នៅពេលសិក្សាពិជគណិតនៅអនុវិទ្យាល័យ (ថ្នាក់ទី 9) ប្រធានបទសំខាន់មួយគឺការសិក្សាអំពីលំដាប់លេខ ដែលរួមមានវឌ្ឍនភាព - ធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ និងឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ។
តើអ្វីជាដំណើរការនព្វន្ធ?
ដើម្បីយល់ពីរឿងនេះ ចាំបាច់ត្រូវផ្តល់និយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពដែលកំពុងពិចារណា ក៏ដូចជាផ្តល់រូបមន្តមូលដ្ឋានដែលនឹងត្រូវបានប្រើបន្ថែមទៀតក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។
នព្វន្ធ ឬជាសំណុំនៃលេខសនិទានភាពដែលបានតម្រៀបគ្នា ដែលសមាជិកនីមួយៗខុសពីលេខមុនដោយតម្លៃថេរមួយចំនួន។ តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នា។ នោះគឺការដឹងពីសមាជិកណាមួយនៃស៊េរីលេខដែលបានបញ្ជាទិញ និងភាពខុសគ្នា អ្នកអាចស្ដារឡើងវិញនូវដំណើរការនព្វន្ធទាំងមូល។
សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។ លំដាប់បន្ទាប់នៃលេខនឹងជាដំណើរការនព្វន្ធៈ 4, 8, 12, 16, ... ចាប់តាំងពីភាពខុសគ្នាក្នុងករណីនេះគឺ 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) ។ ប៉ុន្តែសំណុំនៃលេខ 3, 5, 8, 12, 17 មិនអាចត្រូវបានគេសន្មតថាជាប្រភេទនៃវឌ្ឍនភាពដែលបានពិចារណាទេព្រោះភាពខុសគ្នាសម្រាប់វាមិនមែនជាតម្លៃថេរ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - ១២).
រូបមន្តសំខាន់ៗ
ឥឡូវនេះ យើងផ្តល់រូបមន្តមូលដ្ឋានដែលនឹងត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើការវិវត្តនព្វន្ធ។ អនុញ្ញាតឱ្យ n តំណាងឱ្យសមាជិកទី n នៃលំដាប់ដែល n ជាចំនួនគត់។ ភាពខុសគ្នាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំង ឃ។ បន្ទាប់មកកន្សោមខាងក្រោមគឺពិត៖
- ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យទី n រូបមន្តគឺសមរម្យ: a n \u003d (n-1) * d + a 1 ។
- ដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយ៖ S n = (a n + a 1) * n/2 ។
ដើម្បីយល់ពីឧទាហរណ៍ណាមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៅថ្នាក់ទី 9 វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំរូបមន្តទាំងពីរនេះ ចាប់តាំងពីបញ្ហាណាមួយនៃប្រភេទដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើការប្រើប្រាស់របស់វា។ ដូចគ្នានេះផងដែរកុំភ្លេចថាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត: d = a n - a n-1 ។
ឧទាហរណ៍ទី 1៖ ស្វែងរកសមាជិកដែលមិនស្គាល់
យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ និងរូបមន្តដែលត្រូវប្រើដើម្បីដោះស្រាយ។
សូមឱ្យលំដាប់លេខ 10, 8, 6, 4, ... ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពាក្យប្រាំនៅក្នុងវា។
វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលពាក្យ 4 ដំបូងត្រូវបានគេស្គាល់។ ទីប្រាំអាចត្រូវបានកំណត់តាមពីរវិធី:
- ចូរយើងគណនាភាពខុសគ្នាជាមុនសិន។ យើងមានៈ d = 8 − 10 = −2 ។ ដូចគ្នានេះដែរ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលយកលក្ខខណ្ឌពីរផ្សេងទៀតដែលឈរក្បែរគ្នា។ ឧទាហរណ៍ d = 4 − 6 = −2 ។ ដោយសារវាត្រូវបានគេដឹងថា d \u003d a n - a n-1 បន្ទាប់មក d \u003d a 5 - a 4 ពីកន្លែងដែលយើងទទួលបាន: a 5 \u003d a 4 + d ។ យើងជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់៖ a 5 = 4 + (-2) = 2 ។
- វិធីសាស្រ្តទីពីរក៏តម្រូវឱ្យមានចំនេះដឹងនៃភាពខុសគ្នានៃការវិវត្តនៅក្នុងសំណួរដូច្នេះដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់វាដូចបានបង្ហាញខាងលើ (d = -2) ។ ដោយដឹងថាពាក្យទីមួយ a 1 = 10 យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់លេខ n នៃលំដាប់។ យើងមាន៖ a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n ។ ការជំនួស n = 5 ចូលទៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយយើងទទួលបាន: a 5 = 12-2 * 5 = 2 ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដំណោះស្រាយទាំងពីរនាំឱ្យមានលទ្ធផលដូចគ្នា។ ចំណាំថាក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ភាពខុសគ្នា d នៃដំណើរការគឺអវិជ្ជមាន។ លំដាប់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះ ព្រោះពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗមានចំនួនតិចជាងពាក្យមុន។
ឧទាហរណ៍ទី ២៖ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ
ឥឡូវនេះសូមធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញបន្តិច សូមផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយអំពីរបៀបស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃការរីកចម្រើននព្វន្ធ។
វាត្រូវបានគេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការពិជគណិតមួយចំនួន វគ្គទី 1 ស្មើនឹង 6 ហើយពាក្យទី 7 ស្មើនឹង 18 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នា និងស្ដារលំដាប់នេះទៅពាក្យទី 7 ។
ចូរប្រើរូបមន្តដើម្បីកំណត់ពាក្យដែលមិនស្គាល់៖ a n = (n − 1) * d + a 1 ។ យើងជំនួសទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌទៅក្នុងវា ពោលគឺលេខ a 1 និង a 7 យើងមាន: 18 \u003d 6 + 6 * ឃ។ ពីកន្សោមនេះអ្នកអាចគណនាភាពខុសគ្នាយ៉ាងងាយស្រួល: d = (18 - 6) / 6 = 2. ដូច្នេះផ្នែកដំបូងនៃបញ្ហាត្រូវបានឆ្លើយ។
ដើម្បីស្តារលំដាប់ទៅសមាជិកទី 7 អ្នកគួរតែប្រើនិយមន័យនៃដំណើរការពិជគណិត នោះគឺ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ជាលទ្ធផលយើងស្តារលំដាប់ទាំងមូលឡើងវិញ៖ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 និង 7 = 18 ។
ឧទាហរណ៍ទី 3: ធ្វើឱ្យមានការរីកចម្រើន
អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឱ្យស្ថានភាពនៃបញ្ហាកាន់តែស្មុគស្មាញ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធ។ យើងអាចផ្តល់ឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖ លេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឧទាហរណ៍ 4 និង 5។ វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឱ្យមានដំណើរការពិជគណិត ដើម្បីឱ្យពាក្យបីទៀតសមរវាងពាក្យទាំងនេះ។
មុនពេលចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហានេះ ចាំបាច់ត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងកាន់កាប់នៅក្នុងការវិវត្តនាពេលអនាគត។ ដោយសារវានឹងមានពាក្យបីបន្ថែមទៀតរវាងពួកវា បន្ទាប់មក 1 \u003d -4 និង 5 \u003d 5។ ដោយបានបង្កើតវា ពួកយើងបន្តទៅកិច្ចការដែលស្រដៀងទៅនឹងពាក្យមុននេះ។ ជាថ្មីម្តងទៀតសម្រាប់ពាក្យទី 9 យើងប្រើរូបមន្តយើងទទួលបាន: a 5 \u003d a 1 + 4 * ឃ។ ពី៖ ឃ \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ។ នៅទីនេះ ភាពខុសគ្នាមិនមែនជាតម្លៃចំនួនគត់ទេ ប៉ុន្តែវាជាចំនួនសមហេតុផល ដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់ដំណើរការពិជគណិតនៅតែដដែល។
ឥឡូវនេះសូមបន្ថែមភាពខុសគ្នាដែលបានរកឃើញទៅ 1 និងស្ដារសមាជិកដែលបាត់នៃដំណើរការ។ យើងទទួលបាន៖ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0 ដែលស្របគ្នានឹងស្ថានភាពនៃបញ្ហា។
ឧទាហរណ៍ទី 4៖ សមាជិកដំបូងនៃដំណើរការ
យើងបន្តផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយ។ នៅក្នុងបញ្ហាមុនទាំងអស់ លេខដំបូងនៃដំណើរការពិជគណិតត្រូវបានគេដឹង។ ឥឡូវនេះពិចារណាបញ្ហានៃប្រភេទផ្សេងគ្នា: អនុញ្ញាតឱ្យលេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែល 15 = 50 និង 43 = 37 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពីលេខដែលលំដាប់នេះចាប់ផ្តើម។
រូបមន្តដែលត្រូវបានគេប្រើរហូតមកដល់ពេលនេះសន្មតថាមានចំណេះដឹងអំពី 1 និង ឃ។ គ្មានអ្វីត្រូវបានគេដឹងអំពីលេខទាំងនេះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានោះទេ។ យ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងសរសេរកន្សោមសម្រាប់ពាក្យនីមួយៗដែលយើងមានព័ត៌មាន៖ a 15 = a 1 + 14 * d និង a 43 = a 1 + 42 * d ។ យើងទទួលបានសមីការពីរដែលក្នុងនោះមាន 2 មិនស្គាល់បរិមាណ (a 1 និង d) ។ នេះមានន័យថាបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។
ប្រព័ន្ធដែលបានបញ្ជាក់គឺងាយស្រួលបំផុតដើម្បីដោះស្រាយ ប្រសិនបើអ្នកបង្ហាញ 1 ក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកប្រៀបធៀបកន្សោមលទ្ធផល។ សមីការទីមួយ៖ a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; សមីការទីពីរ៖ a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * ឃ។ ស្មើនឹងកន្សោមទាំងនេះយើងទទួលបាន៖ 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, ភាពខុសគ្នា d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (មានតែ 3 ខ្ទង់ទសភាគប៉ុណ្ណោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) ។
ដោយដឹង d អ្នកអាចប្រើកន្សោមណាមួយនៃ 2 ខាងលើសម្រាប់ 1 ។ ឧទាហរណ៍ដំបូង៖ a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496 ។
ប្រសិនបើមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលអ្នកអាចពិនិត្យមើលវាឧទាហរណ៍កំណត់សមាជិកទី 43 នៃការវិវត្តដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ យើងទទួលបាន៖ a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ។ កំហុសតូចមួយគឺដោយសារតែការពិតដែលថាការបង្គត់ទៅខ្ទង់ពាន់ត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា។
ឧទាហរណ៍ទី ៥៖ ផលបូក
ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
សូមឲ្យការវិវត្តជាលេខនៃទម្រង់ខាងក្រោមត្រូវបានផ្តល់ឲ្យ៖ ១, ២, ៣, ៤, …, ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាផលបូកនៃ 100 នៃលេខទាំងនេះ?
សូមអរគុណដល់ការអភិវឌ្ឍន៍នៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ បញ្ហានេះអាចដោះស្រាយបាន ពោលគឺបញ្ចូលលេខជាបន្តបន្ទាប់គ្នា ដែលកុំព្យូទ័រនឹងធ្វើភ្លាមៗនៅពេលដែលមនុស្សម្នាក់ចុចគ្រាប់ចុចបញ្ចូល (Enter) ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយស្មារតី ប្រសិនបើអ្នកយកចិត្តទុកដាក់ថាស៊េរីលេខដែលបានបង្ហាញគឺជាដំណើរការពិជគណិត ហើយភាពខុសគ្នារបស់វាគឺ 1. ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក យើងទទួលបាន៖ S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050 ។
វាជាការចង់ដឹងចង់ឃើញថាបញ្ហានេះត្រូវបានគេហៅថា "Gaussian" ចាប់តាំងពីដើមសតវត្សទី 18 ជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីល្បាញដែលនៅអាយុត្រឹមតែ 10 ឆ្នាំអាចដោះស្រាយវាបាននៅក្នុងចិត្តរបស់គាត់ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទី។ ក្មេងប្រុសមិនបានដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែគាត់បានកត់សម្គាល់ថា ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមលេខគូនៅគែមនៃលំដាប់ អ្នកតែងតែទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា នោះគឺ 1 + 100 = 2 + 99 ។ = 3 + 98 = ... ហើយចាប់តាំងពីផលបូកទាំងនេះនឹងពិតជា 50 (100 / 2) ដូច្នេះដើម្បីទទួលបានចម្លើយត្រឹមត្រូវ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណ 50 ដោយ 101 ។
ឧទាហរណ៍ទី ៦៖ ផលបូកនៃពាក្យពី n ដល់ m
ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយទៀតនៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺដូចខាងក្រោម៖ ដែលបានផ្តល់ឱ្យស៊េរីនៃលេខ: 3, 7, 11, 15, ... អ្នកត្រូវស្វែងរកអ្វីដែលផលបូកនៃពាក្យរបស់វាពី 8 ទៅ 14 នឹងមាន។
បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយតាមពីរវិធី។ ទីមួយនៃពួកគេពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកពាក្យដែលមិនស្គាល់ពី 8 ទៅ 14 ហើយបន្ទាប់មកបូកសរុបវាតាមលំដាប់លំដោយ។ ដោយសារមានលក្ខខណ្ឌតិចតួច វិធីសាស្ត្រនេះមិនពិបាកគ្រប់គ្រាន់ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយវិធីសាស្រ្តទីពីរដែលជាសកលជាង។
គំនិតនេះគឺដើម្បីទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតរវាងពាក្យ m និង n ដែល n > m ជាចំនួនគត់។ សម្រាប់ករណីទាំងពីរ យើងសរសេរកន្សោមពីរសម្រាប់ផលបូក៖
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2 ។
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2 ។
ចាប់តាំងពី n > m វាច្បាស់ណាស់ថាផលបូក 2 រួមបញ្ចូលលេខទីមួយ។ ការសន្និដ្ឋានចុងក្រោយមានន័យថាប្រសិនបើយើងយកភាពខុសគ្នារវាងផលបូកទាំងនេះហើយបន្ថែមពាក្យ a m ទៅវា (ក្នុងករណីយកភាពខុសគ្នាវាត្រូវបានដកចេញពីផលបូក S n) នោះយើងទទួលបានចម្លើយចាំបាច់ចំពោះបញ្ហា។ យើងមាន៖ S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ n និង a m ទៅក្នុងកន្សោមនេះ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ S mn = a 1 * (n − m) / 2 + n * (a 1 + (n − 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n − m + 1) + d * n * (n − 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2 ។
រូបមន្តលទ្ធផលគឺពិបាកបន្តិច ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ផលបូក S mn អាស្រ័យតែលើ n, m, a 1 និង d ប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ការជំនួសលេខទាំងនេះយើងទទួលបាន: S mn = 301 ។
ដូចដែលអាចមើលឃើញពីដំណោះស្រាយខាងលើ បញ្ហាទាំងអស់គឺផ្អែកលើចំណេះដឹងនៃការបញ្ចេញមតិសម្រាប់ពាក្យទី 1 និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសំណុំនៃពាក្យទីមួយ។ មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យអ្នកអានលក្ខខណ្ឌដោយប្រុងប្រយ័ត្ន យល់យ៉ាងច្បាស់អំពីអ្វីដែលអ្នកចង់ស្វែងរក ហើយមានតែបន្តដំណោះស្រាយប៉ុណ្ណោះ។
គន្លឹះមួយទៀតគឺត្រូវខិតខំឱ្យមានភាពសាមញ្ញ ពោលគឺប្រសិនបើអ្នកអាចឆ្លើយសំណួរដោយមិនប្រើការគណនាគណិតវិទ្យាស្មុគ្រស្មាញ នោះអ្នកត្រូវធ្វើដូចនោះ ព្រោះក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្វើខុសគឺតិចជាង។ ឧទាហរណ៍ក្នុងឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលេខ 6 មួយអាចឈប់នៅរូបមន្ត S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m និង បំបែកភារកិច្ចទូទៅទៅជាកិច្ចការរងដាច់ដោយឡែក (ក្នុងករណីនេះដំបូងរកពាក្យ a n និង a m) ។
ប្រសិនបើមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន វាត្រូវបានណែនាំឱ្យពិនិត្យមើលវា ដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ របៀបស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធ, បានរកឃើញ។ ពេលអ្នកយល់ឃើញហើយ វាមិនពិបាកនោះទេ។
ប្រភេទមេរៀន៖រៀនសម្ភារៈថ្មី។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖
- ការពង្រីក និងការធ្វើឱ្យស៊ីជម្រៅនៃគំនិតរបស់សិស្សអំពីកិច្ចការដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើការវិវត្តនព្វន្ធ។ ការរៀបចំសកម្មភាពស្វែងរករបស់សិស្សនៅពេលទាញយករូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ;
- ការអភិវឌ្ឍជំនាញដើម្បីទទួលបានចំណេះដឹងថ្មីៗដោយឯករាជ្យ ប្រើប្រាស់ចំណេះដឹងដែលទទួលបានរួចហើយដើម្បីសម្រេចបាននូវភារកិច្ច។
- ការអភិវឌ្ឍនៃបំណងប្រាថ្នានិងតម្រូវការដើម្បីធ្វើឱ្យទូទៅការពិតដែលទទួលបាន, ការអភិវឌ្ឍនៃឯករាជ្យភាព។
ភារកិច្ច:
- ធ្វើឱ្យទូទៅ និងរៀបចំប្រព័ន្ធចំណេះដឹងដែលមានស្រាប់លើប្រធានបទ "វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ";
- ទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាផលបូកនៃសមាជិក n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ;
- បង្រៀនពីរបៀបអនុវត្តរូបមន្តដែលទទួលបានក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។
- ទាញចំណាប់អារម្មណ៍របស់សិស្សទៅនីតិវិធីសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមលេខ។
ឧបករណ៍៖
- កាតដែលមានភារកិច្ចសម្រាប់ការងារជាក្រុមនិងជាគូ;
- ក្រដាសវាយតម្លៃ;
- បទបង្ហាញ"វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ" ។
I. ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃចំណេះដឹងមូលដ្ឋាន។
1. ការងារឯករាជ្យជាគូ។
ជម្រើសទី១៖
កំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ។ សរសេររូបមន្តដដែលៗដែលកំណត់ការវិវត្តនព្វន្ធ។ ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធ និងបង្ហាញពីភាពខុសគ្នារបស់វា។
ជម្រើសទី ២៖
សរសេររូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 នៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ស្វែងរកពាក្យទី 100 នៃដំណើរការនព្វន្ធ ( មួយ n}: 2, 5, 8 …
នៅពេលនេះ សិស្សពីរនាក់នៅខាងក្រោយនៃក្ដារខៀនកំពុងរៀបចំចម្លើយចំពោះសំណួរដូចគ្នា។
សិស្សវាយតម្លៃការងាររបស់ដៃគូដោយប្រៀបធៀបវាជាមួយក្រុមប្រឹក្សាភិបាល។ (ខិតប័ណ្ណដែលមានចំលើយត្រូវបានប្រគល់ជូន)។
2. ពេលលេងហ្គេម។
លំហាត់ 1 ។
គ្រូ។ខ្ញុំបានយល់ឃើញការវិវត្តនព្វន្ធខ្លះ។ សួរខ្ញុំតែពីរសំណួរប៉ុណ្ណោះ ដូច្នេះបន្ទាប់ពីចម្លើយរួច អ្នកអាចដាក់ឈ្មោះសមាជិកទី 7 នៃដំណើរការនេះបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ (១, ៣, ៥, ៧, ៩, ១១, ១៣, ១៥… )
សំណួរពីសិស្ស។
- តើអ្វីទៅជាអរិយសច្ចៈទី៦ ហើយអ្វីជាការខុសគ្នា?
- តើអរិយសច្ចៈ៨ ដូចម្តេចខ្លះហើយតើដូចម្តេចខ្លះ?
ប្រសិនបើមិនមានសំណួរបន្ថែមទេនោះ គ្រូអាចជំរុញពួកគេ - "ការហាមឃាត់" នៅលើ ឃ (ភាពខុសគ្នា) នោះគឺវាមិនអនុញ្ញាតឱ្យសួរថាតើអ្វីជាភាពខុសគ្នានោះទេ។ អ្នកអាចសួរសំណួរថា តើអ្វីទៅជាអវតារទី៦ និងអ្វីទៅជាអវសាន្តទី៨ ?
កិច្ចការទី 2 ។
មាន 20 លេខសរសេរនៅលើក្តារ: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
គ្រូឈរបែរខ្នងទៅក្តារខៀន។ សិស្សនិយាយថាលេខលេខ ហើយគ្រូក៏ហៅលេខនោះភ្លាម។ ពន្យល់ពីរបៀបដែលខ្ញុំអាចធ្វើបាន?
គ្រូចងចាំរូបមន្តនៃពាក្យទី 0 a n \u003d 3n - 2ហើយការជំនួសតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃ n ស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នា។ a n
II. សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃភារកិច្ចអប់រំ។
ខ្ញុំស្នើឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាចាស់ដែលមានអាយុកាលតាំងពីសហវត្សទី 2 មុនគ.ស ដែលរកឃើញនៅក្នុងក្រដាសអេហ្ស៊ីប។
កិច្ចការ៖"អនុញ្ញាតឱ្យវានិយាយទៅកាន់អ្នក: បែងចែក 10 រង្វាស់នៃ barley រវាង 10 នាក់, ភាពខុសគ្នារវាងមនុស្សម្នាក់ៗនិងអ្នកជិតខាងរបស់គាត់គឺ 1/8 នៃរង្វាស់។
- តើបញ្ហានេះទាក់ទងនឹងប្រធានបទនៃការវិវត្តនព្វន្ធដោយរបៀបណា? (មនុស្សបន្ទាប់នីមួយៗទទួលបាន 1/8 នៃរង្វាស់កាន់តែច្រើន ដូច្នេះភាពខុសគ្នាគឺ d=1/8 មនុស្ស 10 នាក់ ដូច្នេះ n=10។ )
- តើអ្នកគិតថាលេខ 10 មានន័យយ៉ាងណា? (ផលបូកនៃសមាជិកទាំងអស់នៃវឌ្ឍនភាព។ )
- តើអ្នកត្រូវដឹងអ្វីខ្លះទៀត ដើម្បីងាយស្រួល និងសាមញ្ញក្នុងការបែងចែក barley ទៅតាមស្ថានភាពនៃបញ្ហា? (ពាក្យដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព។ )
គោលបំណងនៃមេរៀន- ការទទួលបានភាពអាស្រ័យនៃផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពលើលេខរបស់ពួកគេពាក្យដំបូងនិងភាពខុសគ្នាហើយពិនិត្យមើលថាតើបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយត្រឹមត្រូវនៅសម័យបុរាណ។
មុននឹងទាញយករូបមន្តនេះ សូមមើលពីរបៀបដែលជនជាតិអេហ្ស៊ីបបុរាណបានដោះស្រាយបញ្ហានេះ។
ហើយពួកគេបានដោះស្រាយវាដូចនេះ៖
1) 10 វិធានការ: 10 = 1 រង្វាស់ - ការចែករំលែកជាមធ្យម;
2) 1 រង្វាស់ ∙ = 2 រង្វាស់ - ទ្វេដង មធ្យមចែករំលែក។
កើនឡើងទ្វេដង មធ្យមភាគហ៊ុនគឺជាផលបូកនៃភាគហ៊ុនរបស់បុគ្គលទី 5 និងទី 6 ។
3) 2 រង្វាស់ - 1/8 រង្វាស់ = 1 7/8 រង្វាស់ - ពីរដងនៃចំណែកនៃមនុស្សទី 5 ។
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ចំណែកនៃទីប្រាំ; ហើយដូច្នេះនៅលើនោះ អ្នកអាចរកឃើញចំណែករបស់មនុស្សមុន និងបន្ទាប់នីមួយៗ។
យើងទទួលបានលំដាប់៖
III. ដំណោះស្រាយនៃភារកិច្ច។
1. ធ្វើការជាក្រុម
ក្រុមទី១៖ស្វែងរកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិ 20 ជាប់គ្នា៖ ស 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210 ។
ជាទូទៅ 
ក្រុម II៖ស្វែងរកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ 100 (រឿងព្រេងរបស់ Little Gauss) ។
S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖
ក្រុម III៖ស្វែងរកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ 21 ។
ដំណោះស្រាយ៖ 1+21=2+20=3+19=4+18…
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖
ក្រុម IV៖ស្វែងរកផលបូកនៃលេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ 101 ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖
វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានពិចារណាត្រូវបានគេហៅថា "វិធីសាស្ត្រ Gauss" ។
2. ក្រុមនីមួយៗបង្ហាញដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានៅលើក្តារខៀន។
3. ការធ្វើទូទៅនៃដំណោះស្រាយដែលបានស្នើឡើងសម្រាប់ដំណើរការនព្វន្ធតាមអំពើចិត្ត៖
a 1 , a 2 , a 3 ,… , a n-2 , a n-1 , a n ។
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n ។
យើងរកឃើញផលបូកនេះដោយការប្រកែកស្រដៀងគ្នា៖
4. តើយើងបានដោះស្រាយបញ្ហាហើយឬនៅ?(បាទ។ )
IV. ការយល់ដឹងបឋម និងការអនុវត្តរូបមន្តដែលទទួលបានក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។
1. ការពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាចាស់ដោយរូបមន្ត។
2. ការអនុវត្តរូបមន្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។
3. លំហាត់សម្រាប់ការបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។
ក) លេខ ៦១៣
បានផ្តល់ឱ្យ :( និង n) -វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ;
(a n): 1, 2, 3, ... , 1500
ស្វែងរក៖ ស ១៥០០
ដំណោះស្រាយ៖ , និង 1 = 1, និង 1500 = 1500,
ខ) ផ្តល់ឱ្យ៖ ( និង n) -វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ;
(និង n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
ស្វែងរក៖ ន
ដំណោះស្រាយ៖
V. ការងារឯករាជ្យជាមួយនឹងការផ្ទៀងផ្ទាត់គ្នាទៅវិញទៅមក។
Denis បានទៅធ្វើការជាអ្នកនាំសំបុត្រ។ នៅក្នុងខែដំបូងប្រាក់ខែរបស់គាត់គឺ 200 រូប្លិ៍ក្នុងខែបន្តបន្ទាប់នីមួយៗវាកើនឡើង 30 រូប្លិ៍។ តើគាត់រកបានប៉ុន្មានក្នុងមួយឆ្នាំ?
បានផ្តល់ឱ្យ :( និង n) -វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ;
a 1 = 200, d=30, n=12
ស្វែងរក៖ ស ១២
ដំណោះស្រាយ៖
ចម្លើយ៖ Denis ទទួលបាន 4380 rubles សម្រាប់ឆ្នាំ។
VI. ការណែនាំអំពីកិច្ចការផ្ទះ។
- ទំ.៤.៣ - រៀនពីប្រភពនៃរូបមន្ត។
- №№ 585, 623 .
- តែងបញ្ហាដែលនឹងត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
VII. សង្ខេបមេរៀន។
1. សន្លឹកពិន្ទុ
2. បន្តប្រយោគ
- ថ្ងៃនេះខ្ញុំរៀនក្នុងថ្នាក់...
- រៀនរូបមន្ត...
- ខ្ញុំគិតថា …
3. តើអ្នកអាចរកផលបូកនៃលេខពី 1 ដល់ 500 បានទេ? តើអ្នកនឹងប្រើវិធីអ្វីដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ?
គន្ថនិទ្ទេស។
1. ពិជគណិតថ្នាក់ទី 9 ។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ស្ថាប័នអប់រំ។ អេដ។ G.V. ដូរ៉ូហ្វីវ៉ា។ទីក្រុងម៉ូស្គូ៖ ការត្រាស់ដឹង, ឆ្នាំ ២០០៩ ។
ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺជារឿងសាមញ្ញ។ ទាំងក្នុងន័យ និងរូបមន្ត។ ប៉ុន្តែមានកិច្ចការគ្រប់ប្រភេទលើប្រធានបទនេះ។ ពីបឋមទៅរឹង។
ជាដំបូង ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយនឹងអត្ថន័យ និងរូបមន្តនៃផលបូក។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ការរីករាយរបស់អ្នកផ្ទាល់។) អត្ថន័យនៃការបូកគឺសាមញ្ញដូចជាទាប។ ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបន្ថែមសមាជិកទាំងអស់របស់វាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងនេះមានតិចតួច អ្នកអាចបន្ថែមដោយគ្មានរូបមន្តណាមួយឡើយ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានច្រើនឬច្រើន ... ការបន្ថែមគឺរំខាន។) ក្នុងករណីនេះរូបមន្តរក្សាទុក។
រូបមន្តបូកគឺសាមញ្ញ៖
ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើអក្សរប្រភេទណាដែលត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្ត។ នេះនឹងជម្រះបានច្រើន។
ស គឺជាផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ លទ្ធផលបន្ថែម ទាំងអស់។សមាជិក, ជាមួយ ដំបូងនៅលើ ចុងក្រោយ។វាមានសារៈសំខាន់ណាស់។ បន្ថែមយ៉ាងពិតប្រាកដ ទាំងអស់។សមាជិកជាប់ៗគ្នាដោយគ្មានចន្លោះ និងលោត។ ហើយពិតប្រាកដណាស់ ចាប់ផ្តើមពី ដំបូង។នៅក្នុងបញ្ហាដូចជាការស្វែងរកផលបូកនៃពាក្យទីបី និងទីប្រាំបី ឬផលបូកនៃពាក្យ 5 ដល់ទី 20 ការអនុវត្តន៍រូបមន្តដោយផ្ទាល់នឹងមានការខកចិត្ត។)
ក ១ - ដំបូងសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់នៅទីនេះ វាសាមញ្ញ ដំបូងលេខជួរ។
មួយ n- ចុងក្រោយសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ លេខចុងក្រោយនៃជួរ។ មិនមែនជាឈ្មោះដែលធ្លាប់ស្គាល់នោះទេ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលបានអនុវត្តទៅនឹងចំនួននេះគឺសមរម្យណាស់។ បន្ទាប់មកអ្នកនឹងឃើញដោយខ្លួនឯង។
ន គឺជាចំនួនសមាជិកចុងក្រោយ។ វាជាការសំខាន់ក្នុងការយល់ថានៅក្នុងរូបមន្តលេខនេះ។ ស្របពេលជាមួយនឹងចំនួនពាក្យបន្ថែម។
ចូរយើងកំណត់គំនិត ចុងក្រោយសមាជិក មួយ n. ការបំពេញសំណួរ៖ តើសមាជិកប្រភេទណានឹង ចុងក្រោយ,ប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ គ្មានទីបញ្ចប់វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ?
សម្រាប់ចម្លើយដែលមានទំនុកចិត្ត អ្នកត្រូវយល់ពីអត្ថន័យបឋមនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ហើយ... អានកិច្ចការដោយប្រុងប្រយ័ត្ន!)
ក្នុងកិច្ចការស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ពាក្យចុងក្រោយតែងតែលេចឡើង (ដោយផ្ទាល់ ឬដោយប្រយោល)។ ដែលគួរតែត្រូវបានកំណត់។បើមិនដូច្នោះទេ ចំនួនកំណត់ជាក់លាក់ គ្រាន់តែមិនមាន។ចំពោះដំណោះស្រាយ វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទេដែលការវិវឌ្ឍន៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ កំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ វាមិនមានបញ្ហាថាតើវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរបៀបណាទេ: ដោយស៊េរីនៃលេខឬដោយរូបមន្តនៃសមាជិកទី n ។
អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺត្រូវយល់ថារូបមន្តដំណើរការពីពាក្យដំបូងនៃការវិវត្តទៅជាពាក្យដែលមានលេខ ន.តាមពិតឈ្មោះពេញនៃរូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖ ផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ចំនួននៃសមាជិកដំបូងបំផុតទាំងនេះ i.e. នត្រូវបានកំណត់ដោយភារកិច្ច។ នៅក្នុងភារកិច្ច ព័ត៌មានដ៏មានតម្លៃទាំងអស់នេះត្រូវបានអ៊ិនគ្រីបជាញឹកញាប់ បាទ... ប៉ុន្តែគ្មានអ្វីទេ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងបង្ហាញអាថ៌កំបាំងទាំងនេះ។ )
ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ជាដំបូងព័ត៌មានមានប្រយោជន៍៖
ការលំបាកចម្បងក្នុងកិច្ចការសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ គឺការកំណត់ត្រឹមត្រូវនៃធាតុនៃរូបមន្ត។
អ្នកនិពន្ធនៃកិច្ចការបានអ៊ិនគ្រីបធាតុទាំងនេះជាមួយនឹងការស្រមើលស្រមៃគ្មានព្រំដែន។) រឿងសំខាន់នៅទីនេះគឺមិនត្រូវភ័យខ្លាចទេ។ ការស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារនៃធាតុ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបកស្រាយពួកវា សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនលម្អិត។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងកិច្ចការដែលផ្អែកលើ GIA ពិតប្រាកដ។
1. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ: a n = 2n-3.5 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 10 ពាក្យដំបូង។
ការងារល្អ។ ងាយស្រួល) ដើម្បីកំណត់បរិមាណតាមរូបមន្ត តើយើងត្រូវដឹងអ្វីខ្លះ? សមាជិកដំបូង ក ១, អាណត្តិចុងក្រោយ មួយ nបាទចំនួននៃពាក្យចុងក្រោយ ន.
កន្លែងដែលត្រូវទទួលបានលេខសមាជិកចុងក្រោយ ន? បាទ, នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ! វានិយាយថារកផលបូក សមាជិក 10 នាក់ដំបូង។អញ្ចឹងតើវានឹងជាលេខអ្វី ចុងក្រោយ,សមាជិកទីដប់?) អ្នកនឹងមិនជឿទេ លេខរបស់គាត់គឺលេខដប់!) ដូច្នេះ ជំនួសឱ្យ មួយ nយើងនឹងជំនួសរូបមន្ត មួយ 10ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ ន- ដប់។ ជាថ្មីម្តងទៀត ចំនួនសមាជិកចុងក្រោយគឺដូចគ្នានឹងចំនួនសមាជិកដែរ។
វានៅតែត្រូវកំណត់ ក ១និង មួយ 10. នេះត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលដោយរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។ មិនដឹងធ្វើម៉េច? ទស្សនាមេរៀនមុនដោយគ្មាននេះ - គ្មានអ្វីសោះ។
ក ១= 2 1 − 3.5 = −1.5
មួយ 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5
ស = ស ១០.
យើងបានរកឃើញអត្ថន័យនៃធាតុទាំងអស់នៃរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ វានៅសល់ដើម្បីជំនួសពួកគេហើយរាប់:
នោះហើយជាអ្វីទាំងអស់ដែលមានចំពោះវា។ ចម្លើយ៖ ៧៥ ។
កិច្ចការមួយទៀតផ្អែកលើ GIA ។ ស្មុគស្មាញបន្តិច៖
2. ផ្តល់ការវិវត្តនព្វន្ធ (a n) ភាពខុសគ្នានៃលេខ 3.7; a 1 \u003d 2.3 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 15 លក្ខខណ្ឌដំបូង។
យើងសរសេររូបមន្តបូកភ្លាមៗ៖
រូបមន្តនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកណាមួយដោយលេខរបស់វា។ យើងកំពុងស្វែងរកការជំនួសដ៏សាមញ្ញមួយ៖
a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1
វានៅសល់ដើម្បីជំនួសធាតុទាំងអស់នៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយគណនាចម្លើយ៖
ចម្លើយ៖ ៤២៣ ។
ដោយវិធីនេះប្រសិនបើនៅក្នុងរូបមន្តបូកជំនួសឱ្យ មួយ nគ្រាន់តែជំនួសរូបមន្តនៃពាក្យទី 9 យើងទទួលបាន:
យើងផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា យើងទទួលបានរូបមន្តថ្មីសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖
 |
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញពាក្យទី 9 មិនត្រូវបានទាមទារនៅទីនេះទេ។ មួយ n. ក្នុងកិច្ចការខ្លះ រូបមន្តនេះជួយចេញបានច្រើន បាទ... អ្នកអាចចាំរូបមន្តនេះបាន។ ហើយអ្នកអាចដកវាចេញតាមពេលវេលាត្រឹមត្រូវ ដូចនៅទីនេះ។ យ៉ាងណាមិញ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី៩ ត្រូវតែចងចាំតាមគ្រប់មធ្យោបាយទាំងអស់។)
ឥឡូវនេះភារកិច្ចនៅក្នុងទម្រង់នៃការអ៊ិនគ្រីបខ្លី):
3. រកផលបូកនៃលេខពីរខ្ទង់វិជ្ជមានទាំងអស់ដែលជាគុណនឹងបី។
ម៉េច! គ្មានសមាជិកដំបូង គ្មានចុងក្រោយ គ្មានការរីកចម្រើនទាល់តែសោះ... រស់យ៉ាងណា!?
អ្នកនឹងត្រូវគិតដោយក្បាលរបស់អ្នក ហើយទាញចេញពីលក្ខខណ្ឌនៃធាតុទាំងអស់នៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ តើអ្វីទៅជាលេខពីរខ្ទង់ - យើងដឹង។ ពួកវាមានពីរលេខ។) តើលេខពីរខ្ទង់ណានឹង ដំបូង? 10 សន្មត។ ) រឿងចុងក្រោយលេខពីរខ្ទង់? 99 ពិតណាស់! លេខបីខ្ទង់នឹងតាមគាត់...
គុណនឹងបី... ហ៊ឹម... ទាំងនេះគឺជាលេខដែលចែកស្មើៗគ្នាដោយបី នៅទីនេះ! ដប់មិនបែងចែកដោយបី, 11 មិនបែងចែក ... 12 ... គឺបែងចែក! ដូច្នេះមានអ្វីមួយកំពុងលេចចេញមក។ អ្នកអាចសរសេរស៊េរីរួចហើយតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
តើស៊េរីនេះនឹងជាដំណើរការនព្វន្ធឬ? ពិតប្រាកដណាស់! ពាក្យនីមួយៗខុសគ្នាពីពាក្យមុនយ៉ាងតឹងរ៉ឹងដោយបី។ ប្រសិនបើ 2 ឬ 4 ត្រូវបានបន្ថែមទៅពាក្យ និយាយថា លទ្ធផល i.e. លេខថ្មីនឹងលែងត្រូវចែកដោយ 3 ទៀតហើយ។ អ្នកអាចកំណត់ពីភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅហបភ្លាមៗ៖ d = ៣.មានប្រយោជន៍!)
ដូច្នេះ យើងអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាពនូវប៉ារ៉ាម៉ែត្រវឌ្ឍនភាពមួយចំនួន៖
តើលេខនឹងជាអ្វី នសមាជិកចុងក្រោយ? នរណាម្នាក់ដែលគិតថាលេខ 99 គឺខុសធ្ងន់ធ្ងរ ... លេខ - ពួកគេតែងតែជាប់ៗគ្នា ហើយសមាជិករបស់យើងលោតពីលើកំពូលទាំងបី។ ពួកគេមិនត្រូវគ្នា។
មានដំណោះស្រាយពីរនៅទីនេះ។ មធ្យោបាយមួយគឺសម្រាប់ការខិតខំប្រឹងប្រែងខ្លាំង។ អ្នកអាចលាបពណ៌វឌ្ឍនភាព ស៊េរីលេខទាំងមូល និងរាប់ចំនួនពាក្យដោយម្រាមដៃរបស់អ្នក។) វិធីទីពីរគឺសម្រាប់អ្នកគិត។ អ្នកត្រូវចាំរូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 0 ។ ប្រសិនបើរូបមន្តត្រូវបានអនុវត្តចំពោះបញ្ហារបស់យើង យើងទទួលបានថា 99 គឺជាសមាជិកទី 30 នៃវឌ្ឍនភាព។ ទាំងនោះ។ n = 30 ។
យើងមើលរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ៖
យើងមើលហើយរីករាយ។) យើងបានដកអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដែលចាំបាច់សម្រាប់ការគណនាចំនួនពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖
ក ១= 12.
មួយ 30= 99.
ស = ស ៣០.
អ្វីដែលនៅសល់គឺលេខនព្វន្ធបឋម។ ជំនួសលេខក្នុងរូបមន្ត ហើយគណនា៖
ចម្លើយ៖ ១៦៦៥
ប្រភេទល្បែងផ្គុំរូបពេញនិយមមួយទៀត៖
4. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
រកផលបូកនៃពាក្យពីលេខម្ភៃដល់សាមសិបបួន។
យើងមើលរូបមន្តផលបូកហើយ...យើងអន់ចិត្ត។) រូបមន្តខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក គណនាផលបូក ពីដំបូងសមាជិក។ ហើយនៅក្នុងបញ្ហាអ្នកត្រូវគណនាផលបូក ចាប់តាំងពីទសវត្សរ៍ទី 20 ...រូបមន្តនឹងមិនដំណើរការទេ។
ជាការពិតណាស់ អ្នកអាចគូរដំណើរការទាំងមូលជាមួយជួរ ហើយដាក់លក្ខខណ្ឌពី 20 ទៅ 34។ ប៉ុន្តែ... ដូចម្ដេចដែលវាប្រែជាឆោតល្ងង់ និងយូរហើយមែនទេ?)
មានដំណោះស្រាយឆើតឆាយជាង។ ចូរបំបែកស៊េរីរបស់យើងជាពីរផ្នែក។ ផ្នែកទីមួយនឹង ពីពាក្យទីមួយដល់ទីដប់ប្រាំបួន។ផ្នែកទីពីរ - ម្ភៃទៅសាមសិបបួន។វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើយើងគណនាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃផ្នែកទីមួយ ស ១-១៩ចូរយើងបន្ថែមវាទៅផលបូកនៃសមាជិកនៃផ្នែកទីពីរ ស ២០-៣៤យើងទទួលបានផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពពីពាក្យទីមួយដល់សាមសិបបួន ស ១-៣៤. ដូចនេះ៖
ស ១-១៩ + ស ២០-៣៤ = ស ១-៣៤
នេះបង្ហាញថាដើម្បីរកផលបូក ស ២០-៣៤អាចត្រូវបានធ្វើដោយការដកសាមញ្ញ
ស ២០-៣៤ = ស ១-៣៤ - ស ១-១៩
ផលបូកទាំងពីរនៅខាងស្តាំត្រូវបានពិចារណា ពីដំបូងសមាជិក, i.e. រូបមន្តផលបូកស្តង់ដារគឺអាចអនុវត្តបានចំពោះពួកគេ។ តើយើងចាប់ផ្តើមទេ?
យើងទាញយកប៉ារ៉ាម៉ែត្រវឌ្ឍនភាពចេញពីលក្ខខណ្ឌការងារ៖
d = 1.5 ។
ក ១= -21,5.
ដើម្បីគណនាផលបូកនៃពាក្យ 19 និង 34 ដំបូង យើងនឹងត្រូវការពាក្យទី 19 និង 34 ។ យើងរាប់វាតាមរូបមន្តនៃពាក្យទី៩ ដូចក្នុងបញ្ហាទី២៖
មួយ 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5
មួយ ៣៤\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28
មិនមានអ្វីនៅសល់ទេ។ ដកផលបូកនៃ 19 ពីផលបូកនៃ 34 ឃ្លា៖
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5
ចម្លើយ៖ ២៦២.៥
ចំណាំសំខាន់មួយ! មានមុខងារមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ជំនួសឱ្យការគណនាដោយផ្ទាល់ អ្វីដែលអ្នកត្រូវការ (ស ២០-៣៤)យើងបានរាប់ អ្វីដែលវាហាក់ដូចជាមិនត្រូវការ - S 1-19 ។ហើយបន្ទាប់មកពួកគេបានកំណត់ ស ២០-៣៤បោះចោលអ្វីដែលមិនចាំបាច់ចេញពីលទ្ធផលពេញលេញ។ "ក្លែងបន្លំត្រចៀក" បែបនេះច្រើនតែរក្សាទុកក្នុងល្បែងផ្គុំរូបអាក្រក់។ )
នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានពិចារណាបញ្ហាសម្រាប់ដំណោះស្រាយ ដែលវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយល់ពីអត្ថន័យនៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។ ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តពីរបី។ )
ដំបូន្មានជាក់ស្តែង៖
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យសរសេរភ្លាមៗនូវរូបមន្តសំខាន់ៗពីរពីប្រធានបទនេះ។
រូបមន្តនៃសមាជិកទី 9:
រូបមន្តទាំងនេះនឹងប្រាប់អ្នកភ្លាមៗពីអ្វីដែលត្រូវរកមើល តើត្រូវគិតក្នុងទិសដៅណា ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា។ ជួយ
ហើយឥឡូវនេះភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។
5. រកផលបូកនៃលេខពីរខ្ទង់ទាំងអស់ដែលមិនត្រូវបានបែងចែកដោយបី។
ឡូយ?) ព័ត៌មានជំនួយត្រូវបានលាក់នៅក្នុងកំណត់ចំណាំចំពោះបញ្ហា 4. ជាការប្រសើរណាស់ បញ្ហាទី 3 នឹងជួយ។
6. ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌ: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5 ។ ស្វែងរកផលបូកនៃ 24 លក្ខខណ្ឌដំបូង។
មិនធម្មតា?) នេះគឺជារូបមន្តដែលកើតឡើងដដែលៗ។ អ្នកអាចអានអំពីវានៅក្នុងមេរៀនមុន។ កុំព្រងើយកន្តើយនឹងតំណភ្ជាប់នេះ ល្បែងផ្គុំរូបបែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុង GIA ។
7. Vasya សន្សំប្រាក់សម្រាប់ថ្ងៃឈប់សម្រាក។ ជាច្រើនដូចជា 4550 rubles! ហើយខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តផ្តល់ឱ្យមនុស្សជាទីស្រឡាញ់បំផុត (ខ្លួនឯង) ពីរបីថ្ងៃនៃសុភមង្គល) ។ រស់នៅស្អាតដោយមិនបដិសេធខ្លួនឯងអ្វីទាំងអស់។ ចំណាយ 500 រូប្លិនៅថ្ងៃដំបូងហើយចំណាយ 50 រូប្លិបន្ថែមទៀតនៅថ្ងៃបន្តបន្ទាប់ជាងនៅថ្ងៃមុន! រហូតដល់លុយអស់។ តើ Vasya មានសុភមង្គលប៉ុន្មានថ្ងៃ?
តើវាពិបាកទេ?) រូបមន្តបន្ថែមពីកិច្ចការទី 2 នឹងជួយ។
ចំលើយ (ក្នុងភាពច្របូកច្របល់): 7, 3240, 6.
ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...
និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )
អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)
អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។
កម្រិតដំបូង
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ទ្រឹស្តីលម្អិតជាមួយឧទាហរណ៍ (2019)
លំដាប់លេខ
ដូច្នេះ ចូរយើងអង្គុយចុះ ហើយចាប់ផ្តើមសរសេរលេខខ្លះ។ ឧទាហរណ៍:
អ្នកអាចសរសេរលេខណាមួយ ហើយអាចមានច្រើនតាមតែអ្នកចូលចិត្ត (ក្នុងករណីរបស់យើង ពួកវា)។ មិនថាយើងសរសេរលេខប៉ុន្មានទេ យើងតែងតែអាចនិយាយបានថាមួយណាជាលេខទីមួយ លេខទីពីរ ហើយបន្តទៅលេខចុងក្រោយ នោះគឺយើងអាចដាក់លេខបាន។ នេះជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ៖
លំដាប់លេខ
ឧទាហរណ៍សម្រាប់លំដាប់របស់យើង៖
លេខដែលបានកំណត់គឺជាក់លាក់សម្រាប់លេខលំដាប់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ម៉្យាងទៀតមិនមានលេខទីពីរចំនួនបីនៅក្នុងលំដាប់នោះទេ។ លេខទីពីរ (ដូចជាលេខ -th) គឺតែងតែដូចគ្នា។
លេខដែលមានលេខត្រូវបានគេហៅថាសមាជិក -th នៃលំដាប់។
ជាធម្មតា យើងហៅលំដាប់ទាំងមូលថា អក្សរខ្លះ (ឧទាហរណ៍) ហើយសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ - អក្សរដូចគ្នាដែលមានលិបិក្រមស្មើនឹងចំនួនសមាជិកនេះ៖ .
ក្នុងករណីរបស់យើង៖ 
ឧបមាថាយើងមានលំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។
ឧទាហរណ៍: 
ល។
លំដាប់លេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការនព្វន្ធ។
ពាក្យ "វឌ្ឍនភាព" ត្រូវបានណែនាំដោយអ្នកនិពន្ធរ៉ូម៉ាំង Boethius នៅដើមសតវត្សទី 6 ហើយត្រូវបានគេយល់ក្នុងន័យទូលំទូលាយថាជាលំដាប់លេខគ្មានទីបញ្ចប់។ ឈ្មោះ "នព្វន្ធ" ត្រូវបានផ្ទេរពីទ្រឹស្ដីនៃសមាមាត្របន្តដែលក្រិកបុរាណបានចូលរួម។
នេះគឺជាលំដាប់លេខ ដែលសមាជិកនីមួយៗស្មើនឹងលេខមុន ត្រូវបានបន្ថែមដោយលេខដូចគ្នា។ លេខនេះត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ ហើយត្រូវបានតំណាង។
ព្យាយាមកំណត់ថាតើលំដាប់លេខមួយណាជាដំណើរការនព្វន្ធ ហើយមួយណាមិនមែនជា៖
ក)
ខ)
គ)
ឃ)
យល់ទេ? ប្រៀបធៀបចម្លើយរបស់យើង៖
គឺវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ - ខ, គ។
មិនមែនវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ - a, d ។
ចូរយើងត្រលប់ទៅវឌ្ឍនភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យ () ហើយព្យាយាមស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកទី 1 របស់វា។ មាន ពីរវិធីស្វែងរកវា។
1. វិធីសាស្រ្ត
យើងអាចបន្ថែមទៅតម្លៃមុននៃលេខដំណើរការរហូតដល់យើងឈានដល់វគ្គទីមួយនៃការវិវត្ត។ ជាការល្អដែលយើងមិនមានអ្វីច្រើនដើម្បីសង្ខេប - មានតែតម្លៃបីប៉ុណ្ណោះ៖
ដូច្នេះ សមាជិក -th នៃដំណើរការនព្វន្ធដែលបានពិពណ៌នាគឺស្មើនឹង។
2. វិធីសាស្រ្ត
ចុះបើយើងត្រូវការស្វែងរកតម្លៃនៃពាក្យទីនៃការរីកចម្រើន? ការបូកសរុបនឹងនាំយើងលើសពីមួយម៉ោង ហើយវាមិនមែនជាការពិតដែលថាយើងនឹងមិនមានកំហុសនៅពេលបន្ថែមលេខនោះទេ។
ជាការពិតណាស់ គណិតវិទូបានបង្កើតវិធីមួយដែលអ្នកមិនចាំបាច់បន្ថែមភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធទៅនឹងតម្លៃមុននោះទេ។ សូមក្រឡេកមើលរូបភាពដែលបានគូរឲ្យជិត… ប្រាកដណាស់អ្នកបានកត់សម្គាល់ឃើញគំរូជាក់លាក់មួយរួចហើយ ពោលគឺ៖
ជាឧទាហរណ៍ សូមមើលអ្វីដែលបង្កើតតម្លៃនៃសមាជិក -th នៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ៖ 
ក្នុងន័យផ្សេងទៀត:
ព្យាយាមស្វែងរកដោយឯករាជ្យតាមវិធីនេះតម្លៃនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ។
គណនា? ប្រៀបធៀបធាតុរបស់អ្នកជាមួយចម្លើយ៖
សូមយកចិត្តទុកដាក់ថា អ្នកទទួលបានលេខដូចគ្នាទៅនឹងវិធីសាស្ត្រមុន នៅពេលដែលយើងបន្ថែមសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធជាបន្តបន្ទាប់ទៅតម្លៃមុន។
ចូរយើងព្យាយាម "ធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួន" រូបមន្តនេះ - យើងនាំយកវាទៅជាទម្រង់ទូទៅហើយទទួលបាន:
|
សមីការវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ |
ការវិវត្តនព្វន្ធគឺកើនឡើង ឬថយចុះ។
ការកើនឡើង- វឌ្ឍនភាពដែលតម្លៃបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃលក្ខខណ្ឌគឺធំជាងពាក្យមុន។
ឧទាហរណ៍:
ចុះ- វឌ្ឍនភាពដែលតម្លៃបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនៃលក្ខខណ្ឌគឺតិចជាងតម្លៃមុន។
ឧទាហរណ៍:
រូបមន្តដែលទទួលបានគឺត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការគណនាពាក្យទាំងការបង្កើន និងបន្ថយនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចូរយើងពិនិត្យមើលវានៅក្នុងការអនុវត្ត។
យើងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនូវការរីកចម្រើននព្វន្ធដែលមានចំនួនដូចខាងក្រោមនេះ:
ចាប់តាំងពីពេលនោះមក៖
ដូច្នេះហើយ យើងត្រូវបានគេជឿជាក់ថារូបមន្តនេះមានប្រសិទ្ធភាពទាំងក្នុងការបន្ថយ និងក្នុងការបង្កើនវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។
ព្យាយាមស្វែងរកសមាជិក -th និង -th នៃដំណើរការនព្វន្ធនេះដោយខ្លួនឯង
តោះប្រៀបធៀបលទ្ធផល៖
ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ
ចូរធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញ - យើងទទួលបានទ្រព្យសម្បត្តិនៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់លក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ
- វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ, ស្វែងរកតម្លៃ។
វាងាយស្រួលអ្នកនិយាយ ហើយចាប់ផ្តើមរាប់តាមរូបមន្តដែលអ្នកដឹងរួចហើយ៖
អនុញ្ញាតឱ្យ a, បន្ទាប់មក:
ពិតជាត្រឹមត្រូវ។ វាប្រែថាយើងរកឃើញដំបូងបន្ទាប់មកបន្ថែមវាទៅលេខដំបូងហើយទទួលបានអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក។ ប្រសិនបើការវិវត្តន៍ត្រូវបានតំណាងដោយតម្លៃតូច នោះមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញអំពីវាទេ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើយើងត្រូវបានផ្តល់លេខនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ? យល់ស្រប វាមានលទ្ធភាពធ្វើកំហុសក្នុងការគណនា។
ឥឡូវនេះគិតថាតើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះក្នុងមួយជំហានដោយប្រើរូបមន្តណាមួយ? ជាការពិតណាស់ បាទ ហើយយើងនឹងព្យាយាមយកវាចេញឥឡូវនេះ។
ចូរយើងសម្គាល់ពាក្យដែលចង់បាននៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ដូចដែលយើងដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកវា - នេះគឺជារូបមន្តដូចគ្នាដែលយើងបានមកពីដំបូង៖
បន្ទាប់មក៖
- សមាជិកមុននៃវឌ្ឍនភាពគឺ៖
- រយៈពេលបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាពគឺ៖
ចូរសរុបសមាជិកមុន និងបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាព៖
វាប្រែថាផលបូកនៃសមាជិកមុននិងបន្តបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាពគឺពីរដងនៃតម្លៃនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពដែលមានទីតាំងនៅចន្លោះពួកគេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃសមាជិកវឌ្ឍនភាពជាមួយនឹងតម្លៃដែលបានស្គាល់ពីមុន និងបន្តបន្ទាប់ វាចាំបាច់ក្នុងការបន្ថែមពួកវា និងចែកដោយ។
ត្រូវហើយ យើងទទួលបានលេខដូចគ្នា។ តោះជួសជុលសម្ភារៈ។ គណនាតម្លៃសម្រាប់វឌ្ឍនភាពដោយខ្លួនឯង ព្រោះវាមិនពិបាកទាល់តែសោះ។
ល្អណាស់! អ្នកដឹងស្ទើរតែទាំងអស់អំពីវឌ្ឍនភាព! វានៅសល់ដើម្បីរកឱ្យឃើញនូវរូបមន្តតែមួយគត់ដែលយោងទៅតាមរឿងព្រេងអ្នកគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតគ្រប់ពេលគឺ "ស្តេចនៃគណិតវិទូ" - Karl Gauss ងាយស្រួលកាត់ដោយខ្លួនគាត់ ...
នៅពេល Carl Gauss មានអាយុ 9 ឆ្នាំ គ្រូបង្រៀនដែលរវល់ពិនិត្យការងាររបស់សិស្សមកពីថ្នាក់ផ្សេងទៀតបានសួរកិច្ចការខាងក្រោមនៅក្នុងមេរៀន៖ "គណនាផលបូកនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ចាប់ពី (យោងតាមប្រភពផ្សេងទៀតរហូតដល់) រួមបញ្ចូល។ " អ្វីដែលជាការភ្ញាក់ផ្អើលរបស់គ្រូនៅពេលដែលសិស្សរបស់គាត់ម្នាក់ (វាគឺជាលោក Karl Gauss) បន្ទាប់ពីមួយនាទីបានផ្តល់ចម្លើយត្រឹមត្រូវចំពោះភារកិច្ចខណៈពេលដែលមិត្តរួមថ្នាក់ភាគច្រើននៃអ្នកហ៊ានបន្ទាប់ពីការគណនាយូរបានទទួលលទ្ធផលខុស ...
Young Carl Gauss បានកត់សម្គាល់នូវគំរូមួយដែលអ្នកអាចកត់សម្គាល់បានយ៉ាងងាយស្រួល។
ចូរនិយាយថាយើងមានដំណើរការនព្វន្ធដែលមានសមាជិក -ti៖ យើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃសមាជិកដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចបូកសរុបតម្លៃទាំងអស់ដោយដៃ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើយើងត្រូវស្វែងរកផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌរបស់វានៅក្នុងកិច្ចការ ដូចដែល Gauss កំពុងស្វែងរក?
ចូរយើងពណ៌នាអំពីវឌ្ឍនភាពដែលបានផ្តល់ឱ្យយើង។ មើលឱ្យជិតនូវលេខដែលបានបន្លិច ហើយព្យាយាមធ្វើប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាផ្សេងៗជាមួយពួកគេ។ 
ព្យាយាម? តើអ្នកបានកត់សម្គាល់អ្វី? ត្រឹមត្រូវ! ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា
ឥឡូវឆ្លើយថា តើគូបែបនេះនឹងមានប៉ុន្មានគូក្នុងដំណើរដែលបានផ្ដល់ឲ្យយើង? ជាការពិតណាស់ ពាក់កណ្តាលនៃចំនួនទាំងអស់ នោះគឺ។
ដោយផ្អែកលើការពិតដែលថាផលបូកនៃពាក្យពីរនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើគ្នា ហើយគូស្មើគ្នាដូចគ្នា យើងទទួលបានថាផលបូកសរុបគឺស្មើនឹង៖
.
ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយនឹងមានៈ
ក្នុងបញ្ហាខ្លះ យើងមិនដឹងពាក្យទីទេ ប៉ុន្តែយើងដឹងពីភាពខុសគ្នានៃការវិវត្ត។ ព្យាយាមជំនួសក្នុងរូបមន្តបូកដែលជារូបមន្តនៃសមាជិកទី។
តើអ្នកទទួលបានអ្វីខ្លះ?
ល្អណាស់! ឥឡូវនេះសូមត្រលប់ទៅបញ្ហាដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យលោក Carl Gauss: គណនាដោយខ្លួនឯងថាតើផលបូកនៃលេខដែលចាប់ផ្តើមពី -th គឺនិងផលបូកនៃលេខដែលចាប់ផ្តើមពី -th ។
តើអ្នកទទួលបានប៉ុន្មាន?
Gauss ប្រែថាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌគឺស្មើគ្នា ហើយផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ។ នោះជារបៀបដែលអ្នកសម្រេចចិត្ត?
តាមពិត រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Diophantus នៅសតវត្សរ៍ទី 3 ហើយពេញមួយរយៈពេលនេះ មនុស្សឆ្លាតបានប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធដោយកម្លាំង និងមេ។
ជាឧទាហរណ៍ សូមស្រមៃគិតអំពីអេហ្ស៊ីបបុរាណ និងកន្លែងសាងសង់ដ៏ធំបំផុតនៅសម័យនោះ ពោលគឺការសាងសង់ពីរ៉ាមីត... រូបបង្ហាញពីផ្នែកម្ខាងរបស់វា។ 
តើការរីកចម្រើននៅទីនេះអ្នកនិយាយនៅត្រង់ណា? សូមក្រឡេកមើលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ហើយស្វែងរកគំរូក្នុងចំនួនប្លុកខ្សាច់ក្នុងជួរនីមួយៗនៃជញ្ជាំងពីរ៉ាមីត។ 
ហេតុអ្វីបានជាការវិវត្តនព្វន្ធ? រាប់ចំនួនប្លុកដែលត្រូវការដើម្បីសាងសង់ជញ្ជាំងមួយ ប្រសិនបើឥដ្ឋប្លុកត្រូវបានដាក់ក្នុងមូលដ្ឋាន។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកនឹងមិនរាប់ដោយការរំកិលម្រាមដៃរបស់អ្នកឆ្លងកាត់ម៉ូនីទ័រទេ តើអ្នកចាំរូបមន្តចុងក្រោយ និងអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលយើងបាននិយាយអំពីការវិវត្តនព្វន្ធទេ?
ក្នុងករណីនេះការវិវត្តមើលទៅដូចនេះ:
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចំនួនសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
ចូរជំនួសទិន្នន័យរបស់យើងទៅជារូបមន្តចុងក្រោយ (យើងរាប់ចំនួនប្លុកជា 2 វិធី)។
វិធីសាស្រ្ត 1 ។
វិធីសាស្រ្ត 2 ។
ហើយឥឡូវនេះអ្នកក៏អាចគណនានៅលើម៉ូនីទ័របានដែរ៖ ប្រៀបធៀបតម្លៃដែលទទួលបានជាមួយនឹងចំនួនប្លុកដែលមាននៅក្នុងពីរ៉ាមីតរបស់យើង។ តើវាយល់ព្រមទេ? ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកបានស្ទាត់ជំនាញផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌទីនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
ជាការពិតណាស់ អ្នកមិនអាចសង់ពីរ៉ាមីតពីប្លុកនៅមូលដ្ឋានបានទេ ប៉ុន្តែមកពី? ព្យាយាមគណនាចំនួនឥដ្ឋខ្សាច់ដែលត្រូវការដើម្បីសាងសង់ជញ្ជាំងដែលមានលក្ខខណ្ឌនេះ។
តើអ្នកបានគ្រប់គ្រងទេ?
ចម្លើយដែលត្រឹមត្រូវគឺប្លុក៖
ធ្វើការ
ភារកិច្ច:
- Masha ទទួលបានរូបរាងសម្រាប់រដូវក្តៅ។ ជារៀងរាល់ថ្ងៃនាងបង្កើនចំនួន squats ដោយ។ តើ Masha នឹងអង្គុយប៉ុន្មានដងក្នុងមួយសប្តាហ៍ ប្រសិនបើនាងបានអង្គុយនៅពេលហាត់លើកដំបូង។
- តើអ្វីជាផលបូកនៃចំនួនសេសទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុង។
- នៅពេលរក្សាទុកកំណត់ហេតុ ឈើច្រត់ជង់ពួកវាតាមរបៀបដែលស្រទាប់ខាងលើនីមួយៗមានកំណត់ហេតុតិចជាងសន្លឹកមុន។ តើឈើមូលមានប៉ុន្មានក្នុងមួយកំបោរ បើគល់ឈើជាឈើ។
ចម្លើយ៖
- ចូរយើងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃដំណើរការនព្វន្ធ។ ក្នុងករណីនេះ
(សប្តាហ៍ = ថ្ងៃ) ។ចម្លើយ៖ក្នុងរយៈពេលពីរសប្តាហ៍ Masha គួរតែអង្គុយម្តងក្នុងមួយថ្ងៃ។
- លេខសេសទីមួយ លេខចុងក្រោយ។
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។
ចំនួននៃលេខសេសនៅក្នុង - ពាក់កណ្តាល, ពិនិត្យការពិតនេះដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកសមាជិក -th នៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ:លេខមានលេខសេស។
យើងជំនួសទិន្នន័យដែលមានទៅក្នុងរូបមន្ត៖ចម្លើយ៖ផលបូកនៃចំនួនសេសទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងគឺស្មើនឹង។
- រំលឹកពីបញ្ហាអំពីប្រាសាទពីរ៉ាមីត។ សម្រាប់ករណីរបស់យើង a ចាប់តាំងពីស្រទាប់ខាងលើនីមួយៗត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយកំណត់ហេតុមួយ មានតែស្រទាប់មួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។
ជំនួសទិន្នន័យក្នុងរូបមន្ត៖ចម្លើយ៖មានឈើប្រណិតនៅក្នុងឡ។
សង្ខេប
- - លំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។ វាកំពុងកើនឡើងនិងថយចុះ។
- ការស្វែងរករូបមន្តសមាជិកទី 1 នៃដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានសរសេរដោយរូបមន្ត - តើចំនួនលេខនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនៅឯណា។
- ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ- - កន្លែងណា - ចំនួនលេខក្នុងដំណើរការ។
- ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។អាចរកបានតាមពីរវិធី៖
តើចំនួនតម្លៃនៅឯណា។
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ កម្រិតមធ្យម
លំដាប់លេខ
តោះអង្គុយចុះ ហើយចាប់ផ្តើមសរសេរលេខខ្លះ។ ឧទាហរណ៍:
អ្នកអាចសរសេរលេខណាមួយក៏បាន ហើយអាចមានច្រើនតាមតែចិត្ត។ ប៉ុន្តែអ្នកតែងតែអាចប្រាប់បានថា មួយណាជាលេខមួយ មួយណាជាលេខទីពីរ ហើយដូច្នេះនៅលើនោះ គឺយើងអាចដាក់លេខបាន។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ។
លំដាប់លេខគឺជាសំណុំនៃលេខ ដែលលេខនីមួយៗអាចត្រូវបានកំណត់លេខតែមួយ។
ម្យ៉ាងវិញទៀត លេខនីមួយៗអាចភ្ជាប់ជាមួយនឹងលេខធម្មជាតិជាក់លាក់មួយ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ ហើយយើងនឹងមិនកំណត់លេខនេះទៅលេខផ្សេងទៀតពីសំណុំនេះទេ។
លេខដែលមានលេខត្រូវបានគេហៅថាសមាជិក -th នៃលំដាប់។
ជាធម្មតា យើងហៅលំដាប់ទាំងមូលថា អក្សរខ្លះ (ឧទាហរណ៍) ហើយសមាជិកនីមួយៗនៃលំដាប់នេះ - អក្សរដូចគ្នាដែលមានលិបិក្រមស្មើនឹងចំនួនសមាជិកនេះ៖ .
វាងាយស្រួលណាស់ប្រសិនបើសមាជិក -th នៃលំដាប់អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍រូបមន្ត
កំណត់លំដាប់:
ហើយរូបមន្តមានលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ
ឧទាហរណ៍ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់ (ពាក្យទីមួយនៅទីនេះគឺស្មើគ្នា និងភាពខុសគ្នា)។ ឬ (, ភាពខុសគ្នា) ។
រូបមន្តទី 3
យើងហៅរូបមន្តដែលកើតឡើងវិញដូចជារូបមន្តដែលដើម្បីស្វែងរកពាក្យទីមួយនោះ អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យមុនឬច្រើនមុនៗ៖
ដើម្បីស្វែងរកឧទាហរណ៍ពាក្យទី 1 នៃវឌ្ឍនភាពដោយប្រើរូបមន្តបែបនេះ យើងត្រូវគណនាលេខប្រាំបួនមុន។ ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យ។ បន្ទាប់មក៖
ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាតើរូបមន្តគឺជាអ្វី?
នៅក្នុងបន្ទាត់នីមួយៗ យើងបន្ថែមទៅ គុណនឹងចំនួនមួយចំនួន។ ដើម្បីអ្វី? សាមញ្ញណាស់៖ នេះគឺជាចំនួនដកសមាជិកបច្ចុប្បន្ន៖
ស្រួលកាន់តែច្រើនឥឡូវមែនទេ? យើងពិនិត្យ៖
សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖
នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ សូមស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 9 ហើយស្វែងរកពាក្យទីរយ។
ដំណោះស្រាយ៖
ពាក្យទីមួយគឺស្មើគ្នា។ ហើយអ្វីជាភាពខុសគ្នា? ហើយនេះជាអ្វី៖
(បន្ទាប់ពីទាំងអស់វាត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នាព្រោះវាស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃសមាជិកបន្តបន្ទាប់នៃវឌ្ឍនភាព) ។
ដូច្នេះរូបមន្តគឺ៖
បន្ទាប់មកពាក្យមួយរយគឺ៖
តើផលបូកនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពីទៅអ្វី?
យោងតាមរឿងព្រេង គណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យ Carl Gauss ជាក្មេងប្រុសអាយុ 9 ឆ្នាំបានគណនាចំនួននេះក្នុងរយៈពេលពីរបីនាទី។ គាត់បានកត់សម្គាល់ឃើញថា ផលបូកនៃលេខទីមួយ និងលេខចុងក្រោយគឺស្មើគ្នា ផលបូកនៃលេខទីពីរ និងចុងក្រោយគឺដូចគ្នា ផលបូកនៃលេខទីបី និងលេខ 3 ពីចុងគឺដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ។ តើមានគូបែបនេះប៉ុន្មាន? នោះហើយជាត្រឹមត្រូវ ពិតប្រាកដពាក់កណ្តាលនៃចំនួនលេខទាំងអស់ នោះគឺ។ ដូច្នេះ
រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធណាមួយនឹងមានៈ
ឧទាហរណ៍៖
រកផលបូកនៃគុណពីរខ្ទង់ទាំងអស់។
ដំណោះស្រាយ៖
លេខបែបនេះដំបូងគឺនេះ។ បន្ទាប់នីមួយៗទទួលបានដោយការបន្ថែមលេខទៅលេខមុន។ ដូច្នេះចំនួននៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា។
រូបមន្តសម្រាប់ពាក្យទី 4 សម្រាប់វឌ្ឍនភាពនេះគឺ៖
តើពាក្យទាំងអស់ត្រូវតែមានពីរខ្ទង់ក្នុងដំណើរការប៉ុន្មានពាក្យ?
ងាយស្រួលណាស់៖ ។
រយៈពេលចុងក្រោយនៃការវិវត្តនឹងស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មកផលបូក៖
ចម្លើយ៖ ។
ឥឡូវសម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖
- ជារៀងរាល់ថ្ងៃអត្តពលិករត់បាន 1 ម៉ែត្រច្រើនជាងថ្ងៃមុន។ តើគាត់នឹងរត់ប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយសប្ដាហ៍ បើគាត់រត់គីឡូម៉ែត្រក្នុងថ្ងៃដំបូង?
- អ្នកជិះកង់ជិះបានច្រើនម៉ាយក្នុងមួយថ្ងៃជាងអ្នកជិះមុន។ នៅថ្ងៃដំបូងគាត់បានធ្វើដំណើរគីឡូម៉ែត្រ។ តើគាត់ត្រូវបើកឡានប៉ុន្មានថ្ងៃដើម្បីគ្របមួយគីឡូម៉ែត្រ? តើគាត់នឹងធ្វើដំណើរប៉ុន្មានគីឡូម៉ែត្រនៅថ្ងៃចុងក្រោយនៃការធ្វើដំណើរ?
- តម្លៃទូទឹកកកនៅក្នុងហាងត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយចំនួនដូចគ្នាជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ កំណត់ថាតើតម្លៃទូរទឹកកកបានធ្លាក់ចុះប៉ុន្មានក្នុងមួយឆ្នាំ ប្រសិនបើដាក់លក់ក្នុងតម្លៃប្រាក់រូប្លែល ប្រាំមួយឆ្នាំក្រោយមកវាត្រូវបានលក់ក្នុងតម្លៃរូប្លិង។
ចម្លើយ៖
- អ្វីដែលសំខាន់បំផុតនៅទីនេះគឺត្រូវទទួលស្គាល់ការវិវត្តនព្វន្ធ និងកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ (សប្តាហ៍ = ថ្ងៃ) ។ អ្នកត្រូវកំណត់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃដំណើរការនេះ៖
.
ចម្លើយ៖ - នៅទីនេះវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ:, វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរក។
ជាក់ស្តែង អ្នកត្រូវប្រើរូបមន្តបូកដូចក្នុងបញ្ហាមុន៖
.
ជំនួសតម្លៃ៖ឫសច្បាស់មិនសមទេ ដូច្នេះចម្លើយ។
ចូរយើងគណនាចម្ងាយដែលបានធ្វើដំណើរនៅថ្ងៃចុងក្រោយដោយប្រើរូបមន្តនៃពាក្យ -th៖
(គ.ម)។
ចម្លើយ៖ - ផ្តល់ឱ្យ: . ស្វែងរក៖ ។
វាមិនងាយស្រួលទេ៖
(ជូត) ។
ចម្លើយ៖
វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ សង្ខេបអំពីមេ
នេះគឺជាលំដាប់លេខដែលភាពខុសគ្នារវាងលេខជាប់គ្នាគឺដូចគ្នា និងស្មើគ្នា។
ដំណើរការនព្វន្ធកំពុងកើនឡើង () និងថយចុះ () ។
ឧទាហរណ៍:
រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកសមាជិក n-th នៃដំណើរការនព្វន្ធ
ត្រូវបានសរសេរជារូបមន្តដែលចំនួនលេខនៅក្នុងការវិវត្ត។
ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់សមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធ
វាធ្វើឱ្យមានភាពងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព ប្រសិនបើសមាជិកជិតខាងរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ - តើចំនួនលេខនៅក្នុងវឌ្ឍនភាពនៅឯណា។
ផលបូកនៃសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។
មានវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការស្វែងរកផលបូក៖
តើចំនួននៃតម្លៃនៅឯណា។
តើចំនួននៃតម្លៃនៅឯណា។
គោលគំនិតនៃលំដាប់លេខបង្កប់ន័យថាចំនួនធម្មជាតិនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃពិតមួយចំនួន។ ស៊េរីនៃលេខបែបនេះអាចមានទាំងបំពាន និងមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់ - វឌ្ឍនភាព។ ក្នុងករណីចុងក្រោយ ធាតុបន្តបន្ទាប់គ្នា (សមាជិក) នៃលំដាប់អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើធាតុមុន។
ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាលំដាប់នៃតម្លៃលេខដែលសមាជិកជិតខាងរបស់វាខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយលេខដូចគ្នា (ធាតុទាំងអស់នៃស៊េរីចាប់ផ្តើមពីលេខ 2 មានទ្រព្យសម្បត្តិស្រដៀងគ្នា) ។ លេខនេះ - ភាពខុសគ្នារវាងសមាជិកមុន និងបន្ទាប់ - គឺថេរ ហើយត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព។
ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព៖ និយមន័យ
ពិចារណាលំដាប់ដែលមានតម្លៃ j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំលេខធម្មជាតិ N. ការវិវត្តនព្វន្ធ, យោងតាមនិយមន័យរបស់វា គឺជាលំដាប់ ដែល a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = ឃ. តម្លៃនៃ d គឺជាភាពខុសគ្នាដែលចង់បាននៃការវិវត្តនេះ។
d = a(j) - a(j-1) ។
បែងចែក៖
- ការរីកចម្រើនកាន់តែខ្លាំង ដែលក្នុងករណី d > 0. ឧទាហរណ៍៖ 4, 8, 12, 16, 20, …
- ការថយចុះការវិវត្ត បន្ទាប់មក ឃ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព និងធាតុបំពានរបស់វា។
ប្រសិនបើសមាជិកបំពានចំនួន 2 នៃវឌ្ឍនភាព (i-th, k-th) ត្រូវបានគេស្គាល់ នោះភាពខុសគ្នាសម្រាប់លំដាប់នេះអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយផ្អែកលើទំនាក់ទំនង៖
a(i) = a(k) + (i - k)*d, ដូច្នេះ d = (a(i) - a(k))/(i-k)។
ភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព និងរយៈពេលដំបូងរបស់វា។
កន្សោមនេះនឹងជួយកំណត់តម្លៃដែលមិនស្គាល់តែក្នុងករណីដែលចំនួននៃធាតុលំដាប់ត្រូវបានដឹង។
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនិងផលបូករបស់វា។
ផលបូកនៃវឌ្ឍនភាពគឺជាផលបូកនៃសមាជិករបស់វា។ ដើម្បីគណនាតម្លៃសរុបនៃធាតុ j ដំបូងរបស់វា សូមប្រើរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា៖
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j ប៉ុន្តែចាប់តាំងពី a(j) = a(1) + d(j − 1) បន្ទាប់មក S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j − 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
