ថ្ងៃនេះយើងដោះស្រាយជាមួយវិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ អ្នកអាចអានអំពីអ្វីដែលប្រព័ន្ធទាំងនេះមាននៅក្នុងអត្ថបទមុនដែលបានឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយ SLAE ដូចគ្នាដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss មិនទាមទារចំណេះដឹងជាក់លាក់ណាមួយទេ ត្រូវការតែការថែទាំ និងភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាប៉ុណ្ណោះ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាតាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យាការរៀបចំសាលារៀនគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការអនុវត្តរបស់វា ការស្ទាត់ជំនាញវិធីសាស្រ្តនេះជារឿយៗបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកសម្រាប់សិស្ស។ ក្នុង​អត្ថបទ​នេះ យើង​នឹង​ព្យាយាម​កាត់​បន្ថយ​ពួក​វា​ឲ្យ​អស់​ទៅ!

វិធីសាស្រ្ត Gauss

ម វិធីសាស្រ្ត Gaussគឺជាវិធីសាស្រ្តសកលបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយ SLAE (លើកលែងតែប្រព័ន្ធធំៗ)។ មិនដូចអ្វីដែលបានពិភាក្សាពីមុននោះទេ វាសមរម្យមិនត្រឹមតែសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ផងដែរ។ មានជម្រើសបីនៅទីនេះ។

1. ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងសូន្យ);
2. ប្រព័ន្ធមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់;
3. មិនមានដំណោះស្រាយទេ ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ដូច្នេះ យើងមានប្រព័ន្ធមួយ (ទុកអោយវាមានដំណោះស្រាយមួយ) ហើយយើងនឹងដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ តើវាដំណើរការយ៉ាងដូចម្តេច?

វិធីសាស្រ្ត Gaussian មានពីរដំណាក់កាល - ដោយផ្ទាល់និងបញ្ច្រាស។

វិធីសាស្រ្ត Gauss ផ្ទាល់

ដំបូងយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបន្ថែមជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃទៅម៉ាទ្រីសចម្បង។

ខ្លឹមសារទាំងមូលនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺដើម្បីកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសនេះទៅជាទម្រង់ជាជំហាន (ឬដូចដែលពួកគេនិយាយថា ត្រីកោណ) ដោយមធ្យោបាយនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។ ក្នុងទម្រង់នេះ គួរតែមានតែសូន្យនៅក្រោម (ឬខាងលើ) អង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស។

អ្វីដែលអាចធ្វើបាន៖

1. អ្នកអាចរៀបចំជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសឡើងវិញ។
2. ប្រសិនបើមានជួរដូចគ្នា (ឬសមាមាត្រ) នៅក្នុងម៉ាទ្រីស អ្នកអាចលុបទាំងអស់ លើកលែងតែមួយក្នុងចំណោមពួកវា។
3. អ្នកអាចគុណឬបែងចែកខ្សែអក្សរដោយលេខណាមួយ (លើកលែងតែសូន្យ);
4. បន្ទាត់សូន្យត្រូវបានដកចេញ;
5. អ្នកអាចបន្ថែមខ្សែអក្សរដែលគុណនឹងលេខមិនមែនសូន្យទៅខ្សែអក្សរមួយ។

វិធីសាស្រ្តបញ្ច្រាស Gauss

បន្ទាប់​ពី​យើង​បំប្លែង​ប្រព័ន្ធ​តាម​វិធី​នេះ​គេ​មិន​ស្គាល់ xn ត្រូវបានគេស្គាល់ ហើយវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកមិនស្គាល់ដែលនៅសល់ទាំងអស់ក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស ដោយជំនួស x ដែលស្គាល់រួចហើយទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ រហូតដល់ទីមួយ។

នៅពេលដែលអ៊ីនធឺណិតតែងតែនៅនឹងដៃ អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss លើបណ្តាញ។អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺបញ្ចូលហាងឆេងទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត។ ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវតែទទួលស្គាល់ វាជាការរីករាយជាងក្នុងការដឹងថាឧទាហរណ៍មិនត្រូវបានដោះស្រាយដោយកម្មវិធីកុំព្យូទ័រនោះទេ ប៉ុន្តែដោយខួរក្បាលរបស់អ្នកផ្ទាល់។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

ហើយឥឡូវនេះ - ឧទាហរណ៍មួយដូច្នេះថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងក្លាយជាច្បាស់លាស់និងអាចយល់បាន។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយវាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss:

ដំបូងយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖

ឥឡូវ​នេះ​សូម​មើល​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​។ ចងចាំថាយើងត្រូវសម្រេចបានទម្រង់ត្រីកោណនៃម៉ាទ្រីស។ គុណជួរទី 1 ដោយ (3) ។ គុណជួរទី 2 ដោយ (-1) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 2 ទៅជួរទី 1 ហើយទទួលបាន:

បន្ទាប់មកគុណជួរទី ៣ ដោយ (-១) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 3 ទៅទី 2៖

គុណជួរទី 1 ដោយ (6) ។ គុណជួរទី 2 ដោយ (13) ។ ចូរយើងបន្ថែមជួរទី 2 ទៅទី 1៖

Voila - ប្រព័ន្ធត្រូវបាននាំយកទៅទម្រង់សមរម្យ។ វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកអ្នកដែលមិនស្គាល់៖

ប្រព័ន្ធក្នុងឧទាហរណ៍នេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ យើងនឹងពិចារណាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធជាមួយនឹងសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់នៅក្នុងអត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយ។ ប្រហែលជាដំបូងឡើយ អ្នកនឹងមិនដឹងថាត្រូវចាប់ផ្តើមពីកន្លែងណាជាមួយការបំប្លែងម៉ាទ្រីសនោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការអនុវត្តសមស្រប អ្នកនឹងចាប់ដៃអ្នកនៅលើវា ហើយនឹងចុច Gaussian SLAE ដូចជាគ្រាប់។ ហើយប្រសិនបើអ្នកស្រាប់តែជួប SLAU ដែលប្រែទៅជារឹងពេកក្នុងការបំបែក សូមទាក់ទងអ្នកនិពន្ធរបស់យើង! អ្នកអាចដោយទុកពាក្យសុំក្នុងសារឆ្លើយឆ្លង។ យើងរួមគ្នាដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយ!

វិធីសាស្រ្ត Gaussល្អសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (SLAE)។ វាមានអត្ថប្រយោជន៍ជាច្រើនលើវិធីសាស្ត្រផ្សេងៗ៖

• ជាដំបូង មិនចាំបាច់ធ្វើការស៊ើបអង្កេតជាមុនអំពីប្រព័ន្ធនៃសមីការសម្រាប់ភាពឆបគ្នានោះទេ។
• ទីពីរ វិធីសាស្ត្រ Gaussian អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយមិនត្រឹមតែ SLAEs ដែលចំនួនសមីការត្រូវគ្នានឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិន degenerate ប៉ុន្តែក៏មានប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលចំនួនសមីការធ្វើផងដែរ។ មិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ឬកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងគឺស្មើនឹងសូន្យ។
• ទីបី វិធីសាស្ត្រ Gauss នាំទៅរកលទ្ធផលជាមួយនឹងចំនួនប្រតិបត្តិការគណនាតិចតួច។

ការពិនិត្យឡើងវិញសង្ខេបនៃអត្ថបទ។

ដំបូង យើងផ្តល់និយមន័យចាំបាច់ និងណែនាំសញ្ញាណមួយចំនួន។

បន្ទាប់មក យើងពណ៌នាអំពីក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ករណីសាមញ្ញបំផុត នោះគឺសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ចំនួនសមីការដែលស្របគ្នានឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយការកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិនមែនទេ។ ស្មើនឹងសូន្យ។ នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការបែបនេះ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss អាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់បំផុត ដែលមាននៅក្នុងការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់។ ដូច្នេះវិធីសាស្រ្ត Gaussian ត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់។ ចូរយើងបង្ហាញដំណោះស្រាយលម្អិតនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើន។

សរុបសេចក្តីមក យើងពិចារណាលើដំណោះស្រាយ Gaussian នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលម៉ាទ្រីសចម្បងគឺចតុកោណកែង ឬ degenerate ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបែបនេះមានលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួនដែលយើងនឹងវិភាគលម្អិតដោយប្រើឧទាហរណ៍។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យមូលដ្ឋាននិងសញ្ញាណ។

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ p ជាមួយ n មិនស្គាល់ (p អាចស្មើនឹង n):

តើអថេរមិនស្គាល់លេខណា (ពិត ឬស្មុគស្មាញ) គឺជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើ ក បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាបើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.

សំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរមិនស្គាល់ ដែលនៅក្នុងសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេហៅថា ការសម្រេចចិត្តរបស់ SLAU.

ប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ នោះគេហៅថា រួមបើមិនដូច្នេះទេ - មិនឆបគ្នា។.

ប្រសិនបើ SLAE មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ នោះគេហៅថា ជាក់លាក់. ប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយ នោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា មិនប្រាកដប្រជា.

ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេនិយាយថាត្រូវបានសរសេរនៅក្នុង ទម្រង់សំរបសំរួលប្រសិនបើវាមានទម្រង់
.

ប្រព័ន្ធនេះនៅក្នុង ទម្រង់ម៉ាទ្រីសកំណត់ត្រាមានទម្រង់ កន្លែងណា - ម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃ SLAE, - ម៉ាទ្រីសនៃជួរឈរនៃអថេរមិនស្គាល់, - ម៉ាទ្រីសនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើយើងបន្ថែមទៅម៉ាទ្រីស A ជាជួរឈរ (n + 1)-th ជួរម៉ាទ្រីសនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ នោះយើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា ម៉ាទ្រីសពង្រីកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ជាធម្មតា ម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ T ហើយជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរត្រូវបានបំបែកដោយបន្ទាត់បញ្ឈរពីជួរដែលនៅសល់ ពោលគឺ។

ម៉ាទ្រីសការ៉េ A ត្រូវបានគេហៅថា degenerateប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វាគឺសូន្យ។ ប្រសិនបើ នោះម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានគេហៅថា មិន degenerate.

ចំណុចខាងក្រោមគួរកត់សំគាល់។

ប្រសិនបើសកម្មភាពខាងក្រោមត្រូវបានអនុវត្តជាមួយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

• ប្តូរសមីការពីរ
• គុណទាំងសងខាងនៃសមីការណាមួយដោយចំនួនពិតប្រាកដ (ឬស្មុគស្មាញ) ដែលបំពាននិងមិនសូន្យ
• ទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការណាមួយ បន្ថែមផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនបំពាន k,

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូលដែលមានដំណោះស្រាយដូចគ្នា (ឬដូចជាប្រព័ន្ធដើម មិនមានដំណោះស្រាយ)។

សម្រាប់ម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ សកម្មភាពទាំងនេះនឹងមានន័យថាការបំប្លែងបឋមជាមួយជួរដេក៖

• ផ្លាស់ប្តូរខ្សែពីរ
• គុណនៃធាតុទាំងអស់នៃជួរណាមួយនៃម៉ាទ្រីស T ដោយលេខមិនសូន្យ k ,
• ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរណាមួយនៃម៉ាទ្រីស ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនបំពាន k ។

ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តទៅការពិពណ៌នានៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ហើយម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

តើ​យើង​នឹង​ធ្វើ​អ្វី​នៅ​សាលា ប្រសិន​បើ​យើង​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ភារកិច្ច​ក្នុង​ការ​ស្វែង​រក​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​ប្រព័ន្ធ​សមីការ .

អ្នកខ្លះនឹងធ្វើដូច្នេះ។

ចំណាំថាដោយការបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីមួយទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទីពីរ និងផ្នែកខាងស្តាំទៅផ្នែកខាងស្តាំ អ្នកអាចកម្ចាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ x 2 និង x 3 ហើយស្វែងរក x 1 ភ្លាមៗ៖

យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ x 1 \u003d 1 ទៅក្នុងសមីការទីមួយ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ៖

ប្រសិនបើយើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធដោយ -1 ហើយបន្ថែមវាទៅផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការទីមួយ នោះយើងកម្ចាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ x 3 ហើយអាចរកឃើញ x 2៖

យើងជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាន x 2 \u003d 2 ទៅក្នុងសមីការទីបី ហើយស្វែងរកអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលនៅសល់ x 3៖

អ្នកផ្សេងទៀតនឹងបានធ្វើបើមិនដូច្នេះទេ។

ចូរដោះស្រាយសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹងអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ ដើម្បីដកអថេរនេះចេញពីពួកវា៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹង x 2 ហើយជំនួសលទ្ធផលនៅក្នុងសមីការទីបី ដើម្បីដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 2 ចេញពីវា៖

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធថា x 3 = 3 ។ ពីសមីការទីពីរយើងរកឃើញ ហើយពីសមីការទីមួយយើងទទួលបាន .

ដំណោះស្រាយដែលធ្លាប់ស្គាល់មែនទេ?

អ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនៅទីនេះគឺថាវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយទីពីរគឺសំខាន់វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់, នោះគឺវិធីសាស្រ្ត Gauss ។ នៅពេលដែលយើងបង្ហាញអថេរដែលមិនស្គាល់ (ទីមួយ x 1, បន្ទាប់ x 2) ហើយជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ នោះយើងដកពួកវាចេញ។ យើងអនុវត្តការលើកលែងរហូតដល់ពេលដែលសមីការចុងក្រោយបន្សល់ទុកតែអថេរមិនស្គាល់មួយ។ ដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្ត Gauss ផ្ទាល់. បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទៅមុខត្រូវបានបញ្ចប់ យើងមានឱកាសគណនាអថេរដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការចុងក្រោយ។ ដោយមានជំនួយរបស់វា ពីសមីការ penultimate យើងរកឃើញអថេរមិនស្គាល់បន្ទាប់ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដំណើរការនៃការស្វែងរកអថេរមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ ខណៈពេលដែលផ្លាស់ទីពីសមីការចុងក្រោយទៅទីមួយត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss បញ្ច្រាស.

គួរកត់សំគាល់ថា នៅពេលយើងបង្ហាញ x 1 ក្នុងន័យ x 2 និង x 3 ក្នុងសមីការទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាសមីការទីពីរ និងទីបី សកម្មភាពខាងក្រោមនាំទៅរកលទ្ធផលដូចគ្នា៖

ជាការពិតណាស់ នីតិវិធីបែបនេះក៏អនុញ្ញាតឱ្យយើងដកចេញអថេរ x 1 ដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ៖

Nuances ជាមួយនឹងការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss កើតឡើងនៅពេលដែលសមីការនៃប្រព័ន្ធមិនមានអថេរមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍នៅក្នុង SLAU នៅក្នុងសមីការទីមួយ មិនមានអថេរ x 1 មិនស្គាល់ទេ (និយាយម្យ៉ាងទៀត មេគុណនៅពីមុខវាគឺសូន្យ)។ ដូច្នេះហើយ យើងមិនអាចដោះស្រាយសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធទាក់ទងនឹង x 1 ដើម្បីដកចេញអថេរមិនស្គាល់នេះពីសមីការដែលនៅសល់នោះទេ។ ផ្លូវចេញពីស្ថានភាពនេះគឺដើម្បីប្តូរសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ ដោយសារយើងកំពុងពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់ៗខុសពីសូន្យ វាតែងតែមានសមីការដែលអថេរដែលយើងត្រូវការមានវត្តមាន ហើយយើងអាចរៀបចំសមីការនេះឡើងវិញទៅទីតាំងដែលយើងត្រូវការ។ ឧទាហរណ៍របស់យើង វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការប្តូរសមីការទីមួយ និងទីពីរនៃប្រព័ន្ធ បន្ទាប់មកអ្នកអាចដោះស្រាយសមីការទីមួយសម្រាប់ x 1 ហើយដកវាចេញពីសមីការដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ (ទោះបីជា x 1 គឺអវត្តមានរួចហើយនៅក្នុងសមីការទីពីរ)។

យើងសង្ឃឹមថាអ្នកទទួលបានចំណុចសំខាន់។

ចូរពណ៌នា ក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្ត Gauss ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយនឹង n អថេរមិនស្គាល់នៃទម្រង់ ហើយទុកឱ្យកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងរបស់វាមិនមែនជាសូន្យ។

យើងនឹងសន្មត់ថា ដោយសារយើងតែងតែអាចសម្រេចបានវាដោយការរៀបចំសមីការនៃប្រព័ន្ធឡើងវិញ។ យើងដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ចេញពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមសមីការទីមួយគុណនឹងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទី 3 ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទី 1 ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់

កន្លែងណា ក .

យើងនឹងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងបង្ហាញ x 1 ក្នុងន័យនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ផ្សេងទៀតនៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ដូច្នេះ អថេរ x 1 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីពីរ។

បន្ទាប់យើងធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសម្គាល់នៅក្នុងរូបភាព

ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមសមីការទីពីរគុណនឹងសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការទីបួន ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការ n ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់

កន្លែងណា ក . ដូច្នេះ អថេរ x 2 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីបី។

បន្ទាប់មក យើងបន្តទៅការលុបបំបាត់ x 3 ដែលមិនស្គាល់ ខណៈពេលដែលធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្នែកនៃប្រព័ន្ធដែលបានសម្គាល់ក្នុងរូប។

ដូច្នេះយើងបន្តវគ្គសិក្សាដោយផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss រហូតដល់ប្រព័ន្ធទទួលបានទម្រង់

ចាប់ពីពេលនេះតទៅ យើងចាប់ផ្តើមដំណើរបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss៖ យើងគណនា x n ពីសមីការចុងក្រោយ ដោយប្រើតម្លៃដែលទទួលបាននៃ x n យើងរកឃើញ x n-1 ពីសមីការ penultimate ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត យើងរកឃើញ x 1 ពី សមីការទីមួយ។

ចូរយើងវិភាគក្បួនដោះស្រាយជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។

ការសម្រេចចិត្ត។

មេគុណ a 11 គឺខុសពីសូន្យ ដូច្នេះសូមបន្តទៅវគ្គផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ពោលគឺដើម្បីលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ លើកលែងតែទីមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ ទីបី និងទីបួន បន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយ គុណនឹង រៀងគ្នា។ និង៖

អថេរ x 1 ដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានលុបចោល សូមបន្តទៅការដកចេញ x 2 ។ ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបី និងទីបួននៃប្រព័ន្ធ យើងបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ គុណនឹង និង :

ដើម្បីបញ្ចប់វគ្គបន្តនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងត្រូវដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 3 ចេញពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ។ បន្ថែមទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបួន រៀងគ្នា ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបី គុណនឹង :

អ្នកអាចចាប់ផ្តើមវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងមាន ,
ពីសមីការទីបីយើងទទួលបាន
ពីទីពីរ
ពីដំបូង។

ដើម្បីពិនិត្យ អ្នកអាចជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាននៃអថេរមិនស្គាល់ទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ។ សមីការទាំងអស់ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖

ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងផ្តល់ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ដូចគ្នាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធមានទម្រង់ . នៅពីលើជួរឈរនីមួយៗ អថេរដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានសរសេរ ដែលត្រូវនឹងធាតុនៃម៉ាទ្រីស។

វគ្គសិក្សាផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss នៅទីនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការនាំយកម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ trapezoidal ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ដំណើរការនេះគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងការដកចេញនូវអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលយើងបានធ្វើជាមួយប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ។ ឥឡូវនេះអ្នកនឹងជឿជាក់លើវា។

ចូរបំប្លែងម៉ាទ្រីស ដើម្បីឱ្យធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយ ចាប់ផ្តើមពីទីពីរក្លាយជាសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះចំពោះធាតុនៃជួរទីពីរ ទីបី និងទីបួន បន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយគុណនឹង , និងរៀងៗខ្លួន៖

បន្ទាប់មក យើងបំប្លែងម៉ាទ្រីសលទ្ធផល ដូច្នេះនៅក្នុងជួរទីពីរ ធាតុទាំងអស់ ចាប់ពីលេខទីបី ក្លាយជាសូន្យ។ វានឹងឆ្លើយតបទៅនឹងការមិនរាប់បញ្ចូលអថេរដែលមិនស្គាល់ x 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទី 3 និងទី 4 នៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស គុណនឹង និង :

វានៅសល់ដើម្បីដកចេញអថេរដែលមិនស្គាល់ x 3 ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅកាន់ធាតុនៃជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកចុងក្រោយ គុណនឹង :

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាម៉ាទ្រីសនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដែលទទួលបានមុននេះ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរដោយផ្ទាល់។

ដល់ពេលត្រូវត្រលប់មកវិញហើយ។ នៅក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសនៃសញ្ញាណ ដំណើរបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ពាក់ព័ន្ធនឹងការបំប្លែងនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផល ដូច្នេះម៉ាទ្រីសដែលបានសម្គាល់ក្នុងរូប។

បានក្លាយជាអង្កត់ទ្រូង ពោលគឺបានយកទម្រង់

តើលេខខ្លះនៅឯណា។

ការបំប្លែងទាំងនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងវិធីសាស្ត្រ Gauss ប៉ុន្តែត្រូវបានអនុវត្តមិនមែនពីបន្ទាត់ទីមួយទៅចុងក្រោយនោះទេ ប៉ុន្តែពីចុងក្រោយទៅទីមួយ។

បន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទីបី ទីពីរ និងទីមួយ ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរចុងក្រោយ គុណនឹង លើ និងនៅលើ រៀងគ្នា៖

ឥឡូវ​យើង​បន្ថែម​ទៅ​ធាតុ​នៃ​ជួរ​ដេក​ទី​ពីរ និង​ទី​មួយ​នូវ​ធាតុ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នៃ​ជួរ​ទី​បី​គុណ​នឹង​ដោយ​រៀង​ខ្លួន៖

នៅជំហានចុងក្រោយនៃចលនាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian យើងបន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីពីរ គុណនឹង ទៅធាតុនៃជួរទីមួយ៖

ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលត្រូវគ្នានឹងប្រព័ន្ធសមីការ ដែលយើងរកឃើញអថេរមិនស្គាល់។

ចម្លើយ៖

ចំណាំ។

នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលគួរតែត្រូវបានជៀសវាង ព្រោះនេះអាចនាំទៅរកលទ្ធផលមិនត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ យើងណែនាំអ្នកកុំបង្គត់ខ្ទង់ទសភាគ។ វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនដើម្បីផ្លាស់ទីពីប្រភាគទសភាគទៅប្រភាគធម្មតា។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការបីដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian .

ការសម្រេចចិត្ត។

ចំណាំថាក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អថេរដែលមិនស្គាល់មានការរចនាខុសគ្នា (មិនមែន x 1, x 2, x 3 ទេ ប៉ុន្តែ x, y, z )។ ចូរបន្តទៅប្រភាគធម្មតា៖

លុបបំបាត់ x ដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ៖

នៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផល មិនមានអថេរ y មិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទីពីរទេ ហើយ y មានវត្តមាននៅក្នុងសមីការទីបី ដូច្នេះយើងប្តូរសមីការទីពីរ និងទីបី៖

នៅពេលនេះ វគ្គផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានបញ្ចប់ (អ្នកមិនចាំបាច់ដក y ចេញពីសមីការទីបីទេ ព្រោះអថេរមិនស្គាល់នេះលែងមានទៀតហើយ)។

តោះត្រឡប់ទៅវិញ។

ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងរកឃើញ ,
ពីចុងក្រោយ


ពីសមីការទីមួយដែលយើងមាន

ចម្លើយ៖

X=10, y=5, z=-20 ។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ឬម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺ degenerate ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលម៉ាទ្រីសចម្បងរបស់វាមានរាងចតុកោណកែង ឬការ៉េ degenerate អាចមិនមានដំណោះស្រាយ អាចមានដំណោះស្រាយតែមួយ ឬអាចមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។

ឥឡូវនេះយើងនឹងយល់ពីរបៀបដែលវិធីសាស្ត្រ Gauss អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតភាពឆបគ្នាឬភាពមិនស៊ីសង្វាក់នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរហើយក្នុងករណីនៃភាពឆបគ្នារបស់វាកំណត់ដំណោះស្រាយទាំងអស់ (ឬដំណោះស្រាយតែមួយ) ។

ជាគោលការណ៍ដំណើរការនៃការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងករណីនៃ SLAEs បែបនេះនៅតែដដែល។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមានតម្លៃរស់នៅយ៉ាងលម្អិតលើស្ថានភាពមួយចំនួនដែលអាចកើតឡើង។

ចូរយើងបន្តទៅជំហានសំខាន់បំផុត។

ដូច្នេះ ចូរយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរបន្ទាប់ពីការបញ្ចប់នៃការរត់ទៅមុខនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យកទម្រង់ ហើយគ្មានសមីការណាមួយត្រូវបានកាត់បន្ថយ (ក្នុងករណីនេះ យើងនឹងសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា)។ សំណួរឡូជីខលកើតឡើង: "អ្វីដែលត្រូវធ្វើបន្ទាប់"?

យើងសរសេរអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលមាននៅក្នុងកន្លែងដំបូងនៃសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធលទ្ធផល៖

ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ទាំងនេះគឺ x 1 , x 4 និង x 5 ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ យើងទុកតែពាក្យទាំងនោះដែលមានសរសេរចេញអថេរមិនស្គាល់ x 1, x 4 និង x 5 យើងផ្ទេរពាក្យដែលនៅសល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ៖

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់តម្លៃបំពានទៅអថេរមិនស្គាល់ដែលមាននៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ ដែល - លេខ​តាម​ចិត្ត​:

បន្ទាប់ពីនោះ លេខត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទាំងអស់នៃ SLAE របស់យើង ហើយយើងអាចបន្តទៅវគ្គបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធដែលយើងមាន ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងរកឃើញ ពីសមីការដំបូងដែលយើងទទួលបាន

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការគឺជាសំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរដែលមិនស្គាល់

ការផ្តល់លេខ តម្លៃផ្សេងគ្នា យើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នាចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ។ នោះគឺប្រព័ន្ធសមីការរបស់យើងមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ចម្លើយ៖

កន្លែងណា - លេខបំពាន។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ យើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ជាច្រើនទៀត។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងដកអថេរ x ដែលមិនស្គាល់ពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីមួយ រៀងគ្នា ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ គុណនឹង និងទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីបី ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ។ សមីការទីមួយ គុណនឹង៖

ឥឡូវនេះយើងដក y ចេញពីសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការ៖

លទ្ធផល SLAE គឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ .

យើងទុកតែពាក្យដែលមានអថេរមិនស្គាល់ x និង y នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ ហើយផ្ទេរលក្ខខណ្ឌជាមួយនឹងអថេរមិនស្គាល់ z ទៅផ្នែកខាងស្តាំ៖

យើងបន្តពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ មេរៀននេះគឺជាមេរៀនទីបីលើប្រធានបទ។ ប្រសិនបើអ្នកមានគំនិតមិនច្បាស់លាស់អំពីអ្វីដែលជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ជាទូទៅអ្នកមានអារម្មណ៍ថាដូចជាទឹកតែ នោះខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៅលើទំព័របន្ទាប់ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការសិក្សាមេរៀន។

វិធីសាស្ត្រ Gauss ងាយស្រួល!ហេតុអ្វី? គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីល្បាញ Johann Carl Friedrich Gauss ក្នុងអំឡុងពេលពេញមួយជីវិតរបស់គាត់ បានទទួលការទទួលស្គាល់ថាជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតគ្រប់ពេលវេលា ទេពកោសល្យ និងសូម្បីតែឈ្មោះហៅក្រៅថា "ស្តេចគណិតវិទ្យា" ។ ហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលប៉ិនប្រសប់ដូចដែលអ្នកដឹងគឺសាមញ្ញ!និយាយអីញ្ចឹង មិនត្រឹមតែអ្នកជញ្ជក់ឈាមប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងមានទេពកោសល្យចូលលុយទៀតផង - រូបគំនូររបស់ Gauss បានបង្ហាញនៅលើវិក័យប័ត្រចំនួន 10 Deutschmarks (មុនពេលណែនាំប្រាក់អឺរ៉ូ) ហើយ Gauss នៅតែញញឹមយ៉ាងអាថ៌កំបាំងចំពោះជនជាតិអាល្លឺម៉ង់ពីតែមប្រៃសណីយ៍ធម្មតា។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺសាមញ្ញ ដោយថាវាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ចំណេះដឹងរបស់សិស្សថ្នាក់ទីប្រាំមួយដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់វា។ ត្រូវតែអាចបន្ថែម និងគុណ!វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ត្រូវបានពិចារណាដោយគ្រូនៅសាលាគណិតវិទ្យា។ វាគឺជាការប្រៀបធៀបមួយ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Gauss បណ្តាលឱ្យមានការលំបាកខ្លាំងបំផុតសម្រាប់សិស្ស។ គ្មានអ្វីគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេ - វាទាំងអស់អំពីវិធីសាស្រ្តហើយខ្ញុំនឹងព្យាយាមប្រាប់ក្នុងទម្រង់ដែលអាចចូលដំណើរការបានអំពីក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្ត។

ជាដំបូង យើងរៀបចំប្រព័ន្ធចំណេះដឹងអំពីប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបន្តិច។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរអាច៖

1) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ 2) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។ ៣) គ្មានដំណោះស្រាយ (ត្រូវ មិនឆបគ្នា។).

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុត និងអាចប្រើប្រាស់បានក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ ណាមួយ។ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ដូចដែលយើងចងចាំ ក្បួនរបស់ Cramer និងវិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសមិនស័ក្តិសមក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនាំយើងទៅរកចម្លើយ! នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិចារណាម្តងទៀតអំពីវិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ករណីលេខ 1 (ដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ) អត្ថបទមួយត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ស្ថានភាពនៃចំណុចលេខ 2-3 ។ ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្តខ្លួនវាដំណើរការដូចគ្នានៅក្នុងករណីទាំងបី។

ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធសាមញ្ញបំផុតពីមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ?ហើយដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។

ជំហានដំបូងគឺត្រូវសរសេរ ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីសពង្រីក:. តាមគោលការណ៍អ្វីដែលមេគុណត្រូវបានកត់ត្រា ខ្ញុំគិតថាអ្នកគ្រប់គ្នាអាចមើលឃើញ។ បន្ទាត់បញ្ឈរនៅខាងក្នុងម៉ាទ្រីសមិនមានអត្ថន័យគណិតវិទ្យាទេ - វាគ្រាន់តែជាការគូសវាសសម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការរចនា។

ឯកសារយោង : ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យចងចាំ លក្ខខណ្ឌ ពិ​ជ​គណិត​លីនេអ៊ែរ។ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ គឺជាម៉ាទ្រីសដែលមានតែមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ៖ . ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធបន្ថែម គឺជាម៉ាទ្រីសដូចគ្នានៃប្រព័ន្ធ បូកនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ ក្នុងករណីនេះ៖ . ម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានគេហៅថាជាម៉ាទ្រីសសម្រាប់ភាពខ្លី។

បន្ទាប់ពីម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរ វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយវា ដែលត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរបឋម.

មានការបំប្លែងបឋមដូចខាងក្រោមៈ

1) ខ្សែអក្សរម៉ាទ្រីស អាច រៀបចំឡើងវិញកន្លែង។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងម៉ាទ្រីសដែលកំពុងពិចារណា អ្នកអាចរៀបចំជួរទីមួយ និងទីពីរឡើងវិញដោយសុវត្ថិភាព៖

2) ប្រសិនបើមាន (ឬលេចឡើង) សមាមាត្រ (ជាករណីពិសេស - ដូចគ្នា) ជួរដេកនៅក្នុងម៉ាទ្រីស នោះវាដូចខាងក្រោម លុបពីម៉ាទ្រីស ជួរទាំងអស់នេះលើកលែងតែមួយ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស . នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ ជួរទាំងបីចុងក្រោយគឺសមាមាត្រ ដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការទុកតែមួយក្នុងចំណោមពួកគេ៖ .

3) ប្រសិនបើជួរសូន្យបានលេចឡើងក្នុងម៉ាទ្រីសកំឡុងពេលបំប្លែង នោះវាក៏ធ្វើតាមដែរ។ លុប. ខ្ញុំនឹងមិនគូរទេ បន្ទាត់សូន្យគឺជាបន្ទាត់ដែលនៅក្នុងនោះ។ សូន្យតែប៉ុណ្ណោះ.

4) ជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសអាចជា គុណ (ចែក)សម្រាប់លេខណាមួយ។ មិនមែនសូន្យ. ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស។ នៅទីនេះ គួរតែចែកជួរទីមួយដោយ -3 ហើយគុណជួរទីពីរដោយ 2៖ . សកម្មភាពនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ព្រោះវាជួយសម្រួលដល់ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសបន្ថែមទៀត។

5) ការផ្លាស់ប្តូរនេះបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកបំផុត ប៉ុន្តែការពិតមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនោះទេ។ ទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសអ្នកអាចធ្វើបាន បន្ថែមខ្សែអក្សរមួយទៀតគុណនឹងលេខខុសពីសូន្យ។ ពិចារណាម៉ាទ្រីសរបស់យើងពីឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង៖ . ជាដំបូង ខ្ញុំនឹងរៀបរាប់អំពីការផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងលម្អិត។ គុណជួរទីមួយដោយ -2៖ , និង ទៅជួរទីពីរយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2: . ឥឡូវនេះជួរទីមួយអាចបែងចែក "ថយក្រោយ" ដោយ -2: ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបន្ទាត់ដែលត្រូវបានបន្ថែម លី – មិនបានផ្លាស់ប្តូរទេ។. ជានិច្ចបន្ទាត់ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅដែលបន្ថែម យូធី.

ជា​ការ​ពិត​ណាស់​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត​ពួក​គេ​មិន​គូរ​លម្អិត​បែប​នេះ​ទេ​ប៉ុន្តែ​សរសេរ​ខ្លី​ជាង​នេះ​: ជាថ្មីម្តងទៀត: ទៅជួរទីពីរ បានបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2. បន្ទាត់ជាធម្មតាត្រូវបានគុណដោយផ្ទាល់មាត់ ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង ខណៈពេលដែលវគ្គសិក្សាផ្លូវចិត្តនៃការគណនាគឺមានលក្ខណៈដូចនេះ៖

“ខ្ញុំសរសេរម៉ាទ្រីសឡើងវិញ ហើយសរសេរជួរទីមួយឡើងវិញ៖ »

ជួរទីមួយដំបូង។ ខាងក្រោមខ្ញុំត្រូវការរកសូន្យ។ ដូច្នេះខ្ញុំគុណឯកតាខាងលើដោយ -2: ហើយបន្ថែមទីមួយទៅជួរទីពីរ: 2 + (-2) = 0 ។ ខ្ញុំសរសេរលទ្ធផលក្នុងជួរទីពីរ៖ »

“ឥឡូវនេះ ជួរទីពីរ។ ខាងលើ -1 ដង -2: ។ ខ្ញុំបន្ថែមទីមួយទៅជួរទីពីរ៖ 1 + 2 = 3 ខ្ញុំសរសេរលទ្ធផលទៅជួរទីពីរ៖ »

“ និងជួរទីបី។ ខាងលើ -5 ដង -2: ។ ខ្ញុំបន្ថែមជួរទីមួយទៅជួរទីពីរ៖ -7 + 10 = 3. ខ្ញុំសរសេរលទ្ធផលក្នុងជួរទីពីរ៖ »

សូមគិតឱ្យបានហ្មត់ចត់អំពីឧទាហរណ៍នេះ ហើយយល់អំពីក្បួនដោះស្រាយការគណនាតាមលំដាប់លំដោយ ប្រសិនបើអ្នកយល់អំពីរឿងនេះ នោះវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺអនុវត្ត "នៅក្នុងហោប៉ៅរបស់អ្នក"។ ប៉ុន្តែជាការពិតណាស់ យើងនៅតែធ្វើការលើការផ្លាស់ប្តូរនេះ។

ការបំប្លែងបឋមមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការទេ។

! ការយកចិត្តទុកដាក់៖ ចាត់ទុកថាជាឧបាយកល មិនអាចប្រើប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដែលម៉ាទ្រីសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ "ដោយខ្លួនឯង" ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយ "បុរាណ" ម៉ាទ្រីសក្នុងករណីណាក៏ដោយដែលអ្នកគួររៀបចំអ្វីមួយនៅក្នុងម៉ាទ្រីសឡើងវិញ! ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធរបស់យើង។ នាងត្រូវបានបំបែកជាបំណែក ៗ ។

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម កាត់បន្ថយវាទៅ ទិដ្ឋភាពជំហាន:

(1) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ហើយម្តងទៀត៖ ហេតុអ្វីបានជាយើងគុណជួរទីមួយដោយ -2? ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅខាងក្រោម ដែលមានន័យថាកម្ចាត់អថេរមួយនៅក្នុងជួរទីពីរ។

(2) ចែកជួរទីពីរដោយ 3 ។

គោលបំណងនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម – បំប្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ជំហាន៖ . នៅក្នុងការរចនានៃភារកិច្ចពួកគេគូរ "ជណ្ដើរ" ដោយផ្ទាល់ដោយប្រើខ្មៅដៃសាមញ្ញហើយក៏គូសរង្វង់លេខដែលមានទីតាំងនៅលើ "ជំហាន" ។ ពាក្យថា "ទិដ្ឋភាពជំហាន" ខ្លួនវាមិនមែនជាទ្រឹស្តីទាំងស្រុងទេ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្រ្ត និងអប់រំ វាត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់។ ទិដ្ឋភាព trapezoidalឬ ទិដ្ឋភាពត្រីកោណ.

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋមយើងទទួលបាន សមមូលប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ៖

ឥឡូវនេះប្រព័ន្ធត្រូវតែ "មិនផ្លាស់ប្តូរ" ក្នុងទិសដៅផ្ទុយ - ពីបាតឡើងដំណើរការនេះត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss បញ្ច្រាស.

នៅក្នុងសមីការខាងក្រោម យើងមានលទ្ធផលរួចរាល់ហើយ៖ .

ពិចារណាសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ ហើយជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់រួចហើយនៃ “y” ទៅក្នុងវា៖

ចូរយើងពិចារណាអំពីស្ថានភាពទូទៅបំផុត នៅពេលដែលវិធីសាស្ត្រ Gaussian ត្រូវបានទាមទារដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួនបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបី។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

ឥឡូវនេះខ្ញុំនឹងគូរភ្លាមៗនូវលទ្ធផលដែលយើងនឹងមកក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយ៖ ហើយខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត គោលដៅរបស់យើងគឺនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់មួយជំហានដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ កន្លែងដែលត្រូវចាប់ផ្តើមធ្វើសកម្មភាព?

ដំបូងមើលលេខខាងឆ្វេងខាងលើ៖ គួរតែនៅទីនេះស្ទើរតែជានិច្ច ឯកតា. និយាយជាទូទៅ -1 (និងពេលខ្លះលេខផ្សេងទៀត) ក៏នឹងសមស្របដែរ ប៉ុន្តែតាមធម្មតាវាបានកើតឡើងដែលឯកតាត្រូវបានដាក់នៅទីនោះ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរៀបចំអង្គភាព? យើងក្រឡេកមើលជួរទីមួយ - យើងមានឯកតាដែលបានបញ្ចប់! ការផ្លាស់ប្តូរទីមួយ៖ ប្តូរជួរទីមួយ និងទីបី៖

ឥឡូវនេះខ្សែទីមួយនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូររហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ. ឥឡូវនេះមិនអីទេ។

អង្គភាពនៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេងត្រូវបានរៀបចំ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវយកលេខសូន្យនៅកន្លែងទាំងនេះ៖

សូន្យត្រូវបានទទួលដោយជំនួយនៃការផ្លាស់ប្តូរ "ពិបាក" ។ ដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយបន្ទាត់ទីពីរ (2, -1, 3, 13) ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅក្នុងទីតាំងដំបូង? ត្រូវការ ទៅជួរទីពីរបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2. ផ្លូវចិត្ត ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង យើងគុណជួរទីមួយដោយ -2: (-2, -4, 2, -18) ។ ហើយយើងអនុវត្តដោយខ្ជាប់ខ្ជួន (ម្តងទៀតផ្លូវចិត្តឬលើសេចក្តីព្រាង) បន្ថែម។ ទៅជួរទីពីរ យើងបន្ថែមជួរទីមួយ រួចគុណនឹង -2:

លទ្ធផលត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរទីពីរ៖

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងដោះស្រាយជាមួយបន្ទាត់ទីបី (3, 2, -5, -1) ។ ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅក្នុងទីតាំងដំបូងអ្នកត្រូវការ ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -3. ផ្លូវចិត្ត ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង យើងគុណជួរទីមួយដោយ -3: (-3, -6, 3, -27) ។ និង ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -3:

លទ្ធផលត្រូវបានសរសេរនៅជួរទីបី៖

នៅក្នុងការអនុវត្ត សកម្មភាពទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានអនុវត្តដោយពាក្យសំដី និងសរសេរចុះក្នុងជំហានមួយ៖

មិនចាំបាច់រាប់អ្វីគ្រប់យ៉ាងក្នុងពេលតែមួយនិងក្នុងពេលតែមួយទេ។. លំដាប់នៃការគណនានិង "ការបញ្ចូល" នៃលទ្ធផល ស្របហើយជាធម្មតាដូចនេះ៖ ដំបូងយើងសរសេរឡើងវិញនូវបន្ទាត់ទីមួយ ហើយបិទខ្លួនយើងដោយស្ងៀមស្ងាត់ - ស្រប និង ដោយយកចិត្តទុកដាក់:
ហើយខ្ញុំបានពិចារណារួចហើយអំពីដំណើរផ្លូវចិត្តនៃការគណនាដោយខ្លួនឯងខាងលើ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាងាយស្រួលធ្វើ យើងបែងចែកជួរទីពីរដោយ -5 (ចាប់តាំងពីលេខទាំងអស់អាចបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់) ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងបែងចែកជួរទីបីដោយ -2 ពីព្រោះលេខតូចជាង ដំណោះស្រាយកាន់តែសាមញ្ញ៖

នៅដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ត្រូវតែទទួលបានសូន្យមួយបន្ថែមទៀតនៅទីនេះ៖

សម្រាប់​ការ​នេះ ទៅជួរទីបី យើងបន្ថែមជួរទីពីរ គុណនឹង -2:
ព្យាយាមញែកសកម្មភាពនេះដោយខ្លួនឯង - គុណនឹងបន្ទាត់ទីពីរដោយ -2 ហើយអនុវត្តការបន្ថែម។

សកម្មភាពចុងក្រោយដែលត្រូវបានអនុវត្តគឺស្ទីលម៉ូដសក់នៃលទ្ធផល, បែងចែកជួរទីបីដោយ 3 ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ប្រព័ន្ធដំបូងសមមូលនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានទទួល៖ ត្រជាក់។

ឥឡូវនេះវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ចូលមកលេង។ សមីការ "បន្ធូរបន្ថយ" ពីបាតឡើង។

នៅក្នុងសមីការទីបី យើងមានលទ្ធផលរួចរាល់ហើយ៖

តោះមើលសមីការទីពីរ៖ . អត្ថន័យនៃ "z" ត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយដូច្នេះ:

ហើយចុងក្រោយ សមីការទីមួយ៖ . "Y" និង "Z" ត្រូវបានគេស្គាល់បញ្ហាគឺតូច:

ចម្លើយ:

ដូចដែលត្រូវបានកត់សម្គាល់ម្តងហើយម្តងទៀតសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការណាមួយវាអាចទៅរួចនិងចាំបាច់ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញជាសំណាងល្អវាមិនពិបាកនិងលឿនទេ។

ឧទាហរណ៍ ២

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​ការ​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង ជា​គំរូ​នៃ​ការ​បញ្ចប់ និង​ចម្លើយ​នៅ​ចុង​មេរៀន។

គួរកត់សម្គាល់ថារបស់អ្នក។ វគ្គនៃសកម្មភាពប្រហែលជាមិនស្របនឹងសកម្មភាពរបស់ខ្ញុំទេ ហើយនេះគឺជាលក្ខណៈពិសេសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss. ប៉ុន្តែចម្លើយត្រូវតែដូចគ្នា!

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

យើងក្រឡេកមើល "ជំហាន" ខាងឆ្វេងខាងលើ។ នៅទីនោះយើងគួរតែមានឯកតា។ បញ្ហាគឺថាគ្មាននរណាម្នាក់នៅក្នុងជួរទីមួយទាល់តែសោះ ដូច្នេះគ្មានអ្វីអាចដោះស្រាយបានដោយការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនោះទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ អង្គភាពត្រូវតែរៀបចំដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ជាធម្មតា នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ ខ្ញុំបានធ្វើវា៖ (១) ទៅជួរទីមួយយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -1. នោះគឺយើងគុណនឹងបន្ទាត់ទីពីរដោយ -1 ហើយអនុវត្តការបន្ថែមនៃបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរខណៈពេលដែលបន្ទាត់ទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ឥឡូវនេះនៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើ "ដកមួយ" ដែលសាកសមនឹងយើងយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ។ អ្នកដែលចង់ទទួលបាន +1 អាចធ្វើកាយវិការបន្ថែម៖ គុណជួរទីមួយដោយ -1 (ប្តូរសញ្ញារបស់វា)។

(2) ជួរទីមួយគុណនឹង 5 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ ជួរទីមួយគុណនឹង 3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

(3) ជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង -1 ជាគោលការណ៍នេះគឺសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត។ សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីបីក៏ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរហើយផ្លាស់ទីទៅកន្លែងទីពីរដូច្នេះនៅលើ "ជំហានទីពីរ យើងមានឯកតាដែលចង់បាន។

(4) ជួរទីពីរគុណនឹង 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

(5) ជួរទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ។

សញ្ញា​អាក្រក់​ដែល​បង្ហាញ​ពី​កំហុស​ក្នុង​ការ​គណនា (តិច​ជាង​ការ​វាយ​អក្សរ) គឺជា​បន្ទាត់​ខាងក្រោម "អាក្រក់"។ នោះគឺប្រសិនបើយើងទទួលបានអ្វីមួយដូចខាងក្រោម ហើយតាមនោះ បន្ទាប់មក ជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ វាអាចត្រូវបានអះអាងថា កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។

យើងគិតលើការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស នៅក្នុងការរចនានៃឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធខ្លួនឯងជារឿយៗមិនត្រូវបានសរសេរឡើងវិញទេ ហើយសមីការត្រូវបាន "យកដោយផ្ទាល់ពីម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ" ។ ចលនាបញ្ច្រាស ខ្ញុំរំលឹកអ្នក ដំណើរការពីបាតឡើង។ បាទ នេះគឺជាអំណោយមួយ៖

ចម្លើយ: .

ឧទាហរណ៍ 4

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​ដំណោះស្រាយ​ឯករាជ្យ វា​មាន​ភាព​ស្មុគស្មាញ​ជាង​បន្តិច។ វាមិនអីទេប្រសិនបើនរណាម្នាក់យល់ច្រឡំ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងគំរូរចនានៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ ដំណោះស្រាយរបស់អ្នកអាចខុសពីខ្ញុំ។

នៅផ្នែកចុងក្រោយ យើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួននៃក្បួនដោះស្រាយ Gauss ។ លក្ខណៈពិសេសទីមួយគឺថា ពេលខ្លះអថេរមួយចំនួនត្រូវបានបាត់នៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ ឧទាហរណ៍៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធឱ្យបានត្រឹមត្រូវ? ខ្ញុំ​បាន​និយាយ​រួច​ហើយ​អំពី​គ្រា​នេះ​ក្នុង​មេរៀន។ ច្បាប់របស់ Cramer ។ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស. នៅក្នុងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ យើងដាក់លេខសូន្យជំនួសអថេរដែលបាត់៖ និយាយអីញ្ចឹង នេះជាឧទាហរណ៍ដ៏ងាយស្រួលមួយ ដោយសារមានលេខសូន្យមួយរួចហើយនៅក្នុងជួរទីមួយ ហើយមានការបំប្លែងបឋមតិចជាងមុនដើម្បីអនុវត្ត។

លក្ខណៈពិសេសទីពីរគឺនេះ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ដែលបានពិចារណា យើងបានដាក់ -1 ឬ +1 នៅលើ "ជំហាន" ។ តើអាចមានលេខផ្សេងទៀតទេ? ក្នុងករណីខ្លះពួកគេអាច។ ពិចារណាប្រព័ន្ធ៖ .

នៅទីនេះនៅខាងឆ្វេងខាងលើ "ជំហាន" យើងមាន deuce មួយ។ ប៉ុន្តែយើងកត់សំគាល់ការពិតដែលថាលេខទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ដោយគ្មាននៅសល់ - និងពីរនិងប្រាំមួយ។ ហើយ deuce នៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេងនឹងសមនឹងយើង! នៅជំហានដំបូង អ្នកត្រូវធ្វើការបំប្លែងដូចខាងក្រោមៈ បន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង -1 ទៅជួរទីពីរ។ ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -3 ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​ទទួល​បាន​លេខ​សូន្យ​ដែល​ចង់​បាន​ក្នុង​ជួរ​ឈរ​ដំបូង។

ឬឧទាហរណ៍សម្មតិកម្មមួយទៀត៖ . នៅទីនេះបីដងនៅលើ "រុង" ទីពីរក៏សមនឹងយើងដែរព្រោះ 12 (កន្លែងដែលយើងត្រូវទទួលបានសូន្យ) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដោយគ្មានសល់។ វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តការបំលែងដូចខាងក្រោម: ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -4 ជាលទ្ធផលសូន្យដែលយើងត្រូវការនឹងត្រូវបានទទួល។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺមានលក្ខណៈជាសកល ប៉ុន្តែមានលក្ខណៈពិសេសមួយ។ អ្នកអាចរៀនដោយទំនុកចិត្តពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត (វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស) តាមព្យញ្ជនៈតាំងពីលើកដំបូង - មានក្បួនដោះស្រាយតឹងរ៉ឹងណាស់។ ប៉ុន្តែដើម្បីឱ្យមានអារម្មណ៍ជឿជាក់លើវិធីសាស្ត្រ Gauss អ្នកគួរតែ "បំពេញដៃរបស់អ្នក" និងដោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់ 5-10 ប្រព័ន្ធដប់។ ដូច្នេះដំបូងអាចមានការភ័ន្តច្រឡំ កំហុសក្នុងការគណនា ហើយគ្មានអ្វីចម្លែក ឬសោកនាដកម្មនៅក្នុងរឿងនេះទេ។

អាកាសធាតុរដូវស្លឹកឈើជ្រុះភ្លៀងនៅខាងក្រៅបង្អួច .... ដូច្នេះសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នាឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាងសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ:

ឧទាហរណ៍ ៥

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួន 4 ជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួន 4 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ភារកិច្ចបែបនេះនៅក្នុងការអនុវត្តគឺកម្រណាស់។ ខ្ញុំ​គិត​ថា សូម្បី​តែ​អ្នក​ដែល​បាន​សិក្សា​ទំព័រ​នេះ​យ៉ាង​លម្អិត​ក៏​យល់​ពី​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​បែប​នេះ​ដោយ​វិចារណញាណ។ ជាទូទៅដូចគ្នា - គ្រាន់តែសកម្មភាពបន្ថែមទៀត។

ករណីដែលប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា) ឬមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់ ត្រូវបានពិចារណាក្នុងមេរៀន។ ប្រព័ន្ធ និងប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរួម. នៅទីនោះអ្នកអាចជួសជុលក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិចារណានៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

សូម​ជូនពរ​អ្នក​សំណាង!

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 2៖ ការសម្រេចចិត្ត : ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។
ការផ្លាស់ប្តូរបឋមដែលបានអនុវត្ត៖ (1) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។ យកចិត្តទុកដាក់! នៅទីនេះវាអាចជាការល្បួងឱ្យដកលេខទីមួយចេញពីជួរទីបី ខ្ញុំមិនណែនាំឱ្យដកទេ - ហានិភ័យនៃកំហុសកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំង។ យើងគ្រាន់តែបត់! (2) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (គុណនឹង -1) ។ ខ្សែទីពីរនិងទីបីត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ចំណាំ ថានៅលើ "ជំហាន" យើងពេញចិត្តមិនត្រឹមតែមួយប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងជាមួយ -1 ដែលកាន់តែងាយស្រួល។ (3) ទៅជួរទីបី បន្ថែមជួរទីពីរ គុណនឹង 5 ។ (4) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (គុណនឹង -1) ។ ជួរទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ 14 ។

ចលនាបញ្ច្រាស៖

ចម្លើយ : .

ឧទាហរណ៍ 4៖ ការសម្រេចចិត្ត : ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

ការបំប្លែងបានអនុវត្ត៖ (1) ខ្សែទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីមួយ។ ដូច្នេះឯកតាដែលចង់បានត្រូវបានរៀបចំនៅខាងឆ្វេងខាងលើ "ជំហាន" ។ (2) ជួរទីមួយគុណនឹង 7 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ ជួរទីមួយគុណនឹង 6 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

ជាមួយនឹង "ជំហាន" ទីពីរអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺអាក្រក់ "បេក្ខជន" សម្រាប់វាគឺលេខ 17 និង 23 ហើយយើងត្រូវការមួយឬ -1 ។ ការផ្លាស់ប្តូរ (3) និង (4) នឹងមានគោលបំណងដើម្បីទទួលបានឯកតាដែលចង់បាន (3) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។ (4) ជួរទីបីគុណនឹង -3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ អ្វីដែលចាំបាច់នៅលើជំហានទីពីរត្រូវបានទទួល . (5) ទៅជួរទីបីបន្ថែមទីពីរ គុណនឹង 6 ។ (6) ជួរទីពីរត្រូវបានគុណនឹង -1 ជួរទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ -83 ។

ចលនាបញ្ច្រាស៖

ចម្លើយ :

ឧទាហរណ៍ 5៖ ការសម្រេចចិត្ត : ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

ការបំប្លែងបានអនុវត្ត៖ (1) ខ្សែទីមួយនិងទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ (2) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបួនគុណនឹង -3 ។ (3) ជួរទីពីរគុណនឹង 4 ត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទីបី។ បន្ទាត់ទីពីរគុណនឹង -1 ត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទី 4 ។ (4) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ជួរទីបួនត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ហើយដាក់ជំនួសឱ្យបន្ទាត់ទីបី។ (5) បន្ទាត់ទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទី 4 គុណនឹង -5 ។

ចលនាបញ្ច្រាស៖

ចម្លើយ :

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលត្រូវតែដោះស្រាយ (ស្វែងរកតម្លៃបែបនេះនៃ хi ដែលមិនស្គាល់ដែលបង្វែរសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធទៅជាសមភាព)។

យើងដឹងថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរអាច៖

1) គ្មានដំណោះស្រាយ (ត្រូវ មិនឆបគ្នា។).
2) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។
3) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ដូចដែលយើងចងចាំ ក្បួនរបស់ Cramer និងវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសមិនសមស្របទេ ក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ វិធីសាស្រ្ត Gauss – ឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុត និងអាចប្រើប្រាស់បានសម្រាប់ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ, ដែល ក្នុងគ្រប់ករណីនាំយើងទៅរកចម្លើយ! ក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តនៅក្នុងករណីទាំងបីដំណើរការដូចគ្នា។ ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រ Cramer និង matrix ទាមទារចំណេះដឹងអំពីកត្តាកំណត់ នោះការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Gauss ទាមទារចំណេះដឹងអំពីប្រតិបត្តិការលេខនព្វន្ធតែប៉ុណ្ណោះ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចចូលប្រើបានសូម្បីតែសិស្សសាលាបឋមសិក្សា។

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ( នេះគឺជាម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ - ម៉ាទ្រីសដែលមានតែមេគុណនៃការមិនស្គាល់ បូកនឹងជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ)ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

1) ជាមួយ trokyម៉ាទ្រីស អាច រៀបចំឡើងវិញកន្លែង។

2) ប្រសិនបើមាន (ឬ) សមាមាត្រ (ជាករណីពិសេស - ដូចគ្នា) ជួរនៅក្នុងម៉ាទ្រីស នោះវាដូចខាងក្រោម លុបពីម៉ាទ្រីស ជួរទាំងអស់នេះលើកលែងតែមួយ។

3) ប្រសិនបើជួរសូន្យបានលេចឡើងក្នុងម៉ាទ្រីសកំឡុងពេលបំប្លែង នោះវាក៏ធ្វើតាមដែរ។ លុប.

4) ជួរនៃម៉ាទ្រីសអាច គុណ (ចែក)ទៅលេខណាមួយក្រៅពីសូន្យ។

5) ទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសអ្នកអាចធ្វើបាន បន្ថែមខ្សែអក្សរមួយទៀតគុណនឹងលេខខុសពីសូន្យ។

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្ត Gauss ការបំប្លែងបឋមមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការទេ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss មានពីរដំណាក់កាល៖

1. "ការផ្លាស់ទីដោយផ្ទាល់" - ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមនាំម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរទៅជាទម្រង់ជំហាន "ត្រីកោណ"៖ ធាតុនៃម៉ាទ្រីសពង្រីកដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងធំគឺស្មើនឹងសូន្យ (ការផ្លាស់ទីពីលើចុះក្រោម ) ឧទាហរណ៍ចំពោះប្រភេទនេះ៖

ដើម្បីធ្វើដូចនេះអនុវត្តជំហានដូចខាងក្រោមៈ

1) ចូរយើងពិចារណាសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ហើយមេគុណនៅ x 1 គឺស្មើនឹង K. ទីពីរ ទីបី។ល។ យើងបំប្លែងសមីការដូចខាងក្រោម៖ យើងបែងចែកសមីការនីមួយៗ (មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ រួមទាំងពាក្យឥតគិតថ្លៃ) ដោយមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ x 1 ដែលស្ថិតនៅក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយគុណនឹង K. បន្ទាប់ពីនោះ ដកទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ ( មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ)។ យើងទទួលបាន x 1 ក្នុងសមីការទីពីរ មេគុណ 0។ ពីសមីការបំប្លែងទីបី យើងដកសមីការទីមួយ ដូច្នេះរហូតដល់សមីការទាំងអស់ លើកលែងតែទីមួយ ដែលមិនស្គាល់ x 1 នឹងមិនមានមេគុណ 0 ទេ។

2) បន្តទៅសមីការបន្ទាប់។ សូមឱ្យនេះជាសមីការទីពីរ ហើយមេគុណនៅ x 2 គឺស្មើនឹង M. ជាមួយនឹងសមីការ "រង" ទាំងអស់ យើងបន្តដូចដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។ ដូច្នេះ "ក្រោម" x 2 ដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទាំងអស់នឹងជាសូន្យ។

3) យើងឆ្លងទៅសមីការបន្ទាប់ ហើយបន្តរហូតដល់មួយចុងក្រោយមិនស្គាល់ និងបានបំប្លែងពាក្យសេរីដែលនៅសល់។

1. "ការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស" នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (ចលនា "បាតឡើងលើ")។ ពីសមីការ "ទាប" ចុងក្រោយយើងទទួលបានដំណោះស្រាយដំបូងមួយ - មិនស្គាល់ x n ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដោះស្រាយសមីការបឋម A * x n \u003d B. ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ x 3 \u003d 4. យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការបន្ទាប់ "ខាងលើ" ហើយដោះស្រាយវាទាក់ទងនឹងមិនស្គាល់បន្ទាប់។ ឧទាហរណ៍ x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. ហើយបន្តរហូតដល់យើងរកឃើញអ្វីដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍។

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ដូចដែលអ្នកនិពន្ធខ្លះណែនាំ៖

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

យើងក្រឡេកមើល "ជំហាន" ខាងឆ្វេងខាងលើ។ នៅទីនោះយើងគួរតែមានឯកតា។ បញ្ហាគឺថាគ្មាននរណាម្នាក់នៅក្នុងជួរទីមួយទាល់តែសោះ ដូច្នេះគ្មានអ្វីអាចដោះស្រាយបានដោយការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនោះទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ អង្គភាពត្រូវតែរៀបចំដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ជាធម្មតា នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ តោះធ្វើវាដូចនេះ៖
1 ជំហាន . ទៅជួរទីមួយយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -1 ។ នោះគឺយើងគុណនឹងបន្ទាត់ទីពីរដោយ -1 ហើយអនុវត្តការបន្ថែមនៃបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរខណៈពេលដែលបន្ទាត់ទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ឥឡូវនេះនៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើ "ដកមួយ" ដែលសាកសមនឹងយើងយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ។ អ្នកណាដែលចង់ទទួលបាន +1 អាចធ្វើសកម្មភាពបន្ថែម៖ គុណជួរទីមួយដោយ -1 (ប្តូរសញ្ញារបស់វា)។

2 ជំហាន . ជួរទីមួយគុណនឹង 5 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ បន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង 3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

3 ជំហាន . ជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង -1 ជាគោលការណ៍នេះគឺសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត។ សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីបីក៏ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរហើយផ្លាស់ទីទៅកន្លែងទីពីរដូច្នេះនៅលើ "ជំហានទីពីរ យើងមានឯកតាដែលចង់បាន។

4 ជំហាន . ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង 2 ។

5 ជំហាន . ជួរទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ។

សញ្ញាដែលបង្ហាញពីកំហុសក្នុងការគណនា (មិនសូវមានកំហុសទេ) គឺជាបន្ទាត់ខាងក្រោម "អាក្រក់" ។ នោះគឺប្រសិនបើយើងទទួលបានអ្វីមួយដូចជា (0 0 11 | 23) ខាងក្រោម ហើយយោងទៅតាម 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 បន្ទាប់មកជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ យើងអាចនិយាយបានថា កំហុសមួយបានកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលបឋមសិក្សា។ ការផ្លាស់ប្តូរ។

យើងអនុវត្តការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាស នៅក្នុងការរចនានៃឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធខ្លួនឯងជារឿយៗមិនត្រូវបានសរសេរឡើងវិញទេ ហើយសមីការត្រូវបាន "យកដោយផ្ទាល់ពីម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ" ។ ចលនាបញ្ច្រាស ខ្ញុំរំលឹកអ្នកថា ដំណើរការ "ពីបាតឡើងលើ"។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ អំណោយបានប្រែក្លាយ៖

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1 ដូច្នេះ x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

ចម្លើយ:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d ១.

ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នាដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដែលបានស្នើឡើង។ យើង​ទទួល​បាន

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

ចែកសមីការទីពីរដោយ 5 និងទីបីដោយ 3 ។

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

គុណសមីការទីពីរ និងទីបីដោយ 4 យើងទទួលបាន៖

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

ដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ និងទីបី យើងមាន៖

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

ចែកសមីការទីបីដោយ 0.64៖

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

គុណសមីការទីបីដោយ 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ដកសមីការទីពីរចេញពីសមីការទីបី យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសបន្ថែម "ជំហាន"៖

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ដូច្នេះ ចាប់តាំងពីមានកំហុសកើតឡើងក្នុងដំណើរការនៃការគណនា យើងទទួលបាន x 3 \u003d 0.96 ឬប្រហែល 1 ។

x 2 \u003d 3 និង x 1 \u003d -1 ។

ដោះស្រាយតាមវិធីនេះ អ្នកនឹងមិនដែលច្រឡំក្នុងការគណនាទេ ហើយទោះបីជាមានកំហុសក្នុងការគណនាក៏ដោយ អ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផល។

វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរគឺអាចសរសេរកម្មវិធីបានយ៉ាងងាយស្រួល ហើយមិនគិតពីលក្ខណៈជាក់លាក់នៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់នោះទេ ព្រោះក្នុងការអនុវត្ត (ក្នុងការគណនាសេដ្ឋកិច្ច និងបច្ចេកទេស) ត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយមេគុណដែលមិនមែនជាចំនួនគត់។

សូម​ជូនពរ​អ្នក​សំណាង! ជួបគ្នាក្នុងថ្នាក់! គ្រូ។

blog.site ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

ចាប់តាំងពីដើមសតវត្សទី 16-18 មក គណិតវិទូបានចាប់ផ្ដើមសិក្សាយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់នូវមុខងារ ដោយសារអ្វីដែលបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងច្រើននៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ បច្ចេកវិជ្ជាកុំព្យូទ័រ បើគ្មានចំណេះដឹងនេះ ប្រាកដជាមិនមានទេ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញ សមីការលីនេអ៊ែរ និងមុខងារ គំនិតផ្សេងៗ ទ្រឹស្តីបទ និងបច្ចេកទេសដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្កើតឡើង។ វិធីសាស្រ្ត និងវិធីសាស្រ្តជាសកល និងសមហេតុផលសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងប្រព័ន្ធរបស់ពួកគេគឺវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ម៉ាទ្រីស, ចំណាត់ថ្នាក់របស់ពួកគេ, កត្តាកំណត់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចត្រូវបានគណនាដោយមិនប្រើប្រតិបត្តិការស្មុគស្មាញ។

តើអ្វីទៅជា SLAU

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា មានគោលគំនិតនៃ SLAE - ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ តើនាងតំណាងឱ្យអ្វី? នេះ​ជា​សំណុំ​សមីការ m ជាមួយ​នឹង​ការ​មិន​ស្គាល់ n ដែល​ត្រូវ​ការ ដែល​ជា​ធម្មតា​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ជា x, y, z ឬ x 1 , x 2 ... x n ឬ​និមិត្តសញ្ញា​ផ្សេងទៀត។ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian មានន័យថាស្វែងរករាល់អ្វីដែលមិនស្គាល់។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមួយមានចំនួនមិនស្គាល់ និងសមីការដូចគ្នា នោះវាត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធលំដាប់លេខ។

វិធីសាស្រ្តពេញនិយមបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយ SLAE

នៅក្នុងស្ថាប័នអប់រំនៃការអប់រំមធ្យមសិក្សាវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗនៃការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធបែបនេះកំពុងត្រូវបានសិក្សា។ ភាគច្រើន ទាំងនេះគឺជាសមីការសាមញ្ញដែលមានពីរមិនស្គាល់ ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រដែលមានស្រាប់សម្រាប់ការស្វែងរកចម្លើយចំពោះពួកវានឹងមិនចំណាយពេលច្រើនទេ។ វាអាចដូចជាវិធីសាស្រ្តជំនួសមួយ នៅពេលដែលសមីការមួយផ្សេងទៀតបានមកពីសមីការមួយ ហើយជំនួសទៅជាសមីការដើម។ ឬពាក្យដោយដក និងបូក។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានចាត់ទុកថាងាយស្រួលបំផុត និងជាសកលបំផុត។ វាធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់ណាមួយ។ ហេតុអ្វីបានជាបច្ចេកទេសនេះចាត់ទុកថាសមហេតុផល? អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ។ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសគឺល្អព្រោះវាមិនត្រូវការច្រើនដងដើម្បីសរសេរតួអក្សរដែលមិនចាំបាច់ឡើងវិញក្នុងទម្រង់មិនស្គាល់វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីធ្វើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើមេគុណ - ហើយអ្នកនឹងទទួលបានលទ្ធផលគួរឱ្យទុកចិត្ត។

តើ SLAEs ប្រើក្នុងការអនុវត្តនៅឯណា?

ដំណោះស្រាយនៃ SLAE គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នៅលើក្រាហ្វនៃមុខងារ។ នៅក្នុងយុគសម័យកុំព្យូទ័របច្ចេកវិទ្យាខ្ពស់របស់យើង មនុស្សដែលចូលរួមយ៉ាងជិតស្និទ្ធក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ហ្គេម និងកម្មវិធីផ្សេងទៀតត្រូវដឹងពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធបែបនេះ អ្វីដែលពួកគេតំណាង និងរបៀបពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលលទ្ធផល។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ អ្នកសរសេរកម្មវិធីបង្កើតម៉ាស៊ីនគណនាពិជគណិតលីនេអ៊ែរពិសេស នេះរួមបញ្ចូលទាំងប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាដំណោះស្រាយដែលមានស្រាប់ទាំងអស់។ រូបមន្ត និងបច្ចេកទេសសាមញ្ញផ្សេងទៀតក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ផងដែរ។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យភាពឆបគ្នា SLAE

ប្រព័ន្ធបែបនេះអាចដោះស្រាយបានលុះត្រាតែវាត្រូវគ្នា។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងបង្ហាញ SLAE ក្នុងទម្រង់ Ax=b ។ វាមានដំណោះស្រាយប្រសិនបើ rang(A) ស្មើនឹង rang(A,b)។ ក្នុងករណីនេះ (A,b) គឺជាម៉ាទ្រីសទម្រង់បន្ថែមដែលអាចទទួលបានពីម៉ាទ្រីស A ដោយសរសេរវាឡើងវិញជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ វាប្រែថាការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺងាយស្រួលណាស់។

ប្រហែលជាសញ្ញាណខ្លះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងទេ ដូច្នេះហើយ ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយប្រើឧទាហរណ៍។ ឧបមាថាមានប្រព័ន្ធ៖ x+y=1; 2x−3y=6។ វា​មាន​សមីការ​តែ​ពីរ​ដែល​មាន 2 មិនស្គាល់។ ប្រព័ន្ធនឹងមានដំណោះស្រាយលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសរបស់វាស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម។ តើចំណាត់ថ្នាក់ជាអ្វី? នេះគឺជាចំនួនបន្ទាត់ឯករាជ្យនៃប្រព័ន្ធ។ ក្នុងករណីរបស់យើង ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ 2. ម៉ាទ្រីស A នឹងមានមេគុណដែលមានទីតាំងនៅជិតមិនស្គាល់ ហើយមេគុណនៅពីក្រោយសញ្ញា "=" ក៏នឹងសមទៅនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកផងដែរ។

ហេតុអ្វីបានជា SLAE អាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស

ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យភាពត្រូវគ្នានេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ដែលបានបង្ហាញឱ្យឃើញ ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian cascade អ្នកអាចដោះស្រាយម៉ាទ្រីស និងទទួលបានចម្លើយដែលអាចទុកចិត្តបានតែមួយគត់សម្រាប់ប្រព័ន្ធទាំងមូល។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសធម្មតាគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីករបស់វា ប៉ុន្តែតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ នោះប្រព័ន្ធមានចម្លើយគ្មានកំណត់។

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីស

មុននឹងបន្តទៅការដោះស្រាយម៉ាទ្រីស វាចាំបាច់ត្រូវដឹងថាសកម្មភាពអ្វីខ្លះដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តលើធាតុរបស់វា។ មានការផ្លាស់ប្តូរបឋមជាច្រើន៖

• ដោយការសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញទៅជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស និងអនុវត្តដំណោះស្រាយរបស់វា វាអាចគុណធាតុទាំងអស់នៃស៊េរីដោយមេគុណដូចគ្នា។
• ដើម្បីបំប្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical ជួរដេកប៉ារ៉ាឡែលពីរអាចត្រូវបានប្តូរ។ ទម្រង់ Canonical បង្កប់ន័យថាធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសដែលមានទីតាំងនៅតាមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ក្លាយជាធាតុមួយ ហើយធាតុដែលនៅសល់ក្លាយជាសូន្យ។
• ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកប៉ារ៉ាឡែលនៃម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានបន្ថែមមួយទៅមួយទៀត។

វិធីសាស្រ្ត Jordan-Gauss

ខ្លឹមសារនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងសមីការមិនដូចគ្នាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺដើម្បីលុបបំបាត់បន្តិចម្តងៗនូវអ្វីដែលមិនស្គាល់។ ចូរនិយាយថាយើងមានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលក្នុងនោះមានពីរមិនស្គាល់។ ដើម្បីស្វែងរកពួកវា អ្នកត្រូវពិនិត្យមើលប្រព័ន្ធសម្រាប់ភាពឆបគ្នា។ សមីការ Gaussian ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរមេគុណដែលនៅជិតមិនស្គាល់នីមួយៗក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស។ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ អ្នកត្រូវសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម។ ប្រសិនបើសមីការមួយក្នុងចំណោមសមីការមានចំនួនមិនស្គាល់តិចជាងនោះ "0" ត្រូវតែដាក់ជំនួសធាតុដែលបាត់។ វិធីសាស្រ្តបំប្លែងដែលគេស្គាល់ទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តចំពោះម៉ាទ្រីស៖ គុណ ចែកដោយលេខ បន្ថែមធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកទៅគ្នាទៅវិញទៅមក និងផ្សេងទៀត។ វាប្រែថាក្នុងជួរនីមួយៗវាចាំបាច់ក្នុងការទុកអថេរមួយដែលមានតម្លៃ "1" នៅសល់គួរតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅសូន្យ។ សម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែត្រឹមត្រូវ ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាវិធីសាស្ត្រ Gauss ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 2x2

ដើម្បីចាប់ផ្តើម ចូរយើងយកប្រព័ន្ធសាមញ្ញនៃសមីការពិជគណិត ដែលក្នុងនោះនឹងមាន 2 មិនស្គាល់។

ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងម៉ាទ្រីសបន្ថែម។

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរនេះ មានតែប្រតិបត្តិការពីរប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានទាមទារ។ យើងត្រូវនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical ដូច្នេះមានឯកតាតាមអង្កត់ទ្រូងមេ។ ដូច្នេះ ការបកប្រែពីទម្រង់ម៉ាទ្រីសត្រឡប់ទៅប្រព័ន្ធវិញ យើងទទួលបានសមីការ៖ 1x+0y=b1 និង 0x+1y=b2 ដែល b1 និង b2 គឺជាចម្លើយដែលទទួលបានក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ។

1. ជំហានដំបូងក្នុងការដោះស្រាយម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនឹងមានដូចខាងក្រោម៖ ជួរទីមួយត្រូវតែគុណនឹង -7 ហើយធាតុដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីររៀងៗខ្លួន ដើម្បីកម្ចាត់មួយដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទីពីរ។
2. ដោយសារដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss បង្កប់ន័យនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ Canonical នោះចាំបាច់ត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការដូចគ្នាជាមួយនឹងសមីការទីមួយ ហើយដកអថេរទីពីរចេញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងដកជួរទីពីរពីទីមួយហើយទទួលបានចម្លើយចាំបាច់ - ដំណោះស្រាយនៃ SLAE ។ ឬដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប យើងគុណជួរទីពីរដោយកត្តានៃ -1 ហើយបន្ថែមធាតុនៃជួរទីពីរទៅជួរទីមួយ។ នេះគឺដូចគ្នា។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញប្រព័ន្ធរបស់យើងត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss ។ យើងសរសេរវាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវការ៖ x=-5, y=7 ។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយ SLAE 3x3

ឧបមាថាយើងមានប្រព័ន្ធស្មុគស្មាញនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss ធ្វើឱ្យវាអាចគណនាចម្លើយបាន សូម្បីតែប្រព័ន្ធដែលមើលទៅហាក់ដូចជាមានការភ័ន្តច្រឡំបំផុត។ ដូច្នេះ ដើម្បី​ស្វែងយល់​កាន់តែ​ស៊ីជម្រៅ​ទៅ​ក្នុង​វិធីសាស្ត្រ​គណនា យើង​អាច​បន្ត​ទៅ​ឧទាហរណ៍​ស្មុគ​ស្មាញ​ជាមួយ​នឹង​ចំនួន​បី​ដែល​មិន​ស្គាល់។

ដូចក្នុងឧទាហរណ៍មុន យើងសរសេរប្រព័ន្ធឡើងវិញក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសពង្រីក ហើយចាប់ផ្តើមនាំវាទៅជាទម្រង់ Canonical ។

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ អ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពច្រើនជាងក្នុងឧទាហរណ៍មុន។

1. ដំបូង​អ្នក​ត្រូវ​ធ្វើ​នៅ​ក្នុង​ជួរ​ឈរ​ដំបូង​មួយ​ធាតុ​តែ​មួយ ហើយ​សូន្យ​នៅសល់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណសមីការទីមួយដោយ -1 ហើយបន្ថែមសមីការទីពីរទៅវា។ វាជាការសំខាន់ក្នុងការចងចាំថាយើងសរសេរឡើងវិញនូវបន្ទាត់ទីមួយនៅក្នុងទម្រង់ដើមរបស់វាហើយទីពីរ - រួចហើយនៅក្នុងទម្រង់ដែលបានកែប្រែ។
2. បន្ទាប់​មក យើង​ដក​លេខ​ដែល​មិនស្គាល់​ដំបូង​ចេញ​ពី​សមីការ​ទី​បី។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគុណធាតុនៃជួរទីមួយដោយ -2 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីបី។ ឥឡូវនេះបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរត្រូវបានសរសេរឡើងវិញនៅក្នុងទម្រង់ដើមរបស់ពួកគេហើយទីបី - រួចហើយជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញពីលទ្ធផលយើងទទួលបានទីមួយនៅដើមអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីសហើយនៅសល់គឺសូន្យ។ សកម្មភាពមួយចំនួនទៀត និងប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss នឹងត្រូវបានដោះស្រាយដោយភាពជឿជាក់។
3. ឥឡូវអ្នកត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការលើធាតុផ្សេងទៀតនៃជួរដេក។ ជំហាន​ទី​បី និង​ទី​បួន​អាច​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​ជា​មួយ។ យើងត្រូវបែងចែកជួរទីពីរ និងទីបីដោយ -1 ដើម្បីកម្ចាត់អវិជ្ជមាននៅលើអង្កត់ទ្រូង។ យើង​បាន​នាំ​យក​ជួរ​ទី​បី​ទៅ​ទម្រង់​តម្រូវ​ការ​រួច​ហើយ។
4. បន្ទាប់មកយើងធ្វើ canonicalize ជួរទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគុណធាតុនៃជួរទីបីដោយ -3 ហើយបន្ថែមពួកវាទៅជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីលទ្ធផលដែលបន្ទាត់ទីពីរក៏ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ដែលយើងត្រូវការ។ វានៅសល់ដើម្បីធ្វើប្រតិបត្តិការពីរបីទៀត ហើយដកមេគុណនៃមិនស្គាល់ចេញពីជួរទីមួយ។
5. ដើម្បីបង្កើត 0 ពីធាតុទីពីរនៃជួរដេក អ្នកត្រូវគុណជួរទីបីដោយ -3 ហើយបន្ថែមវាទៅជួរទីមួយ។
6. ជំហានសម្រេចចិត្តបន្ទាប់គឺត្រូវបន្ថែមធាតុចាំបាច់នៃជួរទីពីរទៅជួរទីមួយ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានទម្រង់ Canonical នៃម៉ាទ្រីស ហើយតាមនោះ ចម្លើយ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺសាមញ្ញណាស់។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ 4x4 នៃសមីការ

ប្រព័ន្ធសមីការស្មុគ្រស្មាញមួយចំនួនអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដោយប្រើកម្មវិធីកុំព្យូទ័រ។ វាចាំបាច់ដើម្បីជំរុញមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ទៅក្នុងក្រឡាទទេដែលមានស្រាប់ ហើយកម្មវិធីនឹងគណនាលទ្ធផលដែលត្រូវការជាជំហានៗ ដោយពណ៌នាអំពីសកម្មភាពនីមួយៗយ៉ាងលម្អិត។

ការណែនាំជាជំហាន ៗ សម្រាប់ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍បែបនេះត្រូវបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។

នៅក្នុងជំហានដំបូង មេគុណឥតគិតថ្លៃ និងលេខសម្រាប់មិនស្គាល់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងក្រឡាទទេ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសបន្ថែមដូចគ្នា ដែលយើងសរសេរដោយដៃ។

ហើយប្រតិបត្តិការនព្វន្ធចាំបាច់ទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីនាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកទៅជាទម្រង់ Canonical ។ វាត្រូវតែយល់ថា ចម្លើយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការមិនតែងតែជាចំនួនគត់នោះទេ។ ជួនកាលដំណោះស្រាយអាចមកពីលេខប្រភាគ។

ពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយ

វិធីសាស្ត្រ Jordan-Gauss ផ្តល់សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផល។ ដើម្បីរកមើលថាតើមេគុណត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវអ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសលទ្ធផលទៅក្នុងប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ។ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវតែផ្គូផ្គងផ្នែកខាងស្តាំ ដែលនៅពីក្រោយសញ្ញាស្មើ។ ប្រសិនបើចម្លើយមិនត្រូវគ្នា នោះអ្នកត្រូវគណនាប្រព័ន្ធឡើងវិញ ឬព្យាយាមអនុវត្តវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតនៃការដោះស្រាយ SLAE ដែលអ្នកស្គាល់ ដូចជាការជំនួស ឬការដកតាមកាលកំណត់ និងការបូកបន្ថែម។ យ៉ាងណាមិញ គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលមានវិធីសាស្រ្តដោះស្រាយផ្សេងៗគ្នាយ៉ាងច្រើន។ ប៉ុន្តែត្រូវចាំថា លទ្ធផលគួរតែដូចគ្នាជានិច្ច មិនថាអ្នកបានប្រើវិធីដំណោះស្រាយបែបណានោះទេ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss៖ កំហុសទូទៅបំផុតក្នុងការដោះស្រាយ SLAE

ក្នុងអំឡុងពេលនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនៃសមីការ កំហុសភាគច្រើនកើតឡើងជាញឹកញាប់ ដូចជាការផ្ទេរមេគុណមិនត្រឹមត្រូវទៅជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។ មានប្រព័ន្ធដែលមិនស្គាល់មួយចំនួនត្រូវបានបាត់នៅក្នុងសមីការមួយ បន្ទាប់មកការផ្ទេរទិន្នន័យទៅម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក ពួកគេអាចបាត់បង់។ ជាលទ្ធផលនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធនេះ លទ្ធផលអាចនឹងមិនឆ្លើយតបទៅនឹងការពិតនោះទេ។

កំហុសចំបងមួយទៀតអាចជាការសរសេរមិនត្រឹមត្រូវនូវលទ្ធផលចុងក្រោយ។ វាត្រូវតែយល់យ៉ាងច្បាស់ថាមេគុណទីមួយនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងមិនស្គាល់ដំបូងពីប្រព័ន្ធទីពីរ - ទៅទីពីរហើយដូច្នេះនៅលើ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss ពិពណ៌នាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ សូមអរគុណដល់គាត់វាងាយស្រួលក្នុងការធ្វើប្រតិបត្តិការចាំបាច់និងស្វែងរកលទ្ធផលត្រឹមត្រូវ។ លើសពីនេះទៀតនេះគឺជាឧបករណ៍សកលសម្រាប់ការស្វែងរកចម្លើយដែលអាចទុកចិត្តបានចំពោះសមីការនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយ។ ប្រហែលជានោះហើយជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយ SLAE ។