ធម្មទេសនា ៩

ធរណីមាត្រវិភាគក្នុងលំហ។

សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ។

និយមន័យ។ យន្តហោះផ្ទៃមួយត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចទាំងអស់ដែលបំពេញសមីការទូទៅ៖

អ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0,

ដែល A, B, C គឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ -vector ធម្មតា។ទៅយន្តហោះ។

ករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

A \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក

B \u003d 0 - យន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy

C \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oz

D = 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

A \u003d B \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ xOy

A \u003d C \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ xOz

B = C = 0 - យន្តហោះស្របទៅនឹងយន្តហោះ yOz

A \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សអុក

B \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សអូយ

C \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស Oz

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ xOy

A = C = D = 0 - យន្តហោះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ xOz

B = C = D = 0 - យន្តហោះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ yOz

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច។

ដើម្បីអោយយន្តហោះតែមួយគូរកាត់ចំនុចបីណាមួយក្នុងលំហ នោះវាចាំបាច់ណាស់ដែលចំនុចទាំងនេះមិនត្រូវស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយនោះទេ។

ពិចារណាចំណុច M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។

ដើម្បីឱ្យចំណុចបំពាន M(x, y, z) ស្ថិតនៅលើប្លង់តែមួយជាមួយចំនុច M 1, M 2, M 3 នោះវាចាំបាច់ណាស់ដែលវ៉ិចទ័រ
គឺ coplanar i.e. ផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេ៖

(
) = 0

ដូច្នេះ

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច៖

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចពីរស្របគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ។

សូម​ឱ្យ​ពិន្ទុ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) និង​វ៉ិចទ័រ
.

ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 1 និង M 2 និងចំណុចបំពាន M (x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ .

វ៉ិចទ័រ
និងវ៉ិចទ័រ
ត្រូវតែជា coplanar, i.e.

(
) = 0

សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រពីរ។

សូមឱ្យវ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
និង
, យន្តហោះ collinear និងចំណុច M 1 (x 1, y 1, z 1) ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ វ៉ិចទ័រ
ត្រូវតែជា coplanar ។

សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើចំនុច M 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ (x 0, y 0, z 0) នោះសមីការនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំនុច M 0 គឺកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតា (A, B, C) មានទម្រង់៖

ក(x – x 0 ) + ខ(y – y 0 ) + គ(z – z 0 ) = 0.

ភស្តុតាង។ សម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ យើងសរសេរវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារតែ វ៉ិចទ័រ - វ៉ិចទ័រធម្មតា បន្ទាប់មកវាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ហើយដូច្នេះកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ
. បន្ទាប់មកផលិតផលធ្វើមាត្រដ្ឋាន

= 0

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

សមីការនៃយន្តហោះក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅ Ax + Wu + Cz + D = 0 ចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ -D

,

ការជំនួស
យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះជាផ្នែកៗ៖

លេខ a, b, c គឺជាផ្នែកដែលកាត់ចេញដោយយន្តហោះនៅចំនុចប្រសព្វនៃអ័ក្ស x, y, z រៀងគ្នានៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian ។

សមីការយន្តហោះក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ។

កន្លែងណា

- វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចបច្ចុប្បន្ន M(x, y, z)

វ៉ិចទ័រ​ឯកតា​ដែល​មាន​ទិសដៅ​កាត់​កែង​ធ្លាក់​ទៅ​កាន់​យន្តហោះ​ពី​ដើម។

,  និង  គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រនេះជាមួយនឹងអ័ក្ស x, y, z ។

p គឺជាប្រវែងកាត់កែងនេះ។

នៅក្នុងកូអរដោនេ សមីការនេះមានទម្រង់៖

xcos + ycos + zcos − p = 0 ។

សមីការយន្តហោះប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

សូម​ឱ្យ​ចំណុច M 0 (x 0, y 0, z 0) និង​វ៉ិចទ័រ​មិន​ជាប់​ជួរ​គ្នា​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​លំហ

(ទំ 1, ទំ 2, ទំ 3) និង (q 1 , q 2 , q 3) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ M(x, y, z) ជាចំណុចបច្ចុប្បន្ននៃយន្តហោះ។ ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រ និង គឺ noncollinear បន្ទាប់មកពួកវាបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៅលើយន្តហោះ ដែលយើងពង្រីកវ៉ិចទ័រ
=t+ s, ដែល t, s ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងដាក់ប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian តាមអំពើចិត្តនៅលើយន្តហោះដើម្បីឱ្យអ័ក្ស Ox និង Oy ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ។ ពីចំណុចកណ្តាល O យើងគូរវ៉ិចទ័រកាំទៅចំនុច M 0 និង M និង . បន្ទាប់មក
=-និង

=+t+ ស.

នេះ​ជា​សមីការ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​នៃ​ប្លង់​ក្នុង​ទម្រង់​វ៉ិចទ័រ និង​ជា​ទម្រង់​មាត្រដ្ឋាន

x=x 0 + p 1 t + q 1 s

y = y 0 + p 2 t + q 2 s

z=z 0 + p 3 t + q 3 s

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។

ចម្ងាយពីចំណុចបំពាន M 0 (x 0, y 0, z 0) ទៅយន្តហោះ Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 គឺ៖

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះដោយដឹងថាចំណុច P (4; -3; 12) គឺជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះនេះ។

ដូច្នេះ A = 4/13; ខ = -៣/១៣; C = 12/13 ប្រើរូបមន្ត៖

ក (x − x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ឧទាហរណ៍ . ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច

P(2; 0; -1) និង Q(1; -1; 3) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ 3x + 2y - z + 5 = 0 ។

វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅប្លង់ 3x + 2y − z + 5 = 0
ស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។

យើង​ទទួល​បាន:

ឧទាហរណ៍ . រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច A(2, -1,4) និង

В(3, 2, -1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ X + នៅ + 2z – 3 = 0.

សមីការយន្តហោះដែលចង់បានមានទម្រង់៖ ក x+ ខ y+ គ z+ D = 0 វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះនេះ។ (A, B, C) ។ វ៉ិចទ័រ
(1, 3, -5) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ។ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងកាត់កែងទៅនឹងអ្វីដែលចង់បានមានវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (១, ១, ២)។ ដោយសារតែ ចំនុច A និង B ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះទាំងពីរ ហើយយន្តហោះគឺកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (១១, -៧, -២) ។ ដោយសារតែ ចំនុច A ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដែលចង់បាន បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាត្រូវតែបំពេញសមីការនៃយន្តហោះនេះ i.e. 112 + 71 − 24 + D = 0; ឃ = −២១.

ដូច្នេះ យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ៖ ១១ x - 7y – 2z – 21 = 0.

ឧទាហរណ៍ . ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះ ដោយដឹងថាចំណុច P(4, -3, 12) គឺជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះនេះ។

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។
= (4, -3, 12) ។ សមីការដែលចង់បានរបស់យន្តហោះមានទម្រង់៖ ៤ x – 3y + 12z+ D = 0. ដើម្បីរកមេគុណ D យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច Р ទៅក្នុងសមីការ៖

16 + 9 + 144 + D = 0

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការដែលចង់បាន៖ ៤ x – 3y + 12z – 169 = 0

ឧទាហរណ៍ . ដែលបានផ្តល់ឱ្យកូអរដោនេនៃកំពូលនៃពីរ៉ាមីត

A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5) ។

រកប្រវែងគែម A 1 A 2 ។

រកមុំរវាងគែម A 1 A 2 និង A 1 A 4 ។

រកមុំរវាងគែម A 1 A 4 និងមុខ A 1 A 2 A 3 ។

ដំបូងរកវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅមុខ A 1 A 2 A 3 - ជាផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ
និង
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតា និងវ៉ិចទ័រ
.

-4 – 4 = -8.

មុំដែលចង់បាន  រវាងវ៉ិចទ័រ និងប្លង់នឹងស្មើនឹង  = 90 0 −  ។

រកផ្ទៃមុខ A 1 A 2 A 3 ។

ស្វែងរកបរិមាណពីរ៉ាមីត។

រកសមីការនៃយន្តហោះ А 1 А 2 А 3 ។

យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច។

2x + 2y + 2z − 8 = 0

សមីការផ្ទៃក្នុងលំហ

និយមន័យ។ សមីការណាមួយដែលទាក់ទងនឹងកូអរដោណេ x, y, z នៃចំណុចណាមួយលើផ្ទៃគឺជាសមីការនៃផ្ទៃនោះ។

សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ

និយមន័យ។ យន្តហោះគឺជាផ្ទៃមួយ ចំណុចទាំងអស់ដែលបំពេញសមីការទូទៅ៖

អ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0,

ដែល A, B, C គឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ

វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះ។ ករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

A \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក

B \u003d 0 - យន្តហោះស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy

C \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oz

D = 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

A \u003d B \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ xOy

A \u003d C \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ xOz

B \u003d C \u003d 0 - យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ yOz

A \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សអុក

B \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សអូយ

C \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សអូហ្ស

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ xOy

A \u003d C \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ xOz

B \u003d C \u003d D \u003d 0 - យន្តហោះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ yOz

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច

ដើម្បីអោយយន្តហោះតែមួយគូរកាត់ចំនុចបីណាមួយក្នុងលំហ នោះវាចាំបាច់ណាស់ដែលចំនុចទាំងនេះមិនត្រូវស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយនោះទេ។ ពិចារណាចំណុច М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេទូទៅ។ ដើម្បីឱ្យចំណុចបំពាន M(x, y, z) ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដូចគ្នាជាមួយនឹងចំណុច M1, M2, M3 វ៉ិចទ័រត្រូវតែជា coplanar ។

ដូច្នេះ

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច៖

សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​បាន​ផ្តល់​ពិន្ទុ​ពីរ​និង​វ៉ិចទ័រ​ជាប់​នឹង​យន្តហោះ

អនុញ្ញាតឱ្យពិន្ទុ M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) និងវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M1 និង M2 និងចំណុចបំពាន M(x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ។

វ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រត្រូវតែជា coplanar, i.e.

សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ទាក់ទង​នឹង​ចំណុច​មួយ និង​វ៉ិចទ័រ​ពីរ​ជាប់​គ្នា​នឹង​យន្តហោះ

អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រពីរ និង ប្លង់ជាប់គ្នា។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ វ៉ិចទ័រត្រូវតែជា coplanar ។ សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការប្លង់ដោយចំណុច និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើចំនុច M0 (x0, y0, z0) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ នោះសមីការនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំនុច M0 កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតា (A, B, C) មានទម្រង់៖

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0 ។

ភស្តុតាង។ សម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ យើងសរសេរវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារតែ វ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតា បន្ទាប់មកវាកាត់កែងទៅនឹងប្លង់ ហើយដូច្នេះវាក៏កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រផងដែរ។ បន្ទាប់មកផលិតផលធ្វើមាត្រដ្ឋាន

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា ពេញលេញប្រសិនបើមេគុណរបស់វាទាំងអស់មិនស្មើនឹង 0។ បើមិនដូច្នេះទេ សមីការត្រូវបានគេហៅថា មិនពេញលេញ.

D=0 Ax+Vu+Сz=0- យន្តហោះ, ឆ្លងកាត់ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។

ករណីដែលនៅសល់ត្រូវបានកំណត់ដោយទីតាំងនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។ n=(ក; ខ; គ) ។

A=0 Ву+Сz+D=0គឺជាសមីការនៃយន្តហោះ អ័ក្សប៉ារ៉ាឡែល Ox ។(ដោយសារតែវ៉ិចទ័រធម្មតា។ n=( 0; B; C) កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សអុក)។

B=0 អា+Сz+D=0 -សមីការ​យន្តហោះ, ស្រប​នឹង​អ័ក្ស y ។(ដោយសារតែវ៉ិចទ័រធម្មតា។ n=( A; 0; C) កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស Oy) ។

C=0 អា+វូ+D=0 -សមីការ​យន្តហោះ, អ័ក្សប៉ារ៉ាឡែល Oz. (ដោយសារតែវ៉ិចទ័រធម្មតា។ n=( A; B; 0) កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស Oz) ។

A=B=0 Сz+D=0 – z=-D/C – សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ Oxy (ព្រោះ​យន្តហោះ​នេះ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស Ox និង Oy)។

A=C=0 Wu+D=0 - y=-D/B-សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ Oxz (ព្រោះ​យន្តហោះ​នេះ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស Ox និង Oz)។

B=C=0 Ah+D=0 – x=-D/A-សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ Oyz (ព្រោះ​យន្តហោះ​នេះ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស Oy និង Oz)។

A=D=0 ដោយ+Cz=0 -សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស x ។

B=D=0 Ax+Cz=0 -សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សអូយ។

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – យន្តហោះ​កូអរដោណេ។(ព្រោះ​យន្តហោះ​នេះ​ស្រប​នឹង Oxy ហើយ​ឆ្លង​កាត់​ប្រភព​ដើម)។

A=C=D=0 ដោយ = 0 (y = 0) – សម្របសម្រួលយន្តហោះ Охz ។(ព្រោះ​យន្តហោះ​នេះ​ស្រប​នឹង Oxz ហើយ​ឆ្លង​កាត់​ប្រភព​ដើម)។

B=C=D=0 ax=0 (x=0) - សម្របសម្រួលយន្តហោះ Оуz ។(ព្រោះ​យន្តហោះ​នេះ​ស្រប​នឹង Oyz ហើយ​ឆ្លង​កាត់​ប្រភព​ដើម)។

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ 3 ចំណុចផ្សេងគ្នា M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3) ដោយមិននិយាយកុហកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ ម 1 ម 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 ​​​​-y 1; z 2 -z 1) និង ម 1 ម 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) មិនជាប់គ្នាទេ។ ដូច្នេះចំនុច M (x, y, z) ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយជាមួយនឹងចំនុច M 1, M 2 និង M 3 ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ម 1 ម 2 , ម 1 ម 3 និង ម 1 ម\u003d (x-x 1; y-y 1; z-z 1) - coplanar, i.e.  នៅពេលដែលផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេគឺ 0

(ម 1 ម 1 ម 2 ម 1 ម 3 =0) , i.e.

(4) សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ 3 ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

(ការពង្រីកកត្តាកំណត់តាមបន្ទាត់ទី 1 និងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ យើងទទួលបានសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ៖ Ax + Vy + Cz + D \u003d 0) ។

នោះ។ ចំណុចបីកំណត់ដោយឡែកពីយន្តហោះ។

សមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុងផ្នែកនៅលើអ័ក្ស។

យន្តហោះ Π កាត់អ័ក្សកូអរដោនេនៅចំណុច M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; គ) ។

M (x; y; z) គឺជាចំណុចអថេរនៃយន្តហោះ។

ម 1 ម=(x-a; y; z)

ម 1 ម 2 =(0-а;b;0) កំណត់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ

ម 1 ម 3 =(-a;0;c)

ទាំងនោះ។ ម 1 ម 1 ម 2 ម 1 ម 3 =0

ចូរពង្រីកនៅជួរទី១៖ (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

បែងចែកសមភាពដោយ abc≠0 ។ យើង​ទទួល​បាន:

(5) សមីការនៃយន្តហោះនៅក្នុងផ្នែកនៅលើអ័ក្ស។

សមីការ (5) អាចទទួលបានពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ ដោយសន្មត់ថា D≠0 ចែកដោយ D

ការបញ្ជាក់ –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – យើងទទួលបានសមីការ 4 ។

មុំរវាងយន្តហោះពីរ។ លក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា និងកាត់កែងនៃយន្តហោះ។

មុំ φ រវាងយន្តហោះពីរ α 1 និង α 2 ត្រូវបានវាស់ដោយមុំរាបស្មើរវាង 2 កាំរស្មីកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលយន្តហោះទាំងនេះប្រសព្វគ្នា។ ប្លង់ប្រសព្វគ្នាទាំងពីរបង្កើតបានជាមុំពីរដែលបូកសរុបដល់  ។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីកំណត់មុំមួយក្នុងចំណោមមុំទាំងនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការទូទៅ:

 1 ៖ ក 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : ក 2 x+ ខ 2 y+ គ 2 z+ ឃ 2 =0

ពិចារណា PDSC (O,  ខ្ញុំ,j,k) នៅក្នុងលំហ R 3 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ  ជាប្លង់ និងវ៉ិចទ័រ  នកាត់កែងទៅ ក. យើងជួសជុលចំណុចបំពាន M 0 នៅលើយន្តហោះ  ហើយយកចំណុចបច្ចុប្បន្ន M នៃលំហ .. បញ្ជាក់ ` r =
និង` r 0 =
. បន្ទាប់មក
=`r – `r 0 និងចំណុច М ប្រសិនបើ និងបានតែវ៉ិចទ័រ ` ននិង
រាងមូល។ ក្រោយមកទៀតគឺអាចធ្វើទៅបាននៅពេល

ន .
= 0, i.e. ន . (`r-`r 0) = 0, (9)

សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការវ៉ិចទ័រយន្តហោះ។ វ៉ិចទ័រ ` នបានហៅ ធម្មតា។វ៉ិចទ័រយន្តហោះ។

ប្រសិនបើ ក ` ន =(ប៉ុន្តែ, អេ, ជាមួយ), M 0 ( X 0 , នៅ 0 , z 0), M( X, នៅ, z) បន្ទាប់មកសមីការ (9) យកទម្រង់

ប៉ុន្តែ( X – X 0) + B( នៅ – នៅ 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ទៅ វាត្រូវបានគេដឹងថាតាមរយៈបីពិន្ទុយន្តហោះមួយអាចត្រូវបានគូរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ M 1 ( X 1 , នៅ 1 , z 1), ម 3 ( X 2 , នៅ 2 , z 2), ម 3 ( X 3 , នៅ 3 , z៣) ។ ចូរយើងស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះនេះ។ យោងតាមសមីការវ៉ិចទ័រ (៩) ដើម្បីសរសេរសមីការនេះ ចាំបាច់ត្រូវដឹងពីចំណុចនៃប្លង់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ យើងមានចំណុចមួយ (ឧទាហរណ៍ M 1) ។ ហើយជាវ៉ិចទ័រធម្មតា វ៉ិចទ័រណាមួយដែលកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនេះនឹងធ្វើ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រពីរគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលវ៉ិចទ័រទាំងនេះស្ថិតនៅ។ ដូច្នេះផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ
និង
អាចត្រូវបានយកជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ :

` ន =


បន្ទាប់មកសមីការនៃយន្តហោះ  ក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រមានទម្រង់

. (

) =
.
.
= 0.

(ចំណាំថាយើងទទួលបានលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពដូចគ្នានៃវ៉ិចទ័រ
,
,
).

តាមរយៈកូអរដោនេនៃចំនុច M 1, M 2, M 3 និង M សមីការនេះអាចសរសេរជា

, (11)

ហើយត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃយន្តហោះ ឆ្លងកាត់បីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យម 1 ( X 1 , នៅ 1 , z 1), ម 2 ( X 2 , នៅ 2 , z 2), ម 3 ( X 3 , នៅ 3 , z 3).

ពិចារណាសមីការ (៩) ម្តងទៀត បំប្លែងវា៖

អូ + វូ + cz +(–អូ 0 – វូ 0 – cz 0) = 0 ,

អូ + វូ + cz+D = 0 ដែល D = (– អូ 0 – វូ 0 – cz 0) .

សមីការ

អូ + វូ + cz+D = 0, (12)

បានហៅ សមីការទូទៅយន្តហោះ។ នៅទីនេះ វ៉ិចទ័រ N = ( ក, ខ, គ) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ (ឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ)។ ទ្រឹស្តីបទគឺពិត៖

ទ្រឹស្តីបទ ៤.២.

នៅក្នុងលំហ R 3 យន្តហោះណាមួយអាចត្រូវបានពិពណ៌នាជាលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹងអថេរ x y, zសមីការ និងច្រាសមកវិញ។ សមីការណាមួយនៃដឺក្រេទីមួយកំណត់ប្លង់ខ្លះ។

ចូរ​យើង​សិក្សា​ពី​ទីតាំង​នៃ​យន្តហោះ​ទាក់ទង​នឹង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​តាម​សមីការ​ទូទៅ​របស់វា។ អូ + វូ + cz+D = 0 ។

ប្រសិនបើមេគុណ D = 0 នោះកូអរដោនេនៃចំនុច O(0, 0, 0) បំពេញសមីការ អូ + វូ + cz= 0 ដូច្នេះចំនុចនេះស្ថិតនៅលើយន្តហោះ i.e. យន្តហោះជាមួយសមីការ អូ + វូ + cz= 0 ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ បាត់មួយ។ពីអថេរ (មេគុណដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើនឹងសូន្យ) បន្ទាប់មកយន្តហោះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេនៃឈ្មោះដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍ សមីការ អូ + cz + ឃ= 0 កំណត់​ប្លង់​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស y ។ ជាការពិត វ៉ិចទ័រធម្មតាមានកូអរដោនេ ` ន= (A, 0, C) ហើយវាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យនោះ។ ` នj. ប៉ុន្តែប្រសិនបើប្លង់មួយ និងវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រដូចគ្នា នោះពួកវាស្របគ្នា។ យន្តហោះជាមួយសមីការ វូ + cz= 0 ក្នុងករណីនេះឆ្លងកាត់អ័ក្ស OX (នោះគឺអ័ក្សនេះស្ថិតនៅលើយន្តហោះ)

អវត្តមានពីរអថេរ​ក្នុង​សមីការ​យន្តហោះ​មាន​ន័យ​ថា​យន្តហោះ​គឺ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ​កូអរដោនេ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​ឧទាហរណ៍​សមីការ​នៃ​ទម្រង់ អូ + ឃ= 0 កំណត់​យន្តហោះ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ YOZ ។ វ៉ិចទ័រធម្មតាមានកូអរដោនេ ` ន= (A, 0, 0) វាជាប់នឹងវ៉ិចទ័រ  ខ្ញុំដូច្នេះហើយ ប្លង់កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ  ខ្ញុំឬស្របទៅនឹងយន្តហោះ UOZ ។

សមីការនៃយន្តហោះសំរបសំរួលមើលទៅដូចជា: របៀប៖ z= 0, pl ។ XOZ៖ y= 0, pl ។ YOZ៖ x = 0.

ពិតហើយ យន្តហោះ HOW ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម (D=0) និងវ៉ិចទ័រ  k=(0, 0, 1) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វា។ ដូចគ្នានេះដែរ យន្តហោះ XOZ និង YOZ ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម (D=0) និងវ៉ិចទ័រ  j=(0, 1, 0) និង  ខ្ញុំ = (1,0,0) ជា​ធម្មតា​របស់​វា​រៀង​ខ្លួន។

ប្រសិនបើ D0 នោះយើងបំលែងសមីការទូទៅដូចខាងក្រោម

អូ + វូ+ គ z = –ឃ,
,
.

អូ តំណាងនៅទីនេះ
,
,
យើងទទួលបានសមីការ
, (13)

ដែលត្រូវបានគេហៅថាសមីការយន្តហោះ នៅក្នុងផ្នែកនៅលើអ័ក្ស. នៅទីនេះ ក, ខ, គគឺ​ជា​តម្លៃ​នៃ​ផ្នែក​ដែល​កាត់​ចេញ​ដោយ​យន្តហោះ​នៅ​លើ​អ័ក្ស​កូអរដោណេ (រូបភាព​)។ សមីការនេះងាយស្រួលប្រើក្នុងការសាងសង់យន្តហោះក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ។ វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាចំណុច ( ក, 0, 0), (0. ខ, 0), (0, 0, ជាមួយ) ដេកលើយន្តហោះ។ បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ដានយន្តហោះនៅលើយន្តហោះសម្របសម្រួល។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងបង្កើតយន្តហោះ

2X – 3នៅ + 4z –12 = 0.

ចូរយើងនាំយកសមីការនេះទៅទម្រង់ (13) យើងទទួលបាន

ឃ ដើម្បីសាងសង់យន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ សម្គាល់ចំណុច (6, 0, 0) នៅលើអ័ក្ស OX ចំណុច (0, -4, 0) នៅលើអ័ក្ស OY, (0, 0, 3) នៅលើអ័ក្ស OZ ភ្ជាប់ពួកវាជាមួយផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ (ដានយន្តហោះ)។ ត្រីកោណលទ្ធផលគឺជាផ្នែកមួយនៃយន្តហោះដែលចង់បាន ដោយរុំព័ទ្ធរវាងអ័ក្សកូអរដោនេ។

ដូច្នេះ ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹង

ទាំងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះនេះ និងចំណុចណាមួយរបស់វា (សមីការ (10));

ឬបីពិន្ទុដេកលើយន្តហោះ (សមីការ (11)) ។

ការរៀបចំយន្តហោះទៅវិញទៅមកក្នុងលំហ វាងាយស្រួលក្នុងការសិក្សាដោយប្រើវ៉ិចទ័រដែលត្រូវនឹងពួកគេ។ ប្រសិនបើ  ជាយន្តហោះដែលមានវ៉ិចទ័រធម្មតា N នោះ

.

ប្រភពដើមនៃរូបមន្តគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើសម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះមួយ។ អនុវត្តវាដោយខ្លួនឯង។

វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីផ្សេងៗគ្នា (ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រ ចំណុចពីរ និងវ៉ិចទ័រ បីចំណុច។ល។)។ វាគឺជាមួយនឹងរឿងនេះនៅក្នុងចិត្តថាសមីការនៃយន្តហោះអាចមានទម្រង់ផ្សេងគ្នា។ ដូចគ្នានេះផងដែរនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់ យន្តហោះអាចស្របគ្នា កាត់កែង ប្រសព្វ។ល។ យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ យើងនឹងរៀនពីរបៀបសរសេរសមីការទូទៅនៃយន្តហោះហើយមិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះ។

ទម្រង់ធម្មតានៃសមីការ

ឧបមាថាមានចន្លោះ R 3 ដែលមានប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ XYZ ។ ចូរកំណត់វ៉ិចទ័រ α ដែលនឹងត្រូវបានបញ្ចេញពីចំណុចចាប់ផ្តើម O. តាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ α យើងគូរប្លង់ P ដែលនឹងត្រូវកាត់កែងទៅវា។

សម្គាល់ដោយ P ចំណុចបំពាន Q = (x, y, z) ។ យើងនឹងចុះហត្ថលេខាលើវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q ដោយអក្សរ p ។ ប្រវែងវ៉ិចទ័រ α គឺ p=IαI និង Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)។

នេះគឺជាវ៉ិចទ័រឯកតាដែលចង្អុលទៅចំហៀង ដូចវ៉ិចទ័រ α ដែរ។ α, β និង γ គឺជាមុំដែលបង្កើតរវាងវ៉ិចទ័រ Ʋ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សលំហ x, y, z រៀងគ្នា។ ការព្យាករនៃចំណុចមួយចំនួន QϵП ទៅលើវ៉ិចទ័រ Ʋ គឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង р: (р,Ʋ) = р(р≥0) ។

សមីការនេះមានន័យនៅពេល p=0 ។ រឿងតែមួយគត់គឺថាយន្តហោះ P ក្នុងករណីនេះនឹងកាត់ចំនុច O (α=0) ដែលជាប្រភពដើម ហើយវ៉ិចទ័រឯកតា Ʋ ដែលបញ្ចេញចេញពីចំណុច O នឹងកាត់កែងទៅ P ដោយមិនគិតពីទិសដៅរបស់វាឡើយ។ ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រ ត្រូវបានកំណត់ពីសញ្ញា - ភាពត្រឹមត្រូវ។ សមីការមុនគឺជាសមីការនៃយន្តហោះ P របស់យើង ដែលបង្ហាញជាទម្រង់វ៉ិចទ័រ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងកូអរដោនេវានឹងមើលទៅដូចនេះ:

P នៅទីនេះធំជាង ឬស្មើ 0។ យើងបានរកឃើញសមីការនៃយន្តហោះក្នុងលំហក្នុងទម្រង់ធម្មតារបស់វា។

សមីការទូទៅ

ប្រសិនបើយើងគុណសមីការក្នុងកូអរដោណេដោយលេខណាមួយដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះយើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលកំណត់ប្លង់ដូចគ្នានោះ។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

នៅទីនេះ A, B, C គឺជាលេខដែលខុសគ្នាក្នុងពេលដំណាលគ្នាពីសូន្យ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការយន្តហោះទូទៅ។

សមីការយន្តហោះ។ ករណីពិសេស

សមីការក្នុងទម្រង់ទូទៅអាចត្រូវបានកែប្រែនៅក្នុងវត្តមាននៃលក្ខខណ្ឌបន្ថែម។ ចូរយើងពិចារណាពួកគេខ្លះ។

សន្មតថាមេគុណ A គឺ 0 ។ នេះមានន័យថាយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Ox ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះ ទម្រង់សមីការនឹងផ្លាស់ប្តូរ៖ Ву+Cz+D=0។

ដូចគ្នានេះដែរ ទម្រង់នៃសមីការនឹងផ្លាស់ប្តូរក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖

• ទីមួយ ប្រសិនបើ B = 0 នោះសមីការនឹងប្តូរទៅជា Ax + Cz + D = 0 ដែលនឹងបង្ហាញពីភាពស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្ស Oy ។
• ទីពីរ ប្រសិនបើ С=0 នោះសមីការត្រូវបានបំលែងទៅជា Ах+Ву+D=0 ដែលនឹងបង្ហាញពីភាពស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្សដែលបានផ្តល់ឱ្យ Oz ។
• ទីបី ប្រសិនបើ D=0 សមីការនឹងមើលទៅដូច Ax+By+Cz=0 ដែលមានន័យថា យន្តហោះប្រសព្វ O (ប្រភពដើម)។
• ទីបួន ប្រសិនបើ A=B=0 នោះសមីការនឹងប្តូរទៅ Cz+D=0 ដែលនឹងបង្ហាញថាស្របទៅនឹង Oxy ។
• ទីប្រាំ ប្រសិនបើ B=C=0 នោះសមីការក្លាយជា Ax+D=0 ដែលមានន័យថា យន្តហោះទៅ Oyz គឺស្របគ្នា។
• ទីប្រាំមួយ ប្រសិនបើ A=C=0 នោះសមីការនឹងយកទម្រង់ Ву+D=0 នោះគឺវានឹងរាយការណ៍ពីភាពស្របទៅ Oxz ។

ប្រភេទនៃសមីការនៅក្នុងផ្នែក

ក្នុងករណីដែលលេខ A, B, C, D មិនមែនជាសូន្យ ទម្រង់សមីការ (0) អាចមានដូចខាងក្រោម៖

x/a + y/b + z/c = 1,

ដែលក្នុងនោះ \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C ។

យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​គួរ​ឱ្យ​កត់​សម្គាល់​ថា យន្តហោះ​នេះ​នឹង​កាត់​អ័ក្ស​អុក​នៅ​ចំណុច​មួយ​ជាមួយ​កូអរដោណេ (a,0,0), Oy - (0,b,0) និង Oz - (0,0,c) .

ដោយគិតគូរពីសមីការ x/a + y/b + z/c = 1 វាងាយស្រួលក្នុងការតំណាងឱ្យទីតាំងរបស់យន្តហោះដោយមើលឃើញទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

កូអរដោណេវ៉ិចទ័រធម្មតា។

វ៉ិចទ័រធម្មតា n ទៅយន្តហោះ P មានកូអរដោណេដែលជាមេគុណនៃសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគឺ n (A, B, C)

ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃ n ធម្មតា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅពេលប្រើសមីការក្នុងផ្នែកដែលមានទម្រង់ x/a + y/b + z/c = 1 ក៏ដូចជានៅពេលប្រើសមីការទូទៅ គេអាចសរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាណាមួយនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ (1 /a + 1/b + 1/ ជាមួយ) ។

គួរកត់សម្គាល់ថាវ៉ិចទ័រធម្មតាជួយដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។ ទូទៅបំផុតគឺភារកិច្ចដែលមាននៅក្នុងការបញ្ជាក់កាត់កែងឬប៉ារ៉ាឡែលនៃយន្តហោះ បញ្ហាក្នុងការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ ឬមុំរវាងយន្តហោះនិងបន្ទាត់។

ទិដ្ឋភាពនៃសមីការនៃយន្តហោះយោងទៅតាមកូអរដោនេនៃចំនុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ n កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតា (ធម្មតា) សម្រាប់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧបមាថានៅក្នុងចន្លោះកូអរដោណេ (ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ) Oxyz ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

• ចំណុច Mₒ ជាមួយកូអរដោនេ (xₒ, yₒ, zₒ);
• វ៉ិចទ័រសូន្យ n=A*i+B*j+C*k។

វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុច Mₒ កាត់កែងទៅនឹង n ធម្មតា។

នៅក្នុងលំហ យើងជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពានណាមួយ ហើយកំណត់វាដោយ M (x y, z) ។ ទុកវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចណាមួយ M (x, y, z) ជា r=x*i+y*j+z*k ហើយវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k។ ចំនុច M នឹង​ជា​របស់​យន្តហោះ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ MₒM កាត់​កែង​ទៅនឹង​វ៉ិចទ័រ n ។ យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌ orthogonality ដោយប្រើផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖

[MₒM, n] = 0 ។

ចាប់តាំងពី MₒM \u003d r-rₒ សមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

សមីការនេះអាចមានទម្រង់ផ្សេងទៀត។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានប្រើ ហើយផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវបានបំលែង។ = - ។ ប្រសិនបើតំណាងថាជា c នោះសមីការខាងក្រោមនឹងត្រូវបានទទួល៖ - c \u003d 0 ឬ \u003d c ដែលបង្ហាញពីភាពជាប់លាប់នៃការព្យាករលើវ៉ិចទ័រធម្មតានៃវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលជារបស់យន្តហោះ។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចទទួលបានទម្រង់កូអរដោនេនៃការសរសេរសមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះរបស់យើង = 0។ ចាប់តាំងពី r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, និង n = A*i+B*j+C*k យើងមាន៖

វាប្រែថាយើងមានសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹង n ធម្មតា៖

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0។

ទិដ្ឋភាព​នៃ​សមីការ​យន្តហោះ​ដោយ​យោង​តាម​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច​ពីរ​និង​វ៉ិចទ័រ​ដែល​ជាប់​នឹង​យន្តហោះ

យើងកំណត់ចំណុចបំពានពីរ M′ (x′,y′,z′) និង M″ (x″,y″,z″) ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រ a (a′,a″,a‴)។

ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមាន M′ និង M″ ក៏ដូចជាចំណុច M ដែលមានកូអរដោណេ (x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ។

ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) និង M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ត្រូវតែជា coplanar ជាមួយវ៉ិចទ័រ a=(a′,a″,a‴) ដែលមានន័យថា (M′M, M″M, a)=0។

ដូច្នេះ សមីការ​របស់​យើង​នៃ​យន្តហោះ​ក្នុង​លំហ​នឹង​មាន​លក្ខណៈ​ដូច​នេះ៖

ប្រភេទនៃសមីការនៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នាបីចំណុច

ឧបមាថាយើងមានបីចំនុច៖ (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទ្រឹស្ដីធរណីមាត្របានអះអាងថា យន្តហោះប្រភេទនេះពិតជាមានមែន មានតែវាតែមួយគត់ និងមិនអាចចម្លងបាន។ ដោយសារយន្តហោះនេះប្រសព្វចំនុច (x′,y′,z′) ទម្រង់សមីការរបស់វានឹងមានដូចខាងក្រោម៖

នៅទីនេះ A, B, C គឺខុសគ្នាពីសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់ចំនុចពីរបន្ថែមទៀត៖ (x″,y″,z″) និង (x‴,y‴,z‴)។ ក្នុងន័យនេះ លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវតែបំពេញ៖

ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរប្រព័ន្ធដូចគ្នាជាមួយមិនស្គាល់ u, v, w:

ក្នុងករណីរបស់យើង x, y ឬ z គឺជាចំណុចបំពានដែលបំពេញសមីការ (1) ។ ដោយគិតគូរពីសមីការ (1) និងប្រព័ន្ធសមីការ (2) និង (3) ប្រព័ន្ធសមីការដែលបានបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ បំពេញវ៉ិចទ័រ N (A, B, C) ដែលមិនមែនជារឿងតូចតាច។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

សមីការ (១) ដែលយើងទទួលបានគឺជាសមីការនៃយន្តហោះ។ វាឆ្លងកាត់យ៉ាងពិតប្រាកដតាមរយៈ 3 ពិន្ទុហើយនេះងាយស្រួលពិនិត្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវពង្រីកកត្តាកំណត់របស់យើងលើធាតុនៅក្នុងជួរទីមួយ។ វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានស្រាប់នៃកត្តាកំណត់ដែលយន្តហោះរបស់យើងប្រសព្វគ្នាក្នុងពេលដំណាលគ្នាបីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដំបូង (x′, y′, z′), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴) . នោះគឺយើងបានដោះស្រាយភារកិច្ចដែលបានកំណត់នៅចំពោះមុខយើង។

មុំ Dihedral រវាងយន្តហោះ

មុំ dihedral គឺជាតួលេខធរណីមាត្រលំហដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរដែលចេញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ និយាយម្យ៉ាងទៀតនេះគឺជាផ្នែកនៃលំហដែលត្រូវបានកំណត់ដោយពាក់កណ្តាលយន្តហោះទាំងនេះ។

ឧបមាថាយើងមានយន្តហោះពីរដែលមានសមីការដូចខាងក្រោមៈ

យើងដឹងថា វ៉ិចទ័រ N=(A,B,C) និង N¹=(A¹,B¹,C¹) កាត់កែងគ្នាតាមប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងន័យនេះ មុំ φ រវាងវ៉ិចទ័រ N និង N¹ គឺស្មើនឹងមុំ (ឌីអេដ្រាល) ដែលស្ថិតនៅចន្លោះយន្តហោះទាំងនេះ។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានមានទម្រង់៖

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ច្បាស់ណាស់ដោយសារតែ

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))។

វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពិចារណាថា 0≤φ≤π។

តាម​ពិត យន្តហោះ​ពីរ​ដែល​ប្រសព្វ​គ្នា​បង្កើត​ជា​មុំ​ពីរ (dihedral)៖ φ 1 និង φ 2 ។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង π (φ 1 + φ 2 = π) ។ ចំណែក​កូស៊ីនុស​វិញ តម្លៃ​ដាច់ខាត​របស់​វា​ស្មើ​គ្នា ប៉ុន្តែ​វា​ខុសគ្នា​តាម​សញ្ញា ពោល​គឺ cos φ 1 =-cos φ 2 ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ (0) យើងជំនួស A, B និង C ដោយលេខ -A, -B និង -C រៀងគ្នា បន្ទាប់មកសមីការដែលយើងទទួលបាននឹងកំណត់ប្លង់ដូចគ្នា មុំតែមួយគត់φក្នុងសមីការ cos φ= NN 1 /|N||N ១| នឹងត្រូវបានជំនួសដោយ π-φ ។

សមីការ​យន្តហោះ​កាត់​កែង

ប្លង់ត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែងប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាគឺ 90 ដឺក្រេ។ ដោយប្រើសម្ភារៈដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ យើងអាចរកឃើញសមីការនៃយន្តហោះកាត់កែងទៅមួយទៀត។ ចូរនិយាយថាយើងមានយន្តហោះពីរ៖ Ax+By+Cz+D=0 និង A¹x+B¹y+C¹z+D=0។ យើងអាចបញ្ជាក់ថាពួកវានឹងកាត់កែងប្រសិនបើ cosφ=0 ។ នេះមានន័យថា NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0។

សមីការយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល

ប៉ារ៉ាឡែលគឺជាប្លង់ពីរដែលមិនមានចំណុចរួម។

លក្ខខណ្ឌ (សមីការរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នាទៅនឹងកថាខណ្ឌមុន) គឺថា វ៉ិចទ័រ N និង N¹ ដែលកាត់កែងទៅនឹងពួកវាគឺជាប់គ្នា។ នេះមានន័យថាលក្ខខណ្ឌនៃសមាមាត្រខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖

A/A¹=B/B¹=C/C¹។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌសមាមាត្រត្រូវបានពង្រីក - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

នេះបង្ហាញថាយន្តហោះទាំងនេះស្របគ្នា។ នេះមានន័យថាសមីការ Ax+By+Cz+D=0 និង A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ពិពណ៌នាអំពីយន្តហោះមួយ។

ចម្ងាយទៅយន្តហោះពីចំណុច

ចូរនិយាយថាយើងមានយន្តហោះ P ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (0) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកចម្ងាយទៅវាពីចំណុចដោយកូអរដោណេ (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវនាំយកសមីការនៃយន្តហោះ P ទៅជាទម្រង់ធម្មតា៖

(ρ,v)=p (p≥0)។

ក្នុងករណីនេះ ρ(x,y,z) គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q របស់យើងដែលមានទីតាំងនៅ P, p គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែងទៅ P ដែលត្រូវបានបញ្ចេញពីចំនុចសូន្យ, v គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានទីតាំងនៅ ទិសដៅមួយ។

ភាពខុសគ្នា ρ-ρº នៃវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចមួយចំនួន Q \u003d (x, y, z) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ P ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) គឺបែបនេះ។ វ៉ិចទ័រ តម្លៃដាច់ខាតនៃការព្យាករដែលនៅលើ v គឺស្មើនឹងចម្ងាយ d ដែលត្រូវតែរកឃើញពី Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ទៅ P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ប៉ុន្តែ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)។

ដូច្នេះវាប្រែចេញ

d=|(ρ 0 ,v)-p|។

ដូច្នេះ យើងនឹងរកឃើញតម្លៃដាច់ខាតនៃកន្សោមលទ្ធផល នោះគឺ ឃ ដែលចង់បាន។

ដោយប្រើភាសានៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រយើងទទួលបានជាក់ស្តែង:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²)។

ប្រសិនបើចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Q 0 គឺនៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃយន្តហោះ P ក៏ដូចជាប្រភពដើម នោះរវាងវ៉ិចទ័រ ρ-ρ 0 និង v គឺដូច្នេះ៖

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p> 0 ។

ក្នុងករណីនៅពេលដែលចំនុច Q 0 រួមជាមួយនឹងប្រភពដើមមានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃ P នោះមុំដែលបានបង្កើតគឺស្រួច នោះគឺ៖

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d ទំ - (ρ 0, v)>0 ។

ជាលទ្ធផលវាប្រែថានៅក្នុងករណីដំបូង (ρ 0 ,v)> р, នៅក្នុងករណីទីពីរ (ρ 0 ,v)<р.

យន្តហោះតង់សង់ និងសមីការរបស់វា។

យន្តហោះតង់សង់ទៅផ្ទៃនៅចំណុចតង់សង់ Mº គឺជាយន្តហោះដែលមានតង់ហ្សង់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ទៅនឹងខ្សែកោងដែលកាត់តាមចំណុចនេះលើផ្ទៃ។

ជាមួយនឹងទម្រង់នៃសមីការផ្ទៃ F (x, y, z) \u003d 0 សមីការនៃយន្តហោះតង់សង់នៅចំណុចតង់សង់ Mº (xº, yº, zº) នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0 ។

ប្រសិនបើអ្នកបញ្ជាក់ផ្ទៃក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់ z=f (x, y) នោះប្លង់តង់សង់នឹងត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ៖

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº)។

ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (រាងចតុកោណ) Oxyz មានទីតាំងនៅ យន្តហោះពីរ П′ និង П″ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលប្រសព្វគ្នានិងមិនស្របគ្នា។ ដោយសារយន្តហោះណាមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅ យើងនឹងសន្មត់ថា P′ និង P″ ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ A′x+B′y+C′z+D′=0 និង A″x +B″y+ С″z+D″=0។ ក្នុងករណីនេះ យើងមាន n′ (A′, B′, C′) ធម្មតានៃយន្តហោះ P′ និង ធម្មតា n″ (A″, B″, C″) នៃយន្តហោះ P″ ។ ដោយសារប្លង់របស់យើងមិនស្របគ្នា ហើយមិនស្របគ្នា វ៉ិចទ័រទាំងនេះមិនជាប់គ្នាទេ។ ដោយប្រើភាសាគណិតវិទ្យា យើងអាចសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះដូចខាងក្រោម៖ n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR ។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ដែលនៅប្រសព្វ P′ និង P″ ត្រូវបានតាងដោយអក្សរ a ក្នុងករណីនេះ a = P′ ∩ P″ ។

a គឺ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​មាន​សំណុំ​នៃ​ចំណុច​ទាំងអស់​នៃ​ប្លង់ (ទូទៅ) П′ និង П″ ។ នេះមានន័យថា កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ ត្រូវតែបំពេញសមីការ A′x+B′y+C′z+D′=0 និង A″x+B″y+C″z+D″= 0. នេះមានន័យថា កូអរដោនេនៃចំណុចនឹងជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម៖

ជាលទ្ធផលវាបង្ហាញថាដំណោះស្រាយ (ទូទៅ) នៃប្រព័ន្ធសមីការនេះនឹងកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលនឹងដើរតួជាចំនុចប្រសព្វនៃ П′ និង П″ ហើយកំណត់ត្រង់។ បន្ទាត់ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Oxyz (ចតុកោណ) ក្នុងលំហ។