មេចែកទូទៅធំបំផុត និងពហុគុណតិចបំផុត គឺជាគោលគំនិតនព្វន្ធសំខាន់ៗ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើប្រតិបត្តិការយ៉ាងងាយស្រួលជាមួយប្រភាគធម្មតា។ LCM និងត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតដើម្បីស្វែងរកភាគបែងទូទៅនៃប្រភាគជាច្រើន។

គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ការបែងចែកនៃចំនួនគត់ X គឺជាចំនួនគត់ Y មួយទៀតដែល X ត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់។ ឧទាហរណ៍ លេខចែកនៃ 4 គឺ 2 និង 36 គឺ 4, 6, 9 ។ ពហុគុណនៃចំនួនគត់ X គឺជាលេខ Y ដែលបែងចែកដោយ X ដោយគ្មានសល់។ ឧទាហរណ៍ 3 គឺជាពហុគុណនៃ 15 ហើយ 6 គឺជាពហុគុណនៃ 12 ។

សម្រាប់គូនៃលេខណាមួយ យើងអាចរកឃើញផ្នែកចែក និងគុណទូទៅរបស់ពួកគេ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ 6 និង 9 ផលគុណទូទៅគឺ 18 ហើយផ្នែកចែកទូទៅគឺ 3។ ជាក់ស្តែង គូអាចមានការបែងចែក និងពហុគុណ ដូច្នេះចែកធំបំផុតនៃ GCD និងពហុគុណតូចបំផុតនៃ LCM ត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា .

ការបែងចែកតូចបំផុតមិនសមហេតុផលទេ ព្រោះសម្រាប់លេខណាមួយវាតែងតែមួយ។ ពហុគុណធំបំផុតក៏គ្មានន័យដែរ ចាប់តាំងពីលំដាប់នៃគុណមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់។

ស្វែងរក GCD

មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនសម្រាប់ការស្វែងរក ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត ដែលល្បីល្បាញបំផុតគឺ៖

• ការរាប់លេខតាមលំដាប់លំដោយនៃការបែងចែក, ការជ្រើសរើសនៃធម្មតាសម្រាប់គូមួយ និងស្វែងរកធំបំផុតនៃពួកគេ;
• ការបំបែកលេខទៅជាកត្តាដែលមិនអាចបំបែកបាន;
• ក្បួនដោះស្រាយ Euclid;
• ក្បួនដោះស្រាយគោលពីរ។

សព្វថ្ងៃនេះនៅក្នុងស្ថាប័នអប់រំវិធីសាស្រ្តដ៏ពេញនិយមបំផុតនៃការបំបែកទៅជាកត្តាសំខាន់និងក្បួនដោះស្រាយ Euclidean ។ ក្រោយមកទៀតត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការ Diophantine៖ ការស្វែងរក GCD គឺត្រូវបានទាមទារដើម្បីពិនិត្យមើលសមីការសម្រាប់លទ្ធភាពនៃការដោះស្រាយវាជាចំនួនគត់។

ការស្វែងរក NOC

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតក៏ត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិតប្រាកដដោយការរាប់បញ្ចូលម្តងហើយម្តងទៀត ឬការបំបែកកត្តាទៅជាកត្តាដែលមិនអាចបំបែកបាន។ លើសពីនេះទៀតវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក LCM ប្រសិនបើផ្នែកធំជាងគេត្រូវបានកំណត់រួចហើយ។ សម្រាប់លេខ X និង Y, LCM និង GCD ត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោម:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X, Y) ។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ gcd(15,18) = 3 នោះ LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 ។ ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែងបំផុតនៃ LCM គឺដើម្បីស្វែងរកភាគបែងធម្មតា ដែលជាផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃ ប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

លេខចម្លង

ប្រសិនបើលេខមួយគូមិនមានការបែងចែកធម្មតាទេ នោះគូបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា coprime ។ GCM សម្រាប់គូបែបនេះគឺតែងតែស្មើនឹងមួយ ហើយផ្អែកលើការតភ្ជាប់នៃផ្នែកចែក និងគុណ GCM សម្រាប់ coprime គឺស្មើនឹងផលិតផលរបស់ពួកគេ។ ឧទាហរណ៍ លេខ 25 និង 28 គឺជា coprime ព្រោះវាមិនមានការបែងចែកធម្មតាទេ ហើយ LCM(25, 28) = 700 ដែលត្រូវនឹងផលិតផលរបស់ពួកគេ។ លេខពីរដែលមិនអាចបំបែកបាននឹងតែងតែជា coprime ។

លេខចែកទូទៅ និងម៉ាស៊ីនគិតលេខច្រើន។

ជាមួយនឹងម៉ាស៊ីនគិតលេខរបស់យើង អ្នកអាចគណនា GCD និង LCM សម្រាប់លេខណាមួយដែលត្រូវជ្រើសរើស។ ភារកិច្ចសម្រាប់គណនាចែកចែកទូទៅ និងពហុគុណត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងនព្វន្ធនៃថ្នាក់ទី 5 និងទី 6 ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ GCD និង LCM គឺជាគោលគំនិតសំខាន់ៗនៃគណិតវិទ្យា ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងទ្រឹស្តីលេខ ប្លង់មេទ្រី និងពិជគណិតទំនាក់ទំនង។

ឧទាហរណ៍ជីវិតពិត

ភាគបែងទូទៅនៃប្រភាគ

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតត្រូវបានប្រើនៅពេលស្វែងរកភាគបែងរួមនៃប្រភាគជាច្រើន។ ឧបមាថានៅក្នុងបញ្ហានព្វន្ធ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបូក 5 ប្រភាគ៖

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

ដើម្បីបន្ថែមប្រភាគ កន្សោមត្រូវតែកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងរួម ដែលកាត់បន្ថយបញ្ហាក្នុងការស្វែងរក LCM ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះជ្រើសរើសលេខ 5 នៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខហើយបញ្ចូលតម្លៃភាគបែងនៅក្នុងក្រឡាដែលសមស្រប។ កម្មវិធីនឹងគណនា LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវគណនាកត្តាបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគនីមួយៗ ដែលត្រូវបានកំណត់ជាសមាមាត្រនៃ LCM ទៅភាគបែង។ ដូច្នេះ មេគុណបន្ថែមនឹងមើលទៅដូច៖

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

បន្ទាប់ពីនោះ យើងគុណប្រភាគទាំងអស់ដោយកត្តាបន្ថែមដែលត្រូវគ្នា ហើយទទួលបាន៖

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

យើងអាចបន្ថែមប្រភាគបែបនេះបានយ៉ាងងាយស្រួល ហើយទទួលបានលទ្ធផលក្នុងទម្រង់ 159/360។ យើងកាត់បន្ថយប្រភាគដោយ 3 ហើយមើលចម្លើយចុងក្រោយ - 53/120 ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ Diophantine លីនេអ៊ែរ

សមីការ Diophantine លីនេអ៊ែរ គឺជាកន្សោមនៃទម្រង់អ័ក្ស + ដោយ = ឃ។ ប្រសិនបើសមាមាត្រ d / gcd (a, b) គឺជាចំនួនគត់ នោះសមីការគឺអាចដោះស្រាយជាចំនួនគត់។ សូមពិនិត្យមើលសមីការមួយចំនួនសម្រាប់លទ្ធភាពនៃដំណោះស្រាយចំនួនគត់។ ដំបូងពិនិត្យសមីការ 150x + 8y = 37. ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ យើងរកឃើញ gcd (150.8) = 2. ចែក 37/2 = 18.5 ។ លេខមិនមែនជាចំនួនគត់ទេ ដូច្នេះសមីការមិនមានឫសចំនួនគត់ទេ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលសមីការ 1320x + 1760y = 10120។ ប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខដើម្បីរក gcd(1320, 1760) = 440. ចែក 10120/440 = 23។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានចំនួនគត់ ដូច្នេះ សមីការនៃវិសមភាព Diophantine គឺ integer .

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

GCD និង LCM ដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងទ្រឹស្តីលេខ ហើយគោលគំនិតខ្លួនឯងត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា។ ប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខរបស់យើងដើម្បីគណនាផ្នែកធំជាងគេ និងផលគុណតូចបំផុតនៃចំនួនលេខណាមួយ។

និយមន័យ។លេខធម្មជាតិធំបំផុតដែលលេខ a និង b ត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់ត្រូវបានគេហៅថា ការបែងចែកទូទៅធំបំផុត (gcd)លេខទាំងនេះ។

ចូររកអ្នកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 24 និង 35 ។
លេខចែក 24 នឹងជាលេខ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ហើយអ្នកចែកលេខ 35 នឹងជាលេខ 1, 5, 7, 35។
យើងឃើញថាលេខ 24 និង 35 មានតែផ្នែកចែកធម្មតាមួយប៉ុណ្ណោះ - លេខ 1 ។ លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់ចម្លង.

និយមន័យ។លេខធម្មជាតិត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់ចម្លងប្រសិនបើការបែងចែកទូទៅធំបំផុតរបស់ពួកគេ (gcd) គឺ 1 ។

ការបែងចែកទូទៅបំផុត (GCD)អាចរកបានដោយមិនចាំបាច់សរសេរការបែងចែកទាំងអស់នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

រាប់លេខ ៤៨ និង ៣៦ យើងទទួលបាន៖
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
ពីកត្តាដែលបានរួមបញ្ចូលក្នុងការពង្រីកលេខទីមួយនៃលេខទាំងនេះ យើងលុបលេខដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងការពង្រីកលេខទីពីរ (ឧ. លេខពីរ)។
កត្តា 2 * 2 * 3 នៅតែមាន។ ផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 12 ។ លេខនេះគឺជាការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ 48 និង 36 ។ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខបីឬច្រើនក៏ត្រូវបានរកឃើញផងដែរ។

ដើម្បីស្វែងរក ការបែងចែកទូទៅធំបំផុត

2) ពីកត្តាដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួនមួយក្នុងចំណោមចំនួនទាំងនេះ, កាត់ចេញអ្នកដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃចំនួនផ្សេងទៀត;
3) ស្វែងរកផលិតផលនៃកត្តាដែលនៅសល់។

ប្រសិនបើលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងអស់ត្រូវបានបែងចែកដោយមួយក្នុងចំណោមពួកគេ នោះលេខនេះគឺ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ឧទាហរណ៍ ការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃ 15, 45, 75, និង 180 គឺ 15 ព្រោះវាបែងចែកលេខផ្សេងទៀតទាំងអស់៖ 45, 75, និង 180។

ពហុទូទៅតិចបំផុត (LCM)

និយមន័យ។ ពហុទូទៅតិចបំផុត (LCM)លេខធម្មជាតិ a និង b គឺជាចំនួនធម្មជាតិតូចបំផុតដែលជាពហុគុណនៃទាំងពីរ a និង b ។ ពហុគុណទូទៅតិចបំផុត (LCM) នៃលេខ 75 និង 60 អាចត្រូវបានរកឃើញដោយមិនចាំបាច់សរសេរពហុគុណនៃលេខទាំងនេះក្នុងមួយជួរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបំបែក 75 និង 60 ទៅជាកត្តាសាមញ្ញ: 75 \u003d 3 * 5 * 5 និង 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5 ។
យើងសរសេរកត្តាដែលរួមបញ្ចូលក្នុងការពង្រីកលេខទីមួយនៃលេខទាំងនេះ ហើយបន្ថែមទៅពួកគេនូវកត្តាដែលបាត់លេខ 2 និង 2 ពីការពង្រីកលេខទីពីរ (នោះគឺយើងបញ្ចូលគ្នានូវកត្តា)។
យើងទទួលបានកត្តាចំនួនប្រាំ 2 * 2 * 3 * 5 * 5 ផលិតផលដែលស្មើនឹង 300 ។ លេខនេះគឺជាផលគុណសាមញ្ញតិចបំផុតនៃលេខ 75 និង 60 ។

ក៏ស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើនផងដែរ។

ទៅ ស្វែងរកពហុគុណសាមញ្ញតិចបំផុត។លេខធម្មជាតិជាច្រើន អ្នកត្រូវការ៖
1) បំបែកពួកវាទៅជាកត្តាចម្បង;
2) សរសេរចេញពីកត្តាដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខមួយ;
3) បន្ថែមទៅពួកគេនូវកត្តាដែលបាត់ពីការពង្រីកនៃចំនួនដែលនៅសល់;
4) ស្វែងរកផលិតផលនៃកត្តាលទ្ធផល។

ចំណាំថាប្រសិនបើលេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះត្រូវបានបែងចែកដោយលេខផ្សេងទៀតទាំងអស់ នោះលេខនេះគឺជាផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខទាំងនេះ។
ឧទាហរណ៍ ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃ 12, 15, 20, និង 60 នឹងមាន 60 ព្រោះវាត្រូវបានបែងចែកដោយលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងអស់។

Pythagoras (សតវត្សទី VI មុនគ.ស) និងសិស្សរបស់គាត់បានសិក្សាបញ្ហានៃការបែងចែកលេខ។ លេខដែលស្មើនឹងផលបូកនៃផ្នែកទាំងអស់របស់វា (ដោយគ្មានលេខខ្លួនឯង) ពួកគេបានហៅលេខល្អឥតខ្ចោះ។ ឧទាហរណ៍លេខ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) គឺល្អឥតខ្ចោះ។ លេខល្អឥតខ្ចោះបន្ទាប់គឺ 496, 8128, 33,550,336 ។ ពួក Pythagoreans ស្គាល់តែលេខល្អឥតខ្ចោះបីដំបូងប៉ុណ្ណោះ។ ទីបួន - 8128 - ត្រូវបានគេស្គាល់នៅសតវត្សទី 1 ។ ន. អ៊ី ទីប្រាំ - 33 550 336 - ត្រូវបានរកឃើញនៅសតវត្សទី 15 ។ នៅឆ្នាំ 1983 លេខល្អឥតខ្ចោះចំនួន 27 ត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយ។ ប៉ុន្តែរហូតមកដល់ពេលនេះ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រមិនដឹងថា តើមានលេខសេស ឬលេខល្អឥតខ្ចោះបំផុតឬអត់នោះទេ។
ចំណាប់អារម្មណ៍របស់គណិតវិទូបុរាណចំពោះលេខបឋមគឺដោយសារតែលេខណាមួយជាលេខបឋម ឬអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលិតផលនៃលេខបឋម ពោលគឺលេខបឋមគឺដូចជាឥដ្ឋដែលសល់នៃលេខធម្មជាតិត្រូវបានសាងសង់។
អ្នកប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់ឃើញថាលេខបឋមនៅក្នុងស៊េរីនៃលេខធម្មជាតិកើតឡើងមិនស្មើគ្នា - នៅក្នុងផ្នែកខ្លះនៃស៊េរីមានច្រើនជាងនេះ ខ្លះទៀតតិចជាង។ ប៉ុន្តែ​យើង​បន្ត​ទៅ​មុខ​ទៀត​តាម​ស៊េរី​លេខ លេខ​សំខាន់​កាន់តែ​កម្រ។ សំណួរកើតឡើង៖ តើលេខចុងក្រោយ (ធំបំផុត) មានទេ? គណិតវិទូជនជាតិក្រិចបុរាណ Euclid (សតវត្សទី 3 មុនគ.ស) នៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ដែលមានចំណងជើងថា "ការចាប់ផ្តើម" ដែលអស់រយៈពេលពីរពាន់ឆ្នាំគឺជាសៀវភៅសិក្សាសំខាន់នៃគណិតវិទ្យា បានបង្ហាញឱ្យឃើញថាមានលេខបឋមជាច្រើនមិនចេះចប់ ពោលគឺនៅពីក្រោយលេខបឋមនីមួយៗមានលេខគូ។ ចំនួនបឋមធំជាង។
ដើម្បីស្វែងរកលេខបឋម គណិតវិទូជនជាតិក្រិចម្នាក់ទៀតដែលមានពេលវេលាដូចគ្នាគឺ Eratosthenes បានបង្កើតវិធីសាស្ត្របែបនេះ។ គាត់សរសេរលេខទាំងអស់ពីលេខ 1 ដល់លេខមួយចំនួន ហើយបន្ទាប់មកកាត់ចេញឯកតា ដែលមិនមែនជាចំនួនបឋម ឬលេខផ្សំ បន្ទាប់មកកាត់ចេញតាមរយៈលេខមួយទាំងអស់បន្ទាប់ពីលេខ 2 (លេខដែលគុណនឹង 2 ពោលគឺលេខ 4។ ៦, ៨ ជាដើម)។ លេខដែលនៅសល់ដំបូងបន្ទាប់ពីលេខ 2 គឺ 3។ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីពីរ លេខទាំងអស់បន្ទាប់ពីលេខ 3 ត្រូវបានកាត់ចេញ (លេខដែលគុណនឹង 3 ពោលគឺ 6, 9, 12 ។ល។)។ នៅទីបញ្ចប់ មានតែលេខបឋមប៉ុណ្ណោះ ដែលនៅតែមិនអាចបំបែកបាន។

កន្សោម និងកិច្ចការគណិតវិទ្យាទាមទារចំណេះដឹងបន្ថែមច្រើន។ NOC គឺជាប្រធានបទសំខាន់មួយ ជាពិសេសជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងប្រធានបទ។ ប្រធានបទត្រូវបានសិក្សានៅវិទ្យាល័យ ខណៈពេលដែលវាមិនពិបាកយល់ជាពិសេស វានឹងមិនពិបាកសម្រាប់អ្នកដែលស្គាល់អំណាច និងតារាងគុណដើម្បីជ្រើសរើស លេខចាំបាច់និងស្វែងរកលទ្ធផល។

និយមន័យ

ពហុគុណទូទៅគឺជាលេខដែលអាចបែងចែកទាំងស្រុងជាពីរលេខក្នុងពេលតែមួយ (a និង b)។ ភាគច្រើន លេខនេះត្រូវបានទទួលដោយការគុណលេខដើម a និង b ។ លេខត្រូវតែបែងចែកដោយលេខទាំងពីរក្នុងពេលតែមួយ ដោយគ្មានគម្លាត។

NOC គឺជាឈ្មោះខ្លីដែលយកចេញពីអក្សរដំបូង។

វិធីដើម្បីទទួលបានលេខ

ដើម្បីស្វែងរក LCM វិធីសាស្ត្រគុណលេខមិនតែងតែសមរម្យទេ វាស័ក្តិសមជាងសម្រាប់លេខមួយខ្ទង់ ឬពីរខ្ទង់សាមញ្ញជាង។ វាជាទម្លាប់ក្នុងការបែងចែកជាកត្តា ចំនួនកាន់តែធំ កត្តានឹងមានកាន់តែច្រើន។

ឧទាហរណ៍ #1

សម្រាប់ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត សាលារៀនជាធម្មតាយកលេខសាមញ្ញមួយខ្ទង់ ឬពីរខ្ទង់។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវដោះស្រាយកិច្ចការខាងក្រោម រកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខ 7 និង 3 ដំណោះស្រាយគឺសាមញ្ញណាស់ គ្រាន់តែគុណពួកវា។ ជាលទ្ធផលមានលេខ 21 គឺមិនមានលេខតូចជាងទេ។

ឧទាហរណ៍ #2

ជម្រើសទីពីរគឺពិបាកជាង។ លេខ 300 និង 1260 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ការស្វែងរក LCM គឺចាំបាច់។ ដើម្បីដោះស្រាយភារកិច្ច សកម្មភាពខាងក្រោមត្រូវបានសន្មត់ថា៖

ការបំបែកលេខទីមួយ និងទីពីរទៅជាកត្តាសាមញ្ញបំផុត។ 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7 ។ ដំណាក់កាលដំបូងត្រូវបានបញ្ចប់។

ដំណាក់កាលទីពីរពាក់ព័ន្ធនឹងការធ្វើការជាមួយទិន្នន័យដែលទទួលបានរួចហើយ។ លេខដែលទទួលបាននីមួយៗត្រូវតែចូលរួមក្នុងការគណនាលទ្ធផលចុងក្រោយ។ សម្រាប់កត្តានីមួយៗ ចំនួនធំបំផុតនៃការកើតឡើងគឺយកចេញពីលេខដើម។ LCM គឺជាលេខធម្មតា ដូច្នេះកត្តាពីលេខត្រូវតែធ្វើម្តងទៀតនៅក្នុងវាទៅលេខចុងក្រោយ សូម្បីតែលេខដែលមាននៅក្នុងច្បាប់ចម្លងតែមួយក៏ដោយ។ លេខដំបូងទាំងពីរមាននៅក្នុងសមាសភាពរបស់ពួកគេ លេខ 2, 3 និង 5 ក្នុងកម្រិតផ្សេងគ្នា 7 គឺមានតែនៅក្នុងករណីមួយ។

ដើម្បីគណនាលទ្ធផលចុងក្រោយ អ្នកត្រូវយកលេខនីមួយៗដែលមានទំហំធំបំផុតនៃអំណាចតំណាងរបស់ពួកគេ ចូលទៅក្នុងសមីការ។ វានៅសល់តែគុណ និងទទួលបានចំលើយ ជាមួយនឹងការបំពេញត្រឹមត្រូវ កិច្ចការត្រូវជាពីរជំហានដោយគ្មានការពន្យល់៖

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300 ។

នោះហើយជាភារកិច្ចទាំងមូល ប្រសិនបើអ្នកព្យាយាមគណនាលេខដែលអ្នកចង់បានដោយគុណ នោះចម្លើយប្រាកដជាមិនត្រឹមត្រូវទេ ចាប់តាំងពី 300 * 1260 = 378,000 ។

ការប្រឡង៖

6300 / 300 = 21 - ពិត;

6300 / 1260 = 5 ត្រឹមត្រូវ។

ភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលត្រូវបានកំណត់ដោយការត្រួតពិនិត្យ - បែងចែក LCM ដោយលេខដើមទាំងពីរ ប្រសិនបើលេខជាចំនួនគត់នៅក្នុងករណីទាំងពីរ នោះចម្លើយគឺត្រឹមត្រូវ។

តើ NOC មានន័យយ៉ាងណាក្នុងគណិតវិទ្យា

ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាមិនមានមុខងារគ្មានប្រយោជន៍តែមួយនៅក្នុងគណិតវិទ្យាទេ មុខងារមួយនេះមិនមែនជាករណីលើកលែងនោះទេ។ គោលបំណងទូទៅបំផុតនៃចំនួននេះគឺដើម្បីនាំយកប្រភាគទៅជាភាគបែងរួម។ អ្វីដែលជាធម្មតាត្រូវបានសិក្សានៅថ្នាក់ទី 5-6 នៃវិទ្យាល័យ។ លើសពីនេះ វាក៏ជាផ្នែកចែកទូទៅសម្រាប់ពហុគុណទាំងអស់ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌបែបនេះមានបញ្ហា។ កន្សោមបែបនេះអាចរកឃើញពហុគុណមិនត្រឹមតែនៃលេខពីរប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានចំនួនធំជាងផងដែរ - បី ប្រាំ ជាដើម។ ចំនួនកាន់តែច្រើន - សកម្មភាពកាន់តែច្រើននៅក្នុងភារកិច្ចប៉ុន្តែភាពស្មុគស្មាញនៃការនេះមិនកើនឡើងទេ។

ឧទាហរណ៍ ដោយផ្តល់លេខ 250, 600 និង 1500 អ្នកត្រូវស្វែងរក LCM សរុបរបស់ពួកគេ៖

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - ឧទាហរណ៍នេះពិពណ៌នាអំពីកត្តាកត្តាដោយលម្អិតដោយមិនកាត់បន្ថយ។

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

ដើម្បីសរសេរកន្សោម វាត្រូវបានតម្រូវឱ្យនិយាយអំពីកត្តាទាំងអស់ ក្នុងករណីនេះ 2, 5, 3 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ - សម្រាប់លេខទាំងអស់នេះ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់កម្រិតអតិបរមា។

យកចិត្តទុកដាក់៖ មេគុណទាំងអស់ត្រូវតែត្រូវបាននាំទៅរកភាពសាមញ្ញពេញលេញ ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន បំបែកទៅជាកម្រិតនៃលេខតែមួយ។

ការប្រឡង៖

1) 3000 / 250 = 12 - ពិត;

2) 3000 / 600 = 5 - ពិត;

3) 3000 / 1500 = 2 ត្រឹមត្រូវ។

វិធីសាស្រ្តនេះមិនទាមទារល្បិច ឬសមត្ថភាពកម្រិតទេពកោសល្យនោះទេ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

វិធីមួយទៀត

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ច្រើនជាប់ទាក់ទងគ្នា ច្រើនអាចដោះស្រាយបានតាមពីរ ឬច្រើនវិធី ដូចគ្នាទៅនឹងការស្វែងរកពហុគុណតិចបំផុត LCM ។ វិធីសាស្ត្រខាងក្រោមអាចប្រើក្នុងករណីលេខពីរខ្ទង់សាមញ្ញ និងលេខមួយខ្ទង់។ តារាងមួយត្រូវបានចងក្រងដែលមេគុណត្រូវបានបញ្ចូលបញ្ឈរ មេគុណផ្ដេក ហើយផលិតផលត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងក្រឡាប្រសព្វនៃជួរឈរ។ អ្នកអាចឆ្លុះបញ្ចាំងតារាងដោយបន្ទាត់មួយ លេខមួយត្រូវបានគេយក ហើយលទ្ធផលនៃការគុណលេខនេះដោយចំនួនគត់ត្រូវបានសរសេរជាជួរៗ ចាប់ពីលេខ 1 ដល់គ្មានកំណត់ ជួនកាល 3-5 ពិន្ទុគឺគ្រប់គ្រាន់ លេខទីពីរ និងលេខបន្តបន្ទាប់ត្រូវដាក់។ ទៅដំណើរការគណនាដូចគ្នា។ អ្វីៗកើតឡើងរហូតទាល់តែរកឃើញពហុគុណធម្មតា។

ដោយផ្តល់លេខ 30, 35, 42 អ្នកត្រូវស្វែងរក LCM ដែលភ្ជាប់លេខទាំងអស់៖

1) ពហុគុណនៃ 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 ។ល។

2) ពហុគុណនៃ 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 ។ល។

3) ពហុគុណនៃ 42: 84, 126, 168, 210, 252 ។ល។

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថាលេខទាំងអស់គឺខុសគ្នាខ្លាំង លេខធម្មតាតែមួយគត់ក្នុងចំណោមពួកគេគឺ 210 ដូច្នេះវានឹងជា LCM ។ ក្នុងចំណោមដំណើរការដែលភ្ជាប់ជាមួយនឹងការគណនានេះ ក៏មានការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុតផងដែរ ដែលត្រូវបានគណនាតាមគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នា ហើយជារឿយៗត្រូវបានជួបប្រទះនៅក្នុងបញ្ហាជិតខាង។ ភាពខុសគ្នាគឺតូច ប៉ុន្តែសំខាន់គ្រប់គ្រាន់ LCM ពាក់ព័ន្ធនឹងការគណនាលេខដែលបែងចែកដោយតម្លៃដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងអស់ ហើយ GCD សន្មត់ថាការគណនាតម្លៃធំបំផុតដែលលេខដំបូងត្រូវបានបែងចែក។

ការបែងចែកទូទៅដ៏អស្ចារ្យបំផុត។

និយមន័យ ២

ប្រសិនបើចំនួនធម្មជាតិ a ត្រូវបានបែងចែកដោយចំនួនធម្មជាតិ $b$ នោះ $b$ ត្រូវបានគេហៅថា ចែក $a$ ហើយចំនួន $a$ ត្រូវបានគេហៅថាពហុគុណនៃ $b$ ។

សូមឱ្យ $a$ និង $b$ ជាលេខធម្មជាតិ។ លេខ $c$ ត្រូវបានគេហៅថា ចែកទូទៅសម្រាប់ទាំង $a$ និង $b$។

សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ $a$ និង $b$ គឺកំណត់ដោយហេតុថាគ្មានផ្នែកណាមួយអាចធំជាង $a$ បានទេ។ នេះមានន័យថា ក្នុងចំណោមអ្នកចែកទាំងនេះ មានមួយធំជាងគេ ដែលត្រូវបានគេហៅថា ចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ $a$ និង $b$ ហើយសញ្ញាណត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់វា៖

$gcd \\ (a; b) \\ ឬ \\ D \\ (a; b) $

ដើម្បីស្វែងរកផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃចំនួនពីរ៖

1. ស្វែងរកផលិតផលនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាន។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរក gcd នៃលេខ $121$ និង $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ជ្រើសរើសលេខដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទាំងនេះ

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ស្វែងរកផលិតផលនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាន។

$gcd=2\cdot 11=22$

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរក GCD នៃ monomials $63$ និង $81$។

យើងនឹងរកឃើញយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដែលបានបង្ហាញ។ សម្រាប់​ការ​នេះ:

ចូរបំបែកលេខទៅជាកត្តាចម្បង

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

យើងជ្រើសរើសលេខដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការពង្រីកនៃលេខទាំងនេះ

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ចូរយើងស្វែងរកផលគុណនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតដែលចង់បាន។

$gcd=3\cdot 3=9$

អ្នកអាចស្វែងរក GCD នៃលេខពីរតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត ដោយប្រើសំណុំនៃការបែងចែកលេខ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរក gcd នៃលេខ $48$ និង $60$។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ស្វែងរកសំណុំនៃផ្នែកចែក $48$៖ $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ឥឡូវ​យើង​រក​សំណុំ​នៃ​ការ​ចែក​ $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

ចូរស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំទាំងនេះ៖ $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - សំណុំនេះនឹងកំណត់សំណុំនៃការបែងចែកទូទៅនៃលេខ $48$ និង $60 $ ធាតុដ៏ធំបំផុតនៅក្នុងឈុតនេះនឹងមានលេខ $12 ។ ដូច្នេះ ការបែងចែកធម្មតាបំផុតគឺ $48$ និង $60$ គឺ $12។

និយមន័យ NOC

និយមន័យ ៣

ពហុគុណទូទៅនៃលេខធម្មជាតិ$a$ និង $b$ គឺជាលេខធម្មជាតិដែលជាពហុគុណនៃ $a$ និង $b$ ។

ផលគុណទូទៅនៃលេខគឺជាលេខដែលបែងចែកដោយដើមដោយគ្មានសល់។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លេខ $25$ និង $50$ ផលគុណទូទៅនឹងជាលេខ $50,100,150,200$ ។ល។

ផលគុណទូទៅតិចបំផុតនឹងត្រូវបានគេហៅថា ពហុគុណសាមញ្ញបំផុត ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ LCM$(a;b)$ ឬ K$(a;b).$

ដើម្បីស្វែងរក LCM នៃលេខពីរ អ្នកត្រូវការ៖

1. បំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់
2. សរសេរកត្តាដែលជាផ្នែកមួយនៃលេខទីមួយ ហើយបន្ថែមទៅពួកគេនូវកត្តាដែលជាផ្នែកនៃទីពីរ ហើយកុំទៅលេខទីមួយ

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរក LCM នៃលេខ $99$ និង $77$។

យើងនឹងរកឃើញយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយដែលបានបង្ហាញ។ សម្រាប់​ការ​នេះ

បំបែកលេខទៅជាកត្តាសំខាន់

99$=3\cdot 3\cdot 11$

សរសេរកត្តាដែលរួមបញ្ចូលក្នុងទីមួយ

បន្ថែមលើកត្តាទាំងនោះដែលជាផ្នែកមួយនៃទីពីរហើយកុំទៅទីមួយ

ស្វែងរកផលគុណនៃលេខដែលរកឃើញក្នុងជំហានទី 2។ លេខលទ្ធផលនឹងជាផលគុណសាមញ្ញបំផុតដែលចង់បាន

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

ការចងក្រងបញ្ជីនៃការបែងចែកលេខច្រើនតែចំណាយពេលច្រើន។ មានវិធីមួយដើម្បីស្វែងរក GCD ដែលហៅថាក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលក្បួនដោះស្រាយរបស់ Euclid ត្រូវបានផ្អែកលើ៖

ប្រសិនបើ $a$ និង $b$ ជាលេខធម្មជាតិ ហើយ $a\vdots b$ នោះ $D(a;b)=b$

ប្រសិនបើ $a$ និង $b$ គឺជាលេខធម្មជាតិដូចជា $b

ដោយប្រើ $D(a;b)= D(a-b;b)$ យើងអាចបន្ថយជាបន្តបន្ទាប់នូវលេខដែលកំពុងពិចារណា រហូតដល់យើងឈានដល់លេខមួយគូ ដែលមួយក្នុងចំនោមពួកវាត្រូវបានបែងចែកដោយផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មកចំនួនតូចជាងនៃលេខទាំងនេះនឹងជាផ្នែកធំជាងគេដែលចង់បានសម្រាប់លេខ $a$ និង $b$ ។

លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ GCD និង LCM

1. ផលគុណទូទៅនៃ $a$ និង $b$ អាចបែងចែកដោយ K$(a;b)$
2. ប្រសិនបើ $a\vdots b$ នោះ K$(a;b)=a$

ប្រសិនបើ K$(a;b)=k$ និង $m$-natural នោះ K$(am;bm)=km$

ប្រសិនបើ $d$ គឺជាអ្នកចែកទូទៅសម្រាប់ $a$ និង $b$ នោះ K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\frac(k)(d) ) $

ប្រសិនបើ $a\vdots c$ និង $b\vdots c$ នោះ $\frac(ab)(c)$ គឺជាផលគុណទូទៅនៃ $a$ និង $b$

សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ $a$ និង $b$ សមភាព

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

ការបែងចែកទូទៅនៃ $a$ និង $b$ គឺជាអ្នកចែក $D(a;b)$

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនពីរគឺទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងផ្នែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខទាំងនោះ។ នេះ។ តំណភ្ជាប់រវាង GCD និង NOCត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនគត់វិជ្ជមានពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលគុណនៃលេខ a និង b ចែកដោយចែកចែកទូទៅធំបំផុតនៃលេខ a និង b នោះគឺ LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

ភស្តុតាង។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន M គឺជាពហុគុណនៃលេខ a និង b ។ នោះគឺ M ត្រូវបានបែងចែកដោយ a ហើយតាមនិយមន័យនៃការបែងចែក មានចំនួនគត់ k ដែលសមភាព M = a·k គឺពិត។ ប៉ុន្តែ M ក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ b បន្ទាប់មក k ត្រូវបានបែងចែកដោយ b ។

សម្គាល់ gcd(a, b) ជា d ។ បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរសមភាព a=a 1·d និង b=b 1·d ហើយ a 1 =a:d និង b 1 =b:d នឹងជាលេខ coprime ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌមុនដែល k ត្រូវបានបែងចែកដោយ b អាចត្រូវបានកែទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ a 1 d k ត្រូវបានបែងចែកដោយ b 1 d ហើយនេះដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបែងចែកគឺស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌដែល a 1 k ។ ត្រូវបានបែងចែកដោយ b មួយ។

យើងក៏ត្រូវសរសេរកូរ៉ូឡាសំខាន់ៗពីរពីទ្រឹស្តីបទដែលបានពិចារណាផងដែរ។

ផលគុណទូទៅនៃចំនួនពីរគឺដូចគ្នាទៅនឹងផលគុណនៃផលគុណសាមញ្ញតិចបំផុត។

នេះជាការពិត ដោយសារពហុគុណទូទៅនៃលេខ M a និង b ត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព M=LCM(a, b) t សម្រាប់តម្លៃចំនួនគត់មួយចំនួន t ។

ផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខវិជ្ជមាន coprime a និង b គឺស្មើនឹងផលិតផលរបស់វា។

ហេតុផលសម្រាប់ការពិតនេះគឺច្បាស់ណាស់។ ដោយសារ a និង b គឺជា coprime ដូច្នេះ gcd(a, b)=1 ដូច្នេះហើយ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

ផលគុណទូទៅតិចបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើន។

ការស្វែងរកផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃចំនួនបី ឬច្រើនអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរក LCM នៃចំនួនពីរជាបន្តបន្ទាប់។ របៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើគឺត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។ a 1 , a 2 , … , k ស្របពេលជាមួយផលគុណទូទៅនៃលេខ m k-1 និង a k ដូច្នេះស្របគ្នានឹងគុណនៃ m k ។ ហើយដោយសារផលគុណវិជ្ជមានតិចបំផុតនៃលេខ m k គឺជាលេខ m k ខ្លួនវា នោះផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខ a 1 , a 2 , … , a k គឺ m k ។

គន្ថនិទ្ទេស។

• Vilenkin N.Ya. ល។ គណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី៦៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។
• Vinogradov I.M. មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីលេខ។
• លោក Mikhelovich Sh.Kh. ទ្រឹស្តីលេខ។
• Kulikov L.Ya. និងផ្សេងៗទៀត ការប្រមូលបញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីពិជគណិត និងលេខ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សនៃ fiz.-mat ។ ឯកទេសនៃវិទ្យាស្ថានគរុកោសល្យ។