របៀបដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ។ ការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើការជំនួស

សេចក្តីផ្តើម

ការអប់រំគណិតវិទ្យាដែលទទួលបាននៅក្នុងសាលាអប់រំទូទៅគឺជាធាតុផ្សំដ៏សំខាន់នៃការអប់រំទូទៅ និងវប្បធម៌ទូទៅរបស់មនុស្សសម័យទំនើប។ ស្ទើរតែអ្វីៗទាំងអស់ដែលនៅជុំវិញមនុស្សសម័យទំនើបគឺត្រូវបានភ្ជាប់គ្នាក្នុងមធ្យោបាយមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតជាមួយនឹងគណិតវិទ្យា។ ហើយសមិទ្ធិផលចុងក្រោយបង្អស់ក្នុងរូបវិទ្យា វិស្វកម្ម និងបច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មានមិនគួរឱ្យសង្ស័យទេថានាពេលអនាគតស្ថានភាពនៃកិច្ចការនឹងនៅដដែល។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាក់ស្តែងជាច្រើនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយប្រភេទផ្សេងៗនៃសមីការដែលត្រូវការរៀនដើម្បីដោះស្រាយ។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យាបឋម សមីការពីរប្រភេទត្រូវបានសម្គាល់៖ ពិជគណិត និង វិសាលភាព។ សមីការពិជគណិតរួមមានៈ

លីនេអ៊ែរ;

ការ៉េ; គូប; biquad; សមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបួននៃទម្រង់ទូទៅ; សមីការពិជគណិតរយៈពេលពីរនៃសញ្ញាបត្រ n; ពិជគណិតថាមពល; - ត្រឡប់ (ពិជគណិត); - សមីការពិជគណិតនៃកម្រិតទី នៃទម្រង់ទូទៅ;

10. សមីការពិជគណិតប្រភាគ i.e. សមីការដែលមានពហុនាម និងប្រភាគពិជគណិត (ប្រភាគនៃទម្រង់

, កន្លែងណា និងជាពហុនាម);

11. សមីការមិនសមហេតុផល, i.e. សមីការដែលមានរ៉ាឌីកាល់ដែលនៅក្រោមពហុនាម និងប្រភាគពិជគណិតមានទីតាំងនៅ;

12. សមីការដែលមានម៉ូឌុលមួយ នៅក្រោមម៉ូឌុលដែលប្រភាគពហុនាម និងពិជគណិតមាន។

សមីការដែលមានអនុគមន៍ឆ្លងកាត់ ដូចជាលោការីត អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ឬអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ត្រូវបានគេហៅថា ឆ្លងដែន។ នៅក្នុងការងាររបស់យើង យើងពិចារណាសមីការពិជគណិតនៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀត។

នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំនិងវិធីសាស្រ្តវិធីសាស្រ្តពិសេសសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការត្រូវបានចាត់ទុកជាប្រពៃណី។ ទន្ទឹមនឹងនេះ ភាពជាក់លាក់នៃការដោះស្រាយសមីការនៃផ្នែកនីមួយៗ គឺជាបញ្ហាបន្ទាប់បន្សំ។ ជាទូទៅមានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗចំនួនបួន៖

ការជំនួសសមីការ h(f(x))=h(g(x)) ជាមួយសមីការ f(x)=g(x);

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ;

វិធីសាស្រ្តកត្តា;

វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកមុខងារ និងការកែប្រែផ្សេងៗរបស់ពួកគេ។

ទូទៅបំផុតគឺវិធីសាស្ត្រជំនួសអថេរ។

ដោយផ្អែកលើចំណុចនេះ យើងបង្កើតគោលដៅនៃការងាររបស់យើង៖ ដើម្បីសិក្សាពីលទ្ធភាពនៃវិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសមិនស្គាល់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការពិជគណិត និងដើម្បីបង្ហាញពីការអនុវត្តរបស់ពួកគេក្នុងស្ថានភាពស្តង់ដារ និងមិនមានស្តង់ដារ។ ដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅនេះ ចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយភារកិច្ចដូចខាងក្រោមៈ

1. ពង្រីកខ្លឹមសារនៃគោលគំនិត និងសេចក្តីថ្លែងការសំខាន់ៗ ដែលទាក់ទងនឹងទ្រឹស្តីនៃការដោះស្រាយសមីការ៖ ការដោះស្រាយសមីការ សមមូល និងលទ្ធផល វិធីសាស្ត្រទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ។

2. ដើម្បីកំណត់លទ្ធភាពនៃការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសមិនស្គាល់នៅពេលដោះស្រាយសមីការពិជគណិតក្នុងស្ថានភាពស្តង់ដារនិងមិនស្តង់ដារ។

3. ដើម្បីអនុវត្តការវាយបញ្ចូលនៃវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ណែនាំការមិនស្គាល់ថ្មីនៅពេលដោះស្រាយសមីការពិជគណិត និងកំណត់លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការអនុវត្តរបស់ពួកគេ

4. ចងក្រងសំណុំនៃបញ្ហាធម្មតាដែលពុះកញ្ជ្រោលដល់ការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រជំនួសក្នុងការដោះស្រាយសមីការ និងបង្ហាញពីដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

1. គោលគំនិត និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាមូលដ្ឋានទាក់ទងនឹងទ្រឹស្តីនៃការដោះស្រាយសមីការ

នៅក្នុងជំពូកទីមួយនៃការងាររបស់យើង យើងនឹងបង្ហាញពីខ្លឹមសារនៃគោលគំនិត និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍សំខាន់ៗដែលទាក់ទងនឹងទ្រឹស្តីនៃការដោះស្រាយសមីការ។

យើងស្គាល់គោលគំនិតនៃ "សមីការ" នៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យាដែលមានរួចហើយនៅក្នុងសាលាបឋមសិក្សា ហើយកិច្ចការ "ដោះស្រាយសមីការ" ប្រហែលជាកិច្ចការទូទៅបំផុត។ យ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមិនអាចផ្តល់និយមន័យច្បាស់លាស់នៃគោលគំនិតនៃ "សមីការ" ឱ្យច្បាស់លាស់នូវអត្ថន័យនៃ "ការដោះស្រាយសមីការ" ដោយមិនហួសពីក្របខណ្ឌនៃមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាបឋមឡើយ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ចាំបាច់ត្រូវបញ្ចូលប្រភេទឡូជីខល និងសូម្បីតែទស្សនវិជ្ជាយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយសម្រាប់យើងក្នុងការស្គាល់គំនិតទាំងនេះនៅកម្រិតនៃ "សុភវិនិច្ឆ័យ" ។

ពិចារណាសមីការពីរ A និង B ដែលមិនស្គាល់ដូចគ្នា។ យើងនឹងនិយាយថាសមីការ B គឺ លទ្ធផលសមីការ A ប្រសិនបើឫសនៃសមីការ A គឺជាឫសគល់នៃសមីការ B ។

សមីការត្រូវបានគេហៅថា សមមូលប្រសិនបើឫសណាមួយនៃពួកគេគឺជាឫសនៃផ្សេងទៀត និងច្រាសមកវិញ។ ដូច្នេះសមីការគឺសមមូលប្រសិនបើពួកវានីមួយៗជាផលវិបាកនៃផ្សេងទៀត។

ជាឧទាហរណ៍ តាមនិយមន័យទាំងនេះ សមីការពីរដែលមិនមានដំណោះស្រាយគឺសមមូល។ ប្រសិនបើ A មិនមានដំណោះស្រាយទេ នោះ B គឺ លទ្ធផល A អ្វីក៏ដោយសមីការ B ។

ចូរយើងកំណត់និយមន័យនៃ "ការដោះស្រាយសមីការ"។ ដោះស្រាយសមីការ- មានន័យថា ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃអ្វីដែលមិនស្គាល់រួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា ដែលប្រែក្លាយសមីការទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ តម្លៃទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាឫសនៃសមីការ។

ដំណើរការនៃការដោះស្រាយសមីការមានជាចម្បងក្នុងការជំនួសសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងសមីការមួយផ្សេងទៀតដែលស្មើនឹងវា។

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើមានវិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុតចំនួនបួនដែលត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការគ្រប់ប្រភេទ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យបានដិតដល់នូវវិធីសាស្រ្តនីមួយៗ។

វិធីសាស្រ្តជំនួសសមីការ h (f(x))=h (g(x)) ដោយសមីការ f(x)=g(x) អាចប្រើបានតែនៅពេលដែល

គឺជាអនុគមន៍ monotonic ដែលយកតម្លៃនីមួយៗរបស់វាម្តង។ ប្រសិនបើមុខងារនេះមិនមែនជាម៉ូណូតូនិចទេនោះ វិធីសាស្ត្រដែលបានបញ្ជាក់មិនអាចត្រូវបានអនុវត្តបានទេ ដោយសារការបាត់បង់ឫសគឺអាចធ្វើទៅបាន។

ខ្លឹមសារនៃវិធីធ្វើកត្តាមានដូចខាងក្រោម៖ សមីការ

អាចត្រូវបានជំនួស:

ដោយបានដោះស្រាយសមីការនៃសំណុំនេះ អ្នកត្រូវយកឫសទាំងនោះដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននៃនិយមន័យនៃសមីការដើម ហើយបោះបង់អ្វីដែលនៅសល់ជា extraneous ។ គំនិតនៃវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ

មានដូចខាងក្រោម៖ អ្នកត្រូវបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ ហើយស្វែងរកចំនុចប្រសព្វរបស់វា។ ឫសគល់នៃសមីការគឺជា abscissas នៃចំណុចទាំងនេះ។ វិធីសាស្រ្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ចំនួនឫសនៃសមីការ ទាយតម្លៃនៃឫស ស្វែងរកប្រហាក់ប្រហែល និងជួនកាលតម្លៃពិតប្រាកដនៃឫស។ ក្នុងករណីខ្លះ ការស្ថាបនាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍អាចត្រូវបានជំនួសដោយសេចក្តីយោងទៅលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារមួយចំនួន (នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងកំពុងនិយាយមិនមែនអំពីក្រាហ្វិកទេ ប៉ុន្តែអំពីវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកមុខងារសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ)។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើមុខងារមួយ។

កើនឡើង ហើយមួយទៀតថយចុះ បន្ទាប់មកសមីការមិនមានឫស ឬមានឫសតែមួយ។ ចូរយើងលើកឡើងពីភាពខុសគ្នាដ៏ស្រស់ស្អាតមួយទៀតនៃវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកមុខងារ៖ ប្រសិនបើនៅចន្លោះពេលតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយគឺស្មើនឹង និង តម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ផ្សេងទៀតក៏ស្មើគ្នាដែរ បន្ទាប់មកសមីការគឺស្មើនឹងចន្លោះពេលទៅប្រព័ន្ធនៃសមីការ។

ចូរយើងបង្ហាញពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖ ប្រសិនបើសមីការ

ការដោះស្រាយសមីការដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ

ភារកិច្ចភាគច្រើននៃជីវិត

ត្រូវបានដោះស្រាយជាសមីការពិជគណិត៖

កាត់បន្ថយពួកវាទៅជាទម្រង់សាមញ្ញបំផុត។

L.N. Tolstoy.

គោលបំណងនៃមេរៀន: ដើម្បីរៀបចំសកម្មភាពអប់រំរបស់សិស្សក្នុងការធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការទាំងមូលនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងដោយវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរមួយ; ដើម្បីណែនាំសិស្សអំពីគំនិត វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការទៅវិញទៅមក និងស៊ីមេទ្រី។

ភារកិច្ច:អប់រំ៖បន្តអភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តជំនួស

អថេរនៅពេលដោះស្រាយសមីការ; ការបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការមើលឃើញវិធីសាស្រ្តដូចគ្នានៃការដោះស្រាយសមីការក្នុងស្ថានភាពផ្សេងគ្នា; បង្កើតជាគំនិតនៃវិធីសាស្រ្ត និងវិធីនៃការដោះស្រាយបញ្ហាមិនស្តង់ដារ និងសមីការពិជគណិតក្នុងកម្រិតលើសពីកម្រិតនៃស្តង់ដារអប់រំរបស់រដ្ឋ។

អភិវឌ្ឍន៍៖ការអភិវឌ្ឍការគិតរបស់សិស្ស; ការអភិវឌ្ឍការចងចាំ; ការអភិវឌ្ឍន៍

ការគិតឡូជីខល, សមត្ថភាពក្នុងការបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ពីគំនិតរបស់ពួកគេ; ការអភិវឌ្ឍការស្រមើលស្រមៃរបស់សិស្ស; ការអភិវឌ្ឍនៃការនិយាយផ្ទាល់មាត់។

អប់រំ៖ការអប់រំនៃការសង្កេត; ការអប់រំភាពត្រឹមត្រូវ

នៅពេលធ្វើកំណត់ចំណាំនៅលើក្តារនិងក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា; ការអប់រំឯករាជ្យក្នុងការអនុវត្តការងារជាក់ស្តែង។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

ពេលវេលារៀបចំ។

ការអនុវត្តជាក់ស្តែង និងប្រព័ន្ធនៃចំណេះដឹង។

លេខកិច្ចការ 1. ដោះស្រាយល្បែងផ្គុំរូប crossword ។ សរសេរចម្លើយរបស់អ្នកនៅក្នុងករណីតែងតាំងតែប៉ុណ្ណោះ។

ផ្ដេក៖

4. តើអ្វីជាកន្សោមសម្រាប់សមីការការ៉េ? (រើសអើង)

6. តម្លៃនៃអថេរដែលសមីការប្រែទៅជាសមភាពពិត។ (ឫស)

8. សមីការនៃទម្រង់
កន្លែងណា
. (ការ៉េពីរ)

9. គណិតវិទូជនជាតិបារាំងទាក់ទងនឹងសមីការការ៉េ។ (វៀតណាម)

10. សមីការដែលផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំគឺជាចំនួនគត់កន្សោម។ (ទាំងមូល)

11. សមីការដែលមានអថេរមួយមានសំណុំឫសដូចគ្នា។ (សមមូល)

បញ្ឈរ៖

1. សំណុំឫសគល់នៃសមីការ។ (ការសម្រេចចិត្ត)

2. ដំណោះស្រាយនៃសមីការ
. (សូន្យ)

3. សមភាពដែលមានអថេរ។ (សមីការ)

5. សមីការការ៉េដែលមេគុណមួយ b ឬ c ស្មើនឹង 0 ។ (មិនពេញលេញ)

7. សមីការការ៉េដែលមេគុណទីមួយស្មើនឹងមួយ។ (កាត់បន្ថយ)

តើយើងនឹងលះបង់មេរៀនរបស់យើងដល់អ្វីនៅថ្ងៃនេះ? (ការដោះស្រាយសមីការ )

លេខកិច្ចការ 2. តើអ្នកនឹងដោះស្រាយសមីការសម្រាប់ក្រុមនីមួយៗដោយរបៀបណា?

ចម្លើយ៖ឧទាហរណ៍នៃក្រុមទី 1) ត្រូវបានដោះស្រាយបានល្អបំផុតដោយកត្តាដោយយកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប ឬដោយប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់។

ក្រុមទី 2) ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយបានល្អប្រសើរដោយការដាក់ជាក្រុម និងកត្តា។

ឧទាហរណ៍នៃក្រុមទី 3) ត្រូវបានដោះស្រាយបានល្អប្រសើរដោយការណែនាំអថេរថ្មី និងឆ្លងកាត់សមីការបួនជ្រុង។

1 តើមេគុណមួយណាដែលអ្នកនឹងយកចេញពីតង្កៀបក្នុងឧទាហរណ៍នៃក្រុម 1?

ចម្លើយ៖

តើអ្នកនឹងដាក់លក្ខខណ្ឌក្នុងឧទាហរណ៍ក្រុមទី 2 ដោយរបៀបណា?

ចម្លើយ៖

តើអ្នកនឹងបញ្ជាក់អ្វីដោយអថេរថ្មីក្នុងឧទាហរណ៍ក្រុម 3?

ចម្លើយ៖

តើអ្នកអាចបែងចែកពហុធាដោយរបៀបណា
?

ចម្លើយ៖ ។

ថ្ងៃនេះក្នុងមេរៀនអ្នកនឹងបង្ហាញចំណេះដឹងរបស់អ្នកលើប្រធានបទ "ដោះស្រាយសមីការដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ"

សរសេរប្រធានបទនៃមេរៀននៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក។

ថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀនយើងនឹងពិចារណាវិធីមួយដើម្បីដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង - វិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរមួយ; យើងនឹងស្គាល់ពីគោលគំនិត វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទៅវិញទៅមក និងស៊ីមេទ្រី។

សិល្បៈនៃការជំនួសអថេរគឺដើម្បីមើលថាតើការជំនួសមួយណាសមហេតុផលជាង ហើយនាំទៅរកភាពជោគជ័យលឿនជាងមុន។

លេខកិច្ចការ 3.

ដោះស្រាយសមីការ។(កិច្ចការនៅក្តារខៀនត្រូវបានដោះស្រាយក្នុងពេលដំណាលគ្នាដោយសិស្ស 2 នាក់)។

ក) ( សិស្សដំបូងសម្រេចចិត្តនៅក្ដារខៀនដោយមានការពន្យល់មួយ ។ )

ខ) (សិស្សទីពីរដោះស្រាយសមីការដោយស្ងៀមស្ងាត់ បន្ទាប់មកពន្យល់ពីដំណោះស្រាយ ថ្នាក់ស្តាប់ ហើយសួរសំណួរប្រសិនបើមានអ្វីមួយមិនច្បាស់លាស់។ )

សិស្ស 1 នាក់។ការជំនួស៖
.

២ សិស្សការជំនួស៖
.

(បន្ថែមសម្រាប់អ្នកដែលបានដោះស្រាយសមីការពីមុនពីមុន)។

. .

សិស្ស ៣ នាក់។

(សិស្សធ្វើអត្ថាធិប្បាយលើវឌ្ឍនភាពនៃការសម្រេចចិត្តពីកន្លែង។ )

ដំណោះស្រាយ៖ យកកត្តារួម៖ ,

កន្លែងណា
ឬ
, i.e.

ចម្លើយ៖

ពង្រីក និងពង្រីកចំណេះដឹង

យើងបន្តធ្វើការ។ អ្នកឃើញសមីការនៅលើស្លាយ៖ x 4 -5x 3 +6x 2 -5x + 1 = 0 ។

តើអ្នកនឹងស្នើឱ្យដោះស្រាយវាដោយរបៀបណា? តើយើងអាចទៅជាយ៉ាងណា?

តើវាអាចដោះស្រាយវាបានក្នុងក្របខណ្ឌនៃកម្មវិធីសាលាផ្នែកគណិតវិទ្យាដែរឬទេ? អ្នកអាចឆ្លើយថាទេ។ យ៉ាងណាមិញ វិធីសាស្រ្តស្ដង់ដារសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងសាលាផ្ដល់នូវការដោះស្រាយសមីការមិនខ្ពស់ជាងសញ្ញាបត្រទីពីរ។ ប៉ុន្តែយើងអាចចាំបានថាសមីការបុគ្គលនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនៅតែត្រូវបានដោះស្រាយនៅសាលា។ ពិត វិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេគឺជាការអនុវត្តប្រកបដោយភាពច្នៃប្រឌិតនៃវិធីសាស្រ្តដែលគេស្គាល់ ការកាត់បន្ថយរបស់ពួកគេចំពោះដំណោះស្រាយនៃសមីការមួយ ឬច្រើននៃសញ្ញាបត្រមិនខ្ពស់ជាងទីពីរ។

មើលសមីការនេះឲ្យបានដិតដល់? តើអ្នកបានកត់សម្គាល់អ្វី ?(នៅក្នុងសមីការនេះ មេគុណសមមូលពីចុងគឺស្មើគ្នា)

បុរស, សមីការនៃប្រភេទនេះ, នៅពេលដែលមេគុណសមមូលពីចុងគឺដូចគ្នា, ត្រូវបានគេហៅថា អាចត្រឡប់មកវិញបាន។. សមីការនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាបួនជ្រុងដោយប្រើការជំនួស។

ខ្ញុំផ្តល់ជូនអ្នកនូវក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា៖

ក្បួនដោះស្រាយសមីការទៅវិញទៅមក។

1. ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ x 2 ។

2. ដាក់លក្ខខណ្ឌជាក្រុម (ទីមួយជាមួយចុងក្រោយ ទីពីរជាមួយទីបួន)។

នាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ ក + គ = ០

3.ណែនាំអថេរថ្មី t = , បន្ទាប់មក t 2 = , i.e. \u003d t 2 - 2 ។

4. អនុវត្តការជំនួស និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

5. ត្រឡប់ទៅការជំនួសវិញ ហើយដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល។

6. សរសេរចម្លើយ។

បុរសកំពុងរៀនក្បួនដោះស្រាយ។

សិស្សនៅក្តារខៀនយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ ហើយដោយមានជំនួយពីគ្រូដោះស្រាយសមីការ អ្នកដែលនៅសល់សរសេរក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា។

6x 4 - 5x 3 - ៣៨ គុណ 2 – 5x + 6 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 \u003d 0 ។

6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 \u003d 0 ។

បញ្ចូល t: ជំនួស (x + 1/x) = t ។ ការជំនួស៖ (x 2 + 1 / x 2) \u003d t 2 - 2 យើងមាន៖

6t 2 – 5t – 50 = 0 ។

t = -5/2 ឬ t = 10/3 ។

តោះត្រឡប់ទៅ x ។ បន្ទាប់ពីការជំនួសបញ្ច្រាស យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលទាំងពីរ៖

1) x + 1/x = −5/2;

x 2 + 5/2 x +1 = 0;

x = −2 ឬ x = −1/2 ។

2) x + 1/x = 10/3;

x 2 − 10/3 x + 1 = 0;

x = 3 ឬ x = 1/3 ។

ចម្លើយ៖ -២; -1/2; 1/3; ៣.

គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលីនៃសតវត្សទី 16 N. Tartaglia, A. Fiore, D. Cardano និងអ្នកផ្សេងទៀតបានរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងចំពោះបញ្ហានៃសមីការនៃដឺក្រេទី 3 និងទី 4 ។ នៅឆ្នាំ 1535 ការប្រយុទ្ធគ្នាបែបវិទ្យាសាស្ត្របានកើតឡើងរវាង A. Fiore និង N ។ Tartaglia ដែលក្រោយមកបានឈ្នះ។ ក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង គាត់បានដោះស្រាយបញ្ហាចំនួន 30 ដែលស្នើឡើងដោយ Fiore ហើយ Fiore ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់មិនអាចដោះស្រាយបញ្ហាតែមួយដែលផ្តល់ឱ្យគាត់ដោយ Tartaglia បានទេ។

បុរស ហើយខ្ញុំចង់ផ្តល់ជូនអ្នកនូវសមីការមួយបន្ថែមទៀតនៅថ្ងៃនេះ ខ្ញុំបានយកវាពីការប្រមូលភារកិច្ចសម្រាប់រៀបចំសម្រាប់ OGE ។

. ((x+1)(x+4))((x+2)(x+3)) = 24,

(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24 ។

ធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ x 2 + 5x + 4 = t យើងមានសមីការ

t (t + 2) = 24 វាជាការ៉េ៖

t 2 + 2t − 24 = 0 ។

t = -6 ឬ t = 4 ។

បន្ទាប់ពីអនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស យើងអាចស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការដើមបានយ៉ាងងាយស្រួល។

ចម្លើយ៖ -៥; 0.

ការផ្ទេរចំណេះដឹង និងជំនាញប្រកបដោយភាពច្នៃប្រឌិតទៅកាន់លក្ខខណ្ឌថ្មី។

នៅដើមមេរៀន យើងបាននិយាយអំពីការពិតដែលថាប្រសិនបើមានធាតុដដែលៗនៅក្នុងសមីការនោះ វិធីសាស្ត្រជំនួសអថេរអាចត្រូវបានប្រើ។ យើងនៅតែមិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ និងអសមហេតុផល។ សូមមើលថាតើយើងអាចអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះចំពោះពួកគេប្រសិនបើយើងដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រនិងអសមហេតុផលដ៏សាមញ្ញបំផុត។

លំហាត់ទី១៖ដាក់ឈ្មោះការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនៅក្នុងសមីការខាងក្រោម។

កិច្ចការទី 2៖សរសេរសមីការជាច្រើនដោយផ្អែកលើការផ្លាស់ប្តូរនៃវិធីសាស្រ្តអថេរ។

ការសង្ខេប។

ដូច្នេះ ប្អូនៗ មេរៀនរបស់យើងបានដល់ទីបញ្ចប់ហើយ។ ចូរយើងសង្ខេបមេរៀនរបស់យើង។

តើយើងបានដាក់គោលដៅអ្វីខ្លះនៅដើមមេរៀន?

តើគោលដៅរបស់យើងបានសម្រេចហើយឬនៅ?

តើយើងរៀនអ្វីថ្មីនៅក្នុងមេរៀន?

កិច្ចការផ្ទះ។

4x 4 − 8x 3 + 3x 2 − 8x + 4 = 0

(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40

. (សមីការរបស់គណិតវិទូអ៊ីតាលី)

ហើយខ្ញុំចង់បញ្ចប់មេរៀនជាមួយនឹងពាក្យរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យ Einstein A.

“ខ្ញុំត្រូវបែងចែកពេលវេលារបស់ខ្ញុំរវាងនយោបាយ និងសមីការ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ សមីការគឺសំខាន់ជាងនេះទៅទៀត ព្រោះនយោបាយមានសម្រាប់តែពេលនេះ ហើយសមីការនឹងមានជារៀងរហូត។

អរគុណសម្រាប់មេរៀន! លាហើយ!

ការផ្លាស់ប្តូរអថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ រូបមន្តសម្រាប់បំប្លែងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍នៃការរួមបញ្ចូល។ ឧទាហរណ៍នៃការជំនួសលីនេអ៊ែរ។

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ

ដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរអថេរ អ្នកអាចគណនាអាំងតេក្រាលសាមញ្ញ ហើយក្នុងករណីខ្លះ ធ្វើឱ្យការគណនាស្មុគស្មាញជាង។

វិធីសាស្ត្រជំនួសអថេរ គឺយើងទៅពីអថេររួមបញ្ចូលដើម អនុញ្ញាតឱ្យវាជា x ទៅអថេរមួយទៀត ដែលយើងសម្គាល់ថាជា t ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះយើងសន្មតថាអថេរ x និង t ត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនងមួយចំនួន x = x ។ (ត), ឬ t = t (x). ឧទាហរណ៍ x = កំណត់ហេតុ t, x = បាប t, t = 2 x + 1ល។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺជ្រើសរើសទំនាក់ទំនងបែបនេះរវាង x និង t ដើម្បីឱ្យអាំងតេក្រាលដើមកាត់បន្ថយទៅជាតារាងមួយ ឬក្លាយជាសាមញ្ញជាង។

រូបមន្តផ្លាស់ប្តូរអថេរមូលដ្ឋាន

ពិចារណាកន្សោមដែលស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល។ វាមានផលិតផលនៃ integrand ដែលយើងនឹងសម្គាល់ថា f (x)និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល dx: . អនុញ្ញាតឱ្យយើងឆ្លងទៅអថេរថ្មី t ដោយជ្រើសរើសទំនាក់ទំនងមួយចំនួន x = x (ត). បន្ទាប់មកយើងត្រូវបង្ហាញអនុគមន៍ f (x)និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល dx នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរ t ។

ដើម្បីបង្ហាញពីអាំងតេក្រាល f (x)តាមរយៈអថេរ t អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសសមាមាត្រដែលបានជ្រើសរើស x = x ជំនួសឱ្យអថេរ x (ត).

ការផ្លាស់ប្តូរឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានធ្វើដូចនេះ:
.
នោះគឺឌីផេរ៉ង់ស្យែល dx គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃ x ដោយគោរពតាម t និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល dt ។

បន្ទាប់មក
.

នៅក្នុងការអនុវត្ត ករណីទូទៅបំផុតគឺនៅពេលដែលយើងអនុវត្តការជំនួសដោយជ្រើសរើសអថេរថ្មីជាមុខងាររបស់ចាស់៖ t = t (x). ប្រសិនបើយើងទាយថាអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានតំណាងថាជា
,
កន្លែងណា (x)គឺជាដេរីវេនៃ t ទាក់ទងនឹង x បន្ទាប់មក
.

ដូច្នេះ រូបមន្តផ្លាស់ប្តូរអថេរមូលដ្ឋានអាចត្រូវបានតំណាងជាពីរទម្រង់។
(1) ,
ដែល x ជាមុខងាររបស់ t ។
(2) ,
ដែល t ជាមុខងារនៃ x ។

ចំណាំសំខាន់

នៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាល អថេររួមបញ្ចូលត្រូវបានតំណាងជាញឹកញាប់បំផុតថាជា x ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមានតម្លៃពិចារណាថាអថេររួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរណាមួយ។ លើសពីនេះទៅទៀត កន្សោមណាមួយអាចត្រូវបានប្រើជាអថេររួមបញ្ចូល។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាតារាងអាំងតេក្រាល
.

នៅទីនេះ x អាចត្រូវបានជំនួសដោយអថេរផ្សេងទៀត ឬមុខងារនៃអថេរមួយ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃជម្រើសដែលអាចមាន៖
;
;
.

ក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ អ្នកត្រូវយកទៅពិចារណាថា នៅពេលឆ្លងទៅអថេររួមបញ្ចូល x ឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបំលែងដូចខាងក្រោម៖
.
បន្ទាប់មក
.

ឧទាហរណ៍នេះគឺជាខ្លឹមសារនៃការរួមបញ្ចូលការជំនួស។ នោះគឺយើងត្រូវទាយ
.
បន្ទាប់ពីនោះអាំងតេក្រាលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាតារាងមួយ។
.

អ្នកអាចគណនាអាំងតេក្រាលនេះដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ ដោយអនុវត្តរូបមន្ត (2) . អនុញ្ញាតឱ្យ t = x 2+x. បន្ទាប់មក
;
;

.

ឧទាហរណ៍នៃការរួមបញ្ចូលដោយការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ

1) យើងគណនាអាំងតេក្រាល។
.
យើងកត់សំគាល់នោះ។ (sin x)′ = cos x. បន្ទាប់មក

.
នៅទីនេះយើងបានអនុវត្តការជំនួស t = sin x.

2) យើងគណនាអាំងតេក្រាល។
.
យើងកត់សំគាល់នោះ។ បន្ទាប់មក

.
នៅទីនេះយើងបានអនុវត្តការរួមបញ្ចូលដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t = arctg x.

3) ចូររួមបញ្ចូលគ្នា។
.
យើងកត់សំគាល់នោះ។ បន្ទាប់មក

. នៅទីនេះក្នុងអំឡុងពេលរួមបញ្ចូលការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ t = x 2 + 1 .

ការជំនួសលីនេអ៊ែរ

ប្រហែលជាទូទៅបំផុតគឺការជំនួសលីនេអ៊ែរ។ នេះគឺជាការជំនួសទម្រង់អថេរ
t = ax + b
ដែល a និង b ជាថេរ។ នៅក្រោមការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង
.

ឧទាហរណ៍នៃការរួមបញ្ចូលដោយការជំនួសលីនេអ៊ែរ

ក)គណនាអាំងតេក្រាល។
.
ការសម្រេចចិត្ត។
.

ខ)ស្វែងរកអាំងតេក្រាល។
.
ការសម្រេចចិត្ត។
ចូរយើងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
.
ln ២- គឺថេរ។ យើងគណនាអាំងតេក្រាល។

.

គ)គណនាអាំងតេក្រាល។
.
ការសម្រេចចិត្ត។
យើងនាំពហុនាមការេក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគមួយទៅផលបូកនៃការេ។
.
យើងគណនាអាំងតេក្រាល។

.

ឃ)ស្វែងរកអាំងតេក្រាល។
.
ការសម្រេចចិត្ត។
យើងបំលែងពហុនាមនៅក្រោមឫស។

.
យើងរួមបញ្ចូលដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរនៃវិធីសាស្រ្តអថេរ។

.
យើងបានទទួលរូបមន្តពីមុន
.
ពីទីនេះ
.
ការជំនួសកន្សោមនេះ យើងទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ។

គណិតវិទ្យាគឺជាប្រហោងមួយដែលគំនិតឡូជីខលអាចឈ្លបយកការណ៍លើពិភពឧត្តមគតិ។

Krotov Viktor

នៅសាលារៀន កន្លែងឈានមុខគេក្នុងវគ្គពិជគណិតត្រូវបានកាន់កាប់ដោយសមីការសនិទាន។ ពេលវេលាច្រើនត្រូវបានលះបង់សម្រាប់ការសិក្សារបស់ពួកគេជាជាងប្រធានបទផ្សេងទៀត។ នេះជាចម្បងដោយសារតែការពិតដែលថាសមីការមិនត្រឹមតែមានសារៈសំខាន់ខាងទ្រឹស្តីប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងបម្រើគោលបំណងជាក់ស្តែងជាច្រើន។ បញ្ហាមួយចំនួនធំនៅក្នុងពិភពពិតមកដោះស្រាយសមីការផ្សេងៗ ហើយមានតែបន្ទាប់ពីអ្នកស្ទាត់ជំនាញវិធីដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនោះ អ្នកនឹងរកឃើញចម្លើយចំពោះសំណួរផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា។

សម្រាប់ការបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការសនិទានកម្ម ការងារឯករាជ្យរបស់សិស្សមានសារៈសំខាន់ណាស់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មុននឹងបន្តទៅការងារឯករាជ្យ ចាំបាច់ត្រូវដឹងយ៉ាងច្បាស់ និងអាចអនុវត្តក្នុងការអនុវត្តនូវវិធីសាស្រ្តដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការសមហេតុផល។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍លម្អិត វិធីសាស្រ្តផ្លាស់ប្តូរអថេរសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការសមហេតុផល។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ (2x 2 − 3x + 1) 2 = 22x 2 − 33x + 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់

(2x 2 − 3x + 1) 2 = 11(2x 2 − 3x) + 1. ចូរយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ 2x 2 - 3x \u003d t បន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់៖

(t + 1) 2 = 11t + 1 ។

ឥឡូវនេះយើងបើកតង្កៀបហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នាយើងទទួលបាន:

t2 + 2t + 1 = 11t + 1;

នៅក្នុងលទ្ធផលសមីការការ៉េមិនពេញលេញ យើងយកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប យើងនឹងមាន៖

t = 0 ឬ t = 9 ។

ឥឡូវអ្នកត្រូវធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស ហើយដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលនីមួយៗ៖

2x 2 − 3x = 0 ឬ 2x 2 − 3x = 9

x(2x − 3) = 0 2x 2 − 3x − 9 = 0

x = 0 ឬ x = 3/2 x = 3 ឬ x = −3/2

ចម្លើយ៖ -១.៥; 0; ១.៥; ៣.

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ (x 2 − 6x) 2 − 2(x − 3) 2 = 81 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរអនុវត្តរូបមន្តការ៉េខុសគ្នា (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ។ យើងសរសេរសមីការដើមក្នុងទម្រង់

(x 2 − 6x) 2 - 2(x 2 - 6x + 9) = 81. ឥឡូវអ្នកអាចធ្វើការជំនួសបាន។

អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 - 6x \u003d t បន្ទាប់មកសមីការនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

t 2 - 2 (t + 9) \u003d ៨១.

t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;

t 2 − 2t − 99 = 0 ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ឫសនៃសមីការលទ្ធផលនឹងជាលេខ -9 និង 11 ។

ចូរធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖

x 2 − 6x = −9 ឬ x 2 − 6x = 11

x 2 − 6x + 9 = 0 x 2 − 6x − 11 = 0

(x − 3) 2 = 0 D = 80

x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 \u003d 3 - 2√5 ។

ចម្លើយ៖ 3 - 2√5; ៣; ៣+២√៥.

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយសមីការ (x − 1)(x − 3)(x + 5)(x + 7) = 297 ហើយស្វែងរកផលនៃឫសរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងស្វែងរកវិធី "ចំណេញ" ដើម្បីដាក់ជាក្រុមកត្តា ហើយបើកតង្កៀបជាគូ៖

((x − 1)(x + 5))((x − 3)(x + 7)) = 297;

(x 2 + 5x − x − 5) (x 2 + 7x − 3x − 21) = 297;

(x 2 + 4x − 5) (x 2 + 4x − 21) = 297 ។

ចូរធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ x 2 + 4x = t នោះសមីការនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

(t − 5)(t − 21) = 297 ។

តោះបើកតង្កៀប ផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចជា៖

t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;

t 2 − 26t − 192 = 0 ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងកំណត់ថាឫសនៃសមីការលទ្ធផលនឹងជាលេខ -6 និង 32 ។

បន្ទាប់ពីការជំនួសបញ្ច្រាសយើងនឹងមាន:

x 2 + 4x = −6 ឬ x 2 + 4x = 32

x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x − 32 = 0

ឃ = ១៦ − ២៤< 0 D = 16 + 128 > 0

គ្មានឫស x 1 = −8; x 2 = 4

ចូររកផលនៃឫសៈ −8 4 = −32 ។

ចម្លើយ៖ -៣២។

ឧទាហរណ៍ 4

រកផលបូកនៃឫសនៃសមីការ (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x (x 2 - 2x + 2) = 10x 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 - 2x + 2 \u003d t បន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់៖

t 2 + 3xt - 10x 2 \u003d 0 ។

ពិចារណាសមីការលទ្ធផលជាការ៉េមួយដោយគោរពតាម t ។

ឃ \u003d (3x) 2 - 4 (-10x 2) \u003d 9x 2 + 40x 2 \u003d 49x 2; ≥≤

t 1 = (−3x − 7x) / 2 និង t 2 = (−3x + 7x) / 2;

t 1 = −5x និង t 2 = 2x ។

ចាប់តាំងពី t \u003d x 2 - 2x + 2 បន្ទាប់មក

x 2 − 2x + 2 = −5x ឬ x 2 − 2x + 2 = 2x ។ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនីមួយៗដែលទទួលបាន។

x 2 + 3x + 2 = 0 ឬ x 2 − 4x + 2 = 0 ។

សមីការទាំងពីរមានឫសគល់ ពីព្រោះ ឃ > 0 ។

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងអាចសន្និដ្ឋានថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការទីមួយគឺ -3 ហើយសមីការទីពីរគឺ 4។ យើងទទួលបានថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការដើមគឺ -3 + 4 = 1 ។

ចម្លើយ៖ ១.

ឧទាហរណ៍ ៥

រកឫសនៃសមីការ (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល [−5; ដប់] ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ឲ្យ x = t − 3 បន្ទាប់មក x + 1 = t − 2; x + 5 = t + 2 ហើយសមីការដើមក្លាយជា៖

(t - 2) 4 + (t + 2) 4 \u003d 32. ដើម្បីលើកកន្សោមទៅអំណាចទីបួន អ្នកអាចប្រើត្រីកោណរបស់ Pascal (រូបភាពទី 1);

(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;

(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4 ។

បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌដូច យើងទទួលបាន៖

2t 4 − 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;

t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;

t 4 + 24t 2 + 16 = 16;

t4 + 24t2 = 0;

t 2 (t 2 + 24) = 0;

t \u003d 0 ឬ t 2 \u003d -24 ។

សមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ ដែលមានន័យថា t = 0 ហើយបន្ទាប់ពីការជំនួសបញ្ច្រាស

x \u003d t - 3 \u003d 0 - 3 \u003d -3 ។ ឫសនៃសមីការ -3 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល [-5; ដប់] ។

ចម្លើយ៖ -៣.

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅពេលដោះស្រាយសមីការសនិទាន អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តខាងលើ ហើយអាចរាប់បានត្រឹមត្រូវ។ កំហុសភាគច្រើនកើតឡើងនៅពេលជ្រើសរើសការជំនួស និងពេលជំនួសមកវិញ។ ដើម្បីជៀសវាងបញ្ហានេះ អ្នកត្រូវរៀបរាប់លម្អិតពីសកម្មភាពនីមួយៗ នោះវានឹងមិនមានកំហុសក្នុងការសម្រេចចិត្តរបស់អ្នកឡើយ។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

គណិតវិទ្យាគឺជាប្រហោងមួយដែលគំនិតឡូជីខលអាចឈ្លបយកការណ៍លើពិភពឧត្តមគតិ។

Krotov Viktor

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ (2x 2 − 3x + 1) 2 = 22x 2 − 33x + 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់

(t + 1) 2 = 11t + 1 ។

ឥឡូវនេះយើងបើកតង្កៀបហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នាយើងទទួលបាន:

t2 + 2t + 1 = 11t + 1;

t = 0 ឬ t = 9 ។

ឥឡូវអ្នកត្រូវធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស ហើយដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលនីមួយៗ៖

2x 2 − 3x = 0 ឬ 2x 2 − 3x = 9

x(2x − 3) = 0 2x 2 − 3x − 9 = 0

x = 0 ឬ x = 3/2 x = 3 ឬ x = −3/2

ចម្លើយ៖ -១.៥; 0; ១.៥; ៣.

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយសមីការ (x 2 − 6x) 2 − 2(x − 3) 2 = 81 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

(x 2 − 6x) 2 - 2(x 2 - 6x + 9) = 81. ឥឡូវអ្នកអាចធ្វើការជំនួសបាន។

អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 - 6x \u003d t បន្ទាប់មកសមីការនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

t 2 - 2 (t + 9) \u003d ៨១.

t 2 - 2t - 18 - 81 = 0;

t 2 − 2t − 99 = 0 ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ឫសនៃសមីការលទ្ធផលនឹងជាលេខ -9 និង 11 ។

ចូរធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖

x 2 − 6x = −9 ឬ x 2 − 6x = 11

x 2 − 6x + 9 = 0 x 2 − 6x − 11 = 0

(x − 3) 2 = 0 D = 80

x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 \u003d 3 - 2√5 ។

ចម្លើយ៖ 3 - 2√5; ៣; ៣+២√៥.

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយសមីការ (x − 1)(x − 3)(x + 5)(x + 7) = 297 ហើយស្វែងរកផលនៃឫសរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងស្វែងរកវិធី "ចំណេញ" ដើម្បីដាក់ជាក្រុមកត្តា ហើយបើកតង្កៀបជាគូ៖

((x − 1)(x + 5))((x − 3)(x + 7)) = 297;

(x 2 + 5x − x − 5) (x 2 + 7x − 3x − 21) = 297;

(x 2 + 4x − 5) (x 2 + 4x − 21) = 297 ។

ចូរធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ x 2 + 4x = t នោះសមីការនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

(t − 5)(t − 21) = 297 ។

តោះបើកតង្កៀប ផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចជា៖

t 2 - 21t - 5t + 105 = 297;

t 2 − 26t − 192 = 0 ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងកំណត់ថាឫសនៃសមីការលទ្ធផលនឹងជាលេខ -6 និង 32 ។

បន្ទាប់ពីការជំនួសបញ្ច្រាសយើងនឹងមាន:

x 2 + 4x = −6 ឬ x 2 + 4x = 32

x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x − 32 = 0

ឃ = ១៦ − ២៤< 0 D = 16 + 128 > 0

គ្មានឫស x 1 = −8; x 2 = 4

ចូររកផលនៃឫសៈ −8 4 = −32 ។

ចម្លើយ៖ -៣២។

ឧទាហរណ៍ 4

រកផលបូកនៃឫសនៃសមីការ (x 2 - 2x + 2) 2 + 3x (x 2 - 2x + 2) = 10x 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 - 2x + 2 \u003d t បន្ទាប់មកសមីការនឹងមានទម្រង់៖

t 2 + 3xt - 10x 2 \u003d 0 ។

ពិចារណាសមីការលទ្ធផលជាការ៉េមួយដោយគោរពតាម t ។

ឃ \u003d (3x) 2 - 4 (-10x 2) \u003d 9x 2 + 40x 2 \u003d 49x 2; ≥≤

t 1 = (−3x − 7x) / 2 និង t 2 = (−3x + 7x) / 2;

t 1 = −5x និង t 2 = 2x ។

ចាប់តាំងពី t \u003d x 2 - 2x + 2 បន្ទាប់មក

x 2 − 2x + 2 = −5x ឬ x 2 − 2x + 2 = 2x ។ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការនីមួយៗដែលទទួលបាន។

x 2 + 3x + 2 = 0 ឬ x 2 − 4x + 2 = 0 ។

សមីការទាំងពីរមានឫសគល់ ពីព្រោះ ឃ > 0 ។

ចម្លើយ៖ ១.

ឧទាហរណ៍ ៥

រកឫសនៃសមីការ (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល [−5; ដប់] ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ឲ្យ x = t − 3 បន្ទាប់មក x + 1 = t − 2; x + 5 = t + 2 ហើយសមីការដើមក្លាយជា៖

(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 2 + 6t 2 2 2 – 4t 2 3 + 2 4 ;

(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 2 + 6t 2 2 2 + 4t 2 3 + 2 4 ។

បន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌដូច យើងទទួលបាន៖

2t 4 − 2 6t 2 2 2 + 2 2 4 = 32;

t 4 + 6t 2 2 2 + 2 4 = 16;

t 4 + 24t 2 + 16 = 16;

t4 + 24t2 = 0;

t 2 (t 2 + 24) = 0;

t \u003d 0 ឬ t 2 \u003d -24 ។

សមីការទីពីរមិនមានឫសគល់ ដែលមានន័យថា t = 0 ហើយបន្ទាប់ពីការជំនួសបញ្ច្រាស

x \u003d t - 3 \u003d 0 - 3 \u003d -3 ។ ឫសនៃសមីការ -3 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល [-5; ដប់] ។

ចម្លើយ៖ -៣.

blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ

រូបមន្តផ្លាស់ប្តូរអថេរមូលដ្ឋាន

ចំណាំសំខាន់

ឧទាហរណ៍នៃការរួមបញ្ចូលដោយការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ

ការជំនួសលីនេអ៊ែរ

ឧទាហរណ៍នៃការរួមបញ្ចូលដោយការជំនួសលីនេអ៊ែរ

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង