ប្រភេទការងារ៖ ៧

លក្ខខណ្ឌ

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃ y \u003d f "(x) - ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f (x) ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (-4; 10) ។ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការថយចុះអនុគមន៍ f (x) នៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក។ ចង្អុលបង្ហាញប្រវែងធំបំផុតនៃពួកគេ។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

ដូចដែលអ្នកដឹង អនុគមន៍ f (x) ថយចុះនៅចន្លោះពេលទាំងនោះ នៅចំណុចនីមួយៗដែលដេរីវេ f "(x) តិចជាងសូន្យ។ ដោយពិចារណាថា វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកប្រវែងធំបំផុតនៃពួកវា ចន្លោះពេលបីបែបនេះ ត្រូវបានសម្គាល់ដោយធម្មជាតិពីរូបភាព៖ (-៤; -២); (០; ៣); (៥; ៩) ។

ប្រវែងធំបំផុតនៃពួកគេ - (5; 9) ស្មើនឹង 4 ។

ចម្លើយ

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ ការប្រើប្រាស់ដេរីវេទៅសិក្សាមុខងារ និងការធ្វើផែនការ

លក្ខខណ្ឌ

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃ y \u003d f "(x) - ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f (x) ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (-8; 7) ស្វែងរកចំនួនពិន្ទុអតិបរមានៃអនុគមន៍ f (x) ដែលជាកម្មសិទ្ធិ។ ដល់ចន្លោះ [-6; -2] ។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

ក្រាហ្វបង្ហាញថាដេរីវេ f "(x) នៃអនុគមន៍ f (x) ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក (នឹងមានអតិបរមានៅចំណុចបែបនេះ) នៅចំណុចមួយពិតប្រាកដ (រវាង -5 និង -4) ពីចន្លោះពេល [ -6; -2 ដូច្នេះហើយ មានចំណុចអតិបរមាមួយនៅលើចន្លោះពេល [-6;-2] ។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ត្រៀមប្រឡង-២០១៧។ កម្រិតទម្រង់។ អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova ។

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ ការប្រើប្រាស់ដេរីវេទៅសិក្សាមុខងារ និងការធ្វើផែនការ

លក្ខខណ្ឌ

រូបបង្ហាញពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x) ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (-2; 8)។ កំណត់ចំនួនចំនុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ស្មើនឹង 0 ។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

ប្រសិនបើដេរីវេនៅចំនុចមួយស្មើសូន្យ នោះតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលគូរនៅចំណុចនេះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។ ដូច្នេះហើយ យើងរកឃើញចំណុចបែបនេះ ដែលតង់សង់ទៅនឹងក្រាហ្វមុខងារគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។ នៅលើគំនូសតាងនេះ ចំណុចបែបនេះគឺជាចំណុចខ្លាំង (ពិន្ទុអតិបរមា ឬអប្បបរមា)។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមាន 5 ចំណុចខ្លាំង។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ត្រៀមប្រឡង-២០១៧។ កម្រិតទម្រង់។ អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova ។

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ ការប្រើប្រាស់ដេរីវេទៅសិក្សាមុខងារ និងការធ្វើផែនការ

លក្ខខណ្ឌ

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x) និងសម្គាល់ចំណុច -6, -1, 1, 4 នៅលើអ័ក្ស x ។ តើនៅចំណុចមួយណាជាតម្លៃនៃដេរីវេទីវ័រតូចជាងគេ? សូមបញ្ជាក់ចំណុចនេះនៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

យើងគូរតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចជាមួយនឹង abscissas ដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ យើងកំណត់នៅមុំអ្វីដែលពួកគេមានទំនោរទៅទិសវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុក។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាតម្លៃតង់សង់នៃមុំដែលបានបញ្ជាក់គឺជាតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុចដែលបានបញ្ជាក់។

នៅចំណុច -1 និង 4 តង់សង់មានទំនោរនៅមុំស្រួច ដូច្នេះតម្លៃនៃដេរីវេគឺអវិជ្ជមាននៅចំណុចទាំងនេះ។ ដោយពិចារណាថានៅចំណុច x=-6 តង់សង់មានទំនោរនៅមុំស្រួចតូចជាង (ខិតទៅជិតបន្ទាត់បញ្ឈរ) តម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុចនេះគឺតូចបំផុត។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ត្រៀមប្រឡង-២០១៧។ កម្រិតទម្រង់។ អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova ។

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ ការប្រើប្រាស់ដេរីវេទៅសិក្សាមុខងារ និងការធ្វើផែនការ

លក្ខខណ្ឌ

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃ y \u003d f "(x) - ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f (x) ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (-9; 4) ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការបង្កើនអនុគមន៍ f (x) ។ ចម្លើយ បង្ហាញពីប្រវែងធំបំផុតនៃពួកគេ។

បង្ហាញដំណោះស្រាយ

ដំណោះស្រាយ

ដូចដែលអ្នកដឹង អនុគមន៍ f (x) កើនឡើងនៅចន្លោះពេលទាំងនោះ នៅចំណុចនីមួយៗដែលដេរីវេទី f "(x) ធំជាងសូន្យ។ ដោយពិចារណាថា វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកប្រវែងធំបំផុតនៃពួកវា ចន្លោះពេលបីបែបនេះ ត្រូវបានសម្គាល់ដោយធម្មជាតិពីរូប៖ (-៩; -៨); (-៥; -១); (១; ៤) ។

ប្រវែងធំបំផុតនៃពួកគេ (-5; -1) គឺ 4 ។

ចម្លើយ

ប្រភព៖ "គណិតវិទ្យា។ ត្រៀមប្រឡង-២០១៧។ កម្រិតទម្រង់។ អេដ។ F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova ។

ប្រភេទការងារ៖ ៧
ប្រធានបទ៖ ការប្រើប្រាស់ដេរីវេទៅសិក្សាមុខងារ និងការធ្វើផែនការ

លក្ខខណ្ឌ

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃ y \u003d f "(x) - ដេរីវេនៃអនុគមន៍ f (x) ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (-8; 7) ។ ស្វែងរកចំនួនពិន្ទុអប្បបរមានៃអនុគមន៍ f (x) ដែលជាកម្មសិទ្ធិ ដល់ចន្លោះ [-4; 3] ។

ប្រសិនបើនៅចន្លោះពេលណាមួយ ក្រាហ្វមុខងារគឺជាបន្ទាត់បន្ត ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត បន្ទាត់បែបនេះដែលអាចគូរដោយគ្មានខ្មៅដៃពីសន្លឹកក្រដាស នោះមុខងារបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាបន្តនៅចន្លោះពេលនេះ។ វាក៏មានមុខងារដែលមិនបន្ត។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ ដែលនៅចន្លោះពេល និង [c; b] គឺបន្ត ប៉ុន្តែនៅចំណុចមួយ។
x = c គឺ​មិន​បន្ត ហើយ​ដូច្នេះ​មិន​បន្ត​នៅ​លើ​ផ្នែក​ទាំងមូល​ទេ។ មុខងារទាំងអស់ដែលយើងសិក្សាក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា គឺជាមុខងារបន្តនៅលើចន្លោះពេលនីមួយៗ ដែលពួកវាត្រូវបានកំណត់។

ចំណាំថាប្រសិនបើអនុគមន៍មានដេរីវេនៅចន្លោះពេលមួយចំនួន នោះវាបន្តនៅចន្លោះពេលនេះ។

ការសន្ទនាមិនពិតទេ។ អនុគមន៍​ដែល​បន្ត​នៅ​ចន្លោះ​ពេល​មួយ​អាច​នឹង​មិន​មាន​និស្សន្ទវត្ថុ​នៅ​ចំណុច​មួយ​ចំនួន​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល​នោះ។ ឧទាហរណ៍មុខងារ
y = |log 2 x| គឺបន្តនៅលើចន្លោះពេល x> 0 ប៉ុន្តែនៅចំណុច x = 1 វាមិនមានដេរីវេទេ ដោយសារតែនៅត្រង់ចំណុចនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានតង់សង់។

ពិចារណា​ការ​គូរ​ក្រាហ្វិក​ដោយ​ប្រើ​ដេរីវេ។

កំណត់អនុគមន៍ f(x) = x 3 − 2x 2 + x ។

ដំណោះស្រាយ។

1) មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ x ∈ R ទាំងអស់។

2) ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍ដែលកំពុងពិចារណា និងចំណុចខ្លាំងរបស់វាដោយប្រើដេរីវេ។ ដេរីវេគឺ f "(x) = 3x 2 − 4x + 1. រកចំនុចស្ថានី៖
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, ពីកន្លែងដែល x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1 ។

ដើម្បីកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេ យើងបំបែកត្រីកោណការ៉េ 3x 2 - 4x + 1 ទៅជាកត្តា៖
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1) ដូច្នេះហើយ នៅចន្លោះពេល x< 1/3 и х >1 ដេរីវេគឺវិជ្ជមាន; ដូច្នេះមុខងារកំពុងកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលទាំងនេះ។

ដេរីវេគឺអវិជ្ជមាននៅ 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

ចំណុច x 1 \u003d 1/3 គឺជាចំណុចអតិបរមា ដោយសារមុខងារថយចុះទៅខាងស្តាំនៃចំណុចនេះ ហើយកើនឡើងទៅខាងឆ្វេង។ ត្រង់ចំណុចនេះ តម្លៃនៃអនុគមន៍គឺ f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27 ។

ចំណុចអប្បបរមាគឺចំណុច x 2 \u003d 1 ចាប់តាំងពីមុខងារថយចុះទៅខាងឆ្វេងនៃចំណុចនេះ ហើយកើនឡើងទៅខាងស្តាំ។ តម្លៃរបស់វានៅចំណុចអប្បបរមានេះគឺ f(1) = 0 ។

3) នៅពេលសាងសង់ក្រាហ្វ ចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានរកឃើញជាធម្មតា។ ចាប់តាំងពី f(0) = 0 ក្រាហ្វឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ការដោះស្រាយសមីការ f(0) = 0 យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្ស x៖

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, ពីកន្លែង x \u003d 0, x \u003d ១។

4) សម្រាប់​ការ​គូស​ប្លង់​ឱ្យ​កាន់​តែ​ច្បាស់ ចូរ​យើង​រក​តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​នៅ​ចំណុច​ពីរ​ទៀត៖ f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2 ។

5) ដោយប្រើលទ្ធផលនៃការសិក្សា (ចំណុច 1 - 4) យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ y \u003d x 3 - 2x 2 + x ។

ដើម្បី​កំណត់​មុខងារ ជាធម្មតា​ដំបូង​គេ​ស៊ើបអង្កេត​លក្ខណៈសម្បត្តិ​នៃ​អនុគមន៍​នេះ​ដោយ​ប្រើ​ដេរីវេ​របស់វា​តាម​គ្រោងការណ៍​ដែល​ស្រដៀង​នឹង​គ្រោងការណ៍​ក្នុងការ​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ទី 1 ។

ដូច្នេះនៅពេលសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរក៖

1) តំបន់នៃនិយមន័យរបស់វា;

2) ដេរីវេ;

3) ចំណុចស្ថានី;

4) ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើងនិងការថយចុះ;

5) ចំណុចខ្លាំង និងតម្លៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះ។

លទ្ធផលនៃការសិក្សាត្រូវបានកត់ត្រាយ៉ាងងាយស្រួលក្នុងទម្រង់ជាតារាង។ បន្ទាប់មកដោយប្រើតារាង បង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។ សម្រាប់ការគូសវាសកាន់តែត្រឹមត្រូវ ជាធម្មតាស្វែងរកចំណុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ ហើយ - បើចាំបាច់ - ចំណុចពីរបីទៀតនៃក្រាហ្វ។

ប្រសិនបើយើងប្រឈមមុខនឹងមុខងារគូ ឬសេស នោះសម្រាប់ ការសាងសង់ក្រាហ្វរបស់វា វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការស៊ើបអង្កេតលក្ខណៈសម្បត្តិ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វាសម្រាប់ x\u003e 0 ហើយបន្ទាប់មកឆ្លុះបញ្ចាំងវាស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y (ប្រភពដើម) ។ ឧទាហរណ៍៖ ការវិភាគមុខងារ f(x) = x + 4/x យើងសន្និដ្ឋានថាមុខងារនេះគឺសេស៖ f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ ។ x) = -f(x) ។ ដោយបានបញ្ចប់ចំណុចទាំងអស់នៃផែនការ យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សម្រាប់ x\u003e 0 និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះសម្រាប់ x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 ទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។

សម្រាប់ភាពខ្លីក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់មុខងារគ្រោង ហេតុផលភាគច្រើនត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់មាត់។

យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថា នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន យើងអាចជួបប្រទះនូវតម្រូវការក្នុងការសិក្សាមុខងារ មិនមែននៅលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យនោះទេ ប៉ុន្តែមានតែនៅលើចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយប៉ុណ្ណោះ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការគ្រោង និយាយថា អនុគមន៍ f (x) = 1 + 2x 2 − x 4 លើចម្រៀក [−1; ២]។

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។

អថេរត្រូវបានគេហៅថា មុខងារអថេរ ប្រសិនបើតម្លៃនីមួយៗត្រឹមត្រូវ។ ផ្គូផ្គងតម្លៃតែមួយ . អថេរ វា​ហៅថា អថេរឯករាជ្យឬ អាគុយម៉ង់មុខងារ។

សំណុំនៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ទាំងអស់ដែលអនុគមន៍យកតម្លៃពិតជាក់លាក់ត្រូវបានហៅ ដែននៃនិយមន័យមុខងារនេះ។ សំណុំនៃតម្លៃទាំងអស់នៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានហៅ ជួររបស់វា។.

វិសាលភាព និងវិសាលភាពនៃមុខងារមួយ។ fនិមិត្តសញ្ញា
និង
រៀងគ្នា។ ដែន
បានហៅ សំណុំស៊ីមេទ្រីប្រសិនបើរួមគ្នាជាមួយធាតុនីមួយៗ វាក៏មានធាតុផ្ទុយ (
).

ស៊ើបអង្កេតថាតើមុខងារមួយគឺគូ ឬសេស។

មុខងារ
បានហៅ សូម្បីតែ

សម្រាប់​ទាំងអស់
.

មុខងារ fបានហៅ សេសប្រសិនបើដែនរបស់វាគឺ
គឺជាសំណុំស៊ីមេទ្រី និងសមភាព
សម្រាប់​ទាំងអស់
.

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គូគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស y អូយហើយក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សេសគឺទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើម។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើមុខងារដែលកំពុងសិក្សាគឺគូ ឬសេស នោះវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការសិក្សាវាសម្រាប់តម្លៃវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ពីដែននៃនិយមន័យរបស់វា។

ស៊ើបអង្កេតប្រសិនបើមុខងារគឺតាមកាលកំណត់។

មាន​ច្រើន
បានហៅ តាមកាលកំណត់ជាមួយ T (
) ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។
បានអនុវត្ត
និង
.

មុខងារ fបានហៅ តាមកាលកំណត់ ជាមួយនឹងរយៈពេល T, ប្រសិនបើ
- កំណត់តាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល ធនិងសម្រាប់ណាមួយ។
សមភាព
.

តារាងតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល ធមុខងារចូលទៅក្នុងខ្លួនវានៅពេលផ្លាស់ប្តូរដោយ ធតាមអ័ក្ស x ។

ត្រង់
លើផ្ទៃ
បានហៅ asymptote បញ្ឈរមុខងារ
ប្រសិនបើមួយនៃដែនកំណត់ម្ខាង
ឬ
ស្មើ
.

ដូច្នេះដោយផ្ទាល់
គឺជា asymptote បញ្ឈរនៃមុខងារ
ប្រសិនបើចំណុច - ចំណុចបំបែកនៃប្រភេទទីពីរសម្រាប់មុខងារ
.

ស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃមុខងារនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និងស្វែងរក asymptotes ផ្ដេក និង oblique របស់វា។

ត្រង់
បានហៅ oblique asymptoteក្រាហ្វមុខងារ
នៅ
(
), ប្រសិនបើ
នៅ
(
).

ទ្រឹស្តីបទ ១.សម្រាប់អត្ថិភាពនៃ asymptote oblique មួយ។
នៅ
មុខងារ
ចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់
លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ៖

1.
,
,

2.
,
.

ស្វែងរកចំណុចខ្លាំង និងចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងបន្ថយមុខងារ។

មុខងារ
បានហៅ កើនឡើង(ស្រក) នៅ​លើ
ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ។
ពីវិសមភាព
អនុវត្តតាមវិសមភាព
(
).

ការបង្កើននិងបន្ថយមុខងារត្រូវបានគេហៅថា ឯកតា.

ទ្រឹស្តីបទ ២(លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ monotonicity) ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
កំណត់និងបន្ត
និងខុសគ្នាដោយ
. ប្រសិនបើ ក
(
) បន្ទាប់មក
កើនឡើង (ថយចុះ)
.

ចំណុច
បានហៅ ចំណុចអតិបរមា (ចំណុចអប្បបរមា) មុខងារ
ប្រសិនបើនៅគ្រប់ចំណុច ជិតដល់ចំណុច
(
).

តម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចអតិបរមា (អប្បបរមា) ត្រូវបានហៅ អតិបរមា (អប្បបរមា) មុខងារ។

ចំណុច
បានហៅ ចំណុចអតិបរមាដ៏តឹងរឹង (អប្បបរមាតឹងរឹង) មុខងារ
ប្រសិនបើនៅគ្រប់ចំណុច ជិតដល់ចំណុច ហើយខុសពីវា វិសមភាព
(
).

តម្លៃមុខងារនៅចំណុច បានហៅ អតិបរមាតឹងរ៉ឹង (អប្បបរមាតឹងរឹង) មុខងារ។

ពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំង, និងតម្លៃមុខងារនៅក្នុងពួកវាគឺ ខ្លាំងមុខងារ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣(លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរចាំបាច់) ។ ប្រសិនបើមុខងារ
មាននៅចំណុច extremum បន្ទាប់មកដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។

ចំណុច បានហៅ ចំណុចស្ថានីមុខងារ
, ប្រសិនបើ
. ចំណុច បានហៅ ចំណុចសំខាន់មុខងារ
, ប្រសិនបើ
ឬមិនមាន។

វាធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទទី 3 ដែលមានតែចំណុចសំខាន់ប៉ុណ្ណោះដែលអាចជាចំណុចខ្លាំង។ ការបញ្ច្រាសមិនតែងតែជាការពិតទេ។

ទ្រឹស្តីបទ ៤(លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម។ ច្បាប់ទីមួយ)។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅចំណុច
ដេរីវេនៃមុខងារ
បាត់ និងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ បន្ទាប់មកចំណុច គឺជាចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ ហើយប្រសិនបើ៖

1)
នៅ
និង
នៅ
បន្ទាប់មក
- ចំណុចនៃអតិបរមាតឹងរឹង;

2)
នៅ
និង
នៅ
បន្ទាប់មក
គឺជាចំណុចអប្បបរមាដ៏តឹងរឹង។

ទ្រឹស្តីបទ ៥(លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម។ វិធានទីពីរ) ។ ប្រសិនបើនៅចំណុច
ដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ
គឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយដេរីវេទី 2 គឺមិនមែនសូន្យ - ចំណុចខ្លាំង និង៖

1) គឺជាចំណុចអតិបរមា ប្រសិនបើ
;

2) គឺជាចំណុចអប្បបរមា ប្រសិនបើ
.

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកចំណុចខ្លាំងបំផុតសម្រាប់មុខងារបន្ត
:

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់
មុខងារ
នៅ​លើ
. តោះរៀបចំពួកវាតាមលំដាប់ឡើង៖ ពួកគេចែករំលែក
នៅចន្លោះពេល
,
,…,
. នៅក្នុងពួកគេម្នាក់ៗ
វាជាសញ្ញាថេរ (វិជ្ជមានឬអវិជ្ជមាន) ។ ដើម្បីកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះពេល ចាំបាច់ត្រូវកំណត់សញ្ញារបស់វានៅចំណុចណាមួយក្នុងចន្លោះពេល។ បន្ទាប់មកដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃដេរីវេក្នុងអំឡុងពេលការផ្លាស់ប្តូរពីចន្លោះពេលមួយទៅចន្លោះមួយទៀត យើងកំណត់ចំណុចខ្លាំងបំផុតយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ 4 ។

កំណត់ទិសដៅនៃភាពប៉ោងនៃក្រាហ្វមុខងារ និងចំណុចបញ្ឆេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
ខុសគ្នាដោយ
. បន្ទាប់មកមានតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍
នៅចំណុចណាមួយ។
,
ហើយតង់សង់ទាំងនេះមិនស្របនឹងអ័ក្សទេ។
.

មុខងារ
បានហៅ ប៉ោងឡើង (ផ្លូវចុះក្រោម) នៅ​លើ
ប្រសិនបើក្រាហ្វនៃមុខងារស្ថិតនៅក្នុង
មិនស្ថិតនៅខាងលើ (មិនខាងក្រោម) នៃតង់សង់របស់វា។

ទ្រឹស្តីបទ ៦(លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ប៉ោង) ។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ
ខុសគ្នាទ្វេដងនៅលើ
. បន្ទាប់មកប្រសិនបើ
(
) នៅ​លើ
បន្ទាប់មកមុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោម (ឡើង) លើ
.

ចំណុច បានហៅ ចំណុចឆ្លងមុខងារ
ប្រសិនបើទិសដៅនៃប៉ោងនៃមុខងារផ្លាស់ប្តូរនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។
.

ទ្រឹស្តីបទ ៧(លក្ខខណ្ឌនៃការឆ្លងចាំបាច់) ។ ប្រសិនបើនៅចំណុចប្រសព្វ មុខងារ
ដេរីវេទី 2 មានហើយបន្តបន្ទាប់មកវាស្មើនឹងសូន្យនៅចំណុចនេះ។

ទ្រឹស្តីបទ ៨(លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការឆ្លង) ។ ប្រសិនបើ ក
និង

1)
ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ បន្ទាប់មក - ចំណុចបញ្ឆេះមុខងារ
;

2)
មិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ បន្ទាប់មក មិនមែនជាចំណុចបញ្ឆេះមុខងារទេ។
.

គូរក្រាហ្វិកមុខងារ។

កាលវិភាគមុខងារ
គឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​ចំណុច​ក្នុង​យន្តហោះ​ដែល​កូអរដោណេ​បំពេញ​ការ​អាស្រ័យ​មុខងារ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍ 7.1 ។មុខងាររុករក

ដំណោះស្រាយ។

ចាប់តាំងពីអនុគមន៍នេះគឺជាពហុនាម។

យើងពិនិត្យមើលមុខងារសម្រាប់ monotonicity ស្វែងរកចំណុចខ្លាំង។

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារជាមុនសិន។

ចាប់តាំងពីដេរីវេក៏ជាពហុនាមផងដែរ។


ឬ
, ឬ
. អាស្រ័យហេតុនេះ
,
,
គឺជាចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ។

ហ អនុញ្ញាតឱ្យយើងដាក់ចំណុចសំខាន់នៃមុខងារនៅលើបន្ទាត់ពិតហើយកំណត់សញ្ញា ដេរីវេ

នៅក្នុង​ចន្លោះ
,
មុខងារកំពុងថយចុះនៅចន្លោះពេល
,
មុខងារកំពុងកើនឡើង។

ពិន្ទុ
និង
គឺជាចំណុចអប្បបរមានៃមុខងារ។

ចំណុច
គឺជាចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ
.

យើងពិនិត្យមុខងារសម្រាប់ទិសដៅនៃប៉ោង ស្វែងរកចំណុចបញ្ឆេះ។



.

តោះដាក់ចំនុច X 1 និង X 2 នៅលើបន្ទាត់លេខនិងកំណត់សញ្ញា ដេរីវេទី ២ក្នុងចន្លោះពេលលទ្ធផលនីមួយៗ។

ហ និងនៅចន្លោះ
និង
មុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោម នៅចន្លោះពេល
មុខងារគឺប៉ោងឡើងលើ។ ពិន្ទុ
និង
គឺជាចំណុចបញ្ឆេះ។

ឧទាហរណ៍ 7.2 ។មុខងាររុករក
នៅលើ monotonicity និងទិសដៅនៃ convex ស្វែងរកចំណុច extrema និង inflection ។

ដំណោះស្រាយ។

ស្វែងរកដែននៃមុខងារ។

:

 .

2. យើងស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ monotonicity ស្វែងរកចំណុចខ្លាំង។

, .



. អាស្រ័យហេតុនេះ
– ចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ។

យើងកំណត់ដែននៃមុខងារ និងចំណុចសំខាន់នៅលើបន្ទាត់ពិត។ ចូរយើងកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅលើចន្លោះលទ្ធផលនីមួយៗ។

ហ និងនៅចន្លោះ
,
មុខងារកំពុងថយចុះនៅចន្លោះពេល
មុខងារកំពុងកើនឡើង។ ចំណុច
- ចំណុច​អតិបរមា
.

3. កំណត់ទិសដៅនៃប៉ោងនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ និងស្វែងរកចំណុច inflection ។



.

ធ ពិន្ទុ
- ចំណុចនៃការឆ្លងដែលអាចកើតមាន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេទី 2 ក្នុងចន្លោះពេល
,
,
.

នៅក្នុង​ចន្លោះ
,
មុខងារគឺប៉ោងឡើងលើចន្លោះពេល
មុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោម។ ចំណុច
- ចំណុចឆ្លង។

ឧទាហរណ៍ 7.3 ។សិក្សាមុខងារពេញលេញ
និងគ្រោងវា។

ដំណោះស្រាយ។ 1.
.

2. មុខងារគឺមិនសូម្បីតែឬសេស។

3. មុខងារមិនទៀងទាត់។

4. ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ និងចន្លោះពេលនៃថេរ។ អ័ក្សអូ Xក្រាហ្វមិនប្រសព្វគ្នាទេ ពីព្រោះ
សម្រាប់​ទាំងអស់
. អ័ក្សអូ នៅ:
,
.

នៅ
,
នៅ
.

5. អនុគមន៍គឺបន្តនៅលើដែននៃនិយមន័យចាប់តាំងពីវាជាបឋម
- ចំណុចបំបែក។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីលក្ខណៈនៃគម្លាត៖

,
.

អាស្រ័យហេតុនេះ
- ចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីពីរ បន្ទាត់ត្រង់
គឺជា asymptote បញ្ឈរនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។

6. យើងសិក្សាពីអាកប្បកិរិយានៃមុខងារសម្រាប់
និងនៅ
:

,
. ដូច្នេះបន្ទាត់ត្រង់
គឺជា asymptote ផ្ដេកនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅ
.

ដោយសារតែ
បន្ទាប់មក asymptotes oblique ផ្សេងទៀតនៅ
ទេ

រកមើលថាតើមាន asymptotes oblique សម្រាប់
:

. ដូច្នេះនៅ
មិនមាន asymptotes oblique ទេ។

7. យើងស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ monotonicity និង extremum ។

,

- ចំណុចអប្បបរមា
- អប្បបរមា។

8. យើងពិនិត្យមើលមុខងារសម្រាប់ទិសដៅនៃការប៉ោងនិង inflection ។

=

.

នៅ​លើ
,មិនមាននៅចំណុច
.មិនមានចំនុចបញ្ឆេះទេ។

9. ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ (រូបភាពទី 4) ។

រូបភាពទី 4 - រូបភាពឧទាហរណ៍ 7.3 ។

ឧទាហរណ៍ 7.4 ។មុខងាររុករក
និងគ្រោងវា។

ដំណោះស្រាយ។តោះស្វែងយល់ពីលក្ខណៈពិសេសនេះ។

,
.

យើងស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃមុខងារនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និងស្វែងរក asymptotes ផ្ដេក និង oblique៖

ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកមិនមាន asymptotes ផ្ដេកទេ។

,

ដូច្នេះមាន asymptote oblique តែមួយគត់

យើងពិនិត្យមើលមុខងារសម្រាប់ monotonicity និងស្វែងរក extrema:

.

ពី
គួរ
កន្លែងណា
,
.

ក្នុងចន្លោះពេល

ដូច្នេះ មុខងារកើនឡើងក្នុងចន្លោះពេលនេះ; ក្នុង

ឧ. មុខងារកំពុងថយចុះ។ ដូច្នេះចំណុច
គឺជាចំណុចអតិបរមា៖
. ក្នុងចន្លោះពេល

ដូច្នេះ មុខងារថយចុះនៅចន្លោះពេលនេះ; ក្នុង

ឧ. មុខងារកំពុងកើនឡើង។ នៅចំណុច
យើងមានអប្បបរមា៖
.

យើងពិនិត្យមើលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សម្រាប់ទិសដៅនៃភាពប៉ោង និងកំណត់ចំណុចបញ្ឆេះ។ សម្រាប់រឿងនេះយើងរកឃើញ

ជាក់ស្តែងនៅក្នុងចន្លោះពេល

ដូច្នេះ ក្នុងចន្លោះពេលនេះ ខ្សែកោងគឺប៉ោងឡើងលើ។ ក្នុងចន្លោះពេល

ពោលគឺនៅក្នុងចន្លោះពេលនេះ ខ្សែកោងគឺប៉ោងចុះក្រោម។ ចាប់តាំងពីនៅ
មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់ទេ បន្ទាប់មកមិនមានចំណុចបញ្ឆេះទេ។

ក្រាហ្វនៃមុខងារត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូប។ ៥.

រូបភាពទី 5 - រូបភាពឧទាហរណ៍ 7.3 ។

ក្បួនដោះស្រាយ​បញ្ហា​នៃ​ការ​គូស​ក្រាហ្វ​មុខងារ។

1. ស្វែងរកដែននៃមុខងារ។

2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។

3. ស្វែងរកចំណុចស្ថានី។

4. កំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេលដែលទទួលបាន។

5. កំណត់ចន្លោះពេលនៃ monotonicity ។

6. កំណត់ចំនុចនៃ extrema និងស្វែងរកតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះ។

7. ធ្វើតុ។

8. ស្វែងរកចំណុចបន្ថែម។

9. ក្រាហ្វមុខងារ។

ឧទាហរណ៍។រុករក​មុខងារ​មួយ​ដោយ​ប្រើ​ដេរីវេ និង​គូស​ក្រាហ្វ​របស់វា។

1. OOF:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. បន្ទាប់មកមុខងារកើនឡើង;

បន្ទាប់មកមុខងារត្រូវបានថយចុះ;

មុខងារនេះកើនឡើង;

6. - ចំណុចអតិបរមា, ដោយសារតែ ដេរីវេបានផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី + ទៅ - ;

ចំណុចអប្បបរមា, ដោយសារតែ ដេរីវេបានផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពី - ទៅ + ។

X
	+		-		+

8. ចំណុចបន្ថែម៖

9. ការកសាងក្រាហ្វ។

2.3 . វ៉ារ្យ៉ង់នៃការងារត្រួតពិនិត្យ។

ការប្រឡងលេខ ១ លើប្រធានបទ "ដេរីវេ" B-1

ក ) f(x)\u003d 4x 2 + 6x + 3, x 0 \u003d 1;

ខ) ;

ក្នុង) f(x)\u003d (3x 2 +1) (3x 2 -1), x 0 \u003d 1;

ជី ) f(x)= 2x cosx,

ក) f(x)= 5 3x-4 ;

ខ) f(x) = sin(4x-7);

d) f (x) \u003d ln (x 3 + 5x) ។

3. ស្វែងរកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d 4 - x 2 នៅចំណុច x 0 \u003d -3 ។

នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 = −1 ។

f (x) \u003d x 2 - 2x នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d -2 ។

6. សមីការនៃចលនារាងកាយមានទម្រង់ s(t) = 2.5t 2 + 1.5t ។ ស្វែងរកល្បឿននៃរាងកាយ 4 វិនាទីបន្ទាប់ពីការចាប់ផ្តើមនៃចលនា។

7.

ការប្រឡងលេខ ១ លើប្រធានបទ "ដេរីវេ" B-2

ក ) f(x)\u003d x 4 -3x 2 +5, x 0 \u003d -3;

ខ) ;

ក្នុង) f(x)\u003d (2x 2 +1) (4 + x 3), x 0 \u003d 1;

ជី ) f(x)=2x sinx-1,

2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖

ក) f (x) \u003d 4 2 x −1;

ខ) f(x) = cos(4x+5);

d) f(x) = +2x ។

3. ស្វែងរកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d - x 4 + x 3 នៅចំណុច x 0 \u003d - 1 ។

4. ត្រង់ចំនុចណាជាតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d 3x 2 -12x +11 ស្រប​នឹង​អ័ក្ស x?

5. សរសេរសមីការនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d x 3 - 3x 2 + 2x - 1 នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d 2 ។

6. ចំនុចផ្លាស់ទីយោងទៅតាមច្បាប់ rectilinear x(t) = 2.5t 2 -10t + 11. តើល្បឿនរាងកាយនឹងស្មើនឹង 20 នៅពេលណា? (សំរបសំរួលត្រូវបានវាស់ជាម៉ែត្រពេលវេលា - ជាវិនាទី) ។

7. រុករកមុខងារដោយប្រើដេរីវេ និងបង្កើតក្រាហ្វ៖

ការប្រឡងលេខ ១ លើប្រធានបទ "ដេរីវេ" B-3

1. រកតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុច x 0

ក ) f(x)\u003d 7x 2 -56x + 8, x 0 \u003d 4;

ខ) ;

ក្នុង) f(x)

ជី ) f(x)= 3x sinx,

2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖

ក) f (x) \u003d 2 5 x +3;

ខ) f(x) = сos(0.5x+3);

ឃ) f(x) = +5x ។

3. ស្វែងរកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d 2x 2 + x នៅចំណុច x 0 \u003d -2 ។

4. តើតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d x 2 + 4x - 12 ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ត្រង់ចំណុចណា?

5. សរសេរសមីការនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d -x 2 -3x + 2 នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d -1 ។

6. ចំនុចផ្លាស់ទីដោយច្បាប់ rectilinear x(t) = 3t 2 + t + 4. តើល្បឿនរាងកាយនឹងស្មើនឹង 7 នៅពេលណា? (កូអរដោនេគិតជាម៉ែត្រ ពេលវេលាគិតជាវិនាទី)

ការប្រឡងលេខ ១ លើប្រធានបទ "ដេរីវេ" B-4

1. រកតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុច x 0

ក ) f(x)\u003d x 5 -4x + 8, x 0 \u003d 2;

ខ) ;

ក្នុង) f(x)\u003d (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 \u003d -1;

ជី ) f(x)=5x cosx+2,

2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖

ក) f(x)= 3 4 x − 1 ;

ខ) f(x) = 2sin (2.5x-2);

d) f(x) = ln (2x 3 + x) ។

3. ស្វែងរកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d 0.5x 2 + 1 នៅចំណុច x 0 \u003d ៣.

4. រកមុំទំនោរនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 = 1 ។

5. សរសេរសមីការនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f(x) = x 2 +2x+1 នៅ គ

abscissa x 0 = − 2 ។

6. ចំនុចផ្លាស់ទីដោយច្បាប់ rectilinear x(t) = 4t + t 2 - . ស្វែងរកល្បឿនរបស់វានៅពេល t=2 (សំរបសំរួលត្រូវបានវាស់ជាម៉ែត្រ ពេលវេលាគិតជាវិនាទី)។

7. រុករកមុខងារដោយប្រើដេរីវេ និងបង្កើតក្រាហ្វ៖

វិញ្ញាសាលេខ ១ លើប្រធានបទ "ដេរីវេ" B-5

1. រកតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុច x 0

ក ) f(x)\u003d 3x 5 -12x 2 + 6x + 2, x 0 \u003d 1;

ខ) ;

ក្នុង) f(x)= (2x+1)(x−5), x 0 = 2;

ជី ) f(x)= 2x cos3x,

2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖

ក) f(x)= 2 3x-4 ;

ខ) f (x) \u003d sin (3x 2 - 2);

ឃ) f (x) \u003d ln (x 2 + 5x) ។

3. ស្វែងរកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d 3x 2 + 40x -10 នៅចំណុច x 0 \u003d -1 ។

4. រកមុំទំនោរនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d - 1 ។

5. សរសេរសមីការនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d x 2 -2x + 3 នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d - 2 ។

6. ចំនុចផ្លាស់ទីទៅតាមច្បាប់ rectilinear x(t) = 3t 3 +2t +1 ។ ស្វែងរកល្បឿនរបស់វានៅពេលវេលា t = 2 (សំរបសំរួលជាម៉ែត្រ ពេលវេលាគិតជាវិនាទី)។

7. រុករកមុខងារដោយប្រើដេរីវេ និងបង្កើតក្រាហ្វ៖

វិញ្ញាសាលេខ១ លើប្រធានបទ "ដេរីវេ" B-6

1. រកតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុច x 0

ក ) f(x)\u003d 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 \u003d 1;

ខ) ;

ក្នុង) f(x)\u003d (x 2 +1) (x 3 -2), x 0 \u003d 1;

ជី ) f(x)= 2x sin5x,

2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖

ក) f(x)= 2 3 x + 5 ,

ខ) f(x) = сos(3x-1);

ឃ) f(x) = −2x ។

3. រកមុំទំនោរនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d 3x 3 -35x + 8 នៅចំណុច x 0 \u003d ២.

4. តើតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d x 3 -3x + 1 ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x ត្រង់ចំណុចណា?

5. សរសេរសមីការនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d x 2 + 3x-2 នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d -1 ។

6. ចំនុចផ្លាស់ទីដោយច្បាប់ rectilinear x(t) = 3t 2 -2t + 4 ។ តើ​ល្បឿន​របស់​ខ្លួន​នឹង​មាន​ដល់​៤​ក្នុង​ពេល​ណា? (កូអរដោនេគិតជាម៉ែត្រ ពេលវេលាគិតជាវិនាទី)

7. រុករកមុខងារដោយប្រើដេរីវេ និងបង្កើតក្រាហ្វ៖

វិញ្ញាសាលេខ ៣ លើប្រធានបទ "ដេរីវេ" B-7

1. រកតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុច x 0

ក ) f(x)\u003d x 6 -3x 2 +2, x 0 \u003d 2;

ខ) ;

ក្នុង) f(x)\u003d (x 3 -4) (3x 2 +1), x 0 \u003d 2;

ជី ) f(x)=5x cosx+2,

2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖

ក) f(x)= 3 4x + 2 ;

ខ) f(x) = 2sin (5x+2);

d) f(x) = ln (3x 2 − x) ។

3. ស្វែងរកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d 0.5x 2 -1 នៅចំណុច x 0 \u003d - 3 ។

4. រកមុំទំនោរនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 = -1 ។

5. សរសេរសមីការនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d x 2 + 2x + 1 នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d - 2 ។

6. ចំនុចផ្លាស់ទីដោយច្បាប់ rectilinear x(t) = 4t - t 2 + ។ ស្វែងរកល្បឿនរបស់វានៅពេលវេលា t = 2 (សំរបសំរួលជាម៉ែត្រ ពេលវេលាគិតជាវិនាទី)។

7. រុករកមុខងារដោយប្រើដេរីវេ និងបង្កើតក្រាហ្វ៖

វិញ្ញាសាលេខ១ លើប្រធានបទ "ដេរីវេ" B-8

1. រកតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុច x 0

ក ) f(x)\u003d x 4 -2x 3 + 5x-1, x 0 \u003d 2;

ខ) ;

ក្នុង) f(x)\u003d (2x 2 +1) (1 + x 3), x 0 \u003d 2;

ជី ) f(x)=2x sinx-1,

2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖

ក) f (x) \u003d 5 2 x +3,

ខ) f(x) = cos(5x 2 +1);

ឃ) f(x) = +5x ។

3. ស្វែងរកជម្រាលនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f (x) \u003d x 4 -x 2 នៅចំណុច x 0 \u003d 1 ។

4. រកមុំទំនោរនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d 2 ។

5. សរសេរសមីការនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

f (x) \u003d x 3 -3x 2 + 2x នៅចំណុចជាមួយ abscissa x 0 \u003d 2 ។

6. ចំនុចផ្លាស់ទីយោងទៅតាមច្បាប់ rectilinear x(t) = 2.5t 2 - 10t +6 ។ ស្វែងរកល្បឿននៃរាងកាយនៅពេល t = 4 (សំរបសំរួលត្រូវបានវាស់ជាម៉ែត្រពេលវេលាគិតជាវិនាទី) ។

7. រុករកមុខងារដោយប្រើដេរីវេ និងបង្កើតក្រាហ្វ៖

ព័ត៌មានអ្នកនិពន្ធ

Osiptsova Galina Petrovna

កន្លែងធ្វើការ, ទីតាំង៖

MBOU "អនុវិទ្យាល័យលេខ 12" នៃទីក្រុង Vyborg គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា។

តំបន់ Leningrad

លក្ខណៈនៃមេរៀន (ថ្នាក់)

កម្រិតនៃការអប់រំ៖

មធ្យមសិក្សា (ពេញលេញ) ការអប់រំទូទៅ

ទស្សនិកជនគោលដៅ៖

គ្រូ (គ្រូ)

ថ្នាក់៖

ធាតុ៖

ពិជគណិត

ធាតុ៖

គណិតវិទ្យា

គោលបំណងនៃមេរៀន៖

ដើម្បីបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងការសិក្សាមុខងារ និងការធ្វើផែនការ។

អភិវឌ្ឍការគិតឡូជីខល សមត្ថភាពក្នុងការវិភាគ សមត្ថភាពក្នុងការបង្កបញ្ហា ដោះស្រាយវា។

បណ្ដុះចំណង់ក្នុងការបញ្ចេញមតិរបស់អ្នក។

ប្រភេទមេរៀន៖

មេរៀននៃការសិក្សា និងការបង្រួបបង្រួមចំណេះដឹងថ្មីៗបឋម

សិស្សក្នុងថ្នាក់៖

សៀវភៅសិក្សា និងមេរៀនដែលបានប្រើ៖

WCU: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A.V. Shevkin

អក្សរសិល្ប៍វិធីសាស្រ្តប្រើប្រាស់៖

M.K. Potapov, A.V. Shevkin "ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា, 10" ។ សៀវភៅសម្រាប់គ្រូ។ M: "ការត្រាស់ដឹង" ឆ្នាំ 2010 ។

ឧបករណ៍ប្រើប្រាស់៖

កុំព្យូទ័រ កាមេរ៉ាឯកសារ តារាងជាមួយក្បួនដោះស្រាយស្រាវជ្រាវមុខងារ កាតកិច្ចការ។

ការពិពណ៌នាសង្ខេប៖

1. វិធីសាស្រ្តសកម្មភាពប្រព័ន្ធក្នុងការសាងសង់មេរៀនពិជគណិត និងចាប់ផ្តើមការវិភាគនៅថ្នាក់ទី 11 ។

មេរៀនពិជគណិត និងចាប់ផ្តើមការវិភាគនៅថ្នាក់ទី១១

(UMC: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A.V. Shevkin)

ប្រធានបទមេរៀន៖ "ការ​អនុវត្ត​ដេរីវេ​នៃ​ការ​បង្កើត​ក្រាហ្វ​នៃ​មុខងារ"

គោលបំណងសំខាន់នៃមេរៀន៖

បង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងការសិក្សាមុខងារ និងការធ្វើផែនការ។

អភិវឌ្ឍសមត្ថភាពក្នុងការបង្កបញ្ហា, ដោះស្រាយវា, ការគិតឡូជីខល, សមត្ថភាពក្នុងការវិភាគ;

បណ្តុះនូវបំណងប្រាថ្នាដើម្បីបញ្ចេញមតិរបស់ពួកគេ។

ឧបករណ៍ និងលិខិតបញ្ជាក់៖កុំព្យូទ័រ កាមេរ៉ាឯកសារ តារាងជាមួយក្បួនដោះស្រាយស្រាវជ្រាវមុខងារ កាតកិច្ចការ។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

ការលើកទឹកចិត្តនៃសកម្មភាពអប់រំ។

ជំរាបសួរបុរស។

តើអ្នកបានរៀនអ្វីខ្លះនៅក្នុងមេរៀនមុន? (របៀបប្រើនិស្សន្ទវត្ថុដើម្បីស្វែងរកចំណុចសំខាន់ ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង ការថយចុះមុខងារ ភាពខ្លាំងរបស់វា តម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត))។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងបន្តស្វែងយល់ពីមុខងារដោយប្រើដេរីវេ។

បច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹង។

នៅលើអេក្រង់អ្នកឃើញក្រាហ្វនៃមុខងារ y=f(x):

តើមុខងារអ្វីខ្លះអាចកំណត់ពីក្រាហ្វ? ដាក់ឈ្មោះពួកគេ។

ចម្លើយ៖ ១) D(f) = R;

2) មុខងារបន្ត

3) មុខងារកើនឡើងនៅលើផ្នែក [-2; 0.5] និងនៅលើចន្លោះពេល និងនៅលើ ហើយដូច្នេះ f "(x)< 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

ចំណុចអតិបរមានៃមុខងារ៖ x ពិន្ទុអប្បបរមា : x=-2 x=3;

4) តម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍មិនមានទេ តូចបំផុតគឺ -2 នៅ = 3;

អ៊ី(f) = [-2; +∞)។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារមួយ? (ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ ប្តូរសញ្ញាពី "+" ទៅជា "-" នោះចំណុចនេះគឺជាចំណុចអតិបរមា ប្រសិនបើដេរីវេពេលឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ ប្តូរសញ្ញាពី

"-" ទៅ "+" បន្ទាប់មកចំណុចនេះគឺជាចំណុចអប្បបរមា ប្រសិនបើដេរីវេមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចសំខាន់ នោះចំណុចសំខាន់នេះមិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។

- បង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង បន្ថយ និង extrema នៃមុខងារ នៅ = f(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយការវិភាគ។

សិស្សបង្កើត ជំហាននៃក្បួនដោះស្រាយត្រូវបានបើកជាបន្តបន្ទាប់នៅលើអេក្រង់។

ក្បួនដោះស្រាយ។

1. ស្វែងរកដែននៃមុខងារ។

2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។

3. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់។

4. សម្គាល់ដែននៃនិយមន័យ និងចំណុចសំខាន់នៅលើបន្ទាត់ពិត។ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តទូទៅនៃចន្លោះពេលកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេនៅចន្លោះពេលដែលទទួលបាន។

5. ដោយប្រើសញ្ញាគ្រប់គ្រាន់ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង ការថយចុះ និងខ្លាំងនៃមុខងារ។

ឥឡូវពិនិត្យមើលមុខងារ f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x ។

គ្រូ​សរសេរ​លើ​ក្តារខៀន នៅពេល​សិស្ស​សរសេរ។ សិស្សធ្វើការក្នុងសៀវភៅកត់ត្រា។

1. D(f) = R, f(x) គឺបន្តនៅលើ D(f)។

   មុខងារ​នេះ​មិន​មែន​ទាំង​សេស ឬ​មិន​តាម​កាលកំណត់។

ចំណុចប្រសព្វ

ជាមួយនឹងអ័ក្ស x៖ (0; 0) និង (-3; 0) ដោយសារតែ

f(x) = 0, ឧ. ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x(x² + 6x + 9) = 0

⅓x (x + 3)² = 0

ជាមួយអ័ក្ស y៖ (0; 0) ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍៖ f "(x) \u003d x² + 4x + 3, D (f "(x)) \u003d R

ចំណុចសំខាន់៖ f "(x) \u003d 0 នៅ x \u003d -3, x \u003d -1 ។

យើងសម្គាល់ចំណុចសំខាន់ៗនៅលើបន្ទាត់លេខ ហើយកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេតាមចន្លោះលទ្ធផល៖

f "(x) > 0 នៅលើ (-∞; -3) និងនៅលើ (-1; +∞); f "(x)< 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

f អតិបរមា= 0 នៅ x = −3, f នាទី= -4 នៅ x = −1

4) មុខងារមិនមានតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមាទេ។

តើអ្នកបានធ្វើអ្វីម្តងទៀត?

តើ​អ្នក​គិត​ថា​កិច្ចការ​បន្ទាប់​ខ្ញុំ​នឹង​ផ្តល់​ជូន​អ្នក​យ៉ាង​ណា?

ដូច្នេះអ្នកបានធ្វើការស្រាវជ្រាវលក្ខណៈពិសេសរបស់អ្នក។ ហើយឥឡូវនេះអ្នកត្រូវការ ដោយប្រើលទ្ធផលនៃការសិក្សា ដើម្បីគ្រោងមុខងារ f (x) \u003d ⅓x³ + 2x² + 3x ។

តើអ្នកនឹងមានការលំបាកណាមួយទេ?

3. ការកំណត់អត្តសញ្ញាណការលំបាកបញ្ហា

គ្រូ​អញ្ជើញ​សិស្ស​ជា​ច្រើន​នាក់​ឱ្យ​បញ្ចេញ​សំឡេង​ពី​ការ​លំបាក។

តើអ្នកត្រូវបំពេញកិច្ចការអ្វី? (ដោយប្រើទិន្នន័យស្រាវជ្រាវ បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ)។

ហេតុអ្វីបានជាអ្នកជួបការលំបាក? (យើង​មិន​ដឹង​ពី​របៀប​គូស​ក្រាហ្វ​តាម​ការ​សិក្សា​អំពី​អនុគមន៍)។

តើអ្នកប្រើអ្វីសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវលក្ខណៈពិសេស? (ដេរីវេ) ។

4. ការកសាងគម្រោងសម្រាប់ការចេញពីការលំបាកមួយ។.

បញ្ជាក់គោលបំណងនៃសកម្មភាពរបស់អ្នក។ (រៀនពីរបៀបគូរក្រាហ្វដោយប្រើការសិក្សាអំពីមុខងារដោយជំនួយពីដេរីវេ)។

បង្កើតប្រធានបទនៃមេរៀន។ (ដោយ​ប្រើ​ដេរីវេ​ទៅ​ក្រាហ្វ​មុខងារ​គ្រោង)។

ប្រធានបទនៃមេរៀនត្រូវបានបង្ហាញនៅលើក្តារខៀន។

ដូច្នេះ អ្នក​កំពុង​មាន​បញ្ហា​ក្នុង​ការ​រៀបចំ​ក្រាហ្វិក​មុខងារ។ តើ​អ្នក​បាន​ប្រើ​អ្វី​ខ្លះ​ដើម្បី​រៀបចំ​ក្រាហ្វិក​មុខងារ​ពីមុន​មក? (តារាងដែលមានចំណុចខ្លះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រាហ្វ)។

ប៉ុន្តែជាញឹកញាប់ចំណុចមិនផ្តល់រូបភាពគោលបំណងនៃក្រាហ្វនោះទេ។ ហើយឥឡូវនេះដោយដឹងពីក្បួនដោះស្រាយការស្រាវជ្រាវមុខងារ តើអ្នកនឹងបញ្ចូលទិន្នន័យអ្វីខ្លះទៅក្នុងតារាង? (អ្នកត្រូវបញ្ចូលលទ្ធផលនៃការសិក្សាមុខងារទៅក្នុងតារាង បន្ទាប់មកគូរក្រាហ្វពីតារាង)។

5. ការអនុវត្តគម្រោងដែលបានសាងសង់

តុទទេមួយបើកនៅលើក្តារ៖

អ្នកបានពិនិត្យមុខងារ f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x ។

រាយជំហានដែលអ្នកបានធ្វើដើម្បីរុករកមុខងារ។ (តារាងបំពេញនៅពេលអ្នកទៅ)

លទ្ធផលដែលទទួលបានក្នុងតារាងត្រូវបានផ្ទេរទៅយន្តហោះកូអរដោនេ។

តើមានអ្វីទៀតដែលអាចធ្វើដើម្បីធ្វើឱ្យក្រាហ្វកាន់តែត្រឹមត្រូវ? (អ្នកអាចរកឃើញចំណុចបន្ថែមជាច្រើនដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍)។

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x លេចឡើងនៅលើក្តារ។

អ្នក​បាន​កំណត់​មុខងារ​មួយ។

តើអ្នកបានធ្វើវាដោយរបៀបណា? (យើង​បាន​បង្កើត​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ក្រាហ្វ)។ (ជាថ្មីម្តងទៀត សូមនិយាយអំពីដំណាក់កាលនៃការសិក្សាមុខងារ និងការបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា)។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់គូរក្រាហ្វដោយប្រើដេរីវេវ..

1. ឃ (f), បន្តនៃ f(x);
2. f "(x);
3. f "(x) = 0, f "(x) មិនមានទេ;

ពិន្ទុបន្ថែម;

6. ការបង្រួបបង្រួមបឋមនៃចំណេះដឹងដែលទទួលបាន។

តើត្រូវធ្វើអ្វីឥឡូវនេះ? (អ្នកត្រូវរៀនពីរបៀបប្រើ algorithm ដើម្បីបង្កើតក្រាហ្វ)។

ឥឡូវគូរក្រាហ្វនៃមុខងារ។ f(x) = X + .

សិស្ស​ម្នាក់​ធ្វើ​ការ​នៅ​ក្តារខៀន ដោយ​បញ្ចេញ​មតិ​លើ​សកម្មភាព​របស់​គាត់ សិស្ស​ម្នាក់​ទៀត​ធ្វើ​ការ​នៅ​ក្នុង​សៀវភៅ​កត់ត្រា។

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f (x) គឺបន្តនៅលើ D (f) ។
2. ដេរីវេនៃអនុគមន៍៖ f "(x) \u003d 1 - 4 / x² ។

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ∞) ។

ចំណុចសំខាន់៖ \u003d 0 សម្រាប់ x \u003d 2 និង x \u003d -2 មិនមានចំណុចណាដែល f "() មិនមានទេ។

5. ចំណុចបន្ថែម៖

6. មុខងារក្រាហ្វ៖

ព្យាយាមគូរក្រាហ្វដោយខ្លួនឯង។

ក្រាហ្វមួយលេចឡើងនៅលើអេក្រង់សម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់។

7. ការងារឯករាជ្យជាមួយការពិនិត្យដោយខ្លួនឯងយោងទៅតាមគំរូ

ហើយឥឡូវនេះ សូមពិនិត្យមើលពីរបៀបដែលអ្នកម្នាក់ៗយល់ពីរបៀបអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយដែលបានសាងសង់។

	ជម្រើសទី 1 ។ រុករកមុខងារមួយ ហើយគូរក្រាហ្វរបស់វា។ ជម្រើសទី 2 ។ យោងតាមការសិក្សាដែលបានធ្វើឡើងដោយផ្នែក បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ

សិស្សបំពេញកិច្ចការដោយខ្លួនឯង បន្ទាប់ពីបញ្ចប់ការងារ សិស្សប្រៀបធៀបការងាររបស់ពួកគេជាមួយនឹងគំរូលម្អិត៖

ជម្រើសទី 1 .

1) ឃ(f)=រ, មុខងារគឺបន្ត។

2) y | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; ឃ(f | ) = រ

X 1 = 0; X 2 = 2

¦ / ( X)

ជម្រើសទី 2 ។

1) ឃ(f)=រ, មុខងារគឺបន្ត។

2) y¢ = ៦ x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; ឃ(f | ) = រ

X 1 = − 1; X 2 = 1

កិច្ចការ​ណា​ដែល​បង្ក​ឱ្យ​មាន​ការ​លំបាក?

- តើនៅជំហានណានៃក្បួនដោះស្រាយ?

- តើអ្វីជាមូលហេតុនៃបញ្ហា?

- តើអ្នកណាបានបំពេញភារកិច្ចត្រឹមត្រូវ?

8. ការដាក់បញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធនៃចំណេះដឹង និងពាក្យដដែលៗ។

ឥឡូវ​យើង​មើល​ថា​តើ​កិច្ចការ​ណា​ខ្លះ​នៃ​ការ​ប្រឡង​ដែល​អ្នក​អាច​អនុវត្ត​ចំណេះ​ដឹង​ដែល​ទទួល​បាន។

ដោះស្រាយ​បញ្ហា:

1. ស្វែងរកសំណុំនៃតម្លៃមុខងារ។

2. នៅតម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ រសមីការ = ទំមានឫស ២ ឫស ១ គ្មានឫស?

1) ចម្លើយ៖ (−¥; − 4] U)