វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខ ដែលពាក្យទីមួយមិនមែនជាសូន្យ ហើយពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗស្មើនឹងពាក្យមុន គុណនឹងចំនួនមិនសូន្យដូចគ្នា។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ b1,b2,b3, …, bn, … ។

សមាមាត្រនៃពាក្យណាមួយនៃកំហុសធរណីមាត្រទៅនឹងពាក្យមុនរបស់វា គឺស្មើនឹងចំនួនដូចគ្នា នោះគឺ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ ១)/bn =…. នេះធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ជាធម្មតាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានតាងដោយអក្សរ q ។

Monotonic និងលំដាប់ថេរ

វិធីមួយដើម្បីកំណត់វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺកំណត់ពាក្យដំបូងរបស់វា b1 និងភាគបែងនៃកំហុសធរណីមាត្រ q ។ ឧទាហរណ៍ b1=4, q=-2។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះផ្តល់នូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រនៃ 4, -8, 16, -32, … ។

ប្រសិនបើ q>0 (q មិនស្មើនឹង 1) នោះវឌ្ឍនភាពគឺ លំដាប់ monotone ។ឧទាហរណ៍ លំដាប់, 2, 4,8,16,32, ... គឺជាលំដាប់ដែលបង្កើនដោយឯកតា (b1=2, q=2)។

ប្រសិនបើភាគបែង q=1 ក្នុងកំហុសធរណីមាត្រ នោះសមាជិកទាំងអស់នៃដំណើរការធរណីមាត្រនឹងស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ ក្នុងករណីបែបនេះការវិវត្តត្រូវបានគេនិយាយថាមាន លំដាប់ថេរ។

រូបមន្តនៃសមាជិកទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ

ដើម្បីឱ្យលំដាប់លេខ (bn) ទៅជាដំណើរការធរណីមាត្រ វាចាំបាច់ដែលសមាជិកនីមួយៗរបស់វា ចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ ជាមធ្យមធរណីមាត្ររបស់សមាជិកជិតខាង។ នោះគឺវាចាំបាច់ដើម្បីបំពេញសមីការខាងក្រោម
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2) សម្រាប់ n> 0 ដែល n ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំលេខធម្មជាតិ N ។

រូបមន្តសម្រាប់សមាជិកទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ៖

bn=b1*q^(n-1),

ដែល n ជារបស់សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ N ។

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ៖

Sn = (bn*q − b1)/(q-1) ដែល q មិនស្មើនឹង 1 ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយ៖

នៅក្នុងដំណើរការធរណីមាត្រ b1=6, q=3, n=8 ស្វែងរក Sn ។

ដើម្បីស្វែងរក S8 យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680។

ឧទាហរណ៍, លំដាប់ \(3\); \(6\); \\(១២\); \(24\); \(48\)… គឺជាការវិវឌ្ឍធរណីមាត្រ ពីព្រោះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយកត្តាពីរ (និយាយម្យ៉ាងទៀត វាអាចទទួលបានពីធាតុមុនដោយគុណនឹងពីរ)៖

ដូច​លំដាប់​ណា​មួយ ការ​វិវត្ត​ធរណីមាត្រ​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​អក្សរ​ឡាតាំង​តូច។ លេខដែលបង្កើតបានជាវឌ្ឍនភាពត្រូវបានគេហៅថា សមាជិក(ឬធាតុ) ។ ពួកវាត្រូវបានតាងដោយអក្សរដូចគ្នាទៅនឹងដំណើរការធរណីមាត្រ ប៉ុន្តែមានលិបិក្រមលេខស្មើនឹងលេខធាតុតាមលំដាប់លំដោយ។

ឧទាហរណ៍វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) មានធាតុ \(b_1=3\); \\(b_2=6\); \(b_3=12\) និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។ ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

ប្រសិនបើអ្នកយល់ពីព័ត៌មានខាងលើ អ្នកនឹងអាចដោះស្រាយបញ្ហាភាគច្រើនលើប្រធានបទនេះរួចហើយ។

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ : \(-686\).

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ ដែលបានផ្តល់ឱ្យលក្ខខណ្ឌបីដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព \(324\); \(-១០៨\); \(៣៦\)…. ស្វែងរក \(b_5\) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

	ដើម្បីបន្តលំដាប់ យើងត្រូវស្គាល់ភាគបែង។ ចូរយើងស្វែងរកវាពីធាតុជិតខាងពីរ៖ តើអ្វីគួរ \(324\) ត្រូវគុណនឹង \(-108\)?
\(324 q=-108\)	ពីទីនេះយើងអាចគណនាភាគបែងបានយ៉ាងងាយស្រួល។
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	ឥឡូវនេះយើងអាចស្វែងរកធាតុដែលយើងត្រូវការបានយ៉ាងងាយស្រួល។
	ចម្លើយរួចរាល់។

ចម្លើយ : \(4\).

ឧទាហរណ៍៖ វឌ្ឍនភាពត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_n=0.8 5^n\) ។ តើលេខមួយណាជាសមាជិកនៃដំណើរការនេះ៖

ក) \(-៥\) ខ) \(១០០\) គ) \(២៥\) ឃ) \(០.៨\) ?

ការសម្រេចចិត្ត៖ ពីពាក្យនៃភារកិច្ចវាច្បាស់ណាស់ថាលេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះគឺពិតជានៅក្នុងដំណើរការរបស់យើង។ ដូច្នេះហើយ យើងគ្រាន់តែអាចគណនាសមាជិករបស់វាម្តងមួយៗ រហូតដល់យើងរកឃើញតម្លៃដែលយើងត្រូវការ។ ដោយសារការវិវត្តរបស់យើងត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត យើងគណនាតម្លៃនៃធាតុដោយជំនួសភាពខុសគ្នា \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – មិនមានលេខបែបនេះនៅក្នុងបញ្ជីទេ។ យើងបន្ត។
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - ហើយនេះក៏មិននៅទីនោះដែរ។
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – ហើយនេះគឺជាជើងឯករបស់យើង!

ចម្លើយ៖ \(100\).

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ សមាជិកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាច្រើននៃដំណើរការធរណីមាត្រ …\(8\) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ \(x\); \\ (ហាសិប \\); \(-១២៥\)... ស្វែងរកតម្លៃនៃធាតុដែលតំណាងដោយអក្សរ \(x\) ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(-20\).

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ វឌ្ឍនភាពត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូង \(4\) នៃដំណើរការនេះ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(105\).

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ វាត្រូវបានគេដឹងថាអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល \(b_6=-11\),\(b_9=704\) ។ ស្វែងរកភាគបែង \(q\) ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

	វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីដ្យាក្រាមនៅខាងឆ្វេងថាដើម្បី "ទទួលបាន" ពី \ (b_6 \) ទៅ \ (b_9 \) - យើងយកបី "ជំហាន" នោះគឺយើងគុណ \ (b_6 \) បីដងដោយ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\) ។
\(b_9=b_6 q^3\)	ជំនួសតម្លៃដែលយើងដឹង។
\(704=(-11)q^3\)	"បញ្ច្រាស" សមីការហើយចែកវាដោយ \((-១១)\) ។
\\(q^3=\) \\(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\:⇔ \:\:\:\)\(q^3=-\) \(64 \)	តើលេខគូបមួយណាផ្តល់ឱ្យ \(-64\)? ជាការពិតណាស់ \(-៤\)!
	បានរកឃើញចម្លើយ។ វាអាចត្រូវបានពិនិត្យដោយស្ដារខ្សែសង្វាក់លេខពី \(-11\) ទៅ \(704\) ។
	ទាំងអស់យល់ព្រម - ចម្លើយគឺត្រឹមត្រូវ។

ចម្លើយ៖ \(-4\).

រូបមន្តសំខាន់បំផុត

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបញ្ហាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រភាគច្រើនអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយតក្កវិជ្ជាសុទ្ធ ដោយគ្រាន់តែស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារ (ជាទូទៅនេះគឺជាលក្ខណៈនៃគណិតវិទ្យា)។ ប៉ុន្តែពេលខ្លះ ចំណេះដឹងអំពីរូបមន្ត និងគំរូមួយចំនួនបង្កើនល្បឿន និងជួយសម្រួលដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង។ យើងនឹងសិក្សារូបមន្តពីរបែបនេះ។

រូបមន្តសម្រាប់ \(n\) សមាជិកទីគឺ៖ \(b_n=b_1 q^(n-1)\) ដែល \(b_1\) គឺជាសមាជិកទីមួយនៃដំណើរការ។ \(n\) - ចំនួននៃធាតុដែលត្រូវការ; \(q\) គឺជាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព; \(b_n\) គឺជាសមាជិកនៃដំណើរការដែលមានលេខ \(n\) ។

ជាឧទាហរណ៍ ដោយប្រើរូបមន្តនេះ អ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាពីឧទាហរណ៍ដំបូងត្រឹមតែមួយជំហានប៉ុណ្ណោះ។

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=-2\); \\(q=7\) ។ ស្វែងរក \(b_4\) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(-686\).

ឧទាហរណ៍នេះគឺសាមញ្ញ ដូច្នេះរូបមន្តមិនធ្វើឱ្យការគណនាងាយស្រួលសម្រាប់យើងច្រើនពេកទេ។ សូមក្រឡេកមើលបញ្ហាកាន់តែស្មុគស្មាញបន្តិច។

ឧទាហរណ៍៖ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ \(b_1=20480\); \\ (q = \\ frac (1) (2) \\) ។ ស្វែងរក \(b_(12)\) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(10\).

ជាការពិតណាស់ ការបង្កើន \(\frac(1)(2)\) ទៅ \(11\)th power គឺមិនរីករាយខ្លាំងនោះទេ ប៉ុន្តែនៅតែងាយស្រួលជាង \(11\) បែងចែក \(20480\) ជាពីរ។

ផលបូក \(n\) នៃពាក្យទីមួយ៖ \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) ដែល \(b_1\) ជាពាក្យដំបូង នៃការវិវត្តន៍; \(n\) - ចំនួន​ធាតុ​សរុប; \(q\) គឺជាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាព; \(S_n\) គឺជាផលបូក \(n\) នៃសមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។

ឧទាហរណ៍ (OGE)៖ បានផ្ដល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ \(b_n\) ដែលភាគបែងគឺ \(5\) និងពាក្យទីមួយ \(b_1=\frac(2)(5)\) ។ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំមួយដំបូងនៃដំណើរការនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ \(1562,4\).

ហើយម្តងទៀតយើងអាចដោះស្រាយបញ្ហា "នៅលើថ្ងាស" - ស្វែងរកធាតុទាំងប្រាំមួយនៅក្នុងវេនហើយបន្ទាប់មកបន្ថែមលទ្ធផល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំនួននៃការគណនា ដូច្នេះហើយឱកាសនៃកំហុសចៃដន្យនឹងកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំង។

សម្រាប់ដំណើរការធរណីមាត្រ មានរូបមន្តជាច្រើនទៀតដែលយើងមិនបានពិចារណានៅទីនេះ ដោយសារការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែងទាប។ អ្នកអាចរកឃើញរូបមន្តទាំងនេះ។

ការកើនឡើងនិងការថយចុះវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

សម្រាប់វឌ្ឍនភាព \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) ពិចារណានៅដើមអត្ថបទ ភាគបែង \(q\) គឺធំជាងមួយ ហើយដូច្នេះពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗគឺ ធំជាងលេខមុន។ វឌ្ឍនភាពបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា កើនឡើង.

ប្រសិនបើ \(q\) តិចជាងមួយ ប៉ុន្តែជាវិជ្ជមាន (នោះគឺស្ថិតនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ) នោះធាតុបន្ទាប់នីមួយៗនឹងតិចជាងធាតុមុន។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងដំណើរការ \(4\); \\(2\); \(មួយ\); \(0.5\); \(0.25\)… ភាគបែងនៃ \(q\) គឺ \(\frac(1)(2)\) ។

វឌ្ឍនភាពទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ថយចុះ. ចំណាំថាគ្មានធាតុណាមួយនៃដំណើរការនេះមានលក្ខណៈអវិជ្ជមានទេ ពួកគេគ្រាន់តែកាន់តែតូចទៅៗជាមួយនឹងជំហាននីមួយៗ។ នោះ​គឺ​យើង​នឹង​ឈាន​ដល់​សូន្យ​បន្តិច​ម្ដងៗ ប៉ុន្តែ​យើង​នឹង​មិន​ទៅ​ដល់​វា​ឡើយ ហើយ​យើង​នឹង​មិន​ទៅ​ហួស​វា​ឡើយ។ គណិតវិទូនៅក្នុងករណីបែបនេះនិយាយថា "ទំនោរទៅសូន្យ" ។

ចំណាំថាជាមួយនឹងភាគបែងអវិជ្ជមាន ធាតុនៃដំណើរការធរណីមាត្រនឹងចាំបាច់ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។ ឧទាហរណ៍, វឌ្ឍនភាព \(5\); \(-ដប់ប្រាំ\); \(45\); \\(-១៣៥\); \(675\)... ភាគបែងនៃ \(q\) គឺ \(-3\) ហើយដោយសារតែនេះ សញ្ញានៃធាតុ "ព្រិចភ្នែក" ។

តោះពិចារណាស៊េរី។

7 28 112 448 1792...

វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃធាតុណាមួយរបស់វាពិតជាធំជាងចំនួនមុន 4 ដង។ ដូច្នេះស៊េរីនេះគឺជាការវិវត្ត។

ការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លំដោយនៃលេខដែលលក្ខណៈពិសេសចម្បងនោះគឺថាចំនួនបន្ទាប់ត្រូវបានទទួលពីលេខមុនដោយគុណនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយចំនួន។ នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម។

a z +1 =a z q ដែល z ជាចំនួននៃធាតុដែលបានជ្រើសរើស។

ដូច្នោះហើយ z ∈ N ។

រយៈពេលដែលការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រត្រូវបានសិក្សានៅសាលាគឺថ្នាក់ទី 9 ។ ឧទាហរណ៍នឹងជួយអ្នកឱ្យយល់អំពីគំនិត៖

0.25 0.125 0.0625...

ផ្អែកលើរូបមន្តនេះ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពអាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម៖

ទាំង q ឬ b z មិនអាចជាសូន្យបានទេ។ ផងដែរ ធាតុនីមួយៗនៃវឌ្ឍនភាពមិនគួរស្មើនឹងសូន្យទេ។

ដូច្នោះហើយ ដើម្បីស្វែងរកលេខបន្ទាប់ក្នុងស៊េរី អ្នកត្រូវគុណលេខចុងក្រោយដោយ q ។

ដើម្បីបញ្ជាក់វឌ្ឍនភាពនេះ អ្នកត្រូវតែបញ្ជាក់ធាតុទីមួយ និងភាគបែងរបស់វា។ បន្ទាប់ពីនោះ គេអាចស្វែងរកពាក្យបន្តបន្ទាប់ណាមួយ និងផលបូករបស់វា។

ពូជ

អាស្រ័យលើ q និង a 1 ការវិវត្តនេះត្រូវបានបែងចែកជាប្រភេទជាច្រើន៖

• ប្រសិនបើទាំង 1 និង q ធំជាងមួយ នោះលំដាប់បែបនេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែលកើនឡើងជាមួយនឹងធាតុបន្ទាប់នីមួយៗ។ ឧទាហរណ៍នៃការបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍៖ a 1 =3, q=2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺធំជាងមួយ។

បន្ទាប់មក លំដាប់លេខអាចសរសេរដូចនេះ៖

3 6 12 24 48 ...

• បើ |q| តិចជាងមួយ នោះគឺការគុណដោយវាស្មើនឹងការបែងចែក បន្ទាប់មកការវិវឌ្ឍន៍ដែលមានលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាគឺជាការថយចុះនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ឧទាហរណ៍នៃការបែបនេះត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍៖ a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 គឺធំជាងមួយ, q គឺតិចជាង។

បន្ទាប់មក លំដាប់លេខអាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖

6 2 2/3 ... - ធាតុណាមួយគឺធំជាងធាតុបន្ទាប់ 3 ដង។

• សញ្ញា-អថេរ។ ប្រសិនបើ q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

ឧទាហរណ៍៖ a 1 = -3 , q = -2 - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺតិចជាងសូន្យ។

បន្ទាប់មកលំដាប់អាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

3, 6, -12, 24,...

រូបមន្ត

សម្រាប់ការប្រើប្រាស់ងាយស្រួលនៃដំណើរការធរណីមាត្រ មានរូបមន្តជាច្រើន៖

• រូបមន្តនៃសមាជិក z-th ។ អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាធាតុនៅក្រោមលេខជាក់លាក់មួយដោយមិនចាំបាច់គណនាលេខពីមុន។

ឧទាហរណ៍៖q = 3, ក 1 = 4. តំរូវអោយគណនាធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាព។

ការសម្រេចចិត្ត៖ក 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• ផលបូកនៃធាតុទីមួយដែលមានលេខ z. អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផលបូកនៃធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់រហូតដល់a zបញ្ចូល​គ្នា។

ចាប់តាំងពី (1-q) គឺនៅក្នុងភាគបែង បន្ទាប់មក (1 - q)≠ 0 ដូច្នេះ q មិនស្មើនឹង 1 ។

ចំណាំ៖ ប្រសិនបើ q=1 នោះការវិវត្តនឹងជាស៊េរីនៃចំនួនដែលកើតឡើងដដែលៗគ្មានកំណត់។

ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ឧទាហរណ៍៖ក 1 = 2, q= -២. គណនា S 5 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ស 5 = 22 - ការគណនាតាមរូបមន្ត។

• ចំនួនទឹកប្រាក់ប្រសិនបើ |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

ឧទាហរណ៍៖ក 1 = 2 , q= 0.5 ។ ស្វែងរកបរិមាណ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ស = 2 · = 4

ស = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន៖

• ទ្រព្យសម្បត្តិលក្ខណៈ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម បានអនុវត្តសម្រាប់ណាមួយ។zបន្ទាប់មក ស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖

a z 2 = a z -1 · កz+1

• ដូចគ្នានេះផងដែរ ការេនៃចំនួនណាមួយនៃដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានរកឃើញដោយបន្ថែមការេនៃចំនួនពីរផ្សេងទៀតនៅក្នុងស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើពួកវាស្មើគ្នាពីធាតុនេះ។

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 កន្លែងណាtគឺជាចំងាយរវាងលេខទាំងនេះ។

• ធាតុខុសគ្នានៅក្នុង qម្តង។
• លោការីតនៃធាតុវឌ្ឍនភាពក៏បង្កើតជាវឌ្ឍនភាពដែរ ប៉ុន្តែនព្វន្ធរួចហើយ ពោលគឺពួកវានីមួយៗធំជាងធាតុមុនដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាបុរាណមួយចំនួន

ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់ថាតើការវិវត្តនៃធរណីមាត្រជាអ្វីនោះ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 អាចជួយបាន។

• លក្ខខណ្ឌ៖ក 1 = 3, ក 3 = 48. រកq.

ដំណោះស្រាយ៖ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺធំជាងធាតុមុននៅក្នុងq ម្តង។វាចាំបាច់ក្នុងការបង្ហាញធាតុមួយចំនួនតាមរយៈធាតុផ្សេងទៀតដោយប្រើភាគបែង។

អាស្រ័យហេតុនេះក 3 = q 2 · ក 1

នៅពេលជំនួសq= 4

• លក្ខខណ្ឌ៖ក 2 = 6, ក 3 = 12. គណនា S 6 ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការស្វែងរក q ដែលជាធាតុទីមួយហើយជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្ត។

ក 3 = q· ក 2 ដូចនេះq= 2

a 2 = q a 1 ,នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល a 1 = 3

ស ៦ = 189

• · ក 1 = 10, q= -២. ស្វែងរកធាតុទីបួននៃវឌ្ឍនភាព។

ដំណោះ​ស្រាយ៖ ដើម្បី​ធ្វើ​បែប​នេះ វា​គ្រប់គ្រាន់​ក្នុង​ការ​បង្ហាញ​ធាតុ​ទី ៤ តាម​រយៈ​ធាតុ​ទីមួយ និង​តាម​ភាគបែង។

a 4 = q 3· a 1 = -80

ឧទាហរណ៍កម្មវិធី៖

• អតិថិជនរបស់ធនាគារបានដាក់ប្រាក់បញ្ញើក្នុងចំនួន 10,000 rubles ក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលជារៀងរាល់ឆ្នាំអតិថិជននឹងបន្ថែម 6% នៃវាទៅក្នុងចំនួនទឹកប្រាក់ដើម។ តើលុយនឹងមាននៅក្នុងគណនីប៉ុន្មានបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំ?

ដំណោះស្រាយ: ចំនួនទឹកប្រាក់ដំបូងគឺ 10 ពាន់រូប្លិ៍។ ដូច្នេះមួយឆ្នាំបន្ទាប់ពីការវិនិយោគ គណនីនឹងមានចំនួនទឹកប្រាក់ស្មើនឹង 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

ដូច្នោះហើយចំនួនទឹកប្រាក់នៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំទៀតនឹងត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

នោះគឺជារៀងរាល់ឆ្នាំបរិមាណកើនឡើង 1.06 ដង។ នេះមានន័យថាដើម្បីស្វែងរកបរិមាណមូលនិធិនៅក្នុងគណនីបន្ទាប់ពី 4 ឆ្នាំវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរកធាតុទី 4 នៃវឌ្ឍនភាពដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយធាតុទីមួយស្មើនឹង 10 ពាន់ហើយភាគបែងស្មើនឹង 1.06 ។

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់គណនាផលបូក៖

នៅក្នុងបញ្ហាផ្សេងៗ ដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម:

ក 1 = 4, q= 2, គណនាស៥.

ដំណោះស្រាយ៖ ទិន្នន័យទាំងអស់ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការគណនាត្រូវបានគេស្គាល់ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការជំនួសវាទៅក្នុងរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ។

ស 5 = 124

• ក 2 = 6, ក 3 = 18. គណនាផលបូកនៃធាតុទាំងប្រាំមួយដំបូង។

ការសម្រេចចិត្ត៖

Geom ។ វឌ្ឍនភាព ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគឺ q ដងធំជាងធាតុមុន ពោលគឺដើម្បីគណនាផលបូក អ្នកត្រូវដឹងពីធាតុក 1 និងភាគបែងq.

ក 2 · q = ក 3

q = 3

ដូចគ្នាដែរ យើងត្រូវស្វែងរកក 1 , ដឹងក 2 និងq.

ក 1 · q = ក 2

a 1 =2

ស 6 = 728.

ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការធរណីមាត្រ: 2, 6, 18, 54, 162.

នៅទីនេះ ពាក្យនីមួយៗបន្ទាប់ពីទីមួយគឺ 3 ដងនៃពាក្យមុន។ នោះ​គឺ​ពាក្យ​បន្ទាប់​គ្នា​គឺ​ជា​លទ្ធផល​នៃ​ការ​គុណ​ពាក្យ​មុន​ដោយ 3:

2 ៣ = 6

៦ ៣ = 18

១៨ ៣ = 54

៥៤ ៣ = 162 .

ក្នុង​ឧទាហរណ៍​របស់​យើង ពេល​ចែក​ពាក្យ​ទី​ពីរ​ដោយ​ទីមួយ ទីបី​នឹង​ទីពីរ ហើយ​ដូច្នេះ​នៅ​លើ។ យើងទទួលបាន 3. លេខ 3 គឺជាភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រនេះ។

ឧទាហរណ៍:

ចូរយើងត្រលប់ទៅដំណើរការធរណីមាត្ររបស់យើងវិញ 2, 6, 18, 54, 162 ។ ចូរយើងយកពាក្យទីបួន ហើយការ៉េវា៖
54 2 = 2916.

ឥឡូវ​យើង​គុណ​ពាក្យ​ទៅ​ឆ្វេង និង​ស្ដាំ​នៃ​លេខ ៥៤៖

១៨ ១៦២ = ២៩១៦ .

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញការេនៃពាក្យទីបីគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃលក្ខខណ្ឌទីពីរនិងទីបួនដែលនៅជិតខាង។

ឧទាហរណ៍ ១៖ សូម​លើក​យក​វឌ្ឍនភាព​ធរណីមាត្រ​មួយ​ចំនួន ដែល​ពាក្យ​ទីមួយ​ស្មើ​នឹង 2 ហើយ​ភាគបែង​នៃ​វឌ្ឍនភាព​ធរណីមាត្រ​គឺ​ស្មើ​នឹង 1.5 ។ យើងត្រូវស្វែងរកពាក្យទី ៤ នៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

បានផ្តល់ឱ្យ៖
ខ 1 = 2

q = 1,5
ន = 4

————
ខ 4 - ?

ការសម្រេចចិត្ត.

ការអនុវត្តរូបមន្ត b n= b 1 q ន- 1 បញ្ចូលតម្លៃសមស្របទៅក្នុងវា៖
ខ 4 \u003d 2 1.5 4 - 1 \u003d 2 1.5 3 \u003d 2 3.375 \u003d 6.75 ។

ចម្លើយ៖ ពាក្យទីបួននៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺលេខ 6.75 ។

ឧទាហរណ៍ ២៖ ស្វែងរកសមាជិកទីប្រាំនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ប្រសិនបើសមាជិកទីមួយ និងទីបីមាន 12 និង 192 រៀងគ្នា។

បានផ្តល់ឱ្យ៖
ខ 1 = 12
ខ 3 = 192
————
ខ 5 - ?

ការសម្រេចចិត្ត.

1) ដំបូងយើងត្រូវស្វែងរកភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ដោយគ្មានវាមិនអាចដោះស្រាយបញ្ហាបានទេ។ ជាជំហានដំបូង ដោយប្រើរូបមន្តរបស់យើង យើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ ខ៣៖

ខ 3 = b 1 q 3 − 1 = b 1 q 2

ឥឡូវនេះយើងអាចរកឃើញភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រមួយ៖

ខ 3 192
q 2 = —— = —— = 16
ខ 1 12

q= √16 = 4 ឬ −4 ។

2) វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃ ខ 5 .
ប្រសិនបើ ក q= 4 បន្ទាប់មក

ខ 5 = ខ 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072 ។

នៅ q= -4 លទ្ធផលនឹងដូចគ្នា។ ដូច្នេះបញ្ហាមានដំណោះស្រាយមួយ។

ចម្លើយ៖ ពាក្យទីប្រាំនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺលេខ 3072 ។

ឧទាហរណ៍៖ ស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងប្រាំដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រ ( b n) ដែលពាក្យទីមួយស្មើនឹង 2 ហើយភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺ 3 ។

បានផ្តល់ឱ្យ៖

ខ 1 = 2

q = 3

ន = 5
————
ស 5 - ?

ការសម្រេចចិត្ត.

យើងអនុវត្តរូបមន្តទីពីរនៃទាំងពីរខាងលើ៖

ខ 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
ស 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

ចម្លើយ៖ ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌប្រាំដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ 242 ។

ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រគ្មានកំណត់។

វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែករវាងគំនិតនៃ "ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគ្មានកំណត់" និង "ផលបូក។ នសមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។ គោលគំនិតទីពីរ សំដៅលើការវិវត្តនៃធរណីមាត្រណាមួយ ហើយទីមួយ - តែចំពោះមួយដែលភាគបែងតិចជាង 1 ម៉ូឌុល។

>> គណិតវិទ្យា៖ វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ

ដើម្បីភាពងាយស្រួលរបស់អ្នកអាន ផ្នែកនេះធ្វើតាមផែនការដូចគ្នា ដូចដែលយើងបានអនុវត្តនៅក្នុងផ្នែកមុន។

1. គំនិតជាមូលដ្ឋាន។

និយមន័យ។លំដាប់លេខដែលសមាជិកទាំងអស់ខុសពី 0 ហើយសមាជិកនីមួយៗដែលចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរគឺទទួលបានពីសមាជិកមុនដោយគុណវាដោយលេខដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ក្នុងករណីនេះលេខ 5 ត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។

ដូច្នេះ ការវិវត្តធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់លេខ (b n) ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយទំនាក់ទំនងឡើងវិញ។

តើវាអាចទៅរួចទេ ដោយមើលតាមលំដាប់លេខ ដើម្បីកំណត់ថាតើវាជាដំណើរការធរណីមាត្រដែរឬទេ? អាច។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានគេជឿជាក់ថាសមាមាត្រនៃសមាជិកណាមួយនៃលំដាប់ទៅនឹងសមាជិកមុនគឺថេរ នោះអ្នកមានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
ឧទាហរណ៍ ១

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3 ។

ឧទាហរណ៍ ២

នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
ឧទាហរណ៍ ៣

នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ
ឧទាហរណ៍ 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

នេះគឺជាដំណើរការធរណីមាត្រដែល b 1 - 8, q = 1 ។

ចំណាំថាលំដាប់នេះក៏ជាការវិវត្តនព្វន្ធ (សូមមើលឧទាហរណ៍ទី 3 ពី§ 15)។

ឧទាហរណ៍ ៥

2,-2,2,-2,2,-2.....

នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែលក្នុងនោះ b 1 \u003d 2, q \u003d -1 ។

ជាក់ស្តែង ការវិវត្តនៃធរណីមាត្រគឺជាលំដាប់កើនឡើងប្រសិនបើ b 1 > 0, q > 1 (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1) និងលំដាប់ថយចុះប្រសិនបើ b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

ដើម្បីបង្ហាញថាលំដាប់ (b n) គឺជាដំណើរការធរណីមាត្រ ពេលខ្លះការសម្គាល់ខាងក្រោមគឺងាយស្រួល៖

រូបតំណាងជំនួសឃ្លា "វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ" ។
យើងកត់សំគាល់នូវអ្វីដែលចង់ដឹងចង់ឃើញ ហើយនៅពេលជាមួយគ្នានោះ ទ្រព្យសម្បត្តិជាក់ស្តែងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ៖
ប្រសិនបើលំដាប់ គឺ​ជា​ការ​រីក​ចម្រើន​ធរណីមាត្រ បន្ទាប់​មក​លំដាប់​នៃ​ការេ​, i.e. គឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។
ក្នុង​ការ​វិវត្ត​ធរណីមាត្រ​ទីពីរ ពាក្យ​ទីមួយ​គឺ​ស្មើ​នឹង q 2 ។
ប្រសិនបើយើងបោះបង់ពាក្យទាំងអស់ដែលធ្វើតាម b n និទស្សន្ត នោះយើងទទួលបានវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់
នៅក្នុងកថាខណ្ឌខាងក្រោមនៃផ្នែកនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់បំផុតនៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

2. រូបមន្តនៃពាក្យ n-th នៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

ពិចារណាពីវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ភាគបែង q យើង​មាន:

វាមិនពិបាកក្នុងការទាយថាសម្រាប់លេខណាមួយ n សមភាពទេ។

នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ។

មតិយោបល់។

ប្រសិនបើអ្នកបានអានការកត់សម្គាល់សំខាន់ពីកថាខណ្ឌមុន ហើយយល់វារួចហើយ សូមព្យាយាមបង្ហាញរូបមន្ត (1) ដោយបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ដូចដែលវាត្រូវបានធ្វើសម្រាប់រូបមន្តនៃពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 នៃដំណើរការធរណីមាត្រ

និងណែនាំការសម្គាល់៖ យើងទទួលបាន y \u003d mq 2 ឬនៅក្នុងលម្អិតបន្ថែម
អាគុយម៉ង់ x មាននៅក្នុងនិទស្សន្ត ដូច្នេះមុខងារបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ នេះមានន័យថា វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រអាចចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលបានផ្តល់នៅលើសំណុំ N នៃលេខធម្មជាតិ។ នៅលើរូបភព។ 96a បង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារនៃរូបភព។ 966 - ក្រាហ្វមុខងារ ក្នុងករណីទាំងពីរនេះ យើងមានចំណុចដាច់ពីគ្នា (ជាមួយ abscissas x = 1, x = 2, x = 3 ។ ខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេហៅថានិទស្សន្ត។ បន្ថែមទៀតអំពីអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងក្រាហ្វរបស់វានឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតថ្នាក់ទី 11 ។

ចូរយើងត្រឡប់ទៅឧទាហរណ៍ 1-5 ពីកថាខណ្ឌមុន។

១) ១, ៣, ៩, ២៧, ៨១, ... ។ នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ដែល b 1 \u003d 1, q \u003d 3. ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n
2) នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ដែលក្នុងនោះ ចូរយើងបង្កើតពាក្យ n-th

នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ចងក្រងរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0
៤) ៨, ៨, ៨, ..., ៨, ... ។ នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ ដែល b 1 \u003d 8, q \u003d 1. ចូរយើងបង្កើតរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី n
5) 2, −2, 2, −2, 2, −2,.... នេះគឺជាការវិវត្តធរណីមាត្រដែលក្នុងនោះ b 1 = 2, q = −1 ។ ចងក្រងរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0

ឧទាហរណ៍ ៦

បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​វឌ្ឍនភាព​ធរណីមាត្រ​

ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ ដំណោះស្រាយគឺផ្អែកលើរូបមន្តនៃសមាជិកទី n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ

ក) ការដាក់ n = 6 ក្នុងរូបមន្តនៃពាក្យទី n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ យើងទទួលបាន

ខ) យើងមាន

ចាប់តាំងពី 512 \u003d 2 9 យើងទទួលបាន n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 ។

ឃ) យើងមាន

ឧទាហរណ៍ ៧

ភាពខុសគ្នារវាងសមាជិកទីប្រាំពីរនិងទីប្រាំនៃដំណើរការធរណីមាត្រគឺ 48 ផលបូកនៃសមាជិកទី 5 និងទី 6 នៃវឌ្ឍនភាពក៏មាន 48 ។ ស្វែងរកសមាជិកទីដប់ពីរនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ដំណាក់កាលដំបូង។គូរគំរូគណិតវិទ្យា។

ល័ក្ខខ័ណ្ឌនៃការងារអាចត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបដូចខាងក្រោមៈ

ដោយប្រើរូបមន្តនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការធរណីមាត្រ យើងទទួលបាន៖
បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃបញ្ហា (b 7 - b 5 = 48) អាចត្រូវបានសរសេរជា

លក្ខខណ្ឌទីបីនៃបញ្ហា (b 5 + b 6 = 48) អាចត្រូវបានសរសេរជា

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរ b 1 និង q៖

ដែលរួមផ្សំជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌ 1) ដែលបានសរសេរខាងលើ គឺជាគំរូគណិតវិទ្យានៃបញ្ហា។

ដំណាក់កាលទីពីរ។

ធ្វើការជាមួយគំរូដែលបានចងក្រង។ សមីការផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន៖

(យើងបានបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទៅជាកន្សោម b 1 q 4 ដែលខុសពីសូន្យ)។

ពីសមីការ q 2 − q − 2 = 0 យើងរកឃើញ q 1 = 2, q 2 = −1 ។ ការជំនួសតម្លៃ q = 2 ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន
ការជំនួសតម្លៃ q = -1 ទៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន b 1 1 0 = 48; សមីការនេះមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ដូច្នេះ b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - គូនេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការដែលបានចងក្រង។

ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរការវិវត្តធរណីមាត្រនៅក្នុងសំណួរ៖ 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ។

ដំណាក់កាលទីបី។

ចម្លើយចំពោះសំណួរបញ្ហា។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនា b 12 ។ យើង​មាន

ចម្លើយ៖ ខ ១២ = ២០៤៨។

3. រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការធរណីមាត្រកំណត់។

អនុញ្ញាតឱ្យមានការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រកំណត់

សម្គាល់ដោយ S n ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វា i.e.

ចូរយើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកផលបូកនេះ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណីសាមញ្ញបំផុត នៅពេលដែល q = 1. បន្ទាប់មកការវិវត្តធរណីមាត្រ b 1 ,b 2 , b 3 ,... , bn មានលេខ n ស្មើនឹង b 1 , i.e. ការវិវត្តគឺ b 1 , b 2 , b 3 , ... , b 4 ។ ផលបូកនៃលេខទាំងនេះគឺ nb 1 ។

ឥឡូវនេះ q = 1 ដើម្បីស្វែងរក S n យើងប្រើវិធីសិប្បនិម្មិតមួយ៖ ចូរយើងធ្វើការបំប្លែងខ្លះនៃកន្សោម S n q ។ យើង​មាន:

ការអនុវត្តការបំប្លែងជាដំបូង យើងប្រើនិយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ យោងទៅតាម (សូមមើលបន្ទាត់ទីបីនៃហេតុផល); ទីពីរ ពួកគេបានបន្ថែម និងដកថាហេតុអ្វីបានជាអត្ថន័យនៃការបញ្ចេញមតិ ពិតណាស់មិនផ្លាស់ប្តូរ (សូមមើលបន្ទាត់ទីបួននៃហេតុផល); ទីបី យើងប្រើរូបមន្តនៃសមាជិក n-th នៃដំណើរការធរណីមាត្រ៖

ពីរូបមន្ត (១) យើងរកឃើញ៖

នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិក n នៃដំណើរការធរណីមាត្រ (សម្រាប់ករណីនៅពេល q = 1) ។

ឧទាហរណ៍ ៨

បានផ្ដល់ឱ្យនូវវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រកំណត់

ក) ផលបូកនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព; ខ) ផលបូកនៃការ៉េនៃសមាជិករបស់វា។

ខ) ខាងលើ (សូមមើលទំព័រ 132) យើងបានកត់សម្គាល់រួចហើយថា ប្រសិនបើសមាជិកទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រត្រូវបានការ៉េ នោះវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយសមាជិកទីមួយ b 2 ហើយភាគបែង q 2 នឹងត្រូវបានទទួល។ បន្ទាប់មកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទាំងប្រាំមួយនៃការវិវត្តថ្មីនឹងត្រូវបានគណនាដោយ

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកពាក្យទី 8 នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រដែល

តាមការពិត យើងបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

លំដាប់លេខគឺជាការវិវឌ្ឍធរណីមាត្រ ប្រសិនបើការេនៃពាក្យនីមួយៗរបស់វា លើកលែងតែទីមួយ (និងលេខចុងក្រោយ ក្នុងករណីលំដាប់កំណត់) គឺស្មើនឹងផលគុណនៃពាក្យមុន និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។ (លក្ខណៈលក្ខណៈនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ)។