ការងារឯករាជ្យរបស់និស្សិតឆ្នាំទី 1 លើប្រធានបទ សញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករត្រឹមត្រូវ។ លក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តពិត (6 ម៉ោង)
សិក្សាសម្ភារៈទ្រឹស្តី និងធ្វើកំណត់ចំណាំ (២ម៉ោង)
ដោះស្រាយល្បែងផ្គុំរូប crossword (2 ម៉ោង)
ធ្វើកិច្ចការផ្ទះ (២ម៉ោង)
ឯកសារយោងនិងការបង្រៀនត្រូវបានផ្តល់ជូនខាងក្រោម។
នៅលើគោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល
ភាគច្រើនមួយចំនួនទូទៅ
ប្រភេទនៃមុខងារវិចារណញាណពីមុន
ចង្អុលបង្ហាញទាំងស្រុង បើកការចូលប្រើ
ការសិក្សាជាច្រើន។
L. Eiler
ពីការអនុវត្តនៃការដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិតដែលកាន់តែស្មុគស្មាញ និងដំណើរការដោយអំណាច វាបានក្លាយទៅជាភាពចាំបាច់ដើម្បីធ្វើជាទូទៅនូវគោលគំនិតនៃសញ្ញាបត្រ និងពង្រីកវាដោយណែនាំលេខសូន្យ អវិជ្ជមាន និងប្រភាគជានិទស្សន្ត។
សមភាព a 0 = 1 (សម្រាប់ ) ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងការសរសេររបស់គាត់នៅដើមសតវត្សទី 15 ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ Samarkand al-Kashi ។ ដោយមិនគិតពីគាត់ សូចនាករសូន្យត្រូវបានណែនាំដោយ N. Shuke នៅសតវត្សទី 15 ។ ក្រោយមកទៀតក៏បានណែនាំនិទស្សន្តអវិជ្ជមានផងដែរ។ គំនិតនៃនិទស្សន្តប្រភាគមាននៅក្នុងគណិតវិទូជនជាតិបារាំង N. Orem (សតវត្សទី XIV) នៅក្នុងរបស់គាត់
ការងារ "Algorism នៃសមាមាត្រ" ។ ជំនួសឱ្យសញ្ញារបស់យើង គាត់បានសរសេរ ជំនួសមកវិញគាត់បានសរសេរ 4. Orem ដោយពាក្យសំដីបង្កើតច្បាប់សម្រាប់សកម្មភាពជាមួយនឹងដឺក្រេ ឧទាហរណ៍ (នៅក្នុងសញ្ញាណសម័យទំនើប): , 
ល។
ក្រោយមកទៀត ប្រភាគ ក៏ដូចជាអវិជ្ជមាន និទស្សន្តត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុង "Complete Arithmetic" (1544) ដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ M. Stiefel និង S. Stevin ។ ក្រោយមកទៀតសរសេរថា ឫសគល់នៃសញ្ញាបត្រ ទំពីលេខ កអាចត្រូវបានរាប់ជាសញ្ញាប័ត្រ កជាមួយប្រភាគ។
ភាពរហ័សរហួនក្នុងការណែនាំសូចនាករសូន្យ អវិជ្ជមាន និងប្រភាគ និងនិមិត្តសញ្ញាទំនើបត្រូវបានសរសេរយ៉ាងលម្អិតជាលើកដំបូងក្នុងឆ្នាំ 1665 ដោយគណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស លោក John Vallis ។ ការងាររបស់គាត់ត្រូវបានបញ្ចប់ដោយ I. Newton ដែលបានចាប់ផ្តើមអនុវត្តជាប្រព័ន្ធនូវនិមិត្តសញ្ញាថ្មី បន្ទាប់ពីនោះពួកគេបានប្រើប្រាស់ជាទូទៅ។
សេចក្តីផ្តើមនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលគឺជាឧទាហរណ៍មួយក្នុងចំណោមឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃការធ្វើទូទៅនៃគំនិតនៃសកម្មភាពគណិតវិទ្យា។ សញ្ញាប័ត្រដែលមានលេខសូន្យ អវិជ្ជមាន និងប្រភាគត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបដែលច្បាប់នៃសកម្មភាពដូចគ្នាអនុវត្តចំពោះវា ដូចជាសម្រាប់សញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ ពោលគឺ ដូច្នេះលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃគោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលបានកំណត់ដំបូងត្រូវបានរក្សាទុក។ ពោលគឺ៖
និយមន័យថ្មីនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលមិនផ្ទុយនឹងនិយមន័យចាស់នៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ ពោលគឺ អត្ថន័យនៃនិយមន័យថ្មីនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់ករណីពិសេសនៃសញ្ញាបត្រដែលមាន និទស្សន្តធម្មជាតិ។ គោលការណ៍នេះត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងការធ្វើជាទូទៅនៃគោលគំនិតគណិតវិទ្យាដែលត្រូវបានគេហៅថា គោលការណ៍នៃភាពអចិន្ត្រៃយ៍ (ការរក្សាទុកជានិរន្តរភាព)។ វាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់មិនល្អឥតខ្ចោះក្នុងឆ្នាំ 1830 ដោយគណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស J. Peacock ហើយវាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ G. Hankel ក្នុងឆ្នាំ 1867 ។ គោលការណ៍នៃភាពអចិន្ត្រៃយ៍ក៏ត្រូវបានគេសង្កេតឃើញផងដែរនៅពេលធ្វើទូទៅនូវគោលគំនិតនៃចំនួន និងពង្រីក។ វាទៅជាគោលគំនិតនៃចំនួនពិត ហើយមុននឹងការណែនាំអំពីគោលគំនិតនៃការគុណដោយប្រភាគ។ល។
មុខងារថាមពលនិងក្រាហ្វិកការដោះស្រាយសមីការ និងវិសមភាព
សូមអរគុណចំពោះការរកឃើញនៃវិធីសាស្រ្តនៃកូអរដោនេនិងធរណីមាត្រវិភាគចាប់ផ្តើមពីសតវត្សទី 17 ។ ការសិក្សាក្រាហ្វិកដែលអាចអនុវត្តបានជាទូទៅនៃមុខងារ និងដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកនៃសមីការបានក្លាយជាអាចធ្វើទៅបាន។
ថាមពលមុខងារគឺជាមុខងារនៃទម្រង់
ដែល α គឺជាចំនួនពិតថេរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំបូងឡើយ យើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងចំពោះតម្លៃសមហេតុផលនៃ α ហើយជំនួសឱ្យសមភាព (1) យើងសរសេរ៖
កន្លែងណា - ចំនួនសមហេតុផល។ សម្រាប់ និងតាមនិយមន័យរៀងគ្នា យើងមាន៖
នៅ=1, y = x ។
កាលវិភាគមុខងារទីមួយនៃមុខងារទាំងនេះនៅលើយន្តហោះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូនិងទីពីរគឺជាផ្នែកនៃមុំកូអរដោនេទី 1 និងទី 3 ។
នៅពេលដែលក្រាហ្វមុខងារគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា . Descartes ដែលតំណាងឱ្យមិនស្គាល់ដំបូងដោយ zទីពីរ - ឆ្លងកាត់ yទីបី - ឆ្លងកាត់ x:, សរសេរសមីការប៉ារ៉ាបូឡាដូចនេះ :( z- abscissa) ។ ជារឿយៗគាត់ប្រើប៉ារ៉ាបូឡាដើម្បីដោះស្រាយសមីការ។ ដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍សមីការដឺក្រេទី 4
Descartes តាមរយៈការជំនួស
ទទួលបានសមីការការ៉េដែលមិនស្គាល់ពីរ៖
ពិពណ៌នាអំពីរង្វង់ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះមួយ។ (zx) ជាមួយប៉ារ៉ាបូឡា (៤). ដូច្នេះ Descartes ណែនាំការមិនស្គាល់ទីពីរ (X),បែងចែកសមីការ (3) ទៅជាសមីការពីរ (4) និង (5) ដែលនីមួយៗតំណាងឱ្យទីតាំងជាក់លាក់នៃចំណុច។ ការចាត់តាំងនៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេផ្តល់នូវឫសនៃសមីការ (3) ។
«ថ្ងៃមួយ ស្តេចបានសម្រេចចិត្តជ្រើសរើសជំនួយការទីមួយរបស់ទ្រង់ពីក្នុងចំណោមមន្ត្រីរាជការរបស់ទ្រង់។ គាត់បាននាំមនុស្សគ្រប់គ្នាទៅកាន់ប្រាសាទដ៏ធំមួយ។ «អ្នកណាបើកមុន នឹងក្លាយជាជំនួយការមុនគេ»។ គ្មាននរណាសូម្បីតែប៉ះប្រាសាទ។ មានតែចៅហ្វាយម្នាក់ឡើងមករុញសោដែលបើក។ វាមិនត្រូវបានចាក់សោទេ។
ស្ដេចមានរាជឱង្ការថា៖ «អ្នកនឹងទទួលបានតំណែងនេះ ព្រោះអ្នកមិនត្រឹមតែពឹងលើអ្វីដែលអ្នកឃើញ និងឮប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែត្រូវពឹងលើកម្លាំងរបស់ខ្លួន ហើយមិនខ្លាចនឹងការប៉ុនប៉ងនោះទេ»។
ហើយថ្ងៃនេះយើងនឹងព្យាយាម ព្យាយាមមករកការសម្រេចចិត្តត្រឹមត្រូវ។
1. តើគោលគំនិតគណិតវិទ្យាគឺជាពាក្យដែលភ្ជាប់ជាមួយ៖
មូលដ្ឋាន
សូចនាករ (សញ្ញាប័ត្រ)
តើពាក្យអ្វីខ្លះអាចផ្សំពាក្យ៖
ចំនួនសមហេតុផល
ចំនួនគត់
លេខធម្មជាតិ
ចំនួនមិនសមហេតុផល (ចំនួនពិត)
បង្កើតប្រធានបទនៃមេរៀន។ (ថាមពលជាមួយនិទស្សន្តពិត)
- ធ្វើម្តងទៀតនូវលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ
- ពិចារណាលើការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេក្នុងការគណនា និងភាពសាមញ្ញនៃកន្សោម
- ការអភិវឌ្ឍជំនាញកុំព្យូទ័រ។
ដូច្នេះ p ដែល p ជាចំនួនពិត។
ផ្តល់ឧទាហរណ៍ (ជ្រើសរើសពីកន្សោម 5–2, , 43, ) ដឺក្រេ
- ជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ
- ជាមួយតម្លៃចំនួនគត់
- ជាមួយសូចនាករសមហេតុផល
- ជាមួយនឹងសូចនាករមិនសមហេតុផល
តើកន្សោមមានអត្ថន័យសម្រាប់តម្លៃអ្វី?
a n ដែល n (a គឺណាមួយ)
a m ដែល m (និងមិនស្មើនឹង 0) តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីចេញពីនិទស្សន្តអវិជ្ជមានទៅជានិទស្សន្តវិជ្ជមាន?
ដែល p, q (a> 0)
តើសកម្មភាពអ្វីខ្លះ (ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យា) អាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយដឺក្រេ?
កំណត់ការប្រកួត៖
|
នៅពេលគុណអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានស្មើគ្នា |
មូលដ្ឋានត្រូវបានគុណ ប៉ុន្តែនិទស្សន្តនៅតែដដែល |
|
នៅពេលបែងចែកអំណាចដោយមូលដ្ឋានស្មើគ្នា |
មូលដ្ឋានត្រូវបានបែងចែក ប៉ុន្តែនិទស្សន្តនៅតែដដែល |
បន្ទាប់ពីវាត្រូវបានកំណត់ ដឺក្រេនៃវាជាឡូជីខលក្នុងការនិយាយអំពី លក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រ. នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃកម្រិតនៃចំនួនមួយ ខណៈពេលដែលប៉ះលើនិទស្សន្តដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់។ នៅទីនេះយើងនឹងផ្តល់ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃសញ្ញាបត្រ ហើយក៏បង្ហាញពីរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍។
ការរុករកទំព័រ។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ
ដោយ កំណត់កម្រិតជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិអំណាចនៃ n គឺជាផលគុណនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនេះនិងការប្រើប្រាស់ គុណលក្ខណៈចំនួនពិតយើងអាចទទួលបាន និងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ:
- ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដឺក្រេ a m ·a n = a m + n, ទូទៅរបស់វា;
- ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចផ្នែកដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា a m:a n =a m−n ;
- កម្រិតផលិតផល (a b) n = a n b n, ផ្នែកបន្ថែមរបស់វា ;
- គុណសម្បតិ្តក្នុងប្រភេទ (a:b) n =a n:b n ;
- និទស្សន្ត (a m) n = a m n, ទូទៅរបស់វា។ (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
- ការប្រៀបធៀបសញ្ញាបត្រជាមួយសូន្យ៖
- ប្រសិនបើ a>0 នោះ n>0 សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ ;
- ប្រសិនបើ a = 0 បន្ទាប់មក a n = 0 ;
- ប្រសិនបើ ក<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ប្រសិនបើ ក<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- ប្រសិនបើ a និង b គឺជាលេខវិជ្ជមាន និង a
- ប្រសិនបើ m និង n គឺជាលេខធម្មជាតិដូចជា m > n បន្ទាប់មកនៅ 0
- ប្រសិនបើ m និង n គឺជាលេខធម្មជាតិដូចជា m > n បន្ទាប់មកនៅ 0
យើងកត់សំគាល់ភ្លាមៗថាសមភាពសរសេរទាំងអស់គឺ ដូចគ្នាបេះបិទនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់ ហើយផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងរបស់វាអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ ឧទាហរណ៍ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគ a m a n = a m + n with ភាពសាមញ្ញនៃការបញ្ចេញមតិជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើក្នុងទម្រង់ m + n = a m a n ។
ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលពួកវានីមួយៗដោយលំអិត។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលិតផលនៃអំណាចពីរដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាដែលត្រូវបានគេហៅថា ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ៖ សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a និងលេខធម្មជាតិណាមួយ m និង n សមភាព a m ·a n = a m+n គឺពិត។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ ផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នានៃទម្រង់ m a n អាចត្រូវបានសរសេរជាផលិតផល។ ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ កន្សោមលទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរជា 
ហើយផលិតផលនេះគឺជាថាមពលរបស់ a ដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ m+n នោះគឺ m+n ។ នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។
ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយដែលបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ ចូរយកដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា 2 និងអំណាចធម្មជាតិ 2 និង 3 យោងទៅតាមលក្ខណៈសំខាន់នៃដឺក្រេយើងអាចសរសេរសមភាព 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលសុពលភាពរបស់វា ដែលយើងគណនាតម្លៃនៃកន្សោម 2 2 · 2 3 និង 2 5 ។ ការបំពេញ និទស្សន្ត, យើងមាន 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32និង 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32 ចាប់តាំងពីតម្លៃស្មើគ្នាត្រូវបានទទួល នោះសមភាព 2 2 2 3 \u003d 2 5 គឺត្រឹមត្រូវ ហើយវាបញ្ជាក់ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។
ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃដឺក្រេដែលផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណអាចត្រូវបានគេដាក់ជាទូទៅទៅជាផលិតផលនៃដឺក្រេបីឬច្រើនដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា និងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ដូច្នេះសម្រាប់លេខណាមួយ k នៃលេខធម្មជាតិ n 1 , n 2 , … , n k សមភាព a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
ឧទាហរណ៍, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
អ្នកអាចបន្តទៅលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ទាប់នៃដឺក្រេជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ - ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចផ្នែកដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។៖ សម្រាប់ចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ a និងលេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត m និង n ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ m>n នោះសមភាព a m:a n = a m−n គឺពិត។
មុននឹងផ្តល់ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ចូរយើងពិភាក្សាអំពីអត្ថន័យនៃលក្ខខណ្ឌបន្ថែមនៅក្នុងទម្រង់បែបបទ។ លក្ខខណ្ឌ a≠0 គឺចាំបាច់ដើម្បីជៀសវាងការបែងចែកដោយសូន្យចាប់តាំងពី 0 n = 0 ហើយនៅពេលដែលយើងស្គាល់ការបែងចែក យើងបានយល់ស្របថាវាមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យបានទេ។ លក្ខខណ្ឌ m>n ត្រូវបានណែនាំ ដើម្បីកុំឱ្យលើសពីនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ជាការពិតណាស់ សម្រាប់ m>n និទស្សន្ត m−n គឺជាចំនួនធម្មជាតិ បើមិនដូច្នេះទេ វានឹងក្លាយជាសូន្យ (ដែលកើតឡើងសម្រាប់ m−n) ឬលេខអវិជ្ជមាន (ដែលកើតឡើងសម្រាប់ m ភស្តុតាង។ ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាព a m−n a n =a (m−n)+n=a m. ពីសមភាពដែលទទួលបាន m−n ·a n =a m ហើយពីវាមកថា m−n គឺជាកូតានៃអំណាចនៃ m និង a n ។ នេះបញ្ជាក់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចផ្នែកដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។ ចូរយកពីរដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាπ និងនិទស្សន្តធម្មជាតិ 5 និង 2 ទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណានៃដឺក្រេត្រូវគ្នានឹងសមភាព π 5: π 2 = π 5−3 = π 3 ។ ឥឡូវពិចារណា កម្រិតផលិតផល៖ ដឺក្រេធម្មជាតិ n នៃផលិតផលនៃចំនួនពិតទាំងពីរ a និង b គឺស្មើនឹងផលគុណនៃដឺក្រេ a n និង b n នោះគឺ (a b) n = a n b n ។ ជាការពិតណាស់ តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ យើងមាន នេះជាឧទាហរណ៍៖ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះពង្រីកដល់កម្រិតនៃផលិតផលនៃកត្តាបី ឬច្រើន។ នោះគឺ ទ្រព្យសម្បត្តិថាមពលធម្មជាតិ n នៃផលិតផលនៃកត្តា k ត្រូវបានសរសេរជា (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងបង្ហាញទ្រព្យសម្បត្តិនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយ។ សម្រាប់ផលិតផលនៃកត្តាបីដល់អំណាចនៃ 7 យើងមាន . ទ្រព្យសម្បត្តិបន្ទាប់គឺ សម្បត្តិធម្មជាតិ៖ ផលគុណនៃចំនួនពិត a និង b , b≠0 ទៅនឹងថាមពលធម្មជាតិ n គឺស្មើនឹង quotient នៃអំណាច a n និង b n នោះគឺ (a:b) n =a n:b n ។ ភស្តុតាងអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិមុន។ ដូច្នេះ (a:b) n b n =((a:b) b) n =a nហើយសមភាព (a:b) n b n = a n មានន័យថា (a:b) n គឺជាកូតានៃ n ចែកនឹង b n ។ ចូរយើងសរសេរទ្រព្យសម្បត្តិនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃលេខជាក់លាក់៖ ឥឡូវនេះសូមបញ្ចេញសំឡេង ទ្រព្យសម្បត្តិនិទស្សន្ត៖ សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ a និងលេខធម្មជាតិណាមួយ m និង n អំណាចនៃ m ទៅអំណាចនៃ n គឺស្មើនឹងអំណាចនៃ a ដែលមាននិទស្សន្ត m·n នោះគឺ (a m) n = a m·n ។ ឧទាហរណ៍ (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 ។ ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិអំណាចក្នុងកម្រិតមួយគឺជាខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដូចខាងក្រោមៈ ទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិចារណាអាចត្រូវបានពង្រីកដល់កម្រិតក្នុងកម្រិតមួយក្នុងកម្រិតមួយ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ p, q, r, និង s, សមភាព វានៅតែមានដើម្បីរស់នៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ យើងចាប់ផ្តើមដោយការបង្ហាញពីលក្ខណៈប្រៀបធៀបនៃសូន្យ និងថាមពលជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ជាដំបូង ចូរយើងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវថា a > 0 សម្រាប់ a > 0 ។ ផលគុណនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ដូចខាងក្រោមពីនិយមន័យនៃគុណ។ ការពិតនេះ និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការគុណអនុញ្ញាតឱ្យយើងអះអាងថា លទ្ធផលនៃគុណចំនួននៃចំនួនវិជ្ជមានណាមួយក៏នឹងជាចំនួនវិជ្ជមានផងដែរ។ ហើយអំណាចនៃ a ជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ n គឺតាមនិយមន័យផលិតផលនៃកត្តា n ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ អាគុយម៉ង់ទាំងនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងអះអាងថាសម្រាប់មូលដ្ឋានវិជ្ជមានណាមួយ កម្រិតនៃ n គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ដោយគុណធម៌នៃទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់ 3 5>0 , (0.00201) 2>0 និង វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយដែលមាន a = 0 ដឺក្រេនៃ n គឺសូន្យ។ ជាការពិតណាស់ 0 n = 0·0·…·0=0 ។ ឧទាហរណ៍ 0 3 = 0 និង 0 762 = 0 ។ ចូរយើងបន្តទៅមូលដ្ឋានអវិជ្ជមាន។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណី នៅពេលដែលនិទស្សន្តជាលេខគូ សម្គាល់វាជា 2 m ដែល m ជាលេខធម្មជាតិ។ បន្ទាប់មក ជាចុងក្រោយ នៅពេលដែលមូលដ្ឋាននៃ a ជាចំនួនអវិជ្ជមាន ហើយនិទស្សន្តគឺជាលេខសេស 2 m−1 បន្ទាប់មក យើងងាកទៅរកទ្រព្យសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិដូចគ្នា ដែលមានរូបមន្តដូចខាងក្រោម៖ នៃពីរដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិដូចគ្នា n គឺតិចជាងលេខដែលមូលដ្ឋានតិចជាង និងច្រើនជាងមួយដែលមានមូលដ្ឋានធំជាង។ ចូរយើងបញ្ជាក់។ វិសមភាព a n លក្ខណៈសម្បត្តិនៃវិសមភាពវិសមភាពដែលត្រូវបានបង្ហាញពីទម្រង់ a n (២,២) ៧ និង វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ចុងក្រោយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជីនៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ។ ចូរយើងបង្កើតវា។ នៃដឺក្រេពីរដែលមានសូចនាករធម្មជាតិ និងមូលដ្ឋានវិជ្ជមានដូចគ្នា តិចជាងមួយដឺក្រេគឺធំជាង សូចនាករដែលតិចជាង; និងពីរដឺក្រេដែលមានសូចនាករធម្មជាតិ និងមូលដ្ឋានដូចគ្នាធំជាងមួយ ដឺក្រេដែលសូចនាកររបស់វាធំជាង។ យើងងាកទៅរកភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនេះ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសម្រាប់ m>n និង 0 វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ផ្នែកទីពីរនៃទ្រព្យសម្បត្តិ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់ m>n និង a>1 a m>a n គឺពិត។ ភាពខុសគ្នា a m −a n បន្ទាប់ពីយក n ចេញពីតង្កៀបបង្កើតជា n ·(a m−n −1) ។ ផលិតផលនេះគឺវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពីសម្រាប់ a>1 ដឺក្រេនៃ n គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ហើយភាពខុសគ្នា m−n −1 គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ចាប់តាំងពី m−n> 0 ដោយសារតែលក្ខខណ្ឌដំបូង និងសម្រាប់ a> 1។ កម្រិតនៃ m-n គឺធំជាងមួយ។ ដូច្នេះ a m − a n > 0 និង a m > a n ដែលត្រូវបញ្ជាក់។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយវិសមភាព 3 7 > 3 2 ។
. ផលិតផលចុងក្រោយដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា 
ដែលស្មើនឹង a n b n ។
.
.
.
. ដើម្បីឱ្យកាន់តែច្បាស់ នេះជាឧទាហរណ៍ដែលមានលេខជាក់លាក់៖ (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. សម្រាប់ផលិតផលនីមួយៗនៃទម្រង់ a·a គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុលនៃលេខ a និង a ដូច្នេះជាលេខវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះផលិតផលក៏នឹងមានភាពវិជ្ជមានផងដែរ។ 
និងសញ្ញាបត្រ 2 ម។ នេះជាឧទាហរណ៍៖ (−៦) ៤>០ , (−២,២) ១២>០ និង .
. ផលិតផលទាំងអស់ a·a គឺជាលេខវិជ្ជមាន ផលិតផលនៃចំនួនវិជ្ជមានទាំងនេះក៏វិជ្ជមានផងដែរ ហើយការគុណរបស់វាដោយចំនួនអវិជ្ជមានដែលនៅសេសសល់ លទ្ធផលជាលេខអវិជ្ជមាន។ ដោយសារទ្រព្យនេះ (−5) ៣<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយចំនួនគត់និទស្សន្ត
ដោយសារចំនួនគត់វិជ្ជមានគឺជាលេខធម្មជាតិ នោះលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់វិជ្ជមានគឺស្របគ្នានឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិដែលបានរាយបញ្ជី និងបង្ហាញឱ្យឃើញនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន។
សញ្ញាប័ត្រជាមួយចំនួនគត់និទស្សន្តអវិជ្ជមានក៏ដូចជាដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តសូន្យ យើងកំណត់តាមរបៀបដែលលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិដែលបង្ហាញដោយសមភាពនៅតែមានសុពលភាព។ ដូច្នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះមានសុពលភាពទាំងសម្រាប់និទស្សន្តសូន្យ និងសម្រាប់និទស្សន្តអវិជ្ជមាន ខណៈដែលពិតណាស់ មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេគឺមិនសូន្យ។
ដូច្នេះ សម្រាប់ចំនួនពិត និងមិនមែនសូន្យណាមួយ a និង b ក៏ដូចជាចំនួនគត់ m និង n ខាងក្រោមគឺពិត លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- ប្រសិនបើ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន a និង b គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន និង a b-n;
- ប្រសិនបើ m និង n គឺជាចំនួនគត់ ហើយ m > n បន្ទាប់មកនៅ 0
សម្រាប់ a = 0 អំណាច a m និង a n យល់បានតែនៅពេលដែល m និង n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន នោះគឺជាលេខធម្មជាតិ។ ដូច្នេះលក្ខណសម្បត្តិដែលទើបតែសរសេរក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ករណីដែល a=0 និងលេខ m និង n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាន។
វាមិនពិបាកក្នុងការបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះទេ សម្រាប់នេះវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការប្រើនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ និងចំនួនគត់ ក៏ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសកម្មភាពជាមួយនឹងចំនួនពិត។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ទ្រព្យសម្បត្តិអំណាចមានសម្រាប់ទាំងចំនួនគត់វិជ្ជមាន និងចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវបង្ហាញថា ប្រសិនបើ p ជាសូន្យ ឬជាលេខធម្មជាតិ ហើយ q ជាសូន្យ ឬជាលេខធម្មជាតិ នោះសមភាព (a p) q = a p q , (a − p) q = a (−p) q , (a p) −q = a p (−q) និង (a−p)−q =a (−p) (−q). តោះធ្វើវា។
សម្រាប់ p និង q វិជ្ជមាន សមភាព (a p) q =a p·q ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែករងមុន។ ប្រសិនបើ p = 0 នោះយើងមាន (a 0) q = 1 q = 1 និង a 0 q = a 0 = 1, wherece (a 0) q = a 0 q ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ប្រសិនបើ q=0 នោះ (a p) 0 =1 និង a p 0 = a 0 = 1 , wherece (a p) 0 = a p 0 ។ ប្រសិនបើទាំង p=0 និង q=0 នោះ (a 0) 0 = 1 0 =1 និង a 0 0 = a 0 = 1 នោះ whence (a 0) 0 = a 0 0 ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញថា (a −p) q =a (−p) q ។ តាមនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់អវិជ្ជមាន បន្ទាប់មក 
. ដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូតានៅក្នុងសញ្ញាប័ត្រយើងមាន 
. ចាប់តាំងពី 1 ទំ = 1 · 1 · ... · 1 = 1 និងបន្ទាប់មក . កន្សោមចុងក្រោយគឺតាមនិយមន័យ អំណាចនៃទម្រង់ a −(p q) ដែលដោយគុណធម៌នៃច្បាប់គុណអាចត្រូវបានសរសេរជា (−p) q ។
ស្រដៀងគ្នា 
.
និង 
.
តាមគោលការណ៍ដូចគ្នា មនុស្សម្នាក់អាចបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ ដែលសរសេរក្នុងទម្រង់សមភាព។
នៅចុងបញ្ចប់នៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានកត់ត្រា វាគឺមានតម្លៃនៅលើភស្តុតាងនៃវិសមភាព a −n>b −n ដែលជាការពិតសម្រាប់ចំនួនគត់អវិជ្ជមាន −n និងវិជ្ជមានណាមួយ a និង b ដែលលក្ខខណ្ឌ a . ដោយលក្ខខណ្ឌ ក 0. ផលិតផល a n · b n ក៏ជាផលវិជ្ជមានផងដែរ ព្រោះជាផលិតផលនៃលេខវិជ្ជមាន a n និង b n ។ បន្ទាប់មកប្រភាគលទ្ធផលគឺវិជ្ជមានជាកូតានៃចំនួនវិជ្ជមាន b n − a n និង a n b n ។ ដូច្នេះតើ a −n > b −n មកពីណា ដែលត្រូវបញ្ជាក់។
ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបដូចគ្នានឹងទ្រព្យសម្បត្តិស្រដៀងគ្នានៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល
សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគយើងកំណត់ដោយការពង្រីកទៅវា លក្ខណសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នានឹងដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ ពោលគឺ៖
ភស្តុតាងនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ លើ និងលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ ចូរយើងផ្តល់ភស្តុតាង។
តាមនិយមន័យនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ និងបន្ទាប់មក 
. លក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមភាពដូចខាងក្រោម។ លើសពីនេះ ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តចំនួនគត់ យើងទទួលបានពីណាមក ដោយនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគ យើងមាន 
ហើយនិទស្សន្តនៃសញ្ញាបត្រដែលទទួលបានអាចត្រូវបានបំប្លែងដូចខាងក្រោម៖ . នេះបញ្ចប់ភស្តុតាង។
ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ៖ 
សមភាពដែលនៅសល់ត្រូវបានបង្ហាញដោយគោលការណ៍ស្រដៀងគ្នា៖ 
យើងងាកទៅរកភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិបន្ទាប់។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a b ទំ។ យើងសរសេរលេខសនិទាន p ជា m/n ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n ជាលេខធម្មជាតិ។ លក្ខខណ្ឌ ទំ<0 и p>0 ក្នុងករណីនេះនឹងស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌ m<0 и m>0 រៀងគ្នា។ សម្រាប់ m>0 និង a
ដូចគ្នានេះដែរសម្រាប់ m<0 имеем a m >b m មកពីណា នោះហើយជា p > b p ។
វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ចុងក្រោយនៃទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានរាយបញ្ជី។ ចូរយើងបង្ហាញថាសម្រាប់លេខសនិទាន p និង q , p>q សម្រាប់ 0 
និង 
. ហើយនិយមន័យនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផលអនុញ្ញាតឱ្យយើងឆ្លងទៅវិសមភាពនិងរៀងគ្នា។ ពីនេះយើងទាញការសន្និដ្ឋានចុងក្រោយ: សម្រាប់ p> q និង 0
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល
ពីរបៀបដែលវាត្រូវបានកំណត់ សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តមិនសមហេតុផលយើងអាចសន្និដ្ឋានបានថាវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នៃអំណាចជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្ត។ ដូច្នេះសម្រាប់ a> 0 , b> 0 និងលេខមិនសមហេតុផល p និង q ខាងក្រោមគឺពិត លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល:
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ a និង b, a 0 វិសមភាព a p b p ;
- សម្រាប់លេខមិនសមហេតុផល p និង q , p>q នៅ 0
ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តពិតប្រាកដណាមួយ p និង q សម្រាប់ a> 0 មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នា។
គន្ថនិទ្ទេស។
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. សៀវភៅគណិតវិទ្យា Zh សម្រាប់ 5 កោសិកា។ ស្ថាប័នអប់រំ។
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ពិជគណិត៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ 7 កោសិកា។ ស្ថាប័នអប់រំ។
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ពិជគណិត៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ ៨ កោសិកា។ ស្ថាប័នអប់រំ។
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. ពិជគណិតៈ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ក្រឡា 9 ។ ស្ថាប័នអប់រំ។
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. និងផ្សេងៗទៀត។ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 10-11 នៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ។
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យចូលសាលាបច្ចេកទេស)។
យើងរំលឹកអ្នកថានៅក្នុងមេរៀននេះយើងយល់ លក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិនិងសូន្យ។ សញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកវានឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 ។
និទស្សន្តដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិមានលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកងាយស្រួលក្នុងការគណនាក្នុងឧទាហរណ៍និទស្សន្ត។
ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ១
ផលិតផលនៃអំណាច
ចាំ!
នៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម។
a m a n \u003d a m + n ដែល "a"- លេខណាមួយ និង" m", " n" - លេខធម្មជាតិណាមួយ។
ទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចនេះក៏ប៉ះពាល់ដល់ផលិតផលនៃអំណាចបីឬច្រើនផងដែរ។
- សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - បង្ហាញជាសញ្ញាប័ត្រ។
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - បង្ហាញជាសញ្ញាប័ត្រ។
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
សំខាន់!
សូមចំណាំថានៅក្នុងទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានចង្អុលបង្ហាញវាគ្រាន់តែជាការគុណនឹងអំណាចប៉ុណ្ណោះ។ មូលដ្ឋានដូចគ្នា។ . វាមិនអនុវត្តចំពោះការបន្ថែមរបស់ពួកគេទេ។
អ្នកមិនអាចជំនួសផលបូក (3 3 + 3 2) ជាមួយ 3 5 បានទេ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើ
គណនា (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 និង 3 5 = 243
ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ២
សញ្ញាបត្រឯកជន
ចាំ!
នៅពេលបែងចែកអំណាចដោយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋាននៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តនៃការបែងចែកត្រូវបានដកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ។
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 ៤
T = 3 8 − 4
ចម្លើយ៖ t = 3 4 = 81ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលេខ 1 និងលេខ 2 អ្នកអាចធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ និងអនុវត្តការគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួល។
- ឧទាហរណ៍។ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ។
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេ។
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 សំខាន់!
សូមចំណាំថាទ្រព្យសម្បត្តិ 2 ដោះស្រាយតែជាមួយការបែងចែកអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។
អ្នកមិនអាចជំនួសភាពខុសគ្នា (4 3 −4 2) ជាមួយ 4 1 ។ នេះអាចយល់បានប្រសិនបើយើងពិចារណា (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , និង 4 1 = 4
ត្រូវប្រុងប្រយ័ត្ន!
ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ៣
និទស្សន្តចាំ!
នៅពេលបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពល មូលដ្ឋាននៃអំណាចនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ។
(a n) m \u003d a n m ដែល "a" គឺជាលេខណាមួយ ហើយ "m", "n" គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។
ទ្រព្យសម្បត្តិ ៤
កម្រិតផលិតផលចាំ!
នៅពេលដែលការបង្កើនផលិតផលទៅជាថាមពល កត្តានីមួយៗត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលមួយ។ បន្ទាប់មកលទ្ធផលត្រូវបានគុណ។
(a b) n \u003d a n b n ដែល "a", "b" គឺជាលេខសមហេតុផលណាមួយ; "n" - លេខធម្មជាតិណាមួយ។
- ឧទាហរណ៍ ១
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2 - ឧទាហរណ៍ ២
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
សំខាន់!
សូមចំណាំថាទ្រព្យសម្បត្តិលេខ 4 ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងទៀតនៃដឺក្រេក៏ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាសផងដែរ។
(a n b n) = (a b) nនោះគឺ ដើម្បីគុណដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តដូចគ្នា អ្នកអាចគុណគោល ហើយទុកនិទស្សន្តមិនផ្លាស់ប្តូរ។
- ឧទាហរណ៍។ គណនា។
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000 - ឧទាហរណ៍។ គណនា។
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ស្មុគ្រស្មាញជាងនេះ វាអាចមានករណីនៅពេលដែលគុណ និងការបែងចែកត្រូវតែអនុវត្តលើអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នា និងនិទស្សន្តផ្សេងគ្នា។ ក្នុងករណីនេះយើងណែនាំអ្នកឱ្យធ្វើដូចខាងក្រោម។
ឧទាហរណ៍, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
ឧទាហរណ៍នៃនិទស្សន្តនៃប្រភាគទសភាគ។
4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = បួនទ្រព្យសម្បត្តិ ៥
អំណាចនៃប្រភាគ (ប្រភាគ)ចាំ!
ដើម្បីបង្កើនកូតាទៅជាអំណាចមួយ អ្នកអាចបង្កើនភាគលាភនិងការបែងចែកដោយឡែកពីគ្នាទៅអំណាចនេះ ហើយបែងចែកលទ្ធផលទីមួយដោយទីពីរ។
(a: b) n \u003d a n: b n ដែល "a", "b" គឺជាលេខសមហេតុផលណាមួយ b ≠ 0, n គឺជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។
- ឧទាហរណ៍។ បញ្ចេញមតិជាអំណាចដោយផ្នែក។
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
យើងរំលឹកអ្នកថា កូតាអាចត្រូវបានតំណាងជាប្រភាគ។ ដូច្នេះ យើងនឹងលើកយកប្រភាគមួយទៅអានុភាពលម្អិតនៅទំព័របន្ទាប់។
- ឧទាហរណ៍ ១
មេរៀននេះគឺជាផ្នែកមួយនៃប្រធានបទ "ការបំប្លែងការបញ្ចេញមតិដែលមានអំណាច និងឫសគល់"។
សេចក្តីសង្ខេបគឺជាការអភិវឌ្ឍន៍លម្អិតនៃមេរៀនអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល និងពិតប្រាកដ។ បច្ចេកវិទ្យារៀនកុំព្យូទ័រ ក្រុម និងហ្គេមត្រូវបានប្រើប្រាស់។
ទាញយក៖
មើលជាមុន៖
ការអភិវឌ្ឍវិធីសាស្រ្តនៃមេរៀននៅក្នុងពិជគណិត
គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GAU KO PO KST
Pekhova Nadezhda Yurievna
លើប្រធានបទ៖ "លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្ត និងនិទស្សន្តពិតប្រាកដ"។
គោលបំណងនៃមេរៀន៖
- ការអប់រំ៖ ការបង្រួបបង្រួម និងការពង្រឹងចំណេះដឹងអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល និងការអនុវត្តរបស់ពួកគេក្នុងលំហាត់។ ការកែលម្អចំណេះដឹងអំពីប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍សញ្ញាបត្រ;
- ការអភិវឌ្ឍ៖ ការអភិវឌ្ឍជំនាញនៃការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯងនិងគ្នាទៅវិញទៅមក; ការអភិវឌ្ឍសមត្ថភាពបញ្ញា, ជំនាញគិត,
- ការអប់រំ៖ ការអប់រំនៃការយល់ដឹងលើប្រធានបទ ការអប់រំនៃការទទួលខុសត្រូវចំពោះការងារដែលបានអនុវត្ត ដើម្បីជួយបង្កើតបរិយាកាសនៃការងារច្នៃប្រឌិតសកម្ម។
ប្រភេទមេរៀន៖ មេរៀនសម្រាប់ពង្រឹងចំណេះដឹង ជំនាញ និងសមត្ថភាព។
វិធីសាស្រ្តនៃការអនុវត្ត: ពាក្យសំដី - មើលឃើញ។
បច្ចេកវិទ្យាគរុកោសល្យ៖ កុំព្យូទ័រ បច្ចេកវិទ្យាសិក្សាជាក្រុម និងហ្គេម។
ឧបករណ៍សម្រាប់មេរៀន៖ ឧបករណ៍បញ្ចាំង កុំព្យូទ័រ ការបង្ហាញសម្រាប់មេរៀន ការងារ
សៀវភៅកត់ត្រា, សៀវភៅសិក្សា កាតដែលមានអត្ថបទនៃល្បែងផ្គុំពាក្យឆ្លង និងការធ្វើតេស្តឆ្លុះបញ្ចាំង។
ម៉ោងសិក្សា៖ ១ ម៉ោង ២០ នាទី
ដំណាក់កាលសំខាន់នៃមេរៀន:
1. ពេលរៀបចំ។ សារប្រធានបទ គោលបំណងនៃមេរៀន។
2. ការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃចំណេះដឹងមូលដ្ឋាន។ ពាក្យដដែលៗនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល។
3. ការសរសេរតាមរូបមន្តគណិតវិទ្យាលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល។
4. សាររបស់សិស្សដោយប្រើការបង្ហាញកុំព្យូទ័រ។
5. ធ្វើការជាក្រុម។
6. ដំណោះស្រាយ Crossword ។
7. សង្ខេប, ចំណាត់ថ្នាក់។ការឆ្លុះបញ្ចាំង។
8. កិច្ចការផ្ទះ។
ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់រៀន៖
1. អង្គការ ពេល ការបង្ហាញប្រធានបទ គោលបំណងមេរៀន ផែនការមេរៀន។ស្លាយ 1, 2 ។
2. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងមូលដ្ឋាន។
1) ពាក្យដដែលៗនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករសមហេតុផល: សិស្សត្រូវបន្តលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានសរសេរ - ការស្ទង់មតិផ្នែកខាងមុខ។ស្លាយ ៣.
2) សិស្សនៅក្តារខៀន - ការវិភាគលំហាត់ពីសៀវភៅសិក្សា (Alimov Sh.A.): ក) លេខ 74, ខ) លេខ 77 ។
គ) លេខ ៨២-ក; ខ; គ.
លេខ 74: ក) = = a;
ខ) + = ;
ខ) : = = = ខ.
លេខ 77: ក) = = ;
ខ) = = = ខ.
លេខ ៨២៖ ក) = = = ;
ខ) = = y;
ខ) () () = ។
3. ការសរសេរតាមរូបមន្តគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងការផ្ទៀងផ្ទាត់គ្នាទៅវិញទៅមក។ សិស្សចែករំលែកការងាររបស់ពួកគេ ប្រៀបធៀបចម្លើយ និងផ្តល់ចំណាត់ថ្នាក់។
ស្លាយ 4 - 5
4. សាររបស់សិស្សអំពីអង្គហេតុប្រវត្តិសាស្ត្រមួយចំនួនលើប្រធានបទដែលកំពុងសិក្សា។
ស្លាយទី ៦ - ១២៖
សិស្សទីមួយ៖ ស្លាយទី ៦
គំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមានសូចនាករធម្មជាតិត្រូវបានបង្កើតឡើងសូម្បីតែក្នុងចំណោមប្រជាជនបុរាណ។ ការ៉េនិងគូបលេខត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាតំបន់ និងបរិមាណ។ អំណាចនៃលេខមួយចំនួនត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួនដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃប្រទេសអេហ្ស៊ីបបុរាណ និងបាប៊ីឡូន។
នៅសតវត្សរ៍ទី 3 សៀវភៅមួយក្បាលរបស់អ្នកប្រាជ្ញក្រិក Diophantus ត្រូវបានបោះពុម្ព"នព្វន្ធ" ដែលក្នុងនោះការណែនាំនៃនិមិត្តសញ្ញាអក្ខរក្រមត្រូវបានផ្តួចផ្តើម។ Diophantus ណែនាំនិមិត្តសញ្ញាសម្រាប់អំណាចទាំងប្រាំមួយដំបូងនៃមនុស្សដែលមិនស្គាល់និងគ្នាទៅវិញទៅមក។ នៅក្នុងសៀវភៅនេះ ការ៉េមួយត្រូវបានតំណាងដោយសញ្ញា និងសន្ទស្សន៍មួយ; ឧទាហរណ៍គូបមួយគឺជាសញ្ញា k ជាមួយសន្ទស្សន៍ r ។ល។
សិស្សទីពីរ៖ ស្លាយទី ៧
ការរួមចំណែកដ៏អស្ចារ្យក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍គំនិតនៃសញ្ញាបត្រត្រូវបានធ្វើឡើងដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រក្រិកបុរាណ Pythagoras ។ គាត់មានសាលាទាំងមូល ហើយសិស្សរបស់គាត់ទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថា Pythagoreans ។ ពួកគេបានបង្កើតគំនិតថាលេខនីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់នៃតួលេខ។ ឧទាហរណ៍ ពួកវាតំណាងឱ្យលេខ 4, 9 និង 16 ជាការ៉េ។
សិស្សទី១៖ ស្លាយ ៨-៩
ស្លាយ ៨
ស្លាយ ៩
សតវត្សទី XVI ។ នៅក្នុងសតវត្សនេះ គោលគំនិតនៃសញ្ញាបត្របានពង្រីក៖ វាបានចាប់ផ្តើមត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈមិនត្រឹមតែចំនួនជាក់លាក់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានអថេរផងដែរ។ ដូចដែលពួកគេបាននិយាយបន្ទាប់មក "ទៅលេខជាទូទៅ" គណិតវិទូអង់គ្លេសអេស.ស្ទីវិន បង្កើតសញ្ញាណដើម្បីសម្គាល់សញ្ញាបត្រ៖ សញ្ញា 3(3)+5(2)–4 បង្ហាញពីសញ្ញាណទំនើបបែបនេះ 3 3 + 5 2 – 4.
សិស្សទីពីរ៖ ស្លាយទី ១០
ក្រោយមកទៀត ប្រភាគ និងនិទស្សន្តអវិជ្ជមានត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុង "Complete Arithmetic" (1544) ដោយគណិតវិទូអាល្លឺម៉ង់ M. Stiefel និង S. Stevin ។
S. Stevin បានស្នើឱ្យមានន័យតាមកម្រិតជាមួយនឹងសូចនាករនៃទម្រង់ជា root, i.e. .
សិស្សទីមួយ៖ ស្លាយទី ១១
នៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទីដប់ប្រាំមួយ Francois Vietបានណែនាំអក្សរដើម្បីបញ្ជាក់មិនត្រឹមតែអថេរប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងមេគុណរបស់វាផងដែរ។ គាត់បានប្រើអក្សរកាត់៖ N, Q, C - សម្រាប់ដឺក្រេទីមួយ ទីពីរ និងទីបី។
ប៉ុន្តែការរចនាសម័យទំនើប (ដូចជា, ) ត្រូវបានណែនាំដោយ René Descartes នៅសតវត្សទី 17 ។
សិស្សទីពីរ៖ ស្លាយ 12
និយមន័យទំនើបនិងសញ្ញាណសញ្ញាប័ត្រដែលមានលេខសូន្យ អវិជ្ជមាន និងប្រភាគ និទស្សន្តមានប្រភពចេញពីការងាររបស់គណិតវិទូអង់គ្លេសចន វ៉ាលីស (1616-1703) និង Isaac Newton ។
5. ដំណោះស្រាយ Crossword ។
សិស្សត្រូវបានផ្តល់ល្បែងផ្គុំពាក្យឆ្លង។ ដោះស្រាយជាគូ។ គូដែលសម្រេចចិត្តមុនគេទទួលបានពិន្ទុ។ស្លាយ ១៣-១៥។
6. ការងារជាក្រុម។ស្លាយ ១៦.
សិស្សធ្វើការងារឯករាជ្យ ធ្វើការជាក្រុម 4 នាក់ ណែនាំគ្នាទៅវិញទៅមក។ បន្ទាប់មក ការងារនេះត្រូវបានដាក់ជូនដើម្បីពិនិត្យ។
7. សង្ខេប, ចំណាត់ថ្នាក់។
ការឆ្លុះបញ្ចាំង។
សិស្សបញ្ចប់ការធ្វើតេស្តឆ្លុះបញ្ចាំង។ សម្គាល់ "+" ប្រសិនបើអ្នកយល់ព្រម ហើយ "-" បើមិនដូច្នេះទេ។
ការធ្វើតេស្តឆ្លុះបញ្ចាំង:
1. ខ្ញុំបានរៀនអ្វីថ្មីៗជាច្រើន។
2. វានឹងមានប្រយោជន៍សម្រាប់ខ្ញុំនាពេលអនាគត។
3. មានអ្វីមួយដែលត្រូវគិតនៅក្នុងមេរៀន។
4. ខ្ញុំបានទទួល (ក) ចម្លើយចំពោះសំណួរទាំងអស់ដែលកើតឡើងអំឡុងពេលមេរៀន។
5. នៅមេរៀន ខ្ញុំបានធ្វើការដោយមនសិការ និងសម្រេចបាននូវគោលបំណងនៃមេរៀន។
8. កិច្ចការផ្ទះ៖ ស្លាយ ១៧។
1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)
2) ស្រេចចិត្ត៖ បង្កើតល្បែងផ្គុំពាក្យ crossword ជាមួយនឹងគោលគំនិតសំខាន់ៗនៃប្រធានបទដែលបានសិក្សា។
ឯកសារយោង៖
- Alimov Sh.A. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគថ្នាក់ទី ១០-១១ សៀវភៅសិក្សា - M.: Education, 2010 ។
- ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគថ្នាក់ទី១០។ សម្ភារៈ Didactic ។ ការត្រាស់ដឹង, ឆ្នាំ ២០១២ ។
ធនធានអ៊ីនធឺណិត៖
- គេហទំព័រអប់រំ - RusCopyBook.Com - សៀវភៅសិក្សាអេឡិចត្រូនិច និង GDZ
- គេហទំព័រធនធានអប់រំនៃអ៊ីនធឺណិត - សម្រាប់សិស្សសាលា និងសិស្ស។ http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
- គេហទំព័រគ្រូវិបផតថល - http://www.uchportal.ru/
