ម៉ាទ្រីសប្រភេទអង្កត់ទ្រូងត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងសាមញ្ញបំផុត។ សំណួរកើតឡើងថាតើវាអាចទៅរួចក្នុងការស្វែងរកមូលដ្ឋានដែលម៉ាទ្រីសនៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរនឹងមានទម្រង់អង្កត់ទ្រូងដែរឬទេ។ មូលដ្ឋានបែបនេះមាន។
អនុញ្ញាតឱ្យចន្លោះលីនេអ៊ែរ R n និងប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ A ដើរតួនៅក្នុងវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ; ក្នុងករណីនេះ ប្រតិបត្តិករ A យក R n ចូលទៅក្នុងខ្លួនវា នោះគឺ A: R n → R n ។

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័រ x ដែលមិនមែនជាសូន្យត្រូវបានគេហៅថា eigenvector នៃប្រតិបត្តិករ A ប្រសិនបើប្រតិបត្តិករ A បំប្លែង x ទៅជាវ៉ិចទ័រ collinear ទៅវា ពោលគឺ . លេខ λ ត្រូវបានគេហៅថា eigenvalue ឬ eigenvalue របស់ប្រតិបត្តិករ A ដែលត្រូវគ្នានឹង eigenvector x ។
យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃ eigenvalues ​​និង eigenvectors ។
1. ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃ eigenvectors នៃប្រតិបត្តិករ A ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង eigenvalue ដូចគ្នា λ គឺជា eigenvector ដែលមាន eigenvalue ដូចគ្នា។
2. Eigenvectors ប្រតិបត្តិករ A ដែលមាន eigenvalues ​​​​ λ 1 , λ 2 , … , λ m ដាច់ដោយឡែកពីគ្នាជាគូ។
3. ប្រសិនបើ eigenvalues ​​λ 1 =λ 2 = λ m = λ នោះ eigenvalue λ ត្រូវគ្នាទៅនឹង eigenvectors ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរមិនលើសពី m ។

ដូច្នេះប្រសិនបើមាន eigenvectors ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង eigenvalues ​​​​ផ្សេងគ្នា λ 1 , λ 2 , … , λ n បន្ទាប់មកពួកវាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះពួកគេអាចត្រូវបានគេយកជាមូលដ្ឋាននៃលំហ R n ។ ចូរយើងស្វែងរកទម្រង់ម៉ាទ្រីសនៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ A ដោយផ្អែកលើ eigenvectors របស់វា ដែលយើងធ្វើសកម្មភាពជាមួយប្រតិបត្តិករ A លើវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន៖ បន្ទាប់មក .
ដូច្នេះម៉ាទ្រីសនៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ A នៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃ eigenvectors របស់វាមានទម្រង់អង្កត់ទ្រូង ហើយ eigenvalues ​​នៃប្រតិបត្តិករ A គឺស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូង។
តើមានមូលដ្ឋានមួយផ្សេងទៀតដែលម៉ាទ្រីសមានទម្រង់អង្កត់ទ្រូងទេ? ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។ ម៉ាទ្រីស​នៃ​ប្រតិបត្តិករ​លីនេអ៊ែរ A ក្នុង​មូលដ្ឋាន (i = 1..n) មាន​ទម្រង់​អង្កត់ទ្រូង ប្រសិន​បើ​វ៉ិចទ័រ​ទាំងអស់​នៃ​មូលដ្ឋាន​ជា eigenvectors របស់​ប្រតិបត្តិករ A។

ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរក eigenvalues ​​និង eigenvectors

អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ ដែល x 1 , x 2 , … , x n - កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន និង x គឺជា eigenvector នៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ A ដែលត្រូវគ្នានឹង eigenvalue λ ពោលគឺ . ទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស

. (*)

សមីការ (*) អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសមីការសម្រាប់ការស្វែងរក x ហើយនោះមានន័យថាយើងចាប់អារម្មណ៍លើដំណោះស្រាយដែលមិនសំខាន់ ដោយសារ eigenvector មិនអាចជាសូន្យ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាដំណោះស្រាយ nontrivial នៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរមានប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ det(A - λE) = 0។ ដូច្នេះសម្រាប់ λ ទៅជា eigenvalue របស់ប្រតិបត្តិករ A វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែល det(A - λE ) = 0 ។
ប្រសិនបើសមីការ (*) ត្រូវបានសរសេរលម្អិតក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ នោះយើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ៖

(1)
កន្លែងណា គឺជាម៉ាទ្រីសរបស់ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ។

ប្រព័ន្ធ (1) មានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់ D របស់វាស្មើនឹងសូន្យ

យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់ការស្វែងរក eigenvalues ​​។
សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការលក្ខណៈ ហើយផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាពហុនាមលក្ខណៈនៃម៉ាទ្រីស (ប្រតិបត្តិករ) A. ប្រសិនបើពហុនាមលក្ខណៈមិនមានឫសពិតទេ នោះម៉ាទ្រីស A មិនមាន eigenvectors ហើយមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូងបានទេ។
អនុញ្ញាតឱ្យ λ 1 , λ 2 , … , λ n ជាឫសពិតនៃសមីការលក្ខណៈ ហើយវាអាចមានពហុគុណក្នុងចំណោមពួកគេ។ ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះនៅក្នុងវេនចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធ (1) យើងរកឃើញ eigenvectors ។

ឧទាហរណ៍ 12 ។ ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ A ដើរតួក្នុង R 3 យោងទៅតាមច្បាប់ដែល x 1 , x 2 , .., x n គឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាន , , . ស្វែងរក eigenvalues ​​និង eigenvectors នៃប្រតិបត្តិករនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត។ យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសនៃប្រតិបត្តិករនេះ៖
.
យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃ eigenvectors៖

យើងបង្កើតសមីការលក្ខណៈ និងដោះស្រាយវា៖

.
λ 1,2 = −1, λ 3 = 3 ។
ការជំនួស λ = -1 ទៅក្នុងប្រព័ន្ធ យើងមាន៖
ឬ
ជា បន្ទាប់មកមានអថេរពឹងផ្អែកពីរ និងអថេរឥតគិតថ្លៃមួយ។
អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 ជាមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះតាមមធ្យោបាយណាមួយ ហើយស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធនេះ៖ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយមានដំណោះស្រាយមួយចាប់តាំងពី n - r = 3 - 2 = 1 ។
សំណុំនៃ eigenvectors ដែលត្រូវគ្នានឹង eigenvalue λ = -1 មានទម្រង់៖ , ដែល x 1 ជាលេខណាមួយក្រៅពីសូន្យ។ ចូរយើងជ្រើសរើសវ៉ិចទ័រមួយពីសំណុំនេះ ឧទាហរណ៍ ដោយកំណត់ x 1 = 1៖ .
ប្រកែកស្រដៀងគ្នានេះ យើងរកឃើញ eigenvector ដែលត្រូវគ្នានឹង eigenvalue λ = 3: .
នៅក្នុងលំហ R 3 មូលដ្ឋានមានវ៉ិចទ័រឯករាជ្យចំនួនបី ប៉ុន្តែយើងទទួលបាន eigenvectors ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរតែពីរប៉ុណ្ណោះ ដែលមូលដ្ឋាននៅក្នុង R 3 មិនអាចបង្កើតបាន។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីស A នៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរមិនអាចកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូងបានទេ។

ឧទាហរណ៍ 13 បានផ្តល់ម៉ាទ្រីស .
1. បញ្ជាក់ថាវ៉ិចទ័រ គឺជា eigenvector នៃម៉ាទ្រីស A. ស្វែងរក eigenvalue ដែលត្រូវគ្នានឹង eigenvector នេះ។
2. ស្វែងរកមូលដ្ឋានដែលម៉ាទ្រីស A មានទម្រង់អង្កត់ទ្រូង។
ការសម្រេចចិត្ត។
1. ប្រសិនបើ នោះ x គឺជា eigenvector

.
វ៉ិចទ័រ (1, 8, -1) គឺជា eigenvector ។ Eigenvalue λ = -1 ។
ម៉ាទ្រីស​មាន​ទម្រង់​អង្កត់ទ្រូង​ក្នុង​មូលដ្ឋាន​ដែល​មាន eigenvectors ។ មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺល្បីល្បាញ។ តោះរកសល់។
យើងកំពុងស្វែងរក eigenvectors ពីប្រព័ន្ធ៖

សមីការលក្ខណៈ៖ ;
(3+λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 − 1) = 0
λ 1 = −3, λ 2 = 1, λ 3 = −1 ។
ស្វែងរក eigenvector ដែលត្រូវគ្នានឹង eigenvalue λ = -3:

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងពីរ និងស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនេះមានតែដំណោះស្រាយសូន្យ x 1 = x 3 = 0. x 2 នៅទីនេះអាចជាអ្វីផ្សេងក្រៅពីសូន្យឧទាហរណ៍។ x 2 = 1. ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ (0 ,1,0) គឺជា eigenvector ដែលត្រូវគ្នានឹង λ = -3 ។ តោះពិនិត្យ៖
.
ប្រសិនបើ λ = 1 នោះយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ
ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺពីរ។ ឆ្លងកាត់សមីការចុងក្រោយ។
អនុញ្ញាតឱ្យ x 3 ជាមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ។ បន្ទាប់មក x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3 ។
សន្មត់ x 3 = 1 យើងមាន (-3,-9,1) - eigenvector ដែលត្រូវគ្នានឹង eigenvalue λ = 1. ពិនិត្យ៖

.
ដោយសារតម្លៃ eigenvalues ​​គឺពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា វ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នានឹងពួកវាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះពួកគេអាចត្រូវបានគេយកជាមូលដ្ឋាននៅក្នុង R 3 ។ ដូច្នេះនៅក្នុងមូលដ្ឋាន , , ម៉ាទ្រីស A មានទម្រង់៖
.
មិនមែនគ្រប់ម៉ាទ្រីសនៃប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ A:R n → R n អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូងទេ ព្រោះសម្រាប់ប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរមួយចំនួនអាចមានតិចជាង n អ៊ីហ្សែនវ៉ិចទ័រឯករាជ្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសគឺស៊ីមេទ្រី នោះពិតជា m វ៉ិចទ័រឯករាជ្យ លីនេអ៊ែរ ត្រូវគ្នាទៅនឹងឫសនៃសមីការលក្ខណៈនៃគុណ m ។

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស​ស៊ីមេទ្រី​គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​ដែល​ធាតុ​ដែល​ស៊ីមេទ្រី​ទាក់ទង​នឹង​អង្កត់ទ្រូង​មេ​គឺ​ស្មើ​គ្នា​ដែល​ក្នុង​នោះ​។
សុន្ទរកថា។ 1. eigenvalues ​​ទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីគឺពិតប្រាកដ។
2. Eigenvectors នៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃ eigenvalues ​​ផ្សេងគ្នាជាគូគឺ orthogonal ។
ក្នុងនាមជាកម្មវិធីមួយក្នុងចំណោមកម្មវិធីជាច្រើននៃបរិធានដែលបានសិក្សា យើងពិចារណាពីបញ្ហានៃការកំណត់ទម្រង់នៃខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ។

និយមន័យ ៩.៣.វ៉ិចទ័រ X បានហៅ វ៉ិចទ័រផ្ទាល់ខ្លួនម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ λ, ដែលសមភាពទទួលបាន៖ ប៉ុន្តែ X= λ X, នោះគឺជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តទៅ X ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលផ្តល់ដោយម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ, គឺជាគុណនៃវ៉ិចទ័រនេះដោយចំនួន λ . លេខខ្លួនឯង λ បានហៅ លេខផ្ទាល់ខ្លួនម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ.

ការជំនួសរូបមន្ត (៩.៣) x` j = λx j ,យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃ eigenvector:

. (9.5)

ប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរដូចគ្នានេះនឹងមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់ លុះត្រាតែកត្តាកំណត់សំខាន់របស់វាគឺ 0 (ច្បាប់របស់ Cramer)។ ដោយសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះក្នុងទម្រង់៖

យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់កំណត់ eigenvalues λ បានហៅ សមីការលក្ខណៈ. ដោយសង្ខេប វាអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

| អេ-ល | = 0, (9.6)

ដោយសារផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស អេ-ល. ពហុនាមទាក់ទងនឹង λ | អេ-ល| បានហៅ ពហុនាមលក្ខណៈម៉ាទ្រីស ក

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃពហុនាមលក្ខណៈ៖

1) ពហុនាមលក្ខណៈនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃមូលដ្ឋាននោះទេ។ ភស្តុតាង។ (សូមមើល (៩.៤)) ប៉ុន្តែ ដូច្នេះ, ។ ដូច្នេះមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃមូលដ្ឋាន។ ដូច្នេះហើយ | អេ-ល| មិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។

2) ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរគឺ ស៊ីមេទ្រី(ទាំងនោះ។ a ij = a ji) បន្ទាប់មកឫសទាំងអស់នៃសមីការលក្ខណៈ (9.6) គឺជាចំនួនពិត។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃ eigenvalues ​​និង eigenvectors:

1) ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសមូលដ្ឋានពី eigenvectors x 1, x 2, x 3 ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង eigenvalues λ 1 , λ 2 , λ ៣ម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ ការបំលែងលីនេអ៊ែរ A មានម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូង៖

(9.7) ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះធ្វើតាមនិយមន័យនៃ eigenvectors ។

2) ប្រសិនបើការផ្លាស់ប្តូរ eigenvalues ប៉ុន្តែមានភាពខុសប្លែកគ្នា បន្ទាប់មក eigenvectors ដែលត្រូវគ្នានឹងពួកវាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

3) ប្រសិនបើពហុនាមលក្ខណៈនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែមានឫសបីផ្សេងគ្នា បន្ទាប់មកក្នុងមូលដ្ឋានខ្លះ ម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែមានរាងអង្កត់ទ្រូង។

ចូរយើងស្វែងរក eigenvalues ​​និង eigenvectors នៃ matrix ចូរយើងបង្កើតសមីការលក្ខណៈ៖ (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - ៧ λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃ eigenvectors ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃដែលបានរកឃើញនីមួយៗ λ. ពី (9.5) វាធ្វើតាមថាប្រសិនបើ X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) គឺជា eigenvector ដែលត្រូវគ្នា។ λ 1 = -2 បន្ទាប់មក

គឺជាប្រព័ន្ធសហការ ប៉ុន្តែមិនអាចកំណត់បាន។ ដំណោះស្រាយរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរជា X (1) ={ក,0,-ក) ដែល a ជាលេខណាមួយ។ ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកទាមទារនោះ | x (1) |=1, X (1) =

ការជំនួសប្រព័ន្ធ (៩.៥) λ 2 =3 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃ eigenvector ទីពីរ - x (2) ={y1,y2,y3}:

កន្លែងណា X (2) ={b,-b, ខ) ឬផ្តល់ | x (2) |=1, x (2) =

សម្រាប់ λ 3 = 6 ស្វែងរក eigenvector x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={គ,2c, គ) ឬនៅក្នុងកំណែធម្មតា។

x (3) = វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. ដូច្នេះ eigenvectors នៃ matrix នេះ គឺ​ជា​គូ​ orthogonal ។

ធម្មទេសនា ១០

ទម្រង់បួនជ្រុង និងការភ្ជាប់របស់ពួកគេជាមួយម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃ eigenvectors និង eigenvalues ​​នៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី។ ការកាត់បន្ថយទម្រង់បួនជ្រុងទៅជាទម្រង់ Canonical ។

និយមន័យ 10.1 ។ទម្រង់បួនជ្រុងអថេរពិតប្រាកដ x 1, x 2,…, x nពហុធានៃសញ្ញាបត្រទីពីរទាក់ទងនឹងអថេរទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ដែលមិនមានពាក្យឥតគិតថ្លៃ និងលក្ខខណ្ឌនៃសញ្ញាបត្រទីមួយ។

ឧទាហរណ៍នៃទម្រង់ការ៉េ៖

(ន = 2),

(ន = 3). (10.1)

រំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងការបង្រៀនចុងក្រោយនេះ៖

និយមន័យ 10.2 ។ម៉ាទ្រីសការ៉េត្រូវបានគេហៅថា ស៊ីមេទ្រីប្រសិនបើ នោះគឺប្រសិនបើធាតុម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងអង្កត់ទ្រូងសំខាន់គឺស្មើគ្នា។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃ eigenvalues ​​និង eigenvectors នៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រី៖

1) eigenvalues ​​ទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីគឺពិតប្រាកដ។

ភស្តុតាង (សម្រាប់ ន = 2).

អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែមើល​ទៅ​ដូច​ជា: . ចូរយើងបង្កើតសមីការលក្ខណៈ៖

(១០.២) ស្វែងរកអ្នករើសអើង៖

ដូច្នេះ សមីការ​មាន​ឫស​ពិត​តែ​ប៉ុណ្ណោះ។

2) eigenvectors នៃម៉ាទ្រីសស៊ីមេទ្រីគឺ orthogonal ។

ភស្តុតាង (សម្រាប់ ន= 2).

កូអរដោនេនៃ eigenvectors និងត្រូវតែបំពេញសមីការ។

ធម្មទេសនា ៩

ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរនៃកូអរដោនេ។ Eigenvectors និង eigenvalues ​​នៃ matrix មួយ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។ ពហុនាមលក្ខណៈនៃម៉ាទ្រីស លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

យើងនឹងនិយាយថានៅលើសំណុំនៃវ៉ិចទ័ររបានផ្តល់ឱ្យ ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ ប៉ុន្តែ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនីមួយៗ X រ យោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន វ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែ X រ.

និយមន័យ 9.1 ។ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ ប៉ុន្តែ បានហៅ លីនេអ៊ែរប្រសិនបើសម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយ។ X និង នៅ និងសម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ។ λ សមភាពត្រូវបានបំពេញ៖

ប៉ុន្តែ( X + នៅ )=ប៉ុន្តែ X+ ក នៅ ,ក(λ X ) = λ ក X. (9.1)

និយមន័យ 9.2 ។ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាបេះបិទប្រសិនបើវាបំប្លែងវ៉ិចទ័រណាមួយ។ X ចូលទៅក្នុងខ្លួនគាត់។

ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណត្រូវបានកំណត់ ហ X= X .

ពិចារណាលំហបីវិមាត្រដែលមានមូលដ្ឋាន អ៊ី ១ , អ៊ី ២, អ៊ី ៣ ដែលក្នុងនោះការបំប្លែងលីនេអ៊ែរត្រូវបានបញ្ជាក់ ប៉ុន្តែ. អនុវត្តវាទៅវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែ អ៊ី ១, ប៉ុន្តែ អ៊ី ២, ប៉ុន្តែ អ៊ី ៣ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់លំហបីវិមាត្រនេះ។ ដូច្នេះ ពួកវានីមួយៗអាចត្រូវបានពង្រីកតាមវិធីតែមួយគត់ក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន៖

ប៉ុន្តែ អ៊ី 1 = ក ១១ អ៊ី ១+ ២១ អ៊ី ២+a ៣១ អ៊ី ៣,

ប៉ុន្តែ អ៊ី 2 = ក ១២ អ៊ី ១+ ២២ អ៊ី ២+ មួយ ៣២ អ៊ី ៣ ,(9.2)

ប៉ុន្តែ អ៊ី ៣= មួយ ១៣ អ៊ី ១+ ២៣ អ៊ី ២+ មួយ 33 អ៊ី ៣ .

ម៉ាទ្រីស បានហៅ ម៉ាទ្រីសបំប្លែងលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែ នៅក្នុងមូលដ្ឋាន អ៊ី ១ , អ៊ី ២, អ៊ី ៣ . ជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានផ្សំឡើងដោយមេគុណនៅក្នុងរូបមន្ត (9.2) នៃការបំប្លែងមូលដ្ឋាន។

មតិយោបល់។ ជាក់ស្តែង ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណ គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ អ៊ី.

សម្រាប់វ៉ិចទ័របំពាន X = x ១ អ៊ី ១+ x ២ អ៊ី ២+ x ៣ អ៊ី ៣ លទ្ធផលនៃការអនុវត្តការបំប្លែងលីនេអ៊ែរទៅវា។ ប៉ុន្តែនឹងវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែ X, ដែលអាចពង្រីកជាវ៉ិចទ័រដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ ប៉ុន្តែ X =x` ១ អ៊ី ១+x` ២ អ៊ី ២+x` ៣ អ៊ី ៣ ដែលជាកន្លែងដែលកូអរដោនេx` ខ្ញុំអាចរកបានដោយប្រើរូបមន្ត៖

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = ក 31 x 1 + ក 32 x 2 + ក 33 x 3 .

មេគុណនៅក្នុងរូបមន្តនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរនេះគឺជាធាតុនៃជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ.

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបំប្លែងលីនេអ៊ែរ

នៅពេលផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី។

ពិចារណាការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ A និងមូលដ្ឋានពីរក្នុងលំហបីវិមាត្រ៖ អ៊ី ១ , អ៊ី ២, អ៊ី ៣ និង អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , អ៊ី 3 . អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស C កំណត់រូបមន្តផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋាន (អ៊ី k) ទៅមូលដ្ឋាន ( អ៊ី k) ប្រសិនបើនៅក្នុងទីមួយនៃមូលដ្ឋានទាំងនេះ ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលបានជ្រើសរើសត្រូវបានផ្តល់ដោយម៉ាទ្រីស A ហើយនៅក្នុងទីពីរ - ដោយម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក យើងអាចរកឃើញទំនាក់ទំនងរវាងម៉ាទ្រីសទាំងនេះ ពោលគឺ៖

A \u003d C -1 ប៉ុន្តែ C(9.4)

ជាការពិត ប៉ុន្តែ . ម្យ៉ាងវិញទៀត លទ្ធផលនៃការអនុវត្តការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែជា​មូលដ្ឋាន (អ៊ី k), i.e. និងជាមូលដ្ឋាន (អ៊ី k ): រៀងគ្នា - ត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយម៉ាទ្រីស ជាមួយ: តើវាមកពីណា SA = ប៉ុន្តែជាមួយ. គុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះនៅខាងឆ្វេងដោយ ជាមួយ-1 យើងទទួលបាន ជាមួយ -1 CA = = គ -1 ប៉ុន្តែជាមួយដែលបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃរូបមន្ត (៩.៤)។

Eigenvalues ​​និង eigenvectors នៃម៉ាទ្រីសមួយ។

និយមន័យ ៩.៣.វ៉ិចទ័រ X បានហៅ វ៉ិចទ័រផ្ទាល់ខ្លួនម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ λ, ដែលសមភាពទទួលបាន៖ ប៉ុន្តែ X= λ X, នោះគឺជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តទៅ X ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលផ្តល់ដោយម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ, គឺជាគុណនៃវ៉ិចទ័រនេះដោយចំនួន λ . លេខខ្លួនឯង λ បានហៅ លេខផ្ទាល់ខ្លួនម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ.

ការជំនួសរូបមន្ត (៩.៣)x` j = λ x j, យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃ eigenvector:

.

ពី​ទីនេះ

.(9.5)

នេះ។ លីនេអ៊ែរដូចគ្នា។ប្រព័ន្ធនឹងមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់ លុះត្រាតែកត្តាកំណត់សំខាន់របស់វាគឺ 0 (ច្បាប់របស់ Cramer)។ ដោយសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះក្នុងទម្រង់៖

យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់កំណត់ eigenvalues λ បានហៅ សមីការលក្ខណៈ. ដោយសង្ខេប វាអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

| ក -λ អ៊ី | = 0,(9.6)

ដោយសារផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ- λE. ពហុនាមទាក់ទងនឹង λ| ក -λ អ៊ី| បានហៅ ពហុនាមលក្ខណៈម៉ាទ្រីស ក

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃពហុនាមលក្ខណៈ៖

1) ពហុនាម​លក្ខណៈ​នៃ​ការ​បំប្លែង​ជា​លីនេអ៊ែរ​មិន​អាស្រ័យ​លើ​ជម្រើស​នៃ​មូលដ្ឋាន​ភស្តុតាង​ទេ។ (សូមមើល (៩.៤)) ប៉ុន្តែ ដូច្នេះ, ។ ដូច្នេះមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃមូលដ្ឋាន។ ដូច្នេះហើយ |ក-λ អ៊ី| មិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ប្តូរទៅមូលដ្ឋានថ្មី។

2) ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរគឺ ស៊ីមេទ្រី(ទាំងនោះ។ ក អ៊ី= ជី) បន្ទាប់មកឫសទាំងអស់នៃសមីការលក្ខណៈ (9.6) គឺជាចំនួនពិត។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃ eigenvalues ​​និង eigenvectors:

1) ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសមូលដ្ឋានពី eigenvectors x 1, x 2, x 3 ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង eigenvalues λ 1 , λ 2 , λ ៣ម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ ការបំលែងលីនេអ៊ែរ A មានម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូង៖

(9.7) ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះធ្វើតាមនិយមន័យនៃ eigenvectors ។

2) ប្រសិនបើការផ្លាស់ប្តូរ eigenvalues ប៉ុន្តែមានភាពខុសប្លែកគ្នា បន្ទាប់មក eigenvectors ដែលត្រូវគ្នានឹងពួកវាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

3) ប្រសិនបើពហុនាមលក្ខណៈនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែមានឫសបីផ្សេងគ្នា បន្ទាប់មកនៅក្នុងមូលដ្ឋានខ្លះ ម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែមានរាងអង្កត់ទ្រូង។

ឧទាហរណ៍។

ចូរយើងស្វែងរក eigenvalues ​​និង eigenvectors នៃ matrix C ទុកសមីការលក្ខណៈ៖ (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - ៧ λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃ eigenvectors ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃដែលបានរកឃើញនីមួយៗ λ. ពី (9.5) វាធ្វើតាមថាប្រសិនបើ X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) គឺជា eigenvector ដែលត្រូវគ្នា។ λ 1 = -2 បន្ទាប់មក

គឺជាប្រព័ន្ធសហការ ប៉ុន្តែមិនអាចកំណត់បាន។ ដំណោះស្រាយរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរជា X (1) ={ ក,0,- ក) ដែល a ជាលេខណាមួយ។ ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកទាមទារនោះ |x (1) |=1, X (1) =

ការជំនួសប្រព័ន្ធ (៩.៥) λ 2 =3 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃ eigenvector ទីពីរ-x (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរនៃកូអរដោនេ។ Eigenvectors និង eigenvalues ​​នៃ matrix មួយ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេ។ ពហុនាមលក្ខណៈនៃម៉ាទ្រីស លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

យើងនឹងនិយាយថានៅលើសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ របានផ្តល់ឱ្យ ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រប៉ុន្តែ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនីមួយៗ X រ យោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន វ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែX រ.

និយមន័យ 9.1 ។ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ ប៉ុន្តែបានហៅ លីនេអ៊ែរប្រសិនបើសម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយ។ X និង នៅ និងសម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ។ λ សមភាពត្រូវបានបំពេញ៖

ប៉ុន្តែ(X + នៅ )=ប៉ុន្តែX + កនៅ ,ក(λX ) =λ កX . (9.1)

និយមន័យ 9.2 ។ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាបេះបិទប្រសិនបើវាបំប្លែងវ៉ិចទ័រណាមួយ។ X ចូលទៅក្នុងខ្លួនគាត់។

ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណត្រូវបានកំណត់ ហX = X .

ពិចារណាលំហបីវិមាត្រដែលមានមូលដ្ឋាន អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , អ៊ី 3 ដែលក្នុងនោះការបំប្លែងលីនេអ៊ែរត្រូវបានបញ្ជាក់ ប៉ុន្តែ. អនុវត្តវាទៅវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន យើងទទួលបានវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែអ៊ី 1 , ប៉ុន្តែអ៊ី 2 , ប៉ុន្តែអ៊ី 3 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់លំហបីវិមាត្រនេះ។ ដូច្នេះ ពួកវានីមួយៗអាចត្រូវបានពង្រីកតាមវិធីតែមួយគត់ក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន៖

ប៉ុន្តែអ៊ី 1 = ក 11 អ៊ី 1 + ក 21 អ៊ី 2 + ក 31 អ៊ី 3 ,

ប៉ុន្តែអ៊ី 2 = ក 12 អ៊ី 1 + ក 22 អ៊ី 2 + ក 32 អ៊ី 3 , (9.2)

ប៉ុន្តែអ៊ី 3 = ក 13 អ៊ី 1 + ក 23 អ៊ី 2 + ក 33 អ៊ី 3 .

ម៉ាទ្រីស
បានហៅ ម៉ាទ្រីសបំប្លែងលីនេអ៊ែរប៉ុន្តែ នៅក្នុងមូលដ្ឋាន អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , អ៊ី 3 . ជួរឈរនៃម៉ាទ្រីសនេះត្រូវបានផ្សំឡើងដោយមេគុណនៅក្នុងរូបមន្ត (9.2) នៃការបំប្លែងមូលដ្ឋាន។

មតិយោបល់។ ជាក់ស្តែង ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណ គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ អ៊ី.

សម្រាប់វ៉ិចទ័របំពាន X =x 1 អ៊ី 1 + x 2 អ៊ី 2 + x 3 អ៊ី 3 លទ្ធផលនៃការអនុវត្តការបំប្លែងលីនេអ៊ែរទៅវា។ ប៉ុន្តែនឹងវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែX , ដែលអាចពង្រីកជាវ៉ិចទ័រដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ ប៉ុន្តែX =x` 1 អ៊ី 1 +x` 2 អ៊ី 2 +x` 3 អ៊ី 3 ដែលជាកន្លែងដែលកូអរដោនេ x` ខ្ញុំអាចរកបានដោយប្រើរូបមន្ត៖

X` 1 = ក 11 x 1 + ក 12 x 2 + ក 13 x 3 ,

x` 2 = ក 21 x 1 + ក 22 x 2 + ក 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = ក 31 x 1 + ក 32 x 2 + ក 33 x 3 .

មេគុណនៅក្នុងរូបមន្តនៃការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរនេះគឺជាធាតុនៃជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ.

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបំប្លែងលីនេអ៊ែរ

នៅពេលផ្លាស់ទីទៅមូលដ្ឋានថ្មី។

ពិចារណាការបំប្លែងលីនេអ៊ែរ A និងមូលដ្ឋានពីរក្នុងលំហបីវិមាត្រ៖ អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , អ៊ី 3 និង អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , អ៊ី 3 . អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស C កំណត់រូបមន្តផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋាន ( អ៊ី k) ទៅមូលដ្ឋាន ( អ៊ី k) ប្រសិនបើនៅក្នុងទីមួយនៃមូលដ្ឋានទាំងនេះ ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរដែលបានជ្រើសរើសត្រូវបានផ្តល់ដោយម៉ាទ្រីស A ហើយនៅក្នុងទីពីរ - ដោយម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក យើងអាចរកឃើញទំនាក់ទំនងរវាងម៉ាទ្រីសទាំងនេះ ពោលគឺ៖

A \u003d C -1 ប៉ុន្តែ C (9.4)

ពិតជា
បន្ទាប់មក ប៉ុន្តែ
. ម្យ៉ាងវិញទៀត លទ្ធផលនៃការអនុវត្តការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែជា​មូលដ្ឋាន ( អ៊ី k), i.e. និងជាមូលដ្ឋាន ( អ៊ី k ): រៀងៗខ្លួន - ភ្ជាប់ដោយម៉ាទ្រីស ជាមួយ:
តើវាមកពីណា SA =ប៉ុន្តែ ជាមួយ. គុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះនៅខាងឆ្វេងដោយ ជាមួយ-1 យើងទទួលបាន ជាមួយ - 1 CA = = គ -1 ប៉ុន្តែ ជាមួយដែលបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃរូបមន្ត (៩.៤)។

Eigenvalues ​​និង eigenvectors នៃម៉ាទ្រីសមួយ។

និយមន័យ ៩.៣.វ៉ិចទ័រ X បានហៅ វ៉ិចទ័រផ្ទាល់ខ្លួនម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ λ, ដែលសមភាពទទួលបាន៖ ប៉ុន្តែX = λ X , នោះគឺជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តទៅ X ការបំប្លែងលីនេអ៊ែរដែលផ្តល់ដោយម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ, គឺជាគុណនៃវ៉ិចទ័រនេះដោយចំនួន λ . លេខខ្លួនឯង λ បានហៅ លេខផ្ទាល់ខ្លួនម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ.

ការជំនួសរូបមន្ត (៩.៣) x` j = λ x j , យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃ eigenvector:

.

. (9.5)

ប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរដូចគ្នានេះនឹងមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់ លុះត្រាតែកត្តាកំណត់សំខាន់របស់វាគឺ 0 (ច្បាប់របស់ Cramer)។ ដោយសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះក្នុងទម្រង់៖

យើងទទួលបានសមីការសម្រាប់កំណត់ eigenvalues λ បានហៅ សមីការលក្ខណៈ. ដោយសង្ខេប វាអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

| ក - λ អ៊ី| = 0, (9.6)

ដោយសារផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស អេ-ល. ពហុនាមទាក់ទងនឹង λ | ក - λ អ៊ី| បានហៅ ពហុនាមលក្ខណៈម៉ាទ្រីស ក

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃពហុនាមលក្ខណៈ៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃ eigenvalues ​​និង eigenvectors:

ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសមូលដ្ឋានពី eigenvectors X 1 , X 2 , X 3 ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង eigenvalues λ 1 , λ 2 , λ 3 ម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ ការបំលែងលីនេអ៊ែរ A មានម៉ាទ្រីសអង្កត់ទ្រូង៖

(9.7) ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះធ្វើតាមនិយមន័យនៃ eigenvectors ។

ប្រសិនបើការផ្លាស់ប្តូរ eigenvalues ប៉ុន្តែមានភាពខុសប្លែកគ្នា បន្ទាប់មក eigenvectors ដែលត្រូវគ្នានឹងពួកវាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ប្រសិនបើពហុនាមលក្ខណៈនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែមានឫសបីផ្សេងគ្នា បន្ទាប់មកក្នុងមូលដ្ឋានខ្លះ ម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែមានរាងអង្កត់ទ្រូង។

ចូរយើងស្វែងរក eigenvalues ​​និង eigenvectors នៃម៉ាទ្រីស ចូរយើងបង្កើតសមីការលក្ខណៈ៖
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - ៧ λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃ eigenvectors ដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃដែលបានរកឃើញនីមួយៗ λ. ពី (9.5) វាធ្វើតាមថាប្រសិនបើ X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) គឺជា eigenvector ដែលត្រូវគ្នា។ λ 1 = -2 បន្ទាប់មក

គឺជាប្រព័ន្ធសហការ ប៉ុន្តែមិនអាចកំណត់បាន។ ដំណោះស្រាយរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរជា X (1) ={ក,0,-ក) ដែល a ជាលេខណាមួយ។ ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកទាមទារនោះ | x (1) |=1,X (1) =

ការជំនួសប្រព័ន្ធ (៩.៥) λ 2 =3 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសម្រាប់កំណត់កូអរដោនេនៃ eigenvector ទីពីរ - x (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

កន្លែងណា X (2) ={ខ,- ខ, ខ) ឬផ្តល់ | x (2) |=1,x (2) =

សម្រាប់ λ 3 = 6 ស្វែងរក eigenvector x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={គ,2 គ, គ) ឬនៅក្នុងកំណែធម្មតា។

X (3) =
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា X (1) X (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =អេក – អេក = 0,x (2) x (3) =bc - 2bc + bc = 0. ដូច្នេះ eigenvectors នៃ matrix នេះ គឺ​ជា​គូ​ orthogonal ។