យន្តហោះ Lobachevsky

ធរណីមាត្រ Lobachevsky (ធរណីមាត្រអ៊ីពែរបូលស្តាប់)) គឺជាធរណីមាត្រមួយក្នុងចំនោមធរណីមាត្រដែលមិនមែនជាអឺគ្លីដ ដែលជាទ្រឹស្ដីធរណីមាត្រដែលផ្អែកលើមូលដ្ឋានដូចគ្នាទៅនឹងធរណីមាត្រ Euclidean ធម្មតា លើកលែងតែ axiom ប៉ារ៉ាឡែល ដែលត្រូវបានជំនួសដោយ axiom ប៉ារ៉ាឡែលរបស់ Lobachevsky ។

អ័ក្សអឺគ្លីដនៃភាពស្របគ្នានិយាយថា៖

តាមរយៈចំនុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ មានតែមួយបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅជាមួយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ ហើយមិនប្រសព្វវា។

នៅក្នុងធរណីមាត្រ Lobachevsky អ័ក្សខាងក្រោមត្រូវបានទទួលយកជំនួសវិញ៖

តាមរយៈចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះឆ្លងកាត់យ៉ាងហោចណាស់ពីរបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅជាមួយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ ហើយកុំប្រសព្វវា។

ធរណីមាត្រ Lobachevsky មានកម្មវិធីយ៉ាងទូលំទូលាយទាំងផ្នែកគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា។ សារៈសំខាន់ប្រវត្តិសាស្ត្ររបស់វាស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាដោយការសាងសង់របស់វា Lobachevsky បានបង្ហាញពីលទ្ធភាពនៃធរណីមាត្រខុសពី Euclidean ដែលបានសម្គាល់យុគសម័យថ្មីក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រនិងគណិតវិទ្យាជាទូទៅ។

រឿង

ការព្យាយាមដើម្បីបញ្ជាក់ postulate ទីប្រាំ

ចំណុចចាប់ផ្តើមនៃធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky គឺជា postulate ទីប្រាំរបស់ Euclid ដែលជា axiom ស្មើនឹង axiom ប៉ារ៉ាឡែល។ វាត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងបញ្ជីនៃ postulates នៅក្នុង Euclid's Elements) ។ ភាពស្មុគស្មាញដែលទាក់ទង និងមិនវិចារណញាណនៃការបង្កើតរបស់វាបានធ្វើឱ្យមានអារម្មណ៍នៃធម្មជាតិបន្ទាប់បន្សំរបស់វា ហើយបានបង្កឱ្យមានការប៉ុនប៉ងទាញយកវាពី postulates ផ្សេងទៀតរបស់ Euclid ។

ក្នុង​ចំណោម​អ្នក​ដែល​ព្យាយាម​បញ្ជាក់​មាន​អ្នក​វិទ្យាសាស្ត្រ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

• គណិតវិទូក្រិកបុរាណ Ptolemy (សតវត្សទី II), Proclus (សតវត្សទី V) (ផ្អែកលើការសន្មត់ថាចម្ងាយរវាងប៉ារ៉ាឡែលពីរគឺកំណត់),
• Ibn al-Haytham មកពីប្រទេសអ៊ីរ៉ាក់ (ចុង - ដើមសតវត្ស) (ផ្អែកលើការសន្មត់ថាចុងបញ្ចប់នៃការផ្លាស់ប្តូរកាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រង់ពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ត្រង់)
• គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីរ៉ង់ Omar Khayyam (ពាក់កណ្តាលទី 2 - ការចាប់ផ្តើមនៃសតវត្សទី 12) និង Nasir ad-Din at-Tusi (សតវត្សទី XIII) (ផ្អែកលើការសន្មត់ថាបន្ទាត់ពីរមិនអាចបន្តបំបែកបានដោយមិនឆ្លងកាត់)
• គណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ Clavius ​​​​(),
• គណិតវិទូអ៊ីតាលី
  • Cataldi (ជាលើកដំបូងនៅឆ្នាំ 1603 គាត់បានបោះពុម្ពការងារដែលលះបង់ទាំងស្រុងចំពោះសំណួរនៃភាពស្រដៀងគ្នា)
• គណិតវិទូអង់គ្លេស វ៉ាលីស ( បោះពុម្ពក្នុង ) (ផ្អែកលើការសន្មត់ថា សម្រាប់រូបនីមួយៗមានតួរលេខស្រដៀងនឹងវា ប៉ុន្តែមិនស្មើនឹងវា)
• គណិតវិទូជនជាតិបារាំង Legendre () (ផ្អែកលើការសន្មត់ថាតាមរយៈចំណុចនីមួយៗនៅក្នុងមុំស្រួច អ្នកអាចគូរបន្ទាត់ដែលកាត់ជ្រុងទាំងសងខាងនៃមុំ ហើយគាត់ក៏មានការប៉ុនប៉ងផ្សេងទៀតដើម្បីបញ្ជាក់ផងដែរ)។

នៅក្នុងការប៉ុនប៉ងទាំងនេះដើម្បីបញ្ជាក់ postulate ទីប្រាំ គណិតវិទូបានណែនាំការអះអាងថ្មីមួយចំនួន ដែលហាក់ដូចជាពួកគេកាន់តែច្បាស់។

មានការព្យាយាមប្រើភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នា៖

• គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Saccheri () (ដោយបានបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលផ្ទុយនឹង postulate គាត់បានគណនាផលវិបាកមួយចំនួន ហើយដោយបានទទួលស្គាល់កំហុសមួយចំនួនថាវាផ្ទុយ គាត់បានចាត់ទុក postulate បង្ហាញឱ្យឃើញ)
• គណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ Lambert (អំពី បោះពុម្ភក្នុង) (បន្ទាប់ពីធ្វើការស្រាវជ្រាវ គាត់បានសារភាពថាគាត់មិនអាចរកឃើញភាពផ្ទុយគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលគាត់បានបង្កើត)។

ទីបំផុត ការយល់ដឹងបានចាប់ផ្ដើមកើតឡើងថា វាអាចទៅរួចក្នុងការបង្កើតទ្រឹស្ដីមួយដោយផ្អែកលើ postulate ផ្ទុយ៖

• គណិតវិទូអាឡឺម៉ង់ F. Schweikart () និង Taurinus () (ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ពួកគេមិនបានដឹងថាទ្រឹស្ដីបែបនេះនឹងមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាដូចតក្កវិជ្ជាទេ)។

ការបង្កើតធរណីមាត្រមិនមែនអឺគ្លីដ

Lobachevsky នៅក្នុងការងាររបស់គាត់ "On the Principles of Geometry" () ការងារបោះពុម្ពដំបូងរបស់គាត់លើធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean បានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ថា V postulate មិនអាចបញ្ជាក់បានដោយផ្អែកលើទីតាំងផ្សេងទៀតនៃធរណីមាត្រ Euclidean ហើយថាការសន្មត់នៃ postulate ផ្ទុយទៅនឹង postulate របស់ Euclid អនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់បង្កើតធរណីមាត្រដូចមានអត្ថន័យដូចជា Euclidean ហើយរួចផុតពីភាពផ្ទុយគ្នា។

ក្នុងពេលដំណាលគ្នានិងដោយឯករាជ្យ Janos Bolyai បានធ្វើការសន្និដ្ឋានស្រដៀងគ្នាហើយ Carl Friedrich Gauss បានឈានដល់ការសន្និដ្ឋានបែបនេះសូម្បីតែមុន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសរសេររបស់ Bolyai មិនបានទាក់ទាញការចាប់អារម្មណ៍ទេ ហើយភ្លាមៗនោះគាត់បានបោះបង់ចោលប្រធានបទនេះ ខណៈដែល Gauss បដិសេធមិនបោះពុម្ពអ្វីទាំងអស់ ហើយទស្សនៈរបស់គាត់អាចវិនិច្ឆ័យបានតែពីសំបុត្រ និងកំណត់ហេតុប្រចាំថ្ងៃប៉ុណ្ណោះ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសំបុត្រឆ្នាំ 1846 ទៅកាន់តារាវិទូ G. H. Schumacher លោក Gauss និយាយអំពីការងាររបស់ Lobachevsky ដូចខាងក្រោម៖

ការងារនេះមានមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃធរណីមាត្រដែលនឹងត្រូវកើតឡើង ហើយលើសពីនេះទៅទៀតនឹងបង្កើតបានជាធរណីមាត្រទាំងស្រុង ប្រសិនបើធរណីមាត្រ Euclidean មិនពិត ... Lobachevsky ហៅវាថា "ធរណីមាត្រស្រមើលស្រមៃ" ។ អ្នកដឹងទេថាអស់រយៈពេល 54 ឆ្នាំ (ចាប់តាំងពីឆ្នាំ 1792) ខ្ញុំបានចែករំលែកទស្សនៈដូចគ្នាជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍មួយចំនួនរបស់ពួកគេ ដែលខ្ញុំមិនចង់និយាយនៅទីនេះ។ ដូច្នេះ ខ្ញុំមិនបានរកឃើញអ្វីថ្មីសម្រាប់ខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់នៅក្នុងការងាររបស់ Lobachevsky ទេ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអភិវឌ្ឍនៃប្រធានបទអ្នកនិពន្ធមិនបានដើរតាមមាគ៌ាដែលខ្លួនខ្ញុំផ្ទាល់បានដើរតាម; វាត្រូវបានធ្វើយ៉ាងប៉ិនប្រសប់ដោយ Lobachevsky ក្នុងស្មារតីធរណីមាត្រពិតប្រាកដ។ ខ្ញុំចាត់ទុកខ្លួនឯងថាមានកាតព្វកិច្ចដើម្បីទាក់ទាញការយកចិត្តទុកដាក់របស់អ្នកចំពោះការងារនេះ ដែលប្រាកដជានឹងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវសេចក្តីរីករាយពិសេស។

ជាលទ្ធផល Lobachevsky បានដើរតួជាអ្នកឃោសនាដ៏ភ្លឺបំផុតនិងជាប់លាប់បំផុតដំបូងនៃទ្រឹស្តីនេះ។

ទោះបីជាធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky បានបង្កើតជាទ្រឹស្ដីទស្សន៍ទាយ ហើយ Lobachevsky ខ្លួនឯងបានហៅវាថា "ធរណីមាត្រស្រមើលស្រមៃ" យ៉ាងណាក៏ដោយ វាគឺជា Lobachevsky ដែលបានចាត់ទុកវាមិនមែនជាល្បែងនៃចិត្ត ប៉ុន្តែជាទ្រឹស្តីដែលអាចធ្វើទៅបាននៃទំនាក់ទំនងលំហ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ភស្តុតាងនៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នារបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលក្រោយ នៅពេលដែលការបកស្រាយរបស់វាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ ហើយដូច្នេះសំណួរនៃអត្ថន័យពិត ភាពស៊ីសង្វាក់គ្នានៃឡូជីខលត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុង។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃធរណីមាត្រ Lobachevsky

ជ្រុងគឺកាន់តែពិបាក។

ម៉ូដែល Poincare

ខ្លឹមសារនៃធរណីមាត្រ Lobachevsky

ខ្មៅដៃនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលនៅក្នុងធរណីមាត្រ Lobachevsky

Lobachevsky បានសាងសង់ធរណីមាត្ររបស់គាត់ ដោយចាប់ផ្តើមពីគោលគំនិតធរណីមាត្រជាមូលដ្ឋាន និង axiom របស់គាត់ ហើយបានបង្ហាញពីទ្រឹស្តីបទដោយវិធីសាស្ត្រធរណីមាត្រ ស្រដៀងទៅនឹងរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងធរណីមាត្ររបស់ Euclid ។ ទ្រឹស្តីនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលបានបម្រើជាមូលដ្ឋានព្រោះវានៅទីនេះដែលភាពខុសគ្នារវាងធរណីមាត្រ Lobachevsky និងធរណីមាត្ររបស់ Euclid ចាប់ផ្តើម។ ទ្រឹស្តីបទទាំងអស់ដែលមិនអាស្រ័យលើ axiom នៃប៉ារ៉ាឡែលគឺជារឿងធម្មតាសម្រាប់ធរណីមាត្រទាំងពីរ ហើយបង្កើតបានជាអ្វីដែលហៅថាធរណីមាត្រដាច់ខាត ដែលរួមមានឧទាហរណ៍ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីសមភាពនៃត្រីកោណ។ បន្ទាប់ពីទ្រឹស្តីនៃប៉ារ៉ាឡែល ផ្នែកផ្សេងទៀតត្រូវបានសាងសង់ រួមទាំងត្រីកោណមាត្រ និងគោលការណ៍នៃធរណីមាត្រវិភាគ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញ (នៅក្នុងសញ្ញាណទំនើប) ការពិតមួយចំនួននៃធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky ដែលបែងចែកវាពីធរណីមាត្ររបស់ Euclid ហើយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Lobachevsky ខ្លួនឯង។

តាមរយៈចំណុច ទំមិនកុហកនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ រ(សូមមើលរូប) មានបន្ទាត់ត្រង់ជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់ ដែលមិនប្រសព្វគ្នា។ រនិងមានទីតាំងនៅជាមួយវានៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា; ក្នុងចំណោមពួកគេមានពីរខ្លាំង x, yដែលត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល រនៅក្នុងន័យរបស់ Lobachevsky ។ នៅក្នុងគំរូរបស់ Klein (Poincare's) ពួកគេត្រូវបានតំណាងដោយអង្កត់ធ្នូ (ធ្នូនៃរង្វង់) ដែលមានអង្កត់ធ្នូ (ធ្នូ) រការបញ្ចប់ទូទៅ (ដែលតាមនិយមន័យនៃគំរូត្រូវបានដកចេញ ដូច្នេះបន្ទាត់ទាំងនេះមិនមានចំណុចរួម)។

មុំរវាងកាត់កែង PBពី ទំនៅ​លើ រនិងស្របគ្នា (ហៅថា មុំនៃភាពស្របគ្នា។) ដូចដែលចំណុចត្រូវបានដកចេញ ទំថយចុះពីបន្ទាត់ត្រង់ពី 90 °ទៅ 0 ° (នៅក្នុងគំរូ Poincaré មុំក្នុងន័យធម្មតាស្របគ្នានឹងមុំក្នុងន័យ Lobachevsky ហើយដូច្នេះការពិតនេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញដោយផ្ទាល់នៅលើវា) ។ ប៉ារ៉ាឡែល xនៅលើដៃម្ខាង (និង yផ្ទុយ) វិធីសាស្រ្ត asymptotically កហើយម្យ៉ាងវិញទៀត វាផ្លាស់ទីឆ្ងាយពីវាដោយឥតកំណត់ (នៅក្នុងគំរូ ចម្ងាយគឺពិបាកក្នុងការកំណត់ ដូច្នេះហើយការពិតនេះមិនអាចមើលឃើញដោយផ្ទាល់ទេ)។

សម្រាប់ចំណុចដែលស្ថិតនៅពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅចម្ងាយ PB = ក(សូមមើលរូប) Lobachevsky បានផ្តល់រូបមន្តសម្រាប់មុំនៃភាពស្របគ្នា។ P(a) :

នៅទីនេះ qគឺថេរខ្លះទាក់ទងនឹងកោងនៃលំហ Lobachevsky ។ វា​អាច​បម្រើ​ជា​ឯកតា​នៃ​ប្រវែង​ដាច់ខាត​ក្នុង​វិធី​ដូចគ្នា​នឹង​ធរណីមាត្រ​ស្វ៊ែរ ដែល​កាំនៃ​ស្វ៊ែរ​កាន់កាប់​ទីតាំង​ពិសេស។

ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​មាន​កាត់​កែង​ធម្មតា នោះ​ពួកវា​បង្វែរ​គ្នា​ដោយ​គ្មាន​កំណត់​នៅ​ផ្នែក​ទាំងពីរ​របស់វា។ ចំពោះពួកគេណាមួយវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្តារកាត់កែងដែលមិនឈានដល់បន្ទាត់ផ្សេងទៀត។

នៅក្នុងធរណីមាត្រ Lobachevsky មិនមានត្រីកោណស្រដៀងគ្នាទេប៉ុន្តែមិនស្មើគ្នា; ត្រីកោណគឺស្របគ្នាប្រសិនបើមុំរបស់វាស្មើគ្នា។

ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណណាមួយគឺតិចជាង π ហើយអាចនៅជិតសូន្យតាមអំពើចិត្ត។ នេះអាចមើលឃើញដោយផ្ទាល់នៅក្នុងគំរូ Poincaré។ ភាពខុសគ្នា δ \u003d π - (α + β + γ) ដែល α , β , γ ជាមុំនៃត្រីកោណគឺសមាមាត្រទៅនឹងផ្ទៃរបស់វា៖

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីរូបមន្តថាមានផ្ទៃអតិបរមានៃត្រីកោណមួយ ហើយនេះគឺជាចំនួនកំណត់៖ π q 2 .

បន្ទាត់ដែលមានចម្ងាយស្មើគ្នាពីបន្ទាត់ត្រង់មិនមែនជាបន្ទាត់ត្រង់ទេ ប៉ុន្តែជាខ្សែកោងពិសេសហៅថា equidistant ឬ កង់ខ្ពស់.

ដែនកំណត់នៃរង្វង់នៃកាំដែលកើនឡើងឥតកំណត់មិនមែនជាបន្ទាត់ត្រង់នោះទេ ប៉ុន្តែជាខ្សែកោងពិសេសហៅថា រង្វង់កំណត់ឬជិះកង់។

ដែនកំណត់នៃលំហនៃកាំដែលកើនឡើងឥតកំណត់មិនមែនជាយន្តហោះទេ ប៉ុន្តែជាផ្ទៃពិសេសមួយ - រង្វង់ដែនកំណត់ ឬ horosphere; វាគួរអោយកត់សំគាល់ដែលធរណីមាត្រ Euclidean កាន់លើវា។ នេះបានបម្រើ Lobachevsky ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការចេញនៃរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ។

រង្វង់មិនសមាមាត្រទៅនឹងកាំទេ ប៉ុន្តែលូតលាស់លឿនជាងមុន។ ជាពិសេសនៅក្នុងធរណីមាត្រ Lobachevsky លេខ π មិនអាចត្រូវបានកំណត់ជាសមាមាត្រនៃរង្វង់រង្វង់ទៅនឹងអង្កត់ផ្ចិតរបស់វា។

តំបន់តូចជាងនៅក្នុងលំហ ឬនៅលើយន្តហោះ Lobachevsky ទំនាក់ទំនងធរណីមាត្រនៅក្នុងតំបន់នេះកាន់តែតិចខុសពីទំនាក់ទំនងនៃធរណីមាត្រ Euclidean ។ យើង​អាច​និយាយ​បាន​ថា នៅ​ក្នុង​តំបន់​ដែល​គ្មាន​ដែន​កំណត់ ធរណីមាត្រ Euclidean កើតឡើង។ ឧទាហរណ៍ ត្រីកោណតូចជាង ផលបូកនៃមុំរបស់វាតិចជាង π; រង្វង់កាន់តែតូច សមាមាត្រនៃប្រវែងរបស់វាទៅនឹងកាំខុសគ្នាតិចជាង 2π។ នៃធរណីមាត្រ Euclidean ។ ធរណីមាត្រ Euclidean គឺនៅក្នុងន័យនេះ "ដែនកំណត់" ករណីនៃធរណីមាត្រ Lobachevsky ។

កម្មវិធី

• Lobachevsky ខ្លួនគាត់ផ្ទាល់បានអនុវត្តធរណីមាត្ររបស់គាត់ទៅនឹងការគណនានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
• នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ ធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky បានជួយបង្កើតទ្រឹស្តីនៃមុខងារ automorphic ។ ការផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky នៅទីនេះគឺជាចំណុចចាប់ផ្តើមនៃការស្រាវជ្រាវរបស់ Poincaré ដែលបានសរសេរថា "ធរណីមាត្រដែលមិនមែនជា Euclidean គឺជាគន្លឹះក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាំងមូល" ។
• ធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky ក៏រកឃើញការអនុវត្តន៍នៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តធរណីមាត្ររបស់វា ដែលរួបរួមគ្នាក្រោមឈ្មោះ "ធរណីមាត្រនៃលេខ"។
• ទំនាក់ទំនងជិតស្និទ្ធត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងធរណីមាត្រ Lobachevsky និង kinematics នៃទ្រឹស្តីទំនាក់ទំនងពិសេស (ឯកជន) ។ ការតភ្ជាប់នេះគឺផ្អែកលើការពិតដែលថាសមភាពដែលបង្ហាញពីច្បាប់នៃការឃោសនានៃពន្លឺ

នៅពេលបែងចែកដោយ t 2, i.e. សម្រាប់ល្បឿននៃពន្លឺ, ផ្តល់ឱ្យ - សមីការនៃលំហក្នុងលំហជាមួយកូអរដោណេ v x , v y , v z- សមាសធាតុល្បឿនតាមបណ្តោយអ័ក្ស X, នៅ, z(នៅក្នុង "ចន្លោះល្បឿន") ។ ការបំប្លែង Lorentz រក្សាលំហនេះ ហើយដោយសារពួកវាជាលីនេអ៊ែរ បំប្លែងចន្លោះល្បឿនផ្ទាល់ទៅជាបន្ទាត់ត្រង់។ ដូច្នេះយោងទៅតាមគំរូ Klein នៅក្នុងលំហនៃល្បឿននៅខាងក្នុងរង្វង់នៃកាំមួយ។ ជាមួយនោះគឺសម្រាប់ល្បឿនតិចជាងល្បឿនពន្លឺ ធរណីមាត្រ Lobachevsky កើតឡើង។

• ធរណីមាត្រ Lobachevsky បានរកឃើញកម្មវិធីដ៏អស្ចារ្យមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីទូទៅនៃទំនាក់ទំនង។ ប្រសិនបើយើងពិចារណាការចែកចាយម៉ាស់នៃរូបធាតុក្នុងចក្រវាឡទៅជាឯកសណ្ឋាន (ការប៉ាន់ស្មាននេះអាចទទួលយកបាននៅលើមាត្រដ្ឋានលោហធាតុ) នោះវាបង្ហាញថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់នៃលំហមានធរណីមាត្រ Lobachevsky ។ ដូច្នេះ ការសន្មត់របស់ Lobachevsky អំពីធរណីមាត្ររបស់គាត់ថាជាទ្រឹស្តីដែលអាចទៅរួចនៃលំហពិតគឺមានភាពយុត្តិធម៌។
• ដោយប្រើគំរូ Klein ភស្តុតាងដ៏សាមញ្ញ និងខ្លីមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ

យើងធ្លាប់គិតថាធរណីមាត្រនៃពិភពលោកដែលបានសង្កេតគឺ Euclidean, i.e. វាបំពេញច្បាប់នៃធរណីមាត្រដែលត្រូវបានសិក្សានៅសាលា។ តាមពិតនេះមិនមែនជាការពិតទេ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាពីការបង្ហាញនៅក្នុងការពិតនៃធរណីមាត្រ Lobachevsky ដែលនៅ glance ដំបូងគឺអរូបីសុទ្ធសាធ។

ធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky ខុសពី Euclidean ធម្មតា ដែលនៅក្នុងនោះ តាមរយៈចំនុចមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ យ៉ាងហោចណាស់មានបន្ទាត់ពីរដែលស្ថិតនៅជាមួយបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងយន្តហោះតែមួយ ហើយមិនប្រសព្វវា។ វាត្រូវបានគេហៅផងដែរថាធរណីមាត្រអ៊ីពែរបូល។

1. ធរណីមាត្រ Euclidean - មានតែបន្ទាត់មួយប៉ុណ្ណោះឆ្លងកាត់ចំណុចពណ៌ស ដែលមិនប្រសព្វបន្ទាត់ពណ៌លឿង
2. ធរណីមាត្រ Riemann - បន្ទាត់ទាំងពីរប្រសព្វគ្នា (មិនមានបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលទេ)
3. ធរណីមាត្រ Lobachevsky - មានបន្ទាត់ត្រង់ជាច្រើនដែលមិនប្រសព្វបន្ទាត់ពណ៌លឿង ហើយឆ្លងកាត់ចំណុចពណ៌ស។

ដើម្បីឱ្យអ្នកអានស្រមៃមើលរឿងនេះ ចូរយើងរៀបរាប់ដោយសង្ខេបអំពីគំរូ Klein ។ នៅក្នុងគំរូនេះ យន្តហោះ Lobachevsky ត្រូវបានគេដឹងថាជាផ្នែកខាងក្នុងនៃរង្វង់កាំមួយ ដែលចំនុចនៃយន្តហោះគឺជាចំនុចនៃរង្វង់នេះ ហើយបន្ទាត់គឺជាអង្កត់ធ្នូ។ អង្កត់ធ្នូគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលភ្ជាប់ចំណុចពីរនៅលើរង្វង់មួយ។ ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរគឺពិបាកកំណត់ ប៉ុន្តែយើងមិនត្រូវការវាទេ។ តាមរូបភាពខាងលើ វាច្បាស់ណាស់ថាតាមរយៈចំនុច P មានបន្ទាត់ជាច្រើនគ្មានកំណត់ ដែលមិនប្រសព្វបន្ទាត់ a ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean ស្តង់ដារ មានបន្ទាត់តែមួយឆ្លងកាត់ចំនុច P ហើយមិនប្រសព្វបន្ទាត់ a ។ បន្ទាត់នេះគឺស្របគ្នា។

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅរឿងសំខាន់ - កម្មវិធីជាក់ស្តែងនៃធរណីមាត្រ Lobachevsky ។

ប្រព័ន្ធរុករកតាមផ្កាយរណប (GPS និង GLONASS) មានពីរផ្នែក៖ តារានិករគន្លងនៃផ្កាយរណប 24-29 ដែលដាក់ចន្លោះស្មើគ្នាជុំវិញផែនដី និងផ្នែកគ្រប់គ្រងលើផែនដី ដែលធានាការធ្វើសមកាលកម្មពេលវេលានៅលើផ្កាយរណប និងការប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេតែមួយ។ ផ្កាយរណបមាននាឡិកាអាតូមិកត្រឹមត្រូវណាស់ ហើយអ្នកទទួល (GPS-navigators) មាននាឡិការ៉ែថ្មខៀវធម្មតា។ អ្នកទទួលក៏មានព័ត៌មានអំពីកូអរដោនេនៃផ្កាយរណបទាំងអស់នៅពេលណាក៏បាន។ ផ្កាយរណបនៅចន្លោះពេលខ្លីបញ្ជូនសញ្ញាដែលមានទិន្នន័យនៅលើពេលវេលាចាប់ផ្តើមនៃការបញ្ជូន។ បន្ទាប់ពីទទួលបានសញ្ញាពីផ្កាយរណបយ៉ាងហោចណាស់បួន អ្នកទទួលអាចលៃតម្រូវនាឡិការបស់វា និងគណនាចម្ងាយទៅកាន់ផ្កាយរណបទាំងនេះដោយប្រើរូបមន្ត ((ពេលវេលាដែលសញ្ញាត្រូវបានបញ្ជូនដោយផ្កាយរណប) - (ពេលវេលាដែលសញ្ញាត្រូវបានទទួលពីផ្កាយរណប)) x (ល្បឿននៃពន្លឺ) = (ចម្ងាយទៅផ្កាយរណប) ។ ចម្ងាយដែលបានគណនាក៏ត្រូវបានកែដំរូវតាមរូបមន្តដែលបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងឧបករណ៍ទទួល។ លើសពីនេះទៀតអ្នកទទួលរកឃើញកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃស្វ៊ែរដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅក្នុងផ្កាយរណបនិងរ៉ាឌីស្មើនឹងចម្ងាយដែលបានគណនាទៅពួកគេ។ ជាក់ស្តែងទាំងនេះនឹងជាកូអរដោនេរបស់អ្នកទទួល។

មិត្តអ្នកអានប្រហែលជាដឹងហើយថា ដោយសារឥទ្ធិពលក្នុង Special Relativity ដោយសារតែល្បឿនផ្កាយរណបមានល្បឿនលឿន ពេលវេលាក្នុងគន្លងគឺខុសពីពេលវេលានៅលើផែនដី។ ប៉ុន្តែនៅតែមានឥទ្ធិពលស្រដៀងគ្នានៅក្នុងទ្រឹស្តីទូទៅនៃទំនាក់ទំនង ដែលភ្ជាប់យ៉ាងជាក់លាក់ជាមួយនឹងធរណីមាត្រដែលមិនមែនជាអ៊ីក្លីដនៃពេលវេលាលំហ។ ជាថ្មីម្តងទៀត យើងនឹងមិនចូលទៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិតគណិតវិទ្យាទេ ព្រោះពួកវាជាអរូបី។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងឈប់គិតពីផលប៉ះពាល់ទាំងនេះ នោះក្នុងរយៈពេលមួយថ្ងៃនៃប្រតិបត្តិការ កំហុសនៃការបញ្ជាទិញ 10 គីឡូម៉ែត្រនឹងកកកុញនៅក្នុងការអាននៃប្រព័ន្ធរុករក។

រូបមន្តធរណីមាត្រ Lobachevsky ក៏ត្រូវបានប្រើក្នុងរូបវិទ្យាថាមពលខ្ពស់ផងដែរ ពោលគឺក្នុងការគណនាឧបករណ៍បង្កើនល្បឿនភាគល្អិត។ លំហអ៊ីពែរបូល (ពោលគឺចន្លោះដែលច្បាប់នៃធរណីមាត្រអ៊ីពែរបូលដំណើរការ) ក៏ត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងធម្មជាតិផងដែរ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍បន្ថែម៖

ធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky អាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងរចនាសម្ព័ន្ធនៃផ្កាថ្ម, នៅក្នុងការរៀបចំរចនាសម្ព័ន្ធកោសិកានៅក្នុងរោងចក្រមួយ, នៅក្នុងស្ថាបត្យកម្ម, នៅក្នុងផ្កាមួយចំនួននិងដូច្នេះនៅលើ។ ដោយវិធីនេះ ប្រសិនបើអ្នកចាំនៅក្នុងបញ្ហាចុងក្រោយ យើងបាននិយាយអំពី hexagons នៅក្នុងធម្មជាតិ ហើយដូច្នេះ នៅក្នុងធម្មជាតិអ៊ីពែរបូល ជម្រើសគឺ heptagons ដែលរីករាលដាលផងដែរ។

បានបោះឆ្នោត សូមអរគុណ!

អ្នកអាចចាប់អារម្មណ៍លើ៖

• 
  

” ដោយឧទ្ទិសដល់ទំនាក់ទំនងរវាងវិទ្យាសាស្ត្ររុស្ស៊ី និងអង់គ្លេស គណិតវិទូ Valentina Kirichenko ប្រាប់ PostNauka អំពីធម្មជាតិបដិវត្តន៍នៃគំនិតរបស់ Lobachevsky សម្រាប់ធរណីមាត្រនៃសតវត្សទី 19 ។

បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមិនប្រសព្វសូម្បីតែនៅក្នុងធរណីមាត្រ Lobachevsky ។ នៅកន្លែងណាមួយនៅក្នុងខ្សែភាពយន្តអ្នកអាចរកឃើញឃ្លាថា "ប៉ុន្តែបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល Lobachevsky របស់យើងប្រសព្វគ្នា" ។ ស្តាប់ទៅល្អ ប៉ុន្តែវាមិនពិតទេ។ Nikolai Ivanovich Lobachevsky ពិតជាបានបង្កើតធរណីមាត្រមិនធម្មតាដែលបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមានឥរិយាបថខុសពីអ្វីដែលយើងធ្លាប់ប្រើ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយពួកគេមិនប្រសព្វគ្នាទេ។

យើង​ទម្លាប់​គិត​ថា​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល​ពីរ​មិន​ចូល​ទៅ​ជិត ឬ​ស្រក​ទេ។ នោះគឺមិនថាចំនុចណានៅលើខ្សែទីមួយដែលយើងយកនោះទេ ចំងាយពីវាទៅខ្សែទីពីរគឺដូចគ្នា វាមិនអាស្រ័យលើចំនុចនោះទេ។ ប៉ុន្តែតើវាពិតជាដូច្នេះមែនឬ? ហើយ​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​ដូច្នេះ? ហើយតើនេះអាចផ្ទៀងផ្ទាត់បានដោយរបៀបណា?

ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីបន្ទាត់រូបវន្ត នោះមានតែផ្នែកតូចមួយនៃបន្ទាត់នីមួយៗប៉ុណ្ណោះដែលអាចរកបានសម្រាប់យើងសម្រាប់ការសង្កេត។ ហើយដោយសារមានកំហុសក្នុងការវាស់វែង យើងនឹងមិនអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានច្បាស់លាស់ណាមួយអំពីរបៀបដែលបន្ទាត់មានឥរិយាបទខ្លាំង ឆ្ងាយពីយើង។ សំណួរស្រដៀងគ្នានេះបានកើតឡើងរួចហើយក្នុងចំណោមជនជាតិក្រិចបុរាណ។ នៅសតវត្សទី III មុនគ.ស អ្នកធរណីមាត្រក្រិកបុរាណ Euclid បានបញ្ជាក់យ៉ាងត្រឹមត្រូវអំពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល ដែលគាត់មិនអាចបញ្ជាក់ ឬបដិសេធបានទេ។ ដូច្នេះ​ហើយ​បាន​ជា​លោក​ហៅ​វា​ថា​ជា​សុភាសិត​មួយ​ដែល​គួរ​តែ​ប្រកាន់​យក​នូវ​ជំនឿ។ នេះគឺជា postulate ទីប្រាំដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Euclid: ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ពីរនៅលើយន្តហោះប្រសព្វគ្នាជាមួយ secant ដូច្នេះផលបូកនៃមុំម្ខាងខាងក្នុងគឺតិចជាងពីរបន្ទាត់ត្រង់នោះគឺតិចជាង 180 ដឺក្រេបន្ទាប់មកជាមួយនឹងគ្រប់គ្រាន់។ ការបន្ត បន្ទាត់ទាំងពីរនេះនឹងប្រសព្វគ្នា ហើយវាច្បាស់ណាស់នៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃ secant ដែលផលបូកគឺតិចជាងពីរមុំខាងស្តាំ។

ពាក្យគន្លឹះនៅក្នុង postulate នេះគឺ "ជាមួយនឹងការបន្តគ្រប់គ្រាន់" ។ វាគឺដោយសារតែពាក្យទាំងនេះដែល postulate មិនអាចផ្ទៀងផ្ទាត់ជាក់ស្តែង។ ប្រហែលជាបន្ទាត់នឹងប្រសព្វគ្នានៅក្នុងបន្ទាត់នៃការមើលឃើញ។ ប្រហែលជាបន្ទាប់ពី 10 គីឡូម៉ែត្រ ឬហួសពីគន្លងរបស់ភពភ្លុយតូ ឬប្រហែលជានៅក្នុងកាឡាក់ស៊ីមួយទៀត។

Euclid បានគូសបញ្ជាក់អំពីគោលជំហររបស់គាត់ និងលទ្ធផលដែលតាមបែបឡូជីខលពីពួកគេនៅក្នុងសៀវភៅដ៏ល្បីល្បាញ "ការចាប់ផ្តើម" ។ ពាក្យរុស្ស៊ី "ធាតុ" មកពីចំណងជើងក្រិកបុរាណនៃសៀវភៅនេះហើយពាក្យ "ធាតុ" មកពីចំណងជើងឡាតាំង។ Euclid's Elements គឺជាសៀវភៅសិក្សាដ៏ពេញនិយមបំផុតគ្រប់ពេលវេលា។ បើ​និយាយ​ពី​ចំនួន​នៃ​ការ​បោះពុម្ព វា​ស្ថិត​នៅ​លំដាប់​ទី​ពីរ​បន្ទាប់​ពី​ព្រះ​គម្ពីរ។

ជាពិសេសខ្ញុំចង់កត់សម្គាល់ការបោះពុម្ពអង់គ្លេសដ៏អស្ចារ្យនៃឆ្នាំ 1847 ជាមួយនឹងរូបភាពដែលមើលឃើញ និងស្រស់ស្អាត។ ជំនួសឱ្យការរចនារិលលើគំនូរ គំនូរពណ៌ត្រូវបានប្រើនៅទីនោះ - មិនដូចនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាធរណីមាត្រសាលាទំនើបទេ។

រហូតមកដល់សតវត្សចុងក្រោយនេះ "ការចាប់ផ្តើម" របស់ Euclid គឺចាំបាច់សម្រាប់ការសិក្សានៅក្នុងកម្មវិធីអប់រំទាំងអស់ដែលបង្កប់ន័យការច្នៃប្រឌិតបញ្ញា ពោលគឺមិនត្រឹមតែរៀនសិប្បកម្មប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែអ្វីដែលកាន់តែមានបញ្ញា។ ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃ postulate ទីប្រាំរបស់ Euclid បានលើកឡើងនូវសំណួរធម្មជាតិមួយ: តើវាអាចបញ្ជាក់បានទេ នោះគឺជាការកាត់ចេញដោយសមហេតុផលពីការសន្មត់របស់ Euclid? គណិតវិទូជាច្រើនបានព្យាយាមធ្វើដូចនេះ ចាប់ពីសហសម័យនៃអឺគ្លីដ រហូតដល់សហសម័យនៃឡូបាឆូវស្គី។ តាមក្បួនមួយ ពួកគេបានកាត់បន្ថយ postulate ទី 5 ទៅជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបង្ហាញឱ្យឃើញបន្ថែមទៀត ដែលកាន់តែងាយស្រួលជឿ។

ជាឧទាហរណ៍ នៅសតវត្សទី 17 គណិតវិទូជនជាតិអង់គ្លេស ចន វ៉ាលីស បានកាត់បន្ថយការប្រកាសទីប្រាំ ទៅជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោម៖ មានត្រីកោណពីរដែលស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែមិនស្មើគ្នា ពោលគឺ ត្រីកោណពីរដែលមុំស្មើគ្នា ប៉ុន្តែទំហំខុសគ្នា។ វាហាក់ដូចជា, អ្វីដែលអាចងាយស្រួលជាង? តោះផ្លាស់ប្តូរខ្នាត។ ប៉ុន្តែវាប្រែថាសមត្ថភាពក្នុងការផ្លាស់ប្តូរមាត្រដ្ឋានខណៈពេលដែលរក្សាមុំនិងសមាមាត្រទាំងអស់គឺជាទ្រព្យសម្បត្តិផ្តាច់មុខនៃធរណីមាត្រ Euclidean ពោលគឺធរណីមាត្រដែល postulates ទាំងអស់របស់ Euclid រួមទាំងទីប្រាំត្រូវបានបំពេញ។

នៅសតវត្សទី 18 អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជនជាតិស្កុតឡេនលោក John Playfair បានធ្វើកំណែទម្រង់ postulate ទីប្រាំនៅក្នុងទម្រង់ដែលវាជាធម្មតាលេចឡើងនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាទំនើប: បន្ទាត់ពីរដែលកាត់គ្នាទៅវិញទៅមកមិនអាចស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ទីបីបានទេ។ វាគឺនៅក្នុងទម្រង់នេះដែល postulate ទីប្រាំលេចឡើងនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាទំនើប។

នៅដើមសតវត្សទី 19 មនុស្សជាច្រើនមានការចាប់អារម្មណ៍ថាការបង្ហាញពី postulate ទីប្រាំគឺដូចជាការបង្កើតម៉ាស៊ីនចលនាអចិន្រ្តៃយ៍ - ការធ្វើលំហាត់ប្រាណគ្មានប្រយោជន៍ទាំងស្រុង។ ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់មានសេចក្តីក្លាហានក្នុងការផ្តល់យោបល់ថាធរណីមាត្ររបស់ Euclid មិនមែនជារឿងតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបានទេ៖ សិទ្ធិអំណាចរបស់ Euclid គឺអស្ចារ្យពេក។ ក្នុងស្ថានភាពបែបនេះ ការរកឃើញរបស់ Lobachevsky គឺនៅលើដៃម្ខាង ធម្មជាតិ និងនៅលើដៃម្ខាងទៀត គឺពិតជាបដិវត្តន៍។

Lobachevsky បានជំនួស postulate ទីប្រាំដោយសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្ទុយដោយផ្ទាល់។ ទស្សនវិជ្ជារបស់ Lobachevsky ស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ ប្រសិនបើពីចំនុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ សូមបញ្ចេញកាំរស្មីទាំងអស់ដែលកាត់បន្ទាត់ត្រង់នេះ បន្ទាប់មកនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ កាំរស្មីទាំងនេះនឹងត្រូវកំណត់ដោយកាំរស្មីកំណត់ចំនួនពីរ ដែលនឹងមិនឆ្លងកាត់ទៀតទេ។ បន្ទាត់ត្រង់ ប៉ុន្តែនឹងកាន់តែខិតទៅជិត និងកាន់តែជិត។ ជាងនេះទៅទៀត មុំរវាងកាំរស្មីកំណត់ទាំងនេះនឹងមានតិចជាង 180 ដឺក្រេ។

វាកើតឡើងភ្លាមៗពី axiom របស់ Lobachevsky ដែលតាមរយៈចំនុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគេមិនអាចគូសបន្ទាត់មួយស្របទៅនឹងចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដូចនៅក្នុង Euclid's នោះទេ ប៉ុន្តែបានច្រើនតាមដែលអ្នកចូលចិត្ត។ ប៉ុន្តែបន្ទាត់ទាំងនេះនឹងមានឥរិយាបទខុសពី Euclid ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ​យើង​មាន​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល​ពីរ នោះ​ដំបូង​គេ​អាច​ចូល​ទៅ​ជិត ហើយ​បន្ទាប់​មក​ផ្លាស់ទី​ទៅ​ឆ្ងាយ។ នោះគឺចម្ងាយពីចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ទីមួយទៅបន្ទាត់ទីពីរនឹងអាស្រ័យលើចំណុច។ វានឹងខុសគ្នាសម្រាប់ចំណុចផ្សេងៗគ្នា។

ធរណីមាត្រ Lobachevsky ផ្ទុយនឹងវិចារណញាណរបស់យើងមួយផ្នែក ពីព្រោះនៅចម្ងាយតូច ជាធម្មតាយើងដោះស្រាយវាខុសគ្នាតិចតួចពីធរណីមាត្រ Euclidean ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងយល់ឃើញពីភាពកោងនៃផ្ទៃផែនដី។ ពេល​ដើរ​ពី​ផ្ទះ​ទៅ​ហាង វា​ហាក់​ដូច​ជា​យើង​ដើរ​ត្រង់ ហើយ​ផែនដី​ក៏​សំប៉ែត។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងហោះហើរ និយាយថា ពីទីក្រុងមូស្គូ ទៅម៉ុងត្រេអាល់ នោះយើងសង្កេតឃើញថា យន្តហោះហោះតាមរង្វង់មូលមួយ ពីព្រោះនេះគឺជាផ្លូវខ្លីបំផុតរវាងចំណុចពីរនៅលើផ្ទៃផែនដី។ នោះ​គឺ​យើង​សង្កេត​ឃើញ​ថា​ផែនដី​គឺ​ដូច​ជា​បាល់​ទាត់​ជាង​នំផេនខេក។

ធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky ក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញដោយជំនួយពីបាល់បាល់ទាត់ផងដែរ ប៉ុន្តែមិនមែនជាបាល់ធម្មតានោះទេ ប៉ុន្តែវាជាទម្រង់អ៊ីពែរបូល។ បាល់​បាល់ទាត់​អ៊ីពែរបូល​ត្រូវ​បាន​ស្អិត​ជាប់​គ្នា​ដូច​បាល់​ធម្មតា​ដែរ។ មានតែនៅក្នុងបាល់ធម្មតាមួយប៉ុណ្ណោះ ឆកោនពណ៌សត្រូវបានស្អិតជាប់ជាមួយ pentagons ខ្មៅ ហើយនៅក្នុងបាល់ដែលមានអ៊ីពែរបូល ជំនួសឱ្យ pentagons អ្នកត្រូវបង្កើត heptagons ហើយក៏កាវបិទវាជាមួយ hexagons ផងដែរ។ ក្នុងករណីនេះ វានឹងប្រែជាមិនមែនបាល់ទេ ប៉ុន្តែជាក្រវ៉ាត់ក។ ហើយនៅលើកែបនេះធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky ត្រូវបានដឹង។

Lobachevsky បានព្យាយាមប្រាប់អំពីការរកឃើញរបស់គាត់នៅឆ្នាំ 1826 នៅសាកលវិទ្យាល័យ Kazan ។ ប៉ុន្តែ​អត្ថបទ​នៃ​របាយការណ៍​នេះ​មិន​បាន​រួច​ជីវិត​ទេ។ នៅឆ្នាំ 1829 គាត់បានបោះពុម្ពអត្ថបទអំពីធរណីមាត្ររបស់គាត់នៅក្នុងទស្សនាវដ្តីសាកលវិទ្យាល័យមួយ។ លទ្ធផលរបស់ Lobachevsky ហាក់ដូចជាគ្មានន័យសម្រាប់មនុស្សជាច្រើន - មិនត្រឹមតែដោយសារតែពួកគេបានបំផ្លាញរូបភាពធម្មតានៃពិភពលោកប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែដោយសារតែពួកគេមិនត្រូវបានបង្ហាញតាមរបៀបដែលអាចយល់បានបំផុត។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ Lobachevsky ក៏មានការបោះពុម្ពផ្សាយនៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិលំដាប់ខ្ពស់ផងដែរ ដូចដែលយើងហៅថាពួកគេសព្វថ្ងៃនេះ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅឆ្នាំ 1836 គាត់បានបោះពុម្ពអត្ថបទជាភាសាបារាំងដែលមានចំណងជើងថា "ធរណីមាត្រស្រមើលស្រមៃ" នៅក្នុងទស្សនាវដ្តីដ៏ល្បីល្បាញ Krell ក្នុងបញ្ហាដូចគ្នានឹងអត្ថបទរបស់គណិតវិទូដ៏ល្បីល្បាញបំផុតនៅសម័យនោះ - Dirichlet, Steiner និង Jacobi ។ ហើយនៅឆ្នាំ 1840 Lobachevsky បានបោះពុម្ភសៀវភៅតូចមួយដែលបានសរសេរយ៉ាងច្បាស់ថា ការស្រាវជ្រាវធរណីមាត្រលើទ្រឹស្តីនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ សៀវភៅនេះជាភាសាអាឡឺម៉ង់ ហើយត្រូវបានបោះពុម្ពនៅប្រទេសអាឡឺម៉ង់។ វាក៏មានការពិនិត្យឡើងវិញដ៏សាហាវផងដែរ។ អ្នកត្រួតពិនិត្យជាពិសេសបានចំអកឃ្លារបស់ Lobachevsky ថា: "យើងបន្តបន្ទាត់ក្នុងទិសដៅនៃភាពស្របគ្នារបស់ពួកគេកាន់តែច្រើនពួកគេកាន់តែខិតជិតគ្នាទៅវិញទៅមក" ។ អ្នកត្រួតពិនិត្យបានសរសេរថា "សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះតែម្នាក់ឯង" បានកំណត់លក្ខណៈគ្រប់គ្រាន់នៃការងាររបស់លោក Lobachevsky និងដោះលែងអ្នកត្រួតពិនិត្យពីតម្រូវការដើម្បីវាយតម្លៃបន្ថែមទៀត។

ប៉ុន្តែ​សៀវភៅ​នោះ​ក៏​មាន​អ្នក​អាន​មិន​លម្អៀង​ម្នាក់​ដែរ។ វាគឺជាលោក Carl Friedrich Gauss ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាស្តេចនៃគណិតវិទូ ដែលជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតម្នាក់ក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រ។ គាត់បានកោតសរសើរយ៉ាងខ្លាំងចំពោះសៀវភៅរបស់ Lobachevsky នៅក្នុងសំបុត្រមួយរបស់គាត់។ ប៉ុន្តែ​ការ​ពិនិត្យ​របស់​គាត់​ត្រូវ​បាន​បោះពុម្ព​តែ​បន្ទាប់​ពី​ការ​ស្លាប់​របស់​គាត់​រួម​ជាមួយ​នឹង​ការ​ឆ្លើយ​ឆ្លង​ផ្សេង​ទៀត​។ ហើយនោះជាពេលដែលការរីកចំរើនពិតប្រាកដនៃធរណីមាត្រ Lobachevsky បានចាប់ផ្តើម។

នៅឆ្នាំ ១៨៦៦ សៀវភៅរបស់គាត់ត្រូវបានបកប្រែជាភាសាបារាំង បន្ទាប់មកជាភាសាអង់គ្លេស។ ជាងនេះទៅទៀត ការបោះពុម្ពជាភាសាអង់គ្លេសត្រូវបានបោះពុម្ពឡើងវិញចំនួនបីដងទៀត ដោយសារតែប្រជាប្រិយភាពមិនធម្មតារបស់វា។ ជាអកុសល Lobachevsky មិនបានរស់នៅរហូតដល់ពេលនេះទេ។ គាត់បានស្លាប់នៅឆ្នាំ 1856 ។ ហើយនៅឆ្នាំ 1868 សៀវភៅរបស់ Lobachevsky បោះពុម្ពជាភាសារុស្សីបានបង្ហាញខ្លួន។ វា​ត្រូវ​បាន​បោះពុម្ព​មិន​មែន​ជា​សៀវភៅ​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​អត្ថបទ​នៅ​ក្នុង​ទស្សនាវដ្ដី Mathematical Collection ចាស់​បំផុត​របស់​រុស្ស៊ី។ ប៉ុន្តែ​កាល​នោះ​ទស្សនាវដ្ដី​នេះ​នៅ​ក្មេង​ណាស់ វា​មិន​ទាន់​មាន​អាយុ​ពីរ​ឆ្នាំ​ទេ។ ប៉ុន្តែការបកប្រែជាភាសារុស្សីឆ្នាំ 1945 ដែលធ្វើឡើងដោយអ្នកវាស់ភូមិសាស្ត្ររុស្ស៊ី និងសូវៀតដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ Veniamin Fedorovich Kagan ត្រូវបានគេស្គាល់ច្បាស់ជាង។

នៅចុងសតវត្សទី 19 គណិតវិទូត្រូវបានបែងចែកជាពីរជំរុំ។ អ្នកខ្លះទទួលយកលទ្ធផលរបស់ Lobachevsky ភ្លាមៗ ហើយចាប់ផ្តើមអភិវឌ្ឍគំនិតរបស់គាត់បន្ថែមទៀត។ ហើយអ្នកផ្សេងទៀតមិនអាចបោះបង់ចោលនូវជំនឿដែលថាធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky ពិពណ៌នាអំពីអ្វីដែលមិនមាននោះទេ ពោលគឺធរណីមាត្ររបស់ Euclid គឺជាធរណីមាត្រពិតតែមួយគត់ ហើយគ្មានអ្វីផ្សេងទៀតអាចជានោះទេ។ ជាអកុសល អ្នកក្រោយៗទៀតរួមបញ្ចូលគណិតវិទូ ដែលត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាអ្នកនិពន្ធ Alice in Wonderland គឺ Lewis Carroll ។ ឈ្មោះពិតរបស់គាត់គឺ Charles Dodgson ។ នៅឆ្នាំ 1890 គាត់បានបោះពុម្ភអត្ថបទមួយដែលមានចំណងជើងថា "ទ្រឹស្តីថ្មីនៃភាពស្របគ្នា" ដែលជាកន្លែងដែលគាត់បានការពារកំណែបង្ហាញយ៉ាងជ្រាលជ្រៅនៃ postulate ទីប្រាំ។ ទ្រឹស្ដីរបស់ Lewis Carroll ស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ ប្រសិនបើចតុកោណកែងធម្មតាត្រូវបានចារឹកក្នុងរង្វង់មួយ នោះផ្ទៃនៃរាងបួនជ្រុងនេះនឹងធំជាងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងជាងតំបន់នៃផ្នែកនៃរង្វង់ដែលស្ថិតនៅ។ នៅខាងក្រៅការ៉េ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ Lobachevsky axiom នេះមិនពិតទេ។ ប្រសិនបើយើងយករង្វង់ធំគ្រប់គ្រាន់ នោះមិនថាចតុកោណដែលយើងសរសេរនៅក្នុងវាទេ មិនថាជ្រុងនៃចតុកោណនេះអាចមានរយៈពេលប៉ុន្មាននោះទេ តំបន់នៃរាងបួនជ្រុងនឹងត្រូវបានកំណត់ដោយថេររូបវិទ្យាសកល។ ជាទូទៅ វត្តមាននៃថេររាងកាយ និងរង្វាស់ជាសកលនៃប្រវែង គឺជាភាពខុសគ្នាដ៏មានអត្ថប្រយោជន៍រវាងធរណីមាត្រ Lobachevsky និងធរណីមាត្ររបស់ Euclid ។

ប៉ុន្តែ Arthur Cayley ដែលជាគណិតវិទូអង់គ្លេសដ៏ល្បីល្បាញម្នាក់ទៀតនៅឆ្នាំ 1859 នោះគឺត្រឹមតែ 3 ឆ្នាំបន្ទាប់ពីការស្លាប់របស់ Lobachevsky បានបោះពុម្ពអត្ថបទដែលក្រោយមកបានជួយធ្វើឱ្យច្បាប់របស់ Lobachevsky ។ គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ Cayley នៅពេលនោះបានធ្វើការជាមេធាវីនៅទីក្រុងឡុងដ៍ ហើយក្រោយមកបានទទួលសាស្រ្តាចារ្យនៅ Cambridge ។ ជាការពិត Cayley បានសាងសង់គំរូដំបូងនៃធរណីមាត្ររបស់ Lobachevsky ទោះបីជាគាត់បានដោះស្រាយក៏ដោយនៅ glance ដំបូងគឺជាបញ្ហាខុសគ្នាទាំងស្រុង។

ហើយ​គណិតវិទូ​អង់គ្លេស​ដ៏​ឆ្នើម​ម្នាក់​ទៀត​ដែល​មាន​ឈ្មោះ​ថា William Kingdon Clifford ត្រូវ​បាន​គេ​រំជួល​ចិត្ត​យ៉ាង​ខ្លាំង​ចំពោះ​គំនិត​របស់ Lobachevsky។ ហើយជាពិសេស គាត់គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលបញ្ចេញគំនិតនេះ តាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ មុនពេលការបង្កើតទ្រឹស្តីទូទៅនៃទំនាក់ទំនងទំនាញថាទំនាញគឺបណ្តាលមកពីកោងនៃលំហ។ Clifford បានសរសើរការរួមចំណែករបស់ Lobachevsky ចំពោះវិទ្យាសាស្ត្រនៅក្នុងការបង្រៀនមួយរបស់គាត់ស្តីពីទស្សនវិជ្ជាវិទ្យាសាស្ត្រថា "Lobachevsky បានក្លាយជាសម្រាប់ Euclid អ្វីដែល Copernicus បានក្លាយជាសម្រាប់ Ptolemy" ។ ប្រសិនបើពីមុនមនុស្សជាតិ Copernicus ជឿថាយើងដឹងអ្វីៗទាំងអស់អំពីសកលលោក ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់សម្រាប់យើងថាយើងសង្កេតឃើញតែផ្នែកតូចមួយនៃចក្រវាឡ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ មុនពេល Lobachevsky មនុស្សជាតិជឿថាមានធរណីមាត្រតែមួយប៉ុណ្ណោះ - Euclidean អ្វីគ្រប់យ៉ាងអំពីវាត្រូវបានគេស្គាល់ជាយូរមកហើយ។ ឥឡូវនេះយើងដឹងថាមានធរណីមាត្រជាច្រើន ប៉ុន្តែយើងដឹងឆ្ងាយពីពួកវាទាំងអស់។

ទ្រឹស្តីបទធរណីមាត្រ Lobachevsky

1. គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃធរណីមាត្រ Lobachevsky

នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean នេះបើយោងតាម ​​postulate ទីប្រាំនៅលើយន្តហោះតាមរយៈចំណុចមួយ។ Rដេកនៅខាងក្រៅបន្ទាត់ A "A,មានបន្ទាត់ត្រង់តែមួយ B"B,មិនប្រសព្វ ក "A.ត្រង់ B"B"ហៅថាប៉ារ៉ាឡែល ទៅ A "A ។វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទាមទារឱ្យមានបន្ទាត់បែបនេះភាគច្រើន ដោយសារអត្ថិភាពនៃបន្ទាត់ដែលមិនប្រសព្វអាចបញ្ជាក់បានដោយការគូសបន្ទាត់ជាបន្តបន្ទាប់។ PQA"Aនិង PBPQ ។នៅក្នុងធរណីមាត្រ Lobachevsky អ័ក្សនៃភាពស្របគ្នាតម្រូវឱ្យឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ របានឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់ច្រើនជាងមួយដែលមិនប្រសព្វ ក "A.

បន្ទាត់ដែលមិនប្រសព្វបំពេញផ្នែកនៃខ្មៅដៃដោយចំនុចកំពូល Rដេកនៅខាងក្នុងមុំបញ្ឈរមួយ។ TPUនិង U "PT"ដែលមានទីតាំងស្ថិតនៅស៊ីមេទ្រីអំពីកាត់កែង P.Q.បន្ទាត់ដែលបង្កើតជាជ្រុងនៃមុំបញ្ឈរបំបែកបន្ទាត់ប្រសព្វពីដែលមិនប្រសព្វគ្នា ហើយពួកគេក៏មិនប្រសព្វគ្នាដែរ។ បន្ទាត់ព្រំដែនទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាឡែលនៅចំណុច P ទៅបន្ទាត់ត្រង់ ក "Aរៀងគ្នាក្នុងទិសដៅពីរ៖ T "Tប៉ារ៉ាឡែល ក "Aក្នុងទិសដៅ A"A,ក UU"ប៉ារ៉ាឡែល ក "Aក្នុងទិសដៅ អេ A "។បន្ទាត់ដែលមិនប្រសព្វផ្សេងទៀតត្រូវបានគេហៅថា បន្ទាត់ផ្សេងគ្នា ជាមួយ ក "A.

ជ្រុង , 0< រទម្រង់កាត់កែង pQ, QPT=QPU"=,បានហៅ មុំនៃភាពស្របគ្នា។ ចម្រៀក PQ=aនិងត្រូវបានតំណាងដោយ . នៅ a=0មុំ =/2; ជាមួយនឹងការកើនឡើង កមុំថយចុះ ដូច្នេះសម្រាប់នីមួយៗ ០<ក.ភាពអាស្រ័យនេះត្រូវបានគេហៅថា មុខងារ Lobachevsky :

P(a)=2arctg (),

កន្លែងណា ទៅ-- ថេរមួយចំនួនដែលកំណត់ផ្នែកថេរក្នុងតម្លៃ។ វាត្រូវបានគេហៅថាកាំនៃកោងនៃលំហ Lobachevsky ។ ដូចជាធរណីមាត្ររាងស្វ៊ែរ វាមានសំណុំលំហ Lobachevsky ដែលគ្មានកំណត់ ដែលខុសគ្នាក្នុងទំហំ ទៅ។

បន្ទាត់ត្រង់ពីរផ្សេងគ្នានៅក្នុងយន្តហោះបង្កើតបានជាគូមួយនៃប្រភេទបី។

បន្ទាត់ប្រសព្វ . ចម្ងាយពីចំណុចនៃបន្ទាត់មួយទៅបន្ទាត់មួយទៀតកើនឡើងដោយគ្មានកំណត់នៅពេលដែលចំណុចផ្លាស់ទីឆ្ងាយពីចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់។ ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​មិន​កាត់​កែង​ទេ នោះ​នីមួយៗ​ត្រូវ​បាន​ព្យាករ​តាម​ទិស​ទៅ​ម្ខាង​ទៀត​ជា​ផ្នែក​ចំហ​នៃ​ទំហំ​កំណត់។

បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល . នៅក្នុងយន្តហោះ តាមរយៈចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ មានបន្ទាត់ត្រង់មួយស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅខាងក្រោយ។ ស្របគ្នានៅចំណុចមួយ។ ររក្សា​នៅ​ចំណុច​នីមួយៗ​របស់​វា​នូវ​លក្ខណៈ​នៃ​ការ​ស្រប​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់​ដូចគ្នា​ក្នុង​ទិសដៅ​ដូចគ្នា។ ភាពស្របគ្នាគឺទៅវិញទៅមក (ប្រសិនបើ ក||ខនៅក្នុងទិសដៅជាក់លាក់មួយ។ ខ||កក្នុងទិសដៅដែលត្រូវគ្នា) និងអន្តរកាល (ប្រសិនបើ ក||ខនិងជាមួយ || ខក្នុងទិសដៅមួយបន្ទាប់មក a||sក្នុងទិសដៅដែលត្រូវគ្នា) ។ ក្នុងទិសដៅនៃភាពស្របគ្នា អ្នកដែលប៉ារ៉ាឡែលចូលទៅជិតដោយគ្មានកំណត់ ក្នុងទិសដៅផ្ទុយពួកគេផ្លាស់ទីទៅឆ្ងាយដោយគ្មានកំណត់ (ក្នុងន័យនៃចម្ងាយពីចំណុចផ្លាស់ទីនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយទៀត)។ ការព្យាករ orthogonal នៃបន្ទាត់មួយទៅមួយទៀតគឺជាបន្ទាត់ពាក់កណ្តាលបើកចំហ។

បន្ទាត់ផ្សេងគ្នា . ពួកវាមានកាត់កែងធម្មតាមួយ ផ្នែកដែលផ្តល់ចម្ងាយអប្បបរមា។ នៅលើផ្នែកទាំងពីរនៃកាត់កែង បន្ទាត់ដាច់ពីគ្នាដោយគ្មានកំណត់។ បន្ទាត់នីមួយៗត្រូវបានព្យាករលើផ្នែកមួយទៀតទៅជាផ្នែកបើកចំហនៃទំហំកំណត់។

បន្ទាត់បីប្រភេទត្រូវគ្នានៅលើយន្តហោះទៅនឹងខ្មៅដៃបីប្រភេទនៃបន្ទាត់ដែលនីមួយៗគ្របដណ្តប់លើយន្តហោះទាំងមូល: ធ្នឹមនៃប្រភេទទី 1 គឺជាសំណុំនៃបន្ទាត់ទាំងអស់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ ( កណ្តាលធ្នឹម); ធ្នឹមនៃប្រភេទទី 2 គឺជាសំណុំនៃបន្ទាត់ទាំងអស់កាត់កែងទៅបន្ទាត់មួយ ( មូលដ្ឋានធ្នឹម); ធ្នឹមនៃប្រភេទទី 3 គឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​បន្ទាត់​ទាំងអស់​ដែល​ស្រប​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់​មួយ​ក្នុង​ទិស​មួយ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ រួម​ទាំង​បន្ទាត់​នេះ​ផង​ដែរ។

គន្លង orthogonal នៃបន្ទាត់ត្រង់នៃធ្នឹមទាំងនេះបង្កើតជាអាណាឡូកនៃរង្វង់នៃយន្តហោះ Euclidean: រង្វង់ក្នុងន័យត្រឹមត្រូវ; សមមូល , ឬ បន្ទាត់ ស្មើ ចម្ងាយ (បើ​អ្នក​មិន​ពិចារណា​លើ​មូលដ្ឋាន) ដែល​រាង​កោង​ទៅ​ខាង​គោល ។ បន្ទាត់កំណត់ , ឬ ជិះកង់, វា​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​រង្វង់​មួយ​ដែល​មាន​ចំណុច​កណ្តាល​ឆ្ងាយ​គ្មាន​កំណត់។ បន្ទាត់កំណត់គឺស្របគ្នា។ ពួកវាមិនត្រូវបានបិទទេ ហើយមានរាងកោងឆ្ពោះទៅរកភាពស្របគ្នា។ បន្ទាត់​កំណត់​ពីរ​ដែល​បង្កើត​ដោយ​បាច់​មួយ​គឺ​ផ្ចិត (ផ្នែក​ស្មើគ្នា​ត្រូវ​បាន​កាត់​ចេញ​នៅ​លើ​បន្ទាត់​ត្រង់​នៃ​បាច់)។ សមាមាត្រនៃប្រវែងនៃអ័ក្សកណ្តាលដែលរុំព័ទ្ធរវាងបន្ទាត់ត្រង់ពីរនៃធ្នឹមថយចុះឆ្ពោះទៅរកភាពស្របគ្នាជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចម្ងាយ Xរវាងធ្នូ៖

s" / s = អ៊ី.

អាណាឡូកនីមួយៗនៃរង្វង់អាចរុញលើខ្លួនវា ដែលផ្តល់ការកើនឡើងដល់បីប្រភេទនៃចលនាតែមួយនៃយន្តហោះ៖ ការបង្វិលជុំវិញកណ្តាលរបស់វា; ការបង្វិលជុំវិញមជ្ឈមណ្ឌលដ៏ល្អ (គន្លងមួយគឺជាមូលដ្ឋាន នៅសល់គឺស្មើគ្នា); ការបង្វិលជុំវិញកណ្តាលឆ្ងាយគ្មានកំណត់ (គន្លងទាំងអស់គឺជាបន្ទាត់កំណត់)។

ការបង្វិលនៃ analogues រង្វង់ជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់នៃខ្មៅដៃបង្កើតនាំឱ្យមាន analogues ស្វ៊ែរ: ស្វ៊ែរត្រឹមត្រូវ ផ្ទៃនៃចម្ងាយស្មើគ្នា និងហោរាសាស្ត្រ, ឬ បន្ទាប់បន្សំ ផ្ទៃ .

នៅលើស្វ៊ែរ ធរណីមាត្រនៃរង្វង់ដ៏អស្ចារ្យ គឺជាធរណីមាត្រស្វ៊ែរធម្មតា; នៅលើផ្ទៃនៃចម្ងាយស្មើគ្នា - ធរណីមាត្រស្មើគ្នាដែលជា Planimetry Lobachevsky ប៉ុន្តែមានតម្លៃធំជាង ទៅ;នៅលើផ្ទៃដែនកំណត់ ធរណីមាត្រ Euclidean នៃបន្ទាត់កំណត់។

ការតភ្ជាប់រវាងប្រវែងនៃធ្នូ និងអង្កត់ធ្នូនៃបន្ទាត់កំណត់ និងទំនាក់ទំនងត្រីកោណមាត្រ Euclidean នៅលើផ្ទៃដែនកំណត់ធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងត្រីកោណមាត្រនៅលើយន្តហោះ នោះគឺជារូបមន្តត្រីកោណមាត្រសម្រាប់ត្រីកោណ rectilinear ។

2. ទ្រឹស្តីបទមួយចំនួននៃធរណីមាត្រ Lobachevsky

ទ្រឹស្តីបទ ១. ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណណាមួយគឺតិចជាង 2d ។

ដំបូងពិចារណាត្រីកោណ ABC (រូបភាពទី 2) ។ ភាគីរបស់គាត់។ ក, ខ, គត្រូវបានបង្ហាញរៀងៗខ្លួនជាផ្នែកនៃ Euclidean ដែលកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ និង, ធ្នូនៃរង្វង់ Euclidean ជាមួយកណ្តាល មនិងធ្នូនៃរង្វង់ Euclidean ជាមួយកណ្តាល ន. ជ្រុង ពី-- ត្រង់។ ជ្រុង ប៉ុន្តែស្មើនឹងមុំរវាងតង់សង់ទៅរង្វង់ ខនិង ជាមួយនៅចំណុច ប៉ុន្តែឬ ដែលដូចគ្នា មុំរវាងរ៉ាឌី NAនិង MAរង្វង់ទាំងនេះ។ ទីបំផុត ខ = BNM ។

ចូរយើងបង្កើតជាផ្នែកមួយ។ ប៊ី.អិនដូចជានៅលើអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ Euclidean q;នាងមានរង្វង់ ជាមួយចំណុចរួមមួយ។ អេចាប់តាំងពីអង្កត់ផ្ចិតរបស់វាគឺកាំនៃរង្វង់ ជាមួយ. ដូច្នេះចំណុច ប៉ុន្តែស្ថិតនៅខាងក្រៅរង្វង់ដែលកំណត់ដោយរង្វង់ q,អាស្រ័យហេតុនេះ

ក = បុរស< MBN.

ដូច្នេះ​ដោយសារ​សមភាព MBN+B = ឃយើង​មាន:

ក + ខ< d; (1)

ដូច្នេះ A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

ចំណាំថាជាមួយនឹងចលនាអ៊ីពែរបូលត្រឹមត្រូវ ត្រីកោណកែងណាមួយអាចត្រូវបានកំណត់ទីតាំង ដូច្នេះជើងមួយរបស់វាស្ថិតនៅលើ Euclidean កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ និង;ដូច្នេះ វិធីសាស្រ្តដែលយើងប្រើដើម្បីទាញយកវិសមភាព (1) អនុវត្តចំពោះត្រីកោណកែងណាមួយ។

ប្រសិនបើត្រីកោណ oblique ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះយើងបែងចែកវាដោយកម្ពស់មួយទៅជាត្រីកោណមុំខាងស្តាំពីរ។ ផលបូកនៃមុំស្រួចនៃត្រីកោណស្តាំទាំងនេះគឺស្មើនឹងផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណ oblique ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ដោយគិតគូរពីវិសមភាព (1) យើងសន្និដ្ឋានថាទ្រឹស្តីបទមានសុពលភាពសម្រាប់ត្រីកោណណាមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ២ . ផលបូកនៃមុំនៃជ្រុងបួនគឺតិចជាង 4d ។

ដើម្បី​បញ្ជាក់​វា​គ្រប់គ្រាន់​ក្នុង​ការ​បែងចែក​បួនជ្រុង​ដោយ​អង្កត់ទ្រូង​ជា​ត្រីកោណ​ពីរ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣ . បន្ទាត់ពីរផ្សេងគ្នាមានមួយ និងតែមួយគត់ដែលកាត់កែង។

សូម​ឱ្យ​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​បន្ទាត់​ខុស​គ្នា​ទាំង​នេះ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​នៅ​លើ​ផែនទី​ថា​ជា Euclidean កាត់​កែង រទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ និងនៅចំណុច មមួយទៀតគឺនៅក្នុងទម្រង់នៃរង្វង់មូល Euclidean qផ្តោតលើ និង, និង រនិង qមិនមានចំណុចរួម (រូបភាពទី 3) ។ ការរៀបចំនៃបន្ទាត់អ៊ីពែរបូលខុសគ្នាពីរនៅលើផែនទីតែងតែអាចសម្រេចបានជាមួយនឹងចលនាអ៊ីពែរបូលត្រឹមត្រូវ។

ចូរយើងចំណាយពី មតង់សង់ euclidean MNទៅ qនិងពណ៌នាពីមជ្ឈមណ្ឌល មកាំ MNពាក់កណ្តាលរង្វង់ euclidean ម. វាច្បាស់ណាស់។ ម- បន្ទាត់អ៊ីពែរបូលប្រសព្វ និង រនិង qនៅមុំខាងស្តាំ។ អាស្រ័យហេតុនេះ មបង្ហាញនៅលើផែនទីនូវបន្ទាត់កាត់កែងធម្មតាដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបែងចែក។

បន្ទាត់​ពីរ​មិន​អាច​មាន​កាត់​កែង​ធម្មតា​ពីរ​បាន​ទេ ព្រោះ​នៅ​ក្នុង​ករណី​នេះ​នឹង​មាន​ចតុកោណ​ដែល​មាន​មុំ​ខាងស្តាំ​ចំនួន​បួន ដែល​ផ្ទុយ​នឹង​ទ្រឹស្តីបទ​ទី 2 ។

. ទ្រឹស្តីបទ ៤. ការ​ព្យាករ​រាង​ចតុកោណ​នៃ​ផ្នែក​ម្ខាង​នៃ​មុំស្រួច​ទៅ​ផ្នែក​ម្ខាង​ទៀត​របស់​វា​ជា​ផ្នែក(និងមិនមែនជាបន្ទាត់ពាក់កណ្តាលដូចនៅក្នុងធរណីមាត្ររបស់ Euclid) ។

សុពលភាពនៃទ្រឹស្តីបទគឺជាក់ស្តែងពីរូបភព។ 4, ដែលជាកន្លែងដែលផ្នែក ABមានការព្យាកររាងចតុកោណនៃចំហៀង ABមុំ​ស្រួច អ្នកនៅខាងគាត់ អេស។

នៅក្នុងតួលេខដូចគ្នាធ្នូ DEរង្វង់ Euclidean ជាមួយកណ្តាល មគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់អ៊ីពែរបូល AC. កាត់កែងនេះមិនប្រសព្វជាមួយ oblique ទេ។ ABដូច្នេះ ការសន្មត់ថាបន្ទាត់កាត់កែង និងបន្ទាត់ oblique ទៅបន្ទាត់ដូចគ្នាតែងតែប្រសព្វផ្ទុយនឹង axiom របស់ Lobachevsky នៃភាពស្របគ្នា; វាស្មើនឹង axiom របស់ Euclid នៃភាពស្របគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ ៥. ប្រសិនបើមុំបីនៃត្រីកោណ ABC គឺស្មើគ្នារៀងគ្នាទៅនឹងមុំបីនៃត្រីកោណ A, B, C នោះត្រីកោណទាំងនេះគឺស្របគ្នា។

សន្មតថាផ្ទុយហើយដាក់ឡែករៀងគ្នានៅលើកាំរស្មី ABនិង ACផ្នែក AB \u003d A "B", AC \u003d A "C" ។ជាក់ស្តែងត្រីកោណ។ ABCនិង A"B"C"ស្មើគ្នានៅក្នុងភាគីទាំងពីរនិងមុំរវាងពួកគេ។ ចំណុច ខមិនត្រូវគ្នាជាមួយ អេ, ចំណុច គមិនត្រូវគ្នាជាមួយ ពីដោយហេតុថាក្នុងករណីណាក៏ដោយ សមភាពនៃត្រីកោណទាំងនេះនឹងកើតឡើង ដែលផ្ទុយនឹងការសន្មត់។

ពិចារណាពីលទ្ធភាពដូចខាងក្រោម។

ក) ចំណុច B ស្ថិតនៅចន្លោះ ប៉ុន្តែនិង អេ, ចំណុច ពី-- រវាង ប៉ុន្តែនិង ពី(រូបទី 5); នៅក្នុងរូបភាពនេះ និងរូបបន្ទាប់ បន្ទាត់អ៊ីពែរបូលត្រូវបានពណ៌នាជាធម្មតាថាជាបន្ទាត់ Euclidean)។ វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាផលបូកនៃមុំនៃបួនជ្រុង អេសអេសអិនគឺស្មើនឹង 4 ឃដែលមិនអាចទៅរួចទេដោយសារទ្រឹស្តីបទ ២.

6) ចំណុច អេស្ថិតនៅចន្លោះ ប៉ុន្តែនិង អេ, ចំណុច ពី-- រវាង ប៉ុន្តែនិង ពី(រូបភាពទី 6) ។ បញ្ជាក់ដោយ ឃចំណុចប្រសព្វនៃផ្នែក ព្រះអាទិត្យនិង BCដោយសារតែ C=C"និង C" \u003d C,បន្ទាប់មក គ =ពី , ដែល​មិន​អាច​ទៅ​រួច ព្រោះ​មុំ C គឺ​ខាង​ក្រៅ​ទៅ​ត្រីកោណ CCD ។

ករណីដែលអាចកើតមានផ្សេងទៀតត្រូវបានព្យាបាលស្រដៀងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ឱ្យ​ឃើញ​ដោយ​សារ​តែ​ការ​សន្មត់​ដែល​បាន​ធ្វើ​បាន​នាំ​ឱ្យ​មាន​ភាព​ផ្ទុយ​គ្នា។

ពីទ្រឹស្តីបទទី 5 វាដូចខាងក្រោមថានៅក្នុងធរណីមាត្រ Lobachevsky មិនមានត្រីកោណដែលស្រដៀងនឹងត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យទេប៉ុន្តែមិនស្មើនឹងវាទេ។