Definīcija. Divu mainīgo funkcijas ekstremālie punkti Tiek izsaukti šīs funkcijas minimālie un maksimālie punkti. Tiek izsauktas pašas funkcijas vērtības galējos punktos divu mainīgo funkcijas ekstrēma .

Definīcija. Punkts P(x0 , y 0 ) sauca z = z(x, y) , ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka nekā punktos tās tuvumā. Tiek izsaukta funkcijas vērtība maksimālajā punktā divu mainīgo funkciju maksimums .

Definīcija. Punkts P(x0 , y 0 ) sauca divu mainīgo funkcijas maksimālais punkts z = z(x, y) , ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka nekā punktos tās tuvumā. Funkcijas vērtība maksimālajā punktā sauc par divu mainīgo funkcijas maksimumu .

Teorēma (nepieciešama divu mainīgo funkcijas galējības zīme). Ja punkts P(x0 , y 0 ) - divu mainīgo funkcijas galējais punkts z = z(x, y) , tad pirmais daļēji atvasinājumi funkcijas (ar “X” un “Y”) šajā brīdī ir vienādas ar nulli vai arī tās neeksistē:

Definīcija. Tiek izsaukti punkti, kuros divu mainīgo funkcijas pirmie parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli stacionāri punkti .

Definīcija. Punktus, kuros divu mainīgo funkcijas pirmie parciālie atvasinājumi ir vienādi ar nulli vai nepastāv, sauc. kritiskie punkti .

Tāpat kā viena mainīgā funkcijas gadījumā, nepietiek ar nepieciešamo nosacījumu divu mainīgo funkcijas ekstrēma pastāvēšanai. Ir daudz funkciju gadījumos, kad funkcijas pirmais daļējais atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē, bet atbilstošajos punktos nav ekstrēmu. Katrs galējais punkts ir kritisks punkts, bet ne katrs kritiskais punkts ir galējība .

Pietiekama zīme divu mainīgo funkcijas ekstrēma esamībai. Punktā P ir divu mainīgo funkcijas ekstrēmums, ja atrodas šī punkta tuvumā pilns funkcijas pieaugums zīmi nemaina. Tā kā kritiskajā punktā pirmā pilnā diferenciāle ir vienāda ar nulli, funkcijas pieaugums nosaka otro pilno diferenciāli

Vislabāko izpratni par kopējās diferenciāles pielietojumu radīs, izpētot un praktizējot divu mainīgo funkcijas ekstrēmu noteikšanas algoritma 3. un 4. darbību, kas seko šīs nodarbības otrajam punktam.

Divu mainīgo funkcijas ekstrēmu lokālais raksturs. Divu mainīgo funkcijas maksimums jebkurā funkcijas definīcijas apgabala daļā ne vienmēr ir maksimums visā definīcijas joma, tāpat kā minimums nevienā jomā nav minimums visā definīcijas jomā. Ņemsim vērā viļņu augstumu jūras piekrastes reģiona posmā (posms ir mazāks par reģionu). Tad šajā zonā varam fiksēt (vismaz vizuāli) lielāko viļņu augstumu. Bet citā apgabalā, kur vējš izraisa lielāku viļņu augstumu, mēs fiksējam minimālo viļņu augstumu. Tas nozīmē, ka maksimālais viļņu augstums pirmajā daļā var būt mazāks par minimālo viļņu augstumu otrajā daļā. Tāpēc, tāpat kā viena mainīgā funkcijas ekstrēmas gadījumā, ir nepieciešams precizēt šo jēdzienu un runāt par ekstrēmu kā divu mainīgo funkcijas lokālu ekstrēmu.

Algoritms divu mainīgo funkcijas ekstrēmu atrašanai un risinājumu piemēri

Vislielāko interesi rada divu mainīgo funkcijas ekstrēmu atrašanas algoritms, jo, pirmkārt, tas atšķiras no viena mainīgā funkcijas ekstrēmu atrašanas algoritma un, otrkārt, pēc analoģijas ar to, no algoritma, lai atrastu funkcijas ekstrēmu lielumu. var izveidot trīs mainīgo funkciju. Jo īpaši būs jāaprēķina kvalifikācijas .

Tātad, algoritms divu mainīgo funkcijas ekstrēmu atrašanai.

Ir dota divu mainīgo funkcija.

2. darbība. Mēs sastādām vienādojumu sistēmu no šo atvasinājumu vienādības ar nulli (to vienādība ar nulli ir nepieciešama ekstrēma esamības pazīme):

Šīs vienādojumu sistēmas atrisinājumi ir iespējamie galējības punkti - kritiskie punkti.

3. darbība.Ļaut būt kritiskajam punktam, kas atrasts 2. darbībā. Lai pārliecinātos, ka tajā ir divu mainīgo funkcijas ekstrēms, mēs atrodam otrās kārtas daļēji atvasinājumi

kā daļējus atvasinājumus no pirmās kārtas daļējiem atvasinājumiem, kas atrasti 1. darbībā.

4. darbība. Mēs piešķiram burtu apzīmējumus otrās kārtas daļējiem atvasinājumiem, kas atrasti 3. darbībā:

4. darbība. Mēs atrodam noteicēju:

, t.i., atrastajā kritiskajā punktā nav galējības,

un , t.i., atrastajā kritiskajā punktā ir divu mainīgo funkciju minimums,

un , t.i., atrastajā kritiskajā punktā ir divu mainīgo funkcijas maksimums.

1. definīcija. Punktu M(x 0 ; y 0) sauc par funkcijas z = f(x; y) maksimālo (minimālo) punktu, ja punktam M ir tāda apkārtne, ka visiem punktiem (x; y) no š. apkārtnē pastāv šāda nevienlīdzība:

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

1. teorēma (nepieciešams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai) . Ja diferencējama funkcija z = f(x; y) sasniedz ekstrēmu punktā M(x 0 ; y 0), tad tās pirmās kārtas parciālie atvasinājumi šajā punktā ir vienādi ar nulli, t.i.
;

Tiek izsaukti punkti, kuros daļējie atvasinājumi ir vienādi ar nulli stacionārs vai kritiskie punkti.

2. teorēma (pietiekams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai)

Ļaujiet funkcijai z = f(x; y):

a) definēts noteiktā punkta apkārtnē (x 0 ; y 0), kurā
Un
;

b) šajā punktā ir nepārtraukti otrās kārtas daļējie atvasinājumi

;

Tad, ja  = AC  B 2 > 0, tad punktā (x 0 ; y 0) funkcijai z = f(x; y) ir ekstrēmums, un, ja A< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (vai C > 0) – minimums. Gadījumā  = AC  B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

1. piemērs. Atrodiet funkcijas z = x 2 + xy + y 2  3x  6y ekstrēmu.

Risinājums. Atradīsim pirmās kārtas daļējos atvasinājumus:

Izmantosim nepieciešamo nosacījumu ekstrēma pastāvēšanai:

Atrisinot vienādojumu sistēmu, atrodam stacionāro punktu x un y koordinātas: x = 0; y = 3, t.i., M(0; 3).

Aprēķināsim otrās kārtas daļējos atvasinājumus un atradīsim to vērtības punktā M.

A =
= 2; C =
= 2;

B =
.

Sastādīsim diskriminantu  = AC  B 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0. Līdz ar to punktā M(0; 3) dotajai funkcijai ir minimums. Funkcijas vērtība šajā punktā ir z min = 9.

Atrodiet funkciju galējības

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =
 y 2  x + 6g

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

Divu mainīgo funkcijas lielākās un mazākās vērtības slēgtā domēnā

Lai atrastu lielākais Un vismazāk funkcijas vērtības slēgtā reģionā, jums ir nepieciešams:

1) atrast kritiskos punktus, kas atrodas noteiktā apgabalā, un aprēķināt funkciju vērtības šajos punktos;

2) atrast kritiskos punktus uz reģiona robežas un aprēķināt tajos esošo funkciju lielākās un mazākās vērtības;

3) no visām atrastajām vērtībām atlasiet lielāko un mazāko.

2. piemērs. Atrodiet funkcijas z = lielāko un mazāko vērtību
aplī x 2 + y 2  1.

Risinājums. Atradīsim apskatāmā apgabala iekšienē izvietoto kritisko punktu koordinātes, kurām aprēķinām funkcijas z pirmās kārtas daļējos atvasinājumus un pielīdzināsim nullei.

kur x = 0, y = 0 un tāpēc M(0; 0) ir kritiskais punkts.

Aprēķināsim funkcijas z vērtību punktā M(0; 0): z(0; 0) = 2.

Atradīsim kritiskos punktus uz apgabala robežas - aplis, kas definēts ar vienādojumu x 2 + y 2 = 1. Aizvietojot y 2 = 1 - x 2 funkcijā z = z(x; y), iegūstam funkciju. no viena mainīgā lieluma

z =
;

kur x[1; 1].

Aprēķinot atvasinājumu
un pielīdzinot to nullei, iegūstam kritiskos punktus uz apgabala robežas x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Atradīsim funkcijas z(x) = vērtību
kritiskajos punktos un posma galos [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

Izvēlēsimies lielāko un mazāko no funkcijas z vērtībām kritiskajos punktos, kas atrodas apļa iekšpusē un uz tā robežas.

Tātad, z maks. = z(0; 0) = 2

Funkcijas galējais punkts ir punkts funkcijas definīcijas jomā, kurā funkcijas vērtība iegūst minimālo vai maksimālo vērtību. Funkcijas vērtības šajos punktos sauc par funkcijas galējībām (minimālo un maksimālo)..

Definīcija. Punkts x1 funkciju domēns f(x) tiek saukts funkcijas maksimālais punkts , ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka par funkcijas vērtībām punktos, kas atrodas pietiekami tuvu tai, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība ir spēkā f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimums.

Definīcija. Punkts x2 funkciju domēns f(x) tiek saukts funkcijas minimālais punkts, ja funkcijas vērtība šajā punktā ir mazāka par funkcijas vērtībām punktos, kas atrodas pietiekami tuvu tai, kas atrodas pa labi un pa kreisi no tās (tas ir, nevienlīdzība ir spēkā f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Šajā gadījumā mēs sakām, ka funkcijai ir punkts x2 minimums.

Teiksim punkts x1 - funkcijas maksimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x1 funkcija palielinās, tāpēc funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0 ), un intervālā pēc x1 funkcija samazinās, tāpēc funkcijas atvasinājums mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Pieņemsim arī, ka punkts x2 - funkcijas minimālais punkts f(x) . Pēc tam intervālā līdz x2 funkcija samazinās, un funkcijas atvasinājums ir mazāks par nulli ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija palielinās, un funkcijas atvasinājums ir lielāks par nulli ( f "(x) > 0). Šajā gadījumā arī punktā x2 funkcijas atvasinājums ir nulle vai neeksistē.

Fermā teorēma (nepieciešama funkcijas ekstrēma esamības pazīme). Ja punkts x0 - funkcijas galējais punkts f(x) tad šajā punktā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli ( f "(x) = 0 ) vai neeksistē.

Definīcija. Tiek izsaukti punkti, kuros funkcijas atvasinājums ir nulle vai neeksistē kritiskie punkti .

1. piemērs. Apskatīsim funkciju.

Punktā x= 0 funkcijas atvasinājums ir nulle, tātad punkts x= 0 ir kritiskais punkts. Tomēr, kā redzams funkcijas grafikā, tas palielinās visā definīcijas jomā, tāpēc punkts x= 0 nav šīs funkcijas galējais punkts.

Tādējādi nosacījumi, ka funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar nulli vai nepastāv, ir nepieciešami nosacījumi galējībai, bet nav pietiekami, jo var sniegt citus funkciju piemērus, kurām šie nosacījumi ir izpildīti, bet funkcija nav ekstrēma attiecīgajā punktā. Tāpēc jābūt pietiekamiem pierādījumiem, ļaujot spriest, vai konkrētajā kritiskajā punktā ir ekstrēms un kāds tas ir - maksimums vai minimums.

Teorēma (pirmā pietiekamā funkcijas ekstrēma esamības pazīme). Kritiskais punkts x0 f(x) ja, ejot cauri šim punktam, funkcijas atvasinājums maina zīmi un ja zīme mainās no “plus” uz “mīnusu”, tad tas ir maksimālais punkts, un ja no “mīnus” uz “pluss”, tad tas ir minimālais punkts.

Ja tuvu punktam x0 , pa kreisi un pa labi no tā atvasinājums saglabā savu zīmi, tas nozīmē, ka funkcija vai nu tikai samazinās, vai tikai palielinās noteiktā punkta apkārtnē. x0 . Šajā gadījumā punktā x0 nav nekādas galējības.

Tātad, lai noteiktu funkcijas galējos punktus, jums jāveic šādas darbības :

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Pielīdziniet atvasinājumu nullei un nosakiet kritiskos punktus.
3. Garīgi vai uz papīra atzīmējiet kritiskos punktus uz skaitļu līnijas un nosakiet funkcijas atvasinājuma zīmes iegūtajos intervālos. Ja atvasinājuma zīme mainās no “plus” uz “mīnus”, tad kritiskais punkts ir maksimālais punkts, un, ja no “mīnus” uz “pluss”, tad minimālais punkts.
4. Aprēķiniet funkcijas vērtību galējos punktos.

2. piemērs. Atrodiet funkcijas galējību .

Risinājums. Atradīsim funkcijas atvasinājumu:

Pielīdzināsim atvasinājumu nullei, lai atrastu kritiskos punktus:

.

Tā kā jebkurai “x” vērtībai saucējs nav vienāds ar nulli, mēs pielīdzinām skaitītāju nullei:

Ir viens kritisks punkts x= 3. Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos, ko norobežo šis punkts:

diapazonā no mīnus bezgalības līdz 3 - mīnusa zīme, tas ir, funkcija samazinās,

intervālā no 3 līdz plus bezgalībai ir plus zīme, tas ir, funkcija palielinās.

Tas ir, punkts x= 3 ir minimālais punkts.

Atradīsim funkcijas vērtību minimālajā punktā:

Tādējādi tiek atrasts funkcijas galējais punkts: (3; 0), un tas ir minimālais punkts.

Teorēma (otra pietiekamā funkcijas ekstrēma esamības pazīme). Kritiskais punkts x0 ir funkcijas galējais punkts f(x) ja funkcijas otrais atvasinājums šajā punktā nav vienāds ar nulli ( f ""(x) ≠ 0), un ja otrais atvasinājums ir lielāks par nulli ( f ""(x) > 0 ), tad maksimālais punkts un, ja otrais atvasinājums ir mazāks par nulli ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Piezīme 1. Ja punktā x0 Ja pazūd gan pirmais, gan otrais atvasinājums, tad šajā brīdī nav iespējams spriest par ekstrēma esamību pēc otrā pietiekamā kritērija. Šajā gadījumā ir jāizmanto pirmais pietiekams funkcijas galējības kritērijs.

2. piezīme. Funkcijas ekstrēma otrais pietiekams kritērijs nav piemērojams pat tad, ja stacionārā punktā pirmais atvasinājums neeksistē (tad neeksistē arī otrs atvasinājums). Šajā gadījumā ir jāizmanto arī pirmā pietiekamā funkcijas ekstrēma zīme.

Funkcijas galējības lokālais raksturs

No iepriekšminētajām definīcijām izriet, ka funkcijas ekstrēmam ir lokāls raksturs – tā ir lielākā un mazākā funkcijas vērtība, salīdzinot ar tuvējām vērtībām.

Pieņemsim, ka skatāties uz saviem ieņēmumiem viena gada periodā. Ja maijā jūs nopelnījāt 45 000 rubļu, bet aprīlī 42 000 rubļu un jūnijā 39 000 rubļu, tad maija ienākumi ir peļņas funkcijas maksimums salīdzinājumā ar tuvējām vērtībām. Bet oktobrī jūs nopelnījāt 71 000 rubļu, septembrī 75 000 rubļu un novembrī 74 000 rubļu, tāpēc oktobra ienākumi ir peļņas funkcijas minimums, salīdzinot ar tuvējām vērtībām. Un jūs varat viegli redzēt, ka maksimums starp aprīļa-maija-jūnija vērtībām ir mazāks par septembra-oktobra-novembra minimumu.

Vispārīgi runājot, intervālā funkcijai var būt vairākas galējības, un var izrādīties, ka kāds funkcijas minimums ir lielāks par jebkuru maksimumu. Tātad, funkcijai, kas parādīta iepriekš attēlā, .

Tas ir, nevajadzētu domāt, ka funkcijas maksimums un minimums ir attiecīgi tās lielākās un mazākās vērtības visā aplūkojamā segmentā. Maksimālajā punktā funkcijai ir lielākā vērtība tikai salīdzinājumā ar tām vērtībām, kuras tai ir visos punktos pietiekami tuvu maksimālajam punktam, un minimālajā punktā tai ir mazākā vērtība tikai salīdzinājumā ar šīm vērtībām. ka tā visos punktos ir pietiekami tuvu minimālajam punktam.

Tāpēc mēs varam precizēt iepriekš minēto funkcijas ekstremālo punktu jēdzienu un nosaukt minimālos punktus par vietējiem minimālajiem punktiem un maksimālos punktus par vietējiem maksimālajiem punktiem.

Mēs kopā meklējam funkcijas galējības

3. piemērs.

Risinājums: funkcija ir definēta un nepārtraukta visā skaitļu rindā. Tā atvasinājums eksistē arī visā skaitļu rindā. Tāpēc šajā gadījumā kritiskie punkti ir tikai tie, kuros, t.i. , no kurienes un . Kritiskie punkti un sadaliet visu funkcijas definīcijas jomu trīs monotonības intervālos: . Katrā no tiem atlasīsim vienu kontrolpunktu un šajā punktā atradīsim atvasinājuma zīmi.

Intervālam kontroles punkts var būt: atrast. Ņemot punktu intervālā, mēs iegūstam, un, ņemot punktu intervālā, mums ir. Tātad, intervālos un , Un intervālā . Atbilstoši pirmajam pietiekamajam ekstrēma kritērijam, punktā nav ekstrēma (jo atvasinājums saglabā savu zīmi intervālā), bet punktā funkcijai ir minimums (jo atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, kad tiek nodota garām caur šo punktu). Atradīsim atbilstošās funkcijas vērtības: , a . Intervālā funkcija samazinās, jo šajā intervālā , un intervālā tā palielinās, jo šajā intervālā .

Lai precizētu grafa uzbūvi, atrodam tā krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Iegūstot vienādojumu, kura saknes ir un , t.i., tiek atrasti divi funkcijas grafika punkti (0; 0) un (4; 0). Izmantojot visu saņemto informāciju, mēs veidojam grafiku (skatiet piemēra sākumu).

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

4. piemērs. Atrodiet funkcijas galējību un izveidojiet tās grafiku.

Funkcijas definīcijas apgabals ir visa skaitļa līnija, izņemot punktu, t.i. .

Lai saīsinātu pētījumu, varat izmantot faktu, ka šī funkcija ir pat, jo . Tāpēc tā grafiks ir simetrisks pret asi Oy un pētījumu var veikt tikai intervālam.

Atvasinājuma atrašana un funkcijas kritiskie punkti:

1) ;

2) ,

bet šajā brīdī funkcijai ir pārtraukums, tāpēc tas nevar būt galējības punkts.

Tādējādi dotajai funkcijai ir divi kritiskie punkti: un . Ņemot vērā funkcijas paritāti, mēs pārbaudīsim tikai punktu, izmantojot otro pietiekamo ekstrēmuma kritēriju. Lai to izdarītu, mēs atrodam otro atvasinājumu un noteikt tās zīmi: mēs saņemam . Tā kā un , tas ir funkcijas un minimālais punkts .

Lai iegūtu pilnīgāku priekšstatu par funkcijas grafiku, noskaidrosim tās uzvedību definīcijas apgabala robežās:

(šeit simbols norāda vēlmi x uz nulli no labās puses un x paliek pozitīvs; līdzīgi nozīmē tiekšanos x uz nulli no kreisās puses un x paliek negatīvs). Tādējādi, ja , tad . Tālāk mēs atrodam

,

tie. ja tad .

Funkcijas grafikā nav krustošanās punktu ar asīm. Attēls ir piemēra sākumā.

Pašpārbaudei aprēķinu laikā varat izmantot tiešsaistes atvasinājumu kalkulators .

Mēs turpinām kopā meklēt funkcijas galējības

8. piemērs. Atrodiet funkcijas galējību.

Risinājums. Atradīsim funkcijas definīcijas apgabalu. Tā kā nevienlīdzība ir jāapmierina, mēs iegūstam no .

Atradīsim funkcijas pirmo atvasinājumu.

Vienkāršs algoritms ekstremitāšu atrašanai.

• Funkcijas atvasinājuma atrašana
• Mēs pielīdzinām šo atvasinājumu nullei
• Mēs atrodam iegūtās izteiksmes mainīgā vērtības (tā mainīgā vērtības, kurā atvasinājums tiek pārvērsts par nulli)
• Izmantojot šīs vērtības, mēs sadalām koordinātu līniju intervālos (neaizmirstiet par pārtraukuma punktiem, kas arī ir jāatzīmē uz līnijas), visus šos punktus sauc par "aizdomīgiem" galējības punktiem.
• Mēs aprēķinām, kurš no šiem intervāliem atvasinājums būs pozitīvs un kurš negatīvs. Lai to izdarītu, vērtība no intervāla ir jāaizstāj ar atvasinājumu.

No punktiem, kas ir aizdomīgi par ekstrēmu, ir jāatrod . Lai to izdarītu, mēs aplūkojam mūsu intervālus uz koordinātu līnijas. Ja, ejot cauri kādam punktam, atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu, tad šis punkts būs maksimums, un ja no mīnusa uz plusu, tad minimums.

Lai atrastu funkcijas lielāko un mazāko vērtību, ir jāaprēķina funkcijas vērtība segmenta galos un galējos punktos. Pēc tam atlasiet lielāko un mazāko vērtību.

Apskatīsim piemēru
Mēs atrodam atvasinājumu un pielīdzinām to nullei:

Mēs uzzīmējam iegūtās mainīgo vērtības uz koordinātu līnijas un aprēķinām atvasinājuma zīmi katrā no intervāliem. Nu, piemēram, par pirmo ņemsim-2 , tad atvasinājums būs vienāds-0,24 , otro mēs ņemsim0 , tad atvasinājums būs2 , un trešo mēs ņemam2 , tad atvasinājums būs-0,24. Noliekam atbilstošās zīmes.

Mēs redzam, ka, ejot caur punktu -1, atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, tas ir, tas būs minimālais punkts, un, ejot cauri 1, tas mainīs zīmi no plus uz mīnusu, attiecīgi šī būs maksimālais punkts.

Ievads

Daudzās zinātnes jomās un praktiskajās darbībās bieži nākas saskarties ar funkcijas ekstrēma atrašanas problēmu. Lieta tāda, ka daudzi tehniskie, ekonomiskie u.c. procesi tiek modelēti ar funkciju vai vairākām funkcijām, kas ir atkarīgas no mainīgajiem - faktoriem, kas ietekmē modelējamās parādības stāvokli. Nepieciešams atrast šādu funkciju galējības, lai noteiktu optimālo (racionālo) stāvokli un procesa vadību. Tātad ekonomikā bieži tiek atrisinātas izmaksu samazināšanas vai peļņas maksimizēšanas problēmas - uzņēmuma mikroekonomiskā problēma. Šajā darbā netiek aplūkoti modelēšanas jautājumi, bet tiek aplūkoti tikai algoritmi funkciju ekstrēmu meklēšanai vienkāršākajā versijā, kad mainīgajiem netiek uzlikti ierobežojumi (beznosacījuma optimizācija), un ekstrēmu meklē tikai vienai mērķfunkcijai.

FUNKCIJAS EXTREMA

Apsveriet nepārtrauktas funkcijas grafiku y=f(x) parādīts attēlā. Funkcijas vērtība punktā x 1 būs lielākas par funkciju vērtībām visos blakus punktos gan pa kreisi, gan pa labi no x 1 . Šajā gadījumā mēs sakām, ka funkcijai ir punkts x 1 maksimums. Punktā x Acīmredzot 3. funkcijai ir arī maksimums. Ja ņemam vērā būtību x 2, tad funkcijas vērtība tajā ir mazāka par visām blakus vērtībām. Šajā gadījumā mēs sakām, ka funkcijai ir punkts x 2 minimums. Tāpat par punktu x 4 .

Funkcija y=f(x) punktā x 0 ir maksimums, ja funkcijas vērtība šajā punktā ir lielāka par tās vērtībām visos intervāla punktos, kas satur punktu x 0, t.i. ja ir tāda punkta apkārtne x 0, kas ir visiem x≠x 0 , piederība šai apkaimē, nevienlīdzība pastāv f(x)<f(x 0 ) .

Funkcija y=f(x) Tā ir minimums punktā x 0 , ja ir tāda punkta apkārtne x 0 , tas ir visiem x≠x 0, kas pieder šai apkārtnei, pastāv nevienlīdzība f(x)>f(x 0.

Punktus, kuros funkcija sasniedz maksimumu un minimumu, sauc par ekstremālajiem punktiem, un funkcijas vērtības šajos punktos sauc par funkcijas galējībām.

Pievērsīsim uzmanību tam, ka segmentā definēta funkcija savu maksimumu un minimumu var sasniegt tikai apskatāmā segmenta punktos.

Ņemiet vērā: ja funkcijai kādā punktā ir maksimums, tas nenozīmē, ka tajā brīdī funkcijai ir vislielākā vērtība visā definīcijas jomā. Iepriekš apskatītajā attēlā funkcija punktā x 1 ir maksimums, lai gan ir punkti, kuros funkcijas vērtības ir lielākas nekā punktā x 1 . It īpaši, f(x 1) < f(x 4) t.i. funkcijas minimums ir lielāks par maksimumu. No maksimuma definīcijas tikai izriet, ka šī ir lielākā funkcijas vērtība punktos, kas ir pietiekami tuvu maksimālajam punktam.

Teorēma 1. (Nepieciešams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai.) Ja diferencējamā funkcija y=f(x) ir punktā x=x 0 ekstrēmu, tad tā atvasinājums šajā punktā kļūst par nulli.

Pierādījums. Ļaujiet, lai noteiktu, pie punkta x 0 funkcijai ir maksimums. Tad pietiekami maziem soļiem Δ x mums ir f(x 0 + Δ x) 0 ) , t.i.

Bet tad

Šo nevienādību pāreja uz robežu pie Δ x→ 0 un ņemot vērā, ka atvasinājums f "(x 0) pastāv, un tāpēc ierobežojums kreisajā pusē nav atkarīgs no tā, kā Δ x→ 0, mēs iegūstam: pie Δ x → 0 – 0 f"(x 0) ≥ 0 a pie Δ x → 0 + 0 f"(x 0) ≤ 0. Kopš f"(x 0) definē skaitli, tad šīs divas nevienādības ir savietojamas tikai tad, ja f"(x 0) = 0.

Pierādītā teorēma nosaka, ka maksimālais un minimālais punkts var būt tikai starp tām argumenta vērtībām, pie kurām atvasinājums kļūst par nulli.

Mēs aplūkojām gadījumu, kad funkcijai ir atvasinājums visos noteikta segmenta punktos. Kāda ir situācija gadījumos, kad atvasinājums nepastāv? Apskatīsim piemērus.

y=|x|.

Funkcijai punktā nav atvasinājuma x=0 (šajā brīdī funkcijas grafikam nav noteiktas pieskares), bet šajā brīdī funkcijai ir minimums, jo y(0)=0 un visiem x≠ 0y > 0.

nav atvasinājuma pie x=0, jo tas iet līdz bezgalībai pie x=0. Bet šajā brīdī funkcijai ir maksimums. nav atvasinājuma pie x=0, kopš kura laika x→0. Šajā brīdī funkcijai nav ne maksimuma, ne minimuma. Tiešām, f(x)=0 un plkst x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.

Tādējādi no sniegtajiem piemēriem un formulētās teorēmas ir skaidrs, ka funkcijai ekstrēmums var būt tikai divos gadījumos: 1) punktos, kur atvasinājums eksistē un ir vienāds ar nulli; 2) vietā, kur atvasinājums nepastāv.

Tomēr, ja kādā brīdī x 0 mēs to zinām f "(x 0 ) =0, tad no tā nevar secināt, ka punktā x 0 funkcijai ir galējība.

Piemēram.

.

Bet punkts x=0 nav galējais punkts, jo pa kreisi no šī punkta funkcijas vērtības atrodas zem ass Vērsis, un augšpusē labajā pusē.

Argumenta vērtības no funkcijas domēna, kurā funkcijas atvasinājums pazūd vai nepastāv, tiek sauktas kritiskie punkti.

No visa iepriekš minētā izriet, ka funkcijas galējie punkti ir starp kritiskajiem punktiem, un tomēr ne katrs kritiskais punkts ir galējais punkts. Tāpēc, lai atrastu funkcijas galējību, ir jāatrod visi funkcijas kritiskie punkti un pēc tam jāpārbauda katrs no šiem punktiem atsevišķi maksimālajam un minimumam. Šim nolūkam kalpo šāda teorēma.

Teorēma 2. (Pietiekams nosacījums ekstrēmuma pastāvēšanai.) Lai funkcija ir nepārtraukta kādā intervālā, kas satur kritisko punktu x 0, un ir diferencējams visos šī intervāla punktos (izņemot, iespējams, pašu punktu x 0). Ja, pārvietojoties no kreisās puses uz labo caur šo punktu, atvasinājums maina zīmi no plusa uz mīnusu, tad punktā x = x 0 funkcijai ir maksimums. Ja, ejot cauri x 0 no kreisās uz labo, atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, tad funkcijai šajā brīdī ir minimums.

Tādējādi, ja

f "(x)>0 plkst x<x 0 un f "(x)< 0 plkst x>x 0, tad x 0 – maksimālais punkts;

plkst x<x 0 un f "(x)> 0 plkst x>x 0, tad x 0 – minimālais punkts.

Pierādījums. Vispirms pieņemsim, ka, ejot cauri x 0 atvasinājums maina zīmi no plus uz mīnusu, t.i. visu priekšā x, tuvu punktam x 0 f "(x)> 0 par x< x 0 , f "(x)< 0 par x>x 0 . Atšķirībai piemērosim Lagranža teorēmu f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), kur c atrodas starp x Un x 0 .

Ļaujiet x< x 0 . Tad c< x 0 un f "(c)> 0. Tāpēc f "(c)(x-x 0)< 0 un tāpēc

f(x) - f(x 0 )< 0, t.i. f(x)< f(x 0 ).

Ļaujiet x > x 0 . Tad c>x 0 un f "(c)< 0. Līdzekļi f "(c)(x-x 0)< 0. Tāpēc f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

Tādējādi visām vērtībām x pietiekami tuvu x 0 f(x)< f(x 0 ) . Un tas nozīmē, ka brīdī x 0 funkcijai ir maksimums.

Minimālās teorēmas otrā daļa ir pierādīta līdzīgi.

Ilustrēsim šīs teorēmas nozīmi attēlā. Ļaujiet f "(x 1 ) =0 un jebkuram x, pietiekami tuvu x 1, nevienādības ir izpildītas

f "(x)< 0 plkst x< x 1 , f "(x)> 0 plkst x>x 1 .

Pēc tam pa kreisi no punkta x 1 funkcija labajā pusē palielinās un samazinās, tāpēc, kad x = x 1 funkcija pāriet no pieaugošas uz samazināšanos, tas ir, tai ir maksimums.

Līdzīgi mēs varam apsvērt punktus x 2 un x 3 .

Visu iepriekš minēto var shematiski attēlot attēlā:

Ekstrēmuma funkcijas y=f(x) izpētes noteikums

Atrodiet funkcijas domēnu f(x).

Atrodiet funkcijas pirmo atvasinājumu f "(x).

Nosakiet tam kritiskos punktus:

Atrodiet vienādojuma īstās saknes f "(x)=0;

atrast visas vērtības x kuriem atvasinājums f "(x) neeksistē.

Nosakiet atvasinājuma zīmi pa kreisi un pa labi no kritiskā punkta. Tā kā atvasinājuma zīme paliek nemainīga starp diviem kritiskajiem punktiem, pietiek noteikt atvasinājuma zīmi vienā punktā pa kreisi un vienu punktu pa labi no kritiskā punkta.

Aprēķiniet funkcijas vērtību galējos punktos.