អរូបីនៃការបង្រៀនស្តីពីវិន័យ "ទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ"
ប្រធានបទ 1. គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ 2
១.១. និយមន័យនៃដំណើរការចៃដន្យ។ វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានចំពោះភារកិច្ចនៃដំណើរការចៃដន្យ។ គំនិតនៃការយល់ដឹងនិងផ្នែក។ ដំណើរការចៃដន្យបឋម។ ២
១.២. ថ្នាក់មួយចំនួន និងប្រភេទនៃដំណើរការចៃដន្យ 3
ប្រធានបទ 2. ធាតុផ្សំនៃទ្រឹស្តីនៃការឆ្លើយឆ្លងនៃដំណើរការចៃដន្យ 4
២.១. គោលគំនិតនៃទ្រឹស្តីទំនាក់ទំនងនៃដំណើរការចៃដន្យ ៤
២.២. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងភាពខុសគ្នានៃដំណើរការចៃដន្យ។ គម្លាតស្តង់ដារ ៥
២.៣. មុខងារទំនាក់ទំនងនៃដំណើរការចៃដន្យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។ មុខងារទំនាក់ទំនងធម្មតា ៥
២.៤. អនុគមន៍ជាប់ទាក់ទងគ្នានិងមុខងារជាប់ទាក់ទងគ្នាធម្មតានៃដំណើរការចៃដន្យពីរ ៦
2.5 លក្ខណៈ Probabilistic នៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យពីរ 6
ប្រធានបទ ៣.ធាតុផ្សំនៃការវិភាគចៃដន្យ ៧
៣.១. ការរួមគ្នានិងការបន្ត 7
៣.២. ដេរីវេនៃដំណើរការចៃដន្យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ៨
៣.៣. អាំងតេក្រាលនៃដំណើរការចៃដន្យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ៩
ប្រធានបទ 4. ការពង្រីក Canonical នៃដំណើរការចៃដន្យ 10
៤.១. គោលគំនិតនៃការរលាយសាបសូន្យនៃដំណើរការចៃដន្យ ១០
៤.២. គំនិតនៃមុខងារទូទៅ។ មុខងារ Dirac delta ។ តំណាង canonical អាំងតេក្រាលនៃដំណើរការចៃដន្យ។ ដប់មួយ
៤.៣. ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរ និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ នៃដំណើរការចៃដន្យ ១២
ជំពូកទី 5. ដំណើរការចៃដន្យនៅស្ថានី 14
៥.១. គំនិតនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានី។ ឧបេក្ខាក្នុងចិត្តចង្អៀត និងទូលាយ ១៤
5.2 លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានី 15
៥.៣. ដំណើរការចៃដន្យរួមបញ្ចូលគ្នារវាងស្ថានី។ ដេរីវេ និងអាំងតេក្រាលនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានី ១៥
៥.៤. ដំណើរការចៃដន្យ ergodic និងលក្ខណៈរបស់ពួកគេ 16
៥.៥. ស្ទ្រីមព្រឹត្តិការណ៍ ១៧
TOPIC 6. MARKOV CHAINS ១៩
៦.១. ខ្សែសង្វាក់ Markov ។ ដប់ប្រាំបួន
ប្រធានបទ 1. គំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ
១.១. និយមន័យនៃដំណើរការចៃដន្យ។ វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានចំពោះភារកិច្ចនៃដំណើរការចៃដន្យ។ គំនិតនៃការយល់ដឹងនិងផ្នែក។ ដំណើរការចៃដន្យបឋម។
ដំណើរការចៃដន្យ (stochastic, probabilistic) គឺជាមុខងារនៃអថេរពិតប្រាកដ t ដែលជាតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យដែលត្រូវគ្នា X(t)។
នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ t ត្រូវបានចាត់ទុកជាពេលវេលាដែលយកតម្លៃពីសំណុំរងមួយចំនួន T នៃសំណុំនៃចំនួនពិត (t T, T R) ។
នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាបុរាណ អនុគមន៍ y = f(t) ត្រូវបានយល់ថាជាប្រភេទនៃការពឹងផ្អែកនៃអថេរ t និង y នៅពេលដែលតម្លៃលេខជាក់លាក់នៃអាគុយម៉ង់ t ត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃលេខតែមួយគត់នៃអនុគមន៍ y . សម្រាប់ដំណើរការចៃដន្យ ស្ថានភាពគឺខុសគ្នាជាមូលដ្ឋាន៖ ការកំណត់អាគុយម៉ង់ជាក់លាក់មួយ t នាំទៅរករូបរាងនៃអថេរចៃដន្យ X(t) ជាមួយនឹងច្បាប់ចែកចាយដែលគេស្គាល់ (ប្រសិនបើវាជាអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក) ឬជាមួយនឹងដង់ស៊ីតេចែកចាយដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ប្រសិនបើវា គឺជាអថេរចៃដន្យបន្ត)។ ម្យ៉ាងវិញទៀត លក្ខណៈដែលកំពុងសិក្សានៅរាល់ពេលនៃពេលវេលាគឺចៃដន្យនៅក្នុងធម្មជាតិជាមួយនឹងការចែកចាយមិនចៃដន្យ។
តម្លៃដែលអនុគមន៍ធម្មតា y=f(t) យកនៅពេលនីមួយៗកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់មុខងារនេះទាំងស្រុង។ សម្រាប់ដំណើរការចៃដន្យ ស្ថានភាពគឺខុសគ្នា៖ នៅទីនេះវាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេក្នុងការដឹងពីការចែកចាយអថេរចៃដន្យ X(t) សម្រាប់តម្លៃនីមួយៗនៃ t ត្រូវការព័ត៌មានអំពីការផ្លាស់ប្តូរដែលរំពឹងទុក និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេ ពោលគឺព័ត៌មានអំពី កម្រិតនៃការពឹងផ្អែកនៃតម្លៃនាពេលខាងមុខនៃដំណើរការចៃដន្យនៅលើប្រវត្តិរបស់វា។
វិធីសាស្រ្តទូទៅបំផុតក្នុងការពិពណ៌នាអំពីដំណើរការចៃដន្យគឺដើម្បីកំណត់ការចែកចាយពហុវ៉ារ្យង់របស់វាទាំងអស់ នៅពេលដែលប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ខាងក្រោមដែលកើតឡើងក្នុងពេលដំណាលគ្នាត្រូវបានកំណត់៖
T1, t2,…,tn T, n N: X(ti)≤xi; i=1,2,…,n;
F(t1;t2;…;tn;x1;x2;...;xn)=P(X(t1)≤ x1; X(t2)≤x2;…; X(tn)≤xn) ។
វិធីនៃការពិពណ៌នាអំពីដំណើរការចៃដន្យនេះគឺមានលក្ខណៈជាសកល ប៉ុន្តែមានការពិបាកច្រើន។ ដើម្បីទទួលបានលទ្ធផលសំខាន់ៗ ករណីពិសេសសំខាន់បំផុតត្រូវបានជ្រើសរើស ដែលអនុញ្ញាតឱ្យប្រើឧបករណ៍វិភាគកម្រិតខ្ពស់ជាងនេះ។ ជាពិសេស វាងាយស្រួលក្នុងការពិចារណាដំណើរការចៃដន្យ X(t, ω) ជាមុខងារនៃអថេរពីរ៖ t T, ω Ω ដែលសម្រាប់តម្លៃថេរណាមួយនៃ t T ក្លាយជាអថេរចៃដន្យដែលបានកំណត់លើចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ (Ω, A, P), ដែលΩ - សំណុំមិនទទេនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមω; A គឺជា σ-ពិជគណិតនៃសំណុំរងនៃសំណុំ Ω នោះគឺជាសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍។ P គឺជារង្វាស់ប្រូបាប៊ីលីតេដែលកំណត់លើ A ។
អនុគមន៍លេខមិនចៃដន្យ x(t)=X(t,ω0) ត្រូវបានគេហៅថាការសម្រេច (គន្លង) នៃដំណើរការចៃដន្យ X(t, ω)។
ផ្នែកឆ្លងកាត់នៃដំណើរការចៃដន្យ X(t, ω) គឺជាអថេរចៃដន្យដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃ t=t0 ។
ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ t យកតម្លៃពិតទាំងអស់ ឬតម្លៃទាំងអស់ពីចន្លោះពេលមួយចំនួន T នៃអ័ក្សពិត នោះគេនិយាយអំពីដំណើរការចៃដន្យជាមួយនឹងពេលវេលាបន្ត។ ប្រសិនបើ t យកតែតម្លៃថេរ នោះគេនិយាយអំពីដំណើរការចៃដន្យជាមួយនឹងពេលវេលាដាច់ដោយឡែក។
ប្រសិនបើផ្នែកឆ្លងកាត់នៃដំណើរការចៃដន្យគឺជាអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នា នោះដំណើរការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការដែលមានរដ្ឋមិនដាច់។ ប្រសិនបើផ្នែកណាមួយជាអថេរចៃដន្យបន្ត នោះដំណើរការចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការដែលមានស្ថានភាពបន្ត។
នៅក្នុងករណីទូទៅ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការវិភាគដើម្បីបញ្ជាក់ដំណើរការចៃដន្យ។ ករណីលើកលែងគឺហៅថា ដំណើរការចៃដន្យបឋម ទម្រង់ដែលគេស្គាល់ ហើយអថេរចៃដន្យត្រូវបានរួមបញ្ចូលជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖
X(t)=X(t,A1,…,An) ដែល Ai, i=1,…,n គឺជាអថេរចៃដន្យដោយមានការចែកចាយជាក់លាក់។
១.២. ថ្នាក់ និងប្រភេទនៃដំណើរការចៃដន្យមួយចំនួន
១.១.១. ដំណើរការ Gaussian stochastic
ដំណើរការចៃដន្យ X(t) ត្រូវបានគេហៅថា Gaussian ប្រសិនបើការចែកចាយវិមាត្រកំណត់ទាំងអស់របស់វាគឺធម្មតា ពោលគឺឧ។
t1, t2, …, tn T
វ៉ិចទ័រចៃដន្យ
(X(t1); X(t2);...; X(tn))
មានដង់ស៊ីតេចែកចាយដូចខាងក្រោមៈ
ដែល ai = MX(ti); =M(X(ti)-ai)2; сij= M((X(ti)-ai)(X(tj)-aj)); ;
- ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុ сij ។
១.១.២. ដំណើរការចៃដន្យជាមួយនឹងការបង្កើនឯករាជ្យ
ដំណើរការចៃដន្យ X(t) ត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការជាមួយនឹងការបង្កើនឯករាជ្យ ប្រសិនបើការកើនឡើងរបស់វានៅលើចន្លោះពេលមិនត្រួតស៊ីគ្នាមិនអាស្រ័យលើគ្នាទៅវិញទៅមក៖
t1, t2,…,tn T: t1 ≤t2 ≤…≤tn,
អថេរចៃដន្យ
X(t2)-X(t1); X(t3)-X(t2); … ; X(tn)-X(tn-1)
ឯករាជ្យ។
១.១.៣. ដំណើរការចៃដន្យជាមួយនឹងការកើនឡើងដែលមិនទាក់ទងគ្នា។
ដំណើរការចៃដន្យ X(t) ត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការជាមួយនឹងការបង្កើនដែលមិនទាក់ទងគ្នា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖
1) t T: MX2(t)< ∞;
2) t1, t2, t3, t4 T: t1 ≤t2 ≤ t3≤ t4: М((X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3)))=0។
១.១.៤. ដំណើរការ Stochastic ស្ថានី (សូមមើលជំពូកទី 5)
១.១.៥. Markov ដំណើរការ stochastic
យើងបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងនិយមន័យនៃដំណើរការចៃដន្យ Markov ជាមួយនឹងរដ្ឋដាច់ដោយឡែក និងពេលវេលាដាច់ដោយឡែក (ខ្សែសង្វាក់ Markov) ។
អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ A ស្ថិតនៅក្នុងរដ្ឋដែលមិនឆបគ្នា A1; A2;…;An ហើយនៅពេលជាមួយគ្នានេះប្រូបាប៊ីលីតេРijដែលនៅក្នុងការធ្វើតេស្ត s-th ប្រព័ន្ធឆ្លងកាត់ពីរដ្ឋទៅរដ្ឋ Aj មិនអាស្រ័យលើស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធនៅក្នុងការធ្វើតេស្តមុន s-1st ទេ។ . ដំណើរការចៃដន្យនៃប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថាខ្សែសង្វាក់ Markov ។
១.១.៦. ដំណើរការចៃដន្យ Poisson
ដំណើរការចៃដន្យ X(t) ត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការ Poisson ដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a (a>0) ប្រសិនបើវាមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
1) t T; T = ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ក្នុង rms នៅ λ→0 (n→0)
ផលបូកអាំងតេក្រាលដែល si (ti; ti +1); λ=អតិបរមា(ti+1 - ti), i=0,…,n-1។
ទ្រឹស្តីបទ 4. ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអាំងតេក្រាលនៃដំណើរការចៃដន្យគឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាលនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វា: , .
ទ្រឹស្តីបទ 5. អនុគមន៍ជាប់ទាក់ទងគ្នានៃអាំងតេក្រាលនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាលទ្វេនៃអនុគមន៍ជាប់ទាក់ទងរបស់វា៖ .
ទ្រឹស្តីបទ 6. អនុគមន៍ទំនាក់ទំនងទៅវិញទៅមកនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) និងអាំងតេក្រាលរបស់វាគឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ជាប់ទាក់ទងគ្នានៃដំណើរការចៃដន្យ X(t)៖
ប្រធានបទ 4. ការពង្រីក Canonical នៃដំណើរការចៃដន្យ
៤.១. គំនិតនៃការរលួយ Canonical នៃដំណើរការចៃដន្យ
អថេរចៃដន្យ V ត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាល ប្រសិនបើការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាស្មើនឹង 0 ។ ដំណើរការចៃដន្យដែលមានកណ្តាលបឋមគឺជាផលិតផលនៃអថេរចៃដន្យ V និងអនុគមន៍មិនចៃដន្យφ(t): X(t)=V φ(t ) ដំណើរការចៃដន្យកណ្តាលបឋមមានលក្ខណៈដូចខាងក្រោមៈ
កន្សោមទម្រង់ ដែល φk(t), k=1;2;…-មុខងារមិនចៃដន្យ; , k=1;2;… - អថេរចៃដន្យកណ្តាលដែលមិនទាក់ទងគ្នាត្រូវបានគេហៅថាការពង្រីក Canonical នៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) ខណៈពេលដែលអថេរចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃការពង្រីក Canonical; និងមុខងារមិនចៃដន្យ φk(t) - សំរបសំរួលមុខងារនៃការពង្រីក Canonical ។
ពិចារណាពីលក្ខណៈនៃដំណើរការចៃដន្យ
ដោយលក្ខខណ្ឌ
ជាក់ស្តែង ដំណើរការចៃដន្យដូចគ្នាមានប្រភេទផ្សេងគ្នានៃការពង្រីក canonical អាស្រ័យលើជម្រើសនៃមុខងារសំរបសំរួល។ ជាងនេះទៅទៀត សូម្បីតែនៅពេលដែលជម្រើសនៃមុខងារកូអរដោណេបានកើតឡើងក៏ដោយ ក៏មានការចែកចាយអថេរចៃដន្យ Vк ដែរ។ នៅក្នុងការអនុវត្ត ដោយផ្អែកលើលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ ការប៉ាន់ប្រមាណត្រូវបានទទួលសម្រាប់ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា និងមុខងារជាប់ទាក់ទងគ្នា៖ . បន្ទាប់ពីពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ទ្វេក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារកូអរដោនេφк(t):
ទទួលបានតម្លៃនៃការបែកខ្ញែកនៃអថេរចៃដន្យ Vk ។
៤.២. គំនិតនៃមុខងារទូទៅ។ មុខងារ Dirac delta ។ តំណាង canonical អាំងតេក្រាលនៃដំណើរការចៃដន្យ។
អនុគមន៍ទូទៅគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃគ្រួសារប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយនៃអនុគមន៍បន្ត។
អនុគមន៍ Dirac delta គឺជាមុខងារទូទៅដែលកើតចេញពីការឆ្លងទៅដែនកំណត់នៅក្នុងគ្រួសារមុខងារ
ក្នុងចំណោមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារ -function យើងកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោមៈ
1.
2.
3. ប្រសិនបើ f(t) ជាអនុគមន៍បន្តបន្ទាប់
ដំណើរការចៃដន្យ X(t) ដែលមុខងារជាប់ទាក់ទងគ្នាមានទម្រង់ត្រូវបានគេហៅថា non-stationary "white noise"។ ប្រសិនបើ W(t1)=W - const នោះ Х(t)-stationary "white noise"។
ដូចតទៅនេះពីនិយមន័យ គ្មានពីរទេ សូម្បីតែបិទដោយបំពាន "សម្លេងពណ៌ស" ផ្នែកឆ្លងកាត់គឺជាប់ទាក់ទងគ្នា។ កន្សោម W (t) ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតង់ស៊ីតេ "សំលេងរំខានពណ៌ស" ។
តំណាង Canonical អាំងតេក្រាលនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) គឺជាការបង្ហាញនៃទម្រង់ដែលមុខងារកណ្តាលចៃដន្យ។ - មុខងារមិនចៃដន្យនៃអាគុយម៉ង់បន្ត
មុខងារទំនាក់ទំនងនៃដំណើរការចៃដន្យបែបនេះមានទម្រង់៖
.
វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាមានមុខងារមិនចៃដន្យ G(λ) បែបនេះ
ដែល G(λ1) គឺជាដង់ស៊ីតេនៃការបែកខ្ញែក; δ(x) - អនុគមន៍ Dirac delta ។ យើងទទួលបាន
ដូច្នេះភាពខុសគ្នានៃដំណើរការចៃដន្យ X(t)៖
.
៤.៣. ការផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរនិងមិនលីនេអ៊ែរនៃដំណើរការ Stochastic
បញ្ហាខាងក្រោមត្រូវបានពិចារណា៖ "សញ្ញាបញ្ចូល" ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធ (ឧបករណ៍, កម្មវិធីបម្លែង) S ដែលមានតួអក្សរនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) ។ ប្រព័ន្ធបំប្លែងវាទៅជា "សញ្ញាទិន្នផល" Y(t):
.
ជាផ្លូវការ ការផ្លាស់ប្តូរនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) ទៅជា Y(t) អាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រើអ្វីដែលគេហៅថា ប្រតិបត្តិករប្រព័ន្ធ Аt:
Y(t)=At(X(t))។
លិបិក្រម t បង្ហាញថាប្រតិបត្តិករនេះធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទាន់ពេល។ រូបមន្តខាងក្រោមនៃបញ្ហានៃការផ្លាស់ប្តូរនៃដំណើរការចៃដន្យគឺអាចធ្វើទៅបាន។
1. ច្បាប់ចែកចាយ ឬលក្ខណៈទូទៅនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) នៅឯការបញ្ចូលទៅក្នុងប្រព័ន្ធ S ត្រូវបានគេស្គាល់ ប្រតិបត្តិករ Аt នៃប្រព័ន្ធ S ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ច្បាប់ចែកចាយ ឬលក្ខណៈទូទៅនៃ ដំណើរការចៃដន្យ Y(t) នៅទិន្នផលនៃប្រព័ន្ធ S.
2. ច្បាប់នៃការចែកចាយ (លក្ខណៈទូទៅ) នៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) និងតម្រូវការសម្រាប់ដំណើរការចៃដន្យ Y(t) ត្រូវបានគេស្គាល់។ វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ទម្រង់នៃប្រតិបត្តិករ Аt នៃប្រព័ន្ធ S ដែលបំពេញបានល្អបំផុតនូវតម្រូវការដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ Y(t) ។
3. ច្បាប់នៃការចែកចាយ (លក្ខណៈទូទៅ) នៃដំណើរការចៃដន្យ Y(t) ត្រូវបានគេស្គាល់ ហើយប្រតិបត្តិករ Аt នៃប្រព័ន្ធ S ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់ច្បាប់នៃការចែកចាយ ឬលក្ខណៈទូទៅនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t)។
ការចាត់ថ្នាក់ខាងក្រោមនៃប្រតិបត្តិករ Аt នៃប្រព័ន្ធ S ត្រូវបានទទួលយក៖
ប្រតិបត្តិករប្រព័ន្ធ
លីនេអ៊ែរ L Nonlinear N
លីនេអ៊ែរ homogeneous L0 លីនេអ៊ែរ inhomogeneous Ln
1. ពិចារណាពីផលប៉ះពាល់នៃប្រព័ន្ធ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ
Lн(...)=L0(…)+φ(t)
នៅលើដំណើរការចៃដន្យ X(t) មានការពង្រីក Canonical ដូចខាងក្រោម៖
.
យើងទទួលបាន:
ចូរយើងណែនាំការសម្គាល់
បន្ទាប់មកការបំបែក Canonical នៃ Y (t) ទទួលបានទម្រង់:
.
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃដំណើរការចៃដន្យ Y(t)៖
មុខងារទំនាក់ទំនងនៃដំណើរការចៃដន្យ Y(t)៖
អាស្រ័យហេតុនេះ
.
នៅម្ខាងទៀត
ការបែកខ្ញែកនៃដំណើរការចៃដន្យ Y(t):
នៅក្នុងការសន្និដ្ឋាននៃផ្នែកនេះ យើងកត់សំគាល់ថា ប្រតិបត្តិករនៃភាពខុសគ្នា និងការរួមបញ្ចូលនៃដំណើរការចៃដន្យគឺដូចគ្នាបេះបិទ។
2. ការបំប្លែងរាងបួនជ្រុងត្រូវបានពិចារណា៖
Y(t)=(X(t))2,
Vk-centered random variables with a distribution symmetric about zero; ណាមួយក្នុងចំណោមពួកគេទាំងបួនគឺឯករាជ្យរួម។ បន្ទាប់មក
យើងណែនាំមុខងារមិនចៃដន្យ
និងអថេរចៃដន្យ
បន្ទាប់មកដំណើរការចៃដន្យ Y(t) យកទម្រង់
ការរំលាយ Canonical នៃដំណើរការចៃដន្យ Y(t) ត្រូវបានទទួល។ មុខងារទំនាក់ទំនង Y(t)៖
ការបែកខ្ញែក៖
ជំពូកទី 5. ដំណើរការចៃដន្យនៅស្ថានី
៥.១. គំនិតនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានី។ ស្ថាននីយកម្មក្នុងអារម្មណ៍ចង្អៀត និងទូលំទូលាយ
ស្ថានី (ភាពដូចគ្នាក្នុងពេលវេលា) គឺជាដំណើរការចៃដន្យ លក្ខណៈស្ថិតិដែលមិនផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលា ពោលគឺពួកវាមិនប្រែប្រួលទាក់ទងនឹងការផ្លាស់ប្តូរពេលវេលា។
បែងចែកដំណើរការចៃដន្យនៅស្ថានីក្នុងន័យទូលំទូលាយ និងតូចចង្អៀត។
ដំណើរការចៃដន្យស្ថានីក្នុងន័យតូចចង្អៀត គឺជាដំណើរការចៃដន្យ X(t) លក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេទាំងអស់ដែលមិនផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលា ពោលគឺលក្ខខណ្ឌបែបនេះ។
F(t1; t2;… ;tn; x1; x2;…; xn)=F(t1+τ; t2+τ;… ;tn+τ; x1; x2;…; xn) ហើយហេតុដូច្នេះហើយ n -dimensional ការចែកចាយមិនអាស្រ័យលើពេលវេលា t1; t2;… ;tn ប៉ុន្តែនៅលើរយៈពេលនៃចន្លោះពេលτi៖
ជាពិសេស ដង់ស៊ីតេចែកចាយមួយវិមាត្រមិនអាស្រ័យលើពេលវេលា t ទាល់តែសោះ៖
ដង់ស៊ីតេផ្នែកពីរវិមាត្រនៅ Times t1 និង t2
ដង់ស៊ីតេ N-dimensional នៃផ្នែកនៅពេល t1; t2...; tn:
ដំណើរការចៃដន្យ X(t) ត្រូវបានគេហៅថាស្ថានីក្នុងន័យទូលំទូលាយ ប្រសិនបើគ្រាលំដាប់ទីមួយ និងទីពីររបស់វាមានភាពខុសប្លែកគ្នាទាក់ទងនឹងការផ្លាស់ប្តូរពេលវេលា ពោលគឺការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់វាមិនអាស្រ័យលើពេលវេលា t និងជាថេរ ហើយមុខងារទំនាក់ទំនង អាស្រ័យតែលើរយៈពេលនៃចន្លោះពេលរវាងផ្នែកប៉ុណ្ណោះ៖
វាច្បាស់ណាស់ថា ដំណើរការចៃដន្យស្ថានីក្នុងន័យតូចចង្អៀត គឺជាដំណើរការចៃដន្យស្ថានីក្នុងន័យទូលំទូលាយផងដែរ។ ការសន្ទនាគឺមិនពិតទេ។
5.2 លក្ខណៈសម្បត្តិនៃលក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានី
1.
3. មុខងារទំនាក់ទំនងនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានីគឺសូម្បីតែ៖
4. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានីគឺថេរស្មើនឹង
តម្លៃនៃមុខងារទំនាក់ទំនងរបស់វានៅចំណុច៖
5.
6. មុខងារទំនាក់ទំនងនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានីគឺ
និយមន័យវិជ្ជមាន នោះគឺ
មុខងារទំនាក់ទំនងធម្មតានៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានីក៏ដូចគ្នាដែរ និយមន័យវិជ្ជមាន ហើយលើសពីនេះទៅទៀត
៥.៣. ដំណើរការចៃដន្យរួមបញ្ចូលគ្នារវាងស្ថានី។ ដេរីវេ និងអាំងតេក្រាលនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានី
ដំណើរការចៃដន្យ X(t) និង Y(t) ត្រូវបានគេហៅថាស្ថានី ប្រសិនបើមុខងារទំនាក់ទំនងទៅវិញទៅមករបស់វាអាស្រ័យតែលើភាពខុសគ្នានៃអាគុយម៉ង់ τ = t2-t1: RXY(t1; t2) = rXY(τ) ។
ភាពស្ថិតស្ថេរនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) និង Y(t) មិនមានន័យថាការតភ្ជាប់ស្ថានីរបស់ពួកគេទេ។
យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិចម្បងនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានី ដេរីវេ និងអាំងតេក្រាលនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានី។
1) rXY(τ)=rYX(-τ)។
2)
3)
4)
កន្លែងណា
5) កន្លែងណា
6) ;
៥.៤. ដំណើរការ Stochastic ស្ថានី Ergodic និងលក្ខណៈរបស់ពួកគេ។
ក្នុងចំណោមដំណើរការចៃដន្យស្ថានី មានថ្នាក់ពិសេសនៃដំណើរការដែលហៅថា ergodic ដែលមានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖ លក្ខណៈរបស់ពួកគេដែលទទួលបានដោយជាមធ្យមសំណុំនៃការសម្រេចបានទាំងអស់ស្របគ្នានឹងលក្ខណៈដែលត្រូវគ្នាដែលទទួលបានដោយជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលមួយដែលការសម្រេចបានសង្កេតឃើញនៅចន្លោះពេល (0, ត) រយៈពេលវែងគ្រប់គ្រាន់។ នោះគឺនៅលើចន្លោះពេលធំគ្រប់គ្រាន់ ការអនុវត្តណាមួយឆ្លងកាត់រដ្ឋណាមួយ ដោយមិនគិតពីស្ថានភាពដំបូងនៃប្រព័ន្ធគឺនៅ t=0; ហើយក្នុងន័យនេះ ការសម្រេចណាមួយតំណាងយ៉ាងពេញលេញនូវសំណុំនៃការសម្រេចបានទាំងស្រុង។
ទ្រឹស្តីបទ Ergodic Birkhoff-Khinchin
សម្រាប់ដំណើរការចៃដន្យស្ថានីណាមួយក្នុងន័យតូចចង្អៀត X(t) ដែលមានការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាកំណត់ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 1 មានដែនកំណត់
សម្រាប់ SSP ជាមួយនឹងពេលវេលាបន្ត,
សម្រាប់ SSP ជាមួយនឹងពេលវេលាដាច់ដោយឡែក។
ប្រសិនបើលើសពីនេះ X(t) គឺជាដំណើរការចៃដន្យស្ថានី ergodic បន្ទាប់មក
នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាតាមលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) ទាក់ទងនឹង Jx; Jx គឺជា -algebra នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនប្រែប្រួលទាក់ទងនឹង X(t); ព្រឹត្តិការណ៍ A ត្រូវបានគេនិយាយថាមិនប្រែប្រួលនៅក្រោម X(t) ប្រសិនបើ B គឺដូចនោះ A=(ω: X(ω,t) B)។
លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ ergodicity
ទ្រឹស្តីបទ 1. ដំណើរការចៃដន្យស្ថានី X(t) គឺ ergodic ទាក់ទងនឹង
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាប្រសិនបើមុខងារទំនាក់ទំនងរបស់វា។
ទំនោរទៅសូន្យជា τ →∞;
ក្នុងនោះ៖ .
ទ្រឹស្តីបទ 2. ដំណើរការចៃដន្យស្ថានី X(t) គឺ ergodic ទាក់ទងនឹង
ការបែកខ្ចាត់ខ្ចាយ, ប្រសិនបើមុខងារទំនាក់ទំនងនៃចៃដន្យស្ថានី
ដំណើរការតែ Y(t)=X2(t) ទំនោរទៅសូន្យជា τ →∞;
ក្នុងនោះ៖
ទ្រឹស្តីបទ 3. ដំណើរការចៃដន្យស្ថានី X(t) គឺ ergodic ទាក់ទងនឹង
អនុគមន៍ជាប់ទាក់ទងគ្នា ប្រសិនបើទំនោរទៅសូន្យជា τ →∞ cor-
មុខងារទំនាក់ទំនងនៃដំណើរការចៃដន្យស្ថានី
Z(t, τ)= ;
ក្នុងនោះ៖
នៅក្នុងការគណនាជាក់ស្តែង ចន្លោះពេល (0; T) ត្រូវបានបែងចែកទៅជា n ផ្នែកស្មើគ្នា ហើយក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗ ចំនុច ti ត្រូវបានជ្រើសរើស (ឧទាហរណ៍ កណ្តាល)។ ប្រសិនបើយើងបង្ខាំងខ្លួនយើងទៅនឹងរូបមន្តនៃចតុកោណកែង យើងទទួលបាន
៥.៥. ស្ទ្រីមព្រឹត្តិការណ៍
ស្ទ្រីមនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺជាលំដាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងនៅពេលចៃដន្យនៅក្នុងពេលវេលា។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការផ្សាយព្រឹត្តិការណ៍៖
1) លំហូរថេរ។
លំហូរត្រូវបានគេហៅថាស្ថានី ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ m ក្នុងចន្លោះពេលណាមួយ τ អាស្រ័យតែលើចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ m និងលើប្រវែងនៃចន្លោះពេលτ និងមិនអាស្រ័យលើពេលវេលាដែលចន្លោះពេលនេះបានចាប់ផ្តើម
2) គ្មានផលប៉ះពាល់។
ស្ទ្រីមនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេនិយាយថាមានទ្រព្យសម្បត្តិនៃការមិនមានផលប៉ះពាល់ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ m ក្នុងរយៈពេលណាមួយមិនអាស្រ័យលើថាតើព្រឹត្តិការណ៍បានលេចឡើងនៅពេលណាមួយភ្លាមៗមុនរយៈពេលនេះ។
ប្រវត្តិនៃខ្សែស្រឡាយមិនប៉ះពាល់ដល់ការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នាពេលខាងមុខនេះទេ។ ប្រសិនបើលំហូរមានទ្រព្យសម្បត្តិគ្មានផលប៉ះពាល់ នោះអថេរចៃដន្យនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅលើចន្លោះពេលដែលមិនប្រសព្វគឺឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។
៣) ភាពសាមញ្ញ។
លំហូរមួយត្រូវបានគេនិយាយថាមានទ្រព្យសម្បត្តិធម្មតា ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍មិនលើសពីមួយអាចកើតឡើងក្នុងចន្លោះពេលតិចតួចបំផុត ពោលគឺឧ។ ការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ 2 ឬច្រើនក្នុងរយៈពេលខ្លីគឺមិនអាចអនុវត្តបាន។
4) លំហូរពុល
ប្រសិនបើលំហូរក្នុងពេលដំណាលគ្នាមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃស្ថានី អវត្តមាននៃផលប៉ះពាល់ និងភាពធម្មតា នោះវាត្រូវបានគេហៅថាលំហូរសាមញ្ញបំផុត (Poisson) ។
ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើលំហូរគឺជាផលបូកនៃលំហូរឯករាជ្យមួយចំនួនធំ ឥទ្ធិពលនៃលំហូរនីមួយៗមានសេចក្តីធ្វេសប្រហែស នោះលំហូរសរុបដែលផ្តល់ថាវាជារឿងធម្មតាគឺជិតនឹងសាមញ្ញបំផុត។
អាំងតង់ស៊ីតេលំហូរគឺជាចំនួនមធ្យមនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា។
ប្រសិនបើលំហូរមានអាំងតង់ស៊ីតេថេរ នោះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ m សម្រាប់ចន្លោះពេលនៃរយៈពេល τ ត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Poisson ។
- លំហូរពុល។
បញ្ហានៃរលកតេឡេក្រាមសាមញ្ញ។
មានឧបករណ៍មួយចំនួនដែលសញ្ញាត្រូវបានអនុវត្ត។ សញ្ញាទាំងនេះបង្កើតបានជាលំហូរសាមញ្ញបំផុត។
X(t) a -a
ទំ ១/២ ១/២
ស៊ើបអង្កេតលក្ខណៈនៃ SP X(t) ដែលយកតម្លៃ±aនៅពេលបំពាន។ បំបែក SP ជាមួយនឹងពេលវេលាបន្ត។ M(X(t)) = 0
X(t1)X(t2) a2 -a2
P P សូម្បីតែ P សេស
អនុញ្ញាតឱ្យ t1< t2 => τ > 0
ដូច្នេះ រលកតេឡេក្រាម គឺជា SCS ergodic ។
សនិទានភាព - លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមត្រូវតែរក្សាទុក
1) ស្ថានី - គ្មានការពឹងផ្អែកលើជម្រើសនៃចន្លោះពេល។
2) អវត្ដមាននៃផលប៉ះពាល់ - ពេលនៃពេលវេលាមិនលេចឡើងក្នុងរូបមន្ត។
៣) ភាពសាមញ្ញ
ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ច្រើនជាងមួយ។
ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទី 1
ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ច្រើនជាង 2
ជាមួយ =>
សម្រាប់ τ តូចមានទំនោរទៅសូន្យក្នុងអត្រាមិនតិចជាងមួយការ៉េ។
ប្រធានបទ 6. MARKOV CHAINS
៦.១. ខ្សែសង្វាក់ Markov ។
ខ្សែសង្វាក់ Markov គឺជាលំដាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ ដែលនីមួយៗមានព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា A1,A2…Ak លេចឡើង ខណៈពេលដែលប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌ pij(s) នៅក្នុងការធ្វើតេស្ត s-th នឹងក្លាយជាព្រឹត្តិការណ៍ Ai និងលក្ខខណ្ឌដែលនៅក្នុង ការធ្វើតេស្ត s-1 ព្រឹត្តិការណ៍ Aj e បានកើតឡើងអាស្រ័យលើលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍មុន។
ខ្សែសង្វាក់ Markov ដាច់ពីគ្នាគឺជាខ្សែសង្វាក់ដែលរដ្ឋផ្លាស់ប្តូរនៅពេលកំណត់។
ខ្សែសង្វាក់ Markov ដែលមានពេលវេលាបន្តគឺជាខ្សែសង្វាក់ដែលការផ្លាស់ប្តូររដ្ឋកើតឡើងនៅពេលបំពានក្នុងពេលវេលា។
ខ្សែសង្វាក់ Markov ត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នាប្រសិនបើ pij(s) ប្រូបាប៊ីលីតេតាមលក្ខខណ្ឌនៃការផ្លាស់ប្តូរទៅរដ្ឋពី Ai ទៅ Aj មិនអាស្រ័យលើចំនួនសាកល្បងនៅលើ s ។
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រព័ន្ធឆ្លងកាត់ពី Ai ទៅ Aj ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តត្រូវបានគេហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃខ្សែសង្វាក់ Markov ដូចគ្នា។
ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផ្លាស់ប្តូរបង្កើតបានជាម៉ាទ្រីសនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផ្លាស់ប្តូរ i=1;…;k
Markov សមភាព
Pij(n) គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធពីរដ្ឋ Ai ទៅ Aj នៅក្នុងការសាកល្បង n
ផលវិបាក
1) n=2; m=1
; Pij(1)=pi,j; P2=(Pi,j(2))=P1P1=P2
2) n=3; m=2
; P3=P3
3) Pn = P12 ។
1. គំនិតនៃមុខងារចៃដន្យមួយ ដំណើរការ stochastic
នៅពេលសិក្សាបាតុភូតជាច្រើន ប្រព័ន្ធមួយត្រូវដោះស្រាយជាមួយអថេរចៃដន្យដែលផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងដំណើរការនៃការធ្វើតេស្តសម្រាប់ពេលជាក់លាក់ណាមួយ។ យើងបានជួបរួចហើយជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃបាតុភូតបែបនេះនៅក្នុងផ្នែក 6.2 ។ និង 9.2 ។ ទាក់ទងនឹងច្បាប់ចែកចាយ Poisson ។
ឧទាហរណ៍នៃ r.v. គឺ៖ ការពុកផុយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្មនៅក្នុងប្រតិកម្មគីមី សញ្ញានៅទិន្នផលរបស់អ្នកទទួលវិទ្យុក្រោមឥទ្ធិពលនៃការជ្រៀតជ្រែក ប្រវែងនៃជួរសម្រាប់សំបុត្រសម្រាប់ការប្រកួតបាល់ទាត់ ការប្រែប្រួលតម្លៃនៅក្នុងប្រព័ន្ធពាណិជ្ជកម្មទំនិញសំខាន់ៗ។ បន្ទុកការងាររបស់សិស្សក្នុងអំឡុងពេលឆមាសសិក្សា, គន្លងនៃភាគល្អិតនៅក្នុងចលនា Brownian, ការវាយតម្លៃបេក្ខជននៅក្នុងដំណើរការបោះឆ្នោត, ចំនួននៃការហៅទូរស័ព្ទមកកាន់ការផ្លាស់ប្តូរទូរស័ព្ទ។ល។
អថេរចៃដន្យបែបនេះដែលផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងដំណើរការនៃបទពិសោធន៍ (ការសង្កេត ការធ្វើតេស្ត) ត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការចៃដន្យ (ចៃដន្យ មុខងារ) នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ សាខាមួយចំនួននៃបច្ចេកវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រ (ស្ថិតិរូបវិទ្យា ដំណើរការសាយភាយ ដំណើរការប្រតិកម្មគីមី។ នៅពេលនោះ សាខាជាច្រើននៃសកម្មភាពរបស់មនុស្សបានចាប់អារម្មណ៍លើការសិក្សាអំពីដំណើរការ ពោលគឺបាតុភូតដែលកើតឡើងតាមពេលវេលា។ ពួកគេបានទាមទារពីវិទ្យាសាស្រ្តនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ការអភិវឌ្ឍនៃទ្រឹស្តីទូទៅនៃអ្វីដែលគេហៅថាដំណើរការចៃដន្យ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីដែលនឹងសិក្សាពីអថេរចៃដន្យ ដែលអាស្រ័យលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រពេលវេលាផ្លាស់ប្តូរជាបន្តបន្ទាប់មួយ ឬច្រើន។ សូមឱ្យយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាបែបនេះដែលបង្ហាញពីភាពចាំបាច់នៃការបង្កើតទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ។
ស្រមៃថាយើងចង់ធ្វើតាមចលនានៃម៉ូលេគុលនៃឧស្ម័នឬរាវ។ ម៉ូលេគុលនេះនៅពេលចៃដន្យប៉ះទង្គិចជាមួយម៉ូលេគុលផ្សេងទៀត ហើយផ្លាស់ប្តូរល្បឿន និងទីតាំងរបស់វា។ ជាក់ស្តែង ស្ថានភាពនៃម៉ូលេគុលអាចផ្លាស់ប្តូរដោយចៃដន្យនៅរាល់ពេលនីមួយៗ។ បាតុភូតធម្មជាតិជាច្រើនទាមទារសម្រាប់ការសិក្សារបស់ពួកគេនូវសមត្ថភាពក្នុងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំនួនជាក់លាក់នៃបាតុភូត (ម៉ូលេគុល ការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃ ការមកដល់នៃសញ្ញាវិទ្យុ។ល។) ផ្លាស់ប្តូរស្ថានភាពមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត។ សំណួរទាំងអស់នេះ និងសំណួរជាច្រើនទៀតត្រូវបានឆ្លើយដោយទ្រឹស្តីស្ថិតិនៃដំណើរការចៃដន្យ ឬដូចដែលវាត្រូវបានគេហៅជាទូទៅថា " ទ្រឹស្តីនៃដំណើរការ stochastic ». ជាក់ស្តែង បញ្ហាស្រដៀងគ្នានេះកើតឡើងក្នុងរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា តារាសាស្ត្រ សេដ្ឋកិច្ច ពន្ធុវិទ្យា ។ល។ ឧទាហរណ៍ នៅពេលសិក្សាពីដំណើរការនៃប្រតិកម្មគីមី សំណួរស្របច្បាប់កើតឡើង៖
តើប្រភាគណានៃម៉ូលេគុលមានប្រតិកម្មរួចហើយ?
តើប្រតិកម្មនេះកើតឡើងតាមពេលវេលាយ៉ាងដូចម្តេច?
តើប្រតិកម្មជិតដល់ពេលណា?
បាតុភូតមួយចំនួនធំដំណើរការទៅតាមគោលការណ៍នៃការបំផ្លាញវិទ្យុសកម្ម។ ខ្លឹមសារនៃបាតុភូតនេះគឺថា អាតូមនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្មមួយរលាយភ្លាមៗ ប្រែទៅជាអាតូមនៃធាតុគីមីមួយទៀត។ ការពុកផុយនៃអាតូមនីមួយៗកើតឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងក្នុងល្បឿនលឿនទាន់ពេល ដូចជាការផ្ទុះ ជាមួយនឹងការបញ្ចេញថាមពលមួយចំនួន។ តាមក្បួនមួយការសង្កេតជាច្រើនបង្ហាញថាការពុកផុយនៃអាតូមផ្សេងៗសម្រាប់អ្នកសង្កេតការណ៍កើតឡើងនៅពេលចៃដន្យ។ ក្នុងករណីនេះទីតាំងនៃពេលវេលាទាំងនេះមិនអាស្រ័យលើគ្នាទៅវិញទៅមកក្នុងន័យនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេទេ។ ដើម្បីសិក្សាពីដំណើរការនៃការពុកផុយនៃវិទ្យុសកម្ម វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ថាតើអ្វីជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំនួនអាតូមមួយចំនួននឹងរលាយក្នុងរយៈពេលជាក់លាក់មួយ? ជាផ្លូវការ ប្រសិនបើគេសុំត្រឹមតែបំភ្លឺរូបភាពគណិតវិទ្យានៃបាតុភូតបែបនេះ នោះគេអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយសាមញ្ញមួយចំពោះបញ្ហាគណិតវិទ្យាដែលបាតុភូតបែបនោះនាំឱ្យកើតមាន។
ចូរយើងរៀបរាប់ដោយសង្ខេបអំពីរបៀប ដោយផ្អែកលើការពិចារណាលើបញ្ហានៃភាគល្អិតដែលវង្វេងនៅក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ Planck និង Fokker ទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការសាយភាយ។
អនុញ្ញាតឱ្យភាគល្អិតនៅពេលនៃពេលវេលានៅចំណុច 
, នៅមួយភ្លែត 
ជួបប្រទះការប៉ះទង្គិចដោយចៃដន្យ ដែលជាលទ្ធផលដែលវាផ្លាស់ទីរាល់ពេលជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ 
ដោយបរិមាណ 
ទៅខាងស្តាំ និងជាមួយប្រូបាប៊ីលីតេ 
តាមចំនួនផងដែរ។ 
ទៅខាងឆ្វេង។
បញ្ជាក់ដោយ 
ប្រូបាប៊ីលីតេដែលភាគល្អិតជាលទ្ធផល 
ការភ្ញាក់ផ្អើលនឹងលេចឡើងនៅពេលនោះ។ 
មានផ្ទៃពោះ 
(វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ចំនួនគូនៃការភ្ញាក់ផ្អើល តម្លៃ 
អាចជាចំនួនជំហានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ 
, ហើយនៅពេលដែល 
សេស - មានតែចំនួនសេសនៃជំហានប៉ុណ្ណោះ។ 
. ប្រសិនបើឆ្លងកាត់ 
សម្គាល់ចំនួនជំហានដែលយកដោយភាគល្អិតទៅខាងស្តាំ (បន្ទាប់មក 
គឺជាចំនួនជំហានដែលភាគល្អិតធ្វើនៅខាងឆ្វេង) បន្ទាប់មកតាមរូបមន្ត Bernoulli ប្រូបាប៊ីលីតេនេះគឺស្មើនឹង
វាច្បាស់ណាស់ថាបរិមាណទាំងនេះត្រូវបានទាក់ទងដោយសមភាព 
មនុស្សម្នាក់អាចផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្ទាល់ថាមុខងារ 
បំពេញសមីការភាពខុសគ្នា
ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូង 
និងនៅ 
. លក្ខណៈរូបវន្តនៃបញ្ហានឹងបង្ខំយើងឱ្យទៅរកការរឹតបន្តឹងធម្មជាតិមួយចំនួនលើសមាមាត្រនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ 
. ការខកខានក្នុងការអនុលោមតាមលក្ខខណ្ឌចាំបាច់មួយចំនួនដែលនឹងត្រូវបានពិភាក្សាខាងក្រោមអាចនាំឱ្យការពិតដែលថាក្នុងរយៈពេលកំណត់មួយភាគល្អិតដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេស្មើនឹងមួយអាចទៅគ្មានដែនកំណត់។ ដើម្បីមិនរាប់បញ្ចូលលទ្ធភាពនេះយើងដាក់លក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមលើប៉ារ៉ាម៉ែត្រជាមួយ 
កន្លែងដែលតម្លៃ 
បង្ហាញ ល្បឿន
ចរន្ត, ក 
មេគុណនៃការសាយភាយ។
ដកពីផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាព (1) បរិមាណ 
, យើងទទួលបាន
ចូរសន្មតថាមុខងារ 
ខុសគ្នាទាក់ទងនឹង 
ពីរដងនិងម្តង 
. បន្ទាប់មកយើងមាន
បន្ទាប់ពីជំនួសសមភាពដែលទទួលបានទៅជា (3) យើងមាន
ពីទីនេះឆ្លងដល់ដែនកំណត់ 
ហើយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌ (២) ទីបំផុតយើងទទួលបាន
(4)
ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលសមីការល្បី ដែលនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការសាយភាយត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Fokker-Planck.
ការចាប់ផ្តើមនៃទ្រឹស្តីទូទៅនៃដំណើរការ stochastic ត្រូវបានដាក់នៅក្នុងស្នាដៃជាមូលដ្ឋានរបស់ A.N. Kolmogorov និង A.Ya. Khinchin នៅដើមទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1930 ។ នៅក្នុងអត្ថបទរបស់ A.N. Kolmogorov "លើវិធីសាស្រ្តវិភាគនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ" ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនូវការសាងសង់ជាប្រព័ន្ធនិងយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃដំណើរការ stochastic ។ គ្មានផលប៉ះពាល់ឬដូចដែលត្រូវបានគេនិយាយជាញឹកញាប់ ដំណើរការប្រភេទ Markov ។ ស្នាដៃមួយចំនួនរបស់ Khinchin បានបង្កើតទ្រឹស្តីនៃដំណើរការស្ថានី។
ដូច្នេះ សាខាគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាបាតុភូតចៃដន្យនៅក្នុងឌីណាមិករបស់ពួកគេ។
ការអភិវឌ្ឍន៍ត្រូវបានគេហៅថា ទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ(មុខងារចៃដន្យ) វិធីសាស្រ្តរបស់វាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់៖ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃការគ្រប់គ្រងដោយស្វ័យប្រវត្តិ ក្នុងការវិភាគ និងការធ្វើផែនការសកម្មភាពហិរញ្ញវត្ថុរបស់សហគ្រាស និងកសិដ្ឋាន ក្នុងដំណើរការ និងបញ្ជូនព័ត៌មានចាំបាច់ (សញ្ញានៅក្នុងឧបករណ៍វិស្វកម្មវិទ្យុ ទំនាក់ទំនងផ្កាយរណប។ល។) នៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច និងទ្រឹស្តីនៃសេវាកម្មដ៏ធំ។
ចូរយើងពិចារណាដោយសង្ខេបអំពីគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ (SP)។
ប្រសិនបើតម្លៃនីមួយៗ 
កន្លែងណា 
បង្ហាញពីសំណុំនៃចំនួនពិតមួយចំនួន ត្រូវបានដាក់នៅក្នុងការឆ្លើយឆ្លងជាមួយ r.v. 
បន្ទាប់មកយើងនិយាយថានៅលើឈុត 
អនុគមន៍ចៃដន្យ (s.f.) 
. ដំណើរការដោយចៃដន្យនោះ។ 
មានសារៈសំខាន់ជាពិសេសនៅក្នុងកម្មវិធី។ ក្នុងករណីដែលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ 
បកប្រែជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រពេលវេលា បន្ទាប់មកមុខងារចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការចៃដន្យ, i.e. ដំណើរការចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថាគ្រួសារ r.v. 
ប៉ារ៉ាម៉ែត្រអាស្រ័យលើ 
និងផ្តល់ឱ្យនៅលើចន្លោះដូចគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម 
តំណាង 
ឬ 
ដំណើរការចៃដន្យអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្ត (កំណត់សម្គាល់វិភាគ) ប្រសិនបើទម្រង់នៃអនុគមន៍ចៃដន្យត្រូវបានគេស្គាល់។ ឧទាហរណ៍ s.f. គឺជា r.p. ដែលអថេរចៃដន្យ 
មានការចែកចាយឯកសណ្ឋាន។ សម្រាប់តម្លៃថេរ 
, s.p. 
បន្ទាប់មក r.p. បំប្លែងទៅជា r.v. 
ដែលត្រូវបានគេហៅថាផ្នែកឆ្លងកាត់នៃដំណើរការចៃដន្យ។
ការអនុវត្តឬ គន្លងដំណើរការចៃដន្យ 
បានហៅ មិនចៃដន្យមុខងារពេលវេលា 
នៅថេរមួយ។ 
, i.e. ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត s.p. យកទម្រង់ជាក់លាក់មួយ។ 
ខណៈពេលដែលការសម្រេចបាននៃ r.s. តំណាងដោយ 
,
កន្លែងដែលសន្ទស្សន៍បង្ហាញលេខតេស្ត។
រូបភាពទី 59 បង្ហាញពីការអនុវត្តចំនួនបី 
ដំណើរការចៃដន្យនៅ 
;
ពួកវាស្រដៀងទៅនឹងប្រភេទនៃបាតុភូតលំយោល sinusoidal បីនៅក្នុងដំណើរការមេកានិចមួយចំនួន ខណៈដែលការសម្រេច (គន្លង) នីមួយៗគឺជាមុខងារធម្មតាមួយ។ 
Fig.59 (សរសេរ) ។
ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ r.v. 
នៅក្នុងការពិសោធន៍ចំនួនបី វាបានយកតម្លៃបីរៀងគ្នា៖ 1, 2, 0.5, i.e. ការអនុវត្តបីនៃការបណ្តាក់ទុនរួមគ្នាត្រូវបានចែងថា: លក្ខណៈពិសេសទាំងបីគឺមិនចៃដន្យ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះយើងជួសជុលពេលវេលានៃពេលវេលា, នៅ 
បន្ទាប់មកយើងទទួលបានផ្នែកឆ្លងកាត់៖ 
- អថេរចៃដន្យ ឬ 
គឺជាអថេរចៃដន្យ។ ចំណាំថាអ្វីដែលគេហៅថា ច្បាប់ចែកចាយមួយវិមាត្រនៃដំណើរការចៃដន្យ 
មិនមែន លក្ខណៈពេញលេញនៃ s.p.ដំណើរការចៃដន្យ
គឺជាសំណុំនៃផ្នែកឆ្លងកាត់ទាំងអស់សម្រាប់តម្លៃផ្សេងៗគ្នា 
ដូច្នេះ សម្រាប់ការពិពណ៌នាពេញលេញ គួរតែពិចារណាលើមុខងារចែកចាយរួមគ្នានៃផ្នែកឆ្លងកាត់ដំណើរការ៖
អ្វីដែលហៅថាច្បាប់កំណត់វិមាត្រនៃការចែកចាយ r.p. ក្នុងគ្រា 
. និយាយម្យ៉ាងទៀត r.v.s ពហុវិមាត្រកើតឡើង។
ដូច្នេះគំនិតនៃ s.p. គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅដោយផ្ទាល់នៃគោលគំនិតនៃប្រព័ន្ធនៃអថេរចៃដន្យ នៅពេលដែលអថេរទាំងនេះជាសំណុំគ្មានកំណត់។
ទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យហៅថាវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីគំរូនៃបាតុភូតចៃដន្យនៅក្នុងឌីណាមិកនៃការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា។
ទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ (នៅក្នុងវាក្យស័ព្ទមួយផ្សេងទៀត - ទ្រឹស្តីនៃមុខងារចៃដន្យ) គឺជាសាខាថ្មីនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលត្រូវបានអភិវឌ្ឍយ៉ាងឆាប់រហ័សជាពិសេសក្នុងប៉ុន្មានទសវត្សរ៍ថ្មីៗនេះ ទាក់ទងនឹងជួរដែលមិនធ្លាប់មាននៃការអនុវត្តជាក់ស្តែងរបស់វា។
នៅពេលសិក្សាអំពីបាតុភូតនៃពិភពលោកជុំវិញនោះ យើងតែងតែជួបប្រទះនូវដំណើរការ ដែលវាមិនអាចទាយទុកជាមុនបានច្បាស់លាស់។ ភាពមិនប្រាកដប្រជានេះ (មិនអាចទាយទុកជាមុនបាន) គឺបណ្តាលមកពីឥទ្ធិពលនៃកត្តាចៃដន្យដែលប៉ះពាល់ដល់ដំណើរនៃដំណើរការ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃដំណើរការបែបនេះ។
1. តង់ស្យុងក្នុងបណ្តាញអគ្គិសនី ថេរ និងស្មើ 220 V ប្រែប្រួលតាមពេលវេលា ប្រែប្រួលជុំវិញតម្លៃបន្ទាប់បន្សំ ក្រោមឥទ្ធិពលនៃកត្តាចៃដន្យដូចជាចំនួន និងប្រភេទឧបករណ៍ដែលភ្ជាប់ទៅបណ្តាញ គ្រារបស់ពួកគេ បើក និងបិទជាដើម។
2. ចំនួនប្រជាជននៃទីក្រុង (ឬតំបន់) ផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលាក្នុងវិធីចៃដន្យ (មិនអាចទាយទុកជាមុនបាន) ក្រោមឥទ្ធិពលនៃកត្តាដូចជា កំណើត ការស្លាប់ ការធ្វើចំណាកស្រុកជាដើម។
3. កម្រិតទឹកក្នុងទន្លេ (ឬក្នុងអាងស្តុកទឹក) ប្រែប្រួលតាមពេលវេលា អាស្រ័យលើអាកាសធាតុ ទឹកភ្លៀង ព្រិលទឹកកក អាំងតង់ស៊ីតេនៃប្រព័ន្ធធារាសាស្រ្ត។ល។
4. ភាគល្អិតដែលបង្កើតចលនា Brownian នៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃមីក្រូទស្សន៍ផ្លាស់ប្តូរទីតាំងរបស់វាដោយចៃដន្យ ជាលទ្ធផលនៃការប៉ះទង្គិចជាមួយម៉ូលេគុលរាវ។
5. រ៉ុក្កែតអវកាសមួយកំពុងហោះហើរ ដែលត្រូវតែបាញ់បង្ហោះក្នុងពេលជាក់លាក់មួយទៅកាន់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ ជាមួយនឹងទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងតម្លៃដាច់ខាតនៃវ៉ិចទ័រល្បឿន។ ចលនាពិតរបស់គ្រាប់រ៉ុក្កែតមិនស្របគ្នានឹងការគណនាដែលបានគណនាទេ ដោយសារកត្តាចៃដន្យដូចជា ភាពច្របូកច្របល់បរិយាកាស ភាពមិនស្មើគ្នានៃឥន្ធនៈ កំហុសក្នុងដំណើរការបញ្ជា។ល។
6. កុំព្យូទ័រក្នុងដំណើរការការងារអាចផ្លាស់ទីដោយចៃដន្យពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋមួយ ឧទាហរណ៍៖
ស១- ដំណើរការបានត្រឹមត្រូវ;
ស២- មានដំណើរការខុសប្រក្រតី ប៉ុន្តែវាមិនត្រូវបានរកឃើញ;
ស៣- ដំណើរការខុសប្រក្រតីត្រូវបានរកឃើញ ប្រភពរបស់វាកំពុងត្រូវបានស្វែងរក។
ស ៤- កំពុងជួសជុល។ល។
ការផ្លាស់ប្តូរពីរដ្ឋទៅរដ្ឋកើតឡើងក្រោមឥទិ្ធពលនៃកត្តាចៃដន្យ ដូចជាការប្រែប្រួលវ៉ុលនៅក្នុងបណ្តាញផ្គត់ផ្គង់ថាមពលកុំព្យូទ័រ ការបរាជ័យនៃធាតុបុគ្គល ពេលវេលានៃការរកឃើញកំហុស ពេលវេលាសម្រាប់ការលុបបំបាត់របស់ពួកគេ។ល។
និយាយយ៉ាងម៉ឺងម៉ាត់ថា នៅក្នុងធម្មជាតិមិនមានដំណើរការកំណត់ជាក់លាក់ណាមួយដែលមិនមែនជាចៃដន្យនោះទេ ប៉ុន្តែមានដំណើរការដែលកត្តាចៃដន្យមានឥទ្ធិពលខ្លាំងពេក ដែលពួកគេអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់នៅពេលសិក្សាបាតុភូត (ឧទាហរណ៍៖ ដំណើរការនៃភពវិលជុំវិញភព។ ព្រះអាទិត្យ) ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាក៏មានដំណើរការបែបនេះផងដែរ ដែលភាពចៃដន្យដើរតួនាទីសំខាន់ (ឧទាហរណ៍៖ ដំណើរការដែលបានពិចារណាខាងលើនៃចលនា Brownian នៃភាគល្អិតមួយ)។ រវាងភាពខ្លាំងទាំងពីរគឺដំណើរការទាំងមូលដែលឱកាសដើរតួនាទីធំជាង ឬតិចជាង។ ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនី (ឬមិនយកទៅក្នុងគណនី) ភាពចៃដន្យនៃដំណើរការនេះក៏អាស្រ័យលើបញ្ហាជាក់ស្តែងដែលយើងកំពុងដោះស្រាយផងដែរ។ ជាឧទាហរណ៍ នៅពេលកំណត់ពេលចលនារបស់យន្តហោះរវាងចំណុចពីរ គន្លងរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជា rectilinear ហើយចលនាគឺឯកសណ្ឋាន។ ការសន្មត់ដូចគ្នានឹងមិនដំណើរការទេប្រសិនបើបញ្ហានៃការរចនា autopilot ដើម្បីគ្រប់គ្រងការហោះហើររបស់យន្តហោះកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយ។
មានពីរប្រភេទចម្បងនៃបញ្ហា ដំណោះស្រាយដែលតម្រូវឱ្យប្រើទ្រឹស្តីនៃមុខងារចៃដន្យ (ដំណើរការចៃដន្យ)។
បញ្ហាផ្ទាល់ (ការវិភាគ):ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃឧបករណ៍ជាក់លាក់មួយ និងលក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា (ការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា មុខងារទំនាក់ទំនង ច្បាប់ចែកចាយ) នៃមុខងារ (សញ្ញា ដំណើរការ) ដែលមកដល់ "ការបញ្ចូល" របស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់លក្ខណៈនៅ "ទិន្នផល" នៃឧបករណ៍ (ពួកវាត្រូវបានប្រើដើម្បីវិនិច្ឆ័យ "គុណភាព" នៃឧបករណ៍) ។
បញ្ហាបញ្ច្រាស (សំយោគ)៖លក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេនៃមុខងារ "បញ្ចូល" និង "ទិន្នផល" ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីរចនាឧបករណ៍ដ៏ល្អប្រសើរមួយ (ស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា) ដែលបំប្លែងមុខងារបញ្ចូលដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាមុខងារលទ្ធផលដែលមានលក្ខណៈដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហានេះតម្រូវឱ្យបន្ថែមលើបរិធាននៃមុខងារចៃដន្យ ការទាក់ទាញ និងវិញ្ញាសាផ្សេងៗទៀត។
សេចក្តីផ្តើម
ទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ (អនុគមន៍ចៃដន្យ) គឺជាសាខានៃវិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីគំរូនៃបាតុភូតចៃដន្យនៅក្នុងឌីណាមិកនៃការអភិវឌ្ឍន៍របស់វា។
នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ អក្សរសិល្ប៍មួយចំនួនធំបានលេចចេញឡើង ដែលត្រូវបានឧទ្ទិសដោយផ្ទាល់ចំពោះទ្រឹស្តីនៃការតម្រង់ជួរ ការអភិវឌ្ឍន៍នៃទិដ្ឋភាពគណិតវិទ្យា ក៏ដូចជាផ្នែកផ្សេងៗនៃកម្មវិធីរបស់វា - យោធា វេជ្ជសាស្ត្រ ការដឹកជញ្ជូន ពាណិជ្ជកម្ម អាកាសចរណ៍។ល។
ទ្រឹស្តីជួរគឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា។ ការអភិវឌ្ឍន៍ដំបូងនៃទ្រឹស្តីនៃការតម្រង់ជួរត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រជនជាតិដាណឺម៉ាក A.K. Erlang (1878-1929) ជាមួយនឹងការសរសេររបស់គាត់លើការរចនានិងប្រតិបត្តិការនៃការផ្លាស់ប្តូរទូរស័ព្ទ។
ទ្រឹស្ដីតម្រង់ជួរគឺជាមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាអនុវត្តដែលទាក់ទងនឹងការវិភាគនៃដំណើរការនៅក្នុងផលិតកម្ម សេវាកម្ម និងប្រព័ន្ធគ្រប់គ្រង ដែលព្រឹត្តិការណ៍ដូចគ្នាត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតជាច្រើនដង ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសហគ្រាសសេវាកម្មអតិថិជន។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធសម្រាប់ការទទួល ដំណើរការ និងបញ្ជូនព័ត៌មាន។ ខ្សែសង្វាក់ផលិតកម្មដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ល។ ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីនេះត្រូវបានធ្វើឡើងដោយគណិតវិទូជនជាតិរុស្សី A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel និងអ្នកដទៃ។
ប្រធានបទនៃទ្រឹស្ដីការតម្រង់ជួរគឺដើម្បីបង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងលក្ខណៈនៃលំហូរនៃកម្មវិធី ចំនួននៃបណ្តាញសេវាកម្ម ដំណើរការនៃឆានែលបុគ្គល និងសេវាកម្មប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព ដើម្បីស្វែងរកវិធីល្អបំផុតដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណើរការទាំងនេះ។ ភារកិច្ចនៃទ្រឹស្ដីតម្រង់ជួរគឺមានលក្ខណៈធ្វើឱ្យប្រសើរ ហើយចុងក្រោយរួមបញ្ចូលទិដ្ឋភាពសេដ្ឋកិច្ចនៃការកំណត់ប្រព័ន្ធបែបនេះ ដែលនឹងផ្តល់នូវអប្បបរមានៃការចំណាយសរុបពីការរង់ចាំសេវាកម្ម ការបាត់បង់ពេលវេលា និងធនធានសម្រាប់សេវាកម្ម និងពីពេលវេលារងចាំ។ នៃបណ្តាញសេវាកម្ម។
នៅក្នុងសកម្មភាពពាណិជ្ជកម្មការអនុវត្តទ្រឹស្តីនៃការតម្រង់ជួរមិនទាន់រកឃើញការចែកចាយដែលចង់បាន។
នេះជាចម្បងដោយសារតែការលំបាកក្នុងការកំណត់គោលដៅ តម្រូវការសម្រាប់ការយល់ដឹងស៊ីជម្រៅអំពីខ្លឹមសារនៃសកម្មភាពពាណិជ្ជកម្ម ក៏ដូចជាឧបករណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន និងត្រឹមត្រូវដែលអនុញ្ញាតឱ្យគណនាជម្រើសផ្សេងៗសម្រាប់ផលវិបាកនៃការសម្រេចចិត្តរបស់អ្នកគ្រប់គ្រងក្នុងសកម្មភាពពាណិជ្ជកម្ម។
1. និយមន័យនៃដំណើរការចៃដន្យ និងលក្ខណៈរបស់វា។
ដំណើរការចៃដន្យ X(t) គឺជាដំណើរការដែលតម្លៃសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់ t គឺជាអថេរចៃដន្យ។
ម្យ៉ាងវិញទៀត ដំណើរការចៃដន្យគឺជាមុខងារមួយដែលជាលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្ត អាចយកទម្រង់ជាក់លាក់មួយ ឬមួយផ្សេងទៀត ដោយមិនស្គាល់ជាមុន។ សម្រាប់ថេរ t = ទៅ X (ទៅ) គឺជាអថេរចៃដន្យធម្មតា i.e. ផ្នែកឆ្លងកាត់នៃដំណើរការចៃដន្យនៅពេល tо ។
ការអនុវត្តនៃដំណើរការចៃដន្យ X (t, w) គឺជាមុខងារមិនចៃដន្យ x(t) ដែលដំណើរការចៃដន្យ X(t) ប្រែទៅជាលទ្ធផលនៃការសាកល្បង (សម្រាប់ w ថេរ) i.e. ទម្រង់ជាក់លាក់ដែលធ្វើឡើងដោយដំណើរការចៃដន្យ X(t) គន្លងរបស់វា។
ដូច្នេះ ដំណើរការចៃដន្យ X (t, w) រួមបញ្ចូលគ្នានូវលក្ខណៈនៃអថេរចៃដន្យ និងមុខងារមួយ។ ប្រសិនបើយើងជួសជុលតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ t ដំណើរការចៃដន្យប្រែទៅជាអថេរចៃដន្យធម្មតា ប្រសិនបើយើងជួសជុល w បន្ទាប់មកជាលទ្ធផលនៃការសាកល្បងនីមួយៗ វាប្រែទៅជាអនុគមន៍មិនចៃដន្យធម្មតា។
ដូចជាអថេរចៃដន្យ ដំណើរការចៃដន្យអាចត្រូវបានពិពណ៌នាដោយលក្ខណៈលេខ។
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) គឺជាអនុគមន៍មិនចៃដន្យ a x (t) ដែលសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ t គឺស្មើនឹងការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃដំណើរការចៃដន្យ X(t), i.e. ពូថៅ (t) = M ។
ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) គឺជាមុខងារមិនចៃដន្យ។ ឃ x (t) សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ t ស្មើនឹងបំរែបំរួលនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃដំណើរការចៃដន្យ X(t), i.e. Dx (t) = ឃ។
គម្លាតស្តង់ដារ ដំណើរការចៃដន្យ X(t) គឺជាតម្លៃនព្វន្ធនៃឫសការ៉េនៃបំរែបំរួលរបស់វាពោលគឺឧ។
ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃដំណើរការចៃដន្យកំណត់លក្ខណៈគន្លងមធ្យមនៃការអនុវត្តដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់របស់វា ហើយភាពខុសគ្នា ឬគម្លាតស្តង់ដាររបស់វាកំណត់លក្ខណៈនៃការរីករាលដាលនៃការអនុវត្តទាក់ទងទៅនឹងគន្លងមធ្យម។
មុខងារទំនាក់ទំនងនៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) គឺជាមុខងារមិនចៃដន្យ
អថេរពីរ t1 និង t 2ដែលសម្រាប់គូនីមួយៗនៃអថេរ t1 និង t2 គឺស្មើនឹងភាពប្រែប្រួលនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នា X(t1) និង X(t 2) ដំណើរការចៃដន្យ។
មុខងារទំនាក់ទំនងធម្មតានៃដំណើរការចៃដន្យ X(t) គឺជាមុខងារ
ដំណើរការចៃដន្យអាចត្រូវបានចាត់ថ្នាក់អាស្រ័យលើថាតើរដ្ឋនៃប្រព័ន្ធដែលវាកើតឡើងផ្លាស់ប្តូរដោយរលូន ឬភ្លាមៗ ពិតណាស់ (រាប់បាន) ឬចំនួនគ្មានកំណត់នៃរដ្ឋទាំងនេះ។ល។ ក្នុងចំណោមដំណើរការចៃដន្យ កន្លែងពិសេសមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដំណើរការចៃដន្យ Markov ។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងស្គាល់គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីតម្រង់ជួរ។
2. គំនិតជាមូលដ្ឋាន ទ្រឹស្តីនៃការតម្រង់ជួរ
នៅក្នុងការអនុវត្ត ជារឿយៗគេជួបប្រទះនឹងប្រព័ន្ធដែលត្រូវបានរចនាឡើងសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ឡើងវិញក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាប្រភេទដូចគ្នា។ ដំណើរការដែលកើតឡើងក្នុងករណីនេះត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការសេវាកម្ម ហើយប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធតម្រង់ជួរ (QS) ។ ឧទាហរណ៏នៃប្រព័ន្ធបែបនេះគឺ ប្រព័ន្ធទូរស័ព្ទ ហាងជួសជុល ប្រព័ន្ធកុំព្យូទ័រ ការិយាល័យលក់សំបុត្រ ហាងកាត់សក់ និងផ្សេងទៀត។
QS នីមួយៗមានចំនួនជាក់លាក់នៃអង្គភាពសេវាកម្ម (ឧបករណ៍ ឧបករណ៍ ចំណុច ស្ថានីយ៍) ដែលយើងនឹងហៅបណ្តាញសេវា។ ឆានែលអាចជាខ្សែទំនាក់ទំនង ចំណុចប្រតិបត្តិការ កុំព្យូទ័រ អ្នកលក់។ល។ យោងទៅតាមចំនួនឆានែល QS ត្រូវបានបែងចែកទៅជាឆានែលតែមួយ និងពហុឆានែល។
កម្មវិធីជាធម្មតាមកដល់ QS មិនទៀងទាត់ទេ ប៉ុន្តែដោយចៃដន្យ បង្កើតនូវអ្វីដែលហៅថាលំហូរចៃដន្យនៃកម្មវិធី (តម្រូវការ)។ ជាទូទៅ សំណើសេវាកម្មក៏បន្តសម្រាប់ពេលវេលាចៃដន្យមួយចំនួនផងដែរ។ លក្ខណៈចៃដន្យនៃលំហូរនៃកម្មវិធី និងពេលវេលានៃសេវាកម្មនាំឱ្យការពិតដែលថា QS ត្រូវបានផ្ទុកមិនស្មើគ្នា: ក្នុងកំឡុងពេលមួយចំនួន កម្មវិធីមួយចំនួនធំកកកុញ (ពួកវាទាំងតម្រង់ជួរ ឬទុក QS មិនបានបម្រើ) ខណៈពេលដែលនៅក្នុងកម្មវិធីផ្សេងទៀត អំឡុងពេលដែល QS ដំណើរការជាមួយនឹងការផ្ទុកក្រោម ឬទំនេរ។
ប្រធានបទនៃទ្រឹស្ដីតម្រង់ជួរគឺការកសាងគំរូគណិតវិទ្យាដែលទាក់ទងនឹងលក្ខខណ្ឌប្រតិបត្តិការដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃ QS (ចំនួនឆានែល ដំណើរការរបស់ពួកគេ លក្ខណៈនៃលំហូរសំណើ។ ជាមួយនឹងលំហូរនៃសំណើ។
ខាងក្រោមនេះត្រូវបានប្រើជាសូចនាករនៃការអនុវត្តរបស់ QS: ចំនួនមធ្យមនៃកម្មវិធីដែលបានបម្រើក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា; ចំនួនមធ្យមនៃកម្មវិធីនៅក្នុងជួរ; ពេលវេលារង់ចាំជាមធ្យមសម្រាប់សេវាកម្ម; ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបដិសេធសេវាកម្មដោយមិនរង់ចាំ; ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំនួនសំណើក្នុងជួរនឹងលើសពីតម្លៃជាក់លាក់។ល។
QS ត្រូវបានបែងចែកជាពីរប្រភេទសំខាន់ៗ (ថ្នាក់)៖ QS ជាមួយការបរាជ័យ និង QS ជាមួយការរង់ចាំ (ជួរ)។ នៅក្នុង QS ជាមួយនឹងការបដិសេធ សំណើដែលមកដល់នៅពេលប៉ុស្តិ៍ទាំងអស់ជាប់រវល់ ទទួលបានការបដិសេធ ចាកចេញពី QS ហើយមិនចូលរួមក្នុងដំណើរការសេវាកម្មបន្ថែមទេ (ឧទាហរណ៍ សំណើសម្រាប់ការសន្ទនាតាមទូរស័ព្ទនៅពេលបណ្តាញទាំងអស់ ជាប់រវល់ ទទួលបានការបដិសេធ ហើយទុក QS ចោល)។ នៅក្នុង QS ជាមួយនឹងការរង់ចាំ ការទាមទារដែលមកដល់នៅពេលដែលប៉ុស្តិ៍ទាំងអស់រវល់មិនចាកចេញទេ ប៉ុន្តែកំពុងតម្រង់ជួរសម្រាប់សេវាកម្ម។
QS ជាមួយការរង់ចាំត្រូវបានបែងចែកទៅជាប្រភេទផ្សេងៗគ្នាអាស្រ័យលើរបៀបដែលជួរត្រូវបានរៀបចំ: ជាមួយនឹងប្រវែងជួរមានកំណត់ ឬគ្មានដែនកំណត់ ជាមួយនឹងពេលវេលារង់ចាំមានកំណត់។ល។
3. គំនិតនៃដំណើរការចៃដន្យ Markov
ដំណើរការ QS គឺជាដំណើរការចៃដន្យ។
ដំណើរការត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការដែលមានរដ្ឋដាច់ពីគ្នា ប្រសិនបើរដ្ឋដែលអាចធ្វើបានរបស់វា S1, S2, S3… អាចត្រូវបានរាយបញ្ជីជាមុន ហើយការផ្លាស់ប្តូរនៃប្រព័ន្ធពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋកើតឡើងភ្លាមៗ (លោត)។ ដំណើរការត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការដែលមានពេលវេលាបន្ត ប្រសិនបើពេលវេលានៃការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមាននៃប្រព័ន្ធពីរដ្ឋមួយទៅរដ្ឋមិនត្រូវបានជួសជុលជាមុនទេ ប៉ុន្តែជាចៃដន្យ។
ដំណើរការប្រតិបត្តិការ QS គឺជាដំណើរការចៃដន្យដែលមានស្ថានភាពដាច់ដោយឡែក និងពេលវេលាបន្ត។ នេះមានន័យថាស្ថានភាពនៃ QS ផ្លាស់ប្តូរភ្លាមៗនៅពេលចៃដន្យនៃការលេចឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួន (ឧទាហរណ៍ ការមកដល់នៃសំណើថ្មី ការបញ្ចប់នៃសេវាកម្ម។ល។)។
ការវិភាគគណិតវិទ្យានៃការងាររបស់ QS មានភាពសាមញ្ញប្រសិនបើដំណើរការនៃការងារនេះគឺ Markov ។ ដំណើរការចៃដន្យត្រូវបានគេហៅថា Markov ឬដំណើរការចៃដន្យដោយគ្មានផលប៉ះពាល់ ប្រសិនបើសម្រាប់ពេលវេលាណាមួយ លក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណើរការនាពេលអនាគតអាស្រ័យតែលើស្ថានភាពបច្ចុប្បន្នរបស់វា ហើយមិនអាស្រ័យលើពេលណា និងរបៀបដែលប្រព័ន្ធមកដល់រដ្ឋនេះ។
ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការ Markov៖ ប្រព័ន្ធ S គឺជាបញ្ជរនៅក្នុងឡានតាក់ស៊ី។ ស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធនៅពេល t ត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយចំនួនគីឡូម៉ែត្រ (ភាគដប់នៃគីឡូម៉ែត្រ) ដែលធ្វើដំណើរដោយរថយន្តរហូតដល់ពេលនោះ។ អនុញ្ញាតឱ្យបញ្ជរបង្ហាញដូច្នេះនៅពេលនេះ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅពេលនេះ t > ទៅម៉ែត្រនឹងបង្ហាញចំនួនគីឡូម៉ែត្រមួយឬផ្សេងទៀត (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត ចំនួនរូបិយបណ្ណដែលត្រូវគ្នា) S1 អាស្រ័យទៅលើ ដូច្នេះ ប៉ុន្តែមិនអាស្រ័យលើពេលវេលាដែលការអានម៉ែត្របានផ្លាស់ប្តូរមុននឹងពេលនេះទេ។ ទៅ។
ដំណើរការជាច្រើនអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាប្រហែល Markovian ។ ឧទាហរណ៍ដំណើរការនៃការលេងអុក; ប្រព័ន្ធ S គឺជាក្រុមនៃបំណែកអុក។ ស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយចំនួននៃបំណែករបស់គូប្រជែងដែលនៅសេសសល់នៅលើក្តារនៅពេលនេះទៅ។ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅពេលនេះ t > ដល់អត្ថប្រយោជន៍ខាងសម្ភារៈនឹងស្ថិតនៅលើភាគីម្ខាងនៃគូប្រជែងគឺអាស្រ័យជាចម្បងលើស្ថានភាពដែលប្រព័ន្ធកំពុងស្ថិតនៅក្នុងពេលនេះ ហើយមិនមែនថាតើនៅពេលណា និងនៅក្នុងលំដាប់ណាដែលបំណែកទាំងនោះបាត់ចេញពីក្តារនោះទេ។ ដល់ពេល។
ក្នុងករណីខ្លះ បុរេប្រវត្តិនៃដំណើរការដែលកំពុងពិចារណាអាចត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់ ហើយគំរូ Markov អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាពួកគេ។
នៅពេលវិភាគដំណើរការចៃដន្យជាមួយរដ្ឋដាច់ពីគ្នា វាងាយស្រួលប្រើគ្រោងការណ៍ធរណីមាត្រ - អ្វីដែលគេហៅថាក្រាហ្វរដ្ឋ។ ជាធម្មតា ស្ថានភាពប្រព័ន្ធត្រូវបានតំណាងដោយចតុកោណកែង (រង្វង់) និងការផ្លាស់ប្តូរដែលអាចកើតមានពីរដ្ឋទៅរដ្ឋ - ដោយព្រួញ (អ័ក្សតម្រង់ទិស) រដ្ឋតភ្ជាប់។
សម្រាប់ការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យានៃដំណើរការចៃដន្យ Markov ជាមួយនឹងរដ្ឋដាច់ពីគ្នា និងពេលវេលាបន្ត ដែលកើតឡើងនៅក្នុង QS ចូរយើងស្គាល់នូវគោលគំនិតសំខាន់ៗមួយនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ - គំនិតនៃព្រឹត្តិការណ៍។
. ស្ទ្រីមព្រឹត្តិការណ៍
លំហូរនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេយល់ថាជាលំដាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ដូចគ្នាបន្ទាប់ពីមួយទៅមួយនៅពេលចៃដន្យមួយចំនួន (ឧទាហរណ៍ លំហូរនៃការហៅទូរសព្ទនៅកន្លែងប្តូរទូរសព្ទ លំហូរនៃការបរាជ័យកុំព្យូទ័រ លំហូរអតិថិជន។ ល។ )។
លំហូរត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយអាំងតង់ស៊ីតេ X - ភាពញឹកញាប់នៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ឬចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ជាមធ្យមដែលចូលក្នុង QS ក្នុងមួយឯកតាពេលវេលា។
ស្ទ្រីមនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថាទៀងទាត់ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍បន្តបន្ទាប់គ្នានៅចន្លោះពេលទៀងទាត់។ ឧទាហរណ៍លំហូរនៃផលិតផលនៅលើបន្ទាត់ដំឡើង (ក្នុងល្បឿនថេរ) គឺទៀងទាត់។
ស្ទ្រីមនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថាស្ថានី ប្រសិនបើលក្ខណៈប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាមិនអាស្រ័យលើពេលវេលា។ ជាពិសេស អាំងតង់ស៊ីតេនៃលំហូរនៅស្ថានី គឺជាតម្លៃថេរ៖ ឧទាហរណ៍ លំហូរនៃរថយន្តនៅលើវិថីទីក្រុងមិនស្ថិតស្ថេរនៅពេលថ្ងៃ ប៉ុន្តែលំហូរនេះអាចចាត់ទុកថាជាស្ថានីនៅពេលវេលាជាក់លាក់នៃថ្ងៃ។ ម៉ោងកំពូល។ ក្នុងករណីនេះ ចំនួនពិតប្រាកដនៃរថយន្តដែលឆ្លងកាត់ក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា (ឧទាហរណ៍ រៀងរាល់នាទី) អាចខុសគ្នាគួរឱ្យកត់សម្គាល់ ប៉ុន្តែចំនួនមធ្យមរបស់ពួកគេគឺថេរ ហើយនឹងមិនអាស្រ័យលើពេលវេលានោះទេ។
ស្ទ្រីមនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថាស្ទ្រីមដោយគ្មានផលប៉ះពាល់ប្រសិនបើសម្រាប់ចន្លោះពេលណាមួយឬពីរដែលមិនប្រសព្វគ្នា T1 និង T2 ចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ដែលធ្លាក់លើមួយក្នុងចំណោមព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនោះមិនអាស្រ័យលើចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ដែលធ្លាក់លើផ្សេងទៀត។ ជាឧទាហរណ៍ លំហូរអ្នកដំណើរចូលតាមរថភ្លើងក្រោមដីស្ទើរតែគ្មានផលប៉ះពាល់។ ហើយនិយាយថាលំហូរនៃអតិថិជនចាកចេញពីបញ្ជរជាមួយនឹងការទិញរបស់ពួកគេមានផលប៉ះពាល់រួចហើយ (ប្រសិនបើគ្រាន់តែដោយសារតែចន្លោះពេលរវាងអតិថិជនម្នាក់ៗមិនអាចតិចជាងរយៈពេលសេវាកម្មអប្បបរមាសម្រាប់ពួកគេម្នាក់ៗ)។
ស្ទ្រីមនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថាធម្មតាប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេ ការវាយលុកចន្លោះពេលតូចមួយ (បឋមសិក្សា) នៅព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ឬច្រើនគឺមានការធ្វេសប្រហែសបើប្រៀបធៀបទៅនឹង ជាមួយប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយលុកព្រឹត្តិការណ៍តែមួយ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ការស្ទ្រីមនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺជារឿងធម្មតា ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍បង្ហាញនៅក្នុងវាម្តងមួយៗ ហើយមិនមែននៅក្នុងក្រុមទេ។ ជាឧទាហរណ៍ លំហូររថភ្លើងទៅជិតស្ថានីយគឺធម្មតា ប៉ុន្តែលំហូរនៃរទេះភ្លើងមិនធម្មតាទេ។
ចរន្តនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា សាមញ្ញបំផុត។(ឬ Poisson ស្ថានី) ប្រសិនបើក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅស្ថានី ធម្មតា និងមិនមានផលប៉ះពាល់អ្វីឡើយ។ ឈ្មោះ "សាមញ្ញបំផុត" ត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថា QS ដែលមានលំហូរសាមញ្ញបំផុតមានការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យាសាមញ្ញបំផុត។ ស្ទ្រីមធម្មតាមិនមែនជារឿងសាមញ្ញបំផុតនោះទេ ព្រោះវាមានឥទ្ធិពលបន្ទាប់បន្សំ៖ គ្រានៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងស្ទ្រីមបែបនេះត្រូវបានជួសជុលយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។
លំហូរសាមញ្ញបំផុតដែលជាលំហូរកំណត់កើតឡើងនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យដូចធម្មជាតិដូចនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ការចែកចាយធម្មតាត្រូវបានទទួលជាដែនកំណត់មួយសម្រាប់ផលបូកនៃអថេរចៃដន្យ៖ នៅពេលដាក់លើស (លើសចំណុះ) ចំនួនធំគ្រប់គ្រាន់ n នៃឯករាជ្យ។ លំហូរថេរ និងធម្មតា (ប្រៀបធៀបទៅនឹងអាំងតង់ស៊ីតេ Аi (i = 1,2…p)) លំហូរគឺជិតទៅនឹងអាំងតង់ស៊ីតេ X សាមញ្ញបំផុត ស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតង់ស៊ីតេនៃលំហូរចូល ពោលគឺ៖
ច្បាប់ចែកចាយលេខពីរ៖
ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ការចែកចាយ binomial មានទំនោរទៅនឹងការចែកចាយ Poisson ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ
ដែលការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យគឺស្មើនឹងបំរែបំរួលរបស់វា៖
ជាពិសេស ប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនមានព្រឹត្តិការណ៍នឹងកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេល t (t = 0) គឺស្មើនឹង
ការចែកចាយដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេឬមុខងារចែកចាយគឺអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) ។ ដូច្នេះ ចន្លោះពេលរវាងព្រឹត្តិការណ៍បំពានពីរនៅជាប់គ្នានៃលំហូរសាមញ្ញបំផុតមានការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ដែលការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យាគឺស្មើនឹងគម្លាតស្តង់ដារនៃអថេរចៃដន្យ៖
និងច្រាសមកវិញយោងទៅតាមអាំងតង់ស៊ីតេនៃលំហូរ
ទ្រព្យសម្បត្តិដ៏សំខាន់បំផុតនៃការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (មានតែនៅក្នុងការបែងចែកអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល) មានដូចខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើចន្លោះពេលដែលបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលបានអូសបន្លាយពេលមួយរយៈ t នោះវាមិនប៉ះពាល់ដល់ច្បាប់ចែកចាយនៃផ្នែកដែលនៅសល់ទេ។ នៃចន្លោះពេល (T - t): វានឹងដូចគ្នា ក៏ដូចជាច្បាប់នៃការចែកចាយនៃចន្លោះពេលទាំងមូល T ។
ម្យ៉ាងវិញទៀត សម្រាប់ចន្លោះពេល T រវាងព្រឹត្តិការណ៍ជិតខាងបន្តបន្ទាប់គ្នានៃលំហូរដែលមានការចែកចាយអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ព័ត៌មានណាមួយអំពីរយៈពេលដែលចន្លោះពេលនេះបានកន្លងផុតទៅមិនប៉ះពាល់ដល់ការចែកចាយដែលនៅសល់នោះទេ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃច្បាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនេះ ជាខ្លឹមសារនៃការបង្កើតមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ "ការខ្វះខាតនៃផលប៉ះពាល់" ដែលជាទ្រព្យសម្បត្តិចម្បងនៃលំហូរសាមញ្ញបំផុត។
សម្រាប់លំហូរសាមញ្ញបំផុតជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយលុកយ៉ាងហោចណាស់ព្រឹត្តិការណ៍មួយនៃលំហូរនៅលើចន្លោះពេលបឋម (តូច) At គឺស្មើនឹង៖
(រូបមន្តប្រហាក់ប្រហែលនេះ ទទួលបានដោយការជំនួសអនុគមន៍ដែលមានតែពាក្យពីរដំបូងនៃការពង្រីករបស់វាទៅជាស៊េរីនៅក្នុងអំណាចនៃ At គឺត្រឹមត្រូវជាង At តូចជាង)។
5. សមីការរបស់ Kolmogorov ។ កំណត់លទ្ធភាពនៃរដ្ឋ
ក្រាហ្វនៃស្ថានភាពដំណើរការដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ទៅភារកិច្ច។ យើងនឹងសន្មត់ថាការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធពីរដ្ឋ Si ទៅ Sj កើតឡើងក្រោមឥទ្ធិពលនៃលំហូរសាមញ្ញបំផុតនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានអាំងតង់ស៊ីតេ (ខ្ញុំ , j = 0, 1, 2.3); ដូច្នេះការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធពីរដ្ឋ S0 ទៅ S1 នឹងកើតឡើងក្រោមឥទ្ធិពលនៃលំហូរនៃការបរាជ័យនៃថ្នាំងទីមួយ ហើយការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសពីរដ្ឋ S0 ទៅ S1 នឹងកើតឡើងក្រោមឥទ្ធិពលនៃលំហូរនៃ "ការបញ្ចប់នៃការជួសជុល" នៃថ្នាំងទីមួយ។ល។
ក្រាហ្វរដ្ឋនៃប្រព័ន្ធដែលមានអាំងតង់ស៊ីតេសម្គាល់នៅលើព្រួញនឹងត្រូវបានគេហៅថាដាក់ស្លាក (សូមមើលរូបភាពខាងលើ) ។ ប្រព័ន្ធដែលបានពិចារណា S មានរដ្ឋចំនួនបួនដែលអាចធ្វើទៅបាន: S0 , S1 S2, S3 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃរដ្ឋ i-th គឺជាប្រូបាប៊ីលីតេ pi (t) ដែលនៅពេលនេះ ប្រព័ន្ធនឹងស្ថិតនៅក្នុងរដ្ឋ Si ។ ជាក់ស្តែង សម្រាប់ពេលណាមួយ t ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃរដ្ឋទាំងអស់គឺស្មើនឹងមួយ៖
អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិចារណាប្រព័ន្ធនៅពេលនេះ t ហើយដោយបានផ្តល់ចន្លោះពេលតូចមួយ At រកប្រូបាប៊ីលីតេ po (t + At) ដែលប្រព័ន្ធនៅពេលនេះ t + At នឹងស្ថិតនៅក្នុងស្ថានភាព S0 ។ នេះត្រូវបានសម្រេចតាមវិធីផ្សេងៗ។
1.ប្រព័ន្ធនៅពេលនេះ t គឺស្ថិតនៅក្នុងស្ថានភាព S0 ដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេ po (t) ប៉ុន្តែមិនបានទុកវានៅក្នុងអំឡុងពេលនៅ។
ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដកចេញពីស្ថានភាពនេះ (សូមមើលក្រាហ្វក្នុងរូបភាពសម្រាប់បញ្ហា) ដោយប្រើលំហូរសរុបសាមញ្ញបំផុតជាមួយនឹងអាំងតង់ស៊ីតេ , ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេប្រហាក់ប្រហែល
ហើយប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រព័ន្ធនឹងមិនចាកចេញពីរដ្ឋ S0 គឺស្មើនឹង . ប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រព័ន្ធនឹងស្ថិតនៅក្នុងស្ថានភាព S0 ហើយនឹងមិនទុកវាចោលក្នុងអំឡុងពេល At is នេះបើយោងតាមទ្រឹស្តីបទគុណប្រូបាប៊ីលីតេ៖
នៅពេល t ប្រព័ន្ធស្ថិតនៅក្នុងរដ្ឋ S1 ឬ S2 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ p1 (t) (ឬ p2 (t)) ហើយនៅក្នុងពេលវេលាដែលបានចូលទៅក្នុងរដ្ឋ
ដោយលំហូរនៃអាំងតង់ស៊ីតេ ប្រព័ន្ធនឹងទៅរដ្ឋ ដូច្នេះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេប្រហែលស្មើនឹង . ប្រូបាប៊ីលីតេដែលប្រព័ន្ធនឹងស្ថិតនៅក្នុងស្ថានភាព ដូច្នេះយោងទៅតាមវិធីសាស្ត្រនេះគឺស្មើនឹង (ឬ )
ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ យើងទទួលបាន៖
ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នៅ At 0 (សមភាពប្រហាក់ប្រហែល ប្រែទៅជាពិតប្រាកដ) យើងទទួលបានដេរីវេនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការ (តោះបញ្ជាក់វាសម្រាប់ភាពសាមញ្ញ)៖
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានទទួល, i.e. សមីការដែលមានទាំងមុខងារមិនស្គាល់ខ្លួនវា និងដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយរបស់វា។
ការជជែកវែកញែកស្រដៀងគ្នាសម្រាប់រដ្ឋផ្សេងទៀតនៃប្រព័ន្ធ S យើងអាចទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល Kolmogorov សម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់រដ្ឋ៖
ចូរយើងបង្កើតច្បាប់សម្រាប់ការចងក្រងសមីការ Kolmogorov ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃពួកវានីមួយៗគឺជាដេរីវេនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃរដ្ឋ i-th ។ នៅខាងស្តាំ - ផលបូកនៃផលិតផលប្រូបាប៊ីលីតេនៃរដ្ឋទាំងអស់ (ពីព្រួញទៅរដ្ឋនេះ) ដោយអាំងតង់ស៊ីតេនៃលំហូរនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលត្រូវគ្នាដកអាំងតង់ស៊ីតេសរុបនៃលំហូរទាំងអស់ដែលនាំប្រព័ន្ធចេញពីរដ្ឋនេះ , គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការផ្តល់ឱ្យ (រដ្ឋ i-th
នៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលបានចង្អុលបង្ហាញខាងលើ ចំនួនសមីការឯករាជ្យគឺមួយតិចជាងចំនួនសមីការសរុប។ ដូច្នេះដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធវាចាំបាច់ដើម្បីបន្ថែមសមីការ
លក្ខណៈពិសេសនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាទូទៅគឺថាវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់អ្វីដែលគេហៅថាលក្ខខណ្ឌដំបូងក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃប្រព័ន្ធបញ្ជាក់នៅពេលដំបូង t = 0. ប្រព័ន្ធស្ថិតនៅក្នុងស្ថានភាពដូច្នេះ i.e. នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដំបូង
សមីការរបស់ Kolmogorov ធ្វើឱ្យវាអាចរកឃើញប្រូបាប៊ីលីតេទាំងអស់នៃរដ្ឋជាមុខងារនៃពេលវេលា។ ចំណាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសគឺប្រូបាប៊ីលីតេនៃប្រព័ន្ធទំ ខ្ញុំ (t) នៅក្នុងរបៀបស្ថានីកំណត់, i.e. នៅ ដែលត្រូវបានគេហៅថាការកំណត់ (ចុងក្រោយ) ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់រដ្ឋ។
នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃដំណើរការចៃដន្យ វាត្រូវបានបង្ហាញថាប្រសិនបើចំនួនរដ្ឋនៃប្រព័ន្ធមានកំណត់ ហើយពីពួកវានីមួយៗវាអាចទៅរួច (ក្នុងចំនួនកំណត់) ដើម្បីទៅកាន់រដ្ឋផ្សេងទៀត នោះវាមានកម្រិតប្រូបាប៊ីលីតេ។
ប្រូបាប៊ីលីតេកំណត់នៃរដ្ឋ Si មានអត្ថន័យច្បាស់លាស់៖ វាបង្ហាញពីពេលវេលាទាក់ទងជាមធ្យមដែលប្រព័ន្ធចំណាយក្នុងរដ្ឋនេះ។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេរឹមនៃរដ្ឋ So, i.e. p0=0.5 នេះមានន័យថាជាមធ្យម ប្រព័ន្ធស្ថិតនៅក្នុងរដ្ឋ S0 ពាក់កណ្តាលម៉ោង។
ដោយសារប្រូបាប៊ីលីតេកំណត់គឺថេរ ដោយជំនួសនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វានៅក្នុងសមីការ Kolmogorov ជាមួយនឹងតម្លៃសូន្យ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដែលពិពណ៌នាអំពីរបបស្ថានី។
ដំណើរការនៃការស្លាប់និងការបន្តពូជ
នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការតម្រង់ជួរ ថ្នាក់ពិសេសនៃដំណើរការចៃដន្យត្រូវបានរីករាលដាល - អ្វីដែលគេហៅថា ដំណើរការនៃការស្លាប់ និងការបន្តពូជ។ឈ្មោះនេះត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងបញ្ហាជីវសាស្រ្តមួយចំនួនដែលដំណើរការនេះដើរតួជាគំរូគណិតវិទ្យានៃការផ្លាស់ប្តូរចំនួនប្រជាជនជីវសាស្រ្ត។
ពិចារណាសំណុំលំដាប់នៃរដ្ឋប្រព័ន្ធ S 0, S1, S2,…, Sk ។ ការផ្លាស់ប្តូរអាចត្រូវបានអនុវត្តពីរដ្ឋណាមួយទៅរដ្ឋដែលមានលេខជិតខាង i.e. ពីរដ្ឋ Sk-1 ដំណើរផ្លាស់ប្តូរអាចធ្វើទៅបានទាំងទៅរដ្ឋ ឬទៅរដ្ឋ S k+11 .
យោងទៅតាមច្បាប់សម្រាប់ការចងក្រងសមីការបែបនេះ (សមីការ Kolmogorov) យើងទទួលបាន៖ សម្រាប់រដ្ឋ S0
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន
អរូបីនេះបង្ហាញពីគោលគំនិតដែលនាំទៅដល់ធាតុប្រព័ន្ធនៃទ្រឹស្ដីនៃដំណើរការតម្រង់ជួរដោយចៃដន្យគឺ៖ ដំណើរការចៃដន្យ សេវាកម្ម ប្រព័ន្ធតម្រង់ជួរ ប្រព័ន្ធតម្រង់ជួរ។
ឯកសារយោង
ម៉ាស់ចៃដន្យ Markov Kolmogorov
1. N.Sh. Kremer "ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងស្ថិតិគណិតវិទ្យា" Unity, Moscow, 2003
ការបង្រៀន
ត្រូវការជំនួយក្នុងការរៀនប្រធានបទមួយ?
អ្នកជំនាញរបស់យើងនឹងផ្តល់ប្រឹក្សា ឬផ្តល់សេវាកម្មបង្រៀនលើប្រធានបទដែលអ្នកចាប់អារម្មណ៍។
ដាក់ស្នើកម្មវិធីបង្ហាញពីប្រធានបទឥឡូវនេះ ដើម្បីស្វែងយល់អំពីលទ្ធភាពនៃការទទួលបានការពិគ្រោះយោបល់។
