កម្រិតដំបូង

ដេរីវេនៃមុខងារ។ មគ្គុទ្ទេសក៍ទូលំទូលាយ (2019)

ស្រមៃមើលផ្លូវត្រង់ឆ្លងកាត់តំបន់ភ្នំ។ ពោល​គឺ​ឡើង​ចុះ ប៉ុន្តែ​មិន​បត់​ស្តាំ ឬ​ឆ្វេង​ទេ។ ប្រសិនបើអ័ក្សត្រូវបានតម្រង់ទិសផ្ដេកតាមបណ្តោយផ្លូវ និងបញ្ឈរ នោះខ្សែផ្លូវនឹងស្រដៀងទៅនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារបន្តមួយចំនួន៖

អ័ក្សគឺជាកម្រិតជាក់លាក់នៃកម្ពស់សូន្យនៅក្នុងជីវិតយើងប្រើកម្រិតទឹកសមុទ្រដូចវា។

ការឆ្ពោះទៅមុខតាមផ្លូវបែបនេះ យើងក៏កំពុងរំកិលឡើង ឬចុះក្រោម។ យើងក៏អាចនិយាយបានដែរថា: នៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរ (ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្ស abscissa) តម្លៃនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរ (ផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សកំណត់)។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងគិតពីរបៀបដើម្បីកំណត់ "ភាពចោត" នៃផ្លូវរបស់យើង? តើតម្លៃនេះអាចជាអ្វី? សាមញ្ញ​ណាស់៖ តើ​កម្ពស់​នឹង​ផ្លាស់​ប្តូរ​ប៉ុន្មាន​នៅ​ពេល​ឈាន​ទៅ​មុខ​ចម្ងាយ​ជាក់លាក់។ ជាការពិតណាស់នៅលើផ្នែកផ្សេងគ្នានៃផ្លូវឆ្ពោះទៅមុខ (តាមបណ្តោយ abscissa) មួយគីឡូម៉ែត្រយើងនឹងកើនឡើងឬធ្លាក់ចុះចំនួនផ្សេងគ្នានៃម៉ែត្រទាក់ទងទៅនឹងកម្រិតទឹកសមុទ្រ (តាមលំដាប់) ។

យើងបង្ហាញពីវឌ្ឍនភាពទៅមុខ (អាន "delta x") ។

អក្សរក្រិក (ដីសណ្តរ) ត្រូវបានគេប្រើជាទូទៅក្នុងគណិតវិទ្យាជាបុព្វបទមានន័យថា "ការផ្លាស់ប្តូរ" ។ នោះគឺ - នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរទំហំ, - ការផ្លាស់ប្តូរមួយ; បន្ទាប់មកតើវាជាអ្វី? ត្រឹមត្រូវហើយ ការផ្លាស់ប្តូរទំហំ។

សំខាន់៖ កន្សោមគឺជាអង្គភាពតែមួយ អថេរមួយ។ អ្នកមិនគួរហែក "ដីសណ្ត" ចេញពី "x" ឬអក្សរផ្សេងទៀតទេ! នោះគឺជាឧទាហរណ៍។

ដូច្នេះ យើង​បាន​ឈាន​ទៅ​មុខ​ដោយ​ផ្ដេក។ ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបបន្ទាត់នៃផ្លូវជាមួយនឹងក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ តើយើងសម្គាល់ការកើនឡើងដោយរបៀបណា? ប្រាកដណាស់, ។ នោះ​គឺ​ថា​នៅ​ពេល​ដែល​ឈាន​ទៅ​មុខ​យើង​ឡើង​ខ្ពស់​នៅ​លើ​។

វាងាយស្រួលក្នុងការគណនាតម្លៃ៖ ប្រសិនបើនៅដើមដំបូងយើងនៅកម្ពស់មួយ ហើយបន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីយើងនៅកម្ពស់មួយ ពេលនោះ។ ប្រសិនបើចំណុចបញ្ចប់ប្រែទៅជាទាបជាងចំណុចចាប់ផ្តើម វានឹងអវិជ្ជមាន - នេះមានន័យថាយើងមិនឡើងទេ ប៉ុន្តែចុះ។

ត្រលប់ទៅ "ភាពចោត"៖ នេះគឺជាតម្លៃដែលបង្ហាញថាកម្ពស់កើនឡើងប៉ុន្មាន (ចោត) នៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខក្នុងមួយឯកតាចម្ងាយ៖

ឧបមាថានៅលើផ្នែកខ្លះនៃផ្លូវនេះ នៅពេលទៅមុខដោយគីឡូម៉ែត្រ ផ្លូវឡើងដោយគីឡូម៉ែត្រ។ បន្ទាប់មកភាពចោតនៅកន្លែងនេះគឺស្មើគ្នា។ ហើយ​បើ​ផ្លូវ​ដែល​ហែល​តាម​ម៉ែត្រ​លិច​តាម​គីឡូម៉ែត្រ? បន្ទាប់មកជម្រាលគឺស្មើគ្នា។

ឥឡូវពិចារណាលើកំពូលភ្នំ។ ប្រសិនបើអ្នកយកដើមនៃផ្នែកពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្រទៅកំពូលហើយចុងបញ្ចប់ - ពាក់កណ្តាលគីឡូម៉ែត្របន្ទាប់ពីវាអ្នកអាចមើលឃើញថាកម្ពស់គឺស្ទើរតែដូចគ្នា។

នោះគឺយោងទៅតាមតក្កវិជ្ជារបស់យើងវាប្រែថាជម្រាលនៅទីនេះគឺស្ទើរតែស្មើនឹងសូន្យដែលច្បាស់ណាស់មិនពិត។ ជាច្រើនអាចផ្លាស់ប្តូរបានត្រឹមតែប៉ុន្មានម៉ាយពីចម្ងាយប៉ុណ្ណោះ។ តំបន់តូចៗចាំបាច់ត្រូវពិចារណាសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់ និងត្រឹមត្រូវបន្ថែមទៀតអំពីភាពចោត។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកវាស់ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់នៅពេលផ្លាស់ទីមួយម៉ែត្រ លទ្ធផលនឹងមានភាពត្រឹមត្រូវជាង។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែភាពត្រឹមត្រូវនេះប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងទេ - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ប្រសិនបើមានបង្គោលនៅកណ្តាលផ្លូវយើងអាចរអិលឆ្លងកាត់វាបាន។ តើយើងត្រូវជ្រើសរើសចម្ងាយប៉ុន្មាន? សង់ទីម៉ែត្រ? មីលីម៉ែត្រ? តិចគឺល្អ!

នៅក្នុងជីវិតពិត ការវាស់ចម្ងាយទៅមីលីម៉ែត្រដែលនៅជិតបំផុតគឺច្រើនជាងគ្រប់គ្រាន់។ ប៉ុន្តែ​អ្នក​គណិត​វិទូ​តែង​តែ​ព្យាយាម​ដើម្បី​ភាព​ល្អឥតខ្ចោះ។ ដូច្នេះគំនិតគឺ គ្មានដែនកំណត់នោះគឺតម្លៃម៉ូឌុលគឺតិចជាងលេខណាមួយដែលយើងអាចដាក់ឈ្មោះបាន។ ជាឧទាហរណ៍ អ្នកនិយាយថា៖ មួយពាន់ពាន់លាន! តិច​ប៉ុន្មាន? ហើយអ្នកចែកលេខនេះដោយ - ហើយវានឹងតិចជាង។ ល។ បើ​យើង​ចង់​សរសេរ​ថា​តម្លៃ​គឺ​តូច​បំផុត យើង​សរសេរ​ដូចនេះ៖ (យើង​អាន “x ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ”)។ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ ថាចំនួននេះមិនស្មើនឹងសូន្យ!ប៉ុន្តែនៅជិតវា។ នេះមានន័យថាវាអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជា។

គំនិតផ្ទុយពីតូចគ្មានកំណត់ គឺធំគ្មានកំណត់ ()។ អ្នកប្រហែលជាបានជួបប្រទះវារួចហើយ នៅពេលអ្នកកំពុងធ្វើការលើវិសមភាព៖ ចំនួននេះគឺធំជាងនៅក្នុងម៉ូឌុលជាងចំនួនណាមួយដែលអ្នកអាចគិតបាន។ ប្រសិនបើអ្នកឡើងជាមួយនឹងចំនួនធំបំផុតដែលអាចធ្វើបាន គ្រាន់តែគុណវាដោយពីរ ហើយអ្នកនឹងទទួលបានកាន់តែច្រើន។ ហើយភាពគ្មានទីបញ្ចប់គឺលើសពីអ្វីដែលកើតឡើង។ តាមការពិត ទំហំធំ និងតូចគ្មានកំណត់ គឺបញ្ច្រាស់គ្នាទៅវិញទៅមក ពោលគឺ នៅ និងច្រាសមកវិញ៖ នៅ។

ឥឡូវនេះត្រឡប់ទៅផ្លូវរបស់យើងវិញ។ ជម្រាលដែលបានគណនាតាមឧត្ដមគតិ គឺជាជម្រាលដែលបានគណនាសម្រាប់ផ្នែកតូចមិនកំណត់នៃផ្លូវ នោះគឺ៖

ខ្ញុំចំណាំថាជាមួយនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅតូចមិនចេះចប់ ការផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់ក៏នឹងតូចមិនចេះចប់។ ប៉ុន្តែខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា តូចមិនចេះចប់ មិនមែនមានន័យថាស្មើសូន្យទេ។ ប្រសិនបើអ្នកបែងចែកលេខមិនកំណត់ដោយគ្នាទៅវិញទៅមក អ្នកអាចទទួលបានលេខធម្មតាទាំងស្រុង ឧទាហរណ៍។ នោះគឺតម្លៃតូចមួយអាចធំជាងតម្លៃមួយទៀតពីរដង។

ហេតុអ្វីទាំងអស់នេះ? ផ្លូវ ផ្លូវចោត... យើងមិនដើរលេងទេ តែយើងរៀនគណិតវិទ្យា។ ហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាបេះបិទ ហៅថាខុសគ្នា។

គំនិតនៃដេរីវេ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់នៅការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ដែលមិនកំណត់។

បង្កើននៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរ។ តើអាគុយម៉ង់ () បានផ្លាស់ប្តូរប៉ុន្មាននៅពេលផ្លាស់ទីតាមអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនអាគុយម៉ង់ហើយកំណត់ដោយចំនួនមុខងារ (កម្ពស់) បានផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ទីទៅមុខតាមអ័ក្សដោយចម្ងាយត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើនមុខងារនិងត្រូវបានសម្គាល់។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺទាក់ទងទៅនឹងពេលណា។ យើងសម្គាល់និស្សន្ទវត្ថុដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារ ដោយគ្រាន់តែមានសញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលពីខាងស្តាំខាងលើ៖ ឬសាមញ្ញ។ ដូច្នេះ ចូរយើងសរសេររូបមន្តដេរីវេដោយប្រើសញ្ញាណទាំងនេះ៖

ដូចនៅក្នុងភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្លូវនៅទីនេះ នៅពេលដែលមុខងារកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាគឺអវិជ្ជមាន។

ប៉ុន្តែតើនិស្សន្ទវត្ថុស្មើនឹងសូន្យឬ? ពិតប្រាកដ។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងបើកបរលើផ្លូវផ្តេក ភាពចោតគឺសូន្យ។ ជាការពិតកម្ពស់មិនផ្លាស់ប្តូរទាល់តែសោះ។ ដូច្នេះជាមួយដេរីវេ៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថេរ (ថេរ) គឺស្មើនឹងសូន្យ៖

ចាប់តាំងពីការបង្កើនមុខងារបែបនេះគឺសូន្យសម្រាប់ណាមួយ។

សូមលើកឧទាហរណ៍ពីកំពូលភ្នំ។ វាបានប្រែក្លាយថាវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីរៀបចំចុងបញ្ចប់នៃចម្រៀកនៅលើជ្រុងផ្ទុយគ្នានៃ vertex តាមរបៀបដែលកម្ពស់នៅខាងចុងប្រែទៅជាដូចគ្នា នោះគឺផ្នែកគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស៖

ប៉ុន្តែផ្នែកធំគឺជាសញ្ញានៃការវាស់វែងមិនត្រឹមត្រូវ។ យើងនឹងលើកផ្នែករបស់យើងឡើងស្របទៅនឹងខ្លួនវា បន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វានឹងថយចុះ។

នៅទីបញ្ចប់ នៅពេលដែលយើងស្ថិតនៅជិតកំពូលគ្មានកំណត់ ប្រវែងនៃចម្រៀកនឹងក្លាយទៅជាតូចគ្មានកំណត់។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានេះ វានៅតែស្របទៅនឹងអ័ក្ស ពោលគឺភាពខុសគ្នានៃកម្ពស់នៅចុងរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ (មិនមានទំនោរ ប៉ុន្តែស្មើនឹង)។ ដូច្នេះដេរីវេ

នេះអាចយល់បានដូចខាងក្រោម៖ នៅពេលដែលយើងឈរនៅកំពូល ការផ្លាស់ប្តូរតូចមួយទៅឆ្វេង ឬស្តាំផ្លាស់ប្តូរកម្ពស់របស់យើងដោយធ្វេសប្រហែស។

វាក៏មានការពន្យល់អំពីពិជគណិតសុទ្ធសាធផងដែរ៖ នៅខាងឆ្វេងផ្នែកខាងលើ មុខងារកើនឡើង ហើយនៅខាងស្តាំ វាថយចុះ។ ដូចដែលយើងបានរកឃើញរួចមកហើយនៅពេលមុខងារកើនឡើង ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន ហើយនៅពេលដែលវាថយចុះ វាមានអវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែវាផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងរលូនដោយគ្មានការលោត (ដោយសារតែផ្លូវមិនផ្លាស់ប្តូរជម្រាលរបស់វាយ៉ាងខ្លាំងគ្រប់ទីកន្លែង) ។ ដូច្នេះ ត្រូវតែមានរវាងតម្លៃអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាន។ វានឹងក្លាយជាកន្លែងដែលមុខងារមិនកើនឡើង ឬថយចុះ - នៅចំណុចកំពូល។

ដូចគ្នានេះដែរគឺសម្រាប់ជ្រលងភ្នំ (តំបន់ដែលមុខងារថយចុះនៅខាងឆ្វេងនិងកើនឡើងនៅខាងស្តាំ):

បន្តិចទៀតអំពីការកើនឡើង។

ដូច្នេះយើងប្តូរអាគុយម៉ង់ទៅជាតម្លៃ។ តើយើងប្តូរពីតម្លៃអ្វី? តើគាត់ (អាគុយម៉ង់) ឥឡូវនេះបានក្លាយជាអ្វី? យើងអាចជ្រើសរើសចំណុចណាមួយ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងរាំពីវា។

ពិចារណាចំណុចមួយជាមួយកូអរដោណេ។ តម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកយើងបង្កើនដូចគ្នា៖ បង្កើនកូអរដោណេដោយ។ តើអ្វីជាអាគុយម៉ង់ឥឡូវនេះ? ងាយស្រួលណាស់៖ ។ តើអ្វីទៅជាតម្លៃនៃមុខងារឥឡូវនេះ? កន្លែងដែលអាគុយម៉ង់ទៅ មុខងារទៅទីនោះ៖ . ចុះការបង្កើនមុខងារវិញ? គ្មានអ្វីថ្មីទេ៖ នេះនៅតែជាចំនួនដែលមុខងារបានផ្លាស់ប្តូរ៖

អនុវត្តការស្វែងរកការកើនឡើង៖

1. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ស្មើនឹង។
2. ដូចគ្នាសម្រាប់មុខងារនៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

នៅចំណុចផ្សេងគ្នា ជាមួយនឹងការកើនឡើងដូចគ្នានៃអាគុយម៉ង់ ការបង្កើនមុខងារនឹងខុសគ្នា។ នេះមានន័យថា ដេរីវេនៅចំណុចនីមួយៗមានរបស់វា (យើងបានពិភាក្សារឿងនេះនៅដើមដំបូង - ភាពចោតនៃផ្លូវនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នាគឺខុសគ្នា) ។ ដូច្នេះ ពេល​យើង​សរសេរ​និស្សន្ទវត្ថុ យើង​ត្រូវ​ចង្អុល​បង្ហាញ​ត្រង់​ចំណុច​ណា៖

មុខងារថាមពល។

អនុគមន៍ថាមពលត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់មានកម្រិតខ្លះ (ឡូជីខលមែនទេ?)

និង - ក្នុងកម្រិតណាមួយ: .

ករណីសាមញ្ញបំផុតគឺនៅពេលដែលនិទស្សន្តគឺ៖

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វានៅចំណុចមួយ។ ចងចាំនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ៖

ដូច្នេះអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរពីទៅ។ តើការបង្កើនមុខងារជាអ្វី?

ការកើនឡើងគឺ។ ប៉ុន្តែមុខងារនៅចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹងអាគុយម៉ង់របស់វា។ ដូច្នេះ៖

ដេរីវេគឺ៖

ដេរីវេនៃគឺ៖

ខ) ឥឡូវពិចារណាអនុគមន៍ quadratic (): .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងចាំថា។ នេះមានន័យថាតម្លៃនៃការកើនឡើងអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ព្រោះវាមានទំហំតូចបំផុត ហើយដូច្នេះវាមិនសំខាន់ប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃពាក្យផ្សេងទៀត៖

ដូច្នេះយើងមានច្បាប់មួយទៀត៖

គ) យើងបន្តស៊េរីឡូជីខល៖ .

កន្សោមនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖ បើកតង្កៀបទីមួយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់គុណអក្សរកាត់នៃគូបនៃផលបូក ឬ decompose កន្សោមទាំងមូលទៅជាកត្តាដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃគូប។ ព្យាយាមធ្វើវាដោយខ្លួនឯងតាមវិធីណាមួយដែលបានណែនាំ។

ដូច្នេះ, ខ្ញុំទទួលបានដូចខាងក្រោម:

ហើយ​សូម​ចាំ​វា​ម្តង​ទៀត។ នេះមានន័យថាយើងអាចធ្វេសប្រហែសពាក្យទាំងអស់ដែលមាន៖

យើង​ទទួល​បាន: ។

ឃ) ច្បាប់ស្រដៀងគ្នាអាចទទួលបានសម្រាប់អំណាចធំៗ៖

e) វាប្រែថាច្បាប់នេះអាចត្រូវបានទូទៅសម្រាប់អនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តបំពាន មិនមែនសូម្បីតែចំនួនគត់៖

(2)

អ្នកអាចបង្កើតច្បាប់ដោយប្រើពាក្យ៖ "សញ្ញាបត្រត្រូវបាននាំមកជាមេគុណ ហើយបន្ទាប់មកបន្ថយដោយ"។

យើងនឹងបញ្ជាក់ច្បាប់នេះនៅពេលក្រោយ (ស្ទើរតែដល់ទីបញ្ចប់)។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

1. (តាមវិធីពីរយ៉ាង៖ ដោយរូបមន្ត និងការប្រើប្រាស់និយមន័យនៃដេរីវេ - ដោយរាប់ការបង្កើនមុខងារ);

1. . ជឿឬមិនជឿ នេះគឺជាមុខងារថាមពល។ ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរដូចជា "តើវាយ៉ាងម៉េច? ហើយសញ្ញាបត្រនៅឯណា?”, ចាំប្រធានបទ“”!
   បាទ, បាទ, ឫសក៏ជាដឺក្រេមួយ, តែប្រភាគមួយ :.
   ដូច្នេះឫសការ៉េរបស់យើងគ្រាន់តែជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តមួយ៖
   .
   យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តដែលបានរៀនថ្មីៗនេះ៖

   បើ​ដល់​ចំណុច​នេះ​វា​មិន​ច្បាស់​ម្ដង​ទៀត ធ្វើ​ប្រធាន​បទ "" ម្ដង​ទៀត!!! (អំពីសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករអវិជ្ជមាន)

2. . ឥឡូវនេះនិទស្សន្ត៖

   ហើយឥឡូវនេះតាមរយៈនិយមន័យ (តើអ្នកភ្លេចទេ?)៖
   ;
   .
   ឥឡូវនេះ ដូចធម្មតា យើងមិនអើពើនឹងពាក្យដែលមាន៖
   .

3. . ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃករណីមុន: .

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ខាងក្រោមនេះយើងនឹងប្រើប្រាស់ការពិតមួយពីគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់៖

ពេលបញ្ចេញមតិ។

អ្នកនឹងរៀនភស្តុតាងនៅឆ្នាំដំបូងនៃវិទ្យាស្ថាន (ហើយដើម្បីទៅដល់ទីនោះអ្នកត្រូវប្រឡងឱ្យបានល្អ) ។ ឥឡូវ​នេះ ខ្ញុំ​គ្រាន់​តែ​បង្ហាញ​វា​ជា​ក្រាហ្វិក៖

យើងឃើញថានៅពេលដែលមុខងារមិនមាន - ចំណុចនៅលើក្រាហ្វត្រូវបានដាល់។ ប៉ុន្តែកាន់តែខិតទៅជិតតម្លៃ មុខងារកាន់តែខិតទៅជិត។ នេះគឺជា "ការខិតខំ" យ៉ាងខ្លាំង។

លើសពីនេះទៀតអ្នកអាចពិនិត្យមើលច្បាប់នេះដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ បាទ បាទ កុំខ្មាស់គេ យកម៉ាស៊ីនគិតលេខ យើងមិនទាន់ប្រឡងទេ។

ដូច្នេះសូមសាកល្បង៖ ;

កុំភ្លេចប្តូរម៉ាស៊ីនគិតលេខទៅរបៀបរ៉ាដ្យង់!

ល។ យើងឃើញថាតូចជាង តម្លៃនៃសមាមាត្រកាន់តែជិត។

ក) ពិចារណាមុខងារមួយ។ ជាធម្មតាយើងរកឃើញការកើនឡើងរបស់វា៖

ចូរបង្វែរភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុសទៅជាផលិតផល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្ត (ចងចាំប្រធានបទ ""): ។

ឥឡូវនេះដេរីវេ៖

ចូរធ្វើការជំនួស៖ . បន្ទាប់មក​សម្រាប់​ទំហំ​តូច​ក៏​តូច​មិន​ចេះ​ចប់​ដែរ ៖ . កន្សោម​សម្រាប់​មាន​ទម្រង់៖

ហើយឥឡូវនេះយើងចងចាំវាជាមួយនឹងការបញ្ចេញមតិ។ ហើយផងដែរ ចុះបើតម្លៃតូចមិនចេះចប់អាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ក្នុងផលបូក (នោះគឺនៅ)។

ដូច្នេះយើងទទួលបានច្បាប់ដូចខាងក្រោមៈ ដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុស:

ទាំងនេះគឺជានិស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន ("តារាង")។ នៅទីនេះពួកគេស្ថិតនៅក្នុងបញ្ជីតែមួយ៖

ក្រោយមកយើងនឹងបន្ថែមពីរបីទៀតទៅពួកវា ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺសំខាន់បំផុត ដោយសារពួកវាត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុត។

ការអនុវត្ត៖

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ;
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។

ដំណោះស្រាយ៖

1. ដំបូង យើងរកឃើញដេរីវេក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ ហើយបន្ទាប់មកយើងជំនួសតម្លៃរបស់វាជំនួសវិញ៖
   ;
   .
2. នៅទីនេះយើងមានអ្វីមួយដែលស្រដៀងទៅនឹងមុខងារថាមពល។ តោះព្យាយាមនាំនាងទៅ
   ទិដ្ឋភាពធម្មតា៖
   .
   យល់ព្រម ឥឡូវនេះអ្នកអាចប្រើរូបមន្ត៖
   .
   .
3. . អេ... ស្អី????

មិនអីទេ អ្នកនិយាយត្រូវ យើងនៅតែមិនដឹងពីរបៀបស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុបែបនេះ។ នៅទីនេះយើងមានការរួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទជាច្រើននៃមុខងារ។ ដើម្បីធ្វើការជាមួយពួកគេ អ្នកត្រូវរៀនច្បាប់មួយចំនួនបន្ថែមទៀត៖

និទស្សន្ត និងលោការីតធម្មជាតិ។

មានមុខងារបែបនេះនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដេរីវេនៃណាមួយគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍ខ្លួនវាសម្រាប់ដូចគ្នា។ វាត្រូវបានគេហៅថា "និទស្សន្ត" ហើយជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

មូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍នេះ - ថេរ - គឺជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់ នោះគឺជាចំនួនមិនសមហេតុផល (ដូចជា)។ វាត្រូវបានគេហៅថា "លេខអយល័រ" ដែលជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ។

ដូច្នេះក្បួនគឺ៖

វាងាយស្រួលចងចាំណាស់។

មែនហើយយើងនឹងមិនទៅឆ្ងាយទេយើងនឹងពិចារណាភ្លាមៗអំពីមុខងារបញ្ច្រាស។ តើអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលបញ្ច្រាស់គឺជាអ្វី? លោការីត៖

ក្នុងករណីរបស់យើង មូលដ្ឋានគឺជាលេខ៖

លោការីតបែបនេះ (នោះគឺជាលោការីតដែលមានមូលដ្ឋាន) ត្រូវបានគេហៅថា "ធម្មជាតិ" ហើយយើងប្រើសញ្ញាណពិសេសសម្រាប់វា៖ យើងសរសេរជំនួសវិញ។

តើស្មើនឹងអ្វី? ពិតប្រាកដ​ណាស់, ។

ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិគឺសាមញ្ញណាស់៖

ឧទាហរណ៍:

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
2. តើអ្វីទៅជាដេរីវេនៃមុខងារ?

ចម្លើយ៖ និទស្សន្ត និងលោការីតធម្មជាតិ គឺជាមុខងារដែលមានលក្ខណៈសាមញ្ញក្នុងន័យនៃដេរីវេ។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីតជាមួយនឹងមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតនឹងមានដេរីវេខុសគ្នា ដែលយើងនឹងវិភាគនៅពេលក្រោយ បន្ទាប់ពីយើងឆ្លងកាត់ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។

ច្បាប់នៃការបែងចែក

តើច្បាប់អ្វីខ្លះ? ពាក្យថ្មីទៀតហើយ!...

ភាពខុសគ្នាគឺជាដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេ។

មានតែនិងអ្វីៗទាំងអស់។ តើពាក្យអ្វីផ្សេងទៀតសម្រាប់ដំណើរការនេះ? មិន proizvodnovanie... ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំងនៃអនុគមន៍នៅ។ ពាក្យនេះមកពីឡាតាំងឌីផេរ៉ង់ស្យែល - ភាពខុសគ្នា។ នៅទីនេះ។

នៅពេលទាញយកច្បាប់ទាំងអស់នេះ យើងនឹងប្រើមុខងារពីរ ឧទាហរណ៍ និង។ យើងក៏នឹងត្រូវការរូបមន្តសម្រាប់ការបង្កើនរបស់ពួកគេផងដែរ៖

សរុបមានច្បាប់ចំនួន៥។

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។

ប្រសិនបើ - ចំនួនថេរមួយចំនួន (ថេរ) បន្ទាប់មក។

ជាក់ស្តែង ច្បាប់នេះក៏មានប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់ភាពខុសគ្នាផងដែរ៖ .

ចូរយើងបញ្ជាក់។ អនុញ្ញាតឱ្យ ឬងាយស្រួលជាង។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

1. នៅចំណុច;
2. នៅចំណុច;
3. នៅចំណុច;
4. នៅចំណុច។

ដំណោះស្រាយ៖

1. (ដេរីវេគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ ព្រោះវាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ សូមចាំ?);

ដេរីវេនៃផលិតផល

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្រដៀងគ្នានៅទីនេះ៖ យើងណែនាំមុខងារថ្មី និងស្វែងរកការបន្ថែមរបស់វា៖

ដេរីវេ៖

ឧទាហរណ៍:

1. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ និង;
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ឥឡូវនេះចំណេះដឹងរបស់អ្នកគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីរៀនពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ហើយមិនមែនត្រឹមតែនិទស្សន្តទេ (តើអ្នកភ្លេចថាវាជាអ្វីហើយឬនៅ?)

ដូច្នេះតើលេខមួយណា។

យើងដឹងពីដេរីវេនៃអនុគមន៍រួចហើយ ដូច្នេះសូមព្យាយាមនាំយកមុខងាររបស់យើងទៅកាន់មូលដ្ឋានថ្មីមួយ៖

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើច្បាប់សាមញ្ញមួយ: . បន្ទាប់មក៖

ជាការប្រសើរណាស់ វាបានដំណើរការ។ ឥឡូវព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេ ហើយកុំភ្លេចថាមុខងារនេះស្មុគស្មាញ។

បានកើតឡើង?

នៅទីនេះ ពិនិត្យខ្លួនអ្នក៖

រូបមន្តបានប្រែទៅជាស្រដៀងគ្នាទៅនឹងដេរីវេនៃនិទស្សន្ត៖ ដូចដែលវាគឺ វានៅតែមាន មានតែកត្តាមួយបានលេចឡើង ដែលគ្រាន់តែជាលេខ ប៉ុន្តែមិនមែនជាអថេរ។

ឧទាហរណ៍:
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ចម្លើយ៖

នេះគ្រាន់តែជាលេខដែលមិនអាចគណនាបានដោយគ្មានម៉ាស៊ីនគិតលេខ ពោលគឺមិនអាចសរសេរជាទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះបានទេ។ ដូច្នេះនៅក្នុងចម្លើយវាត្រូវបានទុកក្នុងទម្រង់នេះ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត

នៅទីនេះវាស្រដៀងគ្នា៖ អ្នកដឹងពីដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិរួចហើយ៖

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរក arbitrary ពីលោការីតដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា ឧទាហរណ៍៖

យើងត្រូវនាំយកលោការីតនេះទៅមូលដ្ឋាន។ តើអ្នកផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាននៃលោការីតដោយរបៀបណា? ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកចងចាំរូបមន្តនេះ៖

មានតែឥឡូវនេះជំនួសឱ្យយើងនឹងសរសេរ:

ភាគបែងប្រែថាគ្រាន់តែជាចំនួនថេរ (ចំនួនថេរ ដោយគ្មានអថេរ)។ ដេរីវេគឺសាមញ្ញណាស់៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ស្ទើរតែរកមិនឃើញនៅក្នុងការប្រឡង ប៉ុន្តែវានឹងមិននាំឱ្យស្គាល់ពួកវានោះទេ។

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

តើអ្វីទៅជា "មុខងារស្មុគស្មាញ"? ទេ នេះមិនមែនជាលោការីត និងមិនមែនជាតង់ហ្សង់ធ្នូទេ។ មុខងារទាំងនេះអាចពិបាកយល់ (ទោះបីជាលោការីតហាក់ដូចជាពិបាកសម្រាប់អ្នក សូមអានប្រធានបទ "លោការីត" ហើយអ្វីៗនឹងដំណើរការ) ប៉ុន្តែបើនិយាយពីគណិតវិទ្យាវិញ ពាក្យ "ស្មុគស្មាញ" មិនមានន័យថា "ពិបាក" នោះទេ។

ស្រមៃមើលឧបករណ៍បញ្ជូនតូចមួយ៖ មនុស្សពីរនាក់កំពុងអង្គុយ និងធ្វើសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយនឹងវត្ថុមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ ទីមួយ​រុំ​របារ​សូកូឡា​ក្នុង​កន្សែង​រុំ ហើយ​ទីពីរ​ចង​វា​ដោយ​ខ្សែបូ។ វាប្រែចេញវត្ថុផ្សំបែបនេះ៖ របារសូកូឡារុំនិងចងដោយខ្សែបូ។ ដើម្បីញ៉ាំរបារសូកូឡាអ្នកត្រូវធ្វើជំហានផ្ទុយគ្នាតាមលំដាប់បញ្ច្រាស។

ចូរយើងបង្កើតបំពង់គណិតវិទ្យាស្រដៀងគ្នា៖ ដំបូងយើងនឹងរកឃើញកូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងការ៉េចំនួនលទ្ធផល។ ដូច្នេះ គេឲ្យលេខមួយមកយើង (សូកូឡា) ខ្ញុំរកកូស៊ីនុស (ក្រដាសរុំ) ហើយបន្ទាប់មកអ្នកដាក់ការ៉េអ្វីដែលខ្ញុំទទួលបាន (ចងវាដោយខ្សែបូ)។ តើមានអ្វីកើតឡើង? មុខងារ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ៖ នៅពេលដែលដើម្បីស្វែងរកតម្លៃរបស់វា យើងធ្វើសកម្មភាពទីមួយដោយផ្ទាល់ជាមួយអថេរ ហើយបន្ទាប់មកសកម្មភាពទីពីរផ្សេងទៀតជាមួយនឹងអ្វីដែលបានកើតឡើងជាលទ្ធផលនៃទីមួយ។

យើងអាចធ្វើសកម្មភាពដូចគ្នាក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស៖ ដំបូងអ្នកការ៉េ ហើយបន្ទាប់មកខ្ញុំរកមើលកូស៊ីនុសនៃលេខលទ្ធផល៖ ។ វាងាយស្រួលក្នុងការទាយថាលទ្ធផលនឹងតែងតែខុសគ្នា។ លក្ខណៈសំខាន់នៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖ នៅពេលដែលលំដាប់នៃសកម្មភាពផ្លាស់ប្តូរ មុខងារផ្លាស់ប្តូរ។

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត, អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់គឺជាមុខងារមួយផ្សេងទៀត: .

ឧទាហរណ៍ទីមួយ។

ឧទាហរណ៍ទីពីរ៖ (ដូចគ្នា) ។ .

សកម្មភាពចុងក្រោយដែលយើងធ្វើនឹងត្រូវបានហៅ មុខងារ "ខាងក្រៅ"ហើយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្តដំបូង - រៀងគ្នា។ មុខងារ "ផ្ទៃក្នុង"(ទាំងនេះជាឈ្មោះក្រៅផ្លូវការ ខ្ញុំប្រើវាដើម្បីពន្យល់សម្ភារៈជាភាសាសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ)។

ព្យាយាមកំណត់ដោយខ្លួនឯងថាតើមុខងារខាងក្រៅមួយណាជាមុខងារខាងក្នុង៖

ចម្លើយ៖ការបំបែកមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅគឺស្រដៀងទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ៖ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងអនុគមន៍

1. តើ​យើង​នឹង​ចាត់​វិធានការ​អ្វី​មុន​គេ? ដំបូងយើងគណនាស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកយើងលើកវាទៅជាគូប។ ដូច្នេះ​វា​ជា​មុខងារ​ខាងក្នុង មិន​មែន​ជា​មុខងារ​ខាង​ក្រៅ​ទេ។
   ហើយមុខងារដើមគឺសមាសភាពរបស់ពួកគេ៖ .
2. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
3. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
4. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។
5. ខាងក្នុង: ; ខាងក្រៅ៖
   ការប្រឡង៖ ។

យើងផ្លាស់ប្តូរអថេរ និងទទួលបានមុខងារ។

មែនហើយឥឡូវនេះយើងនឹងទាញយកសូកូឡារបស់យើង - រកមើលដេរីវេ។ នីតិវិធីគឺតែងតែបញ្ច្រាស៖ ដំបូងយើងរកមើលដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ បន្ទាប់មកយើងគុណលទ្ធផលដោយដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង។ សម្រាប់ឧទាហរណ៍ដើមវាមើលទៅដូចនេះ:

ឧទាហរណ៍មួយទៀត៖

ដូច្នេះ ទីបំផុត​យើង​នឹង​បង្កើត​ច្បាប់​ជា​ផ្លូវ​ការ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាសាមញ្ញមែនទេ?

តោះពិនិត្យជាមួយឧទាហរណ៍៖

ដំណោះស្រាយ៖

1) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

2) ផ្ទៃក្នុង: ;

(កុំព្យាយាមកាត់បន្ថយឥឡូវនេះ! គ្មានអ្វីត្រូវបានយកចេញពីក្រោមកូស៊ីនុសទេនៅចាំ?)

3) ផ្ទៃក្នុង: ;

ខាងក្រៅ៖ ;

វាច្បាស់ណាស់ថាមានមុខងារស្មុគ្រស្មាញបីកម្រិតនៅទីនេះ៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់នេះគឺជាមុខងារស្មុគ្រស្មាញនៅក្នុងខ្លួនវារួចហើយ ហើយយើងនៅតែទាញយកឫសពីវា ពោលគឺយើងអនុវត្តសកម្មភាពទីបី (ដាក់សូកូឡាក្នុងរុំ។ និងជាមួយខ្សែបូនៅក្នុងកាបូបយួរមួយ) ។ ប៉ុន្តែ​គ្មាន​ហេតុផល​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​ខ្លាច​ឡើយ៖ ទោះ​បី​ជា​យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ យើង​នឹង "ស្រាយ" មុខងារ​នេះ​តាម​លំដាប់​ដូច​ធម្មតា៖ ពី​ចុង​បញ្ចប់។

នោះ​គឺ​ជា​ដំបូង​យើង​ធ្វើ​ការ​ខុស​គ្នា​នៃ​ឫស បន្ទាប់​មក​កូស៊ីនុស ហើយ​បន្ទាប់​មក​បាន​តែ​កន្សោម​ក្នុង​តង្កៀប។ ហើយបន្ទាប់មកយើងគុណវាទាំងអស់។

ក្នុងករណីបែបនេះវាងាយស្រួលក្នុងការរាប់លេខសកម្មភាព។ នោះគឺ ចូរយើងស្រមៃមើលអ្វីដែលយើងដឹង។ តើ​យើង​នឹង​ធ្វើ​សកម្មភាព​ក្នុង​លំដាប់​ណា​ដើម្បី​គណនា​តម្លៃ​នៃ​កន្សោម​នេះ? តោះមើលឧទាហរណ៍៖

នៅពេលក្រោយសកម្មភាពត្រូវបានអនុវត្ត មុខងារដែលត្រូវគ្នានឹង "ខាងក្រៅ" កាន់តែច្រើន។ លំដាប់នៃសកម្មភាព - ដូចពីមុន៖

នៅទីនេះសំបុកជាទូទៅមាន 4 កម្រិត។ ចូរកំណត់ផ្លូវនៃសកម្មភាព។

1. កន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ .

2. ឫស។ .

3. ស៊ីនុស។ .

4. ការ៉េ។ .

5. ដាក់វាទាំងអស់គ្នា៖

ដេរីវេ។ សង្ខេបអំពីមេ

ដេរីវេនៃមុខងារ- សមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់ ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់៖

និស្សន្ទវត្ថុមូលដ្ឋាន៖

ច្បាប់នៃការបែងចែក៖

ថេរត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃផលបូក៖

ផលិតផលដេរីវេ៖

ដេរីវេនៃកូតា៖

ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

1. យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្នុង" ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
2. យើងកំណត់មុខងារ "ខាងក្រៅ" ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។
3. យើងគុណលទ្ធផលនៃពិន្ទុទីមួយ និងទីពីរ។

ប្រសិនបើយើងធ្វើតាមនិយមន័យ នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រកើនឡើងនៃអនុគមន៍Δ yដល់ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ Δ x:

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់។ ប៉ុន្តែ​ព្យាយាម​គណនា​តាម​រូបមន្ត​នេះ និយាយ​ថា ដេរីវេនៃ​អនុគមន៍ f(x) = x 2 + (2x+ 3) · អ៊ី xអំពើបាប x. ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមនិយមន័យ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការគណនាពីរបីទំព័រ អ្នកនឹងងងុយគេង។ ដូច្នេះមានវិធីសាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថា អ្វីដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម អាចត្រូវបានសម្គាល់ពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងមូល។ ទាំងនេះគឺជាកន្សោមសាមញ្ញៗ ដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគណនា និងបញ្ចូលក្នុងតារាងជាយូរមកហើយ។ មុខងារបែបនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ រួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម

អនុគមន៍​បឋម​គឺ​ជា​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ដែល​បាន​រាយ​ខាង​ក្រោម។ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ លើសពីនេះទៅទៀតវាមិនពិបាកក្នុងការទន្ទេញចាំពួកគេទេ - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាបឋម។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម៖

ឈ្មោះ	មុខងារ	ដេរីវេ
ថេរ	f(x) = គ, គ ∈ រ	0 (បាទ/ចាស៎ សូន្យ!)
សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល	f(x) = x ន	ន · x ន − 1
ស៊ីនុស	f(x) = បាប x	cos x
កូស៊ីនុស	f(x) = ខូស x	- បាប x(ដកស៊ីនុស)
តង់សង់	f(x) = tg x	1/cos 2 x
កូតង់សង់	f(x) = ctg x	- ១/ បាប ២ x
លោការីតធម្មជាតិ	f(x) = កំណត់ហេតុ x	1/x
លោការីតតាមអំពើចិត្ត	f(x) = កំណត់ហេតុ ក x	1/(x ln ក)
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល	f(x) = អ៊ី x	អ៊ី x(គ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរ)

ប្រសិនបើអនុគមន៍បឋមត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលបំពាន នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្មីក៏ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ៖

(គ · f)’ = គ · f ’.

ជាទូទៅ ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍:

(2x 3)' = 2 ( x៣)' = ២ ៣ x 2 = 6x 2 .

ជាក់ស្តែង មុខងារបឋមអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក គុណ បែងចែក និងច្រើនទៀត។ នេះជារបៀបដែលមុខងារថ្មីនឹងលេចឡើង លែងជាបឋម ប៉ុន្តែក៏អាចខុសគ្នាតាមច្បាប់ជាក់លាក់ផងដែរ។ ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។

ដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x) និង g(x) ដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍, ( f + g + ម៉ោង)’ = f ’ + g ’ + ម៉ោង ’.

និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតនៃ "ធាតុអវិជ្ជមាន" ។ ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − gអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f+ (−1) gហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

មុខងារ f(x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍បឋមពីរ ដូច្នេះ៖

f ’(x) = (x 2+ អំពើបាប x)’ = (x២)' + (បាប x)’ = 2x+ cosx;

យើងប្រកែកដូចគ្នាចំពោះមុខងារ g(x) មានតែពាក្យបីរួចទៅហើយ (តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត)៖

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ដេរីវេនៃផលិតផល

គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឡូជីខល ដូច្នេះមនុស្សជាច្រើនជឿថាប្រសិនបើដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេទីវ័រ នោះដេរីវេនៃផល។ កូដកម្ម"\u003e ស្មើ​នឹង​ផល​នៃ​និស្សន្ទវត្ថុ។ ប៉ុន្តែ​ឧទុម្ពរ​ចំពោះ​អ្នក! ដេរីវេនៃ​ផលិតផល​ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ខុស​គ្នា​ទាំង​ស្រុង។ ពោល​គឺ៖

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

រូបមន្តគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែជារឿយៗត្រូវបានបំភ្លេចចោល។ ហើយមិនត្រឹមតែសិស្សសាលាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសិស្សទៀតផង។ លទ្ធផលគឺដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x .

មុខងារ f(x) គឺជាផលិតផលនៃមុខងារបឋមពីរ ដូច្នេះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ៖

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ខូស x + x៣ (កូស x)’ = 3x 2 សហ x + x៣ (-បាប x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x)

មុខងារ g(x) មេគុណទីមួយមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែគ្រោងការណ៍ទូទៅមិនផ្លាស់ប្តូរពីនេះទេ។ ជាក់ស្តែងមេគុណទីមួយនៃអនុគមន៍ g(x) គឺជាពហុនាម ហើយដេរីវេរបស់វាគឺជាដេរីវេនៃផលបូក។ យើង​មាន:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x)’ = (x 2 + 7x− ៧)' · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) ( អ៊ី x)’ = (2x+ 7) · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x = អ៊ី x(២ x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · អ៊ី x = x(x+ 9) · អ៊ី x .

ចម្លើយ៖
f ’(x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x);
g ’(x) = x(x+ 9) · អ៊ី x .

ចំណាំថានៅក្នុងជំហានចុងក្រោយ ដេរីវេត្រូវបានបែងចែកជាកត្តា។ ជាផ្លូវការ នេះមិនចាំបាច់ទេ ប៉ុន្តែនិស្សន្ទវត្ថុភាគច្រើនមិនត្រូវបានគណនាដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីស្វែងយល់ពីមុខងារ។ នេះមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុនឹងស្មើនឹងសូន្យ សញ្ញារបស់វានឹងត្រូវបានរកឃើញ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំពោះ​ករណី​បែប​នេះ វា​ជា​ការ​ប្រសើរ​ក្នុង​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ដែល​ត្រូវ​បាន​បំបែក​ជា​កត្តា។

ប្រសិនបើមានមុខងារពីរ f(x) និង g(x) និង g(x) ≠ 0 លើសំណុំចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង យើងអាចកំណត់មុខងារថ្មីមួយ ម៉ោង(x) = f(x)/g(x) សម្រាប់មុខងារបែបនេះ អ្នកក៏អាចរកឃើញដេរីវេ៖

មិនទន់ខ្សោយមែនទេ? តើដកបានមកពីណា? ហេតុអ្វី? g 2? តែបែបនេះ! នេះគឺជារូបមន្តដ៏ស្មុគស្មាញបំផុតមួយ - អ្នកមិនអាចដោះស្រាយវាដោយគ្មានដបបានទេ។ ដូច្នេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការសិក្សាវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

មានអនុគមន៍បឋមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗ ដូច្នេះអ្វីដែលយើងត្រូវការគឺរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតានិក៖

តាមទំនៀមទម្លាប់ យើងដាក់លេខភាគទៅជាកត្តា - នេះនឹងធ្វើឱ្យចំលើយកាន់តែងាយស្រួល៖

មុខងារស្មុគ្រស្មាញមិនចាំបាច់ជារូបមន្តប្រវែងកន្លះគីឡូម៉ែត្រទេ។ ឧទាហរណ៍វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទទួលយកមុខងារ f(x) = បាប xនិងជំនួសអថេរ xនិយាយថានៅលើ x 2+ ln x. វាប្រែចេញ f(x) = បាប ( x 2+ ln x) គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ នាងក៏មានដេរីវេផងដែរ ប៉ុន្តែវានឹងមិនដំណើរការទេក្នុងការស្វែងរកវាយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីឱ្យមាន? ក្នុងករណីបែបនេះ ការជំនួសអថេរ និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជួយ៖

f ’(x) = f ’(t) · t', ប្រសិនបើ xត្រូវបានជំនួសដោយ t(x).

តាមក្បួនមួយស្ថានភាពជាមួយនឹងការយល់ដឹងនៃរូបមន្តនេះគឺកាន់តែសោកសៅជាងជាមួយនឹងដេរីវេនៃកូតា។ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរផងដែរក្នុងការពន្យល់វាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ជាមួយនឹងការពិពណ៌នាលម្អិតនៃជំហាននីមួយៗ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = អ៊ី 2x + 3 ; g(x) = បាប ( x 2+ ln x)

ចំណាំថាប្រសិនបើនៅក្នុងមុខងារ f(x) ជំនួសឱ្យកន្សោម 2 x+ 3 នឹងមានភាពងាយស្រួល xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារបឋម f(x) = អ៊ី x. ដូច្នេះ​យើង​ធ្វើ​ការ​ជំនួស៖ អនុញ្ញាត ២ x + 3 = t, f(x) = f(t) = អ៊ី t. យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដោយរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (អ៊ី t)’ · t ’ = អ៊ី t · t ’

ហើយឥឡូវនេះ - យកចិត្តទុកដាក់! អនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = 2x+ ៣.យើងទទួលបាន៖

f ’(x) = អ៊ី t · t ’ = អ៊ី 2x+ ៣ (២ x + 3)’ = អ៊ី 2x+ 3 2 = 2 អ៊ី 2x + 3

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមុខងារ g(x) ជាក់ស្តែងត្រូវការជំនួស។ x 2+ ln x = t. យើង​មាន:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (អំពើបាប t)’ · t' = ខូស t · t ’

ការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2+ ln x. បន្ទាប់មក៖

g ’(x) = cos( x 2+ ln x) · ( x 2+ ln x)' = cos ( x 2+ ln x) · (២ x + 1/x).

អស់ហើយ! ដូចដែលអាចមើលឃើញពីកន្សោមចុងក្រោយបញ្ហាទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាដេរីវេនៃផលបូក។

ចម្លើយ៖
f ’(x) = ២ អ៊ី 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ ln x).

ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជំនួសឱ្យពាក្យ "ដេរីវេ" ខ្ញុំប្រើពាក្យ "ដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល" ។ ជាឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ច្បាស់ជាងនេះទេ? ជាការប្រសើរណាស់។

ដូច្នេះការគណនានៃដេរីវេបានចុះមកដើម្បីកម្ចាត់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលយ៉ាងខ្លាំងទាំងនេះយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ជាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ ចូរយើងត្រលប់ទៅអំណាចដេរីវេជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្ត៖

(x ន)’ = ន · x ន − 1

មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថានៅក្នុងតួនាទីនេះ។ នប្រហែលជាលេខប្រភាគ។ ឧទាហរណ៍ឫសគឺ x 0.5 ប៉ុន្ដែចុះយ៉ាងណាបើមានអ្វីពិបាកនៅក្រោមឫស? ជាថ្មីម្តងទៀតមុខងារស្មុគ្រស្មាញនឹងប្រែជា - ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់សំណង់បែបនេះនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡង។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឫសឡើងវិញជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 8x − 7 = t. យើងរកឃើញដេរីវេដោយរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−០.៥ t ’.

យើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + 8x 7. យើងមាន៖

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− ៧) −០.៥ ( x 2 + 8x− ៧)' = ០.៥ (២ x+ ៨) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

ទីបំផុតត្រលប់ទៅឫស៖

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នា។

ជាលទ្ធផលនៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនៃមុខងារសាមញ្ញបំផុត (និងមិនសាមញ្ញបំផុត) ដោយកំណត់និស្សន្ទវត្ថុជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងទៅនឹងការបង្កើននៃអាគុយម៉ង់ តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់ដែលបានកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់នៃភាពខុសគ្នាបានលេចចេញមក។ . Isaac Newton (1643-1727) និង Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលធ្វើការក្នុងវិស័យស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

ដូច្នេះនៅក្នុងសម័យរបស់យើង ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ណាមួយ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការគណនាដែនកំណត់ដែលបានរៀបរាប់ខាងលើនៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការបង្កើនអាគុយម៉ង់នោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវប្រើតារាងតែប៉ុណ្ណោះ។ នៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ ក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមគឺសមរម្យសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេ។

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេអ្នកត្រូវការកន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល បំបែកមុខងារសាមញ្ញនិងកំណត់នូវសកម្មភាពអ្វី (ផលិតផល ផលបូក)មុខងារទាំងនេះគឺពាក់ព័ន្ធ។ លើសពីនេះទៀតយើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមនៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងរូបមន្តសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុនៃផលិតផល ផលបូក និងកូតា - នៅក្នុងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់ភាពខុសគ្នាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាប់ពីឧទាហរណ៍ពីរដំបូង។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា យើងរកឃើញថាដេរីវេនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ គឺជាផលបូកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ ពោលគឺឧ។

ពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញថាដេរីវេនៃ "X" គឺស្មើនឹងមួយ ហើយដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺកូស៊ីនុស។ យើងជំនួសតម្លៃទាំងនេះនៅក្នុងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងស្វែងរកដេរីវេទីវេដែលទាមទារដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងបែងចែកជាដេរីវេនៃផលបូក ដែលពាក្យទីពីរជាមួយនឹងកត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖

ប្រសិនបើនៅតែមានសំណួរអំពីថាតើអ្វីមួយមកពីណានោះ តាមក្បួនមួយ ពួកគេនឹងច្បាស់បន្ទាប់ពីអានតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់សាមញ្ញបំផុតនៃភាពខុសគ្នា។ យើងនឹងទៅរកពួកគេឥឡូវនេះ។

តារាងដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ

1. ដេរីវេនៃថេរ (ចំនួន) ។ លេខណាមួយ (1, 2, 5, 200...) ដែលមាននៅក្នុងកន្សោមអនុគមន៍។ សូន្យជានិច្ច។ នេះមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការចងចាំ ព្រោះវាត្រូវបានទាមទារជាញឹកញាប់
2. ដេរីវេនៃអថេរឯករាជ្យ។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ "x" ។ តែងតែស្មើនឹងមួយ។ នេះក៏សំខាន់ផងដែរក្នុងការចងចាំ
3. ដេរីវេនៃសញ្ញាបត្រ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកត្រូវបំប្លែងឫសមិនការ៉េទៅជាថាមពល។
4. ដេរីវេនៃអថេរទៅអំណាចនៃ -1
5. ដេរីវេនៃឫសការ៉េ
6. ដេរីវេនៃស៊ីនុស
7. ដេរីវេនៃកូស៊ីនុស
8. ដេរីវេនៃតង់សង់
9. ដេរីវេនៃកូតង់សង់
10. ដេរីវេនៃ arcsine
11. ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសធ្នូ
12. ដេរីវេនៃតង់សង់ធ្នូ
13. ដេរីវេនៃតង់សង់បញ្ច្រាស
14. ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ
15. ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត
16. ដេរីវេនៃនិទស្សន្ត
17. ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ច្បាប់នៃការបែងចែក

1. ដេរីវេនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នា
2. ដេរីវេនៃផលិតផល
2 ក. ដេរីវេនៃកន្សោមមួយគុណនឹងកត្តាថេរ
3. ដេរីវេនៃកូតា
4. ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

វិធាន 1ប្រសិនបើមុខងារ

មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុចខ្លះ បន្ទាប់មកមុខងារដូចគ្នានៅចំណុចដូចគ្នា។

និង

ទាំងនោះ។ ដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិតនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។

ផលវិបាក។ ប្រសិនបើមុខងារពីរផ្សេងគ្នាខុសគ្នាដោយថេរ នោះដេរីវេនៃពួកវាគឺ, i.e.

ក្បួនទី 2ប្រសិនបើមុខងារ

មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុចមួយចំនួន បន្ទាប់មកផលិតផលរបស់ពួកគេក៏មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅចំណុចដូចគ្នា។

និង

ទាំងនោះ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃអនុគមន៍នីមួយៗ និងដេរីវេនៃមុខងារផ្សេងទៀត។

លទ្ធផល ១. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ:

លទ្ធផល ២. ដេរីវេនៃផលនៃមុខងារផ្សេងគ្នាជាច្រើនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃដេរីវេនៃកត្តានីមួយៗ និងកត្តាផ្សេងៗទៀត។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់មេគុណបី៖

ក្បួនទី 3ប្រសិនបើមុខងារ

ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចណាមួយ។ និង , បន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះ កូតារបស់ពួកគេក៏ខុសគ្នាដែរ។u/v , និង

ទាំងនោះ។ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងប្រភាគដែលភាគបែងគឺជាភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃភាគបែង និងដេរីវេនៃភាគយក និងភាគយក និងដេរីវេនៃភាគបែង ហើយភាគបែងគឺជាការ៉េនៃអតីតភាគយក .

កន្លែងដែលត្រូវរកមើលនៅលើទំព័រផ្សេងទៀត។

នៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃផលិតផល និងកូតាយ៉ង់នៅក្នុងបញ្ហាពិតប្រាកដ វាតែងតែចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយ ដូច្នេះឧទាហរណ៍ជាច្រើនទៀតអំពីនិស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះមាននៅក្នុងអត្ថបទ។"ដេរីវេនៃ​ផលិតផល​មួយ​និង​កូតា".

មតិយោបល់។អ្នក​មិន​គួរ​ច្រឡំ​លេខ​ថេរ​មួយ​ជា​ពាក្យ​ក្នុង​ផលបូក​និង​ជា​កត្តា​ថេរ! នៅក្នុងករណីនៃពាក្យមួយ ដេរីវេរបស់វាស្មើនឹងសូន្យ ហើយនៅក្នុងករណីនៃកត្តាថេរ វាត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ នេះ​ជា​កំហុស​ធម្មតា​ដែល​កើត​ឡើង​នៅ​ក្នុង​ដំណាក់​កាល​ដំបូង​នៃ​ការ​សិក្សា​និស្សន្ទវត្ថុ ប៉ុន្តែ​ខណៈ​ដែល​សិស្ស​មធ្យម​បាន​ដោះស្រាយ​ឧទាហរណ៍​មួយ​ពីរ​ផ្នែក​មួយ​ចំនួន សិស្ស​មធ្យម​លែង​ធ្វើ​កំហុស​នេះ​ទៀត​ហើយ។

ហើយប្រសិនបើនៅពេលបែងចែកផលិតផល ឬកូតាខុសគ្នា អ្នកមានពាក្យ យូ"v, ម្ល៉ោះ យូ- លេខឧទាហរណ៍ 2 ឬ 5 នោះគឺថេរ បន្ទាប់មកដេរីវេនៃលេខនេះនឹងស្មើនឹងសូន្យ ហើយដូច្នេះពាក្យទាំងមូលនឹងស្មើនឹងសូន្យ (ករណីបែបនេះត្រូវបានវិភាគក្នុងឧទាហរណ៍ 10) .

កំហុសទូទៅមួយទៀតគឺដំណោះស្រាយមេកានិកនៃដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញដែលជាដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ។ ដូច្នេះ ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញឧទ្ទិសដល់អត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយ។ ប៉ុន្តែជាដំបូងយើងនឹងរៀនស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារសាមញ្ញ។

នៅតាមផ្លូវអ្នកមិនអាចធ្វើបានដោយគ្មានការផ្លាស់ប្តូរកន្សោមទេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ អ្នកប្រហែលជាត្រូវបើកក្នុងសៀវភៅណែនាំ windows ថ្មី។ សកម្មភាពដោយអំណាច និងឫសគល់និង សកម្មភាពជាមួយប្រភាគ .

ប្រសិនបើអ្នកកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះនិស្សន្ទវត្ថុដោយអំណាច និងឫស នោះមានន័យថានៅពេលដែលមុខងារមើលទៅដូច បន្ទាប់មកអនុវត្តតាមមេរៀន "ដេរីវេនៃផលបូកនៃប្រភាគដែលមានអំណាច និងឫស"។

ប្រសិនបើអ្នកមានភារកិច្ចដូច បន្ទាប់មកអ្នកស្ថិតនៅក្នុងមេរៀន "ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ"។

ឧទាហរណ៍មួយជំហានម្តង ៗ - របៀបស្វែងរកដេរីវេ

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងកំណត់ផ្នែកនៃកន្សោមនៃអនុគមន៍៖ កន្សោមទាំងមូលតំណាងឱ្យផលិតផល ហើយកត្តារបស់វាគឺផលបូក ដែលនៅក្នុងទីពីរនៃពាក្យមួយមានកត្តាថេរ។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល៖ ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃមុខងារនីមួយៗ និងដេរីវេនៃមុខងារផ្សេងទៀត៖

បន្ទាប់មក យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលបូក៖ ដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិតនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង ក្នុងផលបូកនីមួយៗ ពាក្យទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ នៅក្នុងផលបូកនីមួយៗ យើងឃើញទាំងអថេរឯករាជ្យ ដេរីវេនៃដែលស្មើនឹងមួយ និងថេរ (ចំនួន) ដេរីវេនៃដែលស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ "x" ប្រែទៅជាមួយហើយដក 5 ទៅជាសូន្យ។ នៅក្នុងកន្សោមទីពីរ "x" ត្រូវបានគុណនឹង 2 ដូច្នេះយើងគុណពីរដោយឯកតាដូចគ្នានឹងដេរីវេនៃ "x" ។ យើង​ទទួល​បាន​តម្លៃ​ខាង​ក្រោម​នៃ​និស្សន្ទវត្ថុ៖

យើងជំនួសនិស្សន្ទវត្ថុដែលបានរកឃើញទៅក្នុងផលបូកនៃផលិតផល និងទទួលបានដេរីវេនៃមុខងារទាំងមូលដែលត្រូវការដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងតម្រូវឱ្យស្វែងរកដេរីវេនៃកូតានិក។ យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា៖ ដេរីវេនៃកូតានៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងប្រភាគដែលភាគបែងជាភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃភាគបែង និងដេរីវេនៃភាគយក និងភាគយក និងដេរីវេនៃភាគបែង និង ភាគបែងគឺជាការ៉េនៃអតីតភាគយក។ យើង​ទទួល​បាន:

យើងបានរកឃើញដេរីវេនៃកត្តានៅក្នុងភាគយកក្នុងឧទាហរណ៍ទី 2 រួចហើយ។ ចូរកុំភ្លេចថាផលិតផលដែលជាកត្តាទីពីរនៅក្នុងភាគយកត្រូវបានយកដោយសញ្ញាដកក្នុងឧទាហរណ៍បច្ចុប្បន្ន៖

ប្រសិនបើអ្នកកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាបែបនេះដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារមួយ ដែលជាកន្លែងដែលមានគំនរបន្តនៃឫស និងដឺក្រេ ដូចជាឧទាហរណ៍។ បន្ទាប់មកសូមស្វាគមន៍មកកាន់ថ្នាក់ "ដេរីវេនៃផលបូកនៃប្រភាគដែលមានអំណាចនិងឫស" .

ប្រសិនបើអ្នកត្រូវស្វែងយល់បន្ថែមអំពីដេរីវេនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត នោះគឺជាពេលដែលមុខងារមើលទៅដូច បន្ទាប់មកអ្នកមានមេរៀន "ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ" .

ឧទាហរណ៍ ៥ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ នៅក្នុងមុខងារនេះ យើងឃើញផលិតផលមួយ កត្តាមួយគឺជាឫសការ៉េនៃអថេរឯករាជ្យ ជាមួយនឹងដេរីវេនៃដែលយើងស្គាល់ខ្លួនឯងនៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល និងតម្លៃតារាងនៃដេរីវេនៃឫសការ៉េ យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ ៦ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ការសម្រេចចិត្ត។ នៅក្នុងអនុគមន៍នេះ យើងឃើញ quotient ដែលជាភាគលាភដែលជាឫសការ៉េនៃអថេរឯករាជ្យ។ យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃកូតាដែលយើងបានធ្វើម្តងទៀត និងអនុវត្តក្នុងឧទាហរណ៍ទី 4 និងតម្លៃតារាងនៃដេរីវេនៃឫសការ៉េ យើងទទួលបាន៖

ដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគក្នុងភាគយក គុណភាគយក និងភាគបែងដោយ .

វគ្គសិក្សាវីដេអូ "ទទួលបាននិទ្ទេស A" រួមមានប្រធានបទទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការប្រឡងជាប់ដោយជោគជ័យក្នុងគណិតវិទ្យាដោយពិន្ទុ 60-65 ។ បំពេញកិច្ចការទាំងអស់ 1-13 នៃ Profile USE ក្នុងគណិតវិទ្យា។ ក៏សមរម្យសម្រាប់ការឆ្លងកាត់ USE មូលដ្ឋានក្នុងគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ប្រឡងជាប់ដោយពិន្ទុ 90-100 អ្នកត្រូវដោះស្រាយផ្នែកទី 1 ក្នុងរយៈពេល 30 នាទីដោយគ្មានកំហុស!

វគ្គ​ត្រៀម​ប្រឡង​ថ្នាក់​ទី ១០ ដល់​ទី ១១ ព្រម​ទាំង​គ្រូ។ អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ដែល​អ្នក​ត្រូវ​ការ​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​ផ្នែក​ទី 1 នៃ​ការ​ប្រឡង​ក្នុង​គណិតវិទ្យា (បញ្ហា 12 ដំបូង​) និង​បញ្ហា 13 (ត្រីកោណមាត្រ​) ។ ហើយនេះគឺច្រើនជាង 70 ពិន្ទុនៅលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម ហើយទាំងសិស្សមួយរយពិន្ទុ ឬមនុស្សធម៌មិនអាចធ្វើដោយគ្មានពួកគេ។

ទ្រឹស្តីចាំបាច់ទាំងអស់។ ដំណោះស្រាយរហ័ស អន្ទាក់ និងអាថ៌កំបាំងនៃការប្រឡង។ កិច្ចការពាក់ព័ន្ធទាំងអស់នៃផ្នែកទី 1 ពីកិច្ចការរបស់ធនាគារ FIPI ត្រូវបានវិភាគ។ វគ្គសិក្សាអនុលោមតាមតម្រូវការរបស់ USE-2018 យ៉ាងពេញលេញ។

វគ្គសិក្សាមាន 5 ប្រធានបទធំ 2.5 ម៉ោងនីមួយៗ។ ប្រធានបទនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពីទទេ សាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

កិច្ចការប្រឡងរាប់រយ។ បញ្ហាអត្ថបទ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ក្បួនដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។ ធរណីមាត្រ។ ទ្រឹស្ដី ឯកសារយោង ការវិភាគគ្រប់ប្រភេទនៃកិច្ចការ USE ។ ស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ ល្បិចល្បិចសម្រាប់ដោះស្រាយ, សន្លឹកបន្លំដែលមានប្រយោជន៍, ការអភិវឌ្ឍន៍ការស្រមើលស្រមៃក្នុងលំហ។ ត្រីកោណមាត្រពីទទេ - ទៅភារកិច្ច 13. ការយល់ដឹងជំនួសឱ្យការ cramming ។ ការពន្យល់ដែលមើលឃើញនៃគំនិតស្មុគស្មាញ។ ពិជគណិត។ ឫស អំណាច និងលោការីត មុខងារ និងដេរីវេ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាស្មុគស្មាញនៃផ្នែកទី 2 នៃការប្រឡង។