដែរ យើង​សារភាព​ដោយ​ស្មោះត្រង់។ ប្រសិនបើអ្នកនៅតែគ្រប់គ្រងដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់តាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដោយឥតគិតថ្លៃនោះ សូមសរសេរអាសយដ្ឋានគេហទំព័រទៅកាន់អ្នកគ្រប់គ្នាដែលចង់ប្រើវា។ ដូចដែលពួកគេនិយាយ ចែករំលែកតំណមានប្រយោជន៍ ហើយមនុស្សដែលមានចិត្តល្អនឹងអរគុណអ្នកសម្រាប់អំណោយ។ វានឹងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការវិភាគបញ្ហាដែលអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នឹងត្រូវបានដោះស្រាយដោយម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយខ្លួនឯង និងមិនខ្ជះខ្ជាយពេលវេលាដ៏មានតម្លៃរបស់អ្នកឡើយ។ ហេតុ​នេះ​ហើយ​បាន​ជា​ពួក​គេ​ជា​ម៉ាស៊ីន​ភ្ជួរ​រាស់​មនុស្ស។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់លើអ៊ីនធឺណិតគឺមិនមែនសម្រាប់គ្រប់គេហទំព័រនោះទេ ហើយនេះជាការងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យ ពោលគឺវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយកឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញមួយ ហើយព្យាយាមដោះស្រាយវាដោយប្រើសេវាកម្មនីមួយៗ។ អ្នកនឹងមានអារម្មណ៍ថាមានភាពខុសគ្នានៃស្បែករបស់អ្នក។ ជាញឹកញាប់ ការស្វែងរកអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយតាមអ៊ីនធឺណិតដោយគ្មានការប្រឹងប្រែងណាមួយនឹងក្លាយទៅជាការលំបាក ហើយចម្លើយរបស់អ្នកនឹងមើលទៅគួរឱ្យអស់សំណើចប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃរូបភាពទាំងមូលនៃលទ្ធផល។ វាជាការប្រសើរជាងមុនដំបូងដើម្បីទទួលយកវគ្គរបស់អ្នកប្រដាល់វ័យក្មេង។ ដំណោះស្រាយនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវតាមអ៊ិនធរណេត កាត់បន្ថយជាដំបូងចំពោះការគណនាអកំណត់ ហើយបន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់ ដើម្បីគណនាជាក្បួន ដែនកំណត់ម្ខាងពីកន្សោមដែលទទួលបានជាមួយព្រំដែនជំនួស A និង B ។ ដោយបានពិចារណា អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់តាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតដែលអ្នកបានបង្ហាញ យើងបានសន្និដ្ឋានថាអ្នកបានធ្វើខុសនៅជំហានទីប្រាំ ពោលគឺនៅពេលប្រើរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរអថេរ Chebyshev ។ សូមប្រយ័ត្នក្នុងការសម្រេចចិត្តបន្ទាប់របស់អ្នក។ ប្រសិនបើម៉ាស៊ីនគិតលេខអនឡាញរបស់អ្នកមិនអាចយកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់របស់អ្នកជាលើកដំបូងបានទេ នោះជាដំបូងវាមានតម្លៃពិនិត្យមើលទិន្នន័យដែលបានសរសេរជាពីរដងក្នុងទម្រង់សមស្របនៅលើគេហទំព័រ។ ត្រូវប្រាកដថាអ្វីៗស្ថិតក្នុងលំដាប់ហើយទៅ Go-Go! សម្រាប់សិស្សម្នាក់ៗ ឧបសគ្គគឺការគណនានៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវតាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយគ្រូផ្ទាល់ ព្រោះនេះគឺជាការប្រឡង ឬជាពាក្យបញ្ជា ឬគ្រាន់តែជាការសាកល្បងលើគូ។ ដរាបណាម៉ាស៊ីនគិតលេខលើអ៊ីនធឺណិតមិនសមរម្យដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺនៅការចោលរបស់អ្នក។ បន្ទាប់មកបើកបរភ្លាមៗនៅក្នុងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ ជំនួសដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយចុចលើប៊ូតុង ដោះស្រាយ បន្ទាប់មកចម្លើយលម្អិតពេញលេញនឹងមានសម្រាប់អ្នក។ ហើយនៅតែជាការល្អនៅពេលដែលមានគេហទំព័រដ៏អស្ចារ្យបែបនេះជាគេហទំព័រមួយ ព្រោះវាទាំងឥតគិតថ្លៃ និងងាយស្រួលប្រើ វាក៏មានផ្នែកជាច្រើនផងដែរ។ ដែលសិស្សប្រើជារៀងរាល់ថ្ងៃ មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺគ្រាន់តែជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់លើអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយពេញលេញ។ នៅក្នុងផ្នែកដូចគ្នា អ្នកអាចគណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវតាមអ៊ីនធឺណិត ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតសម្រាប់កម្មវិធីបន្ថែមនៃចម្លើយទាំងនៅវិទ្យាស្ថាន និងក្នុងការងារវិស្វកម្ម។ វាហាក់ដូចជាថាវាមិនពិបាកសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នាក្នុងការកំណត់អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់លើអ៊ីនធឺណិត ប្រសិនបើឧទាហរណ៍បែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយជាមុនដោយគ្មានព្រំដែនខាងលើ និងខាងក្រោម នោះមិនមែនជាអាំងតេក្រាល Leibniz ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះ ពួកយើងមិនយល់ស្របជាមួយអ្នកជាដាច់ខាត ព្រោះនៅក្រឡេកមើលដំបូង វាអាចហាក់ដូចជាបែបនោះ ប៉ុន្តែមានភាពខុសប្លែកគ្នាយ៉ាងសំខាន់ ចូរយើងបែងចែកអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយឡែកពីគ្នា។ ដំណោះស្រាយផ្តល់នូវអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់បែបនេះ មិនមែនក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់ទេ ប៉ុន្តែជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរកន្សោមទៅជាតម្លៃកំណត់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ទីមួយត្រូវតែដោះស្រាយអាំងតេក្រាលជាមួយនឹងការជំនួសតម្លៃនិមិត្តសញ្ញានៃព្រំដែន ហើយបន្ទាប់មកគណនាដែនកំណត់ទាំងនៅគ្មានកំណត់ ឬនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ។ ពីទីនេះ ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់តាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដោយឥតគិតថ្លៃ មានន័យថាគ្មានអ្វីក្រៅពីការតំណាងឱ្យដំណោះស្រាយពិតប្រាកដដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz នោះទេ។ ប្រសិនបើយើងពិចារណាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់របស់យើង ម៉ាស៊ីនគិតលេខនឹងជួយអ្នកគណនាវាក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទីមុនភ្នែករបស់អ្នក។ ការប្រញាប់ប្រញាល់បែបនេះគឺត្រូវការដោយអ្នកគ្រប់គ្នាដែលចង់ស៊ូទ្រាំនឹងកិច្ចការឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ហើយត្រូវបានដោះលែងសម្រាប់កិច្ចការផ្ទាល់ខ្លួន។ អ្នកមិនគួរស្វែងរកគេហទំព័រនៅលើអ៊ីនធឺណិតដែលនឹងស្នើសុំឱ្យអ្នកចុះឈ្មោះ បន្ទាប់មកបញ្ចូលលុយទៅក្នុងសមតុល្យ ហើយទាំងអស់សម្រាប់ជាប្រយោជន៍សម្រាប់បុរសឆ្លាតវៃមួយចំនួនដែលរៀបចំដំណោះស្រាយនៃអាំងតេក្រាលមួយចំនួនដែលសន្មត់ថានៅលើអ៊ីនធឺណិត។ ចងចាំអាសយដ្ឋាន Math24 គឺជាសេវាកម្មឥតគិតថ្លៃសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាជាច្រើន រួមទាំងយើងនឹងជួយអ្នកស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់តាមអ៊ីនធឺណិត ហើយដើម្បីប្រាកដថាវា សូមពិនិត្យមើលសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។ បញ្ចូលអាំងតេក្រាលក្នុងវាលសមស្រប បន្ទាប់មកបញ្ជាក់តម្លៃដែនកំណត់គ្មានកំណត់ (ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនឹងត្រូវបានគណនា និងទទួលបានតាមអ៊ីនធឺណិត) ឬកំណត់ព្រំដែនជាលេខ ឬនិមិត្តសញ្ញារបស់អ្នក និងអាំងតេក្រាលលើអ៊ីនធឺណិតច្បាស់លាស់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត។ នឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើទំព័របន្ទាប់ពីចុចលើប៊ូតុង "ដំណោះស្រាយ" ។ តើវាមិនពិតទេ - វាគឺសាមញ្ញណាស់ មិនត្រូវការសកម្មភាពបន្ថែមណាមួយពីអ្នក ដោយមិនគិតថ្លៃ ដែលជារឿងសំខាន់បំផុត ហើយក្នុងពេលតែមួយមានប្រសិទ្ធភាព។ អ្នកអាចប្រើប្រាស់សេវាកម្មដោយខ្លួនឯង ដើម្បីឱ្យម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតជាក់លាក់នឹងនាំមកជូនអ្នកនូវអត្ថប្រយោជន៍ជាអតិបរមា ហើយអ្នកនឹងទទួលបានស្ថានភាពសុខស្រួលដោយមិនមានភាពតានតឹងលើភាពស្មុគស្មាញនៃដំណើរការកុំព្យូទ័រទាំងអស់ អនុញ្ញាតឱ្យពួកយើងធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងសម្រាប់អ្នក និងបង្ហាញពីថាមពលពេញលេញនៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។ នៅក្នុងពិភពទំនើប។ ប្រសិនបើអ្នកចូលទៅក្នុងព្រៃនៃរូបមន្តដ៏ស្មុគស្មាញបំផុត ហើយសិក្សាពីការគណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវតាមអ៊ីនធឺណិតដោយខ្លួនឯង នោះជាការសរសើរ ហើយអ្នកអាចទាមទារឱកាសដើម្បីសរសេរនិក្ខេបបទថ្នាក់បណ្ឌិត ប៉ុន្តែសូមត្រលប់ទៅការពិតនៃជីវិតសិស្សវិញ។ . ហើយអ្នកណាជាសិស្ស? ទី​១​នេះ​ជា​យុវជន​ស្វាហាប់​និង​រីករាយ​ដែល​ចង់​មាន​ពេល​សម្រាក​និង​ធ្វើ​កិច្ចការ​ផ្ទះ! ហេតុដូច្នេះហើយ យើងបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះសិស្សានុសិស្សដែលកំពុងព្យាយាមស្វែងរកម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតដែលមិនត្រឹមត្រូវនៅក្នុងបណ្តាញសកលលោក ហើយនៅទីនេះវាគឺសម្រាប់ការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នក - គេហទំព័រនេះគឺជាកម្មវិធីដោះស្រាយបញ្ហាអនឡាញដែលមានប្រយោជន៍បំផុតសម្រាប់មនុស្សវ័យក្មេង។ ដោយវិធីនេះ បើទោះបីជាសេវាកម្មរបស់យើងត្រូវបានបង្ហាញជាជំនួយការដល់សិស្សានុសិស្ស និងសិស្សសាលាក៏ដោយ វាគឺសមរម្យពេញលេញសម្រាប់វិស្វករណាមួយ ព្រោះយើងអាចធ្វើកិច្ចការគ្រប់ប្រភេទ ហើយដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់វិជ្ជាជីវៈ។ ឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ជូននូវអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់លើអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ពេញលេញជាដំណាក់កាល ពោលគឺប្លុកឡូជីខលនីមួយៗ (កិច្ចការរង) ត្រូវបានផ្តល់កំណត់ត្រាដាច់ដោយឡែកជាមួយនឹងការគណនាទាំងអស់នៅក្នុងដំណើរការនៃដំណើរការដំណោះស្រាយទូទៅ។ នេះជាការពិតណាស់ សម្រួលដល់ការយល់ឃើញនៃប្លង់បន្តបន្ទាប់គ្នាច្រើនដំណាក់កាល ហើយដូច្នេះគឺជាអត្ថប្រយោជន៍នៃគម្រោងគេហទំព័រលើសេវាកម្មស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវតាមអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត។

ប្រធានបទអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ

នៅក្នុងប្រធានបទ "អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់" គំនិតនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មួយត្រូវបានពិចារណាសម្រាប់ករណីនៃចន្លោះពេលកំណត់។
និងមុខងារមានកំណត់
(សូមមើលទ្រឹស្តីបទ 1 ពី§3)។ ឥឡូវ​នេះ​សូម​ឱ្យ​យើង​ធ្វើ​ជា​ទូទៅ​គោល​គំនិត​នេះ​សម្រាប់​ករណី​នៃ​ចន្លោះ​ពេល​គ្មាន​កំណត់ និង​មុខងារ​គ្មាន​ព្រំដែន។ តម្រូវការសម្រាប់ការធ្វើទូទៅបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញជាឧទាហរណ៍ដោយស្ថានភាពបែបនេះ។

1. ប្រសិនបើដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃធ្នូ ព្យាយាមគណនាប្រវែងនៃរង្វង់មួយភាគបួន
,
បន្ទាប់មកយើងមកដល់អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍គ្មានដែនកំណត់៖

កន្លែងណា
.

2. អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាសរាងកាយ
ផ្លាស់ទីដោយនិចលភាពក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកដោយកម្លាំងអូស
កន្លែងណា
គឺជាល្បឿននៃរាងកាយ។ ដោយប្រើច្បាប់ទីពីររបស់ញូតុន (
កន្លែងណា
ការបង្កើនល្បឿន) យើងទទួលបានសមីការ៖
កន្លែងណា
. វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល!) គឺជាមុខងារ
ប្រសិនបើយើងត្រូវការគណនាផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយរាងកាយទៅកន្លែងឈប់ពេញលេញ, i.e. រហូតដល់ពេលដែល
បន្ទាប់មកយើងមកដល់អាំងតេក្រាលលើចន្លោះពេលគ្មានកំណត់៖

§មួយ។ អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទី 1

I និយមន័យ

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើចន្លោះពេល
. បន្ទាប់មកសម្រាប់ណាមួយ។
វា​គឺ​ជា​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​
នោះគឺមានអាំងតេក្រាលមួយ។
.

និយមន័យ ១ . ដែនកំណត់កំណត់ឬគ្មានកំណត់នៃអាំងតេក្រាលនេះនៅ
ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយនៃអនុគមន៍
តាមចន្លោះពេល
និងជានិមិត្តសញ្ញា
. លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើដែនកំណត់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញគឺកំណត់ នោះអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវត្រូវបានគេហៅថា convergent បើមិនដូច្នេះទេ (
ឬមិនមាន) - ខុសគ្នា។

ដូច្នេះតាមនិយមន័យ

ឧទាហរណ៍

2.
.

3.
- មិន​មាន។

អាំងតេក្រាល​មិន​ត្រឹមត្រូវ​ពី​ឧទាហរណ៍​ទី 1 រួម​បញ្ចូល​គ្នា ក្នុង​ឧទាហរណ៍ 2 និង 3 អាំងតេក្រាល​ខុសគ្នា។

II រូបមន្ត Newton-Leibniz សម្រាប់អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយ

អនុញ្ញាតឱ្យ
- antiderivative មួយចំនួនសម្រាប់មុខងារ
(មាននៅលើ
, ដោយសារតែ
- បន្ត) ។ បន្ទាប់មក

ដូច្នេះវាច្បាស់ណាស់ថាការបញ្ចូលគ្នានៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ (1) គឺស្មើនឹងអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់កំណត់។
. ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះត្រូវបានកំណត់
បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរសម្រាប់អាំងតេក្រាល (1) រូបមន្ត Newton-Leibniz៖

កន្លែងណា
.

ឧទាហរណ៍ .

5.
.

6. ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាងនេះ៖
. ដំបូង​យើង​រក​ឃើញ antiderivative នេះ៖

ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញអាំងតេក្រាល។ ផ្តល់ឱ្យនោះ។

:

III ទ្រព្យសម្បត្តិ

ចូរយើងបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃអាំងតេក្រាលមិនសមរម្យ (1) ដែលធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅនៃដែនកំណត់ និងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់៖

IV និយមន័យផ្សេងទៀត។

និយមន័យ ២ . ប្រសិនបើ ក
បន្ត
បន្ទាប់មក

.

និយមន័យ ៣ . ប្រសិនបើ ក
បន្ត
បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ

(- បំពាន)

ជាងនេះទៅទៀត អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៅខាងឆ្វេងដៃនឹងបញ្ចូលគ្នាលុះត្រាតែអាំងតេក្រាលទាំងពីរនៅខាងស្តាំដៃបញ្ចូលគ្នា។

សម្រាប់អាំងតេក្រាលទាំងនេះ ក៏ដូចជាសម្រាប់អាំងតេក្រាល (1) អាចសរសេររូបមន្ត Newton-Leibniz ដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៧ .

§២. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទី 1

ភាគច្រើន តាមនិយមន័យ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ដូច្នេះសមភាពប្រហាក់ប្រហែលត្រូវបានប្រើ។

(សម្រាប់ធំ ).

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ទំនាក់ទំនងនេះមានន័យសម្រាប់តែអាំងតេក្រាលបញ្ចូលគ្នាប៉ុណ្ណោះ។ វាចាំបាច់ដើម្បីឱ្យមានវិធីសាស្រ្តសម្រាប់បំភ្លឺឥរិយាបថនៃអាំងតេក្រាលដោយរំលងនិយមន័យ។

ខ្ញុំ អាំងតេក្រាលនៃមុខងារវិជ្ជមាន

អនុញ្ញាតឱ្យ
នៅ​លើ
. បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់
ជាមុខងារនៃដែនកំណត់ខាងលើ មានមុខងារកើនឡើង (វាធ្វើតាមលក្ខណៈទូទៅនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់)។

ទ្រឹស្តីបទ ១ . អាំងតេក្រាល​មិន​ត្រឹមត្រូវ​នៃ​ប្រភេទ​ទីមួយ​នៃ​អនុគមន៍​មិន​អវិជ្ជមាន​ចូល​រួម​គ្នា​ប្រសិនបើ​អនុគមន៍
នៅមានកម្រិតដូចជា .

ទ្រឹស្តីបទនេះគឺជាផលវិបាកនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅនៃអនុគមន៍ monotone ។ ទ្រឹស្តីបទស្ទើរតែគ្មានអត្ថន័យជាក់ស្តែង ប៉ុន្តែវាអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា។ សញ្ញានៃការបញ្ចូលគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ២ (សញ្ញាទី ១ នៃការប្រៀបធៀប) ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
និង
បន្ត
និងបំពេញនូវវិសមភាព
. បន្ទាប់មក៖

1) ប្រសិនបើអាំងតេក្រាល
បង្រួបបង្រួម
បង្រួបបង្រួម;

2) ប្រសិនបើអាំងតេក្រាល
ខុសគ្នាបន្ទាប់មក
ខុសគ្នា។

ភស្តុតាង . បញ្ជាក់៖
និង
. ដោយសារតែ
បន្ទាប់មក

. អនុញ្ញាតឱ្យអាំងតេក្រាល។
បង្រួបបង្រួមបន្ទាប់មក (ដោយគុណធម៌នៃទ្រឹស្តីបទ 1) មុខងារ
- មានកំណត់។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក និង
មានព្រំដែន ដែលមានន័យថា អាំងតេក្រាល
បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ផ្នែកទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នា។

សញ្ញានេះមិនអាចអនុវត្តបានទេក្នុងករណីមានភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលនៃ
ឬការបញ្ចូលគ្នានៃអាំងតេក្រាលនៃ
. ការខ្វះខាតនេះគឺអវត្តមាននៅក្នុងសញ្ញាទី 2 នៃការប្រៀបធៀប។

ទ្រឹស្តីបទ ៣ (សញ្ញាទី ២ នៃការប្រៀបធៀប) ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
និង
បន្តនិងមិនអវិជ្ជមាន
. បន្ទាប់មកប្រសិនបើ
នៅ
បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ
និង
បង្រួបបង្រួម ឬបង្វែរក្នុងពេលតែមួយ។

ភស្តុតាង . ពីលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ យើងទទួលបានខ្សែសង្វាក់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សមមូលដូចខាងក្រោមៈ

, ,

.

អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍
. បន្ទាប់មក៖

យើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទទី 2 និងទ្រព្យសម្បត្តិ 1) ពី§1 និងទទួលបានការអះអាងនៃទ្រឹស្តីបទ 3 ។

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដើរតួនាទីជាអនុគមន៍យោងដែលវាត្រូវប្រៀបធៀប
,
. យើង​សូម​អញ្ជើញ​សិស្ស​ឱ្យ​បញ្ជាក់​ដោយ​ខ្លួន​ពួកគេ​ថា​អាំងតេក្រាល។

បង្រួបបង្រួមនៅ
និងខុសគ្នានៅ
.

ឧទាហរណ៍ . 1.
.

ពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលនៅលើចន្លោះពេល
:

,
.

អាំងតេក្រាល។
បង្រួបបង្រួម, ដោយសារតែ
. យោងតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីពីរនៃការប្រៀបធៀបអាំងតេក្រាលក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។
ហើយដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិ 2) ពី§1 អាំងតេក្រាលដើមក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

2.
.

ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកមាន
បែបនោះនៅ

. សម្រាប់តម្លៃអថេរបែបនេះ៖

វាត្រូវបានគេដឹងថាអនុគមន៍លោការីតលូតលាស់យឺតជាងមុខងារថាមពល ពោលគឺឧ។

,

ដូច្នេះហើយ ដោយចាប់ផ្តើមពីតម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ ប្រភាគនេះគឺតិចជាង 1។ ដូច្នេះ

.

អាំងតេក្រាល។ បង្រួបបង្រួមជាឯកសារយោង។ ដោយគុណធម៌ទី ១ នៃការប្រៀបធៀប ចូលគ្នា និង
. ការអនុវត្តលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទី 2 យើងទទួលបានអាំងតេក្រាលនោះ។
បញ្ចូលគ្នា។ ជាថ្មីម្តងទៀតទ្រព្យសម្បត្តិ 2) ពី§1 បង្ហាញពីការបញ្ចូលគ្នានៃអាំងតេក្រាលដើម។

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

ត្រូវបានសាងសង់ក្រោមការសន្មត់ថាលេខ $a,\,b$ គឺកំណត់ ហើយ $f(x)$ គឺជាមុខងារបន្ត។ ប្រសិនបើការសន្មត់មួយក្នុងចំណោមការសន្មត់ទាំងនេះត្រូវបានរំលោភ នោះគេនិយាយអំពីអាំងតេក្រាលមិនសមរម្យ។

10.1 អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទី 1

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទីមួយកើតឡើងនៅពេលដែលយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយ $a,\,b$ គឺគ្មានកំណត់។

10.1.1 និយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

ចូរយើងពិចារណាជាមុនអំពីស្ថានភាពនៅពេលដែលដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូលគឺកំណត់ ហើយដែនកំណត់ខាងលើគឺស្មើនឹង $+\infty$ ជម្រើសផ្សេងទៀតនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅពេលក្រោយ។ សម្រាប់ $f(x)$ បន្តសម្រាប់ការប្រាក់ $x$ ទាំងអស់សម្រាប់ពួកយើង សូមពិចារណាអាំងតេក្រាល។

\begin(សមីការ) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx ។ \quad(19) \label(inf1) \end(សមីការ)

ជាដំបូង ចាំបាច់ត្រូវកំណត់អត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងណែនាំមុខងារ

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \\]

ហើយពិចារណាឥរិយាបថរបស់វាជា $N\rightarrow +\infty$ ។

និយមន័យ។ សូមឱ្យមានដែនកំណត់

\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx ។ \]

បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទី 1 (19) ត្រូវបានគេនិយាយថាជា convergent ហើយតម្លៃ $A$ ត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យវា មុខងារខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថា integraable នៅចន្លោះ $\left[a, \, +\infty \right) $ ប្រសិនបើដែនកំណត់ដែលបានបញ្ជាក់មិនមាន ឬវាស្មើនឹង $\pm \infty$ នោះអាំងតេក្រាល (19) ត្រូវបានគេនិយាយថា diverge ។

ពិចារណាលើអាំងតេក្រាល។

\[ I=\int _0^(+\infty) \frac(dx)(1+x^2)។ \]

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2)។ \]

ក្នុងករណីនេះ antiderivative នៃ integrand ត្រូវបានគេស្គាល់, ដូច្នេះ

\[ I(N)=\int _0^(N) \frac(dx)(1+x^2)=arctgx|_0^(N)=arctgN។ \]

វាត្រូវបានគេដឹងថា $arctg N \rightarrow \pi /2$ សម្រាប់ $N \rightarrow +\infty$ ។ ដូច្នេះ $I(N)$ មានដែនកំណត់កំណត់ អាំងតេក្រាលមិនសមរម្យរបស់យើងនឹងបញ្ចូលគ្នា ហើយស្មើនឹង $\pi /2$។

ការបង្រួបបង្រួមអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទី 1 មានលក្ខណៈសម្បត្តិស្តង់ដារទាំងអស់នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ធម្មតា។

1. ប្រសិនបើ $f(x)$, $g(x)$ អាចបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល $\left[a,\,+\infty \right)$ នោះផលបូករបស់ពួកគេ $f(x)+g(x) $ ក៏មិនអាចបញ្ចូលក្នុងចន្លោះនេះបានទេ ហើយ \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx ។ \] 2. ប្រសិនបើ $f(x)$ មិនអាចបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល $\left[a, \, +\infty \right)$ នោះសម្រាប់តម្លៃថេរ $C$ មុខងារ $C\cdot f(x)$ ក៏​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​បាន​នៅ​ចន្លោះ​ពេល​នេះ ហើយ \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx ។ \] 3. ប្រសិនបើ $f(x)$ អាចបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល $\left[a, \, +\infty \right)$ និង $f(x)>0$ នៅលើចន្លោះពេលនេះ នោះ \[ \int _a ^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. ប្រសិនបើ $f(x)$ អាចបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល $\left[a,\,+\infty \right)$ បន្ទាប់មកសម្រាប់ $b>a$ អាំងតេក្រាល \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \\] បញ្ចូលគ្នា ហើយ \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f(x)dx \\] (ការបន្ថែមនៃអាំងតេក្រាលលើចន្លោះពេល)។

រូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរអថេរ ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ល។ ក៏មានសុពលភាពផងដែរ។ (ជាមួយនឹងការកក់ធម្មជាតិ) ។

ពិចារណាលើអាំងតេក្រាល។

\begin(សមីការ) I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x^k)\,dx. \quad (20) \label(mod) \end(សមីការ)

យើងណែនាំមុខងារ

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

ក្នុងករណីនេះ antiderivative ត្រូវបានគេស្គាល់, ដូច្នេះ

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k)|_1^N = \frac(N^(1-k))(1-k)-\frac(1)(1-k) \\]

សម្រាប់ $k \neq 1$,

\[ I(N)=\int _1^(N)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_1^N=lnN \]

សម្រាប់ $k = 1$ ។ ដោយគិតពីឥរិយាបទសម្រាប់ $N \rightarrow +\infty$ យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថាអាំងតេក្រាល (20) បញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ $k>1$ និង diverges សម្រាប់ $k \leq 1$ ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាករណីនៅពេលដែលដែនកំណត់ទាបនៃការរួមបញ្ចូលគឺស្មើនឹង $-\infty$ ហើយផ្នែកខាងលើគឺកំណត់ ពោលគឺឧ។ ពិចារណាលើអាំងតេក្រាល។

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx ។ \]

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វ៉ារ្យ៉ង់នេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅលេខមុន ប្រសិនបើយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ $x=-s$ ហើយបន្ទាប់មកប្តូរដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល ដូច្នេះ

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$។ ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ពិចារណា​ករណី​ដែល​មាន​ចំនួន​ពីរ​ដែល​គ្មាន​ដែន​កំណត់ ពោល​គឺ អាំងតេក្រាល

\begin(សមីការ) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(សមីការ)

ដែល $f(x)$ គឺបន្តសម្រាប់ $x \in \mathbb(R)$។ ចូរបែងចែកចន្លោះពេលជាពីរផ្នែក៖ យក $c \in \mathbb(R)$ ហើយពិចារណាអាំងតេក្រាលពីរ

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx ។ \]

និយមន័យ។ ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលទាំងពីរ $I_1$, $I_2$ បញ្ចូលគ្នា នោះអាំងតេក្រាល (21) ត្រូវបានគេហៅថា convergent វាត្រូវបានផ្តល់តម្លៃ $I=I_1+I_2$ (យោងទៅតាមការបន្ថែមចន្លោះពេល)។ ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលយ៉ាងហោចណាស់មួយ $I_1$, $I_2$ diverges អាំងតេក្រាល (21) ត្រូវបានគេនិយាយថាខុសគ្នា។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាការបញ្ចូលគ្នានៃអាំងតេក្រាល (21) មិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចំណុច $c$ ទេ។

អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទី 1 ជាមួយនឹងចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូល $\left(-\infty, \, c \right]$ ឬ $(-\infty, \, +\infty)$ ក៏មានលក្ខណៈសម្បត្តិស្តង់ដារទាំងអស់នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ (ជាមួយ កំណែទម្រង់ដែលត្រូវគ្នាដែលគិតដល់ចន្លោះពេលសមាហរណកម្មជម្រើស)។

10.1.2 លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទី 1

ទ្រឹស្តីបទ (សញ្ញាដំបូងនៃការប្រៀបធៀប) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ $f(x)$, $g(x)$ បន្តសម្រាប់ $x>a$ ហើយទុកឱ្យ $0 a$។ បន្ទាប់មក

1. ប្រសិនបើអាំងតេក្រាល \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] បញ្ចូលគ្នា នោះអាំងតេក្រាល \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx ចូលគ្នាផងដែរ។ \] 2. ប្រសិនបើអាំងតេក្រាល \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] ខុសគ្នា នោះអាំងតេក្រាល \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx ក៏ខុសគ្នាដែរ។ \]

ទ្រឹស្តីបទ (សញ្ញាទីពីរនៃការប្រៀបធៀប) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ $f(x)$, $g(x)$ បន្ត និងវិជ្ជមានសម្រាប់ $x>a$ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមានដែនកំណត់កំណត់

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty ។ \]

បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាល។

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

បង្រួបបង្រួម ឬបង្វែរក្នុងពេលតែមួយ។

ពិចារណាលើអាំងតេក្រាល។

\[ I=\int _1^(+\infty)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

អាំងតេក្រាលគឺជាមុខងារវិជ្ជមាននៅលើចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូល។ លើសពីនេះ សម្រាប់ $x \rightarrow +\infty$ យើងមាន៖

$\sin x$ គឺជាការកែតម្រូវ "តូច" ទៅកាន់ភាគបែង។ កាន់តែច្បាស់ ប្រសិនបើយើងយក $f(x)=1/(x+\sin x)$, \, $g(x)=1/x$ នោះ

\[ \lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +\infty)\frac(x)(x+\sin x) =1. \]

ដោយអនុវត្តលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីពីរនៃការប្រៀបធៀប យើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថា អាំងតេក្រាលរបស់យើងបញ្ចូលគ្នា ឬខុសគ្នាក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល

\[ \int _1^(+\infty)\frac(1)(x)\,dx ។ \]

ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងឧទាហរណ៍មុន អាំងតេក្រាលនេះខុសគ្នា ($k=1$)។ ដូច្នេះ អាំងតេក្រាលដើមមានភាពខុសគ្នា។

គណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ ឬបង្កើតការបញ្ចូលគ្នារបស់វា (ភាពខុសគ្នា)។

1. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\,dx ។ \] 2. \[ \int _(0)^(+\infty)xe^(-x^2)\,dx. \] 3. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(2xdx)(x^2+1)។ \] 4. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)((x+2)^3)។ \] 5. \[ \int _(-\infty)^(+\infty)\frac(dx)(x^2+2x+2)។ \] 6. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(lnx)(x^2)\,dx. \] 7. \[ \int _(1)^(+\infty)\frac(dx)((1+x)\sqrt(x)). \] 8. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-\sqrt(x))\,dx. \] 9. \[ \int _(0)^(+\infty)e^(-ax)\cos x\,dx. \] 10. \[ \int _(0)^(+\infty)\frac(xdx)(x^3+1)។ \]