ការវិភាគគណិតវិទ្យាគឺជាសាខានៃគណិតវិទ្យាដែលទាក់ទងនឹងការសិក្សាអំពីមុខងារដោយផ្អែកលើគំនិតនៃអនុគមន៍គ្មានកំណត់។

គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការវិភាគគណិតវិទ្យាគឺ បរិមាណ សំណុំ មុខងារ អនុគមន៍គ្មានកំណត់ ដែនកំណត់ ដេរីវេវ អាំងតេក្រាល។

តម្លៃអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអាចវាស់វែង និងបង្ហាញដោយលេខត្រូវបានគេហៅថា។

ជាច្រើនគឺ​ជា​បណ្តុំ​នៃ​ធាតុ​មួយ​ចំនួន​ដែល​រួបរួម​ដោយ​លក្ខណៈ​ទូទៅ​មួយ​ចំនួន។ ធាតុនៃសំណុំអាចជាលេខ តួលេខ វត្ថុ គំនិត។ល។

សំណុំត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំ និងធាតុនៃសំណុំដោយអក្សរតូច។ ធាតុសំណុំត្រូវបានរុំព័ទ្ធដោយដង្កៀបអង្កាញ់។

ប្រសិនបើធាតុ xជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ X, បន្ទាប់មក​សរសេរ x∈X (∈ - ជាកម្មសិទ្ធិ) ។
ប្រសិនបើកំណត់ A ជាផ្នែកនៃសំណុំ B បន្ទាប់មកសរសេរ ក ⊂ ខ (⊂ - មាន) ។

សំណុំអាចត្រូវបានកំណត់តាមវិធីមួយក្នុងចំណោមវិធីពីរយ៉ាង៖ ដោយការរាប់បញ្ចូល និងដោយការកំណត់ទ្រព្យសម្បត្តិ។

ឧទាហរណ៍ ការរាប់លេខកំណត់សំណុំដូចខាងក្រោមៈ

• A=(1,2,3,5,7) - សំណុំលេខ
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) គឺជាសំណុំនៃធាតុមួយចំនួន x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) ជាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ
• Z=(0,±1,±2,...,±n) ជា​សំណុំ​នៃ​ចំនួន​គត់

សំណុំ (-∞;+∞) ត្រូវបានគេហៅថា បន្ទាត់លេខហើយលេខណាមួយគឺជាចំណុចនៃបន្ទាត់នេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យ a ជាចំណុចបំពាននៅលើបន្ទាត់ពិត និង δ ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ចន្លោះពេល (a-δ; a+δ) ត្រូវបានគេហៅថា δ-សង្កាត់នៃចំណុច ក.

សំណុំ X ត្រូវបានចងពីខាងលើ (ពីខាងក្រោម) ប្រសិនបើមានលេខ c ដែលសម្រាប់ x ∈ X ណាមួយ វិសមភាព x≤с (x≥c) ពេញចិត្ត។ លេខ c ក្នុងករណីនេះត្រូវបានគេហៅថា គែមខាងលើ (បាត)កំណត់ X. សំណុំដែលមានព្រំប្រទល់ខាងលើ និងខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថា មានកំណត់. តូចបំផុត (ធំបំផុត) នៃមុខខាងលើ (ខាងក្រោម) នៃឈុតត្រូវបានគេហៅថា មុខខាងលើ (បាត) ពិតប្រាកដឈុតនេះ។

សំណុំលេខមូលដ្ឋាន

ន	(1,2,3,...,n) សំណុំនៃទាំងអស់។
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) កំណត់ លេខទាំងមូល។សំណុំនៃចំនួនគត់រួមបញ្ចូលសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។
សំណួរ	មួយ​បាច់ លេខសមហេតុផល. បន្ថែមពីលើលេខទាំងមូល វាក៏មានប្រភាគផងដែរ។ ប្រភាគគឺជាកន្សោមនៃទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែល ទំគឺជាចំនួនគត់ q- ធម្មជាតិ។ ទសភាគក៏អាចសរសេរជា . ឧទាហរណ៍៖ 0.25 = 25/100 = 1/4 ។ ចំនួនគត់ក៏អាចត្រូវបានសរសេរជា . ឧទាហរណ៍ក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគដែលមានភាគបែងនៃ "មួយ": 2 = 2/1 ។ ដូច្នេះ លេខសនិទានភាពណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគទសភាគ - កំណត់ ឬតាមកាលកំណត់។
រ	ជាច្រើននៃទាំងអស់។ ចំនួនពិត. លេខមិនសមហេតុផលគឺជាប្រភាគដែលមិនកំណត់តាមកាលកំណត់។ ទាំងនេះ​រួម​បញ្ចូល​ទាំង: រួមគ្នា សំណុំពីរ (លេខសនិទានភាព និងលេខមិនសមហេតុផល) បង្កើតជាសំណុំនៃចំនួនពិត (ឬពិត) ។

ប្រសិនបើសំណុំមិនមានធាតុទេនោះវាត្រូវបានហៅ សំណុំទទេនិងបានកត់ត្រាទុក Ø .

ធាតុនៃនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខល

សញ្ញាណ ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

អ្នកកំណត់បរិមាណ

នៅពេលសរសេរកន្សោមគណិតវិទ្យា បរិមាណត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។

អ្នកកំណត់បរិមាណត្រូវបានគេហៅថានិមិត្តសញ្ញាឡូជីខលដែលកំណត់លក្ខណៈធាតុដែលធ្វើតាមវាក្នុងន័យបរិមាណ។

• ∀- បរិមាណទូទៅត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យពាក្យ "សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា", "សម្រាប់នរណាម្នាក់" ។
• ∃- បរិមាណអត្ថិភាពត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យពាក្យ "មាន", "មាន" ។ បន្សំនិមិត្តសញ្ញា ∃! ក៏ត្រូវបានគេប្រើផងដែរ ដែលត្រូវបានអានថាមានតែមួយ។

ប្រតិបត្តិការលើឈុត

ពីរ សំណុំ A និង B គឺស្មើគ្នា(A=B) ប្រសិនបើពួកវាមានធាតុដូចគ្នា។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) បន្ទាប់មក A=B។

សហជីព (ផលបូក)សំណុំ A និង B ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ A ∪ B ដែលធាតុរបស់វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់យ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមសំណុំទាំងនេះ។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ A=(1,2,4), B=(3,4,5,6) បន្ទាប់មក A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

ប្រសព្វ (ផលិតផល)សំណុំ A និង B ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ A ∩ B ដែលធាតុរបស់វាជារបស់ទាំងសំណុំ A និងសំណុំ B ។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ A=(1,2,4), B=(3,4,5,2) បន្ទាប់មក A ∩ B = (2,4)

ភាពខុសគ្នាសំណុំ A និង B ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ AB ដែលជាធាតុនៃសំណុំ A ប៉ុន្តែមិនមែនជារបស់សំណុំ B ។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ A=(1,2,3,4), B=(3,4,5) បន្ទាប់មក AB=(1,2)

ភាពខុសគ្នាស៊ីមេទ្រីសំណុំ A និង B ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ A Δ B ដែលជាការរួបរួមនៃភាពខុសគ្នានៃសំណុំ AB និង BA នោះគឺ A Δ B = (AB) ∪ (BA) ។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6) បន្ទាប់មក A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, ៥ .៦)

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការសំណុំ

លក្ខណៈសម្បត្តិដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

ទ្រព្យសម្បត្តិរួម

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

សំណុំរាប់បាន និងមិនអាចរាប់បាន។

ដើម្បីប្រៀបធៀបសំណុំទាំងពីរ A និង B ការឆ្លើយឆ្លងត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងធាតុរបស់ពួកគេ។

ប្រសិនបើការឆ្លើយឆ្លងនេះគឺពីមួយទៅមួយ នោះសំណុំត្រូវបានគេហៅថាសមមូល ឬសមមូល A B ឬ B A ។

ឧទាហរណ៍ ១

សំណុំនៃចំនុចនៃជើង BC និងអ៊ីប៉ូតេនុស AC នៃត្រីកោណ ABC មានថាមពលស្មើគ្នា។

សំណុំគណិតវិទ្យា

មួយ​បាច់- វត្ថុសំខាន់មួយនៃគណិតវិទ្យា ជាពិសេសទ្រឹស្តីកំណត់។ "នៅក្រោមសំណុំ យើងមានន័យថាការបង្រួបបង្រួមទៅជាវត្ថុជាក់លាក់មួយ ដែលអាចសម្គាល់បានទាំងស្រុងនៃវិចារណញាណ ឬគំនិតរបស់យើង" (G. Kantor) ។ នេះមិនមែនជាអត្ថន័យពេញលេញនៃនិយមន័យឡូជីខលនៃគោលគំនិតនៃសំណុំមួយទេ ប៉ុន្តែគ្រាន់តែជាការពន្យល់មួយប៉ុណ្ណោះ (ដោយសារតែការកំណត់គោលគំនិតមានន័យថាស្វែងរកគោលគំនិតទូទៅដែលគំនិតនេះត្រូវបានរួមបញ្ចូលជាប្រភេទសត្វ ប៉ុន្តែសំណុំប្រហែលជា គោលគំនិតទូលំទូលាយនៃគណិតវិទ្យា និងតក្កវិជ្ជា)។

ទ្រឹស្ដី

មានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរចំពោះគំនិតនៃសំណុំ - ឆោតល្ងង់និង axiomaticទ្រឹស្តីកំណត់។

ទ្រឹស្តីសំណុំ Axiomatic

សព្វថ្ងៃនេះ សំណុំមួយត្រូវបានកំណត់ថាជាគំរូដែលបំពេញនូវ axioms ZFC (អ័ក្ស Zermelo-Fraenkel ជាមួយនឹង axiom នៃជម្រើស)។ ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ នៅក្នុងទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាមួយចំនួន ការប្រមូលវត្ថុកើតឡើងដែលមិនត្រូវបានកំណត់។ ការប្រមូលបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាថ្នាក់ (នៃលំដាប់ផ្សេងគ្នា) ។

កំណត់ធាតុ

វត្ថុដែលបង្កើតជាសំណុំត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ធាតុឬកំណត់ចំណុច។ សំណុំត្រូវបានតំណាងជាញឹកញាប់បំផុតដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំងដែលជាធាតុរបស់វា - ដោយអក្សរតូច។ ប្រសិនបើ a គឺជាធាតុនៃសំណុំ A បន្ទាប់មកសរសេរ a ∈ A (a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ A) ។ ប្រសិនបើ a មិនមែនជាធាតុនៃសំណុំ A បន្ទាប់មកសរសេរ a ∉ A (a មិនមែនជារបស់ A) ។

ប្រភេទមួយចំនួននៃសំណុំ

• សំណុំដែលបានបញ្ជាទិញគឺជាសំណុំដែលទំនាក់ទំនងការបញ្ជាទិញត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។
• សំណុំមួយ (ជាពិសេសគូដែលបានបញ្ជាទិញ) ។ មិនដូចឈុតមួយទេ វាត្រូវបានសរសេរក្នុងវង់ក្រចក៖ ( x 1 , x 2 , x 3 , …) ហើយធាតុអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត។

តាមឋានានុក្រម៖

សំណុំនៃសំណុំ Subset Superset

តាមការកំណត់៖

ប្រតិបត្តិការលើឈុត

អក្សរសិល្ប៍

• ស្តូល R.R.ឈុត។ តក្កវិជ្ជា។ ទ្រឹស្តី axiomatic ។ - M. : ការអប់រំ, 1968. - 232 ទំ។

សូម​មើល​ផង​ដែរ

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

សូមមើលអ្វីដែល "សំណុំគណិតវិទ្យា" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

សំណុំ Vitali គឺជាឧទាហរណ៍ដំបូងនៃសំណុំនៃចំនួនពិតដែលមិនមានវិធានការ Lebesgue ។ ឧទាហរណ៍​នេះ​ដែល​បាន​ក្លាយ​ជា​បុរាណ​មួយ​ត្រូវ​បាន​បោះពុម្ព​ក្នុង​ឆ្នាំ 1905 ដោយ​គណិតវិទូ​ជនជាតិ​អ៊ីតាលី J. Vitali នៅ​ក្នុង​អត្ថបទ​របស់​គាត់ “Sul problema della misura dei gruppi dipunti ... ... Wikipedia

- (តម្លៃមធ្យម) នៃអថេរចៃដន្យ គឺជាលក្ខណៈលេខនៃអថេរចៃដន្យ។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ (សូមមើលទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ) បន្ទាប់មកវា M. o ។ MX (ឬ EX) ត្រូវបានកំណត់ថាជាអាំងតេក្រាល Lebesgue៖ ដែល... សព្វវចនាធិប្បាយរូបវិទ្យា

អថេរចៃដន្យគឺជាលក្ខណៈលេខរបស់វា។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X មានមុខងារចែកចាយ F(x) នោះ M. o ។ នឹង៖ . ប្រសិនបើការចែកចាយ X គឺដាច់ពីគ្នា នោះ М.о.: , ដែល x1, x2, ... គឺជាតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យ X; p1... សព្វវចនាធិប្បាយភូមិសាស្ត្រ

ជំនួយគណិតវិទ្យារបស់ ACS- ដូចគ្នានឹងកម្មវិធី សូហ្វវែរ សំណុំនៃកម្មវិធីគណិតវិទ្យា និងក្បួនដោះស្រាយ ដែលជាប្រព័ន្ធរងគាំទ្រមួយ។ ជាធម្មតារួមបញ្ចូលកម្មវិធីជាច្រើនសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់នៅលើកុំព្យូទ័រដែលរួមបញ្ចូលគ្នាដោយកម្មវិធីចម្បង ... ... វចនានុក្រមសេដ្ឋកិច្ច និងគណិតវិទ្យា

កម្មវិធី ACS- ដូចគ្នានឹងកម្មវិធី សូហ្វវែរ សំណុំនៃកម្មវិធីគណិតវិទ្យា និងក្បួនដោះស្រាយ ដែលជាប្រព័ន្ធរងគាំទ្រមួយ។ ជាធម្មតារួមបញ្ចូលកម្មវិធីជាច្រើនសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់នៅលើកុំព្យូទ័រដែលរួមបញ្ចូលគ្នាដោយកម្មវិធីចម្បងដោយអ្នកបញ្ជូន។ ...... សៀវភៅណែនាំអ្នកបកប្រែបច្ចេកទេស

- (គណិតវិទ្យា) មើលទ្រឹស្ដីសំណុំ...

គំរូគណិតវិទ្យាគឺជាតំណាងគណិតវិទ្យានៃការពិត។ គំរូគណិតវិទ្យា គឺជាដំណើរការនៃការកសាង និងសិក្សាគំរូគណិតវិទ្យា។ វិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងសង្គមទាំងអស់ ដោយប្រើឧបករណ៍គណិតវិទ្យា តាមពិត ... ... វិគីភីឌា

វិន័យគណិតវិទ្យាដែលឧទ្ទិសដល់ទ្រឹស្តី និងវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុតលើសំណុំនៃទំហំវ៉ិចទ័រវិមាត្រកំណត់ដែលកំណត់ដោយដែនកំណត់លីនេអ៊ែរ និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ (សមភាព និងវិសមភាព)។ អិម ទំ. ... ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

វិន័យគណិតវិទ្យាដែលឧទ្ទិសដល់ទ្រឹស្ដី និងវិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុតលើសំណុំកំណត់ដោយដែនកំណត់លីនេអ៊ែរ និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ (សមភាព និងវិសមភាព)។ ផ្នែក M. p. នៃវិទ្យាសាស្ត្រ ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ

ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើល ភស្តុតាង។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ភស្តុតាងគឺជាខ្សែសង្វាក់នៃការសន្និដ្ឋានឡូជីខលដែលបង្ហាញថាសម្រាប់សំណុំនៃ axioms និង inference rules សេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយគឺពិត។ អាស្រ័យ ... វិគីភីឌា

សៀវភៅ

• គំរូគណិតវិទ្យានៃសេដ្ឋកិច្ច Malykhin V.I. សៀវភៅនេះពិភាក្សាអំពីគំរូគណិតវិទ្យាសំខាន់ៗនៃសេដ្ឋកិច្ច៖ គំរូនៃអ្នកប្រើប្រាស់ម្នាក់ៗ (ផ្អែកលើមុខងារប្រើប្រាស់) គំរូនៃក្រុមហ៊ុនផលិត (ផ្អែកលើមុខងារផលិត)…

សង្ខេបសង្ខេប

ខ្ញុំ​ជា​អ្នក​ទ្រឹស្ដី​រូបវិទ្យា ដោយ​ការ​អប់រំ ប៉ុន្តែ​ខ្ញុំ​មាន​ប្រវត្តិ​គណិតវិទ្យា​ល្អ។ នៅក្នុងអង្គចៅក្រម មុខវិជ្ជាមួយគឺទស្សនវិជ្ជា ចាំបាច់ត្រូវជ្រើសរើសប្រធានបទមួយ ហើយដាក់ឯកសារលើវា។ ចាប់តាំងពីជម្រើសភាគច្រើនមានច្រើនជាងម្តង obmusoleny ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តជ្រើសរើសអ្វីដែលកម្រនិងអសកម្ម។ ខ្ញុំ​មិន​ធ្វើ​ពុត​ជា​ថ្មី​ទេ ខ្ញុំ​គ្រាន់​តែ​អាច​ប្រមូល​គ្រប់​អក្សរសិល្ប៍​ដែល​មាន​ស្ទើរតែ​ទាំងអស់​លើ​ប្រធានបទ​នេះ។ ទស្សនវិទូ និងគណិតវិទូអាចគប់ដុំថ្មមកខ្ញុំ ខ្ញុំនឹងដឹងគុណចំពោះការរិះគន់ក្នុងន័យស្ថាបនា។

P.S. "ភាសាស្ងួត" ប៉ុន្តែអាចអានបានបន្ទាប់ពីកម្មវិធីសាកលវិទ្យាល័យ។ សម្រាប់ផ្នែកភាគច្រើន និយមន័យនៃពាក្យប្រៀបធៀបត្រូវបានគេយកចេញពីវិគីភីឌា (ពាក្យសាមញ្ញ និងសញ្ញាសម្គាល់ TeX រួចរាល់)។

សេចក្តីផ្តើម

ទាំងទ្រឹស្ដីកំណត់ខ្លួនវាផ្ទាល់ និងប្រផ្នូលដែលមាននៅក្នុងវាបានលេចឡើងមិនយូរប៉ុន្មានទេ ទើបតែជាងមួយរយឆ្នាំមុន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងអំឡុងពេលនេះ ផ្លូវដ៏វែងមួយត្រូវបានធ្វើដំណើរ ទ្រឹស្តីនៃសំណុំ មធ្យោបាយមួយ ឬវិធីមួយផ្សេងទៀត បានក្លាយជាមូលដ្ឋាននៃផ្នែកភាគច្រើននៃគណិតវិទ្យា។ ភាពផ្ទុយគ្នារបស់វា ដែលភ្ជាប់ជាមួយនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់របស់ Cantor ត្រូវបានពន្យល់ដោយជោគជ័យក្នុងពាក់កណ្តាលសតវត្ស។

អ្នកគួរតែចាប់ផ្តើមជាមួយនិយមន័យ។

តើអ្វីជាហ្វូងមនុស្ស? សំណួរគឺសាមញ្ញណាស់ ចម្លើយចំពោះវាគឺវិចារណញាណណាស់។ សំណុំគឺជាសំណុំនៃធាតុដែលតំណាងដោយវត្ថុតែមួយ។ Kantor នៅក្នុងការងាររបស់គាត់។ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehreផ្តល់និយមន័យ៖ ដោយ "សំណុំ" យើងមានន័យថាការបញ្ចូលគ្នាទៅក្នុងវត្ថុដែលអាចបែងចែកបានយ៉ាងជាក់លាក់មួយនៃការសញ្ជឹងគិតរបស់យើង ឬការគិតរបស់យើង (ដែលនឹងត្រូវបានគេហៅថា "ធាតុ" នៃសំណុំ) ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញខ្លឹមសារមិនបានផ្លាស់ប្តូរទេភាពខុសគ្នាគឺមានតែនៅក្នុងផ្នែកដែលអាស្រ័យលើទស្សនៈពិភពលោកនៃកត្តាកំណត់ប៉ុណ្ណោះ។ ប្រវត្តិនៃទ្រឹស្តីសំណុំ ទាំងក្នុងតក្កវិជ្ជា និងក្នុងគណិតវិទ្យា គឺមានភាពចម្រូងចម្រាសយ៉ាងខ្លាំង។ តាមពិត Kantor បានដាក់គ្រឹះសម្រាប់វានៅសតវត្សទី 19 បន្ទាប់មក Russell និងអ្នកផ្សេងទៀតបានបន្តការងារនេះ។

Paradoxes (តក្កវិជ្ជា និងទ្រឹស្តីកំណត់) - (ពីភាសាក្រិច παράδοξος - មិនបានរំពឹងទុក ចម្លែកពីក្រិក παρα-δοκέω - ខ្ញុំហាក់បីដូចជា) - ភាពផ្ទុយគ្នានៃតក្កវិជ្ជាផ្លូវការដែលកើតឡើងនៅក្នុងទ្រឹស្តីសំណុំអត្ថន័យ និងតក្កវិជ្ជាផ្លូវការ ខណៈពេលដែលរក្សាបាននូវភាពត្រឹមត្រូវនៃហេតុផល។ Paradoxes កើតឡើងនៅពេលដែលសំណើផ្តាច់មុខពីរ (ផ្ទុយគ្នា) ដែលអាចបញ្ជាក់បានស្មើគ្នា។ Paradoxes អាចលេចឡើងទាំងនៅក្នុងទ្រឹស្ដីវិទ្យាសាស្ត្រ និងក្នុងហេតុផលធម្មតា (ឧទាហរណ៍ ការប្រៀបធៀបរបស់ Russell អំពីសំណុំនៃឈុតធម្មតាទាំងអស់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ Russell: "អ្នកកាត់សក់ក្នុងភូមិកោរសក់ទាំងអស់ ហើយមានតែអ្នករស់នៅក្នុងភូមិរបស់គាត់ប៉ុណ្ណោះដែលមិនកោរសក់។ គាត់កោរសក់ខ្លួនឯង?) ដោយសារភាពផ្ទុយគ្នាខាងតក្កវិជ្ជាផ្លូវការបំផ្លាញការវែកញែកជាមធ្យោបាយស្វែងរក និងបញ្ជាក់ការពិត (នៅក្នុងទ្រឹស្តីដែលភាពផ្ទុយគ្នាលេចឡើង ប្រយោគណាមួយ ទាំងពិតនិងមិនពិតគឺអាចបញ្ជាក់បាន) បញ្ហាកើតឡើងក្នុងការកំណត់អត្តសញ្ញាណប្រភពនៃភាពផ្ទុយគ្នា និង ស្វែងរកវិធីដើម្បីកម្ចាត់ពួកគេ។ បញ្ហានៃការយល់ដឹងទស្សនវិជ្ជានៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់ចំពោះភាពផ្ទុយគ្នា គឺជាបញ្ហាវិធីសាស្រ្តដ៏សំខាន់មួយនៃតក្កវិជ្ជាផ្លូវការ និងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។

គោលបំណងនៃការងារនេះគឺដើម្បីសិក្សាពីភាពផ្ទុយគ្នានៃទ្រឹស្ដីសំណុំជាអ្នកស្នងមរតកនៃអនាមិកពីបុរាណ និងលទ្ធផលសមហេតុសមផលនៃការផ្លាស់ប្តូរទៅកម្រិតថ្មីនៃភាពអរូបី - គ្មានដែនកំណត់។ ភារកិច្ចគឺដើម្បីពិចារណាពីភាពផ្ទុយគ្នាសំខាន់, ការបកស្រាយទស្សនវិជ្ជារបស់ពួកគេ។

ភាពផ្ទុយគ្នាជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីសំណុំ

ជាង​កាត់សក់​កោរ​តែ​មនុស្ស​ដែល​មិន​កោរ​សក់។ តើគាត់កោរសក់ខ្លួនឯងទេ?

តោះបន្តដំណើរកំសាន្តខ្លីៗទៅកាន់ប្រវត្តិសាស្ត្រ។

ភាពផ្ទុយគ្នានៃតក្កវិជ្ជាមួយចំនួនត្រូវបានគេស្គាល់តាំងពីបុរាណកាលមកម្ល៉េះ ប៉ុន្តែដោយសារតែការពិតដែលថាទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាត្រូវបានកំណត់ត្រឹមនព្វន្ធ និងធរណីមាត្រតែម្នាក់ឯង វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការភ្ជាប់ពួកវាជាមួយទ្រឹស្តីសំណុំ។ នៅសតវត្សទី 19 ស្ថានភាពបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង: Kantor បានឈានដល់កម្រិតថ្មីនៃការអរូបីនៅក្នុងស្នាដៃរបស់គាត់។ គាត់បានណែនាំពីគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ដោយបង្កើតបានជាសាខាថ្មីនៃគណិតវិទ្យា ហើយដោយហេតុនេះអនុញ្ញាតឱ្យប្រៀបធៀបភាពគ្មានទីបញ្ចប់ផ្សេងៗគ្នាដោយប្រើគំនិតនៃ "ថាមពលនៃសំណុំ" ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងការធ្វើដូច្នេះ គាត់បានបង្កើតភាពចម្លែកជាច្រើន។ ទីមួយគឺអ្វីដែលគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃ Burali-Forti. នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍គណិតវិទ្យា មានទម្រង់ផ្សេងៗគ្នា ដោយផ្អែកលើវាក្យស័ព្ទផ្សេងៗគ្នា និងសំណុំទ្រឹស្តីបទល្បីៗ។ នេះគឺជានិយមន័យផ្លូវការមួយ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាប្រសិនបើជាសំណុំតាមអំពើចិត្តនៃលេខលំដាប់នោះ សំណុំផលបូកគឺជាលេខលំដាប់ធំជាង ឬស្មើនឹងធាតុនីមួយៗនៃ . ឧបមាថាឥឡូវនេះជាសំណុំនៃលេខធម្មតាទាំងអស់។ បន្ទាប់មកគឺជាលេខលំដាប់ធំជាង ឬស្មើនឹងលេខណាមួយនៅក្នុង . ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក និងជាលេខធម្មតា លើសពីនេះទៅទៀត វាគឺធំជាងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង ហើយដូច្នេះវាមិនស្មើនឹងលេខណាមួយនៅក្នុង . ប៉ុន្តែនេះផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌដែលជាសំណុំនៃលេខធម្មតាទាំងអស់។

ខ្លឹមសារនៃភាពផ្ទុយគ្នាគឺថានៅពេលដែលសំណុំនៃលេខលំដាប់ទាំងអស់ត្រូវបានបង្កើតឡើង ប្រភេទលំដាប់ថ្មីមួយត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលមិនទាន់ស្ថិតក្នុងចំណោមលេខធម្មតា "ទាំងអស់" ដែលមានមុនការបង្កើតសំណុំនៃលេខលំដាប់ទាំងអស់។ ភាពផ្ទុយគ្នានេះត្រូវបានរកឃើញដោយ Cantor ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់ បានរកឃើញដោយឯករាជ្យ និងបោះពុម្ពដោយគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Burali-Forti កំហុសនៃក្រោយមកទៀតត្រូវបានកែតម្រូវដោយ Russell បន្ទាប់ពីនោះរូបមន្តទទួលបានទម្រង់ចុងក្រោយរបស់វា។

ក្នុងចំណោមការព្យាយាមទាំងអស់ដើម្បីជៀសវាងភាពផ្ទុយគ្នាបែបនេះ និងក្នុងកម្រិតខ្លះព្យាយាមពន្យល់ពួកគេ គំនិតរបស់រ័សុលដែលបានរៀបរាប់រួចហើយសមនឹងទទួលបានការយកចិត្តទុកដាក់បំផុត។ គាត់បានស្នើឱ្យដកចេញពីប្រយោគគណិតវិទ្យា និងតក្កវិជ្ជា ដែលនិយមន័យនៃធាតុនៃសំណុំមួយអាស្រ័យលើក្រោយ ដែលបណ្តាលឱ្យមានភាពផ្ទុយគ្នា។ ច្បាប់ស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ "គ្មានសំណុំអាចផ្ទុកធាតុដែលបានកំណត់តែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសំណុំមួយ ក៏ដូចជាធាតុដែលសន្មតថាសំណុំនេះនៅក្នុងនិយមន័យរបស់ពួកគេ" ។ ការរឹតបន្តឹងបែបនេះលើនិយមន័យនៃសំណុំមួយអនុញ្ញាតឱ្យយើងជៀសវាងការប្រៀបធៀប ប៉ុន្តែក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះធ្វើឱ្យវិសាលភាពនៃការអនុវត្តរបស់វានៅក្នុងគណិតវិទ្យារួមតូចយ៉ាងខ្លាំង។ លើសពីនេះទៀត នេះមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពន្យល់ពីធម្មជាតិ និងហេតុផលសម្រាប់រូបរាងរបស់ពួកគេ ឫសគល់នៅក្នុង dichotomy នៃការគិត និងភាសា នៅក្នុងលក្ខណៈពិសេសនៃតក្កវិជ្ជាផ្លូវការនោះទេ។ ក្នុងកម្រិតមួយចំនួន ការដាក់កម្រិតនេះអាចត្រូវបានគេតាមដានពីភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងអ្វីដែលនៅសម័យក្រោយ អ្នកចិត្តសាស្រ្តការយល់ដឹង និងភាសាវិទូបានចាប់ផ្តើមហៅថា "ការចាត់ថ្នាក់កម្រិតមូលដ្ឋាន"៖ និយមន័យត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាគំនិតងាយស្រួលយល់ និងសិក្សាបំផុត។

ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Cantor. សន្មតថាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់មាន។ ក្នុង​ករណី​នេះ វា​ជា​ការ​ពិត​ដែល​រាល់​សំណុំ​គឺ​ជា​សំណុំ​រង​នៃ . ប៉ុន្តែវាកើតឡើងពីនេះថា cardinality នៃសំណុំណាមួយមិនលើសពី cardinality នៃ . ប៉ុន្តែដោយគុណធម៌នៃ axiom នៃសំណុំរងទាំងអស់ សម្រាប់ ក៏ដូចជាសំណុំណាមួយ មានសំណុំនៃរងទាំងអស់ និងដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor ដែលផ្ទុយនឹងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីមុន។ ដូច្នេះហើយ វាមិនអាចមានទេ ដែលផ្ទុយនឹងសម្មតិកម្ម "ឆោតល្ងង់" ដែលលក្ខខណ្ឌឡូជីខលត្រឹមត្រូវតាមសំយោគកំណត់សំណុំ ពោលគឺសម្រាប់រូបមន្តណាមួយដែលមិនមានឥតគិតថ្លៃ។ ភស្តុតាងដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃអវត្តមាននៃភាពផ្ទុយគ្នាបែបនេះនៅលើមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីសំណុំ Zermelo-Fraenkel axiomatized ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ Potter ។

តាមទស្សនៈឡូជីខល ភាពផ្ទុយគ្នាទាំងពីរខាងលើគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹង "អ្នកកុហក" ឬ "អ្នកកាត់សក់"៖ ការវិនិច្ឆ័យដែលបានបង្ហាញគឺសំដៅមិនត្រឹមតែចំពោះវត្ថុបំណងទាក់ទងនឹងគាត់ប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងចំពោះខ្លួនគាត់ទៀតផង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយមនុស្សម្នាក់គួរតែយកចិត្តទុកដាក់មិនត្រឹមតែចំពោះផ្នែកឡូជីខលប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ផងដែរដែលមានវត្តមាននៅទីនេះ។ អក្សរសិល្ប៍សំដៅលើការងាររបស់ Poincaré ដែលក្នុងនោះគាត់សរសេរថា: "ជំនឿលើអត្ថិភាពនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ... ធ្វើឱ្យនិយមន័យដែលមិនមែនជាការព្យាករណ៍ទាំងនេះចាំបាច់" ។

ជាទូទៅចំណុចសំខាន់ៗគឺ៖

1. នៅក្នុងភាពផ្ទុយគ្នាទាំងនេះ ច្បាប់ត្រូវបានបំពានដើម្បីបំបែក "រង្វង់" នៃទស្សន៍ទាយ និងប្រធានបទយ៉ាងច្បាស់។ កម្រិតនៃភាពច្របូកច្របល់គឺនៅជិតនឹងការជំនួសគំនិតមួយសម្រាប់មួយផ្សេងទៀត។
2. ជាធម្មតានៅក្នុងតក្កវិជ្ជាវាត្រូវបានសន្មត់ថានៅក្នុងដំណើរការនៃការវែកញែកប្រធានបទនិង predicate រក្សាបរិមាណនិងខ្លឹមសាររបស់ពួកគេក្នុងករណីនេះមានការផ្លាស់ប្តូរពីប្រភេទមួយទៅប្រភេទមួយទៀតដែលបណ្តាលឱ្យមានភាពខុសគ្នា។
3. វត្តមាននៃពាក្យ "ទាំងអស់" មានន័យសម្រាប់ចំនួនកំណត់នៃធាតុ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃពួកវា វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីឱ្យមានមួយដែលក្នុងគោលបំណងដើម្បីកំណត់ដោយខ្លួនវាផ្ទាល់នឹងតម្រូវឱ្យមាននិយមន័យនៃសំណុំមួយ;
4. ច្បាប់ឡូជីខលជាមូលដ្ឋានត្រូវបានបំពាន៖
   1. ច្បាប់នៃអត្តសញ្ញាណត្រូវបានរំលោភបំពាន នៅពេលដែលការមិនបង្ហាញអត្តសញ្ញាណនៃប្រធានបទ និងការព្យាករណ៍ត្រូវបានបង្ហាញ។
   2. ច្បាប់នៃភាពផ្ទុយគ្នា - នៅពេលដែលការវិនិច្ឆ័យផ្ទុយគ្នាពីរត្រូវបានចេញដោយសិទ្ធិដូចគ្នា;
   3. ច្បាប់នៃអ្នកទីបីដែលត្រូវបានដកចេញ - នៅពេលដែលទីបីនេះត្រូវតែត្រូវបានទទួលស្គាល់ ហើយមិនត្រូវបានដកចេញទេ ព្រោះថា ទីមួយ ឬទីពីរមិនអាចត្រូវបានគេទទួលស្គាល់មួយដោយគ្មានមួយទៀតទេ ពីព្រោះ ពួកគេមានសុពលភាពស្មើគ្នា។

ភាពផ្ទុយគ្នារបស់រ័សុល. នេះគឺជាជម្រើសមួយក្នុងចំណោមជម្រើសរបស់គាត់។ សូមឱ្យជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ដែលមិនមានខ្លួនវាជាធាតុរបស់វា។ តើ​វា​មាន​ខ្លួន​វា​ជា​ធាតុ​ទេ? បើដូច្នោះមែន តាមនិយមន័យ វាមិនគួរជាធាតុមួយ - ភាពផ្ទុយគ្នា។ ប្រសិនបើមិនមែន - បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យវាត្រូវតែជាធាតុ - ភាពផ្ទុយគ្នាម្តងទៀត។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺបានមកពីហេតុផលរបស់ Cantor ដែលបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរបស់ពួកគេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្លឹមសារទស្សនវិជ្ជាបង្ហាញឱ្យឃើញកាន់តែច្បាស់ ចាប់តាំងពី "ចលនាដោយខ្លួនឯង" នៃគំនិតកើតឡើងត្រឹមត្រូវ "នៅចំពោះមុខភ្នែករបស់យើង" ។

Paradox របស់ Tristram Shandy. នៅក្នុង Stern's The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, hero បានរកឃើញថាវាបានចំណាយពេលពេញមួយឆ្នាំដើម្បីរំលឹកព្រឹត្តិការណ៍នៃថ្ងៃដំបូងនៃជីវិតរបស់គាត់ និងមួយឆ្នាំទៀតដើម្បីពណ៌នាថ្ងៃទីពីរ។ ក្នុងន័យនេះ វីរបុរសត្អូញត្អែរថា សម្ភារៈនៃជីវប្រវត្តិរបស់គាត់នឹងកកកុញលឿនជាងគាត់អាចដំណើរការវាបាន ហើយគាត់នឹងមិនអាចបំពេញវាបានទេ។ “ឥឡូវនេះ ខ្ញុំរក្សា” រ័សុល ជំទាស់នឹងរឿងនេះថា ប្រសិនបើគាត់រស់នៅជារៀងរហូត ហើយការងាររបស់គាត់នឹងមិនក្លាយជាបន្ទុកសម្រាប់គាត់ទេ ទោះបីជាជីវិតរបស់គាត់នៅតែបន្តកើតមានដូចកាលពីដើមក៏ដោយ នោះមិនមែនជាផ្នែកមួយនៃជីវប្រវត្តិរបស់គាត់ទេ។ មិននៅតែមិនត្រូវបានសរសេរ។

ជាការពិតណាស់ Shandy អាចពិពណ៌នាអំពីព្រឹត្តិការណ៍នៃថ្ងៃ -th សម្រាប់ឆ្នាំ -th ហើយដូច្នេះនៅក្នុងជីវប្រវត្តិរបស់គាត់ ជារៀងរាល់ថ្ងៃនឹងត្រូវបានចាប់យក។ ម្យ៉ាង​ទៀត បើ​ជីវិត​មាន​រយៈពេល​មិន​កំណត់ នោះ​វា​នឹង​មាន​ច្រើន​ឆ្នាំ​ជា​ថ្ងៃ។

Russell គូរភាពស្រដៀងគ្នារវាងប្រលោមលោកនេះ និង Zeno ជាមួយនឹងសត្វអណ្តើករបស់គាត់។ នៅក្នុងគំនិតរបស់គាត់ ដំណោះស្រាយគឺស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាទាំងមូលគឺស្មើនឹងផ្នែករបស់វានៅគ្មានកំណត់។ ទាំងនោះ។ មានតែ "អក្ខរាវិរុទ្ធនៃសុភវិនិច្ឆ័យ" ដែលនាំទៅរកភាពផ្ទុយគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគឺស្ថិតនៅក្នុងអាណាចក្រនៃគណិតវិទ្យាសុទ្ធ។ ជាក់ស្តែងមានសំណុំពីរ - ឆ្នាំនិងថ្ងៃរវាងធាតុដែលមានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ - ការបដិសេធ។ បន្ទាប់មកនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃជីវិតគ្មានកំណត់របស់តួឯកមានសំណុំគ្មានកំណត់ពីរនៃអំណាចស្មើគ្នាដែលប្រសិនបើយើងចាត់ទុកអំណាចជាការទូទៅនៃគំនិតនៃចំនួននៃធាតុនៅក្នុងសំណុំមួយដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នា។

Paradox (ទ្រឹស្តីបទ) នៃ Banach-Tarski ឬការបង្កើនភាពផ្ទុយគ្នានៃបាល់ទ្វេដង- ទ្រឹស្តីបទក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំដែលបញ្ជាក់ថា បាល់បីវិមាត្រត្រូវបានផ្សំឡើងដោយចំនួនពីរនៃច្បាប់ចម្លងរបស់វា។

សំណុំរងពីរនៃលំហ Euclidean ត្រូវបានគេហៅថាសមាសភាពស្មើគ្នា ប្រសិនបើគេអាចបែងចែកជាចំនួនកំណត់នៃផ្នែក ផ្លាស់ទីពួកវា និងបង្កើតជាផ្នែកទីពីរ។ កាន់តែច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត សំណុំពីរ និងត្រូវបានផ្សំឡើងស្មើៗគ្នា ប្រសិនបើពួកវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាសហជីពកំណត់នៃសំណុំរងដែលមិនជាប់គ្នា ហើយដែលសម្រាប់សំណុំរងនីមួយៗគឺស្របគ្នា។

ប្រសិនបើយើងប្រើទ្រឹស្តីបទជម្រើស នោះនិយមន័យស្តាប់ទៅដូចនេះ៖

អ័ក្សនៃជម្រើសបង្កប់ន័យថាមានការបែងចែកផ្ទៃនៃរង្វង់ឯកតាទៅជាចំនួនកំណត់នៃផ្នែក ដែលដោយការបំប្លែងនៃលំហអឺគ្លីឌាបីវិមាត្រដែលមិនផ្លាស់ប្តូររូបរាងនៃធាតុផ្សំទាំងនេះអាចប្រមូលផ្តុំជាពីរ។ រង្វង់នៃកាំឯកតា។

ជាក់ស្តែង ដោយសារតម្រូវការសម្រាប់ផ្នែកទាំងនេះអាចវាស់វែងបាន សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមិនអាចធ្វើទៅបានទេ។ រូបវិទូដ៏ល្បីល្បាញ Richard Feynman នៅក្នុងជីវប្រវត្តិរបស់គាត់បានប្រាប់ពីរបៀបដែលនៅពេលមួយគាត់អាចឈ្នះជម្លោះអំពីការបំបែកពណ៌ទឹកក្រូចទៅជាចំនួនកំណត់នៃផ្នែក ហើយរៀបចំវាឡើងវិញ។

នៅចំណុចមួយចំនួន ភាពផ្ទុយគ្នានេះត្រូវបានប្រើដើម្បីបដិសេធ axiom នៃជម្រើស ប៉ុន្តែបញ្ហាគឺថាអ្វីដែលយើងពិចារណាធរណីមាត្របឋមគឺមិនសំខាន់ទេ។ គំនិតទាំងនោះដែលយើងចាត់ទុកថាវិចារណញាណគួរត្រូវបានពង្រីកដល់កម្រិតនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍វិចារណញាណ។

ដើម្បីធ្វើឱ្យទំនុកចិត្តរបស់អ្នកចុះខ្សោយបន្ថែមទៀតដែលជឿថា axiom នៃជម្រើសគឺខុស គួរតែនិយាយអំពីទ្រឹស្តីបទ Mazurkiewicz និង Sierpinski ដែលចែងថាមានសំណុំរងមិនទទេនៃយន្តហោះ Euclidean ដែលមានផ្នែករងមិនជាប់គ្នាពីរ ដែលនីមួយៗអាច ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​ចំនួន​កំណត់​នៃ​ផ្នែក ដូច្នេះ​ពួក​វា​អាច​ត្រូវ​បាន​បកប្រែ​ដោយ isometrics ទៅ​ក្នុង​ការ​គ្រប​ដ​ណ្ត​ប់​នៃ​សំណុំ . ភ័ស្តុតាងមិនតម្រូវឱ្យមានការប្រើប្រាស់ axiom នៃជម្រើសនោះទេ។ ការស្ថាបនាបន្ថែមទៀតដោយផ្អែកលើ axiom នៃភាពប្រាកដប្រជាផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះភាពផ្ទុយគ្នា Banach-Tarski ប៉ុន្តែមិនមានការចាប់អារម្មណ៍បែបនេះទេ។

1. ភាពផ្ទុយគ្នារបស់ Richard: តម្រូវឱ្យដាក់ឈ្មោះ "ចំនួនតូចបំផុតដែលមិនមាននៅក្នុងសៀវភៅនេះ" ។ ភាពផ្ទុយគ្នាគឺថានៅលើដៃម្ខាង នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយហេតុថាមានចំនួនតិចបំផុតដែលមានឈ្មោះនៅក្នុងសៀវភៅនេះ។ បន្តពីវា មួយក៏អាចដាក់ឈ្មោះតូចបំផុតដែលមិនមានឈ្មោះ។ ប៉ុន្តែនៅទីនេះមានបញ្ហាកើតឡើង៖ ការបន្តគឺមិនអាចរាប់បាន រវាងលេខទាំងពីរអ្នកអាចបញ្ចូលលេខកម្រិតមធ្យមដែលគ្មានកំណត់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើយើងអាចដាក់ឈ្មោះលេខនេះ វានឹងផ្លាស់ទីដោយស្វ័យប្រវត្តិពីថ្នាក់ដែលមិនបានរៀបរាប់ក្នុងសៀវភៅទៅថ្នាក់ដែលបានរៀបរាប់។
2. Grelling-Nilson paradox៖ ពាក្យ ឬសញ្ញាអាចបញ្ជាក់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិមួយចំនួន ហើយក្នុងពេលតែមួយមាន ឬអត់។ ទម្រង់មិនសំខាន់បំផុតស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ តើពាក្យថា "heterological" (ដែលមានន័យថា "មិនអាចអនុវត្តបានចំពោះខ្លួនវា") heterological?.. វាស្រដៀងទៅនឹងការប្រៀបធៀបរបស់ Russell ដោយសារតែវត្តមាននៃភាពផ្ទុយគ្នានៃគ្រាមភាសា៖ ភាពពីរនៃទម្រង់ និងខ្លឹមសារ ត្រូវបានរំលោភបំពាន។ ក្នុងករណីពាក្យដែលមានកម្រិតអរូបីខ្ពស់ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសម្រេចថាតើពាក្យទាំងនេះមានលក្ខណៈតំណពូជ។
3. Skolem paradox៖ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទនៃភាពពេញលេញរបស់ Godel និងទ្រឹស្តីបទLöwenheim-Skolem យើងទទួលបានថាទ្រឹស្ដីសំណុំ axiomatic នៅតែជាការពិត ទោះបីជាមានតែសំណុំដែលអាចរាប់បានប៉ុណ្ណោះត្រូវបានសន្មត់ (មាន) សម្រាប់ការបកស្រាយរបស់វា។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ទ្រឹស្ដី axiomatic រួមបញ្ចូលទ្រឹស្តីបទរបស់ Cantor ដែលបានរៀបរាប់រួចហើយ ដែលនាំយើងទៅកាន់សំណុំគ្មានកំណត់។

ដំណោះស្រាយនៃ paradoxes

ការបង្កើតទ្រឹស្ដីសិតបានបង្កឱ្យមានអ្វីដែលចាត់ទុកថាជាវិបត្តិទីបីនៃគណិតវិទ្យា ដែលមិនទាន់ត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងគាប់ចិត្តសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ តាមប្រវត្តិសាស្ត្រ វិធីសាស្រ្តដំបូងគឺកំណត់ទ្រឹស្តី។ វាត្រូវបានផ្អែកលើការប្រើប្រាស់នៃភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដ នៅពេលដែលវាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាលំដាប់គ្មានកំណត់ណាមួយត្រូវបានបញ្ចប់នៅក្នុងភាពគ្មានកំណត់។ គំនិតនេះគឺថានៅក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំ ជារឿយៗត្រូវដំណើរការលើសំណុំដែលអាចជាផ្នែកនៃឈុតធំផ្សេងទៀត។ សកម្មភាពជោគជ័យក្នុងករណីនេះអាចធ្វើទៅបានតែក្នុងករណីមួយប៉ុណ្ណោះ៖ សំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ (គ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់) ត្រូវបានបញ្ចប់។ ជោគជ័យជាក់លាក់មួយត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ៖ ទ្រឹស្តីសំណុំអ័ក្សរបស់ Zermelo-Fraenkel ដែលជាសាលាគណិតវិទ្យាទាំងមូលដោយ Nicolas Bourbaki ដែលមានអាយុកាលជាងកន្លះសតវត្សហើយនៅតែបង្កឱ្យមានការរិះគន់ជាច្រើន។

តក្កវិជ្ជាគឺជាការប៉ុនប៉ងដើម្បីកាត់បន្ថយគណិតវិទ្យាដែលគេស្គាល់ទាំងអស់ទៅជាលក្ខខណ្ឌនៃនព្វន្ធ ហើយបន្ទាប់មកកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌនព្វន្ធទៅនឹងគោលគំនិតនៃតក្កគណិតវិទ្យា។ Frege បានយករឿងនេះយ៉ាងជិតស្និទ្ធប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីបញ្ចប់ការងារលើការងារគាត់ត្រូវបានបង្ខំឱ្យចង្អុលបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់របស់គាត់បន្ទាប់ពី Russell បានចង្អុលបង្ហាញពីភាពផ្ទុយគ្នានៅក្នុងទ្រឹស្តី។ រ័សុលដូចគ្នា ដូចដែលបានរៀបរាប់ពីមុន បានព្យាយាមលុបបំបាត់ការប្រើនិយមន័យដែលមិនច្បាស់លាស់ ដោយមានជំនួយពី "ទ្រឹស្ដីប្រភេទ"។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គោលគំនិតរបស់គាត់អំពីសំណុំ និងភាពគ្មានកំណត់ ក៏ដូចជា axiom នៃការកាត់បន្ថយបានប្រែទៅជាមិនសមហេតុផល។ បញ្ហាចំបងគឺថា ភាពខុសគ្នានៃគុណភាពរវាងតក្កវិជ្ជាផ្លូវការ និងគណិតវិទ្យាមិនត្រូវបានគេយកមកពិចារណា ក៏ដូចជាវត្តមាននៃគំនិតដែលនាំអោយ រួមទាំងលក្ខណៈវិចារណញាណផងដែរ។
ជាលទ្ធផល ទ្រឹស្ដីតក្កវិជ្ជាមិនអាចលុបបំបាត់ភាពផ្ទុយគ្នានៃគ្រាមភាសានៃពាក្យប្រៀបធៀបដែលទាក់ទងនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់បានទេ។ មាន​តែ​គោលការណ៍ និង​វិធី​ដែល​ធ្វើ​ឱ្យ​វា​អាច​កម្ចាត់​ចោល​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​នូវ​និយមន័យ​ដែល​មិន​អាច​ព្យាករណ៍​បាន។ តាម​ការ​វែកញែក​របស់​គាត់ រ័សុល​គឺ​ជា​អ្នក​ស្នង​មរតក​របស់ Cantor ។

នៅចុងបញ្ចប់នៃ XIX - ការចាប់ផ្តើមនៃសតវត្សទី XX ។ ការរីករាលដាលនៃទស្សនៈផ្លូវការលើគណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍនៃវិធីសាស្រ្ត axiomatic និងកម្មវិធីនៃ substantiation នៃគណិតវិទ្យាដែលត្រូវបានដាក់ទៅមុខដោយ D. Hilbert ។ សារៈសំខាន់នៃការពិតនេះត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយការពិតដែលថាទីមួយនៃបញ្ហាម្ភៃបីដែលគាត់បានបង្ហាញដល់សហគមន៍គណិតវិទ្យាគឺជាបញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ការបង្កើតជាផ្លូវការគឺចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ពីភាពស៊ីសង្វាក់នៃគណិតវិទ្យាបុរាណ "ខណៈពេលដែលមិនរាប់បញ្ចូល metaphysics ទាំងអស់ពីវា" ។ ដោយគិតពីមធ្យោបាយ និងវិធីសាស្រ្តដែលប្រើដោយ Hilbert គោលដៅរបស់គាត់បានប្រែទៅជាមិនអាចទៅរួចជាមូលដ្ឋាន ប៉ុន្តែកម្មវិធីរបស់គាត់មានឥទ្ធិពលយ៉ាងខ្លាំងទៅលើការអភិវឌ្ឍន៍ជាបន្តបន្ទាប់នៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។ Hilbert បានធ្វើការលើបញ្ហានេះអស់រយៈពេលជាយូរ ដោយបានសាងសង់ដំបូងនូវ axiomatics នៃធរណីមាត្រ។ ចាប់តាំងពីដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបានប្រែក្លាយជាជោគជ័យ គាត់បានសម្រេចចិត្តអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត axiomatic ទៅនឹងទ្រឹស្តីនៃចំនួនធម្មជាតិ។ នេះជាអ្វីដែលគាត់បានសរសេរទាក់ទងនឹងរឿងនេះ៖ "ខ្ញុំធ្វើតាមគោលដៅសំខាន់មួយ៖ វាគឺជាខ្ញុំដែលចង់ដោះស្រាយសំណួរនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យាដូចនេះ ដោយបង្វែររាល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យាទៅជារូបមន្តដែលអាចទាញយកបានយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។" ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ វាត្រូវបានគ្រោងទុកដើម្បីកម្ចាត់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដោយកាត់បន្ថយវាទៅចំនួនប្រតិបត្តិការកំណត់ជាក់លាក់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគាត់បានងាកទៅរករូបវិទ្យាជាមួយនឹងអាតូមនិយមរបស់វាដើម្បីបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃបរិមាណគ្មានកំណត់។ តាមពិត ហ៊ីលប៊ឺត បានលើកសំណួរអំពីទំនាក់ទំនងរវាងទ្រឹស្តី និងការពិតកម្មវត្ថុ។

គំនិតពេញលេញច្រើនឬតិចនៃវិធីសាស្រ្តកំណត់គឺត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសិស្សរបស់ Hilbert J. Herbran ។ តាម​រយៈ​ការ​វែកញែក​កំណត់ គាត់​យល់​អំពី​ហេតុផល​បែប​នេះ​ដែល​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា​តក្កវិជ្ជា

មានតែចំនួនកំណត់ និងច្បាស់លាស់នៃវត្ថុ និងមុខងារប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានពិចារណា។

មុខងារមាននិយមន័យច្បាស់លាស់ ហើយនិយមន័យនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាតម្លៃរបស់ពួកគេ;

វា​មិន​ដែល​អះអាង​ថា "វត្ថុ​នេះ​មាន" លុះ​ត្រា​តែ​មាន​វិធី​សាងសង់​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង។

សំណុំនៃវត្ថុទាំងអស់ X នៃការប្រមូលគ្មានកំណត់ណាមួយមិនដែលត្រូវបានពិចារណាឡើយ។

ប្រសិនបើគេដឹងថាហេតុផល ឬទ្រឹស្តីបទណាមួយគឺជាការពិតសម្រាប់ X ទាំងអស់នេះ នោះមានន័យថាហេតុផលទូទៅនេះអាចត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតសម្រាប់ X ជាក់លាក់នីមួយៗ ហើយហេតុផលទូទៅនេះគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្រាន់តែជាគំរូសម្រាប់ហេតុផលជាក់លាក់បែបនេះប៉ុណ្ណោះ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅពេលនៃការបោះពុម្ពចុងក្រោយនៅក្នុងតំបន់នេះ Gödel បានទទួលលទ្ធផលរបស់គាត់រួចហើយ ជាសំខាន់គាត់បានរកឃើញម្តងទៀត និងបានអនុម័តវត្តមានរបស់គ្រាមភាសានៅក្នុងដំណើរការនៃការយល់ដឹង។ នៅក្នុងខ្លឹមសារ ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃគណិតវិទ្យាបានបង្ហាញពីការបរាជ័យនៃកម្មវិធីរបស់ Hilbert ។

តើ Gödel បញ្ជាក់អ្វីខ្លះ? មានលទ្ធផលសំខាន់បី៖

1. Gödel បានបង្ហាញពីភាពមិនអាចទៅរួចនៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យានៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃប្រព័ន្ធណាមួយដែលមានទំហំធំល្មមដើម្បីបញ្ចូលលេខនព្វន្ធទាំងអស់ ដែលជាភស្តុតាងដែលនឹងមិនប្រើក្បួនផ្សេងទៀតនៃការសន្និដ្ឋានជាងអ្វីដែលបានរកឃើញនៅក្នុងប្រព័ន្ធខ្លួនឯង។ ភ័ស្តុតាងបែបនេះដែលប្រើក្បួនការសន្និដ្ឋានដ៏មានឥទ្ធិពលអាចមានប្រយោជន៍។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើក្បួននៃការសន្និដ្ឋានទាំងនេះខ្លាំងជាងមធ្យោបាយឡូជីខលនៃការគណនានព្វន្ធ នោះវានឹងមិនមានទំនុកចិត្តលើភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃការសន្មត់ដែលប្រើក្នុងភស្តុតាងនោះទេ។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រដែលប្រើមិនបានបញ្ចប់ នោះកម្មវិធីរបស់ Hilbert នឹងប្រែទៅជាមិនអាចអនុវត្តបាន។ Gödel គ្រាន់តែបង្ហាញពីភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃការគណនាសម្រាប់ការស្វែងរកភស្តុតាងចុងក្រោយនៃភាពជាប់លាប់នៃនព្វន្ធ។

2. Godel បានចង្អុលបង្ហាញពីដែនកំណត់ជាមូលដ្ឋាននៃលទ្ធភាពនៃវិធីសាស្រ្ត axiomatic: ប្រព័ន្ធ Principia Mathematica ដូចជាប្រព័ន្ធផ្សេងទៀតដែលលេខនព្វន្ធត្រូវបានបង្កើតឡើង គឺមិនពេញលេញជាសំខាន់ ពោលគឺសម្រាប់ប្រព័ន្ធស្របគ្នានៃ axioms នព្វន្ធមានប្រយោគនព្វន្ធពិតដែលមាន។ មិនមែនមកពី axioms ប្រព័ន្ធនេះទេ។

3. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Gödel បង្ហាញថា គ្មានផ្នែកបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធនព្វន្ធអាចធ្វើឱ្យវាពេញលេញនោះទេ ហើយទោះបីជាយើងបំពេញវាដោយសំណុំ axioms ដែលគ្មានកំណត់ក៏ដោយ នោះប្រព័ន្ធថ្មីនឹងតែងតែជាការពិត ប៉ុន្តែមិនអាចកាត់ចេញបានតាមរយៈប្រព័ន្ធនេះទេ។ មុខតំណែង។ វិធីសាស្រ្ត axiomatic ទៅនឹងនព្វន្ធនៃលេខធម្មជាតិមិនអាចគ្របដណ្តប់អាណាចក្រទាំងមូលនៃសំណើនព្វន្ធពិតនោះទេ ហើយអ្វីដែលយើងចង់មានន័យដោយដំណើរការនៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យាមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ axiomatic នោះទេ។ បន្ទាប់ពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Godel វាក្លាយជាគ្មានន័យក្នុងការរំពឹងថាគំនិតនៃភស្តុតាងគណិតវិទ្យាដែលអាចជឿជាក់បានអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យម្តង និងសម្រាប់ទម្រង់ដែលបានកំណត់ទាំងអស់។

ចុងក្រោយបំផុតនៅក្នុងស៊េរីនៃការប៉ុនប៉ងនេះដើម្បីពន្យល់ទ្រឹស្តីសំណុំគឺវិចារណញាណ។

គាត់បានឆ្លងកាត់ដំណាក់កាលជាច្រើននៅក្នុងការវិវត្តរបស់គាត់ - ពាក់កណ្តាលវិចារណញាណ វិចារណញាណនិយមត្រឹមត្រូវ វិចារណញាណជ្រុលនិយម។ នៅដំណាក់កាលផ្សេងៗគ្នា គណិតវិទូមានការព្រួយបារម្ភអំពីបញ្ហាផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែបញ្ហាចម្បងមួយនៃគណិតវិទ្យាគឺបញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ គោលគំនិតគណិតវិទ្យានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និងនិរន្តរភាព គឺជាកម្មវត្ថុនៃការវិភាគទស្សនវិជ្ជាចាប់តាំងពីការចាប់ផ្តើមរបស់ពួកគេ (គំនិតរបស់អាតូមិក, aporias នៃ Zeno នៃ Elea, វិធីសាស្រ្តគ្មានដែនកំណត់នៅសម័យបុរាណ, ការគណនានៃ infinitesimals ក្នុងសម័យទំនើប។ ល។ ) ។ ភាពចម្រូងចម្រាសដ៏ធំបំផុតត្រូវបានបង្កឡើងដោយការប្រើប្រាស់ប្រភេទផ្សេងៗនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ (សក្តានុពល ជាក់ស្តែង) ជាវត្ថុគណិតវិទ្យា និងការបកស្រាយរបស់ពួកគេ។ បញ្ហាទាំងអស់នេះតាមគំនិតរបស់យើងត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបញ្ហាកាន់តែស៊ីជម្រៅ - តួនាទីនៃប្រធានបទនៅក្នុងចំណេះដឹងវិទ្យាសាស្ត្រ។ ការពិតគឺថាស្ថានភាពនៃវិបត្តិនៅក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយភាពមិនប្រាកដប្រជានៃ epistemological នៃការប្រៀបធៀបនៃពិភពលោកនៃវត្ថុ (ភាពមិនចេះរីងស្ងួត) និងពិភពនៃប្រធានបទ។ គណិតវិទូ​ជា​មុខវិជ្ជា​មួយ​មាន​លទ្ធភាព​ជ្រើសរើស​មធ្យោបាយ​នៃ​ការ​យល់ដឹង​ទាំង​សក្តានុពល ឬ​ភាព​គ្មាន​កំណត់។ ការប្រើសក្ដានុពលនៃអនិច្ចកម្ម ជាការក្លាយជាបុគ្គលនោះ ផ្តល់ឱកាសឱ្យលោកអនុវត្តបាន កសាងនូវសំណង់ដែលគ្មានកំណត់ ដែលអាចសាងឡើងលើកំពូលនៃកំណត់ដោយមិនមានកំណត់ ដោយមិនបញ្ចប់ការសាងសង់ គឺអាចធ្វើទៅបានតែប៉ុណ្ណោះ។ ការប្រើប្រាស់ភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដផ្តល់ឱ្យគាត់នូវឱកាសដើម្បីធ្វើការជាមួយភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដូចដែលអាចសម្រេចបានរួចហើយ បានបញ្ចប់នៅក្នុងការសាងសង់របស់វា ដូចដែលបានផ្តល់ឱ្យពិតប្រាកដក្នុងពេលតែមួយ។

នៅដំណាក់កាលនៃពាក់កណ្តាលវិចារណញាណ បញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់មិនទាន់ឯករាជ្យនៅឡើយ ប៉ុន្តែត្រូវបានត្បាញចូលទៅក្នុងបញ្ហានៃការបង្កើតវត្ថុគណិតវិទ្យា និងវិធីដើម្បីបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវរបស់វា។ ពាក់កណ្តាលវិចារណញាណនៃ A. Poincaré និងអ្នកតំណាងនៃសាលាប៉ារីសនៃទ្រឹស្តីមុខងារ Baire, Lebesgue និង Borel ត្រូវបានដឹកនាំប្រឆាំងនឹងការទទួលយក axiom នៃជម្រើសសេរី ដែលបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Zermelo ដែលចែងថាសំណុំណាមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាទិញទាំងស្រុង។ ប៉ុន្តែដោយមិនបង្ហាញពីវិធីទ្រឹស្តីដើម្បីកំណត់ធាតុនៃសំណុំរងណាមួយនៃសំណុំដែលចង់បាន។ គ្មាន​វិធី​ក្នុង​ការ​បង្កើត​វត្ថុ​គណិតវិទ្យា​ទេ ហើយ​ក៏​គ្មាន​វត្ថុ​គណិតវិទ្យា​ដោយ​ខ្លួន​វា​ដែរ។ គណិតវិទូបានជឿថាវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃវិធីសាស្ត្រទ្រឹស្តីសម្រាប់បង្កើតលំដាប់នៃវត្ថុនៃការសិក្សា អាចជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការបញ្ជាក់ ឬបដិសេធ axiom នេះ។ នៅក្នុងកំណែភាសារុស្សី គំនិតពាក់កណ្តាលវិចារណញាណនៅក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងទិសដៅដូចទៅនឹងប្រសិទ្ធភាពនិយមដែលបង្កើតឡើងដោយ N.N. លូហ្សីន។ Effectiveism គឺជាការប្រឆាំងទៅនឹងអរូបីសំខាន់ៗនៃគោលលទ្ធិរបស់ Cantor អំពីភាពគ្មានទីបញ្ចប់ - ការពិត, ជម្រើស, អាំងតង់ស៊ីតេឆ្លងកាត់។ល។

សម្រាប់ប្រសិទ្ធភាពនិយម ការអរូបីនៃលទ្ធភាពសក្តានុពលគឺមានតម្លៃជាងអរូបីនៃភាពគ្មានកំណត់ពិតប្រាកដ។ សូមអរគុណដល់ការនេះ វាក្លាយជាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីណែនាំគំនិតនៃពិធីបរិសុទ្ធឆ្លងដែន (លេខលំដាប់គ្មានកំណត់) ដោយផ្អែកលើគោលគំនិតប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាពនៃការលូតលាស់នៃមុខងារ។ ការកំណត់ខាងរោគវិទ្យានៃប្រសិទ្ធភាពសម្រាប់បង្ហាញការបន្ត (បន្ត) គឺផ្អែកលើមធ្យោបាយដាច់ពីគ្នា (នព្វន្ធ) និងទ្រឹស្តីពិពណ៌នានៃសំណុំ (មុខងារ) ដែលបង្កើតឡើងដោយ N.N. Luzin ។ វិចារណញាណនិយមរបស់ជនជាតិហូឡង់ L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Heiting មើលឃើញនូវលំដាប់ដែលលេចឡើងដោយសេរីនៃប្រភេទផ្សេងៗជាវត្ថុបុរាណនៃការសិក្សា។ នៅដំណាក់កាលនេះ ការដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាបានត្រឹមត្រូវ រួមទាំងការរៀបចំឡើងវិញនូវគណិតវិទ្យាទាំងអស់នៅលើមូលដ្ឋានថ្មី អ្នកវិចារណញាណបានលើកឡើងនូវសំណួរទស្សនវិជ្ជានៃតួនាទីរបស់គណិតវិទូជាប្រធានបទយល់ដឹង។ តើអ្វីជាមុខតំណែងរបស់គាត់ ដែលគាត់មានសេរីភាព និងសកម្មជាងក្នុងការជ្រើសរើសមធ្យោបាយនៃការយល់ដឹង? វិចារណញាណជាអ្នកដំបូង (ហើយនៅដំណាក់កាលនៃពាក់កណ្តាលវិចារណញាណនិយម) ដើម្បីរិះគន់គោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ ទ្រឹស្ដីនៃសំណុំរបស់ Cantor ដោយមើលឃើញនៅក្នុងនោះការរំលោភលើសមត្ថភាពរបស់ប្រធានបទដើម្បីជះឥទ្ធិពលដល់ដំណើរការនៃការស្វែងរកវិទ្យាសាស្ត្រសម្រាប់ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាស្ថាបនា។ . នៅក្នុងករណីនៃការប្រើប្រាស់សក្តានុពល infinity ប្រធានបទមិនបញ្ឆោតខ្លួនឯងទេព្រោះសម្រាប់គាត់គំនិតនៃភាពគ្មានព្រំដែនដែលមានសក្តានុពលគឺវិចារណញាណច្បាស់ជាងគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ពិតប្រាកដ។ សម្រាប់វិចារណញាណ វត្ថុមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាមាន ប្រសិនបើវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយផ្ទាល់ទៅគណិតវិទូ ឬប្រសិនបើវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់វាត្រូវបានគេស្គាល់។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយប្រធានបទអាចចាប់ផ្តើមដំណើរការនៃការបញ្ចប់ការសាងសង់ធាតុមួយចំនួននៃសំណុំរបស់គាត់។ វត្ថុដែលមិនបានសាងសង់មិនមានសម្រាប់អ្នកវិចារណញាណទេ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ មុខវិជ្ជាដែលធ្វើការជាមួយភាពគ្មានដែនកំណត់ពិតប្រាកដនឹងត្រូវបានដកហូតឱកាសនេះហើយនឹងមានអារម្មណ៍ថាមានភាពងាយរងគ្រោះទ្វេដងនៃមុខតំណែងដែលបានអនុម័ត៖

1) វាមិនអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការសាងសង់គ្មានកំណត់នេះ;

2) គាត់សម្រេចចិត្តធ្វើប្រតិបត្តិការជាមួយភាពគ្មានកំណត់ពិតប្រាកដដូចវត្ថុកំណត់ ហើយក្នុងករណីនេះបាត់បង់ភាពជាក់លាក់របស់គាត់នៃគោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ វិចារណញាណមនសិការកំណត់លទ្ធភាពរបស់គណិតវិទូដោយការពិតដែលថាគាត់អាចសាងសង់វត្ថុគណិតវិទ្យាទាំងស្រុងដោយមធ្យោបាយដែលថាទោះបីជាទទួលបានដោយជំនួយនៃគំនិតអរូបីក៏ដោយក៏មានប្រសិទ្ធភាពជឿជាក់អាចបញ្ជាក់បានមុខងារស្ថាបនាជាក់ស្តែងជាក់ស្តែងហើយពួកគេផ្ទាល់មានវិចារណញាណច្បាស់លាស់ដូចជាសំណង់។ សំណង់, ភាពជឿជាក់នៃការអនុវត្ត, មិនមានការសង្ស័យទេ។ វិចារណញាណនិយម ពឹងផ្អែកលើគំនិតនៃសក្តានុពលគ្មានដែនកំណត់ និងវិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវស្ថាបនា ទាក់ទងនឹងគណិតវិទ្យានៃការក្លាយជា ទ្រឹស្ដីកំណត់សំដៅលើគណិតវិទ្យានៃភាពជា។

សម្រាប់វិចារណញាណ Brouwer ក្នុងនាមជាអ្នកតំណាងនៃ empiricism គណិតវិទ្យា តក្កវិជ្ជាគឺជាអនុវិទ្យាល័យ គាត់រិះគន់វា និងច្បាប់នៃមជ្ឈិមដែលដកចេញ។

នៅក្នុងស្នាដៃអាថ៌កំបាំងមួយផ្នែករបស់គាត់ គាត់មិនបដិសេធអត្ថិភាពនៃភាពមិនចេះចប់ទេ ប៉ុន្តែមិនអនុញ្ញាតឱ្យមានការពិតទេ គឺមានតែសក្តានុពលប៉ុណ្ណោះ។ រឿងសំខាន់សម្រាប់គាត់គឺការបកស្រាយ និងយុត្តិកម្មនៃមធ្យោបាយតក្កវិជ្ជា និងហេតុផលគណិតវិទ្យាដែលបានប្រើជាក់ស្តែង។ ការរឹតបន្តឹងដែលបានអនុម័តដោយវិចារណញាណបានយកឈ្នះលើភាពមិនប្រាកដប្រជានៃការប្រើប្រាស់គោលគំនិតនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់នៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងបង្ហាញពីបំណងប្រាថ្នាចង់យកឈ្នះលើវិបត្តិនៅក្នុងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យា។

វិចារណញាណជ្រុលនិយម (A.N. Kolmogorov, A.A. Markov និងអ្នកដទៃ) គឺជាដំណាក់កាលចុងក្រោយក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍នៃវិចារណញាណនិយម ដែលគំនិតសំខាន់ៗរបស់វាត្រូវបានធ្វើទំនើបកម្ម បំពេញបន្ថែម និងផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងសំខាន់ ដោយមិនផ្លាស់ប្តូរខ្លឹមសាររបស់វា ប៉ុន្តែការយកឈ្នះលើចំណុចខ្វះខាត និងការពង្រឹងទិដ្ឋភាពវិជ្ជមាន ដឹកនាំដោយ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យគណិតវិទ្យាដ៏តឹងរ៉ឹង។ ភាពទន់ខ្សោយនៃវិធីសាស្រ្តវិចារណញាណ គឺជាការយល់ដឹងដ៏តូចចង្អៀតនៃតួនាទីនៃវិចារណញាណ ដែលជាប្រភពតែមួយគត់នៃយុត្តិកម្មសម្រាប់ភាពត្រឹមត្រូវ និងប្រសិទ្ធភាពនៃវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា។ ដោយយក "ភាពច្បាស់លាស់តាមវិចារណញាណ" ជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃសេចក្តីពិតក្នុងគណិតវិទ្យា អ្នកវិចារណញាណវិធីសាស្រ្តបានធ្វើឱ្យអន់ថយលទ្ធភាពរបស់គណិតវិទូជាប្រធានបទនៃចំណេះដឹង កាត់បន្ថយសកម្មភាពរបស់គាត់ត្រឹមតែប្រតិបត្តិការផ្លូវចិត្តដោយផ្អែកលើវិចារណញាណប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនបានរួមបញ្ចូលការអនុវត្តនៅក្នុងដំណើរការនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យានោះទេ។ កម្មវិធី​វិចារណញាណ​ជ្រុល​និយម​នៃ​ការបញ្ជាក់​គណិតវិទ្យា​គឺជា​អាទិភាព​របស់​រុស្ស៊ី។ ដូច្នេះ គណិតវិទូក្នុងស្រុក ដោយយកឈ្នះលើដែនកំណត់នៃវិចារណញាណនិយម បានទទួលយកវិធីសាស្រ្តដ៏មានប្រសិទ្ធភាពនៃគ្រាមភាសាសម្ភារៈនិយម ដោយទទួលស្គាល់ការអនុវត្តរបស់មនុស្សជាប្រភពនៃការបង្កើតគំនិតគណិតវិទ្យា និងវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា (ការសន្និដ្ឋាន សំណង់)។ ultraintuitionists បានដោះស្រាយបញ្ហានៃអត្ថិភាពនៃវត្ថុគណិតវិទ្យា ដោយមិនពឹងផ្អែកលើគោលគំនិតប្រធានបទដែលមិនបានកំណត់នៃវិចារណញាណនោះទេ ប៉ុន្តែនៅលើការអនុវត្តគណិតវិទ្យា និងយន្តការជាក់លាក់មួយសម្រាប់បង្កើតវត្ថុគណិតវិទ្យាមួយ - ក្បួនដោះស្រាយដែលបង្ហាញដោយមុខងារដែលអាចគណនាឡើងវិញបាន។

វិចារណញាណជ្រុលនិយម បង្កើនគុណសម្បត្តិនៃវិចារណញាណនិយម ដែលមាននៅក្នុងលទ្ធភាពនៃការបញ្ជាទិញ និងការធ្វើឱ្យទូទៅនូវវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាស្ថាបនាដែលប្រើដោយគណិតវិទូនៃទិសដៅណាមួយ។ ដូច្នេះ វិចារណញាណនៃដំណាក់កាលចុងក្រោយ (ultraintuitionism) គឺជិតនឹង constructivism នៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ នៅក្នុងទិដ្ឋភាព epistemological គំនិតចម្បងនិងគោលការណ៍នៃ ultraintuitionism មានដូចខាងក្រោម: ការរិះគន់នៃ axiomatics បុរាណនៃតក្កវិជ្ជា; ការប្រើប្រាស់ និងការពង្រឹងយ៉ាងសំខាន់ (តាមការណែនាំច្បាស់លាស់របស់ A.A. Markov) នៃតួនាទីអរូបីនៃការកំណត់អត្តសញ្ញាណ (អរូបីផ្លូវចិត្តពីលក្ខណៈខុសគ្នានៃវត្ថុ និងភាពឯកោក្នុងពេលដំណាលគ្នានៃលក្ខណៈទូទៅនៃវត្ថុ) ជាមធ្យោបាយនៃការសាងសង់ និងការយល់ដឹងដោយអរូបី។ គំនិត, ការវិនិច្ឆ័យគណិតវិទ្យា; ភស្តុតាងនៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃទ្រឹស្តីស្រប។ នៅក្នុងទិដ្ឋភាពផ្លូវការការអនុវត្តនៃការអរូបីនៃការកំណត់អត្តសញ្ញាណត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតដោយលក្ខណៈបីរបស់វា (axioms) នៃសមភាព - ការឆ្លុះបញ្ចាំងការផ្លាស់ប្តូរនិងស៊ីមេទ្រី។

ដើម្បីដោះស្រាយភាពផ្ទុយគ្នាដ៏សំខាន់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាលើបញ្ហានៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដែលបណ្តាលឱ្យមានវិបត្តិនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះរបស់វានៅដំណាក់កាលនៃវិចារណញាណជ្រុលនិយមនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ A.N. Kolmogorov បានស្នើវិធីចេញពីវិបត្តិដោយការដោះស្រាយបញ្ហានៃទំនាក់ទំនងរវាងតក្កវិជ្ជាបុរាណ និងវិចារណញាណ គណិតវិទ្យាបុរាណ និងវិចារណញាណ។ វិចារណញាណរបស់ Brouwer ទាំងមូលបានបដិសេធតក្កវិជ្ជា ប៉ុន្តែដោយសារគណិតវិទូណាម្នាក់មិនអាចធ្វើបានដោយគ្មានតក្កវិជ្ជា ការអនុវត្តនៃហេតុផលតក្កវិជ្ជានៅតែត្រូវបានរក្សាទុកក្នុងវិចារណញាណ គោលការណ៍មួយចំនួននៃតក្កវិជ្ជាបុរាណត្រូវបានអនុញ្ញាត ដែលមាន axiomatics ជាមូលដ្ឋានរបស់វា។ អេស.ខេ. Kleene, R. Wesley ថែមទាំងកត់សម្គាល់ថាគណិតវិទ្យាវិចារណញាណអាចត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាប្រភេទនៃការគណនាមួយហើយការគណនាគឺជាវិធីនៃការរៀបចំចំណេះដឹងគណិតវិទ្យានៅលើមូលដ្ឋាននៃតក្កវិជ្ជាផ្លូវការនិងទម្រង់របស់វា - algorithmization ។ កំណែថ្មីនៃទំនាក់ទំនងរវាងតក្កវិជ្ជា និងគណិតវិទ្យាក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃតម្រូវការវិចារណញាណសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៃវិចារណញាណនៃការវិនិច្ឆ័យ ជាពិសេសអ្នកដែលរួមបញ្ចូលការបដិសេធ A.N. Kolmogorov បានស្នើឡើងដូចខាងក្រោម: គាត់បានបង្ហាញតក្កវិជ្ជាវិចារណញាណដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងគណិតវិទ្យាវិចារណញាណក្នុងទម្រង់ជាការគណនាតិចតួចបំផុតនៃ axiomatic implicative នៃ propositions និង predicates ។ ដូច្នេះហើយ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្របានបង្ហាញគំរូថ្មីនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា ដោយយកឈ្នះលើដែនកំណត់នៃវិចារណញាណក្នុងការទទួលស្គាល់តែវិចារណញាណជាមធ្យោបាយនៃការយល់ដឹង និងដែនកំណត់នៃតក្កវិជ្ជា ដែលលុបបំបាត់លទ្ធភាពនៃតក្កវិជ្ជាក្នុងគណិតវិទ្យា។ ទីតាំងនេះបានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញនៅក្នុងទម្រង់គណិតវិទ្យានៃការសំយោគនៃវិចារណញាណនិងឡូជីខលជាមូលដ្ឋាននៃហេតុផលដែលអាចបត់បែនបាននិងប្រសិទ្ធភាពស្ថាបនារបស់វា។

ដូច្នេះទិដ្ឋភាព epistemological នៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យាអនុញ្ញាតឱ្យយើងវាយតម្លៃការផ្លាស់ប្តូរបដិវត្តន៍នៅដំណាក់កាលនៃវិបត្តិនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគណិតវិទ្យានៅវេននៃសតវត្សទី 19-20 ។ ពីមុខតំណែងថ្មីក្នុងការយល់ដឹងអំពីដំណើរការនៃការយល់ដឹង លក្ខណៈ និងតួនាទីនៃប្រធានបទនៅក្នុងវា។ ប្រធានបទ epistemological នៃទ្រឹស្តីប្រពៃណីនៃចំនេះដឹង, ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងរយៈពេលនៃការត្រួតត្រានៃវិធីសាស្រ្តសំណុំ - ទ្រឹស្តីនៅក្នុងគណិតវិទ្យា, គឺអរូបី, មិនពេញលេញ, "ផ្នែក" ប្រធានបទ, តំណាងនៅក្នុងទំនាក់ទំនងប្រធានបទ, ហែកចេញដោយ abstractions, តក្ក, ផ្លូវការនិយមពីការពិត ហេតុផល ទ្រឹស្តី ដឹងពីវត្ថុរបស់វា ហើយយល់ថាជាកញ្ចក់ ឆ្លុះបញ្ចាំងយ៉ាងត្រឹមត្រូវ និងចម្លងការពិត។ តាមការពិត ប្រធានបទត្រូវបានដកចេញពីការយល់ដឹងជាដំណើរការពិត និងជាលទ្ធផលនៃអន្តរកម្មជាមួយវត្ថុ។ ការចូលនៃវិចារណញាណនិយមចូលទៅក្នុងឆាកនៃការតស៊ូនៃនិន្នាការទស្សនវិជ្ជាក្នុងគណិតវិទ្យាបាននាំឱ្យមានការយល់ដឹងថ្មីអំពីគណិតវិទូដែលជាប្រធានបទនៃចំណេះដឹង - បុគ្គលដែលដឹងដែលអរូបីទស្សនវិជ្ជាត្រូវតែត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចដែលវាកើតឡើងម្តងទៀត។ គណិតវិទូបានលេចចេញជាមុខវិជ្ជាជាក់ស្តែង យល់រួចជាស្រេចថាជាបុគ្គលពិតប្រាកដមួយរូប រួមទាំងលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់ដែលត្រូវបានអរូបីពីក្នុងមុខវិជ្ជា epistemological - ភាពជាក់ស្តែងជាក់ស្តែង ភាពប្រែប្រួល ប្រវត្តិសាស្រ្ត។ វា​គឺ​ជា​ការ​សម្ដែង​និង​ការ​យល់​ដឹង​នៅ​ក្នុង​ការ​យល់​ដឹង​ពិត​ប្រាកដ, គំនិត​ច្នៃ​ប្រឌិត, វិចារណញាណ, ប្រឌិតប្រធានបទ។ ទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យាវិចារណញាណបានក្លាយទៅជាមូលដ្ឋាន ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃគំរូ epistemological ទំនើប ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើគោលគំនិតនៃហេតុផលដែលអាចបត់បែនបាន ដែលមនុស្សម្នាក់គឺជាប្រធានបទនៃការយល់ដឹង (រួម) ដែលមានគុណសម្បត្តិនៃការយល់ដឹងថ្មី វិធីសាស្រ្ត នីតិវិធី។ គាត់សំយោគលក្ខណៈ និងទម្រង់បែបបទ និងទម្រង់បែបអរូបី - រោគវិទ្យា និងតក្កវិជ្ជារបស់គាត់ ហើយក្នុងពេលតែមួយទទួលបានការយល់ដឹងអំពីអត្ថិភាព - នរវិទ្យា និង "ប្រវត្តិសាស្ត្រ - មេតាហ្វីលីក" ។

ចំណុចសំខាន់មួយផងដែរគឺវិចារណញាណក្នុងការយល់ដឹង និងជាពិសេសនៅក្នុងការបង្កើតគំនិតគណិតវិទ្យា។ ជាថ្មីម្តងទៀត មានការតស៊ូជាមួយទស្សនវិជ្ជា ព្យាយាមដកចេញច្បាប់នៃមជ្ឈិមដែលដកចេញ ព្រោះថាគ្មានន័យក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយចូលមកក្នុងវាពីទស្សនវិជ្ជា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ វត្តមាននៃការសង្កត់ធ្ងន់លើសលប់លើវិចារណញាណ និងកង្វះនៃយុត្តិកម្មគណិតវិទ្យាច្បាស់លាស់មិនអនុញ្ញាតឱ្យផ្ទេរគណិតវិទ្យាទៅជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដ៏រឹងមាំនោះទេ។

ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បន្ទាប់ពីការលេចចេញនូវគោលគំនិតដ៏ម៉ឺងម៉ាត់នៃក្បួនដោះស្រាយមួយក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1930 ដំបងពីវិចារណញាណនិយមត្រូវបានកាន់កាប់ដោយ constructivism គណិតវិទ្យាដែលអ្នកតំណាងបានចូលរួមចំណែកយ៉ាងសំខាន់ចំពោះទ្រឹស្តីទំនើបនៃការគណនា។ លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1970 និង 1980 ទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗត្រូវបានរកឃើញរវាងគំនិតមួយចំនួននៃវិចារណញាណ (សូម្បីតែអ្វីដែលពីមុនហាក់ដូចជាមិនសមហេតុផល) និងទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យានៃ topos ។ គណិតវិទ្យាដែលរកឃើញនៅក្នុង topoi មួយចំនួនគឺស្រដៀងទៅនឹងអ្វីដែលវិចារណញាណកំពុងព្យាយាមបង្កើត។

ជាលទ្ធផល មនុស្សម្នាក់អាចធ្វើសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយបាន៖ ភាគច្រើននៃពាក្យប្រៀបធៀបខាងលើមិនមាននៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃសំណុំជាមួយនឹងភាពជាម្ចាស់ខ្លួនឯងនោះទេ។ ថាតើវិធីសាស្រ្តបែបនេះមានលក្ខណៈច្បាស់លាស់អាចជជែកគ្នាបានដែរឬទេ ការងារបន្ថែមទៀតនៅក្នុងតំបន់នេះនឹងបង្ហាញ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ការវិភាគតាមគ្រាមភាសា-សម្ភារៈនិយមបង្ហាញថា ភាពផ្ទុយគ្នាគឺជាផលវិបាកនៃឌីកូតូមីតនៃភាសា និងការគិត ការបញ្ចេញមតិនៃគ្រាមភាសាដ៏ស៊ីជម្រៅ (ទ្រឹស្តីបទរបស់ហ្គោឌែលបានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញពីគ្រាមភាសាក្នុងដំណើរការនៃការយល់ដឹង) និងការលំបាកខាងវិញ្ញាណដែលទាក់ទងនឹងគំនិតនៃវត្ថុ និងប្រធានបទ។ area in formal logic, a set (class) in logic and set theory, with the use of the abstraction principle, which allow the new (abstract) objects (infinity) with method for defining abstract objects in science.ល។ មធ្យោបាយសកលដើម្បីលុបបំបាត់ភាពផ្ទុយគ្នាទាំងអស់មិនអាចផ្តល់ឱ្យបានទេ។

ថាតើវិបត្តិទីបីនៃគណិតវិទ្យាបានបញ្ចប់ឬអត់ (ព្រោះវាស្ថិតនៅក្នុងទំនាក់ទំនងបុព្វហេតុជាមួយ paradoxes ឥឡូវនេះ paradoxes គឺជាផ្នែកសំខាន់មួយ) - មតិខុសគ្នានៅទីនេះ ទោះបីជា paradoxes ដែលគេស្គាល់ជាផ្លូវការត្រូវបានលុបចោលនៅឆ្នាំ 1907 ក៏ដោយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ឥឡូវនេះនៅក្នុងគណិតវិទ្យាមានកាលៈទេសៈផ្សេងទៀតដែលអាចចាត់ទុកថាជាវិបត្តិ ឬបង្ហាញពីវិបត្តិមួយ (ឧទាហរណ៍ អវត្តមាននៃយុត្តិកម្មដ៏តឹងរឹងសម្រាប់អាំងតេក្រាលផ្លូវ)។

ចំពោះភាពផ្ទុយគ្នា ការភូតកុហកដ៏ល្បីបានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យា ក៏ដូចជាស៊េរីនៃភាពផ្ទុយគ្នាទាំងមូលនៅក្នុងអ្វីដែលគេហៅថា ទ្រឹស្តីសំណុំបែបឆោតល្ងង់ (មុននេះ) ដែលបណ្តាលឱ្យមានវិបត្តិនៃមូលដ្ឋានគ្រឹះ (មួយក្នុងចំណោមការប្រៀបធៀបទាំងនេះបានលេង។ តួនាទីដ៏គ្រោះថ្នាក់នៅក្នុងជីវិតរបស់ G. Frege) ។ ប៉ុន្តែ ប្រហែលជាបាតុភូតមួយក្នុងចំនោមបាតុភូតដែលគេប៉ាន់ស្មានមិនដល់បំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប ដែលអាចហៅបានទាំងភាពផ្ទុយគ្នា និងវិបត្តិ គឺជាដំណោះស្រាយរបស់ Paul Cohen ក្នុងឆ្នាំ 1963 នៃបញ្ហាដំបូងរបស់ Hilbert ។ ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត មិនមែនជាការពិតនៃការសម្រេចចិត្តនោះទេ ប៉ុន្តែជាធម្មជាតិនៃការសម្រេចចិត្តនេះ។

អក្សរសិល្ប៍

1. Georg Cantor ។ Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, ៤៦:៤៨១-៥១២, ១៨៩៥។
2. I.N. ប៊ូរ៉ូវ៉ា។ Paradoxes នៃទ្រឹស្តីសំណុំ និងគ្រាមភាសា។ វិទ្យាសាស្ត្រឆ្នាំ ១៩៧៦ ។
3. M.D. ជាងស្មូន។ កំណត់ទ្រឹស្ដី និងទស្សនវិជ្ជារបស់វា៖ ការណែនាំសំខាន់។ សារព័ត៌មានសាកលវិទ្យាល័យ Oxford, Incorporated, 2004 ។
4. Zhukov N.I. មូលដ្ឋានគ្រឹះទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យា។ ទីក្រុង Minsk: Universitetskoe ឆ្នាំ 1990 ។
5. Feynman R.F., S. Ilyin ។ ជាការពិតណាស់ អ្នកកំពុងនិយាយលេងទេ លោក ហ្វីនមែន!៖ ដំណើរផ្សងព្រេងរបស់បុរសដ៏អស្ចារ្យម្នាក់ ដែលបានប្រាប់ដោយគាត់ទៅ R. Layton ។ Hummingbird, ឆ្នាំ ២០០៨។
6. O.M. Mizhevich ។ វិធីពីរយ៉ាងដើម្បីយកឈ្នះលើភាពផ្ទុយគ្នានៅក្នុងទ្រឹស្តីកំណត់របស់ G. Kantor ។ ការសិក្សាឡូជីខល និងទស្សនវិជ្ជា, (៣៖២៧៩-២៩៩, ២០០៥)។
7. S. I. Masalova ។ ទស្សនវិជ្ជានៃគណិតវិទ្យា វិចារណញាណ។ ព្រឹត្តិបត្រ DSTU, (4), 2006 ។
8. Chechulin V.L. ទ្រឹស្តីនៃសំណុំជាមួយនឹងភាពជាម្ចាស់ដោយខ្លួនឯង (មូលដ្ឋានគ្រឹះ និងកម្មវិធីមួយចំនួន)។ Perm ។ រដ្ឋ un-t ។ - Perm, ឆ្នាំ 2012 ។
9. S. N. ទ្រីនីន។ សេចក្តីសង្ខេបខ្លីៗ នៃបាឋកថា ស្តីពី វិន័យ "ទស្សនវិជ្ជា គណិតវិទ្យា"។ កាហ្សាន ឆ្នាំ ២០១២។
10. Grishin V.N., Bochvar D.A. សិក្សាលើទ្រឹស្តីសំណុំ និងតក្កវិជ្ជាមិនបុរាណ។ វិទ្យាសាស្ត្រឆ្នាំ ១៩៧៦ ។
11. Hofstadter D. Gödel, Escher, Bach: កម្រងផ្កាគ្មានទីបញ្ចប់នេះ។ Bahrakh-M, 2001 ។
12. Kabakov F.A., Mendelson E. ការណែនាំអំពីតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា។ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព "ណាវកា" ឆ្នាំ ១៩៧៦ ។
13. បាទ បូឆវ៉ា។ លើសំណួរនៃភាពផ្ទុយគ្នានៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីកំណត់។ ការប្រមូលគណិតវិទ្យា, 57(3): 369-384, 1944។

ការពិពណ៌នាអំពីប្រធានបទ (ការបង្កើត ontology របស់វា) ចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការជ្រើសរើសវត្ថុ និងការចាត់ថ្នាក់របស់ពួកគេ ដែលតាមទម្លាប់មាននៅក្នុងការចងក្រងមែកធាងនៃថ្នាក់រង និងចាត់តាំងបុគ្គលឱ្យពួកគេ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះពាក្យ "ថ្នាក់" ជាការពិតត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងអត្ថន័យនៃ "សំណុំ": ការបញ្ជូនវត្ថុមួយទៅថ្នាក់ត្រូវបានគេគិតថារួមបញ្ចូលវាជាធាតុនៅក្នុងសំណុំដែលត្រូវគ្នា។ គោលបំណងនៃអត្ថបទនេះគឺដើម្បីបង្ហាញថាវិធីសាស្រ្តបង្រួបបង្រួមបែបនេះក្នុងការពិពណ៌នាអំពីរចនាសម្ព័ន្ធនៃប្រធានបទគឺជាការធ្វើឱ្យសាមញ្ញរឹងមាំនិងមិនអនុញ្ញាតឱ្យជួសជុលភាពខុសគ្នានៃទំនាក់ទំនង semantic នៃវត្ថុ។

សូមក្រឡេកមើលជម្រើសបីសម្រាប់ចាត់ថ្នាក់បុគ្គល Bug៖

1. សត្វ - ឆ្កែ - husky - កំហុស។
2. សេវាកម្ម - ជិះ - កំហុស។
3. Kennel - ក្រុមសត្វឆ្កែ - Zhuchka ។

លំដាប់ទីមួយនៃអង្គភាពរងត្រូវបានពិពណ៌នាដោយមិនច្បាស់លាស់ដោយការបញ្ជាក់ថ្នាក់ និងថ្នាក់រង៖ កំហុសគឺជាបុគ្គលនៃថ្នាក់ "ចូលចិត្ត" ថ្នាក់ "ចូលចិត្ត" គឺជាថ្នាក់រងនៃសត្វឆ្កែ ហើយមួយនោះគឺជាថ្នាក់រងនៃថ្នាក់ "សត្វ" ។ . ក្នុងករណីនេះថ្នាក់ "សត្វ" ត្រូវបានចាត់ទុកជាសំណុំនៃសត្វទាំងអស់ហើយថ្នាក់ "ចូលចិត្ត" ជាក្រុមរងនៃសំណុំ "សត្វឆ្កែ" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការពិពណ៌នាបែបនេះ ទោះបីជាការពិតដែលវាច្បាស់ក៏ដោយ គឺមានអត្ថន័យយ៉ាងតឹងរ៉ឹង សំដៅលើខ្លួនឯង៖ យើងហៅបុគ្គល Bug ថា husky ប្រសិនបើវាត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំនៃ huskies ហើយសំណុំ huskies ខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់ថាជា ចំនួនសរុបនៃបុគ្គលទាំងអស់នៃ huskies - នោះគឺការរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំនៃឈ្មោះស្ទួនដែលមានអត្ថន័យ។ លើសពីនេះ ការពិពណ៌នាអំពីសំណុំថ្នាក់គឺត្រូវបានអស់ទាំងស្រុងដោយការពិពណ៌នាអំពីបុគ្គលដែលស្ថិតនៅក្រោមគំនិតកំណត់ថ្នាក់។ វាគួរតែត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ផងដែរថាប្រតិបត្តិការនៃថ្នាក់ - សំណុំបែបនេះមិនអាស្រ័យលើចំនួននៃធាតុនៅក្នុងពួកគេ: husky របស់ Bug នឹងក្លាយជា husky សូម្បីតែនៅពេលដែលវានៅសល់តែ husky ចុងក្រោយនៅលើផែនដី។ ជាងនេះទៅទៀត យើងអាចដំណើរការជាមួយនឹងថ្នាក់-ឈុតបែបនេះ សូម្បីតែនៅក្នុងអវត្តមាននៃបុគ្គលនៅក្នុងពួកគេក៏ដោយ៖ យើងអាចបង្កើត ontology នៃដាយណូស័រដែលផុតពូជរួចហើយ គិតអំពីថ្នាក់ដែលនៅពេលអនាគតនឹងរួមបញ្ចូលឧបករណ៍ពិសេសមួយដែលត្រូវបានរចនា ឬបង្កើតគំរូ។ នៃប្រធានបទនៃសត្វទេវកថា វីរបុរសនៃរឿងនិទាន បើទោះបីជានៅពេលជាមួយគ្នានោះ ខានៃថ្នាក់ទាំងអស់នឹងស្មើនឹងសូន្យ។

ដូច្នេះប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីផ្នែកខ្លឹមសារនៃចំណាត់ថ្នាក់ដែលបានវិភាគ (សត្វ - ឆ្កែ - husky - កំហុស) នោះវា (ផ្នែកមាតិកា) មិនអាចត្រូវបានបង្ហាញតាមមធ្យោបាយណាមួយតាមរយៈទំនាក់ទំនងនៃសំណុំ និងសំណុំរងនោះទេ។ ក្នុងករណីនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយគំនិត - ការជ្រើសរើសគំនិតនិង ការបង្កើតទំនាក់ទំនង genus-speciesរវាង​ពួកគេ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ចំនួនធាតុពិតនៃថ្នាក់គំនិត ពោលគឺវិសាលភាពនៃគោលគំនិត មិនបង្ហាញនៅក្នុងនិយមន័យរបស់វាទេ ហើយត្រូវបានលើកឡើង (ហើយសូម្បីតែពេលនោះក៏មិនមានអត្ថន័យ) លុះត្រាតែគំនិតមួយ (“ចូលចិត្ត”) ធ្លាក់ចុះ។ នៅក្រោមមួយផ្សេងទៀត ("ឆ្កែ") នោះគឺនៅពេលដែលជាប្រភេទមួយនៃ genus ។ បាទ/ចាស យើងអាចបញ្ជាក់បានថា វិសាលភាពនៃគោលគំនិត "ឆ្កែ" គឺធំជាងវិសាលភាពនៃគោលគំនិត "ដូច" ប៉ុន្តែសមាមាត្រលេខពិតនៃសំណុំទាំងនេះមិនមានអត្ថន័យ ontological ណាមួយឡើយ។ លើសពីបរិមាណនៃថ្នាក់នៃបរិមាណនៃថ្នាក់រងនៅក្នុងទំនាក់ទំនង genus-species គ្រាន់តែឆ្លុះបញ្ចាំងពីការពិតដែលថាយោងទៅតាមនិយមន័យនៃ genus វាគួរតែរួមបញ្ចូលប្រភេទមួយចំនួន - បើមិនដូច្នេះទេការចាត់ថ្នាក់នេះក្លាយជាគ្មានន័យ។ នោះគឺនៅក្នុងការចាត់ថ្នាក់គំនិតនៃប្រភេទសត្វ យើងចាប់អារម្មណ៍លើខ្លឹមសារនៃគំនិត - របៀបដែលប្រភេទ "ឆ្កែ" ខុសពីប្រភេទ "ឆ្មា" (ដែលស្ថិតនៅក្រោមគំនិតទូទៅនៃ "សត្វ" សម្រាប់ពួកគេ) និង មិន​មែន​ជា​របៀប​ដែល​បរិមាណ​នៃ​ក្រុម​និង​ប្រភេទ​សត្វ​មាន​ទំនាក់​ទំនង​គ្នា​ទេ ហើយ​ថែម​ទាំង​បរិមាណ​នៃ​គោល​គំនិត​ជាក់លាក់ ("ឆ្កែ" និង "ឆ្មា")។ ហើយ​ដើម្បី​បែងចែក​ថ្នាក់​គោល​គំនិត​ពី​សំណុំ​ដែល​អាច​រាប់​បាន​ពិត​ប្រាកដ វា​ជា​ការ​ត្រឹមត្រូវ​ជាង​ដើម្បី​និយាយ​អំពី នៅក្រោមគំនិតនិងមិនមែនអំពី ការដាក់បញ្ចូលវាចូលទៅក្នុងថ្នាក់ / សំណុំ។ វាច្បាស់ណាស់ថានៅក្នុងសញ្ញាណផ្លូវការ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ "ជាកម្មសិទ្ធិរបស់គោលគំនិត X" និង "ជាធាតុនៃថ្នាក់ X" អាចមើលទៅដូចគ្នា ប៉ុន្តែការមិនយល់ពីភាពខុសគ្នាសំខាន់រវាងការពិពណ៌នាទាំងពីរនេះអាចនាំឱ្យមានកំហុសធ្ងន់ធ្ងរនៅក្នុង ការស្ថាបនា ontology ។

នៅក្នុងវ៉ារ្យ៉ង់ទីពីរ (សេវាកម្ម - ការបើកបរ - កំហុស) យើងក៏មិនចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការប្រៀបធៀបគំនិតនៃ "ការបើកបរ" ជាមួយឈុតណាមួយទេ: ខ្លឹមសារនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ "កំហុស - ការបើកបរ" មិនអាស្រ័យលើថាតើវាជាការបើកបរតែមួយនោះទេ។ មួយ ឬមានច្រើននៃពួកគេ។ វាហាក់ដូចជាថានៅទីនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងទំនាក់ទំនងនៃប្រភេទសត្វ: គំនិតនៃ "ការបើកបរ" អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រភេទសត្វដែលទាក់ទងទៅនឹងគំនិតទូទៅនៃ "សេវាកម្ម" ។ ប៉ុន្តែការតភ្ជាប់នៃ "កំហុស" បុគ្គលជាមួយនឹងគំនិតនៃ "ការបើកបរ" ខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីការផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតនៃ "ដូច": ទីពីរ គំនិត គំនិតគឺមិនស្ថិតស្ថេរនិងមិនប្រែប្រួលនៅក្នុងបុគ្គល ហើយទីមួយឆ្លុះបញ្ចាំងពីមូលដ្ឋាន។ នៅក្នុងពេលវេលា ឯកទេស. កំហុសមិនបានកើតមកជាអ្នកជិះទេ ហើយប្រហែលជាតាមអាយុ វាអាចលែងទៅជាវា ហើយផ្លាស់ទីទៅក្នុងប្រភេទឆ្មាំ ហើយជាទូទៅក្នុងវ័យចាស់ បាត់បង់ "វិជ្ជាជីវៈ" ណាមួយ។ នោះគឺការនិយាយអំពីឯកទេស យើងតែងតែអាចបែងចែកព្រឹត្តិការណ៍នៃការទទួលបាន និងការបាត់បង់ការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតជាក់លាក់មួយ។ ជាឧទាហរណ៍ កំហុសអាចត្រូវបានគេទទួលស្គាល់ថាជាជើងឯកដាច់ខាតនៃពូជ ហើយបន្ទាប់មកបាត់បង់ចំណងជើងនេះ ដែលជាមូលដ្ឋានមិនអាចទៅរួចជាមួយនឹងគោលគំនិត៖ កំហុសពីកំណើតរហូតដល់ស្លាប់ ពោលគឺសម្រាប់រយៈពេលទាំងមូលនៃអត្ថិភាពរបស់វា។ បុគ្គល គឺជាឆ្កែ និង សម្បុក។ ដូច្នេះមនុស្សម្នាក់នៅតែជាគំនិតនៃ "បុរស" ពេញមួយជីវិតរបស់គាត់ប៉ុន្តែតាមស្ថានភាព (ពីព្រឹត្តិការណ៍មួយទៅព្រឹត្តិការណ៍មួយ) អាចស្ថិតនៅក្រោមគំនិតពិសេសនៃ "សាលា" "សិស្ស" "វេជ្ជបណ្ឌិត" "ប្តី" ជាដើម។ បានកត់សម្គាល់ ការផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងគោលគំនិតទាំងនេះមិនមានន័យតិចតួចបំផុតក្នុងការរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំជាក់លាក់មួយ (ទោះបីជាវាមើលទៅដូចនេះក៏ដោយ) - ការចាត់តាំងនៃគំនិតឯកទេសគឺតែងតែជាលទ្ធផលនៃទំនាក់ទំនងជាក់លាក់របស់បុគ្គលជាមួយបុគ្គលផ្សេងទៀត៖ ការចូល សាលា, សាកលវិទ្យាល័យ, ទទួលបានសញ្ញាបត្រ, ចុះឈ្មោះអាពាហ៍ពិពាហ៍, ល. ដូច្នេះគំនិតឯកទេសក៏អាចត្រូវបានគេហៅថា ទំនាក់ទំនង. ពីឧទាហរណ៍ខាងលើ ភាពខុសគ្នាដ៏សំខាន់មួយទៀតរវាងការចាត់ថ្នាក់គំនិត និងឯកទេសដូចខាងក្រោម៖ បុគ្គលម្នាក់អាចមានជំនាញជាច្រើន (កំហុសអាចជាឆ្កែរអិល និងជើងឯកនៃពូជ មនុស្សជាសិស្ស និងស្វាមី) ប៉ុន្តែមិនអាចក្នុងពេលដំណាលគ្នាបានទេ។ បញ្ចូលឋានានុក្រមគំនិតច្រើនជាងមួយ (កំហុសមិនអាចជាឆ្កែ និងឆ្មា)។

ហើយមានតែនៅក្នុងកំណែទីបីនៃការពិពណ៌នាអំពី Zhuchka - ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ kennel ជាក់លាក់មួយនិងជាសមាជិកនៃក្រុមជាក់លាក់មួយទាញ sleds ឆ្លងកាត់ tundra - វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីនិយាយអំពីហ្វូងមនុស្ស។ មានតែក្នុងករណីនេះទេ យើងមានសិទ្ធិនិយាយថា បុគ្គលគឺជាធាតុនៃសំណុំបេតុងដែលមានចំនួនធាតុដែលអាចរាប់បាន ហើយមិនស្ថិតនៅក្រោមគោលគំនិត ដែលអាចត្រូវបានតំណាងថាជាសំណុំអរូបី ដោយកំណត់លក្ខខណ្ឌនៃវិសាលភាពនៃ គំនិតនេះ។ ហើយនៅទីនេះ វាជារឿងសំខាន់ដែលបុគ្គលម្នាក់គឺជាផ្នែកនៃបុគ្គលផ្សេងទៀត ដែលកំណត់ដំបូងថាជាសំណុំមួយ៖ kennel និងក្រុមគឺចាំបាច់ជាសំណុំឆ្កែមិនទទេ ហើយចំនួននៃធាតុនៃសំណុំនេះគឺចាំបាច់រួមបញ្ចូលនៅក្នុងនិយមន័យរបស់ពួកគេ ជាបុគ្គល។ នោះគឺក្នុងករណីនេះយើងគួរតែនិយាយអំពីទំនាក់ទំនង ផ្នែកទាំងមូល៖ កំហុសគឺជាផ្នែកមួយនៃ kennel និងជាផ្នែកមួយនៃក្រុម។ ជាងនេះទៅទៀត ការចូល ឬការមិនបញ្ចូល Bug ទៅក្នុងក្រុមជាក់លាក់ណាមួយផ្លាស់ប្តូរខ្លឹមសារ (ក្រុម) របស់វា៖ ប្រសិនបើយើងមានក្រុមពីរ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការដក Bug ចេញ ក្រុមនោះប្រែទៅជាក្រុមតែមួយ។ ក្នុងករណីបែបនេះ យើងកំពុងដោះស្រាយមិនត្រឹមតែជាមួយនឹងសំណុំដែលអាចរាប់បាន (សត្វឆ្កែនៅក្នុង kennel មួយ) ប៉ុន្តែជាមួយនឹងបុគ្គលដែលមានខ្លឹមសារផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលសមាសភាពនៃធាតុរបស់វាផ្លាស់ប្តូរ ត្រូវបានកំណត់ដោយសមាសភាពនេះ ពោលគឺជាមួយនឹង ប្រព័ន្ធ. ប្រសិនបើ kennel គ្រាន់តែជាក្រុមបុគ្គល ដែលត្រូវបានពិពណ៌នាតាមរយៈសំណុំនៃធាតុដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា នោះក្រុមគឺជាប្រព័ន្ធ ដែលខ្លឹមសាររបស់វាអាស្រ័យទៅលើចំនួន និងជាក់លាក់នៃផ្នែករបស់វា។

ដូច្នេះនៅពេលបង្កើត ontology នៃប្រធានបទមួយ មនុស្សម្នាក់អាចបែងចែកសំណុំវត្ថុពិត ដោយកំណត់យ៉ាងជាក់លាក់ថាជាបណ្តុំនៃចំនួនបុគ្គលជាក់លាក់មួយ។ ទាំងនេះគឺ៖ ថ្នាក់រៀននៅសាលា ទំនិញក្នុងប្រអប់ក្នុងឃ្លាំង បំណែកនៃប្លុកឧបករណ៍អេឡិចត្រូនិក។ល។ ហើយសំណុំទាំងនេះអាចជាសំណុំរងនៃឈុតដែលអាចរាប់បានពិតប្រាកដផ្សេងទៀត៖ សិស្សទាំងអស់នៅក្នុងសាលា ទំនិញទាំងអស់នៅក្នុងឃ្លាំង ទាំងអស់ ផ្នែកនៃឧបករណ៍។ នៅពេលបែងចែកឈុតទាំងនេះ វាចាំបាច់ណាស់ដែលពួកវា (ឈុតទាំងនេះ) ដើរតួជាបុគ្គលឯករាជ្យ (ក្រុមមួយក្រុម ទំនិញមួយឈុត) ដែលជាគុណលក្ខណៈសំខាន់នៃចំនួនធាតុដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងពួកគេ។ ជាងនេះទៅទៀត ការផ្លាស់ប្តូរនៃគុណលក្ខណៈនេះអាចនាំឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរស្ថានភាពនៃវត្ថុ ឧទាហរណ៍ ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួនធាតុ បង្វែរភាគបួនទៅជា quintet ឬកងវរសេនាធំទៅជាកងពលតូច។ វាក៏សំខាន់ផងដែរដែលការពិពណ៌នានៃវត្ថុសំណុំទាំងនេះ ដែលជាវត្ថុស្មុគស្មាញមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះការពិពណ៌នារបស់បុគ្គលដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងពួកវាទេ ទោះបីជាវាអាចរួមបញ្ចូលការចង្អុលបង្ហាញអំពីប្រភេទដែលអាចទទួលយកបាននៃវត្ថុក្រោយៗទៀត (ក្រុមខ្សែអក្សរមួយក្រុមនៃ សេះ) ។ ហើយទំនាក់ទំនងបែបនេះ - មិនមែនរវាងសំណុំអរូបីទេ ប៉ុន្តែរវាងសំណុំដែលជាបុគ្គល វត្ថុស្មុគ្រស្មាញ - ត្រូវបានពិពណ៌នាយ៉ាងត្រឹមត្រូវជាងថាជាទំនាក់ទំនងផ្នែកទាំងមូល និងមិនមែនជាថ្នាក់រង។

ដូច្នេះ ការចាត់ថ្នាក់តាមបែបប្រពៃណីនៃបុគ្គលដោយចាត់ឱ្យពួកគេទៅថ្នាក់-សំណុំមួយចំនួនមិនអាចចាត់ទុកថាដូចគ្នាបានទេ។ វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែករវាង (1) ការដាក់បញ្ចូលបុគ្គលជាផ្នែកនៅក្នុងវត្ថុស្មុគស្មាញ (ទាំងមូល) ភាពជាក់លាក់នៃអត្ថន័យដែលមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះការពិពណ៌នានៃធាតុរបស់វា។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ (1.1.) វត្ថុទាំងមូលអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្រាន់តែជាសំណុំបុគ្គលដែលមានឈ្មោះ (ផ្នែកនៅក្នុងកញ្ចប់មួយ បណ្តុំនៃគំនូរ) ដែលតាមពិតមានតែចំនួនផ្នែកប៉ុណ្ណោះដែលមានសារៈសំខាន់។ វត្ថុបែបនេះអាចត្រូវបានគេហៅថា ក្រុម (ឬបណ្តុំ)) ដូចគ្នានេះផងដែរ (1.2.) វត្ថុទាំងមូលអាចមានអត្ថន័យ (និងមិនត្រឹមតែបរិមាណ) ដែលកំណត់ដោយផ្នែករបស់វាហើយជាលទ្ធផលមានគុណលក្ខណៈដែលផ្នែកមិនមាន។ ភាពស្មោះត្រង់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាជាប្រពៃណី ប្រព័ន្ធនិងផ្នែកនៃប្រព័ន្ធ - ធាតុ។ ជម្រើសទីពីរសម្រាប់ការពិពណ៌នាអំពីវត្ថុដោយកំណត់ពួកវាទៅថ្នាក់រងគឺ (2) ការដួលរលំនៃបុគ្គលនៅក្រោមគំនិត ដែលអាចត្រូវបានពិពណ៌នាជាផ្លូវការតែប៉ុណ្ណោះ ថាជាការរួមបញ្ចូលបុគ្គលនៅក្នុងសំណុំដែលមានអំណាចស្មើនឹងអំណាចនៃគំនិត។ ការពិពណ៌នាអំពីគំនិតនៃបុគ្គលម្នាក់ៗ អាចបែងចែកជា (2.1) គំនិតជាសកល ជួសជុលប្រភេទបុគ្គល និង (2.2) ឯកទេស (ទំនាក់ទំនង)ក្នុងតំបន់ក្នុងពេលវេលា និងលំហ (តាមព្រឹត្តិការណ៍) ភ្ជាប់បុគ្គលជាមួយវត្ថុផ្សេងទៀត។

ការវែកញែកខាងលើ ជាដំបូងនៃការទាំងអស់ លើកជាសំណួរអំពីភាពគ្រប់គ្រាន់ និងភាពគ្រប់គ្រាន់នៃវិធីសាស្រ្តបែបប្រពៃណី ក្នុងការពិពណ៌នាអំពីប្រធានបទ ដោយប្រើការចាត់ថ្នាក់ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីសំណុំ។ ហើយការសន្និដ្ឋានត្រូវបានស្នើឡើង៖ ដើម្បីជួសជុលភាពខុសគ្នានៃទំនាក់ទំនងវត្ថុទាំងអស់នៅក្នុង ontologies ឧបករណ៍ចាត់ថ្នាក់ដែលមានភាពខុសប្លែកគ្នាកាន់តែច្រើន (ក្រុម ប្រព័ន្ធ គំនិត និងគំនិតឯកទេស) គឺត្រូវការជាចាំបាច់។ ផ្លូវការនិយមនៃទ្រឹស្ដីសំណុំអាចត្រូវបានប្រើតែជាការសម្រួលមូលដ្ឋានសម្រាប់តម្រូវការនៃការសន្និដ្ឋានប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមែនជាវិធីសាស្ត្រសំខាន់នៃការពិពណ៌នានោះទេ។