ចម្លើយ៖ ស៊េរីខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍ #3

ស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ។

ដោយសារដែនកំណត់ការបូកទាបគឺ 1 ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមសញ្ញាបូក៖ $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ។ ចងក្រងផលបូកផ្នែកទី 9 នៃស៊េរី i.e. បូកសរុបសមាជិក $n$ ដំបូងនៃស៊េរីលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))។ $$

ហេតុអ្វីបានជាខ្ញុំសរសេរយ៉ាងពិតប្រាកដ $\frac(2)(3\cdot 5)$ ហើយមិនមែន $\frac(2)(15)$ ទេ វានឹងច្បាស់ពីការរៀបរាប់បន្ថែម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការកត់ត្រាផលបូកមួយផ្នែកមិនបាននាំឱ្យយើងខិតទៅជិតគោលដៅនោះទេ។ យ៉ាងណាមិញ យើងត្រូវស្វែងរក $\lim_(n\to\infty)S_n$ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងគ្រាន់តែសរសេរ៖

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

បន្ទាប់មក កំណត់ត្រានេះ ត្រឹមត្រូវទាំងស្រុងក្នុងទម្រង់ នឹងមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវខ្លឹមសារអ្វីឡើយ។ ដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ កន្សោមផលបូកមួយផ្នែកដំបូងត្រូវតែធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។

មានការបំប្លែងស្ដង់ដារសម្រាប់ការនេះ ដែលមាននៅក្នុងការបំប្លែងប្រភាគ $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ដែលតំណាងឱ្យពាក្យទូទៅនៃស៊េរីទៅជាប្រភាគបឋម។ ប្រធានបទដាច់ដោយឡែកមួយត្រូវបានឧទ្ទិសដល់បញ្ហានៃការបំបែកប្រភាគសនិទានទៅជាបឋម (សូមមើលឧទាហរណ៍ លេខ 3 នៅលើទំព័រនេះ)។ ការពង្រីកប្រភាគ $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ទៅជាប្រភាគបឋម យើងមាន៖

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3))។ $$

យើងគណនាចំនួនភាគយកនៃប្រភាគនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពលទ្ធផល៖

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)។ $$

មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការស្វែងរកតម្លៃ $A$ និង $B$ ។ អ្នកអាចបើកតង្កៀប និងរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ ឬអ្នកអាចជំនួសតម្លៃសមរម្យមួយចំនួនជំនួសឱ្យ $n$ ។ សម្រាប់ភាពចម្រុះ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងនឹងទៅវិធីទីមួយ ហើយបន្ទាប់ទៀត - យើងនឹងជំនួសតម្លៃឯកជននៃ $n$ ។ ការពង្រីកតង្កៀប និងការរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ យើងទទួលបាន៖

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B។ $$

នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ $n$ ត្រូវបាននាំមុខដោយសូន្យ។ ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្ត ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពអាចត្រូវបានតំណាងឱ្យភាពច្បាស់លាស់ជា $0\cdot n+ 2$។ ដោយសារនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព $n$ នាំមុខដោយសូន្យ ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព $2A+2B$ នាំមុខ $n$ យើងមានសមីការទីមួយ៖ $2A+2B=0$។ យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះភ្លាមៗដោយ 2 បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន $A+B=0$ ។

ដោយសារពាក្យសេរីនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពគឺស្មើនឹង 2 ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនោះពាក្យសេរីគឺស្មើនឹង $3A+B$ បន្ទាប់មក $3A+B=2$។ ដូច្នេះយើងមានប្រព័ន្ធ៖

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right។ $$

ភ័ស្តុតាងនឹងត្រូវបានអនុវត្តដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ នៅជំហានដំបូង យើងត្រូវពិនិត្យមើលថាតើសមភាពដែលត្រូវការ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ រក្សាទុកសម្រាប់ $n=1$។ យើងដឹងថា $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ ប៉ុន្តែតើកន្សោម $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ផ្តល់តម្លៃ $\frac( 2 )(15)$ ប្រសិនបើ $n=1$ ត្រូវបានជំនួសវា? តោះពិនិត្យ៖

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15) ។ $$

ដូច្នេះ សម្រាប់ $n=1$ សមភាព $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ គឺពេញចិត្ត។ នេះបញ្ចប់ជំហានដំបូងនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

សន្មតថាសម្រាប់ $n = k$ សមភាពទទួលបាន, i.e. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សមភាពដូចគ្នានឹងរក្សាសម្រាប់ $n=k+1$។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណា $S_(k+1)$៖

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1) ។ $$

ចាប់តាំងពី $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ បន្ទាប់មក $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$ ។ តាមការសន្មតខាងលើ $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ ដូច្នេះរូបមន្ត $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ យក ទំរង់:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3)។ $$

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ រូបមន្ត $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ គឺពិតសម្រាប់ $n=k+1$។ ដូច្នេះ យោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា រូបមន្ត $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ គឺពិតសម្រាប់ $n\in N$ ណាមួយ។ សមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សាស្ដង់ដារក្នុងគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ជាធម្មតាមនុស្សម្នាក់ពេញចិត្តនឹង "លុប" លក្ខខណ្ឌលុបចោល ដោយមិនទាមទារភស្តុតាងណាមួយឡើយ។ ដូច្នេះ យើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់ផលបូកផ្នែកទី n៖ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ $\lim_(n\to\infty)S_n$៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាគឺ $S=\frac(1)(3)$ ។

វិធីទីពីរគឺធ្វើឱ្យរូបមន្តសាមញ្ញសម្រាប់ផលបូកផ្នែក។

និយាយឱ្យត្រង់ទៅ ខ្ញុំចូលចិត្តវិធីនេះដោយខ្លួនឯង :) ចូរយើងសរសេរការបូកផ្នែកក្នុងទម្រង់ជាអក្សរកាត់៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))។ $$

យើងទទួលបានមុននេះថា $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ ដូច្នេះ៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)។ $$

ផលបូក $S_n$ មានចំនួនកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌ ដូច្នេះយើងអាចរៀបចំវាឡើងវិញតាមចិត្តយើង។ ដំបូងខ្ញុំចង់បន្ថែមលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃទម្រង់ $\frac(1)(2k+1)$ ហើយបន្ទាប់មកចូលទៅលក្ខខណ្ឌនៃទម្រង់ $\frac(1)(2k+3)$។ នេះមានន័យថា យើងនឹងតំណាងឱ្យផលបូកមួយផ្នែកក្នុងទម្រង់នេះ៖

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right)។ $$

ជាការពិតណាស់ សញ្ញាណដែលបានពង្រីកគឺមានការរអាក់រអួលខ្លាំង ដូច្នេះសមភាពខាងលើអាចសរសេរបានកាន់តែបង្រួម៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)។ $$

ឥឡូវនេះ យើងបំប្លែងកន្សោម $\frac(1)(2k+1)$ និង $\frac(1)(2k+3)$ ទៅជាទម្រង់ដូចគ្នា។ ខ្ញុំ​គិត​ថា​វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ធ្វើ​ឱ្យ​វា​មើល​ទៅ​ដូច​ជា​ប្រភាគ​ធំ​ជាង (ទោះ​បី​ជា​អ្នក​អាច​ប្រើ​តូច​ជាង​ក៏​ដោយ វា​ជា​បញ្ហា​នៃ​រសជាតិ)។ ចាប់តាំងពី $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (ភាគបែងធំជាង ប្រភាគតូចជាង) យើងនឹងកាត់បន្ថយប្រភាគ $\frac(1)(2k+ 3) $ ទៅទម្រង់ $\frac(1)(2k+1)$ ។

ខ្ញុំនឹងបង្ហាញកន្សោមក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគ $\frac(1)(2k+3)$ ដូចតទៅ៖

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1)។ $$

ហើយផលបូក $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ ឥឡូវអាចសរសេរដូចនេះ៖

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)។ $$

ប្រសិនបើសមភាព $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ មិនលើកសំណួរទេ អញ្ចឹងតោះទៅទៀត។ ប្រសិនបើមានសំណួរ សូមពង្រីកចំណាំ។

តើយើងទទួលបានចំនួនទឹកប្រាក់បំប្លែងដោយរបៀបណា? បង្ហាញ/លាក់

យើងមានស៊េរី $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$។ សូមណែនាំអថេរថ្មីជំនួសឱ្យ $k+1$ - ឧទាហរណ៍ $t$ ។ ដូច្នេះ $t=k+1$។

តើអថេរចាស់ $k$ ផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងដូចម្តេច? ហើយវាបានផ្លាស់ប្តូរពី 1 ទៅ $n$ ។ តោះស្វែងយល់ពីរបៀបដែលអថេរថ្មី $t$ នឹងផ្លាស់ប្តូរ។ ប្រសិនបើ $k=1$ នោះ $t=1+1=2$។ ប្រសិនបើ $k=n$ នោះ $t=n+1$។ ដូច្នេះកន្សោម $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ គឺឥឡូវនេះ៖ $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$។

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1)។ $$

យើងមានផលបូក $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ ។ សំណួរ៖ តើ​អក្សរ​មួយ​ណា​ត្រូវ​ប្រើ​ក្នុង​ការ​បូក​នេះ​ជា​បញ្ហា​ទេ? :) ការសរសេរអក្សរ $k$ ជំនួសឱ្យ $t$ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

នេះជារបៀបដែលសមភាព $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) ទទួលបាន \frac(1)(2k+1)$ ។

ដូច្នេះ ផលបូកផ្នែកអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ) $$

ចំណាំថាផលបូក $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ និង $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ ខុសគ្នាតែក្នុងដែនកំណត់នៃការបូកសរុបប៉ុណ្ណោះ។ ចូរកំណត់ដែនកំណត់ទាំងនេះដូចគ្នា។ "យក" ធាតុទីមួយពីផលបូក $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ យើងទទួលបាន៖

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)។ $$

"យក" ធាតុចុងក្រោយពីផលបូក $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ យើងទទួលបាន៖

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3 ).$$

បន្ទាប់មកកន្សោមសម្រាប់ផលបូកផ្នែកនឹងមានទម្រង់៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)។ $$

ប្រសិនបើអ្នករំលងការពន្យល់ទាំងអស់នោះ ដំណើរការនៃការស្វែងរករូបមន្តសង្ខេបសម្រាប់ផលបូកផ្នែក n-th នឹងមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)។ $$

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងបានកាត់បន្ថយប្រភាគ $\frac(1)(2k+3)$ ទៅជាទម្រង់ $\frac(1)(2k+1)$។ ជាការពិតណាស់អ្នកអាចធ្វើផ្ទុយគ្នាពោលគឺឧ។ តំណាងឱ្យប្រភាគ $\frac(1)(2k+1)$ ជា $\frac(1)(2k+3)$ ។ កន្សោមចុងក្រោយសម្រាប់ផលបូកផ្នែកនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ ក្នុងករណីនេះ ខ្ញុំនឹងលាក់ដំណើរការនៃការស្វែងរកផលបូកមួយផ្នែកនៅក្រោមកំណត់ចំណាំ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរក $S_n$ ប្រសិនបើអ្នកនាំយកទៅទម្រង់នៃប្រភាគផ្សេងគ្នា? បង្ហាញ/លាក់

$$ S_n = \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3 ) $$

ដូច្នេះ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$។ ស្វែងរកដែនកំណត់ $\lim_(n\to\infty)S_n$៖

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3)។ $$

ស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាគឺ $S=\frac(1)(3)$។

ចម្លើយ៖ $S=\frac(1)(3)$។

ការបន្តនៃប្រធានបទនៃការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីមួយនឹងត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងផ្នែកទីពីរនិងទីបី។

សូម​ឱ្យ​លេខ​រៀង​គ្មាន​កំណត់ u1,u2,u3...

កន្សោម u1+ u2+ u3…+ un (1) ត្រូវបានគេហៅថាជាស៊េរីលេខ ហើយចំនួននៃសមាសធាតុរបស់វាគឺសមាជិកនៃស៊េរី។

ផលបូកនៃចំនួនកំណត់ n នៃពាក្យទីមួយនៃស៊េរីត្រូវបានគេហៅថា ផលបូកផ្នែកទី n នៃស៊េរី៖ Sn = u1+..+un

ប្រសិនបើនាម។ ដែនកំណត់កំណត់៖ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃស៊េរី ហើយពួកគេនិយាយថា ស៊េរីបញ្ចូលគ្នា ប្រសិនបើដែនកំណត់បែបនេះមិនមានទេ នោះពួកគេនិយាយថា ស៊េរីខុសគ្នា ហើយមិនមានផលបូកទេ។

2 ស៊េរីធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធ

ស៊េរី​ដែល​មាន​សមាជិក​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​ធរណីមាត្រ​គ្មាន​កំណត់​ដែល​ហៅ​ថា​។ ធរណីមាត្រ៖
ឬ

a+ aq +…+aq n −1

a  0 ពាក្យដំបូងនៃ q គឺជាភាគបែង។ ផលបូកជួរ៖

ដូច្នេះដែនកំណត់កំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីគឺអាស្រ័យលើបរិមាណ q

ករណីដែលអាចកើតមាន៖

1 |q|<1

ឧ. ចំនួន skhd-sya និងផលបូករបស់វា។
២ |q|> ១
ហើយដែនកំណត់នៃផលបូកក៏ស្មើនឹងគ្មានកំណត់

ឧ. ស៊េរីខុសគ្នា។

3 ជាមួយ q = 1 ស៊េរីមួយត្រូវបានទទួល៖ a+a+…+a… Sn=na
ស៊េរីខុសគ្នា

4 សម្រាប់ q1 ស៊េរីមើលទៅដូច៖ a-a+a... (-1) n -1 a Sn=0 for even n, Sn=a សម្រាប់សេស n គ្មានដែនកំណត់នៃផលបូកផ្នែកទេ។ ជួរដេកខុសគ្នា។

ពិចារណាស៊េរីនៃសមាជិកគ្មានកំណត់នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖
u គឺជាពាក្យដំបូង d គឺជាភាពខុសគ្នា។ ផលបូកជួរ

សម្រាប់ u1 និង d ទាំងពីរ  0 និងស៊េរីតែងតែខុសគ្នា។

3 C-va convergent ស៊េរី

សូមឱ្យស៊េរីពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: u1+u2+…un = (1) និង v1+v2+…vn = (2)

ផលគុណនៃស៊េរី (1) ដោយលេខ   R និងស៊េរី៖ u1+u2+…un= (3)

ផលបូកនៃជួរដេក (1) និង (2) ជួរក្រោយ៖

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) =
(សម្រាប់ភាពខុសគ្នាគឺមានតែរូបរាងប៉ុណ្ណោះ)

T1 អំពីមេគុណទូទៅ

ប្រសិនបើស៊េរី (1) បញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វា = S នោះសម្រាប់លេខណាមួយ  ស៊េរី = ក៏ converges ហើយផលបូករបស់វា S '= S ប្រសិនបើស៊េរី (1) diverges និង   0 នោះស៊េរី ក៏ខុសគ្នាដែរ។ នោះគឺកត្តាទូទៅមិនប៉ះពាល់ដល់ភាពខុសគ្នានៃស៊េរីទេ។

T2 ប្រសិនបើស៊េរី (1) និង (2) បញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់ពួកគេ = រៀងគ្នា S និង S នោះស៊េរី៖
ក៏បញ្ចូលគ្នា ហើយប្រសិនបើ  ជាផលបូករបស់វា នោះ  = S + S' ។ នោះ​គឺ ស៊េរី​រួម​អាច​ត្រូវ​បាន​បន្ថែម​និង​ដក​ពាក្យ​តាម​ពាក្យ។ ប្រសិនបើស៊េរី (1) បញ្ចូលគ្នា ហើយស៊េរី (2) ខុសគ្នា នោះផលបូក (ឬភាពខុសគ្នា) របស់ពួកគេក៏ខុសគ្នាដែរ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើជួរទាំងពីរខុសគ្នា។ បន្ទាប់មកផលបូក (ឬភាពខុសគ្នា) របស់ពួកគេអាចខុសគ្នា (ប្រសិនបើ un=vn) ឬបញ្ចូលគ្នា (ប្រសិនបើ un=vn)

សម្រាប់ជួរ (1) ជួរ
ត្រូវបានគេហៅថានៅសល់ n-th នៃស៊េរី។ ប្រសិនបើនៅសល់នៃស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នា នោះផលបូករបស់វានឹងត្រូវបានតំណាង៖ r n =

T3 ប្រសិនបើស៊េរីបង្រួបបង្រួម នោះអ្វីដែលនៅសេសសល់របស់វាត្រូវបញ្ចូលគ្នា ប្រសិនបើសេសសល់នៃស៊េរីនោះបញ្ចូលគ្នា នោះស៊េរីនឹងបញ្ចូលគ្នា។ លើសពីនេះទៅទៀត ផលបូកសរុប = ផលបូកផ្នែកនៃស៊េរី Sn + r n

ការផ្លាស់ប្តូរ ក៏ដូចជាការបោះបង់ ឬបន្ថែមចំនួនកំណត់នៃលក្ខខណ្ឌ មិនប៉ះពាល់ដល់ការបញ្ចូលគ្នា (ភាពខុសគ្នា) នៃស៊េរីនោះទេ។

4 លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី

ប្រសិនបើស៊េរីបង្រួបបង្រួម នោះដែនកំណត់នៃពាក្យទូទៅរបស់វាគឺស្មើនឹងសូន្យ៖

ឯកសារចូល៖

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1 ដូច្នេះ៖

សញ្ញានេះគឺគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ពោលគឺប្រសិនបើដែនកំណត់នៃពាក្យទូទៅ និងស្មើនឹងសូន្យ វាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ ដែលស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នាក្នុងករណីនេះ។ អាស្រ័យហេតុនេះ លក្ខខណ្ឌនេះ ប្រសិនបើវាមិនត្រូវបានបំពេញ គឺជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃស៊េរី។

5 សញ្ញាអាំងតេក្រាលនៃការបញ្ចូលគ្នាជាស៊េរី។ ជួរ Dirichlet

T1 តោះ​ទៅ (1) ដែល​លក្ខខណ្ឌ​មិន​អវិជ្ជមាន​និង​មិន​កើន​ឡើង៖ u1>=u2>=u3…>=un

ប្រសិនបើមានអនុគមន៍ f(x) ដែលមិនអវិជ្ជមាន បន្ត ហើយមិនកើនឡើងដោយ f(n) = Un,  n  N នោះសម្រាប់ស៊េរី (1) បញ្ចូលគ្នា នោះវាចាំបាច់ណាស់ដែល und គឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវដើម្បីបញ្ចូលគ្នា៖
ហើយសម្រាប់ការបង្វែរវាគ្រប់គ្រាន់ និងចាំបាច់ដែលអាំងតេក្រាលនេះ ផ្ទុយទៅវិញ បង្វែរ (WOW!)។

ចូរយើងអនុវត្តមុខងារនេះដើម្បីសិក្សាស៊េរី Dirichlet៖ នេះគឺ៖ ,  R ស៊េរីនេះត្រូវបានគេហៅថាស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅ នៅពេលដែល >0 ពាក្យធម្មតានៃស៊េរីនេះគឺ un=1/n  0 ហើយថយចុះ ដូច្នេះអ្នកអាចប្រើមុខងារអាំងតេក្រាល មុខងារនៅទីនេះនឹងជាមុខងារ f(x)=1/x  (x>=1) អនុគមន៍នេះបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ 1 ដូច្នេះ ការបញ្ចូលគ្នា (ភាពខុសគ្នា) នៃស៊េរី Dirichlet គឺស្មើនឹងការបញ្ចូលគ្នានៃ divergence នៃអាំងតេក្រាល៖

ករណីបីអាចធ្វើទៅបាន៖

1  >1,

អាំងតេក្រាល ហើយ​ដូច្នេះ​ស៊េរី​ចូល​រួម។

អាំងតេក្រាល និងស៊េរីខុសគ្នា

អាំងតេក្រាល និងស៊េរីខុសគ្នា

និយមន័យមូលដ្ឋាន។

និយមន័យ។ ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់លេខគ្មានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ស៊េរីលេខ.

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះលេខ
នឹងត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃស៊េរីនិង យូ នគឺជាសមាជិកទូទៅនៃស៊េរី។

និយមន័យ។ ផលបូក
,ន = 1, 2, … បានហៅ បរិមាណឯកជន (ដោយផ្នែក)ជួរ។

ដូច្នេះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិចារណាលំដាប់នៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរី ស 1 , ស 2 , …, ស ន , …

និយមន័យ។ ជួរ
បានហៅ ការបញ្ចូលគ្នាប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកមួយផ្នែករបស់វាបញ្ចូលគ្នា។ ផលបូកនៃស៊េរីរួមគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វា។

និយមន័យ។ ប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីខុសគ្នា ពោលគឺឧ។ គ្មានដែនកំណត់ ឬមានដែនកំណត់គ្មានកំណត់ បន្ទាប់មកស៊េរីត្រូវបានគេហៅថា ខុសគ្នាហើយ​ចំនួន​មិន​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ឱ្យ​គាត់​ទេ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃជួរ។

1) ការបញ្ចូលគ្នា ឬភាពខុសគ្នានៃស៊េរីនឹងមិនត្រូវបានបំពានទេ ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរ បោះបង់ ឬបន្ថែមចំនួនកំណត់ក្នុងស៊េរី។

2) ពិចារណាពីរជួរ
និង
ដែល C ជាចំនួនថេរ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើជួរ
បង្រួបបង្រួមហើយផលបូករបស់វាគឺសបន្ទាប់មកជួរ
ក៏បញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាគឺ Cស. (គ  0)

3) ពិចារណាពីរជួរ
និង
.ផលបូកឬ ភាពខុសគ្នាជួរដេកទាំងនេះនឹងត្រូវបានគេហៅថាជួរដេក
ដែលជាកន្លែងដែលធាតុត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលនៃការបូក (ដក) នៃធាតុដើមដែលមានលេខដូចគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើជួរ
និង
converge ហើយផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នារៀងៗខ្លួន។សនិង បន្ទាប់មកជួរ
ក៏បង្រួបបង្រួម ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹងស +  .

ភាពខុសគ្នានៃស៊េរី convergent ពីរក៏នឹងជាស៊េរី convergent ផងដែរ។

ផលបូកនៃស៊េរី convergent និង divergent នឹងជាស៊េរី divergent ។

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅអំពីផលបូកនៃស៊េរីខុសគ្នាពីរ។

នៅពេលសិក្សាស៊េរី បញ្ហាពីរត្រូវបានដោះស្រាយជាចម្បង៖ ការសិក្សានៃការបញ្ចូលគ្នា និងការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យឃោឃៅ។

(លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី)

សម្រាប់លំដាប់
ត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ណាមួយ។
មានលេខមួយ។ន, ដែលនៅន > ននិងណាមួយ។ទំ> 0 ដែល p ជាចំនួនគត់ វិសមភាពខាងក្រោមនឹងកាន់៖

.

ភស្តុតាង។ (ត្រូវការ)

អនុញ្ញាតឱ្យមាន
បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខណាមួយ។
មានលេខ N ដែលវិសមភាព

ត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ n> N ។ សម្រាប់ n > N និងចំនួនគត់ p > 0 វិសមភាពក៏មានផងដែរ។
. ដោយពិចារណាលើវិសមភាពទាំងពីរ យើងទទួលបាន៖

តម្រូវការត្រូវបានបញ្ជាក់។ យើងនឹងមិនពិចារណាលើភស្តុតាងនៃភាពគ្រប់គ្រាន់នោះទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ស៊េរី។

សម្រាប់លេខមួយ។
គឺជាការបង្រួបបង្រួមចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ណាមួយ។
មានលេខមួយ។នបែបនោះនៅន> ននិងណាមួយ។ទំ>0 នឹងបំពេញវិសមភាព

.

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងការអនុវត្តវាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy ដោយផ្ទាល់។ ដូច្នេះ តាមក្បួនមួយ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នាដ៏សាមញ្ញត្រូវបានប្រើ៖

1) ប្រសិនបើជួរ
បង្រួបបង្រួម, វាចាំបាច់ថាពាក្យសាមញ្ញ យូ នទំនាញឆ្ពោះទៅរកសូន្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយលក្ខខណ្ឌនេះមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។ យើងគ្រាន់តែអាចនិយាយបានថា ប្រសិនបើពាក្យទូទៅមិនមានទំនោរទៅសូន្យទេ នោះស៊េរីពិតជាខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍​អ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​ស៊េរី​អាម៉ូនិក មានភាពខុសប្លែកគ្នា ទោះបីជាពាក្យធម្មតារបស់វាមានទំនោរទៅសូន្យក៏ដោយ។

ឧទាហរណ៍។ស៊ើបអង្កេតការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។

ចូរយើងស្វែងរក
- លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់នៃការបង្រួបបង្រួមមិនពេញចិត្តទេ ដូច្នេះស៊េរីខុសគ្នា។

2) ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា នោះលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វាត្រូវកំណត់។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មុខងារនេះក៏មិនគ្រប់គ្រាន់ដែរ។

ឧទាហរណ៍ ស៊េរី 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… ខុសគ្នាដោយសារតែ លំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វាខុសគ្នាដោយសារការពិតនោះ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ក្នុងករណីនេះ លំដាប់នៃផលបូកមួយផ្នែកត្រូវបានកំណត់ ពីព្រោះ
សម្រាប់ណាមួយ។ ន.

ស៊េរីជាមួយសមាជិកមិនអវិជ្ជមាន។

នៅពេលសិក្សាស៊េរីដែលមានសញ្ញាថេរ យើងកំណត់ខ្លួនយើងឱ្យពិចារណាស៊េរីជាមួយនឹងពាក្យមិនអវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពី នៅពេលដែលគុណនឹង -1 ស៊េរីទាំងនេះអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីទទួលបានស៊េរីដែលមានពាក្យអវិជ្ជមាន។

ទ្រឹស្តីបទ។ សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី
ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌមិនអវិជ្ជមាន វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីត្រូវបានចង.

សញ្ញានៃការប្រៀបធៀបស៊េរីជាមួយសមាជិកមិនអវិជ្ជមាន។

សូមឱ្យមានជួរពីរ
និង
នៅ យូ ន , v ន  0 .

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើ ក យូ ន  v នសម្រាប់ណាមួយ។ នបន្ទាប់មកពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី
ធ្វើតាមការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី
និងពីភាពខុសគ្នានៃស៊េរី
ធ្វើតាមភាពខុសគ្នានៃស៊េរី
.

ភស្តុតាង។ បញ្ជាក់ដោយ ស ន និង  នផលបូកផ្នែកនៃស៊េរី
និង
. ដោយសារតែ នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទ, ស៊េរី
បង្រួបបង្រួម បន្ទាប់មកផលបូកផ្នែករបស់វាត្រូវបានចង ពោលគឺ សម្រាប់​ទាំងអស់ ន n  M ដែល M ជាចំនួនមួយចំនួន។ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី យូ ន  v នបន្ទាប់មក ស ន   នបន្ទាប់មកផលបូកផ្នែកនៃស៊េរី
ក៏​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ផង​ដែរ ហើយ​នេះ​គឺ​គ្រប់គ្រាន់​សម្រាប់​ការ​បង្រួបបង្រួម។

ឧទាហរណ៍។ស៊ើបអង្កេតសម្រាប់ស៊េរី convergence

ដោយសារតែ
និងស៊េរីអាម៉ូនិក diverges បន្ទាប់មកស៊េរីខុសគ្នា
.

ឧទាហរណ៍។

ដោយសារតែ
, និងជួរ
បង្រួបបង្រួម (ជាការថយចុះនៃដំណើរការធរណីមាត្រ) បន្ទាប់មកស៊េរី
បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

លក្ខណៈ​វិនិច្ឆ័យ​រួម​ខាង​ក្រោម​ក៏​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ផង​ដែរ៖

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើ ក
ហើយមានដែនកំណត់
កន្លែងណាម៉ោងគឺជាលេខដែលមិនមែនជាសូន្យ បន្ទាប់មកស៊េរី
និង
ប្រព្រឹត្ត​តាម​របៀប​ដូចគ្នា​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ការ​រួបរួម។

សញ្ញារបស់ d'Alembert ។

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - គណិតវិទូបារាំង)

ប្រសិនបើសម្រាប់ស៊េរី
ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌវិជ្ជមានមានលេខq<1, что для всех достаточно больших នវិសមភាព

បន្ទាប់មកជួរ
បង្រួបបង្រួមប្រសិនបើសម្រាប់ទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ទាំងអស់។នលក្ខខណ្ឌ

បន្ទាប់មកជួរ
ខុសគ្នា។

សញ្ញាកំណត់របស់ d'Alembert ។

ការធ្វើតេស្តកំណត់ d'Alembert គឺជាផលវិបាកនៃការធ្វើតេស្ត d'Alembert ខាងលើ។

ប្រសិនបើមានដែនកំណត់
បន្ទាប់មកនៅ < 1 ряд сходится, а при  > 1 - ខុសគ្នា។ ប្រសិនបើ ក = 1 បន្ទាប់មកសំណួរនៃការបញ្ចូលគ្នាមិនអាចឆ្លើយបានទេ។

ឧទាហរណ៍។កំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី .

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍។កំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

សញ្ញា Cauchy ។ (លក្ខណៈពិសេសរ៉ាឌីកាល់)

ប្រសិនបើសម្រាប់ស៊េរី
ជាមួយនឹងពាក្យមិនអវិជ្ជមាន មានលេខមួយ។q<1, что для всех достаточно больших នវិសមភាព

,

បន្ទាប់មកជួរ
បង្រួបបង្រួមប្រសិនបើសម្រាប់ទំហំធំគ្រប់គ្រាន់ទាំងអស់។នវិសមភាព

បន្ទាប់មកជួរ
ខុសគ្នា។

ផលវិបាក។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់
បន្ទាប់មកនៅ <1 ряд сходится, а при >1 ជួរខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍។កំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី
.

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍។កំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី
.

ទាំងនោះ។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Cauchy មិនឆ្លើយសំណួរអំពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនោះទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នាចាំបាច់។ ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា នោះពាក្យទូទៅនៃស៊េរីមានទំនោរទៅសូន្យ។

,

ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមមិនពេញចិត្ត ដែលមានន័យថា ស៊េរីខុសគ្នា។

ការធ្វើតេស្តអាំងតេក្រាល Cauchy ។

ប្រសិនបើ ក (x) គឺជាមុខងារវិជ្ជមានបន្តដែលថយចុះនៅចន្លោះពេលនិង
បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាល។
និង
ប្រព្រឹត្តដូចគ្នានៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការរួបរួមគ្នា។

ជួរដេកអថេរ។

ជួរដេកជំនួស។

ស៊េរីជំនួសអាចសរសេរជា៖

កន្លែងណា

សញ្ញា Leibniz ។

ប្រសិនបើស៊េរីជំនួស តម្លៃដាច់ខាតយូ ខ្ញុំ ថយចុះ
ហើយពាក្យទូទៅមានទំនោរទៅសូន្យ
បន្ទាប់មក ស៊េរីបានចូលគ្នា។

ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត និងតាមលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី។

ពិចារណាស៊េរីជំនួសមួយចំនួន (ជាមួយលក្ខខណ្ឌនៃសញ្ញាបំពាន) ។

(1)

និងស៊េរីដែលផ្សំឡើងពីតម្លៃដាច់ខាតនៃលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី (1):

(2)

ទ្រឹស្តីបទ។ ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី (2) បង្កប់ន័យការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី (1) ។

ភស្តុតាង។ ស៊េរី (2) គឺនៅជាប់នឹងលក្ខខណ្ឌមិនអវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើស៊េរី (2) បញ្ចូលគ្នា នោះតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ > 0 មានលេខ N ដែលសម្រាប់ n> N និងចំនួនគត់ p> 0 វិសមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖

យោងតាមទ្រព្យសម្បត្តិនៃតម្លៃដាច់ខាត៖

នោះគឺយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី (2) មានន័យថាការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី (1) ។

និយមន័យ។ ជួរ
បានហៅ រួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នា
.

ជាក់ស្តែង សម្រាប់ស៊េរីនៃសញ្ញាថេរ គោលគំនិតនៃការបញ្ចូលគ្នា និងការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតគឺស្របគ្នា។

និយមន័យ។ ជួរ
បានហៅ ការបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌប្រសិនបើវាបញ្ចូលគ្នា និងស៊េរី
ខុសគ្នា។

ការធ្វើតេស្តរបស់ d'Alembert និង Cauchy សម្រាប់ស៊េរីជំនួស។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន
- ស៊េរីជំនួស។

សញ្ញារបស់ d'Alembert ។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់
បន្ទាប់មកនៅ <1 ряд
នឹងត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយនៅពេលដែល >

សញ្ញា Cauchy ។ ប្រសិនបើមានដែនកំណត់
បន្ទាប់មកនៅ <1 ряд
នឹងត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយនៅពេលដែល >1 ស៊េរីនឹងខុសគ្នា។ នៅពេល =1 សញ្ញាមិនផ្តល់ចម្លើយអំពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីទេ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊េរី convergent ។

1) ទ្រឹស្តីបទ។ សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃស៊េរី
វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលវាអាចត្រូវបានតំណាងថាជាភាពខុសគ្នានៃស៊េរី convergent ពីរជាមួយនឹងពាក្យមិនអវិជ្ជមាន.

ផលវិបាក។ ស៊េរី convergent តាមលក្ខខណ្ឌគឺជាភាពខុសគ្នានៃស៊េរី divergent ពីរដែលមានពាក្យមិនអវិជ្ជមានទំនោរទៅសូន្យ។

2) នៅក្នុងស៊េរី convergent ការដាក់ក្រុមណាមួយនៃលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីដែលមិនផ្លាស់ប្តូរលំដាប់របស់ពួកគេរក្សាការបញ្ចូលគ្នានិងទំហំនៃស៊េរីនេះ។

3) ប្រសិនបើស៊េរីមួយបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ នោះស៊េរីដែលទទួលបានពីវាដោយការបំប្លែងពាក្យណាមួយក៏បញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយមានផលបូកដូចគ្នា។

តាមរយៈការរៀបចំឡើងវិញនូវលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី convergent តាមលក្ខខណ្ឌ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានស៊េរី convergent តាមលក្ខខណ្ឌដែលមានផលបូកដែលបានកំណត់ទុកជាមុនណាមួយ និងសូម្បីតែស៊េរី divergent ។

4) ទ្រឹស្តីបទ។ ជាមួយនឹងការដាក់ក្រុមណាមួយនៃសមាជិកនៃស៊េរីបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ (ក្នុងករណីនេះចំនួនក្រុមអាចមានទាំងចំនួនកំណត់ និងគ្មានកំណត់ ហើយចំនួនសមាជិកក្នុងក្រុមអាចមានទាំងកំណត់ ឬគ្មានកំណត់) ស៊េរីរួមមួយត្រូវបានទទួល ផលបូក ដែលស្មើនឹងផលបូកនៃស៊េរីដើម.

5) ប្រសិនបើជួរដេក និង converge យ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នារៀងៗខ្លួន។ ស និង  បន្ទាប់មកស៊េរីដែលផ្សំឡើងពីផលិតផលទាំងអស់នៃទម្រង់
យកតាមលំដាប់លំដោយណាមួយ ក៏បង្រួបបង្រួមយ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹង ស - ផលិតផលនៃផលបូកនៃស៊េរីគុណ។

បើទោះជាយ៉ាងណា ដើម្បីគុណស៊េរី convergent តាមលក្ខខណ្ឌ នោះលទ្ធផលអាចជាស៊េរីផ្សេងគ្នា។

លំដាប់មុខងារ។

និយមន័យ។ ប្រសិនបើសមាជិកនៃស៊េរីមិនមែនជាលេខទេ ប៉ុន្តែមុខងារពី Xបន្ទាប់មកស៊េរីត្រូវបានគេហៅថា មុខងារ.

ការសិក្សានៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមុខងារគឺពិបាកជាងការសិក្សានៃស៊េរីលេខ។ ស៊េរីមុខងារដូចគ្នាអាចសម្រាប់តម្លៃដូចគ្នានៃអថេរ X converge និងផ្សេងទៀត - diverge ។ ដូច្នេះ សំណួរនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមុខងារត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការកំណត់តម្លៃនៃអថេរទាំងនោះ។ Xដែលស៊េរីបញ្ចូលគ្នា។

សំណុំនៃតម្លៃបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា តំបន់បង្រួបបង្រួម.

ដោយសារដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នីមួយៗដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីគឺជាចំនួនជាក់លាក់ នោះដែនកំណត់នៃលំដាប់មុខងារនឹងជាមុខងារជាក់លាក់មួយ៖

និយមន័យ។ បន្តបន្ទាប់ ( f ន (x) } បញ្ចូលគ្នាដើម្បីដំណើរការ f(x) នៅលើផ្នែក ប្រសិនបើសម្រាប់លេខណាមួយ > 0 និងចំណុចណាមួយ។ Xពីផ្នែកដែលកំពុងពិចារណា មានលេខ N = N(, x) ដែលវិសមភាព

ត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ n> N ។

ជាមួយនឹងតម្លៃដែលបានជ្រើសរើស > 0 ចំនុចនីមួយៗនៃផ្នែកត្រូវគ្នានឹងលេខរបស់វា ហើយដូច្នេះវានឹងមានលេខគ្មានកំណត់ដែលត្រូវនឹងចំនុចទាំងអស់នៃផ្នែក។ ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសលេខធំបំផុតនៃលេខទាំងអស់នេះ នោះលេខនេះនឹងសាកសមសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់នៃផ្នែក ពោលគឺឧ។ នឹងជារឿងធម្មតាទៅគ្រប់ចំណុច។

និយមន័យ។ បន្តបន្ទាប់ ( f ន (x) } បង្រួបបង្រួមដើម្បីដំណើរការ f(x) នៅចន្លោះពេលប្រសិនបើសម្រាប់លេខណាមួយ > 0 មានលេខ N = N () នោះវិសមភាព

ត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ n> N សម្រាប់ចំណុចទាំងអស់នៃផ្នែក។

ឧទាហរណ៍។ពិចារណាពីលំដាប់

លំដាប់នេះបង្រួបបង្រួមអ័ក្សលេខទាំងមូលទៅមុខងារ f(x)=0 , ដោយសារតែ

ចូរ​រៀប​រាប់​លំដាប់​នេះ៖

sinx

ដូចដែលអាចមើលឃើញនៅពេលដែលចំនួនកើនឡើង នក្រាហ្វលំដាប់ទៅជិតអ័ក្ស X.

ជួរមុខងារ។

និយមន័យ។ ផលបូកឯកជន (ផ្នែក)ជួរមុខងារ
មុខងារត្រូវបានគេហៅថា

និយមន័យ។ ជួរមុខងារ
បានហៅ ការបញ្ចូលគ្នានៅចំណុច ( x=x 0 ) ប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វាមកបញ្ចូលគ្នានៅចំណុចនេះ។ ដែនកំណត់លំដាប់
បានហៅ ផលបូកជួរ
នៅចំណុច X 0 .

និយមន័យ។ សំណុំនៃតម្លៃទាំងអស់។ Xដែលស៊េរីបញ្ចូលគ្នា
បានហៅ តំបន់បង្រួបបង្រួមជួរ។

និយមន័យ។ ជួរ
បានហៅ បង្រួបបង្រួមនៅលើផ្នែកមួយ ប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកមួយផ្នែកនៃស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួមគ្នានៅលើផ្នែកនេះ។

ទ្រឹស្តីបទ។ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ Cauchy សម្រាប់ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ)

សម្រាប់ការរួបរួមគ្នានៃស៊េរី
ចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់លេខណាមួយ។ > 0 មានលេខបែបនេះន( ) ដែលនៅន> ននិងទាំងមូលទំ> 0 វិសមភាព

នឹងរក្សាទុកសម្រាប់ x ទាំងអស់នៅលើផ្នែក [ក, ខ].

ទ្រឹស្តីបទ។ (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យការបញ្ចូលគ្នានៃឯកសណ្ឋាន Weierstrass)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - គណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់)

ជួរ
បង្រួបបង្រួមស្មើៗគ្នា និងយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើផ្នែក [ក, ខ] ប្រសិនបើម៉ូឌុលនៃសមាជិករបស់វានៅលើផ្នែកតែមួយមិនលើសពីសមាជិកដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរីលេខរួមជាមួយនឹងសមាជិកវិជ្ជមាន៖

ទាំងនោះ។ មានវិសមភាព៖

.

ពួកគេក៏និយាយផងដែរថាក្នុងករណីនេះស៊េរីមុខងារ
ធំស៊េរីលេខ
.

ឧទាហរណ៍។ស៊ើបអង្កេតសម្រាប់ស៊េរី convergence
.

ជា
ជានិច្ចកាល វាច្បាស់ណាស់ថា
.

វាត្រូវបានគេដឹងថាស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅ បង្រួបបង្រួមនៅពេល =3>1 បន្ទាប់មក អនុលោមតាមការធ្វើតេស្ត Weierstrass ស៊េរីដែលកំពុងសិក្សាបានបង្រួបបង្រួមគ្នា ហើយលើសពីនេះទៅទៀតក្នុងចន្លោះពេលណាមួយ។

ឧទាហរណ៍។ស៊ើបអង្កេតសម្រាប់ស៊េរី convergence .

នៅលើផ្នែក [-1,1] វិសមភាព
ទាំងនោះ។ យោងទៅតាមការធ្វើតេស្ត Weierstrass ស៊េរីដែលកំពុងសិក្សាបានបង្រួបបង្រួមផ្នែកនេះ ហើយខុសគ្នាតាមចន្លោះពេល (-, -1)  (1, ) ។

លក្ខណសម្បត្តិនៃស៊េរីបង្រួបបង្រួមស្មើៗគ្នា។

1) ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការបន្តនៃផលបូកនៃស៊េរីមួយ។

ប្រសិនបើសមាជិកនៃស៊េរី
- បន្តនៅលើចន្លោះពេល [ក, ខ] អនុគមន៍ ហើយ​ស៊េរី​ចូល​គ្នា​ស្មើ​គ្នា បន្ទាប់​មក​ផល​បូក​របស់​វា។ស(x) គឺជាមុខងារបន្តនៅលើចន្លោះពេល [ក, ខ].

2) ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការរួមបញ្ចូលតាមកាលកំណត់នៃស៊េរីមួយ។

បង្រួបបង្រួមគ្នានៅលើចន្លោះពេល [ក, ខ] ស៊េរី​ដែល​មាន​ពាក្យ​បន្ត​អាច​ត្រូវ​បាន​បញ្ចូល​ពាក្យ​តាម​ពាក្យ​នៅ​លើ​ផ្នែក​នេះ ឧ. ស៊េរីដែលផ្សំឡើងដោយអាំងតេក្រាលនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វានៅលើចន្លោះពេល [ក, ខ] , បង្រួបបង្រួមទៅជាអាំងតេក្រាលនៃផលបូកនៃស៊េរីលើផ្នែកនេះ។.

3) ទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពខុសគ្នាតាមពាក្យនៃស៊េរី។

ប្រសិនបើសមាជិកនៃស៊េរី
ការបង្រួបបង្រួមលើផ្នែក [ក, ខ] គឺជាអនុគមន៍បន្តជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុបន្ត ហើយស៊េរីដែលផ្សំឡើងដោយនិស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះ
បង្រួបបង្រួមស្មើៗគ្នានៅលើចន្លោះពេលនេះ បន្ទាប់មកស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យក៏បញ្ចូលគ្នាដូចគ្នាដែរ ហើយអាចបែងចែកពាក្យតាមពាក្យ។

ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថាផលបូកនៃស៊េរីគឺជាមុខងារមួយចំនួននៃអថេរ Xអ្នកអាចអនុវត្តប្រតិបត្តិការតំណាងឱ្យមុខងារជាស៊េរី (ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី) ដែលត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការរួមបញ្ចូល ភាពខុសគ្នា និងប្រតិបត្តិការផ្សេងទៀតជាមួយនឹងមុខងារ។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរីថាមពលត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។

ស៊េរីថាមពល។

និយមន័យ។ ថាមពលបន្ទាប់ត្រូវបានគេហៅថាស៊េរី

.

ដើម្បីសិក្សាការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីថាមពល វាងាយស្រួលប្រើការសាកល្បង d'Alembert ។

ឧទាហរណ៍។ស៊ើបអង្កេតសម្រាប់ស៊េរី convergence

យើងអនុវត្តសញ្ញា d'Alembert៖

.

យើងរកឃើញថាស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នានៅ
និងខុសគ្នានៅ
.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៅចំណុចព្រំដែន 1 និង −1 ។

សម្រាប់ x = 1:
ស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួមគ្នាយោងទៅតាមការធ្វើតេស្ត Leibniz (សូមមើលរូបភព។ សញ្ញា Leibniz ។).

សម្រាប់ x = -1:
ស៊េរីខុសគ្នា (ស៊េរីអាម៉ូនិក) ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់អេបិល។

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - គណិតវិទូន័រវេស)

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើស៊េរីថាមពល
បង្រួបបង្រួមនៅx = x 1 បន្ទាប់មកវាបង្រួបបង្រួម ហើយលើសពីនេះទៅទៀត គឺសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា
.

ភស្តុតាង។ តាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ ចាប់តាំងពីលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីត្រូវបានកំណត់

កន្លែងណា kគឺជាចំនួនថេរមួយចំនួន។ វិសមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីវិសមភាពនេះ។ x< x 1 តម្លៃលេខនៃសមាជិកនៃស៊េរីរបស់យើងនឹងតិចជាង (ក្នុងករណីណាក៏ដោយមិនច្រើនទេ) ជាងសមាជិកដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរីនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃវិសមភាពដែលបានសរសេរខាងលើ ដែលបង្កើតជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ។ ភាគបែងនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។ ដោយលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទគឺតិចជាងមួយ ដូច្នេះការវិវត្តនេះគឺជាស៊េរីរួម។

ដូច្នេះដោយផ្អែកលើការធ្វើតេស្តប្រៀបធៀបយើងសន្និដ្ឋានថាស៊េរី
converges ដែលមានន័យថាស៊េរី
បញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។

ដូច្នេះប្រសិនបើស៊េរីថាមពល
បង្រួបបង្រួមនៅចំណុចមួយ។ X 1 ហើយបន្ទាប់មកវាបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដនៅចំណុចណាមួយនៃចន្លោះពេលនៃប្រវែង 2 ផ្តោតលើចំណុចមួយ។ X = 0.

ផលវិបាក។ ប្រសិនបើនៅ x = x 1 ស៊េរីខុសគ្នា បន្ទាប់មកវាខុសគ្នាសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា
.

ដូច្នេះសម្រាប់ស៊េរីថាមពលនីមួយៗមានលេខវិជ្ជមាន R ដូចនេះសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា Xបែបនោះ។
ស៊េរី​ចូល​គ្នា​យ៉ាង​ពិត​ប្រាកដ និង​សម្រាប់​ទាំង​អស់
ជួរដេកខុសគ្នា។ ក្នុងករណីនេះលេខ R ត្រូវបានហៅ កាំនៃការបញ្ចូលគ្នា. ចន្លោះពេល (-R, R) ត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះពេលនៃការបញ្ចូលគ្នា.

ចំណាំថាចន្លោះពេលនេះអាចបិទទាំងសងខាងមួយ ឬពីរ ហើយមិនបិទទេ។

កាំប្រសព្វអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកតំបន់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។

ការស្វែងរកកាំនៃការបញ្ចូលគ្នា
.

ដូច្នេះ ស៊េរី​នេះ​រួម​គ្នា​សម្រាប់​តម្លៃ​ណាមួយ។ X. ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីនេះមានទំនោរទៅសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើស៊េរីថាមពល
បង្រួបបង្រួមសម្រាប់តម្លៃវិជ្ជមាន x=x 1 បន្ទាប់មកវាបង្រួបបង្រួមគ្នាក្នុងចន្លោះពេលណាមួយនៅខាងក្នុង
.

សកម្មភាពជាមួយស៊េរីថាមពល។

1. ស៊េរីលេខ៖ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។ នៅសល់នៃជួរដេក។

2. ស៊េរីជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌវិជ្ជមាន និងសញ្ញានៃការបញ្ចូលគ្នារបស់ពួកគេ: សញ្ញានៃការប្រៀបធៀប, d'Alembert, Cauchy ។

3. ជួរដេកឆ្លាស់គ្នា ការធ្វើតេស្ត Leibniz ។

1. និយមន័យនៃស៊េរីលេខមួយ។ ការបញ្ចូលគ្នា

នៅក្នុងកម្មវិធីគណិតវិទ្យា ក៏ដូចជាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួននៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ស្ថិតិ និងផ្នែកផ្សេងទៀត ផលបូកជាមួយនឹងចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យត្រូវបានពិចារណា។ នៅទីនេះយើងកំណត់អត្ថន័យនៃបរិមាណបែបនេះ។

សូម​ឱ្យ​លំដាប់​លេខ​គ្មាន​កំណត់​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ

និយមន័យ 1.1. ស៊េរីលេខឬសាមញ្ញ នៅជិតត្រូវបានគេហៅថាកន្សោម (ផលបូក) នៃទម្រង់

. (1.1)

លេខ បានហៅ សមាជិកនៃចំនួនមួយ។, –ទូទៅឬ ទីសមាជិកនៃជួរ។

ដើម្បីកំណត់ស៊េរី (1.1) វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំណត់មុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិនៃការគណនាសមាជិកទី 1 នៃស៊េរីដោយលេខរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ 1.1. អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ ជួរ

(1.2)

បានហៅ ស៊េរីអាម៉ូនិក.

ឧទាហរណ៍ 1.2. អនុញ្ញាតឱ្យជួរដេក

(1.3)

បានហៅ ស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅ. ក្នុងករណីជាក់លាក់មួយ នៅ ស៊េរីអាម៉ូនិកមួយត្រូវបានទទួល។

ឧទាហរណ៍ 1.3. អនុញ្ញាតឱ្យ = ។ ជួរ

បានហៅ នៅជាប់នឹងដំណើរការធរណីមាត្រ.

ពីលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី (1.1) យើងបង្កើតជាលេខ លំដាប់នៃផ្នែក បរិមាណ កន្លែងណា - ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃស៊េរីដែលត្រូវបានគេហៅថា ន-និងផលបូកមួយផ្នែក, i.e.

…………………………….

…………………………….

លំដាប់លេខ ជាមួយនឹងការកើនឡើងចំនួនមិនកំណត់ វាអាច៖

1) មានដែនកំណត់កំណត់;

2) មិនមានដែនកំណត់ (ដែនកំណត់មិនមានឬស្មើនឹងគ្មានកំណត់) ។

និយមន័យ 1.2. ស៊េរី (1.1) ត្រូវបានគេហៅថា បង្រួបបង្រួម,ប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វា (1.5) មានដែនកំណត់កំណត់ ពោលគឺឧ។

ក្នុងករណីនេះលេខត្រូវបានហៅ ផលបូកស៊េរី (1.1) និងត្រូវបានសរសេរ

និយមន័យ 1.3 ។ស៊េរី (1.1) ត្រូវបានគេហៅថា ខុសគ្នា,ប្រសិនបើលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វាមិនមានដែនកំណត់កំណត់។

គ្មាន​ផលបូក​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ទៅ​ឱ្យ​ស៊េរី​បង្វែរ​ទេ។

ដូច្នេះបញ្ហានៃការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរី convergent (1.1) គឺស្មើនឹងការគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វា។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ 1.4 ។បញ្ជាក់ថាស៊េរី

បង្រួបបង្រួមនិងស្វែងរកផលបូករបស់វា។

ចូរយើងស្វែងរកផលបូកផ្នែក n-th នៃស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សមាជិកទូទៅ យើងតំណាងឱ្យស៊េរីក្នុងទម្រង់ .

ដូច្នេះយើងមាន៖ . ដូច្នេះ ស៊េរី​នេះ​រួម​គ្នា ហើយ​ផលបូក​របស់​វា​គឺ​ស្មើ​នឹង 1:

ឧទាហរណ៍ 1.5. ស៊ើបអង្កេតសម្រាប់ស៊េរី convergence

សម្រាប់ជួរនេះ។

. ដូច្នេះស៊េរីនេះខុសគ្នា។

មតិយោបល់។សម្រាប់ , ស៊េរី (1.6) គឺជាផលបូកនៃចំនួនសូន្យគ្មានកំណត់ ហើយច្បាស់ជាបញ្ចូលគ្នា។

2. លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃស៊េរីលេខ

លក្ខណសម្បត្តិនៃផលបូកនៃចំនួនកំណត់នៃពាក្យខុសគ្នាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃស៊េរី ពោលគឺផលបូកនៃចំនួនគ្មានកំណត់នៃពាក្យ។ ដូច្នេះនៅក្នុងករណីនៃចំនួនកំណត់ ពួកគេអាចត្រូវបានដាក់ជាក្រុមតាមលំដាប់ណាមួយ វាមិនផ្លាស់ប្តូរផលបូកនោះទេ។ មានស៊េរី convergent ( convergent តាមលក្ខខណ្ឌដែលនឹងត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងផ្នែកទី 5) ដែល Riemann បានបង្ហាញ * ដោយការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃសមាជិករបស់ពួកគេឱ្យបានត្រឹមត្រូវ មួយអាចធ្វើឱ្យផលបូកនៃស៊េរីស្មើនឹងចំនួនណាមួយ និងសូម្បីតែស៊េរីផ្សេងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 2.1 ។ពិចារណាស៊េរីផ្សេងគ្នានៃទម្រង់ (1.7)

ការ​ដាក់​សមាជិក​របស់​វា​ជា​គូ យើង​ទទួល​បាន​ស៊េរី​លេខ​រួម​ដែល​មាន​ផល​បូក​ស្មើ​នឹង​សូន្យ៖

ម្យ៉ាងវិញទៀត ការដាក់សមាជិកជាក្រុមជាគូ ដោយចាប់ផ្តើមពីសមាជិកទីពីរ យើងក៏ទទួលបានស៊េរីរួមដែរ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងផលបូកស្មើនឹងមួយ៖

ស៊េរី Convergent មានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងចាត់ចែងពួកវាដូចជាចំនួនកំណត់។ ដូច្នេះ គេ​អាច​គុណ​នឹង​លេខ បូក​និង​ដក​ដោយ​ពាក្យ។ ពួកគេអាចបញ្ចូលគ្នាជាក្រុមនូវលក្ខខណ្ឌដែលនៅជាប់គ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ២.១.(លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ) ។

ប្រសិនបើស៊េរី (1.1) បញ្ចូលគ្នា នោះពាក្យទូទៅរបស់វាមានទំនោរទៅសូន្យ ខណៈ n កើនឡើងឥតកំណត់ ពោលគឺ

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទកើតឡើងពីការពិត , ហើយ​ប្រសិន​បើ

S គឺជាផលបូកនៃស៊េរី (1.1) បន្ទាប់មក

លក្ខខណ្ឌ (2.1) គឺ​ជា​លក្ខខណ្ឌ​ចាំបាច់ ប៉ុន្តែ​មិន​គ្រប់គ្រាន់​សម្រាប់​ស៊េរី​ដើម្បី​បង្រួបបង្រួម។ នោះ​គឺ​ប្រសិន​បើ​ពាក្យ​ទូទៅ​នៃ​ស៊េរី​មាន​ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ​នៅ នោះ​នេះ​មិន​មែន​មាន​ន័យ​ថា​ស៊េរី​នេះ​ចូល​រួម​គ្នា​នោះ​ទេ។ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ស៊េរីអាម៉ូនិក (1.2) ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូចដែលនឹងត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម វាខុសគ្នា។