ឧបករណ៍ដ៏មានអានុភាពមួយសម្រាប់សិក្សាបញ្ហានៃរូបវិទ្យាគណិតវិទ្យាគឺវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរអាំងតេក្រាល។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (a, 6) កំណត់ ឬគ្មានកំណត់។ ការបំប្លែងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ f (x) គឺជាអនុគមន៍ដែល K (x, w) គឺជាមុខងារដែលបានជួសជុលសម្រាប់ការបំប្លែងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថា ខឺណែលបំប្លែង (វាត្រូវបានសន្មត់ថា អាំងតេក្រាល (*) មាននៅក្នុងន័យត្រឹមត្រូវ ឬមិនត្រឹមត្រូវរបស់វា។ ) §មួយ។ អាំងតេក្រាល Fourier មុខងារណាមួយ f(x) ដែលនៅលើផ្នែក [-f, I] បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier អាចត្រូវបានតំណាងនៅលើផ្នែកនេះដោយស៊េរីត្រីកោណមាត្រ។ កូស៊ីនុស និងស៊ីនុសបំប្លែងអំព្លីទីត និងវិសាលគមដំណាក់កាល លក្ខណៈសម្បត្តិកម្មវិធី ស៊េរីនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការ (1) អាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នា។ ចំពោះគោលបំណងនេះ យើងណែនាំពីរូបមន្ត (2) តម្លៃនៃមេគុណ a» និង op ដោយបញ្ចូលអាំងតេក្រាល cos ^ x និង sin x (ដែលអាចធ្វើទៅបាន ចាប់តាំងពីអថេររួមបញ្ចូលគឺ m) O) និងការប្រើប្រាស់ រូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃភាពខុសគ្នា។ យើងនឹងមាន ប្រសិនបើអនុគមន៍ /(x) ត្រូវបានកំណត់ដំបូងនៅលើចន្លោះពេលនៃអ័ក្សលេខធំជាងចន្លោះ [-1,1] (ឧទាហរណ៍នៅលើអ័ក្សទាំងមូល) បន្ទាប់មកការពង្រីក (3) នឹងបង្កើតតម្លៃឡើងវិញ។ នៃអនុគមន៍នេះតែនៅលើចន្លោះពេល [-1, 1] ហើយបន្តនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូលជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេល 21 (រូបភាព 1)។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) (និយាយជាទូទៅ មិនមែនតាមកាលកំណត់) ត្រូវបានកំណត់នៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល ក្នុងរូបមន្ត (3) វាអាចព្យាយាមឆ្លងដល់ដែនកំណត់ដូច I + oo ។ ក្នុងករណីនេះ វាជារឿងធម្មតាទេដែលទាមទារលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមដើម្បីបំពេញ៖ 1. f(x) បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier នៅលើផ្នែកកំណត់ណាមួយនៃអ័ក្ស Ox 2. មុខងារ f(x) គឺពិតជា រួមបញ្ចូលនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទី 2 ពេញចិត្ត ពាក្យទីមួយនៅខាងស្តាំនៃសមភាព (3) មានទំនោរទៅសូន្យដូច I -* + oo ។ ជាការពិត ចូរយើងព្យាយាមបង្កើតអ្វីដែលផលបូកនៅខាងស្តាំដៃនៃ (3) នឹងទៅក្នុងដែនកំណត់ដូច I + oo ។ ចូរយើងសន្មតថា ផលបូកនៅខាងស្តាំដៃនៃ (3) នឹងយកទម្រង់ ដោយសារតែការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃអាំងតេក្រាល ផលបូកនេះសម្រាប់ធំ ខ្ញុំខុសគ្នាតិចតួចពីកន្សោមដែលស្រដៀងនឹងផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់មុខងារនៃ អថេរ £ ចងក្រងសម្រាប់ចន្លោះពេល (0, + oo) នៃការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះហើយ វាជាធម្មជាតិដែលរំពឹងថា ផលបូក (5) ទៅអាំងតេក្រាល С ម្យ៉ាងវិញទៀត សម្រាប់ថេរ) វាធ្វើតាមរូបមន្ត (3 ) ដែលយើងទទួលបានសមភាពផងដែរ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សុពលភាពនៃរូបមន្ត (7) ត្រូវបានបង្ហាញដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។ ទ្រឹស្តីបទ 1. ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) គឺអាចរួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូល ហើយរួមជាមួយនឹងដេរីវេរបស់វា មានចំនួនកំណត់នៃចំណុចមិនបន្តនៃប្រភេទទីមួយនៅលើផ្នែកណាមួយ [a, 6] បន្ទាប់មកនៃប្រភេទទី នៃអនុគមន៍ /(x) តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៅខាងស្តាំនៃ (7) គឺស្មើនឹងរូបមន្ត (7) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តអាំងតេក្រាល Fourier ហើយអាំងតេក្រាលនៅខាងស្តាំរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាល Fourier ។ ប្រសិនបើយើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ថ្ងៃនៃកូស៊ីនុសនៃភាពខុសគ្នា នោះរូបមន្ត (7) អាចត្រូវបានសរសេរជាមុខងារ a(t), b(t) គឺជា analogues នៃមេគុណ Fourier ដែលត្រូវគ្នា និង bn នៃ 2n-periodic អនុគមន៍ ប៉ុន្តែ​ក្រោយ​មក​ត្រូវ​បាន​កំណត់​សម្រាប់​តម្លៃ​ដាច់​ពី​គ្នា​នៃ n ខណៈ a(0> HO ត្រូវ​បាន​កំណត់​សម្រាប់​តម្លៃ​បន្ត​នៃ G(-oo, +oo)) ទម្រង់​ស្មុគស្មាញ​នៃ​អាំងតេក្រាល Fourier សន្មត​ថា f(x) ដើម្បីរួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្ស x ទាំងមូល យើងចាត់ទុកអាំងតេក្រាល ជាក់ស្តែងជាមុខងារសេសរបស់ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មក ម៉្យាងវិញទៀត អាំងតេក្រាលគឺជាមុខងារគូនៃអថេរ ដូច្នេះហើយ រូបមន្តអាំងតេក្រាល Fourier អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម។ ៖ ចូរយើងគុណសមភាពដោយឯកតាស្រមើលស្រមៃ i ហើយបន្ថែមទៅសមភាព (10) នេះជាទម្រង់ស្មុគស្មាញនៃអាំងតេក្រាល Fourier។ នៅទីនេះ ការរួមបញ្ចូលខាងក្រៅលើ t ត្រូវបានយល់ក្នុងន័យនៃតម្លៃចម្បង Cauchy: § 2 Fourier transforms Cosine និង sine Fourier transforms Let the func បន្ទាត់ f(x) មានភាពរលូនល្អនៅលើផ្នែកកំណត់ណាមួយនៃអ័ក្ស x ហើយអាចរួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សទាំងមូល។ និយមន័យ។ អនុគមន៍​ដែល​អាស្រ័យ​តាម​រូបមន្ត​របស់​អយល័រ យើង​នឹង​មាន​ឈ្មោះ​ថា​ការ​បំប្លែង Fourier នៃ​អនុគមន៍ f(r) (អនុគមន៍​វិសាលគម)។ នេះគឺជាការបំប្លែងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ / (r) នៅលើចន្លោះពេល (-oo, + oo) ជាមួយខឺណែលមួយ។ ដោយប្រើរូបមន្តអាំងតេក្រាល Fourier យើងទទួលបាននេះហៅថា បំលែង Fourier ច្រាស ដែលផ្តល់ការផ្លាស់ប្តូរពី F (t) ទៅ / (x) ។ ពេលខ្លះការបំប្លែង Fourier ដោយផ្ទាល់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដូចខាងក្រោម: បន្ទាប់មកការបំប្លែង Fourier ច្រាសត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត ការបំលែង Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) ក៏ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោមៈ FOURIER TRANSFORM អាំងតេក្រាល Fourier ទម្រង់ស្មុគ្រស្មាញនៃអាំងតេក្រាល Fourier transform Cosine និង sine នៃការផ្លាស់ប្តូរអំព្លីទីត និងវិសាលគមដំណាក់កាល លក្ខណសម្បត្តិកម្មវិធី បន្ទាប់មក នៅក្នុងវេន ក្នុងករណីនេះ ទីតាំងនៃកត្តា ^ គឺខុសជាង៖ វាអាចបញ្ចូលរូបមន្ត (1") ឬរូបមន្ត (2")។ ឧទាហរណ៍ 1. Find the Fourier transform of the function -4 We have This equality admits differentiation with respect to £ under the integral sign (អាំងតេក្រាលដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីភាពខុសគ្នា converges uniformly when ( belongs to any finite segment): ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក យើងនឹងមាន យើងទទួលបានពីកន្លែងណា (C គឺជាថេរនៃការរួមបញ្ចូល) ។ ការកំណត់£ = 0 ក្នុង (4) យើងរកឃើញ С = F (0) ។ ដោយគុណធម៌នៃ (3) យើងមានវាត្រូវបានគេស្គាល់ថាជាពិសេសសម្រាប់) យើងទទួលបាននោះ។ ចូរយើងពិចារណាអនុគមន៍ 4. សម្រាប់វិសាលគម oyu នៃអនុគមន៍ F(t) យើងទទួលបាន ហេតុនេះ (រូបទី 2)។ លក្ខខណ្ឌនៃអាំងតេក្រាលដាច់ខាតនៃអនុគមន៍ f(x) នៅលើអ័ក្សពិតទាំងមូលគឺតឹងរ៉ឹងណាស់។ ឧទាហរណ៍ វាមិនរាប់បញ្ចូលមុខងារបឋមដូចជា f(x) = e1 ដែល Fourier បំប្លែង (ក្នុងទម្រង់បុរាណដែលបានពិចារណានៅទីនេះ) មិនមានទេ។ មានតែមុខងារទាំងនោះប៉ុណ្ណោះដែលមានការបំប្លែង Fourier ដែលមានទំនោរទៅសូន្យលឿនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ |x| -+ +oo (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍ ១ និង ២)។ ២.១. កូស៊ីនុស និងស៊ីនុស Fourier បំប្លែង ដោយប្រើរូបមន្តកូស៊ីនុស ភាពខុសប្លែកគ្នា យើងសរសេររូបមន្តអាំងតេក្រាល Fourier ឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖ អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) ជាមុខងារគូ។ បន្ទាប់មក ដូច្នេះពីសមភាព (5) យើងមាន ក្នុងករណីសេស f(x) យើងទទួលបានដូចគ្នា ប្រសិនបើ f(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតែលើ (0, -foo) បន្ទាប់មករូបមន្ត (6) ពង្រីក f(x) ទៅអ័ក្សអុកទាំងមូលតាមរបៀបស្មើគ្នា និងរូបមន្ត (7) - សេស។ (7) និយមន័យ។ អនុគមន៍​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ការ​បំប្លែង​កូស៊ីនុស Fourier នៃ​អនុគមន៍ f(x)។ វាធ្វើតាមពី (6) ដែលសម្រាប់អនុគមន៍គូ f(x) មានន័យថា f(x) ជាការផ្លាស់ប្តូរកូស៊ីនុសសម្រាប់ Fc(t)។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត អនុគមន៍ / និង Fc គឺជាការផ្លាស់ប្តូរកូស៊ីនុសទៅវិញទៅមក។ និយមន័យ។ អនុគមន៍​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ការ​បំប្លែង​ស៊ីនុស Fourier នៃ​អនុគមន៍ f(x)។ ពី (7) យើងទទួលបានវាសម្រាប់មុខងារសេស f(x) ឧ។ f និង Fs គឺជាការបំប្លែងស៊ីនុសទៅវិញទៅមក។ ឧទាហរណ៍ទី 3 (ជីពចរមុំខាងស្តាំ) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ f(t) ជាអនុគមន៍គូដែលបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ (រូបទី 3)។ ចូរប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបានដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាល ដោយគុណធម៌នៃរូបមន្ត (9) យើងមាន Fig.3 0 0 នៅចំនុច t = 0 អនុគមន៍ f(t) គឺបន្ត និងស្មើមួយ។ ដូច្នេះពី (12") យើងទទួលបាន 2.2 អំព្លីទីត និងវិសាលគមដំណាក់កាលនៃអាំងតេក្រាល Fourier អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) ជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេល 2m ហើយពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ។ សមភាពនេះអាចត្រូវបានសរសេរនៅពេលយើងមកដល់ គោលគំនិតនៃទំហំ និងវិសាលគមដំណាក់កាលនៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ សម្រាប់អនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ f(x) ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើ (-oo, +oo) នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ វាប្រែថាអាចតំណាងវាដោយអាំងតេក្រាល Fourier ដែល ពង្រីកមុខងារនេះលើគ្រប់ប្រេកង់ទាំងអស់ (ការពង្រីកនៅក្នុងវិសាលគមប្រេកង់បន្ត និយមន័យ អនុគមន៍វិសាលគម ឬដង់ស៊ីតេវិសាលគមនៃអាំងតេក្រាល Fourier គឺជាកន្សោមមួយ (ការបំប្លែង Fourier ដោយផ្ទាល់នៃអនុគមន៍ f ត្រូវបានគេហៅថាវិសាលគមទំហំ និងមុខងារ Ф " ) = -argSfc) - វិសាលគមដំណាក់កាលនៃអនុគមន៍ / (") ។ វិសាលគម​ទំហំ A(t) បម្រើ​ជា​រង្វាស់​នៃ​ការ​រួម​ចំណែក​នៃ​ប្រេកង់ t ទៅ​មុខងារ /(x)។ ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកទំហំ និងវិសាលគមដំណាក់កាលនៃអនុគមន៍ 4 ស្វែងរកអនុគមន៍វិសាលគមពីទីនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 4. § 3 ។ Fourier transform properties 1. លីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើ និង G(0 គឺជាការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) និង g(x) រៀងៗខ្លួន នោះសម្រាប់ថេរណាមួយ និង p ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ a f(x) + p g(x) នឹងជាអនុគមន៍ a ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលីនេអ៊ែរនៃអាំងតេក្រាល យើងមាន ដូច្នេះ Fourier transform គឺជាប្រតិបត្តិករលីនេអ៊ែរ។ កំណត់វាដោយយើងនឹងសរសេរ។ ប្រសិនបើ F(t) គឺជាបំលែង Fourier នៃអនុគមន៍ f(x) ពិតជារួមបញ្ចូលគ្នានៅលើពិតទាំងមូល។ អ័ក្ស បន្ទាប់មក F(t) ត្រូវបានចងជាប់សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) រួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សទាំងមូល - ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ f (x)។ បន្ទាប់មក 3" flts J. សូម f (x) ជា អនុគមន៍មួយ ការអត់ឱនដែលជាការបំប្លែង Fourier L ជាចំនួននៃលក្ខណៈសម្បត្តិ។ អនុគមន៍ fh (x) \u003d f (z-h) ត្រូវបានគេហៅថាការផ្លាស់ប្តូរនៃ fundium f(x) ដោយប្រើនិយមន័យនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier បង្ហាញថា Problem.Let a function f(z) have a fourier transform F(0> h ជាចំនួនពិត។ បង្ហាញថា 3. Fourier transform and differentiation ooeresis.Let a absolutely integrable function f(x) has a derivative f " (x) ដែលអាចរួមបញ្ចូលយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្សទាំងមូល អូ ដូច្នេះ /(n) ទំនោរទៅសូន្យដូច |x| -» + អូ។ ដោយសន្មត់ថា f "(x) ជាអនុគមន៍រលោង យើងសរសេរការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក យើងមានពាក្យនៅខាងក្រៅ integral vanishes (ចាប់តាំងពី, ហើយយើងទទួលបានដូច្នេះភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ / (x) ត្រូវគ្នាទៅនឹងគុណនៃ Fourier របស់វា។ រូបភាព ^ P /] ដោយកត្តា ប្រសិនបើអនុគមន៍ f (x) មាននិស្សន្ទវត្ថុដែលអាចបំប្លែងបានយ៉ាងរលូនរហូតដល់បញ្ជា m រួមបញ្ចូល ហើយពួកវាទាំងអស់ដូចជាមុខងារ f(x) ខ្លួនវាមានទំនោរទៅសូន្យ ហើយបន្ទាប់មក រួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ ចំនួនដងដែលត្រូវការ យើងទទួលបាន Fourier transform គឺមានប្រយោជន៍យ៉ាងជាក់លាក់ព្រោះវាជំនួសប្រតិបត្តិការនៃភាពខុសគ្នាជាមួយនឹងប្រតិបត្តិការនៃគុណដោយតម្លៃមួយ ហើយដោយហេតុនេះជួយសម្រួលបញ្ហានៃការរួមបញ្ចូលប្រភេទមួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ចាប់តាំងពីការបំប្លែង Fourier នៃការពិតជា អនុគមន៍អាំងតេក្រាល f^k\x) គឺជាអនុគមន៍កំណត់ព្រំដែននៃ (លក្ខណសម្បត្តិ 2) ពីទំនាក់ទំនង (2) យើងទទួលបានការប៉ាន់ប្រមាណដូចខាងក្រោមសម្រាប់ : Fourier transform Fourier integral ទម្រង់អាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញ Fourier transform Cosine និង sine transforms amplitude and phase spectra លក្ខណៈសម្បត្តិកម្មវិធីពី ការវាយតម្លៃនេះជាមួយ ខាងក្រោមនេះ៖ មុខងារ f(x) កាន់តែច្រើនមាននិស្សន្ទវត្ថុរួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ ការបំលែង Fourier របស់វាកាន់តែលឿនទៅសូន្យ។ មតិយោបល់។ លក្ខខណ្ឌគឺមានលក្ខណៈធម្មជាតិ ចាប់តាំងពីទ្រឹស្ដីធម្មតានៃអាំងតេក្រាល Fourier ទាក់ទងនឹងដំណើរការដែលក្នុងន័យមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតមានការចាប់ផ្តើម និងបញ្ចប់ ប៉ុន្តែកុំបន្តដោយគ្មានកំណត់ជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេប្រហាក់ប្រហែល។ 4. ទំនាក់ទំនងរវាងអត្រាបំបែកនៃអនុគមន៍ f(x) សម្រាប់ |z| -» -f oo និងភាពរលូននៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourm របស់វា។ ចូរយើងសន្មត់ថាមិនត្រឹមតែ /(x) ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែផលិតផលរបស់វាផងដែរ xf(x) គឺជាមុខងារដែលអាចរួមបញ្ចូលបានយ៉ាងពិតប្រាកដនៅលើអ័ក្ស x ទាំងមូល។ បន្ទាប់មក Fourier transform) នឹងក្លាយជាមុខងារផ្សេងគ្នា។ ជាការពិតណាស់ ភាពខុសគ្នាជាផ្លូវការទាក់ទងនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ £ នៃអាំងតេក្រាល នាំទៅរកអាំងតេក្រាលមួយដែលជាដាច់ខាត និងស្មើភាពគ្នាដោយគោរពតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ប្រសិនបើរួមជាមួយនឹងអនុគមន៍ f(x) មុខងារគឺពិតជាអាចរួមបញ្ចូលបាននៅលើអ័ក្សអុកទាំងមូល នោះដំណើរការនៃភាពខុសគ្នាអាចត្រូវបានបន្ត។ យើងទទួលបានថាអនុគមន៍មាននិស្សន្ទវត្ថុដើម្បីបញ្ជា m រួមបញ្ចូល ហើយដូច្នេះ អនុគមន៍ f(x) កាន់តែលឿន អនុគមន៍កាន់តែរលោង។ ទ្រឹស្តីបទ 2 (អំពីសមយុទ្ធ)។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ /,(x) និង f2(x) រៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកអាំងតេក្រាលទ្វេនៅខាងស្តាំដៃនឹងបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ។ តោះដាក់ x ។ បន្ទាប់មកយើងនឹងមាន ឬផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃការរួមបញ្ចូលមុខងារត្រូវបានគេហៅថា convolution នៃអនុគមន៍ ហើយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញារូបមន្ត (1) ឥឡូវនេះអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: ពីនេះវាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាការផ្លាស់ប្តូរ Fourier នៃ convolution នៃអនុគមន៍ f\(x) និង f2(x) គឺស្មើនឹងគុណនឹង y/2x ផលិតផលនៃការបំប្លែង Fourier នៃមុខងារដែលអាចបត់បាន ចំណាំ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្កើតលក្ខណៈដូចខាងក្រោមនៃ convolution: 1) linearity: 2) commutativity: §4 ។ កម្មវិធីនៃការបំលែង Fourier 1. អនុញ្ញាតឱ្យ Р(^) ជាប្រតិបត្តិករឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ m ជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ y(x) មានបំលែង Fourier y (O. ហើយអនុគមន៍ f(x) មានបំលែង /(t) ការអនុវត្តការបំប្លែង Fourier ទៅជាសមីការ (1) យើងទទួលបានជំនួសឱ្យសមីការពិជគណិតឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅលើអ័ក្សដោយគោរពទៅកន្លែងណា ដូច្នេះជាផ្លូវការដែលជាកន្លែងដែលនិមិត្តសញ្ញាតំណាងឱ្យការបំប្លែង Fourier ច្រាស ការកំណត់សំខាន់នៃការអនុវត្តនៃវិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយដូចខាងក្រោម។ ការពិត៖ ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាដែលមានមេគុណថេរមានមុខងារនៃទម្រង់< х < 4-оо, и преобразование Фурье для них не определено, так что, строго говоря, применятьданный метод нельзя. Это ограничение можно обойти, если ввести в рассмотрение так называемые обобщенные функции. Однако в ряде случаев преобразование Фурье все же применимо в своей классической форме. Пример. Найти решение а = а(х, t) уравнения (а = const), при начальных условиях Это - задача о свободных колебаниях бесконечной однородной струны, когда задано начальное отклонение <р(х) точек сгруны, а начальные скорости отсутствуют. 4 Поскольку пространственная переменная х изменяется в пределах от -оо до +оо, подвергнем уравнение и начальные условия преобразованию Фурье по переменной х. Будем предполагать, что 1) функции и(х, t) и

ខ្ញុំជឿថា មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងជាទូទៅអំពីអត្ថិភាពនៃឧបករណ៍គណិតវិទ្យាដ៏អស្ចារ្យ ដូចជាការបំប្លែង Fourier ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងសាកលវិទ្យាល័យ ដោយសារហេតុផលមួយចំនួន វាត្រូវបានបង្រៀនយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរ ដែលមានមនុស្សតិចតួចប៉ុណ្ណោះដែលយល់ពីរបៀបដែលការផ្លាស់ប្តូរនេះដំណើរការ និងរបៀបដែលវាគួរតែត្រូវបានប្រើឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ទន្ទឹមនឹងនេះ គណិតវិទ្យានៃការផ្លាស់ប្តូរនេះគឺគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើល ស្រស់ស្អាត សាមញ្ញ និងឆើតឆាយ។ ខ្ញុំសូមអញ្ជើញអ្នកគ្រប់គ្នាឱ្យស្វែងយល់បន្ថែមបន្តិចអំពីការផ្លាស់ប្តូរ Fourier និងប្រធានបទពាក់ព័ន្ធអំពីរបៀបដែលសញ្ញាអាណាឡូកអាចត្រូវបានបំប្លែងយ៉ាងមានប្រសិទ្ធភាពទៅជាឌីជីថលសម្រាប់ដំណើរការគណនា។

ដោយមិនប្រើរូបមន្តស្មុគស្មាញ និង matlab ខ្ញុំនឹងព្យាយាមឆ្លើយសំណួរខាងក្រោម៖

• FT, DTF, DTFT - តើអ្វីជាភាពខុសគ្នា ហើយតើរូបមន្តដែលហាក់ដូចជាខុសគ្នាទាំងស្រុងផ្តល់លទ្ធផលស្រដៀងគ្នាតាមគំនិតយ៉ាងដូចម្តេច?
• របៀបបកស្រាយលទ្ធផល Fast Fourier Transform (FFT) ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ
• អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើសញ្ញានៃគំរូ 179 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយ FFT តម្រូវឱ្យមានលំដាប់នៃប្រវែងស្មើនឹងថាមពលនៃពីរជាការបញ្ចូល
• ហេតុអ្វីបានជានៅពេលព្យាយាមទទួលបានវិសាលគមនៃ sinusoid ដោយប្រើ Fourier ជំនួសឱ្យ "ដំបង" តែមួយដែលរំពឹងទុកនោះ squiggle ចម្លែកចេញមកនៅលើក្រាហ្វនិងអ្វីដែលអាចធ្វើបានអំពីវា
• ហេតុអ្វីបានជាតម្រងអាណាឡូកត្រូវបានដាក់មុន ADC និងបន្ទាប់ពី DAC
• តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វើឌីជីថលសញ្ញា ADC ដែលមានប្រេកង់ខ្ពស់ជាងពាក់កណ្តាលនៃអត្រាគំរូ (ចម្លើយរបស់សាលាមិនត្រឹមត្រូវ ចម្លើយត្រឹមត្រូវគឺអាចធ្វើទៅបាន)
• របៀបដែលលំដាប់ឌីជីថលស្ដារឡើងវិញនូវសញ្ញាដើម

ខ្ញុំនឹងបន្តពីការសន្មត់ថាអ្នកអានយល់ពីអ្វីដែលអាំងតេក្រាលគឺ ជាចំនួនកុំផ្លិច (ក៏ដូចជាម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់របស់វា) ការរួបរួមនៃមុខងារ បូកយ៉ាងហោចណាស់ "នៅលើម្រាមដៃ" ស្រមៃមើលថាតើមុខងារដីសណ្តរបស់ Dirac ជាអ្វី។ មិនដឹង - វាមិនសំខាន់ទេ អានតំណភ្ជាប់ខាងលើ។ តាមរយៈ "ផលិតផលនៃមុខងារ" នៅក្នុងអត្ថបទនេះ ខ្ញុំនឹងតែងតែមានន័យថា "គុណនឹងចំណុច"

យើងប្រហែលជាចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការពិតដែលថាការបំលែង Fourier ធម្មតាគឺជាប្រភេទនៃវត្ថុមួយចំនួន ដូចដែលអ្នកអាចទាយពីឈ្មោះ បំលែងមុខងារមួយទៅជាមុខងារមួយទៀត ពោលគឺផ្តល់ទៅឱ្យមុខងារនីមួយៗនៃអថេរពិតប្រាកដ x (t) វិសាលគមរបស់វា។ ឬរូបភាព Fourier y (w):

ប្រសិនបើយើងផ្តល់ភាពស្រដៀងគ្នា នោះឧទាហរណ៍នៃការបំប្លែងស្រដៀងគ្នាក្នុងអត្ថន័យអាចជាឧទាហរណ៍ ភាពខុសគ្នា ដែលប្រែក្លាយមុខងារទៅជាដេរីវេរបស់វា។ នោះគឺជាការបំប្លែង Fourier តាមការពិត ប្រតិបត្តិការដូចគ្នានឹងការយកដេរីវេដែរ ហើយជារឿយៗវាត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា ដោយគូរ "មួក" រាងត្រីកោណលើមុខងារ។ មិនដូចភាពខុសគ្នាទេ ដែលអាចកំណត់បានសម្រាប់ចំនួនពិត ការបំប្លែង Fourier តែងតែ "ដំណើរការ" ជាមួយនឹងចំនួនកុំផ្លិចទូទៅជាង។ ដោយសារតែនេះ បញ្ហាកើតឡើងឥតឈប់ឈរជាមួយនឹងការបង្ហាញលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរនេះ ចាប់តាំងពីចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ដោយមិនមែនមួយ ប៉ុន្តែដោយកូអរដោនេពីរនៅលើក្រាហ្វដែលដំណើរការជាមួយចំនួនពិត។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុត ជាក្បួនគឺតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិច ជាម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់ ហើយគូរពួកវាជាក្រាហ្វពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នា៖

ក្រាហ្វនៃអំណះអំណាងនៃតម្លៃស្មុគ្រស្មាញត្រូវបានសំដៅជាញឹកញាប់ក្នុងករណីនេះថាជា "វិសាលគមដំណាក់កាល" ហើយក្រាហ្វនៃម៉ូឌុលត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ "វិសាលគមទំហំ" ។ វិសាលគមទំហំ ជាក្បួនមានការចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំងជាង ហើយដូច្នេះផ្នែក "ដំណាក់កាល" នៃវិសាលគមត្រូវបានរំលងជាញឹកញាប់។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងក៏នឹងផ្តោតលើរឿង "ទំហំ" ផងដែរ ប៉ុន្តែយើងមិនគួរភ្លេចអំពីអត្ថិភាពនៃផ្នែកដែលបាត់នៃក្រាហ្វនោះទេ។ លើសពីនេះទៀតជំនួសឱ្យម៉ូឌុលធម្មតានៃតម្លៃស្មុគស្មាញ លោការីតគុណនឹង 10 ត្រូវបានគូរជាញឹកញាប់។ លទ្ធផលគឺជាគ្រោងលោការីត តម្លៃដែលត្រូវបានបង្ហាញជា decibels (dB) ។

សូមចំណាំថាមិនមែនលេខអវិជ្ជមានខ្លាំងនៃក្រាហ្វលោការីត (-20 dB ឬតិចជាង) ក្នុងករណីនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងលេខស្ទើរតែសូន្យនៅលើក្រាហ្វ "ធម្មតា" ។ ដូច្នេះ "កន្ទុយ" វែងនិងធំទូលាយនៃវិសាលគមផ្សេងៗគ្នានៅលើក្រាហ្វបែបនេះនៅពេលដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងកូអរដោនេ "ធម្មតា" ជាក្បួនបាត់ទៅវិញ។ ភាពងាយស្រួលនៃការតំណាងដែលហាក់ដូចជាចម្លែកបែបនេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាការបំប្លែង Fourier នៃមុខងារផ្សេងៗជារឿយៗចាំបាច់ត្រូវគុណគ្នាទៅវិញទៅមក។ ជាមួយនឹងគុណតម្លៃនៃរូបភាព Fourier ដ៏ស្មុគស្មាញបែបនេះ វិសាលគមដំណាក់កាលរបស់ពួកគេត្រូវបានបន្ថែម ហើយវិសាលគមទំហំរបស់ពួកគេត្រូវបានគុណ។ ទីមួយគឺងាយស្រួលធ្វើ ចំណែកទីពីរគឺពិបាកបន្តិច។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លោការីតនៃអំព្លីទីតត្រូវបានបន្ថែមនៅពេលគុណទំហំ ដូច្នេះក្រាហ្វអំព្លីតលោការីតអាចដូចជាក្រាហ្វដំណាក់កាលដែរ គ្រាន់តែបន្ថែមចំណុចដោយចំណុច។ លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងវាងាយស្រួលជាងក្នុងប្រតិបត្តិការមិនមែនជាមួយ "ទំហំ" នៃសញ្ញានោះទេប៉ុន្តែជាមួយនឹង "ថាមពល" របស់វា (ការ៉េនៃទំហំ) ។ នៅលើមាត្រដ្ឋានលោការីត ក្រាហ្វទាំងពីរ (ទាំងទំហំ និងថាមពល) មើលទៅដូចគ្នាបេះបិទ និងខុសគ្នាតែនៅក្នុងមេគុណប៉ុណ្ណោះ - តម្លៃទាំងអស់នៅលើក្រាហ្វថាមពលគឺពិតជាធំជាងទ្វេដងលើមាត្រដ្ឋានអំព្លីទីត។ អាស្រ័យហេតុនេះ ដើម្បីរៀបចំការចែកចាយប្រេកង់នៃថាមពល (គិតជា decibels) អ្នកមិនអាចការ៉េអ្វីទាំងអស់ ប៉ុន្តែត្រូវគណនាលោការីតទសភាគ ហើយគុណវាដោយ 20 ។

តើអ្នកធុញទេ? រង់ចាំបន្តិចទៀត ជាមួយនឹងផ្នែកអផ្សុកនៃអត្ថបទដែលពន្យល់ពីរបៀបបកស្រាយតារាង យើងនឹងបញ្ចប់ក្នុងពេលឆាប់ៗនេះ :) ប៉ុន្តែមុននោះ រឿងសំខាន់មួយដែលត្រូវយល់គឺថា ទោះបីជាប្លង់វិសាលគមទាំងអស់ខាងលើត្រូវបានគូរសម្រាប់ជួរតម្លៃមានកំណត់មួយចំនួន (ជាពិសេសលេខវិជ្ជមានក៏ដោយ) ឡូត៍ទាំងអស់នេះពិតជាបន្តទៅជាបូក និងដកគ្មានដែនកំណត់។ គ្រោងគ្រាន់តែបង្ហាញផ្នែក "មានអត្ថន័យបំផុត" មួយចំនួននៃគ្រោង ដែលជាធម្មតាត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងសម្រាប់តម្លៃអវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ហើយជារឿយៗកើតឡើងម្តងម្កាលក្នុងការកើនឡើងនៅពេលមើលលើមាត្រដ្ឋានធំជាង។

ដោយបានសម្រេចចិត្តលើអ្វីដែលគូរនៅលើក្រាហ្វ សូមត្រលប់ទៅ Fourier បំលែងខ្លួនវា និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ មានវិធីផ្សេងគ្នាជាច្រើនដើម្បីកំណត់ការបំប្លែងនេះ ខុសគ្នាក្នុងព័ត៌មានលម្អិតតូចៗ (ការធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈធម្មតាខុសគ្នា)។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសាកលវិទ្យាល័យរបស់យើង ដោយសារហេតុផលមួយចំនួន ពួកគេតែងតែប្រើការធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈធម្មតានៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier ដែលកំណត់វិសាលគមក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប្រេកង់មុំ (រ៉ាដ្យង់ក្នុងមួយវិនាទី)។ ខ្ញុំនឹងប្រើរូបមន្តលោកខាងលិចដែលងាយស្រួលជាង ដែលកំណត់វិសាលគមក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃប្រេកង់ធម្មតា (hertz)។ ការបំប្លែង Fourier ដោយផ្ទាល់ និងបញ្ច្រាសក្នុងករណីនេះត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្តនៅខាងឆ្វេង ហើយលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃការផ្លាស់ប្តូរនេះដែលយើងត្រូវការគឺជាបញ្ជីនៃធាតុប្រាំពីរនៅខាងស្តាំ៖

ទីមួយនៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះគឺលីនេអ៊ែរ។ ប្រសិនបើយើងទទួលយកការបញ្ចូលគ្នានៃមុខងារលីនេអ៊ែរមួយចំនួន នោះការបំប្លែង Fourier នៃការរួមបញ្ចូលគ្នានេះនឹងក្លាយជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរដូចគ្នានៃរូបភាព Fourier នៃមុខងារទាំងនេះ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះអនុញ្ញាតឱ្យមនុស្សម្នាក់កាត់បន្ថយមុខងារស្មុគស្មាញ និងការបំប្លែង Fourier របស់ពួកគេទៅជាសាមញ្ញជាង។ ជាឧទាហរណ៍ ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ sinusoidal ជាមួយនឹងប្រេកង់ f និងអំព្លីទីត a គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃអនុគមន៍ដីសណ្តពីរដែលមានទីតាំងនៅចំណុច f និង -f និងជាមួយមេគុណ a/2៖

ប្រសិនបើយើងយកអនុគមន៍ដែលមានផលបូកនៃសំណុំនៃ sinusoids ដែលមានប្រេកង់ខុសៗគ្នានោះ យោងទៅតាមលក្ខណសម្បត្តិលីនេអ៊ែរ ការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍នេះនឹងមានសំណុំអនុគមន៍ដីសណ្តដែលត្រូវគ្នា។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្តល់នូវភាពឆោតល្ងង់ ប៉ុន្តែការបកស្រាយដែលមើលឃើញនៃវិសាលគមនេះបើយោងតាមគោលការណ៍ "ប្រសិនបើនៅក្នុងវិសាលគមនៃប្រេកង់មុខងារ f ត្រូវគ្នាទៅនឹងទំហំ a នោះមុខងារដើមអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃ sinusoids ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះនឹង ជា sinusoid ដែលមានប្រេកង់ f និង amplitude 2a”។ និយាយយ៉ាងតឹងរឹង ការបកស្រាយនេះគឺមិនត្រឹមត្រូវទេ ដោយសារមុខងារដីសណ្ត និងចំណុចនៅលើក្រាហ្វគឺជារឿងខុសគ្នាទាំងស្រុង ប៉ុន្តែដូចដែលយើងនឹងឃើញបន្ថែមទៀត សម្រាប់ការបំប្លែង Fourier ដាច់ដោយឡែក វានឹងមិនឆ្ងាយពីការពិតនោះទេ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier គឺឯករាជ្យនៃវិសាលគមទំហំពីការផ្លាស់ប្តូរពេលវេលានៃសញ្ញា។ ប្រសិនបើយើងផ្លាស់ទីមុខងារទៅឆ្វេង ឬស្តាំតាមអ័ក្ស x នោះមានតែវិសាលគមដំណាក់កាលរបស់វានឹងផ្លាស់ប្តូរ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទីបី - ការលាតសន្ធឹង (ការបង្ហាប់) នៃមុខងារដើមតាមអ័ក្សពេលវេលា (x) បង្រួមសមាមាត្រ (លាតសន្ធឹង) បំលែង Fourier របស់វាតាមមាត្រដ្ឋានប្រេកង់ (w) ។ ជាពិសេស វិសាលគមនៃសញ្ញានៃរយៈពេលកំណត់គឺតែងតែធំទូលាយគ្មានដែនកំណត់ ហើយផ្ទុយទៅវិញ វិសាលគមនៃទទឹងកំណត់តែងតែត្រូវគ្នាទៅនឹងសញ្ញានៃរយៈពេលគ្មានដែនកំណត់។

លក្ខណៈសម្បត្តិទីបួន និងទីប្រាំ ប្រហែលជាមានប្រយោជន៍បំផុតទាំងអស់។ ពួកគេធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកាត់បន្ថយការបង្រួបបង្រួមនៃមុខងារទៅនឹងការគុណចំណុចនៃការបំប្លែង Fourier របស់ពួកគេ និងច្រាសមកវិញ - គុណលក្ខណៈនៃមុខងារទៅនឹងការបង្រួបបង្រួមនៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier របស់ពួកគេ។ បន្តិចទៀតខ្ញុំនឹងបង្ហាញពីភាពងាយស្រួល។

ទ្រព្យសម្បត្តិទីប្រាំមួយនិយាយអំពីស៊ីមេទ្រីនៃរូបភាព Fourier ។ ជាពិសេស វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិនេះដែលនៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរ Fourier នៃអនុគមន៍តម្លៃពិត (ឧ. សញ្ញា "ពិត" ណាមួយ) វិសាលគមទំហំគឺតែងតែជាមុខងារស្មើគ្នា និងវិសាលគមដំណាក់កាល (ប្រសិនបើកាត់បន្ថយដល់ជួរ -pi.. .pi) គឺសេស។ វាគឺសម្រាប់ហេតុផលនេះដែលផ្នែកអវិជ្ជមាននៃវិសាលគមស្ទើរតែមិនដែលគូរនៅលើក្រាហ្វវិសាលគម - សម្រាប់សញ្ញាតម្លៃពិតប្រាកដវាមិនផ្តល់ព័ត៌មានថ្មីណាមួយទេ (ប៉ុន្តែខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតវាមិនសូន្យទេ) ។

ជាចុងក្រោយ ទ្រព្យសម្បត្តិទីប្រាំពីរចុងក្រោយ និយាយថា ការផ្លាស់ប្តូរ Fourier រក្សា "ថាមពល" នៃសញ្ញា។ វាមានអត្ថន័យសម្រាប់តែសញ្ញានៃរយៈពេលកំណត់ប៉ុណ្ណោះ ដែលជាថាមពលដែលមានកំណត់ ហើយនិយាយថាវិសាលគមនៃសញ្ញាបែបនេះនៅកម្រិតគ្មានកំណត់គឺជិតដល់សូន្យយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ វាច្បាស់ណាស់ដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិនេះដែលតាមក្បួនមានតែផ្នែក "សំខាន់" នៃសញ្ញាត្រូវបានបង្ហាញនៅលើក្រាហ្វវិសាលគមដែលផ្ទុកចំណែកថាមពលរបស់សត្វតោ - ក្រាហ្វដែលនៅសល់មានទំនោរទៅសូន្យ (ប៉ុន្តែម្តងទៀត មិនមែនសូន្យទេ)។

ប្រដាប់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិទាំង 7 យ៉ាងនេះ តោះមើលគណិតវិទ្យានៃ "ការបំប្លែងលេខ" សញ្ញាដើម្បីបកប្រែសញ្ញាបន្តទៅជាលំដាប់នៃខ្ទង់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវយកមុខងារដែលគេស្គាល់ថា "Dirac comb"៖

សិតសក់ Dirac គឺគ្រាន់តែជាលំដាប់តាមកាលកំណត់នៃអនុគមន៍ដីសណ្តរួបរួម ដោយចាប់ផ្តើមពីសូន្យ ហើយបន្តទៅជំហាន T។ ដើម្បីឌីជីថលសញ្ញា T ត្រូវបានជ្រើសរើសឱ្យតូចតាមដែលអាចធ្វើបាន T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

ជំនួសឱ្យមុខងារបន្តបន្ទាប់បន្សំបែបនេះ លំដាប់នៃជីពចរដីសណ្តដែលមានកម្ពស់ជាក់លាក់មួយត្រូវបានទទួល។ ក្នុងករណីនេះយោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិទី 5 នៃការផ្លាស់ប្តូរ Fourier វិសាលគមនៃសញ្ញាដាច់ពីគ្នាជាលទ្ធផលគឺជាការបង្រួបបង្រួមនៃវិសាលគមដើមជាមួយនឹងសិតសក់ Dirac ដែលត្រូវគ្នា។ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយល់ថា ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ convolution វិសាលគមនៃសញ្ញាដើមគឺដូចដែលវាត្រូវបាន "ចម្លង" ចំនួនដងគ្មានកំណត់តាមអ័ក្សប្រេកង់ដែលមានជំហាន 1/T ហើយបន្ទាប់មកសង្ខេប។ .

សូមចំណាំថា ប្រសិនបើវិសាលគមដើមមានទទឹងកំណត់ ហើយយើងបានប្រើអត្រាគំរូខ្ពស់គ្រប់គ្រាន់ នោះច្បាប់ចម្លងនៃវិសាលគមដើមនឹងមិនត្រួតលើគ្នាទេ ដូច្នេះហើយនឹងមិនត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមកទេ។ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយល់ថាវានឹងងាយស្រួលក្នុងការស្តារវិសាលគមដើមពីវិសាលគម "បត់" បែបនេះ - វានឹងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយកសមាសធាតុនៃវិសាលគមនៅក្នុងតំបន់សូន្យ "កាត់ផ្តាច់" ច្បាប់ចម្លងបន្ថែមដែលទៅ។ ទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ វិធីសាមញ្ញបំផុតក្នុងការធ្វើនេះគឺត្រូវគុណវិសាលគមដោយអនុគមន៍ចតុកោណស្មើនឹង T ក្នុងជួរ -1/2T...1/2T និងសូន្យនៅខាងក្រៅជួរនេះ។ ការបំប្លែង Fourier ស្រដៀងគ្នាត្រូវគ្នាទៅនឹងអនុគមន៍ sinc (Tx) ហើយយោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិ 4 ការគុណបែបនេះគឺស្មើនឹងការបង្រួបបង្រួមនៃលំដាប់ដើមនៃអនុគមន៍ដីសណ្តជាមួយអនុគមន៍ sinc(Tx)

នោះគឺដោយប្រើការបំប្លែង Fourier យើងទទួលបានវិធីយ៉ាងងាយស្រួលស្តារសញ្ញាដើមពីគំរូពេលវេលា ដែលដំណើរការបានផ្តល់ឱ្យយើងនូវប្រេកង់គំរូដែលមានយ៉ាងហោចណាស់ពីរដង (ដោយសារតែវត្តមាននៃប្រេកង់អវិជ្ជមាននៅក្នុងវិសាលគម។ ) ប្រេកង់អតិបរមាដែលមានវត្តមាននៅក្នុងសញ្ញាដើម។ លទ្ធផលនេះត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងទូលំទូលាយហើយត្រូវបានគេហៅថាទ្រឹស្តីបទ Kotelnikov / Shannon-Nyquist ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដូចដែលវាងាយស្រួលមើលឥឡូវនេះ (ការយល់ដឹងអំពីភស្តុតាង) លទ្ធផលនេះ ផ្ទុយទៅនឹងការយល់ខុសដែលរីករាលដាល កំណត់ គ្រប់គ្រាន់ប៉ុន្តែមិនមែនទេ។ ចាំបាច់លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការស្តារសញ្ញាដើម។ អ្វីដែលយើងត្រូវការគឺដើម្បីធានាថាផ្នែកនៃវិសាលគមនៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងបន្ទាប់ពីការយកគំរូតាមសញ្ញានោះមិនត្រួតលើគ្នាទេ ហើយប្រសិនបើសញ្ញាមានកម្រិតតូចចង្អៀតគ្រប់គ្រាន់ (មាន "ទទឹង" តូចមួយនៃផ្នែកមិនសូន្យនៃ វិសាលគម) បន្ទាប់មកលទ្ធផលនេះច្រើនតែអាចសម្រេចបានសូម្បីតែក្នុងអត្រាគំរូទាបជាងពីរដងនៃប្រេកង់សញ្ញាអតិបរមា។ បច្ចេកទេសនេះត្រូវបានគេហៅថា "undersampling" (subsampling, bandpass sampling) ហើយត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងដំណើរការនៃរលកសញ្ញាវិទ្យុគ្រប់ប្រភេទ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងយកវិទ្យុ FM ដែលដំណើរការក្នុងប្រេកង់ពី 88 ដល់ 108 MHz នោះ ADC ដែលមានប្រេកង់ត្រឹមតែ 43.5 MHz អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីឌីជីថលវាជំនួសឱ្យ 216 MHz ដែលសន្មតដោយទ្រឹស្តីបទ Kotelnikov ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយក្នុងករណីនេះអ្នកត្រូវការ ADC ដែលមានគុណភាពខ្ពស់និងតម្រងដ៏ល្អ។

ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថា "ការចម្លង" នៃប្រេកង់ខ្ពស់ដោយប្រេកង់នៃការបញ្ជាទិញទាប (ការហៅឈ្មោះក្លែងក្លាយ) គឺជាទ្រព្យសម្បត្តិផ្ទាល់នៃគំរូសញ្ញា ដោយមិនអាចត្រឡប់វិញ "បំផ្លាញ" លទ្ធផល។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើសញ្ញានោះ ជាគោលការណ៍អាចមានប្រេកង់លំដាប់ខ្ពស់ (ដែលស្ទើរតែជានិច្ចកាល) តម្រងអាណាឡូកត្រូវបានដាក់នៅពីមុខ ADC ដែល "កាត់ផ្តាច់" អ្វីៗទាំងអស់ដែលហួសហេតុដោយផ្ទាល់នៅក្នុងសញ្ញាដើម (ចាប់តាំងពីវានឹង យឺតពេលក្នុងការធ្វើដូចនេះបន្ទាប់ពីការយកគំរូ)។ លក្ខណៈនៃតម្រងទាំងនេះ ដូចជាឧបករណ៍អាណាឡូកគឺមិនល្អទេ ដូច្នេះ "ការខូចខាត" មួយចំនួននៃសញ្ញានៅតែកើតឡើង ហើយនៅក្នុងការអនុវត្តវាកើតឡើងថា ប្រេកង់ខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងវិសាលគមជាធម្មតាមិនគួរឱ្យទុកចិត្ត។ ដើម្បីកាត់បន្ថយបញ្ហានេះ វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេក្នុងការយកគំរូសញ្ញាក្នុងអត្រាគំរូមួយ ខណៈពេលដែលកំណត់តម្រងបញ្ចូលអាណាឡូកទៅជាកម្រិតបញ្ជូនទាប ហើយប្រើតែផ្នែកខាងក្រោមនៃជួរប្រេកង់ដែលមានតាមទ្រឹស្តីរបស់ ADC ប៉ុណ្ណោះ។

ការយល់ខុសទូទៅមួយទៀតគឺនៅពេលដែលសញ្ញានៅទិន្នផលរបស់ DAC ត្រូវបានគូរនៅក្នុង "ជំហាន" ។ "ជំហាន" ទាក់ទងទៅនឹងការបង្រួបបង្រួមនៃលំដាប់គំរូនៃសញ្ញាដែលមានមុខងារចតុកោណនៃទទឹង T និងកម្ពស់ 1:

ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះ វិសាលគមសញ្ញាត្រូវបានគុណដោយការបំប្លែង Fourier នៃអនុគមន៍ចតុកោណកែងនេះ ហើយសម្រាប់មុខងារចតុកោណកែងដែលស្រដៀងគ្នានេះវាម្តងទៀត sinc(w) "លាតសន្ធឹង" កាន់តែខ្លាំង ទទឹងរបស់ចតុកោណកែងតូចជាង។ វិសាលគមនៃសញ្ញាគំរូដែលមាន "DAC" ស្រដៀងគ្នាត្រូវបានគុណនឹងវិសាលគមនេះ។ ក្នុងករណីនេះ ប្រេកង់ខ្ពស់ដែលមិនចាំបាច់ជាមួយ "ច្បាប់ចម្លងបន្ថែម" នៃវិសាលគមមិនត្រូវបានកាត់ផ្តាច់ទាំងស្រុងទេ ហើយផ្នែកខាងលើនៃផ្នែក "មានប្រយោជន៍" នៃវិសាលគម ផ្ទុយទៅវិញ ត្រូវបានចុះខ្សោយ។

នៅក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែងគ្មាននរណាម្នាក់ធ្វើបែបនេះទេ។ មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាជាច្រើនក្នុងការកសាង DAC ប៉ុន្តែសូម្បីតែនៅក្នុងប្រភេទទម្ងន់ស្រដៀងគ្នាបំផុត DACs ផ្ទុយទៅវិញ ជីពចរចតុកោណនៅក្នុង DAC ត្រូវបានជ្រើសរើសឱ្យខ្លីតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន (ជិតដល់លំដាប់ពិតប្រាកដនៃមុខងារដីសណ្ត) ដើម្បីជៀសវាងការគាបសង្កត់ដែលមិនចាំបាច់។ នៃផ្នែកដែលមានប្រយោជន៍នៃវិសាលគម។ ប្រេកង់ "បន្ថែម" នៅក្នុងលទ្ធផលសញ្ញា broadband ស្ទើរតែតែងតែត្រូវបានបង្អាក់ដោយការបញ្ជូនសញ្ញាតាមរយៈ analog low-pass filter ដូច្នេះមិនមាន "ជំហានឌីជីថល" ទាំង "ខាងក្នុង" កម្មវិធីបម្លែង ឬលើសពីនេះទៅទៀតនៅទិន្នផលរបស់វា។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចូរយើងត្រលប់ទៅ Fourier transform វិញ។ ការបំប្លែង Fourier ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើបានអនុវត្តចំពោះលំដាប់គំរូមុននៃសញ្ញាត្រូវបានគេហៅថា Discrete Time Fourier Transform (DTFT) ។ វិសាលគមដែលទទួលបានដោយការបំប្លែងបែបនេះគឺតែងតែជា 1/T-periodic ដូច្នេះវិសាលគម DTFT ត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុងដោយតម្លៃរបស់វានៅលើផ្នែក)