សូមមើលអ្វីដែល "លក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរ" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

Relative extremum, extremum នៃអនុគមន៍ f (x1,..., xn + m) នៃ n + m variables ដោយសន្មត់ថា variable ទាំងនេះជាកម្មវត្ថុនៃ m សមីការ coupling (លក្ខខណ្ឌ): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (សូមមើល Extremum)… …

អនុញ្ញាតឱ្យសំណុំបើកចំហ និងនៅលើត្រូវបានផ្តល់មុខងារ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការកម្រិត (វាក្យស័ព្ទត្រូវបានខ្ចីពីមេកានិច) ។ សូមឱ្យមុខងារមួយត្រូវបានកំណត់នៅលើ G ... វិគីភីឌា

- (ពីឡាតាំងខ្លាំងជ្រុល) តម្លៃនៃអនុគមន៍បន្ត f (x) ដែលជាអតិបរមា ឬអប្បបរមា។ កាន់តែច្បាស់៖ អនុគមន៍ f (x) បន្តនៅចំណុច x0 មានអតិបរមា (អប្បបរមា) នៅ x0 ប្រសិនបើមានសង្កាត់ (x0 + δ, x0 δ) នៃចំណុចនេះ ... ... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ

ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើល Extreme (អត្ថន័យ)។ Extremum (ឡាតាំង extremum extreme) នៅក្នុងគណិតវិទ្យាគឺជាតម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃអនុគមន៍នៅលើសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចំណុច​ដែល​ឈាន​ដល់​កម្រិត​បំផុត​គឺ ... ... វិគីភីឌា

អនុគមន៍ដែលប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់មុខងារលើសលប់តាមលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារនៃអថេរ និងមុខងារជាច្រើន។ ដោយមានជំនួយពី L. f. លក្ខខណ្ឌសុទិដ្ឋិនិយមចាំបាច់ត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងបញ្ហាសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌ។ មិនចាំបាច់បង្ហាញតែអថេរ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

វិន័យគណិតវិទ្យាដែលឧទ្ទិសដល់ការស្វែងរកតម្លៃខ្លាំង (អតិបរមា និងអប្បបរមា) នៃមុខងារនៃអថេរអាស្រ័យលើជម្រើសនៃមុខងារមួយ ឬច្រើន។ នៅក្នុង និង។ គឺជាការអភិវឌ្ឍន៍ធម្មជាតិនៃជំពូកនោះ ...... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ

អថេរ ដោយ​មាន​ជំនួយ​ដែល​មុខងារ Lagrange ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ក្នុង​ការ​សិក្សា​អំពី​បញ្ហា​សម្រាប់​ភាព​ជ្រុល​និយម​តាម​លក្ខខណ្ឌ។ ការប្រើប្រាស់ L. m. និងមុខងារ Lagrange ធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានលក្ខខណ្ឌសុទិដ្ឋិនិយមចាំបាច់ក្នុងរបៀបឯកសណ្ឋានក្នុងបញ្ហាសម្រាប់លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

ការគណនានៃបំរែបំរួលគឺជាផ្នែកនៃការវិភាគមុខងារដែលសិក្សាពីការប្រែប្រួលនៃមុខងារ។ ភារកិច្ចធម្មតាបំផុតនៃការគណនាបំរែបំរួលគឺស្វែងរកមុខងារដែលមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យឈានដល់ ... ... វិគីភីឌា

សាខានៃគណិតវិទ្យាដែលឧទ្ទិសដល់ការសិក្សាអំពីវិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកមុខងារខ្លាំងបំផុត ដែលអាស្រ័យលើជម្រើសនៃអនុគមន៍មួយ ឬច្រើនក្រោមការរឹតបន្តឹងផ្សេងៗ (ដំណាក់កាល ឌីផេរ៉ង់ស្យែល អាំងតេក្រាល ។ល។) ដែលដាក់លើទាំងនេះ ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

ការគណនានៃបំរែបំរួលគឺជាផ្នែកមួយនៃគណិតវិទ្យាដែលសិក្សាពីការប្រែប្រួលនៃមុខងារ។ ភារកិច្ចធម្មតាបំផុតនៃការគណនាបំរែបំរួលគឺស្វែងរកមុខងារដែលមុខងារឈានដល់តម្លៃខ្លាំង។ វិធីសាស្រ្ត ... ... វិគីភីឌា

សៀវភៅ

• ការបង្រៀនអំពីទ្រឹស្តីគ្រប់គ្រង។ កម្រិតសំឡេង 2. ការគ្រប់គ្រងល្អបំផុត, V. Boss ។ បញ្ហាបុរាណនៃទ្រឹស្តីនៃការគ្រប់គ្រងដ៏ល្អប្រសើរត្រូវបានពិចារណា។ ការបង្ហាញចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃការធ្វើឱ្យប្រសើរនៅក្នុងចន្លោះវិមាត្រកំណត់៖ ជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ និងគ្មានលក្ខខណ្ឌ, ...

និយមន័យ ១៖ អនុគមន៍​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​មាន​អតិបរមា​ក្នុង​មូលដ្ឋាន​នៅ​ចំណុច​មួយ​ប្រសិន​បើ​មាន​សង្កាត់​នៃ​ចំណុច​នោះ​សម្រាប់​ចំណុច​ណា​មួយ មជាមួយនឹងកូអរដោនេ (x, y)វិសមភាពត្រូវបានបំពេញ៖ . ក្នុងករណីនេះ ឧ. ការបង្កើនមុខងារ< 0.

និយមន័យ ២៖ អនុគមន៍​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​មាន​អប្បរមា​មូលដ្ឋាន​នៅ​ចំណុច​មួយ​ប្រសិន​បើ​មាន​សង្កាត់​នៃ​ចំណុច​ដូច​ជា​សម្រាប់​ចំណុច​ណា​មួយ មជាមួយនឹងកូអរដោនេ (x, y)វិសមភាពត្រូវបានបំពេញ៖ . ក្នុងករណីនេះ ឧ. ការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ > 0.

និយមន័យ ៣៖ ពិន្ទុអប្បបរមា និងអតិបរមាក្នុងតំបន់ត្រូវបានហៅ ចំណុចខ្លាំង.

លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយម

នៅពេលស្វែងរក extrema នៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន បញ្ហាតែងតែកើតឡើងទាក់ទងនឹងអ្វីដែលគេហៅថា ហួសហេតុតាមលក្ខខណ្ឌ។គំនិតនេះអាចត្រូវបានពន្យល់ដោយឧទាហរណ៍នៃមុខងារនៃអថេរពីរ។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ និងបន្ទាត់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ អិលលើផ្ទៃ 0xy. ភារកិច្ចគឺតម្រង់ជួរ អិលស្វែងរកចំណុចបែបនេះ P(x, y),ក្នុង​នោះ​តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​គឺ​ធំ​បំផុត​ឬ​តូច​បំផុត​បើ​ធៀប​នឹង​តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​នេះ​នៅ​ចំណុច​នៃ​បន្ទាត់ អិលដែលមានទីតាំងនៅជិតចំណុច ទំ. ចំណុចបែបនេះ ទំបានហៅ ចំណុចជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌមុខងារបន្ទាត់ អិល. មិនដូចចំណុចខ្លាំងធម្មតាទេ តម្លៃមុខងារនៅចំណុចជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានប្រៀបធៀបជាមួយនឹងតម្លៃមុខងារដែលមិនមែននៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នៃសង្កាត់របស់វានោះទេ ប៉ុន្តែមានតែចំពោះតម្លៃដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះ។ អិល.

វាច្បាស់ណាស់ថាចំណុចនៃភាពជ្រុលនិយមធម្មតា (ពួកគេក៏និយាយផងដែរ។ ជ្រុលដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌ) ក៏ជាចំណុចជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌសម្រាប់បន្ទាត់ណាមួយដែលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះ។ ពិតណាស់ ការសន្ទនាគឺមិនពិតទេ៖ ចំណុចជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌអាចមិនមែនជាចំណុចជ្រុលនិយមធម្មតានោះទេ។ ខ្ញុំ​សូម​ពន្យល់​នេះ​ជា​មួយ​ឧទាហរណ៍​ដ៏​សាមញ្ញ។ ក្រាហ្វនៃមុខងារគឺអឌ្ឍគោលខាងលើ (ឧបសម្ព័ន្ធទី 3 (រូបភាពទី 3)) ។

មុខងារនេះមានអតិបរមានៅប្រភពដើម; វាត្រូវគ្នាទៅនឹងកំពូល មអឌ្ឍគោល។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ អិលមានបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច ប៉ុន្តែនិង អេ(សមីការរបស់នាង x+y-1=0) បន្ទាប់មកវាច្បាស់ណាស់តាមធរណីមាត្រថាសម្រាប់ចំនុចនៃបន្ទាត់នេះ តម្លៃអតិបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានទៅដល់ចំនុចដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលរវាងចំនុច។ ប៉ុន្តែនិង អេ.នេះគឺជាចំណុចនៃលក្ខខណ្ឌបំផុត (អតិបរមា) នៃមុខងារនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ; វាត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុច M 1 នៅលើអឌ្ឍគោល ហើយគេអាចមើលឃើញពីតួលេខថា មិនអាចមានចម្ងល់អំពីភាពជ្រុលនិយមធម្មតានៅទីនេះទេ។

ចំណាំថានៅក្នុងផ្នែកចុងក្រោយនៃបញ្ហានៃការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅក្នុងតំបន់បិទមួយ យើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃខ្លាំងបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើព្រំដែននៃតំបន់នេះ i.e. នៅ​លើ​បន្ទាត់​មួយ​ចំនួន ហើយ​ដោយ​ហេតុ​នេះ​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​សម្រាប់​ភាព​ជ្រុល​និយម​តាម​លក្ខខណ្ឌ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅការស្វែងរកជាក់ស្តែងសម្រាប់ចំណុចនៃលក្ខខណ្ឌជ្រុលនៃអនុគមន៍ Z = f(x, y) ដែលផ្តល់ថាអថេរ x និង y ត្រូវបានទាក់ទងដោយសមីការ (x, y) = 0 ។ ទំនាក់ទំនងនេះនឹងត្រូវបាន ហៅថាសមីការកម្រិត។ ប្រសិនបើពីសមីការការតភ្ជាប់ y ​​អាចត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ x: y \u003d (x) យើងទទួលបានមុខងារនៃអថេរមួយ Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x) ។

ដោយបានរកឃើញតម្លៃនៃ x ដែលមុខងារនេះឈានដល់កម្រិតខ្លាំងមួយ ហើយបន្ទាប់មកកំណត់តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ y ពីសមីការការតភ្ជាប់ យើងនឹងទទួលបានចំណុចដែលចង់បាននៃ extremum តាមលក្ខខណ្ឌ។

ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ពីសមីការទំនាក់ទំនង x+y-1=0 យើងមាន y=1-x។ ពី​ទីនេះ

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថា z ឈានដល់អតិបរមារបស់វានៅ x = 0.5; ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកពីសមីការការតភ្ជាប់ y ​​= 0.5 ហើយយើងទទួលបានចំណុច P ដែលបានរកឃើញពីការពិចារណាធរណីមាត្រ។

បញ្ហាជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងសាមញ្ញ ទោះបីជាសមីការកំហិតអាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x=x(t), y=y(t)។ ការជំនួសកន្សោមសម្រាប់ x និង y ទៅក្នុងអនុគមន៍នេះ យើងមករកបញ្ហានៃការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។

ប្រសិនបើសមីការកំហិតមានទម្រង់ស្មុគ្រស្មាញជាង ហើយយើងមិនអាចបង្ហាញអថេរមួយយ៉ាងច្បាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌមួយទៀត ឬជំនួសវាដោយសមីការប៉ារ៉ាមេតទេ នោះបញ្ហានៃការស្វែងរកភាពខ្លាំងតាមលក្ខខណ្ឌកាន់តែពិបាក។ យើងនឹងបន្តសន្មត់ថានៅក្នុងកន្សោមនៃអនុគមន៍ z = f(x, y) អថេរ (x, y) = 0. ដេរីវេសរុបនៃអនុគមន៍ z = f(x, y) គឺស្មើនឹង៖

តើដេរីវេទី y` នៅឯណា ត្រូវបានរកឃើញដោយច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ implicit ។ នៅចំណុចនៃជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ ដេរីវេសរុបដែលបានរកឃើញត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យ។ នេះផ្តល់សមីការមួយដែលទាក់ទងនឹង x និង y ។ ដោយសារពួកគេត្រូវតែបំពេញសមីការកំហិត នោះយើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមិនស្គាល់ពីរ

ចូរយើងបំប្លែងប្រព័ន្ធនេះទៅជាប្រព័ន្ធមួយដ៏ងាយស្រួលជាងមុនដោយសរសេរសមីការទីមួយជាសមាមាត្រ និងណែនាំឧបករណ៍ជំនួយថ្មីដែលមិនស្គាល់៖

(សញ្ញាដកត្រូវបានដាក់នៅខាងមុខដើម្បីភាពងាយស្រួល)។ វាងាយស្រួលក្នុងការឆ្លងពីសមភាពទាំងនេះទៅប្រព័ន្ធខាងក្រោម៖

f` x =(x,y)+`x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

ដែលរួមជាមួយនឹងសមីការកំហិត (x, y) = 0, បង្កើតជាប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ x, y និង។

សមីការទាំងនេះ (*) ត្រូវបានចងចាំយ៉ាងងាយស្រួលបំផុតដោយប្រើច្បាប់ខាងក្រោម៖ ដើម្បីស្វែងរកចំណុចដែលអាចជាចំណុចនៃកម្រិតខ្លាំងតាមលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍

Z = f (x, y) ជាមួយនឹងសមីការកំហិត (x, y) = 0 អ្នកត្រូវបង្កើតមុខងារជំនួយ

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

កន្លែងណាខ្លះថេរ ហើយសរសេរសមីការដើម្បីស្វែងរកចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារនេះ។

ប្រព័ន្ធដែលបានបញ្ជាក់នៃសមីការផ្តល់នូវ, ជាក្បួន, តែលក្ខខណ្ឌចាំបាច់, i.e. មិនមែនគ្រប់គូនៃតម្លៃ x និង y ដែលបំពេញប្រព័ន្ធនេះគឺចាំបាច់ជាចំណុចជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌ។ ខ្ញុំនឹងមិនផ្តល់លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ចំណុចជ្រុលដែលមានលក្ខខណ្ឌទេ។ ជាញឹកញយ ខ្លឹមសារជាក់លាក់នៃបញ្ហាដោយខ្លួនឯង បង្ហាញពីចំណុចដែលបានរកឃើញ។ បច្ចេកទេសដែលបានពិពណ៌នាសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់លក្ខខណ្ឌជ្រុលនិយមត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រនៃមេគុណ Lagrange ។

ហួសហេតុតាមលក្ខខណ្ឌ។

Extrema នៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន។

វិធីសាស្រ្តការ៉េតិចបំផុត។

ភាពជ្រុលនិយមក្នុងស្រុកនៃ FNP

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ និង= f(P), រីដា នហើយទុកចំនុច Р 0 ( ក 1 , ក 2 , ..., មួយទំ) –ខាងក្នុងចំណុចនៃសំណុំ D ។

និយមន័យ 9.4 ។

1) ចំណុច P 0 ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចអតិបរមា មុខងារ និង= f(P) ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំណុចនេះ U(P 0) Ì D នោះសម្រាប់ចំណុចណាមួយ P( X 1 , X 2 , ..., x ន)н U(P 0), Р¹Р 0, លក្ខខណ្ឌ f(ព) £ f(P0) ។ អត្ថន័យ f(P 0) មុខងារនៅចំណុចអតិបរមាត្រូវបានគេហៅថា មុខងារអតិបរមា និងតំណាង f(P 0) = អតិបរមា f(ព) ។

2) ចំណុច P 0 ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចអប្បបរមា មុខងារ និង= f(P) ប្រសិនបើមានសង្កាត់នៃចំណុចនេះ U(P 0)Ì D នោះសម្រាប់ចំណុចណាមួយ P( X 1 , X 2 , ..., x ន)нU(P 0), Р¹Р 0, លក្ខខណ្ឌ f(ប)³ f(P0) ។ អត្ថន័យ f(P 0) មុខងារនៅចំណុចអប្បបរមាត្រូវបានគេហៅថា មុខងារអប្បបរមា និងតំណាង f(P 0) = នាទី f(ព.)

ចំណុចអប្បបរមា និងអតិបរមានៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានហៅ ចំណុចខ្លាំង, តម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចខ្លាំងត្រូវបានគេហៅថា មុខងារខ្លាំង។

ដូចតទៅនេះពីនិយមន័យវិសមភាព f(ព) £ f(P0) , f(ប)³ f(P 0) ត្រូវតែអនុវត្តតែនៅក្នុងសង្កាត់ជាក់លាក់មួយនៃចំណុច P 0 ហើយមិនមែននៅក្នុងដែនទាំងមូលនៃមុខងារ ដែលមានន័យថាមុខងារអាចមានច្រើនប្រភេទដូចគ្នា (ច្រើនតូច ច្រើន អតិបរមា)។ ដូច្នេះ ជ្រុលដែលបានកំណត់ខាងលើត្រូវបានគេហៅថា ក្នុងស្រុក(ក្នុងស្រុក) ជ្រុលនិយម។

ទ្រឹស្តីបទ 9.1. (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនៃ FNP)

ប្រសិនបើមុខងារ និង= f(X 1 , X 2 , ..., x ន) មានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុច P 0 បន្ទាប់មកនិស្សន្ទវត្ថុភាគទីមួយរបស់វានៅចំណុចនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។

ភស្តុតាង។សូមឱ្យនៅចំណុច Р 0 ( ក 1 , ក 2 , ..., មួយទំ) មុខងារ និង= f( ព. ) មាន​អតិរេក ដូចជា​អតិបរមា ។ ចូរយើងជួសជុលអំណះអំណាង X 2 , ..., x ន, ដាក់ X 2 =ក 2 ,..., x ន = មួយទំ. បន្ទាប់មក និង= f(ព) = f 1 ((X 1 , ក 2 , ..., មួយទំ) គឺជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ Xមួយ។ ចាប់តាំងពីមុខងារនេះមាន X 1 = ក 1 extremum (អតិបរមា), បន្ទាប់មក f 1 ¢ = 0 ឬមិនមាននៅពេលដែល X 1 =ក 1 (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃអត្ថិភាពនៃមុខងារនៃអថេរមួយ)។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកឬមិនមាននៅចំណុច P 0 - ចំណុចខ្លាំង។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចពិចារណាពីដេរីវេដោយផ្នែកដោយគោរពទៅនឹងអថេរផ្សេងទៀត។ CHTD

ចំណុចនៃដែននៃអនុគមន៍ដែលនិស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីមួយស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់ មុខងារនេះ។

ដូចខាងក្រោមពីទ្រឹស្តីបទ 9.1 ចំណុចខ្លាំងនៃ FNP គួរតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងចំណោមចំណុចសំខាន់ៗនៃមុខងារ។ ប៉ុន្តែសម្រាប់មុខងារនៃអថេរមួយ មិនមែនគ្រប់ចំណុចសំខាន់ទាំងអស់សុទ្ធតែជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។

ទ្រឹស្តីបទ ៩.២

អនុញ្ញាតឱ្យ Р 0 ជាចំណុចសំខាន់នៃមុខងារ និង= f(ព) និង គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរនៃមុខងារនេះ។ បន្ទាប់មក

ហើយ​ប្រសិន​បើ ឃ 2 យូ(P 0) > 0 សម្រាប់ បន្ទាប់មក Р 0 គឺជាចំណុចមួយ។ អប្បបរមាមុខងារ និង= f(ព);

ខ) ប្រសិនបើ ឃ 2 យូ(P0)< 0 при , то Р 0 – точка អតិបរមាមុខងារ និង= f(ព);

គ) ប្រសិនបើ ឃ 2 យូ(P 0) មិនត្រូវបានកំណត់ដោយសញ្ញាទេបន្ទាប់មក P 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំង;

យើងពិចារណាទ្រឹស្តីបទនេះដោយគ្មានភស្តុតាង។

ចំណាំថាទ្រឹស្តីបទមិនពិចារណាករណីនៅពេលណាទេ។ ឃ 2 យូ(P 0) = 0 ឬមិនមាន។ នេះមានន័យថាសំណួរនៃវត្តមាននៃភាពខ្លាំងនៅចំណុច P 0 នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌបែបនេះនៅតែបើកចំហ - ត្រូវការការសិក្សាបន្ថែមឧទាហរណ៍ការសិក្សាអំពីការកើនឡើងនៃមុខងារនៅចំណុចនេះ។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាលម្អិតបន្ថែមទៀត វាត្រូវបានបង្ហាញថា ជាពិសេសសម្រាប់មុខងារ z = f(x,y) នៃអថេរពីរដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរគឺជាផលបូកនៃទម្រង់

ការសិក្សាអំពីវត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមនៅចំណុចសំខាន់Р 0 អាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។

សម្គាល់ , , ។ ចងក្រងកត្តាកំណត់

.

ប្រែថា:

ឃ 2 z> 0 នៅចំណុច P 0, i.e. P 0 - ចំណុចអប្បបរមាប្រសិនបើ ក(P 0) > 0 និង D (P 0) > 0;

ឃ 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ក(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ប្រសិនបើ D (P 0)< 0, то ឃ 2 zនៅជិតចំណុច Р 0 ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ហើយមិនមានចំណុចខ្លាំងទេ Р 0;

ប្រសិនបើ D(Р 0) = 0 នោះការសិក្សាបន្ថែមអំពីមុខងារដែលនៅជិតចំនុចសំខាន់ Р 0 ក៏ត្រូវបានទាមទារផងដែរ។

ដូច្នេះសម្រាប់មុខងារ z = f(x,y) អថេរពីរ យើងមាន algorithm ខាងក្រោម (សូមហៅវាថា "algorithm D") សម្រាប់ស្វែងរក extremum:

1) ស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ D ( f) មុខងារ។

2) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់, i.e. ពិន្ទុពី D ( f) ដែលនិងស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។

3) នៅចំណុចសំខាន់នីមួយៗ Р 0 ពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កម្រិតខ្លាំង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះរក កន្លែងណា , និងគណនា D(Р 0) និង ប៉ុន្តែ(P 0) បន្ទាប់មក៖

ប្រសិនបើ D (Р 0) > 0 នោះមានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុច Р 0 លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើ ប៉ុន្តែ(P 0) > 0 - បន្ទាប់មកនេះគឺជាអប្បបរមា ហើយប្រសិនបើ ប៉ុន្តែ(P 0)< 0 – максимум;

ប្រសិនបើ D (P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

ប្រសិនបើ D(Р 0) = 0 នោះត្រូវការការសិក្សាបន្ថែម។

4) គណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំនុចខ្លាំងដែលបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍ ១.

ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

ការសម្រេចចិត្ត។ដែននៃមុខងារនេះគឺជាយន្តហោះកូអរដោណេទាំងមូល។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗ។

, , Þ Р 0 (0,0), .

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌធ្ងន់ធ្ងរគ្រប់គ្រាន់។ ចូរយើងស្វែងរក

6X, = -3, = 48នៅនិង = 288ហ៊ – 9.

បន្ទាប់មក D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - មានចំណុចខ្លាំងនៅចំណុចР 1 ហើយចាប់តាំងពី ប៉ុន្តែ(P 1) = 3>0 បន្ទាប់មកភាពខ្លាំងនេះគឺជាអប្បបរមា។ ដូច្នេះ នាទី z=z(P1) = .

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ .

ដំណោះស្រាយ៖ D( f) = R 2 . ចំណុចសំខាន់៖ ; មិនមាននៅ នៅ= 0 ដូច្នេះ P 0 (0,0) គឺជាចំណុចសំខាន់នៃមុខងារនេះ។

2, = 0, = , = , ប៉ុន្តែ D(Р 0) មិនត្រូវបានកំណត់ដូច្នេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការសិក្សាសញ្ញារបស់វា។

សម្រាប់ហេតុផលដូចគ្នា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ 9.2 ដោយផ្ទាល់ − ឃ 2 zមិនមាននៅចំណុចនេះទេ។

ពិចារណាលើការបង្កើនមុខងារ f(x, y) នៅចំណុច Р 0 ។ ប្រសិនបើ D f =f(ព)- f(P 0)> 0 "P បន្ទាប់មក P 0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា ប្រសិនបើ D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

យើងមាននៅក្នុងករណីរបស់យើង។

ឃ f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+ ឃ y) – f(0, 0) = .

នៅ D x= 0.1 និង D y= -0.008 យើងទទួលបាន D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 និង D y= 0.001D f= 0.01 + 0.1 > 0, i.e. នៅជិតចំនុច Р 0 ទាំងលក្ខខណ្ឌ D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) ហើយដូច្នេះ P 0 មិនមែនជាចំណុចអតិបរិមា) ហើយក៏ជាលក្ខខណ្ឌ D f>0 (ឧ. f(x, y) > f(0, 0) ហើយបន្ទាប់មក Р 0 មិនមែនជាចំណុចអប្បបរមាទេ)។ ដូច្នេះតាមនិយមន័យនៃជ្រុល មុខងារនេះមិនមានជ្រុលនិយមទេ។

ហួសហេតុតាមលក្ខខណ្ឌ។

មុខងារដែលចាត់ទុកថាខ្លាំងបំផុតត្រូវបានគេហៅថា ដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌចាប់តាំងពីគ្មានការរឹតបន្តឹង (លក្ខខណ្ឌ) ត្រូវបានដាក់លើអាគុយម៉ង់មុខងារ។

និយមន័យ 9.2 ។មុខងារខ្លាំង និង = f(X 1 , X 2 , ... , x ន) បានរកឃើញនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលអាគុយម៉ង់របស់វា។ X 1 , X 2 , ... , x នបំពេញសមីការ j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x ន) = 0, …, ច t(X 1 , X 2 , ... , x ន) = 0 ដែល P ( X 1 , X 2 , ... , x ន) អូ ឃ ( f), ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ជ្រុលតាមលក្ខខណ្ឌ .

សមីការ j k(X 1 , X 2 , ... , x ន) = 0 , k = 1, 2,..., ម, ត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃការតភ្ជាប់.

ពិចារណាមុខងារ z = f(x,y) នៃអថេរពីរ។ ប្រសិនបើមានសមីការកំហិតតែមួយ i.e. បន្ទាប់មកការស្វែងរក extremum តាមលក្ខខណ្ឌមានន័យថា extremum ត្រូវបានគេស្វែងរកមិនមែននៅក្នុងដែនទាំងមូលនៃមុខងារនោះទេ ប៉ុន្តែនៅលើខ្សែកោងមួយចំនួនដែលស្ថិតនៅក្នុង D ( f) (ឧ. មិនមែនជាចំណុចខ្ពស់បំផុត ឬទាបបំផុតនៃផ្ទៃត្រូវបានស្វែងរកទេ។ z = f(x,y) និងចំណុចខ្ពស់បំផុត ឬទាបបំផុតក្នុងចំណោមចំនុចប្រសព្វនៃផ្ទៃនេះជាមួយស៊ីឡាំង រូបទី 5)។

លក្ខខណ្ឌអតិបរមានៃមុខងារ z = f(x,y) នៃអថេរពីរអាចត្រូវបានរកឃើញតាមវិធីខាងក្រោម ( វិធីសាស្រ្តលុបបំបាត់) ពីសមីការ បង្ហាញអថេរមួយក្នុងចំណោមអថេរជាមុខងាររបស់មួយទៀត (ឧទាហរណ៍ សរសេរ) ហើយជំនួសតម្លៃនៃអថេរនេះទៅក្នុងអនុគមន៍ សរសេរក្រោយជាអនុគមន៍នៃអថេរមួយ (ក្នុងករណីដែលបានពិចារណា ) ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍លទ្ធផលនៃអថេរមួយ។