ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

វិធីសាស្ត្រ Gaussian មានគុណវិបត្តិមួយចំនួន៖ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដឹងថាតើប្រព័ន្ធមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាឬអត់រហូតដល់ការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ដែលចាំបាច់នៅក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gaussian ត្រូវបានអនុវត្ត។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian មិនសមរម្យសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណអក្សរទេ។

ពិចារណាវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះប្រើគំនិតនៃចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស និងកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធរួមគ្នាណាមួយទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដែលច្បាប់របស់ Cramer អនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរខាងក្រោមដោយប្រើប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នាដែលបានកាត់បន្ថយ និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃប្រព័ន្ធ inhomogeneous ។

1. យើងបង្កើតម៉ាទ្រីស កនិងម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ (1)

2. រុករកប្រព័ន្ធ (1) សម្រាប់ភាពឆបគ្នា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស កនិង https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">)) ប្រសិនបើវាប្រែថា នោះប្រព័ន្ធ (1) មិនឆបគ្នា។ ប្រសិនបើយើងទទួលបាននោះ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនេះគឺស្រប ហើយយើងនឹងដោះស្រាយវា។ (ការសិក្សាអំពីភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាគឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli)។

ក. យើង​ស្វែងរក rA.

ដើម្បីស្វែងរក rAយើងនឹងពិចារណាជាបន្តបន្ទាប់នូវអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ទីមួយ ទីពីរ។ល។ នៃម៉ាទ្រីស កនិងអនីតិជនជុំវិញពួកគេ។

ម១=1≠0 (1 ត្រូវបានយកចេញពីជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ).

ព្រំដែន ម១ជួរទីពីរ និងជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីសនេះ។ . យើងបន្តទៅព្រំដែន ម១ជួរទីពីរ និងជួរទីបី..gif" width="37" height="20 src=">។ ឥឡូវនេះយើងដាក់ព្រំដែនអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យ ម២′លំដាប់ទីពីរ។

យើង​មាន: (ព្រោះ​ជួរ​ឈរ​ពីរ​ដំបូង​គឺ​ដូច​គ្នា​)

(ព្រោះ​បន្ទាត់​ទី​ពីរ​និង​ទី​បី​មាន​សមាមាត្រ)។

យើងឃើញនោះ។ rA=2និងជាអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស ក.

ខ. យើង​ស្វែងរក ។

អនីតិជនមូលដ្ឋានគ្រប់គ្រាន់ ម២′ម៉ាទ្រីស កព្រំដែន​ជាមួយ​ជួរ​ឈរ​នៃ​សមាជិក​ដោយ​ឥត​គិត​ថ្លៃ​និង​បន្ទាត់​ទាំងអស់ (យើង​មាន​តែ​បន្ទាត់​ចុង​ក្រោយ​) ។

. វាធ្វើតាមពីនេះ។ ម៣′នៅតែជាអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

ដោយសារតែ ម២′- អនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស កប្រព័ន្ធ (2) បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ (3) ដែលរួមមានសមីការពីរដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (2) (សម្រាប់ ម២′ស្ថិតនៅក្នុងជួរពីរដំបូងនៃម៉ាទ្រីស A) ។

(3)

ដោយសារអនីតិជនជាមូលដ្ឋានគឺ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ មិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃចំនួនពីរ ( x2 និង x4 ) នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល FSR ប្រព័ន្ធ (4) មានដំណោះស្រាយពីរ។ ដើម្បីស្វែងរកពួកវា យើងកំណត់ឱ្យអ្នកដែលមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ (4) តម្លៃដំបូង x2=1 , x4=0 , ហើយ​បន្ទាប់​មក - x2=0 , x4=1 .

នៅ x2=1 , x4=0 យើង​ទទួល​បាន:

.

ប្រព័ន្ធនេះមានរួចហើយ រឿង​តែ​មួយ​គត់ ដំណោះស្រាយ (វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយច្បាប់របស់ Cramer ឬដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត) ។ ដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន៖

ការសម្រេចចិត្តរបស់នាងនឹងត្រូវបាន x1= -1 , x3=0 . បានផ្តល់តម្លៃ x2 និង x4 ដែលយើងបានផ្តល់ឲ្យ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (2) : .

ឥឡូវនេះយើងដាក់ (4) x2=0 , x4=1 . យើង​ទទួល​បាន:

.

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer៖

.

យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (2) : .

ដំណោះស្រាយ β1 , β2 និងធ្វើឱ្យឡើង FSR ប្រព័ន្ធ (2) . បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វានឹងមាន

γ= គ១ β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

នៅទីនេះ គ១ , គ២ គឺជាអថេរបំពាន។

4. ស្វែងរកមួយ។ ឯកជន ដំណោះស្រាយ ប្រព័ន្ធចម្រុះ(1) . ដូចនៅក្នុងកថាខណ្ឌ 3 ជំនួសឱ្យប្រព័ន្ធ (1) ពិចារណាប្រព័ន្ធសមមូល (5) ដែលរួមមានសមីការពីរដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (1) .

(5)

យើងផ្ទេរការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំ x2និង x4.

(6)

សូមអោយអ្នកមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ x2 និង x4 តម្លៃបំពាន ឧទាហរណ៍ x2=2 , x4=1 ហើយដោតពួកវាចូល (6) . ចូរយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ

ប្រព័ន្ធនេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (ដោយសារតែកត្តាកំណត់របស់វា។ ម២′០) ការដោះស្រាយវា (ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Cramer ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss) យើងទទួលបាន x1=3 , x3=3 . ផ្តល់តម្លៃនៃមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ x2 និង x4 , យើង​ទទួល​បាន ដំណោះស្រាយពិសេសនៃប្រព័ន្ធ inhomogeneous(1)α1=(3,2,3,1)។

5. ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីសរសេរ ដំណោះស្រាយទូទៅαនៃប្រព័ន្ធ inhomogeneous(1) ៖ វាស្មើនឹងផលបូក ការសម្រេចចិត្តឯកជនប្រព័ន្ធនេះនិង ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធកាត់បន្ថយភាពដូចគ្នារបស់វា។ (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)។

នេះ​មានន័យថា: (7)

6. ការប្រឡង។ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើអ្នកបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធត្រឹមត្រូវឬអត់ (1) យើងត្រូវការដំណោះស្រាយទូទៅ (7) ជំនួសនៅក្នុង (1) . ប្រសិនបើសមីការនីមួយៗក្លាយជាអត្តសញ្ញាណ ( គ១ និង គ២ គួរតែត្រូវបានបំផ្លាញ) បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

យើងនឹងជំនួស (7) ឧទាហរណ៍ មានតែនៅក្នុងសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

យើងទទួលបាន៖ (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

កន្លែងណា -1=-1 ។ យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណមួយ។ យើងធ្វើដូចនេះជាមួយសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (1) .

មតិយោបល់។ការផ្ទៀងផ្ទាត់ជាធម្មតាមានភាពស្មុគស្មាញណាស់។ យើងអាចណែនាំ "ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្នែក" ខាងក្រោម: នៅក្នុងដំណោះស្រាយរួមនៃប្រព័ន្ធ (1) កំណត់តម្លៃមួយចំនួនទៅអថេរតាមអំពើចិត្ត ហើយជំនួសដំណោះស្រាយលទ្ធផលជាក់លាក់ទៅក្នុងសមីការដែលបានបោះបង់ចោល (ឧ. ចូលទៅក្នុងសមីការទាំងនោះពី (1) ដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង (5) ) ប្រសិនបើអ្នកទទួលបានអត្តសញ្ញាណបន្ទាប់មក ភាគ​ច្រើន​ទំនង, ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (1) បានរកឃើញត្រឹមត្រូវ (ប៉ុន្តែការត្រួតពិនិត្យបែបនេះមិនផ្តល់ការធានាពេញលេញនៃភាពត្រឹមត្រូវទេ!) ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើនៅក្នុង (7) ដាក់ C2=- 1 , C1=1បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0 ។ ការជំនួសទៅក្នុងសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ (1) យើងមាន៖ - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ឧ. −1=–1 ។ យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណមួយ។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ (1) បង្ហាញពីការមិនស្គាល់សំខាន់ៗនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការឥតគិតថ្លៃ។

ដំណោះស្រាយ។ដូច​ជា​នៅ​ក្នុង ឧទាហរណ៍ 1, ផ្សំម៉ាទ្រីស កនិង https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">នៃម៉ាទ្រីសទាំងនេះ។ ឥឡូវនេះ យើងទុកតែសមីការនៃប្រព័ន្ធ (1) មេគុណដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងអនីតិជនមូលដ្ឋាននេះ (ឧ. យើងមានសមីការពីរដំបូង) ហើយពិចារណាប្រព័ន្ធដែលមានពួកវា ដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធ (1)។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទេរការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទាំងនេះ។

ប្រព័ន្ធ (9) យើងដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដោយពិចារណាផ្នែកត្រឹមត្រូវថាជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ជម្រើសទី 2 ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ជម្រើសទី 4 ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ជម្រើសទី 5 ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ជម្រើសទី 6 ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

នៅក្នុងមេរៀន វិធីសាស្រ្ត Gaussនិង ប្រព័ន្ធ/ប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរួមយើងបានពិចារណា ប្រព័ន្ធ inhomogeneous នៃសមីការលីនេអ៊ែរកន្លែងណា សមាជិកឥតគិតថ្លៃ(ដែលជាធម្មតានៅខាងស្តាំ) យ៉ាងហោចណាស់​មួយនៃសមីការគឺខុសពីសូន្យ។
ហើយឥឡូវនេះបន្ទាប់ពីការឡើងកំដៅផែនដីដ៏ល្អជាមួយ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសយើងនឹងបន្តកែលម្អបច្ចេកទេស ការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៅ​លើ ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ.
យោងតាមកថាខណ្ឌទីមួយ សម្ភារៈអាចមើលទៅគួរឱ្យធុញ និងសាមញ្ញ ប៉ុន្តែចំណាប់អារម្មណ៍នេះគឺបោកបញ្ឆោត។ វានឹងមានព័ត៌មានថ្មីៗជាច្រើនបន្ថែមពីលើការអភិវឌ្ឍន៍បច្ចេកទេសបន្ថែមទៀត ដូច្នេះសូមព្យាយាមកុំធ្វេសប្រហែសឧទាហរណ៍ក្នុងអត្ថបទនេះ។

តើប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរជាអ្វី?

ចម្លើយណែនាំខ្លួនឯង។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺដូចគ្នា ប្រសិនបើពាក្យសេរី គ្រប់គ្នាសមីការប្រព័ន្ធគឺសូន្យ។ ឧទាហរណ៍:

វាច្បាស់ណាស់ថា ប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺតែងតែស្របនោះគឺវាតែងតែមានដំណោះស្រាយ។ ហើយជាដំបូងនៃការទាំងអស់ដែលហៅថា តូចតាចដំណោះស្រាយ . Trivial សម្រាប់​អ្នក​ដែល​មិន​យល់​ពី​អត្ថន័យ​នៃ adjective ទាល់​តែ​សោះ មាន​ន័យ​ថា bespontove។ មិន​មែន​ជា​ការ​សិក្សា​ទេ ប៉ុន្តែ​ដោយ​ប្រាជ្ញា =) ... ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​វាយ​នៅ​ជុំវិញ​គុម្ពោត ចូរ​យើង​រក​មើល​ថា​តើ​ប្រព័ន្ធ​នេះ​មាន​ដំណោះស្រាយ​អ្វី​ផ្សេង​ទៀត៖

ឧទាហរណ៍ ១

ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បី​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​ដូចគ្នា​វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​សរសេរ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធហើយដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមនាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។ ចំណាំថាមិនចាំបាច់សរសេររបារបញ្ឈរ និងជួរឈរសូន្យនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃនៅទីនេះទេ ពីព្រោះអ្វីដែលអ្នកធ្វើជាមួយសូន្យ ពួកគេនឹងនៅតែសូន្យ៖

(1) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -3 ។

(2) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។

ការបែងចែកជួរទីបីដោយ 3 មិនមានន័យច្រើនទេ។

ជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធដូចគ្នាត្រូវបានទទួល ហើយដោយអនុវត្តការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាដំណោះស្រាយគឺមានតែមួយគត់។

ចម្លើយ:

ចូរយើងបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យជាក់ស្តែងមួយ។៖ ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរមាន ដំណោះស្រាយតូចតាចតែប៉ុណ្ណោះ, ប្រសិនបើ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ(ក្នុងករណីនេះ 3) គឺស្មើនឹងចំនួនអថេរ (ក្នុងករណីនេះ 3 pcs ។ )

យើង​កម្តៅ​ខ្លួន និង​សម្រួល​វិទ្យុ​របស់​យើង​ទៅ​នឹង​រលក​នៃ​ការ​បំប្លែង​បឋម៖

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ពីអត្ថបទ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមួយ?យើងរំលឹកឡើងវិញនូវវិធីសាស្ត្រសមហេតុផលនៃការកាត់បន្ថយចំនួនម៉ាទ្រីសដោយចៃដន្យ។ បើមិនដូច្នេះទេ អ្នកនឹងត្រូវស៊ីសាច់ធំ ហើយជារឿយៗខាំត្រី។ ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

សូន្យគឺល្អ និងងាយស្រួល ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត ករណីនេះគឺជារឿងធម្មតាជាងនៅពេលដែលជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ. ហើយបន្ទាប់មករូបរាងនៃដំណោះស្រាយទូទៅគឺជៀសមិនរួច:

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដំណោះស្រាយ៖ យើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋម យើងនាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។ សកម្មភាពទីមួយគឺសំដៅមិនត្រឹមតែដើម្បីទទួលបានតម្លៃតែមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងកាត់បន្ថយលេខនៅក្នុងជួរទីមួយផងដែរ៖

(1) ជួរទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីមួយគុណនឹង -1 ។ ជួរទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរគុណនឹង -2 ។ នៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេង ខ្ញុំទទួលបានឯកតាដែលមាន "ដក" ដែលច្រើនតែងាយស្រួលសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀត។

(2) ខ្សែពីរដំបូងគឺដូចគ្នា មួយក្នុងចំណោមពួកវាត្រូវបានដកចេញ។ និយាយតាមត្រង់ទៅ ខ្ញុំមិនបានកែសម្រួលការសម្រេចចិត្តទេ - វាបានកើតឡើង។ ប្រសិនបើអ្នកអនុវត្តការបំប្លែងនៅក្នុងគំរូមួយ បន្ទាប់មក ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរបន្ទាត់នឹងបង្ហាញបន្តិចក្រោយមក។

(3) ទៅជួរទីបី បន្ថែមជួរទីពីរ គុណនឹង 3 ។

(4) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីមួយត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ប្រព័ន្ធសមមូលមួយត្រូវបានទទួល៖

ក្បួនដោះស្រាយដំណើរការដូចគ្នាទៅនឹងសម្រាប់ ប្រព័ន្ធចម្រុះ. អថេរ "អង្គុយលើជំហាន" គឺជាធាតុសំខាន់ អថេរដែលមិនទទួលបាន "ជំហាន" គឺឥតគិតថ្លៃ។

យើងបង្ហាញអថេរជាមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

ចម្លើយការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

ដំណោះស្រាយមិនសំខាន់ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងរូបមន្តទូទៅ ហើយវាមិនចាំបាច់ក្នុងការសរសេរវាដោយឡែកពីគ្នានោះទេ។

ការផ្ទៀងផ្ទាត់ក៏ត្រូវបានអនុវត្តតាមគ្រោងការណ៍ធម្មតាដែរ៖ ដំណោះស្រាយលទ្ធផលទូទៅត្រូវតែជំនួសនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ ហើយលេខសូន្យស្របច្បាប់ត្រូវបានទទួលសម្រាប់ការជំនួសទាំងអស់។

នេះអាចបញ្ចប់ដោយស្ងាត់ៗ ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការដូចគ្នាជារឿយៗចាំបាច់ត្រូវតំណាងឱ្យ ក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រដោយប្រើ ប្រព័ន្ធការសម្រេចចិត្តជាមូលដ្ឋាន. សូមបំភ្លេចចោលជាបណ្តោះអាសន្ន ធរណីមាត្រវិភាគចាប់តាំងពីពេលនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីវ៉ិចទ័រក្នុងន័យពិជគណិតទូទៅ ដែលខ្ញុំបានបើកបន្តិចនៅក្នុងអត្ថបទអំពី ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស. វាក្យសព្ទមិនចាំបាច់ក្នុងការដាក់ស្រមោលអ្វីទាំងអស់គឺសាមញ្ញណាស់។

ឧទាហរណ៍ 1 ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងប្រព័ន្ធមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃដំណោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធ

ដំណោះស្រាយស្វែងរកជាមួយម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ ក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយគឺដូចគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ។
ដំណើរការតែជាមួយជួរ យើងរកឃើញចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ដែលជាអនីតិជនមូលដ្ឋាន។ យើងប្រកាសការមិនស្គាល់ដែលពឹងផ្អែក និងឥតគិតថ្លៃ ហើយស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ។


បន្ទាត់ទីមួយ និងទីពីរគឺសមាមាត្រ មួយក្នុងចំណោមពួកវានឹងត្រូវបានលុប៖

.
អថេរអាស្រ័យ - x 2, x 3, x 5, ឥតគិតថ្លៃ - x 1, x 4 ។ ពីសមីការទីមួយ 10x 5 = 0 យើងរកឃើញ x 5 = 0 បន្ទាប់មក
; .
ដំណោះស្រាយទូទៅមើលទៅដូចនេះ៖

យើងរកឃើញប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ ដែលរួមមានដំណោះស្រាយ (n-r)។ ក្នុងករណីរបស់យើង n=5, r=3 ដូច្នេះប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយមានដំណោះស្រាយពីរ ហើយដំណោះស្រាយទាំងនេះត្រូវតែឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ សម្រាប់​ជួរ​ដេក​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ វា​ជា​ការ​ចាំបាច់ និង​គ្រប់គ្រាន់​ដែល​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​ផ្សំ​ឡើង​ដោយ​ធាតុ​នៃ​ជួរ​ដេក​គឺ​ស្មើ​នឹង​ចំនួន​ជួរ​ដេក ពោល​គឺ 2. វា​គ្រប់គ្រាន់​ដើម្បី​ផ្តល់​ចំនួន​មិនស្គាល់​ដោយ​សេរី x 1 និង x តម្លៃ 4 ពីជួរដេកនៃកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទីពីរ ដែលខុសពីសូន្យ ហើយគណនា x 2 , x 3 , x 5 ។ កត្តាកំណត់មិនសូន្យសាមញ្ញបំផុតគឺ។
ដូច្នេះដំណោះស្រាយដំបូងគឺ៖ ទីពីរ - .
ការសម្រេចចិត្តទាំងពីរនេះបង្កើតជាប្រព័ន្ធសម្រេចចិត្តជាមូលដ្ឋាន។ ចំណាំថាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋានមិនមានតែមួយទេ (កត្តាកំណត់ក្រៅពីសូន្យអាចត្រូវបានផ្សំតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត)។

ឧទាហរណ៍ 2 ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ
ដំណោះស្រាយ។



,
វាធ្វើតាមថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ 3 និងស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់។ នេះមានន័យថាប្រព័ន្ធមិនមានការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃទេ ដូច្នេះហើយមានដំណោះស្រាយពិសេសមួយ - ជារឿងតូចតាចមួយ។

លំហាត់ប្រាណ។ ស្វែងយល់ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។
ឧទាហរណ៍ 4

លំហាត់ប្រាណ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់សម្រាប់ប្រព័ន្ធនីមួយៗ។
ដំណោះស្រាយ។យើងសរសេរម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖

5 -2 9 -4 -1
1 4 2 2 -5
6 2 11 -2 -6
x ១x2x ៣x4x5

យើងនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។ យើងនឹងធ្វើការតែជាមួយជួរដេកប៉ុណ្ណោះ ចាប់តាំងពីការគុណជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសដោយចំនួនមិនមែនសូន្យ ហើយបន្ថែមវាទៅជួរផ្សេងទៀតសម្រាប់ប្រព័ន្ធមានន័យថាគុណសមីការដោយលេខដូចគ្នា ហើយបន្ថែមវាទៅសមីការមួយផ្សេងទៀត ដែលមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយ នៃប្រព័ន្ធ។
គុណជួរទី 2 ដោយ (-5) ។ ចូរយើងបន្ថែមជួរទី 2 ទៅទី 1៖
0 -22 -1 -14 24
1 4 2 2 -5
6 2 11 -2 -6

គុណជួរទី 2 ដោយ (6) ។ គុណជួរទី 3 ដោយ (-1) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 3 ទៅទី 2៖
ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។
0 22 1 14 -24
6 2 11 -2 -6
x ១x2x ៣x4x5

អនីតិជនដែលបានជ្រើសរើសមានលំដាប់ខ្ពស់បំផុត (នៃអនីតិជនដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់) និងមិនមែនជាសូន្យ (វាស្មើនឹងផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងទៅវិញទៅមក) ដូច្នេះ ជួរ(A) = 2។
អនីតិជននេះគឺជាមូលដ្ឋាន។ វារួមបញ្ចូលមេគុណសម្រាប់ x 1, x 2 ដែលមិនស្គាល់ ដែលមានន័យថា x 1, x 2 ដែលមិនស្គាល់គឺអាស្រ័យ (មូលដ្ឋាន) ហើយ x 3, x 4, x 5 គឺឥតគិតថ្លៃ។
យើងបំប្លែងម៉ាទ្រីសដោយបន្សល់ទុកតែអនីតិជនជាមូលដ្ឋាននៅខាងឆ្វេង។
0 22 14 -1 -24
6 2 -2 -11 -6
x ១x2x4x ៣x5

ប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណនៃម៉ាទ្រីសនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើម និងមានទម្រង់៖
22x2 = 14x4 − x3 − 24x5
6x1 + 2x2 = − 2x4 − 11x3 − 6x5
ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់យើងរកឃើញ ដំណោះស្រាយមិនសំខាន់:
យើងទទួលបានទំនាក់ទំនងដែលបង្ហាញពីអថេរអាស្រ័យ x 1 , x 2 ដល់ x 3 , x 4 , x 5 ពោលគឺយើងបានរកឃើញ ការសម្រេចចិត្តទូទៅ:
x2 = 0.64x4 - 0.0455x3 - 1.09x5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
យើងរកឃើញប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ ដែលរួមមានដំណោះស្រាយ (n-r)។
ក្នុងករណីរបស់យើង n=5, r=2 ដូច្នេះប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយមាន 3 ដំណោះស្រាយ ហើយដំណោះស្រាយទាំងនេះត្រូវតែឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។
ដើម្បីឱ្យជួរដេកមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលមានធាតុផ្សំនៃជួរគឺស្មើនឹងចំនួនជួរដេក ពោលគឺ 3 ។
វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការផ្តល់តម្លៃមិនស្គាល់ x 3 , x 4 , x 5 ពីជួរនៃកត្តាកំណត់នៃលំដាប់ទី 3 ដែលខុសពីសូន្យ ហើយគណនា x 1 ,x 2 ។
កត្តាកំណត់មិនសូន្យសាមញ្ញបំផុតគឺម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ។
1 0 0
0 1 0
0 0 1

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកសំណុំមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

សូម្បីតែនៅសាលា យើងម្នាក់ៗបានសិក្សាសមីការ ហើយប្រាកដណាស់ ប្រព័ន្ធសមីការ។ ប៉ុន្តែមានមនុស្សមិនច្រើនទេដែលដឹងថាមានវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយវា។ ថ្ងៃនេះយើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីវិធីសាស្រ្តទាំងអស់សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលមានសមភាពច្រើនជាងពីរ។

រឿង

សព្វថ្ងៃនេះគេដឹងថាសិល្បៈនៃការដោះស្រាយសមីការ និងប្រព័ន្ធរបស់ពួកគេមានដើមកំណើតនៅបាប៊ីឡូន និងអេហ្ស៊ីបបុរាណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភាពស្មើគ្នានៅក្នុងទម្រង់ធម្មតារបស់ពួកគេបានលេចឡើងបន្ទាប់ពីការលេចឡើងនៃសញ្ញាស្មើគ្នា "=" ដែលត្រូវបានណែនាំនៅឆ្នាំ 1556 ដោយកំណត់ត្រាគណិតវិទូអង់គ្លេស។ ដោយវិធីនេះសញ្ញានេះត្រូវបានជ្រើសរើសសម្រាប់ហេតុផលមួយ: វាមានន័យថាពីរផ្នែកស្មើគ្នាប៉ារ៉ាឡែល។ ពិត​ហើយ គ្មាន​ឧទាហរណ៍​ណា​ល្អ​ជាង​អំពី​សមភាព​នោះ​ទេ។

ស្ថាបនិក​នៃ​ការ​កំណត់​អក្សរ​ទំនើប​នៃ​ការ​មិន​ស្គាល់​និង​សញ្ញា​សញ្ញាប័ត្រ​គឺ​ជា​គណិតវិទូ​ជនជាតិ​បារាំង។​ ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា​ការ​រចនា​របស់​គាត់​មាន​ភាព​ខុស​គ្នា​ខ្លាំង​ពី​សម័យ​បច្ចុប្បន្ន។ ជាឧទាហរណ៍ គាត់បានបង្ហាញពីការេនៃលេខដែលមិនស្គាល់ដោយអក្សរ Q (lat. "quadratus") និងគូបដែលមានអក្សរ C (lat. "cubus")។ ការកត់សម្គាល់ទាំងនេះហាក់ដូចជាឆ្គងឥឡូវនេះ ប៉ុន្តែនៅពេលនោះ វាគឺជាវិធីដែលអាចយល់បានបំផុតក្នុងការសរសេរប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយនៅពេលនោះ គឺអ្នកគណិតវិទូបានចាត់ទុកថាគ្រាន់តែជាឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ប្រហែលជានេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាតម្លៃអវិជ្ជមានមិនមានការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង។ វិធីមួយ ឬវិធីមួយផ្សេងទៀត វាគឺជាគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano និង Rafael Bombelli ដែលជាអ្នកដំបូងគេដែលពិចារណាឫសអវិជ្ជមានក្នុងសតវត្សទី 16 ។ ហើយទិដ្ឋភាពសម័យទំនើប វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយចម្បង (តាមរយៈអ្នករើសអើង) ត្រូវបានបង្កើតឡើងតែនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ដោយសារស្នាដៃរបស់ Descartes និង Newton ។

នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 18 គណិតវិទូជនជាតិស្វីស Gabriel Cramer បានរកឃើញវិធីថ្មីមួយដើម្បីធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរកាន់តែងាយស្រួល។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះជាបន្តបន្ទាប់តាមគាត់ ហើយរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះយើងប្រើវា។ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer បន្តិចក្រោយមក ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ យើងនឹងពិភាក្សាអំពីសមីការលីនេអ៊ែរ និងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាដាច់ដោយឡែកពីប្រព័ន្ធ។

សមីការលីនេអ៊ែរ

សមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាសមភាពសាមញ្ញបំផុតដែលមានអថេរ។ ពួកវាត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជាពិជគណិត។ សរសេរជាទម្រង់ទូទៅដូចខាងក្រោមៈ a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... និង n * x n \u003d ខ។ យើងនឹងត្រូវការតំណាងរបស់ពួកគេនៅក្នុងទម្រង់នេះ នៅពេលចងក្រងប្រព័ន្ធ និងម៉ាទ្រីសបន្ថែមទៀត។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

និយមន័យនៃពាក្យនេះមានដូចខាងក្រោម៖ វាគឺជាសំណុំនៃសមីការដែលមានការមិនស្គាល់ទូទៅ និងដំណោះស្រាយរួម។ តាមក្បួនមួយនៅសាលារៀន អ្វីៗត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រព័ន្ធដែលមានសមីការពីរ ឬបី។ ប៉ុន្តែមានប្រព័ន្ធដែលមានធាតុផ្សំបួន ឬច្រើន។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបសរសេរពួកវាជាមុនសិន ដើម្បីងាយស្រួលដោះស្រាយនៅពេលក្រោយ។ ទីមួយ ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនឹងមើលទៅប្រសើរជាងប្រសិនបើអថេរទាំងអស់ត្រូវបានសរសេរជា x ជាមួយនឹងសន្ទស្សន៍សមស្រប៖ 1,2,3 ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ទីពីរសមីការទាំងអស់គួរតែត្រូវបាននាំយកទៅទម្រង់ Canonical: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n = b ។

បន្ទាប់ពីសកម្មភាពទាំងអស់នេះ យើងអាចចាប់ផ្តើមនិយាយអំពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ម៉ាទ្រីសមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់សម្រាប់រឿងនេះ។

ម៉ាទ្រីស

ម៉ាទ្រីស​គឺ​ជា​តារាង​ដែល​មាន​ជួរ​ដេក និង​ជួរ​ឈរ ហើយ​នៅ​ចំណុច​ប្រសព្វ​របស់​វា​គឺ​ជា​ធាតុ​របស់​វា។ ទាំងនេះអាចជាតម្លៃជាក់លាក់ ឬអថេរ។ ជាញឹកញាប់បំផុត ដើម្បីចាត់តាំងធាតុ អក្សររងត្រូវបានដាក់នៅក្រោមពួកវា (ឧទាហរណ៍ 11 ឬ 23)។ លិបិក្រមទីមួយមានន័យថាលេខជួរ ហើយទីពីរគឺលេខជួរ។ នៅលើម៉ាទ្រីស ក៏ដូចជានៅលើធាតុគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀត អ្នកអាចអនុវត្តប្រតិបត្តិការផ្សេងៗ។ ដូច្នេះអ្នកអាច៖

2) គុណម៉ាទ្រីសដោយចំនួនឬវ៉ិចទ័រ។

3) Transpose: បង្វែរជួរដេកម៉ាទ្រីសទៅជាជួរឈរ និងជួរឈរទៅជាជួរដេក។

4) គុណម៉ាទ្រីសប្រសិនបើចំនួនជួរដេកនៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺស្មើនឹងចំនួនជួរឈរនៃផ្សេងទៀត។

យើងនឹងពិភាក្សាអំពីបច្ចេកទេសទាំងអស់នេះឱ្យបានលម្អិតបន្ថែមទៀតព្រោះវានឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់យើងនាពេលអនាគត។ ការដកនិងបន្ថែមម៉ាទ្រីសគឺងាយស្រួលណាស់។ ដោយសារយើងយកម៉ាទ្រីសដែលមានទំហំដូចគ្នា ធាតុនីមួយៗនៃតារាងមួយត្រូវគ្នាទៅនឹងធាតុនីមួយៗនៃតារាងមួយទៀត។ ដូច្នេះ យើងបន្ថែម (ដក) ធាតុទាំងពីរនេះ (វាសំខាន់ណាស់ដែលពួកវាស្ថិតនៅកន្លែងដូចគ្នាក្នុងម៉ាទ្រីសរបស់ពួកគេ)។ នៅពេលគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខ ឬវ៉ិចទ័រ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវគុណធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដោយលេខនោះ (ឬវ៉ិចទ័រ)។ ការផ្លាស់ប្តូរគឺជាដំណើរការគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់។ ពេលខ្លះវាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ណាស់ក្នុងការមើលវានៅក្នុងជីវិតពិត ឧទាហរណ៍នៅពេលផ្លាស់ប្តូរទិសនៃថេប្លេត ឬទូរស័ព្ទ។ រូបតំណាងនៅលើផ្ទៃតុគឺជាម៉ាទ្រីស ហើយនៅពេលអ្នកផ្លាស់ប្តូរទីតាំង វាប្រែចេញ និងកាន់តែធំទូលាយ ប៉ុន្តែកម្ពស់ថយចុះ។

ចូរយើងវិភាគដំណើរការបែបនេះ ទោះបីជាវាមិនមានប្រយោជន៍សម្រាប់យើងក៏ដោយ ក៏វានឹងនៅតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការដឹងវា។ អ្នក​អាច​គុណ​ម៉ាទ្រីស​ពីរ​បាន​លុះត្រា​តែ​ចំនួន​ជួរ​ឈរ​ក្នុង​តារាង​មួយ​ស្មើ​នឹង​ចំនួន​ជួរ​ដេក​ក្នុង​តារាង​ផ្សេង​ទៀត។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងយកធាតុនៃជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសមួយ និងធាតុនៃជួរឈរដែលត្រូវគ្នានៃមួយទៀត។ យើងគុណពួកវាដោយគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមពួកវា (ឧទាហរណ៍ ផលិតផលនៃធាតុ a 11 និង a 12 ដោយ b 12 និង b 22 នឹងស្មើនឹង: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . ដូច្នេះធាតុមួយនៃតារាងត្រូវបានទទួល ហើយវាត្រូវបានបំពេញបន្ថែមដោយវិធីសាស្ត្រស្រដៀងគ្នា។

ឥឡូវនេះយើងអាចចាប់ផ្តើមពិចារណាពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយ។

វិធីសាស្រ្ត Gauss

ប្រធានបទនេះចាប់ផ្តើមនៅសាលា។ យើងដឹងយ៉ាងច្បាស់អំពីគំនិតនៃ "ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ" ហើយដឹងពីរបៀបដោះស្រាយវា។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើចំនួនសមីការមានច្រើនជាងពីរ? នេះនឹងជួយយើង

ជាការពិតណាស់វិធីសាស្រ្តនេះគឺងាយស្រួលប្រើប្រសិនបើអ្នកបង្កើតម៉ាទ្រីសចេញពីប្រព័ន្ធ។ ប៉ុន្តែ​អ្នក​មិន​អាច​បំប្លែង​វា​និង​ដោះស្រាយ​វា​ក្នុង​ទម្រង់​ដ៏​បរិសុទ្ធ​របស់​វា​បាន​ទេ។

ដូច្នេះតើប្រព័ន្ធនៃសមីការ Gaussian លីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីនេះដោយរបៀបណា? ដោយវិធីនេះទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមគាត់ក៏ដោយក៏វាត្រូវបានគេរកឃើញនៅសម័យបុរាណ។ Gauss ស្នើរដូចខាងក្រោម៖ ដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការជាមួយសមីការ ដើម្បីកាត់បន្ថយសំណុំទាំងមូលទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។ នោះគឺវាចាំបាច់ដែលថាពីកំពូលទៅបាត (ប្រសិនបើដាក់ត្រឹមត្រូវ) ពីសមីការទីមួយដល់ចុងក្រោយគេមិនស្គាល់មួយថយចុះ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត, យើងត្រូវធ្វើឱ្យប្រាកដថាយើងទទួលបាន, និយាយ, សមីការបី: នៅក្នុងទីមួយ - បីមិនស្គាល់, នៅក្នុងទីពីរ - ពីរ, នៅក្នុងទីបី - មួយ។ បន្ទាប់មកពីសមីការចុងក្រោយ យើងរកឃើញដំបូងមិនស្គាល់ ជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងសមីការទីពីរ ឬទីមួយ ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកអថេរពីរដែលនៅសល់។

វិធីសាស្រ្ត Cramer

ដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីសាស្រ្តនេះ វាជារឿងសំខាន់ក្នុងការគ្រប់គ្រងជំនាញនៃការបូក ដកនៃម៉ាទ្រីស ហើយអ្នកក៏ត្រូវស្វែងរកកត្តាកំណត់ផងដែរ។ ដូច្នេះ​ហើយ​បើ​អ្នក​ធ្វើ​ទាំង​អស់​នេះ​មិន​បាន​ល្អ ឬ​មិន​ចេះ​យ៉ាង​ណា​នោះ អ្នក​នឹង​ត្រូវ​រៀន​និង​អនុវត្ត។

តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះ និងរបៀបបង្កើតវាដើម្បីឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការ Cramer លីនេអ៊ែរត្រូវបានទទួល? អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ យើងត្រូវតែបង្កើតម៉ាទ្រីសពីមេគុណលេខ (ស្ទើរតែជានិច្ច) នៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគ្រាន់តែយកលេខនៅពីមុខអ្នកដែលមិនស្គាល់ហើយដាក់វានៅក្នុងតារាងតាមលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។ ប្រសិនបើលេខត្រូវបាននាំមុខដោយសញ្ញា "-" បន្ទាប់មកយើងសរសេរមេគុណអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ យើងបានចងក្រងម៉ាទ្រីសដំបូងពីមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ ដោយមិនរាប់បញ្ចូលលេខបន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើគ្នា (តាមធម្មជាតិ សមីការគួរតែត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical នៅពេលដែលមានតែលេខនៅខាងស្តាំ និងមិនស្គាល់ទាំងអស់ជាមួយ មេគុណនៅខាងឆ្វេង) ។ បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវបង្កើតម៉ាទ្រីសជាច្រើនបន្ថែមទៀត - មួយសម្រាប់អថេរនីមួយៗ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅក្នុងម៉ាទ្រីសទីមួយជាវេនយើងជំនួសជួរឈរនីមួយៗដោយមេគុណជាមួយនឹងជួរឈរនៃលេខបន្ទាប់ពីសញ្ញាស្មើគ្នា។ ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសជាច្រើន ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកកត្តាកំណត់របស់វា។

បន្ទាប់​ពី​យើង​បាន​រក​ឃើញ​កត្តា​កំណត់​បញ្ហា​គឺ​តូច​។ យើងមានម៉ាទ្រីសដំបូង ហើយមានម៉ាទ្រីសលទ្ធផលជាច្រើនដែលត្រូវគ្នានឹងអថេរផ្សេងៗ។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ យើងបែងចែកកត្តាកំណត់នៃតារាងលទ្ធផលដោយកត្តាកំណត់នៃតារាងដំបូង។ លេខលទ្ធផលគឺជាតម្លៃនៃអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងរកឃើញអ្វីដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់។

វិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត។

មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើនទៀតសម្រាប់ការទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ជាឧទាហរណ៍ វិធីសាស្ត្រដែលហៅថា Gauss-Jordan method ដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការការ៉េ និងត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់ម៉ាទ្រីសផងដែរ។ វាក៏មានវិធីសាស្រ្ត Jacobi សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរផងដែរ។ វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការសម្របខ្លួនទៅនឹងកុំព្យូទ័រ ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។

ករណីពិបាក

ភាពស្មុគស្មាញជាធម្មតាកើតឡើងនៅពេលដែលចំនួនសមីការមានតិចជាងចំនួនអថេរ។ បន្ទាប់មកយើងអាចនិយាយបានច្បាស់ថាប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា (នោះគឺវាគ្មានឫសគល់) ឬចំនួនដំណោះស្រាយរបស់វាមានទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់។ ប្រសិនបើ​យើង​មាន​ករណី​ទី​ពីរ នោះ​យើង​ត្រូវ​សរសេរ​ដំណោះស្រាយ​ទូទៅ​នៃ​ប្រព័ន្ធ​សមីការ​លីនេអ៊ែរ។ វានឹងមានអថេរយ៉ាងហោចណាស់មួយ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

នៅទីនេះយើងមកដល់ទីបញ្ចប់។ សូមសង្ខេប៖ យើងបានវិភាគថាតើប្រព័ន្ធមួយ និងម៉ាទ្រីសជាអ្វី រៀនពីរបៀបស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ លើសពីនេះទៀតជម្រើសផ្សេងទៀតត្រូវបានគេពិចារណា។ យើងបានរកឃើញពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានដោះស្រាយ៖ វិធីសាស្ត្រ Gauss ហើយយើងបាននិយាយអំពីករណីពិបាក និងវិធីផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយ។

តាមពិតទៅ ប្រធានបទនេះគឺទូលំទូលាយជាង ហើយប្រសិនបើអ្នកចង់យល់កាន់តែច្បាស់នោះ យើងណែនាំអ្នកឱ្យអានអក្សរសិល្ប៍ឯកទេសបន្ថែមទៀត។

យើងនឹងបន្តកែលម្អបច្ចេកទេស ការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៅ​លើ ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ.
យោងតាមកថាខណ្ឌទីមួយ សម្ភារៈអាចមើលទៅគួរឱ្យធុញ និងសាមញ្ញ ប៉ុន្តែចំណាប់អារម្មណ៍នេះគឺបោកបញ្ឆោត។ វានឹងមានព័ត៌មានថ្មីៗជាច្រើនបន្ថែមពីលើការអភិវឌ្ឍន៍បច្ចេកទេសបន្ថែមទៀត ដូច្នេះសូមព្យាយាមកុំធ្វេសប្រហែសឧទាហរណ៍ក្នុងអត្ថបទនេះ។

តើប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរជាអ្វី?

ចម្លើយណែនាំខ្លួនឯង។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺដូចគ្នា ប្រសិនបើពាក្យសេរី គ្រប់គ្នាសមីការប្រព័ន្ធគឺសូន្យ។ ឧទាហរណ៍:

វាច្បាស់ណាស់ថា ប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺតែងតែស្របនោះគឺវាតែងតែមានដំណោះស្រាយ។ ហើយជាដំបូងនៃការទាំងអស់ដែលហៅថា តូចតាចដំណោះស្រាយ . Trivial សម្រាប់​អ្នក​ដែល​មិន​យល់​ពី​អត្ថន័យ​នៃ adjective ទាល់​តែ​សោះ មាន​ន័យ​ថា bespontove។ មិន​មែន​ជា​ការ​សិក្សា​ទេ ប៉ុន្តែ​ដោយ​ប្រាជ្ញា =) ... ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​វាយ​នៅ​ជុំវិញ​គុម្ពោត ចូរ​យើង​រក​មើល​ថា​តើ​ប្រព័ន្ធ​នេះ​មាន​ដំណោះស្រាយ​អ្វី​ផ្សេង​ទៀត៖

ឧទាហរណ៍ ១


ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បី​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​ដូចគ្នា​វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​សរសេរ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធហើយដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមនាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។ ចំណាំថាមិនចាំបាច់សរសេររបារបញ្ឈរ និងជួរឈរសូន្យនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃនៅទីនេះទេ ពីព្រោះអ្វីដែលអ្នកធ្វើជាមួយសូន្យ ពួកគេនឹងនៅតែសូន្យ៖

(1) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -3 ។

(2) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។

ការបែងចែកជួរទីបីដោយ 3 មិនមានន័យច្រើនទេ។

ជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធដូចគ្នាត្រូវបានទទួល ហើយដោយអនុវត្តការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាដំណោះស្រាយគឺមានតែមួយគត់។

ចម្លើយ:

ចូរយើងបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យជាក់ស្តែងមួយ។៖ ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរមាន ដំណោះស្រាយតូចតាចតែប៉ុណ្ណោះ, ប្រសិនបើ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ(ក្នុងករណីនេះ 3) គឺស្មើនឹងចំនួនអថេរ (ក្នុងករណីនេះ 3 pcs ។ )

យើង​កម្តៅ​ខ្លួន និង​សម្រួល​វិទ្យុ​របស់​យើង​ទៅ​នឹង​រលក​នៃ​ការ​បំប្លែង​បឋម៖

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដើម្បីជួសជុល algorithm ជាចុងក្រោយ ចូរយើងវិភាគកិច្ចការចុងក្រោយ៖

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នា សរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ។

ដំណោះស្រាយ៖ យើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម យើងនាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

(1) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីមួយត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ជាថ្មីម្តងទៀត ខ្ញុំទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះបច្ចេកទេសដែលបានជួបម្តងហើយម្តងទៀត ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកធ្វើឱ្យសកម្មភាពខាងក្រោមមានលក្ខណៈសាមញ្ញ។

(1) ខ្សែទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទី 2 និងទី 3 ។ ជួរទីមួយគុណនឹង 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទី 4 ។

(3) បន្ទាត់បីចុងក្រោយគឺសមាមាត្រ ពីរក្នុងចំណោមពួកវាត្រូវបានដកចេញ។

ជាលទ្ធផល ម៉ាទ្រីសជំហានស្ដង់ដារមួយត្រូវបានទទួល ហើយដំណោះស្រាយបន្តនៅតាមបណ្តោយផ្លូវ knurled៖

- អថេរមូលដ្ឋាន;
គឺជាអថេរឥតគិតថ្លៃ។

យើងបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ។ ពីសមីការទី ២៖

- ជំនួសក្នុងសមីការទី១៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ដោយសារមានអថេរឥតគិតថ្លៃចំនួនបីនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋានមានវ៉ិចទ័របី។

ជំនួសតម្លៃបីដង ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ និងទទួលបានវ៉ិចទ័រដែលសំរបសំរួលបំពេញសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នា។ ហើយម្តងទៀត ខ្ញុំសូមនិយាយម្តងទៀតថា វាជាការចង់ពិនិត្យមើលវ៉ិចទ័រនីមួយៗដែលបានទទួល - វានឹងមិនចំណាយពេលច្រើននោះទេ ប៉ុន្តែវានឹងជួយសន្សំសំចៃមួយរយភាគរយពីកំហុស។

សម្រាប់តម្លៃបីដង ស្វែងរកវ៉ិចទ័រ

ហើយចុងក្រោយសម្រាប់បីដង យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រទីបី៖

ចម្លើយ:, កន្លែងណា

អ្នកដែលចង់ជៀសវាងតម្លៃប្រភាគអាចពិចារណាបី ហើយទទួលបានចម្លើយក្នុងទម្រង់សមមូល៖

និយាយអំពីប្រភាគ។ សូមក្រឡេកមើលម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានក្នុងបញ្ហា ហើយសួរសំណួរ - តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការសម្រួលដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀត? បន្ទាប់ពីបានទាំងអស់ នៅទីនេះដំបូងយើងបានបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋាននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប្រភាគ បន្ទាប់មកអថេរមូលដ្ឋាននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប្រភាគ ហើយខ្ញុំត្រូវតែនិយាយថាដំណើរការនេះមិនមែនជាការងាយស្រួលបំផុត និងមិនមែនជាការរីករាយបំផុតនោះទេ។

ដំណោះស្រាយទីពីរ:

គំនិតគឺដើម្បីព្យាយាម ជ្រើសរើសអថេរមូលដ្ឋានផ្សេងទៀត។. សូមក្រឡេកមើលម៉ាទ្រីស ហើយកត់សំគាល់ពីរនៅក្នុងជួរទីបី។ ដូច្នេះហេតុអ្វីបានជាមិនទទួលបានសូន្យនៅកំពូល? ចូរ​ធ្វើ​ការ​បំប្លែង​បឋម​មួយ​ទៀត៖

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង