ធាតុរងមួយនៃប្រធានបទ "សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ" គឺជាបញ្ហានៃការចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ។ អត្ថបទខាងក្រោមពិភាក្សាអំពីគោលការណ៍នៃការចងក្រងសមីការបែបនេះសម្រាប់ទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ជាក់លាក់។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីរបៀបឆ្លងពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទៅសមីការនៃទម្រង់ផ្សេងគ្នា; ចូរយើងវិភាគដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាធម្មតា។
បន្ទាត់ជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានកំណត់ដោយបញ្ជាក់ចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នោះ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅសម្រាប់បន្ទាត់។
ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់ប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ O x y ។ ហើយបន្ទាត់ត្រង់ a ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយបង្ហាញពីចំណុច M 1 ដែលស្ថិតនៅលើវា (x 1, y 1) និងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ a → = (a x, a y) . យើងផ្តល់ការពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើសមីការ។
យើងប្រើចំណុចបំពាន M (x, y) ហើយទទួលបានវ៉ិចទ័រ M 1 M →; គណនាកូអរដោនេរបស់វាពីកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់ផ្តើម និងចំណុចបញ្ចប់៖ M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) ។ ចូរពិពណ៌នាលទ្ធផល៖ បន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសំណុំនៃចំណុច M (x, y) ឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1, y 1) និងមានវ៉ិចទ័រទិសដៅ a → = (a x, a y) . សំណុំដែលបានបញ្ជាក់កំណត់បន្ទាត់ត្រង់តែនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រ M 1 M → = (x − x 1 , y - y 1) និង a → = (a x , a y) ជាប់គ្នា។
មានលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រ ដែលក្នុងករណីនេះសម្រាប់វ៉ិចទ័រ M 1 M → = (x − x 1, y - y 1) និង a → = (a x , a y) អាចសរសេរជា សមីការ៖
M 1 M → = λ · a → ដែល λ គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន។
និយមន័យ ១
សមីការ M 1 M → = λ · a → ត្រូវបានគេហៅថាសមីការវ៉ិចទ័រ - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់។
នៅក្នុងទម្រង់សំរបសំរួល វាមើលទៅដូចជា៖
M 1 M → = λ a → ⇔ x − x 1 = λ a x y − y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
សមីការនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផល x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ត្រូវបានគេហៅថាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ ខ្លឹមសារនៃឈ្មោះមានដូចខាងក្រោម៖ កូអរដោនេនៃចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់អាចត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៅលើយន្តហោះនៃទម្រង់ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ នៅពេលធ្វើម្តងទៀតលើតម្លៃពិតទាំងអស់ នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ
យោងតាមខាងលើ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ កំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1, y 1) និងមានវ៉ិចទ័រណែនាំ a → = (a x, a y) . ដូច្នេះ ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃចំណុចជាក់លាក់នៃបន្ទាត់ត្រង់ និងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនោះ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសរសេរភ្លាមៗនូវសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ឧទាហរណ៍ ១
វាចាំបាច់ក្នុងការចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែតនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ប្រសិនបើចំនុច M 1 (2, 3) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់វា និងវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ a → = (3, 1) ។
ការសម្រេចចិត្ត
ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យដំបូង យើងទទួលបាន៖ x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1 ។ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនឹងមើលទៅដូចនេះ៖
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
ចូរយើងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់៖
ចម្លើយ៖ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
គួរកត់សំគាល់ៈ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ a → = (a x , a y) ដើរតួនាទីជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ a ហើយចំនុច M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នេះ បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយការកំណត់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃទម្រង់៖ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ក៏ដូចជាជម្រើសនេះ៖ x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ ។
ឧទាហរណ៍ យើងត្រូវបានផ្ដល់វ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់ a → \u003d (2, - 1) ក៏ដូចជាចំណុច M 1 (1, - 2) និង M 2 (3, - 3) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នេះ។ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ: x = 1 + 2 · λ y = − 2 − λ ឬ x = 3 + 2 · λ y = − 3 − λ ។
ការយកចិត្តទុកដាក់ក៏គួរតែត្រូវបានបង់ចំពោះការពិតដូចខាងក្រោម: ប្រសិនបើ a → = (a x, a y) គឺជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ a បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រណាមួយក៏នឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំរបស់វាផងដែរ។ μ a → = (μ a x , μ a y) ដែល μ ϵ R , μ ≠ 0 ។
ដូច្នេះបន្ទាត់ត្រង់ a នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណអាចត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ μ ដែលខុសពីសូន្យ។
ឧបមាថាបន្ទាត់ a ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ ។ បន្ទាប់មក a → = (2 , - 5) - វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់នេះ។ ហើយវ៉ិចទ័រណាមួយ μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 នឹងក្លាយជាវ៉ិចទ័រទិសដៅសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ សូមពិចារណាវ៉ិចទ័រជាក់លាក់មួយ - 2 · a → = (- 4 , 10) វាត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ μ = - 2 ។ ក្នុងករណីនេះ បន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក៏អាចត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការប៉ារ៉ាមេត x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ ។
ការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះទៅសមីការផ្សេងទៀតនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងច្រាសមកវិញ
ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាមួយចំនួន ការប្រើប្រាស់សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រមិនមែនជាជម្រើសដ៏ប្រសើរបំផុតនោះទេ បន្ទាប់មកវាចាំបាច់ដើម្បីបកប្រែសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៃប្រភេទផ្សេងគ្នា។ តោះមើលពីរបៀបធ្វើវា។
សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ នឹងឆ្លើយតបទៅនឹងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ x − x 1 a x = y − y 1 a y ។
យើងដោះស្រាយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនីមួយៗដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ ស្មើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពដែលទទួលបាន និងទទួលបានសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x − x 1 a x λ = y − y 1 a y ⇔ x − x 1 a x = y − y 1 a y
ក្នុងករណីនេះ វាមិនគួរខ្មាស់អៀនទេ ប្រសិនបើ x ឬ a y នឹងស្មើនឹងសូន្យ។
ឧទាហរណ៍ ២
វាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ x = 3 y = - 2 - 4 · λ ទៅសមីការ Canonical ។
ការសម្រេចចិត្ត
យើងសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោម: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ
យើងបង្ហាញប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ ក្នុងសមីការនីមួយៗ៖ x = 3 + 0 λ y = − 2 − 4 λ ⇔ λ = x − 3 0 λ = y + 2 − 4
យើងធ្វើសមកាលកម្មផ្នែកខាងស្តាំនៃប្រព័ន្ធសមីការ និងទទួលបានសមីការ Canonical ដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះ៖
x − 3 0 = y + 2 − 4
ចម្លើយ៖ x − 3 0 = y + 2 − 4
ក្នុងករណីដែលចាំបាច់ត្រូវសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៃទម្រង់ A x + B y + C = 0 ខណៈពេលដែលសមីការប៉ារ៉ាម៉ែតនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឲ្យ នោះដំបូងគេចាំបាច់ត្រូវបង្កើត ការផ្លាស់ប្តូរទៅសមីការ Canonical ហើយបន្ទាប់មកទៅកាន់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។ ចូរយើងសរសេរនូវលំដាប់នៃសកម្មភាពទាំងមូល៖
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x − x 1 a x λ = y − y 1 a y ⇔ x − x 1 a x = y − y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x − x 1) = a x (y − y 1) ⇔ A x + B y + C = 0
ឧទាហរណ៍ ៣
វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ប្រសិនបើសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រកំណត់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ
ការសម្រេចចិត្ត
ជាដំបូង ចូរយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទៅសមីការ Canonical៖
x = − 1 + 2 λ y = − 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y − 3 ⇔ x + 1 2 = y − 3
សមាមាត្រលទ្ធផលគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងសមភាព - 3 · (x + 1) = 2 · y ។ ចូរបើកតង្កៀប និងទទួលបានសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់៖ − 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 ។
ចម្លើយ៖ 3x + 2y + 3 = 0
ដោយធ្វើតាមតក្កវិជ្ជាខាងលើ ដើម្បីទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាល សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក ឬសមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ ចាំបាច់ត្រូវទទួលបានសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ និងពីវាដើម្បីអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀត។
ឥឡូវពិចារណាសកម្មភាពបញ្ច្រាស៖ ការសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់សម្រាប់ទម្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នានៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។
ការផ្លាស់ប្តូរងាយស្រួលបំផុត៖ ពីសមីការ Canonical ទៅ parametric ។ អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ Canonical នៃទម្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: x − x 1 a x = y − y 1 a y ។ យើងយកទំនាក់ទំនងនីមួយៗនៃសមភាពនេះស្មើនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ:
x − x 1 a x = y − y 1 a y = λ ⇔ λ = x − x 1 a x λ = y − y 1 a y
ចូរយើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលសម្រាប់អថេរ x និង y៖
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
ឧទាហរណ៍ 4
វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ប្រសិនបើសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះត្រូវបានគេស្គាល់ថា: x − 2 5 = y − 2 2
ការសម្រេចចិត្ត
ចូរយើងធ្វើសមកាលកម្មផ្នែកនៃសមីការដែលគេស្គាល់ទៅនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ: x − 2 5 = y − 2 2 = λ ។ ពីសមភាពដែលទទួលបាន យើងទទួលបានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់៖ x − 2 5 = y − 2 2 = λ ⇔ λ = x − 2 5 λ = y − 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
ចម្លើយ៖ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
នៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទៅសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាល ឬសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក វាចាំបាច់ក្នុងការនាំយកសមីការដើមទៅ canonical មួយ ហើយបន្ទាប់មកធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទៅសមីការ parametric ។
ឧទាហរណ៍ ៥
វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយនឹងសមីការទូទៅដែលគេស្គាល់នៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ: 4 x - 3 y - 3 = 0 ។
ការសម្រេចចិត្ត
យើងបំប្លែងសមីការទូទៅដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាសមីការនៃទម្រង់ Canonical៖
4 x − 3 y − 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
យើងយកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពទៅនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ ហើយទទួលបានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់ត្រង់៖
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = − 1 3 + 4 λ
ចម្លើយ៖ x = 3 λ y = − 1 3 + 4 λ
ឧទាហរណ៍ និងបញ្ហាជាមួយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ
ចូរយើងពិចារណាអំពីប្រភេទបញ្ហាទូទៅបំផុតដោយប្រើសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ។
- នៅក្នុងបញ្ហានៃប្រភេទទីមួយ កូអរដោនេនៃចំណុចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ថាតើវាជារបស់បន្ទាត់ត្រង់ដែលបានពិពណ៌នាដោយសមីការប៉ារ៉ាមេតឬអត់។
ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបែបនេះគឺផ្អែកលើការពិតដូចខាងក្រោម៖ លេខ (x, y) ដែលបានកំណត់ពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ សម្រាប់តម្លៃពិតមួយចំនួន λ គឺជាកូអរដោនេនៃ a ចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ត្រង់ ដែលត្រូវបានពិពណ៌នាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះ។
ឧទាហរណ៍ ៦
វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលបានផ្តល់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ សម្រាប់ λ = 3 ។
ការសម្រេចចិត្ត
យើងជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់ λ = 3 ទៅក្នុងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយគណនាកូអរដោនេដែលត្រូវការ៖ x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
ចម្លើយ៖ 1 1 2 , 5
បញ្ហាខាងក្រោមក៏អាចកើតមានផងដែរ៖ អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចមួយចំនួន M 0 (x 0, y 0) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ ហើយចាំបាច់ត្រូវកំណត់ថាតើចំណុចនេះជារបស់បន្ទាត់ដែលបានពិពណ៌នាដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ។
ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅក្នុងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលគេស្គាល់នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់ថាតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ = λ 0 គឺអាចធ្វើទៅបាន ដែលសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងពីរគឺពិត នោះចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យជារបស់បន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ឧទាហរណ៍ ៧
ពិន្ទុ M 0 (4, - 2) និង N 0 (- 2, 1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ថាតើពួកវាជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ត្រង់ដែលកំណត់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ ។
ការសម្រេចចិត្ត
យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច M 0 (4, - 2) ទៅក្នុងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
4 = 2 λ − 2 = − 1 − 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
យើងសន្និដ្ឋានថាចំណុច M 0 ជារបស់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ត្រូវនឹងតម្លៃ λ = 2 ។
2 = 2 λ 1 = − 1 − 1 2 λ ⇔ λ = − 1 λ = − 4
វាច្បាស់ណាស់ថាមិនមានប៉ារ៉ាម៉ែត្របែបនេះ λ ដែលចំណុច N 0 នឹងឆ្លើយតប។ ម្យ៉ាងទៀត ខ្សែដែលបានផ្តល់ឲ្យមិនឆ្លងកាត់ចំណុច N 0 (- 2, 1) ទេ។
ចម្លើយ៖ចំណុច M 0 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ; ចំនុច N 0 មិនមែនជារបស់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ។
- នៅក្នុងបញ្ហានៃប្រភេទទីពីរ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃបញ្ហាបែបនេះ (ជាមួយកូអរដោនេនៃចំណុចនៃបន្ទាត់និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ) ត្រូវបានពិចារណាខាងលើ។ ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ ដែលដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ ហើយបន្ទាប់មកសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។
ចំណុច M 1 1 2 , 2 3 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាចាំបាច់ក្នុងការចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ និងបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែល x 2 \u003d y - 3 - 1 ។
ការសម្រេចចិត្ត
យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា បន្ទាត់ត្រង់ សមីការដែលយើងត្រូវឆ្ពោះទៅមុខ គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ x 2 \u003d y - 3 - 1 ។ បនា្ទាប់មកជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ វាអាចប្រើវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ x 2 = y − 3 − 1 ដែលយើងសរសេរក្នុងទម្រង់៖ a → = (2, - ១). ឥឡូវនេះ ទិន្នន័យចាំបាច់ទាំងអស់ត្រូវបានគេដឹង ដើម្បីចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលចង់បាន៖
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + ( − 1 ) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 − λ
ចម្លើយ៖ x = 1 2 + x λ y = 2 3 − λ ។
ឧទាហរណ៍ ៩
ចំណុច M 1 (0, - 7) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចនេះកាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រង់ 3 x – 2 y – 5 = 0 ។
ការសម្រេចចិត្ត
ក្នុងនាមជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ សមីការដែលត្រូវតែផ្សំ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីយកវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ 3 x − 2 y - 5 = 0 ។ កូអរដោនេរបស់វាគឺ (3 , - 2) ។ យើងសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់ត្រង់៖
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = − 7 + ( − 2 ) λ ⇔ x = 3 λ y = − 7 − 2 λ
ចម្លើយ៖ x = 3 λ y = − 7 − 2 λ
- នៅក្នុងបញ្ហានៃប្រភេទទីបី វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅប្រភេទផ្សេងទៀតនៃសមីការដែលកំណត់វា។ យើងបានពិចារណាដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ខាងលើយើងនឹងផ្តល់ឱ្យមួយបន្ថែមទៀត។
បានផ្តល់ឱ្យបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដែលបានកំណត់ដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាមួយចំនួននៃបន្ទាត់នេះ។
ការសម្រេចចិត្ត
ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេដែលចង់បាននៃវ៉ិចទ័រធម្មតា យើងនឹងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទៅសមីការទូទៅ៖
x = 1 − 3 4 λ y = − 1 + λ ⇔ λ = x − 1 − 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x − 1 − 3 4 = y + 1 1 ⇔ 1 ⇔ 1 x − 1 = − 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y − 1 4 = 0
មេគុណនៃអថេរ x និង y ផ្តល់ឱ្យយើងនូវកូអរដោនេដែលត្រូវការនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ មានកូអរដោនេ 1 , 3 4 ។
ចម្លើយ៖ 1 , 3 4 .
ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter
រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានពិចារណាសមីការនៃផ្ទៃក្នុងលំហដែលមានអ័ក្សកូអរដោនេ X, Y, Z ក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់ ឬក្នុងទម្រង់មិនច្បាស់លាស់។
គេអាចសរសេរសមីការផ្ទៃក្នុងទម្រង់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ដោយបង្ហាញកូអរដោនេនៃចំណុចរបស់វាជាមុខងារនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រអថេរឯករាជ្យពីរ និង
យើងនឹងសន្មត់ថាមុខងារទាំងនេះមានតម្លៃតែមួយ បន្ត ហើយមាននិស្សន្ទវត្ថុបន្តរហូតដល់លំដាប់ទីពីរក្នុងជួរជាក់លាក់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ប្រសិនបើយើងជំនួសកន្សោមសំរបសំរួលទាំងនេះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ u និង v ទៅក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ (37) នោះយើងគួរតែទទួលបានអត្តសញ្ញាណមួយទាក់ទងនឹង u និង V ។ ភាពខុសគ្នានៃអត្តសញ្ញាណនេះដោយគោរពទៅនឹងអថេរឯករាជ្យ u និង v យើងមាន
ដោយពិចារណាលើសមីការទាំងនេះជាសមីការដូចគ្នាទាំងពីរទាក់ទងនឹង និងការអនុវត្តពិជគណិត lemma ដែលបានរៀបរាប់នៅក្នុង យើងទទួលបាន
ដែល k គឺជាមេគុណនៃសមាមាត្រ។
យើងសន្មត់ថាកត្តា k និងយ៉ាងហោចណាស់ភាពខុសគ្នាមួយនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃរូបមន្តចុងក្រោយគឺមិនសូន្យ។
ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយសង្ខេបនូវភាពខុសគ្នាបីដែលបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
ដូចដែលអ្នកបានដឹង សមីការនៃយន្តហោះតង់សង់ទៅផ្ទៃរបស់យើងនៅចំណុចមួយចំនួន (x, y, z) អាចត្រូវបានសរសេរជា
ឬជំនួសដោយបរិមាណសមាមាត្រ យើងអាចសរសេរឡើងវិញនូវសមីការនៃយន្តហោះតង់សង់ដូចខាងក្រោម៖
មេគុណនៅក្នុងសមីការនេះត្រូវបានគេដឹងថាសមាមាត្រទៅនឹងកូស៊ីនុសទិសនៃធម្មតាទៅផ្ទៃ។
ទីតាំងនៃចំណុចអថេរ M នៅលើផ្ទៃត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ u និង v ហើយប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាកូអរដោនេនៃចំណុចផ្ទៃឬប៉ារ៉ាម៉ែត្រកូអរដោនេ។
ដោយផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ u និង v តម្លៃថេរ យើងទទួលបានពីរគ្រួសារនៃបន្ទាត់នៅលើផ្ទៃដែលយើងនឹងហៅបន្ទាត់កូអរដោណេនៃផ្ទៃ: បន្ទាត់កូអរដោណេដែលមានតែ v ផ្លាស់ប្តូរនិងបន្ទាត់កូអរដោនេដែលមានតែ u ផ្លាស់ប្តូរ។ គ្រួសារទាំងពីរនេះនៃខ្សែកូអរដោនេផ្តល់ក្រឡាចត្រង្គកូអរដោនេនៅលើផ្ទៃ។
ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាស្វ៊ែរដែលផ្តោតលើប្រភពដើម និងកាំ R. សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃស្វ៊ែរបែបនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា
បន្ទាត់សំរបសំរួលក្នុងករណីនេះគឺជាក់ស្តែង ប៉ារ៉ាឡែល និង meridians នៃស្វ៊ែររបស់យើង។
ដោយដកចេញពីអ័ក្សកូអរដោណេ យើងអាចកំណត់លក្ខណៈផ្ទៃដោយវ៉ិចទ័រកាំអថេរដែលចេញពីចំណុចអថេរ O ទៅចំណុចអថេរ M នៃផ្ទៃរបស់យើង។ ដេរីវេនៃផ្នែកនៃវ៉ិចទ័រកាំនេះដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រនឹងច្បាស់ជាផ្តល់ឱ្យវ៉ិចទ័រដែលដឹកនាំតាមតង់ហ្សង់ទៅបន្ទាត់កូអរដោនេ។ សមាសធាតុនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះតាមអ័ក្ស
វានឹងត្រូវតាមហេតុនេះហើយថា មេគុណក្នុងសមីការនៃប្លង់តង់សង់ (39) ជាសមាសធាតុនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ។ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនេះជាវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅតង់ហ្សង់ ពោលគឺវ៉ិចទ័រតម្រង់តាមធម្មតានៃ ផ្ទៃ។ ការ៉េនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ដោយផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ និងខ្លួនវាផ្ទាល់ ពោលគឺនិយាយម្យ៉ាងទៀតដោយការ៉េនៃវ៉ិចទ័រនេះ 1). នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ តួនាទីដ៏សំខាន់មួយនឹងត្រូវបានលេងដោយឯកតាវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅផ្ទៃ ដែលយើងអាចសរសេរយ៉ាងច្បាស់ក្នុងទម្រង់
ដោយការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃកត្តានៅក្នុងផលិតផលវ៉ិចទ័រដែលបានសរសេរយើងទទួលបានទិសដៅផ្ទុយសម្រាប់វ៉ិចទ័រ (40) ។ នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងជួសជុលលំដាប់នៃកត្តាក្នុងវិធីជាក់លាក់មួយ ពោលគឺយើងនឹងជួសជុលទិសដៅនៃធម្មតាទៅផ្ទៃក្នុងវិធីជាក់លាក់មួយ។
ចូរយើងយកចំនុច M លើផ្ទៃ ហើយគូរតាមចំនុចនេះ ខ្សែកោង (L) ដែលស្ថិតនៅលើផ្ទៃ។ ខ្សែកោងនេះ ជាទូទៅមិនមែនជាបន្ទាត់កូអរដោនេទេ ហើយទាំង H និង v នឹងផ្លាស់ប្តូរតាមវា។ ទិសដៅនៃតង់សង់ទៅខ្សែកោងនេះនឹងត្រូវបានកំណត់ដោយវ៉ិចទ័រ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថាតាមបណ្តោយ (L) នៅក្នុងបរិវេណនៃចំណុចនោះ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ v គឺជាមុខងារដែលមានដេរីវេ។ ពីនេះវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាទិសដៅនៃតង់ហ្សង់ទៅខ្សែកោងដែលគូរលើផ្ទៃនៅចំណុចមួយចំនួន M នៃខ្សែកោងនេះត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពេញលេញដោយតម្លៃនៅចំណុចនោះ។ នៅពេលកំណត់ Tangent Plane និងទទួលបានសមីការរបស់វា (39) យើងបានសន្មត់ថាមុខងារ (38) នៅចំណុចដែលបានពិចារណា ហើយសង្កាត់របស់វាមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្ត ហើយថាយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយនៃសមីការ (39) គឺខុសពីសូន្យនៅ ពិចារណាចំណុច។
សមីការវ៉ិចទ័រ និងប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃយន្តហោះ។សូមឱ្យ r 0 និង r ជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច M 0 និង M រៀងគ្នា។ បន្ទាប់មក M 0 M = r - r 0 និងលក្ខខណ្ឌ (5.1) ដែលចំណុច M ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 កាត់កែង វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ n (រូបភាព 5.2, ក) អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើ ផលិតផលចំនុចជាសមាមាត្រ
n(r - r 0) = 0, (5.4)
ដែលត្រូវបានគេហៅថា សមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះ។
យន្តហោះថេរក្នុងលំហត្រូវនឹងសំណុំនៃវ៉ិចទ័រស្របនឹងវា ពោលគឺឧ។ លំហ V2. ចូរយើងជ្រើសរើសក្នុងចន្លោះនេះ។ មូលដ្ឋាន e 1 , e 2 , i.e. វ៉ិចទ័រមិនជាប់ជួរស្របគ្នានឹងប្លង់ដែលបានពិចារណា ហើយចំណុច M 0 នៅលើយន្តហោះ។ ប្រសិនបើចំនុច M ជារបស់យន្តហោះ នោះវាស្មើនឹងការពិតដែលវ៉ិចទ័រ M 0 M គឺស្របនឹងវា (រូបភាព 5.2, ខ) i.e. វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់លំហដែលបានបញ្ជាក់ V 2 ។ នេះមានន័យថាមាន ការរលួយនៃវ៉ិចទ័រ M 0 M នៅក្នុងមូលដ្ឋាន e 1 , e 2 , i.e. មានលេខ t 1 និង t 2 ដែល M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 ។ ការសរសេរផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រកាំ r 0 និង r នៃចំនុច M 0 និង M រៀងគ្នា យើងទទួលបាន សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះ
r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 , t 1 , t 1 ∈ R. (5.5)
ដើម្បីឆ្លងពីសមភាពនៃវ៉ិចទ័រក្នុង (5.5) ទៅសមភាពរបស់ពួកគេ។ កូអរដោនេតំណាងដោយ (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) កូអរដោនេចំណុច M 0 , M និងតាមរយៈ (e 1x; e 1y; e 1z) (e 2x; e 2y; e 2z) កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ e 1 , e 2 ។ សមីការកូអរដោនេដែលមានឈ្មោះដូចគ្នានៃវ៉ិចទ័រ r និង r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 យើងទទួលបាន សមីការយន្តហោះប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
យន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច។ឧបមាថាបីចំណុច M 1 , M 2 និង M 3 មិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយទេ។ បន្ទាប់មកមានយន្តហោះតែមួយគត់πដែលចំណុចទាំងនេះជាកម្មសិទ្ធិ។ ចូរយើងស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះនេះដោយបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ចំណុចដែលបំពាន M ជារបស់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យπ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនេះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកូអរដោនេនៃចំណុច។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដែលបានចង្អុលបង្ហាញគឺជាការពិពណ៌នានៃប្លង់ π ជាសំណុំនៃចំនុចទាំងនោះ M ដែលវ៉ិចទ័រ M 1 M 2 , M 1 M 3 និង M 1 M coplanar. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ភាពដូចគ្នានៃវ៉ិចទ័របីគឺសមភាពទៅសូន្យនៃពួកវា ផលិតផលចម្រុះ(សូមមើល 3.2) ។ ផលិតផលចម្រុះត្រូវបានគណនាដោយប្រើ កត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីខ្សែអក្សរដែលជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុង មូលដ្ឋានអ័រគីដេ. ដូច្នេះប្រសិនបើ (x i; yx i; Zx i) គឺជាកូអរដោនេនៃចំនុច Mx i, i = 1, 2, 3, និង (x; y; z) គឺជាកូអរដោនេនៃចំនុច M បន្ទាប់មក M 1 M = (x-x 1; y-y 1 ; z-z 1 ), M 1 M 2 = (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1 ), M 1 M 3 = (x 3 -x 1 ; y 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) និងលក្ខខណ្ឌនៃសមភាពទៅសូន្យនៃផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះមានទម្រង់
ការគណនាកត្តាកំណត់យើងទទួលបាន លីនេអ៊ែរទាក់ទងទៅនឹង x, y, z សមីការ, ដែលជា សមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលចង់បាន. ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ ពង្រីកកត្តាកំណត់នៅជួរទី 1បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន
សមភាពនេះបន្ទាប់ពីគណនាកត្តាកំណត់ និងបើកតង្កៀបត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ។
ចំណាំថាមេគុណនៃអថេរនៅក្នុងសមីការចុងក្រោយនេះស្របគ្នាជាមួយនឹងកូអរដោណេ ផលិតផលវ៉ិចទ័រ M 1 M 2 × M 1 M 3 ។ ផលិតផលឈើឆ្កាងនេះ ដែលជាផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រមិនជាប់គ្នាពីរស្របគ្នានឹងប្លង់π ផ្តល់វ៉ិចទ័រមិនសូន្យកាត់កែងទៅπ, ឧ។ របស់នាង វ៉ិចទ័រធម្មតា។. ដូច្នេះរូបរាងនៃកូអរដោនេនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រជាមេគុណនៃសមីការទូទៅនៃយន្តហោះគឺពិតជាធម្មជាតិ។
ពិចារណាករណីពិសេសខាងក្រោមនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច។ ចំណុច M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0 កុំកុហកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយកំណត់យន្តហោះដែលកាត់ផ្នែក នៅលើអ័ក្សកូអរដោនេនៃប្រវែងមិនសូន្យ (រូបភាព 5.3) ។ នៅទីនេះ "ប្រវែងនៃចម្រៀក" មានន័យថាតម្លៃនៃកូអរដោនេមិនមែនសូន្យនៃវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច M i , i = 1,2,3 ។
ចាប់តាំងពី M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z) សមីការ (5.7) យកទម្រង់
ដោយបានគណនាកត្តាកំណត់ យើងរកឃើញ bc(x - a) + acy + abz = 0 ចែកសមីការលទ្ធផលដោយ abc ហើយផ្លាស់ទីពាក្យទំនេរទៅខាងស្តាំ។
x/a + y/b + z/c = 1 ។
សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការយន្តហោះជាផ្នែក.
ឧទាហរណ៍ 5.2 ។ចូរយើងស្វែងរកសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (1; 1; 2) ហើយកាត់ផ្នែកដែលមានប្រវែងដូចគ្នាពីអ័ក្សកូអរដោនេ។
សមីការនៃយន្តហោះក្នុងផ្នែក ដែលផ្តល់ថាវាកាត់ផ្នែកដែលមានប្រវែងស្មើគ្នាពីអ័ក្សកូអរដោណេ និយាយថា a ≠ 0 មានទម្រង់ x/a + y/b + z/c = 1។ សមីការនេះត្រូវតែបំពេញកូអរដោនេ (1; 1; 2) ចំណុចដែលគេស្គាល់នៅលើយន្តហោះ, i.e. សមភាព 4/a = 1 កាន់។ដូច្នេះ a = 4 និងសមីការដែលចង់បានគឺ x + y + z − 4 = 0 ។
សមីការធម្មតានៃយន្តហោះ។ពិចារណាយន្តហោះ π ក្នុងលំហ។ យើងជួសជុលសម្រាប់នាង ឯកតាធម្មតា។ វ៉ិចទ័រ n ដឹកនាំពី ប្រភពដើម"ឆ្ពោះទៅកាន់យន្តហោះ" ហើយកំណត់ដោយ p ចម្ងាយពីប្រភពដើម O នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេទៅយន្តហោះ π (រូបភាព 5.4) ។ ប្រសិនបើយន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេនោះ p = 0 ហើយទិសដៅណាមួយដែលអាចមានទាំងពីរអាចត្រូវបានជ្រើសរើសជាទិសដៅសម្រាប់វ៉ិចទ័រធម្មតា n ។
ប្រសិនបើចំនុច M ជារបស់យន្តហោះ π នោះស្មើនឹងការពិត ការព្យាករណ៍វ៉ិចទ័រ orthogonalអូម ទៅទិសដៅវ៉ិចទ័រ n ស្មើនឹង p, i.e. លក្ខខណ្ឌ nOM = pr n OM = p គឺពេញចិត្ត, ចាប់តាំងពី ប្រវែងវ៉ិចទ័រ n គឺស្មើនឹងមួយ។
សម្គាល់កូអរដោនេនៃចំណុច M ដោយ (x; y; z) ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ n = (cosα; cosβ; cosγ) (រំលឹកថាសម្រាប់វ៉ិចទ័រឯកតា n របស់វា កូស៊ីនុសទិសដៅ cosα, cosβ, cosγ ក៏ជាកូអរដោនេរបស់វាដែរ)។ ការសរសេរផលិតផលមាត្រដ្ឋានក្នុងសមភាព nOM = p ក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ យើងទទួលបាន សមីការធម្មតានៃយន្តហោះ
xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0 ។
ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះ សមីការទូទៅនៃយន្តហោះក្នុងលំហ អាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការធម្មតាដោយបែងចែកដោយកត្តាធម្មតាមួយ។
សម្រាប់សមីការយន្តហោះ Ax + By + Cz + D = 0 កត្តាធម្មតាគឺលេខ ±√(A 2 + B 2 + C 2) សញ្ញាដែលត្រូវបានជ្រើសរើសផ្ទុយនឹងសញ្ញា D. ក្នុងតម្លៃដាច់ខាត។ កត្តា normalizing គឺជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា (A; B; C) នៃយន្តហោះ ហើយសញ្ញាត្រូវគ្នាទៅនឹងទិសដៅដែលចង់បាននៃឯកតាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ ប្រសិនបើយន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ i.e. D = 0 បន្ទាប់មកសញ្ញានៃកត្តាធម្មតាអាចត្រូវបានជ្រើសរើសដោយសញ្ញាណាមួយ។
សមីការណាមួយនៃសញ្ញាប័ត្រទីមួយទាក់ទងនឹងកូអរដោណេ x, y, z
អ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0 (3.1)
កំណត់យន្តហោះមួយ ហើយច្រាសមកវិញ៖ យន្តហោះណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ (៣.១) ដែលត្រូវបានគេហៅថា សមីការយន្តហោះ.
វ៉ិចទ័រ ន(A, B, C) orthogonal ទៅយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រធម្មតា។យន្តហោះ។ នៅក្នុងសមីការ (3.1) មេគុណ A, B, C មិនស្មើនឹង 0 ក្នុងពេលតែមួយ។
ករណីពិសេសនៃសមីការ (៣.១)៖
1. D = 0, Ax+By+Cz=0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។
2. C = 0, Ax+By+D=0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oz ។
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស Oz ។
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ Oyz ។
សំរបសំរួលសមីការយន្តហោះ៖ x = 0, y = 0, z = 0 ។
បន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖
1) ជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ, i.e. ប្រព័ន្ធសមីការ៖
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)
2) ចំនុចពីររបស់វា M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) បន្ទាប់មកបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពួកវាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ៖
3) ចំណុច M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់វា និងវ៉ិចទ័រ ក(m, n, p) s collinear ។ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ៖
សមីការ (៣.៤) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់.
វ៉ិចទ័រ កបានហៅ ណែនាំវ៉ិចទ័រត្រង់.
សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់យើងទទួលបានដោយស្មើភាពគ្នានៃទំនាក់ទំនង (3.4) ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t:
x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + p t ។ (3.5)
ប្រព័ន្ធដោះស្រាយ (៣.២) ជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរក្នុងមិនស្គាល់ xនិង yយើងមកដល់សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុង ការព្យាករណ៍ឬទៅ កាត់បន្ថយសមីការបន្ទាត់ត្រង់ :
x = mz + a, y = nz + b ។ (3.6)
ពីសមីការ (3.6) មួយអាចឆ្លងទៅសមីការ Canonical ការស្វែងរក zពីសមីការនីមួយៗ និងសមីការតម្លៃលទ្ធផល៖
មួយអាចឆ្លងពីសមីការទូទៅ (3.2) ទៅសមីការ Canonical ក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀត ប្រសិនបើគេរកឃើញចំណុចណាមួយនៃបន្ទាត់នេះ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់វា ន= [ន 1 , ន 2] កន្លែងណា ន 1 (A 1, B 1, C 1) និង ន 2 (A 2 , B 2 , C 2) - វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើមួយនៃភាគបែង m,nឬ រនៅក្នុងសមីការ (3.4) ប្រែថាស្មើសូន្យ បន្ទាប់មកភាគយកនៃប្រភាគដែលត្រូវគ្នាត្រូវតែកំណត់ស្មើសូន្យ ពោលគឺឧ។ ប្រព័ន្ធ
ស្មើនឹងប្រព័ន្ធ; បន្ទាត់បែបនេះគឺកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x ។
ប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ x = x 1 , y = y 1 ; បន្ទាត់ត្រង់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oz ។
ឧទាហរណ៍ 1.15. សរសេរសមីការនៃយន្តហោះដោយដឹងថាចំណុច A (1, -1,3) បម្រើជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលដកចេញពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះនេះ។
ការសម្រេចចិត្ត។ដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា, វ៉ិចទ័រ អូអេ(1,-1,3) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ បន្ទាប់មកសមីការរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរជា
x-y+3z+D=0។ ការជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច A(1,-1,3) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ យើងរកឃើញ D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11 ។ ដូច្នេះ x-y+3z-11=0 ។
ឧទាហរណ៍ 1.16. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស Oz ហើយបង្កើតមុំ 60 ដឺក្រេជាមួយនឹងយន្តហោះ 2x+y-z-7=0 ។
ការសម្រេចចិត្ត។យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស Oz ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Ax+By=0 ដែល A និង B មិនរលាយបាត់ក្នុងពេលតែមួយ។ ហាម B
គឺ 0, A/Bx+y=0។ យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះពីរ
ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 3m 2 + 8m - 3 = 0 យើងរកឃើញឫសរបស់វា
m 1 = 1/3, m 2 = −3 ពីនោះយើងទទួលបានប្លង់ពីរ 1/3x+y=0 និង −3x+y=0។
ឧទាហរណ៍ 1.17 ។សរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់៖
5x + y + z = 0, 2x + 3y − 2z + 5 = 0 ។
ការសម្រេចចិត្ត។សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖
កន្លែងណា m, n, ទំ- កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់, x1, y1, z1- កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់។ បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានកំណត់ជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ។ ដើម្បីស្វែងរកចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ត្រង់ កូអរដោនេមួយត្រូវបានជួសជុល (វិធីងាយស្រួលបំផុតគឺដាក់ឧទាហរណ៍ x=0) ហើយប្រព័ន្ធលទ្ធផលត្រូវបានដោះស្រាយជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរ។ ដូច្នេះសូមឱ្យ x = 0 បន្ទាប់មក y + z = 0, 3y − 2z + 5 = 0, whence y=-1, z=1 ។ យើងបានរកឃើញកូអរដោនេនៃចំណុច M (x 1, y 1, z 1) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នេះ៖ M (0,-1,1) ។ វ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់គឺងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក ដោយដឹងពីវ៉ិចទ័រធម្មតានៃប្លង់ដើម ន 1 (5,1,1) និង ន២(២,៣,-២)។ បន្ទាប់មក
សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់គឺ: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z − 1)/13 ។
គឺជាសមីការទូទៅនៃយន្តហោះក្នុងលំហ
វ៉ិចទ័រយន្តហោះធម្មតា។
វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះគឺជាវ៉ិចទ័រមិនសូន្យទៅវ៉ិចទ័រនីមួយៗដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ។
សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយដែលមានវ៉ិចទ័រធម្មតាដែលបានផ្តល់ឱ្យ
គឺជាសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M0 ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតាដែលបានផ្តល់ឱ្យ
វ៉ិចទ័រទិសដៅយន្តហោះ
វ៉ិចទ័រមិនជាប់ជួរគ្នាពីរស្របនឹងយន្តហោះត្រូវបានហៅថាវ៉ិចទ័រទិសនៃយន្តហោះ
សមីការយន្តហោះប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
- សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប្លង់ក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ
គឺជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃយន្តហោះក្នុងកូអរដោណេ
សមីការនៃយន្តហោះតាមរយៈចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងវ៉ិចទ័រទិសពីរ
- ចំណុចថេរ
គ្រាន់តែជាចំនុច lol
គឺ coplanar ដូច្នេះផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេគឺ 0 ។
សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ
- សមីការយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច
សមីការនៃយន្តហោះក្នុងផ្នែក
- សមីការយន្តហោះជាផ្នែក
ភស្តុតាង
ដើម្បីបញ្ជាក់វា យើងប្រើការពិតដែលយន្តហោះរបស់យើងឆ្លងកាត់ A, B, C និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។
ចូរយើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច និងវ៉ិចទ័រ n ទៅក្នុងសមីការនៃយន្តហោះជាមួយវ៉ិចទ័រធម្មតា
ចែកអ្វីគ្រប់យ៉ាងដោយនិងទទួលបាន
ដូច្នេះវាទៅ។
សមីការយន្តហោះធម្មតា។
គឺជាមុំរវាងគោ និងវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះ ដែលចេញពី O ។
គឺជាមុំរវាង អូ និងវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះ ដែលចេញពី O ។
គឺជាមុំរវាង oz និងវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅកាន់យន្តហោះ ដែលចេញមកពី O ។
គឺជាចម្ងាយពីប្រភពដើមនៃកូអរដោណេទៅយន្តហោះ។
ភ័ស្តុតាង ឬការអួតអាងបែបនេះ។
សញ្ញាគឺទល់មុខ D.
ដូចគ្នានេះដែរសម្រាប់កូស៊ីនុសផ្សេងទៀត។ ចប់។
ចម្ងាយពីចំណុចទៅយន្តហោះ
ចំណុច S, យន្តហោះ
គឺជាចម្ងាយតម្រង់ទិសពីចំណុច S ទៅយន្តហោះ
ប្រសិនបើ S និង O ស្ថិតនៅម្ខាងនៃយន្តហោះ
ប្រសិនបើ S និង O ស្ថិតនៅម្ខាង
គុណនឹង n 
ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហ
មុំរវាងយន្តហោះ
នៅចំនុចប្រសព្វ មុំ dihedral បញ្ឈរពីរគូត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលតូចបំផុតត្រូវបានគេហៅថាមុំរវាងយន្តហោះ
បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហ
បន្ទាត់ក្នុងលំហអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជា
ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ៖
សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់
- សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ
គឺជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងកូអរដោណេ
សមីការ Canonical
គឺជាសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។
សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ
- សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ;
ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហ
ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះនៅក្នុងលំហ
មុំរវាងបន្ទាត់និងយន្តហោះ
ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់ក្នុងលំហ
a គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់របស់យើង។
គឺជាចំណុចបំពានដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ
- ចំណុចដែលយើងកំពុងស្វែងរកចម្ងាយ។
ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ
ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ
M1 - ចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ទីមួយ
M2 គឺជាចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ទីពីរ
ខ្សែកោងនិងផ្ទៃនៃលំដាប់ទីពីរ
ពងក្រពើគឺជាសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ (foci) គឺជាតម្លៃថេរ។
សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ
ចូរជំនួសវាដោយ
ចែកដោយ
លក្ខណៈសម្បត្តិរាងពងក្រពើ
ប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ
ប្រភពដើម
ស៊ីមេទ្រីអំពី
រាងពងក្រពើគឺជាខ្សែកោងដែលស្ថិតនៅក្នុងផ្នែកដែលមានកំណត់នៃយន្តហោះ
រាងពងក្រពើអាចទទួលបានពីរង្វង់ដោយលាតសន្ធឹងឬច្របាច់វា។
សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃរាងពងក្រពើមួយ:
- នាយក
អ៊ីពែបូឡា
អ៊ីពែបូឡាគឺជាសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅ 2 ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (foci) គឺជាតម្លៃថេរ (2a)
យើងធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងដូចគ្នានឹងពងក្រពើយើងទទួលបាន
ជំនួយដោយ
ចែកដោយ
លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់អ៊ីពែបូឡា
;
- នាយក
Asymptote
asymptote គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលខ្សែកោងចូលទៅជិតដោយមិនកំណត់ ដោយថយចុះទៅគ្មានកំណត់។
ប៉ារ៉ាបូឡា
លក្ខណៈសម្បត្តិ parabot
ទំនាក់ទំនងរវាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា។
ទំនាក់ទំនងរវាងខ្សែកោងទាំងនេះមានការពន្យល់ពិជគណិតៈ ពួកវាទាំងអស់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេណាមួយ សមីការនៃខ្សែកោងទាំងនេះមានទម្រង់៖ ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0 ដែល a, b, c, d, e, f ជាលេខ
បំប្លែងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ចតុកោណ
ការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ
-O' នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចាស់
- កូអរដោនេនៃចំណុចនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចាស់
- កូអរដោនេនៃចំណុចនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេថ្មី។
ចំណុចកូអរដោណេនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេថ្មី។
បង្វិលនៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian
- ប្រព័ន្ធកូអរដោណេថ្មី។
ផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសពីមូលដ្ឋានចាស់ទៅថ្មីមួយ
- (នៅក្រោមជួរទីមួយ ខ្ញុំ’
នៅក្រោមទីពីរ j’
) ម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ,jជាមូលដ្ឋាន ខ្ញុំ’
,j’
ករណីទូទៅ
សំរបសំរួលការបង្វិលប្រព័ន្ធ
សំរបសំរួលការបង្វិលប្រព័ន្ធ
ការបកប្រែស្របគ្នានៃប្រភពដើម
ជម្រើស 1
ជម្រើសទី 2
សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរ និងការកាត់បន្ថយរបស់វាទៅជាទម្រង់ Canonical
គឺជាទម្រង់ទូទៅនៃសមីការខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ
ចំណាត់ថ្នាក់នៃខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ
រាងពងក្រពើ
ផ្នែកឆ្លងកាត់នៃរាងអេលីប
- ពងក្រពើ
- ពងក្រពើ
Ellipsoids នៃបដិវត្តន៍
Ellipsoids នៃបដិវត្តន៍គឺ oblate ឬ prolate spheroids អាស្រ័យលើអ្វីដែលយើងកំពុងបង្វិលជុំវិញ។
អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយក្រុម
ផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតមួយបន្ទះ
- អ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សពិត
គឺជាអ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្ស x ពិតប្រាកដ
វាប្រែចេញពងក្រពើសម្រាប់ម៉ោងណាមួយ។ ដូច្នេះវាទៅ។
អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតតែមួយឆ្នូតនៃបដិវត្តន៍
អ៊ីពែបូឡូអ៊ីតនៃបដិវត្តមួយសន្លឹកអាចទទួលបានដោយការបង្វិលអ៊ីពែបូឡាជុំវិញអ័ក្សស្រមៃរបស់វា។
អ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក
ផ្នែកនៃអ៊ីពែបូអ៊ីដ្រាតពីរសន្លឹក 
- hyperbole ជាមួយសកម្មភាព។ axisoz
គឺជាអ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សពិត
កោណ 
- គូនៃបន្ទាត់ប្រសព្វ
- គូនៃបន្ទាត់ប្រសព្វ
ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីតរាងអេលីប 
- ប៉ារ៉ាបូឡា
- ប៉ារ៉ាបូឡា
ការបង្វិល
ប្រសិនបើ នោះ paraboloid រាងអេលីប គឺជាផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍ដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃ parabola អំពីអ័ក្សស៊ីមេទ្រីរបស់វា។
អ៊ីពែរបូល ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត
ប៉ារ៉ាបូឡា
- ប៉ារ៉ាបូឡា
h>0 អ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សពិតស្របទៅនឹង x
ម៉ោង<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
នៅក្រោមស៊ីឡាំង មានន័យថាផ្ទៃដែលនឹងទទួលបាននៅពេលដែលបន្ទាត់ត្រង់ផ្លាស់ទីក្នុងលំហ ដែលមិនផ្លាស់ប្តូរទិសដៅរបស់វា ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់ផ្លាស់ទីទាក់ទងទៅនឹងអោន នោះសមីការនៃស៊ីឡាំងគឺជាសមីការនៃផ្នែកដោយយន្តហោះ។ ចយ.
ស៊ីឡាំងរាងអេលីប
ស៊ីឡាំងអ៊ីពែរបូល
ស៊ីឡាំងប៉ារ៉ាបូល
ម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear នៃផ្ទៃនៃលំដាប់ទីពីរ
បន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅលើផ្ទៃទាំងស្រុងត្រូវបានគេហៅថាម៉ាស៊ីនបង្កើត rectilinear នៃផ្ទៃ។
ផ្ទៃនៃបដិវត្តន៍
Fuck អ្នក lol
បង្ហាញ
ដោយការបង្ហាញចូរហៅក្បួនទៅតាមធាតុនីមួយៗនៃសំណុំ A ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយធាតុមួយ ឬច្រើននៃសំណុំ B ។ ប្រសិនបើនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ធាតុតែមួយនៃសំណុំ B នោះការគូសផែនទីត្រូវបានគេហៅថា មិនច្បាស់លាស់បើមិនដូច្នេះទេ មិនច្បាស់លាស់.
ការផ្លាស់ប្តូរសំណុំត្រូវបានគេហៅថាការគូសផែនទីមួយទៅមួយនៃសំណុំទៅលើខ្លួនវា
ការចាក់ថ្នាំ
ការចាក់ឬការធ្វើផែនទីពីមួយទៅមួយនៃសំណុំ A ដើម្បីកំណត់ B
(ធាតុផ្សេងគ្នានៃធាតុដែលត្រូវគ្នានឹងធាតុផ្សេងគ្នានៃ B) ឧទាហរណ៍ y=x^2
ការបាញ់ថ្នាំ
ការស្ទាបស្ទង់ ឬការគូសផែនទីនៃសំណុំ A ទៅលើសំណុំ B
សម្រាប់ B នីមួយៗ យ៉ាងហោចណាស់មាន A មួយ (ឧទាហរណ៍ ស៊ីនុស)
ធាតុនីមួយៗនៃសំណុំ B ត្រូវគ្នាទៅនឹងធាតុមួយនៃសំណុំ A. (ឧទាហរណ៍ y=x)
