សញ្ញាប័ត្រជាមួយសូចនាករសមហេតុផល,

មុខងារថាមពល IV

§ 79. ការដកឬសចេញពីការងារ និង កូតា

ទ្រឹស្តីបទ ១.ឫស ទំ អំណាចទី 1 នៃផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃឫស ទំ - កម្រិតនៃកត្តា, នោះគឺនៅពេលដែល ក > 0, ខ > 0 និងធម្មជាតិ ទំ

ន √ab = ន √ក ន √ខ . (1)

ភស្តុតាង។សូមចាំថាឫស ទំ អំណាចទីនៃចំនួនវិជ្ជមាន ab មានចំនួនវិជ្ជមាន ទំ - ដឺក្រេដែលស្មើនឹង ab . ដូច្នេះ ការបញ្ជាក់សមភាព (១) គឺដូចគ្នានឹងការបញ្ជាក់សមភាពដែរ។

(ន √ក ន √ខ ) ន = ab .

ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃកម្រិតនៃផលិតផល

(ន √ក ន √ខ ) ន = (ន √ក ) ន (ន √ខ ) ន =.

ប៉ុន្តែតាមនិយមន័យនៃឫស ទំ សញ្ញាបត្រ ( ន √ក ) ន = ក , (ន √ខ ) ន = ខ .

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ( ន √ក ន √ខ ) ន = ab . ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

តម្រូវការ ក > 0, ខ > 0 គឺចាំបាច់សម្រាប់តែគូប៉ុណ្ណោះ។ ទំ ដោយសារតែអវិជ្ជមាន ក និង ខ និង​សូម្បីតែ ទំ ឫស ន √ក និង ន √ខ មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់។ ប្រសិនបើ ទំ សេស បន្ទាប់មករូបមន្ត (1) មានសុពលភាពសម្រាប់ណាមួយ។ ក និង ខ (ទាំងវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន)។

ឧទាហរណ៍៖ √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44 ។

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

រូបមន្ត (1) មានប្រយោជន៍នៅពេលគណនាឫស នៅពេលដែលកន្សោមឫសត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃការ៉េពិតប្រាកដ។ ឧទាហរណ៍,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ 1 សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលសញ្ញារ៉ាឌីកាល់នៅខាងឆ្វេងនៃរូបមន្ត (1) គឺជាលទ្ធផលនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ។ តាមពិតទ្រឹស្តីបទនេះគឺពិតសម្រាប់កត្តាវិជ្ជមានមួយចំនួន ពោលគឺសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ k > 2:

ផលវិបាក។ការអានអត្តសញ្ញាណនេះពីស្តាំទៅឆ្វេង យើងទទួលបានច្បាប់ខាងក្រោមសម្រាប់គុណឫសជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា;

ដើម្បីគុណឫសជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណកន្សោមឫស ដោយទុកនិទស្សន្តនៃឫសដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12 ។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ឫស ទំអំណាចទី 1 នៃប្រភាគដែលភាគយក និងភាគបែងជាលេខវិជ្ជមានគឺស្មើនឹងកូតានៃការបែងចែកឫសនៃដឺក្រេដូចគ្នាពីភាគយកដោយឫសនៃដឺក្រេដូចគ្នាពីភាគបែងនោះគឺនៅពេលដែល ក > 0 និង ខ > 0

(2)

ដើម្បី​បញ្ជាក់​សមភាព (២) មាន​ន័យ​ថា​បង្ហាញ​នោះ។

យោងទៅតាមក្បួននៃការបង្កើនប្រភាគទៅជាអំណាចមួយនិងកំណត់ឫស ន សញ្ញាបត្រដែលយើងមាន៖

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

តម្រូវការ ក > 0 និង ខ > 0 គឺចាំបាច់សម្រាប់តែគូប៉ុណ្ណោះ។ ទំ . ប្រសិនបើ ទំ សេស បន្ទាប់មករូបមន្ត (2) ក៏ពិតសម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមានផងដែរ។ ក និង ខ .

ផលវិបាក។ការអានអត្តសញ្ញាណ ពីស្តាំទៅឆ្វេង យើងទទួលបានច្បាប់ខាងក្រោមសម្រាប់បែងចែកឫសជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា៖

ដើម្បីបែងចែកឫសដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបែងចែកកន្សោមឫសដោយទុកនិទស្សន្តនៃឫសដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍,

លំហាត់

554. ដែលជាកន្លែងដែលនៅក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ 1 តើយើងបានប្រើការពិតដែលថា ក និង ខ វិជ្ជមាន?

ហេតុអ្វីបានជាជាមួយសេស ទំ រូបមន្ត (1) ក៏ពិតសម្រាប់លេខអវិជ្ជមានផងដែរ។ ក និង ខ ?

នៅតម្លៃអ្វី X ទិន្នន័យសមភាពគឺត្រឹមត្រូវ (លេខ 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (x - 2) (8 - x ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - x

557. 3 √ (X + 1) (X - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ X (X + 1) (X + 2) = √ X √ (X + 1) √ (X + 2)

559. √ (x - ក ) 3 = (√ x - ក ) 3 .

560. 3 √ (X - 5) 2 = (3 √ X - 5 ) 2 .

561. គណនា៖

ក) √ ១៧៣ ២ - ៥២ ២ ; ក្នុង) √ 200 2 - 56 2 ;

ខ) √ ៣៧៣២ – ២៥២២; ឆ) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. ក្នុងត្រីកោណកែង អ៊ីប៉ូតេនុសគឺ 205 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយជើងមួយគឺ 84 សង់ទីម៉ែត្រ។ រកជើងផ្សេងទៀត។

563. ប៉ុន្មានដង៖

555. X > 3. 556. 2 < X < 8. 557. X - លេខណាមួយ។ ៥៥៨. X > 0. 559. X > ក . 560. X - លេខណាមួយ។ 563. ក) បីដង។

នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងពិចារណាលើឫសការ៉េនព្វន្ធ។

ក្នុង​ករណី​នៃ​កន្សោម​រ៉ាឌីកាល់​តាម​ព្យញ្ជនៈ យើង​នឹង​សន្មត​ថា​អក្សរ​ដែល​មាន​ក្រោម​សញ្ញា​ឫស​តំណាង​ឱ្យ​លេខ​មិន​អវិជ្ជមាន។

1. ឫសនៃផលិតផល។

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍បែបនេះ។

ម៉្យាងវិញទៀត ចំណាំថាលេខ 2601 គឺជាផលនៃកត្តាពីរ ដែលឫសត្រូវបានស្រង់ចេញយ៉ាងងាយស្រួល៖

យកឫសការ៉េនៃកត្តានីមួយៗ ហើយគុណឫសទាំងនេះ៖

យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នានៅពេលយើងយកឫសពីផលិតផលនៅក្រោមឫស ហើយនៅពេលដែលយើងយកឫសពីកត្តានីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នា ហើយគុណលទ្ធផល។

ក្នុងករណីជាច្រើន វិធីទីពីរដើម្បីស្វែងរកលទ្ធផលគឺងាយស្រួលជាង ដោយអ្នកត្រូវយកឫសនៃលេខតូចជាង។

ទ្រឹស្តីបទ 1. ដើម្បីស្រង់ឫសការ៉េនៃផលិតផល អ្នកអាចស្រង់វាចេញពីកត្តានីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា ហើយគុណលទ្ធផល។

យើង​នឹង​បញ្ជាក់​ទ្រឹស្តីបទ​សម្រាប់​កត្តា​បី ពោល​គឺ​យើង​នឹង​បញ្ជាក់​ពី​សុពលភាព​នៃ​សមភាព៖

យើង​នឹង​អនុវត្ត​ភ័ស្តុតាង​ដោយ​ការ​ផ្ទៀងផ្ទាត់​ផ្ទាល់​ដោយ​ផ្អែក​លើ​និយមន័យ​នៃ​ឬស​នព្វន្ធ។ ឧបមាថាយើងត្រូវបញ្ជាក់ពីសមភាព៖

(A និង B គឺជាលេខមិនអវិជ្ជមាន)។ តាមនិយមន័យនៃឫសការ៉េនេះមានន័យថា

ដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីការ៉េផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពដែលកំពុងត្រូវបានបញ្ជាក់ ហើយត្រូវប្រាកដថា កន្សោមឫសនៃផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវបានទទួល។

ចូរ​យើង​អនុវត្ត​ហេតុផល​នេះ​ទៅ​នឹង​ភស្តុតាង​នៃ​សមភាព (1). ចូរយើងធ្វើការ៉េទៅខាងស្តាំ; ប៉ុន្តែផលិតផលស្ថិតនៅខាងស្តាំ ហើយដើម្បីការ៉េផលិតផលវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការការ៉េកត្តានីមួយៗ និងគុណលទ្ធផល (សូមមើល§ 40);

វាប្រែចេញជាការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់ដោយឈរនៅខាងឆ្វេង។ ដូច្នេះ សមភាព (១) គឺពិត។

យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទសម្រាប់កត្តាបី។ ប៉ុន្តែ​ការ​វែកញែក​នឹង​នៅ​ដដែល​ប្រសិន​បើ​មាន​កត្តា ៤ យ៉ាង​ដូច្នេះ​ហើយ​នៅ​ពី​ក្រោម​ឬស។ ទ្រឹស្តីបទគឺពិតសម្រាប់កត្តាមួយចំនួន។

លទ្ធផលគឺងាយស្រួលរកដោយផ្ទាល់មាត់។

2. ឫសនៃប្រភាគ។

គណនា

ការប្រឡង។

ម្យ៉ាង​វិញទៀត,

ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ។

ទ្រឹស្តីបទ 2. ដើម្បីស្រង់ឫសនៃប្រភាគ អ្នកអាចស្រង់ឫសដាច់ដោយឡែកពីភាគយក និងភាគបែង ហើយចែកលទ្ធផលទីមួយដោយទីពីរ។

វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសមភាព៖

សម្រាប់ភ័ស្តុតាង យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តដែលទ្រឹស្តីបទមុនត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចូរ​យើង​ដាក់​ជ្រុង​ខាង​ស្ដាំ។ នឹង​មាន:

យើងទទួលបានកន្សោមរ៉ាឌីកាល់នៅផ្នែកខាងឆ្វេង។ ដូច្នេះ សមភាព (២) គឺពិត។

ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​អត្តសញ្ញាណ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

និងបង្កើតច្បាប់ដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ការទាញយកឫសការ៉េពីផលិតផល និងកូតា។ ជួនកាលនៅពេលអនុវត្តការបំប្លែង វាចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តអត្តសញ្ញាណទាំងនេះ ដោយអានពួកវា "ពីស្តាំទៅឆ្វេង" ។

ការរៀបចំផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំឡើងវិញ យើងសរសេរឡើងវិញនូវអត្តសញ្ញាណដែលបានបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម៖

ដើម្បីគុណឫស អ្នកអាចគុណកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ និងស្រង់ឫសចេញពីផលិតផល។

ដើម្បីបំបែកឫស អ្នកអាចបែងចែកកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ និងស្រង់ឫសចេញពីកូតា។

3. ឫសគល់នៃសញ្ញាបត្រ។

គណនា

នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងវិភាគចម្បង លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ root. ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ ផ្តល់រូបមន្ត និងផ្តល់ភស្តុតាង។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធនៃសញ្ញាបត្រ n ។

ការរុករកទំព័រ។

លក្ខណៈសម្បត្តិឫសការ៉េ

នៅក្នុងផ្នែកនេះយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយមេដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ:

នៅក្នុងសមភាពសរសេរនីមួយៗ ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំអាចផ្លាស់ប្តូរគ្នាបាន ឧទាហរណ៍ សមភាពអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា . នៅក្នុងទម្រង់ "បញ្ច្រាស" នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសការ៉េនព្វន្ធត្រូវបានអនុវត្តនៅពេល ភាពសាមញ្ញនៃការបញ្ចេញមតិជាញឹកញាប់ដូចនៅក្នុងទម្រង់ "ផ្ទាល់" ។

ភ័ស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិពីរដំបូងគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ និងនៅលើ . ហើយដើម្បីបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ អ្នកត្រូវតែចងចាំ។

ដូច្នេះសូមចាប់ផ្តើមជាមួយ ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសការ៉េនព្វន្ធនៃផលគុណនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានពីរ:. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយោងទៅតាមនិយមន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថាជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានដែលការេស្មើនឹង a b ។ តោះ​ធ្វើ​វា។ តម្លៃនៃកន្សោមគឺមិនអវិជ្ជមានជាផលគុណនៃលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកម្រិតនៃផលិតផលនៃលេខពីរអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាព ហើយចាប់តាំងពីដោយនិយមន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ និងបន្ទាប់មក .

ដូចគ្នានេះដែរ វាត្រូវបានបង្ហាញថា ឫសការ៉េនព្វន្ធនៃផលគុណនៃកត្តាមិនអវិជ្ជមាន a 1 , a 2 , … , k គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃឫសការ៉េនព្វន្ធនៃកត្តាទាំងនេះ។ ពិត។ វាធ្វើតាមសមភាពនេះ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖ និង។

ឥឡូវនេះសូមបញ្ជាក់ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសការ៉េនព្វន្ធនៃកូតា:. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃប្រភពថាមពលធម្មជាតិអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាព , ក ខណៈពេលដែលមានលេខមិនអវិជ្ជមាន។ នេះជាភស្តុតាង។

ឧទាហរណ៍ និង .

វាដល់ពេលដែលត្រូវរុះរើ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសការ៉េនព្វន្ធនៃការ៉េនៃចំនួនមួយ។ក្នុងទម្រង់សមភាពវាត្រូវបានសរសេរជា . ដើម្បីបញ្ជាក់វា សូមពិចារណាករណីពីរ៖ សម្រាប់ a≥0 និងសម្រាប់ a<0 .

វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ a≥0 សមភាពគឺពិត។ វាក៏ងាយស្រួលក្នុងការមើលថាសម្រាប់ ក<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 និង (−a) 2 = a 2 ។ ដោយវិធីនេះ ដែលត្រូវបញ្ជាក់។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖ និង .

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសការ៉េទើបតែបង្ហាញឱ្យឃើញអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលខាងក្រោម ដែល a គឺជាចំនួនពិត ហើយ m គឺជាណាមួយ។ ជាការពិត លក្ខណៈសម្បត្តិនិទស្សន្តអនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួសដឺក្រេ a 2 m ដោយកន្សោម (a m) 2 បន្ទាប់មក .

ឧទាហរណ៍, និង .

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសទី n

ចូរយើងរាយបញ្ជីចម្បង លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫស:

ភាពស្មើគ្នាជាលាយលក្ខណ៍អក្សរទាំងអស់នៅតែមានសុពលភាព ប្រសិនបើផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងពួកវា។ នៅក្នុងទម្រង់នេះ ពួកគេក៏ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ផងដែរ ជាចម្បងនៅពេលធ្វើឱ្យសាមញ្ញ និងបំប្លែងកន្សោម។

ភ័ស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសំឡេងទាំងអស់នៃឫសគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃឫសនព្វន្ធនៃសញ្ញាបត្រទី n លើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ និងលើនិយមន័យនៃម៉ូឌុលនៃលេខ។ ចូរយើងបង្ហាញពួកវាតាមលំដាប់អាទិភាព។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងភស្តុតាង លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសទី 9 នៃផលិតផល . សម្រាប់​មិន​អវិជ្ជមាន a និង b តម្លៃ​នៃ​កន្សោម​ក៏​មិន​អវិជ្ជមាន​ដែរ ដូច​ជា​ផលគុណ​នៃ​លេខ​មិន​អវិជ្ជមាន។ ទ្រព្យសម្បត្តិផលិតផលនៃអំណាចធម្មជាតិអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាព . តាមនិយមន័យនៃឫសនព្វន្ធនៃសញ្ញាបត្រទី n ហើយដូច្នេះ . នេះបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណារបស់ឫស។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចគ្នាចំពោះផលគុណនៃកត្តា k៖ សម្រាប់លេខដែលមិនអវិជ្ជមាន a 1, a 2, …, a n និង .

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ root នៃកម្រិតទី n នៃផលិតផល៖ និង .

សូមបញ្ជាក់ កម្មសិទ្ធិ​ឫសគល់​នៃ​កូតានិក. សម្រាប់ a≥0 និង b>0 លក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត និង .

តោះបង្ហាញឧទាហរណ៍៖ និង .

យើងបន្តទៅមុខទៀត។ សូមបញ្ជាក់ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសទី n នៃចំនួនមួយទៅនឹងអំណាចនៃ n. នោះគឺយើងនឹងបញ្ជាក់ សម្រាប់ m ពិត និងធម្មជាតិណាមួយ។ សម្រាប់ a≥0 យើងមាន និង ដែលបង្ហាញពីសមភាព និងសមភាព ជាក់ស្តែង។ សម្រាប់ ក<0 имеем и (ការផ្លាស់ប្តូរចុងក្រោយមានសុពលភាពដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្ត) ដែលបញ្ជាក់ពីសមភាព និង វាជាការពិតដោយសារតែការពិតដែលថានៅពេលនិយាយអំពីឫសនៃសញ្ញាបត្រសេសយើងបានយក សម្រាប់លេខដែលមិនអវិជ្ជមាន គ.

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិឫសដែលបានញែក៖ និង .

យើងបន្តទៅភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសពីឫស។ ចូរប្តូរផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង មានន័យថា យើងនឹងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសមភាព ដែលមានន័យថាសុពលភាពនៃសមភាពដើម។ សម្រាប់ចំនួនមិនអវិជ្ជមាន a ឫសការ៉េនៃទម្រង់គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។ ចងចាំអំពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃការលើកអំណាចទៅជាអំណាចមួយ ហើយប្រើនិយមន័យនៃឫស យើងអាចសរសេរខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពនៃទម្រង់ . នេះ​បញ្ជាក់​ពី​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​ដែល​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ឫស​ពី​ឫស។

ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់ root ពី root ពី root មួយត្រូវបានបង្ហាញស្រដៀងគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ពិតជា .

ឧទាហរណ៍, និង .

ចូរយើងបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិកាត់បន្ថយនិទស្សន្តឫស. ដើម្បីធ្វើដូចនេះដោយគុណធម៌នៃនិយមន័យនៃឫសវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថាមានលេខដែលមិនអវិជ្ជមានដែលនៅពេលលើកទៅអំណាចនៃ n m គឺស្មើនឹង m ។ តោះ​ធ្វើ​វា។ វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើលេខ a មិនអវិជ្ជមាន នោះឫស n នៃលេខ a គឺជាលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។ ឯណា ដែលបំពេញភស្តុតាង។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិឫសដែលបានញែក៖ .

ចូរយើងបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោម ទ្រព្យសម្បត្តិនៃឫសគល់នៃកម្រិតនៃទម្រង់ . វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ a≥0 ដឺក្រេគឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន។ លើសពីនេះទៅទៀត អំណាចទី 0 របស់វាគឺស្មើនឹង m ពិតប្រាកដ។ នេះបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃសញ្ញាបត្រ។

ឧទាហរណ៍, .

តោះបន្តទៅមុខទៀត។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ a និង b ដែលលក្ខខណ្ឌ a នោះគឺ a≥b ។ ហើយនេះផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ ក

ឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់វិសមភាពត្រឹមត្រូវ។ .

ជាចុងក្រោយ វានៅតែត្រូវបញ្ជាក់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយនៃឫសទី n ។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ផ្នែក​ទីមួយ​នៃ​ទ្រព្យសម្បត្តិ​នេះ​ជាមុន​សិន ពោលគឺ​យើង​នឹង​បញ្ជាក់​ថា​សម្រាប់ m>n និង 0 . បន្ទាប់មក ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ វិសមភាព នោះគឺ a n ≤ a m ។ ហើយលទ្ធផលវិសមភាពសម្រាប់ m>n និង 0

ដូចគ្នានេះដែរ ដោយភាពផ្ទុយគ្នា វាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់ m>n និង a>1 លក្ខខណ្ឌគឺពេញចិត្ត។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់នៃឫសនៅក្នុងលេខជាក់ស្តែង។ ឧទាហរណ៍ វិសមភាព និងពិត។

គន្ថនិទ្ទេស។

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ពិជគណិត៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ 8 កោសិកា។ ស្ថាប័នអប់រំ។
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 នៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យចូលសាលាបច្ចេកទេស)។

ព័ត៌មានអំពីប្រធានបទ៖ណែនាំទ្រឹស្តីបទឫសការ៉េសម្រាប់ប្រភាគ។ ការបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងដែលទទួលបានដោយនិស្សិតលើប្រធានបទ៖ "ឫសការ៉េនព្វន្ធ", "ឫសការ៉េនៃសញ្ញាប័ត្រ", "ឫសការ៉េនៃផលិតផល" ។ ការពង្រឹងជំនាញនៃការរាប់រហ័ស។

សកម្មភាពទំនាក់ទំនង៖ការអភិវឌ្ឍន៍ និងការបង្កើតជំនាញរបស់សិស្សក្នុងការគិតឡូជីខល ការនិយាយត្រឹមត្រូវ និងមានសមត្ថភាព ប្រតិកម្មរហ័ស។

តម្រង់ទិសតម្លៃ៖ជំរុញចំណាប់អារម្មណ៍របស់សិស្សក្នុងការសិក្សាអំពីប្រធានបទនេះ និងប្រធានបទនេះ។ សមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹងដែលទទួលបានក្នុងសកម្មភាពជាក់ស្តែង និងមុខវិជ្ជាផ្សេងៗ។

1. កំណត់និយមន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធឡើងវិញ។

2. ធ្វើទ្រឹស្តីបទឫសការេឡើងវិញពីដឺក្រេ។

3. ធ្វើទ្រឹស្តីបទឫសការ៉េឡើងវិញពីផលិតផល។

4. អភិវឌ្ឍជំនាញរាប់ផ្ទាល់មាត់។

5. រៀបចំសិស្សឱ្យសិក្សាប្រធានបទ "ឫសការ៉េនៃប្រភាគ" និងដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់នៃសម្ភារៈនៃធរណីមាត្រ។

6. ប្រាប់អំពីប្រវត្តិនៃប្រភពដើមនៃឫសនព្វន្ធ។

សម្ភារៈ និងឧបករណ៍ Didactic៖ ផែនទីមេរៀន Didactic (ឧបសម្ព័ន្ធទី ១) ក្តារខៀន ដីស សន្លឹកបៀសម្រាប់កិច្ចការបុគ្គល (គិតគូរពីសមត្ថភាពបុគ្គលរបស់សិស្ស) កាតសម្រាប់រាប់ផ្ទាល់មាត់ កាតសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់រៀន៖

1. ពេលវេលារៀបចំ៖ សរសេរប្រធានបទនៃមេរៀន ដោយកំណត់គោលដៅ និងគោលបំណងនៃមេរៀន (សម្រាប់សិស្ស)។

មេរៀនប្រធានបទ៖ ឫសការ៉េនៃប្រភាគ។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖ ថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀនយើងនឹងនិយាយឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃឫសការ៉េនព្វន្ធ ទ្រឹស្តីបទលើឫសការ៉េនៃដឺក្រេ និងឫសការ៉េនៃផលិតផល។ ហើយ ចូរយើងស្គាល់ទ្រឹស្តីបទនៅលើឫសការ៉េនៃប្រភាគ។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

1) ធ្វើម្តងទៀតដោយមានជំនួយពីការរាប់ផ្លូវចិត្ត និយមន័យនៃឫសការ៉េ និងទ្រឹស្តីបទនៅលើឫសការ៉េនៃសញ្ញាបត្រ និងផលិតផល។

2) ក្នុងអំឡុងពេលរាប់ផ្ទាល់មាត់ បុរសខ្លះនឹងបំពេញកិច្ចការនៅលើសន្លឹកបៀ។

3) ការពន្យល់អំពីសម្ភារៈថ្មី;

4) ប្រវត្តិសាស្រ្ត;

5) ការអនុវត្តភារកិច្ចនៃការងារឯករាជ្យ (ក្នុងទម្រង់នៃការធ្វើតេស្ត) ។

2. ការស្ទង់មតិផ្នែកខាងមុខ៖

1) ការរាប់ពាក្យសំដី៖យកឫសការ៉េនៃកន្សោមខាងក្រោម៖

ក) ដោយប្រើនិយមន័យនៃឫសការ៉េ គណនា៖;;; ;

ខ) តម្លៃតារាង៖ ;;;; ;

គ) ឫសការ៉េនៃផលិតផល ;;;;

ឃ) ឫសការ៉េនៃដឺក្រេ;;;; ;

ង) យកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប៖;; .

2) ការងារបុគ្គលលើកាត៖ឧបសម្ព័ន្ធ ២.

3. ពិនិត្យ D/Z៖

4. ការពន្យល់អំពីសម្ភារៈថ្មី៖

សូម​សរសេរ​កិច្ចការ​សម្រាប់​សិស្ស​នៅលើ​ក្ដារខៀន ដោយ​យោង​តាម​ជម្រើស « គណនា​ឫស​ការ៉េ​នៃ​ប្រភាគ » ៖

ជម្រើសទី 1: =

ជម្រើសទី 2: =

ប្រសិនបើបុរសបានបញ្ចប់កិច្ចការដំបូង៖ សួរថាតើពួកគេបានធ្វើវាយ៉ាងដូចម្តេច?

ជម្រើសទី 1: បង្ហាញក្នុងទម្រង់ជាការ៉េ និងទទួលបាន។ ធ្វើការសន្និដ្ឋាន។

ជម្រើសទី 2៖ បង្ហាញលេខភាគ និងភាគបែងដោយប្រើនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រក្នុងទម្រង់ និងទទួល។

ផ្តល់ឧទាហរណ៍បន្ថែម ឧទាហរណ៍ គណនាឫសការ៉េនៃប្រភាគមួយ; ; .

គូរភាពស្រដៀងគ្នាជាទម្រង់ព្យញ្ជនៈ៖

បញ្ចូលទ្រឹស្តីបទ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើ a ធំជាង ឬស្មើ 0, c ធំជាង 0 នោះឫសនៃប្រភាគ a/b គឺស្មើនឹងប្រភាគនៅក្នុងភាគយកដែលជាឫសនៃ a ហើយភាគបែងគឺជាឫសនៃ b, i.e. ឫសនៃប្រភាគស្មើនឹងឫសនៃភាគបែងចែកដោយឫសនៃភាគបែង។

ចូរយើងបង្ហាញថា 1) ឫសនៃឫសដែលបែងចែកដោយឫសនៃ c គឺធំជាងឬស្មើ 0

ភស្តុតាង។ 1) ដោយសារតែ ឫសនៃ a ធំជាង ឬស្មើ 0 ហើយឫសរបស់ c ធំជាង 0 បន្ទាប់មកឫសនៃ a ចែកដោយ root នៃ c គឺធំជាង ឬស្មើ 0 ។

2)

5. ការបង្រួបបង្រួមនៃសម្ភារៈថ្មី: ពីសៀវភៅសិក្សារបស់ Sh. A. Alimov: លេខ 362 (1.3); លេខ 363 (2.3); លេខ 364 (2.4); №365 (2.3)

6. ឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

ឫសនព្វន្ធមកពីពាក្យឡាតាំង រ៉ាឌីក - ឫស រ៉ាឌីកាលីស - ឫស

ចាប់ផ្តើមនៅសតវត្សទី 13 គណិតវិទូអ៊ីតាលី និងអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតបានបង្ហាញពីឫសគល់ជាមួយនឹងពាក្យឡាតាំង រ៉ាឌី (អក្សរកាត់ថា r) ។ នៅឆ្នាំ 1525 នៅក្នុងសៀវភៅរបស់ H. Rudolph "ការរាប់លឿននិងស្រស់ស្អាតដោយមានជំនួយពីក្បួនជំនាញនៃពិជគណិតដែលជាធម្មតាហៅថា Koss" ការរចនា V សម្រាប់ឫសការ៉េបានបង្ហាញខ្លួន។ ឫសគូបត្រូវបានតំណាងថា VVV ។ នៅឆ្នាំ 1626 គណិតវិទូជនជាតិហូឡង់ A. Girard បានណែនាំការរចនា V, VV, VVV ជាដើម។ ដែលត្រូវបានជំនួសដោយសញ្ញា r ក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ ខណៈពេលដែលបន្ទាត់ផ្ដេកត្រូវបានដាក់នៅពីលើកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។ ការរចនាសម័យទំនើបនៃឫសបានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូងនៅក្នុងសៀវភៅធរណីមាត្រដោយ René Descartes ដែលបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1637 ។

8. កិច្ចការផ្ទះ: លេខ 362 (2.4); លេខ 363 (1.4); លេខ 364 (1.3); №365 (1.4)

ឫសការ៉េនៃ a គឺជាចំនួនដែលការេគឺ a ។ ឧទាហរណ៍ លេខ -5 និង 5 គឺជាឫសការេនៃលេខ 25។ នោះគឺឫសនៃសមីការ x^2=25 គឺជាឫសការ៉េនៃលេខ 25។ ឥឡូវអ្នកត្រូវរៀនពីរបៀបធ្វើការជាមួយ ប្រតិបត្តិការឫសការ៉េ៖ សិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋានរបស់វា។

ឫសការ៉េនៃផលិតផល

√(a*b)=√a*√b

ឫសការ៉េនៃផលិតផលនៃចំនួនមិនអវិជ្ជមានពីរគឺស្មើនឹងផលគុណនៃឫសការ៉េនៃលេខទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍ √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ថាទ្រព្យសម្បត្តិនេះក៏អនុវត្តចំពោះករណីនៅពេលដែលកន្សោមរ៉ាឌីកាល់គឺជាផលនៃបី, បួន, ល។ មេគុណមិនអវិជ្ជមាន។

ពេលខ្លះមានទម្រង់ផ្សេងទៀតនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ ប្រសិនបើ a និង b ជាលេខមិនអវិជ្ជមាន នោះសមភាពខាងក្រោមនឹងទទួល៖ √(a*b) =√a*√b។ មិនមានភាពខុសគ្នារវាងពួកវាទេ អ្នកអាចប្រើពាក្យមួយ ឬពាក្យផ្សេងទៀត (មួយណាងាយស្រួលចងចាំជាង)។

ឫសការ៉េនៃប្រភាគ

ប្រសិនបើ a>=0 និង b>0 នោះសមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖

√(a/b)=√a/√b។

ឧទាហរណ៍ √(9/25) = √9/√25 =3/5;

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះក៏មានទម្រង់ផ្សេងគ្នាដែរ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ ងាយស្រួលចងចាំជាង។
ឫស​ការ៉េ​នៃ​កូតា គឺ​ស្មើ​នឹង​កូតា​នៃ​ឫស។

វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ថារូបមន្តទាំងនេះដំណើរការទាំងពីឆ្វេងទៅស្តាំនិងពីស្តាំទៅឆ្វេង។ នោះគឺប្រសិនបើចាំបាច់យើងអាចតំណាងឱ្យផលិតផលនៃឫសដែលជាឫសនៃផលិតផល។ ដូចគ្នាចំពោះទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះគឺងាយស្រួលណាស់ហើយខ្ញុំចង់មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នាសម្រាប់ការបូកនិងដក:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

ប៉ុន្តែជាអកុសលទ្រព្យសម្បត្តិបែបនេះគឺការ៉េ មិនមានឫសទេ។, ហើយ​ដូច្នេះ មិនអាចធ្វើបានក្នុងការគណនាទេ។.