ទៅ) លេខ។

2. ទម្រង់ពិជគណិតនៃតំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច

ចំនួនកុំផ្លិចឬ ស្មុគស្មាញ ហៅថាលេខដែលមាន លេខពីរ (ផ្នែក) - ពិតនិងស្រមើលស្រមៃ។

ពិតលេខវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមានណាមួយត្រូវបានហៅ ឧទាហរណ៍ + 5, - 28 ។ល។ ចូរសម្គាល់ចំនួនពិតដោយអក្សរ "L" ។

ការស្រមើស្រមៃលេខដែលស្មើនឹងផលគុណនៃចំនួនពិត ហើយឫសការ៉េនៃឯកតាអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា ឧទាហរណ៍ 8, - 20 ។ល។

ឯកតាអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា ការស្រមើស្រមៃ ហើយត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ "iot":

ចូរសម្គាល់ចំនួនពិតនៅក្នុងសមាសភាពនៃការស្រមើលស្រមៃដោយអក្សរ "M" ។

បន្ទាប់មកលេខស្រមើលស្រមៃអាចត្រូវបានសរសេរដូចនេះ: j M. ក្នុងករណីនេះចំនួនកុំផ្លិច A អាចសរសេរដូចនេះ៖

A = L + j M (2).

ទម្រង់នៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច (កុំផ្លិច) ដែលជាផលបូកពិជគណិតនៃផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃ ត្រូវបានគេហៅថា ពិជគណិត.

ឧទាហរណ៍ ១បញ្ចេញមតិក្នុងទម្រង់ជាពិជគណិត ស្មុគ្រស្មាញដែលផ្នែកពិតគឺ 6 ហើយផ្នែកស្រមើលស្រមៃគឺ 15 ។

ដំណោះស្រាយ។ ក \u003d 6 + j 15 ។

បន្ថែមពីលើទម្រង់ពិជគណិត ចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានតំណាងជាបីបន្ថែមទៀត៖

1. ក្រាហ្វិក;

2. ត្រីកោណមាត្រ;

3. សូចនាករ។

ទម្រង់ផ្សេងៗគ្នាបែបនេះគឺខ្លាំង សម្រួលការគណនា បរិមាណ sinusoidal និងតំណាងក្រាហ្វិករបស់ពួកគេ។

ពិចារណាក្នុងវេនក្រាហ្វិក ត្រីកោណមាត្រ និងនិទស្សន្ត-

ទម្រង់ថ្មីនៃការតំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច។

តំណាងក្រាហ្វិកនៃចំនួនកុំផ្លិច

សម្រាប់តំណាងក្រាហ្វិកនៃចំនួនកុំផ្លិច ដោយផ្ទាល់

ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលធ្យូងថ្ម។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលធម្មតា (សាលា) វិជ្ជមានឬអវិជ្ជមាន ពិត លេខ។

ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ដែល​បាន​អនុម័ត​ក្នុង​វិធីសាស្ត្រ​និមិត្ត​សញ្ញា​តាម​អ័ក្ស x

ចំនួនពិត​ត្រូវ​បាន​គូរ​ក្នុង​ទម្រង់​នៃ​ផ្នែក ហើយ​លេខ​ស្រមើស្រមៃ​តាម​អ័ក្ស "y"

អង្ករ។ 1. ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលសម្រាប់តំណាងក្រាហ្វិកនៃចំនួនកុំផ្លិច

ដូច្នេះអ័ក្ស x ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សនៃតម្លៃពិតឬនិយាយឱ្យខ្លី។ ពិត អ័ក្ស។

អ័ក្ស y ត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សស្រមើស្រមៃ ឬ ការស្រមើស្រមៃ អ័ក្ស។

យន្តហោះខ្លួនវា (ឧ. យន្តហោះនៃរូប) ដែលលេខស្មុគស្មាញ ឬបរិមាណត្រូវបានបង្ហាញ ត្រូវបានគេហៅថា រួមបញ្ចូលគ្នា យន្តហោះ។

ក្នុងយន្តហោះនេះ លេខកុំផ្លិច A = L + j M ត្រូវបានតំណាងដោយវ៉ិចទ័រ A

(រូបទី 2) ការព្យាករដែលនៅលើអ័ក្សពិតស្មើនឹងផ្នែកពិតរបស់វា Re A \u003d A "= L ហើយការព្យាករលើអ័ក្សស្រមើស្រមៃគឺស្មើនឹងផ្នែកស្រមៃ Im A \u003d A" \u003d ម.

(Re - from English real - real, real, real, Im - from English imaginary - unreal, imaginary).

អង្ករ។ 2. តំណាងក្រាហ្វិកនៃចំនួនកុំផ្លិច

ក្នុងករណីនេះលេខ A អាចត្រូវបានសរសេរជា

A \u003d A "+ A" \u003d Re A + j Im A (3) ។

ដោយប្រើតំណាងក្រាហ្វិកនៃលេខ A ក្នុងប្លង់ស្មុគស្មាញ យើងណែនាំនិយមន័យថ្មី និងទទួលបានទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗមួយចំនួន៖

1. ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ A ត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុល វ៉ិចទ័រ និង​តំណាង​ដោយ |A|។

នេះ​បើ​យោង​តាម​ទ្រឹស្ដី​ពី​តា​ហ្គោ​រី

|A| = (4) .

2. មុំ α បង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ A និងពាក់កណ្តាលវិជ្ជមានពិតប្រាកដ

អ័ក្សត្រូវបានគេហៅថា អាគុយម៉ង់ វ៉ិចទ័រ A និងត្រូវបានកំណត់ដោយតង់សង់របស់វា៖

tg α \u003d A "/ A" \u003d Im A / Re A (5) ។

ដូច្នេះ សម្រាប់តំណាងក្រាហ្វិកនៃចំនួនកុំផ្លិច

A \u003d A "+ A" ក្នុងទម្រង់ជាវ៉ិចទ័រ អ្នកត្រូវការ៖

1. រកម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ |A| យោងតាមរូបមន្ត (4);

2. ស្វែងរកអាគុយម៉ង់នៃវ៉ិចទ័រ tg α ដោយរូបមន្ត (5);

3. រកមុំ α ពីទំនាក់ទំនង α = arc tg α;

4. នៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល j (x) គូរជំនួយ

បន្ទាត់ត្រង់ ហើយនៅលើវា លើមាត្រដ្ឋានជាក់លាក់មួយ គ្រោងផ្នែកមួយស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ |A|។

ឧទាហរណ៍ ២ចំនួនកុំផ្លិច A \u003d 3 + j 4 ត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ក្រាហ្វិក។

លេខស្មុគស្មាញ តំណាងរបស់ពួកគេនៅលើយន្តហោះ។ ប្រតិបត្តិការពិជគណិតលើចំនួនកុំផ្លិច។ ការផ្សំស្មុគស្មាញ។ ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ទម្រង់ពិជគណិត និងត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឫសគល់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់ស្មុគស្មាញ។ រូបមន្តអយល័រ។ ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច។

នៅពេលសិក្សាវិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយនៃសមាហរណកម្ម - ការរួមបញ្ចូលនៃប្រភាគសនិទាន - វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពិចារណាពហុនាមនៅក្នុងដែនស្មុគស្មាញសម្រាប់ការបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់។ ដូច្នេះ ចូរយើងសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃចំនួនកុំផ្លិច និងប្រតិបត្តិការលើពួកវាជាមុនសិន។

និយមន័យ 7.1 ។ ចំនួនកុំផ្លិច z គឺជាគូលំដាប់នៃចំនួនពិត (a, b)៖ z = (a, b) (ពាក្យ "លំដាប់" មានន័យថា លំដាប់នៃលេខ a និង b មានសារៈសំខាន់ក្នុងការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖ (a , ខ) )) ។ ក្នុងករណីនេះលេខទីមួយ a ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច z និងត្រូវបានតំណាង a = Re z ហើយលេខទីពីរ b ត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៃ z: b = Im z ។

និយមន័យ 7.2 ។ ចំនួនកុំផ្លិច z 1 \u003d (a 1, b 1) និង z 2 \u003d (a 2, b 2) គឺស្មើគ្នាប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើពួកគេមានផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃស្មើគ្នា នោះគឺ a 1 \u003d a 2 ។ b 1 \u003d b2 ។

សកម្មភាពលើចំនួនកុំផ្លិច។

1. ផលបូកលេខស្មុគស្មាញ z1 =(a 1 , b 1) និង z2 =(a 2 , b 2 z=(ក, ខ) បែបនោះ។ a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 ។លក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែម៖ ក) z1 + z2 = z2 + z1; ខ) z 1 +(z2 + z3) = (z1 + z2) + z3; គ) មានចំនួនកុំផ្លិច 0 = (0,0)៖ z + 0 =zសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច z.

2. ការងារលេខស្មុគស្មាញ z1 =(a 1 , b 1) និង z2 =(a 2 , b 2) ត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច z=(ក, ខ) បែបនោះ។ a \u003d a 1 a 2 - b 1 b 2, b \u003d a 1 b 2 + a 2 b 1 ។គុណលក្ខណៈ៖ ក) z 1 z 2 = z 2 z 1; ខ) z1 (z 2 z ៣) = (z 1 z ២) z3, ក្នុង) ( z1 + z2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 ។

មតិយោបល់។ សំណុំរងនៃសំណុំចំនួនកុំផ្លិច គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតដែលបានកំណត់ជាចំនួនកុំផ្លិចនៃទម្រង់ ( ក, 0). វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាក្នុងករណីនេះនិយមន័យនៃប្រតិបត្តិការលើចំនួនកុំផ្លិចរក្សាច្បាប់ដែលគេស្គាល់នៃប្រតិបត្តិការដែលត្រូវគ្នាលើចំនួនពិត។ លើសពីនេះ ចំនួនពិត 1 = (1,0) រក្សាទ្រព្យសម្បត្តិរបស់វា នៅពេលដែលគុណនឹងចំនួនកុំផ្លិចណាមួយ៖ 1∙ z = z ។

និយមន័យ 7.3 ។ចំនួនកុំផ្លិច (0, ខ) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ. ជាពិសេសលេខ (0,1) ត្រូវបានគេហៅថា ឯកតាស្រមើលស្រមៃនិងជានិមិត្តសញ្ញា ខ្ញុំ.

លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នៃ​ឯកតា​ប្រឌិត​:

1) i∙i=i² = -1; 2) លេខស្រមើលស្រមៃសុទ្ធ (0, ខ) អាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃចំនួនពិត ( ខ, 0) និង ខ្ញុំ: (ខ, 0) = b∙i។

ដូច្នេះចំនួនកុំផ្លិច z = (a, b) អាចតំណាងជា៖ (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib ។

និយមន័យ 7.4 ។ សញ្ញាណនៃទម្រង់ z = a + ib ត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។

មតិយោបល់។ ការសម្គាល់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិចធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តប្រតិបត្តិការលើពួកវាដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតានៃពិជគណិត។

និយមន័យ 7.5 ។ ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថា conjugate ស្មុគស្មាញនៃ z = a + ib ។

3. ដកចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសនៃការបន្ថែម៖ z=(ក, ខ) ត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃចំនួនកុំផ្លិច z1 =(a 1 , b 1) និង z2 =(a 2 , b 2), ប្រសិនបើ a \u003d a 1 - a 2, b \u003d b 1 - b 2 ។

4. ការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ថាជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសនៃគុណ៖ លេខ z = a + ibត្រូវបានគេហៅថា កូតានៃការបែងចែក z 1 = a 1 + ib 1និង z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0) ប្រសិនបើ z 1 = z∙z 2 ។ដូច្នេះផ្នែកពិត និងការស្រមើលស្រមៃនៃកូតាអាចត្រូវបានរកឃើញពីដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការ៖ a 2 a - b 2 b \u003d a 1, b 2 a + a 2 b \u003d b 1 ។

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច.

លេខស្មុគស្មាញ z=(ក, ខ) អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ជា​ចំណុច​មួយ​នៅ​លើ​យន្តហោះ​ជាមួយ​នឹង​កូអរដោណេ ( ក, ខ) ឬវ៉ិចទ័រដែលមានប្រភពដើម និងបញ្ចប់នៅចំណុច ( ក, ខ).

ក្នុងករណីនេះម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច ហើយមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស x គឺ អាគុយម៉ង់លេខ។ បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ a = ទំ cos φ, b = ρអំពើបាប φ, កន្លែងណា ρ = |z| - ម៉ូឌុល z,និង φ = arg z គឺជាអាគុយម៉ង់របស់វា យើងអាចទទួលបានទម្រង់ផ្សេងទៀតនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖

និយមន័យ 7.6 ។មើលធាតុ

z = ទំ(cos φ + ខ្ញុំអំពើបាប φ ) (7.1)

បានហៅ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រសញ្ញាណនៃចំនួនកុំផ្លិច។

នៅក្នុងវេន ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ កនិង ខ: . ដូច្នេះ អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចមិនត្រូវបានកំណត់តែមួយទេ ប៉ុន្តែរហូតដល់ពាក្យដែលជាពហុគុណនៃ 2π ។

វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិចត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ។ ពិចារណាការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃការគុណ។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាប់មក

ដូច្នេះ ម៉ូឌុលនៃផលិតផលនៃចំនួនកុំផ្លិចពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុលរបស់ពួកគេ ហើយអាគុយម៉ង់គឺជាផលបូកនៃអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ។ ដូច្នោះហើយ នៅពេលបែងចែក ម៉ូឌុលនៃកូតាគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃម៉ូឌុលនៃភាគលាភ និងការបែងចែក ហើយអាគុយម៉ង់គឺជាភាពខុសគ្នារវាងអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ។

ករណីពិសេសនៃប្រតិបត្តិការគុណគឺ និទស្សន្ត៖

- រូបមន្តរបស់ De Moivre.

ដោយប្រើទំនាក់ទំនងដែលទទួលបាន យើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃលេខផ្សំស្មុគស្មាញ៖

លេខស្មុគស្មាញ

គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ទិន្នន័យដំបូងនៅលើលេខសំដៅទៅលើយុគសម័យថ្ម - Paleomelite ។ ទាំងនេះគឺជា "មួយ" "ពីរបី" និង "ជាច្រើន" ។ ពួកគេត្រូវបានកត់ត្រាក្នុងទម្រង់ជាស្នាមរន្ធ ស្នាមប្រេះ។ល។ ការអភិវឌ្ឍន៍នៃដំណើរការការងារ និងការកើតឡើងនៃទ្រព្យសម្បត្តិបានបង្ខំឱ្យមនុស្សបង្កើតលេខ និងឈ្មោះរបស់ពួកគេ។ លេខធម្មជាតិបានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូង នទទួលបានដោយការរាប់វត្ថុ។ បន្ទាប់មក រួមជាមួយនឹងតម្រូវការសម្រាប់ការរាប់ មនុស្សមានតម្រូវការវាស់ប្រវែង តំបន់ បរិមាណ ពេលវេលា និងបរិមាណផ្សេងទៀត ដែលចាំបាច់ត្រូវគិតគូរផ្នែកខ្លះនៃរង្វាស់ដែលបានប្រើ។ នេះជារបៀបដែលប្រភាគបានកើតមក។ ការបញ្ជាក់ជាផ្លូវការនៃគោលគំនិតនៃចំនួនប្រភាគ និងអវិជ្ជមានត្រូវបានអនុវត្តនៅសតវត្សទី 19 ។ សំណុំនៃចំនួនគត់ Zគឺជាលេខធម្មជាតិ លេខធម្មជាតិដែលមានសញ្ញាដក និងសូន្យ។ ចំនួនគត់ និងប្រភាគបានបង្កើតជាសំណុំនៃលេខសនិទាន សំណួរប៉ុន្តែទោះបីជាវាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការសិក្សាការផ្លាស់ប្តូរអថេរជាបន្តបន្ទាប់ក៏ដោយ។ លោកុប្បត្តិម្តងទៀតបានបង្ហាញពីភាពមិនល្អឥតខ្ចោះនៃគណិតវិទ្យា៖ ភាពមិនអាចទៅរួចនៃការដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ X 2 = 3 ទាក់ទងនឹងលេខដែលមិនសមហេតុផលបានបង្ហាញខ្លួន ខ្ញុំសហភាពនៃសំណុំនៃលេខសនិទាន សំណួរនិងលេខមិនសមហេតុផល ខ្ញុំគឺជាសំណុំនៃចំនួនពិត (ឬពិត) រ. ជាលទ្ធផល បន្ទាត់លេខត្រូវបានបំពេញ៖ ចំនួនពិតនីមួយៗត្រូវគ្នានឹងចំណុចមួយនៅលើវា។ ប៉ុន្តែនៅលើឈុត រមិនមានវិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការទេ។ X 2 = – ក២. អាស្រ័យហេតុនេះ ជាថ្មីម្តងទៀត មានតម្រូវការពង្រីកគោលគំនិតនៃលេខ។ ដូច្នេះនៅឆ្នាំ 1545 ចំនួនកុំផ្លិចបានលេចឡើង។ អ្នកបង្កើតរបស់ពួកគេ J. Cardano បានហៅពួកគេថា "អវិជ្ជមានសុទ្ធសាធ" ។ ឈ្មោះ "ការស្រមើលស្រមៃ" ត្រូវបានណែនាំនៅឆ្នាំ 1637 ដោយជនជាតិបារាំង R. Descartes ក្នុងឆ្នាំ 1777 អយល័របានស្នើឱ្យប្រើអក្សរទីមួយនៃលេខបារាំង។ ខ្ញុំដើម្បីសម្គាល់ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។ និមិត្តសញ្ញានេះបានចូលប្រើជាទូទៅដោយអរគុណដល់ K. Gauss ។

ក្នុងអំឡុងសតវត្សទី 17 និង 18 ការពិភាក្សាអំពីលក្ខណៈនព្វន្ធនៃការស្រមើលស្រមៃ និងការបកស្រាយធរណីមាត្ររបស់ពួកគេបានបន្ត។ Dane G. Wessel ជនជាតិបារាំង J. Argan និងជនជាតិអាឡឺម៉ង់ K. Gauss បានស្នើដោយឯករាជ្យដើម្បីតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចជាចំណុចនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។ ក្រោយមកវាបានប្រែក្លាយថាវាកាន់តែងាយស្រួលជាងមុនក្នុងការតំណាងឱ្យលេខមិនមែនដោយចំណុចខ្លួនឯងនោះទេ ប៉ុន្តែដោយវ៉ិចទ័រទៅចំណុចនេះពីប្រភពដើម។

មានតែនៅចុងសតវត្សទី 18 - ការចាប់ផ្តើមនៃសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះដែលលេខស្មុគ្រស្មាញទទួលបានកន្លែងត្រឹមត្រូវរបស់ពួកគេក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ការប្រើប្រាស់ដំបូងរបស់ពួកគេគឺនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងនៅក្នុងទ្រឹស្ដីធារាសាស្ត្រ។

និយមន័យ ១.ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាកន្សោមនៃទម្រង់ ដែលជាកន្លែងដែល xនិង yគឺជាចំនួនពិត និង ខ្ញុំគឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។

ចំនួនកុំផ្លិចពីរ និង ស្មើប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើ , .

ប្រសិនបើនោះលេខត្រូវបានហៅ ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ; ប្រសិនបើ នោះលេខគឺជាចំនួនពិត ដែលមានន័យថាសំណុំ រ ពីកន្លែងណា ពីគឺជាសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ផ្សំទៅចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច។

តំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។

លេខកុំផ្លិចណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដោយចំណុច។ ម(x, y) យន្តហោះ អុកសុី.គូនៃចំនួនពិតក៏បង្ហាញពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រកាំ , i.e. រវាងសំណុំនៃវ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះ និងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច គេអាចបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់នឹងមួយ៖ .

និយមន័យ ២.ផ្នែកពិត X.

ការកំណត់: x= Re z(ពីឡាតាំង Realis) ។

និយមន័យ ៣.ផ្នែកស្រមើលស្រមៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាចំនួនពិត y.

ការកំណត់: y= អ៊ឹម z(ពីឡាតាំង Imaginarius) ។

ឡើងវិញ zត្រូវបានដាក់នៅលើអ័ក្ស ( អូ), អ៊ឹម zត្រូវបានដាក់នៅលើអ័ក្ស ( អូ) បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រដែលត្រូវនឹងចំនួនកុំផ្លិច គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច ម(x, y), (ឬ ម(ឡើងវិញ z, អ៊ឹម z)) (រូបទី 1) ។

និយមន័យ ៤.យន្តហោះដែលពិន្ទុត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញ. abscissa ត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សពិតព្រោះវាមានលេខពិត។ អ័ក្ស y ត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សស្រមៃវាមានចំនួនកុំផ្លិចដែលស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ។ សំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានតំណាង ពី.

និយមន័យ ៥.ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច z = (x, y) គឺជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ : , i.e. .

និយមន័យ ៦.អាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាមុំរវាងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស ( អូ) និងវ៉ិចទ័រ៖ .

ចំណាំ ៣.ប្រសិនបើចំណុច zស្ថិតនៅលើអ័ក្សពិត ឬស្រមើស្រមៃ វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយផ្ទាល់។

ទម្រង់នៃចំនួនកុំផ្លិចមានដូចខាងក្រោម៖ ពិជគណិត(x+iy), ត្រីកោណមាត្រ(r(cos+isin )), បាតុកម្ម(ខ្ញុំ ).

ចំនួនកុំផ្លិចណាមួយ z=x+iy អាចត្រូវបានតំណាងនៅលើយន្តហោះ XOY ជាចំណុច A(x, y)។

យន្តហោះ​ដែល​លេខ​កុំផ្លិច​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​យន្តហោះ​នៃ​អថេរ​ស្មុគស្មាញ z (យើង​ដាក់​និមិត្តសញ្ញា z លើ​យន្តហោះ)។

អ័ក្ស OX គឺជាអ័ក្សពិត i.e. វាមានលេខពិត។ OS គឺជាអ័ក្សស្រមើស្រមៃដែលមានលេខស្រមើលស្រមៃ។

x+iy- ទម្រង់ពិជគណិតនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច។

យើងទាញយកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។

យើងជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានទៅជាទម្រង់ដំបូង៖ , i.e.

r (cos+ អ៊ីស៊ីន) - ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច។

ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច ធ្វើតាមរូបមន្តអយល័រ៖
បន្ទាប់មក

z= ឡើងវិញ ខ្ញុំ - ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច។

សកម្មភាពលើចំនួនកុំផ្លិច។

1. បន្ថែម។ z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . ដក។ z 1 -z 2 \u003d (x1 + iy1) - (x2 + iy2) \u003d (x1-x2) + i (y1-y2);

3. គុណ។ z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . ការបែងចែក។ z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[(x2+iy2)*(x2-iy2)]=

ចំនួនកុំផ្លិចពីរដែលខុសគ្នាតែនៅក្នុងសញ្ញានៃឯកតាស្រមើលស្រមៃប៉ុណ្ណោះ i.e. z=x+iy (z=x-iy) ត្រូវបានគេហៅថា conjugate ។

ការងារ។

z1=r(cos + អ៊ីស៊ីន ); z2=r(cos + អ៊ីស៊ីន ).

ផលិតផលនោះ z1*z2 នៃចំនួនកុំផ្លិចគឺ៖ , i.e. ម៉ូឌុលនៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុល ហើយអាគុយម៉ង់នៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាគុយម៉ង់នៃកត្តា។

;
;

ឯកជន។

ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

និទស្សន្ត។

1. ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ពិជគណិត ទម្រង់។

z=x+iy បន្ទាប់មក z n ត្រូវបានរកឃើញដោយ រូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុន:

- ចំនួនបន្សំនៃធាតុ n ដោយ m (ចំនួនវិធីដែលធាតុ n អាចយកចេញពី m) ។

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

ប្រើសម្រាប់លេខកុំផ្លិច។

នៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល អ្នកត្រូវជំនួសអំណាចរបស់ i ជាមួយនឹងតម្លៃរបស់វា៖

i 0 = 1 ដូច្នេះហើយ ក្នុងករណីទូទៅ យើងទទួលបាន៖ i 4k = 1

i 1 = i i 4k + 1 = i

i 2 =-1 និង 4k + 2 =-1

i 3 =-i i 4k + 3 =-i

ឧទាហរណ៍.

i 31 = i 28 i 3 = -i

i 1063 = i 1062 i = i

2. ត្រីកោណមាត្រ ទម្រង់។

z=r(cos + អ៊ីស៊ីន ) បន្ទាប់មក

- រូបមន្តរបស់ De Moivre.

នៅទីនេះ n អាចមានទាំង "+" និង "-" (ចំនួនគត់)។

3. ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ការបង្ហាញ ទម្រង់៖

ការទាញយកឫស។

ពិចារណាសមីការ៖
.

ដំណោះស្រាយរបស់វាគឺឫសទី n នៃចំនួនកុំផ្លិច z៖
.

ឫសទី n នៃចំនួនកុំផ្លិច z មានដំណោះស្រាយ n (តម្លៃ) យ៉ាងពិតប្រាកដ។ ឫសទី n នៃលេខបច្ចុប្បន្នមានដំណោះស្រាយតែមួយ។ នៅក្នុងដំណោះស្រាយស្មុគស្មាញ - n ។

ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ត្រីកោណមាត្រ ទម្រង់៖

z=r(cos + អ៊ីស៊ីន ) បន្ទាប់មកឫសទី n នៃ z ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

ដែល k=0.1…n-1 ។

ជួរ។ បន្ទាត់លេខ។

អនុញ្ញាតឱ្យអថេរ a យកតម្លៃ a 1 , a 2 , a 3 ,… , a n ជាបន្តបន្ទាប់។ សំណុំ​លេខ​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ជា​លំដាប់។ នាងគឺគ្មានទីបញ្ចប់។

ស៊េរីលេខគឺជាកន្សោម a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = . លេខ a 1, a 2, a 3, ..., និង n គឺជាសមាជិកនៃស៊េរី។

ឧទាហរណ៍។

និង 1 គឺជាសមាជិកដំបូងនៃស៊េរី។

ហើយ n គឺជាសមាជិកទី 9 ឬទូទៅនៃស៊េរី។

ស៊េរីមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើ n (ពាក្យទូទៅនៃស៊េរី) ត្រូវបានគេស្គាល់។

ស៊េរីលេខមានសមាជិកមិនកំណត់។

លេខភាគ - វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ (1,3,5,7…).

សមាជិក n-th ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត a n = a 1 + d (n-1); d=a n -a n-1 ។

ភាគបែង - វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ. b n = b 1 q n-1 ;
.

ពិចារណាលើផលបូកនៃពាក្យ n ដំបូងនៃស៊េរី ហើយកំណត់វាដោយ Sn ។

Sn=a1+a2+…+a n ។

Sn គឺជាផលបូកផ្នែក n-th នៃស៊េរី។

ពិចារណាដែនកំណត់៖

S គឺជាផលបូកនៃស៊េរី។

ជួរ បញ្ចូលគ្នា ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះគឺកំណត់ (ដែនកំណត់កំណត់ S មាន)។

ជួរ ខុសគ្នា ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះគឺគ្មានកំណត់។

នៅពេលអនាគត ភារកិច្ចរបស់យើងមានដូចខាងក្រោម៖ បង្កើតស៊េរីណា។

ស៊េរី​សាមញ្ញ​បំផុត​មួយ ប៉ុន្តែ​ជា​ទូទៅ​បំផុត​គឺ​ការ​វិវត្ត​ធរណីមាត្រ។

, C=const ។

វឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រគឺការបញ្ចូលគ្នា នៅក្បែរ, ប្រសិនបើ
និងខុសគ្នាប្រសិនបើ
.

បានរកឃើញផងដែរ។ ស៊េរីអាម៉ូនិក(ជួរ
) ជួរនេះ។ ខុសគ្នា .

ការកំណត់ចំនួនកុំផ្លិចគឺស្មើនឹងកំណត់ចំនួនពិតពីរ a, b - ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិចនេះ។ ប៉ុន្តែ​លេខ​ដែល​បាន​តម្រៀប​គ្នា​ត្រូវ​បាន​តំណាង​នៅ​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ចតុកោណ​ Cartesian ដោយ​ចំណុច​ដែល​មាន​កូអរដោណេ។ ដូច្នេះ​ចំណុច​នេះ​ក៏​អាច​ប្រើ​ជា​រូបភាព​សម្រាប់​ចំនួន​កុំផ្លិច z៖ ការ​ឆ្លើយឆ្លង​មួយ​ទៅ​មួយ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​រវាង​ចំនួន​កុំផ្លិច​និង​ចំណុច។ នៃយន្តហោះកូអរដោណេ។ នៅពេលប្រើប្លង់កូអរដោនេដើម្បីពណ៌នាចំនួនកុំផ្លិច អ័ក្សអុកជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សពិត (ចាប់តាំងពីផ្នែកពិតនៃលេខត្រូវបានយកជា abscissa នៃចំណុច) ហើយអ័ក្ស Oy គឺជាអ័ក្សស្រមើស្រមៃ (ចាប់តាំងពីផ្នែកស្រមៃ នៃចំនួនត្រូវបានគេយកជាការចាត់តាំងនៃចំណុច) ។ ចំនួនកុំផ្លិច z ដែលតំណាងដោយចំនុចមួយ (a, b) ត្រូវបានគេហៅថា affix នៃចំនុចនេះ។ ក្នុងករណីនេះ លេខពិតត្រូវបានតំណាងដោយចំនុចដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សពិត ហើយលេខស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធទាំងអស់ (សម្រាប់ a = 0) ត្រូវបានតំណាងដោយចំនុចដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សស្រមើស្រមៃ។ លេខសូន្យត្រូវបានតំណាងដោយចំណុច O ។

នៅលើរូបភព។ 8 រូបភាពនៃលេខ។

លេខបន្សំស្មុគ្រស្មាញពីរត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សអុក (ចំណុចក្នុងរូបភាពទី 8)។

ជារឿយៗត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំនួនកុំផ្លិចមិនត្រឹមតែជាចំណុច M ដែលតំណាងឱ្យលេខនេះប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជាវ៉ិចទ័រ OM (សូមមើលធាតុ 93) ដែលនាំមុខពី O ដល់ M ។ ការតំណាងនៃលេខដោយវ៉ិចទ័រគឺងាយស្រួលពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃសកម្មភាពនៃការបូកនិងដកនៃចំនួនកុំផ្លិច។

នៅលើរូបភព។ 9, a វាត្រូវបានបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រពណ៌នាផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានទទួលជាអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រតំណាងឱ្យពាក្យ។

ច្បាប់បន្ថែមវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាក្បួនប្រលេឡូក្រាម (ឧទាហរណ៍ សម្រាប់បន្ថែមកម្លាំង ឬល្បឿននៅក្នុងវគ្គសិក្សារូបវិទ្យា)។ ការដកអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅបូកជាមួយវ៉ិចទ័រផ្ទុយ (រូបភាព 9 ខ) ។

ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ (Sec. 8) ទីតាំងនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះក៏អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេប៉ូលរបស់វាផងដែរ។ 10 វាច្បាស់ណាស់ថាតើអ្វីទៅជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច : កាំប៉ូលនៃចំនុចដែលតំណាងអោយលេខគឺស្មើនឹងម៉ូឌុលនៃលេខនេះ។

មុំប៉ូលនៃចំណុច M ត្រូវបានគេហៅថាអាគុយម៉ង់នៃលេខដែលតំណាងដោយចំណុចនេះ។ អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច (ដូចជាមុំប៉ូលនៃចំនុចមួយ) មិនត្រូវបានកំណត់ដាច់ដោយឡែកទេ។ ប្រសិនបើជាតម្លៃមួយរបស់វា នោះតម្លៃទាំងអស់របស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយរូបមន្ត

តម្លៃ​ទាំងអស់​នៃ​អាគុយម៉ង់​ក្នុង​ការ​សរុប​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​និមិត្ត​សញ្ញា ។

ដូច្នេះ ចំនួនកុំផ្លិចណាមួយអាចត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយចំនួនពិតមួយគូ៖ ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់លាស់។ ផ្ទុយទៅវិញ ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់ដែលត្រូវនឹងលេខតែមួយដែលមានម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ លេខសូន្យមានលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេស៖ ម៉ូឌុលរបស់វាគឺសូន្យ គ្មានតម្លៃជាក់លាក់ណាមួយត្រូវបានផ្តល់ទៅអាគុយម៉ង់ទេ។

ដើម្បីសម្រេចបាននូវភាពឯកកោក្នុងនិយមន័យនៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច តម្លៃមួយនៃអាគុយម៉ង់អាចត្រូវបានគេហៅថាមេ។ វាត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា។ ជាធម្មតា ជាតម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់ តម្លៃមួយត្រូវបានជ្រើសរើសដែលបំពេញវិសមភាព

(ក្នុងករណីផ្សេងទៀត វិសមភាព) ។

ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់ផងដែរចំពោះតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនពិត និងសុទ្ធសាធ៖

ផ្នែកពិត និងស្រមើស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច (ជាកូអរដោណេ Cartesian នៃចំណុចមួយ) ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា (កូអរដោនេប៉ូលនៃចំណុចមួយ) ដោយប្រើរូបមន្ត (8.3)៖

ហើយចំនួនកុំផ្លិចអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម។