ជាការពិតណាស់ នៅពេលគណនាអនុគមន៍ការចែកចាយបន្ត គួរតែប្រើទំនាក់ទំនងដែលបានរៀបរាប់រវាងការចែកចាយ binomial និង beta ។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺពិតជាប្រសើរជាងការបូកសរុបដោយផ្ទាល់នៅពេលដែល n > 10 ។

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាបុរាណស្តីពីស្ថិតិ ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃការបែងចែក binomial វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើរូបមន្តដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទកំណត់ (ដូចជារូបមន្ត Moivre-Laplace) ។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថា តាមទស្សនៈនៃការគណនាសុទ្ធសាធតម្លៃនៃទ្រឹស្តីបទទាំងនេះគឺនៅជិតសូន្យ ជាពិសេសឥឡូវនេះ នៅពេលដែលមានកុំព្យូទ័រដ៏មានឥទ្ធិពលមួយនៅលើតារាងស្ទើរតែទាំងអស់។ គុណវិបត្តិចម្បងនៃការប៉ាន់ស្មានខាងលើគឺភាពត្រឹមត្រូវមិនគ្រប់គ្រាន់ទាំងស្រុងរបស់ពួកគេសម្រាប់តម្លៃនៃ n ធម្មតាសម្រាប់កម្មវិធីភាគច្រើន។ គុណវិបត្តិមិនតិចជាងគឺអវត្តមាននៃអនុសាសន៍ច្បាស់លាស់ណាមួយលើការអនុវត្តនៃការប្រហាក់ប្រហែលមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត (នៅក្នុងអត្ថបទស្តង់ដារ មានតែទម្រង់ asymptotic ប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ពួកវាមិនត្រូវបានអមដោយការប៉ាន់ប្រមាណភាពត្រឹមត្រូវទេ ហើយដូច្នេះវាមានការប្រើប្រាស់តិចតួច)។ ខ្ញុំចង់និយាយថារូបមន្តទាំងពីរមានសុពលភាពសម្រាប់តែ n< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.

ខ្ញុំមិនចាត់ទុកនៅទីនេះជាបញ្ហានៃការស្វែងរកបរិមាណទេ៖ សម្រាប់ការចែកចាយដាច់ពីគ្នា វាជារឿងតូចតាច ហើយនៅក្នុងបញ្ហាទាំងនោះដែលការចែកចាយបែបនេះកើតឡើង ជាក្បួនវាមិនពាក់ព័ន្ធទេ។ ប្រសិនបើ quantiles នៅតែត្រូវការ ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យកែទម្រង់បញ្ហាក្នុងរបៀបមួយដើម្បីធ្វើការជាមួយ p-values ​​(សារៈសំខាន់ដែលបានសង្កេត)។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយ៖ នៅពេលអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយការរាប់ចំនួនមួយចំនួន នៅជំហាននីមួយៗ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីពិនិត្យមើលសម្មតិកម្មស្ថិតិអំពីអថេរចៃដន្យ binomial ។ យោងតាមវិធីសាស្រ្តបុរាណនៅជំហាននីមួយៗវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាស្ថិតិនៃលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនិងប្រៀបធៀបតម្លៃរបស់វាជាមួយនឹងព្រំដែននៃសំណុំសំខាន់។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយសារក្បួនដោះស្រាយគឺជាការរាប់បញ្ចូល វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ព្រំដែននៃការកំណត់សំខាន់រាល់ពេលម្តងទៀត (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ ទំហំគំរូផ្លាស់ប្តូរពីមួយជំហានទៅមួយជំហាន) ដែលបង្កើនការចំណាយពេលវេលាដោយមិនផលិត។ វិធីសាស្រ្តទំនើបណែនាំឱ្យគណនាសារៈសំខាន់ដែលបានសង្កេត ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃទំនុកចិត្ត ដោយសន្សំលើការស្វែងរកបរិមាណ។

ដូច្នេះ កូដខាងក្រោមមិនគណនាអនុគមន៍បញ្ច្រាសទេ ផ្ទុយទៅវិញ អនុគមន៍ rev_binomialDF ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលគណនាប្រូបាប៊ីលីតេ p នៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងតែមួយដែលបានផ្តល់ចំនួន n នៃការសាកល្បង ចំនួន m នៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងពួកវា និងតម្លៃ y នៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានភាពជោគជ័យទាំងនេះ។ វាប្រើទំនាក់ទំនងដែលបានរៀបរាប់ខាងលើរវាងការចែកចាយ binomial និង beta ។

តាមពិតមុខងារនេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានព្រំដែននៃចន្លោះពេលទំនុកចិត្ត។ ពិតហើយ ឧបមាថាយើងទទួលបានភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងលេខពីរ។ ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ ព្រំដែនខាងឆ្វេងនៃចន្លោះពេលទំនុកចិត្តពីរសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ p ជាមួយនឹងកម្រិតទំនុកចិត្តគឺ 0 ប្រសិនបើ m = 0 ហើយសម្រាប់គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ។ . ដូចគ្នានេះដែរ ព្រំដែនខាងស្តាំគឺ 1 ប្រសិនបើ m = n ហើយសម្រាប់ជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ . នេះ​បញ្ជាក់​ថា ដើម្បី​ស្វែង​រក​ព្រំដែន​ខាង​ឆ្វេង យើង​ត្រូវ​តែ​ដោះស្រាយ​សមីការ និងដើម្បីស្វែងរកមួយដែលត្រឹមត្រូវ - សមីការ . ពួកវាត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងអនុគមន៍ binom_leftCI និង binom_rightCI ដែលត្រឡប់ព្រំដែនខាងលើ និងខាងក្រោមនៃចន្លោះទំនុកចិត្តពីរភាគីរៀងគ្នា។

ខ្ញុំចង់កត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើភាពត្រឹមត្រូវមិនគួរឱ្យជឿគឺមិនចាំបាច់ទេនោះសម្រាប់ n ធំគ្រប់គ្រាន់អ្នកអាចប្រើការប៉ាន់ស្មានខាងក្រោម [B.L. van der Waerden, ស្ថិតិគណិតវិទ្យា។ M: IL, 1960, Ch ។ 2, វិ។ ៧]៖ ដែល g គឺជាបរិមាណនៃការចែកចាយធម្មតា។ តម្លៃនៃការប៉ាន់ស្មាននេះគឺថាមានការប៉ាន់ប្រមាណសាមញ្ញបំផុតដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាបរិមាណនៃការចែកចាយធម្មតា (សូមមើលអត្ថបទអំពីការគណនាការចែកចាយធម្មតា និងផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃឯកសារយោងនេះ)។ នៅក្នុងការអនុវត្តរបស់ខ្ញុំ (ជាចម្បងសម្រាប់ n> 100) ការប៉ាន់ស្មាននេះបានផ្តល់ឱ្យប្រហែល 3-4 ខ្ទង់ ដែលតាមក្បួនគឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។

ការគណនាជាមួយលេខកូដខាងក្រោមទាមទារឯកសារ betaDF.h , betaDF.cpp (សូមមើលផ្នែកស្តីពីការចែកចាយបេតា) ក៏ដូចជា logGamma.h , logGamma.cpp (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធ A)។ អ្នកក៏អាចឃើញឧទាហរណ៍នៃការប្រើប្រាស់មុខងារផងដែរ។

ឯកសារ binomialDF.h

#ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF (ការសាកល្បងពីរដង ជោគជ័យពីរដង ទំទ្វេ); /* * សូមឱ្យមាន "ការសាកល្បង" នៃការសង្កេតឯករាជ្យ * ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ "p" នៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងនីមួយៗ។ * គណនាប្រូបាប៊ីលីតេ B(successes|trials,p) ដែលចំនួន * នៃភាពជោគជ័យគឺនៅចន្លោះ 0 និង "successes" (រួមបញ្ចូល)។ */ double rev_binomialDF(ការសាកល្បងពីរដង ជោគជ័យទ្វេរដង y ពីរដង); /* * អនុញ្ញាតឱ្យប្រូបាប៊ីលីតេ y នៃជោគជ័យយ៉ាងតិច m * ត្រូវបានដឹងនៅក្នុងការសាកល្បងនៃគម្រោង Bernoulli ។ មុខងារស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ p * នៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងតែមួយ។ * * ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា * * 1 - p = rev_Beta(trials-successes| successes+1, y)។ */ double binom_leftCI(ការសាកល្បងពីរដង ជោគជ័យទ្វេរដង កម្រិតទ្វេរដង); /* សូមឱ្យមាន "ការសាកល្បង" នៃការសង្កេតឯករាជ្យ * ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ "p" នៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងគ្នា * ហើយចំនួននៃភាពជោគជ័យគឺ "ជោគជ័យ" ។ * ព្រំដែនខាងឆ្វេងនៃចន្លោះពេលទំនុកចិត្តពីរភាគី * ត្រូវបានគណនាជាមួយនឹងកម្រិតសារៈសំខាន់។ */ double binom_rightCI(double n, double successes, double level); /* សូមឱ្យមាន "ការសាកល្បង" នៃការសង្កេតឯករាជ្យ * ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ "p" នៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងគ្នា * ហើយចំនួននៃភាពជោគជ័យគឺ "ជោគជ័យ" ។ * ព្រំដែនខាងស្តាំនៃចន្លោះពេលទំនុកចិត្តពីរភាគី * ត្រូវបានគណនាជាមួយនឹងកម្រិតសារៈសំខាន់។ */ #endif /* បញ្ចប់ #ifndef __BINOMIAL_H__ */

ឯកសារ binomialDF.cpp

/******************************************************* **** **********/ /* ការចែកចាយ Binomial */ /****************************** **** ********************************/ #រួមបញ្ចូល # រួមបញ្ចូល #include "betaDF.h" ENTRY double binomialDF(double n, double m, double p) /* * សូមអោយមានការសង្កេតឯករាជ្យ "n" * ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ "p" នៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងនីមួយៗ។ * គណនាប្រូបាប៊ីលីតេ B(m|n,p) ដែលចំនួនជោគជ័យគឺ * រវាង 0 និង "m" (រាប់បញ្ចូល) i.e. * ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេទ្វេពី 0 ដល់ m: * * m * -- (n) j n-j * > () p (1-p) * -- (j) * j=0 * * ការគណនាមិនមានន័យថា បូកសរុបអត់ចេះសោះ - * ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ទំនាក់​ទំនង​ដូច​ខាង​ក្រោម​ជាមួយ​នឹង​ការ​ចែកចាយ​បេតា​កណ្តាល​៖ * * B(m|n,p) = Beta(1-p|n-m,m+1) ។ ** អាគុយម៉ង់ត្រូវតែជាវិជ្ជមាន ដោយមាន 0<= p <= 1. */ { assert((n >0) && (p >= 0) && (ទំ<= 1)); if (m < 0) return 0; else if (m == 0) return pow(1-p, n); else if (m >= n) ត្រឡប់ 1; ផ្សេងទៀតត្រឡប់ BetaDF(n-m, m+1).value(1-p); )/* binomialDF */ ENTRY double rev_binomialDF(double n, double m, double y) /* * អនុញ្ញាតឱ្យប្រូបាប៊ីលីតេ y នៃជោគជ័យយ៉ាងហោចណាស់ m * ត្រូវបានដឹងនៅក្នុងការសាកល្បង n នៃគ្រោងការណ៍ Bernoulli ។ មុខងារស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេ p * នៃភាពជោគជ័យនៅក្នុងការសាកល្បងតែមួយ។ * * ទំនាក់ទំនងខាងក្រោមត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា * * 1 - p = rev_Beta(y|n-m,m+1) ។ */ ( អះអាង((n > 0) && (m >= 0) && (m<= n) && (y >= 0) && (y<= 1)); return 1-BetaDF(n-m, m+1).inv(y); }/*rev_binomialDF*/ ENTRY double binom_leftCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется левая граница двухстороннего доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (ម<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m, n-m+1).inv((1-y)/2); }/*binom_leftCI*/ ENTRY double binom_rightCI(double n, double m, double y) /* Пусть имеется "n" независимых наблюдений * с вероятностью "p" успеха в каждом * и количество успехов равно "m". * Вычисляется правая граница доверительного интервала * с уровнем значимости y. */ { assert((n >0) && (m >= 0) && (ម<= n) && (y >= 0.5) && (y< 1)); return BetaDF(m+1, n-m).inv((1+y)/2); }/*binom_rightCI*/

ពិចារណាលើការចែកចាយ Binomial គណនាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ភាពខុសប្លែកគ្នា របៀប។ ដោយប្រើមុខងារ MS EXCEL BINOM.DIST() យើងនឹងធ្វើផែនការមុខងារចែកចាយ និងក្រាហ្វដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ។ ចូរយើងប៉ាន់ស្មានប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការចែកចាយ p ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការចែកចាយ និងគម្លាតស្តង់ដារ។ ពិចារណាផងដែរអំពីការចែកចាយ Bernoulli ។

និយមន័យ. ឱ្យ​គេ​ឃុំ​ខ្លួន នការធ្វើតេស្តដែលក្នុងនោះមានតែ 2 ព្រឹត្តិការណ៍អាចកើតឡើង: ព្រឹត្តិការណ៍ "ជោគជ័យ" ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំ ឬព្រឹត្តិការណ៍ "បរាជ័យ" ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ q =1-p (អ្វីដែលគេហៅថា គ្រោងការណ៍ Bernoulli,ប៊ែរណូលីការសាកល្បង).

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានយ៉ាងពិតប្រាកដ x ជោគជ័យក្នុងទាំងនេះ ន ការធ្វើតេស្តគឺស្មើនឹង៖

ចំនួនជោគជ័យក្នុងគំរូ x គឺជាអថេរចៃដន្យដែលមាន ការចែកចាយទ្វេ(ភាសាអង់គ្លេស) លេខទ្វេការចែកចាយ) ទំនិង ន – គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃការចែកចាយនេះ។

ចងចាំវាដើម្បីអនុវត្ត គ្រោងការណ៍ Bernoulliនិងស្របគ្នា។ ការ​ចែកចាយ​ទ្វេ​នាម​,លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវតែបំពេញ៖

• ការសាកល្បងនីមួយៗត្រូវតែមានលទ្ធផលពីរយ៉ាងពិតប្រាកដ ហៅថា "ជោគជ័យ" និង "បរាជ័យ"។
• លទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តនីមួយៗមិនគួរអាស្រ័យលើលទ្ធផលនៃការធ្វើតេស្តពីមុនទេ (ការធ្វើតេស្តឯករាជ្យ) ។
• អត្រា​នៃ​ការ​ទទួល​បាន​ភាព​ជោគជ័យ ទំ ត្រូវតែថេរសម្រាប់ការធ្វើតេស្តទាំងអស់។

ការចែកចាយ Binomial នៅក្នុង MS EXCEL

នៅក្នុង MS EXCEL ចាប់ផ្តើមពីកំណែ 2010 សម្រាប់ មានមុខងារ BINOM.DIST() ឈ្មោះជាភាសាអង់គ្លេសគឺ BINOM.DIST() ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលគំរូនឹងមានយ៉ាងពិតប្រាកដ។ X"ជោគជ័យ" (ឧ។ មុខងារដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ p(x) សូមមើលរូបមន្តខាងលើ) និង មុខងារចែកចាយអាំងតេក្រាល។(ប្រូបាប៊ីលីតេដែលគំរូនឹងមាន xឬតិចជាង "ជោគជ័យ" រួមទាំង 0) ។

មុនពេល MS EXCEL 2010 EXCEL មានមុខងារ BINOMDIST() ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាផងដែរ។ មុខងារចែកចាយនិង ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ p(x) BINOMDIST() ត្រូវបានទុកនៅក្នុង MS EXCEL 2010 សម្រាប់ភាពឆបគ្នា។

ឯកសារឧទាហរណ៍មានក្រាហ្វ ដង់ស៊ីតេចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេនិង .

ការចែកចាយទ្វេមាន​ការ​កំណត់​ ខ (ន ; ទំ) .

ចំណាំ៖ សម្រាប់សាងសង់ មុខងារចែកចាយអាំងតេក្រាល។ប្រភេទតារាងសមឥតខ្ចោះ កាលវិភាគ, សម្រាប់ ដង់ស៊ីតេចែកចាយ – អ៊ីស្តូក្រាមជាមួយនឹងការដាក់ជាក្រុម. សម្រាប់ព័ត៌មានបន្ថែមអំពីការកសាងគំនូសតាង សូមអានអត្ថបទ ប្រភេទសំខាន់ៗនៃគំនូសតាង។

ចំណាំ៖ សម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការសរសេររូបមន្តក្នុងឯកសារឧទាហរណ៍ ឈ្មោះសម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានបង្កើត ការចែកចាយទ្វេ: n និងទំ។

ឯកសារឧទាហរណ៍បង្ហាញពីការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេផ្សេងៗដោយប្រើមុខងារ MS EXCEL៖

ដូចដែលបានឃើញក្នុងរូបភាពខាងលើ សន្មត់ថា៖

• ចំនួនប្រជាជនគ្មានកំណត់ដែលគំរូត្រូវបានធ្វើឡើងមាន 10% (ឬ 0.1) ធាតុល្អ (ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ទំ, អាគុយម៉ង់អនុគមន៍ទីបី = BINOM.DIST() )
• ដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលនៅក្នុងគំរូនៃធាតុ 10 (ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ នអាគុយម៉ង់ទីពីរនៃអនុគមន៍) វានឹងមានធាតុត្រឹមត្រូវចំនួន 5 (អាគុយម៉ង់ទីមួយ) អ្នកត្រូវសរសេររូបមន្ត៖ =BINOM.DIST(5, 10, 0.1, FALSE)
• ធាតុចុងក្រោយទីបួនត្រូវបានកំណត់ = FALSE, i.e. តម្លៃមុខងារត្រូវបានត្រឡប់ ដង់ស៊ីតេចែកចាយ .

ប្រសិនបើតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ទីបួន = TRUE នោះអនុគមន៍ BINOM.DIST() ត្រឡប់តម្លៃ មុខងារចែកចាយអាំងតេក្រាល។ឬសាមញ្ញ មុខងារចែកចាយ. ក្នុងករណីនេះ អ្នកអាចគណនាប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំនួនធាតុល្អនៅក្នុងគំរូនឹងមកពីជួរជាក់លាក់មួយ ឧទាហរណ៍ 2 ឬតិចជាងនេះ (រួមទាំង 0)។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះសរសេររូបមន្ត: = BINOM.DIST(2, 10, 0.1, ពិត)

ចំណាំ៖ សម្រាប់តម្លៃដែលមិនមែនជាចំនួនគត់នៃ x, . ឧទាហរណ៍ រូបមន្តខាងក្រោមនឹងត្រឡប់តម្លៃដូចគ្នា៖ =BINOM.DIST( 2 ; ដប់; 0.1; ពិត)=BINOM.DIST( 2,9 ; ដប់; 0.1; ពិត)

ចំណាំ៖ នៅក្នុងឯកសារឧទាហរណ៍ ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេនិង មុខងារចែកចាយក៏បានគណនាដោយប្រើនិយមន័យ និងមុខងារ COMBIN()។

សូចនាករចែកចាយ

អេ ឧទាហរណ៍ឯកសារនៅលើសន្លឹកឧទាហរណ៍មានរូបមន្តសម្រាប់គណនាសូចនាករចែកចាយមួយចំនួន៖

• =n*p;
• (គម្លាតស្តង់ដារការ៉េ) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)))។

យើងទទួលបានរូបមន្ត ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាការចែកចាយទ្វេការប្រើប្រាស់ គ្រោងការណ៍ Bernoulli .

តាមនិយមន័យ អថេរចៃដន្យ X ក្នុង គ្រោងការណ៍ Bernoulli(Bernoulli អថេរចៃដន្យ) មាន មុខងារចែកចាយ :

ការចែកចាយនេះត្រូវបានគេហៅថា ការចែកចាយ Bernoulli .

ចំណាំ : ការចែកចាយ Bernoulli- ករណីពិសេស ការចែកចាយទ្វេជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ n=1 ។

ចូរយើងបង្កើតអារេចំនួន 3 នៃលេខ 100 ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យផ្សេងៗគ្នា៖ 0.1; 0.5 និង 0.9 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះនៅក្នុងបង្អួច ការបង្កើតលេខចៃដន្យកំណត់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រខាងក្រោមសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនីមួយៗ p:

ចំណាំ៖ ប្រសិនបើអ្នកកំណត់ជម្រើស ការខ្ចាត់ខ្ចាយដោយចៃដន្យ (គ្រាប់ពូជចៃដន្យ) បន្ទាប់មកអ្នកអាចជ្រើសរើសសំណុំចៃដន្យជាក់លាក់នៃលេខដែលបានបង្កើត។ ឧទាហរណ៍ តាមរយៈការកំណត់ជម្រើសនេះ =25 អ្នកអាចបង្កើតសំណុំលេខចៃដន្យដូចគ្នានៅលើកុំព្យូទ័រផ្សេងៗគ្នា (ប្រសិនបើជាការពិត ប៉ារ៉ាម៉ែត្រចែកចាយផ្សេងទៀតគឺដូចគ្នា)។ តម្លៃជម្រើសអាចយកតម្លៃចំនួនគត់ពី 1 ដល់ 32,767។ ឈ្មោះជម្រើស ការខ្ចាត់ខ្ចាយដោយចៃដន្យអាចច្រឡំ។ វាជាការប្រសើរក្នុងការបកប្រែវាជា កំណត់លេខដោយលេខចៃដន្យ .

ជាលទ្ធផលយើងនឹងមាន 3 ជួរនៃ 100 លេខ ដោយផ្អែកលើឧទាហរណ៍ យើងអាចប៉ាន់ស្មានប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ ទំយោងតាមរូបមន្ត៖ ចំនួនជោគជ័យ/100(សង់​ទី​ម៉ែ​ត។ សន្លឹកឯកសារឧទាហរណ៍ ការបង្កើត Bernoulli).

ចំណាំ៖ សម្រាប់ ការចែកចាយ Bernoulliជាមួយ p=0.5 អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត =RANDBETWEEN(0;1) ដែលត្រូវនឹង .

ការបង្កើតលេខចៃដន្យ។ ការចែកចាយទ្វេ

ឧបមាថាមានធាតុខូចចំនួន 7 នៅក្នុងគំរូ។ នេះមានន័យថាវា "ទំនងណាស់" ដែលសមាមាត្រនៃផលិតផលខូចបានផ្លាស់ប្តូរ។ ទំដែលជាលក្ខណៈនៃដំណើរការផលិតរបស់យើង។ ទោះបីជាស្ថានភាពនេះគឺ "ទំនងណាស់" ប៉ុន្តែមានលទ្ធភាព (ហានិភ័យអាល់ហ្វា កំហុសប្រភេទទី 1 "ការជូនដំណឹងមិនពិត") ដែល ទំនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយការកើនឡើងនៃចំនួនផលិតផលដែលខូចគឺដោយសារតែការយកគំរូចៃដន្យ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងរូបភាពខាងក្រោម 7 គឺជាចំនួននៃផលិតផលដែលមានបញ្ហាដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់ដំណើរការជាមួយ p=0.21 ដែលមានតម្លៃដូចគ្នា អាល់ហ្វា. នេះបង្ហាញថានៅពេលដែលកម្រិតនៃធាតុខូចនៅក្នុងគំរូមួយគឺលើស។ ទំ"ប្រហែល" កើនឡើង។ ឃ្លា "ទំនង" មានន័យថា មានឱកាសត្រឹមតែ 10% (100%-90%) ដែលគម្លាតនៃភាគរយនៃផលិតផលដែលមានបញ្ហាលើសពីកម្រិតគឺដោយសារតែមូលហេតុចៃដន្យប៉ុណ្ណោះ។

ដូច្នេះ លើសពីចំនួនកម្រិតកំណត់នៃផលិតផលដែលមានបញ្ហានៅក្នុងគំរូអាចបម្រើជាសញ្ញាថាដំណើរការនេះមានការខកចិត្ត ហើយចាប់ផ្តើមផលិតខ។ អំពីភាគរយខ្ពស់នៃផលិតផលខូច។

ចំណាំ៖ មុនពេល MS EXCEL 2010 EXCEL មានមុខងារ CRITBINOM() ដែលស្មើនឹង BINOM.INV() ។ CRITBINOM() ត្រូវបានទុកនៅក្នុង MS EXCEL 2010 និងខ្ពស់ជាងនេះសម្រាប់ភាពឆបគ្នា។

ទំនាក់ទំនងនៃការចែកចាយ Binomial ទៅនឹងការចែកចាយផ្សេងទៀត។

ប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រ នការចែកចាយទ្វេទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ និង ទំទំនោរទៅ 0 បន្ទាប់មកក្នុងករណីនេះ ការចែកចាយទ្វេអាចត្រូវបានប៉ាន់ស្មាន។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើតលក្ខខណ្ឌនៅពេលប្រហាក់ប្រហែល ការចែកចាយ Poissonដំណើរការល្អ៖

• ទំ(តិច ទំនិង​ច្រើន​ទៀត ន, ការប៉ាន់ស្មានកាន់តែត្រឹមត្រូវ);
• ទំ >0,9 (ពិចារណា q =1- ទំ, ការគណនាក្នុងករណីនេះត្រូវតែត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើ q(ក Xចាំបាច់ត្រូវជំនួសដោយ ន - x) ដូច្នេះ តិច qនិង​ច្រើន​ទៀត នការប៉ាន់ស្មានកាន់តែត្រឹមត្រូវ) ។

នៅ 0.110 ការចែកចាយទ្វេអាចត្រូវបានប៉ាន់ស្មាន។

នៅក្នុងវេនរបស់ខ្លួន, ការចែកចាយទ្វេអាចបម្រើជាការប៉ាន់ស្មានដ៏ល្អនៅពេលដែលទំហំប្រជាជនគឺ N ការចែកចាយ Hypergeometricធំជាងទំហំគំរូ n (i.e. N>>n ឬ n/N អ្នកអាចអានបន្ថែមអំពីទំនាក់ទំនងនៃការចែកចាយខាងលើនៅក្នុងអត្ថបទ។ ឧទាហរណ៍នៃការប៉ាន់ស្មានក៏ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅទីនោះ ហើយលក្ខខណ្ឌត្រូវបានពន្យល់នៅពេលដែលវាអាចទៅរួច និង ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវអ្វី។

ដំបូន្មាន៖ អ្នកអាចអានអំពីការចែកចាយផ្សេងទៀតនៃ MS EXCEL នៅក្នុងអត្ថបទ។

ទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេមានវត្តមានដោយមើលមិនឃើញនៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ យើង​មិន​យក​ចិត្ត​ទុក​ដាក់​ចំពោះ​វា​ទេ ប៉ុន្តែ​រាល់​ព្រឹត្តិការណ៍​ក្នុង​ជីវិត​របស់​យើង​មាន​ប្រូបាប​មួយ ឬ​មួយ​ផ្សេង​ទៀត។ ដោយពិចារណាលើចំនួនដ៏ច្រើននៃសេណារីយ៉ូដែលអាចកើតមាន វាចាំបាច់សម្រាប់យើងក្នុងការកំណត់លទ្ធភាពបំផុត និងប្រហែលតិចបំផុតនៃពួកវា។ វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការវិភាគទិន្នន័យប្រូបាប៊ីលីតេជាក្រាហ្វិក។ ការចែកចាយអាចជួយយើងក្នុងរឿងនេះ។ Binomial គឺជាផ្នែកមួយនៃការងាយស្រួលបំផុត និងត្រឹមត្រូវបំផុត។

មុននឹងផ្លាស់ប្តូរដោយផ្ទាល់ទៅគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ចូរយើងស្វែងយល់ថាអ្នកណាជាអ្នកដំបូងដែលបង្កើតការចែកចាយប្រភេទនេះ និងអ្វីជាប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍ឧបករណ៍គណិតវិទ្យាសម្រាប់គំនិតនេះ។

រឿង

គំនិតនៃប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគេស្គាល់តាំងពីសម័យបុរាណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គណិតវិទូបុរាណមិនបានភ្ជាប់សារៈសំខាន់ច្រើនចំពោះវាទេ ហើយគ្រាន់តែអាចដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះសម្រាប់ទ្រឹស្តីដែលក្រោយមកបានក្លាយទៅជាទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ ពួកគេបានបង្កើតវិធីសាស្រ្តផ្សំមួយចំនួនដែលជួយយ៉ាងខ្លាំងដល់អ្នកដែលក្រោយមកបានបង្កើត និងបង្កើតទ្រឹស្តីដោយខ្លួនឯង។

នៅពាក់កណ្តាលទីពីរនៃសតវត្សទីដប់ប្រាំពីរ ការបង្កើតគោលគំនិត និងវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេបានចាប់ផ្តើម។ និយមន័យនៃអថេរចៃដន្យ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់គណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ឯករាជ្យ និងស្មុគ្រស្មាញមួយចំនួនត្រូវបានណែនាំ។ ចំណាប់អារម្មណ៍បែបនេះចំពោះអថេរ និងប្រូបាប៊ីលីតេចៃដន្យត្រូវបានកំណត់ដោយការលេងល្បែង៖ មនុស្សម្នាក់ៗចង់ដឹងថាតើឱកាសរបស់គាត់ក្នុងការឈ្នះហ្គេមមានអ្វីខ្លះ។

ជំហានបន្ទាប់គឺការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ គណិតវិទូល្បីៗដូចជា Laplace, Gauss, Poisson និង Bernoulli បានយកភារកិច្ចនេះ។ វាគឺជាពួកគេដែលបានលើកកំពស់ផ្នែកគណិតវិទ្យានេះដល់កម្រិតថ្មីមួយ។ វាគឺជា James Bernoulli ដែលបានរកឃើញច្បាប់ចែកចាយ binomial ។ ដោយវិធីនេះ ដូចដែលយើងនឹងរកឃើញនៅពេលក្រោយ ដោយផ្អែកលើការរកឃើញនេះ ការរកឃើញជាច្រើនទៀតត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតច្បាប់នៃការចែកចាយធម្មតា និងជាច្រើនទៀត។

ឥឡូវនេះ មុននឹងចាប់ផ្តើមពណ៌នាអំពីការចែកចាយ binomial យើងនឹងរំលឹកឡើងវិញបន្តិចនៅក្នុងការចងចាំអំពីគោលគំនិតនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលប្រហែលជាភ្លេចរួចហើយពីកៅអីសាលា។

មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ

យើង​នឹង​ពិចារណា​លើ​ប្រព័ន្ធ​បែប​នេះ​ជា​លទ្ធផល​ដែល​មាន​តែ​លទ្ធផល​ពីរ​ប៉ុណ្ណោះ​ដែល​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន៖ "ជោគជ័យ" និង "បរាជ័យ"។ នេះងាយយល់ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍៖ យើងបោះកាក់ដោយស្មានថាកន្ទុយនឹងជ្រុះ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចកើតមាននីមួយៗ (កន្ទុយ - "ជោគជ័យ" ក្បាល - "មិនជោគជ័យ") គឺស្មើនឹង 50 ភាគរយជាមួយនឹងកាក់ដែលមានតុល្យភាពឥតខ្ចោះ ហើយមិនមានកត្តាផ្សេងទៀតដែលអាចប៉ះពាល់ដល់ការពិសោធន៍នោះទេ។

វាជាព្រឹត្តិការណ៍ដ៏សាមញ្ញបំផុត។ ប៉ុន្តែក៏មានប្រព័ន្ធស្មុគ្រស្មាញផងដែរ ដែលសកម្មភាពបន្តបន្ទាប់គ្នាត្រូវបានអនុវត្ត ហើយប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលនៃសកម្មភាពទាំងនេះនឹងខុសគ្នា។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាលើប្រព័ន្ធខាងក្រោម៖ នៅក្នុងប្រអប់ដែលមាតិកាដែលយើងមើលមិនឃើញ មានបាល់ដូចគ្នាចំនួនប្រាំមួយ ពណ៌ខៀវ ក្រហម និងសចំនួនបីគូ។ យើងត្រូវតែទទួលបានបាល់ពីរបីដោយចៃដន្យ។ ដូច្នោះហើយ ដោយការទាញបាល់ពណ៌សមួយចេញមុនគេ យើងនឹងកាត់បន្ថយជាច្រើនដងនៃប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាគ្រាប់បន្ទាប់យើងនឹងទទួលបានបាល់ពណ៌សផងដែរ។ វាកើតឡើងដោយសារតែចំនួនវត្ថុនៅក្នុងប្រព័ន្ធផ្លាស់ប្តូរ។

នៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងពិនិត្យមើលគោលគំនិតគណិតវិទ្យាដែលស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត ដែលនាំយើងឱ្យជិតទៅនឹងអ្វីដែលពាក្យ "ការចែកចាយធម្មតា", "ការចែកចាយ binomial" និងមានន័យដូចនោះ។

ធាតុនៃស្ថិតិគណិតវិទ្យា

នៅក្នុងស្ថិតិដែលជាផ្នែកមួយនៃការអនុវត្តទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ មានឧទាហរណ៍ជាច្រើនដែលទិន្នន័យសម្រាប់ការវិភាគមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យច្បាស់លាស់។ នោះ​គឺ​មិនមែន​ជា​លេខ​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ទម្រង់​នៃ​ការ​បែងចែក​តាម​លក្ខណៈ​ជា​ឧទាហរណ៍​តាម​យេនឌ័រ។ ដើម្បីអនុវត្តឧបករណ៍គណិតវិទ្យាទៅនឹងទិន្នន័យបែបនេះ និងទាញការសន្និដ្ឋានមួយចំនួនពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន វាត្រូវបានទាមទារឱ្យបំប្លែងទិន្នន័យដំបូងទៅជាទម្រង់លេខ។ តាមក្បួនមួយ ដើម្បីអនុវត្តវា លទ្ធផលវិជ្ជមានត្រូវបានផ្តល់តម្លៃ 1 ហើយអវិជ្ជមានមួយត្រូវបានផ្តល់តម្លៃ 0 ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានទិន្នន័យស្ថិតិដែលអាចវិភាគបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា។

ជំហានបន្ទាប់ក្នុងការយល់ដឹងពីអ្វីដែលការចែកចាយ binomial នៃអថេរចៃដន្យគឺដើម្បីកំណត់ភាពប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។ យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅផ្នែកបន្ទាប់។

តម្លៃរំពឹងទុក

តាមការពិត ការយល់ដឹងអំពីអ្វីដែលការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យាគឺមិនពិបាកទេ។ ពិចារណាអំពីប្រព័ន្ធដែលមានព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងៗគ្នាជាច្រើនដែលមានប្រូបាប៊ីលីតេខុសៗគ្នារបស់ពួកគេ។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានឹងត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ (ក្នុងទម្រង់គណិតវិទ្យាដែលយើងបាននិយាយនៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយ) និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងរបស់វា។

ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការចែកចាយ binomial ត្រូវបានគណនាតាមគ្រោងការណ៍ដូចគ្នា៖ យើងយកតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យមួយ គុណវាដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលវិជ្ជមាន ហើយបន្ទាប់មកសង្ខេបទិន្នន័យដែលទទួលបានសម្រាប់អថេរទាំងអស់។ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការបង្ហាញទិន្នន័យទាំងនេះជាក្រាហ្វិក - វិធីនេះភាពខុសគ្នារវាងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃតម្លៃផ្សេងគ្នាត្រូវបានយល់ឃើញកាន់តែប្រសើរឡើង។

នៅផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងប្រាប់អ្នកបន្តិចអំពីគោលគំនិតផ្សេងគ្នា - ភាពប្រែប្រួលនៃអថេរចៃដន្យ។ វាក៏ទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងគំនិតដូចជាការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ binomial និងជាលក្ខណៈរបស់វា។

ភាពខុសគ្នានៃការបែងចែកទ្វេ

តម្លៃនេះទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងតម្លៃមុន និងកំណត់លក្ខណៈនៃការចែកចាយទិន្នន័យស្ថិតិផងដែរ។ វាតំណាងឱ្យមធ្យមការ៉េនៃគម្លាតនៃតម្លៃពីការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។ នោះគឺ វ៉ារ្យ៉ង់នៃអថេរចៃដន្យ គឺជាផលបូកនៃភាពខុសគ្នាការ៉េរវាងតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យ និងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យារបស់វា គុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ។

ជាទូទៅ នេះជាអ្វីទាំងអស់ដែលយើងត្រូវដឹងអំពីវ៉ារ្យ៉ង់ ដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេទ្វេគឺ។ ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅប្រធានបទសំខាន់របស់យើង។ ពោល​គឺ​អ្វី​ដែល​ស្ថិត​នៅ​ពី​ក្រោយ​ឃ្លា​ដែល​ហាក់​ដូច​ជា​ស្មុគ្រ​ស្មាញ​បែប​នេះ "ច្បាប់​នៃ​ការ​ចែក​ចាយ​ប្រព័ន្ធ​ប៊ីណូមាល"។

ការចែកចាយទ្វេ

ចូរយើងយល់ជាមុនថាហេតុអ្វីបានជាការចែកចាយនេះគឺ binomial ។ វាមកពីពាក្យ "binom" ។ អ្នកប្រហែលជាធ្លាប់បានឮអំពី លេខពីររបស់ញូតុន ដែលជារូបមន្តដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីពង្រីកផលបូកនៃលេខទាំងពីរណាមួយ a និង b ទៅថាមពលដែលមិនអវិជ្ជមាននៃ n ។

ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានទាយរួចហើយ រូបមន្ត binomial របស់ Newton និងរូបមន្តបែងចែក binomial គឺស្ទើរតែរូបមន្តដូចគ្នា។ ជាមួយនឹងករណីលើកលែងតែមួយគត់ដែលថាទីពីរមានតម្លៃអនុវត្តសម្រាប់បរិមាណជាក់លាក់ ហើយទីមួយគ្រាន់តែជាឧបករណ៍គណិតវិទ្យាទូទៅ កម្មវិធីដែលក្នុងការអនុវត្តអាចខុសគ្នា។

រូបមន្តចែកចាយ

អនុគមន៍​ការ​ចែកចាយ​លេខ​ពីរ​អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា​ផលបូក​នៃ​ពាក្យ​ដូច​ខាង​ក្រោម​នេះ៖

(n!/(n-k)!k!)*p k*q n-k

នៅទីនេះ n គឺជាចំនួននៃការពិសោធន៍ចៃដន្យដោយឯករាជ្យ p គឺជាចំនួននៃលទ្ធផលជោគជ័យ q ជាចំនួនលទ្ធផលដែលមិនជោគជ័យ k គឺជាចំនួននៃការពិសោធន៍ (វាអាចយកតម្លៃពី 0 ដល់ n) ! - ការ​កំណត់​នៃ​កត្តា​មួយ​ដូច​ជា​អនុគមន៍​នៃ​លេខ​មួយ​តម្លៃ​ដែល​ស្មើ​នឹង​ផល​គុណ​នៃ​លេខ​ទាំង​អស់​ឡើង​ទៅ​វា (ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​លេខ 4:4!=1*2*3*4= ២៤).

លើសពីនេះ មុខងារចែកចាយ binomial អាចត្រូវបានសរសេរជាអនុគមន៍បេតាមិនពេញលេញ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះគឺជានិយមន័យស្មុគស្មាញជាងនេះរួចទៅហើយ ដែលត្រូវបានប្រើតែនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាស្ថិតិស្មុគស្មាញប៉ុណ្ណោះ។

ការចែកចាយ binomial ឧទាហរណ៍ដែលយើងបានពិនិត្យខាងលើ គឺជាប្រភេទនៃការចែកចាយដ៏សាមញ្ញបំផុតមួយនៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ វាក៏មានការចែកចាយធម្មតាផងដែរ ដែលជាប្រភេទនៃការបែងចែក binomial ។ វា​គឺ​ជា​ការ​ប្រើ​ប្រាស់​ជា​ទូទៅ​បំផុត​និង​ងាយ​ស្រួល​បំផុត​ក្នុង​ការ​គណនា​។ វាក៏មានការចែកចាយ Bernoulli ការចែកចាយ Poisson ការចែកចាយតាមលក្ខខណ្ឌ។ ពួកវាទាំងអស់កំណត់លក្ខណៈក្រាហ្វិកនូវផ្នែកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃដំណើរការជាក់លាក់មួយនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌផ្សេងៗគ្នា។

នៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងពិចារណាទិដ្ឋភាពទាក់ទងនឹងការអនុវត្តឧបករណ៍គណិតវិទ្យានេះក្នុងជីវិតពិត។ នៅ glance ដំបូង, ជាការពិតណាស់, វាហាក់ដូចជាថានេះគឺជារឿងគណិតវិទ្យាមួយផ្សេងទៀត, ដែលជាធម្មតាមិនបានរកឃើញកម្មវិធីនៅក្នុងជីវិតពិត, ហើយជាទូទៅមិនត្រូវបានត្រូវការដោយនរណាម្នាក់លើកលែងតែគណិតវិទូខ្លួនឯង។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនេះមិនមែនជាករណីទេ។ យ៉ាងណាមិញ គ្រប់ប្រភេទនៃការចែកចាយ និងការតំណាងក្រាហ្វិករបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់តែគោលបំណងជាក់ស្តែងប៉ុណ្ណោះ មិនមែនជាការចង់បានរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនោះទេ។

ការដាក់ពាក្យ

រហូតមកដល់ពេលនេះ កម្មវិធីដ៏សំខាន់បំផុតនៃការចែកចាយត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងស្ថិតិ ព្រោះវាត្រូវការការវិភាគស្មុគស្មាញនៃទិន្នន័យច្រើន។ ដូចដែលការអនុវត្តបង្ហាញ អារេទិន្នន័យជាច្រើនមានការចែកចាយតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលគ្នា៖ តំបន់សំខាន់នៃតម្លៃទាប និងខ្ពស់ខ្លាំង ជាក្បួនមានធាតុតិចជាងតម្លៃមធ្យម។

ការវិភាគនៃអារេទិន្នន័យធំគឺត្រូវបានទាមទារមិនត្រឹមតែនៅក្នុងស្ថិតិប៉ុណ្ណោះទេ។ វាគឺមិនអាចខ្វះបាន ឧទាហរណ៍នៅក្នុងគីមីវិទ្យា។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រនេះ វាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំណត់បរិមាណជាច្រើនដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការរំញ័រចៃដន្យ និងចលនានៃអាតូម និងម៉ូលេគុល។

នៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់ យើងនឹងយល់ថាតើវាមានសារៈសំខាន់យ៉ាងណាក្នុងការអនុវត្តគោលគំនិតស្ថិតិដូចជា binomial ការចែកចាយអថេរចៃដន្យនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃសម្រាប់អ្នក និងខ្ញុំ។

ហេតុអ្វីបានជាខ្ញុំត្រូវការវា?

មនុស្សជាច្រើនសួរខ្លួនឯងនូវសំណួរនេះនៅពេលនិយាយអំពីគណិតវិទ្យា។ ហើយដោយវិធីនេះ គណិតវិទ្យាគឺមិនឥតប្រយោជន៍ទេ ដែលហៅថាមហាក្សត្រីនៃវិទ្យាសាស្ត្រ។ វាគឺជាមូលដ្ឋាននៃរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា ជីវវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច ហើយនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រនីមួយៗ ប្រភេទនៃការចែកចាយមួយចំនួនក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ផងដែរ៖ ថាតើវាជាការចែកចាយ binomial ដាច់ ឬធម្មតា វាមិនមានបញ្ហាអ្វីនោះទេ។ ហើយប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលពិភពលោកជុំវិញខ្លួនយើង យើងនឹងឃើញថា គណិតវិទ្យាត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅគ្រប់ទីកន្លែង៖ ក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃ នៅកន្លែងធ្វើការ និងសូម្បីតែទំនាក់ទំនងរបស់មនុស្សអាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ទិន្នន័យស្ថិតិ និងវិភាគ (នេះដោយវិធីនេះ។ , ត្រូវបានធ្វើឡើងដោយអ្នកដែលធ្វើការនៅក្នុងអង្គការពិសេសដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រមូលព័ត៌មាន) ។

ឥឡូវនេះសូមនិយាយបន្តិចអំពីអ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដឹងច្រើនអំពីប្រធានបទនេះជាងអ្វីដែលយើងបានគូសបញ្ជាក់នៅក្នុងអត្ថបទនេះ។

ព័ត៌មានដែលយើងបានផ្តល់ឱ្យក្នុងអត្ថបទនេះគឺនៅឆ្ងាយពីពេញលេញ។ មាន nuances ជាច្រើនអំពីទម្រង់នៃការចែកចាយដែលអាចកើតមាន។ ការចែកចាយ binomial ដូចដែលយើងបានរកឃើញរួចហើយ គឺជាប្រភេទចម្បងមួយ ដែលស្ថិតិគណិតវិទ្យា និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេទាំងអស់ត្រូវបានផ្អែកលើ។

ប្រសិនបើអ្នកចាប់អារម្មណ៍ ឬទាក់ទងនឹងការងាររបស់អ្នក អ្នកត្រូវដឹងច្រើនលើប្រធានបទនេះ អ្នកនឹងត្រូវសិក្សាអក្សរសិល្ប៍ឯកទេស។ អ្នកគួរតែចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងវគ្គសិក្សានៅសាកលវិទ្យាល័យក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា ហើយទៅទីនោះទៅកាន់ផ្នែកស្តីពីទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ចំណេះដឹងផងដែរនៅក្នុងវាលនៃស៊េរីនឹងមានប្រយោជន៍ ពីព្រោះការចែកចាយប្រូបាប៊ីលីតេ binomial គឺគ្មានអ្វីក្រៅពីស៊េរីនៃពាក្យបន្តបន្ទាប់គ្នានោះទេ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

មុន​នឹង​បញ្ចប់​អត្ថបទ យើង​ចង់​ប្រាប់​អ្នក​ពី​រឿង​គួរ​ឱ្យ​ចាប់​អារម្មណ៍​មួយ​ទៀត។ វាពាក់ព័ន្ធដោយផ្ទាល់លើប្រធានបទនៃអត្ថបទរបស់យើង និងគណិតវិទ្យាទាំងអស់ជាទូទៅ។

មនុស្សជាច្រើននិយាយថា គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលគ្មានប្រយោជន៍ ហើយគ្មានអ្វីដែលពួកគេបានរៀននៅក្នុងសាលាមានប្រយោជន៍សម្រាប់ពួកគេទេ។ ប៉ុន្តែ​ចំណេះដឹង​មិន​ដែល​មាន​អ្វី​ហួសហេតុ​ឡើយ ហើយ​ប្រសិនបើ​អ្វីមួយ​មិន​មាន​ប្រយោជន៍​ចំពោះ​អ្នក​ក្នុង​ជីវិត វា​មានន័យថា​អ្នក​គ្រាន់តែ​មិន​ចាំ​វា​។ ប្រសិនបើអ្នកមានចំណេះដឹង ពួកគេអាចជួយអ្នកបាន ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមិនមានវាទេ នោះអ្នកមិនអាចរំពឹងថានឹងផ្តល់ជំនួយពីពួកគេនោះទេ។

ដូច្នេះ យើងបានពិនិត្យមើលគោលគំនិតនៃការចែកចាយ binomial និងនិយមន័យទាំងអស់ដែលទាក់ទងនឹងវា ហើយនិយាយអំពីរបៀបដែលវាត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។

ជំពូកទី 7

ច្បាប់ជាក់លាក់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យ

ប្រភេទនៃច្បាប់នៃការចែកចាយអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក

អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយយកតម្លៃ X 1 , X 2 , …, x ន,…. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តផ្សេងៗ ឧទាហរណ៍ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ រូបមន្ត Bernoulli ឬរូបមន្តផ្សេងទៀតមួយចំនួន។ សម្រាប់រូបមន្តមួយចំនួននេះ ច្បាប់ចែកចាយមានឈ្មោះរបស់វាផ្ទាល់។

ច្បាប់ទូទៅបំផុតនៃការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ពីគ្នាគឺ binomial, geometric, hypergeometric, Poisson's distribution law ។

ច្បាប់នៃការចែកចាយប៊ីណូម៉ា

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផលិត នការសាកល្បងឯករាជ្យ ដែលព្រឹត្តិការណ៍នីមួយៗអាច ឬមិនកើតឡើង ប៉ុន្តែ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះនៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺថេរ មិនអាស្រ័យលើចំនួនសាកល្បង និងស្មើនឹង រ=រ(ប៉ុន្តែ) ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេដែលព្រឹត្តិការណ៍នឹងមិនកើតឡើង ប៉ុន្តែក្នុង​ការ​ធ្វើ​តេស្ត​នីមួយៗ​ក៏​ថេរ និង​ស្មើ q=1–រ. ពិចារណាអថេរចៃដន្យ Xស្មើនឹងចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែក្នុង នការធ្វើតេស្ត។ វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃបរិមាណនេះគឺស្មើនឹង

X 1 = 0 - ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែក្នុង នការធ្វើតេស្តមិនលេចឡើង;

X 2 = 1 - ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែក្នុង នការសាកល្បងបានបង្ហាញខ្លួនម្តង;

X 3 = 2 - ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែក្នុង នការសាកល្បងបានបង្ហាញខ្លួនពីរដង;

…………………………………………………………..

x ន +1 = ន- ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែក្នុង នការធ្វើតេស្តទាំងអស់បានបង្ហាញខ្លួន នម្តង។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃទាំងនេះអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli (4.1):

កន្លែងណា ទៅ=0, 1, 2, …,ន .

ច្បាប់នៃការចែកចាយប៊ីណូម៉ា Xស្មើនឹងចំនួនជោគជ័យនៅក្នុង នការសាកល្បង Bernoulli ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ រ.

ដូច្នេះ អថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកមួយមានការចែកចាយ binomial (ឬត្រូវបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ binomial) ប្រសិនបើតម្លៃដែលអាចធ្វើបានរបស់វាគឺ 0, 1, 2, …, នហើយប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត (7.1)។

ការចែកចាយ binomial អាស្រ័យលើពីរ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ រនិង ន.

ស៊េរីការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងតាមច្បាប់ binomial មានទម្រង់៖

X			…	k	…	ន
រ			…		…

ឧទាហរណ៍ 7.1 . ការបាញ់ប្រហារឯករាជ្យចំនួនបីត្រូវបានបាញ់ចំគោលដៅ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយដំនីមួយៗគឺ 0.4 ។ តម្លៃចៃដន្យ X- ចំនួននៃការវាយលុកលើគោលដៅ។ បង្កើតស៊េរីចែកចាយរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត។ តម្លៃដែលអាចធ្វើបាននៃអថេរចៃដន្យ Xគឺ X 1 =0; X 2 =1; X 3 =2; X៤=៣. ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នាដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli ។ វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាការអនុវត្តរូបមន្តនេះនៅទីនេះគឺត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ ចំណាំថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការមិនវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយនឹងស្មើនឹង 1-0.4=0.6 ។ ទទួលបាន

ស៊េរីចែកចាយមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

X
រ	0,216	0,432	0,288	0,064

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាផលបូកនៃប្រូបាបទាំងអស់គឺស្មើនឹង 1។ អថេរចៃដន្យដោយខ្លួនឯង Xចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ binomial ។ ■

ចូរយើងស្វែងរកការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងបំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងតាមច្បាប់លេខពីរ។

នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ 6.5 វាត្រូវបានបង្ហាញថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែក្នុង នការធ្វើតេស្តឯករាជ្យប្រសិនបើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង ប៉ុន្តែនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនីមួយៗគឺថេរនិងស្មើគ្នា រ, ស្មើ ន· រ

ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ អថេរ​ចៃដន្យ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ ចែកចាយ​ដោយ​យោង​តាម​ច្បាប់ binomial ។ ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ 6.5 តាមពិតគឺជាភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ៧.១.ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកដែលចែកចាយដោយយោងតាមច្បាប់លេខពីរគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃការសាកល្បង និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "ជោគជ័យ" i.e. ម(X)=ន· រ.

ទ្រឹស្តីបទ ៧.២.បំរែបំរួលនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែកដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ binomial គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃចំនួននៃការសាកល្បងដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "ជោគជ័យ" និងប្រូបាប៊ីលីតេនៃ "បរាជ័យ" i.e. ឃ(X)=npq

ភាពមិនច្បាស់លាស់ និង kurtosis នៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងតាមច្បាប់ binomial ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

រូបមន្តទាំងនេះអាចទទួលបានដោយប្រើគំនិតនៃគ្រាដំបូង និងកណ្តាល។

ច្បាប់ចែកចាយ binomial ស្ថិតនៅក្រោមស្ថានភាពជាក់ស្តែងជាច្រើន។ សម្រាប់តម្លៃធំ នការចែកចាយ binomial អាចត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណដោយប្រើការចែកចាយផ្សេងទៀត ជាពិសេសការប្រើប្រាស់ការចែកចាយ Poisson ។

ការចែកចាយ Poisson

សូមឱ្យមាន នការសាកល្បង Bernoulli ជាមួយនឹងចំនួននៃការសាកល្បង នធំល្មម។ ពីមុនវាត្រូវបានបង្ហាញថានៅក្នុងករណីនេះ (ប្រសិនបើលើសពីនេះទៀតប្រូបាប៊ីលីតេ រព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែតូចណាស់) ដើម្បីស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ប៉ុន្តែលេចឡើង tម្តងក្នុងការធ្វើតេស្ត អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត Poisson (4.9) ។ ប្រសិនបើអថេរចៃដន្យ Xមានន័យថាចំនួននៃការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែក្នុង ន Bernoulli សាកល្បង បន្ទាប់មកប្រូបាប៊ីលីតេនោះ។ Xនឹងទទួលយកអត្ថន័យ kអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

, (7.2)

កន្លែងណា λ = លេខ.

ច្បាប់ចែកចាយ Poissonត្រូវបានគេហៅថាការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដាច់ដោយឡែក Xដែលតម្លៃដែលអាចធ្វើបានគឺជាចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមាន និងប្រូបាប៊ីលីតេ ទំ tតម្លៃទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត (7.2) ។

តម្លៃ λ = លេខហៅ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រការចែកចាយ Poisson ។

អថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Poisson អាចទទួលយកតម្លៃគ្មានកំណត់។ ចាប់តាំងពីសម្រាប់ការចែកចាយនេះប្រូបាប៊ីលីតេ រការកើតឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងការសាកល្បងនីមួយៗគឺតូច បន្ទាប់មកការចែកចាយនេះជួនកាលត្រូវបានគេហៅថាច្បាប់នៃបាតុភូតដ៏កម្រ។

ស៊េរីការចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ Poisson មានទម្រង់

X					…	t	…
រ					…		…

វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃជួរទីពីរគឺស្មើនឹង 1។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងត្រូវចាំថា មុខងារអាចត្រូវបានពង្រីកនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin ដែលបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ណាមួយ។ X. ក្នុងករណីនេះយើងមាន

. (7.3)

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់ ច្បាប់របស់ Poisson នៅក្នុងករណីកំណត់មួយចំនួនជំនួសច្បាប់ binomial ។ ឧទាហរណ៍មួយគឺជាអថេរចៃដន្យ Xតម្លៃដែលស្មើនឹងចំនួននៃការបរាជ័យសម្រាប់រយៈពេលជាក់លាក់មួយជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់ម្តងហើយម្តងទៀតនៃឧបករណ៍បច្ចេកទេស។ វាត្រូវបានសន្មត់ថាឧបករណ៍នេះមានភាពជឿជាក់ខ្ពស់ i.e. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបរាជ័យក្នុងកម្មវិធីមួយគឺតូចណាស់។

បន្ថែមពីលើករណីកំណត់បែបនេះ នៅក្នុងការអនុវត្តមានអថេរចៃដន្យដែលត្រូវបានចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ Poisson ដែលមិនទាក់ទងទៅនឹងការចែកចាយ binomial នោះទេ។ ឧទាហរណ៍ ការចែកចាយ Poisson ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលនិយាយអំពីចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលកើតឡើងក្នុងរយៈពេលមួយ (ចំនួននៃការហៅទៅកាន់ការផ្លាស់ប្តូរទូរស័ព្ទក្នុងមួយម៉ោង ចំនួនរថយន្តដែលបានមកដល់កន្លែងលាងរថយន្តក្នុងអំឡុងពេលថ្ងៃ។ ចំនួននៃការឈប់ម៉ាស៊ីនក្នុងមួយសប្តាហ៍។ល។) ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់នេះត្រូវតែបង្កើតនូវអ្វីដែលគេហៅថាលំហូរនៃព្រឹត្តិការណ៍ ដែលជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋានមួយនៃទ្រឹស្តីតម្រង់ជួរ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ កំណត់លក្ខណៈនៃអាំងតង់ស៊ីតេមធ្យមនៃលំហូរនៃព្រឹត្តិការណ៍។

ឧទាហរណ៍ 7.2 . មហាវិទ្យាល័យមានសិស្ស 500 នាក់។ តើអ្វីទៅជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលថ្ងៃទី 1 ខែកញ្ញាគឺជាថ្ងៃកំណើតរបស់និស្សិតបីនាក់នៅក្នុងមហាវិទ្យាល័យនេះ?

ការសម្រេចចិត្ត . ចាប់តាំងពីចំនួនសិស្ស ន= 500 ធំល្មម រ- ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតនៅថ្ងៃទី 1 នៃខែកញ្ញាចំពោះសិស្សណាម្នាក់គឺ , i.е. តូចល្មម បន្ទាប់មកយើងអាចសន្មត់ថាអថេរចៃដន្យ X- ចំនួនសិស្សដែលកើតនៅថ្ងៃទី 1 នៃខែកញ្ញាត្រូវបានចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ Poisson ជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ = np= = 1.36986 ។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមរូបមន្ត (7.2) យើងទទួលបាន

ទ្រឹស្តីបទ ៧.៣.អនុញ្ញាតឱ្យអថេរចៃដន្យ Xចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Poisson ។ បន្ទាប់មកការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានិងភាពប្រែប្រួលរបស់វាស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមកនិងស្មើនឹងតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ , i.e. ម(X) = ឃ(X) = λ = np.

ភស្តុតាង។តាមនិយមន័យនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យា ដោយប្រើរូបមន្ត (7.3) និងស៊េរីចែកចាយនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយយោងទៅតាមច្បាប់ Poisson យើងទទួលបាន

មុននឹងស្វែងរកបំរែបំរួល យើងរកឃើញការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យានៃការ៉េនៃអថេរចៃដន្យដែលបានពិចារណា។ យើង​ទទួល​បាន

ដូច្នេះតាមនិយមន័យនៃការបែកខ្ញែក យើងទទួលបាន

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ការអនុវត្តគោលគំនិតនៃគ្រាដំបូង និងកណ្តាល វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់អថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់ Poisson មេគុណ skewness និង kurtosis ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយល់ថាចាប់តាំងពីមាតិកា semantic នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ = npគឺវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយយោងទៅតាមច្បាប់របស់ Poisson តែងតែមានភាពវិជ្ជមានទាំង skewness និង kurtosis ។

មិនមែនបាតុភូតទាំងអស់ត្រូវបានវាស់វែងតាមមាត្រដ្ឋានបរិមាណដូចជា 1, 2, 3 ... 100500 ... មិនមែនតែងតែជាបាតុភូតដែលអាចកើតឡើងលើរដ្ឋគ្មានកំណត់ ឬមួយចំនួនធំនៃរដ្ឋផ្សេងៗគ្នានោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ភេទរបស់មនុស្សម្នាក់អាចជា M ឬ F។ អ្នកបាញ់ត្រូវចំគោលដៅ ឬខកខាន។ អ្នកអាចបោះឆ្នោត "សម្រាប់" ឬ "ប្រឆាំង" ។ល។ ល។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ទិន្នន័យបែបនេះឆ្លុះបញ្ចាំងពីស្ថានភាពនៃគុណលក្ខណៈជំនួស - ទាំង "បាទ" (ព្រឹត្តិការណ៍បានកើតឡើង) ឬ "ទេ" (ព្រឹត្តិការណ៍មិនបានកើតឡើងទេ)។ ព្រឹត្តិការណ៍ខាងមុខ (លទ្ធផលវិជ្ជមាន) ត្រូវបានគេហៅថា "ជោគជ័យ" ផងដែរ។

ការពិសោធន៍ជាមួយទិន្នន័យបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា គ្រោងការណ៍ Bernoulliជាកិត្តិយសរបស់គណិតវិទូជនជាតិស្វីសដ៏ល្បីល្បាញដែលបានរកឃើញថាជាមួយនឹងចំនួនដ៏ច្រើននៃការសាកល្បង សមាមាត្រនៃលទ្ធផលវិជ្ជមានទៅនឹងចំនួនសរុបនៃការសាកល្បងមានទំនោរទៅរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះកើតឡើង។

អថេរមុខងារជំនួស

ដើម្បីប្រើឧបករណ៍គណិតវិទ្យាក្នុងការវិភាគ លទ្ធផលនៃការសង្កេតបែបនេះគួរតែត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់លេខ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះលទ្ធផលវិជ្ជមានត្រូវបានផ្តល់លេខ 1 ដែលជាអវិជ្ជមាន - 0 ។ ម្យ៉ាងវិញទៀតយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយអថេរដែលអាចយកតែតម្លៃពីរគឺ 0 ឬ 1 ។

តើអត្ថប្រយោជន៍អ្វីខ្លះដែលអាចទទួលបានពីនេះ? ជាការពិតមិនតិចជាងពីទិន្នន័យធម្មតាទេ។ ដូច្នេះវាងាយស្រួលក្នុងការរាប់ចំនួនលទ្ធផលវិជ្ជមាន - វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបូកសរុបតម្លៃទាំងអស់ពោលគឺឧ។ ទាំងអស់ 1 (ជោគជ័យ) ។ អ្នកអាចទៅបន្ថែមទៀត ប៉ុន្តែសម្រាប់នេះ អ្នកត្រូវណែនាំសញ្ញាណមួយចំនួន។

រឿងដំបូងដែលត្រូវកត់សម្គាល់គឺថាលទ្ធផលវិជ្ជមាន (ដែលស្មើនឹង 1) មានប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើង។ ឧទាហរណ៍ ការទទួលបានក្បាលលើការបោះកាក់គឺ ½ ឬ 0.5 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនេះត្រូវបានកំណត់ជាប្រពៃណីដោយអក្សរឡាតាំង ទំ. ដូច្នេះ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជំនួសកើតឡើង 1- ទំដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរដោយ q, i.e q = 1 – ទំ. ការរចនាទាំងនេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញជាប្រព័ន្ធនៅក្នុងទម្រង់នៃចានចែកចាយអថេរ X.

យើងទទួលបានបញ្ជីតម្លៃដែលអាចកើតមាន និងប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។ អាចត្រូវបានគណនា តម្លៃរំពឹងទុកនិង ការបែកខ្ញែក. ការរំពឹងទុកគឺជាផលបូកនៃផលិតផលនៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ និងប្រូបាប៊ីលីតេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ៖

ចូរយើងគណនាតម្លៃដែលរំពឹងទុកដោយប្រើសញ្ញាណក្នុងតារាងខាងលើ។

វាប្រែថាការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃសញ្ញាជំនួសគឺស្មើនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ - ទំ.

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​កំណត់​ថា​អ្វី​ដែល​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​មុខងារ​ជំនួស​គឺ​ជា​អ្វី​។ ការបែកខ្ញែកគឺជាការ៉េមធ្យមនៃគម្លាតពីការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។ រូបមន្តទូទៅ (សម្រាប់ទិន្នន័យដាច់ដោយឡែក) គឺ៖

ដូច្នេះភាពខុសគ្នានៃមុខងារជំនួស៖

វាងាយមើលឃើញថាការបែកខ្ញែកនេះមានអតិបរមា 0.25 (នៅ p=0.5).

គម្លាតស្តង់ដារ - ឫសនៃការប្រែប្រួល៖

តម្លៃអតិបរមាមិនលើសពី 0.5 ។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ ទាំងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា និងភាពខុសគ្នានៃសញ្ញាជំនួសមានទម្រង់បង្រួមខ្លាំង។

ការ​ចែកចាយ​ទ្វេ​នាម​នៃ​អថេរ​ចៃដន្យ

សូមក្រឡេកមើលស្ថានភាពពីមុំផ្សេង។ ជាការពិតណាស់ តើអ្នកណាដែលខ្វល់ថាការបាត់បង់ក្បាលជាមធ្យមក្នុងមួយលើកគឺ 0.5? វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្រមៃ។ វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជាងក្នុងការលើកសំណួរអំពីចំនួនក្បាលដែលចេញមកសម្រាប់ចំនួននៃការបោះ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត អ្នកស្រាវជ្រាវតែងតែចាប់អារម្មណ៍លើប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជោគជ័យមួយចំនួនដែលកើតឡើង។ នេះអាចជាចំនួនផលិតផលខូចនៅក្នុងឡូតិ៍ដែលបានសាកល្បង (1 - ខូច 0 - ល្អ) ឬចំនួននៃការជាសះស្បើយ (1 - មានសុខភាពល្អ 0 - ឈឺ) ។ល។ ចំនួននៃ "ជោគជ័យ" បែបនេះនឹងស្មើនឹងផលបូកនៃតម្លៃទាំងអស់នៃអថេរ X, i.e. ចំនួននៃលទ្ធផលតែមួយ។

តម្លៃចៃដន្យ ខត្រូវបានគេហៅថា binomial ហើយយកតម្លៃពី 0 ទៅ ន(នៅ ខ= 0 - ផ្នែកទាំងអស់គឺល្អជាមួយ ខ = ន- ផ្នែកទាំងអស់មានកំហុស) ។ សន្មតថាតម្លៃទាំងអស់។ xឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ ពិចារណាពីលក្ខណៈសំខាន់នៃអថេរ binomial នោះគឺយើងនឹងបង្កើតការរំពឹងទុក ភាពប្រែប្រួល និងការចែកចាយតាមគណិតវិទ្យារបស់វា។

ការរំពឹងទុកនៃអថេរ binomial គឺងាយស្រួលណាស់ក្នុងការទទួលបាន។ ការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃផលបូកនៃតម្លៃគឺជាផលបូកនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃតម្លៃបន្ថែមនីមួយៗ ហើយវាគឺដូចគ្នាសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា ដូច្នេះ៖

ឧទាហរណ៍ការរំពឹងទុកនៃចំនួនក្បាលនៅលើ 100 បោះគឺ 100 × 0.5 = 50 ។

ឥឡូវនេះយើងទាញយករូបមន្តសម្រាប់បំរែបំរួលនៃអថេរ binomial ។ វ៉ារ្យ៉ង់នៃផលបូកនៃអថេរចៃដន្យឯករាជ្យ គឺជាផលបូកនៃបំរែបំរួល។ ពី​ទីនេះ

គម្លាតស្តង់ដាររៀងគ្នា។

សម្រាប់ការបោះកាក់ 100 គម្លាតស្តង់ដារនៃចំនួនក្បាលគឺ

ហើយចុងក្រោយ ពិចារណាការចែកចាយនៃបរិមាណ binomial i.e. ប្រូបាប៊ីលីតេដែលអថេរចៃដន្យ ខនឹងយកតម្លៃផ្សេងគ្នា kកន្លែងណា 0≤k≤n. សម្រាប់កាក់មួយ បញ្ហានេះអាចស្តាប់ទៅដូចនេះ៖ តើប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបាន 40 ក្បាលក្នុងការបោះ 100 គឺជាអ្វី?

ដើម្បី​យល់​ពី​វិធី​គណនា ចូរ​យើង​ស្រមៃ​ថា កាក់​ត្រូវ​បាន​គេ​បោះ​តែ ៤ ដង​ប៉ុណ្ណោះ។ ភាគីណាមួយអាចធ្លាក់ចេញរាល់ពេល។ យើងសួរខ្លួនយើងថា តើអ្វីជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបាន 2 ក្បាលក្នុងចំណោម 4 បោះ។ ការបោះនីមួយៗគឺឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។ នេះមានន័យថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានការរួមបញ្ចូលគ្នាណាមួយនឹងស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃលទ្ធផលដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការបោះនីមួយៗ។ ទុកឲ្យ O ជាក្បាល ហើយ P ជាកន្ទុយ។ បន្ទាប់មក ជាឧទាហរណ៍ បន្សំមួយដែលសាកសមនឹងពួកយើងអាចមើលទៅដូចជា OOPP នោះគឺ៖

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរួមបញ្ចូលគ្នានេះគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រូបាប៊ីលីតេពីរនៃការឡើងក្បាល និងប្រូបាប៊ីលីតេពីរទៀតនៃការមិនឡើងក្បាល (ព្រឹត្តិការណ៍បញ្ច្រាសត្រូវបានគណនាជា 1- ទំ), i.e. 0.5×0.5×(1-0.5)×(1-0.5)=0.0625។ នេះគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេនៃបន្សំមួយដែលសាកសមនឹងយើង។ ប៉ុន្តែសំណួរគឺអំពីចំនួនសរុបនៃឥន្ទ្រី ហើយមិនមែនអំពីលំដាប់ជាក់លាក់ណាមួយនោះទេ។ បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេនៃបន្សំទាំងអស់ដែលក្នុងនោះមានឥន្ទ្រី 2 យ៉ាងពិតប្រាកដ។ វាច្បាស់ណាស់ថាពួកវាទាំងអស់ដូចគ្នា (ផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរពីការផ្លាស់ប្តូរកន្លែងនៃកត្តា) ។ ដូច្នេះ អ្នកត្រូវគណនាចំនួនរបស់ពួកគេ ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹងប្រូបាប៊ីលីតេនៃបន្សំបែបនេះ។ ចូររាប់បន្សំទាំងអស់នៃការបោះ 4 នៃ 2 ឥន្ទ្រី: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR ។ មានតែ 6 ជម្រើសប៉ុណ្ណោះ។

ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បាននៃការទទួលបាន 2 ក្បាលបន្ទាប់ពីការបោះ 4 គឺ 6 × 0.0625 = 0.375 ។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការរាប់តាមវិធីនេះគឺគួរឱ្យធុញទ្រាន់ណាស់។ រួចហើយសម្រាប់ 10 កាក់ វានឹងពិបាកណាស់ក្នុងការទទួលបានចំនួនសរុបនៃជម្រើសដោយកម្លាំងសាហាវ។ ដូច្នេះហើយ មនុស្សឆ្លាតបានបង្កើតរូបមន្តមួយតាំងពីយូរយារណាស់មកហើយ ដោយមានជំនួយដែលពួកគេគណនាចំនួនបន្សំផ្សេងៗគ្នានៃ នធាតុដោយ kកន្លែងណា នគឺជាចំនួនសរុបនៃធាតុ, kគឺជាចំនួនធាតុដែលជម្រើសនៃការរៀបចំត្រូវបានគណនា។ រូបមន្តផ្សំនៃ នធាតុដោយ kគឺ៖

រឿងស្រដៀងគ្នានេះកើតឡើងនៅក្នុងផ្នែក combinatorics ។ ខ្ញុំ​ផ្ញើ​អ្នក​រាល់​គ្នា​ដែល​ចង់​បង្កើន​ចំណេះដឹង​ទៅ​ទីនោះ។ ដូច្នេះដោយវិធីនេះ ឈ្មោះនៃការចែកចាយ binomial (រូបមន្តខាងលើគឺជាមេគុណក្នុងការពង្រីកនៃ Newton binomial) ។

រូបមន្ត​សម្រាប់​កំណត់​ប្រូបាប៊ីលីតេ​អាច​ត្រូវ​បាន​ងាយ​ស្រួល​ទូទៅ​ទៅ​លេខ​ណាមួយ។ ននិង k. ជាលទ្ធផល រូបមន្តបែងចែក binomial មានទម្រង់ដូចខាងក្រោម។

គុណចំនួននៃបន្សំដែលត្រូវគ្នាដោយប្រូបាប៊ីលីតេនៃមួយក្នុងចំណោមពួកវា។

សម្រាប់ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង វាគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគ្រាន់តែដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ការចែកចាយ binomial ។ ហើយអ្នកប្រហែលជាមិនដឹង - ខាងក្រោមគឺជារបៀបកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេដោយប្រើ Excel ។ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការដឹង។

ចូរយើងប្រើរូបមន្តនេះដើម្បីគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបាន 40 ក្បាលក្នុង 100 បោះ៖

ឬត្រឹមតែ 1.08% ប៉ុណ្ណោះ។ សម្រាប់ការប្រៀបធៀបប្រូបាប៊ីលីតេនៃការរំពឹងទុកគណិតវិទ្យានៃការពិសោធន៍នេះគឺ 50 ក្បាលគឺ 7.96% ។ ប្រូបាប៊ីលីតេអតិបរមានៃតម្លៃ binomial ជាកម្មសិទ្ធិរបស់តម្លៃដែលត្រូវនឹងការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា។

ការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចែកចាយ binomial នៅក្នុង Excel

ប្រសិនបើអ្នកប្រើតែក្រដាស និងម៉ាស៊ីនគិតលេខ នោះការគណនាដោយប្រើរូបមន្តបែងចែក binomial ទោះបីជាមិនមានអាំងតេក្រាលក៏ដោយ គឺពិតជាពិបាកណាស់។ ឧទាហរណ៍តម្លៃ 100! - មានច្រើនជាង 150 តួអក្សរ។ កាលពីមុន និងសូម្បីតែឥឡូវនេះ រូបមន្តប្រហាក់ប្រហែលត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាបរិមាណបែបនេះ។ នៅពេលនេះ គួរតែប្រើកម្មវិធីពិសេសៗដូចជា MS Excel ជាដើម។ ដូច្នេះ អ្នកប្រើប្រាស់ណាក៏ដោយ (សូម្បីតែមនុស្សធម៌ដោយការអប់រំ) អាចគណនាបានយ៉ាងងាយនូវប្រូបាប៊ីលីតេនៃតម្លៃនៃអថេរចៃដន្យដែលចែកចាយដោយ binomially ។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ យើងនឹងប្រើ Excel សម្រាប់ពេលបច្ចុប្បន្នជាម៉ាស៊ីនគិតលេខធម្មតា ពោលគឺឧ។ ចូរយើងធ្វើការគណនាមួយជំហានម្តង ៗ ដោយប្រើរូបមន្តចែកចាយ binomial ។ ចូរយើងគណនាជាឧទាហរណ៍ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបាន 50 ក្បាល។ ខាងក្រោមនេះជារូបភាពជាមួយនឹងជំហានគណនា និងលទ្ធផលចុងក្រោយ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញលទ្ធផលកម្រិតមធ្យមមានមាត្រដ្ឋានដែលវាមិនសមនៅក្នុងក្រឡាមួយ ទោះបីជាមុខងារសាមញ្ញនៃប្រភេទត្រូវបានប្រើនៅគ្រប់ទីកន្លែងក៏ដោយ៖ FACTOR (ការគណនាកត្តា) POWER (បង្កើនចំនួនដល់ថាមពល) ក៏ដូចជា ប្រតិបត្តិករគុណនិងចែក។ ជាងនេះទៅទៀត ការគណនានេះគឺពិបាកជាង ទោះជាក្នុងករណីណាក៏ដោយ វាមិនបង្រួមទេ ចាប់តាំងពី កោសិកាជាច្រើនដែលពាក់ព័ន្ធ។ មែនហើយ វាពិបាកក្នុងការដោះស្រាយវា។

ជាទូទៅ Excel ផ្តល់នូវមុខងារដែលត្រៀមរួចជាស្រេចសម្រាប់គណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃការចែកចាយ binomial ។ មុខងារត្រូវបានគេហៅថា BINOM.DIST.

ចំនួនជោគជ័យ គឺជាចំនួននៃការសាកល្បងជោគជ័យ។ យើងមាន 50 ក្នុងចំណោមពួកគេ។

ចំនួននៃការសាកល្បង - ចំនួននៃការបោះ: 100 ដង។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃភាពជោគជ័យ - ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានក្បាលលើការបោះមួយគឺ 0.5 ។

អាំងតេក្រាល។ - ទាំង 1 ឬ 0 ត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញ។ ប្រសិនបើ 0 នោះប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគណនា P(B=k); ប្រសិនបើ 1 នោះ អនុគមន៍បែងចែកទ្វេត្រូវបានគណនា ឧ. ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេទាំងអស់ពី B=0ពីមុន B=kបញ្ចូល​គ្នា។

យើង​ចុច OK ហើយ​យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​ដូច​ខាង​លើ​គឺ​មាន​តែ​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​អនុគមន៍​មួយ។

មានផាសុកភាពណាស់។ សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃការពិសោធន៍ ជំនួសឱ្យប៉ារ៉ាម៉ែត្រចុងក្រោយ 0 យើងដាក់ 1 ។ យើងទទួលបាន 0.5398 ។ នេះមានន័យថានៅក្នុងការបោះកាក់ 100 ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការទទួលបានក្បាលពី 0 ទៅ 50 គឺស្ទើរតែ 54% ។ ហើយដំបូងវាហាក់ដូចជាថាវាគួរតែ 50% ។ ជាទូទៅ ការគណនាត្រូវបានធ្វើឡើងយ៉ាងងាយស្រួល និងរហ័ស។

អ្នកវិភាគពិតប្រាកដត្រូវតែយល់ពីរបៀបដែលមុខងារមានឥរិយាបទ (អ្វីដែលជាការចែកចាយរបស់វា) ដូច្នេះចូរយើងគណនាប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់ពី 0 ដល់ 100 ។ នោះហើយជាយើងសួរខ្លួនយើងថា តើអ្វីជាប្រូបាប៊ីលីតេដែលមិនមានឥន្ទ្រីតែមួយនឹងធ្លាក់ចេញ។ ថាឥន្ទ្រី 1 នឹងធ្លាក់ 2, 3, 50, 90 ឬ 100។ ការគណនាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។ បន្ទាត់ពណ៌ខៀវគឺជាការចែកចាយ binomial ខ្លួនវា ចំណុចក្រហមគឺជាប្រូបាប៊ីលីតេសម្រាប់ចំនួនជាក់លាក់នៃភាពជោគជ័យ k ។

មនុស្សម្នាក់អាចសួរថា តើការចែកចាយ binomial ស្រដៀងនឹង... បាទ ស្រដៀងគ្នាខ្លាំងណាស់។ សូម្បីតែ De Moivre (ក្នុងឆ្នាំ 1733) បាននិយាយថាជាមួយនឹងគំរូធំ ៗ វិធីសាស្រ្តនៃការចែកចាយ binomial (ខ្ញុំមិនដឹងថាវាត្រូវបានគេហៅថាអ្វីនៅពេលនោះ) ប៉ុន្តែគ្មាននរណាម្នាក់ស្តាប់គាត់ទេ។ មានតែ Gauss ហើយបន្ទាប់មក Laplace 60-70 ឆ្នាំក្រោយមកបានរកឃើញឡើងវិញនិងសិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្នច្បាប់ចែកចាយធម្មតា។ ក្រាហ្វខាងលើបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាប្រូបាប៊ីលីតេអតិបរិមាធ្លាក់លើការរំពឹងទុកតាមគណិតវិទ្យា ហើយនៅពេលដែលវាងាកចេញពីវា វាថយចុះយ៉ាងខ្លាំង។ ដូចគ្នានឹងច្បាប់ធម្មតា។

ការចែកចាយ binomial គឺមានសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងដ៏អស្ចារ្យ វាកើតឡើងជាញឹកញាប់។ ដោយប្រើ Excel ការគណនាត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងងាយស្រួលនិងរហ័ស។