I ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច

3.1. កូអរដោណេប៉ូឡា

ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើនៅលើយន្តហោះ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។ . វាត្រូវបានកំណត់ប្រសិនបើចំណុច O ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថា បង្គោលនិងធ្នឹមមួយចេញពីបង្គោល (សម្រាប់យើង នេះគឺជាអ័ក្ស Ox) គឺជាអ័ក្សប៉ូល។ទីតាំងនៃចំណុច M ត្រូវបានជួសជុលដោយលេខពីរ៖ កាំ (ឬវ៉ិចទ័រកាំ) និងមុំφរវាងអ័ក្សប៉ូល និងវ៉ិចទ័រ។មុំφត្រូវបានគេហៅថា មុំប៉ូល; វាត្រូវបានវាស់ជារ៉ាដ្យង់ និងរាប់ច្រាសទ្រនិចនាឡិកាពីអ័ក្សប៉ូល

ទីតាំងនៃចំណុចមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូឡាត្រូវបានផ្តល់ដោយលេខគូលំដាប់ (r; φ) ។ នៅបង្គោល r = 0ហើយφមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ សម្រាប់ចំណុចផ្សេងទៀតទាំងអស់។ r > 0ហើយφត្រូវបានកំណត់រហូតដល់ពហុគុណនៃ 2π ។ ក្នុងករណីនេះ លេខគូ (r; φ) និង (r 1 ; φ 1) ត្រូវបានផ្តល់ចំណុចដូចគ្នាប្រសិនបើ .

សម្រាប់ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ xOyកូអរដោនេ Cartesian នៃចំណុចមួយត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងងាយស្រួលនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេប៉ូលរបស់វាដូចខាងក្រោម:

3.2. ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច

ពិចារណានៅលើយន្តហោះនូវប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian xOy.

ចំនួនកុំផ្លិចណាមួយ z = (a, b) ត្រូវបានផ្តល់ចំណុចនៃយន្តហោះជាមួយនឹងកូអរដោនេ ( x, y) កន្លែងណា កូអរដោនេ x = a, i.e. ផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច ហើយកូអរដោណេ y = bi គឺជាផ្នែកស្រមើលស្រមៃ។

យន្តហោះដែលពិន្ទុជាចំនួនកុំផ្លិចគឺជាយន្តហោះស្មុគស្មាញ។

នៅក្នុងរូបភាពចំនួនកុំផ្លិច z = (a, ខ)ចំណុចប្រកួត M(x, y).

លំហាត់ប្រាណ។គូរលេខស្មុគ្រស្មាញនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ៖

3.3. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច

ចំនួនកុំផ្លិចនៅក្នុងយន្តហោះមានកូអរដោនេនៃចំណុចមួយ។ M(x; y). ក្នុងនោះ៖

ការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច - ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។

លេខ r ត្រូវបានហៅ ម៉ូឌុល ចំនួនកុំផ្លិច zនិងត្រូវបានតំណាង។ ម៉ូឌុលគឺជាចំនួនពិតដែលមិនអវិជ្ជមាន។ សម្រាប់ .

ម៉ូឌុលគឺសូន្យប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ z = 0, i.e. a=b=0.

លេខ φ ត្រូវបានហៅ អាគុយម៉ង់ z និងតំណាង. អាគុយម៉ង់ z ត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់លាស់ ដូចជាមុំប៉ូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធប៉ូលកូអរដោណេ ពោលគឺរហូតដល់ពហុគុណនៃ 2π។

បន្ទាប់មកយើងទទួលយក៖ ដែល φ គឺជាតម្លៃតូចបំផុតនៃអាគុយម៉ង់។ វាច្បាស់ណាស់។

ជាមួយនឹងការសិក្សាកាន់តែស៊ីជម្រៅលើប្រធានបទ អាគុយម៉ង់ជំនួយ φ* ត្រូវបានណែនាំ ដូចនេះ

ឧទាហរណ៍ ១. ស្វែងរកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ការសម្រេចចិត្ត។ 1) យើងពិចារណាម៉ូឌុល: ;

2) ស្វែងរក φ: ;

៣) ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច .

នៅទីនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីជំនួសតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និងបំប្លែងកន្សោម៖

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច ;

1) ;

2) ; φ - ក្នុង 4 ត្រីមាស:

3.4. ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

· ការបូកនិងដកវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តជាមួយលេខកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត៖

· គុណ- ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថា នៅពេលគុណ ម៉ូឌុលនៃលេខត្រូវបានគុណ ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបន្ថែម៖ ;

លេខស្មុគស្មាញ XI

§ 256. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច

សូមឱ្យចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី ត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ អូអេ> ជាមួយកូអរដោនេ ( ក, ខ ) (សូមមើលរូប 332)។

កំណត់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនេះដោយ r និងមុំដែលវាបង្កើតជាមួយអ័ក្ស X , តាមរយៈ φ . តាមនិយមន័យស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖

ក / r = cos φ , ខ / r = បាប φ .

ដូច្នេះ ក = r cos φ , ខ = r អំពើបាប φ . ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី អាចត្រូវបានសរសេរជា:

a + ប៊ី = r cos φ + អ៊ី អំពើបាប φ = r (cos φ + ខ្ញុំ អំពើបាប φ ).

ដូចដែលអ្នកដឹង ការ៉េនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រណាមួយគឺស្មើនឹងផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោនេរបស់វា។ ដូច្នេះ r 2 = ក 2 + ខ ២, មកពីណា r = √ ក 2 + ខ 2

ដូច្នេះ លេខស្មុគស្មាញណាមួយ។ a + ប៊ី អាចត្រូវបានតំណាងជា :

a + ប៊ី = r (cos φ + ខ្ញុំ អំពើបាប φ ), (1)

កន្លែងណា r = √ ក 2 + ខ 2 និងមុំ φ កំណត់ពីលក្ខខណ្ឌ៖

ទម្រង់នៃការសរសេរលេខស្មុគស្មាញនេះត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណមាត្រ.

ចំនួន r នៅក្នុងរូបមន្ត (1) ត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុល, និងមុំ φ - អាគុយម៉ង់, ចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី .

ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី មិនស្មើនឹងសូន្យទេ ម៉ូឌុលរបស់វាគឺវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ a + ប៊ី = 0 បន្ទាប់មក a = ខ = 0 ហើយបន្ទាប់មក r = 0.

ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចណាមួយត្រូវបានកំណត់តែមួយ។

ប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិច a + ប៊ី មិនស្មើនឹងសូន្យ នោះអាគុយម៉ង់របស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត (2) ប្រាកដរហូតដល់មុំពហុគុណនៃ 2 π . ប្រសិនបើ a + ប៊ី = 0 បន្ទាប់មក a = ខ = 0. ក្នុងករណីនេះ r = 0. ពីរូបមន្ត (1) វាងាយស្រួលយល់ថាជាអាគុយម៉ង់ φ ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចជ្រើសរើសមុំណាមួយ: បន្ទាប់ពីទាំងអស់សម្រាប់ណាមួយ។ φ

0 (កូស φ + ខ្ញុំ អំពើបាប φ ) = 0.

ដូច្នេះ អាគុយម៉ង់សូន្យមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច r ពេលខ្លះបញ្ជាក់ | z |, និង argument arg z . សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការតំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

ឧទាហរណ៍។ មួយ។. 1 + ខ្ញុំ .

ចូរយើងស្វែងរកម៉ូឌុល r និងអាគុយម៉ង់ φ លេខនេះ។

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

ដូច្នេះអំពើបាប φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 មកពីណា φ = π / 4 + 2នπ .

ដូច្នេះ

1 + ខ្ញុំ = √ 2 ,

កន្លែងណា ទំ - ចំនួនគត់។ ជាធម្មតា ពីសំណុំតម្លៃគ្មានកំណត់នៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច មួយត្រូវបានជ្រើសរើសដែលមានចន្លោះពី 0 និង 2 π . ក្នុងករណីនេះតម្លៃនេះគឺ π / ៤. ដូច្នេះ

1 + ខ្ញុំ = √ 2 (cos π / 4 + ខ្ញុំ អំពើបាប π / 4)

ឧទាហរណ៍ ២សរសេរជាត្រីកោណមាត្រជាចំនួនកុំផ្លិច √ 3 - ខ្ញុំ . យើងមាន:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2 , អំពើបាប φ = - 1 / 2

ដូច្នេះរហូតដល់មុំបែងចែកដោយ 2 π , φ = 11 / 6 π ; ដូចនេះ

√ 3 - ខ្ញុំ = 2(cos 11/6 π + ខ្ញុំ បាប ១១/៦ π ).

ឧទាហរណ៍ ៣សរសេរជាត្រីកោណមាត្រជាចំនួនកុំផ្លិច ខ្ញុំ

ចំនួនកុំផ្លិច ខ្ញុំ ត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ អូអេ> បញ្ចប់នៅចំនុច A នៃអ័ក្ស នៅ ជាមួយនឹងការតែងតាំង 1 (រូបភាព 333) ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័របែបនេះគឺស្មើនឹង 1 ហើយមុំដែលវាបង្កើតជាមួយអ័ក្ស abscissa គឺស្មើនឹង π / ២. ដូច្នេះ

ខ្ញុំ = cos π / 2 + ខ្ញុំ អំពើបាប π / 2 .

ឧទាហរណ៍ 4សរសេរលេខកុំផ្លិច 3 ជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

លេខស្មុគស្មាញ 3 ត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ អូអេ > X abscissa 3 (រូបភព 334) ។

ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័របែបនេះគឺ 3 ហើយមុំដែលវាបង្កើតជាមួយអ័ក្ស x គឺ 0 ។ ដូច្នេះ

3 = 3 (cos 0 + ខ្ញុំ អំពើបាប 0),

ឧទាហរណ៍ 5សរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច -5 ។

លេខកុំផ្លិច -5 ត្រូវគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ អូអេ> បញ្ចប់នៅចំនុចអ័ក្ស X ជាមួយ abscissa -5 (រូបភាព 335) ។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័របែបនេះគឺ 5 ហើយមុំដែលវាបង្កើតជាមួយអ័ក្ស x គឺ π . ដូច្នេះ

5 = 5 (cos π + ខ្ញុំ អំពើបាប π ).

លំហាត់

2047. សរសេរលេខកុំផ្លិចទាំងនេះជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ដោយកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ៖

1) 2 + 2√3 ខ្ញុំ , 4) 12ខ្ញុំ - 5; 7).3ខ្ញុំ ;

2) √3 + ខ្ញុំ ; 5) 25; 8) -2ខ្ញុំ ;

3) 6 - 6ខ្ញុំ ; 6) - 4; 9) 3ខ្ញុំ - 4.

2048. ចង្អុលបង្ហាញនៅលើយន្តហោះនូវសំណុំនៃចំនុចដែលតំណាងអោយចំនួនកុំផ្លិច ដែលម៉ូឌុល r និងអាគុយម៉ង់ φ បំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. តើលេខអាចជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងពេលតែមួយបានទេ? r និង - r ?

2050. តើអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចអាចជាមុំក្នុងពេលតែមួយ φ និង - φ ?

បង្ហាញចំនួនកុំផ្លិចទាំងនេះក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រដោយកំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេ៖

២០៥១*។ 1 + cos α + ខ្ញុំ អំពើបាប α . ២០៥៤*។ 2 (cos 20° - ខ្ញុំ អំពើបាប 20°) ។

២០៥២*។ អំពើបាប φ + ខ្ញុំ cos φ . ២០៥៥*។ 3(- cos 15° - ខ្ញុំ sin 15°)។

២.៣. ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច

សូមឱ្យវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញដោយលេខ។

សម្គាល់ដោយ φ មុំរវាងអ័ក្សពាក់កណ្តាលវិជ្ជមាន Ox និងវ៉ិចទ័រ (មុំ φ ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវិជ្ជមានប្រសិនបើវាត្រូវបានរាប់ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា ហើយអវិជ្ជមានបើមិនដូច្នេះទេ) ។

កំណត់ប្រវែងវ៉ិចទ័រដោយ r ។ បន្ទាប់មក។ យើងក៏បញ្ជាក់ផងដែរ។

ការសរសេរចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ z as

ត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច z ។ លេខ r ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច z ហើយលេខ φ ត្រូវបានគេហៅថាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចនេះ ហើយត្រូវបានតាងដោយ Arg z ។

ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច - (រូបមន្តអយល័រ) - ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖

ចំនួនកុំផ្លិច z មានអំណះអំណាងជាច្រើនគ្មានកំណត់៖ ប្រសិនបើφ0 គឺជាអាគុយម៉ង់ណាមួយនៃលេខ z នោះអ្វីៗផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច អាគុយម៉ង់ និងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។

ដូច្នេះអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដែលមិនមែនជាសូន្យគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

(3)

តម្លៃ φ នៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច z ដែលបំពេញវិសមភាពត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃចម្បង ហើយត្រូវបានតាងដោយ arg z ។

អាគុយម៉ង់ Arg z និង arg z ត្រូវបានទាក់ទងដោយសមភាព

, (4)

រូបមន្ត (5) គឺជាផលវិបាកនៃប្រព័ន្ធ (3) ដូច្នេះអាគុយម៉ង់ទាំងអស់នៃចំនួនកុំផ្លិចបំពេញនូវសមភាព (5) ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់ដំណោះស្រាយ φ នៃសមីការ (5) គឺជាអាគុយម៉ង់នៃលេខ z ។

តម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដែលមិនមែនជាសូន្យត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

រូបមន្តសម្រាប់គុណ និងចែកចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រមានដូចខាងក្រោម៖

. (7)

នៅពេលបង្កើនចំនួនកុំផ្លិចទៅជាថាមពលធម្មជាតិ រូបមន្តរបស់ de Moivre ត្រូវបានប្រើ៖

នៅពេលស្រង់ឫសចេញពីចំនួនកុំផ្លិច រូបមន្តត្រូវបានប្រើ៖

, (9)

ដែល k=0, 1, 2, …, n-1 ។

បញ្ហា 54. គណនា , កន្លែងណា .

ចូរតំណាងឱ្យដំណោះស្រាយនៃកន្សោមនេះក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃការសរសេរចំនួនកុំផ្លិច៖ .

ប្រសិនបើនោះ .

បន្ទាប់មក , . ដូច្នេះហើយ និង កន្លែងណា។

ចម្លើយ៖ , នៅ .

បញ្ហា 55. សរសេរលេខកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖

ក) ; ខ) ; នៅក្នុង); ជី); អ៊ី) ; អ៊ី) ; g)

ដោយសារទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិចគឺ ដូច្នេះ៖

ក) ក្នុងចំនួនកុំផ្លិច៖ .

ដូច្នេះ

ខ) , កន្លែងណា ,

ឆ) , កន្លែងណា ,

អ៊ី) .

g) , ក បន្ទាប់មក។

ដូច្នេះ

ចម្លើយ៖ ; 4; ; ; ; ; .

បញ្ហា 56. រកទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច

អនុញ្ញាតឱ្យមាន, .

បន្ទាប់មក , , .

ដោយសារតែ និង , , បន្ទាប់មក , និង

ហេតុដូច្នេះហើយ

ចម្លើយ៖ កន្លែងណា។

បញ្ហា 57. ដោយប្រើទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច អនុវត្តសកម្មភាពខាងក្រោម៖ .

ស្រមៃមើលលេខនិង ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។

1) កន្លែងណា បន្ទាប់មក

ស្វែងរកតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ចម្បង៖

ជំនួសតម្លៃ ហើយចូលទៅក្នុងកន្សោម យើងទទួលបាន

2) កន្លែងណា

បន្ទាប់មក

3) ស្វែងរកការដកស្រង់

ដោយសន្មត់ថា k=0, 1, 2 យើងទទួលបានតម្លៃបីផ្សេងគ្នានៃឫសដែលចង់បាន៖

បើអញ្ចឹង

ប្រសិនបើ នោះ

ប្រសិនបើ នោះ .

ចម្លើយ៖៖

: .

បញ្ហា 58. ចូរឱ្យ , , , ជាចំនួនកុំផ្លិចផ្សេងគ្នា និង . បញ្ជាក់

ក) លេខ គឺជាចំនួនវិជ្ជមានពិតប្រាកដ;

ខ) សមភាពកើតឡើង៖

ក) ចូរយើងតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចទាំងនេះក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖

ជា

ចូរយើងធ្វើពុតថា។ បន្ទាប់មក

កន្សោមចុងក្រោយគឺជាលេខវិជ្ជមាន ព្រោះមានលេខពីចន្លោះក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស។

ដោយសារតែលេខ ពិតនិងវិជ្ជមាន។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើ a និង b គឺជាចំនួនកុំផ្លិច ហើយពិតប្រាកដ និងធំជាងសូន្យ នោះ .

ក្រៅពីនេះ

ដូច្នេះសមភាពដែលត្រូវការត្រូវបានបង្ហាញ។

បញ្ហា 59. សរសេរលេខជាទម្រង់ពិជគណិត .

យើងតំណាងឱ្យលេខក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកទម្រង់ពិជគណិតរបស់វា។ យើងមាន . សម្រាប់ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធ៖

ពីនេះសមភាពដូចខាងក្រោមៈ .

ការអនុវត្តរូបមន្តរបស់ De Moivre៖

យើងទទួលបាន

ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានរកឃើញ។

ឥឡូវនេះយើងសរសេរលេខនេះជាទម្រង់ពិជគណិត៖

ចម្លើយ៖ .

បញ្ហា 60. រកផលបូក , ,

ពិចារណាលើផលបូក

ការអនុវត្តរូបមន្ត De Moivre យើងរកឃើញ

ផលបូកនេះគឺជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n នៃដំណើរការធរណីមាត្រជាមួយភាគបែង និងសមាជិកដំបូង .

ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌនៃវឌ្ឍនភាពបែបនេះយើងមាន

ការបំបែកផ្នែកស្រមើលស្រមៃនៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយយើងរកឃើញ

ការបំបែកផ្នែកពិត យើងក៏ទទួលបានរូបមន្តដូចខាងក្រោម៖ , , .

បញ្ហាទី ៦១ រកផលបូក៖

ក) ; ខ) ។

យោងតាមរូបមន្តរបស់ញូវតុនសម្រាប់ការបង្កើនថាមពល យើងមាន

យោងតាមរូបមន្តរបស់ De Moivre យើងរកឃើញ៖

ដោយស្មើផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃកន្សោមដែលទទួលបានសម្រាប់ យើងមាន៖

និង .

រូបមន្តទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់បង្រួមដូចខាងក្រោមៈ

តើផ្នែកចំនួនគត់នៃចំនួន a នៅឯណា។

បញ្ហា 62. ស្វែងរកទាំងអស់សម្រាប់អ្វីដែល .

ដរាបណា បន្ទាប់មកអនុវត្តរូបមន្ត

, ដើម្បីទាញយកឫសយើងទទួលបាន ,

អាស្រ័យហេតុនេះ , ,

, .

ចំនុចដែលត្រូវគ្នានឹងលេខស្ថិតនៅចំនុចកំពូលនៃការ៉េដែលចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ 2 ចំកណ្តាលចំនុច (0;0) (រូបភាព 30)។

ចម្លើយ៖ , ,

, .

បញ្ហា 63. ដោះស្រាយសមីការ , .

តាមលក្ខខណ្ឌ; ដូច្នេះសមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ ដូច្នេះវាស្មើនឹងសមីការ។

ដើម្បីឱ្យលេខ z ជាឫសគល់នៃសមីការនេះ លេខត្រូវតែជាឫសទី n នៃលេខ 1 ។

ដូច្នេះហើយ យើងសន្និដ្ឋានថា សមីការដើមមានឫសគល់ ដែលកំណត់ពីសមភាព

ដូច្នេះ

i.e. ,

ចម្លើយ៖ .

បញ្ហា 64. ដោះស្រាយសមីការក្នុងសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ដោយសារចំនួនមិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការនេះ ដូច្នេះសម្រាប់សមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ

នោះគឺសមីការ។

ឫសគល់ទាំងអស់នៃសមីការនេះត្រូវបានទទួលពីរូបមន្ត (សូមមើលបញ្ហាទី ៦២)៖

; ; ; ; .

បញ្ហា 65. គូរលើប្លង់ស្មុគ្រស្មាញនូវសំណុំនៃចំនុចដែលបំពេញវិសមភាព៖ . (វិធីទី ២ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ៤៥)

អនុញ្ញាតឱ្យមាន .

លេខស្មុគ្រស្មាញដែលមានម៉ូឌុលដូចគ្នាត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនុចនៃយន្តហោះដែលស្ថិតនៅលើរង្វង់ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម ដូច្នេះវិសមភាព បំពេញគ្រប់ចំនុចនៃរង្វង់បើកចំហដែលចងដោយរង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលទូទៅនៅប្រភពដើម និងកាំ និង (រូបភាពទី 31)។ សូមអោយចំនុចខ្លះនៃប្លង់ស្មុគស្មាញត្រូវនឹងលេខ w0 ។ ចំនួន មានម៉ូឌុលដងតូចជាងម៉ូឌុល w0 ដែលជាអាគុយម៉ង់ធំជាងអាគុយម៉ង់ w0 ។ តាមទស្សនៈធរណីមាត្រ ចំណុចដែលត្រូវគ្នានឹង w1 អាចទទួលបានដោយប្រើភាពដូចគ្នាដែលផ្តោតលើប្រភពដើម និងមេគុណ ក៏ដូចជាការបង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកាទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើម។ ជាលទ្ធផលនៃការអនុវត្តការបំប្លែងទាំងពីរនេះទៅនឹងចំនុចនៃសង្វៀន (រូបភាពទី 31) ក្រោយមកទៀតនឹងប្រែទៅជារង្វង់ដែលចងដោយរង្វង់ដែលមានចំនុចកណ្តាលដូចគ្នា និងកាំ 1 និង 2 (រូបភាព 32)។

ការផ្លាស់ប្តូរ ត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលនៅលើវ៉ិចទ័រ។ ការផ្ទេរចិញ្ចៀនដែលដាក់កណ្តាលនៅចំណុចមួយទៅវ៉ិចទ័រដែលបានចង្អុលបង្ហាញ យើងទទួលបានចិញ្ចៀនដែលមានទំហំដូចគ្នាដែលដាក់នៅកណ្តាលចំណុចមួយ (រូបភាព 22)។

វិធីសាស្រ្តដែលបានស្នើឡើងដែលប្រើគំនិតនៃការផ្លាស់ប្តូរធរណីមាត្រនៃយន្តហោះគឺប្រហែលជាមិនសូវងាយស្រួលក្នុងការពិពណ៌នាទេ ប៉ុន្តែវាមានភាពឆើតឆាយ និងមានប្រសិទ្ធភាពខ្លាំង។

បញ្ហា 66. ស្វែងរកប្រសិនបើ .

អនុញ្ញាតឱ្យ បន្ទាប់មក និង . សមភាពដើមនឹងមានទម្រង់ . ពីលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពនៃចំនួនកុំផ្លិច យើងទទួលបាន , , ពីណា , . ដូច្នេះ, ។

តោះសរសេរលេខ z ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖

, កន្លែងណា , ។ យោងតាមរូបមន្តរបស់ De Moivre យើងរកឃើញ។

ចម្លើយ៖ - ៦៤ ។

បញ្ហា 67. សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច រកចំនួនកុំផ្លិចទាំងអស់ដូចនោះ និង .

ចូរយើងតំណាងលេខក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ៖

. ដូចនេះ . សម្រាប់លេខដែលយើងទទួលបាន អាចស្មើនឹងទាំងពីរ។

ក្នុងករណីដំបូង , នៅក្នុងទីពីរ

ចម្លើយ៖ , .

បញ្ហា 68. រកផលបូកនៃលេខដូចនោះ។ បញ្ជាក់លេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះ។

ចំណាំថារួចមកហើយពីការបង្កើតបញ្ហា វាអាចយល់បានថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការអាចត្រូវបានរកឃើញដោយមិនចាំបាច់គណនាឫសខ្លួនឯង។ ជាការពិតផលបូកនៃឫសនៃសមីការ គឺជាមេគុណនៃ , យកជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ (ទ្រឹស្តីបទ Vieta ទូទៅ), i.e.

សិស្ស, ឯកសារសាលា, ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានអំពីកម្រិតនៃការ assimilation នៃគំនិតនេះ។ សង្ខេបការសិក្សាអំពីលក្ខណៈពិសេសនៃការគិតគណិតវិទ្យា និងដំណើរការនៃការបង្កើតគំនិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ការពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្ត។ ការធ្វើរោគវិនិច្ឆ័យ៖ ដំណាក់កាលទី ១ ។ កិច្ចសម្ភាសន៍នេះធ្វើឡើងជាមួយគ្រូគណិតវិទ្យាដែលបង្រៀនពិជគណិត និងធរណីមាត្រនៅថ្នាក់ទី១០។ ការសន្ទនាបានធ្វើឡើងបន្ទាប់ពីបានកន្លងផុតទៅមួយរយៈ…

Resonance "(!)) ដែលរួមបញ្ចូលផងដែរនូវការវាយតម្លៃអំពីអាកប្បកិរិយារបស់ខ្លួនឯង 4. ការវាយតម្លៃយ៉ាងសំខាន់នៃការយល់ដឹងរបស់មនុស្សម្នាក់អំពីស្ថានភាព (ការសង្ស័យ) 5. ជាចុងក្រោយការប្រើប្រាស់អនុសាសន៍នៃចិត្តវិទ្យាផ្លូវច្បាប់ (គណនីដោយមេធាវីនៃ ទិដ្ឋភាពផ្លូវចិត្តនៃសកម្មភាពវិជ្ជាជីវៈដែលបានអនុវត្តគឺជាការត្រៀមលក្ខណៈផ្លូវចិត្តប្រកបដោយវិជ្ជាជីវៈ។

គណិតវិទ្យានៃការជំនួសត្រីកោណមាត្រ និងការផ្ទៀងផ្ទាត់ប្រសិទ្ធភាពនៃវិធីសាស្រ្តបង្រៀនដែលបានអភិវឌ្ឍ។ ដំណាក់កាលនៃការងារ៖ 1. ការអភិវឌ្ឍន៍វគ្គសិក្សាស្រេចចិត្តលើប្រធានបទ៖ "ការដាក់ពាក្យជំនួសត្រីកោណមាត្រសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត" ជាមួយសិស្សនៅក្នុងថ្នាក់ជាមួយនឹងការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃគណិតវិទ្យា។ 2. ដំណើរការវគ្គសិក្សាស្រេចចិត្តដែលបានអភិវឌ្ឍ។ 3. អនុវត្តការត្រួតពិនិត្យរោគវិនិច្ឆ័យ...

កិច្ចការយល់ដឹងគឺមានបំណងសម្រាប់តែបន្ថែមជំនួយការបង្រៀនដែលមានស្រាប់ ហើយគួរតែមានការរួមបញ្ចូលគ្នាដ៏សមស្របជាមួយនឹងមធ្យោបាយ និងធាតុផ្សំប្រពៃណីទាំងអស់នៃដំណើរការអប់រំ។ ភាពខុសគ្នារវាងបញ្ហាអប់រំក្នុងការបង្រៀនមនុស្សសាស្ត្រពីបញ្ហាគណិតវិទ្យាពិតប្រាកដគឺមានតែនៅក្នុងការពិតដែលថាមិនមានរូបមន្តក្បួនដោះស្រាយរឹងជាដើមនៅក្នុងបញ្ហាប្រវត្តិសាស្ត្រដែលធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។ ...

សកម្មភាពលើចំនួនកុំផ្លិចដែលសរសេរជាទម្រង់ពិជគណិត

ទម្រង់ពិជគណិតនៃចំនួនកុំផ្លិច z =(ក,ខ) ត្រូវបានគេហៅថាជាកន្សោមពិជគណិតនៃទម្រង់

z = ក + ប៊ី.

ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធលើចំនួនកុំផ្លិច z 1 = ក 1 + ខ 1 ខ្ញុំនិង z 2 = ក 2 + ខ 2 ខ្ញុំសរសេរជាទម្រង់ពិជគណិត ត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម។

1. ផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃចំនួនកុំផ្លិច

z 1 ±z 2 = (ក 1 ± ក 2) + (ខ 1 ± ខ 2)∙i,

ទាំងនោះ។ ការបូក (ដក) ត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃការបន្ថែមពហុនាមជាមួយនឹងការកាត់បន្ថយនៃពាក្យស្រដៀងគ្នា។

2. ផលិតផលនៃចំនួនកុំផ្លិច

z 1 ∙z 2 = (ក 1 ∙ ក 2 - ខ 1 ∙ ខ 2) + (ក 1 ∙ ខ 2 + ក 2 ∙ ខ 1)∙i,

ទាំងនោះ។ ការគុណត្រូវបានអនុវត្តដោយយោងទៅតាមច្បាប់ធម្មតាសម្រាប់ការគុណនៃពហុធាដោយគិតគូរពីការពិតដែលថា ខ្ញុំ 2 = 1.

3. ការបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចពីរត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធានខាងក្រោម៖

, (z 2 ≠ 0),

ទាំងនោះ។ ការបែងចែកត្រូវបានអនុវត្តដោយការគុណភាគលាភនិងផ្នែកចែកដោយ conjugate នៃផ្នែកចែក។

និទស្សន្តនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញវា។

ឧទាហរណ៍.

1. រកផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិច z 1 = 2 – ខ្ញុំនិង z 2 = – 4 + 3ខ្ញុំ

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3ខ្ញុំ) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) ខ្ញុំ = –2+2ខ្ញុំ

2. រកផលគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច z 1 = 2 – 3ខ្ញុំនិង z 2 = –4 + 5ខ្ញុំ

= (2 – 3ខ្ញុំ) ∙ (–4 + 5ខ្ញុំ) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3ខ្ញុំ)+ 2∙5ខ្ញុំ– 3ខ្ញុំ∙ 5ខ្ញុំ = 7+22ខ្ញុំ

3. ស្វែងរកឯកជន zពីការបែងចែក z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – ខ្ញុំ

z= .

4. ដោះស្រាយសមីការ:, xនិង y Î រ.

(2x+y) + (x+y)ខ្ញុំ = 2 + 3ខ្ញុំ

ដោយគុណធម៌នៃចំនួនកុំផ្លិច យើងមាន៖

កន្លែងណា x=–1 , y= 4.

5. គណនា៖ ខ្ញុំ 2 ,ខ្ញុំ 3 ,ខ្ញុំ 4 ,ខ្ញុំ 5 ,ខ្ញុំ 6 ,ខ្ញុំ -1 , អ៊ី -2 .

6. គណនាប្រសិនបើ .

7. គណនាចំរាស់នៃលេខមួយ។ z=3- ខ្ញុំ.

លេខស្មុគស្មាញក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ

យន្តហោះស្មុគស្មាញត្រូវបានគេហៅថាយន្តហោះដែលមានកូអរដោនេ Cartesian ( x, y) ប្រសិនបើចំណុចនីមួយៗមានកូអរដោនេ ( ក, ខ) ត្រូវបានផ្តល់ចំនួនកុំផ្លិច z = a + ប៊ី. ក្នុងករណីនេះអ័ក្ស abscissa ត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សពិតហើយអ័ក្ស y គឺ ការស្រមើស្រមៃ. បន្ទាប់មករាល់ចំនួនកុំផ្លិច a+biតំណាងធរណីមាត្រនៅលើយន្តហោះជាចំណុច ក (ក, ខ) ឬវ៉ិចទ័រ។

ដូច្នេះទីតាំងនៃចំណុច ប៉ុន្តែ(ហើយដូច្នេះចំនួនកុំផ្លិច z) អាចកំណត់ដោយប្រវែងវ៉ិចទ័រ | | = rនិងមុំ jបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រ | | ជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សពិត។ ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិចនិងត្រូវបានតំណាងដោយ | z|=r, និងមុំ jហៅ អាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិចនិងតំណាង j = argz.

ច្បាស់ណាស់ | z| ³ 0 និង | z | = 0 Û z= 0.

ពីរូបភព។ 2 បង្ហាញថា។

អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់មិនច្បាស់លាស់ និងរហូតដល់ 2 pk, កÎ Z.

ពីរូបភព។ 2 ក៏បង្ហាញថាប្រសិនបើ z=a+biនិង j=argz,បន្ទាប់មក

cos j =, អំពើបាប j =, tg j = ។

ប្រសិនបើ ក zOរនិង z > 0 បន្ទាប់មក argz = 0 +2pk;

ប្រសិនបើ z អូរនិង z< 0 បន្ទាប់មក argz = p + 2pk;

ប្រសិនបើ z= 0,អាrgzមិនបានកំណត់។

តម្លៃចម្បងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល 0 £ argz£2 ទំ,

ឬ - ទំ£ arg z £ទំ.

ឧទាហរណ៍:

1. ស្វែងរកម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច z 1 = 4 – 3ខ្ញុំនិង z 2 = –2–2ខ្ញុំ