ពិចារណាលើលំដាប់នៃការសាកល្បងឯករាជ្យ $n$ ក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗដែល $A$ អាចកើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ $p$ ឬមិនកើតឡើង — ជាមួយប្រូបាប៊ីលីតេ $q=1-p$។ បញ្ជាក់ដោយ ទំ ន (k) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍ $A$ កើតឡើងពិតប្រាកដ $k$ ដងចេញពី $n$ អាចធ្វើទៅបាន។
ក្នុងករណីនោះតម្លៃ ទំ ន(k) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Bernoulli (សូមមើលមេរៀន "គ្រោងការណ៍របស់ Bernoulli ។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា"):
ទ្រឹស្តីបទនេះដំណើរការល្អ ប៉ុន្តែវាមានគុណវិបត្តិ។ ប្រសិនបើ $n$ ធំល្មម ស្វែងរកតម្លៃ ទំ ន (k) ក្លាយជាមិនប្រាកដនិយម ដោយសារចំនួនដ៏ច្រើននៃការគណនា។ ក្នុងករណីនេះវាដំណើរការ ទ្រឹស្តីបទ Local de Moivre-Laplaceដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រូបាប៊ីលីតេ៖
ទ្រឹស្តីបទ Local de Moivre-Laplace ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងគ្រោងការណ៍ Bernoulli លេខ $n$ មានទំហំធំ ហើយលេខ $p$ គឺខុសពីលេខ 0 និង 1 នោះ៖
អនុគមន៍ φ ( x) ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារ Gaussian ។ តម្លៃរបស់វាត្រូវបានគណនាជាយូរមកហើយហើយបញ្ចូលក្នុងតារាងដែលអាចប្រើបានសូម្បីតែនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡង។
មុខងារ Gaussian មានលក្ខណៈសម្បត្តិពីរដែលត្រូវចងចាំនៅពេលធ្វើការជាមួយតារាងតម្លៃ៖
- φ (− x) = φ ( x) - មុខងារ Gaussian - សូម្បីតែ;
- សម្រាប់តម្លៃធំ xយើងមាន៖ φ ( x) ≈ 0.
ទ្រឹស្តីបទ de Moivre-Laplace ក្នុងស្រុកផ្តល់នូវការប្រហាក់ប្រហែលដ៏ល្អនៃរូបមន្ត Bernoulli ប្រសិនបើចំនួននៃការសាកល្បង នធំល្មម។ ជាការពិតណាស់ពាក្យថា "ចំនួននៃការសាកល្បងមានទំហំធំល្មម" គឺបំពានខ្លាំងណាស់ ហើយប្រភពផ្សេងៗគ្នាផ្តល់លេខខុសៗគ្នា។ ឧទាហរណ៍:
- តម្រូវការទូទៅមួយគឺ៖ នទំ q> 10. ប្រហែលជានេះជាដែនកំណត់អប្បបរមា។
- អ្នកផ្សេងទៀតណែនាំថារូបមន្តនេះដំណើរការត្រឹមតែ $n> 100$ និង នទំ q > 20.
តាមគំនិតខ្ញុំ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយគ្រាន់តែមើលស្ថានភាពនៃបញ្ហា។ ប្រសិនបើអ្នកអាចមើលឃើញថាទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ស្ដង់ដារមិនដំណើរការដោយសារតែចំនួនដ៏ច្រើននៃការគណនា (ឧទាហរណ៍ គ្មាននរណាម្នាក់នឹងរាប់លេខ 58! ឬ 45!) សូមមានអារម្មណ៍សេរីក្នុងការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace ក្នុងស្រុក។
លើសពីនេះ តម្លៃនៃប្រូបាប៊ីលីតេ $q$ និង $p$ កាន់តែជិតដល់ 0.5 នោះរូបមន្តកាន់តែត្រឹមត្រូវ។ ហើយផ្ទុយទៅវិញ សម្រាប់តម្លៃបន្ទាត់ព្រំដែន (នៅពេល $p$ ជិតដល់ 0 ឬ 1) ទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace ក្នុងតំបន់ផ្តល់នូវកំហុសដ៏ធំមួយ ដែលខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ពិតប្រាកដ។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយសូមប្រយ័ត្ន! គ្រូបង្រៀនជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងខ្លួនឯងធ្វើកំហុសក្នុងការគណនាបែបនេះ។ ការពិតគឺថាចំនួនកុំផ្លិចដោយស្មើភាពដែលមានឫសការ៉េនព្វន្ធ និងប្រភាគត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងអនុគមន៍ Gaussian ។ លេខនេះត្រូវតែរកឃើញសូម្បីតែមុនពេលជំនួសមុខងារ។ ចូរយើងពិចារណាអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងលើកិច្ចការជាក់លាក់៖
កិច្ចការ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមានកូនប្រុសគឺ 0.512 ។ រកមើលប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមទារកទើបនឹងកើត 100 នាក់នឹងមានក្មេងប្រុស 51 យ៉ាងពិតប្រាកដ។
ដូច្នេះការធ្វើតេស្តសរុបយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli ន= 100. លើសពីនេះទៀត p = 0.512, q= 1 − ទំ = 0.488 ។
ដរាបណា ន= 100 គឺជាចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់ យើងនឹងធ្វើការយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Local de Moivre-Laplace ។ សម្គាល់ឃើញថា នទំ q= 100 0.512 0.488 ≈ 25 > 20. យើងមាន៖
ចាប់តាំងពីយើងបង្គត់តម្លៃ នទំ qដល់ចំនួនគត់ ចម្លើយក៏អាចបង្គត់៖ 0.07972 ≈ 0.08 ។ វាមិនសមហេតុផលទេក្នុងការគិតគូរពីចំនួនដែលនៅសល់។
កិច្ចការ។ ការផ្លាស់ប្តូរទូរស័ព្ទបម្រើអតិថិជន 200 នាក់។ សម្រាប់អតិថិជនម្នាក់ៗ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលគាត់នឹងហៅទៅស្ថានីយក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោងគឺ 0.02។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអ្នកជាវ 5 នាក់នឹងទូរស័ព្ទមកក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោង។
យោងតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli ។ ន= 200, ទំ = 0,02, q= 1 - ទំ = 0.98 ។ សម្គាល់ឃើញថា ន= 200 មិនមែនជាលេខខ្សោយទេ ដូច្នេះយើងប្រើទ្រឹស្តីបទ Local De Moivre-Laplace ។ ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរក នទំ q\u003d 200 0.02 0.98 ≈ 4. ជាការពិតណាស់ 4 គឺតូចពេក ដូច្នេះលទ្ធផលនឹងមិនត្រឹមត្រូវទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមាន៖
ចូរបង្គត់ចម្លើយទៅខ្ទង់ទសភាគទីពីរ៖ 0.17605 ≈ 0.18 ។ វានៅតែគ្មានន័យក្នុងការពិចារណាអំពីតួអក្សរបន្ថែមទៀត ចាប់តាំងពីយើងបង្គត់ នទំ q= 3.92 ≈ 4 (រហូតដល់ការេពិតប្រាកដមួយ) ។
កិច្ចការ។ ហាងនេះបានទទួលវ៉ដូកាចំនួន ១០០០ ដប។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលដបបែកក្នុងពេលឆ្លងកាត់គឺ 0.003 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលហាងទទួលបានដបដែលខូចចំនួនពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ។
យោងតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli យើងមាន: ន= 1000, ទំ = 0.003, q= 0.997 ។ ពីទីនេះ នទំ q= 2.991 ≈ 1.73 2 (ជ្រើសរើសការ៉េពិតប្រាកដដែលនៅជិតបំផុត) ។ ចាប់តាំងពីលេខ ន= 1000 គឺធំល្មម យើងជំនួសលេខទាំងអស់ទៅក្នុងរូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace មូលដ្ឋាន៖
យើងទុកខ្ទង់ទសភាគមួយដោយចេតនា (តាមពិតទៅ វានឹងប្រែទៅជា 0.1949...) ចាប់តាំងពីដំបូងយើងប្រើការប៉ាន់ស្មានរដុប។ ជាពិសេស៖ 2.991 ≈ 1.73 2 . បីដងក្នុងភាគយកនៅខាងក្នុងអនុគមន៍ Gaussian កើតចេញពីកន្សោម ន p = 1000 0.003 = 3 ។
ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង 
នៅក្នុងការធ្វើតេស្តនីមួយៗគឺថេរ និងបំពេញនូវវិសមភាពទ្វេ 
និងចំនួននៃការសាកល្បងឯករាជ្យ 
ធំល្មម បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេ 
អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែលខាងក្រោម
(14) ,
ដែលដែនកំណត់នៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព
រូបមន្ត (14) គឺកាន់តែត្រឹមត្រូវ ចំនួននៃការធ្វើតេស្តកាន់តែច្រើននៅក្នុងការពិសោធន៍នេះ។
ដោយផ្អែកលើសមភាព (13) រូបមន្ត (14) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា
(15)
.
(16)
(N.F.L)
យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញបំផុតនៃមុខងារ 
:
ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយគឺទាក់ទងទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ Gaussian
.
មុខងារ 
សេស ជាការពិតបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរអថេរ 
=
;
ដើម្បីពិនិត្យមើលទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីធ្វើគំនូរ។ តាមការវិភាគ វាទាក់ទងទៅនឹងអ្វីដែលហៅថា អាំងតេក្រាល Poisson មិនត្រឹមត្រូវ។
វាធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនេះថាសម្រាប់លេខទាំងអស់។ 
វាអាចត្រូវបានសន្មត់ថា 
ដូច្នេះតម្លៃទាំងអស់នៃអនុគមន៍នេះមានទីតាំងនៅក្នុងផ្នែក [-0.5; 0.5] ខណៈពេលដែលតូចបំផុតគឺ 
បន្ទាប់មកមុខងារលូតលាស់យឺត ៗ ហើយបាត់ទៅវិញ i.e. 
ហើយបន្ទាប់មកកើនឡើងដល់ 
ដូច្នេះនៅលើបន្ទាត់ពិតប្រាកដទាំងមូលគឺជាមុខងារកើនឡើងយ៉ាងតឹងរឹង i.e. ប្រសិនបើ 
បន្ទាប់មក 
គួរកត់សម្គាល់ថាការសន្និដ្ឋាននៃទ្រព្យសម្បត្តិ 2 សម្រាប់មុខងារ 
ត្រូវបានរាប់ជាសុចរិតនៅលើមូលដ្ឋាននៃអាំងតេក្រាល Poisson មិនត្រឹមត្រូវ។
មតិយោបល់។នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលតម្រូវឱ្យអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace អាំងតេក្រាល តារាងពិសេសត្រូវបានប្រើប្រាស់។ តារាងផ្តល់តម្លៃសម្រាប់អាគុយម៉ង់វិជ្ជមាន 
និងសម្រាប់ 
; សម្រាប់តម្លៃ 
អ្នកគួរតែប្រើតារាងដូចគ្នា ដោយគិតគូរពីសមភាព 
លើសពីនេះទៀតដើម្បីប្រើតារាងមុខងារ 
យើងបំប្លែងសមភាព (១៥) ដូចតទៅ៖
ហើយផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិ 2 (សេស 
) ដោយគិតគូរពីភាពស្មើគ្នានៃអាំងតេក្រាល យើងទទួលបាន
=
.
ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ 
នឹងបង្ហាញនៅក្នុង 
យ៉ាងហោចណាស់ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ 
ម្តង និងមិនមានទៀតទេ 
ដងត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖
(17)
;
ឧទាហរណ៍ 12. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.75 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាជាមួយនឹងការបាញ់ចំនួន 300 ដង គោលដៅនឹងត្រូវបានវាយប្រហារយ៉ាងហោចណាស់ 150 និងយ៉ាងហោចណាស់ 250 ដង។
ការសម្រេចចិត្ត:
នៅទីនេះ 
,
,
,
,
. គណនា
,
,
,
.
ការជំនួសទៅក្នុងរូបមន្តអាំងតេក្រាល Laplace យើងទទួលបាន
នៅក្នុងការអនុវត្តរួមជាមួយនឹងសមភាព (16) រូបមន្តមួយផ្សេងទៀតត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ហៅថា " អាំងតេក្រាលប្រូបាប៊ីលីតេ» ឬមុខងារ Laplace (សូមមើលព័ត៌មានលម្អិតបន្ថែមក្នុងជំពូក 2., ផ្នែកទី 9., T.9.)។
(I.V. ឬ F.L.)
សម្រាប់មុខងារនេះ សមភាពគឺពិត៖
ដូច្នេះវាទាក់ទងនឹងមុខងារដែលបានកំណត់ 
ដូច្នេះហើយ ក៏មានតារាងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធនៅចុងបញ្ចប់នៃសៀវភៅ)។
ឧទាហរណ៍ 13ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកនេះមិនបានឆ្លងកាត់ការត្រួតពិនិត្យរបស់នាយកដ្ឋានត្រួតពិនិត្យគុណភាពគឺ 0.2 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោម 400 ផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យនៃផ្នែកដែលមិនបានបញ្ជាក់នឹងមានពី 70 ទៅ 100 ផ្នែក។
ការសម្រេចចិត្ត។តាមភារកិច្ច 
,
,
.
,
. តោះប្រើទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace អាំងតេក្រាល៖
,
ចូរយើងគណនាដែនកំណត់ខាងក្រោម និងខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល៖
ដូច្នេះដោយគិតគូរពីតម្លៃតារាងនៃមុខងារ 
;
យើងទទួលបានប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន
.
ឥឡូវនេះយើងមានឱកាស ជាការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ដែលបានពិចារណា ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទល្បី « ច្បាប់នៃចំនួនដ៏ធំនៅក្នុងទម្រង់ Bernoulli »
ច្បាប់នៃលេខធំ (LLN ក្នុងទម្រង់ Bernoulli)
ច្បាប់សាមញ្ញបំផុតជាប្រវត្តិសាស្ត្រទីមួយនៃចំនួនច្រើនគឺទ្រឹស្តីបទ
I. Bernoulli ។ ទ្រឹស្តីបទ Bernoulli បង្ហាញពីទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃការបង្ហាញនៃច្បាប់នៃចំនួនធំ។ វាបញ្ជាក់ពីលទ្ធភាពទ្រឹស្តីនៃការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយដោយប្រើប្រេកង់ដែលទាក់ទងរបស់វាពោលគឺឧ។ បង្ហាញលក្ខណៈសម្បត្តិស្ថេរភាពនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទង។
សូមឲ្យវាត្រូវបានគេប្រារព្ធធ្វើ 
ការសាកល្បងឯករាជ្យ ដែលក្នុងនោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង 
គឺស្មើនឹង 
ហើយប្រេកង់ដែលទាក់ទងនៅក្នុងស៊េរីសាកល្បងនីមួយៗគឺ 
ពិចារណាបញ្ហា:នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការធ្វើតេស្តយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli និងជាមួយនឹងចំនួនគ្រប់គ្រាន់នៃការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃគម្លាតនៃប្រេកង់ដែលទាក់ទង 
ពីប្រូបាប៊ីលីតេថេរ 
ការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ 
នៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតមិនលើសពីចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ។ 
នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ៖ 
ជាមួយនឹងចំនួនគ្រប់គ្រាន់នៃការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ។
ទ្រឹស្តីបទ (ZBCh J. Bernoulli 1713)នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌខាងលើសម្រាប់ណាមួយ។ 
មិនថាតិចតួចទេ។ 
យើងមានសមភាពដែនកំណត់
(19)
.
ភស្តុតាង។អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏សំខាន់នេះដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទសំខាន់នៃ Moivre – Laplace ។ តាមនិយមន័យប្រេកង់ដែលទាក់ទងគឺ
ប៉ុន្តែ 
ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង 
ក្នុងការធ្វើតេស្តមួយ។ ចូរយើងបង្កើតសមភាពខាងក្រោមសម្រាប់ណាមួយ។ 
និងធំល្មម 
:
(20)
.
ជាការពិតស្របតាមលក្ខខណ្ឌ 
វាងាយមើលឃើញថាមានវិសមភាពទ្វេ។ បញ្ជាក់
(21)
.
បន្ទាប់មកយើងនឹងមានវិសមភាព
ដូច្នេះសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាន។ ឥឡូវនេះសម្រាប់ករណី 
យើងប្រើសមភាព
;
និងពិចារណាពីភាពចម្លែក 
យើងទទួលបាន
==
2
.
សមភាព (20) ត្រូវបានទទួល។
វាធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីរូបមន្ត (20) ដែលនៅ 
(ដោយពិចារណា 
កន្លែង) យើងទទួលបានសមភាពដែនកំណត់ (20) ។
ឧទាហរណ៍ 14
. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោម 400 ផ្នែកដែលបានជ្រើសរើសដោយចៃដន្យ ភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើងនៃផ្នែកដែលមិនមានស្តង់ដារគឺខុសពី 
នៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតមិនលើសពី 0.03 ។
ការសម្រេចចិត្ត។យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរក
តាមរូបមន្ត (៣) យើងមាន
=2
.
ដោយគិតគូរពីតម្លៃតារាងនៃមុខងារ 
យើងទទួលបាន
.
អត្ថន័យនៃលទ្ធផលដែលទទួលបានមានដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើយើងយកគំរូមួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ 
ព័ត៌មានលម្អិត បន្ទាប់មកនៅក្នុងគំរូនីមួយៗមានគម្លាតប្រហែលនៃ "ប្រេកង់" ដែលទាក់ទងដោយ
95.44% និងតម្លៃ 
គំរូទាំងនេះពីប្រូបាប៊ីលីតេ 
, ម៉ូឌុលមិនលើសពី 0.03 ។
ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយទៀតដែលអ្នកចង់ស្វែងរកលេខ 
.
ឧទាហរណ៍ ១៥ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកមួយមិនមានលក្ខណៈស្តង់ដារ 
. តើត្រូវជ្រើសរើសប៉ុន្មានផ្នែក ដូច្នេះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.9999 វាអាចត្រូវបានអះអាងថា ប្រេកង់ដែលទាក់ទងនៃផ្នែកមិនស្តង់ដារ (ក្នុងចំណោមផ្នែកដែលបានជ្រើសរើស) គម្លាតពី 
ម៉ូឌុលមិនលើសពី 0.03 ។ ស្វែងរកបរិមាណនេះ។ 
ការសម្រេចចិត្ត។នៅទីនេះយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ 
.
ទាមទារដើម្បីកំណត់ 
. តាមរូបមន្ត (១៣) យើងមាន
.
ដរាបណា,
យោងតាមតារាងយើងឃើញថាតម្លៃនេះត្រូវគ្នានឹងអាគុយម៉ង់ 
. ពីទីនេះ, 
. អត្ថន័យនៃលទ្ធផលនេះគឺថាប្រេកង់ដែលទាក់ទងនឹងត្រូវបានសន្និដ្ឋាន
រវាងលេខ។ ដូច្នេះចំនួននៃផ្នែកមិនស្តង់ដារក្នុង 99.99% នៃគំរូនឹងស្ថិតនៅចន្លោះ 101.72 (7% នៃលេខ 1444) និង 187.72 (13% នៃចំនួន 1444)។
ប្រសិនបើយើងយកគំរូតែមួយនៃ 1444 ផ្នែក នោះដោយមានទំនុកចិត្តយ៉ាងខ្លាំង យើងអាចរំពឹងថាចំនួននៃផ្នែកមិនស្តង់ដារនឹងមានមិនតិចជាង 101 និងមិនលើសពី 188 ខណៈពេលដែលក្នុងពេលតែមួយវាមិនទំនងថានឹងមានតិចជាងនេះទេ។ លើសពី 101 ឬច្រើនជាង 188 ។
គួរកត់សំគាល់ថាទ្រឹស្តីបទ Bernoulli ក៏ចែងថា៖ ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់នៃចំនួននៃការសាកល្បង ភាពញឹកញាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យមួយ។ 
បង្រួបបង្រួមក្នុងប្រូបាប៊ីលីតេទៅនឹងប្រូបាប៊ីលីតេពិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ដូចគ្នា i.e. ការប៉ាន់ស្មានពីខាងក្រោមមានសុពលភាព
(22)
;
,
បានផ្តល់ថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ 
ពីការធ្វើតេស្តទៅការធ្វើតេស្តនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរនិងស្មើគ្នា 
ត្រង់ណា
.
វិសមភាព (22) គឺជាផលវិបាកផ្ទាល់នៃវិសមភាព Chebyshev ដ៏ល្បីល្បាញ (សូមមើលខាងក្រោមប្រធានបទ "ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ" "ទ្រឹស្តីបទ Chebyshev") ។ យើងនឹងត្រលប់ទៅ ZBC នេះវិញនៅពេលក្រោយ។ វាងាយស្រួលសម្រាប់ការទទួលបានការប៉ាន់ប្រមាណនៃប្រូបាប៊ីលីតេពីខាងក្រោម និងការប៉ាន់ប្រមាណទ្វេភាគីសម្រាប់ចំនួនដែលត្រូវការនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេពីម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នារវាងប្រេកង់ដែលទាក់ទង និងប្រូបាប៊ីលីតេពិត បំពេញនូវកម្រិតដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលកំពុងពិចារណា។
ឧទាហរណ៍ 16កាក់មួយត្រូវបានបោះ 1000 ដង។ ការប៉ាន់ស្មានពីខាងក្រោមប្រូបាប៊ីលីតេនៃគម្លាតនៃភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើងនៃ "អាវធំ" ពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរបស់វាតិចជាង 0.1 ។
ការសម្រេចចិត្ត. តាមលក្ខខណ្ឌនៅទីនេះ
ដោយផ្អែកលើវិសមភាព (4) យើងទទួលបាន
ដូច្នេះ វិសមភាព 
គឺស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេ 
ដូច្នេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំនួននៃការវាយលុកនៃ "អាវធំ" នៅក្នុងចន្លោះពេល (400; 600) គឺធំជាង។ 
ឧទាហរណ៍ 17 ។កោដ្ឋមួយមានគ្រាប់ពណ៌ស ១០០០ និងគ្រាប់ខ្មៅ ២០០០។ ស្រង់ចេញ (ជាមួយនឹងការត្រឡប់មកវិញ) 300 បាល់។ ប៉ាន់ប្រមាណពីខាងក្រោមប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំនួនបាល់ដែលបានគូរ ម(ហើយពួកគេត្រូវតែមានពណ៌ស) បំពេញវិសមភាពទ្វេ 80< ម <120.
ការសម្រេចចិត្ត។វិសមភាពទ្វេសម្រាប់រ៉ិចទ័រ មសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖
ដូច្នេះ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបំពេញវិសមភាព
អាស្រ័យហេតុនេះ
.
ទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Laplace
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺថេរ និងខុសពីសូន្យ និងមួយ នោះប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំនួន m នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យ n គឺនៅចន្លោះ a និង b (រួមបញ្ចូល) ជាមួយនឹង ចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់នៃការសាកល្បង n, គឺប្រហែលស្មើនឹង
រូបមន្តអាំងតេក្រាល Laplace ក៏ដូចជារូបមន្ត Moivre-Laplace ក្នុងស្រុក កាន់តែត្រឹមត្រូវ កាន់តែច្រើន នហើយតម្លៃកាន់តែជិតដល់ 0.5 ទំនិង q. ការគណនាដោយរូបមន្តនេះផ្តល់នូវកំហុសមិនសំខាន់នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ npq≥ 20 ទោះបីជាលក្ខខណ្ឌ npq > 10.
អនុគមន៍ F( x) ត្រូវបានដាក់ជាតារាង (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធទី ២)។ ដើម្បីប្រើតារាងនេះ អ្នកត្រូវដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ Ф( x):
1. អនុគមន៍ Ф( x) គឺចម្លែក, i.e. F(- x) = – F( x).
2. អនុគមន៍ Ф( x) គឺមានការកើនឡើងឯកតា ហើយជា x → +∞ Ф( x) → 0.5 (ក្នុងការអនុវត្តយើងអាចសន្មត់ថារួចហើយនៅ x≥ 5 F( x) ≈ 0,5).
ឧទាហរណ៍ 3.4 ។ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌនៃឧទាហរណ៍ 3.3 គណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលសិស្សចាប់ពី 300 ដល់ 360 (រាប់បញ្ចូល) នឹងឆ្លងកាត់ការប្រឡងដោយជោគជ័យនៅពេលសាកល្បងលើកដំបូង។
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Laplace ( npq≥ 20). យើងគណនា៖
= –2,5; 
= 5,0;
ទំ 400 (300 ≤ ម≤ 360) = F(5.0) – F(–2.5)។
ដោយគិតគូរពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ Ф( x) ហើយដោយប្រើតារាងតម្លៃរបស់វា យើងរកឃើញ៖ Ф(5.0) = 0.5; F(–2.5) = – F(2.5) = – 0.4938 ។
យើងទទួលបាន ទំ 400 (300 ≤ ម ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄
ចូរយើងសរសេរពីលទ្ធផលនៃទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Laplace ។
លទ្ធផល ១. ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺថេរ និងខុសពីសូន្យ និងមួយ នោះសម្រាប់ចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់ n នៃការសាកល្បងឯករាជ្យ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលលេខ m នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ខុសគ្នាពីផលិតផល np ដោយមិនលើសពី ε > 0
 .
| (3.8) |
ឧទាហរណ៍ 3.5 ។ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌនៃឧទាហរណ៍ 3.3 ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលពី 280 ទៅ 360 សិស្សនឹងឆ្លងកាត់ការប្រឡងដោយជោគជ័យនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេនៅលើការសាកល្បងលើកដំបូង។
ការសម្រេចចិត្ត។ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេ រ 400 (280 ≤ ម≤ 360) អាចស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍មុនដោយប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាល Laplace មេ។ ប៉ុន្តែវាងាយស្រួលជាងក្នុងការធ្វើដូចនេះ ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញថា ព្រំដែននៃចន្លោះពេល 280 និង 360 គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងតម្លៃ។ np=៣២០. បន្ទាប់មក ផ្អែកលើកូរ៉ូឡារីទី១ យើងទទួលបាន
= = ≈
≈ 
= 2Ф(5.0) ≈ 2 0.5 ≈ 1,
ទាំងនោះ។ វាស្ទើរតែប្រាកដណាស់ថាសិស្សចន្លោះពី 280 ទៅ 360 នាក់នឹងប្រឡងជាប់ក្នុងការសាកល្បងលើកដំបូង។ ◄
លទ្ធផល ២. ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺថេរ និងខុសពីសូន្យ និងមួយ នោះសម្រាប់ចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់ n នៃការសាកល្បងឯករាជ្យ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រេកង់ m/n នៃព្រឹត្តិការណ៍ A ស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពី α ទៅ β (រួមបញ្ចូល) គឺស្មើនឹង
 ,
| (3.9) |
| កន្លែងណា | , . | (3.10) |
ឧទាហរណ៍ 3.6 ។យោងតាមស្ថិតិជាមធ្យម 87% នៃទារកទើបនឹងកើតរស់នៅរហូតដល់ 50 ឆ្នាំ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោមទារកទើបនឹងកើត 1000 នាក់ សមាមាត្រ (ប្រេកង់) នៃអ្នកដែលនៅរស់រហូតដល់ 50 ឆ្នាំនឹងស្ថិតក្នុងចន្លោះពី 0.9 ទៅ 0.95 ។
ការសម្រេចចិត្ត។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលទារកទើបនឹងកើតនឹងរស់នៅដល់អាយុ 50 ឆ្នាំ។ រ= 0.87 ។ ជា ន= 1000 មានទំហំធំ (ឧទាហរណ៍លក្ខខណ្ឌ npq= 1000 0.87 0.13 = 113.1 ≥ 20 ពេញចិត្ត) បន្ទាប់មកយើងប្រើ Corollary 2 នៃទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Laplace ។ យើងស្វែងរក:
2,82, = 7,52.
= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄
លទ្ធផល ៣. ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺថេរ និងខុសពីសូន្យ និងមួយ នោះសម្រាប់ចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់ n នៃការសាកល្បងឯករាជ្យ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រេកង់ m/n នៃព្រឹត្តិការណ៍ A ខុសពីប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា p ដោយ មិនលើសពីΔ > 0 (គិតជាតម្លៃដាច់ខាត) គឺស្មើនឹង
 .
| (3.11) |
ឧទាហរណ៍ 3.7 ។នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាមុន សូមស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោមទារកទើបនឹងកើត 1000 នាក់ សមាមាត្រ (ប្រេកង់) នៃអ្នកដែលនៅរស់រហូតដល់ 50 ឆ្នាំនឹងខុសគ្នាពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះមិនលើសពី 0.04 (គិតជាតម្លៃដាច់ខាត)។
ការសម្រេចចិត្ត។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Laplace យើងរកឃើញ៖
= 2ច(3.76) = 2 0.4999 = 0.9998 ។
ដោយសារវិសមភាពគឺស្មើនឹងវិសមភាព លទ្ធផលមានន័យថា វាប្រាកដក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងថា ពី 83 ទៅ 91% នៃទារកទើបនឹងកើតក្នុងចំនោម 1000 នាក់នឹងរស់នៅដល់ 50 ឆ្នាំ។ ◄
យើងបានបង្កើតពីមុនមកថា សម្រាប់ការសាកល្បងឯករាជ្យ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃចំនួនមួយ។ មព្រឹត្តិការណ៍កើតឡើង ប៉ុន្តែក្នុង នការធ្វើតេស្តត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត Bernoulli ។ ប្រសិនបើ នមានទំហំធំ បន្ទាប់មករូបមន្ត asymptotic Laplace ត្រូវបានប្រើ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ រូបមន្តនេះមិនសមស្របទេ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះតូច ( រ≤ 0.1) ។ ក្នុងករណីនេះ ( នអស្ចារ្យ, រតូច) អនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Poisson
រូបមន្ត Poisson
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗមានទំនោរទៅសូន្យ (p → 0) ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់នៃចំនួន n នៃការសាកល្បង (n → ∞) ហើយផលិតផល np មានទំនោរទៅជាលេខថេរ λ (np → λ) បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេ P n (m) ដែលព្រឹត្តិការណ៍ A នឹងលេចឡើង m ដងក្នុង n ការសាកល្បងឯករាជ្យបំពេញនូវសមភាពដែនកំណត់
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុង n ការសាកល្បងឯករាជ្យ ដែលនៅក្នុងនីមួយៗប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺស្មើនឹង p (0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
តារាងតម្លៃនៃអនុគមន៍ φ(x); សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃ x តារាងដូចគ្នាត្រូវបានប្រើ (មុខងារ φ (x) គឺសូម្បីតែ: φ (-x) = φ (x)) ។
ឧទាហរណ៍ #1 ។ នៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យ 700 នីមួយៗ ព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេថេរនៃ 0.35 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍ A កើតឡើង៖ ក) ពិតប្រាកដ 270 ដង; ខ) តិចជាង 270 និងច្រើនជាង 230 ដង; គ) ច្រើនជាង 270 ដង។
ការសម្រេចចិត្ត។ដោយសារចំនួននៃការពិសោធន៍ n = 700 មានទំហំធំណាស់ យើងប្រើរូបមន្ត Laplace ។
ក) បានផ្តល់ឱ្យ: n = 700, p = 0.35, k = 270 ។
រក P 700 (270) ។ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទ Laplace ក្នុងស្រុក។
យើងស្វែងរក:
យើងរកឃើញតម្លៃនៃអនុគមន៍ φ(x) ពីតារាង៖
ខ) ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: n = 700, p = 0.35, a = 230, b = 270 ។
រក P 700 (230< k < 270).
យើងប្រើទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Laplace (23), (24) ។ យើងស្វែងរក: 
យើងរកឃើញតម្លៃនៃអនុគមន៍ Ф (x) ពីតារាង៖
គ) បានផ្តល់ឱ្យ: n = 700, p = 0.35, a = 270, b = 700 ។
ស្វែងរក P 700 (k> 270) ។
យើងមាន:
ឧទាហរណ៍ #2 ។ នៅក្នុងដំណើរការដែលមានស្ថិរភាពនៅក្នុងរោងម៉ាស៊ីនត្បាញមួយ មានការបំបែកខ្សែស្រឡាយចំនួន 10 ក្នុង 100 spindles ក្នុងមួយម៉ោង។ កំណត់៖ ក) ប្រូបាប៊ីលីតេដែលការបំបែកខ្សែស្រឡាយ 7 នឹងកើតឡើងនៅលើ 80 spindles ក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោង។ ខ) ចំនួនប្រហែលបំផុតនៃខ្សែស្រឡាយបំបែកនៅលើ 80 spindles ក្នុងមួយម៉ោង។
ការសម្រេចចិត្ត។ប្រូបាប៊ីលីតេស្ថិតិនៃការបំបែកខ្សែស្រឡាយក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោងគឺ p = 10/100 = 0.1 ហើយដូច្នេះ q = 1 - 0.1 = 0.9; n = 80; k = ៧.
ដោយសារ n មានទំហំធំ ទ្រឹស្តីបទ Laplace មូលដ្ឋាន (23) ត្រូវបានប្រើ។ យើងគណនា៖ 
ចូរប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ φ(-x) = φ(x) ស្វែងរក φ(0.37) ≈ 0.3726 ហើយបន្ទាប់មកគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវការ៖ 
ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលការបំបែកខ្សែស្រឡាយ 7 នឹងកើតឡើងនៅលើ 80 spindles ក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោងគឺប្រហែល 0.139 ។
លេខដែលទំនងបំផុត k 0 នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍កំឡុងពេលធ្វើតេស្តម្តងហើយម្តងទៀតត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (14) ។ ការស្វែងរក៖ ៧.១< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.
ឧទាហរណ៍ #3 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលផ្នែកមួយនៃថ្នាក់ទីមួយគឺ 0.4 ។ ផលិត 150 ផ្នែក។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្នុងចំណោមពួកគេមាន 68 ផ្នែកនៃថ្នាក់ទីមួយ។
ឧទាហរណ៍ #4 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យនីមួយៗគឺទំ។
ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍នឹងកើតឡើង n ដង ប្រសិនបើការសាកល្បង m ត្រូវបានអនុវត្ត។
ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកទៅកាន់តួលេខសំខាន់ៗចំនួនបីដែលនៅជិតបំផុត។
p=0.75, n=87, m=120
ទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាល Moivre-Laplace . ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺថេរ និងខុសពី 0 និង 1 នោះប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំនួន m នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅក្នុងការសាកល្បងឯករាជ្យ n ស្ថិតនៅក្នុងដែនកំណត់ពី a ដល់ b (រួមបញ្ចូល) ជាមួយនឹងចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ n គឺប្រហែលស្មើនឹង
កន្លែងណា 
- មុខងារ (ឬអាំងតេក្រាលនៃប្រូបាប៊ីលីតេ) នៃ Laplace;
,
.
រូបមន្តត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តអាំងតេក្រាលរបស់ Moivre-Laplace ។ n ធំជាង រូបមន្តនេះកាន់តែត្រឹមត្រូវ។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ npq ≥ 20 រូបមន្តអាំងតេក្រាល។ 
ក៏ដូចជាក្នុងស្រុក ផ្តល់ឱ្យ តាមក្បួនមួយ កំហុសក្នុងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលពេញចិត្តសម្រាប់ការអនុវត្ត។
អនុគមន៍ Ф(х) ត្រូវបានដាក់ជាតារាង (សូមមើលតារាង)។ ដើម្បីប្រើតារាងនេះអ្នកត្រូវដឹង មុខងារមុខងារ :
អនុគមន៍ Ф(х) គឺសេស, i.e. F(-x) = -F(x) ។
អនុគមន៍ Ф(х) គឺកើនឡើងជាឯកតា លើសពីនេះទៅទៀតដូចជា x → +∞ Ф(х) → 1 (ក្នុងការអនុវត្ត យើងអាចសន្មត់ថារួចហើយសម្រាប់ x> 4 Ф(х) ≈ 1) ។
ឧទាហរណ៍ . នៅតំបន់ខ្លះក្នុងចំណោម 100 គ្រួសារ 80 មានទូទឹកកក។ គណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលគ្រួសារពី 300 ទៅ 360 (រួមបញ្ចូល) ក្នុងចំណោម 400 មានទូទឹកកក។
ការសម្រេចចិត្ត. យើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាលនៃ Moivre-Laplace (npq = 64 ≥ 20) ។ ចូរកំណត់ជាមុនសិន៖
,
.
ឥឡូវនេះយោងទៅតាមរូបមន្ត 
ដោយគិតគូរពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ Ф(х) យើងទទួលបាន
(យោងតាមតារាង F(2.50) = 0.9876, F(5.0) ≈ 1)
ផលវិបាកពីទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace អាំងតេក្រាល (ជាមួយនឹងការទាញយក) ។ ឧទាហរណ៍។
ពិចារណាពីលទ្ធផលនៃទ្រឹស្តីបទអាំងតេក្រាលនៃ Moivre-Laplace ។
ផលវិបាក. ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A នៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺថេរ និងខុសគ្នាពី 0 និង 1 បន្ទាប់មកជាមួយនឹងចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់ n នៃការសាកល្បងឯករាជ្យ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលថា:
a) ចំនួន m នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ A ខុសពីផលិតផល np ដោយមិនលើសពី ε > 
;
ខ) ប្រេកង់ 
ព្រឹត្តិការណ៍ A ស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពី α ដល់ β (រួមបញ្ចូល) ឧ។ 
, កន្លែងណា 
,
.
គ) ប្រេកង់ 
ព្រឹត្តិការណ៍ A ខុសពីប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា p ដោយមិនលើសពី Δ > 0 (ជាតម្លៃដាច់ខាត) i.e. 
.
□ ១) វិសមភាព 
គឺស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេ pr - E ~ m ~ pr + E. ដូច្នេះដោយរូបមន្តអាំងតេក្រាល 
:
.
២) វិសមភាព 
គឺស្មើនឹងវិសមភាព a ≤ m ≤ b សម្រាប់ a = nα និង b = nβ ។ ការជំនួសនៅក្នុងរូបមន្ត 
និង 
,
តម្លៃ a និង b ដោយកន្សោមដែលទទួលបាន យើងទទួលបានរូបមន្តដែលត្រូវបង្ហាញ 
និង 
,
.
៣) វិសមភាព 
គឺស្មើនឹងវិសមភាព 
. ការជំនួសនៅក្នុងរូបមន្ត 
យើងទទួលបានរូបមន្តដើម្បីបញ្ជាក់ 
.
ឧទាហរណ៍ . យោងតាមស្ថិតិជាមធ្យម 87% នៃទារកទើបនឹងកើតរស់នៅរហូតដល់ 50 ឆ្នាំ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាក្នុងចំណោមទារកទើបនឹងកើត 1000 នាក់ សមាមាត្រ (ប្រេកង់) នៃអ្នកដែលនៅរស់រហូតដល់អាយុ 50 ឆ្នាំនឹង: ក) ស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពី 0.9 ទៅ 0.95; ខ) នឹងខុសគ្នាពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះដោយមិនលើសពី 0.04 (គិតជាតម្លៃដាច់ខាត)?
ការសម្រេចចិត្ត. ក) ប្រូបាប៊ីលីតេ p ដែលទារកទើបនឹងកើតនឹងរស់នៅរហូតដល់អាយុ 50 ឆ្នាំគឺ 0.87 ។ ដោយសារតែ n = 1000 គឺធំ (លក្ខខណ្ឌ npq = 1000 0.87 0.13 = 113.1 ≥ 20 គឺពេញចិត្ត) បន្ទាប់មកយើងប្រើ corollary នៃទ្រឹស្តីបទ Moivre-Laplace អាំងតេក្រាល។ ចូរកំណត់ជាមុនសិន៖
,
. ឥឡូវនេះយោងទៅតាមរូបមន្ត 
:
ខ) យោងតាមរូបមន្ត 
:
ដោយសារតែវិសមភាព 
គឺស្មើនឹងវិសមភាព 
លទ្ធផលដែលទទួលបានមានន័យថាវាស្ទើរតែប្រាកដណាស់ថាពី 0.83 ដល់ 0.91 នៃចំនួនទារកទើបនឹងកើតក្នុងចំណោម 1000 នាក់នឹងរស់នៅដល់ 50 ឆ្នាំ។
គំនិតនៃ "អថេរចៃដន្យ" និងការពិពណ៌នារបស់វា។ ផ្តាច់មុខ អថេរចៃដន្យ និងច្បាប់ចែកចាយរបស់វា (ស៊េរី)។ ឯករាជ្យ អថេរចៃដន្យ។ ឧទាហរណ៍។
នៅក្រោម អថេរចៃដន្យ ត្រូវបានយល់ថាជាអថេរដែលនៅក្នុងលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត អាស្រ័យលើករណី យកមួយក្នុងចំនោមសំណុំនៃតម្លៃរបស់វា (ដែលមួយមិនត្រូវបានគេដឹងជាមុន)។
ឧទាហរណ៍នៃអថេរចៃដន្យ : 1) ចំនួនកុមារដែលកើតក្នុងអំឡុងពេលថ្ងៃនៅទីក្រុងម៉ូស្គូ; 2) ចំនួននៃផលិតផលដែលមានបញ្ហានៅក្នុងបាច់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ; 3) ចំនួននៃការបាញ់ប្រហារមុនពេលបុកដំបូង; 4) ជួរហោះហើរនៃគ្រាប់កាំភ្លើងធំ; 5) ការប្រើប្រាស់អគ្គិសនីសម្រាប់ pr-tion ក្នុងមួយខែ។
អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា ផ្តាច់មុខ (មិនបន្ត) ប្រសិនបើសំណុំនៃតម្លៃរបស់វាមានកំណត់ ឬគ្មានកំណត់ ប៉ុន្តែអាចរាប់បាន។
នៅក្រោម អថេរចៃដន្យបន្ត យើងនឹងយល់អំពីបរិមាណដែលសំណុំតម្លៃដែលមិនអាចរាប់បានគ្មានកំណត់គឺជាចន្លោះពេលជាក់លាក់ (កំណត់ឬគ្មានកំណត់) នៃអ័ក្សលេខ។
ដូច្នេះនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ 1-3 យើងមានអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក (ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 និងទី 2 - ជាមួយនឹងសំណុំតម្លៃកំណត់; ឧទាហរណ៍ 3 - ជាមួយនឹងសំណុំតម្លៃគ្មានកំណត់ ប៉ុន្តែអាចរាប់បាន); ហើយក្នុងឧទាហរណ៍ 4 និង 5 - អថេរចៃដន្យបន្ត។
សម្រាប់ អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយបាច់ 
តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យ, i.e. មុខងារ 
កំណត់ ឬរាប់បាន សម្រាប់ បន្ត- គ្មានកំណត់ និងមិនអាចរាប់បាន។
អថេរចៃដន្យត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំនៃអក្ខរក្រមឡាតាំង X, Y, Z, ..., និងតម្លៃរបស់ពួកគេ - ដោយអក្សរតូចដែលត្រូវគ្នា x, y, z, ... ។
អថេរចៃដន្យត្រូវបានគេនិយាយថា "ចែកចាយ" យោងទៅតាមច្បាប់ចែកចាយដែលបានផ្តល់ឱ្យឬ "ក្រោម" នៃច្បាប់ចែកចាយនេះ។
សម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក ច្បាប់ចែកចាយ m.b. ផ្តល់ជាទម្រង់តារាង វិភាគ (ក្នុងទម្រង់រូបមន្ត) និងក្រាហ្វិក។
ទម្រង់សាមញ្ញបំផុតនៃការបញ្ជាក់ច្បាប់ចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X គឺជាតារាង (ម៉ាទ្រីស) ដែលរាយក្នុងលំដាប់ឡើងតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ i.e.
.តារាងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា នៅជិតការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយ។ .
ព្រឹត្តិការណ៍ X=x 1 , X=x 2 ,…,X=x n , មាននៅក្នុងការពិតដែលថា ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត អថេរ X នឹងយកតម្លៃ x 1 , x 2 , ... , x n, រៀងគ្នា, គឺមិនឆបគ្នានិងតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើបាន (ដោយសារតែនៅក្នុងតារាងរាយតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃអថេរចៃដន្យ), i.e. បង្កើតក្រុមពេញលេញ។ ដូច្នេះផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង 1។ ដូច្នេះសម្រាប់អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកណាមួយ 
.
ស៊េរីចែកចាយអាចជា ត្រូវបានបង្ហាញជាក្រាហ្វិក ប្រសិនបើតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យត្រូវបានគ្រោងតាមអ័ក្ស abscissa និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់វាតាមអ័ក្សតម្រៀប។ ការតភ្ជាប់នៃចំណុចដែលទទួលបានបង្កើតជាបន្ទាត់ខូចដែលហៅថា ពហុកោណ ឬពហុកោណនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ .
អថេរចៃដន្យពីរត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យ ប្រសិនបើច្បាប់នៃការចែកចាយរបស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាមិនផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើតម្លៃដែលអាចធ្វើទៅបានដែលតម្លៃផ្សេងទៀតបានយក។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក X អាចយកតម្លៃ x i (i = 1, 2, ..., n) ហើយអថេរចៃដន្យ Y អាចយកតម្លៃ y j (j = 1, 2, ..., m) បន្ទាប់មក ឯករាជ្យនៃតម្លៃអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា X និង Y មានន័យថា ឯករាជ្យនៃព្រឹត្តិការណ៍ X = x i និង Y = y សម្រាប់ i = 1, 2, ... , n និង j = 1 , 2, ... , ម. បើមិនដូច្នោះទេអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា ពឹងផ្អែក .
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើមានសំបុត្រសម្រាប់ឆ្នោតរូបិយវត្ថុពីរផ្សេងគ្នា នោះអថេរចៃដន្យ X និង Y ដែលបង្ហាញពីការឈ្នះសម្រាប់សំបុត្រនីមួយៗ (គិតជាឯកតារូបិយវត្ថុ) រៀងគ្នា។ ឯករាជ្យ, ដោយសារតែ សម្រាប់ការឈ្នះណាមួយនៅលើសំបុត្រឆ្នោតមួយ (ឧទាហរណ៍នៅពេលដែល X = x i) ច្បាប់នៃការចែកចាយការឈ្នះលើសំបុត្រផ្សេងទៀត (Y) នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X និង Y បង្ហាញពីការឈ្នះលើសំបុត្រឆ្នោតប្រាក់ដូចគ្នានោះ ក្នុងករណីនេះ X និង Y គឺអាស្រ័យ ពីព្រោះការឈ្នះលើសំបុត្រមួយ (X = x i) នាំឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរប្រូបាប៊ីលីតេឈ្នះនៅលើ សំបុត្រផ្សេងទៀត (Y), ឧ។ ទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរច្បាប់ចែកចាយរបស់ W.
ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាលើអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក របាំងមុខនិងឧទាហរណ៍នៃការសាងសង់ច្បាប់ចែកចាយសម្រាប់ KH, X" 1 , X +K, XV នេះបើយោងតាមការចែកចាយករណីឯករាជ្យ តម្លៃ X និង យូ.
ចូរយើងកំណត់ ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យា លើសពីអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក។
សូមឱ្យអថេរចៃដន្យពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:
ផលិតផល kX នៃអថេរចៃដន្យ X ដោយតម្លៃថេរ k គឺជាអថេរចៃដន្យដែលយកតម្លៃ kx i ជាមួយនឹងប្រូបាបដូចគ្នា р i (i = 1,2,...,n) ។
ម
អំណាចទី 1 នៃអថេរចៃដន្យ X, i.e. 
ត្រូវបានគេហៅថាអថេរចៃដន្យដែលយកតម្លៃ 
ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេដូចគ្នា p i (i = 1,2, ...,n) ។
ផលបូក (ភាពខុសគ្នា ឬផលិតផល) នៃអថេរចៃដន្យ X និង Y ត្រូវបានគេហៅថាអថេរចៃដន្យដែលយកតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃទម្រង់ хi+уj (хj-уj ឬ хj yj) ដែល i = l,2,...,n; j = 1,2,...,m, ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ pij ដែលអថេរចៃដន្យ X យកតម្លៃ xi និង y តម្លៃ yj:
ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ X និង Y គឺឯករាជ្យ ឧ។ ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ X=хi, Y=yj គឺឯករាជ្យ បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាបសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ
3 ចំណាំ
. និយមន័យខាងលើនៃប្រតិបត្តិការលើអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់លាស់៖ ចាប់តាំងពីក្នុងករណីមួយចំនួនតម្លៃដូចគ្នា 
,
,
អាចទទួលបានតាមវិធីផ្សេងៗគ្នាសម្រាប់ xi, yj ផ្សេងគ្នាដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេ pi, pij បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃដដែលៗត្រូវបានរកឃើញដោយបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេដែលទទួលបាន pi ឬ pij ។
|
ប្រភេទនៃប្រតិបត្តិការ |
តម្លៃកន្សោម អេស/វី |
តម្លៃ Exv |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
កុំផ្លាស់ប្តូរ
កុំផ្លាស់ប្តូរ
