នៅលើទំព័រនេះ អ្នកនឹងឃើញរូបមន្តត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានទាំងអស់ ដែលនឹងជួយអ្នកក្នុងការដោះស្រាយលំហាត់ជាច្រើន ដោយធ្វើឱ្យការបញ្ចេញមតិដោយខ្លួនវាកាន់តែងាយស្រួល។

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រគឺជាសមភាពគណិតវិទ្យាសម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលមានសុពលភាពសម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ត្រឹមត្រូវ។

រូបមន្តកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសំខាន់ - ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ កូតង់សង់។

ស៊ីនុស​នៃ​មុំ​មួយ​គឺ​ជា y-coordinate នៃ​ចំណុច​មួយ (លំដាប់) នៅ​លើ​រង្វង់​ឯកតា។ កូស៊ីនុសនៃមុំគឺជា x-coordinate នៃចំណុចមួយ (abscissa) ។

តង់សង់ និងកូតង់សង់ រៀងគ្នា សមាមាត្រនៃស៊ីនុស ទៅកូស៊ីនុស និងច្រាសមកវិញ។
`sin\\ អាល់ហ្វា, \\ cos អាល់ហ្វា`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \alpha),` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\alpha),` `\alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

និងពីរដែលត្រូវបានគេប្រើតិចជាញឹកញាប់ - secant, cosecant ។ ពួកគេបង្ហាញពីសមាមាត្រនៃ 1 ទៅកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស។

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \\alpha),` \alpha\ne\pi+\pi n,\n \in Z`

ពីនិយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ អ្នកអាចឃើញសញ្ញាអ្វីដែលពួកគេមាននៅក្នុងត្រីមាសនីមួយៗ។ សញ្ញានៃអនុគមន៍អាស្រ័យតែលើ quadrant ដែលអាគុយម៉ង់ស្ថិតនៅក្នុង។

នៅពេលផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃអាគុយម៉ង់ពី "+" ទៅ "-" មានតែមុខងារកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះដែលមិនផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរបស់វា។ វាត្រូវបានគេហៅថាសូម្បីតែ។ ក្រាហ្វរបស់វាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y ។

មុខងារដែលនៅសល់ (ស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់) គឺសេស។ នៅពេលដែលសញ្ញានៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរពី "+" ទៅ "-" តម្លៃរបស់ពួកគេក៏ផ្លាស់ប្តូរទៅជាអវិជ្ជមានផងដែរ។ ក្រាហ្វរបស់ពួកគេគឺស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម។

`sin(-\alpha)=-sin \\ alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\ alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \\ alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \\ alpha`

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានគឺជារូបមន្តដែលបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំមួយ (`sin \ \ alpha, \ cos \ \ alpha, \ tg \ \ alpha, \ ctg \ alpha`) ហើយដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកតម្លៃ នៃមុខងារទាំងនេះនីមួយៗ តាមរយៈមុខងារផ្សេងៗដែលគេស្គាល់។
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` `\alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` `\alpha\ne\pi n, \n \in Z`

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុំនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

រូបមន្តសម្រាប់ការបន្ថែម និងដកអាគុយម៉ង់បង្ហាញពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃមុំពីរក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំទាំងនេះ។
`sin(\alpha+\beta)=` sin \alpha\cos \beta+cos \alpha\sin \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` sin \alpha\cos\beta-cos \alpha\sin \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ alpha \ cos \ beta-sin \\ alpha \ sin \\ beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ alpha \ cos \ beta + sin \ \ alpha \ sin \ beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg\\alpha+tg\beta)(1-tg \\alpha\tg\beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg\\alpha-tg\beta)(1+tg\\alpha\tg\beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg\\alpha\ctg\beta-1)(ctg\\beta+ctg\\alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg\\alpha\ctg\beta+1)(ctg\\beta-ctg\ \alpha)`

រូបមន្តមុំទ្វេ

`sin \ 2 \ alpha = 2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha = ` ` \ frac (2 \ tg \ alpha) (1 + tg ^ 2 \ alpha) = \ frac (2 \ ctg \ alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \\ alpha+ctg \\ alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2\sin^2 \alpha=2\cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg\ \alpha-tg\alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \tg \alpha)(1-tg^2 \alpha)=``\frac(2\ctg\alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2 (\ ctg \\ alpha-tg \\ alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2\ctg\\alpha)=`\frac (\ctg\\alpha-tg\\alpha)2`

រូបមន្តមុំបី

`sin 3\alpha=3\sin\alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3 \ alpha = 4cos^3 \ alpha-3 \ cos \ alpha`
`tg 3\alpha=\frac(3\tg\\alpha-tg^3 \alpha)(1-3\tg^2 \alpha)`
`ctg 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3\ctg\alpha)(3\ctg^2 \alpha-1)`

រូបមន្តពាក់កណ្តាលមុំ

`sin \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos\\alpha)2)`
`cos \\ frac \\ អាល់ហ្វា 2 = \\ pm \\ sqrt (\ frac (1 + cos \\ alpha) 2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \alpha)(1+cos \\alpha))=` `\frac (sin \\alpha)(1+cos \\ \\ អាល់ហ្វា) = \\ frac (1-cos \\ alpha) (sin \\ alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \\ alpha)(1-cos \\ \ អាល់ហ្វា) = \\ frac (1 + cos \\ alpha) (sin \\ alpha)`

រូបមន្តអាគុយម៉ង់ពាក់កណ្តាល ទ្វេ និងបីបង្ហាញមុខងារ `sin, \cos, \tg, \ctg` នៃអាគុយម៉ង់ទាំងនេះ (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,… `) នៅក្នុង លក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ដូចគ្នាទាំងនេះ អាគុយម៉ង់ `\alpha`។

លទ្ធផលរបស់ពួកគេអាចទទួលបានពីក្រុមមុន (ការបន្ថែម និងដកអាគុយម៉ង់)។ ឧទាហរណ៍ អត្តសញ្ញាណមុំទ្វេត្រូវបានទទួលយ៉ាងងាយស្រួលដោយជំនួស `\beta` ជាមួយ `\alpha`។

រូបមន្តកាត់បន្ថយ

រូបមន្ត​នៃ​ការេ (គូប​។ ` ឬ `2\alpha, 4\alpha, \...`) ។
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos\2\alpha)2,` `(sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos\2\alpha)2,` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \alpha-sin\3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \alpha+cos \3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \2\alpha+cos\4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos\2\alpha+cos\4\alpha)8`

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

រូបមន្តគឺជាការបំប្លែងផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់ផ្សេងៗគ្នាទៅជាផលិតផល។

`sin \\ alpha+sin \\ beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \\ alpha-sin \\ beta=` `2 \\ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \\ alpha + cos \\ beta = ` `2 \\ cos \\ frac (\\ alpha + \\ beta)2 \\ cos \\ frac (\\ alpha-\beta)2`
`cos \ \ alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac (\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2\ sin \frac(\alpha+\ បេតា)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \\ alpha \pm tg \\ beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \alpha \cos\beta)`
`ctg \\ alpha \pm ctg \\ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \alpha \sin \beta)`
`tg \ alpha \pm ctg \ beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \beta)`

នៅទីនេះការបូក និងដកមុខងារនៃអាគុយម៉ង់មួយត្រូវបានបំប្លែងទៅជាផលិតផល។

`cos \\ alpha + sin \\ alpha = \\ sqrt (2) \\ cos (\frac (\pi)4-\alpha)`
`cos \ \ alpha-sin \\ alpha = \\ sqrt (2) \sin (\frac (\pi)4-\alpha)`
`tg \\ \\ alpha + ctg \\ alpha = 2 \\ cosec \\ 2 \\ អាល់ហ្វា;` `tg \\ alpha-ctg \\ alpha=-2 \\ ctg \\ ២ អាល់ហ្វា`

រូបមន្តខាងក្រោមបំប្លែងផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃឯកតា និងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទៅជាផលិតផល។

`1+cos \alpha=2 \\ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ alpha = 2 \ sin ^ 2 \ frac (\ alpha) 2`
`1+sin \\ alpha=2 \\ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \alpha=2\sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ alpha \ cos \beta);` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ បេតា \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \alpha \sin \beta)`

រូបមន្តបំប្លែងមុខងារ

រូបមន្តសម្រាប់បំប្លែងផលិតផលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាមួយអាគុយម៉ង់ `\alpha` និង `\beta` ទៅជាផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអាគុយម៉ង់ទាំងនេះ។
`sin \ alpha \ sin \ beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha+\beta))(2)`
`cos \\ alpha \\ cos \\ beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ alpha \ tg \\ beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ បេតា)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \\ alpha ctg \\ beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha+\beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ បេតា)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \beta)(tg \\ alpha + tg \\ beta)`
`tg \\ alpha ctg \\ beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha+\beta))(sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\ បេតា))`

ការជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកល

រូបមន្តទាំងនេះបង្ហាញពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតង់សង់នៃមុំពាក់កណ្តាលមួយ។
`sin \ alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` `\alpha\ne \pi +2\ pi n, n \ ក្នុង Z`
`cos \\ alpha = \\ frac (1 - tg ^ (2) \\ frac (\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \\ frac (\ alpha) (2)), ` ` \ អាល់ហ្វា \\ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` `\alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

រូបមន្តចាក់

រូបមន្តកាត់បន្ថយអាចទទួលបានដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដូចជា ភាពទៀងទាត់ ស៊ីមេទ្រី លក្ខណសម្បត្តិផ្លាស់ប្តូរដោយមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ពួកវាអនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមុំបំពានត្រូវបានបំប្លែងទៅជាមុខងារដែលមុំស្ថិតនៅចន្លោះពី 0 ទៅ 90 ដឺក្រេ។

សម្រាប់មុំ (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ឬ (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \alpha;` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \\alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;` `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg\ \alpha;` `tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \\ alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;` `ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
សម្រាប់មុំ (`\pi \pm \alpha`) ឬ (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \alpha;` sin(\pi + \alpha)=-sin \\alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` `cos(\pi + \alpha)=-cos \\ alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \\ alpha;` `tg(\pi + \alpha)=tg \\ alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg\ \alpha;` `ctg(\pi + \alpha)=ctg \\ alpha`
សម្រាប់មុំ (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ឬ (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \alpha;` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \alpha;` `cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \\alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;` `tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg\ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;` `ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \\ alpha`
សម្រាប់មុំ (`2\pi \pm \alpha`) ឬ (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \alpha;` sin(2\pi + \alpha)=sin \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos\ \alpha;` `cos(2\pi + \alpha)=cos \\ alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \\ alpha;` `tg(2\pi + \alpha)=tg \\ alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg\ \alpha;` `ctg(2\pi + \alpha)=ctg\ \alpha`

ការបញ្ចេញមតិនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយចំនួននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។

`sin \\ alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg\\alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg\alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \\ alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)))=`\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \\ អាល់ហ្វា) = \\ frac 1 (ctg \\ alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \\alpha)=`\frac (cos\alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \alpha)`

ត្រីកោណមាត្របកប្រែតាមព្យញ្ជនៈថា "ការវាស់វែងនៃត្រីកោណ" ។ វា​ចាប់​ផ្តើម​សិក្សា​នៅ​សាលា ហើយ​បន្ត​លម្អិត​បន្ថែម​ទៀត​នៅ​សាកល​វិទ្យាល័យ។ ដូច្នេះ រូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់ត្រីកោណមាត្រគឺត្រូវការជាចាំបាច់ ដោយចាប់ផ្តើមពីថ្នាក់ទី១០ ក៏ដូចជាសម្រាប់ការប្រឡងជាប់។ ពួកគេបង្ហាញពីការតភ្ជាប់រវាងមុខងារ ហើយដោយសារមានការតភ្ជាប់ទាំងនេះច្រើន វាមានរូបមន្តមួយចំនួនដោយខ្លួនឯង។ ចងចាំពួកគេទាំងអស់គឺមិនងាយស្រួលទេហើយវាមិនចាំបាច់ទេ - បើចាំបាច់ពួកគេទាំងអស់អាចត្រូវបានកាត់ចេញ។

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាល ក៏ដូចជាក្នុងការសម្រួលត្រីកោណមាត្រ ការគណនា និងការបំប្លែង។

អ្នកអាចបញ្ជាទិញដំណោះស្រាយលម្អិតចំពោះបញ្ហារបស់អ្នក !!!

សមភាពដែលមានមិនស្គាល់នៅក្រោមសញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (`sin x, cos x, tg x` ឬ `ctg x`) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការត្រីកោណមាត្រ ហើយយើងនឹងពិចារណារូបមន្តរបស់វាបន្ថែមទៀត។

សមីការសាមញ្ញបំផុតគឺ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` ដែល `x` ជាមុំដែលត្រូវរក `a` គឺជាលេខណាមួយ។ ចូរយើងសរសេររូបមន្តឫសសម្រាប់ពួកវានីមួយៗ។

1. សមីការ `sin x=a` ។

សម្រាប់ `|a|>1` វាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ជាមួយ `|a| \leq 1` មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

រូបមន្តឫស៖ `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. សមីការ `cos x = a`

សម្រាប់ `|a|>1` - ដូចក្នុងករណីស៊ីនុស គ្មានដំណោះស្រាយក្នុងចំណោមចំនួនពិតទេ។

ជាមួយ `|a| \leq 1` មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

រូបមន្តឫស៖ `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ករណីពិសេសសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសក្នុងក្រាហ្វ។

3. សមីការ `tg x=a`

មានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ `a` ។

រូបមន្តឫស៖ `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. សមីការ `ctg x=a`

វាក៏មានដំណោះស្រាយចំនួនមិនកំណត់សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ `a` ផងដែរ។

រូបមន្តឫស៖ `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការត្រីកោណមាត្រក្នុងតារាង

សម្រាប់ប្រហោងឆ្អឹង៖
សម្រាប់កូស៊ីនុស៖
សម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់៖
រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដែលមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស៖

វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ

ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រណាមួយមានពីរដំណាក់កាល៖

• ប្រើដើម្បីបម្លែងវាទៅជាសាមញ្ញបំផុត;
• ដោះស្រាយសមីការសាមញ្ញលទ្ធផលដោយប្រើរូបមន្តខាងលើសម្រាប់ឫស និងតារាង។

ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តចម្បងនៃដំណោះស្រាយដោយប្រើឧទាហរណ៍។

វិធីសាស្រ្តពិជគណិត។

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ ការជំនួសអថេរមួយ និងការជំនួសរបស់វាទៅជាសមភាពត្រូវបានធ្វើឡើង។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `2cos^2(x+\frac\pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

ធ្វើការជំនួស៖ `cos(x+\frac \pi 6)=y` បន្ទាប់មក `2y^2-3y+1=0`,

យើងរកឃើញឫស៖ `y_1=1, y_2=1/2` ដែលករណីពីរដូចខាងក្រោម៖

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n` ។

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n` ។

ចម្លើយ៖ `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n` ។

ការបំបែកឯកតា។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `sin x + cos x = 1` ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ផ្លាស់ទីទៅខាងឆ្វេងលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពទាំងអស់៖ `sin x+cos x-1=0`។ ដោយប្រើ យើងបំប្លែង និងកំណត់ផ្នែកខាងឆ្វេង៖

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n` ។
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n` ។

ចម្លើយ៖ `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`។

ការកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដូចគ្នា។

ដំបូងអ្នកត្រូវនាំយកសមីការត្រីកោណមាត្រនេះទៅជាទម្រង់មួយក្នុងចំណោមទម្រង់ពីរ៖

`a sin x + b cos x = 0` (សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីមួយ) ឬ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (សមីការដូចគ្នានៃសញ្ញាបត្រទីពីរ)។

បន្ទាប់មកបំបែកផ្នែកទាំងពីរដោយ `cos x \ne 0` សម្រាប់ករណីទីមួយ និងដោយ `cos^2 x \ne 0` សម្រាប់ទីពីរ។ យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់ `tg x`: `a tg x+b=0` និង `a tg^2 x + b tg x +c =0` ដែលត្រូវតែដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`។

ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរសរសេរផ្នែកខាងស្តាំជា `1=sin^2 x+cos^2 x`៖

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` `sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x − 2 cos^2 x=0` ។

នេះគឺជាសមីការត្រីកោណមាត្រដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ ដោយបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វាដោយ `cos^2 x \ne 0` យើងទទួលបាន៖

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0` ។ សូមណែនាំការជំនួស `tg x=t` ជាលទ្ធផល `t^2 + t - 2=0` ។ ឫសគល់នៃសមីការនេះគឺ `t_1=-2` និង `t_2=1` ។ បន្ទាប់មក៖

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z` ។

ទៅពាក់កណ្តាលជ្រុង

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `11 sin x − 2 cos x = 10` ។

ការសម្រេចចិត្ត។ ការអនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេ លទ្ធផលគឺ៖ `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

អនុវត្តវិធីសាស្ត្រពិជគណិតដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ យើងទទួលបាន៖

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z` ។

សេចក្តីផ្តើមនៃមុំជំនួយ

នៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រ `a sin x + b cos x = c` ដែល a, b, c ជាមេគុណ និង x ជាអថេរ យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`។

មេគុណ​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ឆ្វេង​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ស៊ីនុស និង​កូស៊ីនុស ពោល​គឺ​ផល​បូក​នៃ​ការ​ការ៉េ​របស់​វា​គឺ ១ ហើយ​ម៉ូឌុល​របស់​វា​គឺ​ច្រើន​បំផុត ១។ ចូរ​បញ្ជាក់​ពួកវា​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ `\frac a(sqrt (a^2+b^)។ 2))=cos \varphi`, `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` បន្ទាប់មក៖

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x = C` ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់នូវឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ៖ `3 sin x + 4 cos x = 2` ។

ការសម្រេចចិត្ត។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ `sqrt (3^2+4^2)` ​​យើងទទួលបាន៖

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`។

សម្គាល់ `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ។ ចាប់តាំងពី `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` យើងយក `\varphi=arcsin 4/5` ជាមុំជំនួយ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមភាពរបស់យើងក្នុងទម្រង់៖

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

ដោយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃមុំសម្រាប់ស៊ីនុស យើងសរសេរសមភាពរបស់យើងក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z` ។

ចម្លើយ។ `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z` ។

សមីការត្រីកោណមាត្រប្រភាគ-សនិទាន

ទាំងនេះគឺជាសមភាពជាមួយប្រភាគ នៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងដែលមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ឧទាហរណ៍។ ដោះស្រាយសមីការ។ `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`។

ការសម្រេចចិត្ត។ គុណ និងចែកផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការដោយ `(1+cos x)`។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

ដោយសារភាគបែងមិនអាចជាសូន្យ យើងទទួលបាន `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`។

ស្មើភាគយកនៃប្រភាគទៅសូន្យ៖ `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`។ បន្ទាប់មក `sin x=0` ឬ `1-sin x=0`។

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z` ។

ដោយសារ `x \ne \pi + 2\pi n, n \in Z` ដំណោះស្រាយគឺ `x=2\pi n, n \in Z` និង `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ ក្នុង Z` ។

ចម្លើយ។ `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z` ។

ត្រីកោណមាត្រ និងសមីការត្រីកោណមាត្រ ជាពិសេសគឺត្រូវបានប្រើប្រាស់ស្ទើរតែគ្រប់ផ្នែកទាំងអស់នៃធរណីមាត្រ រូបវិទ្យា និងវិស្វកម្ម។ ការសិក្សាចាប់ផ្តើមនៅថ្នាក់ទី 10 តែងតែមានភារកិច្ចសម្រាប់ការប្រឡង ដូច្នេះព្យាយាមចងចាំរូបមន្តទាំងអស់នៃសមីការត្រីកោណមាត្រ - ពួកគេប្រាកដជានឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នក!

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អ្នកមិនចាំបាច់ទន្ទេញវាទេ រឿងសំខាន់គឺត្រូវយល់ពីខ្លឹមសារ និងអាចសន្និដ្ឋានបាន។ វាមិនពិបាកដូចដែលវាហាក់ដូចជានោះទេ។ មើលដោយខ្លួនឯងដោយមើលវីដេអូ។

អ្នកអាចបញ្ជាទិញដំណោះស្រាយលម្អិតចំពោះបញ្ហារបស់អ្នក !!!

រូបមន្តមុំទ្វេធ្វើឱ្យវាអាចបង្ហាញអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ (ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ កូតង់សង់) នៃមុំ `2\alpha` ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារទាំងនេះនៃមុំ `\alpha`។

បញ្ជីខាងក្រោមគឺជារូបមន្តមុំទ្វេជាមូលដ្ឋានដែលត្រូវបានប្រើជាទូទៅបំផុតនៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ។ មានបីក្នុងចំនោមពួកគេសម្រាប់កូស៊ីនុស ពួកវាទាំងអស់សមមូល និងមានសារៈសំខាន់ស្មើគ្នា។

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha`
`cos \ 2 \ alpha = cos ^ 2 \ alpha-sin ^ 2 \ alpha`, `cos \ 2 \ alpha = 1-2 \ sin^ 2 \ alpha`, `cos \ 2 \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \alpha-1`
`tg 2\alpha=\frac(2\tg\alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg 2\alpha=\frac(ctg^2\alpha-1)(2\ctg\\alpha)`

អត្តសញ្ញាណខាងក្រោមបង្ហាញពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់នៃមុំ `2\alpha` នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំ `\alpha`។

`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2\ctg\alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \\ alpha+ctg \\ alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \\ \alpha-tg \\ alpha)(ctg \\ \alpha+tg \\ alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \ alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac (\ ctg \ alpha-tg \ alpha)2`

រូបមន្ត​សម្រាប់​កូស៊ីនុស និង​ស៊ីនុស​នៃ​មុំ​ទ្វេ​មាន​សុពលភាព​សម្រាប់​មុំ `\alpha` ណាមួយ។ រូបមន្តសម្រាប់តង់សង់នៃមុំទ្វេគឺត្រឹមត្រូវសម្រាប់ `\alpha` ដែល `tg \ 2\alpha` ត្រូវបានកំណត់ នោះគឺសម្រាប់ ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \n \ ក្នុង Z` ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ សម្រាប់កូតង់សង់ ពួកគេកាន់សម្រាប់ `\alpha` ដែល `ctg \ 2\alpha` ត្រូវបានកំណត់ នោះគឺសម្រាប់ ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \n \in Z` ។

ភស្តុតាងនៃរូបមន្តមុំទ្វេ

រូបមន្តមុំទ្វេទាំងអស់បានមកពីរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុំនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ចូរយើងយករូបមន្តពីរសម្រាប់ផលបូកនៃមុំស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖

`sin(\alpha+\beta)=` sin \alpha\cos \beta+cos \alpha\ sin \beta` និង `cos(\alpha+\beta)=` `cos \alpha\cos \ \\ beta-sin \\ alpha \\ sin \\ beta` ។ យក `\beta=\alpha` បន្ទាប់មក `sin(\alpha+\alpha)=``sin\alpha\cos\\alpha+cos\alpha\sin \alpha=2\sin \alpha\cos \ \alpha` ស្រដៀងនឹង `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ alpha \ cos \ \ alpha-sin \ alpha \ sin \ \ alpha = cos ^ 2 \ alpha-sin ^ 2 \ alpha`, ដែលនិងបង្ហាញរូបមន្តមុំទ្វេសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។

សមភាពពីរផ្សេងទៀតសម្រាប់កូស៊ីនុស `cos\2\alpha=1-2\sin^2 \alpha` និង `cos \2\alpha=2 \cos^2 \alpha-1` កាត់បន្ថយទៅអ្វីដែលបានបង្ហាញរួចហើយ ប្រសិនបើ យើងជំនួស 1 ក្នុងពួកវាទៅជា `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`។ ដូច្នេះ `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2\ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` និង ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` ។

ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តសម្រាប់តង់សង់នៃមុំទ្វេ និងកូតង់សង់ យើងប្រើនិយមន័យនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។ សរសេរ `tg\2\alpha` និង `ctg\2\alpha` ជា `tg\2\alpha=\frac (sin \2\alpha)(cos\2\alpha)` និង `ctg\2\alpha=\ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`។ អនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេដែលបានបញ្ជាក់រួចហើយសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស យើងទទួលបាន `tg\2\alpha=\frac (sin \2\alpha)(cos \2\alpha)=\frac (2 \sin \alpha \cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` និង `ctg\2\alpha=\frac(cos\2\alpha)(sin \2\alpha)=`\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\alpha)`។

ក្នុងករណីតង់សង់ យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគចុងក្រោយដោយ `cos^2 \alpha` សម្រាប់ cotangent ជាវេនដោយ `sin^2 \alpha`។

`tg \ 2\alpha=\frac (sin 2\alpha)(cos \2\alpha)=\frac (2\sin\alpha\cos\alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` \frac (\frac(2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`។

`ctg\2\alpha=\frac (cos\2\alpha)(sin \2\alpha)=``\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \sin \alpha \cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2\sin \alpha\cos\alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\ \alpha)`។

យើងក៏ស្នើឱ្យមើលវីដេអូផងដែរ ដើម្បីពង្រឹងសម្ភារៈទ្រឹស្តីឱ្យកាន់តែប្រសើរឡើង៖

ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់រូបមន្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា

រូបមន្តមុំទ្វេគឺនៅក្នុងករណីភាគច្រើនដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីបំប្លែងកន្សោមត្រីកោណមាត្រ។ ចូរយើងពិចារណាករណីមួយចំនួន របៀបដែលអ្នកអាចអនុវត្តពួកវាក្នុងការអនុវត្តនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ 1. ពិនិត្យមើលសុពលភាពនៃអត្តសញ្ញាណមុំទ្វេសម្រាប់ `\alpha=30^\circ` ។

ការសម្រេចចិត្ត។ រូបមន្តរបស់យើងប្រើមុំពីរ `\alpha` និង `2\alpha` ។ តម្លៃនៃមុំទីមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌ ទីពីរនឹងជា `2\alpha=60^\circ` តាមនោះ។ យើងក៏ដឹងពីតម្លៃលេខសម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់នៃមុំទាំងនេះ។ ចូរយើងសរសេរពួកវាចុះ៖

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` និង

`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\ sqrt 3)3` ។

បន្ទាប់មកយើងនឹងមាន

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=``2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \\cdot (\frac 1 2)^2=\frac 12`,

`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=``\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,

`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2\ctg 30^\circ)=``\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3) = \\ frac (\ sqrt 3)3` ។

ដែលបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់មុំដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌ។

ឧទាហរណ៍ 2. Express `sin \frac (2\alpha)3` នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំ `\frac (\alpha)6`។

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងសរសេរមុំស៊ីនុសដូចខាងក្រោម `\frac (2\alpha)3=4\cdot \frac (\alpha)6` ។ បន្ទាប់មកដោយអនុវត្តរូបមន្តមុំទ្វេពីរដង យើងអាចដោះស្រាយបញ្ហារបស់យើង។

ដំបូងយើងប្រើសមីការស៊ីនុសមុំទ្វេ៖ `sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 ` ឥឡូវនេះយើងអនុវត្តរូបមន្តរបស់យើងសម្រាប់ ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ម្តងទៀតរៀងៗខ្លួន។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖

` sin\frac (2\alpha)3=2\cdot sin\frac (\alpha)3\cdot cos\frac (\alpha)3=``2\cdot (2\cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=``4\cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`។

ចម្លើយ។ ` sin\frac (2\alpha)3=``4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6` ។

រូបមន្តមុំបី

រូបមន្តទាំងនេះ ស្រដៀងទៅនឹងរូបមន្តមុន ធ្វើឱ្យវាអាចបង្ហាញមុខងារនៃមុំ `3\alpha` ក្នុងន័យនៃមុខងារទាំងនេះនៃមុំ `\alpha`។

`sin 3\alpha=3\sin\alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3 \ alpha = 4cos^3 \ alpha-3 \ cos \ alpha`
`tg 3\alpha=\frac(3\tg\\alpha-tg^3 \alpha)(1-3\tg^2 \alpha)`
`ctg 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3\ctg\alpha)(3\ctg^2 \alpha-1)`

អ្នកអាចបញ្ជាក់ពួកវាដោយប្រើសមភាពនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុំ ក៏ដូចជារូបមន្តមុំទ្វេដែលគេស្គាល់ផងដែរ។

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=`3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`។

នៅក្នុងរូបមន្តលទ្ធផល ជំនួស `sin\3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` ជាមួយ `1-sin^2\alpha` ហើយទទួលបាន `sin \3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`។

ផងដែរសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំបី:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` ។

ការជំនួស `cos\3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` ជាមួយ `1-cos^2\alpha` ក្នុងសមីការចុងក្រោយ យើងទទួលបាន `cos \3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`។

ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណដែលបង្ហាញឱ្យឃើញសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស មួយអាចបញ្ជាក់សម្រាប់តង់សង់ និងកូតង់សង់៖

`tg \ 3\alpha=\frac (sin \3\alpha)(cos\3\alpha)=`\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=`\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha)(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=``\frac(3\tg\\alpha-tg^3 \ អាល់ហ្វា)(1-3tg^2 \alpha)`;

`ctg\3\alpha=\frac (cos\3\alpha)(sin \3\alpha)=``\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=``\frac (\frac(cos^3 \alpha)(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=``ctg\3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`។

ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តសម្រាប់មុំ `4\alpha` អ្នកអាចតំណាងវាជា `2 \cdot 2\alpha` ហើយសាកល្បងរូបមន្តមុំទ្វេពីរដង។

ដើម្បីទទួលបានភាពស្មើគ្នាស្រដៀងគ្នាសម្រាប់មុំ `5\alpha` អ្នកអាចសរសេរវាជា `3\alpha + 2\alpha` ហើយអនុវត្តអត្តសញ្ញាណនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុំ និងមុំទ្វេ និងបី។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ រូបមន្តទាំងអស់សម្រាប់មុំច្រើនផ្សេងទៀតត្រូវបានយកមក ដូច្នេះពួកគេកម្រត្រូវការក្នុងការអនុវត្តណាស់។

ត្រីកោណមាត្រ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ

ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសំខាន់ៗ - ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ - ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ. ហើយចាប់តាំងពីមានទំនាក់ទំនងជាច្រើនរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ នេះក៏ពន្យល់ពីភាពសម្បូរបែបនៃរូបមន្តត្រីកោណមាត្រផងដែរ។ រូបមន្តខ្លះភ្ជាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំដូចគ្នា មុខងារផ្សេងទៀតនៃមុំច្រើន ផ្សេងទៀត - អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបន្ថយដឺក្រេ ទីបួន - ដើម្បីបង្ហាញមុខងារទាំងអស់តាមរយៈតង់ហ្សង់នៃមុំពាក់កណ្តាល។ល។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងរាយបញ្ជីតាមលំដាប់នៃរូបមន្តត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាភាគច្រើននៃត្រីកោណមាត្រ។ ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងការទន្ទេញ និងប្រើប្រាស់ យើងនឹងដាក់ជាក្រុមទៅតាមគោលបំណងរបស់ពួកគេ ហើយបញ្ចូលវាទៅក្នុងតារាង។

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ និងកូតង់សង់នៃមុំមួយ។ ពួកគេធ្វើតាមនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ ព្រមទាំងគោលគំនិតនៃរង្វង់ឯកតា។ ពួកគេអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបញ្ចេញអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយតាមរយៈមុខងារផ្សេងទៀត។

សម្រាប់ការពិពណ៌នាលម្អិតនៃរូបមន្តត្រីកោណមាត្រទាំងនេះ ប្រភពដើម និងឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធី សូមមើលអត្ថបទ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។

កំពូលនៃទំព័រ

រូបមន្តចាក់

រូបមន្តចាក់ធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ ពោលគឺពួកវាឆ្លុះបញ្ចាំងពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃរយៈពេលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃស៊ីមេទ្រី និងក៏ជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរដោយមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកផ្លាស់ទីពីការធ្វើការជាមួយមុំបំពានទៅធ្វើការជាមួយមុំចាប់ពីសូន្យដល់ 90 ដឺក្រេ។

ហេតុផលសម្រាប់រូបមន្តទាំងនេះ ច្បាប់ mnemonic សម្រាប់ទន្ទេញចាំពួកវា និងឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់ពួកគេអាចរកបាននៅក្នុងអត្ថបទស្តីពីរូបមន្តកាត់បន្ថយ។

កំពូលនៃទំព័រ

រូបមន្តបន្ថែម

រូបមន្តបន្ថែមត្រីកោណមាត្របង្ហាញពីរបៀបដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃមុំពីរត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំទាំងនេះ។ រូបមន្តទាំងនេះបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការចេញនៃរូបមន្តត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម។

សម្រាប់ព័ត៌មានបន្ថែម សូមមើលរូបមន្តបន្ថែម។

កំពូលនៃទំព័រ

រូបមន្តសម្រាប់ទ្វេដង បីដង។ល។ ជ្រុង

រូបមន្តសម្រាប់ទ្វេដង បីដង។ល។ មុំ (ពួកវាត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តមុំច្រើនផងដែរ) បង្ហាញពីរបៀបដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃទ្វេរបី។ល។ angles () ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំតែមួយ។ ប្រភពដើមរបស់ពួកគេគឺផ្អែកលើរូបមន្តបន្ថែម។

ព័ត៌មានលម្អិតបន្ថែមត្រូវបានប្រមូលនៅក្នុងរូបមន្តអត្ថបទសម្រាប់ទ្វេដង បីដង។ល។ មុំ។

កំពូលនៃទំព័រ

រូបមន្តពាក់កណ្តាលមុំ

រូបមន្តពាក់កណ្តាលមុំបង្ហាញពីរបៀបដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំពាក់កណ្តាលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃកូស៊ីនុសនៃមុំចំនួនគត់។ រូបមន្តត្រីកោណមាត្រទាំងនេះធ្វើតាមរូបមន្តមុំទ្វេ។

ដេរីវេ និងឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តរបស់ពួកគេអាចរកបាននៅក្នុងអត្ថបទរូបមន្តមុំពាក់កណ្តាល។

កំពូលនៃទំព័រ

រូបមន្តកាត់បន្ថយ

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រសម្រាប់បន្ថយដឺក្រេត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីជួយសម្រួលដល់ការផ្លាស់ប្តូរពីថាមពលធម្មជាតិនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទៅជាស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសក្នុងដឺក្រេទីមួយ ប៉ុន្តែមានមុំច្រើន។ ម៉្យាងទៀតពួកគេអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់កាត់បន្ថយអំណាចនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទៅទីមួយ។

កំពូលនៃទំព័រ

រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

គោលបំណងសំខាន់ រូបមន្តផលបូក និងភាពខុសគ្នាសម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមាននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរទៅជាផលិតផលនៃអនុគមន៍ ដែលមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់នៅពេលធ្វើឱ្យសាមញ្ញនៃកន្សោមត្រីកោណមាត្រ។ រូបមន្តទាំងនេះក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រផងដែរ ព្រោះវាអនុញ្ញាតឱ្យបង្កើតផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។

ចំពោះការទាញយករូបមន្ត ក៏ដូចជាឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់ពួកគេ សូមមើលរូបមន្តអត្ថបទសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស។

កំពូលនៃទំព័រ

រូបមន្តសម្រាប់ផលិតផលនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងស៊ីនុស ដោយកូស៊ីនុស

ការផ្លាស់ប្តូរពីផលគុណនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទៅជាផលបូក ឬភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្តតាមរយៈរូបមន្តសម្រាប់ផលគុណនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងស៊ីនុសដោយកូស៊ីនុស។

កំពូលនៃទំព័រ

ការជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកល

យើងបញ្ចប់ការពិនិត្យឡើងវិញនៃរូបមន្តមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណមាត្រជាមួយនឹងរូបមន្តដែលបង្ហាញពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតង់សង់នៃមុំពាក់កណ្តាលមួយ។ ការជំនួសនេះត្រូវបានគេហៅថា ការជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកល. ភាពងាយស្រួលរបស់វាស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាមុខងារត្រីកោណមាត្រទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃតង់សង់នៃមុំពាក់កណ្តាលសមហេតុផលដោយគ្មានឫស។

សម្រាប់ព័ត៌មានបន្ថែម សូមមើលអត្ថបទ ការជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកល។

កំពូលនៃទំព័រ

• ពិជគណិត៖ប្រូក សម្រាប់ 9 កោសិកា។ មធ្យម សាលា / យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; អេដ។ S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ Proc. សម្រាប់ 10-11 កោសិកា។ មធ្យម សាលា - ទី 3 ed ។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ១៩៩៣ — ៣៥១ ទំ៖ ឈឺ។ - ISBN 5-09-004617-4 ។
• ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ Proc ។ សម្រាប់ 10-11 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn និងអ្នកដទៃ; អេដ។ A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3 ។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាលាបច្ចេកទេស): Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។- M.; ខ្ពស់ជាង សាលា ១៩៨៤.-៣៥១ ទំ., ឈឺ។

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ- ទាំងនេះគឺជារូបមន្តចាំបាច់បំផុតនៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ ដែលចាំបាច់សម្រាប់បង្ហាញអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់។

រូបមន្តបន្ថែម។

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)

ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α − β) = (ctg α ctg β − 1) ÷ (ctg β + ctg α)

រូបមន្តមុំទ្វេ។

cos 2α = cos²α - sin²α

cos 2α = 2cos²α — 1

cos 2α = 1 - 2sin²α

បាប ២α = បាប ២α cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg ២α = (ctg²α - 1) ÷ (2ctgα )

រូបមន្តមុំបី។

sin3α = 3sinα - 4sin³α

cos ៣α = 4cos³α - ៣ កូសα

tg ៣α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

រូបមន្តពាក់កណ្តាលមុំ។

រូបមន្តចាក់។

មុខងារ / មុំក្នុងរ៉ាដ។	π/2 − α	π/2 + α			3π/2 − α	3π/2 + α	2π − α	2π + α
មុខងារ / មុំក្នុង°	90 ° - α	90° + α	180 ° - α	180 ° + α	270 ° - α	270° + α	360 ° - α	360 ° + α

ការពិពណ៌នាលម្អិតនៃរូបមន្តកាត់បន្ថយ។

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន៖

sin2α+cos2α=1

អត្តសញ្ញាណនេះគឺជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរទៅនឹងត្រីកោណក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រឯកតា។

ទំនាក់ទំនងរវាងកូស៊ីនុស និងតង់សង់៖

1/cos 2 α−tan 2 α=1 ឬ វិនាទី 2 α−tan 2 α=1 ។

រូបមន្តនេះគឺជាផលវិបាកនៃអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន ហើយទទួលបានពីវាដោយបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំដោយ cos2α។ វាត្រូវបានសន្មត់ថា α≠π/2+πn,n∈Z។

ទំនាក់ទំនងរវាងស៊ីនុស និងកូតង់សង់៖

1/sin 2 α−cot 2 α=1 ឬ csc 2 α−cot 2 α=1 ។

រូបមន្តនេះក៏ធ្វើតាមពីអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន (ទទួលបានពីវាដោយបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំដោយ sin2α. នៅទីនេះវាត្រូវបានសន្មត់ថា α≠πn,n∈Z។

និយមន័យតង់សង់៖

tanα=sinα/cosα,

កន្លែងណា α≠π/2+πn,n∈Z។

និយមន័យនៃកូតង់សង់៖

cotα=cosα/sinα,

កន្លែងណា α≠πn,n∈Z។

លទ្ធផលពីនិយមន័យនៃតង់សង់ និងកូតង់សង់៖

tanα⋅ cotα=1,

កន្លែងណា α≠πn/2,n∈Z។

និយមន័យ​នៃ​ការ​និរទេស​:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

និយមន័យ cosecant៖

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

វិសមភាពត្រីកោណមាត្រ។

វិសមភាពត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត៖

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

ការេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

រូបមន្តនៃគូបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ត្រីកោណមាត្រ គណិតវិទ្យា។ ត្រីកោណមាត្រ។ រូបមន្ត។ ធរណីមាត្រ។ ទ្រឹស្ដី

យើងបានពិចារណាលើអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានបំផុត (កុំច្រឡំ បន្ថែមពីលើស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់ មានមុខងារផ្សេងទៀតជាច្រើន ប៉ុន្តែបន្ថែមលើពួកវានៅពេលក្រោយ) ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋានមួយចំនួន។ នៃមុខងារដែលបានសិក្សារួចហើយ។

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃអាគុយម៉ង់លេខ

អ្វីក៏ដោយដែលចំនួនពិត t ត្រូវបានគេយក វាអាចត្រូវបានកំណត់ចំនួន sin(t) តែមួយគត់។

ពិតហើយ ច្បាប់នៃការឆ្លើយឆ្លងគឺស្មុគស្មាញជាង ហើយមានដូចខាងក្រោម។

ដើម្បីរកតម្លៃនៃអំពើបាប (t) ដោយលេខ t អ្នកត្រូវការ:

1. ដាក់រង្វង់លេខនៅលើយន្តហោះកូអរដោណេ ដើម្បីឱ្យកណ្តាលរង្វង់ស្របគ្នានឹងប្រភពដើម ហើយចំណុចចាប់ផ្តើម A នៃរង្វង់ប៉ះចំណុច (1; 0);
2. រកចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ដែលត្រូវនឹងលេខ t;
3. ស្វែងរកការចាត់តាំងនៃចំណុចនេះ។
4. ការតែងតាំងនេះគឺជាអំពើបាបដែលចង់បាន។

តាមពិតយើងកំពុងនិយាយអំពីអនុគមន៍ s = sin(t) ដែល t ជាចំនួនពិតណាមួយ។ យើងដឹងពីរបៀបគណនាតម្លៃមួយចំនួននៃអនុគមន៍នេះ (ឧទាហរណ៍ sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) ។ល។ យើងដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនរបស់វា។

ការតភ្ជាប់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ដូចអ្នក ខ្ញុំសង្ឃឹមថា ស្មានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់មានទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយសូម្បីតែមិនស្គាល់តម្លៃនៃមួយ វាអាចត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ រូបមន្តសំខាន់បំផុតនៃត្រីកោណមាត្រទាំងអស់គឺ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដោយដឹងពីតម្លៃនៃស៊ីនុសអ្នកអាចរកឃើញតម្លៃនៃកូស៊ីនុសហើយផ្ទុយទៅវិញ។

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ

រូបមន្តទូទៅផងដែរដែលទាក់ទងនឹងស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ជាមួយតង់សង់ និងកូតង់សង់៖

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\\[ ប្រអប់ (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\;), \qquad t \neq \pi k) \\]

ពីរូបមន្តពីរចុងក្រោយ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមួយបន្ថែមទៀតអាចត្រូវបានកាត់ចេញ ដោយភ្ជាប់ពេលនេះតង់ហ្សង់ និងកូតង់សង់៖

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

ឥឡូវនេះសូមមើលពីរបៀបដែលរូបមន្តទាំងនេះដំណើរការនៅក្នុងការអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ 1. សម្រួលកន្សោម៖ ក) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

ក) ជាដំបូងយើងសរសេរតង់សង់ដោយរក្សាការ៉េ៖

\\[ 1+ \\tan^2 \\; t = 1 + \frac(\sin^2\; t)(\cos^2\; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2\; t)(\cos^2\; t)=\sin^2\; t + \\ cos ^ 2 \\; t + \frac(\sin^2\; t)(\cos^2\; t) \]

ឥឡូវនេះយើងណែនាំអ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅក្រោមភាគបែងធម្មតា ហើយយើងទទួលបាន៖

\\[ \sin^2\; t + \\ cos ^ 2 \\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]

ហើយចុងក្រោយ ដូចដែលយើងឃើញ លេខភាគអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅមួយ យោងទៅតាមអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖ \[ 1+ \tan^2 \\; = \frac(1)(\cos^2\; t) \]

ខ) ជាមួយនឹងកូតង់សង់ យើងអនុវត្តសកម្មភាពដូចគ្នាទាំងអស់ មានតែភាគបែងនឹងមិនមានកូស៊ីនុសទៀតទេ ប៉ុន្តែជាស៊ីនុស ហើយចម្លើយនឹងចេញមកដូចនេះ៖

\\[ 1+ \\ cot^2 \\; = \frac(1)(\sin^2\; t) \]

ដោយបានបញ្ចប់កិច្ចការនេះ យើងបានទាញយករូបមន្តសំខាន់ពីរបន្ថែមទៀតដែលភ្ជាប់មុខងាររបស់យើង ដែលអ្នកក៏ត្រូវដឹងដូចគ្នាដែរ៖

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

អ្នកត្រូវតែដឹងដោយបេះដូងនូវរូបមន្តទាំងអស់ដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌ បើមិនដូច្នេះទេ ការសិក្សាបន្ថែមអំពីត្រីកោណមាត្រដោយគ្មានពួកវាគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ នៅថ្ងៃអនាគតនឹងមានរូបមន្តជាច្រើនទៀត ហើយនឹងមានច្រើន ហើយខ្ញុំធានាថាអ្នកប្រាកដជាចងចាំវាអស់រយៈពេលយូរ ឬប្រហែលជាអ្នកមិនចាំវា ប៉ុន្តែគ្រប់គ្នាគួរតែដឹងទាំង៦មុខនេះ !

តារាងពេញលេញនៃរូបមន្តកាត់បន្ថយត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន និងកម្រទាំងអស់។

នៅទីនេះអ្នកអាចរកឃើញរូបមន្តត្រីកោណមាត្រក្នុងទម្រង់ងាយស្រួលមួយ។ ហើយរូបមន្តកាត់បន្ថយត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានមើលនៅលើទំព័រផ្សេងទៀត។

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋាន

គឺជាកន្សោមគណិតវិទ្យាសម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលត្រូវបានប្រតិបត្តិសម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃអាគុយម៉ង់។

• sin² α + cos² α = 1
• tgα ctgα = 1
• tan α = sin α ÷ cos α
• ctg α = cos α ÷ sin α
• 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

រូបមន្តបន្ថែម

• sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
• sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
• cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
• cos (α − β) = cos α cos β + sin α sin β
• tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
• tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
• ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
• ctg (α − β) = (ctg α ctg β − 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org

រូបមន្តមុំទ្វេ

• cos 2α = cos² α - sin² α
• cos2α = 2cos²α − 1
• cos 2α = 1 − 2sin² α
• sin2α = 2sinα cosα
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α − 1) ÷ (2ctg α)

រូបមន្តមុំបី

• sin3α = 3sinα - 4sin³α
• cos 3α = 4cos³ α − 3cos α
• tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
• ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

រូបមន្តកាត់បន្ថយ

• sin² α = (1 − cos 2α) ÷ ២
• sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ ៤
• cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
• cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ ៤
• sin² α cos² α = (1 − cos 4α) ÷ ៨
• sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

ការផ្លាស់ប្តូរពីផលិតផលទៅផលបូក

• sin α cos β = ½ (បាប (α + β) + sin (α - β))
• sin α sin β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
• cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

យើងបានរាយបញ្ជីរូបមន្តត្រីកោណមាត្រមួយចំនួន ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានអ្វីមួយបាត់ សូមសរសេរ។

ទាំងអស់សម្រាប់ការសិក្សា » គណិតវិទ្យានៅសាលា » រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ - សន្លឹកបន្លំ

ដើម្បីចំណាំទំព័រមួយ ចុច Ctrl+D ។

ក្រុមដែលមានព័ត៌មានមានប្រយោជន៍ជាច្រើន (ជាវប្រសិនបើអ្នកមានការប្រឡង ឬប្រឡង)៖

មូលដ្ឋានទាំងមូលនៃ abstracts, term papers, ទាំងនេះនិងសម្ភារៈអប់រំផ្សេងទៀតត្រូវបានផ្តល់ជូនដោយឥតគិតថ្លៃ។ ការប្រើប្រាស់សម្ភារៈនៃគេហទំព័រ អ្នកបញ្ជាក់ថាអ្នកបានអានកិច្ចព្រមព្រៀងអ្នកប្រើប្រាស់ និងយល់ព្រមជាមួយនឹងឃ្លាទាំងអស់របស់វាទាំងស្រុង។

ការបំប្លែងក្រុមនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការត្រីកោណមាត្រត្រូវបានពិចារណាយ៉ាងលម្អិត។ ផ្នែកទីបីនិយាយអំពីសមីការត្រីកោណមាត្រមិនស្តង់ដារ ដំណោះស្រាយដែលផ្អែកលើវិធីសាស្រ្តមុខងារ។

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រទាំងអស់ (សមីការ)៖ sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

ផ្នែកទី 4 និយាយអំពីវិសមភាពត្រីកោណមាត្រ។ វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយវិសមភាពត្រីកោណមាត្របឋមត្រូវបានពិចារណាយ៉ាងលម្អិត ទាំងនៅលើរង្វង់ឯកតា និង...

… មុំ 1800-α=តាមបណ្តោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងមុំស្រួច៖ => OB1=OB; A1B1=AB => x=-x1,y=y1=> ដូច្នេះ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រសាលា គោលគំនិតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានណែនាំដោយមធ្យោបាយធរណីមាត្រ ដោយសារភាពអាចរកបានកាន់តែច្រើន។ គ្រោងការណ៍វិធីសាស្រ្តប្រពៃណីសម្រាប់សិក្សាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមានដូចខាងក្រោម៖ 1) ទីមួយ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានកំណត់សម្រាប់មុំស្រួចនៃចតុកោណកែង…

… កិច្ចការផ្ទះ 19(3,6), 20(2,4) ការកំណត់គោលដៅ ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងយោង លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ រូបមន្តកាត់បន្ថយ សម្ភារៈថ្មី តម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ ការបង្រួបបង្រួមការដោះស្រាយបញ្ហា គោលបំណងនៃមេរៀន៖ ថ្ងៃនេះយើងនឹង គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងដោះស្រាយ…

... សម្មតិកម្មដែលបានបង្កើតត្រូវដោះស្រាយភារកិច្ចដូចខាងក្រោមៈ 1. កំណត់តួនាទីនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ និងវិសមភាពក្នុងការបង្រៀនគណិតវិទ្យា។ 2. ដើម្បីអភិវឌ្ឍវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការបង្កើតជំនាញដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រនិងវិសមភាព, គោលបំណងដើម្បីអភិវឌ្ឍនៃតំណាងត្រីកោណមាត្រ; 3. ពិសោធន៍ផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រសិទ្ធភាពនៃវិធីសាស្រ្តដែលបានបង្កើត។ សម្រាប់ដំណោះស្រាយ…

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ

រូបមន្តត្រីកោណមាត្រ

យើងធ្វើបទបង្ហាញជូនលោកអ្នកនូវរូបមន្តផ្សេងៗទាក់ទងនឹងត្រីកោណមាត្រ។

(8) កូតង់សង់មុំទ្វេ

ctg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)

(9) ស៊ីនុសនៃមុំបី sin(3α) = 3sin(α)cos 2(α) - sin 3(α) (10) កូស៊ីនុសនៃមុំបី cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) កូស៊ីនុសនៃផលបូក/ភាពខុសគ្នា cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) ស៊ីនុសនៃផលបូក/ភាពខុសគ្នា sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) ផលបូក/ភាពខុសគ្នាតង់សង់ (14) ផលបូក/ភាពខុសគ្នានៃកូតង់សង់ (15) ផលិតផលនៃស៊ីនុស sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) ផលិតផលនៃកូស៊ីនុស cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) ផលិតផលនៃស៊ីនុសនិងកូស៊ីនុស sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) ផលបូក/ភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុស sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) ផលបូកនៃកូស៊ីនុស cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) ភាពខុសគ្នានៃកូស៊ីនុស cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β))) (21) ផលបូក/ភាពខុសគ្នានៃតង់សង់ (22) រូបមន្តកាត់បន្ថយស៊ីនុស sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) រូបមន្តកាត់បន្ថយកូស៊ីនុស cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) ផលបូក/ភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស (25) ផលបូក/ភាពខុសគ្នានៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ជាមួយមេគុណ (26) សមាមាត្រមូលដ្ឋាននៃ arcsine និង arccosine arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) ទំនាក់ទំនងជាមូលដ្ឋានរវាង arctangent និង arccotangent arctan(x) + arcctg(x) = π/2

រូបមន្តទូទៅ

- កំណែបោះពុម្ព

និយមន័យ ស៊ីនុសនៃមុំ α (ការកំណត់ sin(α)) គឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខមុំ α ទៅអ៊ីប៉ូតេនុស។ កូស៊ីនុសនៃមុំ α (ការកំណត់ cos(α)) គឺជាសមាមាត្រនៃជើងដែលនៅជាប់នឹងមុំ α ទៅអ៊ីប៉ូតេនុស។ តង់សង់នៃមុំα (ការកំណត់ tg(α)) គឺជាសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខនឹងមុំ α ទៅជើងដែលនៅជាប់គ្នា។ និយមន័យសមមូលគឺជាសមាមាត្រនៃស៊ីនុសនៃមុំមួយαទៅនឹងកូស៊ីនុសនៃមុំដូចគ្នា sin(α)/cos(α)។ កូតង់សង់នៃមុំ α (ការកំណត់ ctg(α)) គឺជាសមាមាត្រនៃផ្នែកដែលនៅជាប់នឹងមុំ α ទៅម្ខាងទៀត។ និយមន័យសមមូលគឺជាសមាមាត្រនៃកូស៊ីនុសនៃមុំ α ទៅស៊ីនុសនៃមុំដូចគ្នា - cos(α)/sin(α)។ មុខងារត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត។: វិនាទី — sec(α) = 1/cos(α); កូសេកង់ cosec(α) = 1/sin(α)។ ចំណាំ ជាពិសេស យើងមិនសរសេរសញ្ញា * (គុណ) ដែលមុខងារពីរត្រូវបានសរសេរជាប់គ្នា ដោយគ្មានចន្លោះ វាត្រូវបានបង្កប់ន័យ។ តម្រុយ ដើម្បីទាញយករូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុស ស៊ីនុស តង់សង់ ឬកូតង់សង់នៃមុំច្រើន (4+) វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការសរសេរពួកវាតាមរូបមន្តរៀងៗខ្លួន។ កូស៊ីនុស ស៊ីនុស តង់សង់ ឬកូតង់សង់នៃផលបូក ឬកាត់បន្ថយទៅករណីមុន ដោយកាត់បន្ថយទៅជារូបមន្តនៃមុំបី និងទ្វេ។ ការបន្ថែម តារាងដេរីវេ

© សិស្សសាលា. គណិតវិទ្យា (គាំទ្រដោយសាខាមែកធាង) ឆ្នាំ ២០០៩-២០១៦