ជាមួយនឹងផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 2 សិស្សភាគច្រើនជួបនៅឆ្នាំទី 1 ។ ដំបូង កិច្ចការលើប្រធានបទនេះអាចហាក់ដូចជាសាមញ្ញ ប៉ុន្តែនៅពេលអ្នកសិក្សាគណិតវិទ្យាខ្ពស់ និងជ្រៅទៅក្នុងផ្នែកវិទ្យាសាស្ត្រ ទីបំផុតអ្នកអាចបញ្ឈប់ការតម្រង់ទិសខ្លួនឯងចំពោះអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង។ ដើម្បីការពារកុំឱ្យវាកើតឡើង វាចាំបាច់មិនត្រឹមតែទន្ទេញចាំប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវយល់ពីរបៀបដែលផ្ទៃនេះ ឬផ្ទៃនោះត្រូវបានទទួល ការផ្លាស់ប្តូរមេគុណប៉ះពាល់ដល់វា និងទីតាំងរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដើម និងរបៀបស្វែងរកប្រព័ន្ធថ្មី (មួយដែលកណ្តាលរបស់វាស្របនឹងកូអរដោណេដើម ប៉ុន្តែស្របនឹងអ័ក្សកូអរដោណេមួយ)។ ចូរចាប់ផ្តើមពីដំបូង។
និយមន័យ
ផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 2 គឺជា GMT ដែលជាកូអរដោនេនៃសមីការទូទៅនៃទម្រង់ខាងក្រោម៖
វាច្បាស់ណាស់ថាចំណុចនីមួយៗដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្ទៃត្រូវតែមានកូអរដោនេបីនៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានកំណត់មួយចំនួន។ ទោះបីជាក្នុងករណីខ្លះទីតាំងនៃចំណុចអាច degenerate ជាឧទាហរណ៍ចូលទៅក្នុងយន្តហោះមួយ។ វាគ្រាន់តែមានន័យថា កូអរដោនេមួយក្នុងចំណោមកូអរដោណេគឺថេរ និងស្មើសូន្យក្នុងជួរទាំងមូលនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាន។
ទម្រង់លាបពណ៌ពេញលេញនៃសមភាពដែលបានរៀបរាប់ខាងលើមើលទៅដូចនេះ៖
A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0 ។
A nm - ថេរមួយចំនួន x, y, z - អថេរដែលត្រូវគ្នានឹងកូអរដោណេ affine នៃចំណុចមួយចំនួន។ ក្នុងករណីនេះ យ៉ាងហោចណាស់កត្តាថេរមួយមិនត្រូវស្មើនឹងសូន្យទេ ពោលគឺមិនមានចំណុចណាមួយដែលត្រូវនឹងសមីការនោះទេ។
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ភាគច្រើន កត្តាលេខជាច្រើននៅតែដូចគ្នាបេះបិទនឹងសូន្យ ហើយសមីការត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញយ៉ាងខ្លាំង។ នៅក្នុងការអនុវត្ត ការកំណត់ថាតើចំណុចណាមួយជារបស់ផ្ទៃមួយមិនពិបាកទេ (វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការជំនួសកូអរដោនេរបស់វាទៅក្នុងសមីការ ហើយពិនិត្យមើលថាតើអត្តសញ្ញាណត្រូវបានគេសង្កេតឃើញដែរឬទេ)។ ចំណុចសំខាន់នៅក្នុងការងារបែបនេះគឺការកាត់បន្ថយនៃទម្រង់ក្រោយទៅជាទម្រង់ Canonical ។
សមីការដែលសរសេរខាងលើកំណត់ផ្ទៃណាមួយ (ទាំងអស់ដែលបានរាយខាងក្រោម) នៃលំដាប់ទី 2 ។ យើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។
ប្រភេទនៃផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 2
សមីការនៃផ្ទៃលំដាប់ទីពីរខុសគ្នាតែក្នុងតម្លៃនៃមេគុណ A nm ប៉ុណ្ណោះ។ តាមទិដ្ឋភាពទូទៅ សម្រាប់តម្លៃជាក់លាក់នៃថេរ ផ្ទៃផ្សេងៗអាចទទួលបាន ដោយចាត់ថ្នាក់ដូចខាងក្រោម៖
- ស៊ីឡាំង។
- ប្រភេទរាងអេលីប។
- ប្រភេទអ៊ីពែរបូល។
- ប្រភេទរាងសាជី។
- ប្រភេទ parabolic ។
- យន្តហោះ។
ប្រភេទនីមួយៗដែលបានរាយបញ្ជីមានទម្រង់ធម្មជាតិ និងស្រមើលស្រមៃ៖ ក្នុងទម្រង់ស្រមើលស្រមៃ ទីតាំងនៃចំណុចពិតៗនឹងខូចទៅជារូបសាមញ្ញជាង ឬអវត្តមានទាំងស្រុង។
ស៊ីឡាំង
នេះគឺជាប្រភេទសាមញ្ញបំផុត ចាប់តាំងពីខ្សែកោងស្មុគស្មាញដែលទាក់ទងតែនៅមូលដ្ឋាន ដើរតួជាអ្នកណែនាំ។ ម៉ាស៊ីនភ្លើងគឺជាបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលមូលដ្ឋានស្ថិតនៅ។
ក្រាហ្វបង្ហាញពីស៊ីឡាំងរាងជារង្វង់ដែលជាករណីពិសេសនៃស៊ីឡាំងរាងអេលីប។ នៅក្នុងយន្តហោះ XY ការព្យាកររបស់វានឹងជារាងពងក្រពើ (ក្នុងករណីរបស់យើង រង្វង់មួយ) - មគ្គុទ្ទេសក៍ និងនៅក្នុង XZ - ចតុកោណកែង - ចាប់តាំងពីម៉ាស៊ីនភ្លើងគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Z ។ ដើម្បីទទួលបានវាពីសមីការទូទៅ អ្នកត្រូវការ ដើម្បីផ្តល់មេគុណតម្លៃដូចខាងក្រោមៈ
ជំនួសឱ្យការរចនាធម្មតា x, y, z, x ដែលមានលេខសៀរៀលត្រូវបានប្រើ - វាមិនមានបញ្ហាទេ។
តាមពិត 1/a 2 និងថេរផ្សេងទៀតដែលបានបង្ហាញនៅទីនេះគឺជាមេគុណដូចគ្នាដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងសមីការទូទៅ ប៉ុន្តែវាជាទម្លាប់ក្នុងការសរសេរពួកវាក្នុងទម្រង់នេះ - នេះគឺជាតំណាង Canonical ។ នៅក្នុងអ្វីបន្ទាប់មកមានតែសញ្ញាណបែបនេះនឹងត្រូវបានប្រើ។
នេះជារបៀបដែលស៊ីឡាំងអ៊ីពែរបូលត្រូវបានកំណត់។ គ្រោងការណ៍គឺដូចគ្នា - អ៊ីពែរបូលនឹងក្លាយជាការណែនាំ។
ស៊ីឡាំងប៉ារ៉ាបូលត្រូវបានកំណត់ខុសគ្នាខ្លះ៖ ទម្រង់ Canonical របស់វារួមបញ្ចូលមេគុណ p ដែលហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ តាមពិត មេគុណគឺស្មើនឹង q=2p ប៉ុន្តែវាជាទម្លាប់ក្នុងការបែងចែកវាទៅជាកត្តាពីរដែលបានបង្ហាញ។
មានប្រភេទស៊ីឡាំងមួយទៀត៖ ការស្រមើលស្រមៃ។ គ្មានចំណុចពិតប្រាកដជាកម្មសិទ្ធិរបស់ស៊ីឡាំងបែបនេះទេ។ វាត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការនៃស៊ីឡាំងរាងអេលីប ប៉ុន្តែជំនួសឱ្យការរួបរួមវាគឺ -1 ។
ប្រភេទរាងអេលីប
រាងពងក្រពើអាចត្រូវបានលាតសន្ធឹងតាមអ័ក្សមួយក្នុងចំណោមអ័ក្ស (ដែលវាអាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ a, b, c, ដែលបានបង្ហាញខាងលើ; វាច្បាស់ណាស់ថាមេគុណធំជាងនឹងឆ្លើយតបទៅនឹងអ័ក្សធំជាង) ។
វាក៏មានពងក្រពើដែលស្រមើលស្រមៃផងដែរ - ផ្តល់ថាផលបូកនៃកូអរដោនេដែលគុណនឹងមេគុណគឺ -1:
អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត
នៅពេលដែលដកមួយលេចឡើងក្នុងចំនួនថេរមួយ សមីការរាងពងក្រពើប្រែទៅជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយសន្លឹក។ វាត្រូវតែយល់ថាដកនេះមិនចាំបាច់មានទីតាំងនៅពីមុខកូអរដោនេ x 3 ទេ! វាកំណត់តែអ័ក្សមួយណាដែលនឹងក្លាយជាអ័ក្សនៃការបង្វិលអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត (ឬស្របទៅនឹងវា ចាប់តាំងពីពេលដែលពាក្យបន្ថែមលេចឡើងក្នុងការ៉េ (ឧទាហរណ៍ (x-2) 2)) ចំណុចកណ្តាលនៃរូបភាពផ្លាស់ប្តូរដូចជា ជាលទ្ធផល ផ្ទៃផ្លាស់ទីស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ)។ នេះអនុវត្តលើផ្ទៃទាំងអស់នៃលំដាប់ទី 2 ។
លើសពីនេះទៀតមនុស្សម្នាក់ត្រូវតែយល់ថាសមីការត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ Canonical ហើយពួកគេអាចផ្លាស់ប្តូរបានដោយការផ្លាស់ប្តូរថេរ (ជាមួយនឹងសញ្ញាដែលបានរក្សាទុក!); ខណៈពេលដែលទម្រង់របស់ពួកគេ (hyperboloid, កោណនិងដូច្នេះនៅលើ) នឹងនៅដដែល។
សមីការបែបនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតពីរសន្លឹករួចហើយ។
ផ្ទៃរាងសាជី
មិនមានឯកតានៅក្នុងសមីការកោណទេ - សមភាពទៅសូន្យ។
មានតែផ្ទៃរាងសាជីដែលមានព្រំប្រទល់ត្រូវបានគេហៅថាកោណ។ រូបភាពខាងក្រោមបង្ហាញថាតាមពិតវានឹងមានពីរហៅថាកោណនៅលើតារាង។
កំណត់សម្គាល់សំខាន់៖ នៅក្នុងសមីការ Canonical ដែលត្រូវបានពិចារណាទាំងអស់ ថេរត្រូវបានសន្មត់ថាជាវិជ្ជមានតាមលំនាំដើម។ បើមិនដូច្នោះទេ សញ្ញាអាចប៉ះពាល់ដល់តារាងចុងក្រោយ។
យន្តហោះសំរបសំរួលក្លាយជាយន្តហោះនៃស៊ីមេទ្រីនៃកោណ ចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីមានទីតាំងនៅដើម។
នៅក្នុងសមីការកោណស្រមើលស្រមៃ មានតែបូក។ វាមានចំណុចពិតតែមួយ។
ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត
ផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 2 នៅក្នុងលំហអាចទទួលយកបាននូវរាងផ្សេងគ្នា ទោះបីជាមានសមីការស្រដៀងគ្នាក៏ដោយ។ ឧទាហរណ៍មានពីរប្រភេទនៃ paraboloids ។
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z
Paraboloid រាងអេលីប នៅពេលដែលអ័ក្ស Z កាត់កែងទៅនឹងគំនូរ នឹងត្រូវបានព្យាករទៅជារាងពងក្រពើ។
x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z
ប៉ារ៉ាបូលអ៊ីពែរបូល៖ ផ្នែកដែលមានយន្តហោះស្របនឹង ZY នឹងបង្កើតប៉ារ៉ាបូឡា ហើយផ្នែកដែលមានយន្តហោះស្របនឹង XY នឹងបង្កើតអ៊ីពែបូឡា។
យន្តហោះប្រសព្វ
មានករណីនៅពេលដែលផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 2 degenerate ចូលទៅក្នុងយន្តហោះមួយ។ យន្តហោះទាំងនេះអាចត្រូវបានរៀបចំតាមរបៀបផ្សេងៗ។
ដំបូងពិចារណាយន្តហោះប្រសព្វគ្នា៖
x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0
ការកែប្រែនៃសមីការ Canonical នេះបណ្តាលឱ្យមានយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរប៉ុណ្ណោះ (ស្រមើលស្រមៃ!); ចំណុចពិតទាំងអស់គឺស្ថិតនៅលើអ័ក្សនៃកូអរដោណេដែលមិនមាននៅក្នុងសមីការ (នៅក្នុង Canonical - អ័ក្ស Z) ។
យន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល
នៅក្នុងវត្តមាននៃកូអរដោណេតែមួយ ផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 2 ខូចទៅជាយន្តហោះស្របគ្នា។ សូមចាំថាអថេរផ្សេងទៀតអាចជំនួស Y ។ បន្ទាប់មកយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងអ័ក្សផ្សេងទៀតនឹងត្រូវបានទទួល។
ក្នុងករណីនេះពួកគេក្លាយជាការស្រមើលស្រមៃ។
យន្តហោះចៃដន្យ
ជាមួយនឹងសមីការដ៏សាមញ្ញមួយ យន្តហោះមួយគូនឹងទៅជាមួយ - ពួកគេស្របគ្នា។
កុំភ្លេចថាក្នុងករណីមូលដ្ឋានបីវិមាត្រ សមីការខាងលើមិនកំណត់បន្ទាត់ y=0 ទេ! វាមិនមានអថេរពីរផ្សេងទៀតទេ ប៉ុន្តែវាគ្រាន់តែមានន័យថាតម្លៃរបស់វាគឺថេរ និងស្មើនឹងសូន្យ។
អាគារ
កិច្ចការដ៏លំបាកបំផុតមួយសម្រាប់សិស្សគឺការសាងសង់ផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 2 ។ វាកាន់តែពិបាកក្នុងការផ្លាស់ទីពីប្រព័ន្ធកូអរដោណេមួយទៅប្រព័ន្ធមួយទៀត ដែលផ្តល់មុំទំនោរនៃខ្សែកោងទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស និងអុហ្វសិតនៃចំណុចកណ្តាល។ ចូរយើងនិយាយឡើងវិញពីរបៀបកំណត់ជាលំដាប់នូវទិដ្ឋភាពអនាគតនៃគំនូរក្នុងវិធីវិភាគ។
ដើម្បីសាងសង់ផ្ទៃលំដាប់ទី 2 អ្នកត្រូវការ:
- នាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ Canonical;
- កំណត់ប្រភេទនៃផ្ទៃដែលកំពុងសិក្សា;
- សាងសង់ដោយផ្អែកលើតម្លៃនៃមេគុណ។
គ្រប់ប្រភេទដែលត្រូវបានពិចារណា មានដូចខាងក្រោម៖
ដើម្បីបង្រួបបង្រួម យើងពណ៌នាលម្អិតអំពីឧទាហរណ៍មួយនៃកិច្ចការប្រភេទនេះ។
ឧទាហរណ៍
ឧបមាថាយើងមានសមីការ៖
3(x 2 -2x+1) +6y 2 +2z 2 +60y+144=0
ចូរនាំវាទៅជាទម្រង់ Canonical ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកការេពេញលេញ ពោលគឺយើងរៀបចំលក្ខខណ្ឌដែលមានក្នុងរបៀបមួយដែលពួកវាជាការពង្រីកការេនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍៖ ប្រសិនបើ (a+1) 2 =a 2 +2a+1 បន្ទាប់មក a 2 +2a+1=(a+1) 2 ។ យើងនឹងអនុវត្តប្រតិបត្តិការទីពីរ។ ក្នុងករណីនេះវាមិនចាំបាច់ក្នុងការបើកតង្កៀបទេព្រោះវាធ្វើឱ្យការគណនាស្មុគស្មាញប៉ុណ្ណោះប៉ុន្តែវាចាំបាច់ដើម្បីដកកត្តាធម្មតា 6 (នៅក្នុងតង្កៀបជាមួយនឹងការ៉េពេញលេញនៃ Y):
3(x−1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6
អថេរ z កើតឡើងក្នុងករណីនេះតែម្តងគត់ - វាអាចត្រូវបានទុកចោលសម្រាប់ពេលបច្ចុប្បន្ន។
យើងវិភាគសមីការនៅដំណាក់កាលនេះ៖ មិនស្គាល់ទាំងអស់ត្រូវបាននាំមុខដោយសញ្ញាបូក។ នៅពេលចែកដោយប្រាំមួយនៅសល់មួយ។ ដូច្នេះ យើងមានសមីការដែលកំណត់ពងក្រពើ។
ចំណាំថា 144 ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុង 150-6 បន្ទាប់មក -6 ត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅខាងស្តាំ។ ហេតុអ្វីបានជាត្រូវធ្វើបែបនេះ? វាច្បាស់ណាស់ថាផ្នែកធំជាងគេក្នុងឧទាហរណ៍នេះគឺ 6 ដូច្នេះដើម្បីឱ្យឯកតានៅខាងស្តាំបន្ទាប់ពីបែងចែកវាចាំបាច់ "ពន្យារពេល" យ៉ាងពិតប្រាកដ 6 ពី 144 (វត្តមានរបស់សមាជិកឥតគិតថ្លៃ a ថេរមិនគុណនឹងមិនស្គាល់) ។
ចែកអ្វីៗទាំងអស់ដោយប្រាំមួយ ហើយទទួលបានសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ៖
(x-1) 2/2+(y+5) 2/1+z 2/3=1
នៅក្នុងការចាត់ថ្នាក់នៃផ្ទៃដែលបានប្រើពីមុននៃលំដាប់ទី 2 ករណីជាក់លាក់មួយត្រូវបានពិចារណានៅពេលដែលចំណុចកណ្តាលនៃតួលេខស្ថិតនៅប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះវាត្រូវបានអុហ្វសិត។
យើងសន្មត់ថាតង្កៀបនីមួយៗដែលមិនស្គាល់គឺជាអថេរថ្មី។ នោះគឺ៖ a=x-1, b=y+5, c=z។ ក្នុងកូអរដោណេថ្មី ចំណុចកណ្តាលរាងអេលីបស្របគ្នានឹងចំណុច (0,0,0) ដូច្នេះ a=b=c=0, whence: x=1, y=-5, z=0 ។ នៅក្នុងកូអរដោណេដំបូង ចំណុចកណ្តាលនៃរូបស្ថិតនៅត្រង់ចំនុច (1,-5,0)។
រាងពងក្រពើនឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយពងក្រពើពីរ៖ ទីមួយនៅក្នុងយន្តហោះ XY និងទីពីរនៅក្នុងយន្តហោះ XZ (ឬ YZ - វាមិនមានបញ្ហាទេ) ។ មេគុណដែលអថេរត្រូវបានបែងចែកត្រូវបានកាត់ជាការ៉េក្នុងសមីការ Canonical ។ ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ វានឹងត្រឹមត្រូវជាងក្នុងការបែងចែកដោយឫសនៃពីរ មួយ និងឫសនៃបី។
អ័ក្សតូចនៃពងក្រពើទីមួយស្របនឹងអ័ក្ស Y គឺពីរ។ អ័ក្សសំខាន់ដែលស្របទៅនឹងអ័ក្ស x គឺជាឫសពីរនៃពីរ។ អ័ក្សតូចនៃពងក្រពើទីពីរស្របទៅនឹងអ័ក្ស Y នៅតែដដែល - វាស្មើនឹងពីរ។ ហើយអ័ក្សសំខាន់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Z គឺស្មើនឹងឫសពីរនៃបី។
ដោយប្រើទិន្នន័យដែលទទួលបានពីសមីការដើមដោយការបំប្លែងទៅជាទម្រង់ Canonical យើងអាចគូររាងពងក្រពើបាន។
សង្ខេប
ប្រធានបទដែលគ្របដណ្តប់នៅក្នុងអត្ថបទនេះគឺទូលំទូលាយណាស់ ប៉ុន្តែតាមពិត ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញឥឡូវនេះ មិនមានភាពស្មុគស្មាញខ្លាំងនោះទេ។ តាមពិតការអភិវឌ្ឍន៍របស់វាបញ្ចប់នៅពេលដែលអ្នកទន្ទេញឈ្មោះ និងសមីការនៃផ្ទៃ (ហើយជាការពិតពីរបៀបដែលពួកគេមើលទៅ)។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានពិចារណាជំហាននីមួយៗដោយលម្អិត ប៉ុន្តែការនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ Canonical ទាមទារចំណេះដឹងតិចតួចបំផុតនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង ហើយមិនគួរបង្កឱ្យមានការលំបាកណាមួយសម្រាប់សិស្សនោះទេ។
ការវិភាគនៃកាលវិភាគនាពេលអនាគតយោងទៅតាមសមភាពដែលមានស្រាប់គឺជាកិច្ចការដ៏លំបាកជាង។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ដំណោះស្រាយដ៏ជោគជ័យរបស់វា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ពីរបៀបដែលខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានសាងសង់ - ពងក្រពើ ប៉ារ៉ាបូឡា និងផ្សេងទៀត។
ករណី Degeneracy គឺជាផ្នែកសាមញ្ញជាង។ ដោយសារតែអវត្ដមាននៃអថេរមួយចំនួនមិនត្រឹមតែការគណនាត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញដូចដែលបានរៀបរាប់ពីមុនប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងការសាងសង់ខ្លួនឯងផងដែរ។
ដរាបណាអ្នកអាចដាក់ឈ្មោះគ្រប់ប្រភេទនៃផ្ទៃដោយទំនុកចិត្ត ផ្លាស់ប្តូរចំនួនថេរ ប្រែក្លាយក្រាហ្វទៅជារូបមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត ប្រធានបទនឹងត្រូវបានស្ទាត់ជំនាញ។
ជោគជ័យក្នុងការសិក្សា!
ព័ត៌មានទ្រឹស្តីជាមូលដ្ឋាន
ផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងឬសាមញ្ញ ស៊ីឡាំងហៅថាផ្ទៃណាមួយដែលអាចទទួលបានដោយការផ្លាស់ទីបន្ទាត់ត្រង់ ផ្លាស់ទីស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រមួយចំនួន និងគ្រប់ពេលវេលាដែលប្រសព្វបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលត្រូវបានគេហៅថា ណែនាំ។បន្ទាត់ផ្លាស់ទីត្រូវបានគេហៅថា generatrix ។
ផ្ទៃរលោងឬសាមញ្ញ កោណហៅថាផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយចលនានៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ, ហៅថា កំពូលកោណ,និងផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោងនេះ។ បន្ទាត់ផ្លាស់ទីត្រូវបានគេហៅថា generatrix នៃកោណ,និងខ្សែកោងដែល generatrix រអិល, - ណែនាំ។
ការបង្វិលនៃតួរលេខជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (អ័ក្សនៃការបង្វិល) គឺជាចលនាដែលចំនុចនីមួយៗនៃរូប 
ពិពណ៌នាអំពីរង្វង់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលអ័ក្សរង្វិល ដេកក្នុងយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សនៃការបង្វិល។
ផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃបន្ទាត់អំពីអ័ក្សមួយត្រូវបានគេហៅថា ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍។
សមីការ Canonical នៃផ្ទៃលំដាប់ទីពីរ
ផ្ទៃលំដាប់ទីពីរត្រូវបានផ្តល់ជាកូអរដោនេចតុកោណដោយសមីការដឺក្រេទីពីរ
(7.1)
ដោយការបំលែងកូអរដោនេ (ដោយការបង្វិលអ័ក្ស និងការបកប្រែស្របគ្នា) សមីការ (7.1) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ។ ក្នុងករណីដែលមិនមានលក្ខខណ្ឌជាមួយនឹងផលគុណនៃកូអរដោណេក្នុងសមីការ (7.1) សមីការនេះគឺជាការជ្រើសរើសការេពេញដោយ 
,
,
និងការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលនៃអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical ក្នុងវិធីដូចគ្នានឹងវាត្រូវបានធ្វើសម្រាប់បន្ទាត់លំដាប់ទីពីរ (សូមមើល ការសិក្សាអំពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរ)។ ផ្ទៃលំដាប់ទីពីរ និងសមីការ Canonical របស់ពួកគេត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងតារាង។ ៣.
រូបរាងនិងការរៀបចំផ្ទៃលំដាប់ទីពីរជាធម្មតាត្រូវបានសិក្សាដោយវិធីសាស្រ្តនៃផ្នែកប៉ារ៉ាឡែល។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តគឺស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាផ្ទៃត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះជាច្រើនដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ។ រូបរាងនិងប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃផ្នែកដែលទទួលបានធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់រូបរាងនៃផ្ទៃដោយខ្លួនឯង។
តុ 3
|
អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាត៖ បែហោងធ្មែញតែមួយ,
bicameral,
|
|
|
|
|
|
ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត៖ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែរបូល |
|
|
រាងពងក្រពើ អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូល |
|
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា
បញ្ហា 7.1 ។សរសេរសមីការសម្រាប់ស្វ៊ែរដែលមានកាំ 
ហើយចំណុចកណ្តាលគឺនៅចំណុច 
.
ការសម្រេចចិត្ត។ស្វ៊ែរគឺជាសំណុំនៃចំនុចដែលមានចំងាយដូចគ្នាពីចំណុចកណ្តាល។ ដូច្នេះតំណាងដោយ 
កូអរដោនេចំណុចបំពាន 
ស្វ៊ែរ និងបង្ហាញតាមរយៈពួកគេនូវសមភាព 
, នឹងមាន
ដោយការបំបែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាព យើងទទួលបានសមីការ Canonical ដែលចង់បាននៃស្វ៊ែរ៖
ប្រសិនបើកណ្តាលនៃស្វ៊ែរត្រូវបានដាក់នៅដើម នោះសមីការនៃស្វ៊ែរមានទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះ៖
.
ចម្លើយ។
.
បញ្ហា 7.2 ។សរសេរសមីការសម្រាប់ផ្ទៃរាងសាជីដែលមានចំនុចកំពូលនៅប្រភពដើម និងការណែនាំ
(7.1)
ការសម្រេចចិត្ត។សមីការ Canonical នៃម៉ាស៊ីនភ្លើងតាមរយៈចំណុចមួយ។ 
និងចំណុច 
ការណែនាំ, មានទម្រង់
(7.2)
មិនរាប់បញ្ចូល 
,
,
ពីសមីការ (7.1) និង (7.2) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះក្នុងសមីការ (7.2) យើងជំនួស 
នៅលើ 
និងកំណត់ 
និង 
:
;
ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះ 
និង 
នៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (7.1) យើងនឹងមាន:
ឬ 
សមីការលទ្ធផលកំណត់កោណនៃលំដាប់ទីពីរ (សូមមើលតារាងទី 3)
បញ្ហា 7.3 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ផ្ទៃនេះគឺជាស៊ីឡាំងអ៊ីពែរបូលដែលមានម៉ាស៊ីនភ្លើងស្របទៅនឹងអ័ក្ស 
ជាការពិតសមីការនេះមិនមានទេ។ 
ហើយមគ្គុទ្ទេសក៍ស៊ីឡាំងគឺជាអ៊ីពែបូឡា
ជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី 
និងអ័ក្សពិតស្របទៅនឹងអ័ក្ស 
.
បញ្ហា 7.4 ។រុករក និងសាងសង់ផ្ទៃដែលផ្តល់ដោយសមីការ
ការសម្រេចចិត្ត។ប្រសព្វផ្ទៃជាមួយយន្តហោះ 
. ជាលទ្ធផលយើងមាន
កន្លែងណា 
. នេះគឺជាសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡានៅក្នុងយន្តហោះ 
ផ្នែកនៃផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយយន្តហោះ 
មានប៉ារ៉ាបូឡា
ផ្នែកយន្តហោះ 
មានបន្ទាត់ប្រសព្វមួយគូ៖
ផ្នែកតាមយន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះ 
មានអ៊ីពែបូឡាស៖
នៅ 
អ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡាគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស 
, នៅ 
អ័ក្ស 
. ផ្ទៃដែលកំពុងសិក្សាគឺអ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត (ដោយការផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងរូបរាង ផ្ទៃខាងលើត្រូវបានគេហៅថា "កៀប")។
មតិយោបល់។ទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៃអ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត គឺវត្តមាននៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានចំណុចទាំងអស់នៅលើផ្ទៃរបស់វា។ បន្ទាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាស៊ីនបង្កើត rectilinear នៃអ៊ីពែរបូល paraboloid ។ម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear ពីរឆ្លងកាត់ចំណុចនីមួយៗនៃអ៊ីពែរបូល paraboloid ។
បញ្ហា 7.5 ។ផ្ទៃណាមួយកំណត់សមីការ
ការសម្រេចចិត្ត។ដើម្បីកាត់បន្ថយសមីការនេះទៅជាទម្រង់ Canonical យើងជ្រើសរើសការេពេញនៃអថេរ 
,
,
:
ការប្រៀបធៀបសមីការលទ្ធផលជាមួយនឹងតារាង (សូមមើលតារាងទី 3) យើងឃើញថានេះគឺជាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយសន្លឹក ដែលចំណុចកណ្តាលត្រូវបានប្តូរទៅចំណុច 
ដោយការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេតាមរូបមន្ត
យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ Canonical៖
មតិយោបល់។អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយសន្លឹក ដូចជាអ៊ីពែរបូលមួយមានពីរគ្រួសារនៃម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear ។
ខ្លឹមសារនៃអត្ថបទ
ផ្នែកសាជី,ខ្សែកោងយន្តហោះ ដែលត្រូវបានទទួលដោយការឆ្លងកាត់កោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំជាមួយនឹងយន្តហោះដែលមិនឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងលើរបស់វា (រូបភាពទី 1)។ តាមទស្សនៈនៃធរណីមាត្រវិភាគ ផ្នែកសាជីគឺជាទីតាំងនៃចំណុចដែលបំពេញសមីការលំដាប់ទីពីរ។ ដោយមានករណីលើកលែងនៃករណី degenerate ដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយ ផ្នែករាងសាជីគឺពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ឬប៉ារ៉ាបូឡា។
ផ្នែកសាជីត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងធម្មជាតិ និងបច្ចេកវិទ្យា។ ជាឧទាហរណ៍ គន្លងនៃភពដែលវិលជុំវិញព្រះអាទិត្យគឺជារាងពងក្រពើ។ រង្វង់គឺជាករណីពិសេសនៃរាងអេលីប ដែលអ័ក្សសំខាន់ស្មើនឹងអនីតិជន។ កញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូលមានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលកាំរស្មីឧបទ្ទវហេតុទាំងអស់ស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្សរបស់វាបញ្ចូលគ្នានៅចំណុចមួយ (ផ្តោត) ។ វាត្រូវបានប្រើនៅក្នុងកែវយឺតដែលឆ្លុះបញ្ចាំងភាគច្រើនដោយប្រើកញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូល ក៏ដូចជានៅក្នុងអង់តែនរ៉ាដា និងមីក្រូហ្វូនពិសេសដែលមានឧបករណ៍ឆ្លុះបញ្ចាំងប៉ារ៉ាបូល។ ធ្នឹមនៃកាំរស្មីប៉ារ៉ាឡែលបញ្ចេញចេញពីប្រភពពន្លឺដែលដាក់នៅចំកណ្តាលនៃកញ្ចក់ឆ្លុះបញ្ចាំងប៉ារ៉ាបូល ដូច្នេះ កញ្ចក់ប៉ារ៉ាបូល ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងអំពូលភ្លើងដែលមានថាមពល និងចង្កៀងមុខរថយន្ត។ អ៊ីពែបូឡា គឺជាក្រាហ្វនៃទំនាក់ទំនងរាងកាយសំខាន់ៗជាច្រើន ដូចជាច្បាប់របស់ Boyle (ដែលទាក់ទងនឹងសម្ពាធ និងបរិមាណនៃឧស្ម័នដ៏ល្អមួយ) និងច្បាប់ Ohm ដែលកំណត់ចរន្តអគ្គិសនីជាមុខងារនៃភាពធន់ទ្រាំនៅតង់ស្យុងថេរ។
ប្រវត្តិសាស្ត្រដើម
អ្នករកឃើញផ្នែករាងសាជី ត្រូវបានគេសន្មត់ថា Menechmus (សតវត្សទី 4 មុនគ.ស) ដែលជាសិស្សរបស់ Plato និងជាគ្រូរបស់ Alexander the Great ។ Menechmus បានប្រើ parabola និង isosceles hyperbola ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការបង្កើនគូបមួយ។
សន្ធិសញ្ញាស្តីពីផ្នែកសាជីដែលសរសេរដោយ Aristaeus និង Euclid នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 4 ។ BC, ត្រូវបានបាត់បង់ប៉ុន្តែសម្ភារៈពីពួកគេត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងដ៏ល្បីល្បាញ ផ្នែកសាជី Apollonius of Perga (c. 260-170 មុនគ.ស) ដែលបានរស់រានមានជីវិតដល់សម័យរបស់យើង។ Apollonius បានបោះបង់ចោលនូវតម្រូវការដែលថា ប្លង់សេកុងនៃ generatrix នៃកោណត្រូវកាត់កែង ហើយដោយការផ្លាស់ប្តូរមុំនៃទំនោររបស់វា ទទួលបានផ្នែកសាជីទាំងអស់ពីកោណរាងជារង្វង់មួយ ត្រង់ ឬទំនោរ។ យើងក៏ជំពាក់ Apollonius ឈ្មោះទំនើបនៃខ្សែកោង - រាងពងក្រពើ ប៉ារ៉ាបូឡា និងអ៊ីពែបូឡា។
នៅក្នុងការសាងសង់របស់គាត់ Apollonius បានប្រើកោណរាងជារង្វង់ពីរសន្លឹក (ដូចក្នុងរូបទី 1) ដូច្នេះជាលើកដំបូង វាច្បាស់ណាស់ថាអ៊ីពែបូឡាគឺជាខ្សែកោងដែលមានមែកពីរ។ ចាប់តាំងពីសម័យ Apollonius ផ្នែកសាជីត្រូវបានបែងចែកទៅជា 3 ប្រភេទ អាស្រ័យលើទំនោរនៃយន្តហោះកាត់ទៅ generatrix នៃកោណ។ ពងក្រពើ (រូបភាពទី 1, ក) ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅពេលដែលយន្តហោះកាត់កាត់ generatrix ទាំងអស់នៃកោណនៅចំណុចមួយនៃបែហោងធ្មែញរបស់វា; ប៉ារ៉ាបូឡា (រូបទី 1, ខ) - នៅពេលដែលយន្តហោះកាត់គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះតង់សង់មួយនៃកោណ; អ៊ីពែបូល (រូបទី 1, ក្នុង) - នៅពេលដែលយន្តហោះកាត់កាត់បែហោងធ្មែញទាំងពីរនៃកោណ។
ការសាងសង់ផ្នែកសាជី
ខណៈពេលដែលកំពុងសិក្សាផ្នែករាងសាជីជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ និងកោណ គណិតវិទូក្រិកបុរាណក៏បានចាត់ទុកពួកគេថាជាគន្លងនៃចំនុចនៅលើយន្តហោះផងដែរ។ វាត្រូវបានគេរកឃើញថាពងក្រពើអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាទីតាំងនៃចំណុច, ផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺថេរ; ប៉ារ៉ាបូឡា - ជាទីតាំងនៃចំណុចស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ; អ៊ីពែបូឡា - ជាទីតាំងនៃចំណុច ភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺថេរ។
និយមន័យនៃផ្នែករាងសាជីទាំងនេះជាខ្សែកោងរបស់យន្តហោះក៏ណែនាំពីវិធីសាងសង់ពួកវាដោយប្រើខ្សែដែលលាតសន្ធឹង។
ពងក្រពើ។
ប្រសិនបើចុងបញ្ចប់នៃខ្សែស្រឡាយនៃប្រវែងដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានជួសជុលនៅចំណុច ច 1 និង ច 2 (រូបទី 2) បន្ទាប់មក ខ្សែកោងដែលបានពិពណ៌នាដោយចុងខ្មៅដៃដែលរអិលតាមខ្សែដែលលាតសន្ធឹងយ៉ាងតឹងនោះ មានរូបរាងរាងពងក្រពើ។ ពិន្ទុ ច 1 និង ច 2 ត្រូវបានគេហៅថា foci នៃរាងពងក្រពើនិងផ្នែក វ 1 វ 2 និង v 1 v 2 រវាងចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ - អ័ក្សធំ និងអនីតិជន។ ប្រសិនបើពិន្ទុ ច 1 និង ច 2 ស្របគ្នា បន្ទាប់មកពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់។
អ៊ីពែបូឡា។
នៅពេលសាងសង់អ៊ីពែបូឡា ចំណុចមួយ។ ទំចុងខ្មៅដៃត្រូវបានជួសជុលនៅលើខ្សែស្រឡាយដែលរុញដោយសេរីតាមបណ្តោយបង្គោលដែលបានដំឡើងនៅចំណុច ច 1 និង ច 2 ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ ៣, ក. ចម្ងាយត្រូវបានជ្រើសរើសដើម្បីឱ្យផ្នែក PF 2 គឺវែងជាងផ្នែក PF 1 ដោយចំនួនថេរតិចជាងចម្ងាយ ច 1 ច២. ក្នុងករណីនេះចុងម្ខាងនៃខ្សែស្រឡាយឆ្លងកាត់នៅក្រោម peg ច 1 និងចុងទាំងពីរនៃខ្សែស្រឡាយឆ្លងកាត់ peg នេះ។ ច២. (ចុងខ្មៅដៃមិនគួររុញតាមខ្សែស្រឡាយទេ ដូច្នេះអ្នកត្រូវជួសជុលវាដោយធ្វើរង្វិលជុំតូចមួយនៅលើខ្សែស្រឡាយ ហើយភ្ជាប់ចុងម្ជុលចូលទៅក្នុងវា។) មែកធាងមួយនៃអ៊ីពែបូឡា ( PV 1 សំណួរ) យើងគូរ ដោយធ្វើឱ្យប្រាកដថា ខ្សែស្រឡាយនៅតែតឹងគ្រប់ពេល ហើយទាញចុងទាំងពីរនៃខ្សែស្រឡាយចុះពីលើចំណុច ច 2 និងនៅពេលដែលចំណុច ទំនឹងស្ថិតនៅក្រោមបន្ទាត់ ច 1 ច 2, កាន់ខ្សែស្រឡាយនៅចុងទាំងពីរហើយបន្ធូរដោយប្រុងប្រយ័ត្ន (ឧទាហរណ៍ការដោះលែង) វា។ សាខាទីពីរនៃអ៊ីពែបូឡា ( ទំў វ 2 សំណួរў) យើងគូរដោយបានផ្លាស់ប្តូរតួនាទីរបស់ pegs ពីមុន ច 1 និង ច 2 .
មែកធាងនៃអ៊ីពែបូឡាចូលទៅជិតបន្ទាត់ត្រង់ពីរដែលប្រសព្វគ្នារវាងមែកឈើ។ បន្ទាត់ទាំងនេះដែលហៅថា asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា ត្រូវបានសាងសង់ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប។ ៣, ខ. ចំណោតនៃបន្ទាត់ទាំងនេះគឺ± ( v 1 v 2)/(វ 1 វ 2) កន្លែងណា v 1 v 2 - ផ្នែកនៃ bisector នៃមុំរវាង asymtotes កាត់កែងទៅផ្នែក ច 1 ច២; ផ្នែកបន្ទាត់ v 1 v 2 ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សរួមនៃអ៊ីពែបូឡា និងផ្នែក វ 1 វ 2 - អ័ក្សឆ្លងកាត់របស់វា។ ដូច្នេះ asymtotes គឺជាអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងដែលមានជ្រុងឆ្លងកាត់បួនចំណុច v 1 , v 2 , វ 1 , វ 2 ស្របទៅនឹងអ័ក្ស។ ដើម្បីបង្កើតចតុកោណកែងនេះអ្នកត្រូវបញ្ជាក់ទីតាំងនៃចំណុច v 1 និង v២. ពួកគេនៅចម្ងាយដូចគ្នា, ស្មើ
ពីចំណុចប្រសព្វនៃអ័ក្ស អូ. រូបមន្តនេះពាក់ព័ន្ធនឹងការសាងសង់ត្រីកោណខាងស្តាំជាមួយនឹងជើង អូ 1 និង វ 2 អូនិងអ៊ីប៉ូតេនុស ច 2 អូ.
ប្រសិនបើ asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា កាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក នោះអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា isosceles ។ អ៊ីពែបូឡាសពីរដែលមាន asymptotes ទូទៅ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងអ័ក្សឆ្លងកាត់ និងភ្ជាប់គ្នាឡើងវិញ ត្រូវបានគេហៅថា conjugate ទៅវិញទៅមក។
ប៉ារ៉ាបូឡា។
foci នៃរាងពងក្រពើនិងអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេស្គាល់ថា Apollonius ប៉ុន្តែជាក់ស្តែងការផ្តោតអារម្មណ៍នៃប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Pappus (ពាក់កណ្តាលទី 2 នៃសតវត្សទី 3) ដែលបានកំណត់ខ្សែកោងនេះជាទីតាំងនៃចំណុចស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ( ការផ្តោតអារម្មណ៍) និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលត្រូវបានគេហៅថានាយក។ ការសាងសង់ប៉ារ៉ាបូឡាដោយប្រើខ្សែស្រឡាយលាតសន្ធឹងដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃ Pappus ត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Isidore of Miletus (សតវត្សទី 6) ។ ដាក់បន្ទាត់ត្រង់ដើម្បីឱ្យគែមរបស់វាស្របគ្នានឹង directrix អិលў (រូបទី 4) ហើយភ្ជាប់ជើងទៅនឹងគែមនេះ។ ACត្រីកោណគំនូរ ABC. យើងជួសជុលចុងម្ខាងនៃខ្សែស្រឡាយដែលមានប្រវែង ABនៅកំពូល ខត្រីកោណ និងមួយទៀតនៅចំនុចផ្តោតនៃប៉ារ៉ាបូឡា ច. ទាញខ្សែស្រឡាយដោយចុងខ្មៅដៃ ចុចព័ត៌មានជំនួយនៅចំណុចអថេរ ទំទៅជិះស្គីដោយឥតគិតថ្លៃ ABត្រីកោណគំនូរ។ នៅពេលដែលត្រីកោណផ្លាស់ទីតាមបន្ទាត់ ចំណុច ទំនឹងពណ៌នាអំពីធ្នូនៃប៉ារ៉ាបូឡាដោយផ្តោត ចនិងនាយកសាលា អិលў, ចាប់តាំងពីប្រវែងសរុបនៃខ្សែស្រឡាយគឺស្មើនឹង ABផ្នែកនៃខ្សែស្រឡាយគឺនៅជាប់នឹងជើងសេរីនៃត្រីកោណ ហើយដូច្នេះផ្នែកដែលនៅសល់នៃខ្សែស្រឡាយ PFត្រូវតែស្មើនឹងជើងដែលនៅសល់ AB, i.e. ប៉ា. ចំណុចប្រសព្វ វប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានអ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃ parabola ដែលជាបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ ចនិង វ, គឺជាអ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សត្រូវបានគូសតាមរយៈការផ្តោត នោះផ្នែកនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះដែលត្រូវបានកាត់ផ្តាច់ដោយប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វ។ សម្រាប់ពងក្រពើ និងអ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជី
និយមន័យ Pappus ។
ការបង្កើតការផ្តោតអារម្មណ៍នៃប៉ារ៉ាបូឡាបាននាំ Pappus ទៅរកគំនិតនៃការផ្តល់និយមន័យជំនួសនៃផ្នែកសាជីជាទូទៅ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន ចគឺជាចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ផ្តោត) និង អិលគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (directrix) ដែលមិនឆ្លងកាត់ ច, និង ឃ អេហ្វនិង ឃ អិល- ចម្ងាយពីចំណុចផ្លាស់ទី ទំដើម្បីផ្តោតអារម្មណ៍ ចនិងនាយក អិលរៀងគ្នា។ បន្ទាប់មក ដូចដែល Papp បានបង្ហាញ ផ្នែករាងសាជីត្រូវបានកំណត់ជាទីតាំងនៃចំណុច ទំដែលសមាមាត្រ ឃ អេហ្វ/ឃ អិលគឺជាថេរមិនអវិជ្ជមាន។ សមាមាត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា eccentricity អ៊ីផ្នែករាងសាជី។ នៅ អ៊ី e > 1 គឺជាអ៊ីពែបូឡា នៅ អ៊ី= 1 គឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រសិនបើ ក ចស្ថិតនៅលើ អិលបន្ទាប់មក ទីតាំងមានទម្រង់ជាបន្ទាត់ (ពិត ឬស្រមើលស្រមៃ) ដែលជាផ្នែកសាជីដែលខូច។
ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃរាងពងក្រពើ និងអ៊ីពែបូឡា បង្ហាញថា ខ្សែកោងនីមួយៗមាន directrixes ពីរ និង foci ពីរ ហើយកាលៈទេសៈនេះបាននាំឱ្យ Kepler ក្នុងឆ្នាំ 1604 ដល់គំនិតដែលថា parabola ក៏មានការផ្តោតជាលើកទីពីរ និង directrix ទីពីរ - ចំណុចនៅគ្មានដែនកំណត់ និង ត្រង់។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ រង្វង់អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជារាងពងក្រពើ ដែល foci របស់វាស្របគ្នាជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាល ហើយ directrixes គឺគ្មានដែនកំណត់។ ភាពប្លែក អ៊ីក្នុងករណីនេះគឺសូន្យ។
ការរចនារបស់ Dandelin ។
ការផ្តោត និងទិសដៅនៃផ្នែករាងសាជីអាចបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ដោយប្រើស្វ៊ែរដែលចារឹកក្នុងកោណ ហើយហៅថា Dandelin spheres (បាល់) ដើម្បីជាកិត្តិយសដល់គណិតវិទូ និងវិស្វករជនជាតិបែលហ្ស៊ិក J. Dandelin (1794–1847) ដែលបានស្នើការសាងសង់ដូចខាងក្រោម។ សូមឱ្យផ្នែករាងសាជីត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះមួយចំនួន ទំជាមួយនឹងកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំពីរដែលមាន apex នៅចំណុចមួយ។ អូ. ចូរយើងចារឹករង្វង់ពីរក្នុងកោណនេះ។ ស 1 និង ស 2 ដែលប៉ះយន្តហោះ ទំនៅចំនុច ច 1 និង ច 2 រៀងគ្នា។ ប្រសិនបើផ្នែករាងសាជីជារាងពងក្រពើ (រូបភាព 5, ក) បន្ទាប់មកស្វ៊ែរទាំងពីរស្ថិតនៅខាងក្នុងប្រហោងដូចគ្នា៖ ស្វ៊ែរមួយស្ថិតនៅពីលើយន្តហោះ ទំនិងមួយទៀតនៅខាងក្រោមវា។ generatrix នីមួយៗនៃកោណប៉ះស្វ៊ែរទាំងពីរ ហើយទីតាំងនៃចំណុចទំនាក់ទំនងមានទម្រង់ជារង្វង់ពីរ គ 1 និង គ 2 ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា។ ទំ 1 និង ទំ២. អនុញ្ញាតឱ្យមាន ទំគឺជាចំណុចបំពានលើផ្នែកសាជី។ តោះគូរត្រង់ PF 1 , PF 2 និងពង្រីកបន្ទាត់ PO. បន្ទាត់ទាំងនេះគឺតង់សង់ទៅស្វ៊ែរនៅចំណុច ច 1 , ច 2 និង រ 1 , រ២. ដោយសារតង់សង់ទាំងអស់ដែលទាញទៅស្វ៊ែរពីចំណុចមួយគឺស្មើគ្នា ដូច្នេះ PF 1 = PR 1 និង PF 2 = PR២. អាស្រ័យហេតុនេះ PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = រ 1 រ២. ចាប់តាំងពីយន្តហោះ ទំ 1 និង ទំ 2 ប៉ារ៉ាឡែល, ចម្រៀក រ 1 រ 2 មានប្រវែងថេរ។ ដូច្នេះតម្លៃ PR 1 + PR 2 គឺដូចគ្នាសម្រាប់ទីតាំងចំណុចទាំងអស់។ ទំ, និងចំណុច ទំជាកម្មសិទ្ធិរបស់ទីតាំងនៃចំនុចដែលផលបូកនៃចម្ងាយពី ទំពីមុន ច 1 និង ច 2 គឺថេរ។ ដូច្នេះចំណុច ច 1 និង ច 2 - foci នៃផ្នែករាងពងក្រពើ។ លើសពីនេះទៀតវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាបន្ទាត់ដែលនៅតាមបណ្តោយយន្តហោះ ទំឆ្លងកាត់យន្តហោះ ទំ 1 និង ទំ 2, គឺជា directrixes នៃ ellipse សាងសង់។ ប្រសិនបើ ក ទំឆ្លងកាត់បែហោងធ្មែញទាំងពីរនៃកោណ (រូបភាព 5, ខ) បន្ទាប់មក លំពែង Dandelin ពីរស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងនៃយន្តហោះ ទំស្វ៊ែរមួយនៅក្នុងបែហោងធ្មែញនីមួយៗនៃកោណ។ ក្នុងករណីនេះភាពខុសគ្នារវាង PF 1 និង PF 2 គឺថេរ, និងទីតាំងនៃចំណុច ទំមានទម្រង់ hyperbola ជាមួយ foci ច 1 និង ច 2 និងបន្ទាត់ត្រង់ - បន្ទាត់ប្រសព្វ ទំជាមួយ ទំ 1 និង ទំ២- ជានាយក។ ប្រសិនបើផ្នែកសាជីគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ ៥, ក្នុងបន្ទាប់មកមានតែផ្នែក Dandelin មួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចចារឹកនៅក្នុងកោណបាន។
លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀត។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជីគឺពិតជាមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ហើយណាមួយនៃពួកវាអាចត្រូវបានគេយកមកធ្វើជាការសម្រេចចិត្ត។ កន្លែងសំខាន់នៅក្នុង ការប្រជុំគណិតវិទ្យាប៉ាប៉ា (គ.៣០០), ធរណីមាត្រ Descartes (1637) និង ការចាប់ផ្តើមញូតុន (១៦៨៧) មានការព្រួយបារម្ភចំពោះបញ្ហានៃទីតាំងនៃចំណុចទាក់ទងនឹងបន្ទាត់បួន។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ចំនួនបួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ អិល 1 , អិល 2 , អិល 3 និង អិល 4 (ពីរដែលអាចផ្គូផ្គងបាន) និងចំណុចមួយ។ ទំគឺជាផលិតផលនៃចម្ងាយពី ទំពីមុន អិល 1 និង អិល 2 គឺសមាមាត្រទៅនឹងផលិតផលនៃចម្ងាយពី ទំពីមុន អិល 3 និង អិល 4 បន្ទាប់មកទីតាំងនៃចំណុច ទំគឺជាផ្នែកសាជី។ ដោយច្រឡំថា Apollonius និង Pappus បរាជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃទីតាំងនៃចំណុចទាក់ទងនឹងបន្ទាត់បួន Descartes ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយនិងធ្វើឱ្យវាមានលក្ខណៈទូទៅបានបង្កើតធរណីមាត្រវិភាគ។
វិធីសាស្រ្តវិភាគ
ចំណាត់ថ្នាក់ពិជគណិត។
នៅក្នុងពាក្យពិជគណិត ផ្នែកសាជីអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាខ្សែកោងយន្តហោះដែលសំរបសំរួល Cartesian បំពេញសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត សមីការនៃផ្នែកសាជីទាំងអស់អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ទូទៅដូចជា
ដែលមិនមែនជាមេគុណទាំងអស់។ ក, ខនិង គគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដោយមានជំនួយពីការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែល និងការបង្វិលអ័ក្ស សមីការ (1) អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់
ពូថៅ 2 + ដោយ 2 + គ = 0
ភីច 2 + qy = 0.
សមីការទីមួយត្រូវបានទទួលពីសមីការ (1) ជាមួយ ខ 2 № AC, ទីពីរ - នៅ ខ 2 = AC. ផ្នែកសាជីដែលសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាល។ ផ្នែកសាជីដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការនៃប្រភេទទីពីរជាមួយ qលេខ 0 ត្រូវបានគេហៅថាមិនមែនកណ្តាល។ នៅក្នុងប្រភេទទាំងពីរនេះមាន 9 ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃផ្នែកសាជី អាស្រ័យលើសញ្ញានៃមេគុណ។
២៨៣១) អ៊ី ក, ខនិង គមានសញ្ញាដូចគ្នា បន្ទាប់មកមិនមានចំណុចពិតប្រាកដដែលកូអរដោនេនឹងបំពេញសមីការនោះទេ។ ផ្នែករាងសាជីបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាពងក្រពើស្រមើលស្រមៃ (ឬរង្វង់ស្រមើលស្រមៃប្រសិនបើ ក = ខ).
2) ប្រសិនបើ កនិង ខមានសញ្ញាមួយ និង គ- ទល់មុខ បន្ទាប់មកផ្នែករាងសាជីគឺជាពងក្រពើ (រូបភាពទី 1, ក); នៅ ក = ខ- រង្វង់ (រូបភាព 6, ខ).
3) ប្រសិនបើ កនិង ខមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា បន្ទាប់មកផ្នែកសាជីគឺជាអ៊ីពែបូឡា (រូបភាពទី 1, ក្នុង).
4) ប្រសិនបើ កនិង ខមានសញ្ញាផ្សេងគ្នានិង គ= 0 បន្ទាប់មកផ្នែកសាជីមានពីរបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វគ្នា (រូបភាព 6, ក).
5) ប្រសិនបើ កនិង ខមានសញ្ញាមួយនិង គ= 0 បន្ទាប់មកមានចំណុចពិតប្រាកដមួយនៅលើខ្សែកោងដែលបំពេញសមីការ ហើយផ្នែករាងសាជីគឺជាបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាដែលស្រមើលស្រមៃពីរ។ ក្នុងករណីនេះ មួយក៏និយាយអំពីពងក្រពើដែលចុះកិច្ចសន្យាដល់ចំណុចមួយ ឬប្រសិនបើ ក = ខបានចុះកិច្ចសន្យាដល់ចំណុចនៃរង្វង់មួយ (រូបភាព 6, ខ).
6) ប្រសិនបើ ក, ឬ ខគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយមេគុណដែលនៅសល់មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា បន្ទាប់មកផ្នែកសាជីមានបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ។
7) ប្រសិនបើ ក, ឬ ខគឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយមេគុណដែលនៅសល់មានសញ្ញាដូចគ្នា នោះគ្មានចំណុចពិតប្រាកដដែលបំពេញសមីការនោះទេ។ ក្នុងករណីនេះ ផ្នែកសាជីត្រូវបានគេនិយាយថាមានបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលស្រមៃពីរ។
8) ប្រសិនបើ គ= 0 និងទាំង ក, ឬ ខក៏ស្មើនឹងសូន្យផងដែរ បន្ទាប់មកផ្នែករាងសាជីមានបន្ទាត់ស្របគ្នាពិតប្រាកដពីរ។ (សមីការមិនកំណត់ផ្នែកសាជីណាមួយនៅ ក = ខ= 0 ដោយហេតុថាក្នុងករណីនេះសមីការដើម (1) មិនមែនជាដឺក្រេទីពីរទេ។)
9) សមីការនៃប្រភេទទីពីរកំណត់ parabolas if ទំនិង qខុសពីសូន្យ។ ប្រសិនបើ ក ទំលេខ 0 និង q= 0 យើងទទួលបានខ្សែកោងពីធាតុទី 8។ ប្រសិនបើផ្ទុយទៅវិញ ទំ= 0 បន្ទាប់មកសមីការមិនកំណត់ផ្នែកសាជីណាមួយទេ ព្រោះសមីការដើម (1) មិនមែនជាដឺក្រេទីពីរទេ។
ដេរីវេនៃសមីការនៃផ្នែកសាជី។
ផ្នែកសាជីណាមួយក៏អាចត្រូវបានកំណត់ថាជាខ្សែកោងតាមបណ្តោយដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នាជាមួយនឹងផ្ទៃបួនជ្រុង ពោលគឺឧ។ ជាមួយនឹងផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ f (x, y, z) = 0. ជាក់ស្តែង ផ្នែកសាជីត្រូវបានទទួលស្គាល់ជាលើកដំបូងនៅក្នុងទម្រង់នេះ ហើយឈ្មោះរបស់ពួកគេ ( មើលខាងក្រោម) ត្រូវបានទាក់ទងទៅនឹងការពិតដែលថាពួកគេត្រូវបានទទួលដោយការឆ្លងកាត់យន្តហោះជាមួយកោណ z 2 = x 2 + y២. អនុញ្ញាតឱ្យមាន ABCD- មូលដ្ឋាននៃកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំ (រូបភាពទី 7) ដែលមានមុំខាងស្តាំនៅផ្នែកខាងលើ វ. អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះ FDCប្រសព្វ generatrix វី.ប៊ីនៅចំណុច ច, មូលដ្ឋានគឺនៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ស៊ីឌីនិងផ្ទៃនៃកោណ - តាមបណ្តោយខ្សែកោង DFPCកន្លែងណា ទំគឺជាចំណុចណាមួយនៅលើខ្សែកោង។ គូរកាត់ពាក់កណ្តាលនៃផ្នែក ស៊ីឌី- ចំណុច អ៊ី- ផ្ទាល់ អេហ្វនិងអង្កត់ផ្ចិត AB. តាមរយៈចំណុច ទំគូរប្លង់ស្របនឹងមូលដ្ឋានកោណ កាត់កោណជារង្វង់ RPSនិងដោយផ្ទាល់ អេហ្វនៅចំណុច សំណួរ. បន្ទាប់មក QFនិង QPអាចត្រូវបានគេយករៀងៗខ្លួនសម្រាប់ abscissa xនិងចាត់តាំង yពិន្ទុ ទំ. ខ្សែកោងលទ្ធផលនឹងជាប៉ារ៉ាបូឡា។
សំណង់ដែលបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 7 អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីទាញយកសមីការទូទៅសម្រាប់ផ្នែកសាជី។ ការ៉េនៃប្រវែងនៃផ្នែកកាត់កែងមួយ ស្ដារឡើងវិញពីចំណុចណាមួយនៃអង្កត់ផ្ចិតទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយរង្វង់ គឺតែងតែស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃផ្នែកនៃអង្កត់ផ្ចិត។ ដូច្នេះ
y 2 = RQហ សំណួរ.
សម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡា ផ្នែកមួយ។ RQមានប្រវែងថេរ (ព្រោះសម្រាប់ទីតាំងណាមួយនៃចំណុច ទំវាស្មើនឹងផ្នែក អេ) និងប្រវែងនៃផ្នែក សំណួរសមាមាត្រ x(ពីទំនាក់ទំនង សំណួរ/អ៊ី = QF/F.E.) ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។
កន្លែងណា កគឺជាមេគុណថេរ។ ចំនួន កបង្ហាញប្រវែងនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា។
ប្រសិនបើមុំនៅកំពូលនៃកោណគឺស្រួច, បន្ទាប់មកចម្រៀក RQមិនស្មើនឹងកាត់ អេ; ប៉ុន្តែសមាមាត្រ y 2 = RQហ សំណួរគឺស្មើនឹងសមីការនៃទម្រង់
កន្លែងណា កនិង ខគឺថេរ ឬបន្ទាប់ពីផ្លាស់ប្តូរអ័ក្សទៅសមីការ
ដែលជាសមីការនៃពងក្រពើ។ ចំនុចប្រសព្វនៃរាងពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស x (x = កនិង x = –ក) និងចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស y (y = ខនិង y = –ខ) កំណត់អ័ក្សធំ និងអនីតិជនរៀងៗខ្លួន។ ប្រសិនបើមុំនៅចំនុចកំពូលនៃកោណគឺ obtuse នោះខ្សែកោងនៃចំនុចប្រសព្វនៃកោណ និងយន្តហោះមានទម្រង់ជាអ៊ីពែបូឡា ហើយសមីការមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
ឬបន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីអ័ក្ស
ក្នុងករណីនេះចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស xផ្តល់ដោយទំនាក់ទំនង x 2 = ក 2 កំណត់អ័ក្សឆ្លងកាត់ និងចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស yផ្តល់ដោយទំនាក់ទំនង y 2 = –ខ 2 កំណត់អ័ក្សមិត្តរួម។ ប្រសិនបើថេរ កនិង ខនៅក្នុងសមីការ (4a) គឺស្មើគ្នា បន្ទាប់មកអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា isosceles ។ ដោយការបង្វិលអ័ក្សសមីការរបស់វាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់
xy = k.
ឥឡូវនេះពីសមីការ (3), (2) និង (4) យើងអាចយល់ពីអត្ថន័យនៃឈ្មោះដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយ Apollonius ទៅផ្នែកសាជីសំខាន់ៗបី។ ពាក្យ "ពងក្រពើ", "ប៉ារ៉ាបូឡា" និង "អ៊ីពែបូឡា" មកពីពាក្យក្រិកមានន័យថា "ខ្វះខាត" "ស្មើគ្នា" និង "ឧត្តមភាព" ។ ពីសមីការ (3), (2) និង (4) វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ពងក្រពើ y២ ខ ២/ ក) xសម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡា y 2 = (ក) xនិងសម្រាប់ hyperbole y 2 > (2ខ 2 /ក) x. ក្នុងករណីនីមួយៗ តម្លៃដែលរុំព័ទ្ធក្នុងតង្កៀបគឺស្មើនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វនៃខ្សែកោង។
Apollonius ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានពិចារណាតែប្រភេទសាជីទូទៅចំនួនបី (ប្រភេទ 2, 3 និង 9 ដែលបានរាយខាងលើ) ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តរបស់គាត់អនុញ្ញាតឱ្យមានការយល់ដឹងទូទៅដែលអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ពិចារណាខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរពិតប្រាកដទាំងអស់។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់ត្រូវបានជ្រើសរើសស្របទៅនឹងមូលដ្ឋានរាងជារង្វង់នៃកោណនោះផ្នែកនឹងជារង្វង់។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់មានចំណុចរួមតែមួយជាមួយកោណ ចំនុចកំពូលរបស់វា បន្ទាប់មកផ្នែកនៃប្រភេទទី 5 នឹងត្រូវបានទទួល។ ប្រសិនបើវាមានចំនុចកំពូល និងតង់សង់ទៅកោណ នោះយើងទទួលបានផ្នែកនៃប្រភេទទី 8 (រូបភាព 6, ខ); ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់មានម៉ាស៊ីនភ្លើងពីរនៃកោណ នោះខ្សែកោងប្រភេទ 4 ត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែក (រូបភាព 6, ក); នៅពេលដែល vertex ត្រូវបានផ្ទេរទៅ infinity កោណប្រែទៅជាស៊ីឡាំង ហើយប្រសិនបើយន្តហោះមានម៉ាស៊ីនភ្លើងពីរ នោះផ្នែកនៃប្រភេទ 6 ត្រូវបានទទួល។
នៅពេលមើលពីមុំ oblique រង្វង់មួយមើលទៅដូចជាពងក្រពើ។ ទំនាក់ទំនងរវាងរង្វង់និងរាងពងក្រពើដែលគេស្គាល់ថា Archimedes ក្លាយជាជាក់ស្តែងប្រសិនបើរង្វង់ X 2 + យ 2 = ក 2 ដោយប្រើការជំនួស X = x, យ = (ក/ខ) yបំប្លែងទៅជាពងក្រពើដែលផ្តល់ដោយសមីការ (3a)។ ការផ្លាស់ប្តូរ X = x, យ = (អាយ/ខ) yកន្លែងណា ខ្ញុំ 2 = –1 អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមីការរង្វង់ក្នុងទម្រង់ (4a) ។ នេះបង្ហាញថាអ៊ីពែបូឡាអាចត្រូវបានមើលជារាងពងក្រពើដែលមានអ័ក្សអនីតិជនដែលស្រមើលស្រមៃ ឬផ្ទុយទៅវិញ ពងក្រពើអាចត្រូវបានមើលថាជាអ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សរួមស្រមើស្រមៃ។
ទំនាក់ទំនងរវាងការចាត់តាំងនៃរង្វង់មួយ។ x 2 + y 2 = ក 2 និងពងក្រពើ ( x 2 /ក 2) + (y 2 /ខ 2) = 1 ដឹកនាំដោយផ្ទាល់ទៅរូបមន្តរបស់ Archimedes ក = p abសម្រាប់តំបន់នៃរាងពងក្រពើ។ Kepler បានដឹងពីរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែល ទំ(ក + ខ) សម្រាប់បរិវេណនៃរាងពងក្រពើជិតរង្វង់មួយ ប៉ុន្តែកន្សោមពិតប្រាកដត្រូវបានទទួលតែនៅក្នុងសតវត្សទី 18 ប៉ុណ្ណោះ។ បន្ទាប់ពីការណែនាំនៃអាំងតេក្រាលរាងអេលីប។ ដូចដែល Archimedes បានបង្ហាញ តំបន់នៃផ្នែកប៉ារ៉ាបូលគឺបួនភាគបីនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណចារិក ប៉ុន្តែប្រវែងនៃធ្នូនៃប៉ារ៉ាបូលអាចត្រូវបានគណនាបានតែបន្ទាប់ពីសតវត្សទី 17 ប៉ុណ្ណោះ។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានបង្កើតឡើង។
វិធីសាស្រ្តគម្រោង
ធរណីមាត្រគម្រោងគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការសាងសង់ទស្សនវិស័យ។ ប្រសិនបើអ្នកគូររង្វង់មួយនៅលើសន្លឹកក្រដាសថ្លា ហើយដាក់វានៅក្រោមប្រភពពន្លឺ នោះរង្វង់នេះនឹងត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះខាងក្រោម។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើប្រភពពន្លឺស្ថិតនៅខាងលើចំកណ្តាលរង្វង់ ហើយប្លង់ និងសន្លឹកថ្លាស្របគ្នានោះ ការព្យាករនឹងជារង្វង់មួយ (រូបភាពទី 8)។ ទីតាំងនៃប្រភពពន្លឺត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចបាត់។ វាត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ វ. ប្រសិនបើ ក វទីតាំងមិនស្ថិតនៅពីលើចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ ឬប្រសិនបើយន្តហោះមិនស្របនឹងសន្លឹកក្រដាសនោះ ការព្យាករនៃរង្វង់មានទម្រង់ជារាងពងក្រពើ។ ជាមួយនឹងទំនោរកាន់តែខ្លាំងនៃយន្តហោះ អ័ក្សសំខាន់នៃរាងពងក្រពើ (ការព្យាករនៃរង្វង់) លាតសន្ធឹង ហើយពងក្រពើបន្តិចម្តងៗប្រែទៅជាប៉ារ៉ាបូឡា។ នៅលើយន្តហោះស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ VPការព្យាករណ៍មើលទៅដូចជាប៉ារ៉ាបូឡា។ ជាមួយនឹងទំនោរកាន់តែខ្លាំង ការព្យាករកើតឡើងជាទម្រង់មួយនៃសាខានៃអ៊ីពែបូឡា។
ចំណុចនីមួយៗនៅលើរង្វង់ដើមត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចមួយចំនួននៅលើការព្យាករ។ ប្រសិនបើការព្យាករមានទម្រង់ជាប៉ារ៉ាបូឡា ឬអ៊ីពែបូឡា នោះពួកគេនិយាយថាចំណុចដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុច ទំស្ថិតក្នុងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ឬនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
ដូចដែលយើងបានឃើញហើយ ជាមួយនឹងជម្រើសដ៏សមស្របនៃចំនុចដែលបាត់ រង្វង់មួយអាចត្រូវបានព្យាករជារាងពងក្រពើដែលមានទំហំផ្សេងៗ និងមានភាពខុសប្លែកគ្នាផ្សេងៗ ហើយប្រវែងនៃអ័ក្សធំៗមិនទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ដែលបានព្យាករនោះទេ។ ដូច្នេះធរណីមាត្រព្យាករណ៍មិនទាក់ទងនឹងចម្ងាយ ឬប្រវែងក្នុងមួយសេទេ ភារកិច្ចរបស់វាគឺដើម្បីសិក្សាសមាមាត្រនៃប្រវែងដែលត្រូវបានរក្សាទុកក្រោមការព្យាករ។ ទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើសំណង់ខាងក្រោម។ តាមរយៈចំណុចណាមួយ។ ទំយន្តហោះយើងគូរតង់សង់ពីរទៅរង្វង់ណាមួយ ហើយភ្ជាប់ចំណុចទំនាក់ទំនងជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ ទំ. សូមឱ្យបន្ទាត់មួយទៀតឆ្លងកាត់ចំណុច ទំ, ប្រសព្វរង្វង់នៅចំណុច គ 1 និង គ 2 ប៉ុន្តែបន្ទាត់ត្រង់ ទំ- នៅចំណុច សំណួរ(រូបភាពទី 9) ។ Planimetry បញ្ជាក់ កុំព្យូទ័រ 1 /កុំព្យូទ័រ 2 = –QC 1 /QC២. (សញ្ញាដកកើតឡើងដោយសារតែទិសដៅនៃផ្នែក QC 1 ទល់មុខនឹងទិសដៅនៃផ្នែកផ្សេងៗ។) ម្យ៉ាងវិញទៀតចំនុច ទំនិង សំណួរបែងចែកផ្នែក គ 1 គ 2 ខាងក្រៅនិងខាងក្នុងក្នុងការគោរពដូចគ្នា; ពួកគេក៏និយាយផងដែរថា សមាមាត្រអាម៉ូនិកនៃផ្នែកទាំងបួនគឺ - 1. ប្រសិនបើរង្វង់ត្រូវបានព្យាករទៅជាផ្នែកសាជី ហើយការរចនាដូចគ្នាត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់ចំណុចដែលត្រូវគ្នា នោះសមាមាត្រអាម៉ូនិក ( កុំព្យូទ័រ 1)(QC 2)/(កុំព្យូទ័រ 2)(QC 1) នឹងនៅតែស្មើគ្នា - 1. ពិន្ទុ ទំហៅថាបង្គោលនៃបន្ទាត់ ទំទាក់ទងនឹងផ្នែករាងសាជី និងបន្ទាត់ត្រង់ ទំ- ចំណុចប៉ូល។ ទំទាក់ទងនឹងផ្នែកសាជី។
ពេលដែលចំនុច ទំខិតជិតផ្នែករាងសាជី ប៉ូលមានទំនោរទៅរកទីតាំងនៃតង់សង់។ ប្រសិនបើចំណុច ទំស្ថិតនៅលើផ្នែករាងសាជី បន្ទាប់មកប៉ូលរបស់វាស្របគ្នាជាមួយនឹងតង់សង់ទៅផ្នែកសាជីនៅចំណុច ទំ. ប្រសិនបើចំណុច ទំដែលមានទីតាំងនៅខាងក្នុងផ្នែករាងសាជី បន្ទាប់មកប៉ូលរបស់វាអាចត្រូវបានសាងសង់ដូចខាងក្រោម។ ចូរយើងឆ្លងកាត់ចំណុច ទំបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលកាត់ផ្នែករាងសាជីនៅពីរចំណុច; គូរតង់សង់ទៅផ្នែកសាជីនៅចំណុចប្រសព្វ; ឧបមាថាតង់សង់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ។ ទំមួយ។ ចូរយើងឆ្លងកាត់ចំណុច ទំបន្ទាត់ត្រង់មួយទៀតដែលកាត់ផ្នែករាងសាជីនៅចំណុចពីរផ្សេងទៀត; ឧបមាថាតង់សង់ទៅផ្នែកសាជីនៅចំណុចថ្មីទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំណុច ទំ 2 (រូបភព 10) ។ បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច ទំ 1 និង ទំ 2 ហើយមានប៉ូលដែលចង់បាន ទំ. ប្រសិនបើចំណុច ទំខិតជិតមជ្ឈមណ្ឌល អូផ្នែកសាជីកណ្តាល បន្ទាប់មកប៉ូល ទំផ្លាស់ទីឆ្ងាយពី អូ. ពេលដែលចំនុច ទំស្របពេលជាមួយ អូបន្ទាប់មក បន្ទាត់រាងប៉ូលរបស់វាក្លាយជាគ្មានកំណត់ ឬជាឧត្តមគតិ ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។
អគារពិសេស
ការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសចំពោះតារាវិទូគឺការស្ថាបនាដ៏សាមញ្ញខាងក្រោមនៃចំណុចនៃពងក្រពើដោយប្រើត្រីវិស័យ និងត្រង់។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់បំពានឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ អូ(រូបទី ១១, ក), ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច សំណួរនិង ររង្វង់ផ្ចិតពីរដែលដាក់ចំកណ្តាលចំណុចមួយ។ អូនិងរ៉ាឌី ខនិង កកន្លែងណា ខក. ចូរយើងឆ្លងកាត់ចំណុច សំណួរបន្ទាត់ផ្តេក និង រ- បន្ទាត់បញ្ឈរ និងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ ទំ ទំនៅពេលបង្វិលត្រង់ OQRនៅជុំវិញចំណុច អូនឹងក្លាយជាពងក្រពើ។ ការចាក់ថ្នាំ fរវាងបន្ទាត់ OQRហើយអ័ក្សសំខាន់ត្រូវបានគេហៅថាមុំ eccentric ហើយពងក្រពើដែលបានសាងសង់ត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួលដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = ក cos f, y = ខអំពើបាប f. ដោយមិនរាប់បញ្ចូលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ fយើងទទួលបានសមីការ (3a) ។
សម្រាប់អ៊ីពែបូឡា សំណង់គឺស្រដៀងគ្នាច្រើន។ បន្ទាត់បំពានឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ អូកាត់រង្វង់មួយក្នុងចំណោមរង្វង់ទាំងពីរនៅចំណុចមួយ។ រ(រូបទី ១១, ខ) ដល់ចំណុច ររង្វង់មួយនិងដល់ចំណុចបញ្ចប់ សអង្កត់ផ្ចិតផ្តេកនៃរង្វង់មួយទៀត យើងគូរតង់សង់ប្រសព្វគ្នា។ ប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការនៅចំណុច ធនិង ឬ- នៅចំណុច សំណួរ. អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់បញ្ឈរឆ្លងកាត់ចំណុច ធនិងបន្ទាត់ផ្តេកឆ្លងកាត់ចំណុច សំណួរ, ប្រសព្វនៅចំណុចមួយ។ ទំ. បន្ទាប់មកទីតាំងនៃចំណុច ទំនៅពេលបង្វិលផ្នែក ឬជុំវិញ អូវានឹងមានអ៊ីពែបូឡាដែលផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = កវិ f, y = ខ tg fកន្លែងណា f- មុំ eccentric ។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានទទួលដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង A. Legendre (1752–1833)។ ដោយមិនរាប់បញ្ចូលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ fយើងទទួលបានសមីការ (4a) ។
រាងពងក្រពើ ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ដោយ N. Copernicus (1473-1543) អាចត្រូវបានសាងសង់ដោយប្រើចលនាអេពីស៊ីក។ ប្រសិនបើរង្វង់មួយវិលដោយមិនរអិលតាមបណ្តោយខាងក្នុងនៃរង្វង់មួយទៀតដែលមានអង្កត់ផ្ចិតពីរដងបន្ទាប់មកចំនុចនីមួយៗ ទំដោយមិននិយាយកុហកនៅលើរង្វង់តូចជាង ប៉ុន្តែថេរទាក់ទងទៅនឹងវា នឹងពិពណ៌នាអំពីរាងពងក្រពើ។ ប្រសិនបើចំណុច ទំស្ថិតនៅលើរង្វង់តូចជាង បន្ទាប់មកគន្លងនៃចំណុចនេះគឺជាករណី degenerate នៃរាងពងក្រពើ - អង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ធំជាង។ ការសាងសង់រាងពងក្រពើកាន់តែសាមញ្ញត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Proclus នៅសតវត្សទី 5 ។ ប្រសិនបើបញ្ចប់ កនិង ខផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ ABនៃស្លាយប្រវែងដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វថេរពីរ (ឧទាហរណ៍ តាមអ័ក្សកូអរដោណេ) បន្ទាប់មកចំណុចខាងក្នុងនីមួយៗ ទំផ្នែកនឹងពិពណ៌នាអំពីពងក្រពើ; គណិតវិទូជនជាតិហូឡង់ F. van Schoten (1615–1660) បានបង្ហាញថាចំណុចណាមួយនៅក្នុងប្លង់នៃបន្ទាត់ប្រសព្វ ដែលថេរទាក់ទងទៅនឹងផ្នែករអិល ក៏នឹងពណ៌នាអំពីពងក្រពើផងដែរ។
B. Pascal (1623–1662) នៅអាយុ 16 ឆ្នាំបានបង្កើតទ្រឹស្តីបទ Pascal ដ៏ល្បីល្បាញដែលនិយាយថា: ចំនុចប្រសព្វបីនៃជ្រុងទល់មុខនៃឆកោនដែលចារឹកនៅក្នុងផ្នែកសាជីណាមួយស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ Pascal ទទួលបានច្រើនជាង 400 corollaries ពីទ្រឹស្តីបទនេះ។
ផ្ទៃនៃលំដាប់ទីពីរគឺជាផ្ទៃដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេទីពីរ។
1. រាងពងក្រពើ។
រាងពងក្រពើ គឺជាផ្ទៃដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយចំនួន ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ:សមីការ (1) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃ ellipsoid ។
កំណត់ទិដ្ឋភាពធរណីមាត្រនៃរាងពងក្រពើ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមពិចារណាផ្នែកនៃរាងពងក្រពើដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយយន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះ អុកសុី.ប្លង់នីមួយៗទាំងនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការនៃទម្រង់ z=hកន្លែងណា ម៉ោង- លេខណាមួយ ហើយបន្ទាត់ដែលទទួលបានក្នុងផ្នែកត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការពីរ
(2)ចូរយើងសិក្សាសមីការ (2) សម្រាប់តម្លៃផ្សេងៗ ម៉ោង .
> គ(c>0) បន្ទាប់មកសមីការ (2) ក៏កំណត់ពងក្រពើស្រមើលស្រមៃ ពោលគឺ ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ z=hជាមួយនឹង ellipsoid ដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានទេ។ បន្ទាប់មក ហើយបន្ទាត់ (2) ខូចទៅជាចំនុច (0; 0; + គ) និង (0; 0; - គ) (យន្តហោះប៉ះរាងពងក្រពើ) ។ បន្ទាប់មកសមីការ (2) អាចត្រូវបានតំណាងជាតើវាមកពីណា យន្តហោះនោះ z=hប្រសព្វរាងអេលីបនៅតាមរាងអេលីបដែលមានអ័ក្សពាក់កណ្តាល
និង . នៅពេលដែលតម្លៃថយចុះ ហើយកើនឡើង និងឈានដល់តម្លៃអតិបរមារបស់ពួកគេនៅ , ឧ. នៅក្នុងផ្នែកឆ្លងកាត់នៃរាងអេលីបដោយយន្តហោះកូអរដោណេ។ អុកសុីវាប្រែចេញពងក្រពើធំបំផុតជាមួយ semiaxes និង .រូបភាពស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានទទួលនៅពេលដែលផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ អុកហ្សនិង អូហ្សី.
ដូច្នេះផ្នែកដែលបានពិចារណាធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពណ៌នារាងអេលីបជាផ្ទៃរាងពងក្រពើបិទជិត (រូបភាព 156) ។ បរិមាណ ក, ខ, គហៅ អ័ក្សអ័ក្សរាងពងក្រពើ។ ពេលណា a=b=c ellipsoid គឺ ស្វ៊ែរទី.
2. អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយក្រុម។
អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយបន្ទះ គឺជាផ្ទៃដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយចំនួន ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ (3)សមីការ (3) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយក្រុម។
កំណត់ប្រភេទផ្ទៃ (3) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមពិចារណាផ្នែកដោយយន្តហោះកូអរដោនេរបស់វា។ អុកសុី (y=0)និងអុក(x=0)។យើងទទួលបានសមីការរៀងៗខ្លួន
និងឥឡូវពិចារណាផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយយន្តហោះ z=h ស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ អុកសុី. បន្ទាត់ដែលទទួលបានក្នុងផ្នែកត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ
ឬ (4)ពីវាតាមដែលយន្តហោះ z=h ប្រសព្វអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតតាមរាងអេលីបដែលមាន semiaxes
និង ,ឈានដល់តម្លៃទាបបំផុតរបស់ពួកគេនៅ h = 0, i.e. នៅក្នុងផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតនេះ អ័ក្សកូអរដោនេ Oxy បង្កើតពងក្រពើតូចបំផុតជាមួយនឹងអ័ក្សពាក់កណ្តាល a*=a និង b*=b ។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានកំណត់
បរិមាណ a* និង b* កើនឡើងឥតកំណត់។ដូច្នេះ ផ្នែកដែលបានពិចារណាធ្វើឱ្យវាអាចពណ៌នាអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយឆ្នូតជាបំពង់គ្មានកំណត់ ពង្រីកដោយគ្មានកំណត់នៅពេលដែលវាផ្លាស់ទីទៅឆ្ងាយ (ទាំងសងខាង) ពីយន្តហោះ Oxy ។
បរិមាណ a, b, c ត្រូវបានគេហៅថាពាក់កណ្តាលអ័ក្សនៃអ៊ីពែបូឡូអ៊ីតមួយបន្ទះ។
3. អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក។
អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក គឺជាផ្ទៃដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយចំនួន ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ
សមីការ (5) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតទម្រង់ធរណីមាត្រនៃផ្ទៃ (5) ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមពិចារណាផ្នែករបស់វាដោយយន្តហោះសម្របសម្រួល Oxy និង Oyz ។ យើងទទួលបានសមីការរៀងៗខ្លួន
និងពីវាបន្ទាប់មកថាអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែក។
ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយយន្តហោះ z=h ស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ Oxy ។ បន្ទាត់ដែលទទួលបានក្នុងផ្នែកត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ
ឬ (6)ដែលវាធ្វើតាមនោះ។
>c (c>0) យន្តហោះ z=h កាត់អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតតាមបណ្តោយរាងពងក្រពើជាមួយអ័ក្សពាក់កណ្តាល និង . នៅពេលដែលតម្លៃកើនឡើង a* និង b* ក៏កើនឡើងផងដែរ។ សមីការ (6) ត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចពីរប៉ុណ្ណោះ: (0; 0; + c) និង (0; 0; - c) (យន្តហោះប៉ះផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ) ។ សមីការ (៦) កំណត់ពងក្រពើស្រមើលស្រមៃ ឧ. មិនមានចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ z=h ជាមួយអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ។បរិមាណ a, b និង c ត្រូវបានគេហៅថាពាក់កណ្តាលអ័ក្សនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក។
4. ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីតរាងអេលីប។
Paraboloid រាងអេលីប គឺជាផ្ទៃដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយចំនួន ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ
(7)ដែល p>0 និង q>0។
សមីការ (7) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ Canonical នៃ paraboloid រាងអេលីប។
ពិចារណាផ្នែកនៃផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយយន្តហោះកូអរដោនេ Oxy និង Oyz ។ យើងទទួលបានសមីការរៀងៗខ្លួន
និងពីអ្វីដែលវាធ្វើតាមដែលនៅក្នុងផ្នែក ប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានទទួល ស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សអូហ្ស ជាមួយនឹងចំនុចកំពូលនៅដើម។ (ប្រាំបី)
ដែលវាធ្វើតាមវាសម្រាប់។ នៅពេល h កើនឡើង a និង b ក៏កើនឡើង; សម្រាប់ h=0 ពងក្រពើខូចទៅជាចំណុចមួយ (យន្តហោះ z=0 ប៉ះអ៊ីពែបូអ៊ីដដែលបានផ្តល់)។ សម្រាប់ h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.
ដូច្នេះផ្នែកដែលបានពិចារណាធ្វើឱ្យវាអាចពណ៌នា paraboloid រាងអេលីបនៅក្នុងទម្រង់នៃចានរាងប៉ោងគ្មានកំណត់។
ចំណុច (0;0;0) ត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃ paraboloid; លេខ p និង q គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា។
ក្នុងករណី p=q សមីការ (8) កំណត់រង្វង់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលអ័ក្ស Oz ពោលគឺឧ។ ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីតរាងអេលីបអាចត្រូវបានមើលថាជាផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលប៉ារ៉ាបូឡាជុំវិញអ័ក្សរបស់វា (ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីតនៃបដិវត្តន៍)។
5. អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត។
អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត គឺជាផ្ទៃដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយចំនួន ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ
(9)ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាដែលជំនួសឱ្យក្រាហ្វ "ផ្ទះល្វែង" យើងនឹងពិចារណាលើផ្ទៃលំហទូទៅបំផុតហើយក៏រៀនពីរបៀបបង្កើតវាដោយដៃឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ខ្ញុំបានស្វែងរកឧបករណ៍សូហ្វវែរសម្រាប់បង្កើតគំនូរ 3D អស់មួយរយៈ ហើយបានរកឃើញកម្មវិធីល្អៗមួយចំនួន ប៉ុន្តែទោះបីជាមានភាពងាយស្រួលក្នុងការប្រើប្រាស់ក៏ដោយ កម្មវិធីទាំងនេះមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងសំខាន់មួយបានល្អនោះទេ។ ការពិតគឺថានៅក្នុងអនាគតប្រវត្តិសាស្ត្រដែលអាចមើលឃើញ សិស្សនឹងនៅតែបំពាក់ដោយបន្ទាត់ជាមួយខ្មៅដៃ ហើយថែមទាំងមានគំនូរ "ម៉ាស៊ីន" ដែលមានគុណភាពខ្ពស់ មនុស្សជាច្រើននឹងមិនអាចផ្ទេរវាឱ្យត្រឹមត្រូវទៅក្រដាសគូសទេ។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងសៀវភៅណែនាំបណ្តុះបណ្តាល ការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសគឺត្រូវយកចិត្តទុកដាក់លើបច្ចេកទេសនៃការសាងសង់ដោយដៃ ហើយផ្នែកសំខាន់នៃរូបភាពនៅលើទំព័រគឺជាផលិតផលធ្វើដោយដៃ។
តើឯកសារយោងនេះខុសពី analogues យ៉ាងដូចម្តេច?
មានបទពិសោធន៍ជាក់ស្តែងសមរម្យ ខ្ញុំដឹងយ៉ាងច្បាស់ថាតើផ្ទៃណាមួយត្រូវបានដោះស្រាយញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុងបញ្ហាពិតនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ហើយខ្ញុំសង្ឃឹមថាអត្ថបទនេះនឹងជួយអ្នកក្នុងការបំពេញវ៉ាលីរបស់អ្នកយ៉ាងឆាប់រហ័សជាមួយនឹងចំណេះដឹងពាក់ព័ន្ធ និងជំនាញអនុវត្តដែលមាន 90-95% ករណី។ គួរតែគ្រប់គ្រាន់។
តើអ្នកត្រូវដឹងអ្វីខ្លះនៅពេលនេះ?
បឋមសិក្សាបំផុត៖
ដំបូងអ្នកត្រូវមានលទ្ធភាព សាងសង់ត្រឹមត្រូវ។ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian លំហ (សូមមើលដើមអត្ថបទ ក្រាហ្វនិងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ) .
តើអ្នកនឹងទទួលបានអ្វីខ្លះបន្ទាប់ពីអានអត្ថបទនេះ?
ដប បន្ទាប់ពីធ្វើជាម្ចាស់លើសម្ភារៈនៃមេរៀន អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបកំណត់ប្រភេទនៃផ្ទៃយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយមុខងារ និង/ឬសមីការរបស់វា ស្រមៃមើលថាតើវាស្ថិតនៅលើលំហ ហើយជាការពិតណាស់ ធ្វើគំនូរ។ វាមិនអីទេ ប្រសិនបើអ្វីៗមិនសមនឹងក្បាលរបស់អ្នកពីការអានលើកទី 1 - អ្នកតែងតែអាចត្រលប់ទៅកថាខណ្ឌណាមួយតាមតម្រូវការនៅពេលក្រោយ។
ព័ត៌មានស្ថិតនៅក្នុងអំណាចរបស់មនុស្សគ្រប់រូប - សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា អ្នកមិនត្រូវការចំណេះដឹងទំនើប ទេពកោសល្យសិល្បៈពិសេស និងចក្ខុវិស័យលំហ។
ចាប់ផ្តើម!
នៅក្នុងការអនុវត្ត, ផ្ទៃ spatial ជាធម្មតាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ មុខងារនៃអថេរពីរឬសមីការនៃទម្រង់ (ថេរនៃផ្នែកខាងស្តាំគឺភាគច្រើនស្មើនឹងសូន្យឬមួយ). ការរចនាដំបូងគឺមានលក្ខណៈធម្មតាសម្រាប់ការវិភាគគណិតវិទ្យា ទីពីរ - សម្រាប់ ធរណីមាត្រវិភាគ. សមីការ, នៅក្នុងខ្លឹមសារ, គឺ ផ្តល់ឱ្យដោយប្រយោល។មុខងារនៃអថេរ 2 ដែលនៅក្នុងករណីធម្មតាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាទម្រង់ . ខ្ញុំរំលឹកអ្នកអំពីឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុតគ៖
–សមីការយន្តហោះប្រភេទ។
គឺជាមុខងាររបស់យន្តហោះនៅក្នុង យ៉ាងច្បាស់លាស់ .
តោះចាប់ផ្តើមជាមួយវា៖
សមីការយន្តហោះទូទៅ
ជម្រើសធម្មតាសម្រាប់ការរៀបចំយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតនៅដើមអត្ថបទ។ សមីការយន្តហោះ. ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ជាថ្មីម្តងទៀត យើងនឹងពឹងផ្អែកលើសមីការដែលមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការអនុវត្ត។
ជាដំបូង អ្នកត្រូវតែទទួលស្គាល់យ៉ាងពេញលេញនូវសមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ។ បំណែកនៃយន្តហោះត្រូវបានបង្ហាញតាមស្តង់ដារជាចតុកោណកែង ដែលក្នុងករណីពីរចុងក្រោយមើលទៅដូចជាប៉ារ៉ាឡែល។ តាមលំនាំដើម អ្នកអាចជ្រើសរើសវិមាត្រណាមួយ (ជាការពិតណាស់ក្នុងដែនកំណត់សមហេតុផល) ខណៈពេលដែលវាជាការចង់បានដែលថាចំនុចដែលអ័ក្សកូអរដោនេ "ទម្លុះ" យន្តហោះគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី៖ 
និយាយយ៉ាងតឹងរឹង អ័ក្សកូអរដោនេនៅកន្លែងខ្លះគួរតែត្រូវបានបង្ហាញដោយបន្ទាត់ចំនុច ប៉ុន្តែដើម្បីជៀសវាងការភាន់ច្រលំ យើងនឹងធ្វេសប្រហែសទៅលើភាពខុសប្លែកគ្នានេះ។
– (គំនូរខាងឆ្វេង)វិសមភាពកំណត់ចន្លោះពាក់កណ្តាលឆ្ងាយបំផុតពីយើង ដោយមិនរាប់បញ្ចូលយន្តហោះខ្លួនឯង។
– (គំនូរមធ្យម)វិសមភាពកំណត់ចន្លោះពាក់កណ្តាលត្រឹមត្រូវ រួមទាំងយន្តហោះ ;
– (គំនូរខាងស្តាំ)វិសមភាពទ្វេបញ្ជាក់ពី "ស្រទាប់" ដែលស្ថិតនៅចន្លោះយន្តហោះ រួមទាំងយន្តហោះទាំងពីរ។
សម្រាប់ការហាត់ប្រាណដោយខ្លួនឯង៖
ឧទាហរណ៍ ១
គូររាងកាយដែលចងដោយយន្តហោះ
រៀបចំប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពដែលកំណត់រាងកាយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
អ្នកស្គាល់គ្នាចាស់គួរតែចេញពីក្រោមការដឹកនាំនៃខ្មៅដៃរបស់អ្នក។ គូប. កុំភ្លេចថាគែម និងមុខដែលមើលមិនឃើញត្រូវតែគូសដោយបន្ទាត់ចំនុច។ បានបញ្ចប់ការគូរនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
មិនអីទេ, កុំធ្វេសប្រហែសកិច្ចការរៀន ទោះបីជាវាហាក់ដូចជាសាមញ្ញពេកក៏ដោយ។ បើមិនដូច្នោះទេ វាអាចនឹងប្រែថាពួកគេបានខកខានម្តង ខកខានពីរដង ហើយបន្ទាប់មកបានចំណាយពេលមួយម៉ោងដើម្បីគូររូបបីវិមាត្រក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងមួយចំនួន។ លើសពីនេះ ការងារមេកានិកនឹងជួយរៀនសម្ភារៈកាន់តែមានប្រសិទ្ធភាព និងអភិវឌ្ឍភាពវៃឆ្លាត! វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលនៅក្នុងសាលាមត្តេយ្យ និងបឋមសិក្សា កុមារត្រូវបានផ្ទុកទៅដោយគំនូរ គំរូ អ្នករចនា និងការងារផ្សេងទៀតសម្រាប់ជំនាញម៉ូតូដ៏ល្អនៃម្រាមដៃ។ អត់ទោសឱ្យខ្ញុំចំពោះភាពច្របូកច្របល់ ប៉ុន្តែសៀវភៅកត់ត្រាពីររបស់ខ្ញុំស្តីពីចិត្តវិទ្យាអភិវឌ្ឍន៍មិនគួរបាត់ =)
យើងនឹងហៅក្រុមយន្តហោះខាងក្រោមតាមលក្ខខណ្ឌថា "សមាមាត្រផ្ទាល់" - ទាំងនេះគឺជាយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សកូអរដោនេ៖
2) សមីការនៃទម្រង់កំណត់យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស;
3) សមីការនៃទម្រង់កំណត់យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស។
ទោះបីជាសញ្ញាផ្លូវការគឺជាក់ស្តែង (អថេរដែលបាត់ក្នុងសមីការ - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សនោះ)វាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង៖
ឧទាហរណ៍ ២
បង្កើតយន្តហោះ
តើអ្វីជាវិធីល្អបំផុតដើម្បីសាងសង់? ខ្ញុំស្នើក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោម៖
ដំបូងយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ដែលវាត្រូវបានគេមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថា "y" អាចយក ណាមួយ។តម្លៃ។ យើងជួសជុលតម្លៃ ពោលគឺយើងនឹងពិចារណាលើយន្តហោះកូអរដោណេ។ សមីការដែលបានកំណត់ បន្ទាត់លំហដេកនៅក្នុងយន្តហោះកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តោះគូរបន្ទាត់នេះនៅលើគំនូរ។ បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើមដូច្នេះដើម្បីសាងសង់វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកចំណុចមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ ដាក់ចំនុចមួយឡែក ហើយគូសបន្ទាត់។
ឥឡូវនេះត្រលប់ទៅសមីការយន្តហោះវិញ។ ចាប់តាំងពី "y" យក ណាមួយ។តម្លៃបន្ទាប់មកបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានសាងសង់នៅក្នុងយន្តហោះត្រូវបានបន្ត "ចម្លង" ទៅខាងឆ្វេងនិងទៅខាងស្តាំ។ នេះជារបៀបដែលយន្តហោះរបស់យើងត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលឆ្លងកាត់អ័ក្ស។ ដើម្បីបញ្ចប់គំនូរ នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ យើងដាក់ឡែកបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ ហើយ "បិទ" ប៉ារ៉ាឡែលនិមិត្តសញ្ញាជាមួយនឹងផ្នែកផ្ដេកឆ្លងកាត់៖ 
ដោយសារលក្ខខណ្ឌមិនដាក់កម្រិតបន្ថែម បំណែកនៃយន្តហោះអាចត្រូវបានបង្ហាញថាតូចជាង ឬធំជាងបន្តិច។
ជាថ្មីម្តងទៀត យើងនិយាយឡើងវិញនូវអត្ថន័យនៃវិសមភាពលីនេអ៊ែរ spatial ដោយប្រើឧទាហរណ៍។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ចន្លោះពាក់កណ្តាលដែលវាកំណត់? សូមលើកយកចំណុចមួយ។ មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិឧទាហរណ៍ ចំណុចមួយពីចន្លោះពាក់កណ្តាលដែលនៅជិតយើងបំផុត ហើយជំនួសកូអរដោនេរបស់វាទៅជាវិសមភាព៖
បានទទួល វិសមភាពត្រឹមត្រូវ។ដែលមានន័យថា វិសមភាពកំណត់លំហទាប (ទាក់ទងនឹងយន្តហោះ) ពាក់កណ្តាលលំហ ខណៈយន្តហោះខ្លួនឯងមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងដំណោះស្រាយ។
ឧទាហរណ៍ ៣
បង្កើតយន្តហោះ
ក) ;
ខ) ។
ទាំងនេះគឺជាភារកិច្ចសម្រាប់ការសាងសង់ដោយខ្លួនឯងក្នុងករណីមានការលំបាកសូមប្រើហេតុផលស្រដៀងគ្នា។ ការណែនាំខ្លីៗ និងគំនូរនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង យន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្សគឺជារឿងធម្មតាជាពិសេស។ ករណីពិសេសមួយ នៅពេលដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស គឺគ្រាន់តែនៅក្នុងកថាខណ្ឌ "b" ហើយឥឡូវនេះ យើងនឹងវិភាគបញ្ហាទូទៅបន្ថែមទៀត៖
ឧទាហរណ៍ 4
បង្កើតយន្តហោះ
ការសម្រេចចិត្ត៖ អថេរ "z" មិនចូលរួមយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងសមីការ ដែលមានន័យថា យន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្សអនុវត្ត។ ចូរយើងប្រើបច្ចេកទេសដូចគ្នានឹងឧទាហរណ៍ពីមុន។
ចូរយើងសរសេរសមីការយន្តហោះឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 
វាច្បាស់ណាស់ថា "Z" អាចទទួលយកបាន។ ណាមួយ។តម្លៃ។ ចូរជួសជុលវាហើយនៅក្នុងយន្តហោះ "ដើម" គូរបន្ទាត់ត្រង់ "ផ្ទះល្វែង" ធម្មតា។ ដើម្បីសាងសង់វាងាយស្រួលយកចំណុចយោង។
ចាប់តាំងពី "Z" យក ទាំងអស់។តម្លៃ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានសាងសង់បន្ត "គុណ" ឡើងលើ និងចុះក្រោម ដោយហេតុនេះបង្កើតជាយន្តហោះដែលចង់បាន 
. គូរដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវប្រលេឡូក្រាមនៃទំហំសមហេតុផល៖ 
រួចរាល់។
សមីការនៃយន្តហោះក្នុងផ្នែក
ប្រភេទនៃការអនុវត្តដ៏សំខាន់បំផុត។ ប្រសិនបើ ក ទាំងអស់។ហាងឆេង សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ ខុសពីសូន្យបន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជា 
ដែលត្រូវបានគេហៅថា សមីការយន្តហោះជាផ្នែក. ជាក់ស្តែង យន្តហោះកាត់អ័ក្សកូអរដោនេនៅចំណុច ហើយអត្ថប្រយោជន៍ដ៏អស្ចារ្យនៃសមីការបែបនេះគឺភាពងាយស្រួលក្នុងការគូរ៖
ឧទាហរណ៍ ៥
បង្កើតយន្តហោះ
ការសម្រេចចិត្ត៖ ដំបូងយើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះជាផ្នែក។ បោះពាក្យសេរីទៅខាងស្តាំ ហើយចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ 12៖ 
ទេ នេះមិនមែនជាការវាយខុសទេ ហើយអ្វីៗទាំងអស់កើតឡើងនៅក្នុងលំហ! យើងពិនិត្យមើលផ្ទៃដែលបានស្នើឡើងដោយវិធីសាស្ត្រដូចគ្នាដែលថ្មីៗនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់សម្រាប់យន្តហោះ។ យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 
ពីដែលវាធ្វើតាម "Z" យក ណាមួយ។តម្លៃ។ យើងជួសជុលនិងសាងសង់រាងពងក្រពើនៅក្នុងយន្តហោះ។ ចាប់តាំងពី "Z" យក ទាំងអស់។តម្លៃ បន្ទាប់មកពងក្រពើដែលបានសាងសង់ត្រូវបានបន្ត "ចម្លង" ឡើងលើ និងចុះក្រោម។ វាងាយស្រួលក្នុងការយល់ថាផ្ទៃ គ្មានទីបញ្ចប់:
ផ្ទៃនេះត្រូវបានគេហៅថា ស៊ីឡាំងរាងអេលីប. ពងក្រពើ (នៅកម្ពស់ណាមួយ) ត្រូវបានគេហៅថា ណែនាំស៊ីឡាំង និងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលឆ្លងកាត់ចំណុចនីមួយៗនៃរាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កើតស៊ីឡាំង (ដែលបង្កើតវាតាមន័យត្រង់) ។ អ័ក្សគឺ អ័ក្សស៊ីមេទ្រីផ្ទៃ (ប៉ុន្តែមិនមែនជាផ្នែកមួយនៃវាទេ!)
កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យចាំបាច់បំពេញសមីការ 
.
លំហវិសមភាពកំណត់ "ខាងក្នុង" នៃ "បំពង់" ដែលគ្មានកំណត់ រួមទាំងផ្ទៃស៊ីឡាំងដោយខ្លួនឯង ហើយតាមនោះ វិសមភាពផ្ទុយគ្នាកំណត់សំណុំនៃចំណុចនៅខាងក្រៅស៊ីឡាំង។
នៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងករណីពេញនិយមបំផុតគឺនៅពេលណា ណែនាំស៊ីឡាំងគឺ រង្វង់:
ឧទាហរណ៍ ៨
សាងសង់ផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ
វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការពណ៌នា "បំពង់" ដែលគ្មានទីបញ្ចប់ដូច្នេះសិល្បៈត្រូវបានកំណត់ជាក្បួនទៅ "កាត់" ។
ទីមួយ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតរង្វង់កាំនៅក្នុងយន្តហោះ ហើយបន្ទាប់មករង្វង់ពីរទៀតខាងលើ និងខាងក្រោម។ រង្វង់លទ្ធផល ( មគ្គុទ្ទេសក៍ស៊ីឡាំង) ភ្ជាប់យ៉ាងស្អាតដោយបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែលបួន ( ការបង្កើតស៊ីឡាំង): 
កុំភ្លេចប្រើបន្ទាត់ចំនុចសម្រាប់បន្ទាត់មើលមិនឃើញ។
កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ស៊ីឡាំងដែលបានផ្តល់ឱ្យបំពេញសមីការ 
. កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលស្ថិតនៅយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅខាងក្នុង "បំពង់" បំពេញនូវវិសមភាព 
និងវិសមភាព 
កំណត់សំណុំនៃចំណុចនៃផ្នែកខាងក្រៅ។ សម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែប្រសើរ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យពិចារណាចំណុចជាក់លាក់មួយចំនួននៅក្នុងលំហ ហើយមើលដោយខ្លួនឯង។
ឧទាហរណ៍ ៩
សាងសង់ផ្ទៃមួយ ហើយស្វែងរកការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើយន្តហោះ
យើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ 
ដែលវាធ្វើតាមដែល "x" យក ណាមួយ។តម្លៃ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជួសជុលនិងគូរនៅក្នុងយន្តហោះ រង្វង់- ផ្តោតលើប្រភពដើម កាំឯកតា។ ចាប់តាំងពី "x" បន្តទទួលយក ទាំងអស់។តម្លៃ បន្ទាប់មករង្វង់ដែលបានសាងសង់បង្កើតស៊ីឡាំងរាងជារង្វង់ដែលមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រី។ គូររង្វង់មួយទៀត ណែនាំស៊ីឡាំង) ហើយភ្ជាប់ពួកវាដោយប្រុងប្រយ័ត្នជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ ( ការបង្កើតស៊ីឡាំង) ។ នៅកន្លែងខ្លះ ការត្រួតលើគ្នាបានប្រែទៅជាចេញ ប៉ុន្តែអ្វីដែលត្រូវធ្វើ ជម្រាលបែបនេះ៖ 
លើកនេះខ្ញុំបានដាក់កម្រិតខ្លួនខ្ញុំទៅផ្នែកមួយនៃស៊ីឡាំងនៅក្នុងគម្លាត ហើយនេះមិនមែនជាការចៃដន្យទេ។ នៅក្នុងការអនុវត្តវាជាញឹកញាប់ចាំបាច់ដើម្បីពណ៌នាតែបំណែកតូចមួយនៃផ្ទៃ។
នៅទីនេះដោយវិធីនេះវាបានប្រែក្លាយ 6 ជំនាន់ - បន្ទាត់ត្រង់ពីរបន្ថែមទៀត "បិទ" ផ្ទៃពីជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើនិងខាងក្រោមស្តាំ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងការព្យាករនៃស៊ីឡាំងនៅលើយន្តហោះ។ អ្នកអានជាច្រើនយល់ថាអ្វីជាការព្យាករណ៍ ប៉ុន្តែទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងចំណាយលើការអប់រំកាយរយៈពេលប្រាំនាទីទៀត។ សូមក្រោកឈរឡើង ហើយផ្អៀងក្បាលរបស់អ្នកពីលើគំនូរ ដើម្បីឱ្យចុងអ័ក្សមើលទៅកាត់កែងទៅនឹងថ្ងាសរបស់អ្នក។ អ្វីដែលរាងស៊ីឡាំងមើលពីមុំនេះគឺការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ។ ប៉ុន្តែវាហាក់ដូចជាបន្ទះគ្មានទីបញ្ចប់ ដែលរុំព័ទ្ធរវាងបន្ទាត់ត្រង់ រួមទាំងបន្ទាត់ត្រង់ខ្លួនឯងផងដែរ។ ការព្យាករណ៍នេះគឺពិតប្រាកដ ដែនមុខងារ (“ បំពង់ទឹក” ខាងលើនៃស៊ីឡាំង), (“ លូទឹក” ខាងក្រោម) ។
ដោយវិធីនេះ ចូរយើងបញ្ជាក់ពីស្ថានភាពជាមួយនឹងការព្យាករលើយន្តហោះសម្របសម្រួលផ្សេងទៀត។ សូមឱ្យកាំរស្មីនៃព្រះអាទិត្យរះនៅលើស៊ីឡាំងពីចំហៀងនៃព័ត៌មានជំនួយនិងតាមអ័ក្ស។ ស្រមោល (ការព្យាករ) នៃស៊ីឡាំងនៅលើយន្តហោះគឺជាបន្ទះគ្មានកំណត់ស្រដៀងគ្នា - ផ្នែកមួយនៃយន្តហោះដែលចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ (-ណាមួយ) រួមទាំងបន្ទាត់ត្រង់ខ្លួនឯង។
ប៉ុន្តែការព្យាករលើយន្តហោះមានលក្ខណៈខុសគ្នាខ្លះ។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលស៊ីឡាំងពីចុងអ័ក្ស នោះវាត្រូវបានព្យាករទៅជារង្វង់នៃកាំឯកតា 
ជាមួយនឹងការដែលយើងបានចាប់ផ្តើមការសាងសង់។
ឧទាហរណ៍ 10
សាងសង់ផ្ទៃមួយ និងស្វែងរកការព្យាករណ៍របស់វានៅលើយន្តហោះសម្របសម្រួល
នេះគឺជាភារកិច្ចសម្រាប់ការសម្រេចចិត្តឯករាជ្យ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមិនច្បាស់ទេ ចូរដាក់ការ៉េទាំងសងខាង ហើយវិភាគលទ្ធផល។ ស្វែងយល់ឱ្យច្បាស់ថាតើផ្នែកណានៃស៊ីឡាំងដែលមុខងារបញ្ជាក់។ ប្រើបច្ចេកទេសសំណង់ដែលបានប្រើម្តងហើយម្តងទៀតខាងលើ។ ដំណោះស្រាយសង្ខេប គំនូរ និងមតិយោបល់នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ផ្ទៃរាងអេលីប និងផ្ទៃរាងស៊ីឡាំងផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានអុហ្វសិតទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេឧទាហរណ៍៖
(នៅលើមូលដ្ឋានដែលធ្លាប់ស្គាល់នៃអត្ថបទអំពី លំដាប់ទី 2)
- ស៊ីឡាំងនៃកាំឯកតាដែលមានបន្ទាត់ស៊ីមេទ្រីឆ្លងកាត់ចំណុចស្របទៅនឹងអ័ក្ស។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង ស៊ីឡាំងបែបនេះជួបប្រទះកម្រណាស់ ហើយវាពិតជាមិនគួរឱ្យជឿក្នុងការជួបនឹងផ្ទៃរាងស៊ីឡាំង "oblique" ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។
ស៊ីឡាំងប៉ារ៉ាបូល
ដូចដែលឈ្មោះបានបង្ហាញ, ណែនាំស៊ីឡាំងបែបនេះ ប៉ារ៉ាបូឡា.
ឧទាហរណ៍ 11
សាងសង់ផ្ទៃមួយ ហើយស្វែងរកការព្យាករណ៍របស់វានៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។
មិនអាចទប់ទល់នឹងឧទាហរណ៍នេះទេ =)
ការសម្រេចចិត្ត៖ យើងដើរតាមផ្លូវដែលគេវាយដំ។ ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ដែលវាធ្វើតាមថា "Z" អាចយកតម្លៃណាមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជួសជុល និងសាងសង់ប៉ារ៉ាបូឡាធម្មតានៅលើយន្តហោះ ដោយបានសម្គាល់ចំណុចយោងដែលមិនសូវសំខាន់ពីមុន។ ចាប់តាំងពី "Z" យក ទាំងអស់។តម្លៃ បន្ទាប់មកប៉ារ៉ាបូឡាដែលបានសាងសង់ត្រូវបានបន្ត "ចម្លង" ឡើងលើ និងចុះក្រោមរហូតដល់គ្មានកំណត់។ យើងទុកប៉ារ៉ាបូឡាដូចគ្នាដោយនិយាយថានៅកម្ពស់មួយ (នៅក្នុងយន្តហោះ) ហើយភ្ជាប់ពួកវាដោយប្រុងប្រយ័ត្នជាមួយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល ( ម៉ាស៊ីនភ្លើងនៃស៊ីឡាំង): 
ខ្ញុំរំលឹក បច្ចេកទេសមានប្រយោជន៍៖ ប្រសិនបើដំបូងមិនមានទំនុកចិត្តលើគុណភាពនៃគំនូរទេនោះ វាជាការប្រសើរក្នុងការគូសបន្ទាត់ស្តើង និងស្តើងជាមុនសិនដោយខ្មៅដៃ។ បន្ទាប់មកយើងវាយតម្លៃគុណភាពនៃគំនូរព្រាង រកមើលកន្លែងដែលផ្ទៃត្រូវបានលាក់ពីភ្នែករបស់យើង ហើយមានតែពេលនោះទេដែលយើងដាក់សម្ពាធទៅលើស្ទីលឡូស។
ការព្យាករណ៍។
1) ការព្យាករណ៍នៃស៊ីឡាំងលើយន្តហោះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាក្នុងករណីនេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការនិយាយអំពី ដែននៃមុខងារនៃអថេរពីរ- សម្រាប់ហេតុផលដែលសមីការនៃស៊ីឡាំងមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មុខងារ។
2) ការព្យាករនៃស៊ីឡាំងនៅលើយន្តហោះគឺពាក់កណ្តាលយន្តហោះរួមទាំងអ័ក្ស
3) ហើយទីបំផុតការព្យាករនៃស៊ីឡាំងទៅលើយន្តហោះគឺជាយន្តហោះទាំងមូល។
ឧទាហរណ៍ 12
បង្កើតស៊ីឡាំងប៉ារ៉ាបូល៖
ក) ដាក់កម្រិតខ្លួនយើងទៅនឹងបំណែកនៃផ្ទៃនៅក្នុងចន្លោះជិតពាក់កណ្តាល;
ខ) នៅចន្លោះ
ក្នុងករណីមានការលំបាក យើងមិនប្រញាប់ប្រញាល់ទេ ហើយជជែកគ្នាដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយឧទាហរណ៍មុនៗ ជាសំណាងល្អ បច្ចេកវិទ្យាត្រូវបានដំណើរការយ៉ាងល្អិតល្អន់។ វាមិនសំខាន់ទេប្រសិនបើផ្ទៃខាងក្រៅមានភាពច្របូកច្របល់បន្តិច - វាជាការសំខាន់ក្នុងការបង្ហាញរូបភាពមូលដ្ឋានឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់មិនធុញទ្រាន់នឹងភាពស្រស់ស្អាតនៃបន្ទាត់នោះទេ ប្រសិនបើខ្ញុំទទួលបានគំនូរ "C grade" ដែលអាចអត់ឱនបាន ជាធម្មតាខ្ញុំមិនធ្វើវាឡើងវិញទេ។ នៅក្នុងដំណោះស្រាយគំរូ ដោយវិធីនេះ បច្ចេកទេសមួយបន្ថែមទៀតត្រូវបានប្រើដើម្បីកែលម្អគុណភាពនៃគំនូរ ;-)
ស៊ីឡាំងអ៊ីពែរបូល
មគ្គុទ្ទេសក៍ស៊ីឡាំងបែបនេះគឺអ៊ីពែបូឡា។ ប្រភេទនៃផ្ទៃនេះ យោងទៅតាមការសង្កេតរបស់ខ្ញុំគឺកម្រជាងប្រភេទមុនៗ ដូច្នេះខ្ញុំនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនខ្ញុំទៅនឹងការគូរប្លង់តែមួយនៃស៊ីឡាំងអ៊ីពែរបូល៖ 
គោលការណ៍នៃហេតុផលនៅទីនេះគឺដូចគ្នា - ធម្មតា។ hyperbole សាលាពីយន្តហោះបន្ត "គុណ" ឡើងលើនិងចុះក្រោមរហូតដល់គ្មានកំណត់។
ស៊ីឡាំងដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ្វីដែលគេហៅថា ផ្ទៃនៃលំដាប់ទី 2ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងបន្តស្គាល់អ្នកតំណាងផ្សេងទៀតនៃក្រុមនេះ៖
រាងពងក្រពើ។ ស្វ៊ែរនិងបាល់
សមីការ Canonical នៃ ellipsoid នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមានទម្រង់ 
តើលេខវិជ្ជមាននៅឯណា ( អ័ក្សអ័ក្ស ellipsoid) ដែលក្នុងករណីទូទៅ ខុសគ្នា. រាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថា ផ្ទៃ, និង រាងកាយជាប់នឹងផ្ទៃនេះ។ រាងកាយដូចដែលមនុស្សជាច្រើនបានទាយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយវិសមភាព 
ហើយកូអរដោនេនៃចំណុចខាងក្នុងណាមួយ (ក៏ដូចជាចំណុចផ្ទៃណាមួយ) ចាំបាច់បំពេញនូវវិសមភាពនេះ។ ការរចនាគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ និងប្លង់កូអរដោនេ៖ 
ប្រភពដើមនៃពាក្យ "ellipsoid" គឺច្បាស់ផងដែរ: ប្រសិនបើផ្ទៃត្រូវបាន "កាត់" ដោយយន្តហោះសម្របសម្រួលនោះនៅក្នុងផ្នែកនឹងមានបីផ្សេងគ្នា (ក្នុងករណីទូទៅ) ។
