លេខស្មុគស្មាញ

គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ទិន្នន័យដំបូងនៅលើលេខសំដៅទៅលើយុគសម័យថ្ម - Paleomelite ។ ទាំងនេះគឺជា "មួយ" "ពីរបី" និង "ជាច្រើន" ។ ពួកគេត្រូវបានកត់ត្រាក្នុងទម្រង់ជាស្នាមរន្ធ ស្នាមប្រេះ។ល។ ការអភិវឌ្ឍន៍នៃដំណើរការការងារ និងការកើតឡើងនៃទ្រព្យសម្បត្តិបានបង្ខំឱ្យមនុស្សបង្កើតលេខ និងឈ្មោះរបស់ពួកគេ។ លេខធម្មជាតិបានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូង នទទួលបានដោយការរាប់វត្ថុ។ បន្ទាប់មក រួមជាមួយនឹងតម្រូវការសម្រាប់ការរាប់ មនុស្សមានតម្រូវការវាស់ប្រវែង តំបន់ បរិមាណ ពេលវេលា និងបរិមាណផ្សេងទៀត ដែលចាំបាច់ត្រូវគិតគូរផ្នែកខ្លះនៃរង្វាស់ដែលបានប្រើ។ នេះជារបៀបដែលប្រភាគបានកើតមក។ ការបញ្ជាក់ជាផ្លូវការនៃគោលគំនិតនៃចំនួនប្រភាគ និងអវិជ្ជមានត្រូវបានអនុវត្តនៅសតវត្សទី 19 ។ សំណុំនៃចំនួនគត់ Zគឺជាលេខធម្មជាតិ លេខធម្មជាតិដែលមានសញ្ញាដក និងសូន្យ។ ចំនួនគត់ និងប្រភាគបានបង្កើតជាសំណុំនៃលេខសនិទាន សំណួរប៉ុន្តែទោះបីជាវាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការសិក្សាការផ្លាស់ប្តូរអថេរជាបន្តបន្ទាប់ក៏ដោយ។ លោកុប្បត្តិម្តងទៀតបានបង្ហាញពីភាពមិនល្អឥតខ្ចោះនៃគណិតវិទ្យា៖ ភាពមិនអាចទៅរួចនៃការដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ X 2 = 3 ទាក់ទងនឹងលេខដែលមិនសមហេតុផលបានបង្ហាញខ្លួន ខ្ញុំសហភាពនៃសំណុំនៃលេខសនិទាន សំណួរនិងលេខមិនសមហេតុផល ខ្ញុំគឺជាសំណុំនៃចំនួនពិត (ឬពិត) រ. ជាលទ្ធផល បន្ទាត់លេខត្រូវបានបំពេញ៖ ចំនួនពិតនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចមួយនៅលើវា។ ប៉ុន្តែនៅលើឈុត រមិនមានវិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការទេ។ X 2 = – ក២. អាស្រ័យហេតុនេះ ជាថ្មីម្តងទៀត មានតម្រូវការពង្រីកគោលគំនិតនៃលេខ។ ដូច្នេះនៅឆ្នាំ 1545 ចំនួនកុំផ្លិចបានលេចឡើង។ អ្នកបង្កើតរបស់ពួកគេ J. Cardano បានហៅពួកគេថា "អវិជ្ជមានសុទ្ធសាធ" ។ ឈ្មោះ "ការស្រមើលស្រមៃ" ត្រូវបានណែនាំនៅឆ្នាំ 1637 ដោយជនជាតិបារាំង R. Descartes ក្នុងឆ្នាំ 1777 អយល័របានស្នើឱ្យប្រើអក្សរទីមួយនៃលេខបារាំង។ ខ្ញុំដើម្បីសម្គាល់ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ និមិត្តសញ្ញានេះបានចូលប្រើជាទូទៅដោយអរគុណដល់ K. Gauss ។

ក្នុងអំឡុងសតវត្សទី 17 និង 18 ការពិភាក្សាអំពីលក្ខណៈនព្វន្ធនៃការស្រមើលស្រមៃ និងការបកស្រាយធរណីមាត្ររបស់ពួកគេបានបន្ត។ Dane H. Wessel ជនជាតិបារាំង J. Argan និងជនជាតិអាឡឺម៉ង់ K. Gauss បានស្នើដោយឯករាជ្យថាចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។ ក្រោយមកវាបានប្រែក្លាយថាវាកាន់តែងាយស្រួលជាងមុនក្នុងការតំណាងឱ្យលេខមិនមែនដោយចំណុចខ្លួនឯងនោះទេ ប៉ុន្តែដោយវ៉ិចទ័រទៅចំណុចនេះពីប្រភពដើម។

មានតែនៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 18 - ដើមសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះដែលលេខស្មុគស្មាញទទួលបានកន្លែងត្រឹមត្រូវរបស់ពួកគេក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ការប្រើប្រាស់ដំបូងរបស់ពួកគេគឺនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងនៅក្នុងទ្រឹស្ដីធារាសាស្ត្រ។

និយមន័យ ១.ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាកន្សោមនៃទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែល xនិង yគឺជាចំនួនពិត និង ខ្ញុំគឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។

ចំនួនកុំផ្លិចពីរ និង ស្មើប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើ , .

ប្រសិនបើនោះលេខត្រូវបានហៅ ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ; ប្រសិនបើ នោះលេខគឺជាចំនួនពិត ដែលមានន័យថាសំណុំ រ ជាមួយកន្លែងណា ជាមួយគឺជាសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ផ្សំទៅចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច។

តំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។

លេខកុំផ្លិចណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដោយចំណុច។ ម(x, y) យន្តហោះ អុកសុី.គូនៃចំនួនពិតក៏បង្ហាញពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រកាំ , i.e. រវាងសំណុំនៃវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះ និងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច គេអាចបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់នឹងមួយ៖ .

និយមន័យ ២.ផ្នែកពិត X.

ការកំណត់: x= Re z(ពីឡាតាំង Realis) ។

និយមន័យ ៣.ផ្នែកស្រមើលស្រមៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាចំនួនពិត y.

ការកំណត់: y= អ៊ឹម z(ពីឡាតាំង Imaginarius) ។

ឡើងវិញ zត្រូវបានដាក់នៅលើអ័ក្ស ( អូ), អ៊ឹម zត្រូវបានដាក់នៅលើអ័ក្ស ( អូ) បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រដែលត្រូវនឹងចំនួនកុំផ្លិច គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច ម(x, y), (ឬ ម(ឡើងវិញ z, អ៊ឹម z)) (រូបទី 1) ។

និយមន័យ ៤.យន្តហោះដែលពិន្ទុត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញ. abscissa ត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សពិតព្រោះវាមានលេខពិត។ អ័ក្ស y ត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សស្រមៃវាមានចំនួនកុំផ្លិចដែលស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ សំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានតំណាង ជាមួយ.

និយមន័យ ៥.ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច z = (x, y) គឺជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ : , i.e. .

និយមន័យ ៦.អាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាមុំរវាងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស ( អូ) និងវ៉ិចទ័រ៖ .

លេខស្មុគស្មាញ

ការស្រមើស្រមៃ និង លេខស្មុគស្មាញ។ Abscissa និងតែងតាំង

ចំនួនកុំផ្លិច។ ផ្សំលេខកុំផ្លិច។

ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិច។ ធរណីមាត្រ

តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច។ យន្តហោះស្មុគស្មាញ។

ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ត្រីកោណមាត្រ

ទម្រង់លេខស្មុគស្មាញ។ ប្រតិបត្តិការជាមួយស្មុគស្មាញ

លេខក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ រូបមន្ត Moivre ។

ព័ត៌មានមូលដ្ឋានអំពី ការស្រមើស្រមៃ និង លេខស្មុគស្មាញ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្នែក "ការស្រមើលស្រមៃនិងចំនួនកុំផ្លិច" ។ តម្រូវការសម្រាប់លេខទាំងនេះនៃប្រភេទថ្មីបានលេចឡើងនៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់ករណីឃ< 0 (здесь ឃគឺជាការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ) ។ អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយលេខទាំងនេះមិនបានរកឃើញការប្រើប្រាស់រូបវ័ន្តទេដែលនេះជាមូលហេតុដែលពួកគេត្រូវបានគេហៅថាលេខ "ស្រមើលស្រមៃ" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយឥឡូវនេះពួកវាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃរូបវិទ្យា។

និងបច្ចេកវិទ្យា៖ វិស្វកម្មអគ្គិសនី ធារាសាស្ត្រ និងលំហអាកាស ទ្រឹស្តីនៃការបត់បែន។ល។

លេខស្មុគស្មាញ ត្រូវបានសរសេរជា៖a+bi. នៅទីនេះ កនិង ខ – ចំនួនពិត , ក ខ្ញុំ – ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។អ៊ី ខ្ញុំ 2 = –1. ចំនួន កបានហៅ abscissa, ក ខ - ចាត់តាំងចំនួនកុំផ្លិចក + ខ។លេខស្មុគស្មាញពីរa+biនិង a-bi បានហៅ ផ្សំលេខស្មុគស្មាញ។

កិច្ចព្រមព្រៀងសំខាន់ៗ៖

1. ចំនួនពិតកក៏អាចសរសេរជាទម្រង់បានដែរ។ចំនួនកុំផ្លិច៖ក + 0 ខ្ញុំឬ ក- 0 ខ្ញុំ. ឧទាហរណ៍ ធាតុ 5 + 0ខ្ញុំនិង 5 - 0 ខ្ញុំមានន័យថាលេខដូចគ្នា។ 5 .

2. លេខស្មុគស្មាញ 0 + ប៊ីបានហៅ ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ ចំនួន. ការថតប៊ីមាន​ន័យ​ដូច​គ្នា​នឹង 0 + ប៊ី.

3. ចំនួនកុំផ្លិចពីរa+bi និងគ + ឌីត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នាប្រសិនបើa = គនិង b = ឃ. បើមិនដូច្នេះទេ។ ចំនួនកុំផ្លិចមិនស្មើគ្នា។

ការបន្ថែម។ ផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិចa+biនិង គ + ឌីត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច (a+c ) + (b+d ) ខ្ញុំដូច្នេះ នៅពេលបន្ថែម ចំនួនកុំផ្លិច, abscissas និង ordinates របស់វាត្រូវបានបន្ថែមដោយឡែកពីគ្នា។

និយមន័យនេះអនុវត្តតាមច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយជាមួយពហុនាមធម្មតា។

ដក។ ភាពខុសគ្នារវាងចំនួនកុំផ្លិចពីរa+bi(កាត់បន្ថយ) និង គ + ឌី(ដក) ហៅថា ចំនួនកុំផ្លិច (ក-គ ) + (ខ-ឃ ) ខ្ញុំ

ដូច្នេះ នៅពេលដកចំនួនកុំផ្លិចចំនួនពីរ abscissas និង ordinates របស់ពួកគេត្រូវបានដកដោយឡែកពីគ្នា។

គុណ។ ផលិតផលនៃចំនួនកុំផ្លិចa+biនិង គ + ឌី ត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច។

(ac-bd ) + (ពាណិជ្ជកម្ម + ប៊ីស៊ី ) ខ្ញុំនិយមន័យនេះកើតចេញពីតម្រូវការពីរ៖

1) លេខ a+biនិង គ + ឌីគួរតែគុណដូចពិជគណិតទ្វេ​នាម

2) លេខ ខ្ញុំមានទ្រព្យសម្បត្តិចម្បង៖ខ្ញុំ 2 = – 1.

ឧទាហរណ៍ ( a + ប៊ី )(a-bi) = ក 2 + ខ 2 . អាស្រ័យហេតុនេះ ការងារ

ចំនួនកុំផ្លិចដែលផ្សំពីរគឺស្មើនឹងចំនួនពិត

លេខវិជ្ជមាន។

ការបែងចែក។ ចែកចំនួនកុំផ្លិចa+bi (បែងចែក) ទៅមួយទៀតគ + ឌី(ចែក) - មានន័យថាស្វែងរកលេខទីបីអ៊ី + ហ្វី(ជជែក) ដែលនៅពេលគុណនឹងចែកគ + ឌីដែលជាលទ្ធផលនៅក្នុងភាគលាភក + ខ។

ប្រសិនបើការបែងចែកមិនមែនសូន្យទេ ការបែងចែកគឺតែងតែអាចធ្វើទៅបាន។

ឧទាហរណ៍ ស្វែងរក (8+ខ្ញុំ ) : (2 – 3 ខ្ញុំ) .

ដំណោះស្រាយ ចូរយើងសរសេរសមាមាត្រនេះឡើងវិញជាប្រភាគ៖

គុណភាគយក និងភាគបែងរបស់វាដោយ 2 + 3ខ្ញុំ

និង បន្ទាប់ពីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ យើងទទួលបាន៖

តំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ លេខពិតត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើបន្ទាត់លេខ៖

នេះគឺជាចំណុច កមានន័យថាលេខ -៣ ចំណុចខគឺជាលេខ 2 និង អូ- សូន្យ។ ផ្ទុយទៅវិញ ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។ ចំពោះបញ្ហានេះ យើងជ្រើសរើសកូអរដោនេចតុកោណកែង (Cartesian) ដែលមានមាត្រដ្ឋានដូចគ្នានៅលើអ័ក្សទាំងពីរ។ បន្ទាប់មកចំនួនកុំផ្លិចa+bi នឹងត្រូវបានតំណាងដោយចំណុច P ជាមួយ abscissa ក និង​ចាត់ចែង ខ (សូមមើលរូបភព។ ) ប្រព័ន្ធកូអរដោនេនេះត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញ .

ម៉ូឌុល ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងវ៉ិចទ័រOPដោយពណ៌នាអំពីចំនួនកុំផ្លិចនៅលើកូអរដោណេ ( ទូលំទូលាយ) យន្តហោះ។ ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិចa+biតំណាងដោយ | a+bi| ឬលិខិត r

លេខស្មុគស្មាញ តំណាងរបស់ពួកគេនៅលើយន្តហោះ។ ប្រតិបត្តិការពិជគណិតលើចំនួនកុំផ្លិច។ ការផ្សំស្មុគស្មាញ។ ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ទម្រង់ពិជគណិត និងត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឫសគល់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់ស្មុគស្មាញ។ រូបមន្តអយល័រ។ ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច។

នៅពេលសិក្សាវិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយនៃសមាហរណកម្ម - ការរួមបញ្ចូលនៃប្រភាគសនិទាន - វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពិចារណាពហុនាមនៅក្នុងដែនស្មុគស្មាញសម្រាប់ការបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់។ ដូច្នេះ ចូរយើងសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃចំនួនកុំផ្លិច និងប្រតិបត្តិការលើពួកវាជាមុនសិន។

និយមន័យ 7.1 ។ ចំនួនកុំផ្លិច z គឺជាគូលំដាប់នៃចំនួនពិត (a, b)៖ z = (a, b) (ពាក្យ "លំដាប់" មានន័យថា លំដាប់នៃលេខ a និង b មានសារៈសំខាន់ក្នុងការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖ (a , ខ) )) ។ ក្នុងករណីនេះលេខទីមួយ a ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច z និងត្រូវបានតំណាង a = Re z ហើយលេខទីពីរ b ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃ z: b = Im z ។

និយមន័យ 7.2 ។ ចំនួនកុំផ្លិច z 1 \u003d (a 1, b 1) និង z 2 \u003d (a 2, b 2) គឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើពួកគេមានផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃស្មើគ្នា នោះគឺ a 1 \u003d a 2 ។ b 1 \u003d b2 ។

សកម្មភាពលើចំនួនកុំផ្លិច។

1. ផលបូកលេខស្មុគស្មាញ z1 =(a 1 , b 1) និង z2 =(a 2 , b 2 z=(ក, ខ) បែបនោះ។ a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 ។លក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែម៖ ក) z1 + z2 = z2 + z1; ខ) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; គ) មានចំនួនកុំផ្លិច 0 = (0,0)៖ z+ 0 =zសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច z.

2. ការងារលេខស្មុគស្មាញ z1 =(a 1 , b 1) និង z2 =(a 2 , b 2) ត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច z=(ក, ខ) បែបនោះ។ a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1 ។គុណលក្ខណៈ៖ ក) z 1 z 2 = z 2 z 1; ខ) z1 (z 2 z ៣) = (z 1 z ២) z3, ក្នុង) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 ។

មតិយោបល់។ សំណុំរងនៃសំណុំចំនួនកុំផ្លិច គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតដែលបានកំណត់ជាចំនួនកុំផ្លិចនៃទម្រង់ ( ក, 0). វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាក្នុងករណីនេះនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការលើចំនួនកុំផ្លិចរក្សាច្បាប់ដែលគេស្គាល់នៃប្រតិបត្តិការដែលត្រូវគ្នាលើចំនួនពិត។ លើសពីនេះ ចំនួនពិត 1 = (1,0) រក្សាទ្រព្យសម្បត្តិរបស់វា នៅពេលដែលគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចណាមួយ៖ 1∙ z = z ។

និយមន័យ 7.3 ។ចំនួនកុំផ្លិច (0, ខ) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ. ជាពិសេសលេខ (0,1) ត្រូវបានគេហៅថា ឯកតាស្រមើលស្រមៃនិងជានិមិត្តសញ្ញា ខ្ញុំ.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឯកតាស្រមើលស្រមៃ៖

1) i∙i=i² = -1; 2) លេខស្រមើលស្រមៃសុទ្ធ (0, ខ) អាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃចំនួនពិត ( ខ, 0) និង ខ្ញុំ: (ខ, 0) = b∙i។

ដូច្នេះចំនួនកុំផ្លិច z = (a, b) អាចតំណាងជា៖ (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib ។

និយមន័យ 7.4 ។ សញ្ញាណនៃទម្រង់ z = a + ib ត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។

មតិយោបល់។ ការសម្គាល់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិចធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការលើពួកវាដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតានៃពិជគណិត។

និយមន័យ 7.5 ។ ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថា conjugate ស្មុគស្មាញនៃ z = a + ib ។

3. ដកចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសនៃការបន្ថែម៖ z=(ក, ខ) ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិច z1 =(a 1 , b 1) និង z2 =(a 2 , b 2), ប្រសិនបើ a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2 ។

4. ការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ថាជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសនៃគុណ៖ លេខ z = a + ibត្រូវបានគេហៅថា កូតានៃការបែងចែក z 1 = a 1 + ib 1និង z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) ប្រសិនបើ z 1 = z∙z 2 ។ដូច្នេះផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃកូតាអាចត្រូវបានរកឃើញពីដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ៖ a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1 ។

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច.

លេខស្មុគស្មាញ z=(ក, ខ) អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ជា​ចំណុច​មួយ​នៅ​លើ​យន្តហោះ​ជាមួយ​នឹង​កូអរដោណេ ( ក, ខ) ឬវ៉ិចទ័រដែលមានប្រភពដើម និងបញ្ចប់នៅចំណុច ( ក, ខ).

ក្នុងករណីនេះម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច ហើយមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស x គឺ អាគុយម៉ង់លេខ។ បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ a = ទំ cos φ, b = ρអំពើបាប φ, កន្លែងណា ρ = |z| - ម៉ូឌុល z,និង φ = arg z គឺជាអាគុយម៉ង់របស់វា យើងអាចទទួលបានទម្រង់ផ្សេងទៀតនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖

និយមន័យ 7.6 ។មើលកំណត់ត្រា

z = ទំ(cos φ + ខ្ញុំអំពើបាប φ ) (7.1)

បានហៅ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រសញ្ញាណនៃចំនួនកុំផ្លិច។

នៅក្នុងវេន ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ កនិង ខ: . ដូច្នេះ អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចមិនត្រូវបានកំណត់តែមួយទេ ប៉ុន្តែរហូតដល់ពាក្យដែលជាពហុគុណនៃ 2π ។

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិចត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ។ ពិចារណាការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃការគុណ។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មក

ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃផលិតផលនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺស្មើនឹងផលគុណនៃម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ ហើយអាគុយម៉ង់គឺជាផលបូកនៃអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ។ ដូច្នោះហើយ នៅពេលបែងចែក ម៉ូឌុលនៃកូតាគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃម៉ូឌុលនៃភាគលាភ និងការបែងចែក ហើយអាគុយម៉ង់គឺជាភាពខុសគ្នារវាងអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ។

ករណីពិសេសនៃប្រតិបត្តិការគុណគឺ និទស្សន្ត៖

- រូបមន្តរបស់ De Moivre.

ដោយប្រើទំនាក់ទំនងដែលទទួលបាន យើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃលេខផ្សំស្មុគស្មាញ៖

លេខស្មុគស្មាញ និង
សំរបសំរួល
យន្តហោះ

គំរូធរណីមាត្រនៃសំណុំ R នៃចំនួនពិតគឺជាបន្ទាត់លេខ។ រាល់ចំនួនពិតត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចតែមួយ

នៅ​លើ
បន្ទាត់លេខ និងចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់
ការប្រកួតតែមួយគត់
ចំនួនពិត!

ដោយបន្ថែមទៅបន្ទាត់លេខដែលត្រូវនឹងសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់មួយវិមាត្របន្ថែមទៀត - បន្ទាត់ដែលមានសំណុំនៃ m សុទ្ធ

ការបន្ថែមទៅបន្ទាត់លេខដែលត្រូវនឹងសំណុំ
នៃចំនួនពិតទាំងអស់មួយវិមាត្របន្ថែមទៀត -
បន្ទាត់ដែលមានសំណុំនៃលេខស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ -
យើងទទួលបានយន្តហោះកូអរដោណេដែលនីមួយៗ
ចំនួនកុំផ្លិច a + bi អាចត្រូវបានភ្ជាប់
ចំណុច (a; b) នៃយន្តហោះកូអរដោណេ។
i=0+1i ត្រូវ​នឹង​ចំណុច (0;1)
2+3i ត្រូវ​នឹង​ចំណុច (2;3)
-i-4 ផ្គូផ្គងចំនុច (-4;-1)
5=5+1i ត្រូវ​នឹង​ភាព​ស្រពិចស្រពិល (5;0)

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃប្រតិបត្តិការផ្សំ

! ប្រតិបត្តិការនៃការភ្ជាប់គឺអ័ក្ស
ស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស x ។
!! បានភ្ជាប់គ្នាទៅវិញទៅមក
ចំនួនកុំផ្លិចគឺសមមូលពី
ប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ។
!!! វ៉ិចទ័រពណ៌នា
លេខភ្ជាប់ ផ្អៀងទៅអ័ក្ស
abscissa នៅមុំដូចគ្នាប៉ុន្តែ
ដែលមានទីតាំងនៅសងខាង
អ័ក្សនេះ។

រូបភាពនៃចំនួនពិត

រូបភាពនៃចំនួនកុំផ្លិច

ពិជគណិត
វិធី
រូបភាព៖
លេខស្មុគស្មាញ
a+bi ត្រូវបានបង្ហាញ
ចំណុចយន្តហោះ
ជាមួយនឹងកូអរដោនេ
(a; ខ)

ឧទាហរណ៍នៃការតំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិចនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ

(យើងចាប់អារម្មណ៍
លេខស្មុគស្មាញ
z=x+yi ដែលសម្រាប់
x=-4 ។ នេះគឺជាសមីការ
ត្រង់,
អ័ក្សប៉ារ៉ាឡែល
ចាត់តាំង)
នៅ
X = − ៤
មានសុពលភាព
ផ្នែកគឺ -4
0
X

គូរនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ សំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចទាំងអស់ដែល៖

ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ
គឺសូម្បីតែ
មិនច្បាស់លាស់
ធម្មជាតិ
ចំនួន
(យើងចាប់អារម្មណ៍
លេខស្មុគស្មាញ
z=x+yi
y=2,4,6,8។
រូបភាពធរណីមាត្រ
មានបួន
បន្ទាត់ត្រង់, ប៉ារ៉ាឡែល
abscissa)
នៅ
8
6
4
2
0
X