មេរៀនទី 3 FNP, ដេរីវេដោយផ្នែក, ឌីផេរ៉ង់ស្យែល

តើអ្វីជារឿងសំខាន់ដែលយើងបានរៀននៅក្នុងការបង្រៀនចុងក្រោយ

យើងបានរៀនពីមុខងារនៃអថេរជាច្រើនជាមួយនឹងអាគុយម៉ង់ពីលំហ Euclidean ។ បានសិក្សាពីអ្វីដែលជាដែនកំណត់ និងការបន្តសម្រាប់មុខងារបែបនេះ

តើយើងនឹងរៀនអ្វីខ្លះនៅក្នុងមេរៀននេះ?

បន្តការសិក្សារបស់ FNP យើងនឹងសិក្សាពីដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្នែកសម្រាប់មុខងារទាំងនេះ។ រៀនពីរបៀបសរសេរសមីការនៃយន្តហោះតង់សង់ និងធម្មតាទៅផ្ទៃ។

ដេរីវេដោយផ្នែក ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញ FNP ។ ទំនាក់ទំនងរវាងភាពខុសគ្នានៃមុខងារមួយ និងអត្ថិភាពនៃដេរីវេដោយផ្នែក

សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដមួយ បន្ទាប់ពីសិក្សាលើប្រធានបទ "ដែនកំណត់" និង "ការបន្ត" (ការណែនាំអំពីការវិភាគគណិតវិទ្យា) ដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រូវបានសិក្សា។ ចូរយើងងាកទៅរកការពិចារណាលើសំណួរស្រដៀងគ្នាសម្រាប់មុខងារនៃអថេរជាច្រើន។ ចំណាំថាប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ទាំងអស់លើកលែងតែមួយត្រូវបានជួសជុលនៅក្នុង FRR នោះ FRR បង្កើតមុខងារនៃអាគុយម៉ង់មួយ ដែលវាអាចពិចារណាពីការកើនឡើង ឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងដេរីវេ។ យើងនឹងហៅពួកវាថាជាផ្នែកបន្ថែម ឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្នែក និងដេរីវេដោយផ្នែក រៀងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងឆ្លងកាត់និយមន័យជាក់លាក់។

និយមន័យ ១០. អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារនៃអថេរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅកន្លែងណា - ធាតុមួយនៃលំហ Euclidean និងការកើនឡើងដែលត្រូវគ្នានៃអាគុយម៉ង់ , , ... , . នៅពេលដែលតម្លៃ ត្រូវបានគេហៅថាការបង្កើនផ្នែកនៃអនុគមន៍។ ការកើនឡើងសរុបនៃអនុគមន៍គឺជាតម្លៃនៃ .

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់អនុគមន៍នៃអថេរពីរ ដែលចំណុចមួយនៅលើយន្តហោះ និង ការកើនឡើងដែលត្រូវគ្នានៃអាគុយម៉ង់ ការកើនឡើងនឹងជាឯកជន។ ក្នុងករណីនេះ តម្លៃគឺជាការបង្កើនពេញលេញនៃមុខងារនៃអថេរពីរ។

និយមន័យ ១១. ដេរីវេដោយផ្នែកនៃមុខងារនៃអថេរ by variable គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងដោយផ្នែកនៃអនុគមន៍ ដោយអថេរនេះទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ដែលត្រូវគ្នានៅពេលដែលវាមានទំនោរទៅ 0 ។

យើងសរសេរនិយមន័យ ១១ ជារូបមន្ត ឬពង្រីក។ (2) សម្រាប់មុខងារនៃអថេរពីរ និយមន័យ 11 អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្ត , . តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង និយមន័យនេះមានន័យថា នៅពេលគណនាដេរីវេដោយផ្នែក ទាក់ទងទៅនឹងអថេរមួយ អថេរផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានជួសជុល ហើយយើងចាត់ទុកមុខងារនេះជាមុខងារនៃអថេរដែលបានជ្រើសរើសមួយ។ ទាក់ទងទៅនឹងអថេរនេះ ដេរីវេធម្មតាត្រូវបានយក។

ឧទាហរណ៍ 4. សម្រាប់អនុគមន៍មួយ ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែក និងចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុទាំងពីរផ្នែកគឺ 0។

ការសម្រេចចិត្ត . យើងគណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក , និងសរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនេះមានពីរចំណុច និង .

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលគោលគំនិតនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចត្រូវបានទូទៅទៅ FNP ។ សូមចាំថាអនុគមន៍នៃអថេរមួយត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នា ប្រសិនបើការបង្កើនរបស់វាត្រូវបានតំណាងជា ខណៈពេលដែលតម្លៃគឺជាផ្នែកសំខាន់នៃការបង្កើនមុខងារ និងត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វា។ តម្លៃ​គឺ​ជា​អនុគមន៍​មួយ​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ដែល​ពោល​គឺ​ជា​អនុគមន៍​ដែល​គ្មាន​ដែន​កំណត់​បើ​ធៀប​នឹង . អនុគមន៍​នៃ​អថេរ​មួយ​គឺ​អាច​ខុស​គ្នា​នៅ​ចំណុច​មួយ ប្រសិន​បើ​វា​មាន​ដេរីវេនៅ​ចំណុច​នោះ។ លើសពីនេះទៅទៀត ថេរ និងស្មើនឹងដេរីវេនេះ ពោលគឺ រូបមន្តមានសុពលភាពសម្រាប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែល .

ប្រសិនបើយើងពិចារណាលើការបង្កើនដោយផ្នែកនៃ FNP នោះមានតែអាគុយម៉ង់មួយប៉ុណ្ណោះដែលផ្លាស់ប្តូរ ហើយការបង្កើនផ្នែកនេះអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការបង្កើនមុខងារនៃអថេរមួយ ពោលគឺ ទ្រឹស្តីដូចគ្នាដំណើរការ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌនៃភាពខុសគ្នា កាន់ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែមានដេរីវេផ្នែកមួយ ក្នុងករណីនេះឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ .

តើអ្វីជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន?

និយមន័យ ១២. មុខងារនៃអថេរ ត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នានៅចំណុចមួយ។ ប្រសិនបើការកើនឡើងរបស់វាត្រូវបានតំណាងជា . ក្នុងករណីនេះផ្នែកសំខាន់នៃការកើនឡើងត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែល FNP ។

ដូច្នេះ ឌីផេរ៉ង់ស្យែល FNP គឺជាតម្លៃ។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ពី​អ្វី​ដែល​យើង​ចង់​បាន​ដោយ​តម្លៃ ដែល​យើង​នឹង​ហៅ​ថា infinitesimal បើ​ធៀប​នឹង​ការ​កើន​ឡើង​នៃ​អាគុយម៉ង់ . នេះគឺជាមុខងារដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិដែលថាប្រសិនបើការកើនឡើងទាំងអស់លើកលែងតែមួយគឺ 0 នោះសមភាព . សំខាន់ នេះមានន័យថា = = + +…+ .

ហើយតើលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃ FNP និងលក្ខខណ្ឌសម្រាប់អត្ថិភាពនៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកនៃមុខងារនេះទាក់ទងគ្នាយ៉ាងដូចម្តេច?

ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រសិនបើមុខងារនៃអថេរអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ។ បន្ទាប់មកវាមាននិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកទាក់ទងនឹងអថេរទាំងអស់នៅចំណុចនេះ និងនៅពេលតែមួយ។

ភស្តុតាង. យើងសរសេរសមភាពសម្រាប់ និងក្នុងទម្រង់ ហើយបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពលទ្ធផលដោយ . នៅក្នុងសមភាពលទ្ធផល យើងឆ្លងទៅដែនកំណត់នៅ . ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមភាពដែលត្រូវការ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ផលវិបាក. ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍នៃអថេរត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត . (3)

ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 4 ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹង . ចំណាំថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹង . ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងគណនាវានៅចំណុចមួយដោយបង្កើន នោះឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងស្មើនឹង . ចំណាំថា តម្លៃពិតប្រាកដនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចំណុច គឺស្មើនឹង , ប៉ុន្តែតម្លៃដូចគ្នា ប្រមាណគណនាដោយប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែលទី 1 គឺស្មើនឹង . យើងឃើញថាដោយការជំនួសការបង្កើនមុខងារជាមួយនឹងឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វា យើងអាចប៉ាន់ស្មានតម្លៃនៃអនុគមន៍។

ប៉ុន្តែមុខងារនៃអថេរជាច្រើនអាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ ប្រសិនបើវាមានដេរីវេមួយផ្នែកនៅចំណុចនោះ។ មិនដូចមុខងារនៃអថេរមួយ ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះគឺទេ។ រូបមន្តពិតប្រាកដនៃទំនាក់ទំនងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ២. ប្រសិនបើមុខងារនៃអថេរនៅចំណុច មាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តទាក់ទងនឹងអថេរទាំងអស់ បន្ទាប់មកមុខងារគឺខុសគ្នាត្រង់ចំណុចនេះ។

ជា មានតែការផ្លាស់ប្តូរអថេរមួយនៅក្នុងតង្កៀបនីមួយៗ ដូច្នេះយើងអាចអនុវត្តរូបមន្តបង្កើនកម្រិតកំណត់របស់ Lagrange នៅទីនេះ និងទីនោះ។ ខ្លឹមសារនៃរូបមន្តនេះគឺថាសម្រាប់អនុគមន៍ដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់នៃអថេរមួយ ភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចពីរគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុចមធ្យមមួយចំនួន គុណនឹងចំងាយរវាងចំនុច។ ការអនុវត្តរូបមន្តនេះចំពោះតង្កៀបនីមួយៗ យើងទទួលបាន។ ដោយសារតែការបន្តនៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក និស្សន្ទវត្ថុនៅចំណុច និងដេរីវេនៅចំណុចខុសគ្នាពីនិស្សន្ទវត្ថុ និងនៅចំណុចដោយតម្លៃ និងទំនោរទៅ 0 ជាទំនោរទៅ 0។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក និងជាក់ស្តែង។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។ និងសំរបសំរួល ពិនិត្យមើលថាចំណុចនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្ទៃ។ សរសេរសមីការសម្រាប់ប្លង់តង់សង់ និងសមីការសម្រាប់ធម្មតាទៅផ្ទៃនៅចំណុចដែលបានបញ្ជាក់។

ការសម្រេចចិត្ត. ពិត។ យើងបានគណនារួចហើយនៅក្នុងការបង្រៀនចុងក្រោយអំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍នេះនៅចំណុចបំពាន នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យវាស្មើនឹង . ដូច្នេះសមីការនៃយន្តហោះតង់សង់នឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ ឬ , និងសមីការនៃធម្មតា - ក្នុងទម្រង់ .

ដេរីវេផ្នែកនីមួយៗ (លើស xនិងដោយ y) នៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរគឺជាដេរីវេធម្មតានៃអនុគមន៍នៃអថេរមួយជាមួយនឹងតម្លៃថេរនៃអថេរផ្សេងទៀត៖

(កន្លែងណា y= const),

(កន្លែងណា x= const) ។

ដូច្នេះ និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកត្រូវបានគណនាពី រូបមន្ត និងច្បាប់សម្រាប់គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍នៃអថេរមួយ។ខណៈពេលដែលពិចារណាអថេរផ្សេងទៀតជាថេរ (ថេរ) ។

ប្រសិនបើអ្នកមិនត្រូវការការវិភាគអំពីឧទាហរណ៍ និងទ្រឹស្តីអប្បបរមាដែលចាំបាច់សម្រាប់រឿងនេះ ប៉ុន្តែអ្នកគ្រាន់តែត្រូវការដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហារបស់អ្នក បន្ទាប់មកបន្តទៅ ការគណនាដេរីវេដោយផ្នែកតាមអ៊ីនធឺណិត .

ប្រសិនបើវាពិបាកក្នុងការផ្តោតលើការតាមដានកន្លែងដែលថេរនៅក្នុងអនុគមន៍នោះ អ្នកអាចជំនួសលេខណាមួយនៅក្នុងដំណោះស្រាយព្រាងនៃឧទាហរណ៍ជំនួសឱ្យអថេរជាមួយនឹងតម្លៃថេរ - បន្ទាប់មកអ្នកអាចគណនាបានយ៉ាងលឿននូវដេរីវេភាគដូចធម្មតា ដេរីវេនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះដែលមិនត្រូវភ្លេចត្រឡប់ថេរ (អថេរដែលមានតម្លៃថេរ) ទៅកន្លែងរបស់វានៅពេលបញ្ចប់។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកដែលបានពិពណ៌នាខាងលើកើតឡើងពីនិយមន័យនៃដេរីវេដោយផ្នែក ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសំណួរប្រឡង។ ដូច្នេះ ដើម្បី​ស្គាល់​និយមន័យ​ខាងក្រោម អ្នក​អាច​បើក​ឯកសារ​យោង​ទ្រឹស្តី។

គំនិតនៃការបន្តនៃមុខងារមួយ។ z= f(x, y) នៅចំណុចមួយត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងគោលគំនិតនេះសម្រាប់មុខងារនៃអថេរមួយ។

មុខងារ z = f(x, y) ត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅចំណុចមួយប្រសិនបើ

ភាពខុសគ្នា (2) ត្រូវបានគេហៅថាការកើនឡើងសរុបនៃអនុគមន៍ z(វាត្រូវបានទទួលដោយការបង្កើនអាគុយម៉ង់ទាំងពីរ) ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ z= f(x, y) និងចំណុច

ប្រសិនបើមុខងារផ្លាស់ប្តូរ zកើតឡើងនៅពេលដែលមានតែអាគុយម៉ង់មួយក្នុងចំណោមអាគុយម៉ង់ផ្លាស់ប្តូរឧទាហរណ៍ xជាមួយនឹងតម្លៃថេរនៃអាគុយម៉ង់ផ្សេងទៀត។ yបន្ទាប់មកមុខងារនឹងត្រូវបានបង្កើន

ហៅថាការបង្កើនផ្នែកនៃមុខងារ f(x, y) លើ x.

ពិចារណាលើការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ zអាស្រ័យ​លើ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​នៃ​អាគុយម៉ង់​មួយ​ប៉ុណ្ណោះ យើង​ពិត​ជា​ឆ្លង​ទៅ​មុខងារ​នៃ​អថេរ​មួយ។

ប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់

បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍ f(x, y) ដោយអាគុយម៉ង់ xហើយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញាមួយ។

(4)

ការបង្កើនផ្នែកត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា zនៅលើ y:

និងដេរីវេដោយផ្នែក f(x, y) លើ y:

(6)

ឧទាហរណ៍ ១

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹងអថេរ "x"៖

(yថេរ);

យើងរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹងអថេរ "y"៖

(xថេរ) ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ វាមិនមានបញ្ហាចំពោះវិសាលភាពនៃអថេរដែលត្រូវបានជួសជុលនោះទេ៖ ក្នុងករណីនេះ វាគ្រាន់តែជាចំនួនមួយចំនួនដែលជាកត្តា (ដូចនៅក្នុងករណីនៃដេរីវេធម្មតា) ជាមួយនឹងអថេរដែលយើងរកឃើញផ្នែក ដេរីវេ។ ប្រសិនបើអថេរថេរមិនត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលទាក់ទងនឹងការដែលយើងរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែក នោះថេរឯកោនេះ មិនថាក្នុងកម្រិតណាទេ ដូចជានៅក្នុងករណីនៃដេរីវេទីវ័រធម្មតា បាត់ទៅវិញ។

ឧទាហរណ៍ ២បានផ្តល់មុខងារមួយ។

ស្វែងរកដេរីវេដោយផ្នែក

(ដោយ x) និង (ដោយ y) ហើយគណនាតម្លៃរបស់ពួកគេនៅចំណុច ប៉ុន្តែ (1; 2).

ការសម្រេចចិត្ត។ នៅថេរមួយ។ yដេរីវេនៃពាក្យទីមួយត្រូវបានរកឃើញថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល ( តារាងនៃអនុគមន៍ដេរីវេនៃអថេរមួយ។):

.

នៅថេរមួយ។ xដេរីវេនៃពាក្យទីមួយត្រូវបានរកឃើញថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងទីពីរ - ជាដេរីវេនៃថេរៈ

ឥឡូវនេះយើងគណនាតម្លៃនៃដេរីវេដោយផ្នែកទាំងនេះនៅចំណុច ប៉ុន្តែ (1; 2):

អ្នកអាចពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៅលើ ការគណនាដេរីវេដោយផ្នែកតាមអ៊ីនធឺណិត .

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍

ការសម្រេចចិត្ត។ ក្នុងមួយជំហានយើងរកឃើញ

(y xដូចជាអាគុយម៉ង់នៃស៊ីនុសគឺ 5 x: នៅក្នុងវិធីដូចគ្នា 5 លេចឡើងមុនពេលសញ្ញានៃមុខងារ);

(xត្រូវបានជួសជុលហើយក្នុងករណីនេះកត្តានៅ y).

អ្នកអាចពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៅលើ ការគណនាដេរីវេដោយផ្នែកតាមអ៊ីនធឺណិត .

ដេរីវេដោយផ្នែកនៃអនុគមន៍នៃអថេរបី ឬច្រើនត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា។

ប្រសិនបើសំណុំនៃតម្លៃនីមួយៗ ( x; y; ...; t) អថេរឯករាជ្យពីសំណុំ ឃត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃជាក់លាក់មួយ។ យូពីជាច្រើន។ អ៊ីបន្ទាប់មក យូត្រូវបានគេហៅថាមុខងារនៃអថេរ x, y, ..., tនិងសម្គាល់ យូ= f(x, y, ..., t).

សម្រាប់មុខងារនៃអថេរបី ឬច្រើននោះ មិនមានការបកស្រាយធរណីមាត្រទេ។

ដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើនត្រូវបានកំណត់ និងគណនាផងដែរក្រោមការសន្មត់ថាមានតែអថេរឯករាជ្យមួយប៉ុណ្ណោះដែលផ្លាស់ប្តូរ ខណៈពេលដែលអថេរផ្សេងទៀតត្រូវបានជួសជុល។

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍

.

ការសម្រេចចិត្ត។ yនិង zថេរ៖

xនិង zថេរ៖

xនិង yថេរ៖

ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ ៥

ឧទាហរណ៍ ៦ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃអនុគមន៍។

ដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើនមានដូចគ្នា។ អត្ថន័យមេកានិចជាដេរីវេនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។គឺជាអត្រាដែលមុខងារផ្លាស់ប្តូរទាក់ទងទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងអាគុយម៉ង់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៨បរិមាណលំហូរ ទំអ្នកដំណើរផ្លូវដែកអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាមុខងារមួយ។

កន្លែងណា ទំ- ចំនួនអ្នកដំណើរ, ន- ចំនួនអ្នកស្រុកនៃចំណុចដែលត្រូវគ្នា, រ- ចម្ងាយរវាងចំណុច។

ដេរីវេដោយផ្នែកនៃមុខងារមួយ។ ទំនៅលើ រស្មើនឹង

បង្ហាញថាការថយចុះនៃលំហូរអ្នកដំណើរគឺសមាមាត្រច្រាសទៅនឹងការ៉េនៃចម្ងាយរវាងចំណុចដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ចំនួនអ្នករស់នៅដូចគ្នានៅក្នុងចំណុច។

ដេរីវេដោយផ្នែក ទំនៅលើ នស្មើនឹង

បង្ហាញថាការកើនឡើងនៃលំហូរអ្នកដំណើរគឺសមាមាត្រទៅនឹងចំនួនពីរដងនៃចំនួនប្រជាជននៃការតាំងទីលំនៅដែលមានចម្ងាយដូចគ្នារវាងចំណុច។

អ្នកអាចពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៅលើ ការគណនាដេរីវេដោយផ្នែកតាមអ៊ីនធឺណិត .

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញ

ផលិតផលនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក និងការកើនឡើងនៃអថេរឯករាជ្យដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាផ្នែកត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោមៈ

ផលបូកនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកលើអថេរឯករាជ្យទាំងអស់ ផ្តល់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។ សម្រាប់មុខងារនៃអថេរឯករាជ្យពីរ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបត្រូវបានបង្ហាញដោយសមភាព

(7)

ឧទាហរណ៍ ៩ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញនៃមុខងារមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត។ លទ្ធផលនៃការប្រើប្រាស់រូបមន្ត (៧)៖

មុខងារដែលមានឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៅគ្រប់ចំណុចនៃដែនមួយចំនួនត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នានៅក្នុងដែននោះ។

ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ

ដូចនៅក្នុងករណីនៃមុខងារនៃអថេរមួយ ភាពខុសប្លែកគ្នានៃអនុគមន៍នៅក្នុងតំបន់ជាក់លាក់មួយបញ្ជាក់ពីការបន្តរបស់វានៅក្នុងតំបន់នេះ ប៉ុន្តែមិនមែនផ្ទុយមកវិញទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតដោយគ្មានភស្តុតាងនូវលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើមុខងារ z= f(x, y) មានដេរីវេភាគបន្ត

នៅក្នុងតំបន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះវាអាចខុសគ្នានៅក្នុងតំបន់នេះ ហើយឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត (7) ។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាដូចនៅក្នុងករណីនៃអនុគមន៍នៃអថេរមួយ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍គឺជាផ្នែកលីនេអ៊ែរសំខាន់នៃការបង្កើនអនុគមន៍ ដូច្នេះក្នុងករណីអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើន ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបគឺ មេ លីនេអ៊ែរ ទាក់ទងនឹងការបង្កើនអថេរឯករាជ្យ ដែលជាផ្នែកនៃការកើនឡើងសរុបនៃអនុគមន៍។

សម្រាប់អនុគមន៍នៃអថេរពីរ ការកើនឡើងសរុបនៃអនុគមន៍មានទម្រង់

(8)

ដែល α និង β គឺគ្មានដែនកំណត់សម្រាប់ និង .

ដេរីវេនៃផ្នែកនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង

ដេរីវេនៃផ្នែក និងមុខងារ f(x, y) គឺជាមុខងារមួយចំនួននៃអថេរដូចគ្នា ហើយនៅក្នុងវេន អាចមាននិស្សន្ទវត្ថុទាក់ទងនឹងអថេរផ្សេងៗ ដែលត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេដោយផ្នែកនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងដែនមួយចំនួន (បើក) ឃ ពិន្ទុ
ទំហំវិមាត្រ និង
គឺជាចំណុចមួយនៅក្នុងតំបន់នេះ i.e.
ឃ.

ការបង្កើនផ្នែកនៃមុខងារអថេរជាច្រើនសម្រាប់អថេរណាមួយត្រូវបានគេហៅថាការបង្កើនដែលមុខងារនឹងទទួលបាន ប្រសិនបើយើងផ្តល់ការបន្ថែមទៅអថេរនេះ ដោយសន្មតថាអថេរផ្សេងទៀតទាំងអស់មានតម្លៃថេរ។

ឧទាហរណ៍ ការបង្កើនផ្នែកនៃអនុគមន៍លើអថេរមួយ។ នឹង

ដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ នៅចំណុច
ពីអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ (ប្រសិនបើវាមាន) នៃទំនាក់ទំនងបង្កើនដោយផ្នែក
មុខងារបង្កើន
អថេរ ខណៈពេលកំពុងព្យាយាម
ដល់សូន្យ៖

ដេរីវេភាគត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញាមួយ៖

;
.

មតិយោបល់។សន្ទស្សន៍ ខាងក្រោមនៅក្នុងសញ្ញាណនេះគ្រាន់តែបង្ហាញថាតើអថេរមួយណាដែលដេរីវេយកពី និងមិនទាក់ទងនឹងចំណុចណា
ដេរីវេនេះត្រូវបានគណនា។

ការគណនានៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកគឺគ្មានអ្វីថ្មីទេបើប្រៀបធៀបទៅនឹងការគណនានៃនិស្សន្ទវត្ថុធម្មតា វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ក្នុងការចងចាំថានៅពេលបែងចែកមុខងារទាក់ទងនឹងអថេរណាមួយ អថេរផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានយកជាថេរ។ សូមបង្ហាញវាជាមួយឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍
.

ការសម្រេចចិត្ត. នៅពេលគណនាដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍
ដោយអាគុយម៉ង់ ពិចារណាមុខងារ ជាមុខងារនៃអថេរតែមួយ , i.e. ជឿ​ថា មានតម្លៃថេរ។ នៅថេរមួយ។ មុខងារ
គឺជាមុខងារថាមពលនៃអាគុយម៉ង់ . យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារថាមពលយើងទទួលបាន:

ដូចគ្នានេះដែរនៅពេលគណនាដេរីវេដោយផ្នែក យើងសន្មតថាតម្លៃត្រូវបានជួសជុល ហើយពិចារណាមុខងារ
ជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់ . ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ ២. ហស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក និង មុខងារ
.

ការសម្រេចចិត្ត។នៅពេលគណនាដេរីវេដោយផ្នែកដោយគោរព មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងនឹងពិចារណាជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ និងកន្សោមដែលមាន នឹងក្លាយជាកត្តាថេរ i.e.
ដើរតួជាកត្តាថេរ ជាមួយនឹងមុខងារថាមពល (
) ភាពខុសគ្នានៃការបញ្ចេញមតិនេះដោយគោរព , យើង​ទទួល​បាន:

.

ឥឡូវនេះផ្ទុយទៅវិញមុខងារ ចាត់ទុកថាជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ ខណៈពេលដែលកន្សោមដែលមាន , ដើរតួជាមេគុណ
(
) ភាពខុសគ្នា យោងតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រយើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ ៣ គណនាដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍
នៅចំណុច
.

ការសម្រេចចិត្ត។ដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកនៃមុខងារនេះនៅចំណុចបំពាន
ដែននៃនិយមន័យរបស់វា។ នៅពេលគណនាដេរីវេដោយផ្នែកដោយគោរព ជឿ​ថា
ជាអចិន្ត្រៃយ៍។

នៅពេលបែងចែកដោយ នឹងមានជារៀងរហូត
:

ហើយនៅពេលគណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង និងដោយ ស្រដៀងគ្នានឹងថេររៀងៗខ្លួន។
និង
, ឧ៖

ឥឡូវនេះយើងគណនាតម្លៃនៃដេរីវេទាំងនេះនៅចំណុច
, ជំនួសតម្លៃជាក់លាក់នៃអថេរទៅក្នុងកន្សោមរបស់ពួកគេ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

11. ឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយផ្នែក និងសរុបនៃអនុគមន៍មួយ។

ប្រសិនបើឥឡូវនេះទៅការកើនឡើងឯកជន
អនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange លើការបង្កើនកម្រិតកំណត់ ទាក់ទងនឹងអថេរមួយ។ បន្ទាប់មក រាប់ បន្ត យើងទទួលបានទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

កន្លែងណា
,
គឺ​ជា​បរិមាណ​មិន​កំណត់។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកនៃអនុគមន៍ដោយអថេរ ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកលីនេអ៊ែរសំខាន់នៃការកើនឡើងដោយផ្នែក
ស្មើ​នឹង​ផល​នៃ​ដេរីវេ​ដោយ​ផ្នែក​ទាក់ទង​នឹង​អថេរ​នេះ និង​ការ​បង្កើន​នៃ​អថេរ​នេះ ហើយ​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ឱ្យ

ជាក់ស្តែង ឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកខុសគ្នាពីការកើនឡើងដោយផ្នែកដោយលំដាប់ខ្ពស់ជាងគ្មានកំណត់។

ការបង្កើនមុខងារពេញលេញអថេរជាច្រើនត្រូវបានគេហៅថាការបង្កើនរបស់វា ដែលវានឹងទទួលនៅពេលដែលយើងផ្តល់ការកើនឡើងដល់អថេរឯករាជ្យទាំងអស់ i.e.

តើអ្នករាល់គ្នានៅឯណា
អាស្រ័យ និងរួមគ្នាជាមួយពួកគេមានទំនោរទៅសូន្យ។

នៅក្រោម ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរឯករាជ្យ យល់ព្រមមានន័យថា បំពានការកើនឡើង
ហើយដាក់ស្លាកពួកគេ។
. ដូច្នេះ ការបញ្ចេញមតិនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកនឹងមានទម្រង់៖

ឧទាហរណ៍ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក នៅលើ ត្រូវបានកំណត់ដូចនេះ៖

.

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញ
មុខងារនៃអថេរជាច្រើនត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកលីនេអ៊ែរសំខាន់នៃការកើនឡើងសរុប
ស្មើនឹង, i.e. ផលបូកនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកទាំងអស់របស់វា៖

ប្រសិនបើមុខងារ
មានដេរីវេភាគបន្ត

នៅចំណុច
បន្ទាប់មកនាង ខុសគ្នាត្រង់ចំណុចជាក់លាក់មួយ។.

សម្រាប់ទំហំតូចល្មមសម្រាប់មុខងារដែលអាចបែងចែកបាន។
មានភាពស្មើគ្នាប្រហាក់ប្រហែល

,

ដែលអាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែល។

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញនៃមុខងារមួយ។
អថេរបី
.

ការសម្រេចចិត្ត។ដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែក៖

ចំណាំថាពួកវាបន្តសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។
, យើង​ស្វែងរក:

សម្រាប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន ទ្រឹស្តីបទទាំងអស់លើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺពិត ដែលត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ករណីនៃមុខងារនៃអថេរមួយ ឧទាហរណ៍៖ ប្រសិនបើ និង គឺជាមុខងារបន្តនៃអថេរ
ដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្ត ទាក់ទងនឹងអថេរទាំងអស់ និង និង គឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន​បន្ទាប់​មក​:

(6)

ដេរីវេឯកជនមុខងារ z = f(x, y ដោយអថេរ xដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះត្រូវបានគេហៅថានៅតម្លៃថេរនៃអថេរ y វាត្រូវបានតាង ឬ z "x ។

ដេរីវេឯកជនមុខងារ z = f(x, y) ដោយអថេរ yហៅថាដេរីវេដែលទាក់ទងនឹង y នៅតម្លៃថេរនៃអថេរ y; វាត្រូវបានតំណាងឬ z "y ។

ដេរីវេផ្នែកនៃអនុគមន៍នៃអថេរជាច្រើនទាក់ទងនឹងអថេរមួយត្រូវបានកំណត់ថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះទាក់ទងនឹងអថេរដែលត្រូវគ្នា ផ្តល់ថាអថេរផ្សេងទៀតត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញមុខងារ z = f (x, y) នៅចំណុចខ្លះ M(X, y) ត្រូវបានគេហៅថាកន្សោម

,

កន្លែងដែលនិងត្រូវបានគណនានៅចំណុច M (x, y) និង dx = , dy = y ។

ឧទាហរណ៍ ១

គណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍។

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 នៅចំណុច M (1; 2)

ការសម្រេចចិត្ត៖

1) ស្វែងរកដេរីវេដោយផ្នែក៖

2) គណនាតម្លៃនៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៅចំណុច M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = − 13dx + 4dy

សំណួរសម្រាប់ការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង៖

1. អ្វី​ទៅ​ដែល​ហៅ​ថា​ជា​ថ្នាំ​ប្រឆាំង​មេរោគ​? រាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសារធាតុប្រឆាំង។

2. ដូចម្តេចដែលហៅថាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់?

3. រាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

4. រាយរូបមន្តសមាហរណកម្មមូលដ្ឋាន។

5. តើ​វិធី​សមាហរណកម្ម​អ្វី​ខ្លះ​ដែល​អ្នក​ដឹង?

6. តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃរូបមន្ត Newton-Leibniz?

7. ផ្តល់និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

8. តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយវិធីសាស្ត្រជំនួស?

9. តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយផ្នែក?

10. តើមុខងារអ្វីទៅហៅថាមុខងារនៃអថេរពីរ? តើវាត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?

11. តើមុខងារអ្វីទៅហៅថាមុខងារនៃអថេរបី?

12. តើសំណុំអ្វីហៅថាដែននៃអនុគមន៍?

13. ដោយមានជំនួយពីវិសមភាពអ្វីខ្លះដែលអាចកំណត់តំបន់បិទជិត D នៅលើយន្តហោះ?

14. អ្វីទៅដែលហៅថាដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍ z \u003d f (x, y) ទាក់ទងនឹងអថេរ x? តើវាត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?

15. អ្វីទៅដែលហៅថាដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍ z \u003d f (x, y) ទាក់ទងនឹងអថេរ y? តើវាត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?

16. អ្វីទៅដែលហៅថា ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍មួយ។

ប្រធានបទ 1.2 សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។

បញ្ហាដែលនាំទៅដល់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ ដំណោះស្រាយទូទៅ និងឯកជន។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ។ សមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នានៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

មេរៀនអនុវត្តលេខ ៧ "ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន" *

មេរៀនអនុវត្តន៍លេខ ៨ "សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ និងដូចគ្នា"

មេរៀនអនុវត្តន៍លេខ ៩ "ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទី ២ ជាមួយនឹងមេគុណថេរ" *

L4 ជំពូកទី 15 ទំព័រ 243 - 256

សេចក្តីណែនាំ