សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីមួយនិយាយថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការនេះគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណនៃអថេរ x (ក្នុងករណីនេះវាគឺជា b) ប៉ុន្តែមានសញ្ញាផ្ទុយ។ តាមទស្សនៈ វាមើលទៅដូចនេះ៖ x1 + x2 = −b ។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីពីរមិនត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយផលបូកទៀតទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងផលិតផលនៃឫសទាំងពីរដូចគ្នា។ ផលិតផលនេះគឺស្មើនឹងមេគុណឥតគិតថ្លៃ i.e. គ. ឬ x1 * x2 = គ។ ឧទាហរណ៍ទាំងពីរនេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ជួយសម្រួលដំណោះស្រាយយ៉ាងខ្លាំង ប៉ុន្តែមានដែនកំណត់មួយ។ សមីការបួនជ្រុងដែលឫសអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើបច្ចេកទេសនេះត្រូវតែកាត់បន្ថយ។ នៅក្នុងសមីការខាងលើសម្រាប់មេគុណ a មួយមុន x2 គឺស្មើនឹងមួយ។ សមីការណាមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្រដៀងគ្នាដោយបែងចែកកន្សោមដោយមេគុណទីមួយ ប៉ុន្តែប្រតិបត្តិការនេះមិនតែងតែសមហេតុផលទេ។
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ
ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងគួរចងចាំពីរបៀបដែលយោងទៅតាមប្រពៃណី វាជាទម្លាប់ក្នុងការរកមើលឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ ឫសទីមួយ និងទីពីរត្រូវបានរកឃើញគឺ៖ x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2 ។ ជាទូទៅបែងចែកដោយ 2a ប៉ុន្តែដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ ទ្រឹស្តីបទអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែល a=1 ប៉ុណ្ណោះ។វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ នេះមានន័យថា x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b ។
ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ផលិតផលនៃឫសដែលមិនស្គាល់: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4 ។ នៅក្នុងវេន D = b2-4c (ម្តងទៀតជាមួយ a=1) ។ វាប្រែថាលទ្ធផលគឺ: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c ។
ពីភស្តុតាងសាមញ្ញខាងលើ មានតែការសន្និដ្ឋានមួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចទាញបាន៖ ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានបញ្ជាក់ទាំងស្រុង។
រូបមន្តទីពីរ និងភស្តុតាង
ទ្រឹស្តីបទ Vieta មានការបកស្រាយមួយទៀត។ ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ វាមិនមែនជាការបកស្រាយទេ ប៉ុន្តែជាការនិយាយ។ ការពិតគឺថាប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌដូចគ្នាត្រូវបានបំពេញដូចនៅក្នុងករណីដំបូង: មានឫសពិតពីរផ្សេងគ្នានោះទ្រឹស្តីបទអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងរូបមន្តផ្សេងគ្នា។សមភាពនេះមើលទៅដូចនេះ៖ x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2) ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ P(x) ប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរ x1 និង x2 នោះវាអាចត្រូវបានសរសេរជា P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) ។ ក្នុងករណីដែល P មានសញ្ញាប័ត្រទីពីរ ហើយនេះពិតជាអ្វីដែលកន្សោមដើមមើលទៅដូចនេះ R គឺជាលេខសំខាន់ ពោលគឺ 1. សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ហេតុផលដែលសមភាពនឹងមិនមាន។ មេគុណ x2 នៅពេលបើកតង្កៀបមិនគួរលើសពីមួយទេ ហើយកន្សោមគួរតែនៅតែការ៉េ។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីសាកល្បងឫសគល់ដែលបានរកឃើញរួចហើយ។ ប្រសិនបើអ្នកបានរកឃើញឫស អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) ដើម្បីគណនាតម្លៃ \(p\ ) និង \\ ( q ) ។ ហើយប្រសិនបើពួកវាប្រែជាដូចគ្នាទៅនឹងសមីការដើម នោះឫសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។
ឧទាហរណ៍ ចូរយើងប្រើ ដោះស្រាយសមីការ \(x^2+x-56=0\) និងទទួលបានឫស៖ \(x_1=7\), \(x_2=-8\) ។ សូមពិនិត្យមើលថាតើយើងមានកំហុសក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយដែរឬទេ។ ក្នុងករណីរបស់យើង \(p=1\) និង \(q=-56\) ។ តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងមាន៖
\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងពីរបានបញ្ចូលគ្នា ដែលមានន័យថា យើងបានដោះស្រាយសមីការបានត្រឹមត្រូវ។
ការធ្វើតេស្តនេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្ទាល់មាត់។ វានឹងចំណាយពេល 5 វិនាទី ហើយជួយសង្រ្គោះអ្នកពីកំហុសឆោតល្ងង់។
ទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស
ប្រសិនបើ \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) បន្ទាប់មក \(x_1\) និង \(x_2\) គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ \ (x^2+px+q=0\) ។
ឬតាមរបៀបសាមញ្ញ៖ ប្រសិនបើអ្នកមានសមីការនៃទម្រង់ \(x^2+px+q=0\) បន្ទាប់មកដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end (cases)\) អ្នកនឹងរកឃើញឫសរបស់វា។
សូមអរគុណចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ អ្នកអាចរកឃើញឫសនៃសមីការការ៉េបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស ជាពិសេសប្រសិនបើឫសទាំងនេះមាន។ ជំនាញនេះមានសារៈសំខាន់ព្រោះវាចំណេញពេលវេលាច្រើន។
ឧទាហរណ៍ . ដោះស្រាយសមីការ \(x^2-5x+6=0\) ។
ការសម្រេចចិត្ត
៖ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស យើងទទួលបានថាឫសបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\) ។
សូមមើលសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ \(x_1 \cdot x_2=6\) ។ តើលេខពីរអាចរលាយទៅជា \(6\)? នៅលើ \(2\) និង \(3\), \(6\) និង \(1\) ឬ \(-2\) និង \(-3\) និង \(-6\) និង \(- មួយ\) ហើយគូណាដែលត្រូវជ្រើសរើស សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធនឹងប្រាប់៖ \(x_1+x_2=5\)។ \(2\) និង \(3\) គឺស្រដៀងគ្នា ព្រោះ \(2+3=5\) ។
ចម្លើយ
៖ \(x_1=2\), \(x_2=3\) ។
ឧទាហរណ៍
. ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ច្រាសរកឫសនៃសមីការការ៉េ៖
ក) \(x^2-15x+14=0\); ខ) \(x^2+3x-4=0\); គ) \(x^2+9x+20=0\); ឃ) \\(x^2-88x+780=0\) ។
ការសម្រេចចិត្ត
:
ក) \(x^2-15x+14=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(14\) រលាយទៅជា? \(2\) និង \(7\), \(-2\) និង \(-7\), \(-1\) និង \(-14\), \(1\) និង \(14\ ) តើលេខប៉ុន្មានដែលបន្ថែមដល់ \(15\)? ចម្លើយ៖ \(1\) និង \(14\) ។
ខ) \(x^2+3x-4=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(-4\) រលាយ? \(-2\) និង \(2\), \(4\) និង \(-1\), \(1\) និង \(-4\) ។ តើលេខប៉ុន្មានដែលបន្ថែមដល់ \(-៣\)? ចម្លើយ៖ \(១\) និង \(-៤\) ។
គ) \(x^2+9x+20=0\) – តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(20\) រលាយ? \(4\) និង \(5\), \(-4\) និង \(-5\), \(2\) និង \(10\), \(-2\) និង \(-10\) ), \(-20\) និង \(-1\), \(20\) និង \(1\) ។ តើលេខប៉ុន្មានដែលបន្ថែមដល់ \(-៩\)? ចម្លើយ៖ \(-៤\) និង \(-៥\) ។
ឃ) \(x^2-88x+780=0\) - តើកត្តាអ្វីខ្លះដែល \(780\) រលាយ? \(390\) និង \(2\) ។ តើពួកគេបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? ទេ តើ \(780\) មានមេគុណអ្វីទៀត? \(78\) និង \(10\) ។ តើពួកគេបន្ថែមរហូតដល់ \(88\) ទេ? បាទ។ ចម្លើយ៖ \(78\) និង \(10\) ។
វាមិនចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងពាក្យចុងក្រោយទៅជាកត្តាដែលអាចកើតមានទាំងអស់ (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ)។ អ្នកអាចពិនិត្យមើលភ្លាមៗថាតើផលបូករបស់ពួកគេផ្តល់ឱ្យ \(-p\) ដែរឬទេ។
សំខាន់!ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta និងទ្រឹស្តីបទសន្ទនាដំណើរការតែជាមួយ ពោលគឺមេគុណនៅពីមុខ \(x^2\) ស្មើនឹងមួយ។ ប្រសិនបើដំបូងយើងមានសមីការមិនកាត់បន្ថយ នោះយើងអាចកាត់បន្ថយបានដោយគ្រាន់តែបែងចែកដោយមេគុណនៅពីមុខ \(x^2\)។
ឧទាហរណ៍អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ \(2x^2-4x-6=0\) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយយើងចង់ប្រើទ្រឹស្តីបទមួយរបស់ Vieta ។ ប៉ុន្តែយើងមិនអាចទេ ព្រោះមេគុណមុន \(x^2\) ស្មើនឹង \(2\)។ ចូរកម្ចាត់វាដោយបែងចែកសមីការទាំងមូលដោយ \(2\) ។
\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\\(x^2-2x-3=0\)
រួចរាល់។ ឥឡូវនេះយើងអាចប្រើទ្រឹស្តីបទទាំងពីរ។
ចម្លើយចំពោះសំណួរដែលគេសួរញឹកញាប់
សំណួរ៖
តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta តើអ្នកអាចដោះស្រាយបានទេ?
ចម្លើយ៖
ជាអកុសលទេ។ ប្រសិនបើមិនមានចំនួនគត់នៅក្នុងសមីការ ឬសមីការមិនមានឫសគល់អ្វីទាំងអស់ នោះទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta នឹងមិនអាចជួយបានទេ។ ក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវប្រើ រើសអើង
. ជាសំណាងល្អ 80% នៃសមីការក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាមានដំណោះស្រាយចំនួនគត់។
មុននឹងបន្តទៅទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងណែនាំនិយមន័យមួយ។ សមីការការ៉េនៃទម្រង់ x² + ភីច + q= 0 ត្រូវបានគេហៅថាកាត់បន្ថយ។ នៅក្នុងសមីការនេះ មេគុណនាំមុខគឺស្មើនឹងមួយ។ ឧទាហរណ៍ សមីការ x² - ៣ x- 4 = 0 ត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ សមីការការ៉េនៃទម្រង់ណាមួយ។ ពូថៅ² + ខ x + គ= 0 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយសម្រាប់ការនេះ យើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយ ក≠ 0. ឧទាហរណ៍ សមីការ ៤ x² + 4 x- 3 \u003d 0 ចែកនឹង 4 ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់៖ x² + x- 3/4 = 0. យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ សម្រាប់ការនេះ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េទូទៅ៖ ពូថៅ² + bx + គ = 0
សមីការកាត់បន្ថយ x² + ភីច + q= 0 ស្របគ្នានឹងសមីការទូទៅដែលក្នុងនោះ ក = 1, ខ = ទំ, គ = qដូច្នេះសម្រាប់សមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ រូបមន្តយកទម្រង់៖ 
កន្សោមចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តនៃឫសនៃសមីការ quadratic កាត់បន្ថយ វាងាយស្រួលជាពិសេសក្នុងការប្រើរូបមន្តនេះនៅពេលដែល រ- ចំនួនគូ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ x² - ១៤ x — 15 = 0
ជាការឆ្លើយតប យើងសរសេរសមីការមានឫសពីរ។
សម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយជាមួយវិជ្ជមាន ទ្រឹស្ដីខាងក្រោមមាន។
ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា
ប្រសិនបើ ក x 1 និង x 2 - ឫសគល់នៃសមីការ x² + ភីច + q= 0 បន្ទាប់មករូបមន្តមានសុពលភាព៖
x 1 + x 2 = — រ
x 1 * x 2 \u003d q,នោះគឺផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។
ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េខាងលើ យើងមាន៖
ការបន្ថែមសមភាពទាំងនេះ យើងទទួលបាន៖ x 1 + x 2 = —រ.
ការគុណសមភាពទាំងនេះ ដោយប្រើភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ យើងទទួលបាន៖
ចំណាំថាទ្រឹស្តីបទ Vieta ក៏មានសុពលភាពផងដែរ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាក្នុងករណីនេះសមីការការ៉េមានឫសដូចគ្នាពីរ៖ x 1 = x 2 = — រ/2.
មិនដោះស្រាយសមីការ x² - ១៣ x+ 30 = 0 រកផលបូកនិងផលនៃឫសរបស់វា។ x 1 និង x២. សមីការនេះ។ ឃ\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0 ដូច្នេះអ្នកអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Vieta៖ x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត។ ឫសគល់មួយនៃសមីការ x² — ភីច- 12 = 0 គឺ x 1 = 4. ស្វែងរកមេគុណ រនិងឫសទីពីរ x 2 នៃសមីការនេះ។ នេះបើតាមទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — រ.ជា x 1 = 4 បន្ទាប់មក 4 x 2 = - 12, មកពីណា x 2 = — 3, រ = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. ជាការឆ្លើយតប យើងសរសេរឫសទីពីរ x 2 = − 3, មេគុណ p = - 1.
មិនដោះស្រាយសមីការ x² + 2 x- 4 = 0 រកផលបូកនៃការ៉េនៃឫសរបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ នេះបើតាមទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = − 4. ជា x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 បន្ទាប់មក x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d ១២.
រកផលបូក និងផលនៃឫសសមីការ ៣ x² + 4 x- 5 \u003d 0. សមីការនេះមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ចាប់តាំងពីអ្នករើសអើង ឃ= 16 + 4 * 3 * 5 > 0 ។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ យើងប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់សមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ។ ដូច្នេះ ចូរយើងបែងចែកសមីការនេះដោយ 3 ។
ដូច្នេះផលបូកនៃឫសគឺ -4/3 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ -5/3 ។
ជាទូទៅឫសនៃសមីការ ពូថៅ² + ខ x + គ= 0 ត្រូវបានទាក់ទងដោយសមភាពដូចខាងក្រោមៈ x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តទាំងនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការការ៉េនេះដោយ ក ≠ 0 ហើយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ទៅនឹងសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយលទ្ធផល។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ អ្នកត្រូវចងក្រងសមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឫសគល់របស់វា។ x 1 = 3, x 2 = 4. ជា x 1 = 3, x 2 = 4 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x² + ភីច + q= 0 បន្ទាប់មកដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta រ = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. ជាការឆ្លើយតប យើងសរសេរ x² - ៧ x+ 12 = 0. ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន។
ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា
ប្រសិនបើលេខ រ, q, x 1 , x 2 គឺបែបនោះ។ x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d qបន្ទាប់មក x ១និង x2គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x² + ភីច + q= 0. ជំនួសនៅផ្នែកខាងឆ្វេង x² + ភីច + qជំនួសអោយ រកន្សោម - ( x 1 + x 2) ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ q- ការងារ x 1 * x 2 ។យើងទទួលបាន: x² + ភីច + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x − x 1) (x − x 2) ។ដូច្នេះប្រសិនបើលេខ រ, q, x 1 និង x 2 ត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនងទាំងនេះបន្ទាប់មកសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា Xសមភាព x² + ភីច + q = (x − x 1) (x − x 2) .ដែលវាធ្វើតាមនោះ។ x 1 និង x 2 - ឫសគល់នៃសមីការ x² + ភីច + q= 0. ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ converse ទៅទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ពេលខ្លះវាអាចទៅរួចក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េដោយការជ្រើសរើស។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ x² - 5 x+ 6 = 0. នៅទីនេះ រ = — 5, q= 6. ជ្រើសរើសលេខពីរ x 1 និង x 2 ដូច្នេះ x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. ការកត់សំគាល់ថា 6 = 2 * 3 និង 2 + 3 = 5 ដោយទ្រឹស្តីបទធៀបទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងទទួលបាននោះ x 1 = 2, x 2 = 3 - ឫសគល់នៃសមីការ x² - 5 x + 6 = 0.
រវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការ quadratic បន្ថែមពីលើរូបមន្តឫស មានទំនាក់ទំនងមានប្រយោជន៍ផ្សេងទៀតដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់នូវរូបមន្ត និងភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។ បន្ទាប់មក យើងពិចារណាទ្រឹស្តីបទមួយទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍លក្ខណៈបំផុត។ ជាចុងក្រោយ យើងសរសេររូបមន្ត Vieta ដែលកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាងឫសពិត សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n និងមេគុណរបស់វា។
ការរុករកទំព័រ។
ទ្រឹស្តីបទ Vieta, ការបង្កើត, ភស្តុតាង
ពីរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 នៃទម្រង់ ដែល D = b 2 −4 a c ទំនាក់ទំនង x 1 + x 2 = −b/a, x 1 x 2 = គ/ក។ លទ្ធផលទាំងនេះត្រូវបានបញ្ជាក់ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា:
ទ្រឹស្តីបទ។
ប្រសិនបើ ក x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0 បន្ទាប់មកផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ b និង a ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ និងផលគុណនៃ ឫសគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណ c និង a ពោលគឺ .
ភស្តុតាង។
យើងនឹងបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ Vieta តាមគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖ យើងចងក្រងផលបូក និងផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តឫសដែលគេស្គាល់ បន្ទាប់មកយើងបំប្លែងកន្សោមលទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាពួកវាស្មើនឹង −b /a និង c/a រៀងគ្នា។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងផលបូកនៃឫស, តែងវា។ ឥឡូវនេះយើងនាំយកប្រភាគទៅជាភាគបែងរួមមួយ យើងមាន។ នៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគលទ្ធផល បន្ទាប់ពីនោះ : . ទីបំផុតបន្ទាប់ពី 2 យើងទទួលបាន។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងដំបូងនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េ។ ចូរបន្តទៅទីពីរ។
យើងចងក្រងផលនៃឫសនៃសមីការ quadratic : ។ យោងតាមក្បួនគុណនៃប្រភាគ ផលិតផលចុងក្រោយអាចត្រូវបានសរសេរជា។ ឥឡូវនេះ យើងគុណនឹងតង្កៀបដោយតង្កៀបនៅក្នុងភាគយក ប៉ុន្តែវាលឿនជាងក្នុងការបង្រួមផលិតផលនេះដោយ ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េ, ដូច្នេះ។ បន្ទាប់មក ដោយចងចាំ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបន្ទាប់។ ហើយដោយសាររូបមន្ត D=b 2 −4 ac·c ត្រូវគ្នាទៅនឹងការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ដូច្នេះ b 2 −4·a·c អាចត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងប្រភាគចុងក្រោយជំនួសឱ្យ D យើងទទួលបាន។ បន្ទាប់ពីបើកតង្កៀប និងកាត់បន្ថយលក្ខខណ្ឌដូច យើងមកដល់ប្រភាគ ហើយការកាត់បន្ថយរបស់វាត្រឹម 4·a ផ្តល់ឱ្យ។ នេះបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់ផលនៃឫស។
ប្រសិនបើយើងលុបចោលការពន្យល់ នោះភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta នឹងមានទម្រង់សង្ខេបមួយ៖
,
.
វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ សមីការការ៉េមានឫសតែមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាសមីការក្នុងករណីនេះមានឫសដូចគ្នាពីរ នោះសមភាពពីទ្រឹស្តីបទ Vieta ក៏កាន់ដែរ។ ពិតប្រាកដណាស់ សម្រាប់ D=0 ឫសនៃសមីការការ៉េគឺ បន្ទាប់មក និង ហើយចាប់តាំងពី D=0 នោះគឺ b 2 −4·a·c=0 មកពីណា b 2 = 4·a·c បន្ទាប់មក។
នៅក្នុងការអនុវត្ត ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតទាក់ទងនឹងសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ (ជាមួយនឹងមេគុណខ្ពស់បំផុតស្មើនឹង 1) នៃទម្រង់ x 2 +p·x+q=0 ។ ពេលខ្លះវាត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់សមីការការ៉េនៃប្រភេទនេះ ដែលមិនកំណត់ភាពទូទៅ ចាប់តាំងពីសមីការការ៉េណាមួយអាចត្រូវបានជំនួសដោយសមីការសមមូលដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយលេខមិនសូន្យ a ។ នេះគឺជារូបមន្តដែលត្រូវគ្នានៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta៖
ទ្រឹស្តីបទ។
ផលបូកនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ x 2 + p x + q \u003d 0 គឺស្មើនឹងមេគុណ x ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺជាពាក្យឥតគិតថ្លៃ នោះគឺ x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q ។
ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា
រូបមន្តទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta ដែលបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុន បង្ហាញថាប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x+q=0 នោះទំនាក់ទំនង x 1 + x 2 = − p , x 1 x 2 = q ។ ម៉្យាងវិញទៀត ពីទំនាក់ទំនងជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ x 1 + x 2 = −p, x 1 x 2 = q វាដូចខាងក្រោម x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 +p x + q = 0 ។ ម្យ៉ាងទៀត ការអះអាងផ្ទុយទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា គឺពិត។ យើងបង្កើតវាតាមទ្រឹស្តីបទ ហើយបញ្ជាក់វា។
ទ្រឹស្តីបទ។
ប្រសិនបើលេខ x 1 និង x 2 គឺដូចនោះ x 1 + x 2 = −p និង x 1 x 2 = q នោះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x + q=0 .
ភស្តុតាង។
បន្ទាប់ពីជំនួសមេគុណ p និង q ក្នុងសមីការ x 2 +p x + q = 0 នៃកន្សោមរបស់ពួកគេតាមរយៈ x 1 និង x 2 វាត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការសមមូល។
យើងជំនួសលេខ x 1 ជំនួសឱ្យ x ទៅក្នុងសមីការលទ្ធផល យើងមានសមភាព x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0ដែលសម្រាប់ x 1 និង x 2 គឺជាសមភាពលេខត្រឹមត្រូវ 0=0 ចាប់តាំងពី x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. ដូច្នេះ x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ដែលមានន័យថា x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការសមមូល x 2 +p x+q=0 ។
ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ជំនួសលេខ x 2 ជំនួស x បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមភាព x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. នេះគឺជាសមីការត្រឹមត្រូវពីព្រោះ x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. ដូច្នេះ x 2 ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការផងដែរ។ x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0ដូច្នេះហើយ សមីការ x 2 +p x + q = 0 ។
នេះបញ្ចប់ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។
ឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទ Vieta
វាដល់ពេលដែលត្រូវនិយាយអំពីការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta និងទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់វា។ នៅក្នុងផ្នែករងនេះ យើងនឹងវិភាគដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ធម្មតាបំផុតមួយចំនួន។
យើងចាប់ផ្តើមដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ វាងាយស្រួលប្រើវាដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើលេខទាំងពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះផលបូកនិងភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេត្រូវបានគណនាបន្ទាប់ពីនោះសុពលភាពនៃទំនាក់ទំនងត្រូវបានពិនិត្យ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងទាំងពីរនេះមានការពេញចិត្ត នោះដោយសារទ្រឹស្តីបទដែលផ្ទុយទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាលេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ប្រសិនបើទំនាក់ទំនងយ៉ាងហោចណាស់មួយមិនពេញចិត្ត នោះលេខទាំងនេះមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េទេ។ វិធីសាស្រ្តនេះអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយសមីការ quadratic ដើម្បីពិនិត្យមើលឫសដែលបានរកឃើញ។
ឧទាហរណ៍។
តើគូមួយណានៃលេខ 1) x 1 = −5, x 2 = 3, ឬ 2) ឬ 3) គឺជាគូនៃឫសនៃសមីការការ៉េ 4 x 2 −16 x+9=0?
ការសម្រេចចិត្ត។
មេគុណនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ 4 x 2 −16 x+9=0 គឺ a=4 , b=−16 , c=9 ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េត្រូវតែស្មើនឹង −b/a នោះគឺ 16/4=4 ហើយផលគុណនៃឫសត្រូវតែស្មើនឹង c/a ពោលគឺ 9 /៤.
ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខក្នុងគូនីមួយៗដែលបានផ្តល់ឱ្យទាំងបី ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយនឹងតម្លៃដែលទើបតែទទួលបាន។
ក្នុងករណីទីមួយ យើងមាន x 1 + x 2 = −5 + 3 = −2 ។ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពីលេខ 4 ដូច្នេះការផ្ទៀងផ្ទាត់បន្ថែមមិនអាចត្រូវបានអនុវត្តទេប៉ុន្តែដោយទ្រឹស្តីបទ ការបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងអាចសន្និដ្ឋានភ្លាមៗថាលេខគូទីមួយមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ .
ចូរបន្តទៅករណីទីពីរ។ នៅទីនេះ នោះគឺលក្ខខណ្ឌទីមួយគឺពេញចិត្ត។ យើងពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌទីពីរ៖ តម្លៃលទ្ធផលគឺខុសគ្នាពី 9/4 ។ ដូច្នេះ គូទីពីរនៃលេខមិនមែនជាគូនៃឫសនៃសមីការ quadratic ទេ។
ករណីចុងក្រោយនៅសល់។ នៅទីនេះ និង។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរត្រូវបានបំពេញ ដូច្នេះលេខទាំងនេះ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ចម្លើយ៖
ទ្រឹស្តីបទដែលជាទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាសរបស់ Vieta អាចត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្តដើម្បីជ្រើសរើសឫសនៃសមីការការ៉េ។ ជាធម្មតា ឫសចំនួនគត់នៃសមីការ quadratic ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ត្រូវបានជ្រើសរើស ចាប់តាំងពីក្នុងករណីផ្សេងទៀត វាពិបាកធ្វើណាស់។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គេប្រើការពិតដែលថាប្រសិនបើផលបូកនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរនៃសមីការការ៉េ យកដោយសញ្ញាដក ហើយផលគុណនៃលេខទាំងនេះស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ នោះលេខទាំងនេះគឺ ឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។ ចូរយើងដោះស្រាយរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។
ចូរយើងយកសមីការការ៉េ x 2 −5 x + 6 = 0 ។ ដើម្បីឱ្យលេខ x 1 និង x 2 ជាឫសគល់នៃសមីការនេះ សមភាពពីរ x 1 +x 2 \u003d 5 និង x 1 x 2 \u003d 6 ត្រូវតែពេញចិត្ត។ វានៅសល់ដើម្បីជ្រើសរើសលេខបែបនេះ។ ក្នុងករណីនេះ វាគឺសាមញ្ញណាស់ក្នុងការធ្វើ៖ លេខបែបនេះគឺ 2 និង 3 ចាប់តាំងពី 2 + 3 = 5 និង 2 3 = 6 ។ ដូច្នេះ 2 និង 3 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េនេះ។
ទ្រឹស្តីបទដែលជាទ្រឹស្ដីបញ្ច្រាសរបស់ Vieta គឺងាយស្រួលជាពិសេសដើម្បីអនុវត្តចំពោះការស្វែងរកឫសទីពីរនៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ នៅពេលដែលឫសណាមួយត្រូវបានគេស្គាល់ឬច្បាស់រួចហើយ។ ក្នុងករណីនេះឫសទីពីរត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនងណាមួយ។
ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកសមីការការ៉េ 512 x 2 −509 x−3=0 ។ នៅទីនេះវាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាឯកតាគឺជាឫសគល់នៃសមីការ ព្រោះផលបូកនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េនេះគឺសូន្យ។ ដូច្នេះ x 1 = 1 ។ ជាឧទាហរណ៍ ឫសទីពីរ x 2 អាចត្រូវបានរកឃើញពីទំនាក់ទំនង x 1 x 2 = c/a ។ យើងមាន 1 x 2 = −3/512 , ពេលណា x 2 = −3/512 ។ ដូច្នេះ យើងបានកំណត់ឫសទាំងពីរនៃសមីការការ៉េ៖ ១ និង −៣/៥១២។
វាច្បាស់ណាស់ថាការជ្រើសរើសឫសគឺចាំបាច់តែនៅក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត ដើម្បីស្វែងរកឫស អ្នកអាចអនុវត្តរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េតាមរយៈអ្នករើសអើង។
ការអនុវត្តជាក់ស្តែងមួយទៀតនៃទ្រឹស្តីបទ ដែលបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺការចងក្រងនៃសមីការការ៉េសម្រាប់ឫស x 1 និង x 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការគណនាផលបូកនៃឫសដែលផ្តល់មេគុណនៃ x ជាមួយនឹងសញ្ញាផ្ទុយនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងផលិតផលនៃឫសដែលផ្តល់រយៈពេលឥតគិតថ្លៃ។
ឧទាហរណ៍។
សរសេរសមីការការ៉េដែលមានឫសជាលេខ −11 និង 23 ។
ការសម្រេចចិត្ត។
សម្គាល់ x 1 = −11 និង x 2 = 23 ។ យើងគណនាផលបូក និងផលនៃលេខទាំងនេះ៖ x 1 + x 2 \u003d 12 និង x 1 x 2 \u003d −253 ។ ដូច្នេះ លេខទាំងនេះគឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងមេគុណទីពីរ -12 និងពាក្យឥតគិតថ្លៃ -253 ។ នោះគឺ x 2 −12·x−253=0 គឺជាសមីការដែលចង់បាន។
ចម្លើយ៖
x 2 −12 x−253=0 ។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយកិច្ចការដែលទាក់ទងនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។ តើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ទាក់ទងទៅនឹងសញ្ញានៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ x 2 +p x+q=0 យ៉ាងដូចម្តេច? នេះគឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលពាក់ព័ន្ធចំនួនពីរ៖
- ប្រសិនបើការស្ទាក់ចាប់ q គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះពួកវាទាំងពីរគឺវិជ្ជមាន ឬទាំងពីរគឺអវិជ្ជមាន។
- ប្រសិនបើពាក្យឥតគិតថ្លៃ q គឺជាលេខអវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើសមីការ quadratic មានឫសពិត នោះសញ្ញារបស់ពួកគេគឺខុសគ្នា ម្យ៉ាងវិញទៀត ឫសមួយគឺវិជ្ជមាន ហើយមួយទៀតគឺអវិជ្ជមាន។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះធ្វើតាមរូបមន្ត x 1 x 2 =q ក៏ដូចជាច្បាប់សម្រាប់គុណលេខវិជ្ជមាន លេខអវិជ្ជមាន និងលេខដែលមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃកម្មវិធីរបស់ពួកគេ។
ឧទាហរណ៍។
R គឺវិជ្ជមាន។ យោងតាមរូបមន្តបែងចែកយើងរកឃើញ D = (r + 2) 2 −4 1 (r−1) = r 2 +4 r + 4−4 r + 4 = r 2 +8 តម្លៃនៃកន្សោម r 2 +8 គឺវិជ្ជមានសម្រាប់ r ពិតណាមួយ ដូច្នេះ D> 0 សម្រាប់ r ពិតប្រាកដណាមួយ។ ដូច្នេះ សមីការការ៉េដើមមានឫសពីរសម្រាប់តម្លៃពិតណាមួយនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ r ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថានៅពេលដែលឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា។ ប្រសិនបើសញ្ញានៃឫសគឺខុសគ្នា នោះផលិតផលរបស់ពួកគេគឺអវិជ្ជមាន ហើយដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta ផលិតផលនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ។ ដូច្នេះហើយ យើងចាប់អារម្មណ៍លើតម្លៃទាំងនោះនៃ r ដែលពាក្យឥតគិតថ្លៃ r−1 គឺអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃ r ដែលចាប់អារម្មណ៍យើង យើងត្រូវ ដោះស្រាយវិសមភាពលីនេអ៊ែរ r−1<0 , откуда находим r<1 .
ចម្លើយ៖
នៅ r<1 .
រូបមន្ត Vieta
ខាងលើ យើងបាននិយាយអំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ និងវិភាគទំនាក់ទំនងដែលវាអះអាង។ ប៉ុន្តែមានរូបមន្តដែលភ្ជាប់ឫសពិត និងមេគុណមិនត្រឹមតែសមីការបួនជ្រុងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានសមីការគូប សមីការបួនជ្រុង និងជាទូទៅ។ សមីការពិជគណិតដឺក្រេ n. ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Vieta.
យើងសរសេររូបមន្ត Vieta សម្រាប់សមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេ n នៃទម្រង់ ខណៈពេលដែលយើងសន្មត់ថាវាមានឫសពិត x 1, x 2, ..., x n (ក្នុងចំនោមពួកវាអាចមានដូចគ្នា)៖ 
ទទួលបានរូបមន្ត Vieta អនុញ្ញាត ទ្រឹស្តីបទកត្តាកត្តាពហុនាមក៏ដូចជានិយមន័យនៃពហុនាមស្មើគ្នា តាមរយៈសមភាពនៃមេគុណដែលត្រូវគ្នាទាំងអស់។ ដូច្នេះពហុនាម និងការពង្រីករបស់វាទៅជាកត្តាលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់គឺស្មើគ្នា។ ការបើកតង្កៀបនៅក្នុងផលិតផលចុងក្រោយ និងស្មើមេគុណដែលត្រូវគ្នា យើងទទួលបានរូបមន្ត Vieta ។
ជាពិសេស សម្រាប់ n=2 យើងធ្លាប់ស្គាល់រូបមន្ត Vieta សម្រាប់សមីការការ៉េ។
សម្រាប់សមីការគូប រូបមន្ត Vieta មានទម្រង់ 
វានៅសល់តែកត់សម្គាល់ថានៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្ត Vieta មានអ្វីដែលហៅថាបឋម ពហុនាមស៊ីមេទ្រី.
គន្ថនិទ្ទេស។
- ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ 8 កោសិកា។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed ។ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
- Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃស្ថាប័នអប់រំ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។
- ពិជគណិតនិងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន៖ មូលដ្ឋាន និងប្រវត្តិរូប។ កម្រិត / [យូ។ M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed ។ A.B. Zhizhchenko ។ - ទី 3 ed ។ - M. : ការត្រាស់ដឹង, 2010.- 368 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-022771-1 ។
វិធីសាស្រ្តមួយក្នុងចំណោមវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic គឺកម្មវិធី រូបមន្ត VIETAដែលត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាម FRANCOIS VIETE ។
គាត់ជាមេធាវីដ៏ល្បីល្បាញ ហើយបានបម្រើការនៅសតវត្សទី 16 ជាមួយស្តេចបារាំង។ ពេលទំនេរ គាត់បានសិក្សាផ្នែកតារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យា។ គាត់បានបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។
គុណសម្បត្តិនៃរូបមន្ត៖
1 . ដោយការអនុវត្តរូបមន្ត អ្នកអាចរកឃើញដំណោះស្រាយបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ដោយសារតែអ្នកមិនចាំបាច់បញ្ចូលមេគុណទីពីរទៅក្នុងការ៉េ បន្ទាប់មកដក 4ac ពីវា ស្វែងរកអ្នករើសអើង ជំនួសតម្លៃរបស់វាទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫស។
2 . ដោយគ្មានដំណោះស្រាយអ្នកអាចកំណត់សញ្ញានៃឫសយកតម្លៃនៃឫស។
3 . ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃកំណត់ត្រាពីរវាមិនពិបាកក្នុងការស្វែងរកឫសខ្លួនឯងទេ។ នៅក្នុងសមីការការ៉េខាងលើ ផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាដក។ ផលិតផលនៃឫសនៅក្នុងសមីការការ៉េខាងលើគឺស្មើនឹងតម្លៃនៃមេគុណទីបី។
4 . យោងតាមឬសគល់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ សរសេរសមីការ quadratic នោះគឺ ដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ឧទាហរណ៍ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងទ្រឹស្តីបទ។
5 . វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តនៅពេលដែលមេគុណនាំមុខគឺស្មើនឹងមួយ។
គុណវិបត្តិ៖
1
. រូបមន្តមិនមែនជាសកលទេ។
ទ្រឹស្តីបទ Vieta ថ្នាក់ទី ៨
រូបមន្ត
ប្រសិនបើ x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ x 2 + px + q \u003d 0 នោះ៖
ឧទាហរណ៍
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - ឫសគល់នៃសមីការ x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ។
P = −2, q = −3 ។
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = −1 3 = −3 = q ។
ទ្រឹស្តីបទបញ្ច្រាស
រូបមន្ត
ប្រសិនបើលេខ x 1, x 2, p, q ត្រូវបានភ្ជាប់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖
បន្ទាប់មក x 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 + px + q = 0 ។
ឧទាហរណ៍
ចូរបង្កើតសមីការបួនជ្រុងដោយឫសរបស់វា៖
X 1 \u003d 2 -? 3 និង x 2 \u003d 2 +? ៣.
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d ១.
សមីការដែលចង់បានមានទម្រង់៖ x 2 − 4x + 1 = 0 ។
