ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ y'' + (x) y' + (x) y = f (x) ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

វាអាចត្រូវបានរកឃើញពីដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ y'' + (x) y' + (x) y = 0 នៃការប្រែប្រួលមួយចំនួននៃអថេរបំពាន

ជំនួសក្នុង (5.1)

+ + + + (x) + +

(x) += f(x)

+ + + + (x) +

(x) += f(x)

ដោយការរួមបញ្ចូលយើងរកឃើញនិង

បន្ទាប់មកដោយប្រើរូបមន្ត (5.6) យើងបង្កើតដំណោះស្រាយទូទៅ

ទ្រឹស្តីបទ (៥.២)៖ កំណត់ដំណោះស្រាយ

ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ y'' + (x) y' + (x) y = f (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ៖

f(x) = (x) + (x) ,

ហើយអ្នកគឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការ

+ (x) y' + (x) y = (x)

+ (x) y' + (x) y = (x)

មុខងារនោះ។

គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។

() ' ' + ) ' + ) ' = ' ' + + () ' ' + ) ' + = (x) + (x) = f (x)

10. សមីការ Bernoulli ។

11. សមីការ Riccati ។

សមីការ រីកាទីគឺជាផ្នែកមួយនៃការចាប់អារម្មណ៍បំផុត។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល nonlinear នៃលំដាប់ទីមួយ. វាត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់៖

កន្លែងណា ក(x), ខ(x), គ(x) គឺជាមុខងារបន្តអាស្រ័យលើអថេរ x.

សមីការ Riccati កើតឡើងនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា (ឧទាហរណ៍នៅក្នុងធរណីមាត្រពិជគណិត និងក្នុងទ្រឹស្តីនៃការគូសវាសស្របគ្នា) និងរូបវិទ្យា។ វាក៏កើតឡើងជាញឹកញាប់នៅក្នុងបញ្ហាគណិតវិទ្យាដែលបានអនុវត្ត។

សមីការខាងលើត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Riccati ទូទៅ. ដំណោះស្រាយរបស់គាត់គឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទដូចខាងក្រោមៈ

ទ្រឹស្តីបទ៖ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានដឹង y 1 នៃសមីការ Riccati បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ដោយ

ជាការពិតការជំនួសដំណោះស្រាយ y=y 1 + យូនៅក្នុងសមីការ Riccati យើងមាន៖

ពាក្យ​គូស​បន្ទាត់​ពី​ខាង​ឆ្វេង និង​ស្តាំ​អាច​ត្រូវ​បាន​កាត់​ចេញ​ដោយ​សារ​តែ y 1 គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលបំពេញសមីការ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់អនុគមន៍ យូ(x):

វ៉ារ្យ៉ង់ទីពីរនៃ rikkati (សរសេរតែមួយប៉ុណ្ណោះ)

ជាទូទៅ មិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង quadratures

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេដឹង នោះសមីការ Riccati អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការ Bernoulli

ដើម្បីធ្វើដូចនេះសូមធ្វើការជំនួស៖

P(x) + p (x) z + q (x) * + q (x) * 2 z + q (x) = f (x)

P(x) z + 2q (x) z + q(x) = 0

Z(p(x) + 2q(x)) + q(x) = 0

n=2 ប៊ែរណូលី

12. សមីការ Lagrange.:

13. សមីការ Clairaut ។

14. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងទីមួយ។ ករណីទម្លាក់ចំណាត់ថ្នាក់.

15. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី n ។ វ៉ុនស្គីន។ ប្រព័ន្ធការសម្រេចចិត្តជាមូលដ្ឋាន។

16. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាជាមួយមេគុណថេរ។ សមីការលក្ខណៈ៖

ករណីពិសេសនៃភាពដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរខាងលើ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺ LODEs ជាមួយថេរ

មេគុណ។

17. សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ។ ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយក្នុងករណីសមីការដែលមាន quasi-polynomial៖

អយល័រ quasipolynomial:ចូរយើងពិចារណាលំដាប់ទី 2 LIDE ដែលមានមេគុណថេរ៖ y'' + p y' + q y = f(x) (5.7) អ្នក​អាច​ស្វែង​រក​ដំណោះ​ស្រាយ​ជាក់​លាក់​ដោយ​វិធី Lagrange ប៉ុន្តែ​ក្នុង​ករណី​ខ្លះ​អ្នក​អាច​រក​ឃើញ​វា​កាន់​តែ​ងាយ​ស្រួល។​ ពិចារណា​ករណី​ទាំង​នេះ៖ ១. f(x) = , -polynomial of degree n. 2.f(x) = ( cos β x + (x) sin β x) ។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា អយល័រ quasi-polynomial ។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ សូមសរសេរទម្រង់ដែលរំពឹងទុកនៃដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមេគុណដែលមិនអាចកំណត់បាន ហើយជំនួសវាក្នុង eq ។ (5.1) ។ ពីអត្តសញ្ញាណដែលទទួលបាន រកតម្លៃនៃមេគុណ។ ករណីទី១ ៖ ផ្នែកខាងស្តាំនៃ (5.7) មានទម្រង់៖ f(x) = α R -polynomial of degree n ។ សមីការ (៥.៧) នឹងត្រូវបានសរសេរជា៖ y’ + p y’ + q y = (5.8) ក្នុងករណីនេះ យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយក្នុងទម្រង់៖ = Qn (x) (5.9) ដែល r ជាចំនួន = គុណនៃ α ជាឫសនៃសមីការលក្ខណៈ + p k + q = 0, i.e. r ជាលេខដែលបង្ហាញពីចំនួនដង α ជាឫសនៃ ur-i + p k + q = 0 ចំណែក Qn (x) = + +…. + A n គឺជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ n សរសេរដោយមេគុណមិនកំណត់ Ai (i= 0, 1, 2,…n) α , r = 0 ហើយដំណោះស្រាយត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ = Q n (x) B) សូមឱ្យ α ជាឫសតែមួយ (សាមញ្ញ) នៃសមីការលក្ខណៈ + p k + q = 0, α = r = 1, = x Q n (x) C) ឲ្យ α = ជាឫស 2 ដងនៃសមីការលក្ខណៈ + p k + q = 0 , r = 2 = Q n (x) ករណីទី២៖ ផ្នែកខាងស្តាំនៃ (5.7) មានទម្រង់៖ f(x) = () cosβx + Q m (x) sin β (x), Where ) និង Qm (x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេ n និង m រៀងគ្នា α និង β ជាចំនួនពិត បន្ទាប់មកសមីការ (5.7) ត្រូវបានសរសេរជា y'' + py' + qy = () cosβx + Qm (x) sinxβ) (5.10) ក្នុងករណីនេះ ដំណោះស្រាយពិសេសគឺ: = * (Ml (x ) cosβx + N l (x ) sin βx) (5.11) r-number ស្មើនឹងពហុគុណ (α + βi) ជាឫសនៃសមីការ៖ + pk + q = 0, Me (x) និង Ne (x) គឺ ពហុនាមនៃដឺក្រេ l ជាមួយមេគុណមិនកំណត់។ l គឺជាកំរិតខ្ពស់បំផុតនៃពហុនាម ) និង Qm (x), l = max(n,m) ។ ចំណាំ 1: បន្ទាប់ពីការជំនួសអនុគមន៍ (5.11) ទៅជា (5.10) ពហុនាមនៅពីមុខត្រីកោណនៃឈ្មោះដូចគ្នាគឺស្មើគ្នា។ មុខងារនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃ eq ។ ចំណាំ ២ ៖ រូបមន្ត (5.11) ក៏ត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់ ) 0 និង Qm (x) 0 ។ ចំណាំ ៣ ៖ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (5.7) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍នៃទម្រង់ 1 និង 2 នោះដើម្បីស្វែងរកមួយគួរតែប្រើទ្រឹស្តីបទ (5.2) លើការដាក់ដំណោះស្រាយ។ ទ្រឹស្តីបទ (៥.២)៖ ស្តីពីការដាក់ដំណោះស្រាយ៖ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (5.1) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ 2៖ f(x) = (x) + (x) ហើយ u គឺជាដំណោះស្រាយមួយផ្នែកនៃសមីការ + (x) y ' + (x) y = (x) ។ ) + (x) y ' + (x) y = (x) ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ទី LIDE (n មេគុណថេរ និងផ្នែកខាងស្តាំនៃទម្រង់ពិសេស។ ចូរយើងពិចារណាលំដាប់ទី LIDE + (x) + (x) + … + (x) y = f(x) ដែល (x), …, (x), f(x) ត្រូវបានផ្តល់ដោយអនុគមន៍បន្តនៅលើ ចន្លោះពេល (a, b) ។ ឆ្លើយតប ភាពដូចគ្នា ur-e + (x) + ... + (x)y = 0 . ដំណោះស្រាយទូទៅ y នៃលំដាប់ n-th LNDE = ផលបូកនៃដំណោះស្រាយពិសេសនៃ NU និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃ OU y= ។ អាចត្រូវបានរកឃើញប្រសិនបើដំណោះស្រាយទូទៅនៃ OU = + + ... + ត្រូវបានគេស្គាល់ថា 0 + + ... + = 0 + + ... + = f (x) សម្រាប់សមីការ y'' + + ... + y = f (x) R ដែល f (x) គឺជាអយល័រ quasi-polynomial ដូចគ្នានឹង n=2 ។

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរបំពាន

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្តសម្រាប់បង្កើតដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ

ក ន (t)z (ន) (t) + ក ន − 1 (t)z (ន − 1) (t) + ... + ក 1 (t)z"(t) + ក 0 (t)z(t) = f(t)

មាននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរបំពាន គ kនៅក្នុងការសម្រេចចិត្តទូទៅ

z(t) = គ 1 z 1 (t) + គ 2 z 2 (t) + ... + គ ន z ន (t)

សមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា។

ក ន (t)z (ន) (t) + ក ន − 1 (t)z (ន − 1) (t) + ... + ក 1 (t)z"(t) + ក 0 (t)z(t) = 0

មុខងារជំនួយ គ k (t) ដែលនិស្សន្ទវត្ថុពេញចិត្តនឹងប្រព័ន្ធពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ (1) គឺជា Wronskian នៃមុខងារ z 1 ,z 2 ,...,z ន ដែលធានានូវភាពអាចដោះស្រាយបានតែមួយគត់របស់វាទាក់ទងនឹង .

ប្រសិនបើ antiderivatives សម្រាប់យកតាមតម្លៃថេរនៃថេរនៃការរួមបញ្ចូល នោះមុខងារ

គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរដើម។ ការរួមបញ្ចូលនៃសមីការមិនដូចគ្នានៅក្នុងវត្តមាននៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា quadratures ។

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្តសម្រាប់បង្កើតដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរក្នុងទម្រង់ធម្មតាវ៉ិចទ័រ

មាននៅក្នុងការសាងសង់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ (1) ក្នុងទម្រង់

កន្លែងណា Z(t) គឺជាមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា សរសេរជាម៉ាទ្រីស ហើយអនុគមន៍វ៉ិចទ័រ ដែលជំនួសវ៉ិចទ័រនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនង។ ដំណោះស្រាយពិសេសដែលចង់បាន (ជាមួយនឹងតម្លៃសូន្យដំបូងនៅ t = t 0 មានទម្រង់

សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណថេរ កន្សោមចុងក្រោយត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ម៉ាទ្រីស Z(t)Z− 1 (τ)បានហៅ ម៉ាទ្រីស Cauchyប្រតិបត្តិករ អិល = ក(t) .

តំណ​ភ្ជាប់​ខាងក្រៅ

• exponenta.ru - សេចក្តីយោងទ្រឹស្តីជាមួយឧទាហរណ៍

មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។

ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរនៃលំដាប់ទី 0 បំពាន៖
(1) .
វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលថេរ ដែលយើងពិចារណាសម្រាប់សមីការលំដាប់ទីមួយ ក៏អាចអនុវត្តបានចំពោះសមីការនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងនេះផងដែរ។

ដំណោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តជាពីរដំណាក់កាល។ នៅដំណាក់កាលដំបូង យើងបោះបង់ផ្នែកខាងស្តាំ ហើយដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានដំណោះស្រាយដែលមាន n arbitrary constants ។ នៅជំហានទីពីរយើងផ្លាស់ប្តូរចំនួនថេរ។ នោះគឺយើងពិចារណាថាថេរទាំងនេះគឺជាមុខងារនៃអថេរ x និងស្វែងរកទម្រង់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះ។

ទោះបីជាយើងកំពុងពិចារណាសមីការជាមួយមេគុណថេរនៅទីនេះ ប៉ុន្តែ វិធីសាស្ត្រ Lagrange ក៏អាចអនុវត្តបានផងដែរក្នុងការដោះស្រាយសមីការមិនដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ. ចំពោះបញ្ហានេះ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាត្រូវតែដឹង។

ជំហានទី 1. ដំណោះស្រាយនៃសមីការ homogeneous

ដូចនៅក្នុងករណីនៃសមីការលំដាប់ទីមួយ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous ជាដំបូងដែលសមីការផ្នែក inhomogeneous ត្រឹមត្រូវទៅសូន្យ៖
(2) .
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការបែបនេះមានទម្រង់៖
(3) .
នេះគឺជាអថេរដែលបំពាន - n ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការ homogeneous (2) ដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ។

ជំហាន 2. បំរែបំរួលនៃថេរ - ការជំនួសថេរដោយអនុគមន៍

នៅក្នុងជំហានទីពីរ យើងនឹងដោះស្រាយជាមួយនឹងការប្រែប្រួលនៃថេរ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត យើងនឹងជំនួសថេរដោយមុខងារនៃអថេរ x :
.
នោះគឺយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើម (1) ក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
(4) .

ប្រសិនបើយើងជំនួស (4) ទៅជា (1) យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមួយសម្រាប់អនុគមន៍ n ។ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចភ្ជាប់មុខងារទាំងនេះជាមួយនឹងសមីការបន្ថែម។ បន្ទាប់មកអ្នកទទួលបានសមីការ n ដែលអ្នកអាចកំណត់មុខងារ n ។ សមីការបន្ថែមអាចត្រូវបានសរសេរតាមវិធីផ្សេងៗ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងធ្វើវាតាមរបៀបដែលដំណោះស្រាយមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ ពេល​ធ្វើ​ការ​ខុស​គ្នា អ្នក​ត្រូវ​ប្រើ​ពាក្យ​សូន្យ​ដែល​មាន​ដេរីវេនៃ​មុខងារ។ ចូរយើងបង្ហាញរឿងនេះ។

ដើម្បីជំនួសដំណោះស្រាយដែលបានស្នើឡើង (4) ទៅក្នុងសមីការដើម (1) យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ n ដំបូងនៃអនុគមន៍ដែលសរសេរក្នុងទម្រង់ (4)។ ភាពខុសគ្នា (4) ដោយការដាក់ពាក្យ ច្បាប់នៃការបែងចែកផលបូកនិងធ្វើការ៖
.
តោះសមាជិកក្រុម។ ជាដំបូង យើងសរសេរពាក្យជាមួយនឹងដេរីវេនៃ ហើយបន្ទាប់មកពាក្យដែលមានដេរីវេនៃ :

.
យើងដាក់លក្ខខណ្ឌដំបូងលើមុខងារ៖
(5.1) .
បន្ទាប់មកកន្សោមសម្រាប់ដេរីវេទី 1 ទាក់ទងនឹង នឹងមានទម្រង់សាមញ្ញជាងនេះ៖
(6.1) .

ដូចគ្នាដែរ យើងរកឃើញដេរីវេទី ២៖

.
យើងដាក់លក្ខខណ្ឌទីពីរលើមុខងារ៖
(5.2) .
បន្ទាប់មក
(6.2) .
ល។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ថែម យើងយកលក្ខខណ្ឌដែលមានដេរីវេនៃអនុគមន៍ទៅជាសូន្យ។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសសមីការបន្ថែមខាងក្រោមសម្រាប់អនុគមន៍៖
(5.k) ,
បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុដំបូងដែលទាក់ទងនឹង នឹងមានទម្រង់សាមញ្ញបំផុត៖
(6.k) .
នៅទីនេះ

យើងរកឃើញដេរីវេទី 9៖
(6.n)
.

យើងជំនួសសមីការដើម (1)៖
(1) ;






.
យើងពិចារណាថាមុខងារទាំងអស់បំពេញសមីការ (2)៖
.
បន្ទាប់មកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដែលមានផ្តល់ឱ្យសូន្យ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖
(7) .

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ៖
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងរកឃើញកន្សោមសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុជាមុខងារនៃ x ។ ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន៖
.
នេះគឺជាចំនួនថេរដែលលែងពឹងផ្អែកលើ x ។ ជំនួស (4) យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដើម។

ចំណាំថាយើងមិនដែលប្រើការពិតដែលថាមេគុណ a i គឺថេរដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃដេរីវេ។ ដូច្នេះ វិធីសាស្ត្រ Lagrange អាចអនុវត្តបានដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនដូចគ្នាលីនេអ៊ែរប្រសិនបើប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នា (2) ត្រូវបានគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការដោយវិធីសាស្ត្របំរែបំរួលនៃថេរ (Lagrange) ។

អប្បបរមាទ្រឹស្តី

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល មានវិធីសាស្រ្តមួយដែលអះអាងថាមានកម្រិតសកលខ្ពស់គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ទ្រឹស្តីនេះ។
យើងកំពុងនិយាយអំពីវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ដែលអាចអនុវត្តបានចំពោះដំណោះស្រាយនៃថ្នាក់ផ្សេងៗនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងពួកវា។
ប្រព័ន្ធ។ នេះពិតជាករណីនៅពេលដែលទ្រឹស្តី - ប្រសិនបើអ្នកយកភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ចេញពីតង្កៀប - គឺតិចតួចបំផុត ប៉ុន្តែអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសម្រេចបាន
លទ្ធផលសំខាន់ ដូច្នេះការផ្តោតសំខាន់នឹងផ្តោតលើឧទាហរណ៍។

គំនិតទូទៅនៃវិធីសាស្រ្តគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការបង្កើត។ អនុញ្ញាតឱ្យសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ប្រព័ន្ធនៃសមីការ) ពិបាកក្នុងការដោះស្រាយឬសូម្បីតែមិនអាចយល់បាន,
របៀបដោះស្រាយវា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅពេលដែលពាក្យមួយចំនួនត្រូវបានដកចេញពីសមីការ វាត្រូវបានដោះស្រាយ។ បន្ទាប់មកពួកគេដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ
សមីការ (ប្រព័ន្ធ) ទទួលបានដំណោះស្រាយដែលមានចំនួនជាក់លាក់នៃថេរបំពាន - អាស្រ័យលើលំដាប់នៃសមីការ (ចំនួន
សមីការក្នុងប្រព័ន្ធ)។ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានសន្មត់ថាថេរនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញមិនមែនជាថេរពិតប្រាកដទេដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញ
ត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការដើម (ប្រព័ន្ធ) សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ឬប្រព័ន្ធសមីការ) ត្រូវបានទទួលដើម្បីកំណត់ "ថេរ" ។
មានភាពជាក់លាក់ជាក់លាក់មួយក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្តចំពោះបញ្ហាផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែទាំងនេះគឺជាព័ត៌មានលម្អិតរួចហើយដែលនឹងត្រូវបាន
បង្ហាញជាមួយឧទាហរណ៍។

ចូរយើងពិចារណាដោយឡែកពីគ្នានូវដំណោះស្រាយនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង, i.e. សមីការនៃទម្រង់
.
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការអនាមិកលីនេអ៊ែរ គឺជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់។
សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នាត្រូវបានរកឃើញរួចហើយ ពោលគឺប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ (FSR) ត្រូវបានសាងសង់។
. បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous គឺ .
វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់ណាមួយនៃសមីការ inhomogeneous ។ ចំពោះបញ្ហានេះ ថេរត្រូវបានចាត់ទុកថាអាស្រ័យលើអថេរ។
បន្ទាប់អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
.
ទ្រឹស្តីធានាថាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតនេះទាក់ទងនឹងដេរីវេនៃអនុគមន៍មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
នៅពេលស្វែងរកមុខងារដោយខ្លួនឯង ថេរសមាហរណកម្មមិនលេចឡើងទេ៖ បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ដំណោះស្រាយណាមួយត្រូវបានស្វែងរក។

នៅក្នុងករណីនៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយនៃទម្រង់

ក្បួនដោះស្រាយស្ទើរតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។ ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក FSR នៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការ បង្កើតម៉ាទ្រីសជាមូលដ្ឋាន
ប្រព័ន្ធ ជួរឈរដែលជាធាតុនៃ FSR ។ បន្ទាប់គឺសមីការ
.
ការដោះស្រាយបញ្ហាប្រព័ន្ធ យើងកំណត់មុខងារ ដូច្នេះការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះប្រព័ន្ធដើម
(ម៉ាទ្រីសមូលដ្ឋានត្រូវបានគុណដោយជួរឈរលក្ខណៈពិសេសដែលបានរកឃើញ) ។
យើងបន្ថែមវាទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃ FSR ដែលបានរកឃើញរួចហើយ។
ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដើមត្រូវបានទទួល។

ឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍ ១ សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ.

ចូរយើងពិចារណាសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា (យើងកំណត់មុខងារដែលត្រូវការដោយ :
.
សមីការនេះត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយការបំបែកអថេរ៖

.
ឥឡូវនេះយើងតំណាងឱ្យដំណោះស្រាយនៃសមីការដើមនៅក្នុងទម្រង់ កន្លែងដែលមុខងារមិនទាន់ត្រូវបានរកឃើញ។
យើងជំនួសប្រភេទនៃដំណោះស្រាយនេះទៅក្នុងសមីការដើម៖
.
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញពាក្យទីពីរនិងទីបីនៅខាងឆ្វេងលុបចោលគ្នាទៅវិញទៅមក - នេះគឺជាលក្ខណៈនៃវិធីសាស្រ្តនៃការប្រែប្រួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត។

នៅទីនេះរួចទៅហើយ - ជាការពិតថេរតាមអំពើចិត្ត។ ដូច្នេះ
.

ឧទាហរណ៍ ២ សមីការ Bernoulli.

យើងធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាទៅនឹងឧទាហរណ៍ទីមួយ - យើងដោះស្រាយសមីការ

វិធីសាស្រ្តបំបែកនៃអថេរ។ វានឹងប្រែជាចេញ ដូច្នេះយើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃសមីការដើមក្នុងទម្រង់
.
ជំនួសមុខងារនេះទៅក្នុងសមីការដើម៖
.
ហើយម្តងទៀតមានការកាត់:
.
នៅទីនេះអ្នកត្រូវចងចាំដើម្បីធ្វើឱ្យប្រាកដថានៅពេលបែងចែកដោយដំណោះស្រាយមិនបាត់បង់ទេ។ ហើយ​ករណី​ត្រូវ​នឹង​ដំណោះស្រាយ​ដើម
សមីការ។ ចូរយើងចងចាំគាត់។ ដូច្នេះ
.
តោះសរសេរ។
នេះគឺជាដំណោះស្រាយ។ នៅពេលសរសេរចម្លើយ អ្នកក៏គួរចង្អុលបង្ហាញដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញមុននេះផងដែរ ព្រោះវាមិនត្រូវគ្នានឹងតម្លៃចុងក្រោយណាមួយឡើយ។
អថេរ។

ឧទាហរណ៍ ៣ សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង.

យើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាសមីការនេះអាចដោះស្រាយបានកាន់តែសាមញ្ញ ប៉ុន្តែវាងាយស្រួលបង្ហាញវិធីសាស្ត្រនៅលើវា។ ទោះបីជាមានគុណសម្បត្តិមួយចំនួន
វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរដែលបំពានក៏មានវានៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះដែរ។
ដូច្នេះ អ្នកត្រូវចាប់ផ្តើមជាមួយ FSR នៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នា។ សូមចាំថាដើម្បីស្វែងរក FSR លក្ខណៈ
សមីការ
.
ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា។
.
ថេរដែលរួមបញ្ចូលនៅទីនេះគឺត្រូវផ្លាស់ប្តូរ។ ការចងក្រងប្រព័ន្ធ

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត ឬវិធីសាស្ត្រ Lagrange គឺជាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ និងសមីការ Bernoulli ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយគឺជាសមីការនៃទម្រង់ y'+p(x)y=q(x)។ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំគឺសូន្យ៖ y'+p(x)y=0 នោះនេះគឺជាលីនេអ៊ែរ ដូចគ្នាសមីការលំដាប់ទី១។ ដូច្នោះហើយ សមីការដែលមានផ្នែកខាងស្តាំមិនសូន្យ y'+p(x)y=q(x), — ខុសគ្នាសមីការលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទី 1 ។

វិធីសាស្ត្របំរែបំរួលថេរដោយបំពាន (វិធីសាស្ត្រ Lagrange) រួមមានដូចខាងក្រោមៈ

1) យើងកំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការដូចគ្នា y'+p(x)y=0: y=y*។

2) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ C ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមិនមែនជាថេរ ប៉ុន្តែមុខងារនៃ x: C = C(x) ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃដំណោះស្រាយទូទៅ (y*)' ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលសម្រាប់ y* និង (y*)' ទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ពីសមីការលទ្ធផល យើងរកឃើញអនុគមន៍ С(x)។

3) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous ជំនួសឱ្យ C យើងជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ C (x) ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍អំពីវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត។ ចូរយើងយកភារកិច្ចដូចគ្នាដូចនៅក្នុង ប្រៀបធៀបដំណើរនៃដំណោះស្រាយ ហើយត្រូវប្រាកដថាចម្លើយដែលទទួលបានគឺដូចគ្នា។

1) y'=3x-y/x

ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ (ផ្ទុយពីវិធីសាស្ត្រ Bernoulli ដែលយើងត្រូវការសញ្ញាណដើម្បីមើលថាសមីការគឺលីនេអ៊ែរ)។

y'+y/x=3x (I)។ ឥឡូវ​យើង​ទៅ​តាម​គម្រោង។

1) យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា y'+y/x=0 ។ នេះគឺជាសមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ តំណាង y'=dy/dx, ជំនួស៖ dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x ។ យើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ dx ហើយចែកនឹង xy≠0៖ dy/y=-dx/x ។ យើងរួមបញ្ចូលៈ

2) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅដែលទទួលបាននៃសមីការដូចគ្នា យើងនឹងពិចារណា С មិនមែនជាថេរទេ ប៉ុន្តែជាមុខងារនៃ x: С = С (x) ។ ពី​ទីនេះ

កន្សោមលទ្ធផលត្រូវបានជំនួសដោយលក្ខខណ្ឌ (I)៖

យើងរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមីការ៖

នៅទីនេះ C គឺជាចំនួនថេរថ្មីរួចទៅហើយ។

3) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា y=C/x ដែលយើងចាត់ទុក С=С(x) នោះគឺ y=C(x)/x ជំនួសឱ្យ С(x) យើងជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ x³ +C៖ y=(x³ +C)/x ឬ y=x²+C/x។ យើង​បាន​ចម្លើយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ពេល​ដោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Bernoulli។

ចម្លើយ៖ y=x²+C/x។

2) y' + y = cosx ។

នៅទីនេះសមីការត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ស្តង់ដាររួចហើយ មិនចាំបាច់បំប្លែងទេ។

1) យើងដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា y'+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx ។ យើងរួមបញ្ចូលៈ

ដើម្បីទទួលបានសញ្ញាណដែលងាយស្រួលជាង យើងនឹងយកនិទស្សន្តទៅជាថាមពល C ជា C ថ្មី៖

ការបំប្លែងនេះត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកដេរីវេ។

2) នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅដែលទទួលបាននៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា យើងចាត់ទុក С មិនមែនជាថេរទេ ប៉ុន្តែជាមុខងារនៃ x: С=С(x)។ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ។

កន្សោមលទ្ធផល y និង y ត្រូវបានជំនួសក្នុងលក្ខខណ្ឌ៖

គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ

យើងធ្វើសមាហរណកម្មផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ ដោយប្រើរូបមន្តធ្វើសមាហរណកម្មដោយផ្នែក យើងទទួលបាន៖

នៅទីនេះ C លែងជាមុខងារទៀតហើយ ប៉ុន្តែជាថេរធម្មតា។

3) ចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ homogeneous

យើងជំនួសមុខងារដែលបានរកឃើញ С(x)៖

យើង​បាន​ចម្លើយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ពេល​ដោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Bernoulli។

វិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃថេរដែលបំពានក៏អាចអនុវត្តបានចំពោះការដោះស្រាយ។

y'x+y=-xy²។

យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ៖ y'+y/x=-y² (II) ។

1) យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា y'+y/x=0 ។ dy/dx=-y/x ។ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ dx ហើយចែកដោយ y: dy/y=-dx/x ។ ឥឡូវ​យើង​រួម​បញ្ចូល៖

យើងជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ (II)៖

ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបានសម្រាប់ C និង x៖

នៅទីនេះ C គឺជាថេរធម្មតារួចទៅហើយ។ នៅក្នុងដំណើរការនៃការធ្វើសមាហរណកម្ម ជំនួសឱ្យ C(x) យើងគ្រាន់តែសរសេរ C ដើម្បីកុំឱ្យលើសទម្ងន់កំណត់។ ហើយនៅទីបញ្ចប់ យើងបានត្រលប់ទៅ C(x) ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំ C(x) ជាមួយ C ថ្មី។

3) យើងជំនួសមុខងារដែលបានរកឃើញ С(x) ទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការដូចគ្នា y=C(x)/x:

យើង​បាន​ចម្លើយ​ដូច​គ្នា​នឹង​ពេល​ដោះស្រាយ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ Bernoulli។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការធ្វើតេស្តដោយខ្លួនឯង៖

1. ចូរសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារ៖ y'-2y=x ។

1) យើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា y'-2y = 0 ។ y'=dy/dx ដូច្នេះ dy/dx=2y គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ dx ចែកដោយ y និងរួមបញ្ចូល៖

ពីទីនេះយើងរកឃើញ y:

យើងជំនួសកន្សោមសម្រាប់ y ​​និង y ទៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ (សម្រាប់ភាពសង្ខេប យើងនឹងបញ្ចូល C ជំនួសឱ្យ C (x) និង C' ជំនួសឱ្យ C "(x)):

ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលនៅជ្រុងខាងស្តាំ យើងប្រើរូបមន្ត integration-by-parts៖

ឥឡូវនេះយើងជំនួស u, du និង v ទៅក្នុងរូបមន្ត៖

នៅទីនេះ C = const ។

3) ឥឡូវនេះយើងជំនួសចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយនៃភាពដូចគ្នា។