តើដើមឈើ ឆ្នេរសមុទ្រ ពពក ឬសរសៃឈាមនៅក្នុងដៃរបស់យើងមានអ្វីខ្លះ? នៅ glance ដំបូង វាហាក់ដូចជាថាវត្ថុទាំងអស់នេះមិនមានអ្វីដូចគ្នាទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយតាមការពិតមានទ្រព្យសម្បត្តិមួយនៃរចនាសម្ព័ន្ធដែលមាននៅក្នុងវត្ថុដែលបានរាយបញ្ជីទាំងអស់: ពួកវាមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នា។ ពីមែកឈើក៏ដូចជាពីដើមនៃមែកធាងដំណើរការតូចៗបានចាកចេញពីពួកគេ - សូម្បីតែតូចជាងជាដើម នោះគឺសាខាមួយស្រដៀងនឹងដើមឈើទាំងមូល។ ប្រព័ន្ធឈាមរត់ត្រូវបានរៀបចំតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា: សរសៃឈាមអាកទែរចេញពីសរសៃឈាមហើយពីពួកគេ - សរសៃឈាមតូចបំផុតដែលអុកស៊ីសែនចូលទៅក្នុងសរីរាង្គនិងជាលិកា។ សូមក្រឡេកមើលរូបភាពផ្កាយរណបនៃឆ្នេរសមុទ្រ: យើងនឹងឃើញឆ្នេរសមុទ្រនិងឧបទ្វីប; ចូរយើងក្រឡេកមើលវា ប៉ុន្តែពីទិដ្ឋភាពភ្នែករបស់បក្សី៖ យើងនឹងឃើញឆ្នេរសមុទ្រ និងកំពូល។ ឥឡូវនេះស្រមៃថាយើងកំពុងឈរនៅលើឆ្នេរហើយសម្លឹងមើលជើងរបស់យើង: វាតែងតែមានគ្រួសដែលលាតសន្ធឹងចូលទៅក្នុងទឹកជាងនៅសល់។ នោះគឺឆ្នេរសមុទ្រនៅតែស្រដៀងនឹងខ្លួនវានៅពេលពង្រីក។ គណិតវិទូជនជាតិអាមេរិក Benoit Mandelbrot បានហៅទ្រព្យសម្បត្តិនៃវត្ថុ fractal ហើយវត្ថុបែបនេះខ្លួនឯង - fractal (មកពីឡាតាំង fractus - ខូច) ។

គំនិតនេះមិនមាននិយមន័យតឹងរ៉ឹងទេ។ ដូច្នេះ ពាក្យ «ប្រភាគ» មិនមែនជាពាក្យគណិតវិទ្យាទេ។ ជាធម្មតា fractal គឺជាតួលេខធរណីមាត្រដែលបំពេញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិមួយ ឬច្រើនខាងក្រោម៖ វាមានរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគ្រស្មាញក្នុងការពង្រីកណាមួយ (មិនដូចឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ ផ្នែកណាមួយដែលជាតួលេខធរណីមាត្រសាមញ្ញបំផុត - ផ្នែកមួយ) ។ វាគឺ (ប្រហែល) ស្រដៀងគ្នា។ វាមានវិមាត្រប្រភាគ Hausdorff (fractal) ដែលធំជាងផ្នែក topological ។ អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងជាមួយនឹងនីតិវិធីកើតឡើងដដែលៗ។

ធរណីមាត្រ និងពិជគណិត

ការសិក្សាអំពីប្រភាគនៅវេននៃសតវត្សទី 19 និងទី 20 គឺមានលក្ខណៈជាប្រព័ន្ធជាង ពីព្រោះគណិតវិទូសម័យមុនភាគច្រើនសិក្សាវត្ថុ "ល្អ" ដែលអាចសិក្សាបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ និងទ្រឹស្តីទូទៅ។ នៅឆ្នាំ 1872 គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ Karl Weierstrass បង្កើតឧទាហរណ៍នៃមុខងារបន្តដែលមិនមានភាពខុសគ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសាងសង់របស់វាមានលក្ខណៈអរូបី និងពិបាកយល់។ ដូច្នេះហើយ នៅក្នុងឆ្នាំ 1904 ស៊ុយអែត Helge von Koch បានបង្កើតជាខ្សែកោងជាប់គ្នា ដែលមិនមានតង់សង់នៅកន្លែងណាមួយ ហើយវាសាមញ្ញណាស់ក្នុងការគូរវា។ វាបានប្រែក្លាយថាវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ fractal មួយ។ បំរែបំរួលមួយនៃខ្សែកោងនេះត្រូវបានគេហៅថា Koch snowflake ។

គំនិតនៃភាពស្រដៀងគ្នានៃតួលេខត្រូវបានជ្រើសរើសដោយជនជាតិបារាំង Paul Pierre Levy ដែលជាអ្នកណែនាំអនាគតរបស់ Benoit Mandelbrot ។ នៅឆ្នាំ 1938 អត្ថបទរបស់គាត់ "ខ្សែកោងយន្តហោះ និងលំហ និងផ្ទៃដែលមានផ្នែកស្រដៀងនឹងទាំងមូល" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះមានការពិពណ៌នាអំពីប្រភាគមួយទៀត - ខ្សែកោង Lévy C-curve ។ fractal ទាំងអស់ដែលបានរាយបញ្ជីខាងលើអាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈតាមលក្ខខណ្ឌទៅនឹងថ្នាក់មួយនៃ constructive (geometric) fractal ។

ថ្នាក់មួយទៀតគឺថាមវន្ត (ពិជគណិត) fractal ដែលរួមបញ្ចូលសំណុំ Mandelbrot ។ ការស្រាវជ្រាវដំបូងក្នុងទិសដៅនេះបានចាប់ផ្តើមនៅដើមសតវត្សទី 20 ហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Gaston Julia និង Pierre Fatou ។ នៅឆ្នាំ 1918 ស្ទើរតែពីររយទំព័រនៃការចងចាំរបស់ Julia ដែលឧទ្ទិសដល់ការធ្វើឡើងវិញនៃមុខងារសនិទានភាពស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានបោះពុម្ពដែលក្នុងនោះសំណុំ Julia ត្រូវបានពិពណ៌នា - ក្រុមគ្រួសារទាំងមូលនៃ fractal ដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងសំណុំ Mandelbrot ។ ស្នាដៃនេះត្រូវបានប្រគល់រង្វាន់ពីបណ្ឌិតសភាបារាំង ប៉ុន្តែវាមិនមានរូបគំនូរតែមួយទេ ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការកោតសរសើរចំពោះភាពស្រស់ស្អាតនៃវត្ថុដែលបានរកឃើញ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាការងារនេះបានធ្វើឱ្យ Julia ល្បីល្បាញក្នុងចំណោមគណិតវិទូនៃសម័យនោះវាត្រូវបានបំភ្លេចចោលយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ជាថ្មីម្តងទៀតការយកចិត្តទុកដាក់បានងាកទៅរកវាត្រឹមតែពាក់កណ្តាលសតវត្សក្រោយមកជាមួយនឹងការមកដល់នៃកុំព្យូទ័រ: វាគឺជាពួកគេដែលបានធ្វើឱ្យមើលឃើញភាពសម្បូរបែបនិងភាពស្រស់ស្អាតនៃពិភពនៃ fractals ។

វិមាត្រប្រភាគ

ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាវិមាត្រ (ចំនួនរង្វាស់) នៃតួលេខធរណីមាត្រគឺជាចំនួនកូអរដោនេដែលចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ទីតាំងនៃចំណុចដែលស្ថិតនៅលើតួលេខនេះ។
ឧទាហរណ៍ ទីតាំងនៃចំណុចនៅលើខ្សែកោងត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេមួយ នៅលើផ្ទៃមួយ (មិនចាំបាច់ជាយន្តហោះទេ) ដោយកូអរដោណេពីរ ក្នុងលំហបីវិមាត្រ ដោយកូអរដោនេបី។
តាមទស្សនៈគណិតវិទ្យាទូទៅ វិមាត្រអាចត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ ការកើនឡើងនៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរ និយាយថា ពីរដង សម្រាប់វិមាត្រមួយ (តាមទស្សនៈកំពូល) វត្ថុ (ផ្នែក) នាំទៅរកការកើនឡើងនៃទំហំ (ប្រវែង។ ) ដោយកត្តានៃពីរ សម្រាប់វិមាត្រពីរ (ការេ) ការកើនឡើងដូចគ្នានៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរនាំទៅរកការកើនឡើងនៃទំហំ (ផ្ទៃ) 4 ដង សម្រាប់បីវិមាត្រ (គូប) - ដោយ 8 ដង។ នោះគឺវិមាត្រ "ពិត" (ដែលគេហៅថា Hausdorff) អាចត្រូវបានគណនាជាសមាមាត្រនៃលោការីតនៃការកើនឡើងនៃ "ទំហំ" នៃវត្ថុទៅនឹងលោការីតនៃការកើនឡើងនៃទំហំលីនេអ៊ែររបស់វា។ នោះគឺសម្រាប់ផ្នែក D=log (2)/log (2)=1 សម្រាប់យន្តហោះ D=log (4)/log (2)=2 សម្រាប់ volume D=log (8)/log (2 )=៣.
ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាវិមាត្រនៃខ្សែកោង Koch សម្រាប់ការសាងសង់ដែលផ្នែកឯកតាត្រូវបានបែងចែកជា 3 ផ្នែកស្មើគ្នា ហើយចន្លោះពេលកណ្តាលត្រូវបានជំនួសដោយត្រីកោណសមភាពដោយគ្មានផ្នែកនេះ។ ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃវិមាត្រលីនេអ៊ែរនៃផ្នែកអប្បបរមាបីដងប្រវែងនៃខ្សែកោង Koch កើនឡើងនៅក្នុងកំណត់ហេតុ (4) / log (3) ~ 1.26 ។ នោះគឺវិមាត្រនៃខ្សែកោង Koch គឺប្រភាគ!

វិទ្យាសាស្ត្រ និងសិល្បៈ

នៅឆ្នាំ 1982 សៀវភៅរបស់ Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" ត្រូវបានបោះពុម្ព ដែលក្នុងនោះអ្នកនិពន្ធបានប្រមូល និងរៀបចំជាប្រព័ន្ធនូវព័ត៌មានស្ទើរតែទាំងអស់អំពី fractal ដែលមាននៅពេលនោះ ហើយបង្ហាញវាក្នុងលក្ខណៈងាយស្រួល និងអាចចូលដំណើរការបាន។ Mandelbrot បានសង្កត់ធ្ងន់ជាចម្បងនៅក្នុងបទបង្ហាញរបស់គាត់ មិនមែនលើរូបមន្តសញ្ជឹងគិត និងការស្ថាបនាគណិតវិទ្យានោះទេ ប៉ុន្តែនៅលើវិចារណញាណធរណីមាត្ររបស់អ្នកអាន។ សូមអរគុណដល់កុំព្យូទ័រដែលបានបង្កើតរូបភាព និងរឿងប្រវត្តិសាស្ត្រ ដែលអ្នកនិពន្ធបានបំប្លែងសមាសធាតុវិទ្យាសាស្ត្រនៃអក្សរកាត់យ៉ាងប៉ិនប្រសប់ សៀវភៅនេះបានក្លាយជាសៀវភៅលក់ដាច់បំផុត ហើយ Fractal ត្រូវបានគេស្គាល់ដល់សាធារណជនទូទៅ។ ភាពជោគជ័យរបស់ពួកគេក្នុងចំណោមអ្នកមិនគណិតវិទ្យាគឺភាគច្រើនដោយសារតែការពិតដែលថាដោយមានជំនួយពីសំណង់សាមញ្ញបំផុតនិងរូបមន្តដែលសូម្បីតែសិស្សវិទ្យាល័យក៏អាចយល់បានរូបភាពនៃភាពស្មុគស្មាញនិងភាពស្រស់ស្អាតដ៏អស្ចារ្យត្រូវបានទទួល។ នៅពេលដែលកុំព្យូទ័រផ្ទាល់ខ្លួនមានថាមពលគ្រប់គ្រាន់ សូម្បីតែទំនោរសិល្បៈទាំងមូលក៏លេចចេញមកដែរ - ការគូររូបប្រភាគ ហើយស្ទើរតែគ្រប់ម្ចាស់កុំព្យូទ័រអាចធ្វើវាបាន។ ឥឡូវនេះនៅលើអ៊ីនធឺណិតអ្នកអាចស្វែងរកគេហទំព័រជាច្រើនយ៉ាងងាយស្រួលដែលឧទ្ទិសដល់ប្រធានបទនេះ។

គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង Koch

ស​ង្រ្គា​ម​និង​សន្តិភាព

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ខាងលើវត្ថុធម្មជាតិមួយក្នុងចំណោមវត្ថុធម្មជាតិដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal គឺឆ្នេរសមុទ្រ។ រឿងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយវា ឬផ្ទុយទៅវិញជាមួយនឹងការប៉ុនប៉ងវាស់ប្រវែងរបស់វា ដែលបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃអត្ថបទវិទ្យាសាស្ត្ររបស់ Mandelbrot ហើយត្រូវបានពិពណ៌នាផងដែរនៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់ "The Fractal Geometry of Nature" ។ យើងកំពុងនិយាយអំពីការពិសោធន៍មួយដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយលោក Lewis Richardson ដែលជាគណិតវិទូដ៏ប៉ិនប្រសប់ រូបវិទ្យា និងឧតុនិយម។ ទិសដៅមួយនៃការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់គឺការប៉ុនប៉ងដើម្បីស្វែងរកការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យាអំពីមូលហេតុ និងលទ្ធភាពនៃជម្លោះប្រដាប់អាវុធរវាងប្រទេសទាំងពីរ។ ក្នុង​ចំណោម​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ដែល​លោក​បាន​គិត​នោះ​គឺ​ប្រវែង​នៃ​ព្រំដែន​រួម​រវាង​ប្រទេស​ដែល​មាន​សង្គ្រាម​ទាំង​ពីរ។ នៅពេលគាត់ប្រមូលទិន្នន័យសម្រាប់ការពិសោធន៍ជាលេខ គាត់បានរកឃើញថានៅក្នុងប្រភពផ្សេងៗគ្នា ទិន្នន័យនៅលើព្រំដែនរួមនៃប្រទេសអេស្ប៉ាញ និងព័រទុយហ្គាល់មានភាពខុសគ្នាខ្លាំង។ នេះបាននាំឱ្យគាត់មានការរកឃើញដូចខាងក្រោម: ប្រវែងនៃព្រំដែនរបស់ប្រទេសអាស្រ័យលើអ្នកគ្រប់គ្រងដែលយើងវាស់ពួកគេ។ មាត្រដ្ឋានកាន់តែតូច ព្រំដែននឹងកាន់តែវែង។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថានៅការពង្រីកកាន់តែខ្ពស់វាអាចយកទៅក្នុងគណនីពត់កាន់តែច្រើននៃឆ្នេរសមុទ្រដែលពីមុនត្រូវបានគេមិនអើពើដោយសារតែភាពរដុបនៃការវាស់វែង។ ហើយប្រសិនបើជាមួយនឹងការពង្រីកនីមួយៗ ខ្សែកោងដែលមិនបានគណនាពីមុនត្រូវបានបើក នោះវាប្រែថាប្រវែងនៃស៊ុមគឺគ្មានកំណត់! ជាការពិត វាមិនកើតឡើងទេ - ភាពត្រឹមត្រូវនៃការវាស់វែងរបស់យើងមានកម្រិតកំណត់។ ភាពផ្ទុយគ្នានេះត្រូវបានគេហៅថាឥទ្ធិពល Richardson ។

ស្ថាបនា (ធរណីមាត្រ) fractal

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើត fractal ស្ថាបនានៅក្នុងករណីទូទៅមានដូចខាងក្រោម។ ដំបូងបង្អស់យើងត្រូវការរាងធរណីមាត្រដែលសមស្របពីរសូមហៅវាថាមូលដ្ឋាននិងបំណែក។ នៅដំណាក់កាលដំបូង មូលដ្ឋាននៃ fractal នាពេលអនាគតត្រូវបានបង្ហាញ។ បន្ទាប់មកផ្នែកខ្លះរបស់វាត្រូវបានជំនួសដោយបំណែកដែលបានយកក្នុងមាត្រដ្ឋានសមស្រប - នេះគឺជាការស្ថាបនាឡើងវិញជាលើកដំបូង។ បន្ទាប់មក នៅក្នុងតួលេខលទ្ធផល ផ្នែកខ្លះម្តងទៀតផ្លាស់ប្តូរទៅជាតួរលេខស្រដៀងនឹងបំណែក ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត។ ប្រសិនបើយើងបន្តដំណើរការនេះដោយគ្មានកំណត់ នោះនៅក្នុងដែនកំណត់យើងទទួលបាន fractal ។

ពិចារណាដំណើរការនេះដោយប្រើឧទាហរណ៍នៃខ្សែកោង Koch (សូមមើលរបារចំហៀងនៅលើទំព័រមុន) ។ ខ្សែកោងណាមួយអាចត្រូវបានយកជាមូលដ្ឋាននៃខ្សែកោង Koch (សម្រាប់ Koch snowflake នេះគឺជាត្រីកោណ) ។ ប៉ុន្តែយើងបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងករណីសាមញ្ញបំផុត - ផ្នែកមួយ។ បំណែកគឺជាបន្ទាត់ដែលខូចដែលបង្ហាញនៅលើកំពូលនៃរូបភាព។ បន្ទាប់ពីការធ្វើឡើងវិញដំបូងនៃក្បួនដោះស្រាយ ក្នុងករណីនេះ ផ្នែកដើមនឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងបំណែក បន្ទាប់មកផ្នែកនីមួយៗនៃធាតុផ្សំរបស់វានឹងត្រូវជំនួសដោយបន្ទាត់ដែលខូចស្រដៀងនឹងបំណែក ហើយដូច្នេះនៅលើ។ តួលេខបង្ហាញពីបួនដំបូង។ ជំហាននៃដំណើរការនេះ។

ភាសានៃគណិតវិទ្យា៖ ថាមវន្ត (ពិជគណិត) fractal

Fractals នៃប្រភេទនេះកើតឡើងនៅក្នុងការសិក្សានៃប្រព័ន្ធថាមវន្តដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ (ដូច្នេះឈ្មោះ) ។ ឥរិយាបថនៃប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍ nonlinear ស្មុគស្មាញ (ពហុធា) f(z) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយកចំណុចដំបូងមួយចំនួន z0 នៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ (សូមមើលរបារចំហៀង) ។ ឥឡូវនេះ សូមពិចារណានូវលំដាប់លំដោយគ្មានកំណត់នៃលេខនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ ដែលនីមួយៗទទួលបានពីលេខមុន៖ z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn)។ អាស្រ័យលើចំណុចដំបូង z0 លំដាប់បែបនេះអាចមានឥរិយាបទខុសគ្នា៖ ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ដូចជា n -> ∞; បង្រួបបង្រួមទៅចំណុចបញ្ចប់មួយចំនួន; វដ្តយកចំនួននៃតម្លៃថេរមួយ; ជម្រើសស្មុគស្មាញជាងគឺអាចធ្វើទៅបាន។

លេខស្មុគស្មាញ

ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាចំនួនដែលមានពីរផ្នែក - ពិត និងស្រមើស្រមៃ នោះគឺជាផលបូកផ្លូវការ x + iy (x និង y នេះគឺជាចំនួនពិត) ។ ខ្ញុំគឺជាអ្វីដែលគេហៅថា។ ឯកតាស្រមើលស្រមៃ នោះគឺជាលេខដែលបំពេញសមីការ ខ្ញុំ ^២=-១. ប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាជាមូលដ្ឋានត្រូវបានកំណត់លើចំនួនកុំផ្លិច - បូក គុណ ចែក ដក (មានតែប្រតិបត្តិការប្រៀបធៀបមិនត្រូវបានកំណត់) ។ ដើម្បីបង្ហាញលេខកុំផ្លិច តំណាងធរណីមាត្រត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ - នៅលើយន្តហោះ (វាត្រូវបានគេហៅថាស្មុគស្មាញ) ផ្នែកពិតត្រូវបានគ្រោងតាមអ័ក្ស abscissa និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃតាមអ័ក្សតម្រៀប ខណៈដែលចំនួនកុំផ្លិចនឹងត្រូវគ្នានឹងចំណុចមួយ។ ជាមួយនឹងកូអរដោនេ Cartesian x និង y ។

ដូច្នេះ ចំណុច z ណាមួយនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញមានចរិតលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វាក្នុងអំឡុងពេលនៃការធ្វើឡើងវិញនៃមុខងារ f (z) ហើយយន្តហោះទាំងមូលត្រូវបានបែងចែកទៅជាផ្នែក។ លើសពីនេះទៅទៀត ចំនុចដែលស្ថិតនៅលើព្រំប្រទល់នៃផ្នែកទាំងនេះមានទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ សម្រាប់ការផ្លាស់ទីលំនៅតូចមួយតាមអំពើចិត្ត ធម្មជាតិនៃអាកប្បកិរិយារបស់ពួកគេបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំង (ចំណុចបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា bifurcation point) ។ ដូច្នេះវាប្រែថាសំណុំនៃចំណុចដែលមានប្រភេទជាក់លាក់មួយនៃឥរិយាបទ ក៏ដូចជាសំណុំនៃចំណុច bifurcation ជាញឹកញាប់មានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal ។ ទាំងនេះគឺជាសំណុំ Julia សម្រាប់មុខងារ f(z)។

គ្រួសារនាគ

ដោយការផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាន និងបំណែក អ្នកអាចទទួលបានភាពខុសគ្នាដ៏គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនៃ fractals ស្ថាបនា។
លើសពីនេះទៅទៀត ប្រតិបត្តិការស្រដៀងគ្នានេះអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ។ ឧទាហរណ៏នៃ fractals volumetric គឺ "អេប៉ុងរបស់ Menger", "ពីរ៉ាមីតរបស់ Sierpinski" និងផ្សេងទៀត។
ក្រុមគ្រួសាររបស់នាគក៏ត្រូវបានគេសំដៅទៅលើ fractal ស្ថាបនាផងដែរ។ ជួនកាលពួកវាត្រូវបានសំដៅលើឈ្មោះរបស់អ្នករកឃើញថាជា "នាគនៃ Heiwei-Harter" (ពួកវាស្រដៀងនឹងនាគចិននៅក្នុងរូបរាងរបស់ពួកគេ) ។ មានវិធីជាច្រើនក្នុងការសាងសង់ខ្សែកោងនេះ។ សាមញ្ញបំផុត និងច្បាស់បំផុតក្នុងចំណោមពួកគេគឺ៖ អ្នកត្រូវយកក្រដាសវែងល្មម (ក្រដាសស្តើងជាងនេះ កាន់តែល្អ) ហើយបត់វាពាក់កណ្តាល។ បន្ទាប់មកម្តងទៀតពត់វានៅពាក់កណ្តាលក្នុងទិសដៅដូចគ្នានឹងលើកដំបូង។ បន្ទាប់ពីពាក្យដដែលៗជាច្រើនដង (ជាធម្មតាបន្ទាប់ពីបត់ប្រាំទៅប្រាំមួយដង បន្ទះនឹងក្រាស់ពេកដើម្បីបត់បន្ថែមទៀតដោយប្រុងប្រយ័ត្ន) អ្នកត្រូវតម្រង់បន្ទះត្រឡប់មកវិញ ហើយព្យាយាមបង្កើតមុំ90˚នៅផ្នត់។ បន្ទាប់មកខ្សែកោងនៃនាគនឹងប្រែជាទម្រង់។ ជាការពិតណាស់ នេះនឹងគ្រាន់តែជាការប៉ាន់ស្មានប៉ុណ្ណោះ ដូចជាការព្យាយាមរបស់យើងទាំងអស់ដើម្បីពណ៌នាវត្ថុ fractal ។ កុំព្យូទ័រអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពណ៌នាជំហានជាច្រើនទៀតនៅក្នុងដំណើរការនេះហើយលទ្ធផលគឺជាតួលេខដ៏ស្រស់ស្អាតខ្លាំងណាស់។

ឈុត Mandelbrot ត្រូវបានសាងសង់ខុសគ្នាខ្លះ។ ពិចារណាអនុគមន៍ fc(z) = z 2 +c ដែល c ជាចំនួនកុំផ្លិច។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលំដាប់នៃអនុគមន៍នេះជាមួយ z0=0 អាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ c វាអាចបង្វែរទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ឬនៅជាប់ព្រំដែន។ លើសពីនេះទៅទៀត តម្លៃទាំងអស់នៃ c ដែលលំដាប់នេះត្រូវបានចងភ្ជាប់ជាសំណុំ Mandelbrot ។ វាត្រូវបានសិក្សាយ៉ាងលម្អិតដោយ Mandelbrot ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់ និងគណិតវិទូដទៃទៀត ដែលបានរកឃើញលក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាច្រើននៃសំណុំនេះ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានិយមន័យនៃសំណុំ Julia និង Mandelbrot គឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក។ តាមពិត ឈុតទាំងពីរនេះមានទំនាក់ទំនងគ្នាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ពោលគឺសំណុំ Mandelbrot គឺជាតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រស្មុគ្រស្មាញ c ដែល Julia set fc (z) ត្រូវបានតភ្ជាប់ (សំណុំត្រូវបានគេហៅថាតភ្ជាប់ប្រសិនបើវាមិនអាចបែងចែកជាពីរផ្នែកដែលមិនប្រសព្វគ្នាដោយមានលក្ខខណ្ឌបន្ថែមមួយចំនួន)។

fractal និងជីវិត

សព្វថ្ងៃនេះទ្រឹស្តីនៃ fractals ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃសកម្មភាពរបស់មនុស្ស។ បន្ថែមពីលើវត្ថុវិទ្យាសាស្រ្តសុទ្ធសាធសម្រាប់ការស្រាវជ្រាវ និងការគូរគំនូរ fractal ដែលបានរៀបរាប់រួចមកហើយនោះ fractals ត្រូវបានប្រើក្នុងទ្រឹស្តីព័ត៌មានដើម្បីបង្រួមទិន្នន័យក្រាហ្វិក (នៅទីនេះ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃ fractals ត្រូវបានប្រើជាចម្បង - បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ដើម្បីចងចាំបំណែកតូចមួយ នៃគំនូរ និងការបំប្លែង ដែលអ្នកអាចទទួលបានផ្នែកដែលនៅសល់ វាត្រូវការអង្គចងចាំតិចជាងការរក្សាទុកឯកសារទាំងមូល)។ ដោយការបន្ថែមការរំខានដោយចៃដន្យទៅនឹងរូបមន្តដែលកំណត់ fractal មួយអាចទទួលបាន fractal stochastic ដែលបង្ហាញពីវត្ថុពិតមួយចំនួន - ធាតុសង្គ្រោះ ផ្ទៃទឹក រុក្ខជាតិមួយចំនួនដែលត្រូវបានប្រើដោយជោគជ័យក្នុងរូបវិទ្យា ភូមិសាស្ត្រ និងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រដើម្បីសម្រេចបាន។ ភាពស្រដៀងគ្នាកាន់តែច្រើននៃវត្ថុក្លែងធ្វើជាមួយពិត។ នៅក្នុងវិទ្យុអេឡិចត្រូនិក ក្នុងទសវត្សរ៍ចុងក្រោយនេះ ពួកគេបានចាប់ផ្តើមផលិតអង់តែនដែលមានរាងជាប្រភាគ។ ដោយប្រើប្រាស់កន្លែងទំនេរតិចតួច ពួកគេផ្តល់នូវការទទួលសញ្ញាគុណភាពខ្ពស់។ សេដ្ឋវិទូប្រើ fractals ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីការប្រែប្រួលរូបិយប័ណ្ណ (ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានរកឃើញដោយ Mandelbrot ជាង 30 ឆ្នាំមុន) ។ នៅលើនេះ យើងនឹងបញ្ចប់ដំណើរកំសាន្តខ្លីនេះចូលទៅក្នុងពិភពនៃ fractals ដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងភាពស្រស់ស្អាត និងភាពសម្បូរបែប។

របកគំហើញដ៏ប៉ិនប្រសប់បំផុតក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រអាចផ្លាស់ប្តូរជីវិតមនុស្សយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរ។ វ៉ាក់សាំង​ដែល​បាន​បង្កើត​ឡើង​អាច​សង្គ្រោះ​មនុស្ស​រាប់​លាន​នាក់ ការបង្កើត​អាវុធ ផ្ទុយ​ទៅ​វិញ ឆក់​យក​ជីវិត​មនុស្ស​ទាំងនេះ។ ថ្មីៗនេះ (តាមមាត្រដ្ឋាននៃការវិវត្តន៍របស់មនុស្ស) យើងបានរៀនដើម្បី "ទប់" អគ្គិសនី ហើយឥឡូវនេះយើងមិនអាចស្រមៃមើលជីវិតដោយគ្មានឧបករណ៍ងាយស្រួលទាំងអស់នេះដែលប្រើអគ្គិសនីបានទេ។ ប៉ុន្តែក៏មានរបកគំហើញដែលមានមនុស្សតិចណាស់ដែលចាប់អារម្មណ៍ បើទោះបីជាវាមានឥទ្ធិពលយ៉ាងខ្លាំងលើជីវិតរបស់យើងក៏ដោយ។

របកគំហើញមួយក្នុងចំណោមរបកគំហើញ "ដែលមិនអាចយល់បាន" ទាំងនេះគឺ fractal ។ អ្នក​ប្រហែល​ជា​ធ្លាប់​ឮ​ពាក្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​នេះ​ហើយ ប៉ុន្តែ​តើ​អ្នក​ដឹង​ទេ​ថា​វា​មាន​ន័យ​យ៉ាង​ណា ហើយ​មាន​អ្វី​គួរ​ឲ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​ប៉ុន្មាន​ដែល​លាក់​ក្នុង​ពាក្យ​នេះ?

មនុស្សគ្រប់រូបមានការចង់ដឹងចង់ឃើញពីធម្មជាតិ ប្រាថ្នាចង់រៀនអំពីពិភពលោកជុំវិញខ្លួន។ ហើយនៅក្នុងសេចក្តីប្រាថ្នានេះមនុស្សម្នាក់ព្យាយាមប្រកាន់ខ្ជាប់នូវតក្កវិជ្ជាក្នុងការវិនិច្ឆ័យ។ ការវិភាគដំណើរការដែលកើតឡើងនៅជុំវិញគាត់ គាត់ព្យាយាមស្វែងរកតក្កវិជ្ជានៃអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង និងកាត់បន្ថយភាពទៀងទាត់មួយចំនួន។ ចិត្តដ៏ធំបំផុតនៅលើភពផែនដី រវល់នឹងកិច្ចការនេះ។ និយាយដោយប្រយោល អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រកំពុងស្វែងរកគំរូមួយដែលមិនគួរធ្វើ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ សូម្បី​តែ​ក្នុង​ភាព​ចលាចល ក៏​គេ​អាច​រក​ឃើញ​ទំនាក់ទំនង​រវាង​ព្រឹត្តិការណ៍។ ហើយការតភ្ជាប់នេះគឺ fractal ។

កូន​ស្រី​តូច​របស់​យើង​ដែល​មាន​អាយុ​បួន​ឆ្នាំ​កន្លះ​ឥឡូវ​នេះ​គឺ​នៅ​ក្នុង​វ័យ​ដ៏​អស្ចារ្យ​នោះ​នៅ​ពេល​ដែល​ចំនួន​នៃ​សំណួរ "ហេតុអ្វី?" ច្រើនដងច្រើនជាងចំនួនចម្លើយដែលមនុស្សពេញវ័យមានពេលផ្តល់ឱ្យ។ មិនយូរប៉ុន្មាន ក្រឡេកមើលទៅមែកឈើដែលងើបពីដី កូនស្រីខ្ញុំស្រាប់តែសង្កេតឃើញថា មែកឈើនេះ មានមែក និងមែក មើលទៅហាក់ដូចជាដើមឈើ។ ហើយជាការពិតណាស់ សំណួរធម្មតា "ហេតុអ្វី?" បានធ្វើតាម ដែលឪពុកម្តាយត្រូវស្វែងរកការពន្យល់សាមញ្ញដែលកុមារអាចយល់បាន។

ភាពស្រដៀងគ្នានៃមែកឈើតែមួយជាមួយដើមឈើទាំងមូលដែលកុមារបានរកឃើញគឺជាការសង្កេតដ៏ត្រឹមត្រូវបំផុត ដែលបញ្ជាក់ម្តងទៀតអំពីគោលការណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងដែលកើតឡើងម្តងទៀតនៅក្នុងធម្មជាតិ។ ទម្រង់សរីរាង្គ និងអសរីរាង្គជាច្រើននៅក្នុងធម្មជាតិត្រូវបានបង្កើតឡើងស្រដៀងគ្នា។ ពពក សំបកសមុទ្រ "ផ្ទះ" របស់ខ្យង សំបកឈើ និងមកុដនៃដើមឈើ ប្រព័ន្ធឈាមរត់ និងអ្វីៗផ្សេងទៀត - រូបរាងចៃដន្យនៃវត្ថុទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយក្បួនដោះស្រាយ fractal ។

⇡ Benoit Mandelbrot: បិតានៃធរណីមាត្រ fractal

ពាក្យ "Fractal" បានលេចចេញឡើងដោយសារអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យ Benoît B. Mandelbrot ។

គាត់បានបង្កើតពាក្យខ្លួនឯងនៅក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1970 ដោយបានខ្ចីពាក្យថា fractus ពីឡាតាំង ដែលវាមានន័យថា "ខូច" ឬ "កំទេច" ។ តើ​វា​គឺជា​អ្វី? សព្វថ្ងៃនេះពាក្យ "Fractal" ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតដើម្បីមានន័យថាតំណាងក្រាហ្វិកនៃរចនាសម្ព័ន្ធដែលស្រដៀងនឹងខ្លួនវានៅលើមាត្រដ្ឋានធំជាង។

មូលដ្ឋានគណិតវិទ្យាសម្រាប់ការកើតឡើងនៃទ្រឹស្តីនៃប្រភាគត្រូវបានដាក់ជាច្រើនឆ្នាំមុនពេលកំណើតរបស់ Benoit Mandelbrot ប៉ុន្តែវាអាចអភិវឌ្ឍបានតែជាមួយនឹងការមកដល់នៃឧបករណ៍កុំព្យូទ័រប៉ុណ្ណោះ។ នៅដើមដំបូងនៃអាជីពវិទ្យាសាស្ត្ររបស់គាត់ Benoit បានធ្វើការនៅមជ្ឈមណ្ឌលស្រាវជ្រាវ IBM ។ នៅពេលនោះ បុគ្គលិករបស់មជ្ឈមណ្ឌលកំពុងធ្វើការលើការបញ្ជូនទិន្នន័យពីចម្ងាយ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការស្រាវជ្រាវ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រត្រូវប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការបាត់បង់ដ៏ធំដែលកើតចេញពីការរំខានដោយសំឡេង។ Benoit បានប្រឈមមុខនឹងកិច្ចការដ៏លំបាក និងសំខាន់ខ្លាំងណាស់ - ដើម្បីយល់ពីរបៀបទស្សន៍ទាយការកើតឡើងនៃសំលេងរំខាននៅក្នុងសៀគ្វីអេឡិចត្រូនិចនៅពេលដែលវិធីសាស្ត្រស្ថិតិមិនមានប្រសិទ្ធភាព។

ដោយក្រឡេកមើលលទ្ធផលនៃការវាស់សំលេងរំខាន Mandelbrot បានទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះគំរូចម្លែកមួយ - ក្រាហ្វសំលេងរំខាននៅមាត្រដ្ឋានផ្សេងៗគ្នាមើលទៅដូចគ្នា។ លំនាំដូចគ្នាត្រូវបានគេសង្កេតឃើញដោយមិនគិតពីថាតើវាជាគ្រោងសំឡេងសម្រាប់មួយថ្ងៃ មួយសប្តាហ៍ ឬមួយម៉ោងនោះទេ។ វាមានតម្លៃផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋាននៃក្រាហ្វ ហើយរូបភាពត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតរាល់ពេល។

ក្នុងអំឡុងពេលនៃជីវិតរបស់គាត់ Benoit Mandelbrot បាននិយាយម្តងហើយម្តងទៀតថាគាត់មិនបានដោះស្រាយជាមួយរូបមន្តទេតែគ្រាន់តែលេងជាមួយរូបភាព។ បុរសម្នាក់នេះគិតក្នុងន័យធៀប ហើយបានបកប្រែបញ្ហាពិជគណិតណាមួយទៅក្នុងវិស័យធរណីមាត្រ ដែលយោងទៅតាមគាត់ ចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺតែងតែជាក់ស្តែង។

វាមិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលថាវាជាបុរសដែលមានការស្រមើលស្រមៃទំហំដ៏សម្បូរបែបដែលបានក្លាយជាឪពុកនៃធរណីមាត្រ fractal ។ យ៉ាងណាមិញ ការសម្រេចបាននូវខ្លឹមសារនៃ fractals កើតឡើងយ៉ាងជាក់លាក់ នៅពេលអ្នកចាប់ផ្តើមសិក្សាគំនូរ ហើយគិតអំពីអត្ថន័យនៃលំនាំ swirl ចម្លែក។

គំរូប្រភាគមិនមានធាតុដូចគ្នាទេ ប៉ុន្តែមានភាពស្រដៀងគ្នានៅគ្រប់មាត្រដ្ឋាន។ ដើម្បីបង្កើតរូបភាពបែបនេះជាមួយនឹងកម្រិតលម្អិតខ្ពស់ដោយដៃគឺមិនអាចទៅរួចនោះទេពីមុនមក វាទាមទារការគណនាយ៉ាងច្រើន។ ជាឧទាហរណ៍ គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Pierre Joseph Louis Fatou បានពណ៌នាអំពីឈុតនេះជាងចិតសិបឆ្នាំមុនពេលការរកឃើញរបស់ Benoit Mandelbrot ។ ប្រសិនបើយើងនិយាយអំពីគោលការណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនោះ ពួកគេត្រូវបានលើកឡើងនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ Leibniz និង Georg Cantor ។

គំនូរមួយក្នុងចំណោមគំនូរដំបូងនៃ fractal គឺជាការបកស្រាយក្រាហ្វិកនៃសំណុំ Mandelbrot ដែលកើតចេញពីការស្រាវជ្រាវរបស់ Gaston Maurice Julia ។

Gaston Julia (តែងតែបិទបាំង - របួស WWI)

គណិតវិទូជនជាតិបារាំងម្នាក់នេះឆ្ងល់ថាតើសំណុំមួយនឹងមើលទៅដូចអ្វី ប្រសិនបើវាត្រូវបានបង្កើតចេញពីរូបមន្តសាមញ្ញដែលធ្វើឡើងវិញដោយរង្វិលជុំមតិត្រឡប់។ ប្រសិនបើពន្យល់ថា "នៅលើម្រាមដៃ" នេះមានន័យថាសម្រាប់លេខជាក់លាក់មួយ យើងរកឃើញតម្លៃថ្មីដោយប្រើរូបមន្ត បន្ទាប់ពីនោះយើងជំនួសវាម្តងទៀតទៅក្នុងរូបមន្ត និងទទួលបានតម្លៃផ្សេងទៀត។ លទ្ធផលគឺជាលំដាប់លេខធំ។

ដើម្បីទទួលបានរូបភាពពេញលេញនៃឈុតបែបនេះអ្នកត្រូវធ្វើការគណនាយ៉ាងច្រើន - រាប់រយរាប់ពាន់លាន។ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើវាដោយដៃ។ ប៉ុន្តែនៅពេលដែលឧបករណ៍កុំព្យូទ័រដ៏មានអានុភាពបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងការបោះចោលរបស់អ្នកគណិតវិទូ ពួកគេអាចមើលរូបមន្ត និងកន្សោមដែលទាក់ទាញចំណាប់អារម្មណ៍ជាយូរមកហើយ។ Mandelbrot គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលប្រើកុំព្យូទ័រដើម្បីគណនា fractal បុរាណ។ ដោយបានដំណើរការលំដាប់ដែលមានតម្លៃមួយចំនួនធំ Benoit បានផ្ទេរលទ្ធផលទៅជាក្រាហ្វ។ នេះជាអ្វីដែលគាត់ទទួលបាន។

ក្រោយមក រូបភាពនេះត្រូវបានលាបពណ៌ (ឧទាហរណ៍ វិធីមួយនៃការដាក់ពណ៌គឺតាមចំនួននៃការធ្វើឡើងវិញ) ហើយបានក្លាយជារូបភាពដ៏ពេញនិយមបំផុតមួយដែលមិនធ្លាប់មានដោយមនុស្ស។

ដូចពាក្យបុរាណដែលសន្មតថា Heraclitus នៃ Ephesus និយាយថា "អ្នកមិនអាចចូលទៅក្នុងទន្លេតែមួយពីរដងបានទេ" ។ វាស័ក្តិសមបំផុតសម្រាប់ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃ fractal ។ មិនថាយើងពិនិត្យមើលរូបភាព fractal លម្អិតប៉ុណ្ណានោះទេ យើងនឹងឃើញគំរូស្រដៀងគ្នាជានិច្ច។

អ្នក​ដែល​ចង់​ឃើញ​ថា​តើ​រូបភាព​នៃ​លំហ Mandelbrot នឹង​មាន​រូបរាង​ដូច​ម្តេច​នៅ​ពេល​ដែល​បាន​ពង្រីក​ច្រើន​ដង​អាច​ធ្វើ​ដូច្នេះ​បាន​ដោយ​ការ​បង្ហោះ GIF មាន​ចលនា។

⇡ Lauren Carpenter: សិល្បៈ​បង្កើត​ដោយ​ធម្មជាតិ

ទ្រឹស្តីនៃ fractal បានរកឃើញការអនុវត្តជាក់ស្តែង។ ដោយសារវាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងការមើលឃើញនៃរូបភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង វាមិនមែនជារឿងគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេដែលថាអ្នកដំបូងគេដែលទទួលយកក្បួនដោះស្រាយ និងគោលការណ៍សម្រាប់បង្កើតទម្រង់មិនធម្មតាគឺជាសិល្បករ។

សហស្ថាបនិកនាពេលអនាគតនៃស្ទូឌីយ៉ូ Pixar រឿងព្រេងនិទាន Loren C. Carpenter បានចាប់ផ្តើមធ្វើការនៅ Boeing Computer Services ក្នុងឆ្នាំ 1967 ដែលជាផ្នែកមួយនៃសាជីវកម្មដ៏ល្បីល្បាញដែលចូលរួមក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍យន្តហោះថ្មី។

នៅឆ្នាំ 1977 គាត់បានបង្កើតបទបង្ហាញជាមួយនឹងគំរូគំរូនៃការហោះហើរ។ Lauren ទទួលខុសត្រូវក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍រូបភាពនៃយន្តហោះដែលត្រូវបានរចនាឡើង។ គាត់ត្រូវតែបង្កើតរូបភាពនៃម៉ូដែលថ្មីដោយបង្ហាញពីយន្តហោះនាពេលអនាគតពីមុំផ្សេងៗគ្នា។ នៅចំណុចខ្លះ អនាគតស្ថាបនិក Pixar Animation Studios បានបង្កើតគំនិតច្នៃប្រឌិត ដើម្បីប្រើរូបភាពភ្នំជាផ្ទៃខាងក្រោយ។ សព្វថ្ងៃនេះ សិស្សសាលាណាម្នាក់អាចដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះបាន ប៉ុន្តែនៅចុងបញ្ចប់នៃទសវត្សរ៍ទី 70 នៃសតវត្សចុងក្រោយនេះ កុំព្យូទ័រមិនអាចទប់ទល់នឹងការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញបែបនេះបានទេ - មិនមានកម្មវិធីនិពន្ធក្រាហ្វិក មិននិយាយអំពីកម្មវិធីសម្រាប់ក្រាហ្វិកបីវិមាត្រនោះទេ។ នៅឆ្នាំ 1978 Lauren បានឃើញសៀវភៅ Fractals របស់ Benoit Mandelbrot ដោយចៃដន្យនៅក្នុងហាងមួយ។ នៅក្នុងសៀវភៅនេះ ការយកចិត្តទុកដាក់របស់គាត់ត្រូវបានទាក់ទាញទៅនឹងការពិតដែលថា Benoit បានផ្តល់ឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃទម្រង់ fractal នៅក្នុងជីវិតពិត ហើយបង្ហាញថាពួកគេអាចពិពណ៌នាដោយកន្សោមគណិតវិទ្យា។

ភាពស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានជ្រើសរើសដោយគណិតវិទូ មិនមែនដោយចៃដន្យទេ។ ការពិតគឺថាភ្លាមៗនៅពេលដែលគាត់បានបោះពុម្ពផ្សាយការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់គាត់ត្រូវតែប្រឈមមុខនឹងការរិះគន់យ៉ាងខ្លាំង។ រឿងចំបងដែលសហសេវិករបស់គាត់ស្តីបន្ទោសគាត់គឺភាពគ្មានប្រយោជន៍នៃទ្រឹស្តីដែលបានអភិវឌ្ឍ។ ពួកគេបាននិយាយថា "បាទ" ទាំងនេះគឺជារូបភាពដ៏ស្រស់ស្អាត ប៉ុន្តែគ្មានអ្វីទៀតទេ។ ទ្រឹ​ស្តី​នៃ​ប្រភាគ​មិន​មាន​តម្លៃ​ជាក់ស្តែង​ទេ​។ វាក៏មានអ្នកដែលជឿជាទូទៅថាគំរូ fractal គ្រាន់តែជាផលចំណេញនៃការងាររបស់ "ម៉ាស៊ីនអារក្ស" ដែលនៅចុងទសវត្សរ៍ទី 70 ហាក់ដូចជាមនុស្សជាច្រើនថាជាអ្វីដែលស្មុគស្មាញពេក និងមិនអាចរុករកបានដែលអាចទុកចិត្តបានទាំងស្រុង។ Mandelbrot បានព្យាយាមស្វែងរកការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃទ្រឹស្តីនៃ fractal ប៉ុន្តែដោយនិងធំគាត់មិនចាំបាច់ធ្វើរឿងនេះទេ។ អ្នកដើរតាម Benoit Mandelbrot ក្នុងរយៈពេល 25 ឆ្នាំបន្ទាប់ បានបង្ហាញថាមានប្រយោជន៍ខ្លាំងចំពោះ "ការចង់ដឹងចង់ឃើញផ្នែកគណិតវិទ្យា" ហើយ Lauren Carpenter គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលដាក់វិធីសាស្ត្រ fractal ទៅក្នុងការអនុវត្ត។

ដោយបានសិក្សាសៀវភៅនេះ អ្នកគំនូរជីវចលនាពេលអនាគតបានសិក្សាយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់លើគោលការណ៍នៃធរណីមាត្រ fractal ហើយចាប់ផ្តើមស្វែងរកវិធីដើម្បីអនុវត្តវានៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ ក្នុងរយៈពេលត្រឹមតែបីថ្ងៃនៃការងារ Lauren អាចស្រមៃមើលរូបភាពជាក់ស្តែងនៃប្រព័ន្ធភ្នំនៅលើកុំព្យូទ័ររបស់គាត់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដោយមានជំនួយពីរូបមន្ត គាត់បានគូរទេសភាពភ្នំដែលអាចស្គាល់បានទាំងស្រុង។

គោលការណ៍ដែល Lauren ប្រើដើម្បីសម្រេចបានគោលដៅរបស់នាងគឺសាមញ្ញណាស់។ វាមាននៅក្នុងការបែងចែកតួរលេខធរណីមាត្រធំជាងទៅជាធាតុតូចៗ ហើយទាំងនេះត្រូវបានបែងចែកទៅជារូបតូចៗស្រដៀងគ្នា។

ដោយប្រើត្រីកោណធំជាងនេះ Carpenter បានបំបែកវាទៅជាបួនតូចជាងហើយបន្ទាប់មកធ្វើបែបបទនេះម្តងហើយម្តងទៀតរហូតដល់គាត់មានទេសភាពភ្នំជាក់ស្តែង។ ដូច្នេះ គាត់​បាន​ក្លាយ​ជា​វិចិត្រករ​ដំបូង​គេ​ដែល​ប្រើ​ក្បួន​ដោះស្រាយ fractal ក្នុង​ក្រាហ្វិក​កុំព្យូទ័រ​ដើម្បី​បង្កើត​រូបភាព។ នៅពេលដែលវាត្រូវបានគេស្គាល់អំពីការងារដែលបានធ្វើរួច អ្នកចូលចិត្តជុំវិញពិភពលោកបានចាប់យកគំនិតនេះ ហើយចាប់ផ្តើមប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal ដើម្បីក្លែងធ្វើទម្រង់ធម្មជាតិជាក់ស្តែង។

ការ​បង្ហាញ 3D ដំបូង​មួយ​ដោយ​ប្រើ​ក្បួន​ដោះស្រាយ fractal

ប៉ុន្មានឆ្នាំក្រោយមក Lauren Carpenter អាចអនុវត្តសមិទ្ធផលរបស់គាត់នៅក្នុងគម្រោងធំជាងនេះ។ គំនូរជីវចលផ្អែកលើពួកគេនៅលើការបង្ហាញរយៈពេលពីរនាទី Vol Libre ដែលបានចាក់ផ្សាយនៅលើ Siggraph ក្នុងឆ្នាំ 1980 ។ វីដេអូនេះភ្ញាក់ផ្អើលគ្រប់គ្នាដែលបានឃើញ ហើយ Lauren បានទទួលការអញ្ជើញពី Lucasfilm ។

គំនូរជីវចលនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅលើកុំព្យូទ័រ VAX-11/780 ពីក្រុមហ៊ុន Digital Equipment Corporation ក្នុងល្បឿននាឡិកាប្រាំមេហ្គាហឺត ហើយស៊ុមនីមួយៗចំណាយពេលប្រហែលកន្លះម៉ោងដើម្បីគូរ។

ដោយធ្វើការឱ្យ Lucasfilm Limited អ្នកបង្កើតគំនូរជីវចលបានបង្កើតទេសភាព 3D ដូចគ្នាសម្រាប់លក្ខណៈពិសេសទីពីរនៅក្នុងរឿង Star Trek ។ នៅក្នុង The Wrath of Khan ជាងឈើអាចបង្កើតភពផែនដីទាំងមូលដោយប្រើគោលការណ៍ដូចគ្នានៃគំរូផ្ទៃប្រភាគ។

បច្ចុប្បន្ន កម្មវិធីពេញនិយមទាំងអស់សម្រាប់បង្កើតទេសភាព 3D ប្រើគោលការណ៍ដូចគ្នានៃការបង្កើតវត្ថុធម្មជាតិ។ Terragen, Bryce, Vue និងអ្នកកែសម្រួល 3D ផ្សេងទៀតពឹងផ្អែកលើផ្ទៃប្រភាគ និងក្បួនដោះស្រាយគំរូវាយនភាព។

⇡ អង់តែន Fractal៖ តិចគឺល្អជាង ប៉ុន្តែប្រសើរជាង

ជាងពាក់កណ្តាលសតវត្សកន្លងមកនេះ ជីវិតបានផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ យើងភាគច្រើនទទួលយកភាពជឿនលឿននៃបច្ចេកវិទ្យាទំនើប។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលធ្វើអោយជីវិតកាន់តែមានផាសុកភាព អ្នកឆាប់ប្រើ កម្រមាននរណាម្នាក់សួរសំណួរ "តើនេះមកពីណា?" និង "តើវាដំណើរការយ៉ាងដូចម្តេច?" ។ ចង្ក្រានមីក្រូវ៉េវកំដៅអាហារពេលព្រឹក - ល្អ អស្ចារ្យ ស្មាតហ្វូនអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកនិយាយទៅកាន់អ្នកផ្សេង - អស្ចារ្យណាស់។ នេះ​ហាក់​ដូច​ជា​លទ្ធភាព​ជាក់ស្តែង​សម្រាប់​យើង។

ប៉ុន្តែជីវិតអាចខុសគ្នាទាំងស្រុង ប្រសិនបើមនុស្សម្នាក់មិនស្វែងរកការពន្យល់សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើង។ យកឧទាហរណ៍ ទូរស័ព្ទដៃ។ ចងចាំអង់តែនដែលអាចដកបាននៅលើម៉ូដែលដំបូង? ពួកគេបានជ្រៀតជ្រែក, បង្កើនទំហំនៃឧបករណ៍, នៅទីបញ្ចប់, ជាញឹកញាប់បានបែកបាក់។ យើងជឿថាពួកគេបានធ្លាក់ចូលទៅក្នុងការភ្លេចភ្លាំងជារៀងរហូត ហើយមួយផ្នែកដោយសារតែនេះ ... fractals ។

គំនូរ Fractal ទាក់ទាញជាមួយលំនាំរបស់ពួកគេ។ ពួកវាច្បាស់ជាស្រដៀងនឹងរូបភាពនៃវត្ថុអវកាស - nebulae ចង្កោមកាឡាក់ស៊ី ជាដើម។ ដូច្នេះ វាជារឿងធម្មតាទេដែលនៅពេលដែល Mandelbrot បញ្ចេញទ្រឹស្ដី Fractal របស់គាត់ ការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់បានជំរុញឱ្យមានចំណាប់អារម្មណ៍កើនឡើងក្នុងចំណោមអ្នកដែលសិក្សាផ្នែកតារាសាស្ត្រ។ អ្នកស្ម័គ្រចិត្តបែបនេះម្នាក់ឈ្មោះ Nathan Cohen បន្ទាប់ពីចូលរួមការបង្រៀនដោយ Benoit Mandelbrot នៅទីក្រុង Budapest ត្រូវបានបំផុសគំនិតដោយគំនិតនៃការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃចំណេះដឹងដែលទទួលបាន។ ពិតមែន គាត់បានធ្វើវាដោយវិចារណញាណ ហើយឱកាសបានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការរកឃើញរបស់គាត់។ ក្នុងនាមជាអ្នកស្ម័គ្រចិត្តវិទ្យុ Nathan បានស្វែងរកការបង្កើតអង់តែនមួយដែលមានភាពប្រែប្រួលខ្ពស់បំផុត។

មធ្យោបាយតែមួយគត់ដើម្បីកែលម្អប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃអង់តែនដែលត្រូវបានគេស្គាល់នៅពេលនោះគឺដើម្បីបង្កើនវិមាត្រធរណីមាត្ររបស់វា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ម្ចាស់ផ្ទះល្វែងនៅទីក្រុងបូស្តុនដែល Nathan ជួលបានប្រឆាំងយ៉ាងខ្លាំងចំពោះការដំឡើងឧបករណ៍ធំៗនៅលើដំបូល។ បន្ទាប់មក ណាថាន បានចាប់ផ្តើមពិសោធន៍ជាមួយនឹងទម្រង់ផ្សេងៗនៃអង់តែន ដោយព្យាយាមដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលអតិបរមាជាមួយនឹងទំហំអប្បបរមា។ ដោយបានឆេះជាមួយនឹងគំនិតនៃទម្រង់ fractal, Cohen ដូចដែលពួកគេនិយាយដោយចៃដន្យបានបង្កើត fractal ដ៏ល្បីល្បាញបំផុតមួយចេញពីខ្សែ - "Koch snowflake" ។ គណិតវិទូជនជាតិស៊ុយអែត Helge von Koch បានបង្កើតខ្សែកោងនេះឡើងវិញនៅឆ្នាំ 1904 ។ វាត្រូវបានទទួលដោយការបែងចែកចម្រៀកជាបីផ្នែក ហើយជំនួសផ្នែកកណ្តាលដោយត្រីកោណសមភាពដោយគ្មានផ្នែកមួយស្របគ្នាជាមួយនឹងផ្នែកនេះ។ និយមន័យគឺពិបាកយល់បន្តិច ប៉ុន្តែតួលេខគឺច្បាស់ និងសាមញ្ញ។

វាក៏មានពូជផ្សេងទៀតនៃ "ខ្សែកោង Koch" ប៉ុន្តែរូបរាងប្រហាក់ប្រហែលនៃខ្សែកោងនៅតែស្រដៀងគ្នា

នៅពេលដែលណាថានបានភ្ជាប់អង់តែនទៅនឹងឧបករណ៍ទទួលវិទ្យុ គាត់មានការភ្ញាក់ផ្អើលយ៉ាងខ្លាំង - ភាពប្រែប្រួលបានកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំង។ បន្ទាប់ពីការពិសោធន៍ជាបន្តបន្ទាប់ សាស្ត្រាចារ្យនាពេលអនាគតនៅសាកលវិទ្យាល័យបូស្តុនបានដឹងថា អង់តែនដែលធ្វើឡើងតាមលំនាំ fractal មានប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់ និងគ្របដណ្តប់ជួរប្រេកង់ធំទូលាយជាងបើប្រៀបធៀបទៅនឹងដំណោះស្រាយបុរាណ។ លើសពីនេះទៀតរូបរាងនៃអង់តែននៅក្នុងទម្រង់នៃខ្សែកោង fractal អាចកាត់បន្ថយទំហំធរណីមាត្របានយ៉ាងសំខាន់។ Nathan Cohen ថែមទាំងបានបង្កើតទ្រឹស្តីបទមួយដែលបញ្ជាក់ថា ដើម្បីបង្កើតអង់តែន broadband វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីផ្តល់ឱ្យវានូវរូបរាងនៃខ្សែកោង fractal ស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។

អ្នកនិពន្ធបានប៉ាតង់ការរកឃើញរបស់គាត់ ហើយបានបង្កើតក្រុមហ៊ុនមួយសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ និងរចនាប្រព័ន្ធអង់តែន fractal អង់តែន Fractal ដោយជឿជាក់ថានៅពេលអនាគត ដោយសារការរកឃើញរបស់គាត់ ទូរសព្ទនឹងអាចកម្ចាត់អង់តែនសំពីងសំពោង និងកាន់តែបង្រួម។

ជាទូទៅ នោះហើយជាអ្វីដែលបានកើតឡើង។ ពិតហើយ រហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ ណាថានកំពុងស្ថិតក្នុងបណ្តឹងជាមួយសាជីវកម្មធំៗ ដែលប្រើប្រាស់ការរកឃើញរបស់គាត់ដោយខុសច្បាប់ ដើម្បីផលិតឧបករណ៍ទំនាក់ទំនងតូចតាច។ ក្រុមហ៊ុនផលិតឧបករណ៍ចល័តល្បីៗមួយចំនួនដូចជា Motorola បានឈានដល់កិច្ចព្រមព្រៀងសន្តិភាពជាមួយអ្នកបង្កើតអង់តែន fractal រួចហើយ។

⇡ ទំហំប្រភាគ៖ ចិត្តមិនយល់

Benoit បានខ្ចីសំណួរនេះពីអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអាមេរិកដ៏ល្បីល្បាញ Edward Kasner ។

អ្នកក្រោយៗទៀត ដូចជាគណិតវិទូល្បីៗជាច្រើននាក់ផ្សេងទៀត ចូលចិត្តប្រាស្រ័យទាក់ទងជាមួយកុមារ សួរសំណួរ និងទទួលបានចម្លើយដែលមិននឹកស្មានដល់។ ពេលខ្លះនេះនាំឱ្យមានលទ្ធផលគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ក្មួយប្រុសអាយុប្រាំបួនឆ្នាំរបស់ Edward Kasner បានបង្កើតពាក្យ "googol" ដែលល្បីល្បាញនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ ដោយតំណាងឱ្យឯកតាដែលមានលេខសូន្យ។ ប៉ុន្តែត្រលប់ទៅ fractal ។ គណិតវិទូអាមេរិកចូលចិត្តសួរថាតើឆ្នេរសមុទ្រអាមេរិកមានប្រវែងប៉ុន្មាន។ បន្ទាប់​ពី​បាន​ស្តាប់​យោបល់​របស់​អ្នក​ឆ្លើយឆ្លង​រួច លោក Edward ខ្លួន​ឯង​បាន​និយាយ​ចម្លើយ​ត្រឹម​ត្រូវ។ ប្រសិនបើអ្នកវាស់ប្រវែងនៅលើផែនទីជាមួយនឹងផ្នែកដែលខូច នោះលទ្ធផលនឹងមិនត្រឹមត្រូវទេ ព្រោះឆ្នេរសមុទ្រមានភាពមិនប្រក្រតីច្រើន។ ហើយ​តើ​នឹង​មាន​អ្វី​កើត​ឡើង​ប្រសិន​បើ​អ្នក​វាស់​ស្ទង់​បាន​ត្រឹម​ត្រូវ​តាម​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន? អ្នកនឹងត្រូវគិតគូរពីប្រវែងនៃភាពមិនស្មើគ្នានីមួយៗ - អ្នកនឹងត្រូវវាស់កំពស់នីមួយៗ ច្រកដាក់ថ្មនីមួយៗ ប្រវែងនៃផ្ទាំងថ្ម ថ្មនៅលើវា គ្រាប់ខ្សាច់ អាតូម។ល។ ដោយសារចំនួននៃភាពមិនប្រក្រតីមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ប្រវែងដែលបានវាស់វែងនៃឆ្នេរសមុទ្រនឹងកើនឡើងដល់កម្រិតគ្មានទីបញ្ចប់ជាមួយនឹងភាពមិនប្រក្រតីថ្មីនីមួយៗ។

រង្វាស់តូចជាងនៅពេលវាស់ ប្រវែងវាស់កាន់តែធំ

គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ បន្ទាប់ពីការប្រាប់របស់ Edward កុមារមានភាពរហ័សរហួនជាងមនុស្សពេញវ័យក្នុងការនិយាយចម្លើយត្រឹមត្រូវ ខណៈពេលដែលពួកគេមានបញ្ហាក្នុងការទទួលយកចម្លើយដែលមិនគួរឱ្យជឿបែបនេះ។

ដោយប្រើបញ្ហានេះជាឧទាហរណ៍ Mandelbrot បានស្នើឱ្យប្រើវិធីសាស្រ្តថ្មីសម្រាប់ការវាស់វែង។ ដោយសារឆ្នេរសមុទ្រនៅជិតនឹងខ្សែកោង fractal វាមានន័យថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រកំណត់លក្ខណៈ ដែលហៅថាវិមាត្រ fractal អាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះវា។

អ្វីដែលជាវិមាត្រធម្មតាគឺច្បាស់សម្រាប់នរណាម្នាក់។ ប្រសិនបើវិមាត្រស្មើនឹងមួយយើងទទួលបានបន្ទាត់ត្រង់មួយប្រសិនបើពីរ - តួលេខផ្ទះល្វែងបី - បរិមាណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការយល់ដឹងអំពីវិមាត្រនៅក្នុងគណិតវិទ្យាមិនដំណើរការជាមួយខ្សែកោងប្រភាគទេ ដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រនេះមានតម្លៃប្រភាគ។ វិមាត្រប្រភាគនៅក្នុងគណិតវិទ្យាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជា "ភាពរដុប" ។ ភាពរដុបនៃខ្សែកោងកាន់តែខ្ពស់ វិមាត្រ fractal របស់វាកាន់តែធំ។ ខ្សែកោងដែលយោងទៅតាម Mandelbrot មានវិមាត្រ fractal ខ្ពស់ជាងវិមាត្រ topological របស់វាមានប្រវែងប្រហាក់ប្រហែលដែលមិនអាស្រ័យលើចំនួនវិមាត្រ។

បច្ចុប្បន្ននេះ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រកំពុងស្វែងរកផ្នែកកាន់តែច្រើនឡើងសម្រាប់ការអនុវត្តទ្រឹស្តី fractal ។ ដោយមានជំនួយពី fractals អ្នកអាចវិភាគការប្រែប្រួលនៃតម្លៃភាគហ៊ុន រុករកគ្រប់ប្រភេទនៃដំណើរការធម្មជាតិ ដូចជាការប្រែប្រួលនៃចំនួនប្រភេទ ឬក្លែងធ្វើថាមវន្តនៃលំហូរ។ ក្បួនដោះស្រាយ Fractal អាចត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការបង្ហាប់ទិន្នន័យ ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការបង្ហាប់រូបភាព។ ហើយដោយវិធីនេះ ដើម្បីទទួលបាន fractal ដ៏ស្រស់ស្អាតនៅលើអេក្រង់កុំព្យូទ័ររបស់អ្នក អ្នកមិនចាំបាច់មានសញ្ញាបត្របណ្ឌិតទេ។

⇡ Fractal នៅក្នុងកម្មវិធីរុករក

ប្រហែលជាមធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតមួយដើម្បីទទួលបានគំរូ fractal គឺត្រូវប្រើកម្មវិធីនិពន្ធវ៉ិចទ័រអនឡាញពីអ្នកសរសេរកម្មវិធីវ័យក្មេងម្នាក់ដែលមានទេពកោសល្យ Toby Schachman ។ កញ្ចប់ឧបករណ៍នៃកម្មវិធីនិពន្ធក្រាហ្វិកសាមញ្ញនេះគឺផ្អែកលើគោលការណ៍ដូចគ្នានៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។

មានតែរាងសាមញ្ញពីរប៉ុណ្ណោះក្នុងការចោលរបស់អ្នក - ការ៉េ និងរង្វង់មួយ។ អ្នកអាចបន្ថែមពួកវាទៅក្នុងផ្ទាំងក្រណាត់ មាត្រដ្ឋាន (ដើម្បីធ្វើមាត្រដ្ឋានតាមអ័ក្សមួយ សង្កត់គ្រាប់ចុចប្តូរ (Shift)) ហើយបង្វិល។ ការត្រួតលើគ្នាលើគោលការណ៍នៃប្រតិបត្តិការបន្ថែមប៊ូលីន ធាតុសាមញ្ញបំផុតទាំងនេះបង្កើតទម្រង់ថ្មី និងមិនសូវសំខាន់។ លើសពីនេះ ទម្រង់ថ្មីទាំងនេះអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅក្នុងគម្រោង ហើយកម្មវិធីនឹងបន្តបង្កើតរូបភាពទាំងនេះឡើងវិញដោយគ្មានកំណត់។ នៅដំណាក់កាលណាមួយនៃការធ្វើការលើ fractal អ្នកអាចត្រលប់ទៅសមាសធាតុណាមួយនៃរូបរាងស្មុគស្មាញ ហើយកែសម្រួលទីតាំង និងធរណីមាត្ររបស់វា។ វាជាការសប្បាយជាច្រើន ជាពិសេសនៅពេលដែលអ្នកពិចារណាថាឧបករណ៍តែមួយគត់ដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីច្នៃប្រឌិតគឺកម្មវិធីរុករក។ ប្រសិនបើអ្នកមិនយល់ពីគោលការណ៍នៃការធ្វើការជាមួយកម្មវិធីនិពន្ធវ៉ិចទ័រ recursive នេះទេ យើងណែនាំអ្នកឱ្យមើលវីដេអូនៅលើគេហទំព័រផ្លូវការរបស់គម្រោង ដែលបង្ហាញយ៉ាងលម្អិតអំពីដំណើរការទាំងមូលនៃការបង្កើត fractal ។

⇡ XaoS: fractal សម្រាប់គ្រប់រសជាតិ

កម្មវិធីកែសម្រួលក្រាហ្វិកជាច្រើនមានឧបករណ៍ភ្ជាប់មកជាមួយសម្រាប់បង្កើតគំរូ fractal ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ឧបករណ៍ទាំងនេះជាធម្មតាជាបន្ទាប់បន្សំ ហើយមិនអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកែសម្រួលលំនាំប្រភាគដែលបានបង្កើតនោះទេ។ ក្នុងករណីដែលចាំបាច់ត្រូវបង្កើត fractal ត្រឹមត្រូវតាមគណិតវិទ្យា នោះ XaoS cross-platform editor នឹងមកជួយសង្គ្រោះ។ កម្មវិធីនេះធ្វើឱ្យវាមិនត្រឹមតែអាចបង្កើតរូបភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងអាចអនុវត្តឧបាយកលផ្សេងៗជាមួយវាបានផងដែរ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងពេលវេលាជាក់ស្តែង អ្នកអាច "ដើរ" ឆ្លងកាត់ប្រភាគដោយផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋានរបស់វា។ ចលនាដែលមានចលនាតាមបណ្តោយ fractal អាចត្រូវបានរក្សាទុកជាឯកសារ XAF ហើយបន្ទាប់មកចាក់ឡើងវិញនៅក្នុងកម្មវិធីខ្លួនឯង។

XaoS អាចផ្ទុកសំណុំប៉ារ៉ាម៉ែត្រចៃដន្យ ក៏ដូចជាប្រើតម្រងក្រោយដំណើរការរូបភាពផ្សេងៗ - បន្ថែមបែបផែនចលនាមិនច្បាស់ ធ្វើឱ្យការផ្លាស់ប្តូរមុតស្រួចរវាងចំនុចប្រភាគ ក្លែងធ្វើរូបភាព 3D និងអ្វីៗផ្សេងទៀត។

⇡ Fractal Zoomer៖ ម៉ាស៊ីនបង្កើត fractal បង្រួម

បើប្រៀបធៀបទៅនឹងម៉ាស៊ីនបង្កើតរូបភាព fractal ផ្សេងទៀត វាមានគុណសម្បត្តិជាច្រើន។ ទីមួយវាមានទំហំតូចណាស់ ហើយមិនត្រូវការការដំឡើងទេ។ ទីពីរវាអនុវត្តសមត្ថភាពក្នុងការកំណត់ក្ដារលាយពណ៌នៃរូបភាព។ អ្នកអាចជ្រើសរើសស្រមោលជាពណ៌ RGB, CMYK, HVS និង HSL ។

វាក៏មានភាពងាយស្រួលផងដែរក្នុងការប្រើជម្រើសនៃការជ្រើសរើសចៃដន្យនៃស្រមោលពណ៌ និងមុខងារនៃការដាក់បញ្ច្រាសពណ៌ទាំងអស់នៅក្នុងរូបភាព។ ដើម្បីកែតម្រូវពណ៌ មានមុខងារនៃការជ្រើសរើសស្រមោលជារង្វង់ - នៅពេលដែលរបៀបដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានបើក កម្មវិធីនេះធ្វើឱ្យរូបភាពមានចលនា ផ្លាស់ប្តូរពណ៌ជារង្វង់នៅលើវា។

Fractal Zoomer អាចមើលឃើញមុខងារ fractal ផ្សេងគ្នាចំនួន 85 ហើយរូបមន្តត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងម៉ឺនុយកម្មវិធី។ មានតម្រងសម្រាប់រូបភាពក្រោយដំណើរការនៅក្នុងកម្មវិធី ទោះបីជាក្នុងចំនួនតិចតួចក៏ដោយ។ តម្រងដែលបានកំណត់នីមួយៗអាចត្រូវបានលុបចោលនៅពេលណាក៏បាន។

⇡ Mandelbulb3D៖ កម្មវិធីនិពន្ធ 3D fractal

នៅពេលដែលពាក្យ "Fractal" ត្រូវបានប្រើ វាច្រើនតែមានន័យថាជារូបភាពពីរវិមាត្រ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ធរណីមាត្រ fractal ហួសពីវិមាត្រ 2D ។ នៅក្នុងធម្មជាតិ មនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញឧទាហរណ៍ទាំងពីរនៃទម្រង់ fractal រាបស្មើ និយាយថា ធរណីមាត្រនៃផ្លេកបន្ទោរ និងតួលេខបីវិមាត្រ។ ផ្ទៃប្រភាគអាចជា 3D ហើយគំនូរក្រាហ្វិចមួយនៃ 3D fractals នៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃគឺជាក្បាលស្ពៃក្តោប។ ប្រហែលជាវិធីល្អបំផុតដើម្បីមើល fractal គឺនៅក្នុង Romanesco ដែលជាកូនកាត់នៃផ្កាខាត់ណាខៀវ និងផ្កាខាត់ណាខៀវ។

ហើយ fractal នេះអាចត្រូវបានគេបរិភោគ

កម្មវិធី Mandelbulb3D អាចបង្កើតវត្ថុបីវិមាត្រដែលមានរូបរាងស្រដៀងគ្នា។ ដើម្បីទទួលបានផ្ទៃ 3D ដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal អ្នកនិពន្ធនៃកម្មវិធីនេះ Daniel White និង Paul Nylander បានបំប្លែងសំណុំ Mandelbrot ទៅជាកូអរដោនេស្វ៊ែរ។ កម្មវិធី Mandelbulb3D ដែលពួកគេបានបង្កើតគឺជាកម្មវិធីនិពន្ធបីវិមាត្រពិតប្រាកដដែលធ្វើគំរូលើផ្ទៃប្រភាគនៃរាងផ្សេងៗ។ ដោយសារយើងសង្កេតឃើញលំនាំ fractal នៅក្នុងធម្មជាតិជាញឹកញាប់ វត្ថុបីវិមាត្រដែលបង្កើតដោយសិប្បនិម្មិតហាក់ដូចជាមានភាពប្រាកដនិយមមិនគួរឱ្យជឿ និងសូម្បីតែ "រស់" ។

វាអាចមើលទៅដូចជារុក្ខជាតិ វាអាចស្រដៀងនឹងសត្វចម្លែក ភពផែនដី ឬអ្វីផ្សេងទៀត។ បែបផែននេះត្រូវបានពង្រឹងដោយក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាញកម្រិតខ្ពស់ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីទទួលបានការឆ្លុះបញ្ចាំងជាក់ស្តែង គណនាតម្លាភាព និងស្រមោល ក្លែងធ្វើឥទ្ធិពលនៃជម្រៅនៃវាល និងអ្វីៗផ្សេងទៀត។ Mandelbulb3D មានចំនួនច្រើននៃការកំណត់ និងជម្រើសបង្ហាញ។ អ្នកអាចគ្រប់គ្រងស្រមោលនៃប្រភពពន្លឺ ជ្រើសរើសផ្ទៃខាងក្រោយ និងកម្រិតនៃព័ត៌មានលម្អិតនៃវត្ថុដែលបានយកគំរូតាម។

កម្មវិធីនិពន្ធ fractal Incendia គាំទ្រការធ្វើឱ្យរូបភាពទ្វេររលូន មានបណ្ណាល័យនៃ fractal បីវិមាត្រផ្សេងគ្នាហាសិប និងមានម៉ូឌុលដាច់ដោយឡែកសម្រាប់កែសម្រួលរូបរាងមូលដ្ឋាន។

កម្មវិធីប្រើការសរសេរស្គ្រីប fractal ដែលអ្នកអាចពិពណ៌នាដោយឯករាជ្យនូវប្រភេទថ្មីនៃរចនាសម្ព័ន្ធ fractal ។ Incendia មានកម្មវិធីនិពន្ធវាយនភាព និងសម្ភារៈ និងម៉ាស៊ីនបង្ហាញដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប្រើបែបផែនអ័ព្ទកម្រិតសំឡេង និងឧបករណ៍ស្រមោលផ្សេងៗ។ កម្មវិធីនេះមានជម្រើសមួយដើម្បីរក្សាទុកសតិបណ្ដោះអាសន្នក្នុងអំឡុងពេលការបង្ហាញរយៈពេលវែង ការបង្កើតចលនាត្រូវបានគាំទ្រ។

Incendia អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកនាំចេញគំរូ fractal ទៅជាទម្រង់ក្រាហ្វិក 3D ដ៏ពេញនិយម - OBJ និង STL ។ Incendia រួមបញ្ចូលឧបករណ៍ប្រើប្រាស់ធរណីមាត្រតូចមួយ ដែលជាឧបករណ៍ពិសេសសម្រាប់រៀបចំការនាំចេញផ្ទៃប្រភាគទៅជាគំរូបីវិមាត្រ។ ដោយប្រើឧបករណ៍ប្រើប្រាស់នេះ អ្នកអាចកំណត់គុណភាពបង្ហាញនៃផ្ទៃ 3D បញ្ជាក់ចំនួននៃការធ្វើឡើងវិញ fractal ។ ម៉ូដែលដែលបាននាំចេញអាចត្រូវបានប្រើនៅក្នុងគម្រោង 3D នៅពេលធ្វើការជាមួយកម្មវិធីនិពន្ធ 3D ដូចជា Blender, 3ds max និងផ្សេងទៀត។

ថ្មីៗនេះ ការងារលើគម្រោង Incendia បានថយចុះបន្តិច។ នៅពេលនេះ អ្នកនិពន្ធកំពុងស្វែងរកអ្នកឧបត្ថម្ភ ដែលអាចជួយគាត់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍កម្មវិធីនេះ។

ប្រសិនបើអ្នកមិនមានការស្រមើលស្រមៃគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគូររូបប្រភាគបីវិមាត្រដ៏ស្រស់ស្អាតនៅក្នុងកម្មវិធីនេះទេ វាមិនមានបញ្ហាអ្វីនោះទេ។ ប្រើបណ្ណាល័យប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងថតឯកសារ INCENDIA_EX\parameters។ ដោយមានជំនួយពីឯកសារ PAR អ្នកអាចរកឃើញទម្រង់ fractal មិនធម្មតាបំផុតយ៉ាងឆាប់រហ័ស រួមទាំងមានចលនាផងដែរ។

⇡ អូរ៉ាល់៖ របៀបដែលហ្វ្រេថលច្រៀង

ជាធម្មតាយើងមិននិយាយអំពីគម្រោងដែលទើបតែកំពុងដំណើរការនោះទេ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ យើងត្រូវធ្វើការលើកលែង នេះគឺជាកម្មវិធីមិនធម្មតាណាស់។ គម្រោង​មួយ​ឈ្មោះ​ថា Aural បាន​បង្កើត​ឡើង​ជាមួយ​មនុស្ស​ដូចគ្នា​នឹង Incendia។ ពិតហើយ លើកនេះ កម្មវិធីនេះមិនឃើញឈុត fractal ទេ ប៉ុន្តែបញ្ចេញសំឡេង ដោយប្រែក្លាយវាទៅជាតន្ត្រីអេឡិចត្រូនិច។ គំនិតនេះគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងណាស់ជាពិសេសការពិចារណាលើលក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតានៃ fractal ។ Aural គឺជាកម្មវិធីនិពន្ធអូឌីយ៉ូដែលបង្កើតបទភ្លេងដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយ fractal ពោលគឺតាមពិត វាគឺជាឧបករណ៍សំយោគសំឡេង។

លំដាប់នៃសំឡេងដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយកម្មវិធីនេះគឺមិនធម្មតានិង ... ស្រស់ស្អាត។ វាអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់ការសរសេរចង្វាក់សម័យទំនើប ហើយតាមគំនិតរបស់យើង ជាពិសេសគឺសមល្អសម្រាប់ការបង្កើតបទភ្លេងសម្រាប់ការណែនាំអំពីកម្មវិធីទូរទស្សន៍ និងវិទ្យុ ក៏ដូចជា "រង្វិលជុំ" នៃតន្ត្រីផ្ទៃខាងក្រោយសម្រាប់ហ្គេមកុំព្យូទ័រ។ Ramiro មិនទាន់ផ្តល់ការបង្ហាញអំពីកម្មវិធីរបស់គាត់នៅឡើយទេ ប៉ុន្តែសន្យាថានៅពេលដែលគាត់ធ្វើ ដើម្បីធ្វើការជាមួយ Aural គាត់នឹងមិនចាំបាច់រៀនទ្រឹស្តីនៃ fractals ទេ - គ្រាន់តែលេងជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់បង្កើតលំដាប់នៃចំណាំ។ . ស្តាប់ពីរបៀបដែល fractal ស្តាប់ទៅ, និង។

Fractals: ការផ្អាកតន្ត្រី

ជាការពិត ហ្វ្រេតូស អាចជួយសរសេរតន្ត្រីបាន ទោះបីជាគ្មានកម្មវិធីក៏ដោយ។ ប៉ុន្តែនេះអាចត្រូវបានធ្វើបានតែដោយនរណាម្នាក់ដែលជាប់ចិត្តនឹងគំនិតនៃភាពសុខដុមរមនាធម្មជាតិហើយក្នុងពេលតែមួយមិនបានប្រែទៅជា "nerd" អកុសលទេ។ វាសមហេតុផលក្នុងការយកតម្រុយពីតន្ត្រីករម្នាក់ឈ្មោះ Jonathan Coulton ដែលក្នុងចំណោមរឿងផ្សេងទៀត សរសេរការតែងនិពន្ធសម្រាប់ទស្សនាវដ្តី Popular Science ។ ហើយមិនដូចសិល្បករផ្សេងទៀតទេ Colton បោះពុម្ពផ្សាយស្នាដៃរបស់គាត់ទាំងអស់ក្រោមអាជ្ញាប័ណ្ណ Creative Commons Attribution-Noncommercial License ដែល (នៅពេលប្រើសម្រាប់គោលបំណងមិនមែនពាណិជ្ជកម្ម) ផ្តល់ការចម្លង ការចែកចាយ ការផ្ទេរការងារទៅអ្នកដ៏ទៃ ក៏ដូចជាការកែប្រែរបស់វា (ការបង្កើត នៃការងារដេរីវេ) ដើម្បីសម្របវាទៅតាមតម្រូវការរបស់អ្នក។

ជាការពិតណាស់ Jonathan Colton មានបទចម្រៀងអំពី fractals ។

⇡ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

នៅក្នុងអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលនៅជុំវិញយើង យើងតែងតែឃើញភាពច្របូកច្របល់ ប៉ុន្តែតាមពិត នេះមិនមែនជាឧបទ្ទវហេតុនោះទេ ប៉ុន្តែជាទម្រង់ដ៏ល្អមួយដែល fractal ជួយយើងឱ្យយល់ច្បាស់។ ធម្មជាតិគឺជាស្ថាបត្យករដ៏ល្អបំផុត អ្នកសាងសង់ និងវិស្វករដ៏ល្អម្នាក់។ វាត្រូវបានរៀបចំយ៉ាងឡូជីខល ហើយប្រសិនបើកន្លែងណាមួយដែលយើងមិនឃើញគំរូ នេះមានន័យថាយើងត្រូវស្វែងរកវានៅលើមាត្រដ្ឋានផ្សេង។ មនុស្ស​យល់​ពី​ចំណុច​នេះ​កាន់​តែ​ល្អ​ប្រសើរ ដោយ​ព្យាយាម​ធ្វើ​ត្រាប់​តាម​ទម្រង់​ធម្មជាតិ​តាម​វិធី​ជា​ច្រើន។ វិស្វកររចនាប្រព័ន្ធបំពងសំឡេងក្នុងទម្រង់ជាសែល បង្កើតអង់តែនជាមួយធរណីមាត្រ ផ្កាព្រិល។ល។ យើងប្រាកដថា Fractals នៅតែរក្សាអាថ៌កំបាំងជាច្រើន ហើយពួកគេជាច្រើនមិនទាន់ត្រូវបានរកឃើញដោយមនុស្សទេ។

ដូចដែលវាបានក្លាយទៅជាច្បាស់លាស់នៅក្នុងប៉ុន្មានទសវត្សរ៍ថ្មីៗនេះ (ទាក់ទងនឹងការវិវត្តនៃទ្រឹស្តីនៃការរៀបចំដោយខ្លួនឯង) ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងកើតឡើងនៅក្នុងភាពខុសគ្នាដ៏ធំទូលាយនៃវត្ថុនិងបាតុភូត។ ជាឧទាហរណ៍ ភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងអាចត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងមែកឈើ និងគុម្ពឈើ នៅក្នុងការបែងចែកនៃហ្សីហ្គោតដែលមានជីជាតិ ផ្កាព្រិល គ្រីស្តាល់ទឹកកក ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ប្រព័ន្ធសេដ្ឋកិច្ច នៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធនៃប្រព័ន្ធភ្នំ ពពក។

វត្ថុដែលបានរាយបញ្ជីទាំងអស់ និងវត្ថុផ្សេងទៀតស្រដៀងនឹងពួកវានៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធរបស់ពួកគេគឺ fractal ។ នោះគឺពួកគេមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ឬភាពមិនប្រែប្រួលនៃមាត្រដ្ឋាន។ ហើយនេះមានន័យថាបំណែកខ្លះនៃរចនាសម្ព័ន្ធរបស់ពួកគេត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅចន្លោះពេលជាក់លាក់។ ជាក់ស្តែង វត្ថុទាំងនេះអាចមានលក្ខណៈធម្មជាតិណាមួយ ហើយរូបរាង និងរូបរាងរបស់វានៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរដោយមិនគិតពីមាត្រដ្ឋាន។ ទាំងនៅក្នុងធម្មជាតិ និងនៅក្នុងសង្គម ការនិយាយដដែលៗកើតឡើងលើទំហំធំគ្រប់គ្រាន់។ ដូច្នេះពពកធ្វើឡើងវិញនូវរចនាសម្ព័ន្ធរដុបរបស់វាពី 10 4 ម៉ែត្រ (10 គីឡូម៉ែត្រ) ដល់ 10 -4 ម៉ែត្រ (0.1 មម) ។ មែកធាងត្រូវបានបន្តពូជលើដើមឈើពី 10 -2 ទៅ 10 2 ម៉ែត្រ។ សម្ភារៈដួលរលំដែលបង្កើតស្នាមប្រេះក៏ធ្វើឡើងវិញនូវភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៅលើមាត្រដ្ឋានជាច្រើន។ ផ្កាព្រិលដែលធ្លាក់នៅលើដៃរលាយ។ កំឡុងពេលរលាយ ការផ្លាស់ប្តូរពីដំណាក់កាលមួយទៅដំណាក់កាលមួយទៀត តំណក់ទឹកកកក៏ជាប្រភាគផងដែរ។

Fractal គឺជាវត្ថុនៃភាពស្មុគ្រស្មាញគ្មានកំណត់ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមើលឃើញព័ត៌មានលម្អិតមិនតិចជាងនៅជិតជាងពីចម្ងាយ។ ឧទាហរណ៍បុរាណនៃនេះគឺផែនដី។ ពីលំហ វាមើលទៅដូចជាបាល់។ ចូលទៅជិតវា យើងនឹងឃើញមហាសមុទ្រ ទ្វីប ឆ្នេរសមុទ្រ និងជួរភ្នំ។ ក្រោយមក ព័ត៌មានលម្អិតតូចជាងនឹងលេចឡើង៖ ដីមួយដុំលើផ្ទៃភ្នំ ស្មុគស្មាញ និងមិនស្មើគ្នាដូចភ្នំ។ បន្ទាប់មកភាគល្អិតតូចៗនៃដីនឹងលេចឡើង ដែលនីមួយៗគឺជាវត្ថុប្រភាគ។

Fractal គឺជារចនាសម្ព័ន្ធដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ដែលរក្សាភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង នៅពេលដែលធ្វើមាត្រដ្ឋានឡើងលើ ឬចុះក្រោមគ្មានកំណត់។ មានតែនៅប្រវែងតូចប៉ុណ្ណោះដែល nonlinearity បំប្លែងទៅជា linearity ។ នេះជាភស្តុតាងជាពិសេសនៅក្នុងនីតិវិធីគណិតវិទ្យានៃភាពខុសគ្នា។

ដូច្នេះយើងអាចនិយាយបានថា fractal ជាគំរូត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅពេលដែលវត្ថុពិតមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់នៃគំរូបុរាណ។ ហើយនេះមានន័យថាយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងទំនាក់ទំនងមិនមែនលីនេអ៊ែរ និងលក្ខណៈមិនកំណត់នៃទិន្នន័យ។ ភាពមិនស្មើគ្នាក្នុងន័យមនោគមវិជ្ជាមានន័យថា ភាពចម្រុះនៃផ្លូវអភិវឌ្ឍន៍ លទ្ធភាពនៃជម្រើសពីផ្លូវជំនួស និងល្បឿនជាក់លាក់នៃការវិវត្តន៍ ក៏ដូចជាភាពមិនអាចត្រឡប់វិញនៃដំណើរការវិវត្តន៍។ ក្នុងន័យគណិតវិទ្យា សមីការមិនលីនេអ៊ែរ គឺជាប្រភេទសមីការគណិតវិទ្យាមួយប្រភេទ (សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនលីនេអ៊ែរ) ដែលមានបរិមាណដែលចង់បាននៅក្នុងអំណាចធំជាងមួយ ឬមេគុណដែលអាស្រ័យលើលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឧបករណ៍ផ្ទុក។ នោះគឺនៅពេលដែលយើងអនុវត្តគំរូបុរាណ (ឧទាហរណ៍ និន្នាការ តំរែតំរង់។ ហើយយើងអាចទស្សន៍ទាយវាដោយដឹងពីអតីតកាលនៃវត្ថុ (ទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ការធ្វើគំរូ)។ ហើយ fractal ត្រូវបានប្រើក្នុងករណីដែលវត្ថុមានជម្រើសជាច្រើនសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍ ហើយស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់ដោយទីតាំងដែលវាស្ថិតនៅបច្ចុប្បន្ន។ នោះគឺយើងកំពុងព្យាយាមក្លែងធ្វើការអភិវឌ្ឍន៍ដ៏ច្របូកច្របល់។

នៅពេលដែលពួកគេនិយាយអំពីការកំណត់នៃប្រព័ន្ធជាក់លាក់មួយ ពួកគេមានន័យថាអាកប្បកិរិយារបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយទំនាក់ទំនងបុព្វហេតុដែលមិនច្បាស់លាស់។ នោះគឺការដឹងពីលក្ខខណ្ឌដំបូង និងច្បាប់នៃចលនានៃប្រព័ន្ធ វាអាចព្យាករណ៍បានយ៉ាងត្រឹមត្រូវអំពីអនាគតរបស់វា។ វា​គឺ​ជា​គំនិត​នៃ​ចលនា​នេះ​នៅ​ក្នុង​សកលលោក​ដែល​ជា​លក្ខណៈ​នៃ​ឌីណាមិក​បែប​បុរាណ ញូតុន។ ផ្ទុយទៅវិញ ភាពច្របូកច្របល់ បង្កប់ន័យនូវដំណើរការវឹកវរ និងចៃដន្យ នៅពេលដែលដំណើរនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនអាចព្យាករណ៍ ឬបង្កើតឡើងវិញបានទេ។

ភាពវឹកវរត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយសក្ដានុពលខាងក្នុងនៃប្រព័ន្ធមិនលីនេអ៊ែរ - ទ្រព្យសម្បត្តិរបស់វាដើម្បីបំបែកគន្លងជិតៗតាមអំពើចិត្តយ៉ាងឆាប់រហ័សដោយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ជាលទ្ធផល រូបរាងនៃគន្លងគឺអាស្រ័យយ៉ាងខ្លាំងទៅលើលក្ខខណ្ឌដំបូង។ នៅពេលសិក្សាប្រព័ន្ធដែលនៅ glance ដំបូងអភិវឌ្ឍភាពវឹកវរពួកគេតែងតែប្រើទ្រឹស្តីនៃ fractal ដោយសារតែ វាគឺជាវិធីសាស្រ្តនេះដែលធ្វើឱ្យវាអាចឃើញលំនាំជាក់លាក់មួយនៅក្នុងការកើតឡើងនៃ "ចៃដន្យ" គម្លាតនៅក្នុងការអភិវឌ្ឍនៃប្រព័ន្ធ។

ការសិក្សាអំពីរចនាសម្ព័ន្ធ fractal ធម្មជាតិផ្តល់ឱ្យយើងនូវឱកាសដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីដំណើរការនៃការរៀបចំដោយខ្លួនឯងនិងការអភិវឌ្ឍនៃប្រព័ន្ធ nonlinear ។ យើងបានរកឃើញរួចហើយថា ប្រភាគធម្មជាតិនៃខ្សែរបត់ផ្សេងៗ ត្រូវបានរកឃើញនៅជុំវិញខ្លួនយើង។ នេះគឺជាឆ្នេរសមុទ្រ ដើមឈើ ពពក ផ្លេកបន្ទោរ រចនាសម្ព័ន្ធដែក ប្រព័ន្ធសរសៃប្រសាទ ឬសរសៃឈាមរបស់មនុស្ស។ បន្ទាត់ស្មុគស្មាញ និងផ្ទៃរដុបទាំងនេះបានចាប់អារម្មណ៍លើការស្រាវជ្រាវវិទ្យាសាស្ត្រ ពីព្រោះធម្មជាតិបានបង្ហាញពីកម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញខុសគ្នាទាំងស្រុងជាងប្រព័ន្ធធរណីមាត្រដ៏ល្អ។ រចនាសម្ព័ន្ធដែលកំពុងសិក្សាបានប្រែទៅជាស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៅក្នុងទំនាក់ទំនង spatio-temporal ។ ពួកគេបានចម្លងដោយខ្លួនឯងដោយគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយធ្វើម្តងទៀតដោយខ្លួនឯងតាមមាត្រដ្ឋានផ្សេងៗនៃរយៈពេល និងពេលវេលា។ ដំណើរការដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរនៅទីបំផុតនាំទៅរកការបំបែក។ ប្រព័ន្ធក្នុងករណីនេះនៅចំណុចសាខាជ្រើសរើសផ្លូវមួយឬផ្សេងទៀត។ គន្លងនៃការអភិវឌ្ឍន៍ប្រព័ន្ធនឹងមើលទៅដូច fractal ពោលគឺបន្ទាត់ខូច រូបរាងដែលអាចត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាផ្លូវបំបែក និងស្មុគស្មាញដែលមានតក្កវិជ្ជា និងលំនាំរបស់វា។

ការបែកមែកធាងនៃប្រព័ន្ធមួយអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងការកាត់មែកធាង ដែលសាខានីមួយៗត្រូវគ្នានឹងមួយភាគបីនៃប្រព័ន្ធទាំងមូល។ ការបែងចែកអនុញ្ញាតឱ្យរចនាសម្ព័ន្ធលីនេអ៊ែរបំពេញចន្លោះបីវិមាត្រ ឬច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត៖ រចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគសម្របសម្រួលចន្លោះផ្សេងៗ។ Fractal អាចលូតលាស់ បំពេញចន្លោះជុំវិញ ដូចជាគ្រីស្តាល់មួយដុះនៅក្នុងដំណោះស្រាយ supersaturated ។ ក្នុងករណីនេះ ធម្មជាតិនៃមែកធាងនឹងទាក់ទងមិនមែនដោយចៃដន្យទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងលំនាំជាក់លាក់មួយ។

រចនាសម្ព័ន្ធ fractal ធ្វើឡើងវិញដោយខ្លួនវាស្រដៀងគ្នានៅកម្រិតផ្សេងទៀតនៅកម្រិតខ្ពស់នៃការរៀបចំជីវិតរបស់មនុស្សឧទាហរណ៍នៅកម្រិតនៃការរៀបចំខ្លួនឯងនៃសមូហភាពឬក្រុម។ ការរៀបចំបណ្តាញ និងទម្រង់ដោយខ្លួនឯងផ្លាស់ទីពីកម្រិតមីក្រូទៅកម្រិតម៉ាក្រូ។ ជាសមូហភាព ពួកគេតំណាងឱ្យការរួបរួមរួម ដែលមនុស្សម្នាក់អាចវិនិច្ឆ័យទាំងមូលដោយផ្នែក។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានេះ ធ្វើការជាឧទាហរណ៍ លក្ខណៈសម្បត្តិ fractal នៃដំណើរការសង្គមត្រូវបានពិចារណា ដែលបង្ហាញពីភាពជាសកលនៃទ្រឹស្តីនៃ fractal និងភាពស្មោះត្រង់របស់វាចំពោះវិស័យផ្សេងៗគ្នានៃវិទ្យាសាស្ត្រ។

វាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថា fractal គឺជាវិធីនៃអន្តរកម្មដែលបានរៀបចំនៃចន្លោះនៃវិមាត្រនិងធម្មជាតិខុសៗគ្នា។ វាគួរតែត្រូវបានបន្ថែមទៅខាងលើដែលមិនត្រឹមតែ spatial, ប៉ុន្តែក៏ខាងសាច់ឈាម។ បន្ទាប់មកសូម្បីតែខួរក្បាលមនុស្ស និងបណ្តាញសរសៃប្រសាទនឹងជារចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគ។

ធម្មជាតិពិតជាចូលចិត្តទម្រង់ fractal ។ វត្ថុប្រភាគមានរចនាសម្ព័ន្ធធំទូលាយ និងកម្រ។ នៅពេលសង្កេតវត្ថុបែបនេះជាមួយនឹងការបង្កើនការពង្រីក មនុស្សម្នាក់អាចមើលឃើញថាពួកវាបង្ហាញគំរូដែលកើតឡើងម្តងទៀតនៅកម្រិតផ្សេងៗគ្នា។ យើងបាននិយាយរួចមកហើយថា វត្ថុប្រភាគអាចមើលទៅដូចគ្នាបេះបិទ មិនថាយើងសង្កេតវាជាម៉ែត្រ មិល្លីម៉ែត្រ ឬមីក្រូ (1:1,000,000 នៃមាត្រដ្ឋានមួយម៉ែត្រ)។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃស៊ីមេទ្រីនៃវត្ថុ fractal ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងភាពខុសប្លែកគ្នាទាក់ទងនឹងមាត្រដ្ឋាន។ Fractals គឺស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុចកណ្តាលនៃការលាតសន្ធឹង ឬពង្រីកឡើងវិញ ដូចគ្នានឹងតួរាងមូលគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សនៃការបង្វិល។

រូបភាពគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៃឌីណាមិកមិនលីនេអ៊ែរគឺជារចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគ ដែលក្នុងនោះជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋាន ការពិពណ៌នាត្រូវបានសាងសង់ឡើងដោយយោងទៅតាមច្បាប់ដូចគ្នា។ នៅក្នុងជីវិតពិតការអនុវត្តគោលការណ៍នេះគឺអាចធ្វើទៅបានដោយមានការប្រែប្រួលបន្តិចបន្តួច។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងរូបវិទ្យា នៅពេលផ្លាស់ប្តូរពីកម្រិតមួយទៅកម្រិតមួយ (ពីដំណើរការអាតូមិចទៅជានុយក្លេអ៊ែរ ពីនុយក្លេអ៊ែរទៅភាគល្អិតបឋម) ភាពទៀងទាត់ គំរូ និងវិធីនៃការពិពណ៌នាផ្លាស់ប្តូរ។ យើងឃើញរឿងដូចគ្នានៅក្នុងជីវវិទ្យា (កម្រិតនៃចំនួនប្រជាជននៃសារពាង្គកាយ ជាលិកា កោសិកា។ បាតុភូត "កម្រិត" ផ្សេងៗគ្នា។ បច្ចុប្បន្ននេះ វិញ្ញាសាវិទ្យាសាស្ត្រភាគច្រើនមិនមានគំរូគំនិត fractal ដែលអាចទុកចិត្តបាននោះទេ។

សព្វថ្ងៃនេះ ការវិវឌ្ឍន៍ក្នុងក្របខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីនៃ ហ្វ្រេតាល់ ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រជាក់លាក់ណាមួយ - រូបវិទ្យា សង្គមវិទ្យា ចិត្តវិទ្យា ភាសាវិទ្យា។ល។ បន្ទាប់មក សង្គម និងស្ថាប័នសង្គម និងភាសា និងសូម្បីតែការគិតគឺជាប្រភាគ។

នៅក្នុងការពិភាក្សាដែលបានលាតត្រដាងក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានឆ្នាំចុងក្រោយនេះ ក្នុងចំណោមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ និងអ្នកទស្សនវិទូជុំវិញគោលគំនិតនៃ fractal សំណួរដ៏ចម្រូងចម្រាសបំផុតគឺដូចខាងក្រោម៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការនិយាយអំពីភាពជាសកលនៃ fractal ដែលគ្រប់វត្ថុនៃធម្មជាតិមាន fractal ឬឆ្លងកាត់។ ដំណាក់កាលប្រភាគ? មានក្រុមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រពីរក្រុមដែលឆ្លើយសំណួរនេះយ៉ាងពិតប្រាកដ។ ក្រុមទី 1 ("រ៉ាឌីកាល់" អ្នកបង្កើតថ្មី) គាំទ្រនិក្ខេបបទអំពីសកលនៃ fractal ។ ក្រុមទីពីរ ("អ្នកអភិរក្ស") បដិសេធនិក្ខេបបទនេះ ប៉ុន្តែនៅតែអះអាងថា មិនមែនគ្រប់វត្ថុនៃធម្មជាតិមាន fractal នោះទេ ប៉ុន្តែ fractal អាចត្រូវបានរកឃើញនៅគ្រប់ផ្នែកនៃធម្មជាតិ។

វិទ្យាសាស្រ្តសម័យទំនើបបានសម្របខ្លួនដោយជោគជ័យនូវទ្រឹស្តីនៃ fractal សម្រាប់ផ្នែកផ្សេងៗនៃចំណេះដឹង។ ដូច្នេះនៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ទ្រឹស្តីនៃ fractal ត្រូវបានប្រើក្នុងការវិភាគបច្ចេកទេសនៃទីផ្សារហិរញ្ញវត្ថុដែលមាននៅក្នុងប្រទេសអភិវឌ្ឍន៍នៃពិភពលោកអស់រយៈពេលជាងមួយរយឆ្នាំមកហើយ។ ជាលើកដំបូង ឱកាសដើម្បីទស្សន៍ទាយពីឥរិយាបទបន្ថែមទៀតនៃតម្លៃភាគហ៊ុន ប្រសិនបើទិសដៅរបស់វាសម្រាប់រយៈពេលថ្មីៗនេះត្រូវបានគេដឹងនោះ ត្រូវបានកត់សម្គាល់ដោយ C. Dow ។ ក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1990 បន្ទាប់ពីការបោះពុម្ពផ្សាយអត្ថបទមួយចំនួន Dow បានកត់សម្គាល់ឃើញថាតម្លៃភាគហ៊ុនមានការប្រែប្រួលតាមវដ្តៈ បន្ទាប់ពីការកើនឡើងដ៏យូរ ការធ្លាក់ចុះដ៏យូរមួយបន្ទាប់មកម្តងទៀតកើនឡើង និងធ្លាក់ចុះ។

នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សរ៍ទី 20 នៅពេលដែលពិភពវិទ្យាសាស្ត្រទាំងមូលចាប់អារម្មណ៍នឹងទ្រឹស្ដីដែលទើបលេចចេញថ្មីនៃ fractal អ្នកហិរញ្ញវត្ថុអាមេរិកដ៏ល្បីម្នាក់ទៀតគឺ R. Elliot បានស្នើទ្រឹស្តីរបស់គាត់អំពីឥរិយាបទតម្លៃភាគហ៊ុនដែលផ្អែកលើការប្រើប្រាស់ fractal ។ ទ្រឹស្តី។ Elliot បានបន្តពីការពិតដែលថាធរណីមាត្រនៃ fractal កើតឡើងមិនត្រឹមតែនៅក្នុងធម្មជាតិរស់នៅប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏នៅក្នុងដំណើរការសង្គមផងដែរ។ គាត់ក៏បានចាត់ទុកការជួញដូរភាគហ៊ុននៅលើផ្សារហ៊ុនជាដំណើរការសង្គម។

មូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីគឺជាអ្វីដែលគេហៅថាដ្យាក្រាមរលក។ ទ្រឹស្ដីនេះធ្វើឱ្យវាអាចទស្សន៍ទាយឥរិយាបថបន្ថែមទៀតនៃនិន្នាការតម្លៃដោយផ្អែកលើចំណេះដឹងនៃប្រវត្តិសាស្រ្តនៃអាកប្បកិរិយារបស់វានិងអនុវត្តតាមច្បាប់សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍនៃអាកប្បកិរិយាផ្លូវចិត្តដ៏ធំ។

ទ្រឹស្ដីនៃ fractal បានរកឃើញការអនុវត្តផងដែរនៅក្នុងជីវវិទ្យា។ ភាគច្រើន ប្រសិនបើមិនមែនទាំងអស់ទេ រចនាសម្ព័ន្ធ និងប្រព័ន្ធជីវសាស្រ្តនៃរុក្ខជាតិ សត្វ និងមនុស្សមានលក្ខណៈប្រភាគ ដែលមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នាមួយចំនួនដូចជា៖ ប្រព័ន្ធសរសៃប្រសាទ ប្រព័ន្ធសួត ប្រព័ន្ធឈាមរត់ និងប្រព័ន្ធឡាំហ្វាទិច។ល។ ភ័ស្តុតាងបានលេចឡើងថាការវិវត្តនៃដុំសាច់សាហាវក៏ដំណើរការទៅតាមគោលការណ៍ fractal ។ ដោយពិចារណាលើគោលការណ៍នៃភាពស្និទ្ធស្នាលនឹងខ្លួនឯង និងការចុះសម្រុងគ្នានៃ fractal បញ្ហាដែលមិនអាចដោះស្រាយបានមួយចំនួននៃការវិវត្តន៍នៃពិភពសរីរាង្គអាចត្រូវបានពន្យល់។ វត្ថុ Fractal ក៏ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយលក្ខណៈដូចជាការបង្ហាញពីការបំពេញបន្ថែម។ ការបំពេញបន្ថែមនៅក្នុងជីវគីមីគឺជាការឆ្លើយឆ្លងគ្នាទៅវិញទៅមកនៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធគីមីនៃ macromolecules ពីរដែលធានានូវអន្តរកម្មរបស់ពួកគេ - ការផ្គូផ្គងនៃ DNA ពីរខ្សែ ការភ្ជាប់អង់ស៊ីមជាមួយស្រទាប់ខាងក្រោម អង់ទីហ្សែនជាមួយអង្គបដិប្រាណ។ រចនាសម្ព័ន្ធបំពេញបន្ថែមត្រូវគ្នាដូចជាកូនសោរចាក់សោរ (សព្វវចនាធិប្បាយ Cyril និង Methodius)។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានកាន់កាប់ដោយខ្សែសង្វាក់ DNA polynucleotide ។

មួយនៃកម្មវិធីដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតនៃ fractal គឺនៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ ទីមួយ វាគឺជាការបង្ហាប់ fractal នៃរូបភាព និងទីពីរ ការសាងសង់ទេសភាព ដើមឈើ រុក្ខជាតិ និងការបង្កើតវាយនភាព fractal ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ សម្រាប់ការបង្ហាប់ ការកត់ត្រាព័ត៌មាន ការកើនឡើងនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃ fractal គឺចាំបាច់ ហើយសម្រាប់ការអានរបស់វារៀងគ្នា ការកើនឡើងស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។

គុណសម្បត្តិនៃក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាប់រូបភាព fractal គឺទំហំតូចបំផុតនៃឯកសារដែលបានខ្ចប់ និងពេលវេលាសង្គ្រោះរូបភាពខ្លី។ រូបភាពដែលខ្ចប់ដោយប្រភាគអាចត្រូវបានធ្វើមាត្រដ្ឋានដោយគ្មានរូបរាងនៃភីកសែល។ ប៉ុន្តែដំណើរការបង្ហាប់ត្រូវចំណាយពេលយូរ ហើយជួនកាលមានរយៈពេលរាប់ម៉ោង។ ក្បួនដោះស្រាយការវេចខ្ចប់ fractal ដែលបាត់បង់អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់កម្រិតនៃការបង្ហាប់ដែលស្រដៀងទៅនឹងទម្រង់ jpeg ។ ក្បួនដោះស្រាយគឺផ្អែកលើការស្វែងរកផ្នែកធំនៃរូបភាពស្រដៀងនឹងផ្នែកតូចៗមួយចំនួន។ ហើយមានតែព័ត៌មានអំពីភាពស្រដៀងគ្នានៃផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយទៀតប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសរសេរទៅកាន់ឯកសារលទ្ធផល។ នៅពេលបង្ហាប់ ក្រឡាចត្រង្គការ៉េជាធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់ (បំណែកគឺជាការ៉េ) ដែលនាំឱ្យមានភាពជ្រុងបន្តិចនៅពេលស្តាររូបភាពឡើងវិញ ក្រឡាចត្រង្គរាងប្រាំមួយគឺមិនមានគុណវិបត្តិបែបនេះទេ។

ក្នុង​ចំណោម​ស្នាដៃ​អក្សរសាស្ត្រ​គឺ​ជា​ស្នាដៃ​ដែល​មាន​លក្ខណៈ​ជា​អត្ថបទ រចនាសម្ព័ន្ធ ឬ​ន័យ​ធៀប។ នៅក្នុង fractal អត្ថបទ ធាតុអត្ថបទអាចធ្វើម្តងទៀតគ្មានទីបញ្ចប់។ Fractal អត្ថបទរួមមានដើមឈើគ្មានដែនកំណត់ដែលមានលក្ខណៈដូចគ្នាបេះបិទនឹងខ្លួនវាពីការនិយាយឡើងវិញណាមួយ ("បូជាចារ្យមានឆ្កែ ... ", "រឿងប្រៀបប្រដូចរបស់ទស្សនវិទូដែលសុបិនថាគាត់ជាមេអំបៅដែលសុបិនថានាងជាទស្សនវិទូដែលសុបិន ... ", “សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​គឺ​មិន​ពិត​ថា​សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​គឺ​ពិត​ថា​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​គឺ​មិន​ពិត…”); អត្ថបទ​គ្មាន​ទី​បញ្ចប់​ដែល​មាន​ភាព​ខុស​ប្លែក​គ្នា ("Peggy មាន​សត្វ​ពពែ​រីករាយ...") និង​អត្ថបទ​ដែល​មាន​ផ្នែក​បន្ថែម ("ផ្ទះ​ដែល Jack បាន​សាងសង់")។

នៅក្នុង fractal រចនាសម្ព័ន្ធ គ្រោងការណ៍អត្ថបទមានសក្តានុពល fractal ។ អត្ថបទដែលមានរចនាសម្ព័ន្ធបែបនេះត្រូវបានរៀបចំតាមគោលការណ៍ដូចខាងក្រោមៈ wreath of sonnets (15 poems) wreath of sonnets (211 poems) wreaths of wreaths of sonnets (2455 poems); "រឿងក្នុងរឿងមួយ" ("សៀវភៅមួយពាន់មួយយប់", Ya. Pototsky "The Manuscript Found in Saragossa"); បុព្វកថាលាក់ភាពជាអ្នកនិពន្ធ (W. Eco "ឈ្មោះនៃផ្កាកុលាប") ។

គោលគំនិតនៃធរណីមាត្រ fractal និង fractal ដែលបានលេចឡើងនៅចុងទសវត្សរ៍ទី 70 បានក្លាយជាយ៉ាងរឹងមាំនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃរបស់អ្នកគណិតវិទូ និងអ្នកសរសេរកម្មវិធីចាប់តាំងពីពាក់កណ្តាលទសវត្សរ៍ទី 80 ។ ពាក្យ fractal មកពីឡាតាំង fractus ហើយនៅក្នុងការបកប្រែមានន័យថាមានបំណែក។ វាត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Benoit Mandelbrot ក្នុងឆ្នាំ 1975 ដើម្បីសំដៅទៅលើរចនាសម្ព័ន្ធមិនទៀងទាត់ ប៉ុន្តែស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ដែលគាត់បានសិក្សា។ កំណើតនៃធរណីមាត្រ fractal ជាធម្មតាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបោះពុម្ពសៀវភៅរបស់ Mandelbrot 'The Fractal Geometry of Nature' ក្នុងឆ្នាំ 1977 ។ ស្នាដៃរបស់គាត់បានប្រើលទ្ធផលវិទ្យាសាស្ត្ររបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀតដែលបានធ្វើការនៅកំឡុងឆ្នាំ 1875-1925 ក្នុងវិស័យដូចគ្នា (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff ប៉ុន្តែមានតែនៅក្នុងពេលវេលារបស់យើងប៉ុណ្ណោះដែលអាចបញ្ចូលគ្នានូវស្នាដៃរបស់ពួកគេទៅជាប្រព័ន្ធតែមួយ។
តួនាទីរបស់ fractal នៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រសព្វថ្ងៃនេះគឺធំណាស់។ ពួកវាមកជួយសង្គ្រោះ ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលដែលវាត្រូវបានទាមទារ ដោយមានជំនួយពីមេគុណជាច្រើន ដើម្បីកំណត់បន្ទាត់ និងផ្ទៃនៃរូបរាងដ៏ស្មុគស្មាញមួយ។ តាមទស្សនៈនៃក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ ធរណីមាត្រ fractal គឺមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់ការបង្កើតពពកសិប្បនិម្មិត ភ្នំ និងផ្ទៃសមុទ្រ។ តាមការពិត វិធីមួយត្រូវបានគេរកឃើញដើម្បីងាយស្រួលតំណាងឱ្យវត្ថុដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដ ដែលមានលក្ខណៈស្រដៀងទៅនឹងវត្ថុធម្មជាតិ។
លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់មួយនៃ fractal គឺភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ ក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុត ផ្នែកតូចមួយនៃ fractal មានព័ត៌មានអំពី fractal ទាំងមូល។ និយមន័យនៃ fractal ដែលផ្តល់ឱ្យដោយ Mandelbrot មានដូចខាងក្រោម: "Fractal គឺជារចនាសម្ព័ន្ធដែលមានផ្នែកដែលមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នាទៅនឹងទាំងមូល" ។

មានវត្ថុគណិតវិទ្យាមួយចំនួនធំដែលហៅថា Fractal (ត្រីកោណ Sierpinski, Koch snowflake, Peano curve, Mandelbrot set និង Lorentz attractors)។ Fractals ពិពណ៌នាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដ៏អស្ចារ្យនៃបាតុភូតរូបវន្ត និងទម្រង់នៃពិភពពិតជាច្រើន៖ ភ្នំ ពពក ចរន្តច្របូកច្របល់ (vortex) ឫស មែកឈើ និងស្លឹករបស់ដើមឈើ សរសៃឈាម ដែលនៅឆ្ងាយពីគ្នាទៅនឹងរាងធរណីមាត្រសាមញ្ញ។ ជាលើកដំបូង Benoit Mandelbrot បាននិយាយអំពីធម្មជាតិប្រភាគនៃពិភពលោករបស់យើងនៅក្នុងការងាររបស់គាត់ "ធរណីមាត្រ Fractal នៃធម្មជាតិ" ។
ពាក្យ Fractal ត្រូវបានណែនាំដោយ Benoit Mandelbrot ក្នុងឆ្នាំ 1977 នៅក្នុងការងារជាមូលដ្ឋានរបស់គាត់ "Fractals, Form, Chaos and Dimension" ។ យោងតាមលោក Mandelbrot ពាក្យ fractal មកពីពាក្យឡាតាំង fractus - ប្រភាគនិង frangere - ដើម្បីបំបែកដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីខ្លឹមសារនៃ fractal ជា "ខូច" សំណុំមិនទៀងទាត់។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃ fractal ។

ដើម្បីតំណាងឱ្យភាពខុសគ្នាទាំងមូលនៃ fractal វាជាការងាយស្រួលក្នុងការងាកទៅរកចំណាត់ថ្នាក់ដែលទទួលយកជាទូទៅរបស់ពួកគេ។ មានបីថ្នាក់នៃ fractal ។

1. fractal ធរណីមាត្រ។

Fractals នៃថ្នាក់នេះគឺជាក់ស្តែងបំផុត។ នៅក្នុងករណីពីរវិមាត្រ ពួកគេត្រូវបានទទួលដោយប្រើប៉ូលីលីន (ឬផ្ទៃនៅក្នុងករណីបីវិមាត្រ) ហៅថាម៉ាស៊ីនភ្លើង។ នៅក្នុងជំហានមួយនៃក្បួនដោះស្រាយ ផ្នែកនីមួយៗដែលបង្កើតជាបន្ទាត់ដែលខូចត្រូវបានជំនួសដោយម៉ាស៊ីនបង្កើតបន្ទាត់ដែលខូចក្នុងមាត្រដ្ឋានសមស្រប។ ជាលទ្ធផលនៃពាក្យដដែលៗគ្មានទីបញ្ចប់នៃនីតិវិធីនេះ fractal ធរណីមាត្រត្រូវបានទទួល។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាវត្ថុមួយក្នុងចំនោមវត្ថុ fractal បែបនេះ - ខ្សែកោង Koch triadic ។

ការសាងសង់ខ្សែកោង triadic Koch ។

យកផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់នៃប្រវែង 1. ចូរហៅវា។ គ្រាប់ពូជ. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកគ្រាប់ពូជជាបីផ្នែកស្មើគ្នានៃប្រវែង 1/3 បោះចោលផ្នែកកណ្តាលហើយជំនួសវាដោយខ្សែដែលខូចនៃតំណភ្ជាប់ពីរនៃប្រវែង 1/3 ។

យើងទទួលបានខ្សែដែលខូចដែលមាន 4 តំណភ្ជាប់ដែលមានប្រវែងសរុប 4/3 - អ្វីដែលគេហៅថា ជំនាន់ដំបូង.

ដើម្បីបន្តទៅជំនាន់ក្រោយនៃខ្សែកោង Koch វាចាំបាច់ត្រូវបោះបង់ និងជំនួសផ្នែកកណ្តាលនៃតំណភ្ជាប់នីមួយៗ។ ដូច្នោះហើយប្រវែងនៃជំនាន់ទីពីរនឹងមាន 16/9, ទីបី - 64/27 ។ ប្រសិនបើអ្នកបន្តដំណើរការនេះរហូតដល់គ្មានទីបញ្ចប់ នោះលទ្ធផលនឹងជាខ្សែកោង triadic Koch ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាខ្សែកោង triadic Koch ដ៏បរិសុទ្ធ ហើយរកមើលថាហេតុអ្វីបានជា fractals ត្រូវបានគេហៅថា "បិសាច" ។

ទីមួយ ខ្សែកោងនេះមិនមានប្រវែងទេ - ដូចដែលយើងបានឃើញជាមួយនឹងចំនួនជំនាន់ ប្រវែងរបស់វាមានទំនោរទៅគ្មានដែនកំណត់។

ទីពីរ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសាងសង់តង់សង់ទៅនឹងខ្សែកោងនេះ - ចំនុចនីមួយៗរបស់វាគឺជាចំនុចបញ្ឆេះដែលដេរីវេមិនមាន - ខ្សែកោងនេះមិនរលោងទេ។

ប្រវែង និងភាពរលោង គឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃខ្សែកោង ដែលត្រូវបានសិក្សាទាំងដោយធរណីមាត្រ Euclidean និងដោយធរណីមាត្រ Lobachevsky និង Riemann ។ វិធីសាស្រ្តប្រពៃណីនៃការវិភាគធរណីមាត្របានប្រែទៅជាមិនអាចអនុវត្តបានចំពោះខ្សែកោង triadic Koch ដូច្នេះខ្សែកោង Koch ប្រែទៅជាបិសាច - "បិសាច" ក្នុងចំណោមប្រជាជនរលោងនៃធរណីមាត្របុរាណ។

ការសាងសង់ "នាគ" Harter-Hateway ។

ដើម្បីទទួលបានវត្ថុប្រភាគមួយទៀត អ្នកត្រូវផ្លាស់ប្តូរច្បាប់សាងសង់។ អនុញ្ញាតឱ្យធាតុបង្កើតជាផ្នែកស្មើគ្នាពីរដែលតភ្ជាប់នៅមុំខាងស្តាំ។ នៅក្នុងជំនាន់សូន្យ យើងជំនួសផ្នែកឯកតាជាមួយនឹងធាតុបង្កើតនេះ ដើម្បីឱ្យមុំស្ថិតនៅពីលើ។ យើងអាចនិយាយបានថាជាមួយនឹងការជំនួសបែបនេះការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងពាក់កណ្តាលនៃតំណភ្ជាប់កើតឡើង។ នៅពេលសាងសង់មនុស្សជំនាន់ក្រោយ ច្បាប់ត្រូវបានអនុវត្ត៖ តំណភ្ជាប់ដំបូងបំផុតនៅខាងឆ្វេងត្រូវបានជំនួសដោយធាតុបង្កើត ដូច្នេះពាក់កណ្តាលនៃតំណភ្ជាប់ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅខាងឆ្វេងនៃទិសដៅនៃចលនា ហើយនៅពេលជំនួសតំណភ្ជាប់បន្ទាប់។ ទិសដៅនៃការផ្លាស់ទីលំនៅនៃចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែកត្រូវតែឆ្លាស់គ្នា។ តួលេខនេះបង្ហាញពីជំនាន់ពីរបីដំបូង និងជំនាន់ទី 11 នៃខ្សែកោងដែលបានសាងសង់ឡើងតាមគោលការណ៍ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ។ ខ្សែកោង​ដែល​មាន​ទំនោរ​ទៅ​រក​ភាព​គ្មាន​កំណត់​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​នាគ Harter-Hateway ។
នៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ ការប្រើ fractal ធរណីមាត្រគឺចាំបាច់នៅពេលទទួលបានរូបភាពដើមឈើ និងគុម្ពោត។ ប្រភាគធរណីមាត្រពីរវិមាត្រត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្កើតវាយនភាពបីវិមាត្រ (លំនាំលើផ្ទៃវត្ថុ)។

2. ពិជគណិត fractal

នេះគឺជាក្រុមធំបំផុតនៃ fractal ។ ពួកវាត្រូវបានទទួលដោយប្រើដំណើរការមិនលីនេអ៊ែរក្នុងចន្លោះ n-dimensional ។ ដំណើរការពីរវិមាត្រត្រូវបានសិក្សាច្រើនបំផុត។ ការបកស្រាយដំណើរការដដែលៗដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរជាប្រព័ន្ធឌីណាមិកដាច់ដោយឡែក មនុស្សម្នាក់អាចប្រើវាក្យស័ព្ទនៃទ្រឹស្ដីនៃប្រព័ន្ធទាំងនេះ៖ ដំណាក់កាលបញ្ឈរ ដំណើរការស្ថានភាពស្ថិរភាព អ្នកទាក់ទាញ។ល។
វាត្រូវបានគេដឹងថាប្រព័ន្ធថាមវន្តមិនលីនេអ៊ែរមានស្ថានភាពស្ថិរភាពជាច្រើន។ ស្ថានភាពដែលប្រព័ន្ធថាមវន្តរកឃើញដោយខ្លួនឯងបន្ទាប់ពីចំនួនជាក់លាក់នៃការធ្វើម្តងទៀតអាស្រ័យលើស្ថានភាពដំបូងរបស់វា។ ដូច្នេះរដ្ឋស្ថិរភាពនីមួយៗ (ឬដូចដែលពួកគេនិយាយថាអ្នកទាក់ទាញ) មានតំបន់ជាក់លាក់មួយនៃរដ្ឋដំបូងដែលប្រព័ន្ធនឹងចាំបាច់ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងរដ្ឋចុងក្រោយដែលត្រូវបានពិចារណា។ ដូច្នេះចន្លោះដំណាក់កាលនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានបែងចែកទៅជាតំបន់នៃការទាក់ទាញរបស់អ្នកទាក់ទាញ។ ប្រសិនបើលំហដំណាក់កាលមានពីរវិមាត្រ នោះដោយការលាបពណ៌តំបន់ទាក់ទាញដោយពណ៌ផ្សេងគ្នា មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានរូបភាពដំណាក់កាលពណ៌នៃប្រព័ន្ធនេះ (ដំណើរការដដែលៗ)។ តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរក្បួនដោះស្រាយការជ្រើសរើសពណ៌ អ្នកអាចទទួលបានគំរូប្រភាគដ៏ស្មុគស្មាញជាមួយនឹងលំនាំចម្រុះពណ៌។ ការភ្ញាក់ផ្អើលមួយសម្រាប់គណិតវិទូគឺសមត្ថភាពក្នុងការបង្កើតរចនាសម្ព័ន្ធដែលមិនស្មុគស្មាញបំផុតដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយបុព្វកាល។

ឈុត Mandelbrot ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាឈុត Mandelbrot ។ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការសាងសង់របស់វាគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយផ្អែកលើកន្សោមដដែលៗសាមញ្ញ៖ Z = Z[i] * Z[i] + Cកន្លែងណា ហ្សីនិង គគឺជាអថេរស្មុគស្មាញ។ ការធ្វើម្តងទៀតត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ចំណុចចាប់ផ្តើមនីមួយៗពីតំបន់ចតុកោណកែងឬការ៉េ - សំណុំរងនៃយន្តហោះស្មុគស្មាញ។ ដំណើរការដដែលៗបន្តរហូតដល់ Z[i]នឹងមិនហួសពីរង្វង់នៃកាំ 2 ដែលជាចំណុចកណ្តាលដែលស្ថិតនៅចំណុច (0,0) (នេះមានន័យថាអ្នកទាក់ទាញនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តគឺនៅកម្រិតគ្មានកំណត់) ឬបន្ទាប់ពីការធ្វើឡើងវិញមួយចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ (ឧទាហរណ៍ , 200-500) Z[i]បង្រួបបង្រួមទៅចំណុចមួយចំនួននៅលើរង្វង់។ អាស្រ័យលើចំនួននៃការធ្វើម្តងទៀតក្នុងអំឡុងពេលនោះ។ Z[i]នៅសល់ក្នុងរង្វង់ អ្នកអាចកំណត់ពណ៌នៃចំណុច គ(ប្រសិនបើ Z[i]នៅសល់ក្នុងរង្វង់សម្រាប់ចំនួនច្រើនគ្រប់គ្រាន់នៃការធ្វើម្តងទៀត ដំណើរការដដែលៗឈប់ ហើយចំណុច raster នេះត្រូវបានលាបពណ៌ខ្មៅ)។

3. Stochastic fractal

ថ្នាក់ fractal ល្បីមួយទៀតគឺ stochastic fractal ដែលត្រូវបានទទួលប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាមួយរបស់វាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយចៃដន្យនៅក្នុងដំណើរការម្តងហើយម្តងទៀត។ លទ្ធផលនេះធ្វើឱ្យវត្ថុស្រដៀងនឹងវត្ថុធម្មជាតិ - ដើមឈើមិនស្មើគ្នា ឆ្នេរសមុទ្រចូលបន្ទាត់។ល។ Fractal stochastic ពីរវិមាត្រត្រូវបានប្រើក្នុងការធ្វើគំរូលើផ្ទៃដី និងផ្ទៃសមុទ្រ។
មានការចាត់ថ្នាក់ផ្សេងទៀតនៃ fractal ឧទាហរណ៍ ការបែងចែក fractal ទៅជាកត្តាកំណត់ (ពិជគណិត និងធរណីមាត្រ) និងមិនមែនកំណត់ (stochastic) ។

អំពីការប្រើប្រាស់ fractal

ជាដំបូង fractal គឺជាផ្នែកមួយនៃសិល្បៈគណិតវិទ្យាដ៏អស្ចារ្យ នៅពេលដែលដោយមានជំនួយពីរូបមន្ត និងក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញបំផុត រូបភាពនៃភាពស្រស់ស្អាត និងភាពស្មុគស្មាញមិនធម្មតាត្រូវបានទទួល! នៅក្នុងវណ្ឌវង្កនៃរូបភាពដែលបានសាងសង់ ស្លឹក ដើមឈើ និងផ្កាត្រូវបានទាយជាញឹកញាប់។

មួយនៃកម្មវិធីដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតនៃ fractal គឺនៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។ ទីមួយ វាគឺជាការបង្ហាប់ fractal នៃរូបភាព និងទីពីរ ការសាងសង់ទេសភាព ដើមឈើ រុក្ខជាតិ និងការបង្កើតវាយនភាព fractal ។ រូបវិទ្យា និងមេកានិចទំនើបទើបតែចាប់ផ្តើមសិក្សាពីឥរិយាបទនៃវត្ថុប្រភាគ។ ហើយជាការពិតណាស់ fractal ត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់នៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។
គុណសម្បត្តិនៃក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាប់រូបភាព fractal គឺទំហំតូចបំផុតនៃឯកសារដែលបានខ្ចប់ និងពេលវេលាសង្គ្រោះរូបភាពខ្លី។ រូបភាពដែលខ្ចប់ដោយប្រភាគអាចត្រូវបានធ្វើមាត្រដ្ឋានដោយគ្មានរូបរាងនៃភីកសែល។ ប៉ុន្តែដំណើរការបង្ហាប់ត្រូវចំណាយពេលយូរ ហើយជួនកាលមានរយៈពេលរាប់ម៉ោង។ ក្បួនដោះស្រាយការវេចខ្ចប់ fractal ដែលបាត់បង់អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់កម្រិតនៃការបង្ហាប់ដែលស្រដៀងទៅនឹងទម្រង់ jpeg ។ ក្បួនដោះស្រាយគឺផ្អែកលើការស្វែងរកបំណែកធំនៃរូបភាពស្រដៀងនឹងបំណែកតូចៗមួយចំនួន។ ហើយមានតែបំណែកណាដែលស្រដៀងនឹងដែលត្រូវបានសរសេរទៅឯកសារលទ្ធផល។ នៅពេលបង្ហាប់ ក្រឡាចត្រង្គការ៉េជាធម្មតាត្រូវបានប្រើប្រាស់ (បំណែកគឺជាការ៉េ) ដែលនាំឱ្យមានភាពជ្រុងបន្តិចនៅពេលស្តាររូបភាពឡើងវិញ ក្រឡាចត្រង្គរាងប្រាំមួយគឺមិនមានគុណវិបត្តិបែបនេះទេ។
Iterated បានបង្កើតទម្រង់រូបភាពថ្មី "Sting" ដែលរួមបញ្ចូលគ្នានូវ fractal និង "wave" (ដូចជា jpeg) ការបង្ហាប់ដែលគ្មានការបាត់បង់។ ទម្រង់ថ្មីអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើតរូបភាពជាមួយនឹងលទ្ធភាពនៃការធ្វើមាត្រដ្ឋានគុណភាពខ្ពស់ជាបន្តបន្ទាប់ ហើយទំហំឯកសារក្រាហ្វិកគឺ 15-20% នៃទំហំរូបភាពដែលមិនបានបង្ហាប់។
ទំនោរនៃ fractal មើលទៅដូចជាភ្នំ ផ្កា និងដើមឈើត្រូវបានទាញយកដោយអ្នកកែសម្រួលក្រាហ្វិកមួយចំនួន ឧទាហរណ៍ ពពក fractal ពី 3D studio MAX ភ្នំ fractal នៅក្នុង World Builder ។ ដើមឈើ Fractal ភ្នំ និងទេសភាពទាំងមូលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តសាមញ្ញ ងាយស្រួលក្នុងការសរសេរកម្មវិធី និងមិនដាច់ចេញពីគ្នាទៅជាត្រីកោណ និងគូបដាច់ដោយឡែកនៅពេលចូលទៅជិត។
អ្នកមិនអាចព្រងើយកន្តើយចំពោះការប្រើប្រាស់ fractal នៅក្នុងគណិតវិទ្យាខ្លួនឯងបានទេ។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីសំណុំ សំណុំ Cantor បង្ហាញឱ្យឃើញពីអត្ថិភាពនៃសំណុំក្រាស់ឥតខ្ចោះ។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីរង្វាស់ មុខងារ "Cantor ladder" ដោយខ្លួនឯងគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏ល្អនៃមុខងារចែកចាយរង្វាស់ឯកវចនៈ។
នៅក្នុងមេកានិច និងរូបវិទ្យា Fractal ត្រូវបានប្រើដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិពិសេសរបស់វា ដើម្បីធ្វើឡើងវិញនូវគ្រោងនៃវត្ថុធម្មជាតិជាច្រើន។ Fractals អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប៉ាន់ស្មានដើមឈើ ផ្ទៃភ្នំ និងការប្រេះស្រាំជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវខ្ពស់ជាងការប៉ាន់ស្មានជាមួយផ្នែកបន្ទាត់ ឬពហុកោណ (ជាមួយនឹងបរិមាណដូចគ្នានៃទិន្នន័យដែលបានរក្សាទុក)។ គំរូ Fractal ដូចជាវត្ថុធម្មជាតិមាន "ភាពរដុប" ហើយទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានរក្សាទុកដោយការកើនឡើងដ៏ធំតាមអំពើចិត្តនៅក្នុងគំរូ។ វត្តមាននៃរង្វាស់ឯកសណ្ឋាននៅលើ fractal ធ្វើឱ្យវាអាចអនុវត្តការរួមបញ្ចូល ទ្រឹស្តីសក្តានុពល ដើម្បីប្រើពួកវាជំនួសឱ្យវត្ថុស្តង់ដារនៅក្នុងសមីការដែលបានសិក្សារួចហើយ។
ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្ត fractal ភាពវឹកវរឈប់ទៅជាជំងឺពណ៌ខៀវហើយទទួលបានរចនាសម្ព័ន្ធដ៏ល្អ។ វិទ្យាសាស្ត្រ Fractal នៅក្មេងនៅឡើយ ហើយមានអនាគតដ៏អស្ចារ្យនៅខាងមុខ។ ភាពស្រស់ស្អាតនៃ fractals គឺនៅឆ្ងាយពីការហត់នឿយហើយនឹងនៅតែផ្តល់ឱ្យយើងនូវស្នាដៃជាច្រើន - អ្នកដែលរីករាយនឹងភ្នែកនិងអ្នកដែលនាំមកនូវសេចក្តីរីករាយពិតប្រាកដដល់ចិត្ត។

អំពីការកសាង fractal

វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់

ក្រឡេកមើលរូបភាពនេះ វាមិនពិបាកក្នុងការយល់ពីរបៀបដែល fractal ស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង (ក្នុងករណីនេះ សាជីជ្រុង Sierpinski) អាចត្រូវបានសាងសង់។ យើងត្រូវយកពីរ៉ាមីតធម្មតា (tetrahedron) បន្ទាប់មកកាត់កណ្តាលរបស់វា (octahedron) ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានពីរ៉ាមីតតូចៗចំនួនបួន។ ជាមួយនឹងពួកវានីមួយៗយើងធ្វើប្រតិបត្តិការដូចគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ។ នេះ​ជា​ការ​ពន្យល់​បែប​ឆោតល្ងង់ ប៉ុន្តែ​ជា​ការ​ពន្យល់។

ចូរយើងពិចារណាអំពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រនេះឱ្យកាន់តែតឹងរ៉ឹង។ សូមឱ្យមានប្រព័ន្ធ IFS មួយចំនួន, ឧ។ ប្រព័ន្ធផែនទីបង្រួម ស=(S 1 ,...,S m ) S i:R n -> R n (ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ពីរ៉ាមីតរបស់យើង ការគូសវាសមើលទៅដូច S i (x)=1/2*x+o i ដែលជាកន្លែងដែល o i នៅ ចំនុចកំពូលនៃ tetrahedron, i=1,..,4) ។ បន្ទាប់មកយើងជ្រើសរើសសំណុំតូច A 1 ក្នុង R n (ក្នុងករណីរបស់យើងយើងជ្រើសរើស tetrahedron) ។ ហើយ​យើង​កំណត់​ដោយ​ការ​បញ្ចូល​លំដាប់​នៃ​សំណុំ A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាសំណុំ A k ជាមួយនឹងការកើនឡើង k ប្រហាក់ប្រហែលនឹងការទាក់ទាញដែលត្រូវការនៃប្រព័ន្ធ ស.

ចំណាំថារាល់ការធ្វើឡើងវិញទាំងនេះគឺជាកត្តាទាក់ទាញ ប្រព័ន្ធនៃមុខងារដដែលៗ(ពាក្យជាភាសាអង់គ្លេស DigraphIFS, RIFSនិងផងដែរ។ IFS ដឹកនាំក្រាហ្វិក) ដូច្នេះហើយ ពួកវាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតជាមួយកម្មវិធីរបស់យើង។

ការសាងសង់ដោយចំណុចឬវិធីសាស្រ្តប្រូបាប៊ីលីតេ

នេះ​ជា​វិធីសាស្ត្រ​ងាយស្រួល​បំផុត​ក្នុង​ការ​អនុវត្ត​លើ​កុំព្យូទ័រ។ សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ សូមពិចារណាអំពីករណីនៃសំណុំ affine ដោយខ្លួនឯងផ្ទះល្វែង។ ដូច្នេះសូមឱ្យ (ស

) គឺជាប្រព័ន្ធនៃការកន្ត្រាក់អារម្មណ៍មួយចំនួន។ ផែនទី S

តំណាងដូចជា៖ ស

ម៉ាទ្រីសថេរនៃទំហំ 2x2 និង o

ជួរឈរវ៉ិចទ័រពីរវិមាត្រ។

• ចូរយកចំណុចថេរនៃការគូសផែនទី S 1 ជាចំណុចចាប់ផ្តើម៖
  x:=o1;
  នៅទីនេះយើងប្រើការពិតដែលថាចំណុចកន្ត្រាក់ថេរទាំងអស់ S 1,..,S m ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ fractal ។ ចំណុចបំពានអាចត្រូវបានជ្រើសរើសជាចំណុចចាប់ផ្តើម ហើយលំដាប់នៃចំណុចដែលបង្កើតដោយវានឹងបង្រួមទៅជាប្រភាគ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកចំណុចបន្ថែមមួយចំនួននឹងបង្ហាញនៅលើអេក្រង់។
• ចំណាំចំណុចបច្ចុប្បន្ន x=(x 1 ,x 2) នៅលើអេក្រង់៖
  putpixel(x 1,x 2,15);
• យើងជ្រើសរើសលេខ j ដោយចៃដន្យពី 1 ដល់ m ហើយគណនាឡើងវិញនូវកូអរដោនេនៃចំនុច x:
  j:=ចៃដន្យ(m)+1;
  x:=S j(x);
• យើង​ទៅ​ជំហាន​ទី 2 ឬ​ប្រសិន​បើ​យើង​បាន​ធ្វើ​ចំនួន​ច្រើន​គ្រប់គ្រាន់​ហើយ​នោះ​យើង​ឈប់។

ចំណាំ។ប្រសិនបើមេគុណនៃការបង្ហាប់នៃផែនទី S i ខុសគ្នានោះ ប្រភាគនឹងត្រូវបានបំពេញដោយចំនុចមិនស្មើគ្នា។ ប្រសិនបើការគូសវាស S i មានភាពស្រដៀងគ្នា នេះអាចជៀសវាងបានដោយការធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញបន្តិចនៃក្បួនដោះស្រាយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅជំហានទី 3 នៃក្បួនដោះស្រាយលេខ j ពី 1 ដល់ m ត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p 1 = r 1 s ,.., p m = r m s ដែល r i បង្ហាញពីមេគុណនៃការបង្រួមនៃផែនទី S i ។ ហើយលេខ s (ហៅថាវិមាត្រភាពស្រដៀងគ្នា) ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការ r 1 s +...+r m s =1 ។ ជាឧទាហរណ៍ ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន។

អំពី fractal និងក្បួនដោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

Fractal មកពីគុណនាមឡាតាំង "fractus" ហើយនៅក្នុងការបកប្រែមានន័យថាមានបំណែក ហើយកិរិយាស័ព្ទឡាតាំងដែលត្រូវគ្នា "frangere" មានន័យថាបំបែក នោះគឺដើម្បីបង្កើតបំណែកមិនទៀងទាត់។ គោលគំនិតនៃធរណីមាត្រ fractal និង fractal ដែលបានលេចឡើងនៅចុងទសវត្សរ៍ទី 70 បានក្លាយជាយ៉ាងរឹងមាំនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃរបស់អ្នកគណិតវិទូ និងអ្នកសរសេរកម្មវិធីចាប់តាំងពីពាក់កណ្តាលទសវត្សរ៍ទី 80 ។ ពាក្យនេះត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Benoit Mandelbrot ក្នុងឆ្នាំ 1975 ដើម្បីសំដៅទៅលើរចនាសម្ព័ន្ធមិនទៀងទាត់ ប៉ុន្តែស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ដែលគាត់បានសិក្សា។ កំណើតនៃធរណីមាត្រ fractal ជាធម្មតាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1977 នៃសៀវភៅរបស់ Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature" ។ ស្នាដៃរបស់គាត់បានប្រើលទ្ធផលវិទ្យាសាស្ត្ររបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងទៀតដែលធ្វើការនៅកំឡុងឆ្នាំ 1875-1925 ក្នុងវិស័យដូចគ្នា (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff) ។

ការកែតម្រូវ

អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំធ្វើការកែតម្រូវមួយចំនួនចំពោះក្បួនដោះស្រាយដែលបានស្នើឡើងនៅក្នុងសៀវភៅដោយ H.-O ។ Paytgen និង P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993 សុទ្ធសាធដើម្បីលុបបំបាត់ការវាយអក្សរ និងធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលយល់អំពីដំណើរការនានា ចាប់តាំងពីបន្ទាប់ពីបានសិក្សាពួកវា អ្វីៗជាច្រើននៅតែជាអាថ៌កំបាំងសម្រាប់ខ្ញុំ។ ជាអកុសល ក្បួនដោះស្រាយ "អាចយល់បាន" និង "សាមញ្ញ" ទាំងនេះនាំឱ្យរបៀបរស់នៅដ៏គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល។

ការបង្កើត fractal គឺផ្អែកលើអនុគមន៍មិនលីនេអ៊ែរជាក់លាក់នៃដំណើរការស្មុគ្រស្មាញជាមួយនឹងមតិត្រឡប់ z \u003d z 2 + c ចាប់តាំងពី z និង c គឺជាចំនួនកុំផ្លិច បន្ទាប់មក z \u003d x + iy, c \u003d p + iq វាចាំបាច់ ដើម្បីបំបែកវាទៅជា x និង y ដើម្បីឆ្ពោះទៅរកការពិតបន្ថែមទៀតសម្រាប់យន្តហោះមនុស្សធម្មតា៖

x(k+1)=x(k)2 -y(k)2+p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k)+q ។

យន្តហោះដែលមានគូទាំងអស់ (x, y) អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាតម្លៃថេរ p និង qក៏ដូចជាសម្រាប់ឌីណាមិក។ ក្នុងករណីដំបូង តម្រៀបតាមចំនុចទាំងអស់ (x, y) នៃយន្តហោះដោយយោងទៅតាមច្បាប់ ហើយដាក់ពណ៌វាអាស្រ័យលើចំនួនពាក្យដដែលៗនៃមុខងារដែលចាំបាច់ដើម្បីចេញពីដំណើរការដដែលៗ ឬមិនដាក់ពណ៌ (ខ្មៅ) នៅពេលដែលអតិបរមាអនុញ្ញាត។ ពាក្យដដែលៗត្រូវបានកើនឡើងយើងទទួលបានការបង្ហាញឈុត Julia ។ ប្រសិនបើផ្ទុយទៅវិញ យើងកំណត់តម្លៃគូដំបូង (x, y) ហើយតាមដានជោគវាសនាពណ៌របស់វាជាមួយនឹងតម្លៃផ្លាស់ប្តូរថាមវន្តនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ p និង q នោះយើងទទួលបានរូបភាពដែលហៅថាឈុត Mandelbrot ។

នៅលើសំណួរនៃក្បួនដោះស្រាយពណ៌ fractal ។

ជាធម្មតាតួនៃឈុតត្រូវបានតំណាងថាជាវាលខ្មៅ ទោះបីជាវាច្បាស់ថាពណ៌ខ្មៅអាចត្រូវបានជំនួសដោយអ្វីផ្សេងទៀតក៏ដោយ ប៉ុន្តែនេះក៏ជាលទ្ធផលដែលមិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ផងដែរ។ ដើម្បីទទួលបានរូបភាពនៃឈុតដែលលាបពណ៌ទាំងអស់គឺជាកិច្ចការដែលមិនអាចដោះស្រាយបានដោយប្រើប្រតិបត្តិការរង្វិល ចំនួននៃការធ្វើម្តងទៀតដែលបង្កើតតួនៃសំណុំគឺស្មើនឹងអតិបរមាដែលអាចធ្វើបាន និងតែងតែដូចគ្នា។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដាក់ពណ៌ជាពណ៌ផ្សេងគ្នាដោយប្រើលទ្ធផលនៃការពិនិត្យលក្ខខណ្ឌចេញពីរង្វិលជុំ (z_magnitude) ជាលេខពណ៌ឬស្រដៀងនឹងវា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀត។

ការអនុវត្ត "មីក្រូទស្សន៍ fractal"

ដើម្បីបង្ហាញពីបាតុភូតព្រំដែន។

អ្នកទាក់ទាញគឺជាមជ្ឈមណ្ឌលដឹកនាំការតស៊ូដើម្បីភាពលេចធ្លោនៅលើយន្តហោះ។ រវាងអ្នកទាក់ទាញ មានព្រំដែនតំណាងឱ្យលំនាំវិល។ តាមរយៈការបង្កើនទំហំនៃការពិចារណានៅក្នុងព្រំដែននៃសំណុំ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានគំរូដែលមិនសំខាន់ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីស្ថានភាពនៃភាពវឹកវរកំណត់ - បាតុភូតទូទៅនៅក្នុងពិភពធម្មជាតិ។

វត្ថុដែលបានសិក្សាដោយអ្នកភូមិសាស្ត្របង្កើតបានជាប្រព័ន្ធមួយដែលមានព្រំដែនរៀបចំយ៉ាងស្មុគ្រស្មាញ ដែលទាក់ទងនឹងការអនុវត្តរបស់ពួកគេក្លាយជាកិច្ចការជាក់ស្តែងដ៏លំបាកមួយ។ ស្មុគ្រស្មាញធម្មជាតិមានស្នូលនៃលក្ខណៈធម្មតាដើរតួជាអ្នកទាក់ទាញដែលបាត់បង់អំណាចនៃឥទ្ធិពលរបស់ពួកគេនៅលើទឹកដីនៅពេលដែលវាផ្លាស់ទីទៅឆ្ងាយ។

ដោយប្រើមីក្រូទស្សន៍ fractal សម្រាប់សំណុំ Mandelbrot និង Julia មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើតគំនិតនៃដំណើរការព្រំដែន និងបាតុភូតដែលស្មុគ្រស្មាញស្មើៗគ្នាដោយមិនគិតពីទំហំនៃការពិចារណា ហើយដូច្នេះរៀបចំការយល់ឃើញរបស់អ្នកឯកទេសសម្រាប់ការប្រជុំប្រកបដោយភាពស្វាហាប់ និងហាក់ដូចជាមានភាពវឹកវរ។ នៅក្នុងលំហ និងពេលវេលា វត្ថុធម្មជាតិសម្រាប់ការយល់ដឹងពីធម្មជាតិធរណីមាត្រ fractal ។ ពហុពណ៌ និងតន្ត្រី fractal ពិតជានឹងបន្សល់ទុកនូវសញ្ញាណដ៏ជ្រៅនៅក្នុងចិត្តរបស់សិស្ស។

ការបោះពុម្ភផ្សាយរាប់ពាន់ និងធនធានអ៊ីនធឺណិតដ៏ធំត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ប្រភាគ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់អ្នកឯកទេសជាច្រើនដែលនៅឆ្ងាយពីវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ ពាក្យនេះហាក់ដូចជាថ្មីទាំងស្រុង។ Fractals ដែលជាវត្ថុចាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកឯកទេសក្នុងវិស័យចំណេះដឹងផ្សេងៗគួរតែទទួលបានកន្លែងត្រឹមត្រូវរបស់ពួកគេនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ។

ឧទាហរណ៍

ក្រឡាចត្រង្គ SIERPINSKI

នេះគឺជាផ្នែកមួយក្នុងចំនោម fractal ដែល Mandelbrot ពិសោធនៅពេលបង្កើតគោលគំនិតនៃទំហំ fractal និងការធ្វើម្តងទៀត។ ត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃត្រីកោណធំជាងត្រូវបានកាត់ចេញពីត្រីកោណមេដើម្បីបង្កើតជាត្រីកោណដែលមានរន្ធច្រើន។ ក្នុងករណីនេះអ្នកផ្តួចផ្តើមគឺជាត្រីកោណធំហើយគំរូគឺជាប្រតិបត្តិការដើម្បីកាត់ត្រីកោណដែលស្រដៀងនឹងទំហំធំជាងនេះ។ អ្នកក៏អាចទទួលបានកំណែ 3D នៃត្រីកោណដោយប្រើ tetrahedron ធម្មតា និងកាត់ចេញ tetrahedra តូចជាង។ វិមាត្រនៃ fractal បែបនេះគឺ ln3/ln2 = 1.584962501 ។ ទទួល កំរាលព្រំ Sierpinskiយកការ៉េមួយចែកជាប្រាំបួនការ៉េ ហើយកាត់កណ្តាលមួយ។ យើងនឹងធ្វើដូចគ្នាជាមួយនឹងកន្លែងដែលនៅសល់ ការ៉េតូច នៅទីបញ្ចប់ក្រឡាចត្រង្គ fractal រាបស្មើត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលមិនមានតំបន់ប៉ុន្តែមានទំនាក់ទំនងគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងទម្រង់ជាលំហរបស់វា អេប៉ុង Sierpinski ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅជាប្រព័ន្ធនៃទម្រង់ ដែលធាតុនីមួយៗត្រូវបានជំនួសដោយប្រភេទរបស់វាជានិច្ច។ រចនាសម្ព័ន្ធនេះគឺស្រដៀងទៅនឹងផ្នែកមួយនៃជាលិកាឆ្អឹង។ នៅថ្ងៃណាមួយរចនាសម្ព័ន្ធដដែលៗបែបនេះនឹងក្លាយជាធាតុផ្សំនៃរចនាសម្ព័ន្ធសំណង់។ Mandelbrot ជឿជាក់ថាឋិតិវន្ត និងថាមវន្តរបស់ពួកគេសមនឹងទទួលបានការសិក្សាយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។

ផ្លូវកោង KOCH

ខ្សែកោង Koch គឺជាផ្នែកមួយនៃ fractal កំណត់ធម្មតាបំផុត។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅសតវត្សទីដប់ប្រាំបួនដោយគណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ម្នាក់ឈ្មោះ Helge von Koch ដែលខណៈពេលដែលកំពុងសិក្សាការងាររបស់ Georg Kontor និង Karl Weierstraße បានឆ្លងកាត់ការពិពណ៌នាអំពីខ្សែកោងចម្លែកមួយចំនួនជាមួយនឹងអាកប្បកិរិយាមិនធម្មតា។ អ្នកផ្តួចផ្តើម - បន្ទាត់ផ្ទាល់។ ម៉ាស៊ីនភ្លើងគឺជាត្រីកោណសមភាពដែលជ្រុងដែលស្មើនឹងមួយភាគបីនៃប្រវែងនៃផ្នែកធំជាង។ ត្រីកោណទាំងនេះត្រូវបានបន្ថែមទៅពាក់កណ្តាលនៃផ្នែកនីមួយៗម្តងហើយម្តងទៀត។ នៅក្នុងការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់ Mandelbrot បានពិសោធជាច្រើនជាមួយនឹងខ្សែកោង Koch និងទទួលបានតួលេខដូចជា Koch Islands, Koch Crosses, Koch Snowflakes និងសូម្បីតែតំណាងបីវិមាត្រនៃខ្សែកោង Koch ដោយប្រើ tetrahedron និងបន្ថែម tetrahedra តូចជាងទៅនឹងមុខនីមួយៗរបស់វា។ ខ្សែកោង Koch មានវិមាត្រ ln4/ln3 = 1.261859507 ។

Fractal Mandelbrot

នេះមិនមែនជាឈុត Mandelbrot ដែលអ្នកឃើញញឹកញាប់នោះទេ។ សំណុំ Mandelbrot គឺផ្អែកលើសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ និងជាប្រភាគស្មុគស្មាញ។ នេះក៏ជាវ៉ារ្យ៉ង់នៃខ្សែកោង Koch ទោះបីជាវត្ថុនេះមើលទៅមិនដូចវាក៏ដោយ។ អ្នកផ្ដួចផ្ដើម និងម៉ាស៊ីនភ្លើងក៏ខុសពីអ្នកដែលប្រើដើម្បីបង្កើត fractal ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃខ្សែកោង Koch ប៉ុន្តែគំនិតនៅតែដដែល។ ជំនួសឱ្យការភ្ជាប់ត្រីកោណស្មើគ្នាទៅនឹងផ្នែកខ្សែកោង ការ៉េត្រូវបានភ្ជាប់ទៅការ៉េមួយ។ ដោយសារតែការពិតដែលថា fractal នេះកាន់កាប់ពាក់កណ្តាលនៃទំហំដែលបានបែងចែកនៅពេលធ្វើម្តងទៀតនីមួយៗ វាមានវិមាត្រ fractal សាមញ្ញនៃ 3/2 = 1.5 ។

PENTAGON របស់ DARER

Fractal មើលទៅដូចជាបណ្តុំនៃ pentagons ច្របាច់បញ្ចូលគ្នា។ តាមការពិត វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយការប្រើ pentagon ជាអ្នកផ្តួចផ្តើម និងត្រីកោណ isosceles សមាមាត្រនៃផ្នែកធំបំផុតទៅតូចបំផុត ដែលពិតជាស្មើនឹងសមាមាត្រមាស (1.618033989 ឬ 1/(2cos72)) ជាម៉ាស៊ីនភ្លើង។ . ត្រីកោណទាំងនេះត្រូវបានកាត់ចេញពីផ្នែកកណ្តាលនៃប៉ង់តាហ្គោននីមួយៗ ដែលបណ្តាលឱ្យមានរូបរាងដែលមើលទៅដូចជាប៉ង់តាហ្គោនតូចៗចំនួន 5 ជាប់នឹងមួយដ៏ធំ។ វ៉ារ្យ៉ង់នៃ fractal នេះអាចទទួលបានដោយប្រើ hexagon ជាអ្នកផ្តួចផ្តើម។ ប្រភាគ​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​តារា​នៃ​ដាវីឌ​ហើយ​គឺ​ពិត​ជា​ស្រដៀង​គ្នា​ទៅ​នឹង​កំណែ​ប្រាំមួយ​នៃ Koch's Snowflake ។ វិមាត្រប្រភាគនៃ Darer pentagon គឺ ln6/ln(1+g) ដែល g គឺជាសមាមាត្រនៃប្រវែងនៃជ្រុងធំនៃត្រីកោណទៅនឹងប្រវែងនៃផ្នែកតូចជាង។ ក្នុងករណីនេះ g គឺជាសមាមាត្រមាស ដូច្នេះវិមាត្រប្រភាគគឺប្រហែល 1.86171596 ។ វិមាត្រប្រភាគនៃផ្កាយ David គឺ ln6/ln3 ឬ 1.630929754 ។

Fractal ស្មុគស្មាញ

ជាការពិត ប្រសិនបើអ្នកពង្រីកទំហំតូចមួយនៃប្រភាគស្មុគស្មាញណាមួយ ហើយបន្ទាប់មកធ្វើដូចគ្នានៅលើតំបន់តូចមួយនៃតំបន់នោះ ការពង្រីកទាំងពីរនឹងខុសគ្នាខ្លាំងពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ រូបភាពទាំងពីរនឹងមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នាខ្លាំងណាស់នៅក្នុងលម្អិត ប៉ុន្តែពួកវានឹងមិនដូចគ្នាទាំងស្រុងនោះទេ។

រូបទី 1. ប្រហាក់ប្រហែលនៃសំណុំ Mandelbrot

ជាឧទាហរណ៍ ប្រៀបធៀបរូបភាពនៃឈុត Mandelbrot ដែលបានបង្ហាញនៅទីនេះ ដែលមួយត្រូវបានទទួលដោយការបង្កើនតំបន់មួយចំនួននៃផ្សេងទៀត។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ពួកវាមិនដូចគ្នាទេ ទោះបីនៅលើទាំងពីរយើងឃើញរង្វង់ខ្មៅ ដែលអណ្តាតភ្លើងឆេះក្នុងទិសដៅផ្សេងគ្នា។ ធាតុទាំងនេះធ្វើឡើងវិញដោយគ្មានកំណត់នៅក្នុង Mandelbrot ដែលបានកំណត់ក្នុងសមាមាត្រថយចុះ។

កំណត់ fractals គឺលីនេអ៊ែរ ខណៈពេលដែល fractal ស្មុគស្មាញមិនមាន។ ដោយមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ប្រភាគទាំងនេះត្រូវបានបង្កើតដោយអ្វីដែល Mandelbrot ហៅថាសមីការពិជគណិតមិនមែនលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អមួយគឺដំណើរការ Zn + 1 = ZnІ + C ដែលជាសមីការដែលប្រើក្នុងការសាងសង់សំណុំ Mandelbrot និង Julia នៃដឺក្រេទីពីរ។ ការ​ដោះស្រាយ​សមីការ​គណិត​វិទ្យា​ទាំង​នេះ​ទាក់​ទង​នឹង​លេខ​ស្មុគ្រស្មាញ និង​ស្រមើស្រមៃ។ នៅពេលដែលសមីការត្រូវបានបកស្រាយជាក្រាហ្វិកនៅក្នុងប្លង់ស្មុគស្មាញ លទ្ធផលគឺជាតួរលេខចម្លែកដែលបន្ទាត់ត្រង់ប្រែទៅជាខ្សែកោង ឥទ្ធិពលនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងលេចឡើងនៅកម្រិតមាត្រដ្ឋានផ្សេងៗ ទោះបីជាមិនមានការខូចទ្រង់ទ្រាយក៏ដោយ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ រូបភាពទាំងមូលគឺមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន និងមានភាពច្របូកច្របល់ខ្លាំង។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញដោយមើលរូបភាព ប្រភាគស្មុគស្មាញគឺពិតជាស្មុគស្មាញខ្លាំងណាស់ ហើយមិនអាចបង្កើតដោយគ្មានជំនួយពីកុំព្យូទ័រ។ ដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលចម្រុះពណ៌ កុំព្យូទ័រនេះត្រូវតែមាន coprocessor គណិតវិទ្យាដ៏មានឥទ្ធិពល និងម៉ូនីទ័រដែលមានគុណភាពបង្ហាញខ្ពស់។ មិនដូច fractal កំណត់ទេ fractal ស្មុគស្មាញមិនត្រូវបានគណនាក្នុង 5-10 ដដែលៗទេ។ ស្ទើរតែគ្រប់ចំនុចទាំងអស់នៅលើអេក្រង់កុំព្យូទ័រគឺដូចជា fractal ដាច់ដោយឡែក។ កំឡុងពេលដំណើរការគណិតវិទ្យា ចំណុចនីមួយៗត្រូវបានចាត់ទុកជាគំរូដាច់ដោយឡែក។ ចំណុចនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃជាក់លាក់មួយ។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​សម្រាប់​ចំណុច​នីមួយៗ ហើយ​ត្រូវ​បាន​អនុវត្ត​ឧទាហរណ៍ 1000 ដដែលៗ។ ដើម្បីទទួលបានរូបភាពដែលមិនមានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយក្នុងចន្លោះពេលដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់កុំព្យូទ័រនៅផ្ទះ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្ត 250 ម្តងទៀតសម្រាប់ចំណុចមួយ។

ភាគច្រើននៃ fractal ដែលយើងឃើញសព្វថ្ងៃនេះមានពណ៌ស្រស់ស្អាត។ ប្រហែលជារូបភាព fractal ទទួលបានតម្លៃសោភ័ណភាពដ៏អស្ចារ្យយ៉ាងជាក់លាក់ ដោយសារតែពណ៌ចម្រុះរបស់វា។ បន្ទាប់ពីសមីការត្រូវបានគណនាកុំព្យូទ័រវិភាគលទ្ធផល។ ប្រសិនបើលទ្ធផលនៅតែស្ថិតស្ថេរ ឬប្រែប្រួលជុំវិញតម្លៃជាក់លាក់មួយ ចំណុចនឹងប្រែជាខ្មៅជាធម្មតា។ ប្រសិនបើតម្លៃក្នុងជំហានមួយ ឬជំហានផ្សេងទៀតមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ នោះចំណុចត្រូវបានលាបពណ៌ផ្សេង ប្រហែលជាពណ៌ខៀវ ឬក្រហម។ កំឡុងពេលដំណើរការនេះ កុំព្យូទ័រផ្តល់ពណ៌ដល់ល្បឿនចលនាទាំងអស់។

ជាធម្មតា ចំណុចផ្លាស់ទីលឿនត្រូវបានលាបពណ៌ក្រហម ចំណែកចំណុចដែលយឺតៗមានពណ៌លឿង។ល។ ចំណុចងងឹតប្រហែលជាមានស្ថេរភាពបំផុត។

ហ្វ្រេតូសស្មុគ្រស្មាញ ខុសពី fractal កំណត់ដោយថាពួកវាស្មុគស្មាញគ្មានដែនកំណត់ ប៉ុន្តែអាចត្រូវបានបង្កើតដោយរូបមន្តសាមញ្ញបំផុត។ កំណត់ fractals មិនត្រូវការរូបមន្ត ឬសមីការទេ។ គ្រាន់​តែ​យក​ក្រដាស​គំនូរ​មួយ​ចំនួន​ហើយ​អ្នក​អាច​បង្កើត​ Sierpinski Sieve បាន​រហូត​ដល់​ទៅ 3 ឬ 4 ដដែល​ដោយ​មិន​មាន​ការ​លំបាក​អ្វី​ឡើយ។ ព្យាយាមធ្វើវាជាមួយ Julia ជាច្រើន! វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការវាស់ប្រវែងឆ្នេរសមុទ្រនៃប្រទេសអង់គ្លេស!

MANDERBROT SET

រូបទី 2. សំណុំ Mandelbrot

សំណុំ Mandelbrot និង Julia ប្រហែលជាពីរទូទៅបំផុតក្នុងចំណោម fractal ស្មុគស្មាញ។ ពួកវាអាចរកបាននៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើន គម្របសៀវភៅ កាតប៉ូស្ដាល់ និងធាតុរក្សាអេក្រង់កុំព្យូទ័រ។ សំណុំ Mandelbrot ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Benoit Mandelbrot គឺប្រហែលជាសមាគមដំបូងដែលមនុស្សមាននៅពេលពួកគេឮពាក្យ fractal ។ ប្រភាគនេះ ស្រដៀងនឹងកាតដែលមានដើមឈើភ្លឺ និងតំបន់រង្វង់ដែលភ្ជាប់ជាមួយវាត្រូវបានបង្កើតដោយរូបមន្តសាមញ្ញ Zn+1=Zna+C ដែល Z និង C គឺជាចំនួនកុំផ្លិច ហើយ a គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។

ឈុត Mandelbrot ដែលគេឃើញញឹកញាប់បំផុតគឺឈុត Mandelbrot ដឺក្រេទី 2 ពោលគឺ a=2 ។ ការពិតដែលថាសំណុំ Mandelbrot គឺមិនត្រឹមតែ Zn + 1 = ZnІ + C ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែ fractal ដែលនិទស្សន្តនៅក្នុងរូបមន្តអាចជាលេខវិជ្ជមានណាមួយដែលធ្វើឱ្យមនុស្សជាច្រើនយល់ច្រឡំ។ នៅលើទំព័រនេះ អ្នកឃើញឧទាហរណ៍នៃការកំណត់ Mandelbrot សម្រាប់តម្លៃផ្សេងៗនៃនិទស្សន្ត a ។
រូបភាពទី 3. រូបរាងនៃពពុះនៅ a=3.5

ដំណើរការ Z=Z*tg(Z+C) ក៏ពេញនិយមផងដែរ។ សូមអរគុណដល់ការរួមបញ្ចូលមុខងារតង់ហ្សង់ សំណុំ Mandelbrot ត្រូវបានទទួល ដែលហ៊ុំព័ទ្ធដោយផ្ទៃដែលស្រដៀងនឹងផ្លែប៉ោម។ នៅពេលប្រើមុខងារកូស៊ីនុស ឥទ្ធិពលពពុះខ្យល់ត្រូវបានទទួល។ សរុបមក មានវិធីជាច្រើនមិនកំណត់ក្នុងការកែប្រែសំណុំ Mandelbrot ដើម្បីបង្កើតរូបភាពស្អាតៗផ្សេងៗ។

JULIA ច្រើន។

គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលដែលឈុត Julia ត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរូបមន្តដូចគ្នានឹងឈុត Mandelbrot ។ ឈុត Julia ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​គណិតវិទូ​ជនជាតិ​បារាំង Gaston Julia ដែល​ឈុត​នោះ​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ឈ្មោះ​តាម​នោះ។ សំណួរដំបូងដែលកើតឡើងបន្ទាប់ពីអ្នកស្គាល់គ្នាដែលមើលឃើញជាមួយនឹងសំណុំ Mandelbrot និង Julia គឺ "ប្រសិនបើ fractal ទាំងពីរត្រូវបានបង្កើតដោយរូបមន្តដូចគ្នាហេតុអ្វីបានជាពួកគេខុសគ្នាដូច្នេះ?" ដំបូងមើលរូបភាពនៃឈុត Julia ។ ចម្លែកគ្រប់គ្រាន់ហើយ ឈុត Julia មានប្រភេទផ្សេងៗគ្នា។ នៅពេលគូរ fractal ដោយប្រើចំណុចចាប់ផ្តើមផ្សេងគ្នា (ដើម្បីចាប់ផ្តើមដំណើរការម្តងទៀត) រូបភាពផ្សេងគ្នាត្រូវបានបង្កើត។ នេះអនុវត្តតែចំពោះឈុត Julia ប៉ុណ្ណោះ។

រូបទី 4. ឈុត Julia

ទោះបីជាវាមិនអាចមើលឃើញនៅក្នុងរូបភាពក៏ដោយក៏ Mandelbrot fractal ពិតជាបណ្តុំនៃ Julia fractal ដែលតភ្ជាប់ជាមួយគ្នា។ ចំណុចនីមួយៗ (ឬសំរបសំរួល) នៃសំណុំ Mandelbrot ត្រូវគ្នាទៅនឹង Julia fractal ។ សំណុំ Julia អាច​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ដោយ​ប្រើ​ចំណុច​ទាំង​នេះ​ជា​តម្លៃ​ដំបូង​ក្នុង​សមីការ Z=ZI+C ។ ប៉ុន្តែនេះមិនមានន័យថា ប្រសិនបើអ្នកជ្រើសរើសចំនុចមួយនៅលើ Mandelbrot fractal ហើយបង្កើនវា អ្នកអាចទទួលបាន Julia fractal ។ ចំណុចទាំងពីរនេះគឺដូចគ្នាបេះបិទ តែក្នុងន័យគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើយើងយកចំណុចនេះ ហើយគណនាវាតាមរូបមន្តនេះ យើងអាចទទួលបាន Julia fractal ដែលត្រូវនឹងចំណុចជាក់លាក់មួយនៃ Mandelbrot fractal ។

ប្រភាគ

Fractal (lat ។ ប្រភាគ- កំទេច, ខូច, ខូច) - រូបធរណីមាត្រដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ពោលគឺមានផ្នែកជាច្រើន ដែលផ្នែកនីមួយៗស្រដៀងនឹងរូបទាំងមូលទាំងមូល។នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ប្រភាគត្រូវបានគេយល់ថាជាសំណុំនៃ ចំនុចនៅក្នុងលំហ Euclidean ដែលមានវិមាត្រម៉ែត្រប្រភាគ (ក្នុងន័យ Minkowski ឬ Hausdorff) ឬវិមាត្រម៉ែត្រផ្សេងក្រៅពី topological ។ Fractasm គឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឯករាជ្យនៃការសិក្សា និងការចងក្រង Fractals ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រភាគ គឺជាវត្ថុធរណីមាត្រដែលមានវិមាត្រប្រភាគ។ ឧទាហរណ៍ វិមាត្រនៃបន្ទាត់គឺ 1 តំបន់មួយគឺ 2 និងបរិមាណគឺ 3។ សម្រាប់ fractal តម្លៃវិមាត្រអាចស្ថិតនៅចន្លោះពី 1 និង 2 ឬរវាង 2 និង 3 ។ ឧទាហរណ៍ វិមាត្រប្រភាគនៃប្រភាគ បាល់ក្រដាសគឺប្រហែល 2.5 ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យាមានរូបមន្តស្មុគ្រស្មាញពិសេសសម្រាប់គណនាវិមាត្រនៃប្រភាគ។ ផលវិបាកនៃបំពង់ tracheal, ស្លឹកនៅលើដើមឈើ, សរសៃនៅក្នុងដៃ, ទន្លេគឺ fractal ។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ fractal គឺជាតួលេខធរណីមាត្រដែលជាផ្នែកជាក់លាក់មួយដែលត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតម្តងហើយម្តងទៀតផ្លាស់ប្តូរទំហំ - នេះគឺជាគោលការណ៍នៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង។ Fractals គឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងខ្លួនពួកគេគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងខ្លួនគេនៅគ្រប់កម្រិតទាំងអស់ (ពោលគឺនៅកម្រិតណាមួយ) ។ មាន fractal ប្រភេទផ្សេងគ្នាជាច្រើន។ ជាគោលការណ៍ វាអាចប្រកែកបានថា អ្វីៗដែលមាននៅក្នុងពិភពពិត គឺជាប្រភាគ មិនថាវាជាពពក ឬម៉ូលេគុលអុកស៊ីហ្សែនទេ។

ពាក្យ "ចលាចល" បង្ហាញពីអ្វីដែលមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន ប៉ុន្តែតាមពិត ភាពវឹកវរត្រូវបានបញ្ជា និងគោរពច្បាប់ជាក់លាក់។ គោលបំណងនៃការសិក្សាពីភាពវឹកវរ និងប្រភាគគឺដើម្បីទស្សន៍ទាយគំរូដែលនៅ glance ដំបូងអាចហាក់ដូចជាមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន និងមានភាពវឹកវរទាំងស្រុង។

អ្នកត្រួសត្រាយផ្លូវក្នុងវិស័យចំណេះដឹងនេះគឺគណិតវិទូជនជាតិបារាំង-អាមេរិក សាស្រ្តាចារ្យ Benoit B. Mandelbrot។ នៅពាក់កណ្តាលទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1960 គាត់បានបង្កើតធរណីមាត្រ fractal ដែលគោលបំណងគឺដើម្បីវិភាគរូបរាងដែលខូច ជ្រួញ និងស្រពិចស្រពិល។ សំណុំ Mandelbrot (បង្ហាញក្នុងរូបភាព) គឺជាសមាគមដំបូងដែលមនុស្សម្នាក់មាននៅពេលគាត់ឮពាក្យ "fractal" ។ ដោយវិធីនេះ Mandelbrot បានកំណត់ថាវិមាត្រប្រភាគនៃឆ្នេរសមុទ្រនៃប្រទេសអង់គ្លេសគឺ 1.25 ។

Fractals ត្រូវបានប្រើប្រាស់កាន់តែខ្លាំងឡើងនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។ ពួកគេពិពណ៌នាអំពីពិភពលោកពិត ប្រសើរជាងរូបវិទ្យា ឬគណិតវិទ្យាបែបបុរាណ។ ចលនា Brownian ជាឧទាហរណ៍ ចលនាចៃដន្យ និងច្របូកច្របល់នៃភាគល្អិតធូលីដែលផ្អាកក្នុងទឹក។ ប្រភេទនៃចលនានេះគឺប្រហែលជាទិដ្ឋភាពជាក់ស្តែងបំផុតនៃធរណីមាត្រ fractal ។ ចលនា Brownian ចៃដន្យមានការឆ្លើយតបប្រេកង់ដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីទស្សន៍ទាយបាតុភូតដែលពាក់ព័ន្ធនឹងទិន្នន័យនិងស្ថិតិមួយចំនួនធំ។ ឧទាហរណ៍ Mandelbrot បានព្យាករណ៍ពីការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃរោមចៀមដោយប្រើចលនា Brownian ។

ពាក្យ "Fractal" អាចត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែជាពាក្យគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ។ ប្រភាគនៅក្នុងសារព័ត៌មាន និងអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រដ៏ពេញនិយមអាចត្រូវបានគេហៅថាតួលេខដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

វាមានរចនាសម្ព័ន្ធមិនសំខាន់នៅគ្រប់មាត្រដ្ឋាន។ នេះគឺជាភាពខុសគ្នាពីតួលេខធម្មតា (ដូចជា រង្វង់ រាងពងក្រពើ ក្រាហ្វនៃមុខងាររលោង)៖ ប្រសិនបើយើងពិចារណាបំណែកតូចមួយនៃតួលេខធម្មតានៅលើមាត្រដ្ឋានដ៏ធំ វានឹងមើលទៅដូចជាបំណែកនៃបន្ទាត់ត្រង់។ . សម្រាប់ fractal ការពង្រីកមិននាំឱ្យមានភាពសាមញ្ញនៃរចនាសម្ព័ន្ធនោះទេ នៅលើមាត្រដ្ឋានទាំងអស់ យើងនឹងឃើញរូបភាពស្មុគស្មាញស្មើគ្នា។

វាគឺស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯង ឬប្រហាក់ប្រហែលនឹងខ្លួនឯង។

វា​មាន​វិមាត្រ​ម៉ែត្រ​ប្រភាគ ឬ​វិមាត្រ​ម៉ែត្រ​ដែល​ល្អ​ជាង​ផ្នែក​ខាង​ប៉ូឡូញ។

ការប្រើប្រាស់ fractal ដែលមានប្រយោជន៍បំផុតក្នុងការគណនាគឺការបង្ហាប់ទិន្នន័យ fractal ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ រូបភាពត្រូវបានបង្ហាប់ល្អជាងវាត្រូវបានធ្វើដោយវិធីសាស្រ្តធម្មតា - រហូតដល់ 600:1 ។ អត្ថប្រយោជន៍មួយទៀតនៃការបង្ហាប់ fractal គឺថានៅពេលអ្នកពង្រីក វាមិនមានឥទ្ធិពលភីកសែលដែលធ្វើឱ្យរូបភាពកាន់តែអាក្រក់ទៅៗនោះទេ។ ជាងនេះទៅទៀត រូបភាពដែលបានបង្ហាប់ក្រោយការពង្រីកជាញឹកញាប់មើលទៅប្រសើរជាងមុន។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រក៏ដឹងដែរថា ប្រភាគនៃភាពស្មុគស្មាញ និងភាពស្រស់ស្អាតគ្មានដែនកំណត់ អាចបង្កើតបានដោយប្រើរូបមន្តសាមញ្ញ។ ឧស្សាហកម្មភាពយន្តប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនូវបច្ចេកវិទ្យាក្រាហ្វិចហ្វ្រិចតាល់ ដើម្បីបង្កើតធាតុទេសភាពជាក់ស្តែង (ពពក ថ្ម និងស្រមោល)។

ការសិក្សាអំពីភាពច្របូកច្របល់នៅក្នុងលំហូរសម្របខ្លួនបានយ៉ាងល្អទៅនឹង fractal ។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យមានការយល់ដឹងកាន់តែប្រសើរឡើងអំពីថាមវន្តនៃលំហូរស្មុគស្មាញ។ អណ្តាតភ្លើងក៏អាចត្រូវបានយកគំរូតាមដោយប្រើ fractal ។ សមា្ភារៈ porous ត្រូវបានតំណាងយ៉ាងល្អនៅក្នុងទម្រង់ fractal ដោយសារតែការពិតដែលថាពួកគេមានធរណីមាត្រស្មុគស្មាញណាស់។ ដើម្បីបញ្ជូនទិន្នន័យពីចម្ងាយ អង់តែនរាង fractal ត្រូវបានប្រើ ដែលកាត់បន្ថយទំហំ និងទម្ងន់របស់វាយ៉ាងខ្លាំង។ Fractals ត្រូវបានប្រើដើម្បីពិពណ៌នាអំពីភាពកោងនៃផ្ទៃ។ ផ្ទៃមិនស្មើគ្នាត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការរួមបញ្ចូលគ្នានៃ fractal ពីរផ្សេងគ្នា។

វត្ថុជាច្រើននៅក្នុងធម្មជាតិមានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal ដូចជាឆ្នេរសមុទ្រ ពពក មកុដដើមឈើ ផ្កាព្រិល ប្រព័ន្ធឈាមរត់ និងប្រព័ន្ធ alveolar របស់មនុស្សឬសត្វ។

Fractals ជាពិសេសនៅលើយន្តហោះគឺមានប្រជាប្រិយភាពសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃភាពស្រស់ស្អាតនិងភាពងាយស្រួលនៃការសាងសង់ជាមួយនឹងកុំព្យូទ័រ។

ឧទាហរណ៍ដំបូងនៃសំណុំស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតាបានបង្ហាញខ្លួននៅក្នុងសតវត្សទី 19 (ឧទាហរណ៍មុខងារ Bolzano មុខងារ Weierstrass សំណុំ Cantor) ។ ពាក្យ "Fractal" ត្រូវបានណែនាំដោយ Benoit Mandelbrot ក្នុងឆ្នាំ 1975 ហើយទទួលបានប្រជាប្រិយភាពយ៉ាងទូលំទូលាយជាមួយនឹងការចេញផ្សាយសៀវភៅរបស់គាត់ "The Fractal Geometry of Nature" ក្នុងឆ្នាំ 1977 ។

តួរលេខនៅខាងឆ្វេងបង្ហាញពី Darer Pentagon fractal ជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញ ដែលមើលទៅដូចជាបណ្តុំនៃ pentagons ច្របាច់បញ្ចូលគ្នា។ តាមពិត វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រើ pentagon ជាអ្នកផ្តួចផ្តើម និងត្រីកោណ isosceles ដែលជាសមាមាត្រនៃផ្នែកធំបំផុតទៅតូចបំផុត ដែលវាស្មើនឹងអ្វីដែលគេហៅថា សមាមាត្រមាស (1.618033989 ឬ 1/(2cos72°)) ជា ម៉ាស៊ីនភ្លើង។ ត្រីកោណទាំងនេះត្រូវបានកាត់ចេញពីផ្នែកកណ្តាលនៃប៉ង់តាហ្គោននីមួយៗ ដែលបណ្តាលឱ្យមានរូបរាងដែលមើលទៅដូចជាប៉ង់តាហ្គោនតូចៗចំនួន 5 ជាប់នឹងមួយដ៏ធំ។

ទ្រឹស្ដី Chaos និយាយថាប្រព័ន្ធ nonlinear ស្មុគ្រស្មាញគឺមិនអាចទាយទុកជាមុនបានពីតំណពូជ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានេះវាអះអាងថាវិធីនៃការបញ្ចេញប្រព័ន្ធដែលមិនអាចទាយទុកជាមុនបានប្រែទៅជាការពិត មិនមែននៅក្នុងសមភាពពិតប្រាកដនោះទេ ប៉ុន្តែនៅក្នុងតំណាងនៃឥរិយាបទនៃប្រព័ន្ធ - នៅក្នុងក្រាហ្វនៃអ្នកទាក់ទាញចម្លែកដែល មើលទៅដូចជា fractal ។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីភាពច្របូកច្របល់ ដែលមនុស្សជាច្រើនគិតថាមិនអាចទាយទុកជាមុនបាន ប្រែទៅជាវិទ្យាសាស្ត្រនៃការព្យាករណ៍សូម្បីតែនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលមិនស្ថិតស្ថេរបំផុតក៏ដោយ។ គោលលទ្ធិនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តបង្ហាញថាសមីការសាមញ្ញអាចបង្កើតអាកប្បកិរិយាច្របូកច្របល់បែបនេះដែលប្រព័ន្ធមិនវិលត្រលប់ទៅរកស្ថានភាពស្ថិរភាពវិញហើយគ្មានភាពទៀងទាត់លេចឡើងក្នុងពេលតែមួយ។ ជារឿយៗប្រព័ន្ធបែបនេះមានឥរិយាបទជាធម្មតារហូតដល់តម្លៃជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ បន្ទាប់មកជួបប្រទះការផ្លាស់ប្តូរដែលមានលទ្ធភាពពីរសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែម បន្ទាប់មក បួន និងចុងក្រោយជាសំណុំលទ្ធភាពដ៏វឹកវរ។

គ្រោងការណ៍នៃដំណើរការដែលកើតឡើងនៅក្នុងវត្ថុបច្ចេកទេសមានរចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគដែលបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់។ រចនាសម្ព័ន្ធនៃប្រព័ន្ធបច្ចេកទេសអប្បបរមា (TS) បង្កប់ន័យលំហូរនៅក្នុង TS នៃដំណើរការពីរប្រភេទ - មេ និងជំនួយ ហើយការបែងចែកនេះមានលក្ខខណ្ឌ និងទាក់ទង។ ដំណើរការណាមួយអាចជាដំណើរការសំខាន់ទាក់ទងនឹងការគាំទ្រ ហើយដំណើរការគាំទ្រណាមួយអាចចាត់ទុកថាជាដំណើរការសំខាន់ដែលទាក់ទងនឹងដំណើរការគាំទ្រ "របស់ពួកគេ"។ រង្វង់នៅក្នុងដ្យាក្រាមបង្ហាញពីឥទ្ធិពលរាងកាយដែលធានានូវលំហូរនៃដំណើរការទាំងនោះ ដែលវាមិនចាំបាច់ក្នុងការបង្កើត TS "ផ្ទាល់ខ្លួន" ពិសេសនោះទេ។ ដំណើរការទាំងនេះគឺជាលទ្ធផលនៃអន្តរកម្មរវាងសារធាតុ វាល សារធាតុ និងវាល។ ដើម្បីឱ្យច្បាស់លាស់ ឥទ្ធិពលរាងកាយគឺជាយាន គោលការណ៍ដែលយើងមិនអាចមានឥទ្ធិពល ហើយយើងមិនចង់បាន ឬគ្មានឱកាសជ្រៀតជ្រែកក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធរបស់វា។

លំហូរនៃដំណើរការសំខាន់ដែលបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាមត្រូវបានធានាដោយអត្ថិភាពនៃដំណើរការគាំទ្រចំនួនបីដែលជាដំណើរការសំខាន់សម្រាប់ TS ដែលបង្កើតពួកគេ។ សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃយុត្តិធម៌ យើងកត់សម្គាល់ថាសម្រាប់ដំណើរការសូម្បីតែ TS តិចតួចបំផុត ដំណើរការបីគឺមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ ពោលគឺឧ។ គ្រោងការណ៍នេះគឺខ្លាំងណាស់, បំផ្លើសខ្លាំងណាស់។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនសាមញ្ញដូចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងដ្យាក្រាមនោះទេ។ ដំណើរការដែលមានប្រយោជន៍ (ត្រូវការសម្រាប់មនុស្សម្នាក់) មិនអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងប្រសិទ្ធភាព 100% ទេ។ ថាមពលដែលរលាយត្រូវបានចំណាយលើការបង្កើតដំណើរការដែលបង្កគ្រោះថ្នាក់ - កំដៅ រំញ័រ។ល។ ជាលទ្ធផល ស្របជាមួយនឹងដំណើរការដែលមានប្រយោជន៍ គ្រោះថ្នាក់កើតឡើង។ វាមិនតែងតែអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជំនួសដំណើរការ "អាក្រក់" ជាមួយ "ល្អ" នោះទេ ដូច្នេះដំណើរការថ្មីត្រូវតែត្រូវបានរៀបចំដើម្បីទូទាត់សងសម្រាប់ផលវិបាកដែលបង្កគ្រោះថ្នាក់ដល់ប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយគឺតម្រូវការដើម្បីប្រយុទ្ធប្រឆាំងនឹងការកកិត ដែលបង្ខំឱ្យមនុស្សម្នាក់រៀបចំគ្រោងការណ៍នៃការបញ្ចេញទឹករំអិលដ៏ប៉ិនប្រសប់ ប្រើប្រាស់សម្ភារៈប្រឆាំងនឹងការកកិតដែលមានតំលៃថ្លៃ ឬចំណាយពេលលើសមាសធាតុ និងផ្នែក ឬជំនួសវាតាមកាលកំណត់។

នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងអត្ថិភាពនៃឥទ្ធិពលដែលមិនអាចជៀសបាននៃបរិស្ថានដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន ដំណើរការដែលមានប្រយោជន៍អាចនឹងត្រូវគ្រប់គ្រង។ ការគ្រប់គ្រងអាចត្រូវបានអនុវត្តទាំងដោយមានជំនួយពីឧបករណ៍ស្វ័យប្រវត្តិ និងដោយផ្ទាល់ដោយមនុស្សម្នាក់។ ដ្យាក្រាមដំណើរការគឺពិតជាសំណុំនៃពាក្យបញ្ជាពិសេស, i.e. ក្បួនដោះស្រាយ។ ខ្លឹមសារ (ការពិពណ៌នា) នៃពាក្យបញ្ជានីមួយៗ គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃដំណើរការដែលមានប្រយោជន៍តែមួយ ដំណើរការដែលបង្កគ្រោះថ្នាក់អមជាមួយវា និងសំណុំនៃដំណើរការត្រួតពិនិត្យចាំបាច់។ នៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយបែបនេះ សំណុំនៃដំណើរការគាំទ្រគឺជាទម្រង់ការរងធម្មតា ហើយនៅទីនេះយើងក៏រកឃើញ fractal ផងដែរ។ វិធីសាស្រ្តរបស់ R. Koller ដែលបានបង្កើតឡើងកាលពីមួយភាគបួននៃសតវត្សមុន ធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតប្រព័ន្ធជាមួយនឹងសំណុំមុខងារដែលមានកំណត់ត្រឹម 12 គូ (ដំណើរការ)។

សំណុំស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតានៅក្នុងគណិតវិទ្យា

ចាប់ផ្តើមពីចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 19 ឧទាហរណ៍នៃវត្ថុស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិរោគសាស្ត្រពីចំណុចនៃទិដ្ឋភាពនៃការវិភាគបុរាណបានលេចឡើងនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ទាំងនេះរួមបញ្ចូលដូចខាងក្រោម:

សំណុំ Cantor គឺជាសំណុំដ៏ល្អឥតខ្ចោះដែលមិនអាចរាប់បាន។ តាមរយៈការកែប្រែនីតិវិធី មនុស្សម្នាក់ក៏អាចទទួលបានសំណុំក្រាស់នៃប្រវែងវិជ្ជមានផងដែរ។

ត្រីកោណ Sierpinski ("តុក្រណាត់") និងកំរាលព្រំ Sierpinski គឺជា analogues នៃ Cantor ដែលដាក់នៅលើយន្តហោះ។

អេប៉ុងរបស់ Menger - analogue នៃ Cantor ដែលបានកំណត់ក្នុងចន្លោះបីវិមាត្រ;

ឧទាហរណ៍ដោយ Weierstrass និង van der Waerden នៃមុខងារបន្តដែលមិនអាចបែងចែកបាន។

ខ្សែកោង Koch - ខ្សែកោងបន្តដែលមិនប្រសព្វគ្នាដោយខ្លួនឯងនៃប្រវែងគ្មានកំណត់ដែលមិនមានតង់សង់នៅចំណុចណាមួយ;

ខ្សែកោង Peano គឺជាខ្សែកោងបន្តឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងអស់នៃការ៉េមួយ។

គន្លងនៃភាគល្អិត Brownian ក៏មិនមានភាពខុសប្លែកគ្នាជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 1 ដែរ។ វិមាត្រ Hausdorff របស់វាគឺពីរ

នីតិវិធីបន្តសម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង fractal

ការសាងសង់ផ្លូវកោង Koch

មាននីតិវិធី recursive សាមញ្ញសម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង fractal នៅក្នុងយន្តហោះមួយ។ យើងកំណត់បន្ទាត់ខូចតាមអំពើចិត្តជាមួយនឹងចំនួនតំណភ្ជាប់កំណត់ ហៅថាម៉ាស៊ីនភ្លើង។ បន្ទាប់យើងជំនួសផ្នែកនីមួយៗនៅក្នុងវាដោយម៉ាស៊ីនភ្លើង (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀតគឺខ្សែដែលខូចស្រដៀងនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើង) ។ នៅក្នុងបន្ទាត់ដែលខូចលទ្ធផលយើងម្តងទៀតជំនួសផ្នែកនីមួយៗដោយម៉ាស៊ីនភ្លើង។ បន្តទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ក្នុងដែនកំណត់យើងទទួលបានខ្សែកោង fractal ។ តួលេខនៅខាងស្តាំបង្ហាញពីជំហានបួនដំបូងនៃនីតិវិធីនេះសម្រាប់ខ្សែកោង Koch ។

ឧទាហរណ៍នៃខ្សែកោងបែបនេះគឺ៖

ខ្សែកោងនាគ,

ខ្សែកោង Koch (Koch snowflake),

Levy Curve,

ខ្សែកោង minkowski,

Hilbert Curve,

ខូច (កោង) នាគ (Fractal Harter-Hateway),

ខ្សែកោងសណ្តែកដី។

ដោយប្រើនីតិវិធីស្រដៀងគ្នា ដើមឈើ Pythagorean ត្រូវបានទទួល។

Fractals ជាចំណុចថេរនៃការគូសផែនទីកិច្ចសន្យា

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃភាពស្រដៀងគ្នាដោយខ្លួនឯងអាចត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងម៉ត់ចត់តាមគណិតវិទ្យាដូចខាងក្រោម។ ទុកជាផែនទីបង្រួមនៃយន្តហោះ។ ពិចារណាលើការគូសផែនទីខាងក្រោមលើសំណុំរងនៃយន្តហោះបង្រួម (បិទ និងកំណត់) ទាំងអស់៖

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាការគូសវាសគឺជាការគូសផែនទីបង្រួមនៅលើសំណុំនៃសំណុំបង្រួមជាមួយនឹងម៉ែត្រ Hausdorff ។ ដូច្នេះ តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Banach ការគូសផែនទីនេះមានចំណុចថេរតែមួយគត់។ ចំណុចថេរនេះនឹងក្លាយជាប្រភាគរបស់យើង។

នីតិវិធី recursive សម្រាប់ការទទួលបានខ្សែកោង fractal ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើគឺជាករណីពិសេសនៃការសាងសង់នេះ។ នៅក្នុងវា ផែនទីទាំងអស់គឺជាផែនទីភាពស្រដៀងគ្នា និងជាចំនួននៃតំណភ្ជាប់ម៉ាស៊ីនភ្លើង។

សម្រាប់ត្រីកោណ Sierpinski និងការគូសវាស គឺដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាលនៅចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណធម្មតា និងមេគុណ 1/2 ។ វាងាយមើលឃើញថា ត្រីកោណ Sierpinski ប្រែទៅជាខ្លួនវាផ្ទាល់នៅក្រោមផែនទី

ក្នុងករណីនៅពេលដែលការគូសវាសគឺជាការបំប្លែងភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយមេគុណ វិមាត្រនៃ fractal (ក្រោមលក្ខខណ្ឌបច្ចេកទេសបន្ថែមមួយចំនួន) អាចត្រូវបានគណនាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។ ដូច្នេះសម្រាប់ត្រីកោណ Sierpinski យើងទទួលបាន .

យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Banach ដូចគ្នា ដោយចាប់ផ្តើមពីសំណុំបង្រួមណាមួយ ហើយអនុវត្តទៅវាដដែលៗនៃការគូសវាស យើងទទួលបានលំដាប់នៃសំណុំបង្រួមដែលបញ្ចូលគ្នា (ក្នុងន័យនៃម៉ែត្រ Hausdorff) ទៅ fractal របស់យើង។

Fractals នៅក្នុងឌីណាមិកស្មុគស្មាញ

Julia កំណត់

ឈុតមួយទៀតរបស់ Julia

Fractals កើតឡើងដោយធម្មជាតិនៅក្នុងការសិក្សានៃប្រព័ន្ធថាមវន្តដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ។ ករណីដែលបានសិក្សាច្រើនបំផុតគឺនៅពេលដែលប្រព័ន្ធថាមវន្តត្រូវបានកំណត់ដោយការធ្វើឡើងវិញនៃពហុធា ឬមុខងារ holomorphic នៃអថេរស្មុគស្មាញនៅលើយន្តហោះ។ ការសិក្សាដំបូងនៅក្នុងតំបន់នេះមានតាំងពីដើមសតវត្សទី 20 ហើយត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់ Fatou និង Julia ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ច(z) - ពហុនាម, z 0 គឺជាចំនួនកុំផ្លិច។ ពិចារណាលំដាប់ដូចខាងក្រោមៈ z 0 , z 1 =ច(z 0), z 2 =ច(ច(z 0)) = ច(z 1),z 3 =ច(ច(ច(z 0)))=ច(z 2), …

យើងចាប់អារម្មណ៍លើឥរិយាបថនៃលំដាប់នេះ ដូចដែលយើងមានទំនោរទៅ នទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ លំដាប់នេះអាច៖

ព្យាយាមសម្រាប់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់

ខិតខំ​ឱ្យ​អស់​ពី​សមត្ថភាព

បង្ហាញអាកប្បកិរិយារង្វិលនៅក្នុងដែនកំណត់ ឧទាហរណ៍៖ z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

ប្រព្រឹត្ត​វឹកវរ ពោល​គឺ​មិន​បង្ហាញ​នូវ​ឥរិយាបទ​ណា​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​ឥរិយាបទ​ទាំង​បី​ដែល​បាន​លើក​ឡើង។

សំណុំនៃតម្លៃ z 0 ដែលលំដាប់បង្ហាញប្រភេទជាក់លាក់មួយនៃឥរិយាបទ ក៏ដូចជាសំណុំនៃចំណុច bifurcation រវាងប្រភេទផ្សេងគ្នា ជាញឹកញាប់មានលក្ខណៈសម្បត្តិ fractal ។

ដូច្នេះសំណុំ Julia គឺជាសំណុំនៃចំណុច bifurcation សម្រាប់ពហុនាម ច(z)=z 2 +គ(ឬមុខងារស្រដៀងគ្នាផ្សេងទៀត) នោះគឺតម្លៃទាំងនោះ z 0 ដែល​ឥរិយាបថ​នៃ​លំដាប់ ( z ន) អាចផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងខ្លាំងជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរតិចតួចតាមអំពើចិត្ត z 0 .

ជម្រើសមួយទៀតសម្រាប់ការទទួលបានសំណុំ fractal គឺដើម្បីណែនាំប៉ារ៉ាម៉ែត្រចូលទៅក្នុងពហុនាម ច(z) ហើយ​ពិចារណា​លើ​សំណុំ​នៃ​តម្លៃ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ទាំងនោះ​ដែល​លំដាប់ ( z ន) បង្ហាញពីអាកប្បកិរិយាជាក់លាក់មួយសម្រាប់ថេរ z 0. ដូច្នេះ សំណុំ Mandelbrot គឺជាសំណុំទាំងអស់សម្រាប់ ( z ន) សម្រាប់ ច(z)=z 2 +គនិង z 0 មិន​ទៅ​ដល់​ភាព​គ្មាន​កំណត់។

ឧទាហរណ៍ដ៏ល្បីមួយទៀតនៃប្រភេទនេះគឺអាងទឹករបស់ញូតុន។

វាគឺជាការពេញនិយមក្នុងការបង្កើតរូបភាពក្រាហ្វិកដ៏ស្រស់ស្អាតដោយផ្អែកលើឌីណាមិកស្មុគ្រស្មាញដោយការលាបពណ៌ចំណុចយន្តហោះអាស្រ័យលើឥរិយាបថនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តដែលត្រូវគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ដើម្បី​បំពេញ​សំណុំ Mandelbrot អ្នក​អាច​ពណ៌​ចំណុច​អាស្រ័យ​លើ​ល្បឿន​នៃ​ការ​ព្យាយាម ( z ន) ទៅ ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ (កំណត់និយាយថាជាចំនួនតូចបំផុត។ ន, កន្លែងណា | z ន| លើសពីតម្លៃធំថេរ ក.

Biomorphs គឺជា fractal ដែលបង្កើតឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃថាមវន្តស្មុគស្មាញ និងស្រដៀងទៅនឹងសារពាង្គកាយមានជីវិត។

Stochastic fractal

ប្រភាគចៃដន្យដោយផ្អែកទៅលើសំណុំ Julia

វត្ថុធម្មជាតិច្រើនតែមានរាងប្រភាគ។ សម្រាប់​ការ​ធ្វើ​គំរូ​របស់​ពួក​គេ ការ​ប្រើ​ fractal stochastic (ចៃដន្យ) អាច​ត្រូវ​បាន​ប្រើ។ ឧទាហរណ៍នៃ fractal stochastic៖

គន្លងនៃចលនា Brownian នៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ;

ព្រំដែននៃគន្លងនៃចលនា Brownian នៅលើយន្តហោះ។ ក្នុងឆ្នាំ 2001 លោក Lawler, Schramm និង Werner បានបង្ហាញពីការសន្និដ្ឋានរបស់ Mandelbrot ថាវិមាត្ររបស់វាគឺ 4/3 ។

ការវិវត្តន៍របស់ Schramm-Löwner គឺជាខ្សែកោង fractal ដែលមិនប្រែប្រួលដែលកើតឡើងនៅក្នុងគំរូពីរវិមាត្រសំខាន់នៃមេកានិចស្ថិតិ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងគំរូ Ising និង percolation ។

ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃ fractals ចៃដន្យ នោះគឺ fractals ដែលទទួលបានដោយប្រើនីតិវិធី recursive ដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រចៃដន្យត្រូវបានណែនាំនៅជំហាននីមួយៗ។ ប្លាស្មាគឺជាឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់ fractal បែបនេះនៅក្នុងក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ។

នៅក្នុង​ធម្មជាតិ

ទិដ្ឋភាពខាងមុខនៃ trachea និង bronchi

ដើមឈើ bronchial

បណ្តាញសរសៃឈាម

ការដាក់ពាក្យ

វិទ្យា​សា​ស្រ្ត​ធម្មជាតិ

នៅក្នុងរូបវិទ្យា Fractals កើតឡើងដោយធម្មជាតិនៅពេលដែលធ្វើគំរូនូវដំណើរការដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ដូចជាលំហូរនៃសារធាតុរាវដែលមានភាពច្របូកច្របល់ ដំណើរការស្មុគ្រស្មាញនៃការសាយភាយ-ស្រូបយក អណ្តាតភ្លើង ពពក។ល។ នៅក្នុងជីវវិទ្យា ពួកវាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីធ្វើគំរូចំនួនប្រជាជន និងដើម្បីពិពណ៌នាអំពីប្រព័ន្ធនៃសរីរាង្គខាងក្នុង (ប្រព័ន្ធសរសៃឈាម)។

វិស្វកម្មវិទ្យុ

អង់តែន fractal

ការប្រើប្រាស់ធរណីមាត្រ fractal ក្នុងការរចនាឧបករណ៍អង់តែនត្រូវបានអនុវត្តដំបូងដោយវិស្វករជនជាតិអាមេរិក Nathan Cohen ដែលបន្ទាប់មករស់នៅក្នុងទីក្រុង Boston ជាកន្លែងដែលវាត្រូវបានហាមឃាត់មិនឱ្យដំឡើងអង់តែនខាងក្រៅនៅលើអគារ។ ណាថានកាត់ចេញជាទម្រង់នៃខ្សែកោង Koch ពីបន្ទះអាលុយមីញ៉ូម ហើយបិទភ្ជាប់វានៅលើសន្លឹកក្រដាស បន្ទាប់មកភ្ជាប់វាទៅអ្នកទទួល។ Cohen បានបង្កើតក្រុមហ៊ុនផ្ទាល់ខ្លួនរបស់គាត់ ហើយចាប់ផ្តើមការផលិតសៀរៀលរបស់ពួកគេ។

ពត៌មានវិទ្យា

ការបង្ហាប់រូបភាព

អត្ថបទដើមចម្បង៖ ក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាប់ប្រភាគ

ដើមឈើប្រភាគ

មានក្បួនដោះស្រាយការបង្ហាប់រូបភាពដោយប្រើ fractal ។ ពួកគេផ្អែកលើគំនិតដែលថាជំនួសឱ្យរូបភាពខ្លួនវា អ្នកអាចរក្សាទុកផែនទីបង្រួម ដែលរូបភាពនេះ (ឬខ្លះនៅជិតវា) គឺជាចំណុចថេរ។ វ៉ារ្យ៉ង់មួយនៃក្បួនដោះស្រាយនេះត្រូវបានប្រើ [ ប្រភពមិនបានបញ្ជាក់ 895 ថ្ងៃ។] ដោយ Microsoft នៅពេលបោះពុម្ពសព្វវចនាធិប្បាយរបស់ខ្លួន ប៉ុន្តែក្បួនដោះស្រាយទាំងនេះមិនត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយទេ។

ក្រាហ្វិកកុំព្យូទ័រ

ដើមឈើប្រភាគមួយទៀត

Fractals ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​យ៉ាង​ទូលំទូលាយ​ក្នុង​ក្រាហ្វិក​កុំព្យូទ័រ​ដើម្បី​បង្កើត​រូបភាព​នៃ​វត្ថុ​ធម្មជាតិ​ដូចជា​ដើមឈើ គុម្ពោត ទេសភាព​ភ្នំ ផ្ទៃ​សមុទ្រ​ជាដើម។ មានកម្មវិធីជាច្រើនដែលប្រើដើម្បីបង្កើតរូបភាព fractal សូមមើល Fractal Generator (កម្មវិធី)។

បណ្តាញវិមជ្ឈការ

ប្រព័ន្ធកំណត់អាសយដ្ឋាន IP របស់ Netsukuku ប្រើគោលការណ៍នៃការបង្ហាប់ព័ត៌មានប្រភាគ ដើម្បីរក្សាទុកព័ត៌មានអំពីថ្នាំងបណ្តាញយ៉ាងបង្រួមតូច។ ថ្នាំងនីមួយៗនៅលើបណ្តាញ Netsukuku រក្សាទុកតែ 4 KB នៃព័ត៌មានអំពីស្ថានភាពនៃថ្នាំងជិតខាង ខណៈដែលថ្នាំងថ្មីណាមួយភ្ជាប់ទៅបណ្តាញទូទៅដោយមិនចាំបាច់មានបទប្បញ្ញត្តិកណ្តាលនៃការចែកចាយអាសយដ្ឋាន IP ដែលជាតួយ៉ាងសម្រាប់ អ៊ីនធឺណិត។ ដូច្នេះគោលការណ៍នៃការបង្ហាប់ព័ត៌មាន fractal ធានានូវវិមជ្ឈការទាំងស្រុង ហើយដូច្នេះ ប្រតិបត្តិការមានស្ថេរភាពបំផុតនៃបណ្តាញទាំងមូល។