អចលនទ្រព្យ៖
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
ខ) និយមន័យនៃប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរ
ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រមិនជាប់ជួរពីរ ហើយត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដែលមកពីប្រភពដើមទូទៅនៃវ៉ិចទ័រតាមអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រទាំងនេះ
ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រ និងត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រទល់មុខវ៉ិចទ័រ៖ 
. ភ្ជាប់ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ ហើយបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រត្រូវបានដឹកនាំពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ។ 
ការងារ វ៉ិចទ័រទៅជាលេខត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដែលមានម៉ូឌុល និងសម្រាប់ និងសម្រាប់ . តាមធរណីមាត្រ ការគុណដោយលេខមានន័យថា "លាតសន្ធឹង" វ៉ិចទ័រដោយកត្តា 1 ខណៈពេលដែលរក្សាទិសដៅនៅនិងផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយនៅ .
ពីច្បាប់ខាងលើសម្រាប់ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងគុណពួកវាដោយលេខ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់ស្តែងដូចខាងក្រោម៖
1. 
(ការបន្ថែមគឺផ្លាស់ប្តូរ);
2. 
(ការបន្ថែមគឺសមាគម);
3. 
(អត្ថិភាពនៃវ៉ិចទ័រសូន្យ);
4. 
(អត្ថិភាពនៃវ៉ិចទ័រផ្ទុយ);
5. 
(ការបន្ថែមគឺសមាគម);
6. (គុណនឹងចំនួនមួយគឺការចែកចាយ);
7. 
(ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រគឺជាការចែកចាយ);
គ) ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន និងលក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងរបស់វា។
ផលិតផលចំនុចវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរត្រូវបានហៅថាចំនួនស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រទាំងនេះនិងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា។ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងពីរគឺសូន្យ នោះមុំរវាងពួកវាមិនត្រូវបានកំណត់ទេ ហើយផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសូន្យ។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ និងត្រូវបានតំណាង
ដែល និងជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ និងរៀងៗខ្លួន និងជាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ និង .
ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រជាមួយខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថាការេ។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។
សម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយ និងខាងក្រោមគឺពិត៖ ចំនុចពិសេសនៃផលិតផល:
ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន;
ទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយ 
ឬ 
;
ទ្រព្យសម្បត្តិរួម 
ឬ 
ដែលជាកន្លែងដែលចំនួនពិតបំពាន;
មាត្រដ្ឋានការ៉េនៃវ៉ិចទ័រគឺតែងតែមិនអវិជ្ជមាន ហើយប្រសិនបើវ៉ិចទ័រគឺសូន្យ។
ឃ) ផលិតផលវ៉ិចទ័រនិងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។
ផលិតផលវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រ a ទៅ វ៉ិចទ័រ b ត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រ c ដែលប្រវែងជាលេខស្មើនឹងផ្ទៃនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ a និង b កាត់កែងទៅនឹងប្លង់នៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ ហើយបានដឹកនាំ ដូច្នេះការបង្វិលតិចបំផុតពី a ទៅ b ជុំវិញវ៉ិចទ័រ c គឺច្រាសទ្រនិចនាឡិកា នៅពេលដែលមើលពីវ៉ិចទ័រចុងក្រោយ c
រូបមន្តសម្រាប់គណនាផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ
ផលិតផលវ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រពីរ a = (a x ; a y ; a z ) និង b = ( b x ; b y ; b z ) នៅក្នុងកូអរដោណេ Cartesian គឺជាវ៉ិចទ័រដែលតម្លៃអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖
- ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ a និង b គឺសូន្យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែវ៉ិចទ័រជាគូ។
- វ៉ិចទ័រ c ដែលស្មើនឹងផលគុណនៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ a និង b គឺកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។
- a × b = −b × a
- (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
- (a + b) × c = a × c + b × c
សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ
ក) សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាលមួយ។
ជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថាតង់សង់នៃជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។
ចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ k. បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ។
ប្រសិនបើបន្ទាត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y នោះចំណោទមិនមានទេ (ក្នុងករណីនេះ ជម្រាលក៏ត្រូវបានគេនិយាយថាទៅគ្មានដែនកំណត់)។
ជម្រាលវិជ្ជមាននៃបន្ទាត់ត្រង់បង្ហាញពីការកើនឡើងនៃក្រាហ្វមុខងាររបស់វា ជម្រាលអវិជ្ជមានបង្ហាញពីការថយចុះ។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានចំណោទមានទម្រង់ y=kx+b ដែល k ជាចំណោទនៃបន្ទាត់ b គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាលអាចបញ្ជាក់បន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលមិនស្របនឹងអ័ក្ស Oy (សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ស្របនឹងអ័ក្ស y ជម្រាលមិនត្រូវបានកំណត់ទេ)។
ខ) ប្រភេទនៃសមីការបន្ទាត់ត្រង់
សមីការ 
បានហៅ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់លើផ្ទៃ។
សមីការណាមួយនៃសញ្ញាបត្រទីមួយដែលមានអថេរពីរ xនិង yប្រភេទ កន្លែងណា ប៉ុន្តែ, អេនិង ជាមួយគឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន និង ប៉ុន្តែនិង អេក្នុងពេលដំណាលគ្នាមិនស្មើនឹងសូន្យ កំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ អុកសុីនៅលើយន្តហោះ ហើយបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយនៅលើយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃទម្រង់ .
សមីការបន្ទាត់ត្រង់, កន្លែងណា កនិង ខលេខពិតមួយចំនួនក្រៅពីសូន្យត្រូវបានហៅ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក. ឈ្មោះនេះមិនមែនចៃដន្យទេព្រោះតម្លៃដាច់ខាតនៃលេខ កនិង ខស្មើនឹងប្រវែងនៃចម្រៀកដែលបន្ទាត់ត្រង់កាត់ចេញនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ គោនិង អូរៀងគ្នា (ផ្នែកត្រូវបានរាប់ពីប្រភពដើម) ។
សមីការបន្ទាត់ត្រង់, កន្លែងណា xនិង yគឺជាអថេរ និង kនិង ខគឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន ដែលហៅថា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាលមួយ។ (k- មេគុណមុំ)
សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ចតុកោណ អុកសុីមានទម្រង់ 
ដែលជាកន្លែងដែល និងជាចំនួនពិតមួយចំនួន ហើយនិងមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។
វាច្បាស់ណាស់ថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលកំណត់ដោយសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច។ នៅក្នុងវេន លេខ និង ឈរនៅក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគ គឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់នេះ។ ដូច្នេះសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ អុកសុីនៅលើយន្តហោះត្រូវគ្នានឹងបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចនិងមានវ៉ិចទ័រទិស។
សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះមើលទៅដូចជា 
ដែលជាកន្លែងដែល និងជាចំនួនពិតមួយចំនួន ហើយនិងមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ និងជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលយកតម្លៃពិតណាមួយ។
សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់បង្កើតទំនាក់ទំនងមិនច្បាស់លាស់រវាង abscissas និង ordinates នៃចំនុចនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដោយប្រើប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ (ដូច្នេះឈ្មោះនៃប្រភេទនៃសមីការបន្ទាត់ត្រង់នេះ) ។
គូនៃលេខ ដែលត្រូវបានគណនាដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់សម្រាប់តម្លៃពិតមួយចំនួននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ គឺជាកូអរដោនេនៃចំណុចមួយចំនួននៅលើបន្ទាត់ត្រង់។ ឧទាហរណ៍នៅពេលដែលយើងមាន 
នោះគឺ ចំនុចដែលមានកូអរដោណេស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមេគុណនិងនៅប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៅក្នុងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់គឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។
សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច
សូមឱ្យពិន្ទុពីរ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ក្នុងលំហ បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ៖
ប្រសិនបើភាគបែងណាមួយស្មើនឹងសូន្យនោះ ភាគយកដែលត្រូវគ្នាគួរតែត្រូវបានកំណត់ឱ្យស្មើសូន្យ។ នៅលើយន្តហោះ សមីការបន្ទាត់ត្រង់ដែលសរសេរខាងលើត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖
ប្រសិនបើ x 1 ≠ x 2 និង x = x 1 ប្រសិនបើ x 1 = x 2 ។
ប្រភាគ = k ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាជម្រាលត្រង់។
គ) ការគណនាមុំរវាងបន្ទាត់ពីរ
ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 នោះមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះនឹងត្រូវបានកំណត់ជា
.
បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2 ។ បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែងប្រសិនបើ k 1 = -1/ k 2 ។
ទ្រឹស្តីបទ។បន្ទាត់ត្រង់ Ax + Vy + C \u003d 0 និង A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណ A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB គឺសមាមាត្រ។ ប្រសិនបើផងដែរ С 1 = λС នោះបន្ទាត់ស្របគ្នា។ កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។
ឃ) លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃបន្ទាត់ពីរ
លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ពីរ៖
ក) ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការដែលមានជម្រាល នោះលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នារបស់ពួកគេគឺសមភាពនៃជម្រាលរបស់ពួកគេ៖
k 1 = k 2 .
ខ) សម្រាប់ករណីនៅពេលដែលបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការក្នុងទម្រង់ទូទៅ (6) លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នារបស់ពួកគេគឺថា មេគុណនៅកូអរដោនេបច្ចុប្បន្នដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងសមីការរបស់ពួកគេគឺសមាមាត្រ i.e.
លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ពីរ៖
ក) ក្នុងករណីនៅពេលដែលបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (4) ជាមួយនឹងជម្រាលមួយ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការកាត់កែងរបស់ពួកគេគឺថាជម្រាលរបស់ពួកគេគឺទៅវិញទៅមកក្នុងរ៉ិចទ័រ និងផ្ទុយគ្នានៅក្នុងសញ្ញា i.e.
លក្ខខណ្ឌនេះក៏អាចសរសេរជាទម្រង់ផងដែរ។
k 1 k 2 = -1.
ខ) ប្រសិនបើសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ទូទៅ (6) នោះលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការកាត់កែងរបស់ពួកគេ (ចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់) គឺដើម្បីបំពេញសមភាព។
ក 1 ក 2 + ខ 1 ខ 2 = 0.
ដែនកំណត់មុខងារ
ក) ដែនកំណត់នៃលំដាប់
គោលគំនិតនៃដែនកំណត់មួយត្រូវបានប្រើប្រាស់ដោយ ញូតុន នៅពាក់កណ្តាលទីពីរនៃសតវត្សទី 17 និងដោយគណិតវិទូនៃសតវត្សទី 18 ដូចជា អយល័រ និង ឡាហ្គ្រេន ប៉ុន្តែពួកគេយល់អំពីដែនកំណត់ដោយវិចារណញាណ។ និយមន័យយ៉ាងម៉ត់ចត់ដំបូងនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ Bolzano ក្នុងឆ្នាំ 1816 និងដោយ Cauchy ក្នុងឆ្នាំ 1821 ។
លេខត្រូវបានហៅ ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខប្រសិនបើលំដាប់តូចគ្មានកំណត់ ពោលគឺ ធាតុទាំងអស់របស់វា ចាប់ផ្តើមពីមួយចំនួន គឺតិចជាងចំនួនវិជ្ជមានដែលបានយកជាមុន។
ក្នុងករណីដែលលំដាប់លេខមានដែនកំណត់ក្នុងទម្រង់ជាចំនួនពិត វាត្រូវបានហៅ ការបញ្ចូលគ្នា ទៅលេខនេះ។ បើមិនដូច្នោះទេលំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា ខុសគ្នា . ប្រសិនបើលើសពីនេះទៅទៀត វាគ្មានដែនកំណត់ នោះដែនកំណត់របស់វាត្រូវបានសន្មត់ថាស្មើនឹងគ្មានកំណត់។
លើសពីនេះទៀត ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់គ្មានដែនកំណត់ ចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួនមានសញ្ញាវិជ្ជមាន នោះយើងនិយាយថាដែនកំណត់នៃលំដាប់បែបនេះគឺស្មើនឹង បូកគ្មានដែនកំណត់ .
ប្រសិនបើធាតុនៃលំដាប់គ្មានដែនកំណត់ ចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួនមានសញ្ញាអវិជ្ជមាន នោះពួកគេនិយាយថាដែនកំណត់នៃលំដាប់បែបនេះគឺស្មើនឹង ដកគ្មានកំណត់ .
ខ) ដែនកំណត់មុខងារ
ដែនកំណត់មុខងារ (ដែនកំណត់មុខងារ) នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ការកំណត់សម្រាប់ដែននៃនិយមន័យនៃអនុគមន៍ គឺជាតម្លៃដែលតម្លៃនៃមុខងារដែលកំពុងពិចារណាមាននិន្នាការនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាមាននិន្នាការទៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ដែនកំណត់មុខងារគឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃគោលគំនិតនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ៖ ដំបូង ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយត្រូវបានគេយល់ថាជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃធាតុនៃជួរនៃអនុគមន៍ ដែលផ្សំឡើងដោយរូបភាពនៃចំណុចនៃលំដាប់នៃធាតុមួយ។ នៃដែននៃអនុគមន៍, បម្លែងទៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ដែនកំណត់ដែលត្រូវបានពិចារណា); ប្រសិនបើដែនកំណត់បែបនេះមាន នោះមុខងារត្រូវបានគេនិយាយថានឹងបង្រួបបង្រួមទៅតម្លៃដែលបានបញ្ជាក់។ ប្រសិនបើដែនកំណត់បែបនេះមិនមានទេ នោះមុខងារត្រូវបានគេនិយាយថា diverge ។
ដែនកំណត់មុខងារ- គំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ តម្លៃត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ (តម្លៃកំណត់) នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់នៃចំណុចណាមួយដែលបង្រួបបង្រួមទៅជាធាតុមួយរបស់វា (នោះគឺនៅក្នុងសង្កាត់ដែលបាក់បែក) នោះលំដាប់នៃតម្លៃនៃអនុគមន៍នឹងទៅជា .
តម្លៃត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ (តម្លៃកំណត់) នៃអនុគមន៍មួយនៅចំណុច ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយដែលបានយកជាមុន មានលេខវិជ្ជមានដែលត្រូវគ្នានឹងវា ដូច្នេះសម្រាប់អាគុយម៉ង់ទាំងអស់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ វិសមភាពគឺពេញចិត្ត។
គ) ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ពីរ
· ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដំបូង:
ផលវិបាក
· 
· 
· 
· ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ៖
ផលវិបាក
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
សម្រាប់ ,
6. 
ឃ) មុខងារដ៏ធំគ្មានកំណត់ និងគ្មានកំណត់
មុខងារ y=f(x)បានហៅ គ្មានដែនកំណត់នៅ x → កឬពេលណា x→∞ ប្រសិនបើ ឬ ឧ. អនុគមន៍ infinitesimal គឺជាអនុគមន៍ដែលដែនកំណត់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺសូន្យ។
ប្រសិនបើមុខងារ y=f(x)តំណាងនៅ x → កជាផលបូកនៃចំនួនថេរ ខនិងតូចគ្មានកំណត់ α(x)៖ f(x)=b+ α(x)បន្ទាប់មក
ផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើ f(x)=b+α(x)កន្លែងណា a(x)គឺតូចបំផុតនៅ x → ក។
លទ្ធផល ១.ប្រសិនបើ និង .
លទ្ធផល ២.ប្រសិនបើ c= const បន្ទាប់មក។
ប្រសិនបើមុខងារ f(x)មានទំហំធំគ្មានកំណត់ x → កបន្ទាប់មកមុខងារ 1 /f(x)គឺតូចបំផុតនៅ x → ក.
ប្រសិនបើមុខងារ f(x)- តូចឥតកំណត់នៅ x → ក(ឬ x →∞)ហើយមិនបាត់ទៅវិញ y= 1/f(x)គឺជាមុខងារគ្មានកំណត់។ លក្ខណសម្បត្តិសាមញ្ញបំផុតនៃមុខងារតូច និងធំគ្មានកំណត់អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើទំនាក់ទំនងតាមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោម៖ ក≠ 0
ឃ) ការបង្ហាញភាពមិនច្បាស់លាស់។ ច្បាប់របស់ L'Hopital
ប្រភេទសំខាន់ៗនៃភាពមិនប្រាកដប្រជា: សូន្យចែកនឹងសូន្យ ( 0 ដល់ 0), ភាពគ្មានទីបញ្ចប់បែងចែកដោយ infinity, zero times infinity, infinity minus infinity, one to the power of infinity, zero to the power of zero, infinity to the power of zero ។
ច្បាប់របស់ L'Hopitalប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយសម្រាប់ ការគណនាដែនកំណត់នៅពេលដែលមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់សូន្យ បែងចែកដោយសូន្យ ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ បែងចែកដោយភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
ប្រភេទនៃភាពមិនប្រាកដប្រជាទាំងនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយមកត្រឹមសូន្យដងនៃភាពគ្មានដែនកំណត់ និងគ្មានដែនកំណត់ដកគ្មានដែនកំណត់។
ប្រសិនបើ និងប្រសិនបើមុខងារ f(x)និង g(x)មានភាពខុសប្លែកគ្នានៅក្នុងសង្កាត់នៃចំណុច បន្ទាប់មក 
ក្នុងករណីនៅពេលដែលភាពមិនច្បាស់លាស់មិនរលាយបាត់បន្ទាប់ពីអនុវត្តច្បាប់ L'Hopital បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានអនុវត្តម្តងទៀត។
ការគណនានៃនិស្សន្ទវត្ថុ
ក) ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ
អនុញ្ញាតឱ្យ មុខងារស្មុគស្មាញ ដែលមុខងារគឺជាអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម។ យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ដោយដឹងពីដេរីវេសម្រាប់អនុគមន៍ (យើងនឹងបង្ហាញវាដោយ ) និងដេរីវេនៃអនុគមន៍។
ទ្រឹស្តីបទ ១. ប្រសិនបើអនុគមន៍មានដេរីវេនៅចំណុចមួយ។ xហើយអនុគមន៍មានដេរីវេនៅចំនុច () បន្ទាប់មកអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៅចំណុច xមានដេរីវេ , និង = .
បើមិនដូច្នេះទេ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយគោរពទៅនឹងអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យម។
ខ) ភាពខុសគ្នានៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ពោលគឺក្នុងទម្រង់៖
ដែលមុខងារ និងត្រូវបានកំណត់ និងបន្តលើចន្លោះពេលជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ចូរស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃសមភាពនីមួយៗ៖
ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទី 2 យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោមៈ
គ) គំនិតនៃដេរីវេលោការីតនៃអនុគមន៍មួយ។
ដេរីវេលោការីតនៃអនុគមន៍វិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ យើងទទួលបានទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមសម្រាប់ដេរីវេលោការីតៈ
.
ដោយប្រើដេរីវេលោការីត វាងាយស្រួលក្នុងការគណនានិស្សន្ទវត្ថុធម្មតា ក្នុងករណីដែលលោការីតជួយសម្រួលទម្រង់នៃអនុគមន៍។
ខ្លឹមសារនៃភាពខុសគ្នាបែបនេះមានដូចខាងក្រោម៖ ដំបូងលោការីតនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានរកឃើញ ហើយមានតែនៅពេលនោះដេរីវេត្រូវបានគណនាពីវា។ សូមឱ្យមុខងារមួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងយកលោការីតនៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃកន្សោមនេះ៖
ហើយបន្ទាប់មក បង្ហាញពីដេរីវេដែលចង់បាន ជាលទ្ធផលយើងមាន៖
ឃ) ដេរីវេនៃមុខងារបញ្ច្រាស
ប្រសិនបើ y=f(x) និង x=g(y) គឺជាគូនៃអនុគមន៍ច្រាសទៅវិញទៅមក ហើយអនុគមន៍ y=f(x) មានដេរីវេទី f"(x) នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស g"( x) = 1/f" (x) ។
ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាសទៅវិញទៅមកគឺ ទៅវិញទៅមក។ រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាស៖
ង) ដេរីវេនៃមុខងារបង្កប់ន័យ
ប្រសិនបើមុខងារនៃអថេរមួយត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ y=f(x) ដែលអថេរ yគឺនៅខាងឆ្វេង ចំណែកខាងស្ដាំអាស្រ័យតែលើអាគុយម៉ង់ប៉ុណ្ណោះ។ xបន្ទាប់មកយើងនិយាយថាមុខងារត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ យ៉ាងច្បាស់លាស់. ឧទាហរណ៍ មុខងារខាងក្រោមត្រូវបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់លាស់៖
y= បាប x,y=x 2+2x+5,y=lncos x.
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងកិច្ចការជាច្រើនមុខងារអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដោយប្រយោល។, i.e. នៅក្នុងទម្រង់នៃសមីការ
ច(x,y)=0.
ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ y′( x) នៃមុខងារដែលបានកំណត់ដោយប្រយោល មិនចាំបាច់បំប្លែងវាទៅជាទម្រង់ច្បាស់លាស់ទេ។ សម្រាប់ការនេះដឹងពីសមីការ ច(x,y)=0 គ្រាន់តែធ្វើដូចខាងក្រោម៖
ដំបូង អ្នកត្រូវបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការខុសគ្នាដោយគោរពតាមអថេរ xសន្មតថា yគឺជាមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។ xនិងប្រើច្បាប់សម្រាប់គណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ។ ក្នុងករណីនេះ ដេរីវេនៃសូន្យ (នៅខាងស្តាំ) ក៏នឹងស្មើនឹងសូន្យដែរ។
មតិយោបល់៖ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំគឺមិនមែនសូន្យទេ i.e. សមីការដោយប្រយោលមានទម្រង់
f(x,y)=g(x,y),
បន្ទាប់មកយើងបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ។
ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយគោរពតាមដេរីវេ y′( x).
គំនិតនៃដេរីវេ
ក) និយមន័យនៃដេរីវេ
ដេរីវេនៃមុខងារ ភាពខុសគ្នា ការរួមបញ្ចូល.
y xx
និយមន័យដេរីវេ
ពិចារណាមុខងារ f(x x 0. បន្ទាប់មកមុខងារ f(x) គឺជា ខុសគ្នានៅចំណុច x 0 និងនាង ដេរីវេត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.
ដេរីវេនៃមុខងារ- គោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃគណិតវិទ្យា ហើយនៅក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា ដេរីវេ រួមជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល កាន់កាប់កន្លែងកណ្តាល។ ដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា. ប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាស - ការស្តារមុខងារពីដេរីវេដែលគេស្គាល់ - ត្រូវបានគេហៅថា ការរួមបញ្ចូល.
ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចខ្លះកំណត់លក្ខណៈអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារនៅចំណុចនោះ។ ការប៉ាន់ប្រមាណនៃអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរអាចទទួលបានដោយការគណនាសមាមាត្រនៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារΔ yទៅនឹងការផ្លាស់ប្តូរដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងអាគុយម៉ង់ Δ x. នៅក្នុងនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ សមាមាត្របែបនេះត្រូវបានពិចារណាក្នុងដែនកំណត់ក្រោមលក្ខខណ្ឌ Δ x→0. ចូរបន្តទៅទម្រង់ដ៏តឹងរ៉ឹងជាងមុន៖
និយមន័យដេរីវេ
ពិចារណាមុខងារ f(x) ដែលដែនមានចន្លោះពេលបើកចំហមួយចំនួនជុំវិញចំណុច x 0. បន្ទាប់មកមុខងារ f(x) គឺជា ខុសគ្នានៅចំណុច x 0 និងនាង ដេរីវេត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.
ខ) អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានគណនាសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃតង់ហ្សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះនៅចំណុចជាមួយ abscissa នេះ:
ប្រសិនបើអនុគមន៍មានដេរីវេទីណិតនៅចំណុចមួយ នោះនៅក្នុងសង្កាត់ វាអាចត្រូវបានប៉ាន់ស្មានដោយអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ
អនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាតង់សង់ទៅចំណុចលេខ។
ឃ) តារាងដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមសាមញ្ញបំផុត។
សូមឱ្យវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឯកតាវ៉ិចទ័រក្នុងទិសដៅដូចគ្នានឹង 
(វ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រ 
) ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
.
អនុញ្ញាតឱ្យអ័ក្ស 
បង្កើតមុំជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ 
.កូស៊ីនុសទិសនៃអ័ក្ស 
កូស៊ីនុសនៃមុំទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា៖ ប្រសិនបើទិសដៅ 
ផ្តល់ដោយវ៉ិចទ័រឯកតា 
បន្ទាប់មក cosines ទិសដៅដើរតួជាកូអរដោណេរបស់វា ពោលគឺ៖
.
កូស៊ីនុសទិសត្រូវបានទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង៖
ប្រសិនបើទិសដៅ 
ផ្តល់ដោយវ៉ិចទ័របំពាន 
បន្ទាប់មករកវ៉ិចទ័រឯកតានៃវ៉ិចទ័រនេះ ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយកន្សោមសម្រាប់វ៉ិចទ័រឯកតា 
, ទទួលបាន៖
ផលិតផល Scalar
ផលិតផលចំនុច
វ៉ិចទ័រពីរ 
និង 
ហៅថាលេខដែលស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងរបស់ពួកគេដោយកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖ 
.
ផលិតផល Scalar មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
អាស្រ័យហេតុនេះ 
.
អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រឯកតា 
ស្មើនឹងការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រ 
ក្នុងទិសដៅដែលបានកំណត់ 
, i.e. 
.
ពីនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានខាងក្រោមតារាងគុណនៃ orts 
:
.
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេរបស់វា។ 
និង 
, i.e. 
,
បន្ទាប់មក ការគុណវ៉ិចទ័រទាំងនេះតាមមាត្រដ្ឋាន និងដោយប្រើតារាងគុណនៃ orts យើងទទួលបានកន្សោមសម្រាប់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន 
តាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ៖
.
ផលិតផលវ៉ិចទ័រ
ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ
ក្នុងមួយវ៉ិចទ័រ 
ហៅថាវ៉ិចទ័រ 
ប្រវែង និងទិសដៅត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌ៖
ផលិតផលវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិបីដំបូងដែលការគុណវ៉ិចទ័រនៃផលបូកវ៉ិចទ័រដោយផលបូកនៃវ៉ិចទ័រគោរពច្បាប់ធម្មតាសម្រាប់ការគុណពហុនាម។ វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីធានាថាលំដាប់នៃមេគុណមិនផ្លាស់ប្តូរ។
វ៉ិចទ័រឯកតាមូលដ្ឋានត្រូវបានគុណដូចខាងក្រោមៈ
ប្រសិនបើ ក 
និង 
បន្ទាប់មកដោយពិចារណាលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលវ៉ិចទ័ររបស់វ៉ិចទ័រ យើងអាចទាញយកច្បាប់សម្រាប់គណនាកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រពីកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រកត្តា៖
ប្រសិនបើយើងយកទៅក្នុងគណនីច្បាប់សម្រាប់គុណនៃ orts ដែលទទួលបានខាងលើ នោះ៖
ទម្រង់បង្រួមបន្ថែមទៀតនៃការសរសេរកន្សោមសម្រាប់ការគណនាកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរអាចត្រូវបានសាងសង់ប្រសិនបើយើងណែនាំគំនិតនៃកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស។
ពិចារណាករណីពិសេសនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រ 
និង 
ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ 
, i.e. ពួកគេអាចត្រូវបានតំណាងជា 
និង 
.
ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់តារាងដូចខាងក្រោមៈ 
បន្ទាប់មកយើងអាចនិយាយបានថាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ទីពីរត្រូវបានបង្កើតឡើងពីពួកគេពោលគឺឧ។ ទំហំ 
ដែលមានពីរជួរ និងជួរឈរពីរ។ ម៉ាទ្រីសការ៉េនីមួយៗត្រូវបានកំណត់លេខមួយដែលត្រូវបានគណនាពីធាតុនៃម៉ាទ្រីសដោយយោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួនហើយត្រូវបានហៅថាកត្តាកំណត់។ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងចម្បង និងអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ៖
.
ក្នុងករណីនេះ:
ដូច្នេះតម្លៃដាច់ខាតនៃកត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃប្រលេឡូក្រាមដែលបង្កើតនៅលើវ៉ិចទ័រ 
និង 
ដូចជានៅសងខាង។
ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបកន្សោមនេះជាមួយនឹងរូបមន្តផលិតផលវ៉ិចទ័រ (4.7) នោះ៖
|
|
កន្សោមនេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីបីពីជួរទីមួយ។
ដូចនេះ៖
កត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីបីត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោមៈ
និងជាផលបូកពិជគណិតនៃប្រាំមួយពាក្យ។
រូបមន្តសម្រាប់គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ទីបីគឺងាយស្រួលចងចាំ ប្រសិនបើអ្នកប្រើ ក្បួនសារ៉ាសដែលត្រូវបានរៀបចំដូចខាងក្រោមៈ
ពាក្យនីមួយៗគឺជាផលិតផលនៃធាតុបីដែលមានទីតាំងនៅក្នុងជួរឈរផ្សេងៗគ្នា និងជួរផ្សេងគ្នានៃម៉ាទ្រីស។
សញ្ញាបូកមានផលិតផលនៃធាតុដែលបង្កើតជាត្រីកោណដែលមានចំហៀងស្របទៅនឹងអង្កត់ទ្រូងមេ។
សញ្ញាដកត្រូវបានផ្តល់ទៅឱ្យផលិតផលនៃធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់អង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ និងផលិតផលទាំងពីរនៃធាតុដែលបង្កើតជាត្រីកោណដែលមានចំហៀងស្របទៅនឹងអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំ។
ទាំងនេះគឺជាកូស៊ីនុសនៃមុំដែលវ៉ិចទ័របង្កើតជាមួយអ័ក្សពាក់កណ្តាលវិជ្ជមាននៃកូអរដោនេ។ ទិសដៅ cosines កំណត់ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានប្រវែង 1 នោះកូស៊ីនុសទិសរបស់វាស្មើនឹងកូអរដោនេរបស់វា។ ជាទូទៅ សម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោណេ ( ក; ខ; គ) កូស៊ីនុសទិសដៅគឺស្មើគ្នា៖
ដែល a, b, g គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រជាមួយអ័ក្ស x, y, zរៀងៗខ្លួន។
21) ការរលាយនៃវ៉ិចទ័រក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ។ ទិសខាងជើងនៃអ័ក្សកូអរដោណេត្រូវបានតំណាងដោយ , អ័ក្ស - ដោយ , អ័ក្ស - ដោយ (រូបភាព 1) ។
សម្រាប់វ៉ិចទ័រណាមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ការរលួយខាងក្រោមកើតឡើង៖
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ 
មានទីតាំងនៅក្នុងលំហ បន្ទាប់មកការពង្រីកក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្សកូអរដោនេមានទម្រង់៖
22)ផលិតផលចំនុចវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរ និងចំនួនស្មើនឹងផលគុណនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវាត្រូវបានហៅថា៖
23) មុំរវាងវ៉ិចទ័រពីរ
ប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រពីរគឺស្រួច នោះផលិតផលចំនុចរបស់ពួកគេគឺវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រគឺ obtuse នោះផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺអវិជ្ជមាន។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរគឺសូន្យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែវ៉ិចទ័រទាំងនេះមានរាងមូល។
24) លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ។
លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ
វ៉ិចទ័រកាត់កែងប្រសិនបើផលិតផលខាងក្នុងរបស់វាគឺសូន្យ។ វ៉ិចទ័រពីរ a(xa;ya) និង b(xb;yb) ត្រូវបានផ្តល់។ វ៉ិចទ័រទាំងនេះនឹងកាត់កែងប្រសិនបើកន្សោម xaxb + yayb = 0 ។
25) ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រពីរ។
ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រមិនជាប់ជួរពីរគឺជាវ៉ិចទ័រ c=a×b ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) វ៉ិចទ័រ a, b, c បង្កើតជាវ៉ិចទ័រស្តាំបីដង។
26) វ៉ិចទ័រ Collinear និង coplanar ។.
វ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា ប្រសិនបើ abscissa នៃវ៉ិចទ័រទីមួយគឺទាក់ទងទៅនឹង abscissa នៃទីពីរក្នុងវិធីដូចគ្នានឹង ordinate នៃទីមួយគឺទៅ ordinate នៃទីពីរ។ វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ក (xa;យ៉ា) និង ខ (xb;yb) វ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺជាប់គ្នាប្រសិនបើ x ក = xbនិង y ក = ybកន្លែងណា រ.
វ៉ិចទ័រ − → ក,−→ខនិង −→ គបានហៅ coplanarប្រសិនបើមានយន្តហោះដែលពួកវាស្របគ្នា។
27) ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័របី។ ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ- ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ a និងផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ b និង c ។ រកផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1) ។
ការសម្រេចចិត្ត៖
1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
28) ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរនៅលើយន្តហោះមួយ។ ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងឫសការេនៃផលបូកនៃភាពខុសគ្នាការ៉េនៃកូអរដោនេដូចគ្នានៃចំណុចទាំងនេះ។
29) ការបែងចែកផ្នែកក្នុងន័យនេះ។ ប្រសិនបើចំនុច M (x; y) ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ ( , ) និង ( , ) ហើយទំនាក់ទំនងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលចំនុច M បែងចែកផ្នែក នោះកូអរដោនេនៃចំនុច M ត្រូវបានកំណត់។ ដោយរូបមន្ត
ប្រសិនបើចំណុច M គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក នោះកូអរដោនេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
30-31. ជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថាតង់សង់នៃជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។ ចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ k. បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ
សមីការបន្ទាត់ជាមួយជម្រាលមានទម្រង់ជាកន្លែង k- មេគុណមុំនៃបន្ទាត់ត្រង់ ខគឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាលអាចកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលមិនស្របនឹងអ័ក្ស អូ(សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ជម្រាលមិនត្រូវបានកំណត់ទេ)។
33. សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះមួយ។ ប្រភេទសមីការ 
មាន សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ អុកសុី. អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ A, B និង C ករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖
C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម
A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (ដោយ + C \u003d 0) - បន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក
B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - បន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy
B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - បន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស Oy
A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - បន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នានឹងអ័ក្សអុក
34.សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែកនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ អុកសុីមានទម្រង់ជាកន្លែង កនិង ខគឺជាចំនួនពិតមួយចំនួនដែលមិនមែនជាសូន្យ។ ឈ្មោះនេះមិនមែនចៃដន្យទេព្រោះតម្លៃដាច់ខាតនៃលេខ កនិង ខស្មើនឹងប្រវែងនៃចម្រៀកដែលបន្ទាត់ត្រង់កាត់ចេញនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ គោនិង អូរៀងគ្នា (ផ្នែកត្រូវបានរាប់ពីប្រភពដើម) ។ ដូច្នេះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក ធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងគំនូរមួយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសម្គាល់ចំណុចជាមួយកូអរដោនេ និងក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះ ហើយប្រើបន្ទាត់ដើម្បីភ្ជាប់ពួកវាជាមួយបន្ទាត់ត្រង់។
35. សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់
តើចម្ងាយពីបន្ទាត់ត្រង់ទៅប្រភពដើមនៅឯណា; គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ធម្មតាទៅបន្ទាត់ត្រង់និងអ័ក្ស។
សមីការធម្មតាអាចទទួលបានពីសមីការទូទៅ (១) ដោយគុណវាដោយកត្តាធម្មតា សញ្ញានៃ គឺទល់មុខនឹងសញ្ញានៃ ដូច្នេះ .
កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ និងអ័ក្សកូអរដោណេត្រូវបានគេហៅថា កូស៊ីនុសទិស គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ និងអ័ក្ស គឺនៅចន្លោះបន្ទាត់ និងអ័ក្ស៖
ដូច្នេះសមីការធម្មតាអាចត្រូវបានសរសេរជា
ចម្ងាយពីចំណុច ត្រង់ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត 
36. ចំងាយរវាងចំនុចមួយ និងបន្ទាត់មួយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តខាងក្រោម៖ 
ដែល x 0 និង y 0 គឺជាកូអរដោនេនៃចំនុច ហើយ A, B និង C គឺជាមេគុណពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់
37. ការនាំយកសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាធម្មតា។ សមីការនិងយន្តហោះក្នុងបរិបទនេះមិនខុសគ្នាពីគ្នាក្នុងអ្វីផ្សេងពីចំនួនពាក្យក្នុងសមីការនិងវិមាត្រនៃលំហ។ ដូច្នេះដំបូងខ្ញុំនឹងនិយាយអ្វីគ្រប់យ៉ាងអំពីយន្តហោះហើយនៅចុងបញ្ចប់ខ្ញុំនឹងធ្វើការកក់ទុកអំពីបន្ទាត់ត្រង់។
សូមឱ្យសមីការទូទៅនៃយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: Ax + By + Cz + D = 0 ។
. យើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖ g;Mc=cosb, MB=cosaLet's នាំវាទៅជាទម្រង់ធម្មតា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកត្តាធម្មតា M. យើងទទួលបាន: Max + Mvu + MSz + MD = 0 ។ ក្នុងករណីនេះ МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa យើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖
M2 B2 = cos2b
M2 C2 = cos2g
ការបន្ថែមសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន M*(A2 + B2 + C2) = 1 ឥឡូវនេះវានៅសល់តែបង្ហាញ M ពីទីនេះ ដើម្បីដឹងថាកត្តាណាដែលធ្វើអោយសមីការទូទៅដើមត្រូវតែគុណដើម្បីនាំវាទៅធម្មតា ទម្រង់៖
M \u003d - + 1 / ROOT KV A2 + B2 + C2
MD ត្រូវតែតិចជាងសូន្យជានិច្ច ដូច្នេះសញ្ញានៃលេខ M ត្រូវបានគេយកផ្ទុយទៅនឹងសញ្ញានៃលេខ D ។
ជាមួយនឹងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា មានតែពាក្យ C2 ប៉ុណ្ណោះដែលគួរតែដកចេញពីរូបមន្តសម្រាប់ M ។
| ពូថៅ + ដោយ + cz + ឃ = 0, |
38.សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ នៅក្នុងលំហ ត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃទម្រង់
កន្លែងណា ក 2 + ខ 2 + គ 2 ≠ 0 .
នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian យន្តហោះណាមួយត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការនៃដឺក្រេទី 1 (សមីការលីនេអ៊ែរ)។ ផ្ទុយទៅវិញ សមីការលីនេអ៊ែរកំណត់ប្លង់យន្តហោះ។
40.សមីការនៃយន្តហោះក្នុងផ្នែក។នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ អុកហ្សីនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ សមីការនៃទម្រង់ 
កន្លែងណា ក, ខនិង គលេខពិតក្រៅពីសូន្យត្រូវបានគេហៅថា សមីការយន្តហោះជាផ្នែក. តម្លៃដាច់ខាតនៃលេខ ក, ខនិង គស្មើនឹងប្រវែងនៃផ្នែកដែលយន្តហោះកាត់ចេញនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ គោ, អូនិង អុករៀងៗខ្លួន រាប់ពីប្រភពដើម។ សញ្ញាលេខ ក, ខនិង គបង្ហាញក្នុងទិសដៅណាមួយ (វិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន) ផ្នែកត្រូវបានគ្រោងនៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ
41) សមីការធម្មតានៃយន្តហោះ។
សមីការធម្មតានៃយន្តហោះ គឺជាសមីការរបស់វា ដែលសរសេរជាទម្រង់
ដែលជាកន្លែងដែល , , គឺជាកូស៊ីនុសទិសនៃធម្មតានៃយន្តហោះ, e
p គឺជាចំងាយពីដើមដល់យន្តហោះ។ នៅពេលគណនាទិសដៅកូស៊ីនុសនៃធម្មតា វាគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានដឹកនាំពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះ (ប្រសិនបើយន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនោះជម្រើសនៃទិសដៅវិជ្ជមាននៃធម្មតាគឺព្រងើយកណ្តើយ) ។
42) ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ 
និងបានផ្តល់ចំណុចមួយ។ បន្ទាប់មកចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
 |
ភស្តុតាង. ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ តាមនិយមន័យ ប្រវែងកាត់កាត់ពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ
មុំរវាងយន្តហោះ
អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះនិងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការនិង, រៀងគ្នា។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះទាំងនេះ។
ប្លង់ដែលប្រសព្វគ្នាបង្កើតជាមុំបួនជ្រុង៖ ជ្រុងពីរ និងពីរស្រួច ឬបួនត្រង់ ហើយមុំ obtuse ទាំងពីរគឺស្មើគ្នា ហើយស្រួចទាំងពីរក៏ស្មើគ្នាដែរ។ យើងនឹងស្វែងរកមុំស្រួចស្រាវជានិច្ច។ ដើម្បីកំណត់តម្លៃរបស់វា យើងយកចំនុចមួយនៅលើបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ ហើយនៅចំណុចនេះក្នុងផ្នែកនីមួយៗ
ប្លង់ដែលយើងគូរកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វ។
និយមន័យ
វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាជាគូនៃពិន្ទុដែលបញ្ជាទិញ ហើយ (នោះគឺគេដឹងច្បាស់ថាមួយណាជាពិន្ទុក្នុងគូនេះមុនគេ)។
ចំណុចទីមួយត្រូវបានគេហៅថា ការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រហើយទីពីរគឺជារបស់គាត់។ ចប់.
ចម្ងាយរវាងការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា វែងឬ ម៉ូឌុលវ៉ិចទ័រ.
វ៉ិចទ័រដែលដើមនិងចុងគឺដូចគ្នាត្រូវបានហៅ សូន្យនិងត្រូវបានតំណាងដោយ ; ប្រវែងរបស់វាត្រូវបានសន្មត់ថាជាសូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេប្រសិនបើប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រគឺវិជ្ជមាននោះវាត្រូវបានគេហៅថា មិនមែនសូន្យ.
មតិយោបល់. ប្រសិនបើប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រស្មើនឹងមួយ នោះគេហៅថា ortomឬ ឯកតាវ៉ិចទ័រនិងត្រូវបានតំណាង។
ឧទាហរណ៍
| លំហាត់ប្រាណ | ពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រគឺ  នៅលីវ។ |
| ការសម្រេចចិត្ត | ចូរយើងគណនាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាស្មើនឹងឫសការេនៃផលបូកនៃកូអរដោនេការេ៖ ដោយសារប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងមួយ នោះវ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រ។ |
| ចម្លើយ | វ៉ិចទ័រគឺនៅលីវ។ |
វ៉ិចទ័រមិនសូន្យក៏អាចត្រូវបានកំណត់ថាជាផ្នែកដឹកនាំផងដែរ។
មតិយោបល់. ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រទទេមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។
កូស៊ីនុសទិសវ៉ិចទ័រ
និយមន័យ
កូស៊ីនុសទិសវ៉ិចទ័រខ្លះត្រូវបានគេហៅថាកូស៊ីនុសនៃមុំដែលវ៉ិចទ័របង្កើតជាមួយទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សកូអរដោនេ។
មតិយោបល់. ទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយកូស៊ីនុសទិសដៅរបស់វា។
ដើម្បីស្វែងរកកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឱ្យវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈធម្មតា (នោះគឺបែងចែកវ៉ិចទ័រតាមប្រវែងរបស់វា)៖
មតិយោបល់. កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រឯកតាគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុសទិសដៅរបស់វា។
ទ្រឹស្តីបទ
(ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូស៊ីនុសទិសដៅ) ។ ផលបូកនៃការ៉េនៃកូស៊ីនុសទិសគឺស្មើនឹងមួយ៖
Def. ១.៥.៦. កូស៊ីនុសទិសវ៉ិចទ័រ ក ចូរហៅកូស៊ីនុសនៃមុំទាំងនោះ ដែលវ៉ិចទ័រនេះបង្កើតជាវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន រៀងគ្នា ខ្ញុំ , j , k .
កូស៊ីនុសទិសវ៉ិចទ័រ ក = (X, នៅ, z) ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖
ផលបូកនៃការ៉េនៃកូស៊ីនុសទិសគឺស្មើនឹងមួយ៖
កូស៊ីនុសទិសវ៉ិចទ័រ ក
គឺជាកូអរដោនេនៃ orth របស់វា៖ .
អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រជាមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ , j , k ទាញចេញពីចំណុចរួម អូ. យើងនឹងសន្មត់ថា orts កំណត់ទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស អូ, អូ, អុក. ការប្រមូលចំណុច អូ (ប្រភពដើម) និងមូលដ្ឋានអ័រគីដេ ខ្ញុំ , j , k បានហៅ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian ក្នុងលំហ. អនុញ្ញាតឱ្យមាន ប៉ុន្តែគឺជាចំណុចបំពាននៅក្នុងលំហ។ វ៉ិចទ័រ ក = អូអេ= x ខ្ញុំ + y j + z k បានហៅ វ៉ិចទ័រកាំពិន្ទុ ប៉ុន្តែ, កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនេះ ( x, y, z) ត្រូវបានគេហៅថាកូអរដោនេចំណុចផងដែរ។ ប៉ុន្តែ(និមិត្តសញ្ញា៖ ប៉ុន្តែ(x, y, z)). សំរបសំរួលអ័ក្ស អូ, អូ, អុកគេហៅផងដែរថា អ័ក្ស abscissa, អ័ក្ស ចាត់តាំង, អ័ក្ស អនុវត្ត.
ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើមរបស់វា។ អេ 1 (x 1 , y 1 , z 1) និងចំណុចបញ្ចប់ អេ 2 (x 2 ,
y 2 , z 2) បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងកូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់និងការចាប់ផ្តើម: (ចាប់តាំងពី 
).
ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ Cartesian នៅលើយន្តហោះ និងនៅលើបន្ទាត់ត្រូវបានកំណត់តាមរបៀបដូចគ្នាជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរបរិមាណដែលត្រូវគ្នា (យោងទៅតាមវិមាត្រ) ។
ដំណោះស្រាយនៃកិច្ចការធម្មតា។
ឧទាហរណ៍ ១រកប្រវែង និងទិសដៅកូស៊ីនុសនៃវ៉ិចទ័រ ក = 6ខ្ញុំ – 2j -3k .
ការសម្រេចចិត្ត។ប្រវែងវ៉ិចទ័រ៖ 
. ទិសដៅកូស៊ីនុស៖ 
.
ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកកូអរដោនេវ៉ិចទ័រ ក បង្កើតមុំស្រួចស្មើគ្នាជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ ប្រសិនបើប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនេះស្មើនឹង .
ការសម្រេចចិត្ត។ចាប់តាំងពី នោះមកជំនួសរូបមន្ត (1.6) យើងទទួលបាន 
. វ៉ិចទ័រ ក
បង្កើតជាមុំមុតស្រួចជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ដូច្នេះ ortho 
. ដូច្នេះហើយ យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ 
.
ឧទាហរណ៍ ៣វ៉ិចទ័រមិនមែន coplanar ចំនួនបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អ៊ី 1 = 2ខ្ញុំ – k , អ៊ី 2 = 3ខ្ញុំ + 3j , អ៊ី 3 = 2ខ្ញុំ + 3k . បំបែកវ៉ិចទ័រ ឃ = ខ្ញុំ + 5j - 2k មូលដ្ឋាន អ៊ី 1 , អ៊ី 2 , អ៊ី 3 .
