ប្រព័ន្ធណាមួយនៃ axioms គណិតវិទ្យា ដែលចាប់ផ្តើមពីកម្រិតជាក់លាក់នៃភាពស្មុគស្មាញ គឺមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាខាងក្នុង ឬមិនពេញលេញ។

នៅឆ្នាំ 1900 សន្និសិទពិភពលោកនៃគណិតវិទូត្រូវបានប្រារព្ធឡើងនៅទីក្រុងប៉ារីសដែល David Hilbert (1862-1943) បានបង្ហាញជាទម្រង់អរូបី 23 សំខាន់បំផុត តាមគំនិតរបស់គាត់ បញ្ហាដែលបង្កើតដោយគាត់ ដែលត្រូវដោះស្រាយដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រទ្រឹស្តី។ នៃសតវត្សទី 20 ខាងមុខនេះ។ លេខពីរនៅក្នុងបញ្ជីរបស់គាត់គឺជាបញ្ហាសាមញ្ញមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនោះដែលហាក់ដូចជាជាក់ស្តែងរហូតដល់អ្នកជីកជ្រៅបន្តិច។ ក្នុងន័យទំនើប វាជាសំណួរ៖ តើគណិតវិទ្យាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ខ្លួនវាទេ? ភារកិច្ចទីពីររបស់ Hilbert ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅនឹងតម្រូវការដើម្បីបញ្ជាក់យ៉ាងតឹងរឹងថាប្រព័ន្ធនៃ axioms - សេចក្តីថ្លែងការណ៍មូលដ្ឋានដែលបានយកនៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋានដោយគ្មានភស្តុតាង - គឺល្អឥតខ្ចោះនិងពេញលេញ ពោលគឺវាអនុញ្ញាតឱ្យការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យានៃអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលមាន។ វាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ប្រព័ន្ធនៃ axioms បែបនេះដែលដំបូងពួកគេនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាទៅវិញទៅមកហើយទីពីរអាចទាញការសន្និដ្ឋានពីពួកគេទាក់ទងនឹងការពិតឬមិនពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយ។

ចូរយើងយកឧទាហរណ៍ពីធរណីមាត្រសាលា។ តាមស្តង់ដារ Euclidean Planimetry (ធរណីមាត្រនៅលើយន្តហោះ) វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺ 180 °" គឺពិត ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺ 137 °។ "គឺមិនពិត។ និយាយជាសំខាន់ នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean សេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយមិនពិត ឬពិត ហើយទីបីមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ ហើយនៅដើមសតវត្សទី 20 គណិតវិទូបានជឿដោយឆោតល្ងង់ថា ស្ថានភាពដូចគ្នាគួរតែត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលស្របគ្នាតាមតក្កវិជ្ជាណាមួយ។

ហើយបន្ទាប់មកនៅឆ្នាំ 1931 គណិតវិទូជនជាតិ Viennese ខ្លះឈ្មោះ Kurt Godel បានយក និងបោះពុម្ភអត្ថបទខ្លីមួយ ដែលគ្រាន់តែបំផ្លិចបំផ្លាញពិភពលោកទាំងមូលនៃអ្វីដែលគេហៅថា "តក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា" ។ បន្ទាប់​ពី​ការ​លើក​ឡើង​ខាង​គណិត​វិទ្យា និង​ទ្រឹស្ដី​យ៉ាង​យូរ និង​ស្មុគ្រ​ស្មាញ លោក​បាន​បង្កើត​នូវ​គោល​ការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម។ ចូរយើងទទួលយកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយដូចជា៖ "ការសន្មត់ #247 គឺមិនអាចប្រកែកបាននៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃ axioms" ហើយហៅវាថា "សេចក្តីថ្លែងការណ៍ A" ។ ដូច្នេះ Gödel គ្រាន់តែបង្ហាញនូវទ្រព្យសម្បត្តិដ៏អស្ចារ្យខាងក្រោមនៃប្រព័ន្ធ axioms ណាមួយ៖

"ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A អាចបញ្ជាក់បាន នោះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនមែនជា A អាចត្រូវបានបញ្ជាក់។"

ម្យ៉ាងទៀត ប្រសិនបើអាចបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "សន្មត់ថា ២៤៧ មិនអាចបញ្ជាក់បាន" នោះ វាក៏អាចបញ្ជាក់បានដែរថា សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "សន្មត់ ២៤៧ គឺអាចបញ្ជាក់បាន" ។ នោះគឺការត្រលប់ទៅការបង្កើតបញ្ហា Hilbert ទីពីរ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃ axioms ពេញលេញ (នោះគឺសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយនៅក្នុងវាអាចបញ្ជាក់បាន) នោះវាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានោះទេ។

មធ្យោបាយតែមួយគត់ចេញពីស្ថានភាពនេះគឺដើម្បីទទួលយកប្រព័ន្ធមិនពេញលេញនៃ axioms ។ នោះគឺយើងត្រូវប្រកាន់ខ្ជាប់នូវការពិតដែលថានៅក្នុងបរិបទនៃប្រព័ន្ធតក្កវិជ្ជាណាមួយយើងនឹងនៅតែមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ប្រភេទ A" ដែលច្បាស់ជាពិតឬមិនពិតហើយយើងអាចវិនិច្ឆ័យការពិតរបស់ពួកគេបានតែនៅខាងក្រៅក្របខ័ណ្ឌនៃ axiomatics ដែលយើងមាន។ បានអនុម័ត។ ប្រសិនបើមិនមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះទេ នោះ axiomatics របស់យើងគឺផ្ទុយគ្នា ហើយនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌរបស់វា វានឹងជៀសមិនរួចនូវទម្រង់ដែលអាចបញ្ជាក់បានទាំងការបដិសេធ។

ដូច្នេះ ការបង្កើតទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញដំបូងរបស់ហ្គោដេល ឬខ្សោយគឺ៖ "ប្រព័ន្ធផ្លូវការណាមួយនៃ axioms មានការសន្មត់ដែលមិនអាចដោះស្រាយបាន"។ ប៉ុន្តែ Gödel មិនបានឈប់នៅទីនោះទេ ដោយបង្កើត និងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញទីពីរ ឬខ្លាំងរបស់ Gödel ថា “ភាពពេញលេញឡូជីខល (ឬភាពមិនពេញលេញ) នៃប្រព័ន្ធនៃ axioms ណាមួយមិនអាចបញ្ជាក់បាននៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃប្រព័ន្ធនេះទេ។ ដើម្បី​បញ្ជាក់​ឬ​មិន​បញ្ជាក់​វា តម្រូវ​ឱ្យ​មាន axioms បន្ថែម (ការ​ពង្រឹង​ប្រព័ន្ធ) ។

វានឹងមានសុវត្ថិភាពជាងក្នុងការគិតថាទ្រឹស្ដីរបស់ Godel គឺអរូបី ហើយមិនខ្វល់ពីយើងទេ ប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដ៏ខ្ពង់ខ្ពស់ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែការពិតវាបានប្រែក្លាយថាពួកវាទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងរចនាសម្ព័ន្ធនៃខួរក្បាលរបស់មនុស្ស។ គណិតវិទូ និងរូបវិទូជនជាតិអង់គ្លេស Roger Penrose (កើតឆ្នាំ 1931) បានបង្ហាញថាទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្ហាញពីភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងខួរក្បាលមនុស្ស និងកុំព្យូទ័រ។ ចំណុចនៃហេតុផលរបស់គាត់គឺសាមញ្ញ។ កុំព្យូទ័រដំណើរការយ៉ាងតឹងរ៉ឹងដោយតក្កវិជ្ជា ហើយមិនអាចកំណត់ថាតើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A ពិតឬមិនពិត ប្រសិនបើវាហួសពីវិសាលភាពនៃ axiomatics ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel គឺជៀសមិនរួច។ មនុស្សម្នាក់ដែលប្រឈមមុខនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A ដែលមិនអាចប្រកែកបាន និងមិនអាចប្រកែកបាននោះ តែងតែអាចកំណត់ការពិត ឬភាពមិនពិតរបស់វា ដោយផ្អែកលើបទពិសោធន៍ប្រចាំថ្ងៃ។ យ៉ាងហោចណាស់នៅក្នុងរឿងនេះ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សគឺល្អជាងកុំព្យូទ័រដែលបិទបាំងដោយសៀគ្វីឡូជីខលសុទ្ធ។ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សអាចយល់បាននូវជម្រៅពេញលេញនៃការពិតដែលមាននៅក្នុងទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ប៉ុន្តែកុំព្យូទ័រមួយមិនអាចធ្វើបាន។ ដូច្នេះហើយ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីកុំព្យូទ័រ។ គាត់អាចធ្វើការសម្រេចចិត្តបាន ហើយការធ្វើតេស្ត Turing នឹងឆ្លងកាត់។

ខ្ញុំឆ្ងល់ថាតើ Hilbert មានគំនិតថាតើសំណួររបស់គាត់នឹងនាំយើងទៅឆ្ងាយ?

លោក Kurt GOEDEL
Kurt Godel, 1906–78

អូទ្រីស បន្ទាប់មក គណិតវិទូអាមេរិក។ កើតនៅ Brünn (Brünn ឥឡូវនេះ Brno សាធារណរដ្ឋឆេក) ។ គាត់បានបញ្ចប់ការសិក្សាពីសាកលវិទ្យាល័យ Vienna ជាកន្លែងដែលគាត់នៅតែជាគ្រូបង្រៀននៅក្នុងនាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យា (ចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1930 - សាស្រ្តាចារ្យ) ។ នៅឆ្នាំ 1931 គាត់បានបោះពុម្ពទ្រឹស្តីបទដែលក្រោយមកបានទទួលឈ្មោះរបស់គាត់។ ក្នុងនាមជាអ្នកនយោបាយសុទ្ធសាធ គាត់បានរួចផុតពីឃាតកម្មលើមិត្តភ័ក្តិ និងបុគ្គលិកនាយកដ្ឋានរបស់គាត់ដោយនិស្សិតណាស៊ី ហើយបានធ្លាក់ចូលទៅក្នុងការធ្លាក់ទឹកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង ដែលការកើតឡើងវិញបានលងបន្លាចគាត់រហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃជីវិតរបស់គាត់។ នៅទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1930 គាត់បានធ្វើអន្តោប្រវេសន៍ទៅសហរដ្ឋអាមេរិក ប៉ុន្តែបានត្រលប់ទៅប្រទេសអូទ្រីសកំណើតរបស់គាត់វិញ ហើយបានរៀបការ។ នៅឆ្នាំ 1940 នៅកម្រិតខ្ពស់នៃសង្រ្គាមគាត់ត្រូវបានគេបង្ខំឱ្យភៀសខ្លួនទៅអាមេរិកដោយឆ្លងកាត់សហភាពសូវៀតនិងជប៉ុន។ សម្រាប់ពេលខ្លះគាត់បានធ្វើការនៅវិទ្យាស្ថានព្រីនស្តុនសម្រាប់ការសិក្សាកម្រិតខ្ពស់។ ជាអកុសល ចិត្តរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមិនអាចទ្រាំទ្របាន ហើយគាត់បានស្លាប់ដោយការអត់ឃ្លាននៅក្នុងគ្លីនិកវិកលចរិក ដោយមិនព្រមហូបអាហារ ដោយសារតែគាត់ជឿជាក់ថា ពួកគេមានបំណងបំពុលគាត់។

យោបល់៖ ០

តើ​គំរូ​វិទ្យាសាស្ត្រ​អភិវឌ្ឍ​ដោយ​របៀប​ណា​ក្នុង​វិទ្យាសាស្ត្រ​ធម្មជាតិ? ជារៀងរាល់ថ្ងៃ ឬបទពិសោធន៍វិទ្យាសាស្ត្រប្រមូលផ្តុំ ចំណុចសំខាន់របស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើងយ៉ាងស្អាតស្អំក្នុងទម្រង់នៃ postulates និងបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃគំរូ៖ សំណុំនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលទទួលយកដោយអ្នកគ្រប់គ្នាដែលធ្វើការនៅក្នុងគំរូនេះ។

Anatoly Wasserman

នៅឆ្នាំ 1930 លោក Kurt Gödel បានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទពីរដែលបកប្រែពីភាសាគណិតវិទ្យាទៅជាភាសាមនុស្ស មានន័យដូចនេះ៖ ប្រព័ន្ធណាមួយនៃ axioms សម្បូរបែបគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ប្រើដើម្បីកំណត់លេខនព្វន្ធនឹងមិនពេញលេញ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ ប្រព័ន្ធមិនពេញលេញមានន័យថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍អាចត្រូវបានបង្កើតនៅក្នុងប្រព័ន្ធ ដែលមិនអាចបញ្ជាក់ ឬបដិសេធដោយមធ្យោបាយនៃប្រព័ន្ធនេះ។ ប៉ុន្តែ​ព្រះ​ជា​ម្ចាស់​តាម​និយមន័យ​ជា​បុព្វហេតុ​នៃ​ហេតុ​ទាំង​អស់។ តាមគណិតវិទ្យា នេះមានន័យថា សេចក្តីផ្តើមនៃ axiom អំពីព្រះធ្វើឱ្យ axiom របស់យើងពេញលេញ។ ប្រសិនបើមានព្រះជាម្ចាស់ នោះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ ឬបដិសេធ ដោយសំដៅលើមធ្យោបាយមួយ ឬមធ្យោបាយផ្សេងទៀតទៅកាន់ព្រះ។ ប៉ុន្តែយោងទៅតាម Gödel ប្រព័ន្ធពេញលេញនៃ axioms គឺផ្ទុយគ្នាដោយជៀសមិនរួច។ នោះគឺប្រសិនបើយើងជឿថាមានព្រះ នោះយើងត្រូវបានគេបង្ខំឱ្យសន្និដ្ឋានថាភាពផ្ទុយគ្នាអាចធ្វើទៅបាននៅក្នុងធម្មជាតិ។ ហើយ​ដោយ​សារ​តែ​មិន​មាន​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា បើ​មិន​ដូច្នេះ​ទេ​ពិភពលោក​ទាំងមូល​របស់​យើង​នឹង​រលាយ​បាត់​ពី​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​ទាំង​នេះ យើង​ត្រូវ​តែ​សន្និដ្ឋាន​ថា អត្ថិភាព​នៃ​ព្រះ​គឺ​មិន​ស៊ី​គ្នា​នឹង​អត្ថិភាព​នៃ​ធម្មជាតិ។

Sosinsky A.B.

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel រួមជាមួយនឹងការរកឃើញនៃទំនាក់ទំនង មេកានិចកង់ទិច និង DNA ជាទូទៅត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសមិទ្ធិផលវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៃសតវត្សទី 20 ។ ហេតុអ្វី? តើអ្វីជាខ្លឹមសាររបស់វា? តើវាមានន័យយ៉ាងណា? Alexey Bronislavovich Sosinsky គណិតវិទូ សាស្រ្តាចារ្យនៅសកលវិទ្យាល័យ Independent Moscow មន្ត្រីនៃ Order of Academic Palms នៃសាធារណរដ្ឋបារាំង ម្ចាស់រង្វាន់ RF Government Prize ក្នុងវិស័យអប់រំក្នុងឆ្នាំ 2012 និយាយអំពីបញ្ហាទាំងនេះនៅក្នុងការបង្រៀនរបស់គាត់ក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃ គម្រោងការបង្រៀនសាធារណៈរបស់ Polit.ru ។ ជាពិសេស ទម្រង់ផ្សេងៗគ្នាជាច្រើនរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ វិធីសាស្រ្តបីចំពោះភស្តុតាងរបស់វាត្រូវបានពិពណ៌នា (ដោយ Kolmogorov, Chaitin និង Gödel ខ្លួនឯង) ហើយសារៈសំខាន់របស់វាសម្រាប់គណិតវិទ្យា រូបវិទ្យា វិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ និងទស្សនវិជ្ជាត្រូវបានពន្យល់។

Uspensky V. A.

ការបង្រៀននេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់កំណែវាក្យសម្ព័ន្ធនៃទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញរបស់ Gödel ។ Gödel ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានបង្ហាញពីកំណែវាក្យសម្ព័ន្ធដោយប្រើការសន្មត់ខ្លាំងជាងភាពស្ថិតស្ថេរ ពោលគឺអ្វីដែលគេហៅថា ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃអូមេហ្គា។

Uspensky V. A.

ការបង្រៀនរបស់សាលារដូវក្តៅ "គណិតវិទ្យាទំនើប", ឌូណា។

ទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញរបស់ Godel

Uspensky V.A.

ប្រហែលជាទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញរបស់ Gödel គឺពិតជាប្លែក។ មានតែមួយគត់ដែលពួកគេសំដៅទៅលើវានៅពេលដែលពួកគេចង់បញ្ជាក់ "អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្នុងពិភពលោក" - ពីវត្តមានរបស់ព្រះរហូតដល់អវត្តមាននៃហេតុផល។ ខ្ញុំតែងតែចាប់អារម្មណ៍លើ "សំណួរចម្បង" បន្ថែមទៀត ហើយតើអ្នកណាក្នុងចំណោមអ្នកដែលសំដៅលើទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញ មិនត្រឹមតែអាចបង្កើតវាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងអាចបញ្ជាក់វាបាន? ខ្ញុំបោះពុម្ពអត្ថបទនេះសម្រាប់ហេតុផលដែលវាបង្ហាញពីទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទ Gödel ដែលអាចចូលដំណើរការបាន។ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានអត្ថបទដោយ Tullio Regge Kurt Gödel និងទ្រឹស្តីបទដ៏ល្បីល្បាញរបស់គាត់។

ការសន្និដ្ឋានអំពីភាពមិនអាចទៅរួចនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសកលនៃសេចក្តីពិត គឺជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយ Tarski ដោយរួមបញ្ចូលគ្នានូវទ្រឹស្តីបទមិនអាចសម្រេចបានរបស់ Gödel ជាមួយនឹងទ្រឹស្ដីនៃសេចក្តីពិតផ្ទាល់របស់គាត់ ដែលយោងទៅតាមការដែលវាមិនអាចមានលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសកលនៃការពិតសូម្បីតែសម្រាប់តំបន់តូចចង្អៀតក៏ដោយ។ នៃទ្រឹស្តីលេខ ហើយដូច្នេះសម្រាប់វិទ្យាសាស្ត្រណាមួយដែលប្រើនព្វន្ធ។ តាមធម្មជាតិ លទ្ធផលនេះអនុវត្តនូវគោលគំនិតនៃសេចក្តីពិតនៅក្នុងវិស័យចំណេះដឹងដែលមិនមែនជាគណិតវិទ្យា ដែលលេខនព្វន្ធត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។

លោក Karl Popper

Uspensky Vladimir Andreevich កើតនៅថ្ងៃទី 27 ខែវិច្ឆិកាឆ្នាំ 1930 នៅទីក្រុងម៉ូស្គូ។ បានបញ្ចប់ការសិក្សាពីមហាវិទ្យាល័យមេកានិច និងគណិតវិទ្យានៃសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូ (1952) ។ បណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្ររូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា (១៩៦៤)។ សាស្រ្តាចារ្យប្រធាននាយកដ្ឋានតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីនៃក្បួនដោះស្រាយនៃមហាវិទ្យាល័យមេកានិក និងគណិតវិទ្យា (១៩៦៦)។ អានវគ្គនៃការបង្រៀន "ការណែនាំអំពីតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា", "អនុគមន៍ដែលអាចគណនាបាន", "ទ្រឹស្តីបទភាពពេញលេញរបស់ហ្គោឌែល"។ បានរៀបចំបេក្ខជនចំនួន ២៥រូប និងបណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្រចំនួន ២រូប

1. សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីបញ្ហា

ទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញ រូបមន្តពិតប្រាកដដែលយើងនឹងផ្តល់ឱ្យនៅចុងបញ្ចប់នៃជំពូកនេះ ហើយប្រហែលជានៅពេលក្រោយ (ប្រសិនបើអ្នកអានចាប់អារម្មណ៍លើរឿងនេះ) និងភស្តុតាង បញ្ជាក់អំពីចំណុចខាងក្រោម៖ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់នៃភាសាណាមួយ វាជាការពិត។ ប៉ុន្តែ​ការ​ថ្លែង​មិន​អាច​បញ្ជាក់​បាន​។

នៅពេលដែលយើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទតាមរបៀបនេះ ស្ទើរតែគ្រប់ពាក្យទាំងអស់ទាមទារការពន្យល់ខ្លះៗ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​ចាប់​ផ្ដើម​ដោយ​ការ​ពន្យល់​ពី​អត្ថន័យ​នៃ​ពាក្យ​ដែល​យើង​ប្រើ​ក្នុង​ការ​បង្កើត​នេះ។

១.១. ភាសា

យើងនឹងមិនផ្តល់និយមន័យជាទូទៅបំផុតនៃភាសានោះទេ ដោយចូលចិត្តដាក់ខ្លួនយើងទៅនឹងគោលគំនិតភាសាទាំងនោះ ដែលយើងនឹងត្រូវការនៅពេលក្រោយ។ មានគោលគំនិតពីរយ៉ាងគឺ "អក្ខរក្រមនៃភាសា" និង "សំណុំនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិតនៃភាសា" ។

១.១.១. អក្ខរក្រម

តាមអក្ខរក្រម យើងមានន័យថាជាសំណុំកំណត់នៃសញ្ញាបឋម (នោះគឺវត្ថុដែលមិនអាចបំបែកទៅជាផ្នែកសមាសភាគ)។ តួអក្សរទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាអក្សរនៃអក្ខរក្រម។ តាម​រយៈ​ពាក្យ​អក្ខរក្រម​មួយ យើង​មាន​ន័យ​ថា​លំដាប់​អក្សរ​ដែល​កំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ ពាក្យសាមញ្ញជាភាសាអង់គ្លេស (រួមទាំងឈ្មោះត្រឹមត្រូវ) គឺជាពាក្យនៃអក្ខរក្រម 54 អក្សរ (អក្សរតូច 26 អក្សរធំ 26 អក្សរដាច់ និងអក្សរកាត់)។ ឧទាហរណ៍មួយទៀត - លេខធម្មជាតិនៅក្នុងសញ្ញាគោលដប់គឺជាពាក្យនៃអក្ខរក្រម 10 អក្សរដែលអក្សររបស់ពួកគេជាសញ្ញា: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9។ យើងនឹងប្រើអក្សរធំធម្មតាដើម្បីសម្គាល់។ អក្ខរក្រម។ បើអក្សរ L ជាអក្សរ L? នឹងបង្ហាញពីសំណុំនៃពាក្យទាំងអស់នៃអក្ខរក្រម L, - ពាក្យដែលបង្កើតឡើងពីអក្សររបស់វា។ យើងនឹងសន្មត់ថាភាសាណាមួយមានអក្ខរក្រមរបស់ខ្លួន ដូច្នេះរាល់កន្សោមនៃភាសានេះ (ឧ - ឈ្មោះវត្ថុផ្សេងៗ សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីវត្ថុទាំងនេះ។ល។) គឺជាពាក្យនៃអក្ខរក្រមនេះ។ ឧទាហរណ៍ ប្រយោគណាមួយនៅក្នុងភាសាអង់គ្លេស ក៏ដូចជាអត្ថបទណាមួយដែលសរសេរជាភាសាអង់គ្លេស អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាពាក្យនៃអក្ខរក្រម 54 អក្សរដែលបានពង្រីក ដែលរួមបញ្ចូលផងដែរនូវសញ្ញាវណ្ណយុត្តិ ចន្លោះពាក្យ តួអក្សរបន្ទាត់ក្រហម និងអាចមួយចំនួន។ តួអក្សរមានប្រយោជន៍ផ្សេងទៀត។ ដោយសន្មតថាកន្សោមភាសាគឺជាពាក្យនៃអក្ខរក្រមមួយចំនួន ដូច្នេះយើងដកចេញពីការពិចារណាកន្សោម "ពហុស្រទាប់" ដូចជា ???f(x)dx ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការកំណត់នេះមិនសំខាន់ពេកទេ ព្រោះការបញ្ចេញមតិបែបនេះ ដោយប្រើអនុសញ្ញាសមស្រប អាចត្រូវបាន "លាតសន្ធឹង" ទៅជាទម្រង់លីនេអ៊ែរ។ តើឈុត M មាននៅក្នុង L ទេ? ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំពាក្យនៃអក្ខរក្រម L. ប្រសិនបើយើងនិយាយយ៉ាងសាមញ្ញថា M គឺជាសំណុំពាក្យនោះយើងមានន័យថាវាជាពាក្យនៃអក្ខរក្រមមួយចំនួន។ ឥឡូវនេះការសន្មតភាសាខាងលើអាចត្រូវបានបកប្រែឡើងវិញដូចខាងក្រោម: នៅក្នុងភាសាណាមួយសំណុំនៃកន្សោមណាមួយគឺជាសំណុំពាក្យ។

១.១.២. ការអះអាងពិតជាច្រើន។

យើងសន្មត់ថាយើងត្រូវបានផ្តល់សំណុំរង T នៃសំណុំ L? (ដែល L គឺជាអក្ខរក្រមនៃភាសាមួយចំនួនដែលយើងកំពុងពិចារណា) ដែលត្រូវបានគេហៅថាសំណុំនៃ "សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត" (ឬសាមញ្ញ "សេចក្តីពិត") ។ ដោយឆ្លងកាត់ដោយផ្ទាល់ទៅផ្នែករង T យើងលុបចោលជំហានមធ្យមនៃការវែកញែកដូចខាងក្រោមៈ ជាដំបូង ពាក្យណាមួយនៃអក្ខរក្រម L គឺជាកន្សោមភាសាដែលបានបង្កើតឡើងយ៉ាងល្អ ពោលគឺវាមានអត្ថន័យជាក់លាក់មួយនៅក្នុងការបកស្រាយរបស់យើងនៃភាសានេះ (ឧទាហរណ៍ , 2 + 3, x + 3, x = y, x = 3, 2=3, 2=2 គឺជាកន្សោមដែលមានទម្រង់ល្អ ចំណែកកន្សោមដូចជា +=x គឺមិនមែន); ទីពីរ កន្សោមណាមួយជារូបមន្ត ឧ. អាចអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (ឧទាហរណ៍ x=3, x=y, 2=3, 2=2); ទីបី តើរូបមន្តមួយណាជារូបមន្តបិទ, i.e. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (ឧទាហរណ៍ 2=3, 2=2); ហើយចុងក្រោយ រូបមន្តដែលបិទគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត (ឧទាហរណ៍ 2=2)។

១.១.៣. គូភាសាមូលដ្ឋាន

១.២. "មិនអាចប្រកែកបាន"

"មិនអាចប្រកែកបាន" មានន័យថាមិនមានភស្តុតាង។

១.៣. ភស្តុតាង

ទោះបីជាការពិតដែលថាពាក្យ "ភស្តុតាង" ប្រហែលជាសំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា (Bourbaki ចាប់ផ្តើមសៀវភៅរបស់ពួកគេ "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា" ជាមួយនឹងពាក្យថា: "ពីសម័យក្រិកបុរាណនិយាយថា "គណិតវិទ្យា" មានន័យដូចគ្នានឹង ដោយនិយាយថា "ភស្តុតាង") គាត់មិនមាននិយមន័យច្បាស់លាស់ទេ។ ជាទូទៅ គោលគំនិតនៃភស្តុតាងជាមួយនឹងសាខា semantic ទាំងអស់របស់វា ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកចិត្តវិទ្យា ជាជាងគណិតវិទ្យា។ ប៉ុន្តែ​ត្រូវ​ថា​តាម​ដែល​វា​អាច​ធ្វើ​បាន ភស្តុតាង​គឺ​គ្រាន់​តែ​ជា​អំណះអំណាង​មួយ​ដែល​យើង​ខ្លួន​ឯង​រក​ឃើញ​ថា​គួរ​ឱ្យ​ជឿ​ដើម្បី​បញ្ចុះ​បញ្ចូល​អ្នក​ដទៃ​ទៀត​។

នៅពេលដែលសរសេរចុះ ភស្តុតាងក្លាយជាពាក្យនៅក្នុងអក្ខរក្រម P មួយចំនួន ដូចអត្ថបទភាសាអង់គ្លេសណាមួយជាពាក្យនៅក្នុងអក្ខរក្រម L ដែលជាឧទាហរណ៍ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ។ សំណុំភស្តុតាងទាំងអស់បង្កើតបានជាសំណុំរង (និងជាសំណុំរងធំ) នៃសំណុំ P? យើងនឹងមិនព្យាយាមផ្តល់និយមន័យច្បាស់លាស់នៃភស្តុតាងទាំងពីរនេះ "ឆោតល្ងង់" និង "ដាច់ខាត" ឬ - ដែលស្មើនឹង - ដើម្បីកំណត់សំណុំរងដែលត្រូវគ្នានៃ P? ជំនួសមកវិញ យើងនឹងពិចារណាអំពី analogue ផ្លូវការនៃគោលគំនិតមិនច្បាស់លាស់នេះ ដែលយើងនឹងនៅតែប្រើពាក្យ "ភស្តុតាង" នៅក្នុងអ្វីដែលដូចខាងក្រោម។ analogue នេះមានលក្ខណៈពិសេសសំខាន់ពីរដែលបែងចែកវាពីគំនិតវិចារណញាណ (ទោះបីជាគំនិតវិចារណញាណនៃភស្តុតាងនៅតែឆ្លុះបញ្ចាំងពីលក្ខណៈពិសេសទាំងនេះក្នុងកម្រិតមួយចំនួន) ។ ជាដំបូង យើងសន្មត់ថាមានការយល់ឃើញផ្សេងគ្នានៃភ័ស្តុតាង ពោលគឺ សំណុំរងផ្សេងគ្នានៃភស្តុតាងនៅក្នុង P? ត្រូវបានអនុញ្ញាត ហើយលើសពីនេះទៅទៀត យើងនឹងសន្មត់ថាអក្ខរក្រមនៃភស្តុតាងរបស់ P ខ្លួនឯងអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ . នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងទាមទារថា សម្រាប់ការយល់ឃើញបែបនេះនីមួយៗនៃភស្តុតាង មានវិធីសាស្រ្តដ៏មានប្រសិទ្ធភាពមួយ ម្យ៉ាងវិញទៀត ក្បួនដោះស្រាយដែលចាំបាច់នឹងកំណត់ថាតើពាក្យដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអក្ខរក្រម P គឺជាភស្តុតាងឬអត់។ យើងក៏សន្មត់ថាមានក្បួនដោះស្រាយដែលតែងតែអាចប្រើដើម្បីកំណត់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយដែលភស្តុតាងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ (នៅក្នុងស្ថានភាពជាច្រើន សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលត្រូវបានបង្ហាញគឺគ្រាន់តែជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ចុងក្រោយនៅក្នុងលំដាប់នៃជំហានដែលបង្កើតជាភស្តុតាង។ )

ដូច្នេះ ពាក្យចុងក្រោយរបស់យើងនៃនិយមន័យមានដូចខាងក្រោម៖

(1) យើងមានអក្ខរក្រម L (អក្ខរក្រមនៃភាសា) និងអក្ខរក្រម P (អក្ខរក្រមនៃភស្តុតាង) ។

(2) យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសំណុំ P ដែលជាសំណុំរងនៃ P? ហើយធាតុរបស់ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា "ភស្តុតាង" ។ ខាងក្រោមនេះយើងនឹងសន្មត់ថាយើងក៏មានក្បួនដោះស្រាយដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ថាតើពាក្យបំពាននៃអក្ខរក្រម P គឺជាធាតុនៃសំណុំ P ដែលជាភស្តុតាងឬអត់។

(3) តើយើងមានមុខងារដែរឬទេ? (សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ឱ្យ​ប្រាកដ​) តើ​ដែន​របស់​នរណា​? បំពេញលក្ខខណ្ឌ P???P? ហើយជួរមួយណាស្ថិតក្នុង P?។ យើងសន្មត់ថាយើងមានក្បួនដោះស្រាយដែលគណនាមុខងារនេះ (អត្ថន័យពិតប្រាកដនៃពាក្យ "algorithm គណនាមុខងារ" មានដូចខាងក្រោម៖ តម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវបានទទួលដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយនេះ - សំណុំនៃច្បាប់បំលែងពិសេស)។ យើងនឹងនិយាយថាធាតុ p? P គឺជាភស្តុតាងនៃពាក្យ?(p) នៃអក្ខរក្រម L.

ត្រូកា<Р, Р, ?>លក្ខខណ្ឌដែលពេញចិត្ត (1)-(3) ត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធដកប្រាក់លើអក្ខរក្រម L.

សម្រាប់អ្នកអានដែលធ្លាប់ស្គាល់ពីវិធីធម្មតានៃការកំណត់ "ភស្តុតាង" នៅក្នុងពាក្យ "axiom" និង "rule of inference" ឥឡូវនេះ យើងនឹងពន្យល់ពីរបៀបដែលវិធីសាស្រ្តនេះអាចចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងផ្នែក 1.3.2 ។ នោះគឺជាភស្តុតាងជាធម្មតាត្រូវបានកំណត់ថាជាលំដាប់នៃកន្សោមភាសាបែបនេះ ដែលនីមួយៗជា axiom ឬពីមុនទទួលបានពីសេចក្តីថ្លែងដែលមានស្រាប់ដោយប្រើក្បួនសន្និដ្ឋានមួយ។ ប្រសិនបើយើងបន្ថែមពាក្យថ្មី * ទៅក្នុងអក្ខរក្រមនៃភាសារបស់យើង នោះយើងអាចសរសេរភស្តុតាងដូចជាពាក្យដែលផ្សំឡើងដោយប្រើអក្ខរក្រមលទ្ធផល៖ លំដាប់នៃកន្សោមក្លាយជាពាក្យ C1*C2*...*Cn ។ ក្នុងករណីនេះ មុខងារដែលកំណត់នូវអ្វីដែលបានបញ្ជាក់ច្បាស់មានតម្លៃរបស់វានៅក្នុងផ្នែកនៃពាក្យនេះភ្លាមៗបន្ទាប់ពីអក្សរចុងក្រោយ * ក្នុងលំដាប់។ ក្បួនដោះស្រាយដែលអត្ថិភាពរបស់វាត្រូវបានទាមទារនៅក្នុងផ្នែក 1.3.2 ។ និយមន័យ អាចត្រូវបានសាងសង់យ៉ាងងាយស្រួល នៅពេលដែលយើងកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់នូវអត្ថន័យដែលទទួលយកបាននៃពាក្យ "axiom" និង "rule of inference"។

1.4. ការព្យាយាមបង្កើតទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញបានត្រឹមត្រូវ។

១.៤.១. សាកល្បងដំបូង

"នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់សម្រាប់គូជាមូលដ្ឋាននៃភាសានៃអក្ខរក្រម L និងប្រព័ន្ធដក<Р, Р, ?>លើសពី L វាតែងតែមានពាក្យនៅក្នុង T ដែលមិនមានភស្តុតាង។ ជម្រើសនេះនៅតែមើលទៅមិនច្បាស់លាស់។ ជាពិសេស យើងអាចបង្កើតបានយ៉ាងងាយស្រួលជាមួយនឹងប្រព័ន្ធដកប្រាក់ច្រើនតាមដែលយើងចូលចិត្ត ដោយមានពាក្យដែលអាចបញ្ជាក់បានតិចតួចបំផុត។ ?) មិនមានពាក្យ ទាំងអស់នោះនឹងមានភស្តុតាង។

១.៤.២. សាកល្បងលើកទីពីរ

មានវិធីសាស្រ្តធម្មជាតិមួយទៀត។ ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់ភាសាមួយ - ក្នុងន័យថាយើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យគូជាមូលដ្ឋាននៃភាសានេះ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងស្វែងរកប្រព័ន្ធដកប្រាក់បែបនេះនៅលើ L (ដោយវិចារណញាណ យើងកំពុងស្វែងរកបច្ចេកទេសភស្តុតាង) ដែលយើងអាចបញ្ជាក់ពាក្យជាច្រើនពី T តាមដែលអាចធ្វើបាន ក្នុងដែនកំណត់ពាក្យទាំងអស់ពីទ្រឹស្តីបទ T. Gödel ពិពណ៌នាអំពីស្ថានភាពដែល ប្រព័ន្ធដកប្រាក់បែបនេះ (ដែលគ្រប់ពាក្យនៅក្នុង T អាចបញ្ជាក់បាន) មិនមានទេ។ ដូច្នេះ យើង​ចង់​បង្កើត​សេចក្តី​ថ្លែងការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

"នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនទាក់ទងនឹងគូជាមូលដ្ឋាន មិនមានប្រព័ន្ធកាត់កង ដែលគ្រប់ពាក្យពី T នឹងមានភស្តុតាងនោះទេ។"

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះគឺពិតជាមិនពិតព្រោះវាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីយកប្រព័ន្ធកាត់ដែល P = L, P = P? និង?(p) = p សម្រាប់ p ទាំងអស់ក្នុង P?; បន្ទាប់មករាល់ពាក្យពី L? គឺ​អាច​បញ្ជាក់​បាន​ដោយ​ចៃដន្យ។ ដូច្នេះហើយ យើងត្រូវទទួលយកការកំណត់មួយចំនួនលើប្រព័ន្ធដកប្រាក់ណាមួយដែលយើងប្រើប្រាស់។

១.៥. ភាពជាប់លាប់

វាជារឿងធម្មតាទេដែលតម្រូវឱ្យមានតែ "សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត" ពោលគឺមានតែពាក្យ T ប៉ុណ្ណោះដែលអាចបញ្ជាក់បាន។ យើងនឹងនិយាយថាប្រព័ន្ធដកប្រាក់<Р, Р, ?>គឺ​ស្រប​នឹង​ការ​គោរព​ទៅ​នឹង​គូ​មូលដ្ឋាន​ប្រសិន​បើ?(P)?T. នៅក្នុងការវែកញែកជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់ យើងនឹងចាប់អារម្មណ៍តែលើប្រព័ន្ធដកប្រាក់ដែលជាប់លាប់បែបនេះប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើយើងត្រូវបានផ្តល់ភាសាមួយ នោះវានឹងជាការល្បួងបំផុតក្នុងការស្វែងរកប្រព័ន្ធដកប្រាក់ដែលស្របគ្នា ដែលរាល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិតនឹងមានភស្តុតាង។ បំរែបំរួលនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ដែលចាប់អារម្មណ៍យើងបញ្ជាក់យ៉ាងពិតប្រាកដថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនទាក់ទងនឹងគូជាមូលដ្ឋាន វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកប្រព័ន្ធដកប្រាក់បែបនេះ។

១.៦. ភាពពេញលេញ

វាត្រូវបានគេនិយាយថាប្រព័ន្ធដកប្រាក់<Р,Р,?>បានបញ្ចប់ដោយគោរពទៅនឹងគូមូលដ្ឋាន បានផ្តល់ថា?(P)?T. បន្ទាប់មក ការបង្កើតទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់យើង មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖

នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនទាក់ទងនឹងគូមូលដ្ឋាន មិនមានប្រព័ន្ធកាត់កងបែបនេះទេ។<Р,Р,?>លើស L ដែលនឹងមានភាពពេញលេញ និងស្របគ្នា។

គន្ថនិទ្ទេស

សម្រាប់ការរៀបចំការងារនេះសម្ភារៈពីគេហទំព័រ http://filosof.historic.ru ត្រូវបានប្រើ។

09សេន

ប្រព័ន្ធណាមួយនៃ axioms គណិតវិទ្យា ដែលចាប់ផ្តើមពីកម្រិតជាក់លាក់នៃភាពស្មុគស្មាញ គឺមានភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាខាងក្នុង ឬមិនពេញលេញ។

នៅឆ្នាំ 1900 សន្និសិទពិភពលោកនៃគណិតវិទូត្រូវបានប្រារព្ធឡើងនៅទីក្រុងប៉ារីសជាកន្លែងដែល លោក David Gilbert(David Hilbert, 1862–1943) បានគូសបញ្ជាក់ជាទម្រង់នៃកិច្ចការទាំងនេះ 23 សំខាន់បំផុត តាមគំនិតរបស់គាត់ កិច្ចការដែលអ្នកទ្រឹស្តីនៃសតវត្សទី 20 ខាងមុខត្រូវដោះស្រាយ។ លេខពីរនៅក្នុងបញ្ជីរបស់គាត់គឺជាបញ្ហាសាមញ្ញមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនោះដែលហាក់ដូចជាជាក់ស្តែងរហូតដល់អ្នកជីកជ្រៅបន្តិច។ ក្នុងន័យទំនើប វាជាសំណួរ៖ តើគណិតវិទ្យាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ខ្លួនវាទេ? ភារកិច្ចទីពីររបស់ Hilbert ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅនឹងតម្រូវការដើម្បីបញ្ជាក់យ៉ាងតឹងរឹងថាប្រព័ន្ធនៃ axioms - សេចក្តីថ្លែងការណ៍មូលដ្ឋានដែលបានយកនៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋានដោយគ្មានភស្តុតាង - គឺល្អឥតខ្ចោះនិងពេញលេញ ពោលគឺវាអនុញ្ញាតឱ្យការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យានៃអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលមាន។ វាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ប្រព័ន្ធនៃ axioms បែបនេះដែលដំបូងពួកគេនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាទៅវិញទៅមកហើយទីពីរអាចទាញការសន្និដ្ឋានពីពួកគេទាក់ទងនឹងការពិតឬមិនពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយ។

ចូរយើងយកឧទាហរណ៍ពីធរណីមាត្រសាលា។ តាមស្តង់ដារ Euclidean Planimetry (ធរណីមាត្រនៅលើយន្តហោះ) វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺ 180 °" គឺពិត ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណគឺ 137 °។ "គឺមិនពិត។ និយាយជាសំខាន់ នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean សេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយមិនពិត ឬពិត ហើយទីបីមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យទេ។ ហើយនៅដើមសតវត្សទី 20 គណិតវិទូបានជឿដោយឆោតល្ងង់ថា ស្ថានភាពដូចគ្នាគួរតែត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលស្របគ្នាតាមតក្កវិជ្ជាណាមួយ។

ហើយបន្ទាប់មកនៅឆ្នាំ 1931 គណិតវិទូ Viennese មួយចំនួន លោក Kurt Gödel- បានយកនិងបោះពុម្ពអត្ថបទខ្លីមួយដែលគ្រាន់តែក្រឡាប់ពិភពលោកទាំងមូលនៃអ្វីដែលគេហៅថា "តក្កគណិតវិទ្យា" ។ បន្ទាប់​ពី​ការ​លើក​ឡើង​ខាង​គណិត​វិទ្យា និង​ទ្រឹស្ដី​យ៉ាង​យូរ និង​ស្មុគ្រ​ស្មាញ លោក​បាន​បង្កើត​នូវ​គោល​ការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម។ ចូរយើងទទួលយកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយដូចជា៖ "ការសន្មត់ #247 គឺមិនអាចប្រកែកបាននៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃ axioms" ហើយហៅវាថា "សេចក្តីថ្លែងការណ៍ A" ។ ដូច្នេះ Gödel គ្រាន់តែបង្ហាញនូវទ្រព្យសម្បត្តិដ៏អស្ចារ្យខាងក្រោមនៃប្រព័ន្ធ axioms ណាមួយ៖

"ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A អាចបញ្ជាក់បាន នោះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមិនមែនជា A អាចត្រូវបានបញ្ជាក់។"

ម្យ៉ាងទៀត ប្រសិនបើអាចបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "សន្មត់ថា ២៤៧ មិនអាចបញ្ជាក់បាន" នោះ វាក៏អាចបញ្ជាក់បានដែរថា សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "សន្មត់ ២៤៧ គឺអាចបញ្ជាក់បាន" ។ នោះគឺការត្រលប់ទៅការបង្កើតបញ្ហា Hilbert ទីពីរ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃ axioms ពេញលេញ (នោះគឺសេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយនៅក្នុងវាអាចបញ្ជាក់បាន) នោះវាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានោះទេ។

មធ្យោបាយតែមួយគត់ចេញពីស្ថានភាពនេះគឺដើម្បីទទួលយកប្រព័ន្ធមិនពេញលេញនៃ axioms ។ នោះគឺយើងត្រូវប្រកាន់ខ្ជាប់នូវការពិតដែលថានៅក្នុងបរិបទនៃប្រព័ន្ធឡូជីខលណាមួយយើងនឹងនៅតែមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ប្រភេទ A" ដែលច្បាស់ជាការពិតឬមិនពិត - ហើយយើងអាចវិនិច្ឆ័យសេចក្តីពិតរបស់ពួកគេបានតែនៅខាងក្រៅក្របខ័ណ្ឌនៃ axiomatics ដែលយើងមាន។ បានអនុម័ត។ ប្រសិនបើមិនមានសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះទេ នោះ axiomatics របស់យើងគឺផ្ទុយគ្នា ហើយនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌរបស់វា វានឹងជៀសមិនរួចនូវទម្រង់ដែលអាចបញ្ជាក់បានទាំងការបដិសេធ។

ដូច្នេះការបង្កើតទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញដំបូង ឬខ្សោយរបស់ហ្គោឌែលគឺ៖ "ប្រព័ន្ធផ្លូវការណាមួយនៃ axioms មានការសន្មត់ដែលមិនអាចដោះស្រាយបាន". ប៉ុន្តែ Gödel មិនបានឈប់នៅទីនោះទេ ដោយបង្កើត និងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញទីពីរ ឬខ្លាំងរបស់ Gödel ថា “ភាពពេញលេញឡូជីខល (ឬភាពមិនពេញលេញ) នៃប្រព័ន្ធនៃ axioms ណាមួយមិនអាចបញ្ជាក់បាននៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃប្រព័ន្ធនេះទេ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ ឬបដិសេធវា អ័ក្សបន្ថែម (ការពង្រឹងប្រព័ន្ធ) ត្រូវបានទាមទារ។

វានឹងមានសុវត្ថិភាពជាងក្នុងការគិតថាទ្រឹស្ដីរបស់ Godel គឺអរូបី ហើយមិនខ្វល់ពីយើងទេ ប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដ៏ខ្ពង់ខ្ពស់ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែការពិតវាបានប្រែក្លាយថាពួកវាទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងរចនាសម្ព័ន្ធនៃខួរក្បាលរបស់មនុស្ស។ គណិតវិទូ និងរូបវិទ្យាអង់គ្លេស Roger Penrose (កើតឆ្នាំ 1931) បានបង្ហាញថា ទ្រឹស្តីបទ Gödelអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់អំពីអត្ថិភាពនៃភាពខុសគ្នាជាមូលដ្ឋានរវាងខួរក្បាលមនុស្ស និងកុំព្យូទ័រ។ ចំណុចនៃហេតុផលរបស់គាត់គឺសាមញ្ញ។ កុំព្យូទ័រដំណើរការយ៉ាងតឹងរ៉ឹងដោយតក្កវិជ្ជា ហើយមិនអាចកំណត់ថាតើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A ពិតឬមិនពិត ប្រសិនបើវាហួសពីវិសាលភាពនៃ axiomatics ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel គឺជៀសមិនរួច។ មនុស្សម្នាក់ដែលប្រឈមមុខនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A ដែលមិនអាចប្រកែកបាន និងមិនអាចប្រកែកបាននោះ តែងតែអាចកំណត់ការពិត ឬភាពមិនពិតរបស់វា ដោយផ្អែកលើបទពិសោធន៍ប្រចាំថ្ងៃ។ យ៉ាងហោចណាស់នៅក្នុងរឿងនេះ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សគឺល្អជាងកុំព្យូទ័រដែលបិទបាំងដោយសៀគ្វីឡូជីខលសុទ្ធ។ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សអាចយល់បាននូវជម្រៅពេញលេញនៃការពិតដែលមាននៅក្នុងទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ប៉ុន្តែកុំព្យូទ័រមួយមិនអាចធ្វើបាន។ ដូច្នេះហើយ ខួរក្បាលរបស់មនុស្សគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីកុំព្យូទ័រ។ គាត់អាចធ្វើការសម្រេចចិត្តបាន ហើយការធ្វើតេស្ត Turing នឹងឆ្លងកាត់។

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់ Godel

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់ Godel

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់ Godel- ទ្រឹស្តីបទពីរនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាលើដែនកំណត់ជាមូលដ្ឋាននៃនព្វន្ធផ្លូវការ និងជាលទ្ធផលនៃទ្រឹស្តីលំដាប់ទីមួយដែលរឹងមាំគ្រប់គ្រាន់។

ទ្រឹស្តីបទទីមួយចែងថា ប្រសិនបើលេខនព្វន្ធផ្លូវការមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា នោះវាមានរូបមន្តដែលមិនអាចប្រកែកបាន និងមិនអាចប្រកែកបាន។

ទ្រឹស្តីបទទីពីរចែងថា ប្រសិនបើលេខនព្វន្ធផ្លូវការមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា នោះរូបមន្តមួយចំនួនគឺមិនអាចទាញយកបាននៅក្នុងវា ដែលមានន័យអះអាងពីភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្តីនេះ។

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញដំបូងរបស់ Gödel

ការអះអាងនៃទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញដំបូងរបស់ Gödel អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម:

ប្រសិនបើនព្វន្ធផ្លូវការស មានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា បន្ទាប់មកវាមានរូបមន្តបិទជិត G ដែលទាំង G ឬ negation របស់វា ¬G មិនអាចទទួលបាននៅក្នុងស .

ក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ លោក Gödel បានបង្កើតរូបមន្ត ជីជាក់ស្តែង ពេលខ្លះវាត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តដែលមិនអាចដោះស្រាយបានរបស់Gödel។ នៅក្នុងការបកស្រាយស្តង់ដារ ប្រយោគ ជីអះអាងពីភាពមិនអាចទាញយកបានដោយខ្លួនឯងនៅក្នុង S. ដូច្នេះហើយ តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ប្រសិនបើទ្រឹស្តី S មានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា នោះរូបមន្តនេះគឺពិតជាមិនអាចទទួលបាននៅក្នុង S ដូច្នេះហើយជាការពិតនៅក្នុងការបកស្រាយស្តង់ដារ។ ដូច្នេះសម្រាប់លេខធម្មជាតិ រូបមន្ត ជីគឺ​ពិត ប៉ុន្តែ​មិន​អាច​កាត់​បាន​នៅ​ក្នុង S.

ភស្តុតាងរបស់ Gödel ក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ទ្រឹស្តីណាមួយដែលទទួលបានពី S ដោយបន្ថែម axioms ថ្មី ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត ជីជា axiom មួយ។ ដូច្នេះ ទ្រឹស្ដីស្របណាមួយដែលជាផ្នែកបន្ថែមនៃនព្វន្ធផ្លូវការនឹងមិនពេញលេញទេ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញដំបូង Gödel បានកំណត់លេខជាក់លាក់មួយទៅនិមិត្តសញ្ញានិមួយៗ កន្សោម និងលំដាប់នៃកន្សោមក្នុងលេខនព្វន្ធផ្លូវការ។ ចាប់តាំងពីរូបមន្ត និងទ្រឹស្តីបទគឺជាប្រយោគនៃនព្វន្ធ ហើយការចេញមកពីទ្រឹស្តីបទគឺជាលំដាប់នៃរូបមន្ត វាអាចនិយាយអំពីទ្រឹស្តីបទ និងភស្តុតាងទាក់ទងនឹងចំនួនធម្មជាតិ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមឱ្យរូបមន្ត Gödel ដែលមិនអាចដោះស្រាយបាន។ ជីមានលេខ មបន្ទាប់មក វាស្មើនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមជាភាសានព្វន្ធ៖ "មិនមានលេខធម្មជាតិបែបនេះទេ នអ្វី នមាន​លេខ​រូបមន្ត​ដែល​មាន​លេខ មការប្រៀបធៀបនៃរូបមន្ត និងលេខធម្មជាតិបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា នព្វន្ធនៃគណិតវិទ្យា ហើយត្រូវបានអនុវត្តដោយ Gödel ជាលើកដំបូង។ គំនិតនេះក្រោយមកបានក្លាយជាគន្លឹះក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាសំខាន់ៗជាច្រើននៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា។

គំនូរព្រាងភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យយើងជួសជុល PM ប្រព័ន្ធផ្លូវការមួយចំនួនដែលគោលគំនិតគណិតវិទ្យាបឋមអាចត្រូវបានតំណាង។

កន្សោមនៃប្រព័ន្ធផ្លូវការគឺមកពីខាងក្រៅ លំដាប់កំណត់នៃនិមិត្តសញ្ញាបុព្វកាល (អថេរ ថេរតក្កវិជ្ជា និងតង្កៀប ឬចំនុច) ហើយវាមិនពិបាកក្នុងការបញ្ជាក់យ៉ាងតឹងរឹងនូវលំដាប់នៃនិមិត្តសញ្ញាបុព្វកាលណាមួយជារូបមន្ត និងមួយណាមិនមែនទេ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ តាមទស្សនៈផ្លូវការ ភ័ស្តុតាងគឺគ្មានអ្វីក្រៅពីរូបមន្តកំណត់ (ជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានកំណត់យ៉ាងតឹងរ៉ឹង)។ សម្រាប់ការពិចារណាគណិតវិទ្យា វាមិនមានបញ្ហាអ្វីដែលត្រូវយកជានិមិត្តសញ្ញាបឋមទេ ហើយយើងសម្រេចចិត្តប្រើលេខធម្មជាតិសម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះ។ ដូច្នោះហើយ រូបមន្តគឺជាលំដាប់កំណត់នៃលេខធម្មជាតិ ការចេញនៃរូបមន្តគឺជាលំដាប់កំណត់នៃលំដាប់កំណត់នៃចំនួនធម្មជាតិ។ គោលគំនិតគណិតវិទ្យា (សេចក្តីថ្លែងការណ៍) ដូច្នេះក្លាយជាគំនិត (សេចក្តីថ្លែងការណ៍) អំពីលេខធម្មជាតិ ឬលំដាប់របស់វា ហើយដូច្នេះគេអាចបង្ហាញនៅក្នុងនិមិត្តសញ្ញានៃប្រព័ន្ធ PM (យ៉ាងហោចណាស់មួយផ្នែក)។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញជាពិសេសថាគំនិត "រូបមន្ត", "ដេរីវេ", "រូបមន្តដែលអាចទាញយកបាន" ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ PM ពោលគឺមនុស្សម្នាក់អាចងើបឡើងវិញឧទាហរណ៍រូបមន្ត ច(v) នៅក្នុង PM ជាមួយនឹងអថេរឥតគិតថ្លៃមួយ។ v(ប្រភេទ​ដែល​ជា​លំដាប់​លេខ) បែប​នោះ។ ច(v) នៅក្នុងការបកស្រាយវិចារណញាណ មានន័យថា៖ v- រូបមន្តដែលអាចទាញយកបាន។ ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតប្រយោគដែលមិនអាចសម្រេចបាននៃប្រព័ន្ធ PM នោះគឺការកាត់ទោស កសម្រាប់ការដែលមិនមាន កទេ មិនមែន Aមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ដូចតទៅ៖

រូបមន្តនៅក្នុង PM ដែលមានអថេរឥតគិតថ្លៃមួយពិតប្រាកដដែលប្រភេទរបស់វាជាចំនួនធម្មជាតិ (ថ្នាក់នៃថ្នាក់) នឹងត្រូវបានគេហៅថាថ្នាក់កន្សោម។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរៀបចំថ្នាក់-កន្សោមតាមលំដាប់លំដោយតាមរបៀបណាមួយ បញ្ជាក់ ន- អ៊ីឆ្លងកាត់ រ(ន) ហើយចំណាំថាគំនិតនៃ "ការបង្ហាញថ្នាក់" ក៏ដូចជាទំនាក់ទំនងលំដាប់ រអាចត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ PM ។ អនុញ្ញាតឱ្យ α ជាការបញ្ចេញមតិថ្នាក់តាមអំពើចិត្ត; តាមរយៈ [α; ន] សម្គាល់រូបមន្តដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងពីកន្សោមថ្នាក់ α ដោយជំនួសអថេរឥតគិតថ្លៃជាមួយនឹងនិមិត្តសញ្ញានៃលេខធម្មជាតិ ន. ទំនាក់ទំនង Ternary x = [y;z] ក៏​ប្រែ​ទៅ​ជា​កំណត់​នៅ​ក្នុង PM ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងកំណត់ថ្នាក់មួយ។ ខេលេខធម្មជាតិដូចខាងក្រោមៈ

ន ∈ ខេ≡ ¬Bew[ រ(ន);ន] (*)

(ដែលជាកន្លែងដែល Bew xមានន័យថា៖ x- រូបមន្តដែលអាចទាញយកបាន) ។ ដោយសារគោលគំនិតទាំងអស់ដែលកើតឡើងក្នុងនិយមន័យនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុង PM នោះក៏ដូចគ្នាសម្រាប់គោលគំនិត ខេដែលត្រូវបានសាងសង់ឡើងពីពួកគេ នោះគឺមានថ្នាក់-កន្សោមបែបនេះ សថារូបមន្ត [ ស;ន] ដែលត្រូវបានបកស្រាយដោយវិចារណញាណ មានន័យថា លេខធម្មជាតិ នជាកម្មសិទ្ធិ ខេ. ជាកន្សោមថ្នាក់, សដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួន រ(q) នៅក្នុងលេខរបស់យើង នោះគឺ

ស = រ(q)

រក្សាសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិជាក់លាក់មួយចំនួន q. ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញថា ប្រយោគ [ រ(q);q] គឺមិនអាចសម្រេចបាននៅក្នុង PM ។ ដូច្នេះប្រសិនបើប្រយោគ [ រ(q);q] ត្រូវបានសន្មតថាអាចទាញយកបាន បន្ទាប់មកវាប្រែថាជាការពិត នោះគឺស្របតាមអ្វីដែលបាននិយាយខាងលើ។ qនឹងជាកម្មសិទ្ធិ ខេនោះគឺយោងទៅតាម (*) ¬Bew[ រ(q);q] នឹងពេញចិត្ត ដែលផ្ទុយនឹងការសន្មត់របស់យើង។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើការបដិសេធ [ រ(q);q] អាចទាញយកបាន បន្ទាប់មក ¬ ន ∈ ខេនោះគឺ Bew[ រ(q);q] នឹងក្លាយជាការពិត។ អាស្រ័យហេតុនេះ [ រ(q);q] រួមជាមួយនឹងការបដិសេធរបស់វានឹងអាចទាញយកបាន ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេម្តងទៀត។

ទម្រង់ពហុនាម

សម្រាប់ទ្រឹស្តីនីមួយៗធ គេអាចបញ្ជាក់តម្លៃចំនួនគត់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ K ដែលសមីការ (θ + ២ z − ខ 5) 2 + (យូ + tθ − លីត្រ) 2 + (y + មθ − អ៊ី) 2 + (ន − q 16) 2 + ((g + អ៊ីq 3 + លីត្រq 5 + (2(អ៊ី − zλ)(1 + g) 4 + λ ខ 5+λ ខ 5 q 4)q 4)(ន 2 − ន) + (q 3 − ខលីត្រ + លីត្រ + θλ q 3 + (ខ 5 − 2)q 5)(ន 2 − 1) − r) 2 + (ទំ − 2វស 2 r 2 ន 2) 2 + (ទំ 2 k 2 − k 2 + 1 − τ 2) 2 + (4(គ − kសន 2) 2 + η − k 2) 2 + (r + 1 + ម៉ោងទំ − ម៉ោង − k) 2 + (ក − (វន 2 + 1)rសន 2) 2 + (2r+ 1 + φ − គ) 2 + (ខវ + គក − 2គ+ 4αγ − 5γ − ឃ) 2 + ((ក 2 − 1)គ 2 + 1 − ឃ 2) 2 + ((ក 2 − 1)ខ្ញុំ 2 គ 4 + 1 − f 2) 2 + (((ក + f 2 (ឃ 2 − ក)) 2 − 1)(2r + 1 + jគ) 2 + 1 − (ឃ + of) 2) 2 + (((z + យូ + y) 2 + យូ) 2 + y − ខេ) 2 = 0 មិនមានដំណោះស្រាយនៅក្នុងចំនួនគត់ដែលមិនអវិជ្ជមានទេ ប៉ុន្តែការពិតនេះមិនអាចបញ្ជាក់បានតាមទ្រឹស្តីទេ។ធ . ជាងនេះទៅទៀត សម្រាប់រាល់ទ្រឹស្ដីស្រប សំណុំនៃតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ K ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិនេះគឺគ្មានកំណត់ និងជាក្បួនមិនអាចរាប់បាន។

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញទីពីររបស់ Gödel

នៅក្នុងនព្វន្ធផ្លូវការ S មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើតរូបមន្តដែលនៅក្នុងការបកស្រាយស្តង់ដារគឺពិតប្រសិនបើទ្រឹស្តី S គឺស្រប។ សម្រាប់រូបមន្តនេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទទីពីររបស់ Gödel គឺពិត៖

ប្រសិនបើនព្វន្ធផ្លូវការស មានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា បន្ទាប់មកវាមានរូបមន្តដែលមិនអាចទាញយកបាន ដែលអះអាងយ៉ាងសំខាន់នូវភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា។ស .

ម្យ៉ាងវិញទៀត ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃនព្វន្ធផ្លូវការមិនអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយទ្រឹស្តីនេះទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានភស្តុតាងនៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃនព្វន្ធផ្លូវការដោយប្រើមធ្យោបាយដែលមិនអាចពន្យល់បាននៅក្នុងវា។

គំនូរព្រាងភស្តុតាង

ទីមួយ រូបមន្តមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង ខនដែលបង្ហាញពីភាពមិនអាចទៅរួចនៃរូបមន្តណាមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តី S រួមជាមួយនឹងការបដិសេធរបស់វា។ បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទទីមួយរបស់ហ្គោឌែលត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត ខន ⊃ ជីកន្លែងណា ជី- រូបមន្តដែលមិនអាចដោះស្រាយបានរបស់ Gödel ។ អំណះអំណាងទាំងអស់សម្រាប់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទទីមួយអាចត្រូវបានបង្ហាញ និងអនុវត្តដោយមធ្យោបាយ S ពោលគឺនៅក្នុងរូបមន្ត S គឺអាចទាញយកបាន។ ខន ⊃ ជី. ដូច្នេះប្រសិនបើ S អាចទាញយកបាន។ ខនបន្ទាប់មកយើងទទួលបាននៅក្នុងវានិង ជី. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទទីមួយរបស់ Gödel ប្រសិនបើ S មានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា។ ជីនៅក្នុងវាមិនអាចកាត់ចេញបានទេ។ ដូច្នេះប្រសិនបើ S គឺស្រប នោះរូបមន្ត ខន.

កំណត់ចំណាំ

សូម​មើល​ផង​ដែរ

តំណភ្ជាប់

• V. A. Uspenskyទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញរបស់ Godel ។ - M. : Nauka, 1982. - 110 ទំ។ - (បាឋកថាពេញនិយមអំពីគណិតវិទ្យា)។
• អ្នកសិក្សា Yu.L. Ershov "ភស្តុតាងក្នុងគណិតវិទ្យា", A. កម្មវិធីរបស់ Gordon ថ្ងៃទី 16 ខែមិថុនា ឆ្នាំ 2003
• A.B. Sosinskyទ្រឹស្តីបទ Gödel // សាលារដូវក្តៅ "គណិតវិទ្យាទំនើប". - ឌូណា៖ ២០០៦។
• P. J. Cohenនៅលើមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីកំណត់ // វឌ្ឍនភាពក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យា. - 1974. - T. 29. - លេខ 5 (179) ។ - ស. ១៦៩–១៧៦។
• M. Kordonskyចុងបញ្ចប់នៃសេចក្តីពិត។ - ISBN 5-946448-001-04
• V. A. Uspenskyទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់ Gödel និងផ្លូវបួនដែលនាំទៅដល់វា // សាលារដូវក្តៅ "គណិតវិទ្យាទំនើប". - ទីក្រុង Dubna: ឆ្នាំ 2007 ។
• Zenkin A.A.គោលការណ៍ចែករំលែកពេលវេលា និងការវិភាគនៃថ្នាក់មួយនៃហេតុផលដែលអាចទុកចិត្តបានពាក់កណ្តាលកំណត់ (នៅលើឧទាហរណ៍នៃទ្រឹស្តីបទមិនអាចរាប់បានរបស់ G. Kantor) // ដាន់. - 1997. - T. 356. - លេខ 6. - S. 733-735 ។
• Chechulin V.L.នៅលើកំណែខ្លីនៃភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Gödel // “បញ្ហាជាមូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រព័ត៌មាន” សម្ភារៈនៃសិក្ខាសាលា XXXIV Far Eastern Mathematical School-seminar ដាក់ឈ្មោះតាម Academician E.V. ហ្សូឡូតូវ៉ា. - Khabarovsk, ប្រទេសរុស្ស៊ី: 2009. - S. 60-61 ។

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

សូមមើលអ្វីដែល "ទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញរបស់ហ្គោឌែល" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើលទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ។ ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់ Gödel និងទ្រឹស្តីបទទីពីររបស់ Gödel [1] គឺជាទ្រឹស្តីបទពីរនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាអំពីដែនកំណត់ជាមូលដ្ឋាននៃលេខនព្វន្ធផ្លូវការ ហើយជាលទ្ធផល ណាមួយ ... ... Wikipedia

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញរបស់ Gödel គឺជាទ្រឹស្តីបទពីរនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាស្តីពីភាពមិនពេញលេញនៃប្រព័ន្ធផ្លូវការនៃប្រភេទជាក់លាក់មួយ។ ខ្លឹមសារ 1 ទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញដំបូងរបស់ Gödel 2 ទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញទីពីររបស់ Gödel ... Wikipedia

ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើលទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ។ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel ស្តីពីភាពពេញលេញនៃការគណនាទស្សន៍ទាយ គឺជាទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានមួយនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា៖ វាបង្កើតទំនាក់ទំនងមិនច្បាស់លាស់រវាងការពិតឡូជីខល ... ... វិគីភីឌា

ឈ្មោះទូទៅសម្រាប់ទ្រឹស្តីបទពីរដែលបង្កើតឡើងដោយ K. Gödel។ ទីមួយ G. t. អំពី n ។ អះអាងថានៅក្នុងប្រព័ន្ធផ្លូវការស្របណាមួយដែលមានអប្បរមានៃនព្វន្ធ (សញ្ញា និងក្បួនធម្មតាសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា) មានទម្រង់មិនអាចសម្រេចបាន ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

លើប្រធានបទ៖ "ទ្រឹស្តីរបស់ព្រះជាម្ចាស់"

លោក Kurt Gödel

Kurt Gödel - អ្នកឯកទេសដ៏អស្ចារ្យបំផុតក្នុងតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាបានកើតនៅថ្ងៃទី 28 ខែមេសាឆ្នាំ 1906 នៅ Brunn (ឥឡូវ Brno សាធារណរដ្ឋឆេក) ។ គាត់បានបញ្ចប់ការសិក្សាពីសកលវិទ្យាល័យ Vienna ជាកន្លែងដែលគាត់ការពារសញ្ញាប័ត្របណ្ឌិតរបស់គាត់ គឺជាជំនួយការសាស្រ្តាចារ្យនៅឆ្នាំ 1933-1938 ។ បន្ទាប់ពី Anschluss គាត់បានធ្វើអន្តោប្រវេសន៍ទៅសហរដ្ឋអាមេរិក។ ពីឆ្នាំ 1940 ដល់ឆ្នាំ 1963 លោក Gödel បានធ្វើការនៅវិទ្យាស្ថាន Princeton សម្រាប់ការសិក្សាកម្រិតខ្ពស់។ Gödel គឺជាបណ្ឌិតកិត្តិយសពីសាកលវិទ្យាល័យ Yale និង Harvard ដែលជាសមាជិកនៃបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រជាតិសហរដ្ឋអាមេរិក និងសង្គមទស្សនវិជ្ជាអាមេរិក។

នៅឆ្នាំ 1951 លោក Kurt Gödel បានទទួលពានរង្វាន់វិទ្យាសាស្ត្រខ្ពស់បំផុតនៅសហរដ្ឋអាមេរិក ពានរង្វាន់ Einstein ។ នៅក្នុងអត្ថបទមួយដែលឧទ្ទិសដល់ព្រឹត្តិការណ៍នេះ គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតម្នាក់ទៀតនៅសម័យរបស់យើងគឺលោក John von Neumann បានសរសេរថា “ការរួមចំណែករបស់ Kurt Gödel ចំពោះតក្កវិជ្ជាទំនើបគឺពិតជាអស្ចារ្យណាស់។ នេះ​គឺ​ជា​ជាង​គ្រាន់​តែ​ជា​វិមាន​មួយ​។ នេះ​ជា​ចំណុច​សំខាន់​មួយ​ដែល​បំបែក​សម័យកាល​ពីរ... អាច​និយាយ​បាន​ដោយ​គ្មាន​ការ​បំផ្លើស​ថា​ការងារ​របស់ Gödel បាន​ផ្លាស់ប្តូរ​ប្រធានបទ​នៃ​តក្កវិជ្ជា​ជា​វិទ្យាសាស្ត្រ។

ជាការពិតណាស់ សូម្បីតែបញ្ជីស្ងួតនៃសមិទ្ធិផលរបស់ Godel ក្នុងតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាបង្ហាញថា អ្នកនិពន្ធរបស់ពួកគេបានចាក់គ្រឹះយ៉ាងសំខាន់សម្រាប់ផ្នែកទាំងមូលនៃវិទ្យាសាស្ត្រនេះ៖ ទ្រឹស្ដីនៃគំរូ (1930; ទ្រឹស្ដីដែលគេហៅថាអំពីភាពពេញលេញនៃការគណនាទស្សន៍ទាយតូចចង្អៀត ការបង្ហាញ។ និយាយដោយប្រយោល ភាពគ្រប់គ្រាន់នៃមធ្យោបាយនៃ "តក្កវិជ្ជាផ្លូវការ" ដើម្បីបញ្ជាក់ប្រយោគពិតទាំងអស់ដែលបានបង្ហាញជាភាសារបស់វា) តក្កវិជ្ជាស្ថាបនា (1932-1933; លទ្ធផលលើលទ្ធភាពនៃការកាត់បន្ថយថ្នាក់ខ្លះនៃប្រយោគនៃតក្កវិជ្ជាបុរាណទៅសមភាគីវិចារណញាណរបស់ពួកគេ ដែល បានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ជាប្រព័ន្ធនៃ "ប្រតិបត្តិការពន្លិច" ដែលអនុញ្ញាតឱ្យមានការថយចុះនៃប្រព័ន្ធតក្កវិជ្ជាផ្សេងៗចំពោះគ្នាទៅវិញទៅមក) នព្វន្ធផ្លូវការ (1932-1933; លទ្ធផលលើលទ្ធភាពនៃការកាត់បន្ថយនព្វន្ធបុរាណទៅជានព្វន្ធវិចារណញាណ ដែលបង្ហាញក្នុងន័យមួយថា ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទីមួយទាក់ទងនឹងទីពីរ) ទ្រឹស្តីនៃក្បួនដោះស្រាយនិងមុខងារ recursive (1934; និយមន័យនៃគំនិតនៃមុខងារ recursive ទូទៅដែលដើរតួជាការសម្រេចចិត្ត។ តួនាទី​ក្នុង​ការ​បង្កើត​ភាព​មិន​អាច​ដោះស្រាយ​បាន​នៃ​ក្បួន​ដោះស្រាយ​នៃ​បញ្ហា​សំខាន់ៗ​មួយ​ចំនួន​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​នៅ​លើ​ដៃ​ម្ខាង។ ហើយនៅក្នុងការអនុវត្តបញ្ហាឡូជីខល និងគណិតវិទ្យានៅលើកុំព្យូទ័រអេឡិចត្រូនិច - ម៉្យាងវិញទៀតទ្រឹស្តីសំណុំ axiomatic (1938; ភស្តុតាងនៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃ axiom នៃជម្រើស និងសម្មតិកម្មបន្តរបស់ Cantor ពី axioms នៃទ្រឹស្តីសំណុំ ដែលបានសម្គាល់ការចាប់ផ្តើម។ នៃស៊េរីនៃលទ្ធផលសំខាន់ៗស្តីពីភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងគោលការណ៍កំណត់ទ្រឹស្តីឯករាជ្យ)។

ទ្រឹស្តីបទភាពមិនពេញលេញរបស់ Godel

សេចក្តីផ្តើម

នៅឆ្នាំ 1931 អត្ថបទតូចមួយបានលេចចេញនៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិវិទ្យាសាស្ត្រអាឡឺម៉ង់ដែលមានចំណងជើងដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច "នៅលើសំណើដែលមិនអាចសម្រេចបានជាផ្លូវការនៃ Principia Mathematica និងប្រព័ន្ធពាក់ព័ន្ធ" ។ អ្នកនិពន្ធរបស់វាគឺគណិតវិទូអាយុ 25 ឆ្នាំមកពីសាកលវិទ្យាល័យ Vienna លោក Kurt Gödel ដែលក្រោយមកបានធ្វើការនៅវិទ្យាស្ថាន Princeton សម្រាប់ការសិក្សាកម្រិតខ្ពស់។ ការងារនេះបានដើរតួយ៉ាងសំខាន់ក្នុងប្រវត្តិសាស្រ្តនៃតក្កវិជ្ជា និងគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងការសម្រេចចិត្តរបស់សាកលវិទ្យាល័យ Harvard ក្នុងការផ្តល់រង្វាន់ដល់លោក Gödel បណ្ឌិតកិត្តិយស (1952) វាត្រូវបានកំណត់ថាជាសមិទ្ធិផលដ៏អស្ចារ្យបំផុតមួយនៃតក្កវិជ្ជាទំនើប។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលបោះពុម្ពផ្សាយ មិនមានចំណងជើងការងាររបស់ Gödel ទេ។ ទាំងខ្លឹមសាររបស់វាក៏មិនបាននិយាយអ្វីដល់គណិតវិទូភាគច្រើនដែរ។ បានលើកឡើងនៅក្នុងចំណងជើងរបស់វា Principia Mathematica គឺជា Alfred North Whitehead និង Bertrand Russell's Treatise 3-volume ដ៏ធំសម្បើមលើតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា និងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។ ការស្គាល់ពីសន្ធិសញ្ញានេះមិនមែនជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការងារជោគជ័យនៅក្នុងផ្នែកគណិតវិទ្យាភាគច្រើននោះទេ។ ការចាប់អារម្មណ៍លើបញ្ហាដែលបានលើកឡើងនៅក្នុងការងាររបស់ Gödel តែងតែមានច្រើនរបស់ក្រុមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ អំណះអំណាងដែលផ្តល់ដោយ Gödel នៅក្នុងភស្តុតាងរបស់គាត់គឺមិនធម្មតាសម្រាប់ពេលវេលារបស់ពួកគេ។ ថាការយល់ដឹងពេញលេញអំពីពួកគេទាមទារចំណេះដឹងផ្តាច់មុខនៃប្រធានបទ និងការស្គាល់អក្សរសិល្ប៍ដែលឧទ្ទិសដល់បញ្ហាជាក់លាក់ទាំងនេះ។

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញដំបូង

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញដំបូងរបស់ Gödelហាក់ដូចជាលទ្ធផលដ៏សំខាន់បំផុតនៅក្នុងតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា។ វាស្តាប់ទៅដូចនេះ៖

សម្រាប់ទ្រឹស្តីផ្លូវការ និងអាចគណនាបានតាមអំពើចិត្ត ដែលសំណើនព្វន្ធមូលដ្ឋានអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ សំណើនព្វន្ធពិតអាចត្រូវបានសាងសង់ ដែលការពិតមិនអាចបញ្ជាក់បានក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃទ្រឹស្តី។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ទ្រឹស្ដីដែលមានប្រយោជន៍ឥតខ្ចោះណាមួយដែលគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីតំណាងឱ្យនព្វន្ធមិនអាចមានទាំងស្រប និងពេញលេញនោះទេ។

នៅទីនេះពាក្យ "ទ្រឹស្តី" មានន័យថា "សំណុំគ្មានកំណត់" នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយចំនួនដែលសន្មតថាជាការពិតដោយគ្មានភស្តុតាង (សេចក្តីថ្លែងការណ៍បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា axioms) ខណៈពេលដែលផ្សេងទៀត (ទ្រឹស្តីបទ) អាចត្រូវបានកាត់ចេញពី axioms ហើយដូច្នេះត្រូវបានសន្មត់ ( បញ្ជាក់) ថាជាការពិត។ ឃ្លា "អាចបញ្ជាក់បានក្នុងទ្រឹស្ដី" មានន័យថា "កាត់ចេញពី axioms និង primitives នៃទ្រឹស្តី (និមិត្តសញ្ញាថេរនៃអក្ខរក្រម) ដោយប្រើស្តង់ដារ (លំដាប់ទីមួយ) logic" ។ ទ្រឹស្ដីមួយគឺស្រប (ស្រប) ប្រសិនបើវាមិនអាចទៅរួចទេដើម្បីបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយនៅក្នុងវា។ ឃ្លា "អាចត្រូវបានសាងសង់" មានន័យថាមាននីតិវិធីមេកានិចមួយចំនួន (ក្បួនដោះស្រាយ) ដែលអាចបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដោយផ្អែកលើ axioms, primitives និងតក្កវិជ្ជាលំដាប់ទីមួយ។ "នព្វន្ធបឋម" គឺជាវត្តមាននៃប្រតិបត្តិការនៃការបូកនិងគុណលើចំនួនធម្មជាតិ។ សំណើលទ្ធផលពិត ប៉ុន្តែមិនអាចប្រកែកបាន ជារឿយៗត្រូវបានគេសំដៅទៅលើទ្រឹស្តីដែលបានផ្តល់ឱ្យថាជា "លំដាប់Gödel" ប៉ុន្តែមានសំណើផ្សេងទៀតជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់នៅក្នុងទ្រឹស្ដីដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នានៃការមិនអាចប្រកែកបាននៅក្នុងទ្រឹស្តី។

ការសន្មត់ថាទ្រឹស្ដីគឺអាចគណនាបានមានន័យថាជាគោលការណ៍អាចអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយកុំព្យូទ័រ (កម្មវិធីកុំព្យូទ័រ) ដែល (ប្រសិនបើអនុញ្ញាតឱ្យគណនាតាមអំពើចិត្តយូររហូតដល់គ្មានកំណត់) នឹងគណនាបញ្ជីនៃទ្រឹស្តីបទទាំងអស់នៃទ្រឹស្តី។ តាមពិតទៅ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគណនាតែបញ្ជី axioms ហើយទ្រឹស្តីបទទាំងអស់អាចទទួលបានយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាពពីបញ្ជីបែបនេះ។

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញដំបូងមានចំណងជើងថា "ទ្រឹស្តីបទ VI" នៅក្នុងក្រដាសឆ្នាំ 1931 របស់ Gödel ។ លើសំណើដែលមិនអាចសម្រេចបានជាផ្លូវការនៅក្នុង Principia Mathematica និងប្រព័ន្ធពាក់ព័ន្ធ I. នៅក្នុងការថតសំឡេងដើមរបស់ Gödel វាស្តាប់ទៅដូចនេះ៖

“ការសន្និដ្ឋានទូទៅអំពីអត្ថិភាពនៃសំណើដែលមិនអាចសម្រេចបានគឺ៖

ទ្រឹស្តីបទ VI .

សម្រាប់រាល់ ω-consistent recursive class kរូបមន្ត មានការកើតឡើងវិញ។សញ្ញា r បែបនោះក៏មិនមែនដែរ។ (vឧត្តមសេនីយ៍ r)ទេ ¬( vឧត្តមសេនីយ៍ r)មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ Flg (k)(កន្លែងដែល vអថេរឥតគិតថ្លៃ r ) ».

ការកំណត់ ទង់មកពីគាត់។ Folgerungsmenge- សំណុំនៃលំដាប់, ឧត្តមសេនីយ៍មកពីគាត់។ ទូទៅ- ទូទៅ។

និយាយ​ឲ្យ​ចំ សេចក្តីថ្លែងការណ៍​របស់ Gödel ជីអះអាង៖ "ការពិត ជីមិន​អាច​បញ្ជាក់​បាន​ទេ»។ ប្រសិនបើ ជីអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងទ្រឹស្តី បន្ទាប់មកទ្រឹស្តីនឹងមានទ្រឹស្តីបទដែលផ្ទុយពីខ្លួនវា ហើយដូច្នេះទ្រឹស្តីនឹងមិនស្របគ្នា។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើ ជីមិន​អាច​ប្រកែក​បាន នោះ​វា​ជា​ការ​ពិត ហើយ​ហេតុ​ដូច្នេះ​ហើយ ទ្រឹស្ដី​គឺ​មិន​ពេញ​លេញ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ជីមិនអាចកាត់ថ្លៃបាននៅក្នុងវា) ។

ការពន្យល់នេះគឺនៅក្នុងភាសាធម្មជាតិធម្មតា ដូច្នេះហើយមិនមានភាពម៉ត់ចត់ក្នុងគណិតវិទ្យាទេ។ ដើម្បីផ្តល់ភ័ស្តុតាងយ៉ាងម៉ត់ចត់ Gödel បានដាក់លេខសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាមួយនឹងលេខធម្មជាតិ។ ក្នុង​ករណី​នេះ ទ្រឹស្ដី​ពណ៌នា​អំពី​លេខ​ក៏​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់​សំណុំ​សំណើ​ដែរ។ សំណួរអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃសំណើអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងករណីនេះក្នុងទម្រង់ជាសំណួរអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលេខធម្មជាតិ ដែលត្រូវតែអាចគណនាបាន ប្រសិនបើទ្រឹស្តីពេញលេញ។ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ Gödel និយាយថា មិនមានលេខជាមួយនឹងទ្រព្យសម្បត្តិជាក់លាក់មួយចំនួននោះទេ។ លេខដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនេះនឹងក្លាយជាភស្តុតាងនៃភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្តី។ បើ​មាន​ចំនួន​បែប​នេះ ទ្រឹស្តី​មិន​ស៊ីសង្វាក់​គ្នា ផ្ទុយ​នឹង​ការ​សន្មត់​ដើម។ ដូច្នេះការសន្មត់ថាទ្រឹស្ដីគឺស្រប (ដូចដែលការសន្និដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីបទបង្ហាញ) វាប្រែថាមិនមានលេខបែបនេះទេ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ Gödel គឺជាការពិត ប៉ុន្តែនេះមិនអាចបញ្ជាក់បានក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃទ្រឹស្តីទេ (ហេតុដូច្នេះហើយទ្រឹស្តីមិនពេញលេញ។ ) កំណត់ចំណាំគោលគំនិតដ៏សំខាន់មួយគឺថា មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែសន្មតថាទ្រឹស្តីមួយស្របគ្នា ដើម្បីប្រកាសសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ Gödel ថាជាការពិត។

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញទីពីររបស់ Gödel

ទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញទីពីររបស់ Gödel អានដូចខាងក្រោម:

សម្រាប់ទ្រឹស្តីដែលអាចរាប់ឡើងវិញបានជាផ្លូវការ (ពោលគឺបង្កើតដោយប្រសិទ្ធភាព) ទ្រឹស្តី T រួមទាំងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ការពិតនព្វន្ធជាមូលដ្ឋាន និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលអាចកើតមានជាផ្លូវការមួយចំនួន ទ្រឹស្ដីដែលបានផ្តល់ឱ្យ T រួមបញ្ចូលសេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីភាពស៊ីសង្វាក់គ្នារបស់វា ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែទ្រឹស្តី T គឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្ដីដែលសម្បូរបែបគ្រប់គ្រាន់មិនអាចបញ្ជាក់បានតាមរយៈទ្រឹស្ដីនេះទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថា ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្ដីជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយមធ្យោបាយមួយទៀត ទ្រឹស្តីផ្លូវការដែលមានអនុភាពជាង។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកសំណួរកើតឡើងនៃភាពស៊ីសង្វាក់នៃទ្រឹស្តីទីពីរនេះហើយដូច្នេះនៅលើ។

មនុស្សជាច្រើនបានព្យាយាមប្រើទ្រឹស្តីបទនេះដើម្បីបញ្ជាក់ថាសកម្មភាពឆ្លាតវៃមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាបានទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ត្រលប់ទៅឆ្នាំ 1961 អ្នកតក្កវិជ្ជាដ៏ល្បីល្បាញ John Lucas បានបង្កើតកម្មវិធីស្រដៀងគ្នានេះ។ ហេតុផលរបស់គាត់ប្រែទៅជាងាយរងគ្រោះ - ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគាត់បានកំណត់ភារកិច្ចកាន់តែទូលំទូលាយ។ Roger Penrose ប្រើវិធីសាស្រ្តខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងសៀវភៅទាំងស្រុង "ពីទទេ" ។

ការពិភាក្សា

ផលវិបាកនៃទ្រឹស្តីបទប៉ះពាល់ដល់ទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យា ជាពិសេស ទម្រង់បែបបទដែលប្រើតក្កវិជ្ជាផ្លូវការដើម្បីកំណត់គោលការណ៍របស់ពួកគេ។ គេអាចបកស្រាយទ្រឹស្តីបទនៃភាពមិនពេញលេញដំបូងដូចតទៅ៖ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកប្រព័ន្ធដ៏ទូលំទូលាយនៃ axioms ដែលនឹងអាចបញ្ជាក់បាន។ ទាំងអស់។ការពិតគណិតវិទ្យា ហើយមិនមែនជាការកុហកតែមួយទេ។"។ ម៉្យាងវិញទៀត តាមទស្សនៈនៃទម្រង់ដ៏តឹងរឹង កំណែទម្រង់នេះមិនមានន័យច្រើនទេ ព្រោះវាសន្មតថាគំនិតនៃ "ពិត" និង "មិនពិត" ត្រូវបានកំណត់ក្នុងន័យដាច់ខាត ជាជាងក្នុងន័យធៀបសម្រាប់នីមួយៗ។ ប្រព័ន្ធជាក់លាក់។