ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា

ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត

ចងក្រងដោយ៖

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា MOU អនុវិទ្យាល័យ №203 CHETs

ទីក្រុង Novosibirsk

Vidutova T.V.

ចំនួន អ៊ីមុខងារ y=e x, លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា, ក្រាហ្វ, ភាពខុសគ្នា

1. ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វសម្រាប់មូលដ្ឋានផ្សេងៗ a: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (ជម្រើសទី 2) (ជម្រើសទី 1) "width="640"

ពិចារណាមុខងារអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល y = ក xដែលជាកន្លែងដែល 1 ។

ចូរយើងបង្កើតមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នា ក តារាង៖

1. y=2 x

3. y=១០ x

2. y=៣ x

(ជម្រើសទី 2)

(ជម្រើស ១)

1) ក្រាហ្វទាំងអស់ឆ្លងកាត់ចំណុច (0; 1);

2) ក្រាហ្វទាំងអស់មាន asymptote ផ្ដេក y = 0

នៅ X  ∞;

3) ពួកគេទាំងអស់ត្រូវបានប្រែជាប៉ោងចុះក្រោម;

4) ពួកគេទាំងអស់មានតង់សង់នៅគ្រប់ចំណុចរបស់ពួកគេ។

គូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=2 x នៅចំណុច X= 0 និងវាស់មុំដែលបង្កើតឡើងដោយតង់សង់ទៅអ័ក្ស X

ដោយមានជំនួយពីការស្ថាបនាពិតប្រាកដនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាប្រសិនបើមូលដ្ឋាន កអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល y = ក xមូលដ្ឋានកើនឡើងបន្តិចម្តង ៗ ពី 2 ទៅ 10 បន្ទាប់មកមុំរវាងតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច X= 0 ហើយអ័ក្ស x កើនឡើងបន្តិចម្តងៗពី 35' ទៅ 66.5' ។

ដូច្នេះមានមូលដ្ឋាន កដែលមុំដែលត្រូវគ្នាគឺ 45'។ ហើយអត្ថន័យនេះ។ កបានបញ្ចប់រវាង 2 និង 3, ដោយសារតែ នៅ ក= 2 មុំគឺ 35 ', ជាមួយ ក= 3 វាស្មើនឹង 48' ។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានបង្ហាញថាមូលដ្ឋាននេះមាន ជាធម្មតាវាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ អ៊ី

បានកំណត់ថា អ៊ី - ចំនួនមិនសមហេតុផល ពោលគឺវាជាប្រភាគទសភាគគ្មានកំណត់៖

e = 2.7182818284590… ;

នៅក្នុងការអនុវត្តវាជាធម្មតាត្រូវបានសន្មត់ថា អ៊ី ≈ 2,7.

ក្រាហ្វិក និងមុខងារ y = អ៊ី x :

1) ឃ(f) = (- ∞; + ∞);

3) ការកើនឡើង;

4) មិនកំណត់ពីខាងលើ កំណត់ពីខាងក្រោម

5) មិនមានធំបំផុតឬតូចបំផុតទេ។

តម្លៃ;

6) បន្ត;

7) អ៊ី(f) = (0; + ∞);

8) ប៉ោងចុះក្រោម;

9) ខុសគ្នា។

មុខងារ y = អ៊ី x បានហៅ អ្នកតាំងពិព័រណ៍ .

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យាវាត្រូវបានបង្ហាញថាមុខងារ y = អ៊ី x មានដេរីវេនៅចំណុចណាមួយ។ X :

(ឧ x ) = អ៊ី x

(ឧ 5x )" = 5 អ៊ី 5x

(ឧ x-3 )" = អ៊ី x-3

(ឧ -4x+1 )" = -4e -4x-1

ឧទាហរណ៍ ១ . គូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x=1។

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ឧ

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ២ .

x = 3.

ឧទាហរណ៍ ៣ .

ស៊ើបអង្កេតមុខងារមួយសម្រាប់ជ្រុល

x=0 និង x=-2

X= -2 - ចំណុចអតិបរមា

X= 0 - ចំណុចអប្បបរមា

ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃលោការីតគឺជាលេខ អ៊ីបន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាផ្តល់ឱ្យ លោការីតធម្មជាតិ . សម្រាប់លោការីតធម្មជាតិ សញ្ញាណពិសេសមួយត្រូវបានណែនាំ ln (l - លោការីត, n - ធម្មជាតិ) ។

ក្រាហ្វ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ y = ln x

មុខងារមុខងារ y = lnx៖

1) ឃ(f) = (0; + ∞);

2) មិនសូម្បីតែឬសេស;

3) កើនឡើងដោយ (0; + ∞);

4) មិនកំណត់;

5) មិនមានតម្លៃធំបំផុតឬតូចបំផុត;

6) បន្ត;

7) អ៊ី (f) = (- ∞; + ∞);

8) កំពូលប៉ោង;

9) ខុសគ្នា។

0 រូបមន្តនៃភាពខុសគ្នា "ទទឹង = "640" គឺត្រឹមត្រូវ។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់តម្លៃណាមួយ។ x0រូបមន្តនៃភាពខុសគ្នាគឺត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ 4៖

គណនាតម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។ x = -1.

ឧទាហរណ៍:

ធនធានអ៊ីនធឺណិត៖

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

ប្រធានបទមេរៀន៖ « ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត។ ការប្រឆាំងដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល "នៅក្នុងភារកិច្ចរបស់ UNT

គោលដៅ : ដើម្បីអភិវឌ្ឍជំនាញរបស់សិស្សក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹងទ្រឹស្តីលើប្រធានបទ "ភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត។ Antiderivative នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល” សម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា UNT ។

ភារកិច្ច

ការអប់រំ៖ រៀបចំប្រព័ន្ធចំណេះដឹងទ្រឹស្តីរបស់សិស្ស ដើម្បីបង្រួបបង្រួមជំនាញនៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទនេះ។

អភិវឌ្ឍន៍៖អភិវឌ្ឍការចងចាំ ការសង្កេត ការគិតឡូជីខល ការនិយាយគណិតវិទ្យារបស់សិស្ស ការយកចិត្តទុកដាក់ ការជឿជាក់លើខ្លួនឯង និងជំនាញគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង។

ការអប់រំ៖ផ្សព្វផ្សាយ៖

ការបង្កើតអាកប្បកិរិយាទទួលខុសត្រូវរបស់សិស្សចំពោះការរៀន;

ការអភិវឌ្ឍចំណាប់អារម្មណ៍ប្រកបដោយនិរន្តរភាពក្នុងគណិតវិទ្យា;

បង្កើតការលើកទឹកចិត្តខាងក្នុងវិជ្ជមានដើម្បីសិក្សាគណិតវិទ្យា។

វិធីសាស្រ្តបង្រៀន: ពាក្យសំដី, មើលឃើញ, ជាក់ស្តែង។

ទម្រង់ការងារ៖បុគ្គល, ផ្នែកខាងមុខ, ជាគូ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

Epigraph: "ចិត្តមានមិនត្រឹមតែនៅក្នុងចំណេះដឹងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តចំណេះដឹងក្នុងការអនុវត្តផងដែរ" Aristotle (ស្លាយទី 2)

I. ពេលរៀបចំ។

II. ការដោះស្រាយល្បែងផ្គុំរូប crossword ។ (ស្លាយ ៣-២១)

គណិតវិទូជនជាតិបារាំងនៅសតវត្សរ៍ទី 17 លោក Pierre Fermat បានកំណត់បន្ទាត់នេះថាជា "បន្ទាត់ត្រង់ដែលនៅជិតបំផុតទៅនឹងខ្សែកោងនៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយនៃចំណុចមួយ" ។

តង់សង់

អនុគមន៍ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត y = log ក x.

លោការីត

អនុគមន៍ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត y = ក X.

បាតុកម្ម

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា គំនិតនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលស្វែងរកល្បឿននៃចំណុចសម្ភារៈ និងជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដេរីវេ

តើអ្វីទៅជាឈ្មោះនៃអនុគមន៍ F (x) សម្រាប់អនុគមន៍ f (x) ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ F "(x) \u003d f (x) ពេញចិត្តសម្រាប់ចំណុចណាមួយពីចន្លោះពេល I ។

ប្រឆាំងដេរីវេ

តើអ្វីទៅជាឈ្មោះនៃទំនាក់ទំនងរវាង X និង Y ដែលធាតុនីមួយៗនៃ X ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងធាតុតែមួយនៃ Y ។

ដេរីវេនៃការផ្លាស់ទីលំនៅ

ល្បឿន

អនុគមន៍ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត y \u003d e x ។

អ្នកតាំងពិព័រណ៍

ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) អាចត្រូវបានតំណាងជា f(x)=g(t(x)) នោះមុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា…

III. ការសរសេរតាមរូបមន្តគណិតវិទ្យា។ (ស្លាយទី ២២)

1. សរសេររូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ( ក x)" = ក x ln ក

2. សរសេររូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃនិទស្សន្ត។ (e x)" = e x

3. សរសេររូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិ។ (lnx)"=

4. សរសេររូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីត។ (កំណត់ហេតុ ក x)"=

5. សរសេរទម្រង់ទូទៅនៃ antiderivatives សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) = ក X. F(x)=

6. សរសេរទម្រង់ទូទៅនៃ antiderivatives សម្រាប់អនុគមន៍ f(x) =, x≠0។ F(x)=ln|x|+C

ពិនិត្យមើលការងារ (ចម្លើយនៅលើស្លាយ 23) ។

IV. ការដោះស្រាយបញ្ហា UNT (ក្លែងធ្វើ)

ក) លេខ 1,2,3,6,10,36 នៅលើក្តារ និងក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា (ស្លាយទី 24)

ខ) ធ្វើការជាគូលេខ 19.28 (ក្លែងធ្វើ) (ស្លាយ 25-26)

V. 1. ស្វែងរកកំហុស៖ (ស្លាយទី 27)

1) f (x) \u003d 5 e - 3x, f "(x) \u003d - 3 e - 3x

2) f (x) \u003d 17 2x, f "(x) \u003d 17 2x ln17

3) f(x)=កំណត់ហេតុ 5 (7x+1),f "(x)=

4) f (x) \u003d ln (9 - 4x), f "(x) \u003d
.

VI. បទបង្ហាញរបស់និស្សិត។

Epigraph: “ចំណេះដឹង​គឺ​ជា​វត្ថុ​ដ៏​មាន​តម្លៃ​ដែល​វា​មិន​គួរ​ឲ្យ​អៀនខ្មាស​ក្នុង​ការ​ទទួល​បាន​វា​ពី​ប្រភព​ណា​មួយ​ឡើយ” Thomas Aquinas (ស្លាយទី 28)

VII. កិច្ចការផ្ទះលេខ 19,20 p.116

VIII. តេស្ត (កិច្ចការបម្រុង) (ស្លាយ ២៩-៣២)

IX សេចក្តីសង្ខេបនៃមេរៀន។

“ប្រសិនបើអ្នកចង់ចូលរួមក្នុងជីវិតដ៏ធំ ចូរបំពេញក្បាលរបស់អ្នកដោយគណិតវិទ្យា ខណៈពេលដែលអ្នកអាចធ្វើបាន។ បន្ទាប់មកនាងនឹងផ្តល់ជំនួយដ៏អស្ចារ្យដល់អ្នកពេញមួយជីវិតរបស់អ្នក” M. Kalinin (ស្លាយទី 33)

អនុញ្ញាតឱ្យមាន
(1)
គឺជាមុខងារផ្សេងគ្នានៃ x ។ ដំបូងយើងនឹងពិចារណាវានៅលើសំណុំនៃតម្លៃ x ដែល y យកតម្លៃវិជ្ជមាន: . នៅ​ក្នុង​អ្វី​ដែល​បន្ទាប់​មក​យើង​នឹង​បង្ហាញ​ថា​លទ្ធផល​ទាំង​អស់​ដែល​ទទួល​បាន​ក៏​អាច​អនុវត្ត​បាន​សម្រាប់​តម្លៃ​អវិជ្ជមាន​នៃ .

ក្នុងករណីខ្លះ ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ (1) វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយកលោការីតជាមុនសិន។
,
ហើយបន្ទាប់មកគណនាដេរីវេ។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។
.
ពី​ទីនេះ
(2) .

ដេរីវេនៃលោការីតនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេលោការីតៈ
.

ដេរីវេលោការីតនៃអនុគមន៍ y = f(x) គឺជាដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិនៃមុខងារនេះ៖ (កំណត់ហេតុ f(x))′.

ករណីនៃតម្លៃ y អវិជ្ជមាន

ឥឡូវពិចារណាករណីនៅពេលដែលអថេរអាចយកទាំងតម្លៃវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីនេះ យកលោការីតនៃម៉ូឌុល ហើយស្វែងរកដេរីវេរបស់វា៖
.
ពី​ទីនេះ
(3) .
នោះគឺនៅក្នុងករណីទូទៅ អ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃលោការីតនៃម៉ូឌុលនៃអនុគមន៍។

ការប្រៀបធៀប (២) និង (៣) យើងមាន៖
.
នោះគឺជាលទ្ធផលផ្លូវការនៃការគណនាដេរីវេលោការីតមិនអាស្រ័យលើថាតើយើងយកម៉ូឌុលឬអត់នោះទេ។ ដូច្នេះហើយ នៅពេលគណនាដេរីវេលោការីត យើងមិនចាំបាច់ខ្វល់ខ្វាយអំពីមុខងារសញ្ញាអ្វីនោះទេ។

ស្ថានភាពនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយជំនួយនៃចំនួនកុំផ្លិច។ សូម​ឲ្យ​តម្លៃ​មួយ​ចំនួន​នៃ x ជា​អវិជ្ជមាន៖ . ប្រសិនបើយើងពិចារណាតែចំនួនពិត នោះមុខងារមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងណែនាំលេខស្មុគ្រស្មាញមកពិចារណា យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖
.
នោះគឺមុខងារ និងខុសគ្នាដោយថេរស្មុគ្រស្មាញ៖
.
ចាប់តាំងពីដេរីវេនៃថេរគឺសូន្យ
.

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដេរីវេលោការីត

ពីការពិចារណាបែបនេះវាធ្វើតាមនោះ។ ដេរីវេលោការីតមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើអនុគមន៍ត្រូវបានគុណដោយថេរបំពាន :
.
ជាការពិតការដាក់ពាក្យ លក្ខណៈសម្បត្តិលោការីត, រូបមន្ត ផលបូកដេរីវេនិង ដេរីវេនៃថេរមួយ។, យើង​មាន:

.

ការអនុវត្តនៃដេរីវេលោការីត

វាងាយស្រួលប្រើដេរីវេលោការីត ក្នុងករណីដែលអនុគមន៍ដើមមានផលិតផលនៃថាមពល ឬអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ក្នុងករណីនេះប្រតិបត្តិការលោការីតប្រែផលិតផលនៃមុខងារទៅជាផលបូករបស់វា។ នេះជួយសម្រួលដល់ការគណនានៃដេរីវេ។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖
.

ការសម្រេចចិត្ត

យើងយកលោការីតនៃអនុគមន៍ដើម៖
.

បែងចែកដោយគោរព x ។
នៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
.
យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។
;
;
;
;
(P1.1) .
តោះគុណនឹង៖

.

ដូច្នេះ យើងបានរកឃើញដេរីវេលោការីត៖
.
ពីទីនេះយើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារដើម៖
.

ចំណាំ

ប្រសិនបើយើងចង់ប្រើតែចំនួនពិត នោះយើងគួរតែយកលោការីតនៃម៉ូឌុលនៃអនុគមន៍ដើម៖
.
បន្ទាប់មក
;
.
ហើយយើងទទួលបានរូបមន្ត (A1.1) ។ ដូច្នេះលទ្ធផលមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ ២

ដោយប្រើដេរីវេលោការីត ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍
.

ការសម្រេចចិត្ត

លោការីត៖
(P2.1) .
បែងចែកដោយ x :
;
;

;
;
;
.

តោះគុណនឹង៖
.
ពីទីនេះយើងទទួលបានដេរីវេលោការីត៖
.

ដេរីវេនៃមុខងារដើម៖
.

ចំណាំ

នៅទីនេះមុខងារដើមគឺមិនអវិជ្ជមាន៖ . វាត្រូវបានកំណត់នៅ។ ប្រសិនបើយើងមិនសន្មត់ថាលោការីតអាចត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់នោះរូបមន្ត (A2.1) គួរតែត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:
.
ដរាបណា

និង
,
វានឹងមិនប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលចុងក្រោយទេ។

ចម្លើយ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេ
.

ការសម្រេចចិត្ត

ភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើដេរីវេលោការីត។ លោការីតដែលបានផ្តល់ឱ្យថា:
(P3.1) .

ដោយ​ការ​បែងចែក យើង​ទទួល​បាន​ដេរីវេ​លោការីត។
;
;
;
(P3.2) .

ដោយសារតែបន្ទាប់មក

.

ចំណាំ

ចូរយើងធ្វើការគណនាដោយមិនសន្មត់ថាលោការីតអាចត្រូវបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយកលោការីតនៃម៉ូឌុលនៃអនុគមន៍ដើម៖
.
បន្ទាប់មកជំនួសឱ្យ (A3.1) យើងមាន៖
;

.
ប្រៀបធៀបជាមួយ (A3.2) យើងឃើញថាលទ្ធផលមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

នៅពេលបែងចែកអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ឬកន្សោមប្រភាគដ៏លំបាក វាងាយស្រួលប្រើដេរីវេលោការីត។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់វាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិត។

ការបង្ហាញបន្ថែមបង្ហាញពីសមត្ថភាពក្នុងការប្រើប្រាស់តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងចំណេះដឹងនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។

ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេលោការីត។

ដំបូងយើងយកលោការីតទៅមូលដ្ឋាន e សម្រួលទម្រង់នៃអនុគមន៍ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្ដល់ឱ្យដោយប្រយោល៖

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល x ទៅថាមពលនៃ x ។

លោការីតផ្តល់ឱ្យ។ យោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីត។ ភាពខុសគ្នានៃផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពនាំទៅរកលទ្ធផល៖

ចម្លើយ៖ .

ឧទាហរណ៍ដូចគ្នាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយមិនប្រើដេរីវេលោការីត។ អ្នក​អាច​ធ្វើ​ការ​បំប្លែង​ខ្លះ ហើយ​ទៅ​ពី​ការ​បែងចែក​មុខងារ​ថាមពល​អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​ទៅ​រក​ដេរីវេនៃ​អនុគមន៍​ស្មុគ្រស្មាញ៖

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ .

ការសម្រេចចិត្ត។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះមុខងារ គឺជាប្រភាគ ហើយដេរីវេរបស់វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ ប៉ុន្តែ​ដោយសារ​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ដ៏​ស្មុគស្មាញ នេះ​នឹង​ត្រូវ​ការ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​ជា​ច្រើន។ ក្នុងករណីបែបនេះ វាសមហេតុផលជាងក្នុងការប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេលោការីត . ហេតុអ្វី? អ្នកនឹងយល់ឥឡូវនេះ។

ចូរយើងរកវាជាមុនសិន។ ក្នុងការបំប្លែង យើងនឹងប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់លោការីត (លោការីតនៃប្រភាគស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃលោការីត ហើយលោការីតនៃផលិតផលស្មើនឹងផលបូកលោការីត និងកម្រិតនៃកន្សោមក្រោម សញ្ញានៃលោការីតក៏អាចត្រូវបានយកចេញជាមេគុណនៅពីមុខលោការីត)៖

ការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះបាននាំយើងទៅរកការបញ្ចេញមតិដ៏សាមញ្ញមួយ ដែលជាដេរីវេនៃវាងាយស្រួលស្វែងរក៖

យើងជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេលោការីត ហើយទទួលបានចម្លើយ៖

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍ពីរបីបន្ថែមទៀតដោយគ្មានការពន្យល់លម្អិត។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល