រហូតមកដល់ពេលនេះយើងបានពិចារណាសមីការនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះដែលទាក់ទងដោយផ្ទាល់នូវកូអរដោនេបច្ចុប្បន្ននៃចំណុចនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វិធីមួយផ្សេងទៀតនៃការបញ្ជាក់បន្ទាត់ត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់ ដែលកូអរដោនេបច្ចុប្បន្នត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារនៃអថេរទីបី។

សូមឱ្យមុខងារពីរនៃអថេរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

ពិចារណាសម្រាប់តម្លៃដូចគ្នានៃ t ។ បន្ទាប់មកតម្លៃណាមួយនៃ t ទាំងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃជាក់លាក់មួយ និងតម្លៃជាក់លាក់នៃ y ហើយជាលទ្ធផលទៅចំណុចជាក់លាក់មួយ។ នៅពេលអថេរ t រត់តាមតម្លៃទាំងអស់ពីតំបន់និយមន័យមុខងារ (73) ចំណុចពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ С មួយចំនួននៅក្នុងយន្តហោះ។ សមីការ (73) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់នេះ ហើយអថេរត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

សន្មតថាអនុគមន៍មានអនុគមន៍បញ្ច្រាស ការជំនួសអនុគមន៍នេះទៅក្នុងសមីការទីពីរ (73) យើងទទួលបានសមីការ

បង្ហាញ y ជាមុខងារ

ចូរ​យើង​យល់​ស្រប​ថា​អនុគមន៍​នេះ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​តាម​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ដោយ​សមីការ (73)។ ការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទាំងនេះទៅសមីការ (74) ត្រូវបានគេហៅថាការលុបបំបាត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ នៅពេលពិចារណាលើមុខងារដែលបានកំណត់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ការដកប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនត្រឹមតែមិនចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏មិនតែងតែអាចអនុវត្តបានដែរ។

ក្នុងករណីជាច្រើន វាកាន់តែងាយស្រួល ដោយបានផ្ដល់តម្លៃផ្សេងគ្នានៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដើម្បីគណនា ដោយប្រើរូបមន្ត (73) តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអាគុយម៉ង់ និងមុខងារ y ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ 1. សូម​ឱ្យ​ជា​ចំណុច​បំពាន​នៃ​រង្វង់​ដែល​នៅ​កណ្តាល​ដើម​និង​កាំ R. កូអរដោនេ Cartesian x និង y នៃ​ចំណុច​នេះ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ក្នុង​ន័យ​នៃ​កាំប៉ូល​និង​មុំ​ប៉ូល​របស់​វា ដែល​យើង​បញ្ជាក់​នៅ​ទីនេះ​ដោយ t ដូចខាងក្រោម ( សូមមើល Ch. I, § 3, ធាតុ 3):

សមីការ (75) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃរង្វង់។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៅក្នុងពួកវាគឺមុំប៉ូលដែលប្រែប្រួលពី 0 ទៅ។

ប្រសិនបើសមីការ (75) មានរាងការ៉េ ហើយបន្ថែមពាក្យដោយពាក្យ នោះដោយសារអត្តសញ្ញាណ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនឹងត្រូវបានលុបចោល ហើយសមីការរង្វង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian នឹងត្រូវបានទទួល ដែលកំណត់មុខងារបឋមពីរ៖

មុខងារទាំងនេះនីមួយៗត្រូវបានបញ្ជាក់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយសមីការ (75) ប៉ុន្តែជួរនៃការប្រែប្រួលប៉ារ៉ាម៉ែត្រសម្រាប់មុខងារទាំងនេះគឺខុសគ្នា។ សម្រាប់ទីមួយ; ក្រាហ្វនៃមុខងារនេះគឺជាពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងលើ។ សម្រាប់មុខងារទីពីរ ក្រាហ្វរបស់វាគឺពាក់កណ្តាលរង្វង់ទាប។

ឧទាហរណ៍ 2. ពិចារណាពងក្រពើក្នុងពេលតែមួយ

និងរង្វង់មួយនៅចំកណ្តាលដើម និងកាំ a (រូបភាព 138)។

ទៅចំនុច M នៃរាងពងក្រពើ យើងភ្ជាប់ចំនុច N នៃរង្វង់ដែលមាន abscissa ដូចគ្នាទៅនឹងចំនុច M ហើយមានទីតាំងនៅជាមួយវានៅផ្នែកម្ខាងនៃអ័ក្ស Ox ។ ទីតាំងនៃចំនុច N ហើយហេតុដូចនេះហើយចំនុច M ត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយមុំប៉ូល t នៃចំនុច។ ក្នុងករណីនេះ សម្រាប់ abscissa ធម្មតារបស់ពួកគេ យើងទទួលបានកន្សោមដូចខាងក្រោម៖ x \u003d a. យើងរកឃើញលំដាប់នៅចំណុច M ពីសមីការពងក្រពើ៖

សញ្ញា​ត្រូវ​បាន​ជ្រើស​រើស​ដោយ​សារ​តែ​អ្នក​បញ្ជា​នៅ​ចំណុច M និង​សញ្ញា​បញ្ជា​នៅ​ចំណុច N ត្រូវ​តែ​មាន​សញ្ញា​ដូច​គ្នា។

ដូច្នេះ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រខាងក្រោមត្រូវបានទទួលសម្រាប់ពងក្រពើ៖

នៅទីនេះប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t ផ្លាស់ប្តូរពី 0 ទៅ .

ឧទាហរណ៍ 3. ពិចារណារង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅចំណុច a) និងកាំ a ដែលជាក់ស្តែងប៉ះអ័ក្ស x នៅដើម (រូបភាព 139)។ ឧបមាថាវាជារង្វង់នេះដែលវិលដោយមិនរអិលតាមអ័ក្ស x ។ បន្ទាប់មកចំនុច M នៃរង្វង់ដែលស្របគ្នានៅពេលដំបូងជាមួយនឹងប្រភពដើម ពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់មួយ ដែលត្រូវបានគេហៅថា cycloid ។

យើងទទួលបានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃស៊ីក្លូដោយយកជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t មុំនៃការបង្វិលរង្វង់ MSW នៅពេលផ្លាស់ទីចំណុចថេររបស់វាពីទីតាំង O ទៅទីតាំង M. បន្ទាប់មកសម្រាប់កូអរដោនេនិង y នៃចំណុច M យើងទទួលបានកន្សោមដូចខាងក្រោមៈ

ដោយសារតែការពិតដែលថារង្វង់វិលតាមអ័ក្សដោយមិនរអិលនោះប្រវែងនៃផ្នែក OB គឺស្មើនឹងប្រវែងនៃធ្នូ VM ។ ដោយសារប្រវែងនៃធ្នូ VM គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកាំ a និងមុំកណ្តាល t បន្ទាប់មក . នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ។ ប៉ុន្តែ ដូច្នេះ

សមីការទាំងនេះគឺជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃស៊ីក្លូ។ នៅពេលផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t ពី 0 ទៅរង្វង់នឹងធ្វើឱ្យមានបដិវត្តពេញលេញមួយ។ ចំណុច M នឹងពិពណ៌នាអំពីធ្នូមួយនៃស៊ីក្លូ។

ការមិនរាប់បញ្ចូលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t នាំឱ្យនៅទីនេះនូវការបញ្ចេញមតិដ៏ស្មុគស្មាញ និងមិនអាចអនុវត្តជាក់ស្តែងបាន។

និយមន័យ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ជា​ញឹកញាប់​ក្នុង​មេកានិច ហើយ​ពេលវេលា​ដើរ​តួនាទី​ជា​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ឧទាហរណ៍ទី 4. ចូរយើងកំណត់គន្លងនៃគ្រាប់ផ្លោងដែលបាញ់ចេញពីកាំភ្លើងជាមួយនឹងល្បឿនដំបូងនៅមុំ a ទៅជើងមេឃ។ ភាពធន់នឹងខ្យល់ និងវិមាត្រនៃការបាញ់កាំជ្រួច ដោយចាត់ទុកវាជាចំណុចសម្ភារៈ ត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់។

តោះជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោណេ។ សម្រាប់ប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ យើងយកចំណុចនៃការចាកចេញរបស់ projectile ពី muzzle ។ ចូរដឹកនាំអ័ក្ស Ox ផ្ដេក ហើយអ័ក្ស Oy - បញ្ឈរ ដោយដាក់វានៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នាជាមួយនឹង muzzle នៃកាំភ្លើង។ ប្រសិនបើគ្មានកម្លាំងទំនាញទេនោះ គ្រាប់ផ្លោងនឹងផ្លាស់ទីតាមបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលបង្កើតមុំមួយជាមួយនឹងអ័ក្សអុក ហើយនៅពេលនោះ គ្រាប់ផ្លោងនឹងធ្វើដំណើរទៅឆ្ងាយ។ ដោយ​សារ​ទំនាញ​ផែនដី គ្រាប់​ផ្លោង​ត្រូវ​តែ​នៅ​ពេល​នេះ​ចុះ​បញ្ឈរ​ដោយ​តម្លៃ​មួយ ដូច្នេះ​តាម​ពិត​នៅ​ពេល t កូអរដោនេ​នៃ projectile ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​រូបមន្ត៖

សមីការទាំងនេះគឺថេរ។ នៅពេលដែល t ផ្លាស់ប្តូរ កូអរដោនេនៃចំណុចគន្លង projectile ក៏នឹងផ្លាស់ប្តូរផងដែរ។ សមីការគឺជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃគន្លង projectile ដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រគឺជាពេលវេលា

បង្ហាញ​ពី​សមីការ​ទី​មួយ​ហើយ​ជំនួស​វា​ជា​

សមីការទីពីរ យើងទទួលបានសមីការនៃគន្លង projectile ក្នុងទម្រង់នេះគឺជាសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡា។

ចូរយើងពិចារណានិយមន័យនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ ដែលអថេរ x, y គឺជាមុខងារនៃអថេរទីបី t (ហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ)៖

សម្រាប់តម្លៃនីមួយៗ tពីចន្លោះពេលខ្លះត្រូវគ្នានឹងតម្លៃជាក់លាក់ xនិង y និងដូច្នេះចំណុចជាក់លាក់មួយ M(x, y) នៃយន្តហោះ។ ពេលណា​ tរត់តាមតម្លៃទាំងអស់ពីចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ បន្ទាប់មកចំណុច ម (x, y) ពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់មួយចំនួន អិល. សមីការ (2.2) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ អិល.

ប្រសិនបើអនុគមន៍ x = φ(t) មានច្រាស t = Ф(x) បន្ទាប់មកជំនួសកន្សោមនេះទៅក្នុងសមីការ y = g(t) យើងទទួលបាន y = g(Ф(x)) ដែលបញ្ជាក់ yជាមុខងាររបស់ x. ក្នុងករណីនេះសមីការ (2.2) ត្រូវបានគេនិយាយថាកំណត់មុខងារ yតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ឧទាហរណ៍ ១អនុញ្ញាតឱ្យ M (x, y)គឺជាចំណុចបំពាននៃរង្វង់កាំ រនិងផ្តោតលើប្រភពដើម។ អនុញ្ញាតឱ្យ t- មុំរវាងអ័ក្ស គោនិងកាំ អូម(សូមមើលរូបភាព 2.3) ។ បន្ទាប់មក x, yបានបង្ហាញតាមរយៈ t:

សមីការ (2.3) គឺជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃរង្វង់។ ចូរយើងដកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t ចេញពីសមីការ (2.3) ។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច​នេះ យើង​ធ្វើ​ការ​ការ៉េ​នៃ​សមីការ​នីមួយៗ ហើយ​បន្ថែម​វា​ឡើង យើង​ទទួល​បាន៖ x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ឬ x 2 + y 2 \u003d R 2 - សមីការ​រង្វង់ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។ វាកំណត់មុខងារពីរ៖ មុខងារទាំងនេះនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (2.3) ប៉ុន្តែសម្រាប់អនុគមន៍ទីមួយ និងទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ ២. សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

កំណត់ពងក្រពើជាមួយ semiaxes ក, ខ(រូបភាព 2.4) ។ ការលុបបំបាត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចេញពីសមីការ tយើងទទួលបានសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ៖

ឧទាហរណ៍ ៣. ស៊ីក្លូគឺជាបន្ទាត់មួយដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ ប្រសិនបើរង្វង់នេះវិលដោយមិនរអិលតាមបន្ទាត់ត្រង់មួយ (រូបភាព 2.5) ។ ចូរយើងណែនាំសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃស៊ីក្លូ។ សូមឱ្យកាំនៃរង្វង់វិល ក, ចំណុច មដោយពណ៌នាអំពីស៊ីក្លូ នៅដើមចលនាស្របគ្នានឹងប្រភពដើម។

ចូរកំណត់កូអរដោនេ x, y ពិន្ទុ មបន្ទាប់ពីរង្វង់បានបង្វិលតាមមុំមួយ។ t
(រូបភាព 2.5), t = ÐMCB. ប្រវែងធ្នូ MBស្មើនឹងប្រវែងនៃផ្នែក OBចាប់តាំងពីរង្វង់វិលដោយមិនរអិលដូច្នេះ

OB = នៅ, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t–sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a(1 - cost)។

ដូច្នេះ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃស៊ីក្លូត្រូវបានទទួល៖

នៅពេលផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tពី 0 ទៅ 2 ភីរង្វង់ត្រូវបានបង្វិលដោយបដិវត្តន៍មួយខណៈពេលដែលចំនុច មពិពណ៌នាអំពីធ្នូមួយនៃស៊ីក្លូ។ សមីការ (២.៥) កំណត់ yជាមុខងាររបស់ x. ទោះបីជាមុខងារ x = a(t-sint)មានអនុគមន៍ច្រាស ប៉ុន្តែវាមិនត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃអនុគមន៍បឋមទេ ដូច្នេះមុខងារ y = f(x)មិនត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារបឋម។

ពិចារណាពីភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយសមីការ (2.2) ។ អនុគមន៍ x = φ(t) នៅចន្លោះពេលជាក់លាក់នៃការផ្លាស់ប្តូរ t មានអនុគមន៍ច្រាស t = Ф(x)បន្ទាប់មក y = g(Ф(x)). អនុញ្ញាតឱ្យ x = φ(t), y = g(t)មាននិស្សន្ទវត្ថុ និង x"t≠0. យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ y"x=y"t ×t"x ។អាស្រ័យហេតុនេះ ដោយផ្អែកលើច្បាប់បែងចែកមុខងារបញ្ច្រាស៖

រូបមន្តលទ្ធផល (2.6) អនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់ស្វែងរកដេរីវេសម្រាប់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ឧទាហរណ៍ 4. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y, អាស្រ័យ​លើ xត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

ដំណោះស្រាយ. .
ឧទាហរណ៍ ៥ស្វែងរកជម្រាល kតង់សង់ទៅស៊ីក្លូនៅចំណុច M 0 ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ដំណោះស្រាយ។ពីសមីការស៊ីក្លូ៖ y" t = asint, x" t = a(1 - cost),នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

ជម្រាលនៃតង់សង់នៅចំណុចមួយ។ M0ស្មើនឹងតម្លៃនៅ t 0 \u003d π / 4:

មុខងារ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារនៅចំណុចមួយ។ x0មានដេរីវេ។ តាម​និយមន័យ:
ដូច្នេះដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់ (វិ។ 1.8) ដែលជាកន្លែងដែល កគឺតូចបំផុតនៅ ∆x → 0. ពី​ទីនេះ

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

ក្នុងនាម Δx → 0 ពាក្យទីពីរនៅក្នុងសមភាព (2.7) គឺជាលំដាប់ខ្ពស់ជាងគ្មានដែនកំណត់ បើប្រៀបធៀបជាមួយ , ដូច្នេះ Δy និង f "(x 0) × Δx គឺសមមូល, infinitesimal (សម្រាប់ f "(x 0) ≠ 0) ។

ដូច្នេះការបង្កើនអនុគមន៍ Δy មានពីរពាក្យ ដែល f "(x 0) × Δx ដំបូងគឺ ផ្នែក​ដ៏​សំខាន់ បង្កើន Δy លីនេអ៊ែរដោយគោរពទៅ Δx (សម្រាប់ f "(x 0) ≠ 0) ។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x 0 ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកសំខាន់នៃការបង្កើនអនុគមន៍ ហើយត្រូវបានតំណាងថា: ឌីឬ df(x0). អាស្រ័យហេតុនេះ

df (x0) = f "(x0) × Δx. (2.8)

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារ ឌីនិងការបង្កើនអនុគមន៍ Δy សម្រាប់អនុគមន៍ y \u003d x 2 នៅពេល៖
1) បំពាន xនិង Δ x; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1 ។

ដំណោះស្រាយ

1) Δy \u003d (x + Δx) 2 - x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx ។

2) ប្រសិនបើ x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1 បន្ទាប់មក Δy \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; ឌី = 40 × 0.1 = 4 ។

យើងសរសេរសមភាព (២.៧) ក្នុងទម្រង់៖

Δy = dy + a × Δx ។ (2.9)

ការកើនឡើង Δy ខុសពីឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឌីទៅលំដាប់ខ្ពស់ជាងគ្មានកំណត់ បើប្រៀបធៀបជាមួយ Δx ដូច្នេះក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែល សមភាពប្រហាក់ប្រហែល Δy ≈ dy ត្រូវបានប្រើប្រសិនបើ Δx តូចគ្រប់គ្រាន់។

ដោយពិចារណាថា Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0) យើងទទួលបានរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែល៖

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + ឌី។ (2.10)

ឧទាហរណ៍ ២. គណនាប្រមាណ។

ដំណោះស្រាយ។ពិចារណា៖

ដោយប្រើរូបមន្ត (2.10) យើងទទួលបាន៖

ដូច្នេះ ≈ 2.025 ។

ពិចារណាអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល df(x0)(រូបភាព 2.6) ។

គូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f (x) ត្រង់ចំនុច M 0 (x0, f (x 0)) ទុក φ ជាមុំរវាងតង់សង់ KM0 និងអ័ក្សអុក បន្ទាប់មក f "( x 0 ) = tgφ ពី ΔM0NP:
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0) ។ ប៉ុន្តែ PN គឺជាការកើនឡើងនៃតង់ហ្សង់ដែលកំណត់នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរពី x 0 ទៅ x 0 + Δx ។

ដូច្នេះឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x 0 គឺស្មើនឹងការបង្កើនតង់សង់។

ចូរយើងស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារ
y=x។ ចាប់តាំងពី (x)" = 1 បន្ទាប់មក dx = 1 × Δx = Δx ។ យើងសន្មត់ថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរឯករាជ្យ x គឺស្មើនឹងការបង្កើនរបស់វាពោលគឺ dx = Δx ។

ប្រសិនបើ x ជាចំនួនបំពាន នោះពីសមភាព (2.8) យើងទទួលបាន df(x) = f "(x)dx មកពីណា។ .
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = f(x) គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វាទៅនឹងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់។

ពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយ។

ប្រសិនបើ u(x), v(x) គឺជាមុខងារផ្សេងគ្នា នោះរូបមន្តខាងក្រោមគឺពិត៖

ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តទាំងនេះ រូបមន្តដេរីវេសម្រាប់ផលបូក ផលិតផល និងកូតាត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ចូរយើងបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍ រូបមន្ត (2.12)៖

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du ។

ពិចារណាពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ៖ y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t))។

បន្ទាប់មក dy = y" t dt ប៉ុន្តែ y" t = y" x × x "t ដូច្នេះ dy = y" x x" t dt ។ ពិចារណា,

នោះ x" t = dx យើងទទួលបាន dy = y" x dx = f "(x)dx ។

ដូច្នេះឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ y \u003d f (x) ដែល x \u003d φ (t) មានទម្រង់ dy \u003d f "(x) dx ដូចគ្នានឹងពេលដែល x ជាអថេរឯករាជ្យ។ ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ឌីផេរ៉ង់ស្យែលរាងមិនផ្លាស់ប្តូរ ក.

ភាពខុសគ្នាលោការីត

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម

ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នា

មុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ផ្នែកលីនេអ៊ែរសំខាន់នៃការបង្កើនមុខងារ កឃ xនៅក្នុងនិយមន័យនៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារ

ឃ f=f(x)-f(x 0)= ក(x-x 0)+ o(x-x 0), x®x 0

ត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារ f(x) នៅចំណុច x 0 និងតំណាង

df(x 0)=f¢(x 0) ឃ x=Aឃ x.

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាស្រ័យលើចំណុច x 0 និងពីការកើនឡើង D x.នៅលើ D xខណៈពេលដែលសម្លឹងមើលវាជាអថេរឯករាជ្យដូច្នេះ នៅចំណុចនីមួយៗឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃការកើនឡើង D x.

ប្រសិនបើយើងចាត់ទុកជាមុខងារ f(x)=xបន្ទាប់មកយើងទទួលបាន dx=ឃ x, dy=Adx. នេះគឺស្របទៅនឹងសញ្ញាណ Leibniz

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាការបន្ថែមនៃតង់សង់តង់សង់។

អង្ករ។ ៤.៣

1) f= const , f¢= 0, df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df=du+dv ។

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df=u dv+v du ។

ផលវិបាក។ (cf(x))¢=cf¢(x), (គ 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= គ 1 f¢ 1 (x)++…+ c n f¢ n(x)

4) f=u/v, v(x 0)¹0 ហើយដេរីវេមាន f¢=(u¢v-v¢ យូ)/v 2 .

សម្រាប់ភាពសង្ខេប យើងនឹងបញ្ជាក់ u=u(x), យូ 0 =u(x 0) បន្ទាប់មក

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នៅ D x® 0 យើងទទួលបានសមភាពដែលត្រូវការ។

5) ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើមាន f¢(x 0), g¢(x 0)និង x 0 =g(t 0)បន្ទាប់មកនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួន t 0 មុខងារស្មុគស្មាញ f(g(t))វាអាចខុសគ្នាត្រង់ចំនុច t 0 និង

ភស្តុតាង.

f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ ក( x)(x-x 0), xÎ យូ(x 0).

f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)-g(t 0))+ ក( g(t))(g(t)-g(t 0)).

បែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះដោយ ( t - t 0) ហើយឆ្លងដល់ដែនកំណត់ t®t 0 .

6) ការគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាស។

ទ្រឹស្តីបទ។ អនុញ្ញាតឱ្យ f បន្ត និងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងលើសម្លេងទោល។[ក, ខ]. សូមឱ្យនៅចំណុច x 0 Î( ក, ខ)មាន f¢(x០)¹ ០ បន្ទាប់មកអនុគមន៍បញ្ច្រាស x = f -1 (y)មាននៅចំណុច y 0 ដេរីវេស្មើនឹង

ភស្តុតាង. យើងជឿ fការកើនឡើងឯកតាយ៉ាងតឹងរ៉ឹងបន្ទាប់មក f -1 (y) គឺ​ជា​ការ​បន្ត​កើនឡើង​ឯកតា​នៅ​លើ [ f(ក), ច(ខ)]. តោះដាក់ y 0 =f(x 0), y = f(x), x - x 0=D x,

y-y 0=D y. ដោយសារតែការបន្តនៃមុខងារបញ្ច្រាស D y®0 Þ ឃ x®0 យើងមាន

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់ យើងទទួលបានសមភាពដែលត្រូវការ។

៧) ដេរីវេនៃអនុគមន៍គូគឺសេស ដេរីវេនៃអនុគមន៍សេសគឺគូ។

ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើ x®-x 0 , បន្ទាប់មក - x® x 0 , នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

សម្រាប់មុខងារគូសម្រាប់មុខងារសេស

1) f= const, f¢(x)=0.

2) f(x)=x, f¢(x)=1.

3) f(x)= អ៊ី x, f¢(x)= អ៊ី x ,

4) f(x)=a x ,(ក x)¢ = x ln ក.

5) ln ក.

6) f(x) = ln x ,

ផលវិបាក។ (ដេរីវេនៃអនុគមន៍គូគឺសេស)

7) (xម )¢= ម x m-1 , x>0, xម =eម ln x .

៨) (អំពើបាប x)¢= cos x,

៩) (កូស x)¢=- អំពើបាប x,(cos x)¢= (បាប( x+ទំ/២)) ¢= cos( x+ p/2)=-បាប x.

១០) (ត x)¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x)¢= -១/បាប២ x.

១៦) ស x,ឆ x.

f(x),តើវាមកពីណា f¢(x)=f(x)(អិល f(x))¢ .

រូបមន្តដូចគ្នាអាចទទួលបានខុសគ្នា f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (អិល f(x))¢.

ឧទាហរណ៍។ គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ f=x x ។

= x x = x x = x x = x x(ln x + 1).

ទីតាំងនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះ

នឹងត្រូវបានគេហៅថាក្រាហ្វនៃមុខងារ, ផ្តល់ឱ្យដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ. ពួកគេក៏និយាយអំពីនិយមន័យប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃអនុគមន៍មួយ។

ចំណាំ ១.ប្រសិនបើ ក x, yបន្ត [ក, ខ] និង x(t) monotonic យ៉ាងតឹងរឹងនៅលើផ្នែក (ឧទាហរណ៍ ការកើនឡើងឯកតាយ៉ាងតឹងរ៉ឹង) បន្ទាប់មកនៅលើ [ ក, ខ], a=x(ក) , b=x(ខ) មុខងារដែលបានកំណត់ f(x)=y(t(x))ដែលជាកន្លែងដែល t(x) – មុខងារបញ្ច្រាសទៅ x (t) ។ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះគឺដូចគ្នាទៅនឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

ប្រសិនបើវិសាលភាព អនុគមន៍​ដែល​កំណត់​ដោយ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​អាច​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា​ចំនួន​កំណត់​នៃ​ផ្នែក ,k= 1,2,…,n,នៅលើមុខងារនីមួយៗ x(t) គឺ monotonic យ៉ាងតឹងរ៉ឹង បន្ទាប់មកអនុគមន៍ដែលបានកំណត់ដោយ parametrically decomposes ទៅជាចំនួនកំណត់នៃមុខងារធម្មតា f k(x)=y(t -1 (x)) ជាមួយនឹងវិសាលភាព [ x(ក k), x(ខ k)] សម្រាប់តំបន់ឡើង x(t) និងជាមួយដែន [ x(ខ k), x(ក k)] សម្រាប់ផ្នែកចុះក្រោមនៃមុខងារ x(t). អនុគមន៍​ដែល​ទទួល​បាន​តាម​វិធី​នេះ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​សាខា​តម្លៃ​តែ​មួយ​នៃ​អនុគមន៍​ដែល​កំណត់​ដោយ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលបានជ្រើសរើស ដែននៃនិយមន័យ ត្រូវបានបែងចែកជាប្រាំផ្នែកនៃ monotonicity យ៉ាងតឹងរឹងនៃមុខងារ sin (2 t), យ៉ាង​ពិតប្រាកដ: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , ហើយតាមនោះ ក្រាហ្វនឹងបំបែកទៅជាសាខាតម្លៃតែមួយចំនួនប្រាំដែលត្រូវគ្នានឹងផ្នែកទាំងនេះ។

អង្ករ។ ៤.៤

អង្ករ។ ៤.៥

អ្នកអាចជ្រើសរើសប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងទៀតនៃទីតាំងដូចគ្នានៃចំណុច

ក្នុងករណីនេះវានឹងមានតែបួនសាខាបែបនេះ។ ពួកគេនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងតំបន់នៃ monotonicity តឹងរឹង tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ មុខងារ អំពើបាប(២ t).

អង្ករ។ ៤.៦

ផ្នែកបួននៃ monotonicity នៃមុខងារ sin (2 t) នៅលើផ្នែកវែង។

អង្ករ។ ៤.៧

រូបភាពនៃក្រាហ្វទាំងពីរនៅក្នុងតួរលេខមួយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្ហាញអំពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដោយប្រើតំបន់ monotonicity នៃមុខងារទាំងពីរ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណា សាខាទីមួយដែលត្រូវនឹងផ្នែក tÎ . នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនេះមុខងារ x=អំពើបាប(២ t) យកតម្លៃ -1 និង ១ ដូច្នេះសាខានេះនឹងត្រូវបានកំណត់នៅលើ [-1,1] ។ បន្ទាប់ពីនោះអ្នកត្រូវមើលតំបន់នៃ monotonicity នៃមុខងារទីពីរ y= cos( t), នាង​មាន តំបន់ពីរនៃ monotonicity . នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងនិយាយថាសាខាទីមួយមានពីរផ្នែកនៃ monotonicity ។ ដោយបានរកឃើញចំណុចបញ្ចប់នៃក្រាហ្វ អ្នកអាចភ្ជាប់ពួកវាជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ ដើម្បីបង្ហាញពីលក្ខណៈនៃឯកតានៃក្រាហ្វ។ ដោយបានធ្វើវាជាមួយសាខានីមួយៗ យើងទទួលបានផ្នែកនៃភាពឯកកោនៃសាខាដែលមានតម្លៃតែមួយនៃក្រាហ្វ (ក្នុងរូបភាពដែលពួកគេត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌ក្រហម)

អង្ករ។ ៤.៨

សាខាតែមួយដំបូង f 1 (x)=y(t(x)) ដែលត្រូវគ្នានឹងផ្នែក នឹងត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ xн[-1,1] . សាខាតែមួយដំបូង tÎ , xអូ[-1,1]។

សាខាទាំងបីផ្សេងទៀតនឹងមានសំណុំ [-1,1] ជាដែនរបស់ពួកគេផងដែរ។ .

អង្ករ។ ៤.៩

សាខាទីពីរ tÎ xអូ[-1,1]។

អង្ករ។ ៤.១០

សាខាទីបី tÎ xн[-1,1]

អង្ករ។ ៤.១១

សាខាទីបួន tÎ xн[-1,1]

អង្ករ។ ៤.១២

មតិយោបល់ 2. មុខងារដូចគ្នាអាចមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងគ្នា។ ភាពខុសគ្នាអាចទាក់ទងនឹងមុខងារទាំងពីរខ្លួនឯង x(t)យ(t) , និងដែននៃនិយមន័យ មុខងារទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្សេងគ្នានៃមុខងារដូចគ្នា។

និង tн[-1, 1] .

ចំណាំ ៣.ប្រសិនបើ x, y គឺបន្ត , x(t)- monotonic យ៉ាងតឹងរឹងនៅលើផ្នែក ហើយមាននិស្សន្ទវត្ថុ y¢(t 0),x¢(t 0)¹0 បន្ទាប់មកមាន f¢(x 0)= .

ពិត។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ចុងក្រោយក៏ពង្រីកទៅសាខាតម្លៃតែមួយនៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

4.2 ដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង

ដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលខ្ពស់ជាង។ ភាពខុសគ្នានៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ រូបមន្ត Leibniz ។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមវិធីប៉ារ៉ាម៉ែត៖
(1)
តើ​អថេរ​ខ្លះ​ហៅ​ថា​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ត្រង់​ណា។ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ និងមានដេរីវេនៅតម្លៃមួយចំនួននៃអថេរ។ លើស​ពី​នេះ​ទៅ​ទៀត អនុគមន៍​ក៏​មាន​អនុគមន៍​បញ្ច្រាស​នៅ​ក្នុង​សង្កាត់​មួយ​ចំនួន​នៃ​ចំណុច។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍ (1) មានដេរីវេនៅចំណុច ដែលក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
(2)

នៅទីនេះ និងជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ និងទាក់ទងទៅនឹងអថេរ (ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ)។ ពួកគេត្រូវបានសរសេរជាញឹកញាប់ក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
;
.

បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធ (២) អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

ភស្តុតាង

តាមលក្ខខណ្ឌ មុខងារមានមុខងារបញ្ច្រាស។ ចូរយើងសម្គាល់វាជា
.
បន្ទាប់មក មុខងារដើមអាចត្រូវបានតំណាងថាជាមុខងារស្មុគស្មាញ៖
.
ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេរបស់វាដោយអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ និងច្រាស៖
.

ច្បាប់ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ភស្តុតាងនៅក្នុងវិធីទីពីរ

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេតាមវិធីទីពីរ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រង់ចំនុច៖
.
ចូរយើងណែនាំសញ្ញាណៈ
.
បន្ទាប់មករូបមន្តមុនយកទម្រង់៖
.

ចូរ​យើង​ប្រើ​ការពិត​ដែល​អនុគមន៍​មាន​អនុគមន៍​ច្រាស​នៅ​ជុំវិញ​ចំណុច។
ចូរយើងណែនាំការសម្គាល់៖
; ;
; .
ចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយ៖
.
នៅ , ។ បន្ទាប់មក
.

ច្បាប់ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាងនេះ ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តភាពខុសគ្នាជាច្រើនដង។ ឧបមាថាយើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមវិធីប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ
(1)

យោងតាមរូបមន្ត (2) យើងរកឃើញដេរីវេទី 1 ដែលត្រូវបានកំណត់ផងដែរតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖
(2)

សម្គាល់ដេរីវេទី 1 ដោយមធ្យោបាយនៃអថេរ៖
.
បន្ទាប់មក ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍ ទាក់ទងនឹងអថេរ អ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍ដោយគោរពទៅអថេរ។ ការពឹងផ្អែកនៃអថេរនៅលើអថេរមួយក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីប៉ារ៉ាមេតមួយផងដែរ៖
(3)
ការប្រៀបធៀប (3) ជាមួយរូបមន្ត (1) និង (2) យើងរកឃើញ:

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញលទ្ធផលនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារ និង . ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួស និងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃប្រភាគ៖
.
បន្ទាប់មក
.

ពីទីនេះយើងទទួលបានដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងអថេរ៖

វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រផងដែរ។ ចំណាំថា បន្ទាត់ទីមួយក៏អាចសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
.

ការបន្តដំណើរការ វាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបានដេរីវេនៃមុខងារពីអថេរនៃលំដាប់ទីបី និងខ្ពស់ជាងនេះ។

ចំណាំថា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្ហាញសញ្ញាណសម្រាប់ដេរីវេ។ វាអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖
;
.

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមវិធីប៉ារ៉ាមេតៈ

ដំណោះស្រាយ

យើងរកឃើញដេរីវេនៃ និងទាក់ទងនឹង .
ពីតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
.
យើងដាក់ពាក្យ៖

.
នៅទីនេះ

.
នៅទីនេះ

ដេរីវេដែលចង់បាន៖
.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបង្ហាញតាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

ដំណោះស្រាយ

តោះបើកតង្កៀបដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់មុខងារថាមពល និងឫស៖
.

យើងរកឃើញដេរីវេ៖

.

យើងរកឃើញដេរីវេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងណែនាំអថេរមួយ ហើយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។

.

យើងរកឃើញដេរីវេដែលចង់បាន៖
.

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេទី 2 និងទី 3 នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រក្នុងឧទាហរណ៍ 1:

ដំណោះស្រាយ

ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 យើងបានរកឃើញដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយ៖

សូម​ណែនាំ​កំណត់​ចំណាំ។ បន្ទាប់មកមុខងារគឺជាដេរីវេដែលទាក់ទងនឹង . វាត្រូវបានកំណត់តាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទី 2 ទាក់ទងនឹង យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេទី 1 ទាក់ទងនឹង .

យើងបែងចែកដោយការគោរព។
.
យើងរកឃើញដេរីវេដោយឧទាហរណ៍ 1:
.
ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរដោយគោរពគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃលំដាប់ទី 1 ទាក់ទងនឹង៖
.

ដូច្នេះ យើង​បាន​រក​ឃើញ​និស្សន្ទវត្ថុ​លំដាប់​ទី​ពីរ​ដោយ​គោរព​តាម​ទម្រង់​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេនៃលំដាប់ទីបី។ សូម​ណែនាំ​កំណត់​ចំណាំ។ បន្ទាប់មកយើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃអនុគមន៍ ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមវិធីប៉ារ៉ាមេតៈ

យើងរកឃើញដេរីវេទាក់ទងនឹង . ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់សមមូល៖
.
ពី
.

ដេរីវេនៃលំដាប់ទី 3 ទាក់ទងនឹង ស្មើនឹង ដេរីវេទី 1 ទាក់ទងនឹង៖
.

មតិយោបល់

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្ហាញអថេរ និង ដែលជាដេរីវេនៃ និង រៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចសរសេរវាដូចនេះ៖
;
;
;
;
;
;
;
;
.

ចម្លើយ

នៅក្នុងការតំណាងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដេរីវេទី 2 មានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ដេរីវេនៃលំដាប់ទីបី។

មុខងារអាចត្រូវបានកំណត់តាមវិធីជាច្រើន។ វាអាស្រ័យលើច្បាប់ដែលត្រូវបានប្រើនៅពេលកំណត់វា។ ទម្រង់ច្បាស់លាស់នៃនិយមន័យមុខងារគឺ y = f (x) ។ មានករណីនៅពេលដែលការពិពណ៌នារបស់វាគឺមិនអាចទៅរួច ឬរអាក់រអួល។ ប្រសិនបើមានសំណុំនៃគូ (x; y) ដែលត្រូវគណនាសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t លើចន្លោះពេល (a; b) ។ ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ x = 3 cos t y = 3 sin t ជាមួយ 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

និយមន័យ​មុខងារ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

ដូច្នេះហើយ យើងមានថា x = φ (t), y = ψ (t) ត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃ t ∈ (a ; b) ហើយមានអនុគមន៍ច្រាស t = Θ (x) សម្រាប់ x = φ (t) បន្ទាប់មក យើងកំពុងនិយាយអំពីការកំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃមុខងារនៃទម្រង់ y = ψ (Θ (x)) ។

មានករណីនៅពេលដែល ដើម្បីសិក្សាមុខងារមួយ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដេរីវេដោយគោរព x ។ ពិចារណារូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃទម្រង់ y x " = ψ " (t) φ " (t) ចូរនិយាយអំពីដេរីវេនៃលំដាប់ទី 2 និងទី 9 ។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

យើងមានថា x = φ (t), y = ψ (t), កំណត់និងខុសគ្នាសម្រាប់ t ∈ a ; b ដែល x t " = φ " (t) ≠ 0 និង x = φ (t) បន្ទាប់មកមានអនុគមន៍ច្រាសនៃទម្រង់ t = Θ (x) ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ អ្នកគួរតែផ្លាស់ទីពីភារកិច្ចប៉ារ៉ាមេតទៅមួយច្បាស់លាស់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវទទួលបានអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) ដែលជាកន្លែងដែលមានអាគុយម៉ង់ x ។

ដោយផ្អែកលើច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ យើងទទួលបានថា y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ " Θ x Θ" x ។

នេះបង្ហាញថា t = Θ (x) និង x = φ (t) គឺជាអនុគមន៍ច្រាសពីរូបមន្តអនុគមន៍ច្រាស Θ "(x) = 1 φ" (t) បន្ទាប់មក y "x = ψ" Θ (x) Θ " (x) = ψ "(t) φ " (t) ។

ចូរបន្តទៅពិចារណាការដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួនដោយប្រើតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេសម្រាប់អនុគមន៍ x = t 2 + 1 y = t ។

ដំណោះស្រាយ

តាមលក្ខខណ្ឌ យើងមានថា φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t ដូច្នេះយើងទទួលបាន φ "(t) = t 2 + 1", ψ "(t) = t" = 1 ។ ចាំបាច់ត្រូវប្រើរូបមន្តដែលបានមកពី ហើយសរសេរចម្លើយក្នុងទម្រង់៖

y "x = ψ" (t) φ "(t) = 1 2 t

ចម្លើយ៖ y x" = 1 2 t x = t 2 + 1 ។

នៅពេលធ្វើការជាមួយដេរីវេនៃអនុគមន៍ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t បញ្ជាក់ការបញ្ចេញមតិរបស់អាគុយម៉ង់ x តាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រដូចគ្នា t ដើម្បីកុំឱ្យបាត់បង់ទំនាក់ទំនងរវាងតម្លៃនៃដេរីវេទីវ និងអនុគមន៍ដែលបានបញ្ជាក់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រជាមួយនឹងអាគុយម៉ង់ដែលទាំងនេះ តម្លៃត្រូវគ្នា។

ដើម្បីកំណត់និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីពីរនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ អ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយលើអនុគមន៍លទ្ធផល បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា

y""x = ψ"(t)φ"(t)"φ"(t) = ψ""(t) φ"(t) - ψ"(t) φ""(t)φ"(t) 2 φ "(t) = ψ "" (t) φ "(t) - ψ "(t) φ "" (t) φ "(t) 3 .

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទី 2 និងទី 2 នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ x = cos (2 t) y = t 2 ។

ដំណោះស្រាយ

តាមលក្ខខណ្ឌ យើងទទួលបាន φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2 ។

បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរ

φ "(t) \u003d cos (2 t)" \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ψ (t) \u003d t 2 " \u003d 2 t

វាធ្វើតាមថា y x "= ψ" (t) φ "(t) = 2 t − 2 sin 2 t = - t sin (2 t) ។

យើងទទួលបានថាទម្រង់នៃដេរីវេនៃលំដាប់ទី 1 គឺ x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) ។

ដើម្បីដោះស្រាយវា អ្នកត្រូវអនុវត្តរូបមន្តដេរីវេទី 2 លំដាប់ទីពីរ។ យើងទទួលបានការបញ្ចេញមតិដូចជា

y x "" \u003d - t sin (2 t) φ "t \u003d - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

បន្ទាប់មកកំណត់ដេរីវេទី 2 ដោយប្រើអនុគមន៍ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

ដំណោះស្រាយស្រដៀងគ្នាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀត។ បន្ទាប់មក

φ "t \u003d (cos (2 t))) " \u003d - sin (2 t) 2 t " \u003d - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t \u003d - 2 sin (2 t) " \u003d - 2 sin (2 t) "= - 2 cos (2 t) (2 t)" = - 4 cos (2 t) ψ "(t) = (t 2)" = 2 t ⇒ ψ "" (t) = (2 t) " = 2

ដូច្នេះ​ហើយ​យើង​ទទួល​បាន។

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 − 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 \u003d \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

ចម្លើយ៖ y "" x \u003d sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ដែលមានមុខងារដែលបានបញ្ជាក់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានរកឃើញ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter