គោលគំនិតសំខាន់បំផុតនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃលំហលីនេអ៊ែរ គឺការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ។ មុននឹងកំណត់គោលគំនិតនេះ សូមមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។ 1. ផ្តល់ប្រព័ន្ធដូចខាងក្រោមនៃវ៉ិចទ័របីពីលំហ Tk:

វាងាយស្រួលមើលវាផងដែរ។

2. ឥឡូវនេះ ចូរយើងយកប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមួយទៀតពី

វាពិបាកក្នុងការមើលឃើញទំនាក់ទំនងស្រដៀងគ្នាទៅនឹងសមភាព (1) សម្រាប់ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនេះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលវា។

មេគុណ 4, -7.5 នៃទំនាក់ទំនង (2) អាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម។ ចូរយើងកំណត់ពួកវាថាមិនស្គាល់ យើងនឹងដោះស្រាយសមីការវ៉ិចទ័រ៖

ដោយបានអនុវត្តប្រតិបត្តិការដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៃការគុណ និងការបូក និងការឆ្លងទៅសមភាពនៃសមាសធាតុវ៉ិចទ័រក្នុង (2) យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹង

ដំណោះស្រាយមួយចំពោះប្រព័ន្ធនេះគឺ៖

3. ពិចារណាប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ:

សមភាព

នាំទៅរកប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ - សូន្យ។ (ពិនិត្យមើល!) ដូច្នេះពីសមភាព (3) វាដូចខាងក្រោម,

ដែលនិយាយម្យ៉ាងទៀត សមភាព (៣) គឺពេញចិត្តសម្រាប់តែ

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រក្នុងឧទាហរណ៍ 1-2 គឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ប្រព័ន្ធនៃឧទាហរណ៍ទី 3 គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

និយមន័យ 3. ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រក្នុងចន្លោះលីនេអ៊ែរលើវាលមួយត្រូវបានគេនិយាយថាអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើមិនមានលេខទាំងអស់នៃវាល R ស្មើនឹងសូន្យដូចនោះ។

ប្រសិនបើភាពស្មើគ្នានៃវ៉ិចទ័រកើតឡើងតែនៅពេលនោះ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ចំណាំថាទ្រព្យសម្បត្តិនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនិងឯករាជ្យគឺជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គុណនាមដូចគ្នានេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍នៅពេលអនុវត្តដោយផ្ទាល់ចំពោះវ៉ិចទ័រខ្លួនឯង ហើយពួកគេនិយាយថាជាមួយនឹងសេរីភាពនៃការនិយាយ "ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ" និងសូម្បីតែ "វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ" ។

ប្រសិនបើមានវ៉ិចទ័រ a តែមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធ នោះសម្រាប់លក្ខណសម្បត្តិ 6 (§ 2) វាធ្វើតាមពីវា ថាប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រមិនសូន្យមួយគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ផ្ទុយទៅវិញ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រណាមួយដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យ 0 គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ នោះសមភាពរក្សាសម្រាប់ (ឬ . បន្ទាប់មក

i.e. វ៉ិចទ័រគឺសមាមាត្រ។ ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ ព្រោះវាបន្តពី។ ដូច្នេះហើយ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានសមាមាត្រ។

វ៉ិចទ័រសមាមាត្រពីការកុហកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា; នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនេះ និងនៅក្នុងករណីទូទៅ វ៉ិចទ័រសមាមាត្រ ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា collinear ។

យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ។

Property 1. ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលមានប្រព័ន្ធរងអាស្រ័យលីនេអ៊ែរគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធរងដែលពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ

បន្ទាប់មកមិនមានលេខសូន្យទាំងអស់នោះទេ។

ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយមេគុណសូន្យទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពនេះយើងទទួលបានមួយដែលត្រូវការ។

វាធ្វើតាមលក្ខណៈសម្បត្តិ 1 ដែលប្រព័ន្ធរងណាមួយនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 2. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ

គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធ (4) ។

ដោយសារប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ (5) គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះមិនមានលេខទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យដូចនោះទេ។

ប្រសិនបើបន្ទាប់មក ហើយបន្ទាប់មក មេគុណមិនសូន្យនឹងស្ថិតនៅក្នុងចំណោមនោះ ដែលមានន័យថា ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធ (4) ។ អាស្រ័យហេតុនេះ និង

ទ្រព្យសម្បត្តិ 3. ប្រព័ន្ធតាមលំដាប់នៃវ៉ិចទ័រ nonzero

គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រខ្លះជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមុនៗ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។ ដោយសារតែវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ សម្គាល់ដោយចំនួនធម្មជាតិតូចបំផុត ដែលប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។ (វា​មាន៖ ក្នុង​ករណី​ធ្ងន់ធ្ងរ ប្រសិនបើ​ប្រព័ន្ធ​មាន​ភាព​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ នោះ​មិន​មាន​លេខ​ទាំងអស់​ស្មើ​នឹង​សូន្យ​ដូច​ដែល​សមភាព​នោះ​ទេ។

ប្រសិនបើនោះមេគុណមិនសូន្យនឹងស្ថិតក្នុងចំណោម ហើយសមភាពនឹងកាន់

ដែលនឹងមានន័យថាការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធ ប៉ុន្តែវានឹងផ្ទុយនឹងជម្រើសនៃលេខ។ ដូច្នេះហើយ

ផ្ទុយទៅវិញ ពីសមភាព (7) ទ្រព្យសម្បត្តិ 1 បង្កប់ន័យការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធ

ទ្រព្យសម្បត្តិ 3 យ៉ាងងាយស្រួលបង្កប់ន័យថាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើនិងលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។ ក្នុងន័យនេះ គេនិយាយថា គោលគំនិតនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ គឺស្មើនឹងគោលគំនិតនៃការបញ្ចេញមតិលីនេអ៊ែរ។

Property 4. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ x ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធ

ហើយវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់នៃប្រព័ន្ធ (8) បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រក៏ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធ (8) ។

ជា​ការ​ពិត,

ឥឡូវនេះយើងអាចបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទដ៏សំខាន់បំផុតមួយអំពីការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ។

ទ្រឹស្តីបទ 1. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ

គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រ

ដូច្នេះនៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត នៅក្នុងប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ ដែលជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ ចំនួនវ៉ិចទ័រមិនអាចលើសពី

ភស្តុតាង។ ជំហានទី 1 ។ ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធមួយ។

តាមការសន្មត វ៉ិចទ័រនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ (9) ជាពិសេសវ៉ិចទ័រត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ (10) ហើយដូច្នេះប្រព័ន្ធ (11) គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិ 3 នៅក្នុងប្រព័ន្ធ (11) វ៉ិចទ័រមួយចំនួនដែលត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រមុន ហើយដូច្នេះផងដែរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធ

ទទួលបានពី (11) ដោយការលុបវ៉ិចទ័រ ពីទីនេះ ដោយលក្ខណសម្បត្តិទី 4 យើងមានៈ វ៉ិចទ័រនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ (9) ត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធ (12) ។

ជំហានទី 2 ។ ការ​អនុវត្ត​ហេតុផល​ដូច​គ្នា​នឹង​ជំហាន​ទៅ​ប្រព័ន្ធ​វ៉ិចទ័រ

និង (12) ហើយដោយគិតគូរថាប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

តាមរយៈដែលវ៉ិចទ័រទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (9) ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរ។

ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាដោយការបន្តដំណើរការនេះ យើងនឹងអស់កម្លាំងវ៉ិចទ័រទាំងអស់តាមរយៈជំហាន និងទទួលបានប្រព័ន្ធ

ដូចជាវ៉ិចទ័រនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ (9) ជាពិសេសត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធ (14) ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធ (9) ប្រែទៅជាពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ។ វានៅសល់ដើម្បីទទួលយកវា។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីអ្វីដែលការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រក្នុងចន្លោះផ្សេងគ្នាមានន័យ។

1. លំហ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពីរគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ នោះ ឬមានន័យថា វ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា។ ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ។ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រលំហរបីគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើពួកវាស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយ។ (បញ្ជាក់!) ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រអវកាសទាំងបួនគឺតែងតែអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធរងណាមួយនៃប្រព័ន្ធរបស់យើងពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើគ្មានប្រព័ន្ធ eigensubsystem អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរទេ នោះបើយោងទៅតាមប្រព័ន្ធមុន នេះមានន័យថាគ្មានវ៉ិចទ័របីនៃប្រព័ន្ធរបស់យើងស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយទេ។ បន្ទាប់មកវាធ្វើតាមការពិចារណាធរណីមាត្រថាមានចំនួនពិត ដែលប៉ារ៉ាឡែលភីពជាមួយវ៉ិចទ័រគែមនឹងមានអង្កត់ទ្រូង ពោលគឺនៅក្នុងសមភាព។

ចូរយើងបន្តទៅការពិពណ៌នាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលំហលីនេអ៊ែរ។ ដំបូងបង្អស់ពួកគេរួមបញ្ចូលទំនាក់ទំនងរវាងធាតុរបស់វា។

ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ ធាតុនៅលើវាលនៃចំនួនពិត រដែលហៅថាធាតុ

និយមន័យ។សំណុំនៃធាតុ ត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើមកពីសមភាព

វាចាំបាច់ធ្វើតាមនោះ . វាច្បាស់ណាស់ថាផ្នែកណាមួយនៃធាតុមកពីក៏ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរដែរ។ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយ នោះសំណុំត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍III.6. សូមឱ្យសំណុំវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រគឺ នោះប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័របែបនេះគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យសំណុំ,, …,,, …, ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកវាមកពីសមភាពនោះ។

ការបន្ថែមទៅសំណុំនេះ វ៉ិចទ័រគុណនឹង យើងនៅតែមានសមភាព

ដូច្នេះ សំណុំនៃវ៉ិចទ័រ ក៏ដូចជាធាតុផ្សេងទៀតដែលមានធាតុសូន្យ គឺតែងតែអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ▼ ។

មតិយោបល់។ប្រសិនបើសំណុំនៃវ៉ិចទ័រគឺទទេ នោះវាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើមិនមានសន្ទស្សន៍ទេនោះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការជ្រើសរើសលេខដែលមិនមែនជាសូន្យដែលត្រូវគ្នា ដូច្នេះផលបូកនៃទម្រង់ (III.2) គឺស្មើនឹង 0។ ការបកស្រាយនៃឯករាជ្យលីនេអ៊ែរបែបនេះអាចត្រូវបានគេយកជា ភ័ស្តុតាង ជាពិសេសចាប់តាំងពីលទ្ធផលបែបនេះគឺស្ថិតនៅក្នុងការព្រមព្រៀងដ៏ល្អជាមួយទ្រឹស្តី 11 ។

នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយខាងលើ និយមន័យនៃឯករាជ្យលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម: សំណុំនៃធាតុគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ និងមិនមានសន្ទស្សន៍សម្រាប់អ្វីនោះទេ។ ជាពិសេសឈុតនេះក៏អាចទទេផងដែរ។

ឧទាហរណ៍III.7. វ៉ិចទ័ររអិលទាំងពីរគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ សូមចាំថាវ៉ិចទ័ររអិលគឺជាវ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ យកវ៉ិចទ័រឯកតា អ្នកអាចទទួលបានវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតដោយគុណនឹងចំនួនពិតដែលត្រូវគ្នា នោះគឺជា ឬ។ ដូច្នេះហើយ វ៉ិចទ័រពីរនៅក្នុងលំហមួយវិមាត្រគឺពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍III.8. ពិចារណាចន្លោះនៃពហុនាម, ដែលជាកន្លែងដែល ,,, ។ ចូរយើងសរសេរចុះ

សន្មត់ថា ,,, យើងទទួលបាន, ដូចគ្នាបេះបិទ t

នោះគឺ សំណុំគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ចំណាំថាសំណុំកំណត់ណាមួយនៃទម្រង់គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ សម្រាប់ភ័ស្តុតាងសូមពិចារណាករណីបន្ទាប់មកពីសមភាព

ក្នុង​ករណី​នៃ​ការ​សន្មត់​នៃ​ការ​អាស្រ័យ​លីនេអ៊ែរ​របស់​វា វា​នឹង​ធ្វើ​តាម​ថា​មិន​មាន​លេខ​ទាំងអស់​ស្មើ​នឹង​សូន្យ​ទេ  1 ,  2 ,  3 ដែលដូចគ្នាបេះបិទសម្រាប់ណាមួយ (III.3) ប៉ុន្តែនេះផ្ទុយនឹងទ្រឹស្តីបទជាមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតៈ ពហុនាមណាមួយ ន- សញ្ញាបត្រមិនលើសពី នឫសពិត។ ក្នុងករណីរបស់យើង សមីការនេះមានឫសពីរប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមែនជាចំនួនគ្មានកំណត់នៃពួកវាទេ។ យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នា។

§ 2. បន្សំលីនេអ៊ែរ។ មូលដ្ឋាន

អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ យើងនឹងនិយាយថានៅទីនោះ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ ធាតុ។

ទ្រឹស្តីបទIII.១ (មេ)។សំណុំ​នៃ​ធាតុ​មិន​សូន្យ​គឺ​អាស្រ័យ​តាម​លីនេអ៊ែរ​ប្រសិន​បើ​ធាតុ​មួយ​ចំនួន​ជា​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​នៃ​ធាតុ​មុន​។

ភស្តុតាង. ត្រូវការ. ឧបមាថាធាតុ ,, …, គឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ហើយទុកជាលេខធម្មជាតិដំបូងដែលធាតុ ,, …, គឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មក

សម្រាប់មិនមែនទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យទេ ហើយចាំបាច់ (បើមិនដូច្នេះទេ មេគុណនេះនឹងមាន ដែលនឹងផ្ទុយនឹងអ្វីដែលបានបញ្ជាក់)។ ដូច្នេះ​ហើយ​យើង​មាន​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​លីនេអ៊ែរ

ភាពគ្រប់គ្រាន់ជាក់ស្តែង ពីព្រោះរាល់សំណុំដែលមានសំណុំអាស្រ័យលីនេអ៊ែរគឺខ្លួនវាអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ▼។

និយមន័យ។មូលដ្ឋាន (ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល) នៃលំហលីនេអ៊ែរ អិលត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ កធាតុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដូចជាធាតុនីមួយៗមកពី អិលគឺជាការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃធាតុពី ក, 11.

យើងនឹងពិចារណាលំហលីនេអ៊ែរដែលកំណត់វិមាត្រ។

ឧទាហរណ៍III.9. ពិចារណាលំហវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ។ យកវ៉ិចទ័រឯកតា ,, ។ ពួកគេបង្កើតជាមូលដ្ឋានសម្រាប់

ចូរយើងបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ជាការពិតយើងមាន

ឬ។ ពីទីនេះ យោងទៅតាមក្បួនគុណនៃវ៉ិចទ័រដោយចំនួន និងបូកវ៉ិចទ័រ (ឧទាហរណ៍ III.2) យើងទទួលបាន

ដូច្នេះ ,,▼ ។

ទុកជាវ៉ិចទ័រលំហតាមអំពើចិត្ត បន្ទាប់មក ផ្អែកលើអ័ក្សលំហលីនេអ៊ែរ យើងទទួលបាន

ហេតុផលស្រដៀងគ្នានេះមានសុពលភាពសម្រាប់ចន្លោះដែលមានមូលដ្ឋាន។ វាធ្វើតាមទ្រឹស្ដីមេដែលនៅក្នុងលំហលីនេអ៊ែរវិមាត្រកំណត់តាមអំពើចិត្ត អិលធាតុណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃធាតុមូលដ្ឋានរបស់វា,, ...,, i.e.

លើសពីនេះទៅទៀតការរលួយបែបនេះគឺមានតែមួយគត់។ ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យយើងមាន

បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីដកយើងទទួលបាន

ដូច្នេះដោយសារតែឯករាជ្យនៃធាតុ ,,

នោះគឺ▼។

ទ្រឹស្តីបទIII.២ (បន្ថែមលើមូលដ្ឋាន) ។ទុកជាលំហលីនេអ៊ែរដែលកំណត់វិមាត្រ និងជាសំណុំនៃធាតុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើពួកគេមិនបង្កើតមូលដ្ឋានទេនោះ វាអាចរកឃើញធាតុបែបនេះ , ... , ដែលសំណុំនៃធាតុបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៅក្នុង។ នោះ​គឺ​សំណុំ​ធាតុ​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ​នីមួយៗ​នៃ​លំហ​លីនេអ៊ែរ​អាច​ត្រូវ​បាន​បញ្ចប់​ជា​មូលដ្ឋាន។

ភស្តុតាង. ដោយសារលំហមានវិមាត្រកំណត់ វាមានមូលដ្ឋានដែលមានឧទាហរណ៍ នៃ នធាតុ, អនុញ្ញាតឱ្យទាំងនេះជាធាតុ។ ពិចារណាសំណុំនៃធាតុ។

ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទចម្បង។ នៅក្នុងលំដាប់នៃធាតុ, ពិចារណាសំណុំ ក. ជាក់ស្តែងគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីធាតុណាមួយគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ ,, ។ ចាប់តាំងពីធាតុ, ... , គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកបន្ថែមធាតុទៅវាជាបន្តបន្ទាប់រហូតដល់ធាតុទីមួយលេចឡើង ឧទាហរណ៍ថាវាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមុននៃសំណុំនេះ នោះគឺ។ ការដកធាតុនេះចេញពីសំណុំ ក, យើង​ទទួល​បាន ។ យើងបន្តនីតិវិធីនេះរហូតដល់សំណុំនេះមាន នធាតុឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ក្នុងចំណោមធាតុទាំងអស់ ,, …, និង ន-មពីធាតុ។ សំណុំលទ្ធផលនឹងជាមូលដ្ឋាន ▼ ។

ឧទាហរណ៍III.10. បង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ ,, និងបង្កើតសំណុំអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ហើយណាមួយនៃពួកវាទាំងបីគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ចូរយើងបង្ហាញថាមិនមានលេខសូន្យទាំងអស់សម្រាប់លេខណានោះទេ។

ជាការពិតសម្រាប់ យើងមាន

ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរត្រូវបានបញ្ជាក់។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបីបីវ៉ិចទ័រឧទាហរណ៍ ,, បង្កើតជាមូលដ្ឋាន។ ចូរយើងបង្កើតសមភាព

ការអនុវត្តសកម្មភាពជាមួយវ៉ិចទ័រយើងទទួលបាន

សមីការនៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៅក្នុងផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃសមភាពចុងក្រោយ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការ ,,, ដោះស្រាយវា យើងទទួលបាន។

ការវែកញែកស្រដៀងគ្នាមានសុពលភាពសម្រាប់បីដងដែលនៅសល់នៃវ៉ិចទ័រ ,, ឬ ,, ។

ទ្រឹស្តីបទIII.3 (នៅលើវិមាត្រនៃលំហ) ។មូលដ្ឋានទាំងអស់នៃលំហលីនេអ៊ែរដែលកំណត់វិមាត្រ អិលមានចំនួនដូចគ្នានៃធាតុមូលដ្ឋាន។

ភស្តុតាង. អោយពីរឈុត , កន្លែងណា ;, ។ យើងកំណត់ឱ្យពួកគេម្នាក់ៗនូវលក្ខណៈសម្បត្តិមួយក្នុងចំណោមលក្ខណៈសម្បត្តិពីរដែលកំណត់មូលដ្ឋាន: 1) តាមរយៈធាតុនៃសំណុំ កធាតុណាមួយពី អិល, 2) ធាតុនៃសំណុំ ខតំណាងឱ្យសំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែមិនចាំបាច់ទាំងអស់នៃពួកវាទេ។ អិល. យើងនឹងសន្មតថាធាតុ កនិង ខបានបញ្ជា។

ពិចារណាសំណុំ កនិងអនុវត្តចំពោះធាតុរបស់វា។ មដងវិធីសាស្រ្តពីទ្រឹស្តីបទចម្បង។ ចាប់តាំងពីធាតុពី ខគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានដូចពីមុន សំណុំអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ

ពិតហើយ ប្រសិនបើ នោះ យើងនឹងទទួលបានសំណុំឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយនៅសល់ នកំណត់ធាតុ ខនឹងត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈពួកវា ដែលវាមិនអាចទៅរួចទេ ដែលមានន័យថា . ប៉ុន្តែនេះក៏មិនអាចកើតឡើងដែរ ចាប់តាំងពីការសាងសង់សំណុំ (III.4) មានទ្រព្យសម្បត្តិនៃមូលដ្ឋាននៃសំណុំ ក. ដោយសារតែលំហ អិលកំណត់វិមាត្រ បន្ទាប់មកមានតែ នោះគឺជាមូលដ្ឋានពីរផ្សេងគ្នានៃលំហ អិលមានចំនួនធាតុដូចគ្នា ▼ ។

ផលវិបាក។នៅក្នុងណាមួយ។ ន-dimensional linear space () អ្នកអាចរកឃើញមូលដ្ឋានជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ភស្តុតាងអនុវត្តតាមច្បាប់នៃគុណនៃធាតុនៃលំហលីនេអ៊ែរ (វ៉ិចទ័រ) ដោយលេខមួយ។

និយមន័យ។វិមាត្រនៃលំហលីនេអ៊ែរ អិលគឺជាចំនួនធាតុដែលបង្កើតជាមូលដ្ឋានរបស់វា។

វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលសំណុំនៃធាតុទទេ - ចន្លោះលីនេអ៊ែរតូចតាច - មានវិមាត្រ 0 ដែលគួរកត់សំគាល់វាបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃពាក្យដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនិងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់: ន- ទំហំវិមាត្រមានវិមាត្រ ន, .

ដូច្នេះ សរុប​មក​នូវ​អ្វី​ដែល​បាន​និយាយ យើង​ទទួល​បាន​សំណុំ​នីមួយៗ ន+1 ធាតុ ន-វិមាត្រលីនេអ៊ែរលំហគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ; សំណុំនៃ នធាតុ​នៃ​លំហ​លីនេអ៊ែរ​គឺ​ជា​មូលដ្ឋាន​ប្រសិន​បើ​វា​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ (ឬ​ធាតុ​នីមួយៗ​នៃ​លំហ​គឺ​ជា​ការ​ផ្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃ​ធាតុ​នៃ​មូលដ្ឋាន​របស់​វា); នៅក្នុងចន្លោះលីនេអ៊ែរណាមួយ ចំនួននៃមូលដ្ឋានគឺគ្មានកំណត់។

ឧទាហរណ៍III.11 (ទ្រឹស្តីបទ Kronecker–Cappelli)។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

កន្លែងណា ក - ម៉ាទ្រីសនៃមេគុណនៃប្រព័ន្ធ  ម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃមេគុណនៃប្រព័ន្ធ

កន្លែងណា , (III.6)

សញ្ញាណនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធសមីការ (III.5)។

ទ្រឹស្តីបទIII.4 (Kronecker - Capelli) ។ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (III.5) គឺស្របប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស នោះគឺជា។

ភស្តុតាង.ត្រូវការ. អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ (III.5) មានភាពស្របគ្នា នោះវាមានដំណោះស្រាយ៖ ,, ។ ពិចារណា (III.6), , ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះមានការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ,, …, ។ ដូច្នេះតាមរយៈសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ,,, ..., មួយអាចបង្ហាញវ៉ិចទ័រណាមួយពី។ វាមានន័យថា។

ភាពគ្រប់គ្រាន់. អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ យើងជ្រើសរើសមូលដ្ឋានណាមួយពី ,, …, បន្ទាប់មកវាត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលីនេអ៊ែរតាមរយៈមូលដ្ឋាន (វាអាចជាវ៉ិចទ័រទាំងអស់ និងផ្នែករបស់វា) ហើយដូច្នេះតាមរយៈវ៉ិចទ័រទាំងអស់ ។ នេះមានន័យថាប្រព័ន្ធនៃសមីការគឺស្រប ▼ ។

ពិចារណា ន- វិមាត្រលីនេអ៊ែរលំហ អិល. វ៉ិចទ័រនីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងជាបន្សំលីនេអ៊ែរ ដែលសំណុំមានវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។ យើងសរសេរការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ហើយបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយរវាងធាតុ និងកូអរដោនេរបស់វា

នេះមានន័យថារវាង ន-dimensional linear vector space of vectors over នវាលវិមាត្រនៃចំនួនពិតបានបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ។

និយមន័យ។ចន្លោះលីនេអ៊ែរពីរ និងលើវាលមាត្រដ្ឋានដូចគ្នា។ អ៊ីសូម៉ូហ្វីក ប្រសិនបើអាចបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយរវាងធាតុរបស់ពួកគេ។ f, ដូច្នេះ

នោះគឺ isomorphism ត្រូវបានយល់ថាជាការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយ ដែលរក្សាទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែរទាំងអស់។ វាច្បាស់ណាស់ថាលំហ isomorphic មានវិមាត្រដូចគ្នា។

វាធ្វើតាមពីឧទាហរណ៍ និងនិយមន័យនៃ isomorphism ដែលតាមទស្សនៈនៃការសិក្សាអំពីបញ្ហានៃលីនេអ៊ែរ ចន្លោះ isomorphic គឺដូចគ្នា ដូច្នេះហើយ ជាផ្លូវការ ជំនួស​អោយន- វិមាត្រលីនេអ៊ែរលំហអិលនៅពីលើវាល មានតែវាលទេដែលអាចសិក្សាបាន។

កិច្ចការទី 1 ។រកមើលថាតើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនឹងត្រូវបានកំណត់ដោយម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធដែលជាជួរឈរដែលមានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ។

ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យបន្សំលីនេអ៊ែរស្មើនឹងសូន្យ។ ដោយបានសរសេរសមភាពនេះនៅក្នុងកូអរដោណេ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការដូចខាងក្រោម៖

ប្រព័ន្ធសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាត្រីកោណ។ វាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

កិច្ចការទី 2 ។រកមើលថាតើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ការសម្រេចចិត្ត។វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ (សូមមើលបញ្ហាទី 1) ។ សូម​បញ្ជាក់​ថា​វ៉ិចទ័រ​គឺ​ជា​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​លីនេអ៊ែរ​នៃ​វ៉ិចទ័រ។ មេគុណពង្រីកនៅក្នុងវ៉ិចទ័រត្រូវបានកំណត់ពីប្រព័ន្ធសមីការ

ប្រព័ន្ធនេះដូចជារាងត្រីកោណ មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

មតិយោបល់. Matrices ដូចជានៅក្នុងបញ្ហា 1 ត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណ ហើយនៅក្នុងបញ្ហាទី 2 - ត្រីកោណជំហាន . សំណួរនៃភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើម៉ាទ្រីសដែលផ្សំឡើងដោយកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះមានរាងត្រីកោណជាជំហាន ៗ ។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមិនមានទម្រង់ពិសេសទេនោះការប្រើ ការផ្លាស់ប្តូរខ្សែអក្សរបឋម រក្សាទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងជួរឈរ វាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់បីជាន់។

ការបំប្លែងខ្សែអក្សរបឋមម៉ាទ្រីស (EPS) ត្រូវបានគេហៅថាប្រតិបត្តិការខាងក្រោមនៅលើម៉ាទ្រីស៖

1) ការផ្លាស់ប្តូរបន្ទាត់;

2) គុណលេខមួយដោយលេខមិនសូន្យ;

3) បន្ថែមទៅខ្សែអក្សរមួយទៀត គុណនឹងលេខបំពាន។

កិច្ចការទី 3 ។ស្វែងរកប្រព័ន្ធរងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរអតិបរមា ហើយគណនាចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យយើងកាត់បន្ថយម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធដោយមានជំនួយពី EPS ទៅជាទម្រង់ត្រីកោណជំហាន។ ដើម្បីពន្យល់ពីនីតិវិធី បន្ទាត់ដែលមានលេខម៉ាទ្រីសដែលត្រូវបំប្លែងនឹងត្រូវបានបង្ហាញដោយនិមិត្តសញ្ញា។ ជួរ​ឈរ​បន្ទាប់​ពី​ព្រួញ​បង្ហាញ​សកម្មភាព​ដែល​ត្រូវ​អនុវត្ត​លើ​ជួរ​ដេក​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​បំប្លែង​ដើម្បី​ទទួល​បាន​ជួរ​ដេក​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ថ្មី។

ជាក់ស្តែង ជួរឈរពីរដំបូងនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ជួរឈរទីបីគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែររបស់ពួកគេ ហើយទីបួនមិនអាស្រ័យលើពីរដំបូងទេ។ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាជាមូលដ្ឋាន។ ពួកវាបង្កើតបានជាប្រព័ន្ធរងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរអតិបរមានៃប្រព័ន្ធ ហើយចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធគឺបី។

មូលដ្ឋាន, កូអរដោនេ

កិច្ចការទី 4 ។ស្វែងរកមូលដ្ឋាន និងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះនៅលើសំណុំនៃវ៉ិចទ័រធរណីមាត្រដែលកូអរដោនេបំពេញលក្ខខណ្ឌ។

ការសម្រេចចិត្ត. ឈុតគឺជាយន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ មូលដ្ឋាន​បំពាន​លើ​យន្តហោះ​មាន​វ៉ិចទ័រ​មិន​ជាប់​ជួរ​គ្នា​ពីរ។ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើសត្រូវបានកំណត់ដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

មានវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ នៅពេលដែលអ្នកអាចស្វែងរកមូលដ្ឋានដោយកូអរដោនេ។

កូអរដោណេលំហមិនមែនជាកូអរដោណេនៅលើយន្តហោះទេ ព្រោះវាទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង ពោលគឺវាមិនឯករាជ្យ។ អថេរឯករាជ្យ និង (ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាឥតគិតថ្លៃ) កំណត់វ៉ិចទ័រនៅលើយន្តហោះតែមួយគត់ ហើយដូច្នេះពួកគេអាចជ្រើសរើសជាកូអរដោនេនៅក្នុង . បន្ទាប់​មក មូលដ្ឋាន​មាន​វ៉ិចទ័រ​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង និង​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​សំណុំ​នៃ​អថេរ​ទំនេរ ហើយ​នោះ​គឺ .

កិច្ចការទី 5 ។ស្វែងរកមូលដ្ឋាន និងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះនៅលើសំណុំនៃវ៉ិចទ័រទាំងអស់ក្នុងលំហ ដែលកូអរដោនេសេសគឺស្មើគ្នាទៅវិញទៅមក។

ការសម្រេចចិត្ត. យើងជ្រើសរើសដូចនៅក្នុងបញ្ហាមុនដែរ កូអរដោនេក្នុងលំហ។

ចាប់តាំងពី អថេរឥតគិតថ្លៃកំណត់វ៉ិចទ័រដោយឡែកពីគ្នា ហើយដូច្នេះគឺជាកូអរដោណេ។ មូលដ្ឋានដែលត្រូវគ្នាមានវ៉ិចទ័រ។

កិច្ចការទី 6 ។ស្វែងរកមូលដ្ឋាន និងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះនៅលើសំណុំនៃម៉ាទ្រីសទាំងអស់នៃទម្រង់ ដែលជាលេខតាមអំពើចិត្ត។

ការសម្រេចចិត្ត. ម៉ាទ្រីសនីមួយៗអាចត្រូវបានតំណាងដោយឡែកពីគ្នាដូចជា៖

ទំនាក់ទំនងនេះគឺជាការពង្រីកវ៉ិចទ័រពីក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានដែលមានកូអរដោណេ។

កិច្ចការទី 7 ។ស្វែងរកវិមាត្រ និងមូលដ្ឋាននៃវិសាលភាពលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ការសម្រេចចិត្ត។ដោយប្រើ EPS យើងបំប្លែងម៉ាទ្រីសពីកូអរដោណេវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ត្រីកោណជំហាន។

ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ចុង​ក្រោយ​គឺ​ឯករាជ្យ​លីនេអ៊ែរ ហើយ​ជួរ​ឈរ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ជា​បន្ទាត់​តាម​រយៈ​ពួកវា។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋាន និង .

មតិយោបល់. មូលដ្ឋានត្រូវបានជ្រើសរើសដោយមិនច្បាស់លាស់។ ជាឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រក៏បង្កើតជាមូលដ្ឋានផងដែរ។

ទុកជាវាលនៃមាត្រដ្ឋាន ហើយ F ជាសំណុំមូលដ្ឋានរបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យ - -dimensional arithmetic space over - arbitrary system of space vectors

និយមន័យ។ បន្សំលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺជាផលបូកនៃទម្រង់ដែល . មាត្រដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ។ ការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា nontrivial ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយក្នុងចំណោមមេគុណរបស់វាគឺមិនសូន្យ។ បន្សំលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាមិនសំខាន់ ប្រសិនបើមេគុណរបស់វាទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។

និយមន័យ។ សំណុំនៃបន្សំលីនេអ៊ែរទាំងអស់នៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធមួយត្រូវបានគេហៅថាវិសាលភាពលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធនេះហើយត្រូវបានតាងដោយ . វិសាលភាពលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធទទេត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសំណុំដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យ។

ដូច្នេះតាមនិយមន័យ

វាងាយមើលឃើញថាវិសាលភាពលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានបិទក្រោមប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ ដកវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយមាត្រដ្ឋាន។

និយមន័យ។ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើសម្រាប់មាត្រដ្ឋានណាមួយ សមភាពកើតឡើងពីសមភាព។ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រទទេ

ចាត់ទុកថាជាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រព័ន្ធកំណត់នៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រដែលមិនសំខាន់នៅក្នុងប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ។

និយមន័យ។ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេនិយាយថាពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានមាត្រដ្ឋានទាំងអស់មិនស្មើនឹងសូន្យដូចនោះ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រព័ន្ធកំណត់នៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើមានការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរដែលមិនសំខាន់នៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ។

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រឯកតានៃលំហវ៉ិចទ័រ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ពិត​ណាស់ សម្រាប់​មាត្រដ្ឋាន​ណា​មួយ​សមភាព​បង្កប់​ន័យ​សមភាព ហើយ​ហេតុ​នេះ​សមភាព

ពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ និងឯករាជ្យនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 1.1 ។ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យគឺពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ មួយនៃវ៉ិចទ័រ ឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រគឺសូន្យ នោះការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធ មេគុណទាំងអស់គឺសូន្យ លើកលែងតែមេគុណនៅ គឺស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័របែបនេះគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 1.2 ។ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធរងណាមួយរបស់វាអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យជាប្រព័ន្ធរងដែលពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយក្នុងចំណោមមេគុណមិនសូន្យ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ផលវិបាក។ ប្រព័ន្ធរងណាមួយនៃប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 1.3 ។ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ក្នុង​នោះ​គឺ​អាស្រ័យ​តាម​លីនេអ៊ែរ ប្រសិន​បើ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​មួយ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ជា​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​លីនេអ៊ែរ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​មុន។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ (1) ពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ ហើយបន្ទាប់មកមានមាត្រដ្ឋានមិនស្មើសូន្យដូចនោះទេ។

សម្គាល់ដោយ k លេខធំបំផុតដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ។ បន្ទាប់មក សមភាព (2) អាចត្រូវបានសរសេរជា

ចំណាំថាបើមិនដូច្នេះទេ ចាប់តាំងពី . ពី (3) ធ្វើតាមសមភាព

ឥឡូវនេះ ចូរយើងសន្មត់ថាវ៉ិចទ័រគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រដែលនៅពីមុខវា ពោលគឺបន្ទាប់មក ពោលគឺប្រព័ន្ធរងនៃប្រព័ន្ធ (1) គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះដោយទ្រព្យសម្បត្តិ 1.2 ប្រព័ន្ធដើម (1) ក៏អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរផងដែរ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ 1.4 ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនិងប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ

គឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ v ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ

និងតាមរបៀបពិសេសមួយ។

ភស្តុតាង។ តាម​ការ​សន្មត់ ប្រព័ន្ធ (2) គឺ​អាស្រ័យ​តាម​លីនេអ៊ែរ ពោល​គឺ​មាន​មាត្រដ្ឋាន​មិន​ស្មើ​នឹង​សូន្យ ដូច​នោះ

ជាងនេះទៅទៀត ដោយសារវាផ្ទុយនឹងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធ (១)។ ពី (3) ធ្វើតាមសមភាព

ដោយគុណធម៌នៃឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធ (1) នេះមានន័យថា

ទ្រព្យសម្បត្តិ 1.5 ។ ប្រសិនបើ

ភស្តុតាង។ លក្ខខណ្ឌ​មាន​ន័យ​ថា​មាន​មាត្រដ្ឋាន​បែប​នោះ។

លក្ខខណ្ឌ​មាន​ន័យ​ថា​មាន​មាត្រដ្ឋាន​បែប​នោះ។

ដោយគុណធម៌នៃ (1) និង (2) យើងទទួលបាន

ទ្រឹស្តីបទ ១.២. ប្រសិនបើ ក

បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ។ ភ័ស្តុតាង (អនុវត្តដោយការណែនាំនៅលើ) ។

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរប្រសិនបើមានលេខបែបនេះ ក្នុងចំណោមនោះយ៉ាងហោចណាស់មួយខុសពីសូន្យ នោះសមភាព https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" > ។

ប្រសិនបើសមភាពនេះមានតែប្រសិនបើទាំងអស់ នោះប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ.

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនឹង អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ if និង លុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយរបស់វាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ១ពហុធាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃពហុនាម https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">។ ពហុធាបង្កើតបានជាប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ចាប់តាំងពីពហុនាម https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">។

ឧទាហរណ៍ ២ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីស , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពីការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរស្មើនឹង ម៉ាទ្រីសសូន្យតែនៅក្នុងពេលដែល https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21">អាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ។

ការសម្រេចចិត្ត។

បង្កើតការរួមបញ្ចូលលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height = "22">។

ដោយកំណត់កូអរដោនេដែលមានឈ្មោះដូចគ្នានៃវ៉ិចទ័រស្មើគ្នា យើងទទួលបាន https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

ទីបំផុតយើងទទួលបាន

ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់តែមួយគត់ ដូច្នេះការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺសូន្យ លុះត្រាតែមេគុណទាំងអស់គឺសូន្យ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ 4វ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ អ្វីដែលនឹងជាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ

ការសម្រេចចិត្ត។

ក)ផ្សំ​ការ​ផ្សំ​លីនេអ៊ែរ ហើយ​យក​វា​ទៅ​សូន្យ

ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងចន្លោះលីនេអ៊ែរ យើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពចុងក្រោយក្នុងទម្រង់

ដោយសារវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យជាលីនេអ៊ែរ មេគុណសម្រាប់ត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ i.e..gif" width="12" height="23 src=">

ប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការមានដំណោះស្រាយមិនសំខាន់តែមួយគត់។

ចាប់តាំងពីសមភាព (*) ប្រតិបត្តិតែនៅ https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ;

ខ)តែងសមភាព https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

ការអនុវត្តហេតុផលស្រដៀងគ្នាយើងទទួលបាន

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងទទួលបាន

ប្រព័ន្ធចុងក្រោយមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់ https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">។ ដូច្នេះហើយ វាមានមិនមែន សូន្យសំណុំនៃមេគុណដែលសមភាព (**) . ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ ៥ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

ក្នុងសមភាព (***) . ជាការពិតណាស់ សម្រាប់ ប្រព័ន្ធនឹងពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ។

ពីទំនាក់ទំនង (***) យើងទទួលបានឬបញ្ជាក់។

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ (នៅក្នុងថ្នាក់រៀន)

1. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យគឺពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

2. ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រតែមួយ កអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែ a=0.

3. ប្រព័ន្ធដែលមានវ៉ិចទ័រពីរគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមានសមាមាត្រ (ពោលគឺមួយក្នុងចំនោមពួកវាត្រូវបានទទួលពីមួយទៀតដោយគុណនឹងលេខ)។

4. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានបន្ថែមទៅប្រព័ន្ធអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរត្រូវបានទទួល។

5. ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានដកចេញពីប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

6. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធ សឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែក្លាយជាលីនេអ៊ែរអាស្រ័យនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រត្រូវបានបន្ថែម ខបន្ទាប់មក វ៉ិចទ័រ ខបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធ ស.

គ)ប្រព័ន្ធនៃម៉ាទ្រីស , , នៅក្នុងលំហនៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីពីរ។

10. អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ ក,ខ,គចន្លោះវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ បញ្ជាក់ភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រខាងក្រោម៖

ក)ក+b, ខ, គ។

ខ)ក+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–លេខបំពាន

គ)ក+b, a+c, b+c។

11. អនុញ្ញាតឱ្យមាន ក,ខ,គគឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​បី​ក្នុង​យន្តហោះ ដែល​អាច​ប្រើ​ដើម្បី​បង្កើត​ជា​ត្រីកោណ។ តើវ៉ិចទ័រទាំងនេះនឹងពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរទេ?

12. ផ្តល់វ៉ិចទ័រពីរ a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). យកវ៉ិចទ័រ 4D ពីរបន្ថែមទៀត a3 និងក៤ដូច្នេះប្រព័ន្ធ a1,a2,a3,ក៤គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ .