អថេរចៃដន្យត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ។ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យត្រូវបាននិយាយអំពីពេលដែលវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការទស្សន៍ទាយដោយមិនច្បាស់លាស់នូវលទ្ធផលដែលអាចទទួលបានក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់។

ឧបមាថាយើងកំពុងបោះកាក់ធម្មតា។ ជាធម្មតាលទ្ធផលនៃនីតិវិធីនេះមិនជាក់លាក់ជាក់លាក់ទេ។ គេ​អាច​និយាយ​ដោយ​ប្រាកដ​ថា​រឿង​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​រឿង​ពីរ​នឹង​កើត​ឡើង៖ ក្បាល ឬ​កន្ទុយ​នឹង​ធ្លាក់​ចេញ។ រាល់ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះនឹងកើតឡើងដោយចៃដន្យ។ អ្នកអាចបញ្ចូលអថេរដែលនឹងពិពណ៌នាអំពីលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យនេះ។ ជាក់ស្តែង អថេរនេះនឹងយកតម្លៃដាច់ពីគ្នាពីរ៖ ក្បាល និងកន្ទុយ។ ដោយសារយើងមិនអាចទស្សន៍ទាយបានច្បាស់លាស់ជាមុនថាតើតម្លៃណាមួយដែលអាចធ្វើទៅបាននៃអថេរនេះនឹងយក វាអាចប្រកែកបានថាក្នុងករណីនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយអថេរចៃដន្យ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងសន្មត់ថា នៅក្នុងការពិសោធន៍ យើងកំពុងវាយតម្លៃពេលវេលាប្រតិកម្មនៃប្រធានបទ លើការបង្ហាញនៃការជំរុញមួយចំនួន។ តាមក្បួនមួយ វាប្រែថា សូម្បីតែនៅពេលដែលអ្នកពិសោធន៍យកវិធានការទាំងអស់ដើម្បីធ្វើស្តង់ដារលក្ខខណ្ឌពិសោធន៍ កាត់បន្ថយ ឬសូម្បីតែលុបបំបាត់ការប្រែប្រួលដែលអាចកើតមាននៅក្នុងការបង្ហាញនៃកត្តាជំរុញក៏ដោយ តម្លៃដែលបានវាស់នៃពេលវេលាប្រតិកម្មនៃប្រធានបទនឹងនៅតែខុសគ្នា។ ក្នុងករណីនេះពួកគេនិយាយថាពេលវេលាប្រតិកម្មនៃប្រធានបទត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអថេរចៃដន្យ។ ចាប់តាំងពីជាគោលការណ៍នៅក្នុងការពិសោធន៍យើងអាចទទួលបានតម្លៃណាមួយនៃពេលវេលាប្រតិកម្ម - សំណុំនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃពេលវេលាប្រតិកម្មដែលអាចទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការវាស់វែងប្រែទៅជាគ្មានកំណត់ - ពួកគេនិយាយអំពី ការបន្ត អថេរចៃដន្យនេះ។

សំណួរកើតឡើង៖ តើមានភាពទៀងទាត់ក្នុងឥរិយាបថនៃអថេរចៃដន្យទេ? ចម្លើយ​ចំពោះ​សំណួរ​នេះ​ប្រែ​ទៅ​ជា​នៅ​ក្នុង​ការ​បញ្ជាក់។

ដូចនេះ ប្រសិនបើគេបោះចោលកាក់ដូចគ្នាចំនួនគ្មានកំណត់ នោះគេនឹងឃើញថាចំនួននៃការទម្លាក់នៅសងខាងនៃកាក់នឹងមានចំនួនប្រហាក់ប្រហែលគ្នា លុះត្រាតែកាក់នោះមិនពិត និងមិនកោង។ . ដើម្បីបញ្ជាក់ពីគំរូនេះ គំនិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យត្រូវបានណែនាំ។ វាច្បាស់ណាស់ថានៅក្នុងករណីនៃការបោះកាក់មួយ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមានពីរនឹងកើតឡើងដោយមិនបរាជ័យ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាប្រូបាប៊ីលីតេសរុបនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរនេះ ហៅថា ប្រូបាប៊ីលីតេសរុប គឺ 100% ។ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីរដែលទាក់ទងនឹងការធ្វើតេស្តកាក់កើតឡើងជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេស្មើគ្នា នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលនីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នា ជាក់ស្តែងប្រែទៅជា 50% ។ ដូច្នេះ ការពិចារណាតាមទ្រឹស្ដីអនុញ្ញាតឱ្យយើងពិពណ៌នាអំពីអាកប្បកិរិយានៃអថេរចៃដន្យដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការពិពណ៌នាបែបនេះនៅក្នុងស្ថិតិគណិតវិទ្យាត្រូវបានតំណាងដោយពាក្យ "ការចែកចាយអថេរចៃដន្យ".

ស្ថានភាពកាន់តែស្មុគស្មាញជាមួយអថេរចៃដន្យដែលមិនមានសំណុំតម្លៃដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ ពោលគឺឧ។ ប្រែជាបន្ត។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែក្នុងករណីនេះក៏ដោយ ភាពទៀងទាត់សំខាន់ៗមួយចំនួននៃអាកប្បកិរិយារបស់វាអាចត្រូវបានកត់សម្គាល់។ ដូច្នេះនៅពេលធ្វើការពិសោធន៍ជាមួយនឹងការវាស់ស្ទង់ពេលវេលាប្រតិកម្មនៃប្រធានបទ វាអាចត្រូវបានគេកត់សំគាល់ថាចន្លោះពេលផ្សេងគ្នានៃរយៈពេលនៃប្រតិកម្មនៃប្រធានបទត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណជាមួយនឹងដឺក្រេនៃប្រូបាប៊ីលីតេខុសៗគ្នា។ វាទំនងជាកម្រណាស់ដែលប្រធានបទនឹងមានប្រតិកម្មលឿនពេក។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងកិច្ចការការសម្រេចចិត្តតាមបែបន័យវិទ្យា មុខវិជ្ជាអនុវត្តមិនបានឆ្លើយតបយ៉ាងត្រឹមត្រូវច្រើន ឬតិចក្នុងល្បឿនតិចជាង 500 ms (1/2 s)។ ដូចគ្នានេះដែរ វាមិនទំនងទេដែលថាប្រធានបទដែលធ្វើតាមការណែនាំរបស់អ្នកពិសោធន៍ដោយស្មោះត្រង់នឹងពន្យារពេលការឆ្លើយតបរបស់គាត់យ៉ាងខ្លាំង។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងបញ្ហាការសម្រេចចិត្តបែប semantic ការឆ្លើយតបដែលប៉ាន់ស្មានថាមានច្រើនជាង 5 s ជាធម្មតាត្រូវបានចាត់ទុកថាមិនគួរឱ្យទុកចិត្ត។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយជាមួយនឹងភាពប្រាកដ 100% វាអាចត្រូវបានសន្មត់ថាពេលវេលាប្រតិកម្មនៃប្រធានបទនឹងស្ថិតនៅក្នុងចន្លោះពី 0 ទៅ + សហ។ ប៉ុន្តែប្រូបាប៊ីលីតេនេះគឺជាផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃបុគ្គលនីមួយៗនៃអថេរចៃដន្យ។ ដូច្នេះ ការចែកចាយអថេរចៃដន្យបន្តអាចត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាអនុគមន៍បន្ត y = f (X ).

ប្រសិនបើយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា នៅពេលដែលតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់របស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ជាមុន ដូចជានៅក្នុងឧទាហរណ៍ជាមួយកាក់ ជាធម្មតាវាមិនមែនជាការលំបាកខ្លាំងណាស់ក្នុងការបង្កើតគំរូសម្រាប់ការចែកចាយរបស់វា។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីណែនាំតែការសន្មត់សមហេតុផលមួយចំនួន ដូចដែលយើងបានធ្វើនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា។ ស្ថានភាពកាន់តែស្មុគស្មាញជាមួយនឹងការចែកចាយនៃរ៉ិចទ័របន្តដែលទទួលយកចំនួនមិនស្គាល់នៃតម្លៃជាមុន។ ជាឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងបានបង្កើតគំរូទ្រឹស្ដីដែលពិពណ៌នាអំពីអាកប្បកិរិយារបស់ប្រធានបទក្នុងការពិសោធន៍ជាមួយការវាស់វែងពេលវេលាប្រតិកម្មនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដំណោះស្រាយ semantic នោះយើងអាចព្យាយាមពណ៌នាការចែកចាយទ្រឹស្តីនៃតម្លៃជាក់លាក់នៃប្រតិកម្ម។ ពេលវេលានៃប្រធានបទដូចគ្នា លើការបង្ហាញនៃការជំរុញមួយ និងដូចគ្នា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានទេ។ ដូច្នេះ អ្នកពិសោធន៍អាចនឹងត្រូវបង្ខំឱ្យសន្មត់ថាការចែកចាយអថេរចៃដន្យនៃចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះគាត់ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយច្បាប់មួយចំនួនដែលបានសិក្សារួចហើយ។ ភាគច្រើន ថ្វីបើវាមិនតែងតែត្រឹមត្រូវក៏ដោយ អ្វីដែលគេហៅថាការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានប្រើសម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះ ដែលដើរតួជាស្តង់ដារសម្រាប់ការចែកចាយអថេរចៃដន្យណាមួយ ដោយមិនគិតពីលក្ខណៈរបស់វា។ ការចែកចាយនេះត្រូវបានពិពណ៌នាជាលើកដំបូងតាមគណិតវិទ្យានៅពាក់កណ្តាលទីមួយនៃសតវត្សទី 18 ។ ដឺ Moivre ។

ការចែកចាយធម្មតា។ កើតឡើងនៅពេលដែលបាតុភូតនៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងគឺស្ថិតនៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃកត្តាចៃដន្យចំនួនមិនកំណត់ដែលធ្វើឱ្យមានតុល្យភាពគ្នាទៅវិញទៅមក។ ជាផ្លូវការ ការចែកចាយធម្មតា ដូចដែល de Moivre បានបង្ហាញ អាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយទំនាក់ទំនងខាងក្រោម៖

កន្លែងណា X តំណាងឱ្យអថេរចៃដន្យនៃចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង អាកប្បកិរិយាដែលយើងសិក្សា។ រ គឺជាតម្លៃប្រូបាប៊ីលីតេដែលភ្ជាប់ជាមួយអថេរចៃដន្យនេះ; π និង អ៊ី - ថេរគណិតវិទ្យាដែលល្បីដោយពណ៌នារៀងគ្នាសមាមាត្រនៃបរិមាត្រទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិត និងមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ; μ និង σ2 គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការបែងចែកធម្មតានៃអថេរចៃដន្យ រៀងគ្នា ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងការប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ X.

ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីការចែកចាយធម្មតា វាប្រែទៅជាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំណត់តែប៉ារ៉ាម៉ែត្រ μ និង σ2 ប៉ុណ្ណោះ។

ដូច្នេះប្រសិនបើយើងមានអថេរចៃដន្យដែលឥរិយាបថត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ (1.1) ជាមួយនឹងតម្លៃបំពាននៃ μ និង σ2 នោះយើងអាចសម្គាល់វាជា Ν (μ, σ2) ដោយមិនចាំព័ត៌មានលម្អិតនៃសមីការនេះ។

អង្ករ។ ១.១.

ការចែកចាយណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដោយមើលឃើញក្នុងទម្រង់ជាក្រាហ្វ។ តាមក្រាហ្វិច ការចែកចាយធម្មតាមានទម្រង់ជាខ្សែកោងរាងកណ្តឹង រូបរាងពិតប្រាកដដែលត្រូវបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការចែកចាយ i.e. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងភាពខុសគ្នា។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការបែងចែកធម្មតាអាចយកតម្លៃស្ទើរតែទាំងអស់ ដែលត្រូវបានកំណត់ត្រឹមតែខ្នាតរង្វាស់ដែលប្រើដោយអ្នកពិសោធន៍ប៉ុណ្ណោះ។ តាមទ្រឹស្ដី តម្លៃនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាអាចជាលេខណាមួយពីជួរលេខពី -∞ ដល់ +∞ ហើយវ៉ារ្យង់អាចជាលេខដែលមិនអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ វាមានចំនួនមិនកំណត់នៃប្រភេទផ្សេងគ្នានៃការចែកចាយធម្មតា ហើយយោងទៅតាមចំនួនខ្សែកោងគ្មានកំណត់តំណាងឱ្យវា (ទោះជាយ៉ាងណាមានទម្រង់រាងកណ្តឹងស្រដៀងគ្នា)។ វាច្បាស់ណាស់ថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការពិពណ៌នាអំពីពួកគេទាំងអស់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការចែកចាយធម្មតាជាក់លាក់មួយត្រូវបានគេដឹងនោះវាអាចត្រូវបានបម្លែងទៅជាអ្វីដែលគេហៅថា ឯកតាការចែកចាយធម្មតា, ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដែលស្មើនឹងសូន្យ ហើយបំរែបំរួលគឺស្មើនឹងមួយ។ ការចែកចាយធម្មតានេះត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ ស្ដង់ដារ ឬ ការចែកចាយ z ។ គ្រោងនៃការបែងចែកធម្មតារបស់ឯកតាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 1.1 វាច្បាស់ណាស់ថាផ្នែកខាងលើនៃខ្សែកោងរាងកណ្តឹងនៃការចែកចាយធម្មតាកំណត់តម្លៃនៃការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយទៀតនៃការចែកចាយធម្មតា - ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ - កំណត់កម្រិតនៃ "ការរីករាលដាល" នៃខ្សែកោងរាងកណ្តឹងដែលទាក់ទងទៅនឹងផ្ដេក (អ័ក្ស abscissa) ។

បើប្រៀបធៀបទៅនឹងប្រភេទផ្សេងទៀតនៃការចែកចាយ។ លក្ខណៈពិសេសចម្បងនៃការចែកចាយនេះគឺថាច្បាប់ចែកចាយផ្សេងទៀតទាំងអស់មានទំនោរទៅរកច្បាប់នេះជាមួយនឹងពាក្យដដែលៗគ្មានកំណត់នៃចំនួននៃការសាកល្បង។ តើការចែកចាយនេះទទួលបានដោយរបៀបណា?

ស្រមៃថា ការយកឌីណាម៉ូម៉ែត្រដោយដៃ អ្នកមានទីតាំងនៅកន្លែងដែលមានមនុស្សច្រើននៅក្នុងទីក្រុងរបស់អ្នក។ ហើយចំពោះអ្នកគ្រប់គ្នាដែលឆ្លងកាត់ អ្នកផ្តល់ការវាស់កម្លាំងរបស់អ្នកដោយការច្របាច់ឌីណាម៉ូម៉ែត្រដោយដៃស្តាំ ឬឆ្វេងរបស់អ្នក។ អ្នកកត់ត្រាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវការអានរបស់ឌីណាម៉ូម៉ែត្រ។ បន្ទាប់ពីពេលខ្លះ ជាមួយនឹងការធ្វើតេស្តមួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ អ្នកដាក់ការអាន dynamometer នៅលើអ័ក្ស abscissa និងចំនួនមនុស្សដែល "ច្របាច់" ការអាននេះនៅលើអ័ក្សកំណត់។ ចំនុចដែលទទួលបានត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយបន្ទាត់រលោង។ លទ្ធផលគឺខ្សែកោងដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាព 9.8 ។ រូបរាងនៃខ្សែកោងនេះនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរច្រើនទេនៅពេលដែលពេលវេលានៃការពិសោធន៍កើនឡើង។ លើសពីនេះ ចាប់ពីចំណុចខ្លះមក តម្លៃថ្មីនឹងគ្រាន់តែកែលម្អខ្សែកោងដោយមិនផ្លាស់ប្តូររូបរាងរបស់វា។

អង្ករ។ ៩.៨.

ឥឡូវនេះ ចូរផ្លាស់ទីដោយប្រើឌីណាម៉ូម៉ែត្ររបស់យើងទៅកាន់សាលកីឡា ហើយធ្វើការពិសោធន៍ម្តងទៀត។ ឥឡូវនេះអតិបរិមានៃខ្សែកោងនឹងផ្លាស់ប្តូរទៅខាងស្តាំ ចុងខាងឆ្វេងនឹងត្រូវបានរឹតបន្តឹងបន្តិច ខណៈដែលចុងខាងស្តាំរបស់វានឹងចោតជាង (រូបភាព 9.9)។

អង្ករ។ ៩.៩.

ចំណាំថាប្រេកង់អតិបរមាសម្រាប់ការចែកចាយទីពីរ (ចំណុច B) នឹងទាបជាងប្រេកង់អតិបរមាសម្រាប់ការចែកចាយដំបូង (ចំណុច A) ។ នេះអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាចំនួនសរុបនៃមនុស្សទៅកន្លែងហាត់ប្រាណនឹងមានតិចជាងចំនួនមនុស្សដែលឆ្លងកាត់នៅជិតអ្នកពិសោធន៍ក្នុងករណីដំបូង (នៅកណ្តាលទីក្រុងនៅកន្លែងដែលមានមនុស្សច្រើន) ។ អតិបរមាបានផ្លាស់ប្តូរទៅខាងស្តាំ ដោយសារសាលកីឡាត្រូវបានចូលរួមដោយមនុស្សដែលរឹងមាំជាងបើប្រៀបធៀបទៅនឹងផ្ទៃខាងក្រោយទូទៅ។

ហើយជាចុងក្រោយ យើងនឹងទៅមើលសាលារៀន មតេយ្យ និងផ្ទះថែទាំដែលមានគោលដៅដូចគ្នា៖ ដើម្បីបង្ហាញពីភាពខ្លាំងនៃដៃអ្នកទស្សនាទៅកាន់កន្លែងទាំងនេះ។ ហើយម្តងទៀត ខ្សែកោងចែកចាយនឹងមានរាងស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ ជាក់ស្តែងចុងខាងឆ្វេងរបស់វានឹងកាន់តែចោត ហើយចុងខាងស្តាំនឹងរឹតតែតឹង។ ហើយដូចនៅក្នុងករណីទីពីរ អតិបរមា (ចំណុច C) នឹងទាបជាងចំណុច A (រូបភាព 9.10)។

អង្ករ។ ៩.១០.

ទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យកត់សម្គាល់នេះនៃការចែកចាយធម្មតា - ដើម្បីរក្សារូបរាងនៃខ្សែកោងដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ (រូបភាពទី 8 - 10) ត្រូវបានកត់សម្គាល់និងពិពណ៌នានៅឆ្នាំ 1733 ដោយ Moivre ហើយបន្ទាប់មកស៊ើបអង្កេតដោយ Gauss ។

នៅក្នុងការស្រាវជ្រាវវិទ្យាសាស្ត្រ នៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យា នៅក្នុងបាតុភូតដ៏ធំ ឬការពិសោធន៍ នៅពេលនិយាយអំពីអថេរចៃដន្យម្តងហើយម្តងទៀត នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌពិសោធន៍ថេរ ពួកគេនិយាយថា លទ្ធផលតេស្តជួបប្រទះការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយដោយចៃដន្យ ដោយគោរពច្បាប់នៃខ្សែកោងការចែកចាយធម្មតា

(21)

តើព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងញឹកញាប់បំផុតនៅឯណា។ តាមក្បួនក្នុងរូបមន្ត (21) ជំនួសឱ្យប៉ារ៉ាម៉ែត្រ . លើសពីនេះទៅទៀត ស៊េរីពិសោធន៍កាន់តែយូរ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនឹងខុសគ្នាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ តំបន់នៅក្រោមខ្សែកោង (រូបភាព 9.11) ត្រូវបានសន្មត់ថាស្មើនឹងមួយ។ ផ្ទៃដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងចន្លោះពេលណាមួយនៃអ័ក្ស x គឺស្មើនឹងចំនួនប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលចៃដន្យដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលនេះ។

អង្ករ។ ៩.១១.

មុខងារចែកចាយធម្មតាមានទម្រង់

(22)

ចំណាំថា ខ្សែកោងធម្មតា (រូបភាព 9.11) គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ ហើយ asymptotically ខិតជិតអ័ក្ស OX នៅ .

គណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាសម្រាប់ច្បាប់ធម្មតា។

(23)

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការចែកចាយធម្មតា។

ចូរយើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃការចែកចាយដ៏សំខាន់បំផុតនេះ។

ទ្រព្យ ១. មុខងារដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយធម្មតា (21) និយមន័យនៅលើអ័ក្ស x ទាំងមូល។

ទ្រព្យ ២. មុខងារដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយធម្មតា (21) គឺធំជាងសូន្យសម្រាប់ដែនណាមួយនៃនិយមន័យ ()។

ទ្រព្យ ៣. ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានកំណត់ (ថយចុះ) មុខងារចែកចាយ (21) មានទំនោរទៅសូន្យ .

ទ្រព្យ ៤. នៅពេល អនុគមន៍ចែកចាយដែលផ្តល់ដោយ (21) មានតម្លៃធំបំផុតស្មើនឹង

(24)

ទ្រព្យ ៥. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ (រូបភាព 9.11) គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ទ្រព្យ ៦. ក្រាហ្វមុខងារ (រូបភាព 9.11) មានចំណុចបញ្ឆេះពីរដែលស៊ីមេទ្រីអំពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

(25)

ទ្រព្យ ៧. ពេលកណ្តាលសេសទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។ ចំណាំថាដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិ 7 ភាពមិនស៊ីមេទ្រីនៃអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត។ ប្រសិនបើ នោះពួកគេសន្និដ្ឋានថាការចែកចាយដែលកំពុងសិក្សាគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់។ ប្រសិនបើ នោះពួកគេនិយាយថា ជួរដេកត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅខាងស្តាំ (បន្ថែមទៀតដោយថ្នមៗផ្នែកខាងស្តាំនៃក្រាហ្វ ឬរឹតបន្តឹង)។ ប្រសិនបើ នោះវាត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជួរដេកត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅខាងឆ្វេង (សាខាខាងឆ្វេងដែលរុញភ្ជាប់បន្ថែមទៀតនៃក្រាហ្វក្នុងរូបភាព 9.12)។

អង្ករ។ ៩.១២.

ទ្រព្យ ៨. kurtosis នៃការចែកចាយគឺ 3. នៅក្នុងការអនុវត្តជាញឹកញាប់វាត្រូវបានគណនាហើយកម្រិតនៃ "ការបង្ហាប់" ឬ "ព្រិល" នៃក្រាហ្វត្រូវបានកំណត់ដោយភាពជិតនៃតម្លៃនេះទៅសូន្យ (រូបភាព 9.13) ។ ហើយចាប់តាំងពីវាទាក់ទងទៅនឹង ទីបំផុតវាកំណត់លក្ខណៈកម្រិតនៃការបែកខ្ញែកប្រេកង់ទិន្នន័យ។ ហើយចាប់តាំងពីវាកំណត់

ច្បាប់ដែលល្បីល្បាញ និងប្រើញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ គឺជាច្បាប់ចែកចាយធម្មតា ឬ ច្បាប់ Gauss .

លក្ខណៈសំខាន់ច្បាប់ចែកចាយធម្មតាស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាវាគឺជាច្បាប់កំណត់សម្រាប់ច្បាប់ចែកចាយផ្សេងទៀត។

ចំណាំថាសម្រាប់ការចែកចាយធម្មតា អនុគមន៍អាំងតេក្រាលមានទម្រង់៖

.

សូមបង្ហាញឥឡូវនេះដែលអត្ថន័យប្រូបាប៊ីលីតេនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ និងមានដូចខាងក្រោម៖ ក មានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា - គម្លាតស្តង់ដារ (នោះគឺ) នៃការចែកចាយធម្មតា៖

ក) តាមនិយមន័យនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ យើងមាន

ពិត

,

ចាប់តាំងពីមានមុខងារសេសនៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល ហើយដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលគឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។

- អាំងតេក្រាល Poisson .

ដូច្នេះការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការចែកចាយធម្មតាគឺស្មើនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ក .

ខ) តាមនិយមន័យនៃការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយនៃអថេរចៃដន្យបន្ត ហើយដោយគិតគូរពីនោះ យើងអាចសរសេរ

.

ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក, ការកំណត់ , ស្វែងរក

ជាលទ្ធផល .

ដូច្នេះ គម្លាតស្តង់ដារនៃការបែងចែកធម្មតាគឺស្មើនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ប្រសិនបើ និង​ការ​ចែកចាយ​ធម្មតា​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​ការ​ចែកចាយ​ធម្មតា (ឬ​ស្តង់ដារ​ធម្មតា) ។ បន្ទាប់មក ជាក់ស្តែង ដង់ស៊ីតេធម្មតា (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) និងមុខងារចែកចាយអាំងតេក្រាលធម្មតា នឹងត្រូវបានសរសេររៀងៗខ្លួនក្នុងទម្រង់៖

(អនុគមន៍ ដូចដែលអ្នកដឹងហើយ ត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍ Laplace (សូមមើល LECTURE 5) ឬ អាំងតេក្រាលប្រូបាប៊ីលីតេ។ មុខងារទាំងពីរ នោះគឺ ត្រូវបានដាក់តារាង ហើយតម្លៃរបស់វាត្រូវបានកត់ត្រាក្នុងតារាងដែលត្រូវគ្នា)។

លក្ខណៈសម្បត្តិចែកចាយធម្មតា (លក្ខណៈសម្បត្តិខ្សែកោងធម្មតា)៖

1. ជាក់ស្តែង មុខងារមួយនៅលើបន្ទាត់ពិតទាំងមូល។

2. នោះគឺ ខ្សែកោងធម្មតាមានទីតាំងនៅខាងលើអ័ក្ស អូ .

3. នោះគឺអ័ក្ស អូ ដើរតួនាទីជា asymptote ផ្ដេកនៃក្រាហ្វ។

4. ខ្សែកោងធម្មតាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ x = ក (យោងទៅតាមក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស អូ ).

ដូច្នេះយើងអាចសរសេរបាន។: .

5. .

6. វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាចំណុច និង គឺជាចំណុចបញ្ឆេះនៃខ្សែកោងធម្មតា (បញ្ជាក់ខ្លួនឯង)។

7.វាច្បាស់ណាស់។

ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី បន្ទាប់មក . ក្រៅពីនេះ។ ដូច្នេះ គ្រាសេសទាំងអស់គឺស្មើនឹងសូន្យ។

សម្រាប់ពេលខ្លះ យើងអាចសរសេរ៖

8. .

9. .

10. កន្លែងណា។

11. សម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃអថេរចៃដន្យ៖ , កន្លែងណា។

13. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយអថេរចៃដន្យនៅលើគ្រោងស៊ីមេទ្រីអំពីកណ្តាលនៃការចែកចាយគឺស្មើនឹង៖

ឧទាហរណ៍ ៣. បង្ហាញថាអថេរចៃដន្យចែកចាយធម្មតា។ X ខុសពីការរំពឹងទុក ម(X) មិនលើសពី .

ដំណោះស្រាយ. សម្រាប់ការចែកចាយធម្មតា៖ .

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ប្រូបាប៊ីលីតេដែលតម្លៃដាច់ខាតនៃគម្លាត នឹងលើសគម្លាតស្តង់ដារបីដងគឺតូចណាស់គឺ 0.0027 ។ នេះមានន័យថាមានតែក្នុង 0.27% នៃករណីនេះអាចកើតឡើង។ ព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃភាពមិនអាចទៅរួចនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនទំនងអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាមិនអាចអនុវត្តបាន។

ដូច្នេះ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេនៃ 0.9973 អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការអនុវត្តជាក់ស្តែង ពោលគឺអថេរចៃដន្យមួយខុសពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាដោយមិនលើសពី .

ឧទាហរណ៍ ៤. ការដឹងពីលក្ខណៈនៃការចែកចាយធម្មតានៃអថេរចៃដន្យមួយ។ X - កម្លាំង tensile នៃដែកថែប: គីឡូក្រាម / ម 2 និងគីឡូក្រាម / ម 2 ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានដែកថែបដែលមានកម្លាំង tensile ពី 31 គីឡូក្រាម / ម 2 ទៅ 35 គីឡូក្រាម / ម 2 ។

ដំណោះស្រាយ.

3. ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (ច្បាប់ចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល)

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) គឺជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ X ដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយមុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ដង់ស៊ីតេចែកចាយ)

កន្លែងដែលតម្លៃវិជ្ជមានថេរ។

ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលត្រូវបានកំណត់ មួយ។ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ លក្ខណៈពិសេសនៃការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនេះបង្ហាញពីអត្ថប្រយោជន៍របស់វាលើការចែកចាយដែលអាស្រ័យលើចំនួនប៉ារ៉ាម៉ែត្រធំជាង។ ជាធម្មតា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រគឺមិនស្គាល់ ហើយមនុស្សម្នាក់ត្រូវតែស្វែងរកការប៉ាន់ស្មានរបស់ពួកគេ (តម្លៃប្រហាក់ប្រហែល); ជាការពិតណាស់ វាងាយស្រួលក្នុងការវាយតម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយជាង ពីរ ឬបី។ល។

វាងាយស្រួលក្នុងការសរសេរអនុគមន៍អាំងតេក្រាលនៃការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖

យើងបានកំណត់ការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដោយប្រើមុខងារឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ វាច្បាស់ណាស់ថាវាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើអនុគមន៍អាំងតេក្រាល។

មតិយោបល់៖ ពិចារណាអថេរចៃដន្យបន្ត ធ - រយៈពេលនៃពេលវេលាដំណើរការនៃផលិតផល។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីតម្លៃដែលបានទទួលយករបស់វាដោយ t , . មុខងារចែកចាយបន្ត កំណត់ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យផលិតផលក្នុងរយៈពេលមួយ។ t . ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃប្រតិបត្តិការដែលមិនមានការបរាជ័យសម្រាប់រយៈពេលដូចគ្នានេះ។ t នោះគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគឺស្មើនឹង

និយមន័យ។ ធម្មតា។ត្រូវបានគេហៅថាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ ដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ

ការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់ Gauss.

ច្បាប់ចែកចាយធម្មតាគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាច្បាប់នេះបង្ហាញខ្លួនវានៅក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់នៅពេលដែលអថេរចៃដន្យគឺជាលទ្ធផលនៃសកម្មភាពនៃកត្តាផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។ ច្បាប់ចែកចាយផ្សេងទៀតទាំងអស់ខិតទៅជិតច្បាប់ធម្មតា។

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងងាយស្រួលថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនិងរួមបញ្ចូលនៅក្នុងដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយរៀងគ្នាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានិងគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យ X ។

ស្វែងរកមុខងារចែកចាយ F(x).

គ្រោងដង់ស៊ីតេចែកចាយធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោងធម្មតា។ឬ ខ្សែកោង Gaussian.

ខ្សែកោងធម្មតាមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

1) មុខងារត្រូវបានកំណត់នៅលើអ័ក្សលេខទាំងមូល។

2) សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា Xមុខងារចែកចាយយកតែតម្លៃវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

3) អ័ក្ស OX គឺជា asymptote ផ្ដេកនៃក្រាហ្វដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ ចាប់តាំងពី ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់នៃតម្លៃដាច់ខាតនៃអាគុយម៉ង់ Xតម្លៃនៃមុខងារមានទំនោរទៅសូន្យ។

4) ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

ដោយសារតែ នៅ y' > 0នៅ x< m និង y'< 0 នៅ x > mបន្ទាប់មកនៅចំណុច x = tមុខងារមានអតិបរមាស្មើនឹង .

5) មុខងារគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ x = ក, ដោយសារតែ ភាពខុសគ្នា

(x - ក) ចូលទៅក្នុងអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេការចែកចាយការ៉េ។

6) ដើម្បីស្វែងរកចំណុច inflection នៃក្រាហ្វ យើងរកឃើញដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេ។

នៅ x = m+ s និង x = m- s ដេរីវេទី 2 គឺស្មើនឹងសូន្យ ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ វាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ពោលគឺឧ។ នៅចំណុចទាំងនេះមុខងារមានដំណើរការ។

នៅចំណុចទាំងនេះតម្លៃនៃមុខងារគឺ .

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយ។

ក្រាហ្វត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ t=0 និងតម្លៃបីដែលអាចធ្វើបាននៃគម្លាតស្តង់ដារ s = 1, s = 2 និង s = 7. ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ នៅពេលដែលតម្លៃនៃគម្លាតស្តង់ដារកើនឡើង ក្រាហ្វនឹងកាន់តែរលោង ហើយតម្លៃអតិបរមាថយចុះ។

ប្រសិនបើ ក ក> 0 បន្ទាប់មកក្រាហ្វនឹងផ្លាស់ប្តូរក្នុងទិសដៅវិជ្ជមានប្រសិនបើ ក < 0 – в отрицательном.

នៅ ក= 0 និង s = 1 ខ្សែកោងត្រូវបានគេហៅថា បានធ្វើឱ្យធម្មតា។. សមីការខ្សែកោងធម្មតា៖

សម្រាប់ភាពសង្ខេប យើងនិយាយថា CV X គោរពច្បាប់ N(m,s), i.e. X ~ N (m, s) ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ m និង s ស្របគ្នានឹងលក្ខណៈសំខាន់នៃការចែកចាយ: m = m X , s = s X = ។ ប្រសិនបើ SV X ~ N (0, 1) នោះវាត្រូវបានគេហៅថា តម្លៃធម្មតា។. DF ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃធម្មតាស្តង់ដារ មុខងារ Laplaceនិងត្រូវបានតំណាងថាជា Ф(x). វាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេចន្លោះពេលសម្រាប់ការចែកចាយធម្មតា N(m, s):

P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាលើការចែកចាយធម្មតា ជារឿយៗចាំបាច់ត្រូវប្រើតារាងតម្លៃនៃមុខងារ Laplace ។ ចាប់តាំងពីមុខងារ Laplace បំពេញទំនាក់ទំនង F(-x) = 1 - F(x)បន្ទាប់មកវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីឱ្យមានតារាងតម្លៃនៃមុខងារ F(x)សម្រាប់តែតម្លៃអាគុយម៉ង់វិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

សម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចុចចន្លោះពេលដែលស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា រូបមន្តខាងក្រោមគឺពិត៖ P(|X - m X |< e) = 2×F(e/s) - 1.

គ្រាកណ្តាលនៃការចែកចាយធម្មតាបំពេញនូវទំនាក់ទំនងដែលកើតឡើងវិញ៖ m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . នេះបញ្ជាក់ថារាល់ពេលកណ្តាលនៃលំដាប់សេសគឺស្មើនឹងសូន្យ (ចាប់តាំងពី m 1 = 0)។

ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

បញ្ជាក់

ដោយសារតែ អាំងតេក្រាលមិនត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋមទេ បន្ទាប់មកមុខងារត្រូវបានយកមកពិចារណា

,

ដែលត្រូវបានគេហៅថា មុខងារ Laplaceឬ អាំងតេក្រាលប្រូបាប៊ីលីតេ.

តម្លៃនៃមុខងារនេះសម្រាប់តម្លៃផ្សេងៗ Xគណនា និងបង្ហាញក្នុងតារាងពិសេស។

ខាងក្រោមនេះគឺជាក្រាហ្វនៃមុខងារ Laplace ។

មុខងារ Laplace មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

2) F(- X) = - F( X);

មុខងារ Laplace ត្រូវបានគេហៅផងដែរ។ មុខងារកំហុសនិងបញ្ជាក់ erf x.

នៅតែប្រើ បានធ្វើឱ្យធម្មតា។មុខងារ Laplace ដែលទាក់ទងនឹងមុខងារ Laplace ដោយទំនាក់ទំនង៖

ខាងក្រោមនេះគឺជាគ្រោងនៃមុខងារ Laplace ធម្មតា។

នៅពេលពិចារណាលើការចែកចាយធម្មតា ករណីពិសេសសំខាន់មួយត្រូវបានសម្គាល់ ដែលគេស្គាល់ថាជា ច្បាប់បី.

ចូរសរសេរប្រូបាប៊ីលីតេដែលគម្លាតនៃអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតាពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺតិចជាងតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ D:

ប្រសិនបើយើងទទួលយក D=3s នោះយើងទទួលបានដោយប្រើតារាងតម្លៃនៃមុខងារ Laplace៖

ទាំងនោះ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យបានបង្វែរពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យារបស់វាដោយចំនួនធំជាងបីដងនៃគម្លាតស្តង់ដារគឺសូន្យ។

ច្បាប់នេះត្រូវបានគេហៅថា ច្បាប់បី.

នៅក្នុងការអនុវត្ត វាត្រូវបានចាត់ទុកថា ប្រសិនបើសម្រាប់អថេរចៃដន្យណាមួយ ច្បាប់នៃ sigma បីត្រូវបានពេញចិត្ត នោះអថេរចៃដន្យនេះមានការចែកចាយធម្មតា។

ឧទាហរណ៍។រថភ្លើងមាន 100 រទេះ។ ម៉ាស់របស់រទេះនីមួយៗគឺជាអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាជាមួយនឹងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ក= 65 t និងគម្លាតស្តង់ដារ s = 0.9 t ក្បាលរថភ្លើងអាចផ្ទុករថភ្លើងដែលមានទម្ងន់មិនលើសពី 6600 t បើមិនដូច្នេះទេចាំបាច់ត្រូវភ្ជាប់ក្បាលរថភ្លើងទីពីរ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលក្បាលរថភ្លើងទីពីរមិនត្រូវបានទាមទារ។

ក្បាលរថភ្លើងទីពីរមិនត្រូវបានទាមទារទេប្រសិនបើគម្លាតនៃម៉ាស់របស់រថភ្លើងពីការរំពឹងទុក (100 × 65 = 6500) មិនលើសពី 6600 - 6500 = 100 តោន។

ដោយសារតែ ម៉ាស់របស់រថយន្តនីមួយៗមានការចែកចាយធម្មតា បន្ទាប់មកម៉ាស់របស់រថភ្លើងទាំងមូលក៏នឹងត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតាផងដែរ។

យើង​ទទួល​បាន:

ឧទាហរណ៍។អថេរចៃដន្យ X ដែលត្រូវបានចែកចាយជាធម្មតាត្រូវបានផ្តល់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា - a \u003d 2 -ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និង s = 1 - គម្លាតស្តង់ដារ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីសរសេរដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ និងគ្រោងវា ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល X នឹងយកតម្លៃពីចន្លោះពេល (1; 3) ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែល X បង្វែរ (ម៉ូឌូឡូ) ពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាមិនលើសពី 2 ។

ដង់ស៊ីតេចែកចាយមានទម្រង់៖

តោះបង្កើតក្រាហ្វ៖

ចូរយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយអថេរចៃដន្យក្នុងចន្លោះពេល (1; 3)។

ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យបានបង្វែរពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាដោយតម្លៃមិនធំជាង 2 ។

លទ្ធផលដូចគ្នាអាចទទួលបានដោយប្រើមុខងារ Laplace ធម្មតា។

ធម្មទេសនា 8 ច្បាប់នៃចំនួនធំ(ផ្នែកទី 2)

ផែនការបង្រៀន

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល (ការបង្កើតទូទៅ និងការបង្កើតជាក់លាក់សម្រាប់អថេរចៃដន្យចែកចាយដោយឯករាជ្យ)។

វិសមភាពរបស់ Chebyshev ។

ច្បាប់នៃចំនួនធំនៅក្នុងទម្រង់នៃ Chebyshev ។

គំនិតនៃប្រេកង់ព្រឹត្តិការណ៍។

ស្ថិតិការយល់ដឹងអំពីប្រូបាប៊ីលីតេ។

ច្បាប់នៃចំនួនដ៏ធំនៅក្នុងទម្រង់ Bernoulli ។

ការសិក្សាអំពីភាពទៀងទាត់នៃស្ថិតិបានធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតបានថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួន ឥរិយាបថសរុបនៃអថេរចៃដន្យមួយចំនួនធំស្ទើរតែបាត់បង់តួអក្សរចៃដន្យរបស់វា ហើយក្លាយជាទៀងទាត់ (និយាយម្យ៉ាងទៀត គម្លាតចៃដន្យពីអាកប្បកិរិយាមធ្យមមួយចំនួនលុបចោលទៅវិញទៅមក)។ ជាពិសេស ប្រសិនបើឥទ្ធិពលលើផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌបុគ្គលមានកម្រិតតិចតួច នោះច្បាប់នៃការបែងចែកផលបូកនឹងមានលក្ខណៈធម្មតា។ រូបមន្តគណិតវិទ្យានៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងក្រុមនៃទ្រឹស្តីបទដែលហៅថា ច្បាប់នៃចំនួនដ៏ធំ.

ច្បាប់នៃចំនួនដ៏អស្ចារ្យ- គោលការណ៍ទូទៅមួយ ដោយហេតុថា សកម្មភាពរួមនៃកត្តាចៃដន្យនាំឱ្យ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌទូទៅមួយចំនួន ទៅជាលទ្ធផលដែលស្ទើរតែឯករាជ្យនៃឱកាស។ ឧទាហរណ៍ដំបូងនៃប្រតិបត្តិការនៃគោលការណ៍នេះគឺការបញ្ចូលគ្នានៃប្រេកង់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃចំនួននៃការសាកល្បង (ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងការអនុវត្តឧទាហរណ៍នៅពេលប្រើប្រេកង់នៃការកើតឡើងនៃគុណភាពណាមួយ។ នៃអ្នកឆ្លើយតបក្នុងគំរូជាការប៉ាន់ប្រមាណគំរូនៃប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នា)។

ខ្លឹមសារ ច្បាប់នៃចំនួនដ៏ធំគឺថាជាមួយនឹងការពិសោធន៍ឯករាជ្យមួយចំនួនធំ ភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនគឺជិតនឹងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។

ទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កណ្តាល (CLT) (នៅក្នុងទម្រង់នៃ Lyapunov A.M. សម្រាប់ RVs ចែកចាយដូចគ្នា) ។ប្រសិនបើ RVs ឯករាជ្យជាគូ X 1 , X 2 , ... , X n , ... មានច្បាប់ចែកចាយដូចគ្នាជាមួយនឹងលក្ខណៈលេខកំណត់ M = m និង D = s 2 បន្ទាប់មកសម្រាប់ n ® ¥ ច្បាប់ចែកចាយនៃ RV ដោយគ្មានកំណត់ ខិតជិតច្បាប់ធម្មតា N (n × m, ) ។

ផលវិបាក។ប្រសិនបើនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ CB បន្ទាប់មកនៅពេលដែល n ® ¥ ច្បាប់នៃការចែកចាយ SW Y ខិតជិតដល់ច្បាប់ធម្មតា N(m, s/) ដោយគ្មានកំណត់។

ទ្រឹស្តីបទ De Moivre-Laplace ។អនុញ្ញាតឱ្យ SV K ជាចំនួន "ជោគជ័យ" នៅក្នុងការសាកល្បង n យោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ n ® ¥ និងតម្លៃថេរនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "ជោគជ័យ" នៅក្នុងការសាកល្បងមួយ p ច្បាប់ចែកចាយនៃ RV K មិនអាចកំណត់បានចំពោះច្បាប់ធម្មតា N(n×p, )។

ផលវិបាក។ប្រសិនបើនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ ជំនួសឱ្យ SV K យើងពិចារណា SV K/n - ភាពញឹកញាប់នៃ "ជោគជ័យ" នៅក្នុងការសាកល្បង n យោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli បន្ទាប់មកច្បាប់ចែកចាយរបស់វាសម្រាប់ n ® ¥ និងតម្លៃថេរនៃវិធីសាស្រ្ត p ច្បាប់ធម្មតា N(p,) ដោយគ្មានកំណត់។

មតិយោបល់។អនុញ្ញាតឱ្យ SV K ជាចំនួន "ជោគជ័យ" នៅក្នុងការសាកល្បង n យោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli ។ ច្បាប់នៃការចែកចាយ SW បែបនេះគឺជាច្បាប់ binomial ។ បន្ទាប់មក ដូច n ® ¥ ច្បាប់ binomial មានការចែកចាយដែនកំណត់ពីរ៖

n ការចែកចាយ ពុលសុន(សម្រាប់ n ® ¥ និង l = n × p = const);

n ការចែកចាយ ហ្គោសៀន N(n×p, ) (សម្រាប់ n ® ¥ និង p = const) ។

ឧទាហរណ៍។ប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "ជោគជ័យ" នៅក្នុងការសាកល្បងមួយគឺត្រឹមតែ p = 0.8 ប៉ុណ្ណោះ។ តើការសាកល្បងប៉ុន្មានគួរតែត្រូវបានធ្វើដូច្នេះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃយ៉ាងហោចណាស់ 0.9 យើងអាចរំពឹងថាប្រេកង់ដែលបានសង្កេតឃើញនៃ "ជោគជ័យ" នៅក្នុងការសាកល្បងយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ Bernoulli គម្លាតពីប្រូបាប៊ីលីតេ p មិនលើសពី e = 0.01?

ដំណោះស្រាយ។សម្រាប់ការប្រៀបធៀប យើងដោះស្រាយបញ្ហាតាមពីរវិធី។

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ ចំនួនដ៏ច្រើនដោយយុត្តិធម៌នៃច្បាប់ចែកចាយផ្សេងៗត្រូវបានពិចារណា។ ចំពោះការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការសាងសង់តារាងត្រួតពិនិត្យមានតែមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះដែលចាប់អារម្មណ៍។ សំខាន់បំផុតនៃពួកគេគឺ ច្បាប់ចែកចាយធម្មតា។ដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្កើតគំនូសតាងត្រួតពិនិត្យដែលប្រើក្នុង ការគ្រប់គ្រងបរិមាណ, i.e. នៅពេលដែលយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់។ ច្បាប់ចែកចាយធម្មតាកាន់កាប់មុខតំណែងពិសេសក្នុងចំណោមច្បាប់ចែកចាយផ្សេងទៀត។ នេះត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថា ទីមួយ វាត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់បំផុតនៅក្នុងការអនុវត្ត ហើយទីពីរវាគឺជាច្បាប់កំណត់ ដែលច្បាប់ផ្សេងទៀតនៃវិធីសាស្រ្តចែកចាយក្រោមលក្ខខណ្ឌធម្មតាជួបប្រទះញឹកញាប់បំផុត។ ចំពោះកាលៈទេសៈទីពីរ វាត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេថាផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើនគ្រប់គ្រាន់នៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ (ឬអាស្រ័យខ្សោយ) ដែលស្ថិតនៅក្រោមច្បាប់ចែកចាយណាមួយ (ជាកម្មវត្ថុនៃការរឹតបន្តឹងមិនតឹងរឹងខ្លាំង) ប្រមាណជាគោរពតាមច្បាប់ធម្មតា ហើយវាត្រូវបានអនុវត្តកាន់តែត្រឹមត្រូវ ចំនួនកាន់តែច្រើននៃអថេរចៃដន្យដែលបានបូកសរុប។ អថេរចៃដន្យភាគច្រើនជួបប្រទះក្នុងការអនុវត្ត ដូចជាឧទាហរណ៍ កំហុសក្នុងការវាស់វែង អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើននៃពាក្យដែលទាក់ទងតិចតួច - កំហុសបឋម ដែលនីមួយៗបណ្តាលមកពីសកម្មភាពនៃបុព្វហេតុដាច់ដោយឡែក។ របស់អ្នកដទៃ។ ច្បាប់ធម្មតាកើតឡើងនៅពេលដែលអថេរចៃដន្យ Xគឺជាលទ្ធផលនៃកត្តាផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។ កត្តានីមួយៗដាច់ដោយឡែកពីគ្នាដោយតម្លៃ Xមានឥទ្ធិពលបន្តិច ហើយវាមិនអាចបញ្ជាក់បានថា ឥទ្ធិពលមួយណាក្នុងកម្រិតធំជាងឥទ្ធិពលផ្សេងទៀត។

ការចែកចាយធម្មតា។(ការចែកចាយ Laplace-Gauss) គឺជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យជាបន្តបន្ទាប់ Xដូចជាដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៅ - ¥<х< + ¥ принимает действительное значение:

exp (3)

នោះគឺការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រពីរ m និង s ដែល m គឺជាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា។ s គឺជាគម្លាតស្តង់ដារនៃការចែកចាយធម្មតា។

s តម្លៃ 2 គឺជាភាពខុសគ្នានៃការចែកចាយធម្មតា។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា m កំណត់ទីតាំងនៃមជ្ឈមណ្ឌលចែកចាយ ហើយគម្លាតស្តង់ដារ s (RMS) គឺជាលក្ខណៈបែកខ្ញែក (រូបភាពទី 3) ។

f(x) f(x)

រូបភាពទី 3 - មុខងារដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយធម្មតាជាមួយ៖

ក) ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាផ្សេងគ្នា m; ខ) RMS ផ្សេងគ្នា។

ដូច្នេះតម្លៃ μ ត្រូវបានកំណត់ដោយទីតាំងនៃខ្សែកោងចែកចាយនៅលើអ័ក្ស x ។ វិមាត្រ μ - ដូចគ្នានឹងវិមាត្រនៃអថេរចៃដន្យ X. នៅពេលដែលការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាកើនឡើង មុខងារទាំងពីរផ្លាស់ទីស្របទៅខាងស្តាំ។ ជាមួយនឹងការថយចុះភាពខុសគ្នា s 2 ដង់ស៊ីតេកាន់តែប្រមូលផ្តុំនៅជុំវិញ m ខណៈពេលដែលមុខងារចែកចាយកាន់តែចោត។

តម្លៃនៃ σ កំណត់រូបរាងនៃខ្សែកោងចែកចាយ។ ដោយសារតំបន់នៅក្រោមខ្សែកោងការចែកចាយត្រូវតែរក្សាភាពស្មើភាពគ្នាជានិច្ច នៅពេលដែល σ កើនឡើង ខ្សែកោងចែកចាយនឹងកាន់តែរលោង។ នៅលើរូបភព។ 3.1 បង្ហាញខ្សែកោងបីសម្រាប់ σ ផ្សេងគ្នា: σ1 = 0.5; σ2 = 1.0; σ3 = 2.0 ។

រូបភាព 3.1 - មុខងារដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយធម្មតាជាមួយ RMS ផ្សេងគ្នា។

មុខងារចែកចាយ (អនុគមន៍អាំងតេក្រាល) មានទម្រង់ (រូបភាពទី 4)៖

(4)

រូបភាពទី 4 - អាំងតេក្រាល (ក) និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ខ) មុខងារចែកចាយធម្មតា។

សារៈសំខាន់ជាពិសេសគឺការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរនៃអថេរចៃដន្យចែកចាយធម្មតា។ Xបន្ទាប់ពីនោះអថេរចៃដន្យត្រូវបានទទួល Zជាមួយនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា 0 និងបំរែបំរួល 1. ការបំប្លែងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា normalization:

វាអាចត្រូវបានធ្វើសម្រាប់រាល់អថេរចៃដន្យ។ ភាពធម្មតាអនុញ្ញាតឱ្យបំរែបំរួលដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាករណីមួយ: m = 0, s = 1 ។

ការចែកចាយធម្មតាជាមួយ m = 0, s = 1 ត្រូវបានគេហៅថា ការចែកចាយធម្មតា (ស្តង់ដារ).

ការចែកចាយធម្មតា។(ការចែកចាយស្តង់ដារ Laplace-Gauss ឬការចែកចាយធម្មតាធម្មតា) គឺជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនៃអថេរចៃដន្យធម្មតាដែលមានស្តង់ដារ Zដង់ស៊ីតេចែកចាយដែលស្មើនឹង៖

នៅ - ¥<z< + ¥

តម្លៃមុខងារ Ф(z)ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

(7)

តម្លៃមុខងារ Ф(z)និងដង់ស៊ីតេ f(z)ការចែកចាយធម្មតាធម្មតាត្រូវបានគណនា និងសង្ខេបក្នុងតារាង (តារាង)។ តារាងត្រូវបានចងក្រងសម្រាប់តែតម្លៃវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ zនោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល:

F (–z) = ១–Ф (z) (8)

ដោយប្រើតារាងទាំងនេះ មនុស្សម្នាក់អាចកំណត់មិនត្រឹមតែតម្លៃនៃមុខងារ និងដង់ស៊ីតេនៃការចែកចាយធម្មតាធម្មតាសម្រាប់ការផ្តល់ zប៉ុន្តែក៏មានតម្លៃនៃមុខងារចែកចាយធម្មតាទូទៅផងដែរ ចាប់តាំងពី៖

; (9)

. 10)

នៅក្នុងបញ្ហាជាច្រើនដែលទាក់ទងនឹងអថេរចៃដន្យដែលបានចែកចាយជាធម្មតា អ្នកត្រូវកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយអថេរចៃដន្យ។ Xជាកម្មវត្ថុនៃច្បាប់ធម្មតាដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ m និង s ទៅតំបន់ជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ គេហទំព័របែបនេះអាចជាវាលអត់ធ្មត់សម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រពីតម្លៃខាងលើ យូទៅបាត អិល.

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្លាក់ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលពី X 1 ទៅ X 2 អាចត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត:

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយតំលៃអថេរចៃដន្យ (តម្លៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ) Xនៅក្នុងវាលអត់ធ្មត់ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ Xនឹងស្ថិតនៅក្នុងμ kស . តម្លៃដែលទទួលបានសម្រាប់ k=1,2 និង 3 មានដូចខាងក្រោម (សូមមើលរូបទី 5)៖

ដូច្នេះ ប្រសិនបើតម្លៃណាមួយលេចឡើងនៅខាងក្រៅតំបន់ 3-sigma ដែលមាន 99.73% នៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍បែបនេះកើតឡើងគឺតូចណាស់ (1:270) វាគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាតម្លៃនៅក្នុងសំណួរបានប្រែក្លាយ។ តូចពេក ឬធំពេក មិនមែនដោយសារការបំរែបំរួលដោយចៃដន្យទេ ប៉ុន្តែដោយសារការជ្រៀតជ្រែកយ៉ាងសំខាន់ក្នុងដំណើរការខ្លួនវា ដែលមានសមត្ថភាពធ្វើឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរលក្ខណៈនៃការចែកចាយ។

តំបន់​ដែល​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​ព្រំប្រទល់​បី​ស៊ីកម៉ា​ក៏​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ផង​ដែរ​ តំបន់អត់ធ្មត់ស្ថិតិម៉ាស៊ីន ឬដំណើរការដែលពាក់ព័ន្ធ។